sombras -Geometria descritiva 11ºano

Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sombras II - 1

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SOMBRAS II

Neste capítulo mostra-se como se determinam sombras próprias e projecta-

das de sólidos sobre os planos de projecção, nomeadamente de pirâmides,

prismas, cones e cilindros.

Sumário:

2. Sombras de sólidos no espaço

3 e 4. Sombras de pirâmides

5 e 6. Sombras de prismas

7, 8 e 9. Sombras de cones

10 e 11. Sombras de cilindros

12 e 13. Exercícios


Sombras de sólidos no espaço

Aqui mostra-se como surgem as sombras própria e projectada por um cone nos planos de projec-

ção. Compreendendo esta situação, facilmente se compreendem outras envolvendo outros sólidos.

Sombras própria e projectada por um cone de revolução com base horizontal

Como a base do sólido é paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vértice nesse plano. A sombra da base, com centro em OS1, liga-se a VV1 através das tangentes [TS1VV1] e [T’S1VV1]. Essas tangentes dão origem aos pontos de quebra QS e Q’S que, unidos à sombra real do vértice, VS2, permi-tem determinar a sombra projectada pelo cone no PFP. Para determinar a sombra própria traçam-se os raios [OT] e [OT’], paralelos respectivamente a [OS1TS1] e [OS1T’S1]. As geratrizes [TV] e [T’V] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra própria, pelo que se designam separatrizes. Aqui, como nas páginas seguintes, fazem-se tracejados finos para indicar as manchas de sombra: 45ºad no PFP; 45ºad no PHP e horizontais na sombra própria. Uma situação idêntica a esta surge representada em projecções na página 7.

OS1

l

ν0

φ0

T

QS

V

O

T’

TS1

T’S1

Vv1

VS2

Q’S

x


Sombras de pirâmides

Observa-se aqui como se determinam sombras projectadas e sombras próprias de pirâmides. Nesta

página exemplifica-se com pirâmides de bases frontais.

Sombras de uma pirâmide regular com a base no PFP

Estando a base no PFP, a sua sombra situa-se aí, pelo que basta determinar a sombra do vértice principal. Determina-se também a sombra virtual desse vérti-ce por se encontrar no plano da base e assim se poder unir a ela. A sombra própria é limitada pelas ares-tas [BV] e [DV], as mesmas cujas som-bras limitam a mancha que se projecta nos planos de projecção.

Sombras de uma pirâmide oblíqua com a base frontal

Aqui foram determinadas as sombras reais dos vértices da base, assim como ambas as sombras do vértice principal. As sombras dos vértices das bases que se unem às sombras do vértice principal são aquelas que permitem a maior abertura de ângulo a partir deste. A sombra de C não se indica por se situar no interior da mancha de sombra projectada. As arestas [BV] e [DV] limitam a sombra própria. De notar que nesta situação a sombra própria não é visível em projecção hori-zontal.

A1

B1

C1 D1

B2≡BS2

C2

V2

V1

x

l2

l1

VV2 VS1

Q’S

QS

A2≡AS2

D2≡DS2

V1

A1≡D1≡DS1 B1≡C1 E1≡F1

V2

A2

B2

C2

D2

E2

F2

AS2

FS2

BS2

VS1 VV2

ES1

QS Q’S

x

l2

l1


Aqui observa-se mais uma situação que envolve a determinação das sombras própria e projectada

por uma pirâmide nos planos de projecção.

Sombras de uma pirâmide regular com a base horizontal

Aqui foi utilizado um processo que não se aplicou na página anterior. Começou por se determinar as separatri-zes, que são as arestas [AV] e [DV], com recurso ao raio de luz r que contém o vértice e cruza o plano da base no ponto R. A partir desse ponto foram traçadas as tangentes t e t’ que contêm os pontos A e D. Deste modo fica-se a saber que o ponto E, situado no espaço interior dessas tangentes, não se utiliza nas determinação das sombra projectada, pois a sua sombra ficaria no interior dessa mancha. Para determinar os pontos de quebra faz-se recurso das sombras virtuais dos pontos V e B. De notar que a sombra própria fica invisível em projec-ção horizontal, uma vez que a pirâmide está invertida.

A2 B2 C2 D2 E2

V2

V1

A1

B1

C1

D1

E1

x

l2

l1

VV2 VS1

AS1

BS2 BV1

CS2 DS2 r2

r1

R2

R1

t1

t’1

QS

Q’S

(fδ)≡t2≡t’2


Sombras de prismas

Aqui observa-se como se determinam sombras projectadas e sombras próprias de prismas. Nesta

página exemplifica-se com prismas rectos.

Sombras de um prisma regular com as bases horizontais

Também aqui não há necessidade de determinar sombras virtuais, dado que as arestas laterais são verticais. De notar que o segmento de recta [H’S1Q’S] é paralelo a [H’1L’1], o que permite determinar o ponto de quebra da direita. As arestas [HH’] e [JJ’] são as sepa-ratrizes da sombra própria.

Sombras de um prisma recto com uma base no PFP

As arestas laterais são de topo, pelo que as suas sombras projectadas no PFP fazem 45ºad e as projectadas no PHP são perpendiculares ao eixo x, não havendo necessidade de recorrer a sombras virtuais. As arestas [FF’] e [GG’] são as separatrizes da sombra própria que, neste caso, não é visível em nenhu-ma das projecções.

K1≡K’1

H2 I2 J2

L1≡L’1

H1≡H’1 I1≡I’1

J1≡J’1

H’2 J’2 I’2

L2

L’2 K’2

K2

x

l2

l1 JS1

IS1

HS1

H’S1

L’S2

K’S2

J’S2

QS Q’S

E1 D1

D2≡D’2≡DS2

F1

G1

E2≡E’2

F2≡F’2≡FS2

G2≡G’2≡GS2

G’1 D’1 F’1 E’1

x

l2

l1

F’S1

G’S1

E’S1

QS

Q’S


Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projectada de mais dois pris-

mas, o segundo com as bases de perfil.

Sombras de um prisma oblíquo com as bases de perfil

Aqui recorreu-se às sombras virtuais de dois pontos para determinar os pontos de quebra. Não se indica a sombra projectada pelo ponto E, uma vez que fica no interior da man-cha projectada pelo sólido. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [DD’] e [FF’], não sendo visível em nenhuma das projecções.

Sombras de um prisma oblíquo com as bases frontais

Aqui não foi feito uso de sombras virtuais, já que se tirou proveito de paralelismos. Determina-se o ponto de quebra da esquerda uma vez que [A2C2] é paralelo a [A2SQS], e o da direita porque [A’S1Q’S] é paralelo a [CS1C’S1]. Não se indica a sombra projectada pelo ponto B, uma vez que esta fica no interior da mancha da sombra projectada pelo sólido. A sombra própria é limitada pelas arestas [AA’] e [CC’].

E1

D1

F1

F2

D2

E2

E’1

D’1

F’1≡F’S1

F’2

D’2

E’2

x

l2

l1

E’S1

D’S2 D’V1

DS2

FS1

QS

Q’S

DV1

A2

B2

C2

C1

B1

A1

A’2

B’2

C’2

B’1 A’1 C’1

x

l2

l1

B’S1

C’S1

CS1

A’S1

AS2

QS Q’S


Sombras de cones

Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projectada de dois cones com

bases horizontais, sendo um recto e outro oblíquo.

Sombras de um cone de revolução com a base no PHP

A base do cone situa-se no PHP, por isso coincide com a sua sombra real. Determi-nando a sombra virtual do vértice, liga-se à sombra da base nos pontos de tangên-cia T e T’. Os pontos de quebra fazem a ligação à sombra real do vértice. É nos pontos de tangência que nascem as separatrizes que limitam a sombra pró-pria. A sombra própria é limitada pelas separa-trizes [TV] e [T’V].

Sombras de um cone oblíquo com a base horizontal

Determina-se a sombra da base e as sombras real e virtual do vértice. A sombra projectada determina-se de modo idêntico ao do exercício anterior. Para determinar as projecções dos pontos de tangência, T e T’, traça-ram-se dois raios nas projecções da base paralelos aos da sombra, pois aqui as circunferências não coincidem.

x

l2

l1

A1 B1

A2 B2

V2

V1≡O1≡OS1

O2

VV1 VS2

T’1≡T’S1

T1≡TS1

T2

T’2

QS

Q’S

x

l2

l1

VV1 VS2

Q’S

QS

B1

B2

A2

A1 O1

O2 T2

T1

T’1

T’2

TS1

T’S1

V2

V1

OS1


Aqui mostra-se como se determinam as sombra de um cone em posição invertida.

Sombras de um cone de revolução com a base frontal

Determina-se a sombra do vértice e a sombra da base no plano em relação ao qual esta é paralela, ou seja o PFP. A determinação dos pontos de tangência e dos pontos de quebra faz-se como nos casos da página ante-rior. Aqui toda a sombra real da base é elíptica, sendo utilizados os pontos 1, 2 e B para a determinar. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TV] e [T’V].

A2 B2

A1

T1 T’1 B1

O2≡V2

O1≡12 21

22 12

T’2

T2

V1

BS1

2S1 1S1

TS1

T’S1 T’V2

TV2

Q’S QS

x

l2

l1

VS2

OV1


Nesta página mostra-se como se determinam as sombras de um cone com a base de perfil.

Sombras de um cone oblíquo com a base de perfil

Em rebatimento determinam-se quais os pontos da base cuja sombra interessa achar. Para o efeito utilizam-se os pontos A, D, E, F, G e Q, ponto de quebra nessa linha. O ponto R é a intersecção do raio de luz que passa pelo vértice com o plano da base. Os pontos de tangência T e T’ são aqueles em que o contorno da sombra une as partes elípticas com as partes rectas. É também nesses pontos que nascem as separatrizes. Aqui um ponto de quebra situa-se no contorno elíptico, outro no contorno recto.

B1

A1

O2≡A2≡B2

O1≡C1≡D1

D2

ER FR

GR

E1≡F1

G1

F2≡G2

E2

hπ≡fπ≡hπR

OR

QR

Q2

Q1

QS

AS2

FS2

ES2

GS1

DS1

x≡fπR

l2

l1

C2

RR R1

R2

V2

V1

TR

T’R

T2

T1

T’1

TS2

T’S1

T’2

Q’S

VS2 VV1

DR

AR


Sombras de cilindros

Quando se trata de cilindros com bases paralelas a um plano de projecção, sugere-se que se come-

ce com a determinação das suas sombras nesse plano, sejam elas reais ou virtuais. Nesta página

observam-se dois cilindros de revolução com as bases frontais.

Sombras de um cilindro de revolução com uma base no PFP

A sombra da base de afastamento nulo situa-se no PFP. Unindo as sombras projectadas pelas duas bases no PFP obtém-se toda a sombra projectada pelo cilindro nesse plano. Acima do eixo x essa sombra é real, abaixo é virtual. A sombra virtual passa a real através da determinação das sombras reais dos pontos de tangência T’ e U’, assim como dos pontos 1, 2 e B’. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TT’] e [UU’].

Sombras de um cilindro de revolução com as bases frontais

Este caso tem semelhanças com o anterior, com a diferença de que a base de menor afastamento não se situa no PFP. Unindo as sombras pro-jectadas pelas duas bases no PFP obtém-se toda a sombra projectada pelo cilindro nesse plano. De seguida passa-se para reais as sombras vir-tuais. De notar que um ponto de que-bra está se situa no contorno recto e outro no contorno curvo da sombra projectada. Para determinar a sombra elíptica da base de maior afastamento foram utilizados os pontos 2, 3 e B’. O ponto 1 foi utilizado para determinar o pequeno arco de elipse da sombra da base de menor afastamento. A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TT’] e [UU’].

x

B2≡B’2 A2≡A’2 O2≡O’2≡OS2

O1

O’1≡11 A’1 B’1

A1 B1

l2

l1

T1

T’1 U’1≡21

U1

U2≡U’2≡US2

T2≡T’2≡TS2

O’V2

Q’S QS

B’S1

U’S1 U’V2

2S1

1S1

T’S1

12

22

B2≡B’2 A2≡A’2 O2≡O’2

O1

A’1 B’1

A1 B1

x

l2

l1

T’V2

U2≡U’2

T2≡T’2

T’1 U’1≡31

T1 U1 O’V2

OS2

QS Q’S

US2

U’V2

T’V2 T’S1

TS1

1S1

2S1

B’S1

3S1

11

12

22

32

O’1≡21

U’S1

TV2


Aqui temos as sombras de um cilindro oblíquo com as bases horizontais, estando uma delas no pla-

no horizontal de projecção.

Sombras de um cilindro oblíquo com uma base no PHP

A base de menor cota tem a sua sombra no sítio onde se encontra, pelo que se determina apenas a sombra da base de maior cota. Os pontos de quebra surgem da união das sombras das suas bases, estando um no con-torno recto, outro no contorno circular da sombra projectada. Para determinar a sombra da linha elíptica, foram utilizados os pontos 1, 2 e B’. As sombras próprias estão limitadas pelas separatrizes [TT’] e [UU’].

A1 B1

B’1 A’1

A’2 B’2 O’2≡12

O1≡OS1

A2

O’1

B2

O2

x

l2

l1

T2

T1≡TS1

T’2 U’2 22

21

11

2S2

1S2

B’S2

T’S2

U’S1

QS

Q’S

U’1

T’1

T’V1

O’V1

U1≡US1


Sombras de pirâmides 1. Representar uma pirâmide regular com 7cm de altura, cuja base é o hexágono horizontal [ABCDEF], sendo A(3;1;0) e F(6;2;0) dois dos seus vértices consecutivos. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 2. Representar uma pirâmide regular com 6cm de altura, cuja base é o triângulo frontal [JKL], sendo J(6;2;7) e K(0;2;7) os seus vértices de menor cota. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 3. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o pentágono horizontal [ABCDE], inscrita numa cir-cunferência com 3cm de raio e centro em O(4;3;3). o ponto A situa-se no PFP. O vértice principal é V(7;9) e a sua abcissa é igual à do vértice da base que se situa mais à direita. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 4. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o quadrado horizontal [FGHI], sendo F(5;3;8) e G(1;1;8) os seus vértices de menor afastamento. O vértice principal é V(-1;3;0). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 5. Representar uma pirâmide com 8cm de altura cuja base tem como vértices os pontos R(7;0;1), S(7;6;3) e T(7;2;6). O vértice principal é V, sendo a aresta [TV] fronto-horizontal. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção.

Sombras de prismas 6. Representar um prisma recto, com 4cm de altura e bases rectangulares horizontais, sendo [JKLM] a de menor cota. J(5;0;0) e K(0;2;0) são os extremos de um dos lados maiores; os lados menores medem 3cm. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 7. Representar um prisma hexagonal regular com 5cm de altura e bases frontais, sendo [ABCDEF] a de maior afastamento, inscrita numa circunferência com centro em X(2;8;4). Duas faces laterais do sólido são horizontais. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 8. Representar um prisma oblíquo com 5cm de altu-ra, cujas bases são triângulos equiláteros. [DEF] é a de menor afastamento e está inscrita numa circun-ferência com 2,5cm de raio e centro em O(4;1,5;4). O lado de menor cota da base é fronto-horizontal. As projecções frontais e horizontais das arestas laterais fazem 40ºad e 70ºad, respectivamente. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 9. Representar um prisma pentagonal oblíquo de bases horizontais, sendo o pentágono regular [ABCDE] a de menor cota, inscrita numa circunfe-rência com 3,5cm de raio e centro em O(4;4;2). O lado [AB] é fronto-horizontal e o de menor abcissa. A outra base está inscrita numa circunferência com centro em O’(4;7;7). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 10. Representar um prisma regular com 3cm de altura e bases quadradas de perfil, sendo [ABCD] a de menor abcissa. A(3;0;5) e C(3;5;4) são dois vérti-ces opostos dessa base. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção.

Sombras II – Exercícios


Sombras de cones 11. Representar um cone de revolução com 7cm de altura, cuja base é frontal com 3cm de raio e centro em O(2;0;5). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 12. Representar um cone de revolução com 7cm de altura, cuja base é frontal, tem 3cm de raio e centro em X(4;2;5). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 13. Representar um cone oblíquo cuja base é hori-zontal, tem 3cm de raio e centro em O(4;3;4). O vértice é V(10;8), sendo de perfil a geratriz situada mais à direita. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 14. Representar um cone oblíquo cuja base é hori-zontal, tem 3cm de raio e centro em X(3;5;7). O ponto V(8;7;1) é o vértice. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 15. Representar um cone de revolução com 8cm de altura, cuja base é de perfil, com 3cm de raio e cen-tro em O(0;5;4). O vértice situa-se à esquerda da base. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção.

Sombras de cilindros 16. Representar um cilindro de revolução com 6cm de altura e bases horizontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em O(4;4;0). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 17. Representar um cilindro de revolução com 5cm de altura e bases horizontais com 3cm de raio, uma delas com centro em X(4;3;3). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 18. Representar um cilindro oblíquo com 6cm de altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em O(5;0;4). As geratrizes são horizontais e fazem 60ºad. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 19. Representar um cilindro oblíquo com 5cm de altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma delas com centro em X(5;2;3). As projecções fron-tais e horizontais das geratrizes fazem 45ºad e 60ºad, respectivamente. Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção. 20. Representar um cilindro de revolução com 4cm de altura e bases de perfil, tendo a de menor abcis-sa centro em O(-1;4;5). Determinar as sombras própria e projectada do sóli-do nos planos de projecção.

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