Solucionario Meyer Problemas Cap 11

8/10/2019 Solucionario Meyer Problemas Cap 11

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Livro: Probabilidade - Aplicaes EstatsticaPaul L. Meyer

Capitulo 11Aplicaes Teoria da Confiabilidade.

Problemas

1.

Suponha que

, a durao at falhar de uma pea, seja normalmente distribuda com

horas e devio-padro horas. Quantas horas de operao devero serconsideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de ?

2. Suponha que a durao da vida deum dispositivo eletrnico seja exponencialmente

distribuda. Sabe-se que a confiabilidade desse dispositivo (para um perodo de 100 horas

de operao) de . Quantas horas de operao devem ser levadas em conta paraconseguir-se uma confiabilidade de ?

3. Suponha que a durao da vida de um dispositivo tenha uma taxa de falhas constante

para

e uma diferente taxa de falhas constante

para

. Obtenha a fdp de

, a durao at falhar, e esboce o seu grfico.


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4. Suponha que a taxa de falhas seja dada por

(Isto significa que nenhuma falha ocorre antes que .)

a. Estabelea a fdp associada a , a durao at falhar.

b.

Calcule

.


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5.

Suponha que a lei de falhas de um componente tenha a seguinte fdp:

a. Para quais valores dee , essa expresso uma fdp?

b. Obtenha a expresso da funo de confiabilidade e da funo de risco.

c. Verifique que a funo de risco decrescente com . 6. Suponha que a lei de falhas de um componente seja uma combinao linear de leis de

falhas exponenciais. Quer dizer, a fdp da durao at falhar dada por

a.

Para quais valores de a expresso acima uma fdp?

b.

Obtenha uma expresso para a funo de confiabilidade e a funo de risco.


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c.

Obtenha a expresso da durao at falhar esperada.

d. Responda (b) e (c), quando para todo.

7. Cada uma das seis vlvulas de um radiorreceptor tem uma durao de vida (em anos) que

pode ser considerada como uma varivel aleatria. Suponha que essas vlvulas funcionem

independentemente uma da outra. Qual ser a probabilidade de que nenhuma vlvula

tenha de ser substituda, durante os dois primeiros meses de servio se:a.

A fdp da durao at falhar for ?


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b. A fdp da durao at falhar for ?

8.

Demostre o Teor. 11.4.

9. A durao da vida de um satlite uma varivel aleatria exponencialmente distribuda,

com durao da vida esperada igual a 1,5 anos. Se trs desses satlites forem lanados

simultaneamente, qual ser a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham aestar em rbita depois de 2 anos?


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10.

Trs componentes, que funcionem independentemente, so ligados em um sistema nico,

como est indicado na Fig. 11.9. Suponha que a confiabilidade de cada um dos

componentes, para um perodo de operao de

horas, seja dada por

.

Se

for a durao at falhar do sistema completo (em horas), qual ser a fdp de

? Qual ser

a confiabilidade do sistema? Como ela se compara com ?Para que o sistema funcione deve funcionar e tambm ou , ou seja.

11.Suponha que componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados emsrie. Admita que a durao at falhar, de cada componente, seja normalmente

distribuda, com expectncia de 50 horas e desvio-padro 5 horas.

a. Se , qual ser a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionardepois de 52 horas de operao?


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b. Se componentes forem instalados em paralelo, qual dever ser o valor de ,para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja

aproximadamente igual a ?

12. (Extrado de Derman & Klein, Probability and Statistical Inference, Oxford University Press,

New York, 1959.) A durao da vida , em meses, de uma dada vlvula eletrnicaempregada em aparelhos de radar, foi verificada ser exponencialmente distribuda com

parmetro . Ao executar seu programa de manuteno preventiva, uma companhiaquer decidir quantos meses depois de sua instalao, cada vlvula dever sersubstituda, para tornar mnimo o custo esperado por vlvula. O custo por vlvula (em

dlares) ser denotado por . O mais curto perodo utilizvel de tempo decorrido entre ainstalao e a substituio e do ms. Sujeito a essa restrio, qual o valor de quetorna mnimo , o custo esperado, em cada uma das seguintes situaes, onde o custo a mencionada funo de e ?

a.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

m

1

2

3

4

E C


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b.

c.

[Em cada caso, esboce o grfico de

, como funo de

.]

Comentrio: Evidentemente, uma varivel aleatria, porque uma funo de , a qual uma varivel aleatria. uma funo de , o problema apenas pede para determinaraquele valor de que torne mnimo o valor esperado , sujeito restrio de que .13.

Suponha que a taxa de falhas, associada com a durao da vida de uma pea, seja dadapela seguinte funo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

2.0

2.5

3.0

E C


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Comentrio: Isto representa outra generalizao da distribuio exponencial. A expresso

acima se reduz taxa de falhas constantes (e, por isso, distribuio exponencial) se .a. Estabelea a fdp de , a durao at falhar.

Equao 11.2

b. Estabelea a expresso da confiabilidade e esboce seu grfico.


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14.

Suponha que cada um de trs dispositivos eletrnicos tenha uma lei de falhas dada por

uma distribuio exponencial, com parmetros , respectivamente. Suponha queesses trs dispositivos funcionem independentemente e estejam ligados em paralelo para

formarem um nico sistema.

a.

Estabelea a expresso de , a confiabilidade do sistema.Teorema 11.7

b.

Estabelea a expresso da fdp de , a durao at falhar do sistema. Esboce ogrfico da fdp.


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c. Calcule a durao at falhar esperada do sistema.

15.

a. Suponha que componentes sejam ligados em srie. A seguir, dessas conexesem srie so ligadas em paralelo para formar um sistema completo. (Veja a Fig.

11.10.) Se todos os componentes tiverem a mesma confiabilidade, , para umdado perodo de operao, determine a expresso da confiabilidade do sistemacompleto (para o mesmo perodo de operao).

Teorema 11.5

Teorema 11.7

t

R t


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b. Suponha que cada um dos componentes acima obedea a uma lei de falhas

exponencial, com taxa de falhas . Suponha, tambm, que o tempo deoperao seja 10 horas e que . Determine o valor de , de maneira que aconfiabilidade do sistema completo seja igual a .

16.Suponha que componentes sejam ligado em paralelo. Em seguida, dessas conexes emparalelo so ligadas em srie, formando um nico sistema. (Veja a Fig. 11.11.) Responda a

(a) e (b) do Probl. 11.15, para esta situao.

a.

Teorema 11.7

Teorema 11.5

b.

17.

Suponha que componentes, todos com a mesma taxa de falhas constante , sejamligados em paralelo. Estabelea a expresso da durao at falha esperada, do sistemaresultante.


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18.

a. O sistema de propulso de uma aeronave constituda de trs motores. Suponha

que a taxa de falhas constante de cada motor seja e que cada motorfalhe independentemente dos demais. Os motores so montados em paralelo.

Qual ser a confiabilidade deste sistema de propulso, para uma misso que exija

horas, quando ao menos dois motores devem sobreviver?

b. Responda questo acima, para uma misso que exija 100 horas; 1000 horas.

(Este problema est sugerido por uma explanao includa em I. Bazovsky,

Reliability Theory and Practice, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1961.)

19.Considere os componentes ligados de maneira indicada nas Figs. 11.12 (a) e

(b). (O componente C pode ser considerado como uma defesa, quando ambas e deixarem de funcionar.) Represente as confiabilidades dos componentes isoladamente por (e admitindo que os componentes funcionem independentementeum do outro), obtenha a expresso da confiabilidade do sistema completo, em cada uma

dessas situaes.

[Sugesto: No segundo caso, Fig. 11.12(b), empregue relaes de probabilidade condicionada.]


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a.

b.


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20.

Admitido que todos os componentes includos no Probl. 11.19 tenham a mesma taxa de

falhas constante , estabelea a expresso da confiabilidade do sistema apresentadona Fig. 11.12(b). Determine, tambm, a durao at falhar mdia, desse sistema.

21.O componentetem confiabilidade , quando utilizado para dada finalidade. Ocomponente

, que pode ser utilizado em lugar do componente

, tem confiabilidade de

somente . Qual ser o nmero mnimo de componente do tipo , que se ter de ligarem paralelo, de maneira a atingir a mesma confiabilidade que tem o componentesozinho.

22.

Suponha que dois componentes que funcionem isoladamente, cada um deles com a

mesma taxa de falhas constante, sejam ligados em paralelo. Sendo

a durao at falhar

do sistema resultante, estabelea a fgm de . Determine, tambm, e ,empregando a fgm.

23.Toda vez que consideramos um sistema composto por vrios componentes, admitimos

sempre que os componentes funcionassem independentemente um do outro. Essa

suposio simplificou consideravelmente nossos clculos. No entanto, ela poder no ser

sempre uma hiptese realista. Em muitas situaes, sabe-se que o desempenho de um

componente pode influenciar o desempenho de outros. Este , em geral, um problema

muito difcil de se abordar, e examinaremos aqui, apenas um caso particular. Suponha-se,

especificamente, que dois componentes e sempre falhem juntos. Quer dizer, falhar se, e somente se,

falhar. Verifique que, neste caso,

.


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24.

Considere quatro componentes ligados da maneira indicada na Fig. 11.13.Suponha que os componentes funcionem independentemente um do outro, com exceode e que falham juntamente, como foi explicado no Probl. 11.23. Se , a duraoat falhar do componente , for exponencialmente distribuda com parmetro ,obtenha a confiabilidade do sistema completo. Obtenha tambm a fdp de , adurao at falhar do sistema.

25.Considere o mesmo sistema apresentado no Probl. 11.24, exceto que agora os

componentes e falham conjuntamente. Responda s perguntas do Probl. 11.24.

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