Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev€¦ · RESUMO DE ARAÚJO, E. L. Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev. 2016.98 f. Tese (Doutorado

Soluções de equilíbrio de EDPs usando base deChebyshev

Edward Luís de Araújo

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________


Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev

Tese apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Doutor em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Marcio Fuzeto Gameiro

USP – São CarlosDezembro de 2016

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Araújo, Edward Luís deA658s Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de

Chebyshev / Edward Luís de Araújo; orientador MarcioFuzeto Gameiro. – São Carlos – SP, 2016.

98 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação, Universidade de São Paulo, 2016.

1. EDPs. 2. Chebyshev. 3. Equilíbrio.4. Alen-Cahn. 5. Swift-Hohenberg. I. Gameiro, MarcioFuzeto, orient. II. Título.


Equilibrium solutions for PDEs using Chebyshev basis

Doctoral dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Doctorate Program in Mathematics.FINAL VERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Marcio Fuzeto Gameiro

USP – São CarlosDecember 2016

Este trabalho é dedicado à memória dos meus avós,

Edward Vieira de Araújo e

Terezinha Rodrigues de Araújo.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho só foi possível graças ao estímulo, incentivo e colaboração de algumaspessoas a quem devo algumas palavras de reconhecimento, seja pela atuação direta ou indiretanesta etapa ou nas anteriores que permitiram que eu chegasse até aqui.

Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado saúde, sabedoria, paciência e forçapara não desistir mesmo diante de tantas dificuldades. A todos os santos que não cessaram deinterceder por mim, durante esse doutorado foram tantas novenas que eu até perdi a conta.

Aos professores Dr. Waldemar Donizete Bastos, Dr. Jaime Angulo Pava e Dra. SueliIrene Costa pelas cartas de recomendação e ao ICMC/USP por ter me aceito como aluno desteprograma.

À FACIP/UFU por ter permitido o meu afastamento para ingressar no doutorado eespecialmente aos professores do curso de matemática desta unidade que mesmo na ausência deprofessores substitutos, como no primeiro semestre de 2014, mantiveram o meu afastamento. Àsecretária Roberta Lisboa por sempre ter me ajudado com as questões técnicas do afastamento eda bolsa prodoutoral. Ela sempre esteve mais atenta aos prazos do que eu mesmo.

Ao Prof. Dr. Marcio Fuzeto Gameiro, pela orientação, pelas sugestões, pela escolhado tema, pela confiança e sobretudo pela enorme paciência que sempre teve comigo, nem euteria tanta assim, a sua contribuição neste trabalho vai literalmente da capa até as referênciasbibliográficas.

A todos os meus professores desta e das etapas anteriores que contribuiram para o meuaprendizado e serviram de exemplos para mim. Agradeço especialmente à Prof. Dra Denisede Mattos a quem eu considero a melhor professora do mundo por ter tornado o conteúdo deTopologia Algébrica acessível e atraente, graças as suas explicações extremamente claras edetalhadas. Eu achei nunca aprenderia esse conteúdo direito.

Ao meu pai e comandante Jorge Luíz de Araújo, por sempre ter feito o possível para queprosseguisse nos estudos. Sempre acreditou no papel transformador da educação e não ficouapenas na crença, se empenhou para fazer o melhor que podia para mim neste sentido. Foi meuprimeiro professor, quem me ensinou os valores e princípios que eu sigo até hoje. A minha tiaAna Maria Rodrigues de Araújo por também ter tido um papel importante na minha educaçãoe pela paciência de ouvir as minhas reclamações do doutorado pelo telefone. Aos meus avósEdward Vieira de Araújo e Terezinha Rodrigues de Araújo por também terem contribuído naminha formação.

À Capes pelo apoio financeiro através da Bolsa Prodoutoral. Ao amigo Fernando AkiraKurokawa por ter colhido pessoalmente com urgência a assinatura com o pró-reitor de pesquisaem São Paulo, sem a qual eu não teria conseguido a bolsa.

Aos companheiros de doutorado, Giuliano Angelo Zugliani por ter sido o meu “monitor”na disciplina de EDP principalmente, mas também em Análise Funcional 2, ao Rafael Borro pelacontribuição num trabalho de EDP, a Jaqueline Ferreira pelos estudos em EDO. Ao MatheusCheque Bortolan pelos sábios conselhos no início do doutorado e por ter contribuido direta ouindiretamente com tantas listas de exercícios.

Aos companheiros de sala de estudo Carlos Henrique Tognon, Andrea de Jesus Sacra-mento, Juliana Theodoro de Lima, Henry José Gullo Mercado e Fausto Lira, pessoas com quemcompartilhei tantos momentos de alegria e também os de dificuldade.

Aos integrantes do grupo de pesquisa Camila Leão Cardozo, Mário Prado e VictorNolasco pelas críticas e sugestões.

Aos amigos Germano Abud de Rezende pela contribuição com os erros do latex e peloincentivo mesmo à distância e a Francineide Lopes de Araújo por ter várias vezes emprestadolivros da biblioteca para mim quando eu estava suspenso e também pelo apoio.

RESUMO

DE ARAÚJO, E. L. Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev. 2016. 98f. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

Este trabalho apresenta um método numérico rigoroso para encontrar soluções de equilíbriopara equações diferenciais parciais usando base de Chebyshev. Aplicações do método sãoapresentadas para a equação de Alen-Cahn e Swift-Hohenberg.

Palavras-chave: EDPs, Chebyshev, Equilíbrio, Alen-Cahn, Swift-Hohenberg.

ABSTRACT

DE ARAÚJO, E. L. Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev. 2016. 98f. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

This work presents a rigorous numerical method to find equilibrium solutions to partial dif-ferential equations using Chebyshev basis. Applications are presented to the Alen-Cahn andSwift-Hohenberg equations.

Key-words: PDEs, Chebyshev, Equilibria, Alen-Cahn, Swift-Hohenberg.

SUMÁRIO

1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1 Métodos Espectrais e Polinômios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . 191.2 Matriz Quase Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.1 Matriz Quase Inversa de Ordem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.2 Matriz Quase Inversa de Ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3 Matriz Quase Inversa de Ordem 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3 Produto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Continuação Rigororosa Para Equilíbrio de EDPs . . . . . . . . . . . 29

2 SOLUÇÕES DE EQUÍLIBRIO PARA EQUAÇÕES UNIDIMENSIO-NAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Continuação Rigorosa e Polinômios Radiais . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Problema de Dirichlet Para a Equação de Alen-Cahn . . . . . . . . . 392.2.1 Cálculo de Yk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 Cálculo de Zk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Problema de Valor de Fronteira Para a Equação de Swift-Hohenberg 542.3.1 Cálculo de Yk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2 Cálculo de Zk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 SOLUÇÕES DE EQUÍLIBRIO PARA EQUAÇÕES BIDIMENSIONAIS 713.1 Problema de Dirichlet Para a Equação de Alen-Cahn . . . . . . . . . 713.1.1 Cálculo de Yk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.1.2 Cálculo de Zk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

APÊNDICE A ESTIMATIVAS ANALÍTICAS . . . . . . . . . . . . . . 95A.1 Estimativa Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Refinamento Para o Caso k ∈ FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Estimativa Uniforme Para o Caso k /∈ FM . . . . . . . . . . . . . . . . 98

15

INTRODUÇÃO

Neste trabalho pretendemos estender o método da continuação rigorosa para encontrarsoluções de equilíbrio de equações diferencais parciais (EDPs) dependedentes de um parâmetro,utilizando séries de Chebyshev. O método da continuação rigorosa foi introduzido em (GA-MEIRO; LESSARD, 2010) no contexto de séries de Fourier para calcular curvas de soluções deequilíbrio de EDPs dependente de um único parâmetro, tal método se baseia em duas noçõesfundamentais o famoso algoritmo previsor-corretor (KELLER, 1987) e a noção dos polinômiosradiais. A ideia central do método é combinar as aproximações numéricas obtidas a partir doalgoritmo previsor corretor com cálculos rigorosos feitos no computador usando aritméticade intervalo e estimativas analíticas, esse método numérico rigoroso verifica através da noçãodos polinômios radiais que a solução de equilíbrio calculada numericamente para o sistema dedimensão finita via projeção de Galerkin pode ser usada para definir explicitamente um conjuntoque contém uma única solução no sentido do rigor matemático para o problema original emdimensão infinita. O método tem uma parte teórica que é a verificação do clássico Teorema doPonto Fixo de Banach e uma parte computacional, onde o computador é utilizado tanto paraobter as aproximações numéricas do algoritmo previsor-corretor, como também para verificar ashipóteses do Teorema através das desigualdades via polinômios radias, apenas na verificaçãodas desigualdades é utilizada a aritmética de intervalo. Assim, os resultados obtidos são provasmatemáticas completamente rigorosas realizadas com o auxílio do computador. Nas últimasdécadas diversas provas assistidas por computador foram apresentadas para provar existênciade soluções de EDPs não lineares, veja por exemplo ((BREUER; MCKENNA; PLUM, 2003),(DAY et al., 2005), (DAY; LESSARD; MISCHAIKOW, 2007), (MAIER-PAAPE et al., 2008),(NAKAO; HASHIMOTO; KOBAYASHI, 2007), (ZGLICZYNSKI; MISCHAIKOW, 2001)).Estas provas são baseados em argumentos topológicos locais como o fato do Índice de Conleynuma pequena vizinhança isolante da solução ser não nulo ou em um argumento de aplicaçãocontração, ambos dependem do fato que a parte linear da EDP governa ao menos localmenteo comportamento do sistema e surgiram para responder o quão suficientemente precisa é umasolução aproximada da solução original do problema.

A abordagem dos polinômios radiais que é crucial no método da continuação rigorosa foiintroduzida em (DAY; LESSARD; MISCHAIKOW, 2007) no contexto do método semirrigorosoda continuação validada, que foi melhorado em (GAMEIRO; LESSARD; MISCHAIKOW,2008) para encontrar equilíbrios de EDPs definidas em domínios espaciais unidimensionaisdependentes de um parâmetro, em (GAMEIRO; LESSARD, 2010) utilizou tal abordagem paraestedender as ideias do método para o contexto da rigorosidade e para encontrar equilíbrios

16 SUMÁRIO

de EDPs em domínios de dimensão superior. Desde o surgimento desta abordagem váriostrabalhos tem sido publicados utilizando os polinômios radiais não apenas no contexto deencontrar equilíbrios de EDPs, mas também para encontrar, por exemplo, soluções periódicasde equações diferenciais ordinárias (EDOs), órbitas de conexão de EDOs, a forma normal deFloquet de uma matriz fundamental de solução de uma equação diferencial linear não autônoma,solução periódica de equações diferencias com retardo (EDRs), solução periódica no tempo de(EDPs). Em (GAMEIRO; LESSARD; PUGLIESE, 2016) é apresentado um método numéricorigoroso construtivo para calcular variedades suaves definidas implicitamente por operadoresnão-lineares de dimensão infinita. Calcula-se uma triangulação simplicial de uma variedadeusando um método de continuação multi-parâmetro em uma projeção de dimensão finita. Atriangulação é então utilizado para construir mapas locais e um atlas da variedade no domíniode dimensão infinita do operador. A idéia por trás da construção dos mapas suaves é usar ospolinômios radiais para verificar as hipóteses do princípio contração uniforme ao longo de umsimplexo. No artigo (BREDEN; LESSARD; JAMES, 2016) é desenvolvido um procedimentopara calcular expansões polinomiais de alta ordem de variedades instáveis local para equilíbriosde equações diferenciais, em (CASTELLI; LESSARD; JAMES, 2015) um método para calcularrigorosamente a decomposição da forma normal de Floquet da matriz fundamental de soluçãode um sistema de EDOs lineares com coeficientes periódicos é apresentado, em (BERG et al.,2015) é desenvolvido um método computacional rigoroso para encontrar soluções heteroclínicasde um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem, em (LESSARD; JAMES;REINHARDT, 2014) é introduzido um método para provar a existência de órbitas de conexãosela-a-sela entre equilíbrios de campos vetoriais de primeira ordem, além disso, obtêm-seinformações precisas sobre a localização e transversalidade das órbitas, em (KISS; LESSARD,2012) é apresentado um método para provar a existência de soluções periódicas de equaçõesdiferenciais com retardo com várias defasagens de tempo.

Um método computacional rigoroso vai além do padrão de uma análise teórica a poste-riori de cálculos numéricos. O campo do rigor numérico visa o desenvolvimento de teoremasmatemáticos formulados de tal forma que as hipóteses podem ser rigorosamente verificadasem um computador. A abordagem requer uma configuração a priori, que permite que a análiseteórica e os cálculos numéricos trabalhem juntos: a escolha do espaço funcional, a escolha dasfunções da base, a projeção Galerkin, as estimativas analíticas, e os parâmetros computacionaisdevem todos trabalhar lado a lado para limitar os erros devido a aproximação, o arredondamentoe truncamento, e isso deve ser suficientemente bem feito para que o teorema seja provado e umagenuína prova assistida pelo computador obtida.

O nosso método consiste basicamente de quatro etapas. A primeira é utilizar a ideiado método espectral, ou seja, expandir a solução do problema utilizando a base de Chebyshev,substituir a expansão na EDP e definir uma função f : X −→W entre espaços de Banach de modoque as soluções do problema original correspondam as soluções de f (x) = 0. A segunda etapaconsiste em encontrar uma solução aproximada x para o problema f (x) = 0. Na terceira etapa

SUMÁRIO 17

definimos um operador do tipo Newton T : X −→ X tal que as soluções de f (x) = 0 estejam emcorrespondência com os pontos fixos de T , ou seja, T (x) = x. Na quarta e última etapa usar ospolinômios radiais que serão definidos no Capítulo 2 para encontrar uma bola fechada B centradaem x tal que T : B −→ B seja uma contração.

Na segunda etapa do nosso método, para calcular uma aproximação da solução def (x) = 0 de uma projeção finita de f fizemos uma adapatação do método eficiente utilizado em(LIU; YE; WANG, 2011), para encontrar solução numérica de EDPs lineares utilizando séries deChebyshev e a técnica quase inversa apresentada em (JULIEN; WATSON, 2009), multiplicamosos dois lados de f (x) = 0 pela matriz quase inversa, para condicionar o problema.

No contexto do campo de rigor numérico, métodos similares usando séries de Fourier sãoamplamente utilizados para calcular soluções de equações diferenciais que requerem soluçõesperiódicas, como soluções de equações diferenciais periódicas no tempo ((BAKER; DELLNITZ;JUNGE, 2005),(BERG; LESSARD, 2008)), soluções estacionárias de equações diferenciaisparciais com periodicidade ou condições de fronteira de Neumann ((GAMEIRO; LESSARD,2010), (NAKAO; HASHIMOTO; KOBAYASHI, 2007), (ZGLICZYNSKI; MISCHAIKOW,2001), (MAIER-PAAPE et al., 2008)), soluções periódicas no tempo de equações diferenciais deretardo ((LESSARD, 2010),(ZALEWSKI, 2009)) e conjuntos invariantes de dimensão infinita(DAY; JUNGE; MISCHAIKOW, 2004). As séries de Chebyshev já foram utilizadas para obterprovas rigorosas assistidas por computador de existência de órbitas de conexão em ((LESSARD;REINHARDT, 2014), (BERG et al., 2015), (GAMEIRO; LESSARD; RICAUD, 2016)), desoluções de problemas de valor de fronteira (CORREC; LESSARD, 2015), de soluções deproblema de valor inicial em (LESSARD; REINHARDT, 2014).

O nosso objetivo neste trabalho é calcular rigorosamente soluções de equilíbrio de EDPsunidimensionais e bidimensionais não lineares, com não linearidade polinomial usando séries deChebyshev. É importante observar que o caso unidimensional resulta no problema de encontrarsoluções de uma EDO e em (LESSARD; REINHARDT, 2014) foi apresentado um métodorigoroso para calcular soluções de EDOs não lineares usando séries de Chebyshev e consequente-mente os problemas de valor inicial e problemas de valor de fronteira associados a estas EDOs, noentanto a abordagem dos métodos são diferentes no seguinte aspecto, enquanto nós trabalhamosdiretamente com a equação diferencial, considerando a expansão da solução e das suas derivadasde qualquer ordem em séries de Chebyshev para obter o problema equivalente da forma f (x) = 0em (LESSARD; REINHARDT, 2014) eles consideram a equação integral associada, para obtero problema equivalente. Se por um lado num primeiro momento o nosso método possa parecerum pouco mais complicado porque a expansão das derivadas da solução usando Chebyshev nãosão tão imediatas como no caso de Fourier e no método de (LESSARD; REINHARDT, 2014)que considera o problema integral esta dificuldade no contexto de Chebyshev não é considerada,o nosso método é mais vatajoso porque podemos considerar problemas de valor de fronteira comcondições de fronteira mais gerais, como a condição de Robin em (LIU; YE; WANG, 2011)

18 SUMÁRIO

(que não é um método numérico rigoroso), enquanto no método de (LESSARD; REINHARDT,2014) isso não é possível, além disso no nosso método não necessitamos tranformar EDOs deordem superior num sistema de EDOs de primeira ordem como é feito no método de (LESSARD;REINHARDT, 2014), o que aumenta naturalmente o custo computacional.

Este trabalho é organizado da seguinte forma. No Capítulo 1 apresentamos os conceitosbásicos para o entendimento dos demais capítulos, falamos sobre métodos espectrais, polinômiosde Chebyshev, matriz quase inversa, produto de Kronecker e continuação rigorosa para equilíbriosde EDPs. No Capítulo 2 tratamos de soluções de equilíbrio para equações unidimensionais, noinício do capítulo detalhamos o método da continuação rigorosa e os polinômios radiais com asdevidas adaptações para o nosso problema e depois aplicamos o nosso método inédito para asequações de Alen-Cahn e Swift-Hohemberg. No Capítulo 3 tratamos das soluções de equilíbriopara problemas bidimensionais e aplicamos o método para a equação de Alen-Canh 2d. Paracompletude do trabalho apresentamos as estimativas analíticas no Apêndice A e no Capítulo 4discutimos os resultados obtidos.

19

CAPÍTULO

1PRELIMINARES

Neste capítulo apresentaremos a teoria básica necessária para o desenvolvimento doscapítulos posteriores deste trabalho. Algumas demonstrações serão omitidas, mas indicaremosprecisamente onde encontrá-las. Comecemos com o importante método espectral utilizado paraencontrar soluções de equações diferenciais.

1.1 Métodos Espectrais e Polinômios de ChebyshevNesta seção apresentaremos a ideia básica dos métodos espectrais para a resolução de

equações diferenciais e equações integrais em geral e dedicaremos especial atenção ao métodoespectral associado aos polinômios de Chebyshev que foi utilizado neste trabalho.

A ideia básica dos métodos espectrais é assumir que uma função desconhecida u = u(x)

pode ser aproximada por uma série truncada de funções bases {ψk(x)}, ou seja,

u(x)≈ um(x) =m

∑k=0

akψk(x), (1.1)

quando esta série é substituída numa equação da forma

L(u) = g(x), (1.2)

onde L denota o operador diferencial ou integral, o resultado é chamado de função residual comoem (BOYD, 2001) e é definido por

R(x;a0,a1, . . . ,am) := L(um)−g. (1.3)

Naturalmente a função residual é identicamente nula para a solução exata de (1.2) e o grandedesafio do método é escolher a série de coeficientes {ak(x)} ou equivalentemente as funções bases{ψk(x)} tais que a função residual seja minimizada. Os métodos espectral e pseudoespectraldiferem principalmente em relação as estratégias de minimização. A escolha adequada das

20 Capítulo 1. Preliminares

funções bases depende da geometria do problema, como domínio da função u, condição inicialou condições de fronteira associadas à equação (1.2).

Geralmente as condições inicial e de fronteira não são a maior complicação para méto-dos espectrais. Se as condições de fronteira pedem uma solução espacialmente periódica porexemplo, então os coeficientes de Fourier são a escolha natural para os coeficientes {ak(x)} econsequntemente a série de Fourier minimiza a função residual, pois as funções bases são todasperiódicas e satisfazem as condições de fronteira individualmente e automaticamente.

Para problemas não periódicos, objeto de estudo no nosso trabalho, os polinômios deChebyshev são a escolha natural para funções bases, eles não satisfazem condições de fronteiraapropriadas, mas é fácil adicionar restrições explícitas tal como

m

∑k=0

akψk(1) = α (1.4)

para as equações algébricas obtidas da minimização da função residual residual de modo que arestrição u(1) = α seja satisfeita pela solução aproximada.

Observamos que em 1.1 consideramos uma função de uma variável real, mas a ideia dométodo espectral se estende de modo natural para funções de duas ou mais variáveis. No restanteda seção definiremos e veremos as principais propriedades dos polinômios de Chebyshev.

Definição 1. Os polinômios de Chebyshev são definidos para m ∈ N por

Tm(x) = cos(marccos(x)), (1.5)

onde x = cos(θ), com θ ∈ [0,π] e x ∈ [−1,1].

Assim, os polinômios de Chebyshev nada mais são do que funções cosseno depois de umamudança de variável independente. Esta propriedade justifica o seu emprego na aproximação deproblemas de valor de fronteira não periódicos. Além disso, a tranformação x = cos(θ) permiteadaptar facilmente muitos resultados relativos a teoria de Fourier aos polinômios de Chebyshev.

A próxima proposição lista as propriedades mais imediatas relativas aos polinômios deChebyshev.

Proposição 1. Os polinômios de Chebyshev satisfazem as seguintes propriedades

(i) Tm(±1) = (±1)m;

(ii) |Tm(x)| ≤ 1, para −1 ≤ x ≤ 1;

(iii) T ′m(x) =

msen(mθ)

sen(θ);

(iv) |T ′m(x)| ≤ m2, para −1 ≤ x ≤ 1;

1.1. Métodos Espectrais e Polinômios de Chebyshev 21

(v) T ′m(±1) = (±1)m+1m2.

Demonstração. Consulte (CANUTO et al., 2007).

No que segue mostraremos como é a expansão de uma função desconhecida e de suasderivadas usando polinômios de Chebyshev. Começamos observando que os polinômios deChebyshev satisfazem a importante relação de ortogonalidade

⟨Tm(x),Tn(x)⟩ω=∫ 1

−1Tm(x)Tn(x)ω(x)dx =

cmπ

2δmn, (1.6)

onde δmn = 1 se m = n e δmn = 0 caso contrário, ω(x) =1√

1− x2é uma função peso e

cm =

{2, se m = 0,1, se m ≥ 1.

(1.7)

que é análoga à relação de ortogonalidade satisfeita pela base de Fourier.

A expansão de Chebyshev de uma função u ∈ L2ω([−1,1]), que é o clássico espaço

L2([−1,1]) com o peso ω é dado por

u(x) =∞

∑m=0

umTm(x), (1.8)

ondeum =

2πcm

∫ 1

−1u(x)Tm(x)ω(x)dx, (1.9)

ω(x) =1√

1− x2e cm é definido em (1.7).

O segredo para obter a expansão de Chebyshev da derivada primeira de u é a seguinterelação trigonométrica

2sen(θ)cos(mθ) = sen((m+1)θ)− sen((m−1)θ), (1.10)

que associada ao item (iii) da Proposição 1 produz

2Tm(x) =T ′

m+1(x)m+1

−T ′

m−1(x)m+1

, ∀m > 1. (1.11)

O seguinte lema mostra a expressão da derivada do polinômio de Chebyshev em termosda base de Chebyshev.

Lema 1. Sejam m ∈N e Tm(x) = cos(marccos(x)) um polinômio de Chebyshev para x ∈ [−1,1],então

T ′m(x) = 2m

m−1

∑k=0

1ck

Tk(x).

(k+m) ímpar (1.12)


Demonstração. Utilizando a relação (1.11) para m > 1, consideremos os seguintes casos(i) Se m é ímpar, temos

m−1

∑k=0

1ck

Tk(x) =1c0

T0(x)+T2(x)+T4(x)+T6(x)+ · · ·+Tm−1(x)

(k+m) ímpar

=1c0

T0(x)+12

[T ′

3(x)3

−T ′

1(x)1

]+ · · ·+ 1

2

[T ′

m(x)m

−T ′

m−2(x)m−2

]

=12

T0(x)−12

T ′1(x)+

T ′m(x)2m

=T ′

m(x)2m

,

(1.13)pois T0(x) = 1 e T1(x) = x.(ii) Se m é par, temos

m−1

∑k=0

1ck

Tk(x) =1c1

T1(x)+T3(x)+T5(x)+T7(x)+ · · ·+Tm−1(x)

(k+m) ímpar

= T1(x)+12

[T ′

4(x)4

−T ′

2(x)2

]+ · · ·+ 1

2

[T ′

m(x)m

−T ′

m−2(x)m−2

]

= T1(x)−14

T ′2(x)+

T ′m(x)2m

=T ′

m(x)2m

,

(1.14)

pois T1(x) = x e T2(x) = 2x2 −1.

De (1.13) e (1.14) segue o resultado.

Proposição 2. Seja u ∈ L2ω([−1,1]) então a expansão de Chebyshev da sua derivada é dada por

u′(x) =∞

∑m=0

u(1)m Tm(x), (1.15)

onde

u(1)m =2

cm

∞

∑p=m+1

pup.

(p+m) ímpar (1.16)

Demonstração. Derivando (1.8) e utilizando o Lema 1, obtemos

u′(x) =∞

∑m=0

umT ′m(x) =

∞

∑m=0

um

[2m

m−1

∑p=0

1cp

Tp(x)

](p+m) ímpar

=∞

∑m=0

[2

cm

∞

∑p=m+1

pup

]Tm(x),

(p+m) ímpar (1.17)

donde segue o resultado.

O procedimento utilizado na demonstração acima foi utilizado para obter os coeficien-tes de Chebyshev das derivadas de ordem superior. Nos próximos corolários explicitamos oscoeficientes de Chebyshev até a derivada de quarta ordem que foi utlizado neste trabalho.

1.1. Métodos Espectrais e Polinômios de Chebyshev 23

Corolário 1. Seja u ∈ L2ω([−1,1]) então a expansão de Chebyshev da sua derivada segunda é

dada por

u′′(x) =∞

∑m=0

u(2)m Tm(x), (1.18)

onde

u(2)m =1

cm

∞

∑p=m+2

p(p2 −m2)up.

(p+m) par (1.19)

Demonstração. Segue do Lema 1 e da Proposição 2.

Corolário 2. Seja u ∈ L2ω([−1,1]) então a expansão de Chebyshev da sua derivada terceira é

dada por

u′′′(x) =∞

∑m=0

u(3)m Tm(x), (1.20)

onde

u(3)m =1

cm

∞

∑p=m+3

p

[(m2

2− p2

2

)2

−(

m2

2+

p2

2− 1

4

)]up.

(p+m) ímpar (1.21)


Corolário 3. Seja u ∈ L2ω([−1,1]) então a expansão de Chebyshev da sua derivada quarta é dada

por

u(4)(x) =∞

∑m=0

u(4)m Tm(x), (1.22)

onde

u(4)m =1

cm

∞

∑p=m+4

p[(p3 −4p)2

24− (m3 −4m)2

24+

m2 p2

8(m2 − p2)

]up.

(p+m) par (1.23)


Outra maneira de obter os coeficientes de Chebyshev da expansão das derivadas é atravésda relação de recorrência de três termos. De (1.11), obtemos para o caso da derivada de primeiraordem

2mum = cm−1u(1)m−1 − u(1)m+1, ∀m ≥ 1, (1.24)

fazendo a mudança de variáveis k = m−1 em (1.24) e reescrevendo em função de m, obtemos

cmu(1)m = 2(m+1)um+1 + u(1)m+2, ∀m ≥ 0, (1.25)

o que produz (1.16). A generalização de (1.24) que pode ser encontrada em (CANUTO et al.,2006)

cmu(q)m = 2(m+1)u(q−1)m+1 + u(q)m+2, ∀m ≥ 0. (1.26)


Definição 2. A matriz diferencial de ordem p denotada por Dpx ou simplesmente por Dp no caso

unidimensional é a matriz tal queu(p) = Dp

x * u, (1.27)

onde u(p) = (u(p)0 , · · · , u(p)

m−1)t é o vetor dos coeficientes de Chebyshev da derivada de ordem p e

u = (u0, · · · , um−1)t é o vetor dos coeficientes de Chebyshev de uma expansão truncada de uma

função u de comprimento m.

Tudo o que foi dito sobre método espectral para uma função de uma variável podeser estendido de maneira natural para funções de duas ou mais variáveis reais. No caso defunções de duas variáveis, por exemplo, podemos considerar a base formada pelo produto dospolinômios de Chebyshev, ou seja, {Tm(x) ·Tn(y)}, tal base, também satisfaz a seguinte relaçãode ortogonalidade

⟨Tm1(x)Tn1(y),Tm2(x)Tn2(y)⟩ω=

∫ 1

−1

∫ 1

−1Tm1(x)Tn1(y)Tm2(x)Tn2(y)

1√1− x2

1√1− y2

dxdy

=cm1π

2δm1m2

cn1π

2δn1n2,

(1.28)onde δmn = 1 se m = n e δmn = 0 caso contrário.

A expansão de Chebyshev de uma função u ∈ L2ω([−1,1]× [−1,1]) é

u(x,y) =∞

∑m=0

∞

∑n=0

u(m,n)Tm(x)Tn(y), (1.29)

ondeum =

2πcm

2πcn

∫ 1

−1

∫ 1

−1u(x)Tm(x)Tn(y)ω(x)ω(y)dxdy, (1.30)

ω(x) =1√

1− x2, ω(y) =

1√1− y2

são funções pesos e cm foi definido em (1.7). No que segue

apresentamos para exemplificar e fixar a notação a expansão de Chebyshev de duas derivadasparciais de segunda ordem de uma função duas variáveis que pode ser encontrada em (DANG-VU; DELCARTE, 1993)

uxx(x,y) =∞

∑m=0

∞

∑n=0

u(2)x(m,n)Tm(x)Tn(y), (1.31)

onde

u(2)x(m,n) =

1cm

∞

∑p=m+2

p(p2 −m2)u(p,n)

(p+m) par (1.32)

euyy(x,y) =

∞

∑m=0

∞

∑n=0

u(2)y(m,n)Tm(x)Tn(y), (1.33)

onde

u(2)y(m,n) =

1cn

∞

∑q=n+2

q(q2 −n2)u(m,q).

(q+n) par (1.34)

1.2. Matriz Quase Inversa 25

1.2 Matriz Quase Inversa

Nesta seção definiremos e apresentaremos as principais propriedades da matriz quase-inversa. A aplicação desta técnica foi decisiva no nosso trabalho na etapa de encontrar umaaproximação numérica para uma solução de uma EDP descrita no método dos polinômios radiais.A matriz de diferenciação associada aos coeficientes de Chebyshev são mal condicionadas, oque dificulta a convergência do método de Newton.

Definição 3. A matriz D−px de ordem p é chamada de matriz quase inversa associada à matriz

diferencial Dpx na direção espacial x, se D−p

x *Dpx = I(p)

x e Dpx *D−p

x = I(−p)x , onde * denota o

produto usual de matrizes, I(p)x denota a matriz identidade com as p primeiras linhas nulas e

I(−p)x denota a matrz identidade com as p últimas linhas nulas.

O índice x da matriz quase inversa será omitido quando estivermos nos referindo ao casounidimensional, além disso enfatizamos os seguintes fatos em relação a definição 3.

Observação 1. Seja D−px a matriz quase inversa associada à matriz diferencial Dp

x , então:

(i) D−px não é a inversa da matriz Dp

x no sentido usual porque Dpx é uma matriz singular;

(ii) Uma condição necessária para a definição da quase inversa é que a matriz D−px tenha as p

primeiras linhas e as p últimas colunas nulas.

A próxima proposição lista as principais propriedades da matriz quase inversa.

Proposição 3. A estrutura dos polinômios da base de Chebyshev é traduzida naturalmente para arepresentação quase inversa de tal modo que existe uma estrutura bem definida entre operadoresde diferentes ordens, ou seja,

(i) D2x = D1

x *D1x ;

(ii) D−px = I(p)

x * (D−1x )

p * I(−p)x ;

(iii) D−px *Dq

x ≡ I(p)x *D−p+q

x .

Demonstração. Consulte (JULIEN; WATSON, 2009).

No que segue explicitaremos as expressões dos elementos não nulos das matrizes quaseinversa de ordem um, dois e quatro que serão utilizadas no nosso trabalho. Observe que parapropósitos meramente numéricos poderíamos simplemente utilizar o item (ii) da Proposição 3.


1.2.1 Matriz Quase Inversa de Ordem 1

Dividindo ambos os lados de (1.24) por m, obtemos

um =cm−1

2mu(1)m−1 −

12m

u(1)m+1 ∀m ≥ 1 (1.35)

e considerando u(1) = (u(1)0 , · · · , u(1)M−1)t o vetor dos coeficientes de Chebyshev da derivada de

ordem um e u = (u0, · · · , uM−1)t o vetor dos coeficientes de Chebyshev de uma projeção finita

de comprimento M, temos a seguinte relação matricial

u = D−1x * u(1), (1.36)

que é a relação inversa de (1.27) da Definição 2 para o caso p = 1 e motiva a seguinte definição.

Definição 4. A matriz quase inversa D−1 = (di, j) é uma matriz tridiagonal dada pordm,m−1 =

cm−1

2m,

para 1 ≤ m ≤ M,

dm,m+1 = −em+2

2m,

(1.37)

onde em = 1 para m ≤ M em = 0 para m > M. Os demais elementos da matriz são nulos.


Fazendo a mudança de variáveis k = m+ 2 em (1.26) para q = 2 e reescrevendo emfunção de m, obtemos

cm−2u(2)m−2 − u(2)m = 2(m−1)u(1)m−1, ∀m ≥ 2, (1.38)

e substituindo (1.26) em (1.35), temos

cm−2u(2)m−2 − u(2)m = 2(m−1)[

2mcm−1

um +1

cm−1u(1)m+1

]∀m ≥ 2. (1.39)

Como cm−1 = 1 para m ≥ 2 segue que

cm−2u(2)m−2 − u(2)m −2(m−1)u(1)m+1 = 4m(m−1)um, ∀m ≥ 2. (1.40)

Agora, substituindo (1.26) em (1.40), obtemos

cm−2u(2)m−2 − u(2)m −2(m−1)[

cm

2(m+1)u(2)m − 1

2(m+1)u(2)m+2

]= 4m(m−1)um (1.41)

para todo m ≥ 2. Agrupando os termos semelhantes e dividindo ambos os lados de (1.41) por

cm−2

4m(m−1)u(2)m−2 −

2m(m+1)4m(m−1)

u(2)m +(m−1)

(m+1)4m(m−1)u(2)m+2 = um (1.42)

1.2. Matriz Quase Inversa 27

para todo m ≥ 2 e considerando u(1) = (u(1)0 , · · · , u(1)M−1)t o vetor dos coeficientes de Chebyshev

da derivada de ordem 1 e u = (u0, · · · , uM−1)t o vetor dos coeficientes de Chebyshev de uma

projeção finita de comprimento M, temos a seguinte relação matricial

u = D−2x * u(2), (1.43)

que é a relação inversa de (1.27) da Definição 2 para o caso p = 2 e motiva a seguinte definição.

Definição 5. A matriz quase inversa D−2 = (di, j) é uma matriz pentadiagonal dada por

dm,m−2 =cm−2

4m(m−1),

dm,m = − em+2

2(m2 −1), para 2 ≤ m ≤ M,

dm,m+2 =em+4

4m(m+1),

(1.44)


Observamos que embora a Definicao 5 esteja por exemplo em (DANG-VU; DELCARTE,1993) o entendimento do procedimento descrito nas Subseções 1.2.1 e 1.2.2 é importante paraexplicitar os termos não nulos das matrizes quase-inversa de ordem superior a dois que nãoencotramos na literatura.


Utizando a relação de recorrência de três termos generalizada (1.26) e procedimentoanálogo ao descrito nas subseções 1.2.1 e 1.2.2, obtemos a expressão dos termos não nulos damatriz quase inversa de ordem quatro que é apresentada na próxima definição.

Definição 6. A matriz quase inversa D−4 = (di, j) é uma matriz nonadiagonal dada por

dm,m−4 =cm−4

16(m−3)(m−2)(m−1)m,

dm,m−2 =−1

4(m−3)(m−1)m(m+1)em+2,

dm,m =3

8(m−2)(m−1)(m+1)(m+2)em+4, para 4 ≤ m ≤ M,

dm,m+2 =−1

4(m−1)m(m+1)(m+3)em+6,

dm,m+4 =1

16m(m+1)(m+2)(m+3)em+8,

(1.45)



1.3 Produto de Kronecker

Nesta seção introduziremos o produto de Kronecker de matrizes e apresentaremos assuas principais propriedades que são encontradas em (LAUB, 1948). O produto de Kroneckerde matrizes é utilizado, por exemplo, no método da colocação espectral para discretizar osoperadores diferenciais em problemas multi-dimensionais e constitui uma ferramenta essencialno nosso trabalho.

Definição 7. Sejam A ∈ Rmxn e B ∈ Rpxq matrizes reais. O produto de Kronecker das matrizesA e B indicado por A⊗B é a matriz

A⊗B =

a11B · · · a1nB

... . . . ...am1B · · · amnB

∈ Rmpxnq. (1.46)

A mesma definição continua válida se A e B forem matrizes complexas.

A próxima proposição relaciona o produto usual de matrizes com o produto de Kronecker.

Proposição 4. Sejam A ∈ Rmxn, B ∈ Rrxs, C ∈ Rnxp e D ∈ Rsxt matrizes reais. Então

(A⊗B)(C⊗D) = AC⊗BD ∈ Rmrxpt . (1.47)

Demonstração. Da definição 7 segue que

(A⊗B)(C⊗D) =

a11B · · · a1nB

... . . . ...am1B · · · amnB

c11D · · · c1pD... . . . ...

cn1D · · · cnpD

=

n

∑k=1

a1kck1BD · · ·n

∑k=1

a1kckpBD

... . . . ...n

∑k=1

amkck1BD · · ·n

∑k=1

amkckpBD

= AC⊗BD.

(1.48)

Uma consequência imediata da Proposição 4 é o seguinte corolário.

Corolário 4. Sejam A ∈ Rmxn e B ∈ Rpxq matrizes reais não singulares, então

(A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1. (1.49)

1.4. Continuação Rigororosa Para Equilíbrio de EDPs 29

Demonstração. Da Proposição 4 temos

(A⊗B)(A−1 ⊗B−1) = I ⊗ I = I = I ⊗ I = (A−1 ⊗B−1)(A⊗B),

donde segue o resultado.

A próxima proposição mostra como utlizar o produto de Kronecker para discretizar ooperador diferencial. Consideraremos apenas o operador diferencial de segunda ordem nos casosunidimensional e bidimensional.

Proposição 5. Seja u uma função de classe C2 de uma ou duas variáveis. Se u = (u0, · · · , um−1)t ,

u(1)=(u(1)0 , · · · , u(1)m−1)t e u(2)=(u(2)0 , · · · , u(2)m−1)

t são vetores de projeções finitas dos coeficientesda expansão de Chebyshev de u, ux e uxx no caso unidimensional (1D) e u é o vetor colunaformado pelas linhas da matriz (ui, j)

m−1,n−1i, j=0 dos coeficcientes de Chebyshev de u no caso

bidimensional (2D), então temos as seguintes discretizações na linguagem matricial:

(i) 1D uxx(x)→ D2x * u;

(ii) 2D uxx(x,y)→ (D2x ⊗ Iy)* u;

(iii) 2D uxy(x,y)→ (D1x ⊗D1

y)* u;

(iv) 2D uyy(x,y)→ (Ix ⊗D2y)* u;

onde * denota o produto usual de matrizes.

Demonstração. Segue da Definição 2.

1.4 Continuação Rigororosa Para Equilíbrio de EDPs

Nesta seção apresentaremos a ideia básica do método de continuação rigorosa para obtersoluções de equilíbrio de equações diferenciais. O método é dividido basicamente em quatroetapas.

∙ Primeira Etapa: Determinamos f de modo que ut = 0 ⇔ f (x,λ ) = 0.

Nesta etapa consideramos uma equação diferencial parcial dependente de um parâmetro

ut = E(u,λ ), com λ ∈ R (1.50)

e supomos que E(·,λ ) seja um operador densamente definido em um espaço de Hilbert H,explicitamente dado por

ut = L(u,λ )+q

∑n=2

ξnun, (1.51)


onde λ ∈R é um parâmetro, L = L(·,λ ) : D(L)⊂ H −→ H, ξn = ξn(λ ) são os coeficientesdo polinômio da não linearidade de grau q e H tem uma base ortogonal ψk∈Zd queé independente do parâmetro. Utilizamos o mesmo procedimento descrito no métodoespectral, supomos que

u = ∑k∈Zd

akψk (1.52)

e substituímos u na equação (1.51) obtendo um problema da forma

f (x,λ ) = 0, (1.53)

onde x = {xk}k∈Zd e f : X −→V é um operador não linear entre espaços de Banach. Daíencontrar uma solução de equilíbrio de (1.51) é equivalente a encontrar os coeficientes daexpansão a = {ak}k∈Zd que satisfazem (1.53).

∙ Segunda Etapa: Utilizamos o computador para obter uma soloução aproximada x doproblema (1.53).

∙ Terceira Etapa: Definimos um operador dependente de um parâmetro Tλ : X −→ X demodo que o problema de encontrar uma solução de (1.53) seja equivalente a encontrar umponto fixo do operador Tλ . O operador é definido em torno da aproximação numérica x.

∙ Quarta Etapa: Utilizamos a abordagem dos polinômios radiais para encontrar uma bolaB fechada centrada em x que contenha uma solução exata de (1.53), isto é feito verificandoque o operador T : B −→ B é uma contração e aplicando o Teorema do ponto Fixo deBanach que é equivalente ao Corolário 5 escrito na linguagem dos polinômios radiais. Ashipóteses do Corolário 5 são verificadas utilizando aritmética de intervalo o que garante origor do método.

Um dos métodos mais eficientes para calcular curvas de soluções de uma família defunções contínuas parametrizadas defendentes de um parâmetro como em (1.53) é utilizartécnicas de continuação de caminho. Neste trabalho utilizamos o clássico algoritmo previsor-corretor de (KELLER, 1987). O método é inicializado tomando x0 e λ0 tais que f (x0,λ0)≈ 0,em seguida aplicamos os seguintes passos:

∙ Passo Previsor: Calculamos x0 o vetor tangente à curva f (x,λ ) = 0 no ponto (x0,λ0).Cosideramos λ1 = λ0 +h e x1 = x0 +hx0, onde h é o tamanho do passo.

∙ Passo Corretor: Aplicamos o método de Newton em (x1,λ1) e obtemos (x1,λ1) tal quef (x1,λ1)≈ 0.

Repetimos o procedimento para (x1,λ1). Vale observar que em cada etapa do método previsordiminuímos ou aumentamos o tamanho do passo h de acordo com a ordem de convergência dométodo de Newton no passo corretor, ou seja, se em uma etapa o método de Newton demorar

1.4. Continuação Rigororosa Para Equilíbrio de EDPs 31

a convergir diminuímos o tamnho do passo h e aplicamos Newton novamente. O método decontinuação é ilustrado na seguinte figura, onde S denota a curva de solução de f (x,λ ) = 0.

Previsor

)

||x||

0

Corretor

●

●

●

)

S

Figura 1 – Algoritmo Previsor-Corretor

Em cada etapa do método corretor bem sucedida, calculamos todos os polinômios radiaise checamos a existência de um raio que torne simultaneamente todos os polinômios radiaisnegativos, se tal raio é encontrado otemos uma prova assistida pelo computador de existência eunicidade de solução de equilíbrio para a EDP e prosseguimos o método da continuação, se oraio não é encontrado, inicialmente aumentamos os valores dos parâmetros computacionais daaproximação e aplicamos o método novamente, se o raio é obtido prosseguimos o método, casocontrário encerramos o método.

33

CAPÍTULO

2SOLUÇÕES DE EQUÍLIBRIO PARA

EQUAÇÕES UNIDIMENSIONAIS

Neste capítulo descreveremos o método da continuação rigorosa e dos polinômios radiaisda Seção 1.4 e utilizaremos o método para encontrar soluções de equilíbrio para a equação deAlen-Cahn e Swift-Hohenberg e obter uma prova rigorosa de existência e unicidade locais paracada valor do parâmetro destas equações.

2.1 Continuação Rigorosa e Polinômios Radiais

O método da continuação rigorosa tem dois aspectos essenciais a parte da continuaçãode soluções que é baseada no clássico algoritmo de continuação previsor-corretor (KELLER,1987) e a parte rigorosa da solução que é baseada na noção dos polinômios radiais (GAMEIRO;LESSARD, 2010), cuja construção é a combinação das estimativas analíticas apresentadas noApêndice A com uma versão computacional do Teorema do Ponto Fixo de Banach aplicado emsubconjuntos de X s que é definido por

X s = {x = {xk}k∈Z;xk ∈ R; ||x||s = supk∈Z

{ωsk |xk|}< ∞}, (2.1)

onde s ≥ 1 e

ωsk :=

{1, se k = 0,|k|s, se k = 0,

(2.2)

que consiste das sequências cujas caudas decaem algebricamente de acordo com a taxa s. Paraaplicar o teorema o seguinte lema é fundamental.

Lema 2. O espaço X s = {x= {xk}k∈Z;xk ∈R; ||x||s = supk∈Z

{ωsk |xk|}<∞} é um espaço de Banach.

34 Capítulo 2. Soluções de Equílibrio Para Equações Unidimensionais

Demonstração. Seja `∞ o espaço das sequências limitadas x = {xk}k∈Zd com a norma

||x||∞ = supk∈Zd

|xk|. (2.3)

Como ωsk ≥ 1, nós temos ||x||∞ ≤ ||x||s e consequentemente X s ⊂ `∞, donde concluímos que X s

é um subespaço vetorial. Considerando uma sequência {xn}n∈N em X s, nós definimos uma novasequência {xn}n∈N por

xn := {ωskxn

k}k∈Zd . (2.4)

Do fato de xn ∈ X s implica que xn ∈ `∞. Como {xn}n∈N é uma sequência de Cauchy em X s, dadoε > 0, existe N > 0, tal que para todo m,n ≥ N, nós temos ||xm − xn||s < ε , então

||xm − xn||∞ := supk∈Zd

ωsk |x

mk − xn

k |=: ||xm − xn||s < ε. (2.5)

Logo, {xn}n∈N é uma sequência de Cauchy em `∞, portanto convergente, pois `∞ é um es-paço completo. Seja x ∈ `∞ o limite, ou seja, x := limn→∞ xn, onde o limite é na norma `∞.Considerando x := {xk/ωs

k}k∈Zd , temos ||x||s = ||x||∞ < ∞, e assim x ∈ X s. Além disso,

||xn − x||s := supk∈Zd

ωsk |x

nk − xk|= sup

k∈Zd|xm

k − xnk |=: ||xn − x||∞ −→ 0. (2.6)

Assim, xn → x na norma de X s e segue que X s é completo.

A filosofia do método da continuação rigorosa consiste inicialmente em encontrar umaaproximação numérica para um zero de (1.53), posteriormente utilizar tal aproximação paratransformar (1.53) em um problema de ponto fixo equivalente e finalmente usar o problema deponto fixo para provar a existência e unicidade locais de um equilíbrio em uma vizinhança daaproximação inicialmente obtida. Para obter a aproximação numérica é necessário reduzir oproblema de dimensão infinita (1.53) num problema de dimensão finita. Isto é feito via projeçãode Galerkin.

Dado a = {ak}k∈Z = x = {xk}k∈Z, nós denotamos sua parte finita de tamanho m e suacorrespondente parte infinita de tamanho m respectivamente por

xFm := {xk}k∈Fm e xIm := {xk}k∈Im, (2.7)

onde Fm = {k ∈ Z; |k|< m} e Im = {k ∈ Z; |k| ≥ m}. Uma projeção de Galerkin de f em (1.53)de dimensão m dada por f (m) := { f (m)

k }k∈Fm , onde f (m)k : Rm −→ R é definida por

f (m)k (xFm,λ ) := fk((xFm,0Im),λ )

=p

∑n=0

ζnx(n)k +q

∑n=2

ξn

(∑

k1+···+kn=kxk1 · · ·xkn

)∀k ∈ Fm,

k j∈Fm

(2.8)

2.1. Continuação Rigorosa e Polinômios Radiais 35

onde supomos que a parte linear da equação diferencial tem ordem p e que a igualdade ζn = λ

ou ξn = λ é válida para pelo menos um valor do índice n. Nesta etapa fixamos o valor doparâmetro λ = λ0 e encontramos numericamente o vetor xFm tal que f (m)(xFm,λ0) ≈ 0. Paraencontrar a aproximação numérica utilizamos o método de Newton no Matlab e pelo fato damatriz D f (m)(x0

Fm,λ0) para um chute inicial x0

Fmser mal condicionada adotamos uma adaptação

da estratégia apresentada em (LIU; YE; WANG, 2011) para encontrar solução numérica deEDP’s lineares usando o método espectral de Chebyshev combinado com a técnica quase inversa.Para isso escrevemos (2.8) na forma matricial,

f (m)(aFm ,λ0) =

(p

∑n=0

ζnDn

)*a+

q

∑n=2

ξnan, (2.9)

onde D0 denota a matriz identidade, Dn para n ≥ 1 é a matriz diferencial definida na seção1.1, o símbolo * denota o produto usual de matrizes, a = (a0, . . . ,am−1)

t = (x0, . . . ,xm−1)t ,

an = ((a* · · · *a)0, . . . ,(a* · · · *a)m−1) e

ank = (a* · · · *a︸︷︷︸

n vezes

)k := ∑k1+···+kn=k

ak1 · · ·akn·

k j∈Fm (2.10)

Utilizando a relação

ak :=

uk, se k = 0,

uk

2, se k ≥ 1

(2.11)

e a−k = ak∀k ≥ 1 ainda reescrevemos (2.8) como

f (m)(uFm ,λ0) =

(p

∑n=0

ζnDn

)* u+

q

∑n=2

ξnun, (2.12)

onde u = (u0, . . . , um−1)t , un = (an

0,2an1, . . . ,2an

m−1)t , an = (an

0, . . . ,anm−1)

t . Posteriormente con-sideramos a matriz de transformação S que será explicitada nos problemas das seções 2.2 e2.3 e expressa a relação entre os coeficientes de Chebyshev de uma função e os coeficientes deGalerkin (combinação linear dos coeficientes de Chebyshev)

u = S* u, (2.13)

onde u = (u0, . . . , um−1)t ,u = (u0, . . . , um−(p+1),0, . . . ,0)

t e as últimas p componentes nulas épara que o produto anterior faça sentido já que S é uma matriz de ordem m. Reecrevemos (2.9) econsequentemente (2.8) como segue

f (m)(uFm,λ0) =

(p

∑n=0

ζnDn

)* (S* u)+

q

∑n=2

ξnun. (2.14)


Finalmente multiplicamos ambos os lados de (2.14) pela matriz quase inversa de maior ordem,ou seja,

D−p * f (m)(uFm,λ0) = D−p *

[(p

∑n=0

ζnDn

)* (S* u)+

q

∑n=2

ξnun

](2.15)

e encontramos ¯uFm tal que D−p * f (m)( ¯uFm,λ0) ≈ 0 com maior facilidade haja vista que pelaspropriedades da matriz quase inversa a última função obtida na linguagem matricial é pratica-mente diagonal. Assim, retornando à função original encontramos xFm tal que f (m)(xFm,λ0)≈ 0.Definimos

x := (xFm,0Im) ∈ X s (2.16)

e assumimos que f (x,λ0)≈ 0 e utilizamos x para definir um problema de ponto fixo equivalentepara (1.53). Inicialmente supomos que a matriz Jacobiana D f (m)(xFm,λ0) é não singular e toma-mos a aproximação Am ≈ [D f (m)(xFm ,λ0)]

−1. Definimos o operador A no espaço de sequênciasde modo que ele atue como uma aproximação para a inversa de D f (x,λ0). Para x = {xk}k∈Z, eleé definido componente a componente por

[A(x)]k :=

[Am(xFm)]k, se k ∈ Fm,

ζ−1p [D−px]k, se k ∈ FM −Fm,

0, se k /∈ FM,

(2.17)

onde D−p é a matriz quase inversa de ordem p que corresponde a ordem da maior derivada.Utilizando (2.17) nós definimos

T (x) = Tλ0(x) := x−A f (x,λ0). (2.18)

Nós queremos encontrar um único ponto fixo de T no interior da bola fechada B(x,r) em X s. Abola fechada centrada na origem e raio r é dada por

B(r) := B(0,r) =[− r

ωsk,

rωs

k

]· (2.19)

A bola fechada centrada em x de raio r é

B(x,r) = x+B(r). (2.20)

Para mostrar que T é uma contração nós precisamos das limitações Yk e Zk para todo k ∈ Z, talque

|[T (x)− x]k| ≤ Yk (2.21)

esup

b,c∈B(0,r)|[DT (x+b)c]k| ≤ Zk. (2.22)

O próximo lema pode ser encontrado em (GAMEIRO; LESSARD, 2010) é fundamentalpara o nosso propósito de obter existência e unicidade de equilíbrio e é válido para o caso d

dimensional.

2.1. Continuação Rigorosa e Polinômios Radiais 37

Lema 3. Fixado o valor do parâmetro λ = λ0. Se existir r > 0 tal que

||Y +Z||s < r, (2.23)

onde Y := {Yk}k∈Zd e Z := {Yk}k∈Zd satisfazem (2.21) e (2.22) respectivamente, então existeum único x ∈ B(x,r) tal que f (x,λ0) = 0. Além disso, x está no interior da bola B(x,r).

Demonstração. Dados k ∈ Zd e x,y ∈ B(x,r) temos pelo Teorema do Valor Médio

Tk(x)−Tk(y) = DTk(z)(x− y) (2.24)

para algum z ∈ {tx+(1− t)y; t ∈ [0,1]} ⊂ B(x,r). Logo,

|Tk(x)−Tk(y)|=∣∣∣∣DTk(z)

r(x− y)||x− y||s

∣∣∣∣ 1r||x− y||s ≤

Zk

r||x− y||s (2.25)

e temos|Tk(x)− xk| ≤ |Tk(x)−Tk(x)|+ |Tk(x)− xk| ≤ Yk +Zk. (2.26)

Assim,

||T (x)− x||s = supk∈Zd

{ωsk |Tk(x)− xk|} ≤ sup

k∈Zd{ω

sk |Yk +Zk|}= ||Y +Z||s < r, (2.27)

o que mostra que T (x) ∈ B(x,r) e segue que T : B(x,r)−→ B(x,r). De (2.25), temos

||T (x)−T (y)||s = supk∈Zd

{ωsk |Tk(x)−Tk(y)|} ≤

(||Z||s

r

)||x− y||s (2.28)

e como Yk ≥ 0, segue que ||Z||s ≤ ||Y +Z||s < r. Portanto, a constante de Lipschitz de T em B(x,r)

é estimada por (||Z||s/r)< 1, e T é uma aplicação contração. Como operador A−1 é invertível,os zeros de f correspondem a pontos fixos de T . A aplicação do Teorema do Ponto Fixo deBanach resulta na existência de um único x ∈ B(x,r) tal que T (x) = x, ou equivalentemente quef (x,λ0) = 0 e de (2.27) segue que x é um ponto interior da B(x,r).

Para calcular os limites superiores Yk e Zk nós inicialmente escolhemos M ∈ Nd tal queM ≥ q(m−1)+1, onde a desigualdade é componente a componente para o caso d dimensional,ou seja,

Mi ≥ q(mi −1)+1 (2.29)

para todo 1 ≤ i ≤ d, onde q é o grau do polinômio da não linearidade em (1.51) De (2.18)nós temos T (x)− x = A f (x,λ0) e consequentemente |[T (x)− x]k|= |[A f (x,λ0)]k|. Como xk = 0∀k /∈ Fm, conseguimos obter fk(x,λ0) = 0 para cada k /∈ FM. Assim, definimos Y = {Yk}k∈Z por

Yk :=

|[Am( f (m)(xFm,λ0))]k|, se k ∈ Fm,

|[ζ−1p D−p f (x,λ0)]k|, se k ∈ FM −Fm,

0, se k /∈ FM.

(2.30)


A melhor estimativa para definir os limites superiores Zk, nós mostramos explicitamente comocalculá-las nas seções 2.2 e 2.3 para o caso de uma não-linearidade cúbica. Assim, como ocorreupara os limites superiores Yk, nós podemos encontrar um limite uniforme para todo k /∈ FM daínecessitamos calcular Zk apenas para k ∈ FM. Observamos que o cálculo do limite uniforme éinspirado no Lema 3.4 de (GAMEIRO; LESSARD, 2010), mas o cálculo para o caso de soluçãonão periódica que desenvolvemos neste trabalho é bem mais complicado de ser generalizado, dequalquer forma mostramos explicitamente como obter o limitante uniforme nas seções 2.2 e 2.3.Nesta etapa do método pretendemos provar o seguinte resultado.

Lema 4. Se k /∈ FM então existe um limite uniforme superior ZM, independente de k tal que

supb,c∈B(r)

|[DT (x+b)c]k| ≤ ZM. (2.31)

Demonstração. Veja nas seções 2.2 e 2.3.

Usando o Lema 4 nós definimos {Zk}k/∈FM por

Zk :=r

ωsk

ZM, (2.32)

onde ZM é um polinômio em r independente de k. Para definir {Zk}k∈FM , que também sãopolinômios em r, nós precisamos calcular os limites superiores para |[DT (x+b)c]k| o que é feitonas seções 2.2 e 2.3. Para verificar a existência de um raio r satisfazendo as hipóteses do Lema 3nós utilizamos os polinômios radiais definidos em (GAMEIRO; LESSARD, 2010) como segue

Definição 8. (Polinômios Radiais)(i) se k ∈ FM definimos

pk(r) := Yk +Zk −r

ωsk, (2.33)

os polinômios radiais finito.(ii) se k /∈ FM definimos

pM(r) := ZM −1, (2.34)

o polinômio radial da cauda.

O próximo resultado é consequência dos lemas 3 e 4.

Corolário 5. Suponha que a condição (2.31) do Lema 4 seja satisfeita e considere os polinômiosradiais {pk}k∈FM e pM dados por (2.33) e (2.34), respectivamente. Se existir r > 0 tal quepk(r) < 0 para todo k ∈ FM e pM(r) < 0, então existe um único x ∈ B(x,r) tal que f (x,λ0)=0.Além disso, x é um ponto interior de B(x,r).

Demonstração. Para k ∈ FM, a hipótese pk(r)< 0 significa que

ωsk |Yk +Zk|< r. (2.35)

2.2. Problema de Dirichlet Para a Equação de Alen-Cahn 39

Para k /∈ FM, temos Yk = 0 e pM(r)< 0, donde segue que

ωsk |Yk +Zk|= ω

skZM < r. (2.36)

Assim temos,

||Y +Z||s = supk∈Zd

{ωsk |Yk +Zk|}= max{max

k∈FM{ω

sk |Yk +Zk|,rZm}} (2.37)

e o resultado segue do Lema 3.

No início desta seção mencionamos que o método da continuação rigorosa tem doisingredientes essenciais o clássico algoritmo da continuação previsor-corretor e a contruçãodos polinômios radiais. Agora, que já sabemos construir os polinômios radiais finalizaremosesta seção relembrando o algoritmo da continuação e estabelecendo a relação deste com ospolinômios radiais. O passo inicial do algoritmo previsor-corretor é obter uma aproximação desolução u0 para o valor do parâmetro λ0 dentro de uma tolerância prescrita, o passo previsordo algoritmo produz uma aproximação de equilíbrio u1 próxima do valor do parâmetro λ1 eo passo corretor, frequentemente baseado num operador tipo Newton, tem u1 como entrada eproduz novamente dentro de uma tolerância prescrita uma solução u1 em λ1. Em cada passo doalgoritmo de continuação, nós construímos os polinômios radiais definidos em (2.33) e (2.34)e checamos a existência de r > 0 tal que pk(r) < 0 para todo k ∈ FM e pM(r) < 0. Se numdeterminado passo da continuação obtemos sucesso, temos uma prova de existência e unicidadelocais de uma verdadeira solução de equilíbrio para a EDP original (1.50) e passamos para opasso seguinte. Observamos que o cálculo das soluções e dos raios em cada passo do algoritmosão feitos usando métodos numéricos padrões somente o cálculo dos coeficientes dos polinômiosradiais e das desigualdades polinomias são feitos usando aritmética de intervalo. O prodecimentodescrito neste parágrafo produz uma prova assistida pelo computador de existência de soluçõesque é chamado de continuação rigorosa para equilíbrio de EDP’s.

2.2 Problema de Dirichlet Para a Equação de Alen-CahnNesta seção aplicaremos o método da continuação rigorosa para a equação de Alen-Cahn

unidimensional {vt = ε2∆v+ v− v3 em (0,1),v(0) = v(1) = 0,

(2.38)

onde ε > 0. A equação em (2.38) está intimamente relacionada com a equação de Cahn-Hilliardque foi introduzida em (CAHN; HILLIARD, 1958) como um modelo para descrever o processode separação de fases em ligas de ferro que contém dois metais.

Neste trabalho estamos interessados em obter soluções de equilíbrio de (2.38). Assim,basta resolvermos o seguinte problema{

ε2∆v+ v− v3 = 0 em (0,1),v(0) = v(1) = 0,

(2.39)


ou seja, encontrar soluções para o problema de valor de fronteira (PVF) com condições deDirichlet.

Fazendo a mudança de variáveis x = 2y−1, temos y =x+1

2e reescrevendo a equação

de Alen-Canh com a mudança

v(y) = v(

x+12

)= u(x), (2.40)

obtemos o seguinte problema que é equivalente ao PVF (2.39){4ε2∆u+u−u3 = 0 em (−1,1),u(−1) = u(1) = 0.

(2.41)

Agora multiplicando todos os termos da equação em (2.41) por λ :=1ε2 , obtemos o

seguinte problema {4uxx +λu−λu3 = 0 em (−1,1),u(−1) = u(1) = 0,

(2.42)

que é equivalente ao problema (2.41).

Como x ∈ [−1,1] e buscamos uma solução não periódica convém expressarmos a soluçãodo problema (2.42) em termos de uma base de Chebyshev {Tk(x)}k∈N, onde os polinômios Tk(x)

de Chebyshev são definidos em (1.5). Além disso, para que as condições de contorno sejamcumpridas pelos elementos da base convém considerarmos uma base onde cada elemento é umacombinação linear dos polinômios de Chebyshev {Tk(x)}k∈N, neste caso consideraremos a base{Φk(x)}k∈N, onde

Φk(x) = Tk(x)−Tk+2(x), (2.43)

pois de (1.5) segue que os polinômios de Chebyshev satisfazem Tk(1) = 1 e Tk(−1) = (−1)k.

Agora, suponha que u ∈ L2ω([−1,1]) e

u(x) =∞

∑k=0

ukΦk(x) =∞

∑k=0

uk(Tk(x)−Tk+2(x)) = u0T0(x)+ u1T1(x)+∞

∑k=2

(uk − uk−2)Tk(x),

(2.44)o que define a relação entre os coeficientes de Chebyshev {uk}k∈N e os coeficientes de Galerkin{uk}k∈N da solução u como segue

uk :=

{uk, se k ∈ {0,1},uk − uk−2, se k ≥ 2,

(2.45)

onde uk é definido em (1.9).

No que segue trabalharemos com a expansão de Chebyshev (1.8) da função u, observandoque da expressão (2.44) e da relação (2.45) segue que se os coeficientes de Chebyshev da funçãou estiverem determinados então a solução u estará determinada.


Começamos definindo os coeficientes

ak :=

uk, se k = 0,

uk

2, se k ≥ 1.

(2.46)

Além disso, observe que da paridade da função cosseno, temos

T−k(x) = cos(−kθ) = cos(kθ) = Tk(x) ∀k ≥ 1. (2.47)

Definindo c−k = ck ∀k ≥ 1, onde ck é definido em (1.7) podemos estender os coeficientes ak

para k ∈ Z de modo natural definindo a−k = ak ∀k ≥ 1.

De (2.46) podemos escrever

u(x) =∞

∑k=0

ukTk(x) = a0T0(x)+∞

∑k=1

ukTk(x) = a0.1+∞

∑k=1

2akTk(x)

= a0.1+∞

∑k=1

(ak +ak)Tk(x) = a0.1+∞

∑k=1

akTk(x)+∞

∑k=1

akTk(x)

= a0.1+∞

∑k=1

akTk(x)+∞

∑k=1

a−kT−k(x) = a0.1+∞

∑k=1

akTk(x)+−1

∑j=−∞

a jTj(x)

= ∑k∈Z

akTk(x) = ∑k∈Z

akcos(kθ) = ∑k∈Z

ak

(eikθ + e−ikθ

2

)= ∑

k∈Zak2

eikθ

2

= ∑k∈Z

akeikθ .

(2.48)

Logo, a expansão em série de Chebyshev do termo não linear da equação de Alen-Cahn é análogaà expansão de Fourier, ou seja,

(u(x))3 =

(∞

∑k=0

ukTk(x)

)3

=

(∑k∈Z

akTk(x)

)3

=

(∑

k1∈Zak1Tk1(x)

)(∑

k2∈Zak2Tk2(x)

)(∑

k3∈Zak3Tk3(x)

)

=

(∑

k1∈Zak1eik1θ

)(∑

k2∈Zak2eik2θ

)(∑

k3∈Zak3eik3θ

)= ∑

k1∈Z∑

k2∈Z∑

k3∈Zak1ak2ak3eik1θ eik2θ eik3θ = ∑

ki∈Zak1ak2ak3ei(k1+k2+k3)θ

= ∑ki∈Z

ak1ak2ak3Tk1+k2+k3(x) = ∑k∈Z

(a*a*a)kTk(x),

(2.49)

onde(a*a*a)k := ∑

k1+k2+k3=kak1ak2ak3.

k∈Z (2.50)


De (1.18) e (1.19) temos a expansão de Chebyshev de u′′ = uxx que é a expressão do Laplacianounidimensional, agora estenderemos a expansão para o conjunto Z, assim como fizemos com aexpansão de u e u3. De (1.19) e (2.46) temos

u(2)k :=1ck

∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)up

(p+k) par

=1ck

∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)2ap

(p+k) par

= 21ck

∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)ap =: 2a(2)k

(p+k) par

(2.51)

para k ≥ 1. Assim definimos

a(2)k :=

u(2)k , se k = 0,

u(2)k2

, se k ≥ 1

(2.52)

e a(2)−k = a(2)k ∀k ≥ 1.

Agora, substituindo (2.48), (2.49) e (1.18) na equação do PVF (2.42) e observandoatentamente (2.51) e (2.52), obtemos

4

(∑k∈Z

a(2)k Tk(x)

)+λ ∑

k∈ZakTk(x)−λ ∑

k∈Z(a*a*a)kTk(x) = 0 (2.53)

e note que não precisamos nos preocupar com as condições de fronteira do PVF (2.42) nestemomento, pois elas já estão implícitas na base definida em (2.43). Utilizando o produto internodefinido em (1.6), obtemos⟨

4

(∑

m∈Za(2)m Tm(x)

),Tk(x)

⟩ω

= 4a(2)k ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω, (2.54)

⟨λ ∑

m∈ZamTm(x),Tk(x)

⟩ω

= λak ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω(2.55)

e ⟨λ ∑

ki∈Zak1ak2ak3Tk1+k2+k3(x),Tk(x)

⟩ω

= ∑k1+k2+k3=k

λak1ak2ak3 ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω·

ki∈Z (2.56)

Utilizando a linearidade do produto interno e o fato de ⟨0,Tk(x)⟩ω= 0 de (2.53), (2.54), (2.55)

e (2.56) obtemos

4a(2)k ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω+λak ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω

− ∑k1+k2+k3=k

λak1ak2ak3 ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω= 0

ki∈Z (2.57)


e simplificando temos

4a(2)k +λak − ∑k1+k2+k3=k

λak1ak2ak3 = 0.

ki∈Z (2.58)

Definimos o operador f (a,λ ) = ( fk(a,λ ))k∈Z, componente a componete por

fk(a,λ ) := 4a(2)k +λak − ∑k1+k2+k3=k

λak1ak2ak3.

ki∈Z (2.59)

De (2.58) e (2.59) segue que encontrar uma solução do PVF (2.42) é equivalente aencontrar uma solução de

f (x,λ ) = 0. (2.60)

Dado a = {ak}k∈Z = x = {xk}k∈Z, nós denotamos sua parte finita de tamanho m e suacorrespondente parte infinita de tamanho m respectivamente por


onde Fm = {k ∈ Z; |k| < m} e Im = {k ∈ Z; |k| ≥ m}. Agora, consideremos uma projeção deGalerkin de (2.59) de dimensão m dada por f (m) := { f (m)

k }k∈Fm , onde f (m)k : Rm −→R é definida

porf (m)k (xFm,λ ) := fk((xFm,0Im),λ )

= 4x(2)k +λxk − ∑k1+k2+k3=k

λxk1xk2xk3 ∀k ∈ Fm.

k j∈Fm

(2.62)

Fixamos o valor do parâmetro λ = λ0 e encontramos numericamente o vetor xFm tal quef (m)(xFm ,λ0)≈ 0. Para isso adotamos uma adaptação da estratégia apresentada em (LIU; YE;WANG, 2011), primeiramente escrevemos (2.62) na forma matricial

f (m)(aFm,λ0) = 4D2 *a+λ0a−λ0a3, (2.63)

onde a = (a0, . . . ,am−1)t = (x0, . . . ,xm−1)

t , a3 = ((a*a*a)0, . . . ,(a*a*a)m−1) (com a notaçãoestabelecida em (2.10)), D2 é a matriz diferencial definida na Seção 1.1 e * denota o produtousual de matrizes. Utilizando (2.46) e (2.52) segue que (2.63) ainda pode ser escrita em termosda base de Chebyshev, como

f (m)(uFm,λ0) = 4D2 * u+λ0u−λ0u3 = (4D2 +λ0I)u−λ0u3, (2.64)

onde u = (u0, . . . , um−1)t , u3 = (a3

0,2a31, . . . ,2a3

m−1)t , onde a3 = (a3

0, . . . ,a3m−1)

t=

((a*a*a)0, . . . ,(a*a*a)m−1)t . A relação (2.45) pode ser escrita no caso finito em linguagem

matricial como segueu = S* u, (2.65)


onde u = (u0, . . . , um−1)t , u = (u0, . . . , um−3,0,0)

t . Note que adicionamos as componentesum−2 = um−1 = 0, pois S é uma matriz de ordem m definida por

S = E(0)−E(−2), (2.66)

onde E(k) = (eki j) é definida para k ∈ Z por

eki j =

1, se i = j+ k,

0, se i = j.

(2.67)

De (2.64) e (2.65) podemos rescrever (2.63) em termos da base de Galerkin definidaem (2.43)

f (m)(uFm ,λ0) = 4D2 * (S* u)+λ0(S* u)−λ0u3 = (4D2 +λ0I)*S* u−λ0u3. (2.68)

Para obter xFm tal que f (m)(xFm ,λ0) ≈ 0, utlizamos o método de Newton no Matlab epelo fato da matriz D2 ser mal condicionada, utilizamos a matriz quase inversa D−2 associadacom D2 que é definida em (1.45), multiplicamos ambos os lados de (2.68) pela matriz D−2 eutilizando a definição 3, obtemos

D−2 * f (m)(uFm ,λ0) = D−2 * (4(D2 +λ0I)* (S* u)−λ0u3)

= (4* I(2)+λ0D−2)* (S* u)−λ0D−2 * u3(2.69)

e finalmente consideramos a função

g(m−2)(uFm−2,λ0) = A* u−λ0y3, (2.70)

onde a matriz A é obtida da matriz (4* I(2)+λ0D−2)*S excluindo as suas duas primeiras linhase as duas últimas colunas e y3 é obtido do produto D−2 * u3 onde eliminamos as duas primeiraslinhas e as duas últimas colunas da matriz D−2 e as duas últimas componentes do vetor u3, antesde efetuar o produto. Também eliminamos as duas últimas componentes nulas do vetor u paraque o produto A* u esteja bem definido.

Nesta etapa duas questões naturais surgem:

(i) encontrar uma raíz da função definida em (2.70) é equivalente a encontrar uma raízpara a função definida em (2.68)?

(ii) por que é mais fácil encontrar uma raíz (2.70) é menos dispendioso do que encontraruma raíz de (2.68)?

Antes de respondermos a estas questões observamos que a dúvida (i) surge pelo fato damatriz D−2 ser singular, além disso observamos que a matriz I(2) que é uma matriz identidadecom as duas primeiras linhas nulas é obtida tomando-se combinações lineares das linhas de D2

(uma matriz triangular superior com diagonal principal e superior nulas). Esta ação de tranformar


D2 em I(2) é expressa atravé da matriz D−2 que é tridiagonal e com as duas primeiras linhas e asduas últimas colunas nulas. A estrutura praticamente diagonal de D−2 e diagonal de I(2) revela arazão do menor custo para encotrar a raíz de (2.70) em (ii). Ao eliminarmos as duas primeiraslinhas e duas últimas colunas da matriz D−2 elimanamos a sua singularidade por isso temos aequivalência em (i), temos a liberdade de eliminar duas linhas neste caso porque as condições defronteira já estão implícitas na base.

Agora, definimos

g(x,λ ) :=

h(m)

k (x,λ ), se k ∈ Fm,

fk(x,λ ), se k /∈ Fm,

(2.71)

onde fk foi definida em (2.59) e h(m)k denota a componente k de h(m) que é definida a partir de

g(m−2) pela seguinte composição

Rm S−1−→ Rm φ−→ Rm−2 g(m−2)

−→ Rm−2 ψ−→ Rm S−→ Rm

uFm ↦−→ uFm ↦−→ uFm−2 ↦−→ g(m−2)(uFm−2,λ0) ↦−→ g(m)(uFm,λ0) ↦−→ h(m)(uFm,λ0)(2.72)

onde S−1 é a inversa da matriz S definida em (2.66), φ representa o procedimento de eliminaras duas últimas coordenadas nulas do vetor, g(m−2) é definida em (2.70), ψ representa o pro-cedimento de acrescentar as duas últimas coordenadas nulas no vetor e finalmente para obterh(m)(aFm ,λ0) em (2.71) basta utilizar a relação (2.46) no início e no final da sequência em(2.72).

Da definição da g e das considerações anteriores sobre a f segue que resolver o PVF(2.42) é equivalente a resolver a equação

g(x,λ ) = 0. (2.73)

Nós encontramos numericamente xFm tal que h(m)(xFm,λ0)≈ 0 e definimos

x := (xFm,0Im) ∈ X s = {x = {xk}k∈Z; ||x||s = supk∈Z

{ωsk |xk|}< ∞}, (2.74)

onde s ≥ 1 e

ωsk :=

{1, se k = 0,|k|s, se k = 0.

(2.75)

Assumimos que g(x,λ0)≈ 0 e utilizamos x para definir um problema de ponto fixo equivalentepara (2.73). Para este propósito, supomos que a matriz Jacobiana Dh(m)(xFm,λ0) é não singulare tomamos a aproximação Am ≈ [Dh(m)(xFm,λ0)]

−1.

Definimos o operador A no espaço de sequências de modo que ele atue como uma apro-ximação para a inversa de Dg(x,λ0). Para x = {xk}k∈Z, ele é definido componente a componente


por

[A(x)]k :=


14

[1

4k(k−1)xk−2 −

12(k2 −1)

xk +1

4k(k+1)xk+2

], se k /∈ Fm.

(2.76)

Utilizando (2.76) definimos

T (x) = Tλ0(x) := x−Ag(x,λ0). (2.77)


B(r) := B(0,r) =[− r

ωsk,

rωs

k

]· (2.78)


B(x,r) = x+B(r). (2.79)

Para mostrar que T é uma contração nós precisamos das limitações Yk e Zk para todo k ∈ Z, talque

|[T (x)− x]k| ≤ Yk (2.80)

e

supb,c∈B(0,r)

|[DT (x+b)c]k| ≤ Zk. (2.81)

Os limitantes superiores Yk e Zk serão calculados nas duas próximas subseções.

2.2.1 Cálculo de Yk

Para calcular os limites superiores Yk e posteriormente Zk nós inicialmente escolhemosM ∈N tal que M ≥ 3(m−1)+1 como em (GAMEIRO; LESSARD, 2010). De (2.77) nós temosT (x)− x = Ag(x,λ0) e consequentemente |[T (x)− x]k|= |[Ag(x,λ0)]k|. Como xk = 0 ∀k /∈ Fm,conseguimos obter gk(x,λ0) = 0 para cada k /∈ FM. Assim, definimos Y = {Yk}k∈Z por

Yk :=

|[Am(h(m)(xFm ,λ0))]k|, se k ∈ Fm,

14

∣∣∣∣ 14k(k−1)

gk−2(x)−1

2(k2 −1)gk(x)+

14k(k+1)

gk+2(x)∣∣∣∣ , se k ∈ FM −Fm,

0, se k /∈ FM,(2.82)


onde gk(x) = gk(x,λ0) ∀k ∈ Z e

14

[1

4k(k−1)gk−2(x,λ0)−

12(k2 −1)

gk(x,λ0)+1

4k(k+1)gk+2(x,λ0)

]=

=14

14k(k−1)

[4x(2)k−2 +λ0xk−2 − ∑k1+k2+k3=k−2

λ0xk1 xk2 xk3 ]

k j∈Fm

−14

12(k2 −1)

[4x(2)k +λ0xk − ∑k1+k2+k3=k

λ0xk1 xk2 xk3]

k j∈Fm

+14

14k(k+1)

[4x(2)k+2 +λ0xk+2 − ∑k1+k2+k3=k+2

λ0xk1 xk2 xk3 ]·

k j∈Fm

(2.83)

2.2.2 Cálculo de Zk

Começamos esta subseção observando que assim como ocorreu com os limites superioresYk, nós podemos encontrar um limite uniforme para k /∈FM, daí necessitaremos calcular Zk apenaspara k ∈ FM. Para definir este limite superior, nós primeiramente derivamos uma fórmula geralpara [DT (x+b)c]k com k /∈ Fm. Usando a notação

[(x+b)2 * c]k := ∑k1+k2+k3=k

(x+b)k1(x+b)k2ck3,

k j∈Z (2.84)

temos para k /∈ Fm

[Dg(x+b)c]k = 4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp +λ0ck −3λ0[(x+b)2 * c]k·

(p+k) par (2.85)

Agora, supondo que k /∈ Fm e pondo b = ru e c = rv, para u,v ∈ B(1), obtemos

[DT (x+b)c]k = ck −14

14k(k−1)

[4∞

∑p=k

p(p2 − (k−2)2)cp +λ0ck−2 −3λ0[(x+b)2 * c]k−2]

(p+k−2) par

+14

12(k2 −1)

[4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp +λ0ck −3λ0[(x+b)2 * c]k]

(p+k) par

−14

14k(k+1)

[4∞

∑p=k+4

p(p2 − (k+2)2)cp +λ0ck+2 −3λ0[(x+b)2 * c]k+2],

(p+k+2) par

(2.86)


ou seja,

[DT (x+b)c]k = rvk −(k+1)

4k(k−1)(k+1)

∞

∑p=k

p(p2 − (k−2)2)rvp

(p+k−2) par

+2k

4k(k−1)(k+1)

∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)rvp

(p+k) par

+(k−1)

4k(k−1)(k+1)

∞

∑p=k+4

p(p2 − (k+2)2)rvp

(p+k+2) par

−λ0r

4k(k−1)vk−2 +λ0

r2(k2 −1)

vk −λ0r

4k(k+1)vk+2

+λ03

4k(k−1)[[x2 * rv+2x* ru* rv+ r2u2 * rv]k−2

]−λ0

32(k2 −1)

[[x2 * rv+2x* ru* rv+ r2u2 * rv]k

]+λ0

34k(k+1)

[[x2 * rv+2x* ru* rv+ r2u2 * rv]k+2

].

(2.87)

Assim, de (2.87) temos,

[DT (x+b)c]k = r[

vk +−4k3 +4k

4k(k−1)(k+1)vk

− λ01

4k(k−1)vk−2 +λ0

12(k2 −1)

vk −λ01

4k(k+1)vk+2

+ λ03

4k(k−1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k−2

]− λ0

32(k2 −1)

[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k

]

+ λ03

4k(k+1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k+2

]].

(2.88)

Agora, aplicando o Lema 8 do apêndice A em (2.88), obtemos para k /∈ FM

|[DT (x+b)c]k| ≤ rλ0

[1

4|k||k−1|||v||sωs

k−2+

12|k2 −1|

||v||sωs

k+

14|k||k+1|

||v||sωs

k+2

+3

4|k||k−1|

(||x||2s

α(3)M

ωsk−2

+2r||x||sα(3)M

ωsk−2

+ r2 α(3)M

ωsk−2

)


+3

2|k2 −1|

(||x||2s

α(3)M

ωsk+2r||x||s

α(3)M

ωsk+ r2 α

(3)M

ωsk

)

+3

4|k||k+1|

(||x||2s

α(3)M

ωsk+2

+2r||x||sα(3)M

ωsk+2

+ r2 α(3)M

ωsk+2

)],

(2.89)

ou seja,

|[DT (x+b)c]k| ≤ rωs

kλ0

[1

4|k||k−1|ωs

kωs

k−2||v||s +

12|k2 −1|

||v||s +1

4|k||k+1|ωs

kωs

k+2||v||s

+3

4|k||k−1|

(||x||2s

ωsk

ωsk−2

α(3)M +2r||x||s

ωsk

ωsk−2

α(3)M + r2 ωs

kωs

k−2α(3)M

)

+3

2|k2 −1|

(||x||2s α

(3)M +2r||x||sα(3)

M + r2α(3)M

)

+3

4|k||k+1|

(||x||2s

ωsk

ωsk+2

α(3)M +2r||x||s

ωsk

ωsk+2

α(3)M + r2 ωs

kωs

k+2α(3)M

)]

≤ rωs

kλ0

[1

4|M||M−1|

(1+

2M−2

)s

+1

2|M2 −1|+

14|M||M+1|

+3

4|M||M−1|

(1+

2M−2

)s(||x||2s α

(3)M +2r||x||sα(3)

M + r2α(3)M

)

+3

2|M2 −1|

(||x||2s α

(3)M +2r||x||sα(3)

M + r2α(3)M

)

+3

4|M||M+1|

(||x||2s α

(3)M +2r||x||sα(3)

M + r2α(3)M

)]

=:r

ωsk

ZM,

(2.90)onde ZM é um polinômio em r e independe de k.

Para definir {Zk}k∈FM é conveniente denotar Am :=Dh(m)(xFm ,λ0) e introduzir o operador

[A(x)]k :=


4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)xp, se k /∈ Fm,

(p+k) par

(2.91)


que atua como uma aproximação da inversa do operador A definido em (2.76). Nós entãodividimos DT (x+b)c como segue

DT (x+b)c = (I −AA)c−A(Dg(x+b)− A)c, (2.92)

onde o primeiro termo tem os seguintes limites:

(i) Se k ∈ Fm, temos

|[(I −AA)c]k|= |[(I −AA)rv]k| ≤ r[|(I −AmDh(m)(xFm,λ0))|ω−sFm]k, (2.93)

onde ω−sFm

:= {1/ωsk}k∈Fm e | · | o valor absoluto de todas as entradas da matriz.

(ii) Se k /∈ Fm, temos

[(I −AA)c]k = ck −14

[1

4k(k−1)[A(c)]k−2 −

12(k2 −1)

[A(c)]k +1

4k(k+1)[A(c)]k+2

]

= ck −14

(k+1)4k(k−1)(k+1)

4∞

∑p=k

p(p2 − (k−2)2)cp

(p+k−2) par

+14

2k4k(k−1)(k+1)

4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

(p+k) par

−14

(k−1)4k(k−1)(k+1)

4∞

∑p=k+4

p(p2 − (k+2)2)cp = 0.

(p+k+2) par

(2.94)Logo, definimos

Z(0)k :=

[|(I −AmDh(m)(xFm,λ0))|ω−s

Fm]k, se k ∈ Fm,

0, se k /∈ Fm.

(2.95)

Para o segundo termo em (2.92), nós temos

[Dg(x+b)c]k = 4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp +λ0ck −3λ0[x2 * c+2x*b* c+b2 * c]k

(p+k) par (2.96)

e

[A(c)]k :=

4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp +λ0ck

(p+k) par

−3λ0 ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2ck3, se k ∈ Fm,

k j∈Fm

4∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp, se k /∈ Fm.

(p+k) par

(2.97)


Agora, considerando u,v ∈ B(1) e definindo b = ru e c = rv, podemos expandir a expressão[(Dg(x+b)− A)c]k em termos de r como

[(Dg(x+b)− A)c]k =−3λ0(C(1)k r+2C(2)

k r2 +C(3)k r3) (2.98)

e lembrando que xk j = 0 para k j /∈ Fm, nós definimos

C(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3, para k ∈ Fm,

k1,k2∈Fm,k3 /∈Fm

−13

vk + ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3, para k /∈ Fm,

k1,k2∈Fm,k3∈Z

(2.99)

C(2)k := ∑

k1+k2+k3=kxk1uk2vk3 e

k1∈Fm,k2,k3∈Z

C(3)k := ∑

k1+k2+k3=kuk1uk2vk3.

k j∈Z (2.100)

Agora, queremos encontrar os limites superiores, Z(1)k , Z(2)

k e Z(3)k , de modo que |C( j)

k | ≤ Z( j)k ,

para j = 1,2,3. Para isso consideremos a divisão

C(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3

k1,k2∈Fm,k3∈FM−Fm

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3 para k ∈ Fm,

k1,k2∈Fm,k3 /∈FM

−13

vk + ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3

k1,k2∈Fm,k3∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3 para k /∈ Fm.


(2.101)

Utilizando o Lema 7 do apêndice e (2.101), obtemos

Z(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

|xk1 ||xk2|

(1

ωsk3

)+ ||x||2s ε

(3)k , para k ∈ Fm,


13

1ωs

k+ ∑

k1+k2+k3=k|xk1 ||xk2|

(1

ωsk3

)+ ||x||2s ε

(3)k , para k ∈ FM −Fm.

k1,k2∈Fm,k3∈FM

(2.102)Para C(2)

k e C(3)k consideremos as divisões

C(2)k = ∑

k1+k2+k3=kxk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3 /∈FM (2.103)

eC(3)

k = ∑k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3

k j∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3.

k j /∈FM (2.104)


Novamente utilizando o Lema 7 para k ∈ FM, obtemos

Z(2)k := ∑

k1+k2+k3=k|xk1|

(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+2||x||sε(3)k , para k ∈ FM

k1∈Fm,k2,k3∈FM (2.105)

e

Z(3)k := ∑

k1+k2+k3=k

(1

ωsk1

)(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+3ε

(3)k , para k ∈ FM.

k j∈FM (2.106)

Finalmente de (2.76), (2.90), (2.92), (2.95), (2.98) (2.105) e (2.106), obtemos

Zk :=

3λ0[|Am|(Z(1)Fm

r+2Z(2)Fm

r2 +Z(3)Fm

r3)]k +Z(0)k r, se k ∈ Fm,

Zk +0r, se k ∈ FM −Fm,

rωs

kZM, se k /∈ FM,

(2.107)

onde

Zk = 3λ0

∣∣∣∣14[

14k(k−1)

[(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k−2

− 12(k2 −1)

[(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k +

14k(k+1)

[(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k+2

]∣∣∣∣(2.108)

e ZM é definido por

ZM = λ0

[1

4|M||M−1|

(1+

2M−2

)s

+1

2|M2 −1|+

14|M||M+1|

+3

4|M||M−1|

(1+

2M−2

)s(||x||2α

(3)M +2r||x||α(3)

M + r2α(3)M

)

+3

2|M2 −1|

(||x||2α

(3)M +2r||x||α(3)

M + r2α(3)M

)

+3

4|M||M+1|

(||x||2α

(3)M +2r||x||α(3)

M + r2α(3)M

)]·

(2.109)

Assim, os polinômios radiais estão bem definidos

Definição 9. (Polinômios Radiais)(i) se k ∈ FM

pk(r) := Yk +Zk −r

ωsk· (2.110)

(ii) se k /∈ FM

pM(r) := ZM −1. (2.111)


Finalizamos esta seção ilustrando os ramos de soluções, as aproximações de soluçõese a prova rigorosa de existência e unicidade para soluções de equilíbrio para a equação deAlen-Canh.

0 50 100 150 200 250 3000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

λ

‖a‖

Ramo 1Ramo 2Ramo 3Ramo 4Ramo 5

(a) Ramos de soluções.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

xu

(b) Soluções no ramo 1.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x

u

(c) Soluções no ramo 2.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

u

(d) Soluções no ramo 3.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

x

u

(e) Soluções no ramo 4.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x

u

(f) Soluções no ramo 5.

Figura 2 – Soluções para Alen-Cahn 1D


Teorema 1. Considere λ ∈ {10.3696,10.6696,10.9696,11.2696,11.5696,11.8696,12.1696,12.4696,12.7696,13.0696} no ramo 1 de solução na Figura 2(a) e a correspondente aproxi-mação de solução u(x) na Figura 2(b). Então existe r ≈ 10−12 e uma única solução de equilíbriona bola de raio r centrada na aproximação.

Demonstração. Calculamos todos os polinômios radiais e encontramos um raio r ≈ 10−12 quetornava todos os polinômios radiais negativos para m = 100, M = 300 e s = 2.

Nos próximos teoremas consideraremos os mesmos valores para os parâmtros m, M e s.

Teorema 2. Considere λ ∈ {39.9784,40.9784,41.9784,42.9784,43.9784,44.9784,45.9784,46.9784,47.9784,48.9784} no ramo 2 de solução na Figura 2(a) e a correspondente aproxi-mação de solução u(x) na Figura 2(c). Então existe r ≈ 10−12 e uma única solução de equilíbriona bola de raio r centrada na aproximação.

Teorema 3. Considere λ ∈ {89.3264,90.3264,91.3264,92.3264,93.3264,94.3264,95.3264,96.3264,97.3264,98.3264} no ramo 3 de solução na figura 2(a) e a correspondente aproxi-mação de solução u(x) na Figura 2(d). Então existe r ≈ 10−12 e uma única solução de equilíbriona bola de raio r centrada na aproximação.

Teorema 4. Considere λ ∈ {158.4137,159.4137,160.4137,161.4137,162.4137,163.4137,164.4137,165.4137,166.4137,167.4137} no ramo 4 de solução na Figura 2(a) e a correspon-dente aproximação de solução u(x) na Figura 2(e). Então existe r ≈ 10−12 e uma única soluçãode equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.

Teorema 5. Considere λ ∈ {247.2401,248.2401,249.2401,250.2401,251.2401,252.2401,253.2401,254.2401,255.2401,256.2401} no ramo 5 de solução na Figura 2(a) e a correspon-dente aproximação de solução u(x) na Figura 2(f). Então existe r ≈ 10−12 e uma única soluçãode equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.

2.3 Problema de Valor de Fronteira Para a Equação deSwift-Hohenberg

Nesta seção aplicaremos o método da continuação rigorosa para a equação de Swift-Hohenberg unidimensional

vt = λv+(1+∆)2v− v3 em (0, l),v(0) = a,

v(l) = b,

vy(0) = vy(l) = 0,

(2.112)

onde λ > 0. A equação em (2.112) foi introduzida em (SWIFT; HOHENBERG, 1977) comoum modelo para o aparecimento da célula de Rayleigh-Bernard que é um tipo de convecção

2.3. Problema de Valor de Fronteira Para a Equação de Swift-Hohenberg 55

natural que ocorre por exemplo numa camada horizontal plana de um fluído quando aquecidopor baixo, e é um modelo largamente utilizado para a formação de padrões de convecção. Oparâmetro λ > 0 é o número reduzido de Rayleigh.

Neste trabalho estamos interessados em obter soluções de equilíbrio de (2.38). Assim,basta resolvermos o seguinte problema

λv+(1+∆)2v− v3 = 0 em (0, l),v(0) = a,

v(l) = b,

vy(0) = vy(l) = 0,

(2.113)

ou seja, encontrar soluções para o problema de valor de fronteira (PVF).

Fazendo a mudança de variáveis x=2yl−1, temos y=

(x+1)l2

e reescrevendo a equaçãode Swift-Hohenberg com a mudança

v(y) = v((x+1)l

2

)= u(x), (2.114)

obtemos o seguinte problema que é equivalente ao PVF (2.113)

16l4 ∆(∆u)+2

4l2 ∆u+(1+λ )u−u3 = 0 em (−1,1),

u(−1) = a,

u(1) = b,2l

ux(−1) =2l

ux(1) = 0.

(2.115)

Como x ∈ [−1,1] e temos condições de fronteira não periódica convém expressarmosa solução do problema (2.115) em termos de uma base de Chebyshev {Tk(x)}k∈N, onde ospolinômios Tk(x) de Chebyshev são definidos em (1.5). Além disso, para que as condiçõesde contorno sejam cumpridas pelos elementos da base convém considerarmos uma base ondecada elemento é uma combinação linear dos polinômios de Chebyshev {Tk(x)}k∈N, neste casoconsideraremos a base {Φk(x)}k∈N tal que

Φk(x) = Tk(x)+αkTk+1(x)+βkTk+2(x)+ γkTk+3(x)+δkTk+4(x), (2.116)

onde os coeficientes αk, βk, γk e δk serão definidos no próximo Lema.

Lema 5. Seja {Φk(x)}k∈N a base definida em (2.116). Para que as condições de fronteira em(2.115) sejam cumpridas devemos ter

αk :=−(−1)k9a−9b+(−1)k6ak−6bk+(−1)kak2 −bk2

8(k+2), (2.117)

βk :=(−1)k16a+16b−16k+(−1)k8ak+8bk+(−1)kak2 +bk2 −32

8(k+3), (2.118)


γk :=(−1)ka−b+(−1)k2ak−2bk+(−1)kak2 −bk2

8(k+2), (2.119)

e

δk :=−(−1)k4a+4b−8k+(−1)k4ak+4bk+(−1)kak2 +bk2 −88(k+3)

· (2.120)

Demonstração. De (1.5) segue que as propriedades Tk(1) = 1 e Tk(−1) = (−1)k são satisfeitaspelos polinômios de Chebyshev e de (1.12) temos T ′

k (±1) = (±1)k−1k2. Assim, da condição defronteira u(−1) = a de (2.121), temos

Φk(−1) = Tk(−1)+αkTk+1(−1)+βkTk+2(−1)+ γkTk+3(x)+δkTk+4(−1), (2.121)

ou seja,

(−1)k +(−1)k+1αk +(−1)k+2

βk +(−1)k+3γk +(−1)k+4

δk = a (2.122)

e fixando k par, obtemos

−αk +βk − γk +δk = a−1. (2.123)

Analogamente, da condição de fronteira u(1) = b e de (2.121), obtemos

αk +βk + γk +δk = b−1. (2.124)

A condição de fronteira ux(−1) = 0 em (2.121) produz a igualdade

Φ′k(−1) = T ′

k (−1)+αkT ′k+1(−1)+βkT ′

k+2(−1)+ γkT ′k+3(x)+δkT ′

k+4(−1), (2.125)

ou seja,

(k+1)2αk − (k+2)2

βk +(k+3)2γk − (k+4)2

δk = k2. (2.126)

Analogamente, da condição de fronteira ux(1) = 0 em (2.121), obtemos

(k+1)2αk +(k+2)2

βk +(k+3)2γk +(k+4)2

δk =−k2. (2.127)

Resolvendo o sistema de equações (2.123), (2.124), (2.126) e (2.127), obtemos (2.117),(2.118),(2.119) e (2.120). O caso k ímpar é análogo.

Agora, suponha que u ∈ L2ω([−1,1]) e

u(x) =∞

∑k=0

ukΦk(x) =∞

∑k=0

uk(Tk(x)+αkTk+1(x)+βkTk+2(x)+ γkTk+3(x)+δkTk+4(x))

=u0T0(x)+(u1 +α0u0)T1(x)+(u2 +α1u1 +β0u0)T2(x)+(u3 +α2u2 +β1u1 + γ0u0)T3(x)

+∞

∑k=4

(uk +αk−1uk−1 +βk−2uk−2 + γk−3uk−3 +δk−4uk−4)Tk(x),

(2.128)


o que define a relação entre os coeficientes de Chebyshev {uk}k∈N e os coeficientes de Galerkin{uk}k∈N da solução u

uk :=

uk, se k = 0,uk +αk−1uk−1, se k = 1,uk +αk−1uk−1 +βk−2uk−2, se k = 2,uk +αk−1uk−1 +βk−2uk−2 + γk−3uk−3, se k = 3,uk +αk−1uk−1 +βk−2uk−2 + γk−3uk−3 +δk−4uk−4, se k ≥ 4,

(2.129)

onde uk é definido em (1.9). No que segue trabalharemos com a expansão de Chebyshev (1.8) dafunção u, observando que da expressão (2.128) e da relação (2.129) segue que se os coeficientesde Chebyshev da função u estiverem determinados então a solução u estará determinada. Alémdisso, utilizando a relação (2.46) estendemos a expansão de Chebyshev da derivada de quartaordem para o conjunto do dos númeors inteiros assim como fizemos a derivada de segundaordem em (2.52), ou seja, definimos

a(4)k :=

u(4)k , se k = 0,

u(4)k2

, se k ≥ 1

(2.130)

e a(4)−k = a(4)k ∀k ≥ 1, onde u(4)k é definido em (1.23)

Agora, substituindo (2.48), (2.49), (1.18) e (1.22) na equação do PVF (2.115) e obser-vando atentamente (2.52) e (2.130), obtemos

16l4

(∑k∈Z

a(4)k Tk(x)

)+2

4l2

(∑k∈Z

a(2)k Tk(x)

)+(1+λ ) ∑

k∈ZakTk(x)− ∑

k∈Z(a*a*a)kTk(x) = 0

(2.131)e note que não precisamos nos preocupar com as condições de fronteira do PVF (2.115) nestemomento, pois elas já estão implícitas na base definida em (2.116). Utilizando o produto internodefinido em (1.6), obtemos⟨

16l4

(∑

m∈Za(4)m Tm(x)

),Tk(x)

⟩ω

=16l4 a(4)k ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω

, (2.132)

⟨8l2

(∑

m∈Za(2)m Tm(x)

),Tk(x)

⟩ω

=8l2 a(2)k ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω

, (2.133)

⟨(1+λ ) ∑

m∈ZamTm(x),Tk(x)

⟩ω

= (1+λ )ak ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω(2.134)

e ⟨∑

ki∈Zak1ak2ak3Tk1+k2+k3(x),Tk(x)

⟩ω

= ∑k1+k2+k3=k

ak1ak2ak3 ⟨Tk(x),Tk(x)⟩ω·

ki∈Z (2.135)


Utilizando a linearidade do produto interno e o fato de ⟨0,Tk(x)⟩ω= 0 de (2.131), (2.132),

(2.133), (2.134) e (2.135) obtemos

16l4 a(4)k +

8l2 a(2)k +(1+λ )ak − ∑

k1+k2+k3=kak1ak2ak3 = 0.

ki∈Z (2.136)

Definimos o operador f (a,λ ) = ( fk(a,λ ))k∈Z, componente a componete por

fk(a,λ ) :=16l4 a(4)k +

8l2 a(2)k +(1+λ )ak − ∑

k1+k2+k3=kak1ak2ak3.

ki∈Z (2.137)


f (x,λ ) = 0. (2.138)

Dado a = {ak}k∈Z = x = {xk}k∈Z, nós denotamos sua parte finita de tamanho m e sua corres-pondente parte infinita de tamanho m respectivamente por


onde Fm = {k ∈ Z; |k| < m} e Im = {k ∈ Z; |k| ≥ m}. Agora, consideremos uma projeção deGalerkin de (2.137) de dimensão m dada por f (m) := { f (m)

k }k∈Fm , onde f (m)k : Rm −→ R é

definida por

f (m)k (xFm,λ ) := fk((xFm,0Im),λ )

=16l4 x(4)k +

8l2 x(2)k +(1+λ )xk − ∑

k1+k2+k3=kxk1xk2xk3 ∀k ∈ Fm.

ki∈Z

(2.140)

Fixamos o valor do parâmetro λ = λ0 e encontramos numericamente o vetor xFm tal quef (m)(xFm,λ0)≈ 0. Para isso adotamos uma adaptação da estratégia apresentada em (LIU; YE;WANG, 2011), primeiramente escrevemos (2.140) na forma matricial

f (m)(aFm,λ0) =16l4 (D

4 *a)+8l2 (D

2 *a)+(1+λ0)a−a3, (2.141)

onde * denota o produto usual de matrizes, D2 e D4 são as matrizes diferenciais definidas naSeção 1.1, a = (a0, . . . ,am−1)

t = (x0, . . . ,xm−1)t e a3 = ((a*a*a)0, . . . ,(a*a*a)m−1) (com a

notação estabelecida em (2.10)). Utilizando (2.46), (2.52) e (2.130) segue que (2.141) aindapode ser escrita em termos da base de Chebyshev, como

f (m)(uFm ,λ0) =16l4 (D

4 *u)+8l2 (D

2 * u)+(1+λ0)*u− u3, (2.142)

onde u = (u0, . . . , um−1)t , u3 = (a3

0,2a31, . . . ,2a3

m−1)t e a3 = (a3

0, . . . ,a3m−1)

t=

((a*a*a)0, . . . ,(a*a*a)m−1)t . Expressando a relação (2.129) para o caso finito, temos

u = S* u, (2.143)


onde u = (u0, . . . , um−1)t , u = (u0, . . . , um−5,0,0,0,0)

t . Note que adicionamos as componentesum−4 = um−3 = um−2 = um−1 = 0, pois S é uma matriz de ordem m definida por

S := E(0)+E(−1)W1 +E(−2)W2 +E(−3)W3 +E(−4)W4, (2.144)

onde E(k) = (eki j) é definida para k ∈ Z por

eki j =

1, se i = j+ k,

0, se i = j

(2.145)

e as matrizes W1, W2, W3 e W4 são matrizes diagonais com entradas {αk}, {βk}, {γk} e {δk}respectivamente definidas em (2.117), (2.118), (2.119) e (2.120).


f (m)(uFm ,λ0) =16l4 (D

4 * (S* u))+8l2 (D

2 * (S* u))+(1+λ0)* (S* u)− u3. (2.146)

Para obter xFm tal que f (m)(xFm,λ0) ≈ 0, utlizamos o método de Newton no Matlab epelo fato da matriz D2 ser mal condicionada, utilizamos matriz quase inversa D−4 associada comD4 que é definida em (6), multiplicamos ambos os lados de (2.146) pela matriz D−4 e utilizandoa definição 3, obtemos

D−4 * f (m)(uFm,λ0) = D−4 *(

16l4 (D

4 * (S* u))+8l2 (D

2 * (S* u))+(1+λ0)* (S* u)− u3)

=

(16l4 I(4)+

8l2 D−2 +(1+λ0)D−4

)* (S* u)−D−4u3

(2.147)e finalmente consideramos a função

g(m−4)(uFm−4,λ0) = A* u−λ0y3, (2.148)

onde a matriz A é obtida da matriz(

16l4 I(4)+

8l2 D−2 +(1+λ0)D−4

)* S excluindo as suas

quatro primeiras linhas e as quatro últimas colunas e y3 é obtido do produto D−4 * u3, ondeeliminamos as quatro primeiras linhas e as quatro últimas colunas da matriz D−4 e as quatroúltimas componentes do vetor u3, antes de efetuar o produto. Também eliminamos as quatroúltimas componentes nulas do vetor u para queo produto A * u esteja bem definido. Agora,definimos

g(x,λ ) :=

h(m)

k (x,λ ), se k ∈ Fm,


(2.149)


onde h(m)k denota a componente k de h(m) que é definida a partir de h(m) pela seguinte composição

Rm S−1−→ Rm φ−→ Rm−4 g(m−4)

−→ Rm−4 ψ−→ Rm S−→ Rm

uFm ↦−→ uFm ↦−→ uFm−4 ↦−→ g(m−4)(uFm−4,λ0) ↦−→ g(m)(uFm ,λ0) ↦−→ h(m)(uFm ,λ0)(2.150)

onde S−1 é a inversa da matriz S definida em (2.144), φ representa o procedimento de eliminaras quatro últimas coordenadas nulas do vetor, g(m−4) é definida em (2.148), ψ representa oprocedimento de acrescentar as quatro últimas coordenadas nulas no vetor e finalmente paraobter h(m)(aFm,λ0) em (2.149) basta utilizar a relação (2.46) no início e no final da sequênciaem (2.150).


g(x,λ ) = 0. (2.151)

Nós encontramos numericamente xFm tal que h(m)(xFm,λ0)≈ 0 e definimos

x := (xFm,0Im) ∈ X s = {x = {xk}k∈Z; ||x||s = supk∈Z

{ωsk |xk|}< ∞}, (2.152)

onde s ≥ 1 e ωsk é definido em (2.75).

Nós assumimos que g(x,λ0)≈ 0, onde x := (xFm ,0Im) ∈ X s e utilizamos x para definirum problema de ponto fixo equivalente para (2.151). Para este propósito, supomos que a matrizJacobiana Dh(m)(xFm ,λ0) é não singular e tomamos a aproximação Am ≈ [Dh(m)(xFm ,λ0)]

−1.

Definimos o operador A no espaço de sequências de modo que ele atue como uma apro-ximação para a inversa de Dg(x,λ0). Para x = {xk}k∈Z, ele é definido componente a componentepor

[A(x)]k :=


l4

16[φ(x)]k, se k /∈ Fm,

(2.153)

onde

[φ(x)]k =1

16(k−3)(k−2)(k−1)kxk−4 −

14(k−3)(k−1)k(k+1)

xk−2 +3

8(k−2)(k−1)(k+1)(k+2)xk

− 14(k−1)k(k+1)(k+3)

xk+2 +1

16k(k+1)(k+2)(k+3)xk+4.

(2.154)Utilizando (2.153) nós definimos

T (x) = Tλ0(x) := x−Ag(x,λ0). (2.155)


Nós queremos encontrar um único ponto fixo de T no interior da bola fechada B(x,r) em X s,centrada em x e de raio r definida em (2.78) e (2.79). Para isso nós precisamos dos limitantessuperiores Yk e Zk para todo k ∈ Z, satisfazendo as desigualdades (2.80) e (2.81). Os limitantessuperiores Yk e Zk serão calculados nas duas próximas subseções.


Assim como fizemos na Subseção 2.2.1 antes de calcularmos os limitantes superioresYk e Zk escolhemos M ∈ N tal que M ≥ 3(m−1)+1 porque o termo não linear da equação temgrau 3 e a projeção de Galerkin tem comprimento m. De (2.155) nós temos T (x)− x = Ag(x,λ0)

e consequentemente |[T (x)− x]k| = |[Ag(x,λ0)]k|. Como xk = 0 ∀k /∈ Fm, conseguimos obtergk(x,λ0) = 0 para cada k /∈ FM. Assim, definimos Y = {Yk}k∈Z por

Yk :=

|[Am(h(m)(xFm,λ0))]k|, se k ∈ Fm,

l4

16|[φ(g(x,λ0))]k|, se k ∈ FM −Fm,

0, se k /∈ FM,

(2.156)

onde

[φ(g(x,λ0))]k =1

16(k−3)(k−2)(k−1)kgk−4(x,λ0)−

14(k−3)(k−1)k(k+1)

gk−2(x,λ0)

+3

8(k−2)(k−1)(k+1)(k+2)gk(x,λ0)−

14(k−1)k(k+1)(k+3)

gk+2(x,λ0)

+1

16k(k+1)(k+2)(k+3)gk+4(x,λ0)·

(2.157)


Assim como ocorreu com os limites superiores Yk, nós encontraremos um limite uniformepara Zk com k /∈ FM, daí necessitamos calcular Zk apenas para k ∈ FM. Para definir este limitesuperior, nós primeiramente derivamos uma fórmula geral para [DT (x+ b)c]k com k /∈ Fm.Usando a notação estabelecida em (2.84) temos para k /∈ Fm

[Dg(x+b)c]k =16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]cp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

]+(1+λ0)ck −3[(x+b)2 * c]k·

(p+k) par

(2.158)


Agora, supondo que k /∈ Fm e pondo b = ru e c = rv, para u,v ∈ B(1), obtemos de (2.153) e(2.155)

[DT (x+b)c]k = ck

− l4

16e(k−4)

{16l4

{∞

∑p=k

p[(p3 −4p)2

24− ((k−4)3 −4(k−4))2

24+

(k−4)2 p2

8((k−4)2 − p2)

]cp

}(p+k−4) par

+8l2

[∞

∑p=k−2

p(p2 − (k−4)2)cp

]+(1+λ0)ck−4 −3λ0[(x+b)2 * c]k−4

}(p+k−4) par

+l4

16e(k−2)

{16l4

{∞

∑p=k+2

p[(p3 −4p)2

24− ((k−2)3 −4(k−2))2

24+

(k−2)2 p2

8((k−2)2 − p2)

]cp

}(p+k−2) par

+8l2

[∞

∑p=k

p(p2 − (k−2)2)cp

]+(1+λ0)ck−2 −3λ0[(x+b)2 * c]k−2

}(p+k−2) par

− l4

16e(k)

{16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]cp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

]+(1+λ0)ck −3λ0[(x+b)2 * c]k

}(p+k) par

+l4

16e(k+2)

{16l4

{∞

∑p=k+6

p[(p3 −4p)2

24− ((k+2)3 −4(k+2))2

24+

(k+2)2 p2

8((k+2)2 − p2)

]cp

}(p+k+2) par

+8l2

[∞

∑p=k+4

p(p2 − (k+2)2)cp

]+(1+λ0)ck+2 −3λ0[(x+b)2 * c]k+2

}(p+k+2) par

− l4

16e(k+4)

{16l4

{∞

∑p=k+8

p[(p3 −4p)2

24− ((k+4)3 −4(k+4))2

24+

(k+4)2 p2

8((k+4)2 − p2)

]cp

}(p+k+4) par

+8l2

[∞

∑p=k+6

p(p2 − (k+4)2)cp

]+(1+λ0)ck+4 −3λ0[(x+b)2 * c]k+4

},

(p+k+4) par

(2.159)onde

e(k−4) =1

16(k−3)(k−2)(k−1)k, e(k−2) =

14(k−3)(k−1)k(k+1)

, (2.160)

e(k) =3

8(k−2)(k−1)(k+1)(k+2), e(k+2) =

14(k−1)k(k+1)(k+3)

, (2.161)


e

e(k+4) =1

16k(k+1)(k+2)(k+3)· (2.162)

Assim, de (2.159) temos,

[DT (x+b)c]k = r[

vk −16k7 −224k5 +784k3 −576k

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk

+l2

2−4k5 −4k4 +52k3 +52k2 −144k−144

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk−2

+l2

28k5 −104k3 +288k

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk

+l2

2−4k5 +4k4 +52k3 −52k2 −144k+144

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk+2

− l4

16(1+λ0)(k+1)(k+2)(k+3)

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk−4

+l4

16(1+λ0)4(k−2)(k+2)(k+3)

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk−2

− l4

16(1+λ0)6(k−3)k(k+3)

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk

+l4

16(1+λ0)4(k−3)(k−2)(k+2)

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk+2

− l4

16(1+λ0)(k−3)(k−2)(k−1)

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk+4

+3l4

16(k+1)(k+2)(k+3)[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k−4

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)

− 3l4

164(k−2)(k+2)(k+3)[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k−2

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)

+3l4

166(k−3)k(k+3)[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)

− 3l4

164(k−3)(k−2)(k+2)[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k+2

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)

+3l4

16(k−3)(k−2)(k−1)[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]k+4

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)

]·

(2.163)

Agora, aplicando o Lema 8 do apêndice A em (2.163), obtemos para k /∈ FM

|[DT (x+b)c]k| ≤ r[

l2

2|−4k5 −4k4 +52k3 +52k2 −144k−144|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k−2

+l2

2|8k5 −104k3 +288k|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k

+l2

2|−4k5 +4k4 +52k3 −52k2 −144k+144|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k+2


+l4

16|1+λ0||k+1||k+2||k+3|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k−4

+l4

16|1+λ0|4|k−2||k+2||k+3|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k−2

+l4

16|1+λ0|6|k−3|k|k+3|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k

+l4

16|1+λ0|4|k−3||k−2||k+2|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k+2

− l4

16|1+λ0||k−3||k−2||k−1|

16|k−3||k−2||k−1||k||k+1||k+2||k+3|||v||sωs

k+4

+3l4

161

16|k−3||k−2||k−1||k|

(||x||2s

α(3)M

ωsk−4

+2r||x||sα(3)M

ωsk−4

+ r2 α(3)M

ωsk−4

)

+3l4

164

16|k−3||k−1||k||k+1|

(||x||2s

α(3)M

ωsk−2

+2r||x||sα(3)M

ωsk−2

+ r2 α(3)M

ωsk−2

)

+3l4

166

16|k−2||k−1||k+1||k+2|

(||x||2s

α(3)M

ωsk+2r||x||s

α(3)M

ωsk+ r2 α

(3)M

ωsk

)

+3l4

164

16|k−1||k||k+1||k+3|

(||x||2s

α(3)M

ωsk+2

+2r||x||sα(3)M

ωsk+2

+ r2 α(3)M

ωsk+2

)

+3l4

161

16|k||k+1||k+2||k+3|

(||x||2s

α(3)M

ωsk+4

+2r||x||sα(3)M

ωsk+4

+ r2 α(3)M

ωsk+4

)],

(2.164)

ou seja,

|[DT (x+b)c]k| ≤r

ωsk

[l2

21

|−4k(k−1)|ωs

kωs

k−2||v||s +

l2

21

|2(k2 −1)|||v||s +

l2

21

|−4k(k+1)|ωs

kωs

k+2||v||s

+l4

16|1+λ0|

16|k−3||k−2||k−1||k|ωs

kωs

k−4||v||s +

l4

164|1+λ0|

16|k−3||k−1||k||k+1|ωs

kωs

k−2||v||s

+l4

166|1+λ0|

16|k−2||k−1||k+1||k+2|||v||s +

l4

164|1+λ0|

16|k−1||k||k+1||k+3|ωs

kωs

k+2||v||s

+l4

16|1+λ0|

16|k||k+1||k+2||k+3|ωs

kωs

k+4||v||s +

3l4

16

(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|k−3||k−2||k−1||k|ωs

kωs

k−4α(3)M

+3l4

164(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|k−3||k−1||k||k+1|ωs

kωs

k−2α(3)M +

3l4

166(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|k−2||k−1||k+1||k+2|α(3)M

+3l4

164(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|k−1||k||k+1||k+3|ωs

kωs

k+2α(3)M +

3l4

161(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|k||k+1||k+2||k+3|ωs

kωs

k+4α(3)M

]

≤ rωs

k

[l2

21

4|M||M−1|

(1+

2M−2

)s

+l2

21

2|M2 −1|+

l2

21

4|M||M+1|

+l4

16|1+λ0|

16|M−3||M−2||M−1||M|

(1+

4M−4

)s


+l4

164|1+λ0|

16|M−3||M−1||M||M+1|

(1+

2M−2

)s

+l4

166|1+λ0|

16|M−2||M−1||M+1||M+2|+

l4

164|1+λ0|

16|M−1||M||M+1||M+3|

+l4

16|1+λ0|

16|M||M+1||M+2||M+3|

+3l4

16

(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|M−3||M−2||M−1||M|α(3)M

(1+

4M−4

)s

+3l4

164(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|M−3||M−1||M||M+1|α(3)M

(1+

2M−2

)s

+3l4

166(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|M−2||M−1||M+1||M+2|α(3)M

+3l4

164(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|M−1||M||M+1||M+3|α(3)M

+3l4

161(||x||2s +2r||x||s + r2)

16|M||M+1||M+2||M+3|α(3)M

]:=

rωs

kZM,

(2.165)

onde ZM é um polinômio em r e independe de k.

Para definir {Zk}k∈FM é conveniente denotar Am :=Dh(m)(xFm ,λ0) e introduzir o operador

[A(x)]k :=


16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]xp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)xp

], se k /∈ Fm,

(p+k) par

(2.166)que atua como uma aproximação da inversa do operador A definido em (2.153). Nós entãodividimos DT (x+b)c como segue


onde o primeiro termo tem os seguintes limites:

(i) Se k ∈ Fm, temos

|[(I −AA)c]k|= |[(I −AA)rv]k| ≤ r[|(I −AmDh(m)(xFm,λ0))|ω−sFm]k, (2.168)


onde ω−sFm

:= {1/ωsk}k∈Fm e | · | o valor absoluto de todas as entradas da matriz.

(ii) Se k /∈ Fm, temos

[(I −AA)c]k = ck −l4

16

[1

16(k−3)(k−2)(k−1)k[A(c)]k−4 −

14(k−3)(k−1)k(k+1)

[A(c)]k−2

+3

8(k−2)(k−1)(k+1)(k+2)[A(c)]k −

14(k−1)k(k+1)(k+3)

[A(c)]k+2

+1

16k(k+1)(k+2)(k+3)[A(c)]k+4

= r[

vk −16k7 −224k5 +784k3 −576k

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk

+l2

2−4k5 −4k4 +52k3 +52k2 −144k−144

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk−2

+l2

28k5 −104k3 +288k

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk

+l2

2−4k5 +4k4 +52k3 −52k2 −144k+144

16(k−3)(k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)(k+3)vk+2

]= r

l2

2

[1

−4k(k−1)vk−2 +

12k2 −1

vk +1

−4k(k+1)vk+2

],

(2.169)onde consideramos v ∈ B(1) e c = rv. Logo, definimos

Z(0)k :=

[|(I −AmDh(m)(xFm,λ0))|ω−s

Fm]k, se k ∈ Fm,

l2

2

∣∣∣∣ 1−4k(k−1)

vk−2 +1

2k2 −1vk +

1−4k(k+1)

vk+2

∣∣∣∣ , se k /∈ Fm.

(2.170)


[Dg(x+b)c]k =16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]cp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

]+(1+λ0)ck −3[x2 * c+2x*b* c+b2 * c]k·

(p+k) par

(2.171)


e

[A(c)]k :=

16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]cp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

],

(p+k) par

+(1+λ0)ck − ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2ck3, se k ∈ Fm,

ki∈Z

16l4

{∞

∑p=k+4

p[(p3 −4p)2

24− (k3 −4k)2

24+

k2 p2

8(k2 − p2)

]cp

}(p+k) par

+8l2

[∞

∑p=k+2

p(p2 − k2)cp

], se k /∈ Fm.

(p+k) par

(2.172)Agora, considerando u,v ∈ B(1) e definindo b = ru e c = rv, podemos expandir a expressão[(Dg(x+b)− A)c]k em termos de r como

[(Dg(x+b)− A)c]k =−3λ0(C(1)k r+2C(2)

k r2 +C(3)k r3) (2.173)

e lembrando que xk j = 0 para k j /∈ Fm, nós definimos

C(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3 , para k ∈ Fm,

k1,k2∈Fm,k3 /∈Fm

−13(1+λ0)vk + ∑

k1+k2+k3=kxk1 xk2vk3 , para k /∈ Fm,

k1,k2∈Fm,k3∈Z

(2.174)

C(2)k := ∑

k1+k2+k3=kxk1uk2vk3 e

k1∈Fm,k2,k3∈Z

C(3)k := ∑

k1+k2+k3=kuk1uk2vk3.

k j∈Z (2.175)

Agora, queremos encontrar os limites superiores, Z(1)k , Z(2)


k | ≤ Z( j)k ,

para j = 1,2,3. Para isso consideremos a divisão

C(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3


+ ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3, para k ∈ Fm,


−13(1+λ0)vk + ∑

k1+k2+k3=kxk1 xk2vk3

k1,k2∈Fm,k3∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3 , para k /∈ Fm.


(2.176)


Utilizando o Lema 7 e (2.176), obtemos

Z(1)k :=

∑k1+k2+k3=k

|xk1||xk2|

(1

ωsk3

)+ ||x||2s ε

(3)k , para k ∈ Fm,


13(1+λ0)

1ωs

k+ ∑

k1+k2+k3=k|xk1||xk2|

(1

ωsk3

)+ ||x||2s ε

(3)k , para k ∈ FM −Fm.

k1,k2∈Fm,k3∈FM

(2.177)Para C(2)

k e C(3)k consideremos as divisões

C(2)k = ∑

k1+k2+k3=kxk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3 /∈FM (2.178)

e

C(3)k = ∑

k1+k2+k3=kuk1uk2vk3

k j∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3.

k j /∈FM (2.179)

Novamente utilizando o Lema 7 para k ∈ FM, obtemos

Z(2)k := ∑

k1+k2+k3=k|xk1|

(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+2||x||sε(3)k , para k ∈ FM

k1∈Fm,k2,k3∈FM (2.180)

e

Z(3)k := ∑

k1+k2+k3=k

(1

ωsk1

)(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+3ε


k j∈FM (2.181)

Finalmente de (2.153), (2.165), (2.167), (2.170), (2.173) (2.180) e (2.181), obtemos

Zk :=

3λ0[|Am|(Z(1)Fm

r+2Z(2)Fm

r2 +Z(3)Fm

r3)]k +Z(0)k r, se k ∈ Fm,

Zk +Z(0)k r, se k ∈ FM −Fm,

rωs

kZM, se k /∈ FM,

(2.182)


onde

Zk = 3l4

16

∣∣∣∣ 116(k−3)(k−2)(k−1)k

[(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k−4

− 14(k−3)(k−1)k(k+1)

(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k−2

+3

8(k−2)(k−1)(k+1)(k+2)[(Z(1)

k r+2Z(2)k r2 +Z(3)

k r3)]k

− 14(k−1)k(k+1)(k+3)

[(Z(1)k r+2Z(2)

k r2 +Z(3)k r3)]k+2

+1

16k(k+1)(k+2)(k+3)[(Z(1)

k r+2Z(2)k r2 +Z(3)

k r3)]k+4

∣∣∣∣

(2.183)

e ZM é definido em (2.165).

Finalizamos este capítulo ilustrando o ramo de soluções, as aproximações de soluçõese a prova rigorosa de existência e unicidade para soluções de equilíbrio para a equação deSwift-Hohenberg.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 45011

11.5

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

λ

‖a‖

(a) Ramo de Soluções.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

35

40

x

u

(b) Soluções no ramo.

Figura 3 – Soluções para Swift-Hohenberg

Teorema 6. Considere λ ∈ {0,50,100,150,200,250,300,350,400,450} no ramo de soluçãona Figura 3(a) e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 3(b). Então exister ≈ 10−13 e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.

Demonstração. Calculamos todos os polinômios radiais e encontramos um raio r ≈ 10−13 quetornava todos os polinômios radiais negativos para m = 100, M = 300 e s = 2.

71

CAPÍTULO

3SOLUÇÕES DE EQUÍLIBRIO PARA

EQUAÇÕES BIDIMENSIONAIS

Neste capítulo utilizaremos o método da continuação rigorosa da Seção 2.1 com asdevidas adaptações para o caso bidimensional para encontrar soluções de equilíbrio para aequação de Alen-Cahn.

3.1 Problema de Dirichlet Para a Equação de Alen-Cahn

Nesta seção aplicaremos o método da continuação rigorosa para a equação de Alen Cahnbidimensional

vt = ε2∆v+ v− v3 em (0,1)× (0,1),v(0, y) = v(1, y) = 0,v(x,0) = v(x,1) = 0,

(3.1)

onde ε > 0. A equação em (3.1) está intimamente relacionada com a equação de Cahn-Hilliardque foi introduzida em (CAHN; HILLIARD, 1958) como um modelo para descrever o processode separação de fases em ligas de ferro que contém dois metais.

Neste trabalho estamos interessados em obter soluções de equilíbrio de (3.1). Assim,basta resolvermos o seguinte problema

ε2∆v+ v− v3 = 0 em (0,1)× (0,1),v(0, y) = v(1, y) = 0,v(x,0) = v(x,1) = 0,

(3.2)

ou seja, encontrar soluções para o problema de valor de fronteira (PVF) com condições deDirichlet.

72 Capítulo 3. Soluções de Equílibrio Para Equações Bidimensionais

Fazendo as mudanças de variáveis x = 2x−1 e y = 2y−1 temos x =x+1

2e y =

y+12

respectivamente. Reescrevendo a equação de Alen-Canh com a mudança

v(x, y) = v(

x+12

,y+1

2

)= u(x,y), (3.3)

obtemos o seguinte problema que é equivalente ao PVF (3.2)4

1λ

∆u+u−u3 = 0 em (−1,1)× (−1,1),

u(−1,y) = u(1,y) = 0,u(x,−1) = u(x,1) = 0,

(3.4)

onde λ :=1ε2 ·

Como (x,y) ∈ [−1,1]× [−1,1] e buscamos uma solução não periódica convém expres-sarmos a solução do problema (3.4) em termos de uma base de Chebyshev formada pelo peloproduto {Tk1(x) ·Tk2(y)}(k1,k2)∈N2 , onde os polinômios de Chebyshev Tk são definidos em (1.5).Além disso, para que as condições de contorno sejam cumpridas pelos elementos da base con-vém considerarmos uma base onde cada elemento é uma combinação linear dos polinômios deChebyshev {Tk(x)}k∈N, neste caso consideraremos a base {Φk1(x) ·Φk2(y)}(k1,k2)∈N2 , onde

Φk1(x) = Tk1(x)−Tk1+2(x) e Φk2(x) = Tk2(y)−Tk2+2(y) (3.5)

são semelhantes ao caso unidimensional e consequências das propriedades Tk(1) = 1 e Tk(−1) =(−1)k.

Agora, suponha que u ∈ L2ω([−1,1]× [−1,1]) e

u(x,y) =∞

∑k1=0

∞

∑k2=0

u(k1,k2)Φk1(x)Φk2(y) =∞

∑k1=0

∞

∑k2=0

u(k1,k2)(Tk1(x)−Tk1+2(x))(Tk2(y)−Tk2+2(y))

= u(0,0)T0(x)T0(y)+ u(1,0)T1(x)T0(y)+ u(0,1)T0(x)T1(y)+ u(1,1)T1(x)T1(y)

+∞

∑k1=2

(u(k1,0)− u(k1−2,0))Tk1(x)T0(y)+∞

∑k1=2

(u(k1,1)− u(k1−2,1))Tk1(x)T1(y)

+∞

∑k2=2

(u(0,k2)− u(0,k2−2))T0(x)Tk2(y)+∞

∑k2=2

(u(1,k2)− u(1,k2−2))T1(x)Tk2(y)

+∞

∑k1=2

∞

∑k2=2

(u(k1,k2)− u(k1−2,k2)− u(k1,k2−2)+ u(k1−2,k2−2)

)Tk1(x)Tk2(y),

(3.6)o que define a relação entre os coeficientes de Chebyshev {u(k1,k2)}(k1,k2)∈N2 e os coeficientes deGalerkin {u(k1,k2)}(k1,k2)∈N2 da solução u como segue

u(k1,k2) :=

u(k1,k2), se (k1,k2) ∈ {0,1}×{0,1},u(k1,k2)− u(k1−2,k2), se k1 ≥ 2 e k2 ∈ {0,1},u(k1,k2)− u(k1,k2−2), se k2 ≥ 2 e k1 ∈ {0,1},u(k1,k2)− u(k1−2,k2)− u(k1,k2−2)+ u(k1−2,k2−2), se k1 ≥ 2 e k2 ≥ 2,

(3.7)


onde u(k1,k2) é definido em (1.30).

No que segue trabalharemos com a expansão de Chebyshev (1.29) da função u, obser-vando que da expressão (3.6) e da relação (3.7) segue que se os coeficientes de Chebyshev dafunção u estiverem determinados então a solução u estará determinada. Começamos definindoos coeficientes

a(k1,k2) :=

u(0,0), se k1 = 0 e k2 = 0,

u(k1,0)

2, se k1 > 0,

u(0,k2)

2, se k2 > 0,

u(k1,k2)

4, se k1 > 0 e k2 > 0

(3.8)

e a(−k1,−k2) = a(k1,k2) ∀k1 ≥ 1 e ∀k2 ≥ 1 de modo análogo ao que fizemos em (2.47) no casounidimensional.

De (3.8) e utilizando raciocínio análogo ao empregado em (2.48)

u(x,y) =∞

∑k1=0

∞

∑k2=0

u(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y)

=∞

∑k2=0

u(0,k2)T0(x)Tk2(y)+∞

∑k1=0

u(k1,0)Tk1(x)T0(y)+∞

∑k1=1

∞

∑k2=1


= 2u(0,0)1.1+∞

∑k2=1

u(0,k2)1 ·Tk2(y)+∞

∑k1=1

u(k1,0)Tk1(x) ·1+∞

∑k1=1

∞

∑k2=1


= 2a(0,0)+∞

∑k2=1

2a(0,k2)Tk2(y)+∞

∑k1=1

2a(k1,0)Tk1(x)+∞

∑k1=1

∞

∑k2=1

4a(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y)

= ∑k1∈Z

∑k2∈Z

a(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y) = ∑k1∈Z

∑k2∈Z

a(k1,k2)cos(k1θ1)cos(k2θ2)

= ∑k1∈Z

∑k2∈Z

a(k1,k2)eik1θ eik2θ .

(3.9)Logo, a expansão em série de Chebyshev do termo não linear da equação de Alen-Cahn é análoga


à expansão de Fourier, ou seja,

(u(x))3 =

(∞

∑k1=0

∞

∑k2=0


)3

=

(∑

k1∈Z∑

k2∈Za(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y)

)3

=

(∑

m1∈Z∑

n1∈Za(m1,n1)e

im1θ1ein1θ2

)(∑

m2∈Z∑

n2∈Za(m2,n2)e

im2θ1ein2θ2

)(∑

m3∈Z∑

n3∈Za(m3,n3)e

im3θ1ein3θ2

)= ∑

mi∈Z∑

ni∈Za(m1,n1)a(m2,n2)a(m3,n3)Tm1+m2+m3(x)Tn1+n2+n3(y)

= ∑k1∈Z

∑k2∈Z

(a*a*a)(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y),

(3.10)onde

(a*a*a)(k1,k2) :=∞

∑m1+m2+m3=k1

a(m1,n1)a(m2,n2)a(m3,n3)

n1+n2+n3=k2 (3.11)

e (k1,k2) ∈ Z×Z. De (1.31), (1.32), (1.33) e (1.34) temos a expansão de Chebyshev de ∆u,para estendermos a expansão para o conjunto Z×Z, assim como fizemos com a expansão de u eu3 basta procedermos de modo análogo ao que fizemos em (2.51) e (2.52) utilizando a relação(3.8).

Agora, substituindo (3.9), (3.10), (1.31) e (1.33) na equação do PVF (3.4) e observandoatentamente o parágrafo anterior, obtemos

41λ

(∑

k1∈Z∑

k2∈Za(2)x(k1,k2)

Tk1(x)Tk2(y)

)+ 4

1λ

(∑

k1∈Z∑

k2∈Za(2)y(k1,k2)

Tk1(x)Tk2(y)

)+ ∑

k1∈Z∑

k2∈Za(k1,k2)Tk1(x)Tk2(y) − ∑

k1∈Z∑

k2∈Z(a*a*a)(k1,k2)

Tk1(x)Tk2(y) = 0(3.12)

e note que não precisamos nos preocupar com as condições de fronteira do PVF (3.4) nestemomento, pois elas já estão implícitas na base definida em (3.5). Utilizando o produto internodefinido em (1.28), obtemos⟨

41λ

(∑

m1∈Z∑

m2∈Za(2)x(m1,m2)

Tm1(x)Tm2(y)

),Tk1(x)Tk2(y)

⟩ω

= 41λ

a(2)x(k1,k2)

⟨Tk1(x)Tk2(y),Tk1(x)Tk2(y)

⟩ω,

(3.13)

⟨4

1λ

(∑

m1∈Z∑

m2∈Za(2)y(m1,m2)

Tm1(x)Tm2(y)

),Tk1(x)Tk2(y)

⟩ω

= 41λ

a(2)y(k1,k2)


⟩ω,

(3.14)

⟨∑

k1∈Z∑

k2∈Za(m1,m2)Tm1(x)Tm2(y),Tk1(x)Tk2(y)

⟩ω

= a(k1,k2)


⟩ω

(3.15)


e⟨∑

m1∈Z∑

m2∈Z(a*a*a)(m1,m2)

Tm1(x)Tm2(y),Tk1(x)Tk2(y)

⟩ω

=(a*a*a)(k1,k2)


⟩ω

(3.16)onde a notação (a*a*a)(k1,k2)

foi estabelecida em (3.11). Utilizando a linearidade do produtointerno e o fato de ⟨0,Tk(x)⟩ω

= 0 de (3.12), (3.13), (3.14), (3.15) e (3.16), obtemos

41λ

(a(2)x(k1,k2)

+a(2)y(k1,k2)

)+a(k1,k2)− ∑

m1+m2+m3=k1

a(m1,n1)a(m2,n2)a(m3,n3) = 0.

n1+n2+n3=k2 (3.17)

Definimos o operador f (a,λ ) = ( f(k1,k2)(a,λ ))(k1,k2)∈Z×Z, componente a componete por

f(k1,k2)(a,λ ) := 41λ

a(2)(k1,k2)

+a(k1,k2)− ∑m1+m2+m3=k1

a(m1,n1)a(m2,n2)a(m3,n3),

n1+n2+n3=k2 (3.18)

onde a(2)(k1,k2)

= a(2)x(k1,k2)

+a(2)y(k1,k2)

.


f (x,λ ) = 0. (3.19)

Dado a = {a(k1,k2)}(k1,k2)∈Z×Z = x = {x(k1,k2)}(k1,k2)∈Z×Z, nós denotamos sua parte finitade tamanho m e sua correspondente parte infinita de tamanho m respectivamente por


onde k = (k1,k2), |k| = (|k1|, |k2|), m = (m1,m2) e Fm = {k ∈ Z2; |k| < m} é tal queFm =Fm1 ×Fm2 e Fmi = {k ∈Z; |ki|<mi} para i= 1,2, além disso, Im = {k ∈Z2; |k| ≥m}. Agora,consideremos uma projeção de Galerkin de (3.18) de dimensão m dada por f (m) := { f (m)

k }k∈Fm ,onde f (m)

k : Rm1.m2 −→ R é definida por

f (m)k (xFm,λ ) : = fk((xFm,0Im),λ )

= 41λ

x(2)k + xk − ∑i1+i2+i3=k1

x(i1, j1)x(i2, j2)x(i3, j3) ∀k = (k1,k2) ∈ Fm.

j1+ j2+ j3=k2

(3.21)

Fixamos o valor do parâmetro λ = λ0 e encontramos numericamente o vetor xFm tal quef (m)(xFm ,λ0)≈ 0. Para isso adotamos uma adaptação da estratégia apresentada em (LIU; YE;WANG, 2011), primeiramente escrevemos (3.21) na forma matricial

f (m)(aFm,λ0) = 41λ0

(D2x ⊗ Iy + Ix ⊗D2

y)*a+a−a3, (3.22)


onde utilizamos (ii) e (iv) da Proposição 5, D2x é a matriz diferencial definida na seção 1.1, *

denota o produto usual de matrizes, ⊗ denota o produto de Kronecker de matrizes de acordo coma definição 7, a o vetor coluna formado pelas linhas da matriz (ai, j)

m1−1,m2−1i, j=0 e a3 o vetor coluna

formado pelas linhas da matriz ((a*a*a)i, j)m1−1,m2−1i, j=0 . Utilizando (3.8) segue que (3.22) ainda

pode ser escrita em termos da base de Chebyshev, como

f (m)(uFm ,λ0) = 41λ0

(D2x ⊗ Iy + Ix ⊗D2

y)u+ u− u3, (3.23)

onde u o vetor coluna formado pelas linhas da matriz (ui, j)m1−1,m2−1i, j=0 e u3 o vetor coluna obtido

a3 mediante a relação (3.8). A relação (3.7) pode ser escrita no caso finito em linguagemmatricial como segue

u = (Sx ⊗Sy)* u, (3.24)

onde Sx e Sx são definidas como a matriz S em (2.66) e para que o produto acima esteja bemdefinido acrescestamos as duas últimas linhas e as duas últimas colunas nulas na matriz u antesde transformar as linhas desta matriz num vetor coluna.


f (m)(uFm,λ0) = 41λ0

(D2x ⊗ Iy + Ix ⊗D2

y)* (Sx ⊗Sy)* u+(Sx ⊗Sy)* u− u3. (3.25)

Para obter xFm tal que f (m)(xFm ,λ0) ≈ 0, utlizamos o método de Newton no Matlab epelo fato das matriz D2

x e D2y serem mal condicionadas, nós exploramos a técnica quase inversa

de forma semelhante ao que fizemos no caso unidimensional, multiplicamos ambos os lados de(3.25) pela matriz D−2

x ⊗D−2y e utilizando a definição 3 e a proposição 4, obtemos

(D−2x ⊗D−2

y )

[4λ0

(D2x ⊗ Iy + Ix ⊗D2

y)* (Sx ⊗Sy)* u+(Sx ⊗Sy)* u− u3]=

=

[4λ0

(I(2)x ⊗D−2

y +D−2x ⊗ I(2)x

)+(D−2

x ⊗D−2y )

]* (Sx ⊗Sy)* u− (D−2

x ⊗D−2y )* u3

=

[4λ0

((I(2)x *Sx)⊗ (D−2

y *Sy)+(D−2x *Sx)⊗ (I(2)x *Sy)

)+D−2

x *Sx ⊗D−2y *Sy

]* u

−(D−2x ⊗D−2

y )* u3 = (D−2x ⊗D−2

x ) f (m)(uFm,λ0),(3.26)

onde o procedimento de eliminar as duas primeiras linhas e as duas últimas colunas das matrizesé sempre realizado antes de efetuar o produto de Kronecker e finalmente consideramos a função

g(m1−2,m2−2)(uFm−2,λ0) = A* u− (D−2x ⊗D−2

y )* u3, (3.27)

onde

A =

[4λ0

((I(2)x *Sx)⊗ (D−2

y *Sy)+(D−2x *Sx)⊗ (I(2)x *Sy)

)+D−2

x *Sx ⊗D−2y *Sy

]. (3.28)


Agora, definimos

g(x,λ ) :=

h(m)

k (x,λ ), se k ∈ Fm


(3.29)

onde fk foi definida em (3.18) e h(m)k denota a componente k de h(m) que é definida a partir

de g(m1−2,m2−2) fazendo composição análoga a realizada em (2.72) considerando Rm1·m2 eR(m1−2)·(m2−2).


g(x,λ ) = 0. (3.30)

Nós encontramos numericamente xFm tal que h(m)(xFm,λ0)≈ 0. Definindo

x := (xFm,0Im) ∈ X s = {x = {xk}k∈Z×Z; ||x||s = supk∈Z×Z

{ωsk |xk|}< ∞} (3.31)

onde k = (k1,k2) ∈ Z×Z, s = (s1,s2) ∈ Z×Z, com si ≥ 1 para i = 1,2 e

ωsk := ω

sk1·ωs

k2. (3.32)

Assumimos que g(x,λ0)≈ 0 e utilizamos x para definir um problema de ponto fixo equivalentepara (3.30). Para este propósito, escolhemos M = (M1,M2) ∈ N×N tal que M ≥ 3(m−1)+1,onde m = (m1,m2) e a desigualdade anterior significa que ela é satisfeita pelas duas componentesde M e m como em (2.29). Supomos que a matriz Jacobiana Dh(M)(xFM ,λ0) é não singular etomamos a aproximação AM ≈ [Dh(M)(xFM ,λ0)]

−1, onde xFM , é obtido de xFm , acrescentando ascomponentes nulas para k ∈ FM −Fm.

Definimos o operador A no espaço de sequências de modo que ele atue como umaaproximação para a inversa de Dg(x,λ0). Para x = {xk}k∈Z×Z, ele é definido componente acomponente por

[A(x)]k :=

[AM(xFM)]k, se k ∈ FM,

λ0

4[σ(x)]k, se k /∈ FM,

(3.33)

onde k = (k1,k2) e [σ(x)]k é dado por

[σ(x)]k =1

4k1(k1 −1)

(1

4k2(k2 −1)x(k1−2,k2−2)−

12((k2)2 −1)

x(k1−2,k2)+1

4k2(k2 +1)x(k1−2,k2+2)

)

− 12(k2

1 −1)

(1

4k2(k2 −1)x(k1,k2−2)−

12((k2)2 −1)

x(k1,k2)+1

4k2(k2 +1)x(k1,k2+2)

)

+1

4k1(k1 +1)

(1

4k2(k2 −1)x(k1+2,k2−2)−

12((k2)2 −1)

x(k1+2,k2)+1

4k2(k2 +1)x(k1+2,k2+2)

)·

(3.34)


Utilizando (3.33) e (3.34) definimos

T (x) = Tλ0(x) := x−Ag(x,λ0). (3.35)


B(r) := B(0,r) =

[− r

ωsk1

,r

ωsk1

]×

[− r

ωsk2

,r

ωsk2

]· (3.36)


B(x,r) = x+B(r). (3.37)

Para mostrar que T é uma contração nós precisamos das limitações Yk e Zk para todo k ∈ Z×Z,tal que

|[T (x)− x]k| ≤ Yk (3.38)

esup

b,c∈B(0,r)|[DT (x+b)c]k| ≤ Zk (3.39)

como em (2.80) e (2.81).

Os limitantes superiores Yk e Zk serão calculados nas duas próximas subseções.


Para calcular os limites superiores Yk e posteriormente Zk nós inicialmente escolhemosM = (M1,M2) ∈ N×N tal que M ≥ 3(m−1)+1, onde m = (m1,m2) e a desigualdade anteriorsignifica que ela é satisfeita pelas duas componentes de de M e m como em (GAMEIRO;LESSARD, 2010). De (3.35) segue que T (x)− x = Ag(x,λ0) e consequentemente nós temos|[T (x)− x]k|= |[Ag(x,λ0)]k|. Como xk = 0 ∀k /∈ Fm, conseguimos obter gk(x,λ0) = 0 para cadak /∈ FM. Assim, definimos Y = {Yk}k∈Z por

Yk :=

|[AM(h(M)(xFM ,λ0))]k|, se k ∈ FM,

0, se k /∈ FM.

(3.40)


Assim como ocorreu com o limites superiores Yk na subseção anterior, nós tentaremosencontrar um limite uniforme para k /∈ FM, daí necessitaremos calcular Zk apenas para k ∈ FM.Antes de provarmos a existência do limite superior, nós primeiramente derivamos uma fórmulageral para [DT (x+b)c]k com k /∈ Fm e analisaremos o caso k ∈ FM. Usando a notação

[(x+b)2 * c]k := ∑k1+k2+k3=k

(x+b)k1(x+b)k2ck3,

k j∈Z2 (3.41)


onde k = (k1,k2) e k j = (k j1,k

j2) para j = 1,2,3, temos para k /∈ Fm

[Dg(x+b)c]k =4λ0

(∞

∑p=k1+2

p(p2 − k21)c(p,k2)

(p+k1) par

+∞

∑q=k2+2

q(q2 − k22)c(k1,q)

)(q+k2) par

+c(k1,k2)−3[(x+b)2 * c](k1,k2).

(3.42)

Para definir {Zk}k∈FM é conveniente denotar AM := Dh(M)(xFM ,λ0) e introduzir o opera-dor

[A(x)]k :=

[AM(xFM)]k, se k ∈ FM,

4λ0

(∞

∑p=k1+2

p(p2 − k21)x(p,k2)

(p+k1) par

+∞

∑q=k2+2

q(q2 − k22)x(k1,q)

)+ c(k1,k2), se k /∈ FM,

(q+k2) par

(3.43)que atua como uma aproximação da inversa do operador A definido em (3.33) e (3.34). Nósentão dividimos DT (x+b)c como segue


onde o primeiro termo tem o seguinte limite para o caso k ∈ FM

|[(I −AA)c]k|= |[(I −AA)rv]k| ≤ r[|(I −AMDg(M)(xFM ,λ0))|ω−sFM]k, (3.45)

onde ω−sFM

:= {1/ωsk}k∈FM e | · | o valor absoluto de todas as entradas da matriz.

Logo, definimos

Z(0)k := [|(I −AMDh(M)(xFM ,λ0))|ω−s

FM]k se k ∈ FM. (3.46)


[Dg(x+b)c]k =4λ0

(∞

∑p=k1+2

p(p2 − k21)c(p,k2)

(p+k1) par

+∞

∑q=k2+2

q(q2 − k22)c(k1,q)

)+ c(k1,k2)

(q+k2) par

−3[x2 * c+2x*b* c+b2 * c](k1,k2)·

(3.47)


e

[A(c)]k :=

4λ0

(∞

∑p=k1+2

p(p2 − k21)c(p,k2)

(p+k1) par

+∞

∑q=k2+2

q(q2 − k22)c(k1,q)

)+ c(k1,k2)

(q+k2) par

−3 ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2ck3, se k ∈ FM,

k j∈Fm

4λ0

(∞

∑p=k1+2

p(p2 − k21)x(p,k2)

(p+k1) par

+∞

∑q=k2+2

q(q2 − k22)x(k1,q)

)+ c(k1,k2), se k /∈ FM,

(q+k2) par

(3.48)Agora, considerando u,v ∈ B(1) e definindo b = ru e c = rv, podemos expandir a expressão[(Dg(x+b)− A)c]k em termos de r como

[(Dg(x+b)− A)c]k =−3(C(1)k r+2C(2)

k r2 +C(3)k r3) (3.49)

e lembrando que xk j = 0 para k j /∈ Fm, nós definimos para k ∈ FM

C(1)k := ∑

k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3,

k1,k2∈Fm,k3 /∈Fm (3.50)

C(2)k := ∑

k1+k2+k3=k

xk1uk2vk3 e

k1∈Fm,k2,k3∈Z2

C(3)k := ∑

k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3,

k j∈Z2 (3.51)

onde k = (k1,k2)∈Z2 e k j = (k j1,k

j2)∈Z2 para j = 1,2,3. Agora, queremos encontrar os limites

superiores, Z(1)k , Z(2)


k | ≤ Z( j)k , para j = 1,2,3. Para isso consideremos

a divisão

C(1)k := ∑

k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3


+ ∑k1+k2+k3=k

xk1 xk2vk3 para k ∈ FM

k1,k2∈Fm,k3 /∈FM (3.52)

e observando que o segundo somatório é nulo, obtemos

Z(1)k := ∑

k1+k2+k3=k

|xk1||xk2 |

(1

ωsk3

), para k ∈ FM.

k1,k2∈Fm,k3∈FM−Fm (3.53)

Para C(2)k e C(3)

k consideremos as divisões

C2k = ∑

k1+k2+k3=k

xk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

xk1uk2vk3

k1∈Fm,k2,k3 /∈FM (3.54)


e

C3k = ∑

k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3

k j∈FM

+ ∑k1+k2+k3=k

uk1uk2vk3 .

k j /∈FM (3.55)

Utilizando o Lema 7 do apêndice para k ∈ FM, obtemos

Z2k := ∑

k1+k2+k3=k

|xk1|

(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+2||x||sε(3)k , para k ∈ FM

k1∈Fm,k2,k3∈FM (3.56)

e

Z3k := ∑

k1+k2+k3=k

(1

ωsk1

)(1

ωsk2

)(1

ωsk3

)+3ε


k j∈FM (3.57)

Finalmente de (3.33), (3.34), (3.61), (3.44), (3.46), (3.49) (3.56) e (3.57), obtemos para

Zk := 3[|AM|(Z(1)FM

r+2Z(2)FM

r2 +Z(3)FM

r3)]k +Z(0)k r para k ∈ FM. (3.58)

Agora que já calculamos os limites superiores Zk para o caso k ∈ FM, procuraremos olimite superior para o caso k /∈ FM. Inicialmente supondo que k /∈ FM e pondo b = ru e c = rv,para u,v ∈ B(1), obtemos para o primeiro termo em (3.44)

[(I −AA)c](k1,k2) = rv(k1,k2)−r

4k2(k2 −1)v(k1,k2−2)+

r2((k2)2 −1)

v(k1,k2)−r

4k2(k2 +1)v(k1,k2+2)

− r4k1(k1 −1)

v(k1−2,k2)+r

2((k1)2 −1)v(k1,k2)−

r4k1(k1 +1)

v(k1+2,k2)

−λ0

41

4k1(k1 −1)

[r

4k2(k2 −1)v(k1−2,k2−2)−

r2((k2)2 −1)

v(k1−2,k2)+r

4k2(k2 +1)v(k1−2,k2+2)

]

+λ0

41

2((k1)2 −1)

[r

4k2(k2 −1)v(k1,k2−2)−

r2((k2)2 −1)

v(k1,k2)+r

4k2(k2 +1)v(k1,k2+2)

]

−λ0

41

4k1(k1 +1)

[r

4k2(k2 −1)v(k1+2,k2−2)−

r2((k2)2 −1)

v(k1+2,k2)+r

4k2(k2 +1)v(k1+2,k2+2)

](3.59)


e para o segundo termo em (3.44) temos

[−A(Dg(x+b− A))c](k1,k2) =λ0

43

4k1(k1 −1)r

4k2(k2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1−2,k2−2)

− λ0

43

4k1(k1 −1)r

2((k2)2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1−2,k2)

+λ0

43

4k1(k1 −1)r

4k2(k2 +1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1−2,k2+2)

− λ0

43

2((k1)2 −1)r

4k2(k2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1,k2−2)

+λ0

43

2((k1)2 −1)r

2((k2)2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1,k2)

− λ0

43

2((k1)2 −1)r

4k2(k2 +1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1,k2+2)

+λ0

43

4k1(k1 +1)r

4k2(k2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1+2,k2−2)

− λ0

43

4k1(k1 +1)r

2((k2)2 −1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1+2,k2)

+λ0

43

4k1(k1 +1)r

4k2(k2 +1)[[x2 * v+2x* ru* v+ r2u2 * v]

](k1+2,k2+2) ·

(3.60)Assim temos de (3.59),

∣∣[(I −AA)c](k1,k2)

∣∣≤ r

[||v||s

ωs1k1

ωs2k2

+1

4|k2||k2 −1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2

+1

4|k2||k2 +1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2+2

+1

4|k1||k1 −1|||v||s

ωs1k1−2ω

s2k2

+1

2|(k1)2 −1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2

+1

4|k1||k1 +1|||v||s

ωs1k1+2ω

s2k2

+λ0

41

4|k1||k1 −1|

[1

4|k2||k2 −1|||v||s

ωs1k1−2ω

s2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|||v||s

ωs1k1−2ω

s2k2

+1

4|k2||k2 +1|||v||s

ωs1k1−2ω

s2k2+2

]

+λ0

41

2|(k1)2 −1|

[1

4|k2||k2 −1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2

+1

4|k2|k2 +1|||v||s

ωs1k1

ωs2k2+2

](3.61)

+λ0

41

4|k1|k1 +1|

[1

4|k2||k2 −1|||v||s

ωs1k1+2ω

s2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|||v||s

ωs1k1+2ω

s2k2

+1

4|k2||k2 +1|||v||s

ωs1k1+2ω

s2k2+2

],


ou seja,

∣∣[(I −AA)c](k1,k2)

∣∣ ≤ rω

s1k1

ωs2k2

[1+

14|k2||k2 −1|

ωs2k2

ωs2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|+

14|k2||k2 +1|

ωs2k2

ωs2k2+2

+1

4|k1||k1 −1|ω

s1k1

ωs1k1−2

+1

2|(k1)2 −1|+

14|k1||k1 +1|

ωs1k1

ωs1k1+2

+λ0

41

4|k1||k1 −1|

[1

4|k2||k2 −1|ω

s1k1

ωs2k2

ωs1k1−2ω

s2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|ω

s1k1

ωs1k1−2

+1

4|k2||k2 +1|ω

s1k1

ωs2k2

ωs1k1−2ω

s2k2+2

]+

λ0

41

2|(k1)2 −1|

[1

4|k2||k2 −1|ω

s2k2

ωs2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|+

14|k2|k2 +1|

ωs2k2

ωs2k2+2

]

+λ0

41

4|k1|k1 +1|

[1

4|k2||k2 −1|ω

s1k1

ωs2k2

ωs1k1+2ω

s2k2−2

+1

2|(k2)2 −1|ω

s1k1

ωs1k1+2

+1

4|k2||k2 +1|ω

s1k1

ωs2k2

ωs1k1+2ω

s2k2+2

]=: Z(0)

k r.

(3.62)Agora, aplicando o Lema 8 do apêndice A em (3.60), obtemos uma boa estimativa para k /∈ FM

para o segundo termo em (3.44)

|[−A(Dg(x+b− A))c](k1,k2)| ≤ r

λ0

43

4|k1||k1 −1|1

4|k2||k2 −1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

4|k1||k1 −1|1

2|(k2)2 −1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

ωs2k2

+λ0

43

4|k1||k1 −1|1

4|k2||k2 +1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

ωs2k2+2

+λ0

43

2|(k1)2 −1|1

4|k2||k2 −1|α(3)M1

ωs1k1

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

2|(k1)2 −1|1

2|(k2)2 −1|α(3)M1

ωs1k1

α(3)M2

ωs2k2

(3.63)


+λ0

43

2|(k1)2 −1|1

4|k2||k2 +1|α(3)M1

ωs1k1

α(3)M2

ωs2k2+2

+λ0

43

4|k1||k1 +1|1

4|k2||k2 −1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

4|k1||k1 +1|1

2|(k2)2 −1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2

+λ0

43

4|k1||k1 +1|1

4|k2||k2 +1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2+2

(||x||2s +2r||x||s + r2) ,ou seja,

|[−A(Dg(x+b− A))c](k1,k2)| ≤ rω

s1k1

ωs2k2

λ0

43

4|k1||k1 −1|ω

s1k1

ωs2k2

4|k2||k2 −1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

4|k1||k1 −1|ω

s1k1

2|(k2)2 −1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

+λ0

43

4|k1||k1 −1|ω

s1k1

ωs2k2

4|k2||k2 +1|α(3)M1

ωs1k1−2

α(3)M2

ωs2k2+2

+λ0

43

2|(k1)2 −1|ω

s2k2

4|k2||k2 −1|α(3)M1

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

2|(k1)2 −1|1

2|(k2)2 −1|α(3)M1

α(3)M2

+λ0

43

2|(k1)2 −1|ω

s2k2

4|k2||k2 +1|α(3)M1

α(3)M2

ωs2k2+2

+λ0

43

4|k1||k1 +1|ω

s1k1

ωs2k2

4|k2||k2 −1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2−2

+λ0

43

4|k1||k1 +1|ω

s1k1

ωs2k2

2|(k2)2 −1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2

(3.64)

+λ0

43

4|k1||k1 +1|ω

s1k1

ωs2k2

4|k2||k2 +1|α(3)M1

ωs1k1+2

α(3)M2

ωs2k2+2

=:r

ωs1k1

ωs2k2

Zk.


Para que o polinômio da cauda cumpra a desigualdade ZM < 1 deveríamos ter o coeficiente Z0k

definido em (3.62) igual ou muito próximo de zero, mas o primeiro termo deste coeficiente éexatamente 1, portanto a soma é superior a um, o que mostra que o operador A não é uma boaaproximação para a inversa do operador Dg.

Finalizamos este capítulo com a aplicação do método para o caso k ∈ FM apresentandoalguns ramos de equilíbrio obtidos, uma solução aproximada no ramo e a prova assistida pelocomputador de existência e unicidade o para a equação de Allen-Cahn em torno da aproximaçãoobtida. Utilizamos em todos os casos os parâmetros m1 = m2 = 20, M1 = M2 = 58 e s = 2.Nas demonstrações calculamos os polinômios radiais apenas para o caso k ∈ FM, pois nãoobtivemos uma estimativa suficientemente precisa para o polinômio da cauda, desta forma asdemostrações estão corretas, mas como não consideramos o caso k /∈ FM, o método obtido ésemirrigoroso. A demonstração para os polinômios pk com k ∈ FM que é mais crítica, foi bemsucedida. Acreditamos que uma estimativa suficientemente precisa também possa ser obtidapara o polinômio da cauda, pois os coeficientes do mesmo decaem muito rápido para valores dek suficientemente grandes, o único problema é que a aproximação da inversa do operador D f

precisa ser melhorada.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

λ

‖a‖

Ramo 1Ramo 2Ramo 3Ramo 4Ramo 5Ramo 6Ramo 7Ramo 8Ramo 9

Figura 4 – Alguns ramos de equilíbrios para Alen-Cahn 2D


(a) Última solução no ramo 1. (b) Última solução no ramo 2. (c) Última solução no ramo 3.

(d) Última solução no ramo 4. (e) Última solução no ramo 5. (f) Última solução no ramo 6.

(g) Última solução no ramo 7. (h) Última solução no ramo 8. (i) Última solução no ramo 9.

Figura 5 – Algumas soluções para Alen-Canh 2D

Teorema 7. Considere λ = 24.7392 correspondente ao último ponto no ramo 1 de equilíbrio naFigura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(a). Então existe r ≈ 10−10

e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.

Observamos que também aplicamos o método para os seguintes valores do parâmetroλ ∈ {20.2392,20.7392,21.2392,21.7392,22.2392,22.7392,23.2392,23.7392,24.2392} e obti-vemos resultado análogo.

Teorema 8. Considere λ = 54.3480 correspondente ao último ponto no ramo 2 de equilíbrio naFigura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(b). Então existe r ≈ 10−10


Observamos que também aplicamos o método para λ ∈ {49.8480,50.3480,50.8480,51.3480,51.8480,52.3480,52.8480,53.3480,53.8480} e obtivemos resultado análogo.


Teorema 9. Considere λ = 103.6960 correspondente ao último ponto no ramo 3 de equilíbrio naFigura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(c). Então existe r ≈ 10−10



Teorema 10. Considere λ = 54.3480 correspondente ao último ponto no ramo 4 de equilíbrio naFigura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(d). Então existe r ≈ 10−10



Teorema 11. Considere λ = 83.9568 correspondente ao último ponto no ramo 5 de equilíbrio naFigura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(e). Então existe r ≈ 10−10


Observamos que também aplicamos o método para o λ ∈ {79.4568,79.9568,80.4568,80.9568,81.4568,81.9568,82.4568,82.9568,83.4568} e obtivemos resultado análogo.

Teorema 12. Considere λ = 133.3049 correspondente ao último ponto no ramo 6 de equilíbriona Figura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(f). Então exister ≈ 10−10 e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.


Teorema 13. Considere λ = 103.6990 correspondente ao último ponto no ramo 7 de equilíbriona Figura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(g). Então exister ≈ 10−10 e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.


Teorema 14. Considere λ = 133.3049 correspondente ao último ponto no ramo 8 de equilíbriona Figura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(h). Então exister ≈ 10−10 e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.



Teorema 15. Considere λ = 182.6529 correspondente ao último ponto no ramo 9 de equilíbriona Figura 4 e a correspondente aproximação de solução u(x) na Figura 5(i). Então exister ≈ 10−10 e uma única solução de equilíbrio na bola de raio r centrada na aproximação.


89

CAPÍTULO

4CONCLUSÃO

Neste trabalho apresentamos uma extensão do método da continuação rigorosa paraencontrar soluções de equilíbrio de EDPs dependentes de um único parâmetro, utilizando sériesde Chebyshev . Analisamos EDPs unidimensionais e bidimensionais não lineares, com nãolinearidade polinomial. Este método no contexto das séries de Fourier foi introduzido em(GAMEIRO; LESSARD, 2010) para EDPs multidimensionais.

No caso unidimensional, o nosso objetivo foi alcançado com êxito e pode ser comparadocom o método de (LESSARD; REINHARDT, 2014) para calcular rigorsamente soluções deEDOs não lineares usando séries de Chebyshev e consequentemente os problemas de valor iniciale problemas de valor de fronteira associados a estas EDOs. No nosso método nós trabalhamosdiretamente com a equação diferencial, considerando a expasão da solução e das suas derivadasde qualquer ordem em séries de Chebyshev para obter o problema equivalente da forma f (x) = 0em (LESSARD; REINHARDT, 2014) eles consideram a equação integral associada, para obtero problema equivalente. Se por um lado num primeiro momento o nosso método possa parecerum pouco mais complicado porque a expansão das derivadas da solução usando Chebyshev nãosão tão imediatas como no caso de Fourier e no método de (LESSARD; REINHARDT, 2014)que considera o problema integral esta dificuldade no contexto de Chebyshev não é considerada,o nosso método é mais vatajoso porque podemos considerar problemas de valor de fronteira comcondições de fronteira mais gerais, como a condição de Robin em (LIU; YE; WANG, 2011)(que não é um método numérico rigoroso), enquanto no método de (LESSARD; REINHARDT,2014) isso não é possível, além disso no nosso método não necessitamos tranformar EDOs deordem superior num sistema de EDOs de primeira ordem como é feito no método de (LESSARD;REINHARDT, 2014), o que aumenta naturalmente o custo computacional. Outra vantagem daabordagem do nosso método que permite analisar diretamente a estabilidade da solução.

No caso bidimensional, obtivemos um método semirrigoroso porque a nossa aproximaçãopara a inversa do operador D f (x,y) não foi suficientemente precisa como no caso unidimensio-

90 Capítulo 4. Conclusão

nal, onde utilizamos a ideia das matrizes quase-inversa de (LIU; YE; WANG, 2011), daí nãoconseguimos obter o limite uniforme. A parte mais trabalhosa do método já foi desenvolvidanesta tese e resolvido este impasse, o método se estenderá naturalmente para caso bidimensional.Pretendemos resolver este problema num trabalho futuro e isso será uma enorme contribuiçãopara o campo do rigor numérico, pois permitirá abordar um dos problemas mais ambicionadosna área, que são os que consideram EDPs peródicas no espaço e não periódicos no tempo, daí asolução combinará expansão de séries de Fourier no espaço com séries de Chebyshev no tempo.

91

REFERÊNCIAS

BAKER, A. W.; DELLNITZ, M.; JUNGE, O. A topologicall method for rigorously computingperiodic orbitis using fourier modes. Discrete and Continous Dynamical Systems, v. 13, n. 4,p. 901–920, 2005. Citado na página 17.

BERG, J. B. van den; LESSARD, J. P. Chaotic braided solutions via rigorous numerics: Chaosin the swift–hohenberg equation. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, v. 7, n. 3, p.988–1031, 2008. Citado na página 17.

BERG, J. B. van den; LESSARD, J. P.; DESCHENES, A.; JAMES, J. D. M. Stationary coexis-tence of hexagons and rolls via rigorous computations. SIAM Journal on Applied DynamicalSystems, v. 14, n. 2, p. 942–979, 2015. Citado 2 vezes nas páginas 16 e 17.

BOYD, J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Berlin: Dover Publications, Springer-Verlag, 2001. Citado na página 19.

BREDEN, M.; LESSARD, J. P.; JAMES, J. D. M. Computation of maximal local (un)stablemanifold patches by the parameterization method. Indagationes Mathematicae, v. 27, n. 1, p.340–367, 2016. Citado na página 16.

BREUER, B.; MCKENNA, P.; PLUM, M. Multiple solutions for a semilinear boundary valueproblem: a computational multiplicity proof. Journal of Differential Equations, v. 195, p.243–269, 2003. Citado na página 15.

CAHN, J. W.; HILLIARD, J. E. Free energy of a nonuniform system. i. interfacial free energy.Journal of Chemicall Physics, v. 28, p. 258–267, 1958. Citado 2 vezes nas páginas 39 e 71.

CANUTO, C.; HUSSAINI, M. Y.; QUARTERONI, A.; ZANG, T. A. Polynomial approximation.In: . Spectral Methods: Fundamentals in Single Domains. Berlin: Springer-Verlag, 2006.cap. 2, p. 87–88. Citado na página 23.

. Spectral Methods Evolution to Complex Geometries and Applications to Fluid Dy-namics. Berlin: Springer-Verlag, 2007. Citado na página 21.

CASTELLI, R.; LESSARD, J.; JAMES, J. M. Analytic enclosure of the fundamental matrixsolution. Applications of Mathematics, v. 60, n. 6, p. 617–636, 2015. Citado na página 16.

CORREC, A.; LESSARD, J. Coexistence of nontrivial solutions of the one-dimensional ginzburg-landau equation: a computer-assisted proof. European Journal of Applied Mathematics, v. 26,n. 1, p. 33–60, 2015. Citado na página 17.

DANG-VU, H.; DELCARTE, C. An accurate solution of the poisson equation by the chebyshevcollocation method. Journal of Computational Physics, v. 104, p. 211–220, 1993. Citado 2vezes nas páginas 24 e 27.

DAY, S.; HIRAOKA, Y.; MISCHAIKOW, K.; OGAWA, T. Rigorous numerics for global dyna-mics: A study of the swift-hohenberg equation. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,v. 4, n. 1, p. 1–31, 2005. Citado na página 15.

92 Referências

DAY, S.; JUNGE, O.; MISCHAIKOW, K. A rigorous numerical method for the global analysisof infinite-dimensional discrete dynamical systems. SIAM Journal on Applied DynamicalSystems, v. 3, n. 2, p. 117–160, 2004. Citado na página 17.

DAY, S.; LESSARD, J.; MISCHAIKOW, K. Validated continuation for equilibria of pdes. SIAMJournal on Numerical Analysis, v. 45, n. 4, p. 1398–1424, 2007. Citado na página 15.

GAMEIRO, M. F.; LESSARD, J.-P. Analytic estimates and rigorous continuation for equilibriaof higher-dimensional pdes. Journal of Differential Equations, v. 249, n. 9, p. 2237–2268,2010. Citado 9 vezes nas páginas 15, 17, 33, 36, 38, 46, 78, 89 e 95.

GAMEIRO, M. F.; LESSARD, J.-P.; MISCHAIKOW, K. Validated continuation over largeparameter ranges for equilibria of pdes. Journal of Differential Equations, v. 79, n. 4, p.1368–1382, 2008. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 97.

GAMEIRO, M. F.; LESSARD, J.-P.; PUGLIESE, A. Computation of smooth manifolds via rigo-rous multi-parameter continuation in infinite dimensions. Journal of Differential Equations,v. 16, n. 2, p. 531–575, 2016. Citado na página 16.

GAMEIRO, M. F.; LESSARD, J.-P.; RICAUD, Y. Rigorous numerics for piecewise-smoothsystems: a functional analytic approach based on chebyshev series. Journal of Computationaland Applied Mathematics, v. 292, p. 654–673, 2016. Citado na página 17.

JULIEN, K.; WATSON, M. Efficient multi-dimensional solution of pdes using chebyshev spectralmethods. Journal of Computational Physics, v. 228, p. 1480–1503, 2009. Citado 2 vezes naspáginas 17 e 25.

KELLER, H. B. Lectures on Numerical Methods In Bifurcation Problems. Berlin: TataInstitute of Fundamental Research, Springer-Verlag, 1987. Citado 3 vezes nas páginas 15, 30e 33.

KISS, G.; LESSARD, J. P. Computational fixed-point theory for differential delay equationswith multiple time lags. Journal of Differential Equations, v. 252, n. 4, p. 3093–3115, 2012.Citado na página 16.

LAUB, A. J. Kronecker produdts. In: . Matrix Analysis for Scientists & Engineers.Philadelphia: Siam, 1948. cap. 13, p. 139–144. Citado na página 28.

LESSARD, J. P. Recent advances about the uniqueness of the slowly oscillating periodic solutionsof wright’s equation. Journal of Differential Equations, v. 248, n. 5, p. 992–1016, 2010. Citadona página 17.

LESSARD, J. P.; JAMES, J. M.; REINHARDT, C. Computer assisted proof of transverse saddle-to-saddle connecting orbits for first order vector fields. Journal of Dynamics and DifferentialEquations, v. 26, n. 2, p. 267–313, 2014. Citado na página 16.

LESSARD, J. P.; REINHARDT, C. Rigorous numerics for nonlinear differential equations usingchebyshev series. SIAM Journal on Numerical Analysis, v. 52, n. 1, p. 1–22, 2014. Citado 3vezes nas páginas 17, 18 e 89.

LIU, F.; YE, X.; WANG, X. Efficient chebyshev spectral method for solving linear ellipticpdes using quasi-inverse technique. The Global Science Journal, Numer. Math. Theor. Meth.Appl., v. 4, n. 2, p. 197–215, 2011. Citado 7 vezes nas páginas 17, 35, 43, 58, 75, 89 e 90.

Referências 93

MAIER-PAAPE, S.; MISCHAIKOW, K.; MILLER, U.; WANNER, T. Rigorous numerics forthe cahn-hilliard equation on the unit square. Revista Matemática Complutense, v. 21, n. 2, p.351–426, 2008. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 17.

NAKAO, M. T.; HASHIMOTO, K.; KOBAYASHI, K. Verified numerical computation of so-lutions for the stationary navier-stokes equation in nonconvex polygonal domains. HokkaidoMathematical Journal, v. 36, p. 777–799, 2007. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 17.

SWIFT, J.; HOHENBERG, P. C. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Physi-cal Review A, v. 1, n. 15, p. 319–328, 1977. Citado na página 54.

ZALEWSKI, M. Computer-assisted proof of a periodic solution in a nonlinear feedback dde.Topological Methods in Nonlinear Analysis, v. 33, n. 2, p. 373–393, 2009. Citado na página17.

ZGLICZYNSKI, P.; MISCHAIKOW, K. Rigorous numerics for partial differential equations:The kuramoto-sivashinsky equation. Foundations of Computational Mathematics, v. 1, n. 3,p. 255–288, 2001. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 17.

95

APÊNDICE

AESTIMATIVAS ANALÍTICAS

Neste apêndice apresentaremos as estimativas analíticas do termo não linear da EDPcomo em (GAMEIRO; LESSARD, 2010), que constitui uma das etapas fundamentais do cálculode soluções de equilíbrio de equações diferenciais parciais. Consideraremos que a parte nãolinear da EDP envolve termos de convolução da forma

(c(1) * · · · * c(n))k = ∑k1+···+kn=k

c(1)k1 . . .c(n)kn ,

k∈Zd (A.1)

onde c( j) = {c( j)k }k∈Zd é uma sequência de números reais ou complexos indexadas por k ∈ Zd

e mostraremos que assumindo que cada coeficiente c( j)k tende a zero com uma certa taxa de

decaimento então o termo de convolução (A.1) tende a zero com a mesma taxa de decaimento.Na Seção A.1 apresentamos as estimativas gerais para (A.1). Na Seção A.2, consideramoso parâmtero computacional M e separamos (A.1) em uma soma finita de tamanho M que écalculada explicitamente e uma soma infinita que é limitada usando estimativas analíticas. NaSeção A.3 consideramos o caso k /∈ FM e obtemos uma estimativa uniforme para este caso, que éextremamente importante, pois permite que a verificação do Teorema da Aplicação Contração sereduza ao caso finito.

A.1 Estimativa GeraisNesta seção apresentamos as estimativas gerais para o caso d-dimensional, tal generali-

zação foi feita em (GAMEIRO; LESSARD, 2010) e as estimativas para o caso unidimensionalque motivaram tal generalização também podem ser encontradas em (GAMEIRO; LESSARD,2010). Inicialmente definimos

α(n)k = α

(n)k (s,M) :=

d

∏j=1

α(n)k j

(s j,M j), (A.2)

96 APÊNDICE A. Estimativas Analíticas

onde α(n)k j

(s j,M j) é definida no caso unidimensional. Os seguintes limites são dados em termosde condições de regularidade das soluções.

Lema 6. Suponha que existam A1,A2, . . . ,An tal que para cada j ∈ {1, . . . ,n} e cada k ∈ Zd ,tem-se

|c( j)k | ≤

A j

ωsk, (A.3)

então, para qualquer k ∈ Zd , temos

|(c(1) * · · · * c(n))k| ≤

(n

∏j=1

A j

)α(n)k

ωsk· (A.4)

Demonstração. Temos que∣∣∣(c(1) * · · · * c(n))k

∣∣∣= ∣∣∣∣∣ ∑k1+···+kn=k

c(1)k1 . . .c(n)kn

∣∣∣∣∣≤ ∑k1+···+kn=k

A1

ωsk1

· · · An

ωskn

k1,...,kn∈Zd k1,...,kn∈Zd

=

(n

∏j=1

A j

)(∑

k1+···+kn=k

1ωs

k1 · · ·ωskn

)k1,...,kn∈Zd

=

(n

∏j=1

A j

) ∑k1+···+kn=k

d

∏j=1

1ω

s j

k1j· · ·ωs j

knj

k1,...,kn∈Zd

=

(n

∏j=1

A j

) d

∏j=1

∑k1+···+kn=k

1ω

s j

k1j· · ·ωs j

knj

k1,...,kn∈Zd

≤

(n

∏j=1

A j

)d

∏j=1

α(n)k j

ωs jk j

=

(n

∏j=1

A j

)α(n)k

ωsk,

(A.5)

onde a última desigualdade segue do caso unidimensional.

A.2 Refinamento Para o Caso k ∈ FM

Nesta seção apresentamos um refinamento para o limite introduzido na Seção A.1, quepermite fazer cálculos explícitos. Dada a sequência c( j) = {c( j)

k }k∈Zd , nós definimos c( j)FM

, a partefinita de c( j), componente a componete, por(

c( j)FM

)=

{c( j)

k , se k ∈ FM;0, se k /∈ FM

(A.6)

e consideramos a separação

(c(1) * · · · * c(n))k = (c(1)FM* · · · * c(n)FM

)k + ∑k1+···+kn=k

c(1)k1 . . .c(n)kn ,

{k1,...,kn}⊂FM (A.7)

A.2. Refinamento Para o Caso k ∈ FM 97

onde o primeiro termo é uma soma de convolução finita e é explicitamente calculada usandoo algoritmo FFT (transformada rápida de Fourier) e aritmética de intervalo como descrito em(GAMEIRO; LESSARD; MISCHAIKOW, 2008). Os seguintes resultados são usados para limitara soma infinita na separação acima. Comecemos definindo

ε(n)k = ε

(n)k (s,M) :=

α(n)k

ωsk

maxj=1,...,d

ωs jk j

α(n)k j

(s j,M j)ε(n)k j

(s j,M j)

, (A.8)

onde ε(n)k j

(s j,M j) e α(n)k j

(s j,M j) são definidas no caso unidimensional.

Lema 7. Suponha que a condição (A.3) seja satisfeita então para k ∈ FM, temos∣∣∣∣∣ ∑k1+···+kn=k

c(1)k1 . . .c(n)kn

∣∣∣∣∣≤ `

(n

∏j=1

A j

)ε(n)k ·

{k1,...,kl}⊂FM (A.9)

Demonstração.∣∣∣∣∣ ∑k1+···+kn=k

c(1)k1 . . .c(n)kn

∣∣∣∣∣≤(

n

∏j=1

A j

)∑

k1+···+kn=k

1ωs

k1

· · · 1ωs

kn

{k1,...,k`}⊂FM {k1,...,k`}⊂FM

≤ `

(n

∏j=1

A j

)∑

k1+···+kn=k

1ωs

k1

· · · 1ωs

kn

k1 /∈FM

≤ `

(n

∏j=1

A j

)max

j0=1,...,d

d

∏j=1

∑k1

j+···+knj=k j

1ω

s j

k1j· · ·ωs j

knj

∑k1

j0+···+kn

j0=k j0

1

ωs j0k1

j0

· · ·ωs j0kn

j0

j = j0 k1

j ...knj∈Z k1

j0/∈FM j0

≤ `

(n

∏j=1

A j

)max

j0=1,...,d

d

∏j=1

α(n)k j

ωs jk j

ε(n)k j0

j = j0

= `

(n

∏j=1

A j

)α(n)k

ωsk

maxj=1,...,d

ωs jk j

α(n)k j

ε(n)k j

= `

(n

∏j=1

A j

)ε(n)k ,

(A.10)

onde as duas últimas desigualdades são consequências do caso unidimensional.

Corolário 6. Suponha que a condição (A.3) seja satisfeita então para k ∈ FM, temos

∣∣∣(c(1) * · · · * c(n))k

∣∣∣= ∣∣∣(c(1)FM* · · · * c(n)FM

)k

∣∣∣+n

(n

∏j=1

A j

)ε(n)k . (A.11)

Demonstração. O resultado segue imediatamente de (A.7) e do Lema .

98 APÊNDICE A. Estimativas Analíticas

A.3 Estimativa Uniforme Para o Caso k /∈ FM

Nesta seção apresentamos uma estimativa uniforme para o caso k /∈ FM. Para M ∈ N,com M ≥ 6 e s ≥ 2, definimos

α(n)M = α

(n)M (s,M) := max

k=0,...,M{α

(n)k (s,M)} (A.12)

e então

α(n)M = α

(n)M (s,M) := max

j0=1,...,d

{α(n)M j0

(s j0,M j0)d

∏j=1

α(n)M j

(s j,M j)

}.

j = j0 (A.13)

Assim, obtemos o seguinte lema.

Lema 8. Suponha que a condição (A.3) seja satisfeita, então para k /∈ FM, temos

|(c(1) * · · · * c(n))k| ≤

(n

∏j=1

A j

)α(n)M

ωsk· (A.14)

Demonstração. Como k /∈ FM, existe j0 ∈ {1, . . . ,d} tal que |k j0| ≥ M j0 e α(n)k j0

≤ α(n)M j0

, destaforma, temos

α(n)k = α

(n)k j0

d

∏j=1

α(n)k j

≤ α(n)M j0

d

∏j=1

α(n)M j

≤ α(n)M ·

j = j0 j = j0 (A.15)

O resultado segue da estimativa geral (A.4).

Documents

Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev€¦ · RESUMO DE ARAÚJO, E. L. Soluções de equilíbrio de EDPs usando base de Chebyshev. 2016.98 f. Tese (Doutorado