Solucionario Matemáticas 1º bachillerato McGrawHill

8/10/2019 Solucionario Matemticas 1 bachillerato McGrawHill

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Matemticas1 Bachillerato

Solucionario

Autor del libro del profesorRafael ngel Martnez Casado

Autores del libro del alumnoJos Mara Martnez Mediano

Rafael Cuadra LpezFrancisco Javier Barrado Chamorro


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MATEMTICAS 1SOLUCIONARIO DE 1 DE BACHILLERATO

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico,ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, porfotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del

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Derechos reservados 2007, respecto a la primera edicin en espaol, por:

McGraw2Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U.Edicio Valrealty, 1. plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)

ISBN:97828424812551622

Depsito legal:

Editor del proyecto:Mariano Garca DazEditor: Argos Gestin de ProyectosTcnico editorial: Alfredo Horas de PradoRevisores tcnicos:Rafael ngel Martnez CasadoRevisoras de ejercicios:Mara Teresa Ibez Len y Rosario Sanz MesaIlustradores: Ana Colera Caas y Pablo Vzquez RodrguezDiseo interior:Germn Alonso

Maquetacin: Argos Gestin de ProyectosImpreso en:

IMPRESO EN ESPAA 2PRINTED IN SPAIN


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Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del Libro

ndice

ndice

Unidad 1.Resolucin de problemas ......................................................................................................................4

Unidad 2.Introduccin al nmero real ..................................................................................................................9

Unidad 3.Polinomios y fracciones algebraicas .....................................................................................................16

Unidad 4.Ecuaciones y sistemas .........................................................................................................................22

Unidad 5.Inecuaciones y sistemas de inecuaciones .............................................................................................30

Unidad 6. Combinator ia .....................................................................................................................................37

Unidad 7.Trigonometra .....................................................................................................................................45

Unidad 8.Resolucin de tringulos ....................................................................................................................52

Unidad 9.Nmeros complejos ............................................................................................................................64

Unidad 10.Geometra analtica ..........................................................................................................................73

Unidad 11.Lugares geomtricos. Cnicas ............................................................................................................83Unidad 12.Sucesiones de nmeros reales ...........................................................................................................93

Unidad 13.Funciones reales ..............................................................................................................................99

Unidad 14.Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas .................................................................110

Unidad 15.Lmites de funciones. Continuidad ...................................................................................................118

Unidad 16. Derivadas ......................................................................................................................................127

Unidad 17.Introduccin al clculo integral ......................................................................................................137

Unidad 18.Distribuciones bidimensionales .......................................................................................................143

Unidad 19. Probabilidad ...................................................................................................................................151

Unidad 20.Distribuciones de probabilidad ........................................................................................................157


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Actividades

1. Le resto nueve unidades a un nmero y me da lo mismoque si lo divido por 3. De qu nmero se trata?

x x

x293

13 255 5 ,

2. Disponemos de una cuba llena de vino y de dos recipientescon capacidad de 8 y 5 litros. Qu tienes que hacer paramedir dos litros de vino? (Puedes traspasar vino de un reci-piente a otro y emplear la cuba para vaciar o coger vino).

Recipientes

Cuba, xl itros De 8 litros De 5 litros

Paso 1 x25 0 5

Paso 2 x25 5 0

Paso 3 x210 5 5

Paso 4 x210 8 2

3. Con cuatro cuartos, unidos y ligados por las cuatro opera-ciones elementales, pueden obtenerse los nmeros natu-rales del 0 al 9. Por ejemplo:

024241424; 12(414)/(414) Obtn los dems.

254/414/4 35 (41 414)/445 (42 4)/414 55 (4? 414)/4

6541 (414)/4 7541424/485 4

4/414 954141(4/4)

4. Se reparte cierta cantidad de dinero entre varias personas

del siguiente modo: a la primera se le da 1/4 del dineroinicial; a la segunda, 1/4 de lo que resta ms 1000; ala tercera, 1/4 de lo que queda ms 2000; y as sucesi-vamente. Al final, todos han recibido la misma cantidad.Cunto dinero recibe cada persona y cuntas son?

14

100014

14

x x x5 1 2

x516000

Cada persona recibe 4000. Hay cuatro personas.

Problemas propuestos

Tipo I: Problemas de prueba-ensayo y de recurrencia

1. Cuntas cerillas se necesitan para formar una cadena de30 tringulos como se indica en la siguiente figura?

Para el primer tringulo necesitamos 3 cerillas. Para cada unode los siguientes, 2 cerillas ms.Por tanto, se necesitan: 3129?2561 cerillas.

2. Divide cada una de las siguientes figuras en cuatro figuritassemejantes a la inicial. Te damos la solucin de una de ellas.

3. Observa las siguientes igualdades:15111354

1131559 1131517516 a) Sabras decir el resultado de la suma de los diez pri-

meros nmeros impares? b) Y el resultado de 11315171175179?

a) 1131517111951025100. Puede observarse que la suma de los nprimeros nmeros

impares vale n2

. Nota:Esta cuestin podra proponerse para demostrarla porel mtodo de induccin.

b) 11315171175179540251600.

4. Qu cifra corresponde a cada raya para que sea correctoel producto?

_ _ _ 4 _ _ 3756743 _ 56

La ltima cifra del primer factor tiene que ser 8, pues es lanica que multiplicada por 7 acaba en 6.Se tiene: _ _ _ 4 _ 83756743 _ 56Los sucesivos pasos son:

_ _ _ 4083756743 _ 56 _ _ _ 4083756743856Ahora, basta con dividir 6743856 entre 7. Se obtiene963408.

5. Vuelve a leer el Ejemplo 2 de la seccin 1.3. Contesta a lapregunta que se hizo: cmo es C?

SiAes bueno, como dice la verdad Bes bueno A5C Ces bueno.SiAes malo, como dice la mentira B es malo A C Ces bueno.En cualquier caso, Ces bueno.

6. En qu nmero termina 228? A partir del resultado halla-do, indica en qu nmero termina 2 183y 2 185.

Las terminaciones posibles son 2, 4, 8 y 6.21 2 25 32 24n11 2


Resolucin de problemas01

Fig. 1.1.

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.


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22 4 26 64 24n12423 8 27 128 24n13 824 16 28 256 24n 6

Luego:228termina en 6.2183524? 4513termina en 8.2185524?4611termina en 2.

7. En un viejo papel hemos encontrado la siguiente nota deuna venta realizada. Dice as:

72 pollos, a _ _ pesetas el pollo 5_19_ pesetas. Las rayas indican nmeros que se han borrado. A cmo estara el pollo en aquellos tiempos?

Como 72 es mltiplo de 9 y de 2, el resultado del productodebe ser mltiplo de 9 y par. En consecuencia, sus cifras de-ben sumar 9, 18 o 27.Terminando el nmero en cifra par, tenemos las siguientesposibilidades:

_190, _192, _194, _196, _198Y para que sea mltiplo de 9:

8190, 6192, 4194, 2196, 9198De estos nmeros, el nico divisible por 72 es 6192 6192572?86.El precio del pollo era de 86 pts.

8. Supn que tienes 9 bolas de igual aspecto y tamao. Slohay un inconveniente: una de ellas tiene un peso ligera-mente distinto de las dems; en compensacin dispones deuna balanza de platillos. Qu nmero mnimo de pesadas

necesitas hacer para averiguar cul es la bola distinta?

ste es un viejo y conocidsimo problema. Lo ms importantede l es el mtodo, la estrategia; y que pone de manifiesto lafuerza de la lgica.En estos problemas no se trata de acertar por suerte; si asfuese, en 1 de cada 9 casos acertaramos por puro azar. Setrata de que el mtodo funcione siempre, sea cual sea nuestrasuerte.Dicho esto, analiza: qu datos tengo?; qu s con certeza?Tienes 9 bolas: 8 iguales y 1 distinta; pero slo 1 distinta.Tienes, adems, una balanza que puede servir para compararel peso de las bolas. A partir de aqu necesitas una estrategia.Tienes varias opciones:Primera:Comparar las bolas una a una. Si la balanza queda enequilibrio las bolas son iguales; si se inclina, alguna de esas dosbolas es distinta, pero no sabes cul de ellas es la mala. Conesta estrategia, en el peor de los casos, puedes necesitar hasta5 pesadas, que seran:

En las pesadas I, II y III sabes que todas las bolas son bue-nas. En la IV, alguna de las dos es la distinta. Si la balanza seinclina como indicamos haremos otra pesada comparando la

bola de la izquierda, la ms pesada, con alguna de las bolasbuenas. En esta quinta pesada puede suceder: (a) que la ba-lanza quede en equilibrio, con lo cual, la bola distinta es la

otra, la que estaba en el platillo derecho; adems pesa menosque las otras. (b) que la balanza vuelva a inclinarse en el mis-mo sentido, de donde la bola mala es la que hemos tomado;adems es ms pesada.2Si las cuatro pesadas primeras quedaran en equilibrio, labola mala es la ltima. Comparada con cualquiera de las otraspodemos deducir si pesa ms o menos.2Si la pesada desequilibrada es la I, II o III se puede deducirantes cul y cmo es la bola mala.Segunda:Comparar las bolas dos a dos. Con este procedimientopuedes necesitar hasta cuatro pesadas. (Te dejamos que lo com-pruebes por tu cuenta).Tercera:Comparar las bolas de tres en tres.Puede suceder:(I) Pesada en equilibrio: La bola mala est entre las otrastres. Comparando estas tres bolas una a una se determina lamala.

(II) Pesada inclinada a la izquierda: Las otras tres bolas

son buenas. Quitamos tres bolas de la derecha y en su lugarponemos las tres bolas buenas. Puede suceder:

2La balanza se queda en equilibriola bola mala est entrelas tres quitadas, y pesa menos. Ponemos dos de esas bolas,una en cada platillo: si queda en equilibrio, la bola mala es la

otra; si se desequilibra, la bola mala es la de la ms ligera.

Tipo II: Problemas de tipo algebraico: ecuacionesy sistemas

9. Le sumo 20 unidades a un nmero y me da lo mismo que silo multiplico por 3. De qu nmero se trata?

Sixes el nmero buscado, se cumple:x12053xx510.

10. Jos Mara dobla los aos a Cristina; Carmen es tres aosmayor que Cristina; y Jos Mara, cuatro ms que Catalina.Si la suma de todas las edades es 29, cul es la edad de

cada uno?

Edades: Cristina5x; Jos Mara52x; Carmen5x13;Catalina52x24


Resolucin de problemas 01

Fig. 1.5.

Fig. 1.6.

Fig. 1.4.

I II III IV


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x12x1x1312x24529 x55La edad de Jos Mara es 10 aos.La edad de Carmen es 8 aos.

La edad de Catalina es 6 aos.La edad de Cristina es 6 aos.

11. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae unsexto de su capacidad ms 15 litros. Si aadiendo un cuar-to de su capacidad ste vuelve a llenarse, cuntos litroscaben en la cuba?Capacidad de la cuba5x

Se extrae:x6

151 .

Se aade:x4.

Comox x6 15 41 5 x5180 litros.

12. El triple de un nmero es la mitad de otro. Qu nmeros son?

Si los nmeros son ay b, entonces: 32

a b

5 b a56

Hay infinidad de posibilidades.

13. El triple de un nmero es la mitad de otro. Si entre los dossuman 56, qu nmeros son?

Se tiene: b a56 y, adems, a b1 556 a58; b548.

14. El triple de un nmero es la mitad de otro. Si entre los dossuman 56 y su diferencia es 40, qu nmeros son? (Ob-servas algo extrao en el enunciado?)

La solucin es la misma que la del problema anterior. (Puedeobservarse que la diferencia entre los dos nmeros es 40).Nota: Con este problema se trata de ver que sobra un dato.Afortunadamente, este dato sobrante no es contradictorio conlos otros dos, lo cual permitira resolver el problema conociendodos datos cualesquiera de los tres dados.

Tipo III: Problemas de tipo geomtricos

15. Un ngulo mide dos grados menos que el triple de su com-plementario. Cunto vale?

Sixes el ngulo buscado, su complementario mide 902x.Entonces:x53?(902x)22 x567.

16. La superficie de un tringulo issceles de altura 4 cm es 12cm2. Halla su base. Cunto miden los otros dos lados si lasuma de sus longitudes es 4 cm ms que la base?

rea:A b h

5 ?

2 12

42

5b?

b56.

Lado5 l 2 6 4l5 1 l55.

Observa: En este problema sobra un dato. Se darn cuenta losalumnos? Si no es as, que lo descubran haciendo el problemanmero 20.

17. La superficie de un cuadrado esS, cul ser la superficiede un cuadrado cuyo lado es el doble del anterior?

Si el lado del cuadrado pequeo es lse tiene: S l52

.Si se dobla el lado L l52 , la superficie ser L l l S 2 2 22 4 45 5 5( )queda multiplicada por 2254.Nota: Podra plantearse con otros aumentos proporcionales dellado (L5kl) y comprobar que la razn entre las superficies es k2.

18. En un cubo de arista acaben 111 litros de agua. Cuntoslitros puede contener un cubo cuya arista es el doble delanterior? Es necesario conocer el valor de a?El volumen del cubo inicial es a3. El volumen del de doble aristaser: V a a5 5( )2 83 3, que valdr 8?1115888 litros.No es preciso conocer a.

19. Dibuja una circunferencia con un lpiz y una regla.

Se dibuja un punto, que ser el centro, y se coloca la reglacomo se indica, trazando una lnea.

Girando la regla, manteniendo el punto en contacto conella, se trazan otras rectas, obtenindose un dibujo como elsiguiente.La circunferencia es la envolvente de todas esas rec tas, que

son tangentes a la circunferencia.

Tipo IV: Problemas resolubles mediante frmulas

20. La superficie de un tringulo issceles de altura 4 cm es12 cm2. Halla su base y los otros dos lados.

Por el Problema 28, b56.Como es un tr ingulo issceles la altura cae en el punto mediode la base.Podemos aplicar el teorema de Pitgoras: l2 2 24 35 1 l55 cm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fig. 1.7.

Fig. 1.8.



3

4l

Fig. 1.9.


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21. Un ciclista parte de Badajoz con destino a Cceres, queest a 90 km de distancia. Una hora despus otro ciclistainicia el mismo itinerario, recorriendo cada hora 10 km

ms que el primero. Si llegan a Cceres en el mismo ins-tante, qu tiempo tard cada uno?

Primer ciclista:

Velocidad5v; tiempo5t vt

590

Segundo ciclista:

Velocidad5v; tiempo5t, con t5 t21 y vt

590

12Como v5v110

901

9010

t t2 15 t t2 9 02 2 5 t53,54

h3 h, 32 min.

22. Con un trozo rectangular de cartn, que es 4 cm ms largoque ancho, se construye una caja sin tapa de volumen 840cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquinay doblando los bordes. Qu dimensiones tena el cartn?

(x28)? (x212)?65840 x x2 20 44 02 2 5 x522

Tipo V: Reduccin a la unidad

23. Tres amigos ganan por un trabajo 1105. Cunto les co-rresponde a cada uno de ellos si uno trabajo 8 das, otro 5y el otro 4?

En total trabajaron 17 das. A cada da le corresponden110517

65 .

Uno cobrar 8?655520; otro, 5?655325; y el tercero,4?655260.

24. Si 6 gatos pueden comer 6 sardinas en 6 minutos, cun-tos gatos sern necesarios para comer 100 sardinas en 50minutos?

Cada gato se come una sardina en 6 minutos.Para comerse 100 sardinas, un gato necesitara 600 minutos.Para comerse las 100 sardinas en 50 minutos se necesitarn12 gatos.

25. Cuntos litros de aceite de 2,90/L hay que mezclar con 200litros de 3,60/L, para que la mezcla resulte a 3,40/L?

Litros de 2,905x.2,90x13,60?20053,40?(x1200) x580 L.

26. Cuntos mapas del mismo tamao que el de escala1: 200000 habr que hacer para reproducir la misma su-perficie a escala 1: 50000?

A escala 1: 200000, 1 cm2del mapa54 km2en la realidad.A escala 1: 50000, 1 cm2del mapa55(50000?5000052500000000 cm2)50,25 km2en la realidad.

Por tanto, habr que hacer 4/(0,25)516 mapas de escala1: 50000.

Tipo VI: Estrategia hacia atrs

27. Dos jugadores pueden sumar uno, dos o tres al nmeroque diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero quellegue a 37. Qu hay que hacer para ganar?

La secuencia del ganador debe ser:37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1Ganar el que comience el juego y siga esta secuencia, dederecha a izquierda.

28. Dos jugadores pueden sumar desde uno hasta diez al n-mero que diga el otro. Comienzan en cero y gana el prime-ro que llegue a 100. Cmo hay que hacer para ganar?

Gana el que comienza y sigue esta secuencia:1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100Nota: Podra plantearse un juego con las mismas reglas, pero elque pierde es el que se vea obligado a decir 100. Cul debe serla secuencia del ganador?

29. Aqu tienes tres trozos de cartulina. Haz un corte en cadacartulina, de forma que queden seis piezas que puedanjuntarse para formar un cuadrado.

El cuadrado final debe tener una superficie que ser la sumade las superficies de los tres trozos dados:20?10120?5120?105500 sers un cuadrado de lado

500, que es la mediada de la diagonal (y de la hipotenusa)de los rectngulos.

10 cuestiones bsicas1. Qu error se comete en las siguientes igualdades?

a) (314)2532142; b)4 2

4 22

2

xx

15 1 ;

c) 2 2x x x2 2 25 5( )

a) El cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados.

b) Se simplifican factores, no sumandos:4 2

422

2 2

xx x

115 .

c) 2 2 ? 2x x x x22 5 5 ( ), siempre es negativo.

( )2x x2 25 , siempre es positivo.

2. Expresa mediante una igualdad las siguientes sentencias: a) El doble dexms 3 es igual ay.

66

x

x1 4

x2 8 x 212

6

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

Fig. 1.10.

Fig.1.11.


Resolucin de problemas 01


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b) El doble dex, ms 3, es igual ay. c) El cuadrado del doble dexes igual a la mitad dey.

a) 2? (x13)5yb) 2x135y

c) ( )22

2x y5

3. Qu dice el teorema de Pitgoras? Porqu el tringulo delados 3, 4 y 5 cm es rectngulo, mientras que el de lados10, 12 y 15 cm no lo es?

En el tringulo de lados 3, 4 y 5 se cumple que 52532142;esto es, el teorema de Pitgoras.En el tringulo de lados 10, 12 y 15 no se cumple que15251021122; por tanto no puede ser rectngulo.

4. En un mapa a escala 1:100000, cul es la distancia realentre dos ciudades que estn separadas 3 cm en el mapa?

3?1000005300000 cm53 km.

5. Cmo mediras un litro de agua si tienes dos recipientesde 3 y 5 litros?

(1) Llenas el recipiente de 3 litros lo viertes en el de 5.(2) Vuelves a llenar el recipiente de 3 litros lo viertes en elde 5 hasta que se llena.En el recipiente de 3 litros queda 1 litro.

6. Una camisa vala 72 euros. Cmo calcularas con una simplemultiplicacin su valor si se ha rebajado un 16%?

72?(120,16)572?0,84560,48

7. Cunto suman los ngulos de un tringulo? Y los ngulosde un pentgono?

Tringulo: 180.Un pentgono puede descomponerse en tres tringulos sumarn 3?1805540.

8. Qu mismo nmero hay que aadir a los dos trminos de

la fraccin38

para que resulte equivalente a78?

3 7

8 32

1x

81x x5 5

9. La suma de dos nmeros consecutivos es 147. Hllalos.

x1(x11)5147 73 y 74

10. Sabiendo que 1232515129, halla sin calculadora 121?125.(Recuerda que (x2a)(x1a)5x22a2).

121 125 123 2 123 2 123 4 15129 4 15122 2? 2 1 2 25 5 5 5 5)()( 5




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Actividades

1. Representa los nmeros reales:

a) 169

b) 20,47 c) 13

a) Como16

9 51

7

91 , dividimos el intervalo [1, 2] en nueve

partes iguales, coincidiendo la sptima con el nmerodado.

b) Hallamos el punto 20,47 mediante subdivisiones del inter-

valo [21, 0] y posteriormente del [20,5,20,4]:

c) Procedemos a realizar la construccin grfica de la Figura:

2. Encuentra y seala en la recta real los puntos cuya distan-cia a 21 es menor que 2.

Se tiene que los puntosxcuya distancia a21 es menor que

2 verifican: d(x,21),2

|x2(21) |5|x11|,2

22,x11,2 23,x,1 x[ (23, 1)

3. a) Redondea a centenas los datos: 1897,67, 987514 y 123.

b) Redondea a milsimas: 34,2345, 0,8765, 0,12345. c) Calcula los errores absolutos y relativos cometidos en a).

a) Los redondeos a centenas sern: 1897,671900; 987514987500; 123100b) dem a milsimas: 34,2345 34,235; 0,8765 0,877; 0,12345 10,123c) Los errores absolutos (e) y relat ivos (E) cometidos en las aproximaciones del apartado (a) sern:

e(1900)5190021897,6752,33 y

E(1900)52,33

1897,635

233

1897635 0,0012

e(987500)59875142987500514 yE(987500)514

9875145

0,00001

e(100)51232100523 yE(100)5 23123

5 0,187

4. Expresa en notacin cientfica los nmeros indicando suorden de magnigud:

a) 1234?105; b) 0,0000000067012; c) 0,00763?106; d) 2527,05?1023

a) 1,234?108 Orden de magnitud 8 b) 6,7012?1029 Orden de magnitud29 c) 7,63?103 Orden de magnitud 3 d) 25,2705?1021 Orden de magnitud21

5. i) Extrae factores:a) 8a5 ; b) x81104 63 ; c)

16a

27

ii) Introduce factores:

a) 2a a

22 ; b) 2

x x323 ; c) xx11c

x2 1

x1 1

i) Extraemos los factores:

a) 8a 5 2 2 (a ) a 5 2a 2a5 2 2 2 2

b) ?81 10 x 5 3 3?10 10(x) 54 63 3 3 2 33 ?

53 10 x 3?10 530x 302 3 2 3

?? ?

c)16a

27 5

4 a

3 35

4

3

a

3

2

2

?

?

ii) Introducimos factores:

a) 2a a

25 (2a )

a

25 2 2a

a

25 a2 2

2 2 4 5

b)2

xx 5 (

2

x) x 5

2

x_x 5

2

x3

23

3

33 233

923

3

73

c) (x11) x21

x1 15 (x11)

x21

x1 15

2

5 (x11)

x21

x1 15 (x11)(x21)5 x21

22

6. Halla el valor simplificado de:

a) ( 25 )5 b) a a34

a) 1 5 2 55 2 255 5

b) a a34 5 5 5a a a a334 412 3

7. Extrae factores y suma:

a) 2 3 110

327 22 108


Introduccin al nmero real 02

Fig. 2.1.

1 2

16/9

Fig. 2.2.

21 020,5

20,4

20,5 20,47 20,4

Fig. 2.3.

2

0 1 2 3 13

13


10/16810

b) y 22 33 3 43 63y x y x y 1 x y1

c)8 722 3 288 22 338

7 2

a) 2 31103

27 22 10852 3 1103

3 22 3 2 53 3 2

3 352 3 1103

22 3 2 3? ? 5(2110 212) 3 5 0 3 50?

b) 2 33 3 43 63y x y1 2y x y 1 x y52 3 3 2 35y x y12yxy y1x y5

1xy12xy1x 2 y5(3xy1x ) y2 2 2 3 2 2 3

c)8 7223 28822 338

7 2 5

58 6 223 12 222 13 2

7 2 5

2 2 2

8 6 3? ?22 12 2 22 13 2

7 25

?

(48236226) 2

7 2 5

14

27522


Tipo I. Relacin de orden y recta real. Operaciones

1. Calcula las potencias: a) 323, (23)3, (23)23, 2323

b) (1/3)23, (21/3)3, 2(21/3)23

c) 321 (1/3)21

d)2 1

5 5

5 5

1 0

1 0

2

2

2

e) 21 121 21

21( )2

21 1121 0

a) 313

127

3

3

25 5 ; (23)3522 7 ; (23)235

( )

1

3

1

273252 ;

232352 5 213

1273

b) ( )1332

533527; 13

127( )

13 3

3

5 52 2 2 ; 2( )133

23

52 23( ) 5 27

c) ( )313

13

83

31212

2 2 25 5

d)5 5

5 5152 52

1 02

1 02

2 5 51 022

2 1 5 51 02 2

e) ( )2 12 21 1

1 1

1 1

1 0

1

2

2

2 21 25 ( )2 11 5 5

1 11 1

02 0

1

2. Simplifica y no dejes exponentes negativos:

a) (8a21b2)22 b) (a21)2(2b)3(2ab)22

c) 2( ) ( )22

2

a bab

3 1

3

24

a) (8a21b2)22 5 822a2b24582b4a2

b)(a21)2(2b)

(2ab)22 52 5 5a22b3 2b5

2b5

1 1a2b2

c)(2a)23 (2b)21

4ab23 5

21Ya3 1Y2b4aYb3

52 b3

4a42b 8a4b2

52

3. Simplifica y da el resultado en forma radical: a) 5a1/3 2a1/2 b) (16a22/3 b2/3)1/2

c) 1 262x21y1/2

x21/2y2/3

a) 5a1Y3 2a1Y25526

a1Y311Y2 510a5Y6 510 a5

b) (16a22Y3

b2Y3

)

1Y2

516a

1Y2

a

21Y3

b

1Y354

3

3

3b

a

b

a5

4c)1 2

62x21y1Y2

x21Y2y2Y3 5

26x26y3

x23y464

x3y5

4. Asigna cada nmero al conjunto o conjuntos que pertenez-ca segn se hace en la primera lnea:

N Z Q I23 x x

1,18

5

6/12

25p

N Z Q I

23 x x

1,18 x

5 x

6/12 x

25 x x x

p x

5. Escribe tres nmeros entre:

a) 3,37 y 3,37602 b) y2

11 51118

c) 36 y 37

11,4

a) 3,37, 3,374, 3,375, 3,376, 3,37602

b)2

11 51118

5F51,61803,1,60804,1,61,1,62, 51,63

c) 36 3

711,452,250652,2677,2,26.2,255,2,2507.

6. Decide la veracidad o falsedad de las siguientes afirmacio-nes mediante ejemplos:


Introduccin al nmero real02


11/16811

a) La suma de nmero racional e irracional es irracional. b) El producto de nmero racional e irracional es irracional. c) El producto de dos nmeros irracionales es irracional.

a) La suma de nmero racional e ir racional es ir rac ional: verdad, 21p.b) El producto de nmero racional e irracional es irracional:

verdad, 35

5.

c) El producto de dos nmeros irracionales es irracional:

falso, 232

3? 5 .

7. Prueba que si queab

,cd entonces

ab

a1cb1d

cd

, ,

Si ab

cd

, ad , bc (*), entonces:

ab

a1cb1d

, ya que por (*): a(b1d) 5 ab1ad, b(a1c) 5

ba1bc

ya1cb1d

cd

, pues por (*) de nuevo: (a1c)d5 ad1cd ,

(b1d)c 5 bc 1 dc

8. Demuestra que para todo nmeroa . 0 se cumple que

aa

1 1

2.

Las siguientes desigualdades son equivalentes:

a a1 1

2 a11 2a2

a2

1 12 2a 0 (a2 1)2 0Como la lt ima desigualdad es cier ta, tambin lo ser laprimera.Nota: Puede hacerse ver la necesidad de que a sea positi-vo; pues si fuese negativo, la primera equivalencia no seracorrecta.

9. Halla qu nmeros representan las abscisasA,B,CyD dela figura.

El intervalo [22, 0] se divide en tres partes, luego el puntoC

corresponde a243

.

Por otro lado, de la construccin geomtrica, aplicando el

teorema de Pitgoras,B es 5( 2 )112 32 yD se obtiene

sumando aB la distanciaOA5 2 , por tanto la abscisa que

corresponde aD es 31 2 .

10. Comprueba que la longitud del segmentoAB es F, siendoM el punto medio del lado del cuadrado.

De nuevo utilizamos el teorema de Pitgoras: como MB 5

1 212 154

52

22

1 5 5 , la distancia AB 512

52

1 52

1 5 1

que es el valor del nmero ureo.

11. Ordena los nmeros 1a b

,a2, 2 b, a, , b,b2, 2 a,1

a) Suponiendo que 1,a, b. b) Si 0,a, b, 1.

a) 2 b, 2 a, 1yb, 1ya, a, b, b2.a2 no podemos situarlo.

b) 2 b, 2 a, a2 , a, a, b, 1yb, 1ya.b2 no podemos situarlo.

12. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real,los conjuntos:

a) A 5 {x[ Rx, 21} b) B 5 {x[ Rx, 1/2 yx 20,5} c) C 5 {x[ Rx 1 yx. 3} d) D 5 {x[ R 22,5x, 1,2}

a) (2,21)b) [21/2,c)d) [25/2, 6/5)

13. Escribe la desigualdad que cumplen los nmeros quepertenecen a los intervalos:

a) (2 , 2] b) [2, 5] c) (21, 3):[0, ) d) [0, 3)"(21, 1]

a) {x,x2}b) {x,2x5}c) {x,21,x,`}d) {x, 0x1}

14. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los nmerosque verifican:

a) x 3 b) x 3

c)5

0x

d) x2 1 0

a) {x,23x 3} [23, 3b) {x,x23 ox 3} (2 ,23 [3,`)c) R2{0d) Dado que la desigualdad incluye la igualdad: {1}5 [1, 1].

15. Encuentra los intervalos unin e interseccin de: a) I 5 {x [ R, x 1 1, 1 } y J 5 [21 ,2). b) K5 {x [ R, x212} y L 5 {x, x122}. c) M 5 (2`, 2] y N 5 {x [ R, x23 52}.


Introduccin al nmero real 02

Fig. 2.4.

Fig. 2.5.

A M B

1

22 21 0 1 2 3C

1

A B

1

D

OA


12/16812

a) I J5 (22, 0) ([21, 2)5 (22, 2) IJ5 [21, 0)b) K L5 (2,21 [3,) [4, 0c) M N 5 (2, 2 {5} {1} 5 (2, 2 {5}; M N 5 {1}

16. Halla y representa en la recta real los nmeros que distan de21 menos de 2 unidades

d(x,21)5 x2(21) 5x11,2 22,x11, 223, x, 1 (23, 1)

Tipo II. Notacin cientca. Nmeros aproximados

17. i) Redondea a unidades: a) 0,854 b) 115,06 c) 21546,7 ii) Redondea a milsimas: d) 0,0996 e) 56,4444 f) 1,897645

Al redondear a unidades, despreciamos la primera cifra deci-mal, por tanto:a) 0,854 1b) 115,06 115c) 21546,721547

En el redondeo a milsimas, sta es la ltima cifra conserva-da, luego:d) 20,099620,1e) 56,4444 56,444f) 1,897645 1,898

18. Indica a qu intervalo pertenecen los nmeros cuyo redon-

deo a centsimas es 1,23.

El intervalo sera: (1,225, 1,235) pues en l la distanciad(x, 1,23), 0,01. Tambin debera incluirse 1,225.

19. Si 1,23 es la medida de una magnitud en la que hemoscometido un error relativo mximo del 10% entre quvalores est comprendido el valor exacto de la magnitud?

El error relativo es:

E5x21,23

x ,0,1 20,1, ,0,1

x21,23x

y de la pr imera

desigualdad:

x10 ,x21,23 1,23,2 11x10 12,311 123110

x. 5

de la segunda desigualdad:

E5x21,23x

, 0,121,23,x10

2x

x,9x10

12,39

12390

1,23. 5

La magnitud est en el intervalo: (123/110, 123/90)

20. Calcula empleando la notacin cientfica a) 1,27653?(0,00006584)3

b) 37?1024

4125000

a) 1,27653?(0,00006584)3 que en la pantalla de la calculadora da: 3,64334721353,643347?10213

b) 37?1024

412500058,9696972105 8,969697 ?10210

21. La capacidad de memoria del disco duro de un ordenadorse mide en gigabytes (Gb). Cada Gb tiene 109 bytes o uni-dades bsicas de almacenamiento, de forma que cada bytecontiene un smbolo (dgito, letra, etc.). Si por trminomedio una palabra est compuesta de 6 smbolos, es-tima cuntas palabras puede archivar un ordenador de 20Gigabytes (Giga 5 109).

20 GB520 ?109 Bytes Como cada palabra ocupa 6 bytes, se

tiene que la memoria puede almacenar20?109

6 5

1010

3 53,3?109

Algo ms de 3 millardos de palabras.

Tipo III. Simplicacin y Operaciones con radicales.22. Reduce a una sola potencia fraccionaria:

a) a ?a2/3 b)( a)1/2

c) a a d) 2 132

8 ?

a)a1/211/35a7/6 b)a1/2 1/2 5a1/4

c) (a?a1/2)1/25a1/211/45a3/4

d) 223/2 225/2 5 20 5 1

23. Utilizando la calculadora, halla el valor de los radicales:

a) 3 56 b) 4 5

c) 5 0,05 d)3 28

2,16

a) 52525b) 1,4953c) 0,54928d) 2,06613

24. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de:

a) 10

0,1

169 b)0,09

100

144

c) 81?144?400 d) 3 28?27?64

a) 100,1

1695 102?1695 102 169510?135130

b) 5 144 512 50,360,09100

0,310

0,09

100144

c) 81?144?400 5 81 144 400 59?12?2052160

d) 3 3 3 328?27?64 5 28 27 64 522?3?45224

25. Reduce a ndice comn, divide y simplifica:

a)3

3 2

02Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del Libro

Introduccin al nmero real


13/168


14/16814

33. Racionaliza las fracciones:

a)3

311 b)

55222

c)

x1 yx2 y

d)5312

32 62

a)3

311

323

22

3(12 3)

1235 5 5

532

2

b)5

5222

551

2?4

5( 511)

521)2( 511)(5 5

551

85

c)x1 y

x2 y5

x1 y( )2

x2 y( ) x1 y( )

x1y12 xy

x2y5

d) 331232 62

3)((31232 6)(2 31 6)(2

31 6)25 5

316 613 3214 3 62

322 62225 5

5313 611212 186

6 5

313 611216 26

6 5

5 21 31216

2

34. Calcula:

a)201 1258022

40

b)242 5415014

6

a) Sumamos en el numerador y simplificamos:

201 1258022

40

512 524 2? 55

1025 5

2 54

2 52

22

25 5 52 2

b) Operamos como en a):

242 54150146

22?62 52?614 32?66

5 5

(225112) 6

65 59

35. Suma y simplifica3

3222

5

3132

2

31

3

3222

5

3132

2

31 5

322)(2 312)(2 313)( 323)( 3 3

33(2 12) 323)5(2

321 55

532?312

322222232155

322322

32

321 5

3612

8

32155

262

32

315 5

5 324214224

31 31816 32601162024

5 5

322121

125

21

125 ( 321)

10 cuestiones bsicas

Estas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 15minutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.

1. En qu se diferencian los nmeros racionales de los irra-cionales? Pon un ejemplo.

Los irracionales no se pueden expresar en forma de fraccin.

2. Escribe sin las barras de valor absoluto la expresin: a) x11 six.21

b)x(x1x3)

a) x115x11 pues al serx.21,x11.0

b) x(x1x3) 5x21x4 5x21x4 pues ambas potencias son posi-

tivas siempre.

3. Simplifica la expresin 2[a2(c2a)]x2cx2a(2x)

2[a2(c2a)]x2cx2a(2x)

5

(2a1c2a)x2cxax

5(c22a2c)x

ax 5

22axax

522

4. Redondea a milsimas: a) 23,9525

b) 0,1672 c) 0,9999

a) 23,952523,953b) 0,1672 0,167c) 0,99991

5. Escribe en notacin decimal: 23,21 7

0,05 24

23,211075 2 321000000,05102450,000005

6. Calcula el valor

a) 284

b) 62182

a) 28522544

b) 221825 100510




15/16815



7. Suma 23

801 45

23801 455 234251 5132554 552 56

8. Reduce a un solo radical: x34 x2

x3

4x2

5x6

4

4

x2x64x2

5 5 x45x4

9. Escribe con una sola raz y simplifica: a 2 a3

a 2 a3

5 a3a 53

a4 56

a23

10. Racionaliza: 22

22 5

22

22 55

(22 5)(21 5)

22(21 5)5

425

22(21 5)52(21 5)


16/16816

Actividades

1. Halla: a)

(2x24)?

14

12

x22 x14 b) (x13)22(x23)2

c) (x21)?(x212)22(112x)2

a) 12

12

x32x3110x2x212x2205 x322x2112x220

b) x216x192(x226x19)512xc) (x21)?(x414x214)2(114x14x2)5x52x414x328x225

2. Descompn en factores los siguientes polinomios: a) P(x)5x214x221

b) P(x)5x322x223x

c) P(x)56x4

27x3

1xa) x214x22150x53,x527 P(x)5(x23)(x17)b) P(x)5x322x223x5x(x222x23)5x(x11)(x23)c) P(x)56x427x31x5x(6x327x211).Una solucin de 6x327x21150esx51.

(6x327x211)/(x21) 6 27 0 1

1 6 21 21

6 21 21 0

Se tiene: P(x)5x(x21)(6x22x21)5 6x(x21)(x21/2)(x11/3)Las races de 6x2 2x215m5sonx51/2 yx521/3.

3. Halla las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas:

a) 12xx12

2x21x22

2xx224

2 1 b) x21

x2112x22

c) 2xx13

2x224x11

2

a) 23x212x

x224(12x)(x22)2(2x21)(x12)12x

x224 5

b) x322x221x211

(x22)(x211)2(x21)x211

5

c) 2x314x226x212x214x13

(2x224)(x13)22x(x11)(x11)(x13)

5

4. Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

a) x135

x221x23

? b)3x22

5x23

?

c) 2x21x2232x11

d) x136

x2132

:

a) x313x22x23

5x215 b) 6x24

15x

c) 4x221

x223(2x21)(2x11)

x223 5 d)

3(x213)x13

6(x213)2(x13)

5

5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 424x214x4

12x b) 2x

326x142x14

c) 2x(x23)222x2(x23)

(x23)4

a) Es irreducible.

b)2(x12)(x222x11)

2(x12)2(x323x12)

2(x12) 5 (x21)

25

c)2x(x23)22x2

(x23)32x226x22x2

(x23)32x(x23)222x2(x23)

(x23)4 5 5

26x

(x23)35

6. Expresa como una sola raz:

a)x11

x b)

x2 x

c)x

x11 d) x11x

a) x11

x

x11

x

5 b)1

2

xx

2 x 2 x x

x x5

2x

x x5 5

c) x11x2x

x11 x11x2

5 5

d) (x11)2

x

x11x

5(x11)2

x 5


Tipo I. Operaciones con polinomios

1. Calcula: a) (31x26x215x3)2(12x326x21x) b) (8x429x311)2(2x13x325x4)

c)

12

34

x2132x32

13

x215x22

a) 27x3 130xb) 13x4 212x3 22x11

c) 54

103

2x32 x225x1

2. Calcula: a) (4x15)2(21x)2 1(2x)2

b) (223x)2 25[(3x21)?(3x11)22x]

c) 3x6 ?4x5 2(22x5)?(214x3)1(2x5)?(23x4)2x6?(24x2)

a) (4x15)2(21x)21(2x)254x152(414x1x2)14x25113x2

b) (223x)2 25[(3x21)? (3x11)22x]5(4212x19x2)2 5(9x22122x)52 36x222x19

c) 12x11 228x8 26x9 14x8 512x11 26x9 224x8

Nota:Los errores al efectuar las dos primeras operaciones sonmuy frecuentes, sobre todo cuando stas se hacen fuera delcontexto terico. Un error puede ser: (21x)2 522 1x2541x2;otro: (2x)2 52x2.

3. Halla:

a) (x26)

2

b) (41x2

)

2

c) (3x11)2 d) (2x21)2

e)

12x15

12x25 f) (4x21)(4x11)


Polinomios y fracciones algebraicas03


17/16817

a) x2 212x136 b) 1618x2 1x4 c) 9x2 16x11

d) 4x2 24x11 e) 14x2225 f) 16x2 21

4. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios: a) (5x213x25)(7x326x13)

b)

(x225x214)

14

38

x22 x2

c)

23

14

12

x32 x21 ? 2

32

45

x21x2

a) 35x5 121x4 265x3 23x2 139x215

b) 214

1058

x42 x32438

214

x1x21

c)23

32

45x3 2 x21x2

142 x2

32

452 x21x2

1

12

132

45

2 x21x2

5 2

3815

2x51 x4238

x31 x42

14

215

x3134

x2212

x2125

x2 5

52524

4760

1120

2x51 x42 x3212

x2125

x2

5. Divide: a) (5x4 21415x1x3):(32x2) b) (20x3112x4129239x2228x):(4x225) c) (2x323x12):(2x21)

a) Se ordenan los trminos del dividendo y los del divisor enorden decreciente de sus grados. Dejamos en blanco elespacio correspondiente a 0 ?x3. 5x4 1x3 15x 214 2x2 1325x4 115x2 25x2 2x 215

1x3 115x2 15x

2x3 13x

115x2 18x 214

215x2 145

8x 131

Cociente: 25x2

2x 215Resto: 8x131Por tanto: 5x4 1x3 15x2145 (2x2 13)?? (25x2 2x215)1 (8x131)

b) Cociente: 3x2 15x26Resto: 23x21

c) Cociente: 12

54

x21 x2

Resto: 34

Tipo II. Regla de Ruffini. Teorema del restoy factorizacin

6. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientesdivisiones:

a) (x7 2x) entre (x12) b) (x51x22x3):(x21)

c) (2x32x523x):(x23) d) (3x426):(x11)

a) Recuerda que cuando falta un trmino se pone un cero.

Esto es: x7 2x5x7 10x6 10x5 10x4 10x3 10x2 2x10

El divisorx125x2 (22), o sea, a522. Con esto se for-ma el esquema:

1 0 0 0 0 0 21 022 22 4 28 16 232 64 2126

1 22 4 28 16 232 63 2126

Los coeficientes del cociente, que ser un polinomio degrado sexto, en orden decreciente, valen 1, 22, 4, 28, 16,232 y 63. El resto es 2126.Luego:

C(x)5x6

22x5

14x4

28x3

116x2

232x163R(x)52126b) Cociente:x4 1x3 2x2 2x

Resto: 0c) Cociente: 2x4 23x3 27x2 221x266

Resto: 2198d) Cociente: 3x3 23x2 13x23

Resto: 23

7. Descompn en factores el polinomio P(x)52x3210x2114x26, sabiendo quex51 es una de sus

races.

Six51 es una raz (x21) es un factor P(x) es divisible

por (x21). Se divide por Ruffini y se obtiene:P(x)52x3210x2114x265(x21)(2x228x16)52(x21)(x224x13).Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuacinx224x1350. Sus soluciones son x51 y x53 (x21) y(x23) son los factores.Por tanto,P(x)52x3210x2114x2652(x21)(x21)(x23)552(x21)2(x23).

8. Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una desus races esx5 25 y queP(2)5 27

P(x)5 (x2x1) (x2x2) siendox1 y x2sus races.Si x1 525 P(x)5 (x15)(x2x2)Si P(2)527 (215)(22x2)527 x2 53Por tanto, P(x)5 (x15)(x23)5x2 12x215

9. Escribe un polinomio de cuarto grado que tenga por races: a) 1, 2, 3 y 4 b) 1, 2 y 3 doble. c) 1 y 2, las dos dobles.

a) (x21) (x22) (x23) (x24)b) (x21) (x22) (x23)2

c) (x21)2(x22)2

Nota:En los tres casos hay infinitas soluciones. Basta multi-plicar por una constante.

10. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tienepor racesx51 yx5 26 y queP(0)5 212


Polinomios y fracciones algebraicas 03


18/16818

Sea P(x)5a(x2x1)(x2x2) siendox1 y x2sus races.Six1 51 yx2 526 P(x)5a(x21)(x16)Por P(0)5212 P(0)5a(21)? (6)5212 a52.

Luego, P(x)52(x21)(x16)52x2 110x212

11. Factoriza las siguientes expresiones polinmicas: a) 3x2 114x25 b) 4x5 12x4 22x3 c)x3 15x2 18x

a) Resolviendo 3x2 114x2550 se tiene:x51/3 yx525Por tanto, 3x2 114x2553(x21/3)(x15)

b) Sacando factor comn 2x3, se obtiene:4x5 12x4 22x3 52x3(2x2 1x21)Resolviendo 2x2 1x2150, se tienex51/2,x521Por tanto, 2x2 1x2152(x21/2)(x11)Luego,4x5 12x4 22x3 52x3(2x2 1x21)52x3 ?2(x21/2)(x11)54x3(x21/2)(x11)

c) Sacando factor comnx, se obtiene: x3 15x2 18x5x(x2 15x18)

Resolviendox2 15x1850, se tiene:

x5256 22524?1?82

5256 27

2Como esta ecuacin no tiene solucin, el polinomiox2 15x18 no se puede descomponer en factores s imples.En consecuencia,x3 15x2 18x5x(x2 15x18)

12. Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x)5 25x2 2x b) P(x)54x4 110x2

c) P(x)510x3 2250x d) P(x)58x4 180x3 1200x2

a) P(x)525x2 2x52x(5x11)b)P(x)54x4 110x2 52x2 (2x2 15)c) P(x)510x3 2250x510x(x2 225)510x(x15)(x25)d)P(x)58x4 180x3 1200x2 58x2(x2 110x125)58x2 (x15)2

13. Halla el valor deb y factorizaP(x)5x31bx2212xsabiendoquex5 22 es una de sus races.

Como P(22)51614b b524.Por tanto, P(x)5x324x2212x5x(x12)(x26)

Tipo III. Fracciones algebraicas

14. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 21x2

7x214x2 b) 42x

3x212

c) 3x224xx3

d) 4x282x

e) 3x2212

x12 f) (x21)

2

x221

a) 21x2

7x214x25

3?7?x2

7x(122x)5

3x122x

b) 42x3x2125 42x3(x24)52(x24)3(x24) 1352

c) 3x224xx3

53x224

x2x(3x224)

x3 5

d) 4x282x

52(x22)

x4(x22)

2x 5

e)

3x2212

x12 53(x224)

x12

3(x12)(x22)

x125 53(x22)

f) (x21)2

x221 5

(x21)2

(x11)(x21)x21x11

5

15. Simplifica:

a) x216x272x22

b) 4x2240x11004x22100

c) 3x326x2

3x4124x3260x2

a) x216x272x22

5(x21)(x17)

2(x21)x17

25

b) 4x22

40x1

1004x22100 5

54(x2210x125)

4(x2250)4(x25)2

4(x15)(x25)x25x15

5 5

c) 3x326x2

3x4124x3260x25

53x2(x22)

3x2(x218x220)3x2(x22)

3x2(x22)(x110)1

x1105 5

16. Halla, simplificando el resultado:

a)2

x11x211 b)

x21x2

2x2

c) 1x

2 2x2

1 4x3

8x4

2 d) 3x22x

3x23x12

2

e) 5x2

3xx21x

13

x111 f)

x21x11

11

2

g) x11x15

8xx2225

1 h) x3x19

x223x29

12x2

3x22272

a) x211

x11 b) 2x

32x11x2

c) x322x214x28

x4 d) 7x24

x(x12)

e)5

x2 f)

2x212

(x11)2

g) x21x25

h) 223(x23)

17. Calcula el resultado, factorizando si conviene:

a) 2x226x14

3x226x132x213x23

2

b) 6x3254x

x326x219x3x2212x112x225x16

:

a) Factorizamos los denominadores:3x2353(x21); 3x2 26x1353(x21)2

Por tanto, el m.c.m. de los denominadores es 3(x21)2

As:2x213x23

2x226x143x226x13

2 52x21

3(x21)2

2x226x143(x21)2

5




19/16819

5(2x21)(x21)2(2x226x14)

3(x21)2 5

5 2x

2

23x1122x

2

16x243(x21)2 53x23

3(x21)25

53(x21)3(x21)2

51

x21

b) 3x2212x112

x225x166x3254x

x326x219x: 5

53(x22)2

(x22)(x23)6x(x13)(x23)

x(x23)2: 5

53(x22)2?x(x23)2

(x22)(x23)?6x(x13)(x23)5

3(x22)6(x13)

x222(x13)

5

18. Halla, simplificando el resultado:

a) 3xx11(2x21): b) x

133x22x11

c) x221x

x11x12

: d)x13x22

x224x14x229

?

e) x2115x

x22253x4215x3118x2

x228x115:

f) 5x224

x224x225x115

5x2120x115x12

1 ?

a) 2x21x21

3x

b)x214x13

3x22c) x

21x22x

d)x22x23

e) x2 22x f) x2

x22

19. Transforma, sin hacer la divisin, la expresinD(x)d(x)

en su

equivalente de la forma r(x)d(x)

C(x)1 , en los casos:

a) 2x

223x15x

b)x213x25

x2

c)x223x15

x23 d) x2

x21

a) 2x223x15

x5x

52x231

b) x213x25

x23x25x2

511

c) x223x15x23

x(x23)15x23

5x23

5x15

d) x22111x21

(x11)(x21)11x21

1x21

x2

x21 5x11155

20. Descompn en fracciones simples:

a) 1x224 b) 2x21x213x24

c) 3x12x213x

a) Ax22

1x224

5 B

x125 5

A(x12)1B(x22)(x22)(x12)

Luego:15A(x12)1B(x22)six52: 154A A51/4six522: 1524B B521/4

Con esto: 1x224

51/4

x221/4

x122

b) 2x21x213x24

51/5

x219/5

x141

c) 3x12x213x

52/3x

7/3x13

1

Tipo IV. Operaciones con otras expresionesalgebraicas

21. SeaP(x)5x221 yQ(x)52x22x12, halla:

a)P(x)22Q(x) b)P(x)Q(x)

c)Q(x)22P(x)

a) 3x212x25 b) 2x11x12

c) x12x

22. Para los mismosP(x) yQ(x) halla:

a) (P(x)1P(x))2b) (P(x))21x2?Q(x)

c) (P(x)2Q(x))(P(x)1Q(x))

a) (x11)2b) 12x3

c) 22x31x214x23

23. Halla: a) (2x2 x)2 b) 2(4x23 x)2( x23)2

c)1x

1 x12x

xx2

2

a) 4x224x x1x b) 7x29

c) x2 xx2

24. Dadas las expresiones x2

x11x

E(x)5 y x1

x21x

F(x)5 halla:

a)E(1),F(1),E(4) yF(4)b) E(x) ? F(x)

a) E(1)50, F(1) no definido, E(4)52/5; F(4)52

b) E(x) ?F(x)5 xx11

25. Racionaliza las siguientes expresiones:

a)x

x11 b)

x1112 x

c)x2 x21

x




20/16820

a)x

(x11) x b)

x212x2112 x

c) x1 x(x21)

Tipo V. Aplicaciones

26. Expresa algebraicamente: a) Cuatro vecesxmenos su dcima parte. b) El producto de dos nmeros consecutivos vale 462. c) El precio de una entrada de cine esxms el 6 por 100

de IVA aplicado sobrex. d) El cuadrado de la diferencia entrexe y, ms el doble

del cuadrado dex.

a) x10

4x2 b)x? (x11)5462

c) 6100

P5x1 x d) (x2y)2 12x2

27. La altura de un cohete viene dada por la expresinh(t)550t25t2, dondetviene dado en segundos yh(t) enmetros.

a) Qu altura alcanza el cohete al cabo de 1, 2 y 5 segundos?

b) Y alcabode 10segundos?Cmointerpretasesteltimo resultado?

a) h(1)55025545m; h(2)5100220580m;h(5)525021255125m.

b) h(10) 50. El cohete ha cado.

28. El coste total, en euros, de la produccin dex unidadesde un determinado producto viene dado por la expresinC(x)5100 x11000)2. Halla:

a) El coste de producir 16, 100, y 400 unidades. A cunto sale la unidad en cada caso?

b) Determina la expresin que da el coste por unidad cuando se fabricanxunidades.

a) C(16)5100 161100051400. Cada unidad sale a1400/16 587,5 C(100)5100 1001100052000. Cada unidad sale a2000/100 520 C(400)5100 4001100053000. Cada unidad sale a3000/400 57,5

b) El coste unitario es igual al coste total entre el nmeroxde unidades fabricadas. Esto es:

x

100 x11000

x

C(x)5c(x)5

29. Halla la expresin que da la superficie de un tringuloissceles de permetro 8 cm en funcin de la basex. Cal-cula el valor de esa rea cuandox53.

Sea el tringulo de la figura, donde cada uno de los ladosiguales valey.

Como su permetro vale 8 2y 1x58 82x

2y5

Por Pitgoras:x2

y25h21

2

x2

4h5 y22

Sustituyendo el valor de82x

2y5

x2

464216x1x2

4h5 2 5 1624x

El rea del tringulo esx?h

2A5 .

Sustituyendo hpor su valor,x 1624x

2A(x)5 5 4x22x3

Parax53, el rea vale A(3)5 4?922753cm2.

30. Una piscina rectangular est rodeada por un pasillo enlo-sado de 1,5 m de ancho. Si la piscina es 10 m ms larga que

ancha, halla: a) La expresin que da el rea del rectngulo que delimita la piscina.

b) La expresin que da el rea del pasillo enlosado.

La situacin es como la que se muestra en la figura.

a) A(x)5(x113)(x13)5x2116x139b) El rea del pasillo es la diferencia entre el rectngulo de

fuera menos el rectngulo de la piscina.P(x)5(x113)(x13)2(x110)x5 5x2116x1392x2210x56x139

31. Expresa (en funcin del primero de ellos) el producto detres nmeros positivos cuya suma es 60 y tal que el segun-do sea doble del primero.

Seanx,y,zlos nmeros.Se sabe quey52x; y quex1y1z560 3x1z560

z560 23xEl producto de los tres nmeros es:P5xyz5x?2x? (6023x)526x3 1120x2

32. En la pared lateral de una buhardilla se quiere poner unpanel rectangular como el que se muestra en la Fig. 3.3.Determina la superficie de dicho panel en funcin del ladoxde la base.

La superficie del panel es S5x(y11). Ver figura.



Fig. 3.1.

h

x

y

Fig. 3.2.

x110

x113

x13x

1,5

Fig. 3.3.

1m 2

,80m

6 mx


21/16821

Por Tales:62xy

61,80

5 1,80(62x)

6y5

Por tanto:1,80(62x)

6S(x)5x? 11 52,8x20,3x2


Estas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 10minutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.

1. Expresa algebraicamente: a) La mitad dexms el cuadrado dey. b) La velocidad es el espacio partido por el tiempo. c) La mitad de la suma deB yb, porh. (rea de un trapecio.)

a) x2

1y2;

b) et

v5 ;

c) B1b2

?h

2. Halla: (2x23)2 2(2x14)?(2x24)

212x118

3. Simplifica 2x216x2x

x13

4. Halla

23

12

x11 ? 22x1

43

2 x2253

12

x1

5. Halla el resto y el cociente de la divisin (x322x11):(x23)

C(x)5x213x17; r 522.

6. Calcula el valor numrico deP(x)52x329x12 parax5 21yx52. Puedes dar un factor deP(x) de la formax2a?

P(21)59; P(2)52. No, no tiene races enteras.

7. Sin resolver la ecuacin de segundo grado asociada al po-linomioQ(x)5x2 17x, halla sus races.

0 y 27

8. La expresin C(x)5 x1100010x1100

xda el coste (en

euros) por unidad fabricada de un determinado producto,

cuando se fabricanxunidades de l. A cunto sale la uni-dad cuando se fabrican 10000 unidades?

11,1

9. Halla la expresin que da la superficie de un tringuloequiltero en funcin del ladox.

34

x2

10. Halla un polinomio de segundo grado que tenga por racesx5 21 yx5 22.

x2

13x12




22/16822

b)2x1y52x2y51{

2x1y523x53{E21E1

El sistema es compatible determinado.

c)x22y5324x18y5212{

x22y53050{E214E1

El sistema es compatible indeterminado.

5. Sea el sistema4x1by5522x1y54{ , calcula los valores que debe

tomarb para que el sistema sea: a) Compatible. b) Incompatible.

a) Para que el sistema sea compatible determinado los coe-

ficientes de las incgnitas no han de ser proporcionales,luego:

422

b1 b22 .

b) El sistema ser compatible indeterminado si 422

b1

54

5 5 ,

lo que nunca podr cumplirse.

6. Halla la solucin de y21x25160x2y58{

Despejandoxen la segunda ecuacin y sustituyendo en la pri-mera: y21(y18)2 5160 2y2 116y29650 y5 212 ey54, que dan paraxlos valoresx524 y 12 respectivamente.


Tipo I. Ecuacin de primer gradoy problemas relacionados

1. Expresa mediante una ecuacin las siguientes relaciones: a) La suma de un nmero par, su anterior y su posterior

vale 60 b) La suma de tres nmeros impares consecutivos vale

213. c) El cuadrado de la suma de dos nmeros es igual al doble

de su suma.

a) 2n12n2212n12560 6n560b) 2n2112n1112n135213 6n135213c) (a1b)2 5 2(a1b)

2. Escribe una ecuacin lineal que no tenga solucin. Y otraque posea infinitas.

Sin solucin:x13x2154x12Indeterminada:22x151x562x21 (es una identidad)

3. Resuelve las ecuaciones :

a) 1x14

2x11

52

b) 2(x12)3

x214

2 3x116

5

a) 1x14

2x11

52 2(x14)5 2x21 x523


Ecuaciones y sistemas04

Actividades

1. De la ecuacinx2 1bx1 c50 se sabe que la suma de susraces es 2 y su producto 23. Encuentra dichas races y loscoeficientesb yc.

Planteamos las ecuaciones:

b1

522

c1

523

b522,c523.

As que la ecuacin propuesta esx222x2350, cuyas solu-c iones son 3 y21.

2. Resuelve la ecuacin 2x2112 x22352

2x2112 x22352

2x2115 x22312 2x2115x22314 x223

x254 x223x4516(x223)x4216x214850, ecuacinbicuadrada que se resuelve haciendox25t, t2216t14850 t54 y t512x562 yx56 12562 3

3. Resuelve las ecuaciones:

a) x223x24x211

50 b) x

x111

112x

53x

c) xx11

1253x11

x

a)x223x24

x211 50 se verifica si el numerador es cero:

x223x2450, que resuelta da por solucionesx5 21 yx54, ambas aceptables.b) Quitamos denominadores en la ecuacin, quedando:

x(12x)1x1153(x11)(12x) 2x2x2115 23x 213 2x212x2250, ecuacin que nos

aporta las solucionesx5216 5

2

c) Operando: xx11

3x11x11

125 53x12x11

3x11x

5

23x212x53x214x11 2x5 21 x5 21/2.

4. Discute, sin llegar a resolver, la compatibilidad de los sis-temas:

a)4x22y52122x1y55{

b)2x1y52x2y51{

c) x22y53

24x18y5212{

Transformamos cada uno de los sistemas por el mtodo dereduccin:

a)4x22y52122x1y55{

4x22y5210532E21E1{

El sistema es incompatible.


23/16823

El primer coche que sali de Sevil la, ha circulado durante 2

horas y 20 min, o sea, 2 1 13

h5 73

h y ha recorrido 90 ? 73

5

210 kilmetros.El segundo coche ha recorrido esos mismos kilmetros en 2

horas, luego su velocidad ha sido:2102

5105 km/h.

Tipo II. La ecuacin de segundo gradoy problemas anes

9. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas: a) 3x2 1x5 0 b) 3(x11)2 5 27 c) 4x2 24x2 35 5 0 d) 22(x25)2 2 8 5 0 e) (122x)2 1 3x5 2(x12)2 1 2

a) Si sacamos factor comn:x(3x11)50x50 o 3x1150,

que nos da los valores solucinx50 yx5 132 .b) Pongamos (x11)2527

359 x 1156 9563 y nos re-

sultan las soluciones, para 13:x1153x52; y para 23:x11523 x524

c) Aplicamos la frmula general:

x52(24)6 (24)224?4?35

2?4 5

46248

, es decir,

x57 yx525/2.d) Como en el caso b), si despejamos (x25)2 nos queda:

822

(x25)25 524 lo que es imposible pues el primer miem-

bro siempre es positivo. Esta ecuacin carece de solucin

real.e) (122x)213x52(x12)212 2x2 9x950

x596 153

4

10. Cunto tiene que valer c en la ecuacin 3x2 15x1c50para que posea dos, una o ninguna solucin?

El discriminante de la ecuacin es:D 525212c

2512

c, tiene 2 soluciones

2512

c5 solucin doble

2512

c. solucin imaginaria

11. Enx2 1bx2250, qu tipo de soluciones te vas a encon-trar para cualquier valor deb?

El discriminante D5b2 18.0 2 soluciones reales

12. Qu valor o valores dechacen que la ecuacin 5x2 22x1 c50 tenga solucin doble?

Para que tenga solucin doble:D 54220c50 c51/5

13. Dos operarios realizan una obra en 12 das, trabajandoconjuntamente. Uno de ellos emplea 10 das ms que elotro si trabaja slo. Cuantos das necesita cada obreropara completar la obra en solitario?


Ecuaciones y sistemas 04

b) 2(x12)3

x214

23x11

65 quitamos denominadores como en

a) quedando: 3x2328x21656x112x5221/11

4. Halla la solucin:

a) x3

x13 5 13 b)12x

2x5

c) x125

5x22

a) Como x135 2x23 la igualdad es cierta si:

x135x3

x5013 o

2x235x3

184

92

x52 5213

b) Anlogamente al caso anterior, de12x

2x5 deducimos

dos ecuaciones :x5 12x

213

x5

2x512x

2 x521

c) Para este caso:x12

5 5x22x53

x125

43

5x22x52

5. Tres operarios trabajan en total 96 horas semanales en unacadena de produccin. Si el tiempo dedicado por uno deellos a este fin son los 3/5 del tiempo empleado por otro

y ste los 5/8 del dedicado por el tercero, cuntas horassemanales permanece cada trabajador en la cadena?

Llamemosxlas horas semanales de trabajo del tercer opera-

rio, entonces el segundo dedica 58xy el primero

58

35

x538x;

as que, 58x1x596 2x596x548

38x1 horas. El segun-

do operario trabaja 30 h y el primero 18 h.

6. Halla tres mltiplos consecutivos de 3, cuya suma sea 54.

Si el pr imer mlt iplo de 3 es 3x, el s iguiente ser 3x13 y e l siguiente 3x16.

Imponiendo la condicin de la suma:3x13x1313x16554 9x554 29545 x55. Luego losmltiplos consecutivos son: 15, 18 y 21.

7. Se mezclan 50 litros de aceite de girasol de 0,99 /l conaceite de 0,78 /l, obtenindose una mezcla de 0,9 /l.Cuntos litros se han empleado del aceite ms barato?

Llamemosxlos litros empleados del aceite de 0,78 . El valormonetario de los 501xlitros de mezcla es: (501x) ?0,9 ,que coincidir con el valor, en euros, de los lquidos que lacomponen:x?0,78150 ?0,99 es decir,(501x) ?0,95x ?0,78150 ?0,99 750520xx537,5 litros

8. Un automvil parte de Sevilla a una velocidad constantede 90 km/h. Veinte minutos despus parte otro coche ensu bsqueda, alcanzndole a las dos horas. A qu veloci-dad circul el segundo coche?


24/16824

Trabajando solo un operario tarda x das y el ms lento

x110. En un da, el primero har 1x

de su trabajo y el segun-

do1

x110; si trabajan conjuntamente hacen112 de obra por

da, luego: 1x110

1x

112

1 5 x1101x

x(x110)112

5 12(2x110)5

5x(x110) 24x11205x2110x2214x212050ecuacin que resuelta da por soluciones 20 y26 das, siendovlida nicamente la positiva. As, cada trabajador emplea 20y 30 das en hacer la obra.

14. La suma de los cuadrados de la edad actual de un mu-chacho y de la que tendr dentro de dos aos es de 580.Cuntos aos tiene el chico?

Si tiene actualmente x aos, dentro de dos tendr x12

aos.Las condiciones del problema imponen quex2 1(x12)2 5580,que desarrollando, reduciendo trminos semejantes y divi-diendo por 2 nos da la ecuacin:x212x228850, con solucionesx5 218 yx516. La negativano es vlida.

15. Dos fuentes llenan un depsito en 6 h y una sola de ellas lollenara empleando 12 h ms que la otra. Cunto tiempotardar cada una en colmar el depsito?

Observacin: Este problema es similar al resuelto n. 2, perodar lugar a una ecuacin de segundo grado.

Seanxlas horas que tarda en llenar el depsito la fuente conmayor caudal. En una hora, cada fuente rellena 1/xy 1/(x112)del depsito, respectivamente, y las dos conjuntamente, 1/6del mismo; por tanto:1x

11

x1125

16

Al quitar denominadores nos resulta:6(x112)16x5x(x112) 6x17216x5x2 112xx2 572 x56 72 566 2 cuya solucin positiva es lanica admisible, por lo que las fuentes tardarn en llenar eldepsito 6 2 y 6 2 112 horas.

Tipo III. Ecuaciones reducibles a cuadrticas,racionales y polinmicas.

16. Resuelve las ecuaciones:

a) x2245 12

b) x56x2

c) x

x2x2 x5

d) 21x2653x

a) x2245 12 x2 24512 x2 516 x564

b) x2 x56 x265 x (x26)2 5( x)2

x2213x13650 que la solucin positiva, nica vlida esx59

c) x5x

2x2x

, vamos a quitar denominadores y pasamos al

primer miembro todos los trminos: 2x x x5x

2x( x 1)5 0 x5 0 o x5 1 x5 1 es la solucin vlida.d) Elevando al cuadrado se obtiene:

21x265(3x)2 21x2659x2Simplificando: 3x227x1250.

Las soluciones son:x54924?3?276

6

576

65 ,

es decir:x152 y x251

3.

Ambas soluciones son vlidas, segn puedes comprobar

17. Halla la solucin y comprueba los resultados: a) 3x21513x1

b) x13x2352x23 c) 3x221 12x2x215

a) Dejamos la raz en el primer miembro y elevamos al cuadrado:

3x215(123x)2. Desarrollando y agrupando:

3x215119x226x 9x229x1250

que tiene por solucionesx1 51

32

3yx25 . Slo es admisible

1/3 como solucin.

b) En 2x23 x235x13 aislamos la raz en el segundo miem-

bro: x2353 x23 (x23)259(x23)x2215x13650cuyas soluciones 3 y 12 son ambas vlidas.

c) Elevamos los dos miembros al cuadrado:

2x2153x22112x12 (3x22)(12x)052 (3x22)(12x) 054(3x22)(12x) que nos propor-cionax51 yx52/3 (sta no es vlida) como soluciones.

18. Calcula las soluciones de: a)x4 29x2 50

b) x4 28x2 11650 c) 2x4 1x2 2350

d) x423x21250

a)x4 29x250 x2(x229)50 x2(x13)(x23)50 que dalas solucionesx50,x53 yx523

b)x4 28x2 11650 es una ecuacin bicuadrada que haciendo

x2 5t, nos queda:t2 28t1165(t24)2 50 dando por razt54 y por tanto,x56 4 562c) 2x4 1x2 2350 tambin es bicuadrada por lo que conx25 t

queda 2t2 1 t2350 que proporcionat51 nica solucinpositiva yx561.

d)36 928

2x25 5 x56 2 yx561

2

1

19. Halla las races de las ecuaciones: a) (x2 21)(x2 13x)50 b)x4 12x3 2x2 14x2650 c) 2x4 23x3 1x50

a) Si descomponemos en factores los trminos de la ecuacin(x221)(x2 13x)50 (x11)(x21)x(x13)50 x51,x521,x50 yx523 son las soluciones.

b) Tanteamos las races de x4 12x3 2x2 14x2650 dividien-do por Ruffini, que nos da:




25/16825

1 2 21 4 26

1 1 3 2 6

1 3 2 6 023 23 0 26

1 0 2 0

soluciones reales sonx51 yx523, quedando el polino-miox2 1250 que tiene races imaginarias.

c) En 2x423x31x50 sacamos factor comnx: x(2x323x11)50; el polinomio del parntesis nos da las ra-

cesx51 yx521/2, que junto ax50 del factor comntenemos las races de la ecuacin propuesta.

2 23 0 1

1 2 21 212 21 21 0

1 2 1

2 1 0

21/2 21

2 0

20. Resuelve: a) 124x

2x22150 b)

52x221

50

c)x223x12

x11 5

0 d) 22

3x21

4

12x5

e)x22

x11x14x12

5 f)8

x2113x2115

a) 124x2x221

50, el numerador debe anularse 124x50

x51/4

b) 52x221

50, como 50 esta ecuacin nunca puede anularse.

c) x223x12x11

50 equivale a que el numerador se anule:

x2 23x1250 x52 yx51d) Para quitar denominadores, mult iplicamos en cruz:

223x21

412x5 2212x512x24 10x52 x51/5

e) Multiplicamos en cruz: x14x12

x22x11

5 x2 245x2 15x14

5x528 x528/5f) Quitamos el denominador: (3x211)(x211)58 3x4 1 4x2

1158 3x4 14x22750; esta ecuacin bicuadrada quecon el cambio habitualx25 tnos da como soluciones vli-das enx5 61.

Tipo IV. Ecuaciones de dos incgnitasy sistemas lineales.

21. Resuelve por sustitucin:

a) { 2x23y526x2y51 b)x1y

2 52y11

x2y2

512x

a) 2x23y526x2y51 2x23y52y56x21

2x23(6x21)52y56x21

216x5223y56x21116x

5

116

58

y56 2152

b)

x1y5222yx2y5222x x5223y3x2y52

x1y2

52y11

x2y2

512x

{x5223y3(223y)2y52

x5223y4210y50

25

45

x5223 5

2

5

y5

22. Resuelve por reduccin:

a)

x2

y3

531

y3

521x2

b)

x112

y213

501

x1y222

51

a)

x2

y3

531

y3

521x2

x

2

y

3

531

x2

1x52

x

2

y

3

531

43

x5

y592257

43

x5

E21E1

b) Si en el sistema

x112

y213

501

x1y222

51

quitamos denominadores

queda: {3x12y521x1y55 y

{ x521210x1y55 { x52112111y55 {

x5211y516

E123E2

23. Halla el valor de los parmetrosa yb en

52x2ay523

13x1ay5b2

,

para quex52, y53 sea solucin del sistema.

Sustituyamos en el sistema las soluciones:

523a523

13a5b

83

a5

23

228

b582 523

2

24. Aade a la ecuacin 6x22y523 otra ecuacin, de formaque resulte un sistema:

a) Determinado. b) Indeterminado. c) Incompatible.




26/16826

a) Para que el sistema sea determinado aadimos una ecua-cin que tenga coeficientes no proporcionales a los de ladada, por ejemplo,x1y50

b) En este caso la segunda ecuacin es proporcional a la pri-mera: 2x22/3y521c) La segunda ecuacin debe decir algo contradictorio con la

primera: 6x22y51

25. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

x1y1z51

x2y1z5212x13y24z59

Lo resolvemos por el mtodo de Gauss.x1y1z51

x2y1z521

2x13y24z59

x1y1z51

22y522

y26z57E222E1

E32E1

x112151 x51

y51126z57 z521

La solucin es:x51;y51;z51.

26. Resuelve los sistemas:

a)2x2y1z53

4x12y23z511x12y1z51

b)

z2

2x24y1

2y2z511

51x2

2z53

a) En el sistema

2x2y1z53

4x12y23z511x12y1z51

ponemos en primer lugar la

segunda ecuacin yx12y1z51

26y27z575y1z521E222E1

E424E1

x12y1z51

229z5295y1z521

6E215E3

y el sistema escalonado nos da las soluciones:x52

z521y50

b) En el sistema

z2

2x24y1

2y2z511

51

x2

2z53

multiplicamos la segunda

ecuacin por 2 y la cambiamos por la primera quedando:

x22z56

2y2z511

z2

51 2x24y1

x22z56

2y2z511

92z5211 24y1E222E1

x22z56

z511

92z5211 24y12E32E2

9

2

z5

15420

7710

y5 5

22

5

x5745

27. Dos nmeros se diferencian en 53 unidades. Al dividir elmayor entre el menor, se obtiene de cociente 2 y resto 21.Calcula cada nmero.



Sea el nmero mayor e y el menor. Se cumple:x2y553x52y121

x585;y532

28. Se mezclan dos tipos de pipas de girasol, de 6,6 y 8,7euros/kg, respectivamente, obtenindose 200 kgs. Al se-carse, pierden un 12% de su peso, vendindose el conjun-to a 9,6 euros/kg. Qu cantidad de cada clase de pipasse tena en un principio si el valor de la venta ha sido elmismo?

Seanxeylos kilos originarios de cada tipo de pipas.Nos dicen quex1y5200.Adems, al perderse un 12% 50,12 de peso, nos quedar 0,88por cada kilogramo, en total 200 ?0,885176 kilos.El valor de esas pipas es: 176 ?9,651689,6 .

El valor inicial era 6,6x18,7y.Como son iguales: 6,6x18,7y51689,6.Se obtiene el sistema siguiente, que resolveremos porsustitucin:x1y52006,6x18,7y51689,6

y52002x6,6x18,7y51689,6

y52002x6,6x18,7(2002x)51689,6

y52002x6,6x28,751689,621740

y52002x22,1x5250,4

y52002x

x5 524

50,42,1

Se mezclaron, entonces, 24 kg de un tipo ey52002245176

kilos del otro tipo de pipas.

29. Halla las dimensiones de un rectngulo sabiendo que el

lado mayor es 53

del menor y que si ste aumenta en 2 m la

relacin se convierte en 32.

Seaxel lado mayor eyel menor. Se verifica:

x553

y en sus dimensiones originales y al aumentar el peque-

o en 2 m se cumple que: 32

x5 (y12).

Estas relaciones forman el sistema

x5 y32

5

3

x5 (y12),

cuya solucin es:x530 m,y518 m.

30. Un cicloturista recorre 87 km en 4,5 h. La primera partede la ruta es cuesta arriba y su velocidad es de 15 km/h,mientras que la segunda parte es descendente y su veloci-dad se eleva a 42 km/h. Halla la longitud de cada tramo.

Si denominamos porxlos km del tramo ascendente eylos deltramo descendente. La relacin de la cinemtica: espacio5velocidad ? tiempo, (e5vt) nos proporciona las relaciones:x515 ? t,y542 ? (t24,5), pues 4,5 h es el tiempo empleadoen todo el recorrido.Adems, el total de kilmetros establece quex1y587, luegose tiene el sistema:


27/16827

54,52y42

x15

x1y587

x515?ty542?(4,52t)x1y587

14x15y5945x1y587

La solucin que proporciona esx51703

km ey5 913

km

31. Discute, segn los diferentes valores dea, el sistema: x

3 562

y5

1

y2

51ax2

El sistema es incompatible si 5 521/3 1/5

21/26

1

5

6aa

y por tanto determinado sia diferente de 5/6. Nunca serindeterminado.

32. Dado el sistema12

2x1

3x1by52

y5a

, hallaa yb para que el siste-

ma sea determinado, indeterminado e incompatible.

El sistema es incompatible cuando213

1/2b

a2

5 que ocurre si

b523/2 ya22/3Determinado es sib23/2, cualquiera que sea el valor dea.

33. La suma de las tres cifras de un nmero es 8. Si se cambianla cifra de las decenas por la de centenas, el nmero resul-tante es 90 unidades mayor. Adems, la diferencia entrela c ifra de unidades y el doble de la de decenas nos da lacifra de las centenas. Halla el nmero.

Sea el nmeroxyz, cuyo valor ser: 100x110y1z. En estascondiciones, pondremos las relaciones entre sus cifras:x1y1z58,z22y5x.Respecto al valor del nmero, las condiciones del enunciadonos dan: 100y110x1z5100x110y1z190. Estas ecuacio-nes forman el sistema:

x1y1z58z22y5x100y110x1z5100x110y1z190

x1y1z58x12y2z5090x290y5290

x1y1z58x12y2z50x2y521

que podemos resolver escalonadamente,

resultando:

x1y1z58x2y5215x55

, es decirx51,y52,z55.

El nmero es 125.

34. Una empresa ha invertido 73000 en la compra de orde-nadores porttiles de tres clasesA,B yC, cuyos costes porunidad son de 2400 , 1200 y 1000 respectivamente.Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y quela cantidad invertida en los de tipoA ha sido la misma quela invertida en los de tipoB, averiguar cuntos aparatos hacomprado de cada clase.

Supongamos que el nmero de ordenadores que se compran delas clasesA,B yCsonx,y,z respectivamente.

Cantidad invertida: 2400x11200y11000z573000 12x16y15z5365N de ordenadores:x1y1z555

Relacin entre cantidades: 2400x51200y 2x5y. As te-nemos el sistema:

12x16y15z5365x1y1z555 y52x

(sustituyendo y5 2x)

48x110z5730 E1210E23x1z555

18x51803x1z555

x510,y520,z525

35. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculadosun total de 350 alumnos. El nmero de matriculados enprimer curso coincide con los de segundo ms el doble de

los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo msel doble de los de primero superan en 250 al quntuplode los de tercero. Calcula el nmero de alumnos que haymatriculados en cada curso.

Si el nmero de alumnos de 1, 2 y 3 sonx,y,z, respectiva-mente, se tiene:

x1y1z5350

2x1y55z1250x5y12z

x1y1z5350

2x1y25z5250x2y22z50

x1y1z5350

2y27z52450

22y23z52350

E322E1

E22E1

z550,y5100,z5200,

x1y1z5350

11z55502y13z5350

2E31E2

36. En la fabricacin de cierta marca de chocolate se emplealeche, cacao y almendras, siendo la proporcin de lechedoble que la de cacao y almendras juntas. Los prec iosde cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 ;cacao, 4 ; almendras, 13 . En un da se fabrican 9000kilos de ese chocolate, con un coste total de 25800 .Cuntos kg se utilizan de cada ingrediente?

Seanx,y,z los kilos de leche, cacao y almendras, respectiva-mente, que se emplean cada da.Debe cumplirse:

x1y1z59000x52(y1z)

0,8x14y113z525800Queda el sistema:

x1y1z59000

0,8x14y113z525800x22y22z50

E212E1E324E1

x1y1z59000

23,2x19z52102003x518000

Despejandoxen la segunda ecuacin y sustituyendo en la ter-cera y en la primera ecuacin, se obtiene:x56000; y52000;




28/16828



z51000. Se ut ilizan 6000 kg de leche, 2000 kg de cacao y1000 kg de almendras.

Tipo V. Sistemas no lineales.

37. Resuelve el sistema

xy5

y5x2y representa grficamente

las soluciones.

Lo resolvemos por igualacin:

xy5

y5x2 x5x2x x5 4

x42x50 x(x321)50 x50,x51Parax50,y50; parax51,y51. O sea, los puntos solucinson (0, 0) y (1, 1).

38. Resuelve los sistemas:

a)

y1x6

56

5

xy56

b)2x213y2511xy52

c) y2x5x21

x21y252

d) x2y54

x22y2524

a)y1x

656

5

xy56

x1y55

6x

y5

6x

x5

55 x225x1650,

con solucionesx53 yx52, lo que inducey52 ey53,respectivamente.

b)2x213y2511xy52

, despejamos y52/x en la 2 ecuacin y

sustituimos en la 1: 2x2112

112x 5 2x4211x2112 5 0,

ecuacin bicuadrada que nos proporciona las 4 soluciones,

x562 yx56 3/2 y sus correspondientes dey561 ey564/ 3 .

c)y2x5x21x21y252

x214x21124x52y52x21x21(2x21)252

5x224x2150 nos dax51 yx521/5 como soluciones, induciendo los

valores dey51 ey527/5

d) {x2y54x22y2524 x541y(41y)22y2524

desarrollando la segunda ecuacin obtenemos,1618y524y51 x55

39. Las longitudes de la altura y la base de un rectngulo cuyarea mide 20 cm2 son dos nmeros enteros consecutivos.Cunto mide la altura?

Llamemosxyx11 las longitudes de los lados del rectngulo,por ello:x(x11)520 x2 1x22050 x54 como nicasolucin aceptable.

40. Encuentra las dimensiones de un rectngulo de permetro110 m y rea 700 m2.

Designemos porx ey las longitudes de los lados, entoncespuede plantearse el sistema:

2x12y5110xy5700 x1y555xy5700 despejamos y en la 1 ecua-

cin y sustituimos en la 2:x(552x)5700 x2255x170050 x535,x520 que inducen los valores dey520 ey535.


Estas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 10 mi-nutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.

1. Encuentra tres soluciones de la ecuacin2x15y510 yhaz una representacin grfica de la misma.

x55y210 tres pares de valores solucin pueden ser:y52,x50;y51,x525;y53,x55.

2. Son equivalentes los sistemasx53y2x

212

5

y y2153

2x5y22

?

No, ya quex53, y54 es solucin del primer sistema y no loes del segundo.

3. Aade una ecuacin al sistema x1y50y521

de modo que re-

sulte incompatible.

Por ejemplo, una ecuacin contradictoria con la primera:x1y55

4. Resuelve el sistema {x22y521y1152x

x22y521

y1152x

2y2152y21y50,x521x52y212y215x5. Encuentra grficamente la solucin del sistema

x5211yx1y51

La solucin puede verse esx50 ey51

Fig. 4.1.

y

x1

1

221

xy5

y5x2

(1, 1)

(0, 0)

Fig. 4.2.

22 21

x

y

1

2

3

1 2

x51 2y x1y5 1


29/16829



6. Resuelve la ecuacin (x12)(3x21)50.

(x12)(3x21)50 3x2 15x2250 x522,x51/3

7. Halla las soluciones vlidas dex31x2

x2 50.

x31x2

x2 50 x3 1x2 5x2(x11)50 x521 (x50 o puede

admitirse).

8. Resuelve la ecuacin x2

5x.

x2

5x x5 2x x54x2 x(4x21)50 x50 y

x5 1/4 son las soluciones, ambas vlidas.

9. Razona si los sistemas

x212

512y

2x2y51

y

x212

512y

2x2y51

y53x21

son

equivalentes sabiendo quex5y51 es solucin del primero.

No, ya que la tercera ecuacin del segundo sistema no es satis-fecha porx5y51

10. Un padre t iene 36 aos y su hija 6. Dentro de cuntosaos la edad del padre ser triple que la de la hija?

Si esto ocurrir dentro dexaos, las edades respectivas se-rn: 361xy 61x;y la relacin entre ellas, el triple: 361x53(61x).La solucin de esta ecuacin esx59 aos.


30/16830

a) Comox2245(x22)(x12) podemos formar la tabla:2` 22 21 2 `

x12 2 1 1 1

x11 2 2 1 1

x22 2 2 2 1

(x22)(x12)x11

2 1 2 1

Donde vemos la solucin [22,21)21 ( x21)2 >(21)2 x21 >1x>2; peropara que exista la razx21> 0 x> 1, as que la so-lucin ser: [1,`)>[2,`)5 [1,`)

b) ,1 2x12

3

( 2x12)2 , 3 2x12,9 x,72

9222

5 ;

de nuevo, para que exista el numerador 2x12 > 0

x>21. As pues, la solucin global es [21,`)>(2 , 7/2)5 [21, 7/2)

8. Halla la solucin grfica del sistema2x2y. 15x110y< 30

{ 2x2y. 15x110y< 30 {2x2y. 1x12y< 6

Actividades

1. Un vendedor de libros tiene un contrato con una editorial,por el cual percibe 300 euros de sueldo fijo ms 90 eurospor enciclopedia que venda. Recibe una oferta de trabajode otra editorial, por la que le ofrecen 140 euros por cadaventa, pero sin remuneracin fija. Cuntas enciclopediasdebe vender para que le convenga, econmicamente, cam-biar de editorial?

Sixes el nmero de enciclopedias vendidas, para la primeraeditorial cobra: 300190 ?xy para la segunda, 140?x. Si que-remos que300 190x,140xesta condicin se cumple six.

300

14029056

2. Halla el conjunto de soluciones del sistema2x13,552x,7

2x13,552x,7

52752,x

22,x,1523

2x, 51

3. Halla la solucin de las inecuaciones: a)x2 22x23,0; b)2x2 12x22


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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 05


Tipo I. Inecuaciones de primer grado.

1. Resuelve las inecuaciones: a) 3x, 0 b)x

5>21

c) x

223

25

c) x> 2/3 d) 2x

212

, x2

.22x.24

2. Halla el intervalo solucin de las inecuaciones:

a) x3

x2

25x


32/16832


Inecuaciones y sistemas de inecuaciones05

c) La parbola y5(x11)(x23)5x2 22x23 interseca al eje deabscisas en los puntosx521 yx53. La Figura nos muestrala solucin:

9. Se dispone de un terreno en forma de tringulo rectnguloen el que un cateto tiene triple longitud que el otro. Apartir de qu largura del lado menor la superficie del te-rreno es superior a 37,5 m2?

Seaxla longitud del cateto menor y entonces 3xser la del

mayor. El rea del tringulo es A5 12

3x2

2x?3x5 que ha de su-

perar los 37,5 m2. Luego3x2

2 . 37,5 3x2 . 75x2 . 25x2 2 25. 0

(x15)(x25). 0. Inecuacin que por el cuadro queconstruimos

2` 25 5 1`

x15 2 1 1x2 6 2 2 1(x15)? (x25) 1 2 1

nos proporciona como nica solucin admisible los valoresdel intervalo (5,`) pues en otro caso, tendramos longitudesnegativas.

10. Halla los valores que pueden tener las longitudes de loslados de un rectngulo si su permetro ha de ser menorque 20 metros y su rea igual a 9 m2.

Se ha de cumplir que el permetro 2x12y,20 y el reax?y59 y59/x. As, sustituyendo en la inecuacin:2x12 ?9/x,20 x19/x,10 x2 19210x,0 (x29)(x21),0, que se resuelve

2` 1 9 1`x21 2 1 1x2 9 2 2 1(x21)? (x29) 1 2 1

Comoxhade cumplir 1,x,9, la variable y vara 9. y .1 puessu producto es constante igual a 9.

Tipo III. Otras inecuaciones.

11. Resuelve: a) x3,21 b) x318>0 c) 1

x3,1

Son inmediatas.a) x3,21 x,1b) x318>0 x3>28 x>22c) Parax,0, siempre se cumple.

Parax.0, 1x3

,1 1,x3 x, 1.

La solucin es:x(2`,0)(0,1)

12. Halla el conjunto solucin de: a) x41x2.3 b)x42x20

a) x41x2 . 0 x2(x211) . 0, que se cumple para todox,menos parax50.

b)x42x2 < 0 x2(x221) < 0 x221< 0 1 1d) (x11)3(x22) > 0. Marcamos en la rectax51 yx52:

La solucin esx(2`,21][2, 1`)

13. Resuelve: a)x428x21160c) x423x212,0d) x412x32x214x26.0

En todos los casos se descompone en factores; hay que obser-var que las tres primeras expresiones son bicuadradas.a)x428x21160

x(2`,21][1, 1`)c)x423x212,0 (x221)(x222),0 x(2 2,21][1, 1 2)d)x4 12x3 2x2 14x26.0 (x21)(x13)(x212).0 x(2`,23][1, 1`)

14. Halla la solucin de:

a) 23x22


33/16833



2` 1/2 3 1`

32x 1 1 2x2 1/2 2 1 1

32x2(x21/2)

2 1 2

Y la solucin es (2 , 1/2)0 x


34/16834



20. Halla en el plano la solucin de:

a)x22y2

c)x24y3

>0

a) La grfica de la rectax22y521 es la mostrada en lagrfica y el rea coloreada es la solucin:

b) Dibujamos la rectax2

1y52 y el rea por encima de el la es

la solucin de la inecuacin planteada:

c) x24y3

>0x24y>0 y representamos la recta

x24y50, estando por debajo de ella la solucin:

21. Resuelve grficamente las inecuaciones:

a) y2

x123

2 0; sien-doxeynmeros naturales.

Tipo V. Sistemas de inecuaciones linealescon una o dos incgnitas

25. Halla la solucin:

a)x2

>21

x

x.5

c)x2

11>x21

x.0

a)x2

>21

x


35/16835



b)x23

23

>

x.5

x.5xx21

x.0

x2

7/2

que no puede verificarse, luego conjunto solucin

b) x> 2

2x23. 5

x. 4 (4,`)x> 2x. 8/254

c)

x21 0

c) 1 re-

sultax32

23

1x

2. Resuelve y representa en la recta real la solucin de lainecuacin 122x,x11

122x,x11 0,3x 0,x

Fig. 5.18.

y

x1 2

1

3

23

4 5

Fig. 5.19.

y

x1 22122

1

3

23

22

23

4

Fig. 5.20.

y

x1 2

1

21

22

3

Fig. 5.21.

y

x1 221222324

1

3 4

23

45


36/16836



3. Halla la solucin dex2 24,0

x2 24,0 (x12)(x22),0 que se verifica six,22 o bienx.2

4. Resuelve 12x.2.

1x.4x,23

5. Tiene solucin la inecuacin (x11)2 ,0? Razona tu res-puesta.

No puesto que (x11)2 es positivo para cualquierx.

6. Por qu las soluciones de las inecuaciones x11x211

>1 y

x11>0 son idnticas?

Porque el denominadorx2 11 siempre es positivo y eso hace que

la solucin dex11x211

>1 slo dependa del numerador.

7. La grfica de la parbolay5 2x2 1x12 es la mostradaen la figura adjunta. A partir de ella indica las solucionesde:

a)2x2 1x12,0 b) 2x2 1x12>0

a) La expresin se verifica en los intervalos abiertos (2 ,21)11

si se incluye la recta.

10. Resuelve y di los intervalos que contienen la solucin dex11>1.

x11>1 se verifica si x11>1 o bienx110 obienx


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Como no importa el orden se tr

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Solucionario Matemáticas 1º bachillerato McGrawHill