Solucionario Demidovich Tomo III

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Eduardo Espinoza RamosGraduado y Titulado en Matemtica Pura, Catedrtico de las principales Universidades de la Capital

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MfMINCUUf VAHKACtOMl

E c u a c io n e s

Transformada de lapiace

Sucesiones y Series

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Numeras Complejos f Ecuaciones PoJlMmlcat

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E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

ANALISIS MATEMATICO IIISOLUCIONARIO DEMIDOVICHTOMO IIICO

WWW.SOLUCIONARIOS.NET

i

iEDUARDO ESPINOZA RAMOS

IMPRESO EN EL PER 11102010

5ta EDICIN

PRLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanz el ms

DERECHOS RESERVADOSESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL 0 PARCIALMENTE POR NINGN MTODO GRFICO, ELECTRNICO O MECNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNTICOS O DE ALIMENTACIN DE DATOS, SIN EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR. RUC Ley de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica Hecho el deposito legal en la Bilblioteca Nacional del Per con el nmero N 20520372122 N 13714 N 10716 N 4484 N 2007 - 12592

alto sitial en la creacin; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto nace aun antes de la escritura por eso la ciencia de los nmeros estn importante como la vida misma. El avance tecnolgico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas. La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnologa a descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este tercer tomo, en su cuarta edicin del solucionario del libro problemas y ejercicios de anlisis matemtico por B. Demidovich, el planteo fcil a los diversos ejercicios que se presentan, adems se incluye una coleccin de grficos los que ayudarn eficazmente a la captacin de los diferentes problemas. Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su avance y desarrollo intelectual.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

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DEDICATORIAEste libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANAque Dios ilumine sus caminos para que

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puedan ser guas de su prjimo

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Si ;ir?'-fni dij;

INDICECAPITULO VI

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Pag.

6.1.6 .2 .6.3. 6.4. 6.5. 6 .6 . 6.7.

Conceptos Fundamentales. Continuidad. Derivadas Parciales. Diferencial Total de una Funcin. Derivacin de Funciones Compuestas. Derivada de una Funcin dada y Gradiente de una Funcin. Derivadas y Diferenciales de Ordenes Superiores. Integracin de Diferenciales Exactas. Derivaciones de Funciones Implcitas. Cambio de Variables. Plano Tangente y Normal a una Superficie. Formula de Taylor para las Funciones de Varias Variables. Extremo de una Funcin de Varias Variables. Problemas de Determinacin de los Mximos y Mnimos Absolutos de las Funciones.

1 22 28 41 53 66 76 104 117 141 154 167 177

6 .8.6.9.

6.10. 6.11. 6 .12.6.13. 6.14.

203 226 234

6.15. 6.16.

Puntos Singulares de las Curvas Planas. Envolvente.

Funciones de Varias Variables 6.17. 6.18. 6.19.6 . 20 .

1

Longitud de un Arco de una Curva en el Espacio. Funcin Vectorial de un Argumento Escalar. Triedro Intrnseco de una Curva en el Espacio. Curvatura de Flexin y de Torsin de una Curva en el Espacio.

242 246 257 277

CAPTULO VI

CAPTULO VII6.1. INTEGRALES MULTIPLES Y CURVILINEAS7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. Integrales Dobles en Coordenadas Rectangulares. Cambios de Variables en la Integral Doble. Calculo de reas de Figuras Planas. Calculo de Volmenes. Calculo de reas de Superficies. Aplicaciones de la Integral Doble a la Mecnica. Integrales Triples. Integrales Impropias, Dependientes de un Parmetro. Integrales Impropias Mltiples. 7.9. 7.10. 7.11. Integrales Curvilneas. Integrales de Superficie. Formula de Ostrogradski - Gauss. 420 435 479 493 290 323 335 345 362 373 384 (5 ) ( )

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESCONCEPTOS FUNDAMENTALES.(T ) DEFINICIN.A una funcin de dos variables x e y se designa por z = f(x,y) donde las variables x e y se llaman argumentos o variables independientes, en forma similar para el caso de tres variables. CONCEPTOS DE EXISTENCIA DE LA FUNCIN.Se entiende por campo de existencia de la funcin z = f(x,y) al conjunto de puntos (x,y) del plano XY que determinan la funcin dada. LINEAS Y SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS FUNCIONES.La lnea de nivel de la funcin z = f(x,y) es la lnea f(x,y) = c del plano XY, en cuyos puntos de la funcin toma un mismo valor z = c. Se entiende por superficie de nivel de una funcin de tres variables u = f(x,y,z) a la superficie f(x,y,z) = c, en cuyos puntos la funcin toma un valor constante u = c. 1782 Expresar el volumen V de una pirmide cuadrangular regular en funcin-de Su altura x y de su arista y. Desarrollo

2

Eduardo Espinoza Ramos

Funciones de Varias Variables

3

c

Por Pitgoras se tiene:

4b2 = 2a1 => a2 = 2> 2 y 2 = b2 + x2 => b2 - y 2 - x 2

En el tringulo ABC, se tiene:

por Pitgoras se tiene: Como F = (area base)x(altura) , en donde

2 2 x -y i h - a - (~ )

(2 )

ahora reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

rea base = a2 = 2( y 2 - x 2) y la altura es x

h2 = ( x - y ) 2 + z 2 -

2

=> h2 = 4g2+3(x 4

7)2 de donde

Luego V = X2 :(y2 - x 2) x = ^ ( y 2 - x 2) 1783

V = ^ - ( y 2 - x 2)

*-

E Z

, ademsX+ V

de la superflde laterales:

Expresar el rea S de la superficie lateral de un tronco de pirmide regular, en funcin de los lados x e y de las bases y de la altura z. Desarrollo Haremos la representacin grfica de acuerdo a los datos^del problema. En el AABC se tiene: a2 = ( x - y ) 2 + z 2 ... (1) 1784

S = 6Al donde Ax = .h , que al reemplazar h se tiene:

6(x + y)

z 2 +3( x - y ) 2

s = - ( x + y ) y4z2 + 3(x - y )2

Hallar / ( ^ , 3 ) y f ( l,- l) s i f ( x , y ) = xy + 2 y

4 Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

Funciones de Varias Variables F(x) = f ( x , x 2) = 1+ x - x2 => y - \ + x - x 2

5

1Como f ( x , y ) = xy + ~ => / , 3 ) = ) ( 3 ) + ^- = ^ + ^ = | y 2 2. 3 2 6 3 ahora completamos cuadrados se tiene

5 1 2 y - = - (jc )

que nos representa una parbola de vrtice

cuya grfica es:

/ ( I 3) = |

y f(l,-l) = -2 2 2 1 si f ( x , y ) = X y /( x ,y ) Desarrollo

1785

Hallar f(x,y), f(-x,-y),

x y

f ( x , y ) = ----- => f ( - x , - y ) =

.

^2 - / 2 xy

_

x

(-^)2 -(->')2 ^2 - / - = r----2(- x)(-y) 2 xy 1787

f(i

i\

>'2 ~ x2

circunferencia x 2 + y 2 - R2 Desarrollo

f ( x , y ) = ----- => ---- 7 = ---- 2

x

^ 2 - > ;2 1 2xy 2 xy f ( x , y ) x2 - y 2

, x4 + 2x2y 2 + y 4 (x2 + y 2)2 Como z = f ( x , y ) = ------5-----5 = m -----27 1- x - y l- ( * + y )

1786

Hallar los valores que toma la funcin f(x,y) = 1 + x - y en los puntos de la parbola y - x2 y construir la grfica de la funcin F(x) = f ( x , x2). Desarrollo Se tiene que f(x,y) = 1 + x - y entonces 1788x

Como x2 + y 2 = 2 entonces z = f ( x , y ) -

R4\-R

~ 2

2

Determinar f(x) si / ( ) = -------- , (xy > 0)y

6 Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos

Funciones de Varias Variables Sea w = V x - 1 => V x=w + 1 => (m + 1)2 / ( x ) = x2 + 2x

1x =

-+ i

/ ( V I - 1) = /(m ) = (u + 1)2 - 1 = u2 + 2u como / ( V x - 1) = x - 1 entonces z = x - \ + y[y

y

y

-y . ,1 , VI + X * f ( x ) = J - T + 1 =-

1791

Sea z = xf (). Determinar las funciones f y z, si z = >/l + > 2 , para x = 1. > x Desarrollo Como z = x f () => yjl + y 2 = f ( y ) , donde z = yj\ + y 2 , para x = l x Como z = jc/'() y f ( y ) = >Jl + y 2 entonces

1789

Hallar f(x,y) si f ( x + y , x - y ) = xy + y Desarrollo u+v x=Haciendo~ 2 ~

y =-

u-v

^

X yv X W V ~ V / Como / ( x + ^,X -.y) = /(w ,v) = - ^+ . U- y - + ( W y v )^ 2 -

/ ( ) = / l + () = ----------- de donde X x V x , v

y _ x-Vx2 z = x f() =X X

u2 - v 2 u2 4 + 4 x2 -x>?

2uv v2 4 + 4

w2 wv 2 2

u2 - u v 2 1792

Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones: a) z = 2 > 0 de donde x2 + > 2 < 1 > > Luego su campo de existencia es el disco de radio 1.

.* /( * ,* ) = 1790

Sea z = y[y + / (Vx - 1). Determinar las funciones f y z si z = x para y = 1 Desarrollo Como z = yfy + / (Vx - 1) y z = x para y = 1 Entonces x = 1+ / ( Vx -1 ) => / ( Vx -1 ) = x -1

8

Eduardo Espinoza Ramos

Funciones de Varias Variables

9

b)

z - 1+ y]-(x - y )2 Desarrollo Para que z = 1+ y j - ( x - y ) 2 est bien definida debe cumplirse que - ( x - y ) 2 > 0 de donde (x - y )2 < 0 como (x - y ) 2 < 0 => y = x Luego y = x es el campo de existencia de la funcin z = 1+ y-(x - y Y d) z = x + arccos y Desarrollo Sea w = arccos y => eos w = y, pero como coseno varia entre -1 y 1 es decir para este caso -1 &lt