Soluções de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

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Text of Soluções de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

  • Universidade Federal de Campina Grande

    Centro de Cincias e Tecnologia

    Unidade Acadmica de Matemtica e Estatstica

    Curso de Graduao em Matemtica

    Solues de Sistemas de EquaesDiferenciais Lineares

    por

    Michel Barros Silva

    sob orientao do

    Prof. Dr. Severino Horcio da Silva

    Campina Grande - PB

    Novembro de 2011

  • Universidade Federal de Campina Grande

    Centro de Cincias e Tecnologia

    Unidade Acadmica de Matemtica e Estatstica

    Curso de Graduao em Matemtica

    Michel Barros Silva

    Solues de Sistemas de EquaesDiferenciais Lineares

    Trabalho apresentado ao Curso de Graduao em Ma-

    temtica da Universidade Federal de Campina Grande

    como requisito parcial para a obteno do ttulo de Ba-

    charel em Matemtica.

    Orientado por Severino Horcio da Silva

    Campina Grande - PB

    Curso de Matemtica, modalidade Bacherelado

  • Solues de Sistemas de EquaesDiferenciais Lineares

    por

    Michel Barros Silva

    Trabalho de Concluso de Curso defendido e aprovado em: 23/11/2011 pela

    Comisso Examinadora constituda pelos professores:

    Prof. Dr. Severino Horcio da Silva

    Orientador

    UAME/CCT/UFCG

    Prof. Alnnio Barbosa Nbrega

    Examinador

    UAME/CCT/UFCG

    Com nota igual a

    Campina Grande - PB

    Novembro/2011

  • Dedicatria

    Aos meus pais, Diogo e Joana, e

    aos meus irmos Diego e Wagner.

    iv

  • Agradecimentos

    Inicialmente agradeo aos meus pais, Diogo e Joana. Ao meu pai por todo co-

    nhecimento e sabedoria, a minha me por todo carinho e cuidado, e a ambos por toda

    dedicao, ateno e amor. Um lho no poderia desejar pais melhores.

    Aos meus irmos, Diego e Wagner. A Diego por sempre me fazer ir, no impor-

    tando com que humor eu esteja e a Wagner por seu cuidado comigo desde pequeno.

    Aos meus amigos: Keytt, Magna, Jamilly, Jonas e Jogli.

    A Fabrcio e Aline, os meus amigos desde o primeiro perodo, com quem muito

    estudei e me diverti.

    A Raquel, Dbora e Maria, grandes amigas que eu conheci no curso.

    A Lorena com quem eu partilhei os ltimos perodos na Universidade, por ter me

    ajudado tirando dvidas, resolvendo exerccios, compartilhando almoos e caminhadas

    para o CX.

    Ao professor Daniel Cordeiro, pelas as suas orientaes em demonstraes mate-

    mtica e por sempre exigir o melhor de seus alunos.

    Ao professor Severino Horcio, meu orientador, por sua orientao, estmulo,

    pacincia e f nesses ltimos perodos que me deram nimo para sempre fazer mais e

    nunca desistir.

    v

  • Resumo

    Neste trabalho usamos exponenciais de matrizes para encontrar solues de sis-

    temas de equaes diferenciais lineares com coecientes constantes e estudamos alguns

    problemas Hamiltonianos como o modelo de oscilao de uma mola e a interao gra-

    vitacional de dois corpos.

    vi

  • Abstract

    This Work we used exponential of matrices to nd solution of systems of linear

    dierential equations with constant coecients and we study some Hamiltonian pro-

    blems like oscillation model of a spring and the gravitational interaction of two bodies

    vii

  • Sumrio

    1 Preliminares 4

    1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Exponencial de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares 21

    2.1 Teorema de Existncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.3 Soluo de Sistema de Equaes Diferenciais Atravs de Exponencial de

    Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 Sistemas Hamiltonianos 40

    3.1 Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.1.1 Colchete de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.1.2 O Oscilador Harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.1.3 Oscilador Forado No-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.4 Sistema Newtoniano Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.1.5 Problema de N corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.1.6 O Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    A Conceitos e Resultados da lgebra Linear 50

    A.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    A.2 Diagonalizao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    A.3 Autovalores e Autovetores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    A.4 Forma Cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    1

  • Introduo

    O estudo das equaes diferenciais comeou com os mtodos do Clculo Diferen-

    cial e Integral, descobertos por Newton e Leibntiz, para resolver problemas motivados

    por consideraes fsicas e geomtricas. Estes mtodos, na sua evoluo, conduzi-

    ram gradualmente consolidao das Equaes Diferenciais como um novo ramo da

    Matemtica, que em meados do sculo XVIII se transformou numa das disciplina ma-

    temticas mais importantes e o mtodo mais efetivo para a pesquisa cientca. As

    contribuies de matemticos ilustres como Euler, Lagrange e Laplace expandiram

    notavelmente o conhecimento das equaes diferenciais no Clculo das Variaes, na

    Mecnica Celeste e na Dinmica dos Fluidos, (veja [9]).

    Inicialmente, procurava-se expressar as solues em termos de funes elementa-

    res. Posteriormente, passou-se a considerar satisfatrio expressar a soluo na forma de

    uma integral (quadratura). Entretanto, logo se vericou que o nmero de equaes que

    podiam ser resolvidas em termos de funes elementares era muito pequeno. No sculo

    XIX os fundamentos da Anlise Matemtica experimentaram uma reviso e reformula-

    o geral visando maior rigor e exatido, comeando a pr em dvida certos mtodos de

    resolues de equaes. Passou-se a considerar como questo prvia em cada problema

    a existncia e unicidade de solues satisfazendo dados iniciais. A importncia dessa

    considerao reside em que, sabendo-se a priori da existncia da soluo, sua busca se

    torna justicvel e promissora, uma vez que a soluo assim obtida pode ser vericada

    a posteriori, (veja [9] e [2]).

    Nesse trabalho apresentamos alguns resultados da teoria das Equaes Diferenci-

    ais Ordinrias, com enfoque no estudo de solues de sistemas de equaes diferenciais

    lineares com coecientes constantes, bem como alguns exemplos e aplicaes desta

    teoria. Esse texto est organizado como segue: no Captulo 1 apresentamos alguns

    conceitos e resultados preliminares que sero utilizados nos captulos posteriores. No

    2

  • 3

    Captulo 2, demonstramos o Teorema de Existncia e Unicidade de Soluo e traba-

    lhamos com sistemas de equaes diferenciais lineares com coecientes constante. Para

    isso, utizamos o conceito de exponencial de matrizes. No Captulo 3 fazemos uma

    introduo ao estudo dos sistemas lineares Hamiltonianos. Finalmente, no Apndice,

    apresentamos alguns conceitos e resultados bsicos da lgebra Linear.

  • Captulo 1

    Preliminares

    Neste captulo, apresentamos alguns conceitos e resultados necessrios para de-

    monstrarmos o Teorema de Existncia e Unicidade de soluo para o problema de valor

    inicial, proposto em [9], e para resolvermos sistemas de equaes diferenciais lineares

    com coecientes constantes.

    1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach

    Uma mtrica num conjunto X uma funo d : XX R, que associa a cada

    par ordenado de elementos x, y X um nmero real d(x, y), chamado a distncia de

    x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condies para quaisquer x, y, z X:

    d1) d(x, x) = 0;

    d2) Se x 6= y, ento d(x, y) > 0;

    d3) d(x, y) = d(y, x);

    d4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

    Denio 1.1.1. Um espao mtrico um par (X, d), onde X um conjunto e d

    uma mtrica em X.

    Exemplo 1.1.1. Seja X um espao vetorial munido de uma norma | |. Ento

    d : X X R, d(x, y) = |x y|

    4

  • CAPTULO 1. PRELIMINARES 5

    uma mtrica sobre X, a qual chamada de mtrica induzida pela norma | |. Defato, dados x, y, z X, temos

    d(x, x) = |x x| = 0.

    Se x 6= y, entod(x, y) = |x y| > 0.

    Temos ainda

    d(x, y) = |x y| = |y x| = d(y, x).

    Finalmente, observe que, pela desigualdade triangular,

    d(x, z) = |x z| |x y|+ |y z|= d(x, y) + d(y, z).

    Assim

    d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

    Portanto d uma mtrica de X.

    Exemplo 1.1.2. Seja Bb a bola de Rn de centro na origem e raio b e I = [a, b] R.Considere X =C (I, Bb) o espao das funes contnuas : I Bb. Dena d :X X R por,

    d(1, 2) = suptI|1(t) 2(t)|.

    Note que d dene uma mtrica em X. De fato, dados 1, 2, 3 X, temos

    d(1, 1) = suptI|1(t) 1(t)| = 0.

    Se 1 6= 2, entod(1, 2) = sup

    tI|1(t) 2(t)| > 0.

    Temos ainda

    d(1, 2) = suptI|1(t) 2(t)|

    = suptI|2(t) 1(t)|

    = d(2, 1).

    Finalmente, observe que, pela desigualdade triangular, para todo t I

    |1(t) 3(t)| |1(t) 2(t)|+ |2(t) 3(t)|,

  • CAPTULO 1. PRELIMINARES 6

    donde, calculando o supremo, obtemos

    suptI|1(t) 3(t)| sup

    tI(|1(t) 2(t)|+ |2(t) 3(t)|)

    suptI|1(t) 2(t)|+ sup

    tI|2(t) 3(t)|.

    Assim

    d(1, 3) d(1, 2) + d(2, 3).

    Portanto d uma mtrica em X.

    Denio 1.1.2. Um ponto xo de uma aplicao f : X X um ponto x Mtal que f(x) = x.

    Exemplo 1.1.3.