sombras -Geometria descritiva 11ºano

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14SOMBRAS II

Neste captulo mostra-se como se determinam sombras prprias e projectadas de slidos sobre os planos de projeco, nomeadamente de pirmides, prismas, cones e cilindros. Sumrio: 2. Sombras de slidos no espao 3 e 4. Sombras de pirmides 5 e 6. Sombras de prismas 7, 8 e 9. Sombras de cones 10 e 11. Sombras de cilindros 12 e 13. Exerccios

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho

Sombras II - 1

Sombras de slidos no espaoAqui mostra-se como surgem as sombras prpria e projectada por um cone nos planos de projeco. Compreendendo esta situao, facilmente se compreendem outras envolvendo outros slidos.

l

V

0 T O T x TS1 QS OS1 QS TS1 0 Vv1 VS2

Sombras prpria e projectada por um cone de revoluo com base horizontalComo a base do slido paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vrtice nesse plano. A sombra da base, com centro em OS1, liga-se a VV1 atravs das tangentes [TS1VV1] e [TS1VV1]. Essas tangentes do origem aos pontos de quebra QS e QS que, unidos sombra real do vrtice, VS2, permitem determinar a sombra projectada pelo cone no PFP. Para determinar a sombra prpria traam-se os raios [OT] e [OT], paralelos respectivamente a [OS1TS1] e [OS1TS1]. As geratrizes [TV] e [TV] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra prpria, pelo que se designam separatrizes. Aqui, como nas pginas seguintes, fazem-se tracejados finos para indicar as manchas de sombra: 45ad no PFP; 45ad no PHP e horizontais na sombra prpria. Uma situao idntica a esta surge representada em projeces na pgina 7.

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho

Sombras II - 2

Sombras de pirmidesObserva-se aqui como se determinam sombras projectadas e sombras prprias de pirmides. Nesta pgina exemplifica-se com pirmides de bases frontais. B2BS2 A2AS2 V2 Sombras de uma pirmide regular com a base no PFP l2 D2DS2 x A1 l1 VS1 VV2 D1 QS C2 B1 C1 QSEstando a base no PFP, a sua sombra situa-se a, pelo que basta determinar a sombra do vrtice principal. Determinase tambm a sombra virtual desse vrtice por se encontrar no plano da base e assim se poder unir a ela. A sombra prpria limitada pelas arestas [BV] e [DV], as mesmas cujas sombras limitam a mancha que se projecta nos planos de projeco.

V1

A2 B2 AS2 BS2 V2 C2 QS x l1 E1F1 A1D1DS1 B1C1 ES1 D2 QS

F2 Sombras de uma pirmide oblqua com a base frontalAqui foram determinadas as sombras reais dos vrtices da base, assim como ambas as sombras do vrtice principal. As sombras dos vrtices das bases que se unem s sombras do vrtice principal so aquelas que permitem a maior abertura de ngulo a partir deste. A sombra de C no se indica por se situar no interior da mancha de sombra projectada. As arestas [BV] e [DV] limitam a sombra prpria. De notar que nesta situao a sombra prpria no visvel em projeco horizontal.

l2

FS2 E2

VS1

VV2

V1Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 3

Aqui observa-se mais uma situao que envolve a determinao das sombras prpria e projectada por uma pirmide nos planos de projeco. R2 E2 D2 A2 C2 B2 (f)t2t2 r2 DS2 CS2

l2 V2 x AS1 l1 D1 C1

BS2 QS QS

BV1

V1 E1 t1 r1 t1 R1 A1

VS1

VV2

B1

Sombras de uma pirmide regular com a base horizontalAqui foi utilizado um processo que no se aplicou na pgina anterior. Comeou por se determinar as separatrizes, que so as arestas [AV] e [DV], com recurso ao raio de luz r que contm o vrtice e cruza o plano da base no ponto R. A partir desse ponto foram traadas as tangentes t e t que contm os pontos A e D. Deste modo fica-se a saber que o ponto E, situado no espao interior dessas tangentes, no se utiliza nas determinao das sombra projectada, pois a sua sombra ficaria no interior dessa mancha. Para determinar os pontos de quebra faz-se recurso das sombras virtuais dos pontos V e B. De notar que a sombra prpria fica invisvel em projeco horizontal, uma vez que a pirmide est invertida.

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho

Sombras II - 4

Sombras de prismasAqui observa-se como se determinam sombras projectadas e sombras prprias de prismas. Nesta pgina exemplifica-se com prismas rectos. D2D2DS2

G2G2GS2 F2F2FS2 l2 E2E2 F1 x D1 QS l1 E1 G1 GS1 QS Sombras de um prisma recto com uma base no PFPAs arestas laterais so de topo, pelo que as suas sombras projectadas no PFP fazem 45ad e as projectadas no PHP so perpendiculares ao eixo x, no havendo necessidade de recorrer a sombras virtuais. As arestas [FF] e [GG] so as separatrizes da sombra prpria que, neste caso, no visvel em nenhuma das projeces.

FS1

ES1 F1 D1 E1 G1 J2 I2 K2 H2 L2

KS2

Sombras de um prisma regular com as bases horizontaisTambm aqui no h necessidade de determinar sombras virtuais, dado que as arestas laterais so verticais. De notar que o segmento de recta [HS1QS] paralelo a [H1L1], o que permite determinar o ponto de quebra da direita. As arestas [HH] e [JJ] so as separatrizes da sombra prpria.

l2 J2 x I2 K2

JS2 QS

LS2 H2 L2 QS

l1

K1K1 JS1 J1J1 IS1 L1L1

HS1

HS1 H1H1Sombras II - 5

I1I1Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho

Nesta pgina observa-se como se determinam as sombras prpria e projectada de mais dois prismas, o segundo com as bases de perfil. A2 A2

AS2 l2 C2 QS x l1 C1 CS1 A1 B1 C2 B2

B2

Sombras de um prisma oblquo com as bases frontaisAqui no foi feito uso de sombras virtuais, j que se tirou proveito de paralelismos. Determina-se o ponto de quebra da esquerda uma vez que [A2C2] paralelo a [A2SQS], e o da direita porque [AS1QS] paralelo a [CS1CS1]. No se indica a sombra projectada pelo ponto B, uma vez que esta fica no interior da mancha da sombra projectada pelo slido. A sombra prpria limitada pelas arestas [AA] e [CC].

QS AS1

BS1 CS1

C1

A1

B1

D2 DS2 E2 l2 DS2 F2 QS x D1 l1 F1 F1FS1 E1 E1Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 6

D2

DV1

Sombras de um prisma oblquo com as bases de perfilAqui recorreu-se s sombras virtuais de dois pontos para determinar os pontos de quebra. No se indica a sombra projectada pelo ponto E, uma vez que fica no interior da mancha projectada pelo slido. A sombra prpria limitada pelas separatrizes [DD] e [FF], no sendo visvel em nenhuma das projeces.

DV1

E2 F2 QS

FS1 D1

ES1

Sombras de conesNesta pgina observa-se como se determinam as sombras prpria e projectada de dois cones com bases horizontais, sendo um recto e outro oblquo. V2

VS2 l2

VV1

Sombras de um cone de revoluo com a base no PHPA base do cone situa-se no PHP, por isso coincide com a sua sombra real. Determinando a sombra virtual do vrtice, liga-se sombra da base nos pontos de tangncia T e T. Os pontos de quebra fazem a ligao sombra real do vrtice. nos pontos de tangncia que nascem as separatrizes que limitam a sombra prpria. A sombra prpria limitada pelas separatrizes [TV] e [TV].

A2 x

T2 T1TS1

O2

QS T2

B2 QS

l1 B1 V1O1OS1 T1TS1 V2

A1

l2 A2 T2 O2 T2 B2 QS x l1 TS1

VS2

VV1

QS

T1 OS1 A1 O1 T1 B1 TS1 V1

Sombras de um cone oblquo com a base horizontalDetermina-se a sombra da base e as sombras real e virtual do vrtice. A sombra projectada determina-se de modo idntico ao do exerccio anterior. Para determinar as projeces dos pontos de tangncia, T e T, traaram-se dois raios nas projeces da base paralelos aos da sombra, pois aqui as circunferncias no coincidem.Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 7

Aqui mostra-se como se determinam as sombra de um cone em posio invertida. T2

A2 l2 T2

O2V2

B2 VS2

12 x V1 l1

22 QS QS TS1 TV2

BS1 TS1 TV2 2S1

OV1

1S1 A1 T1 O112 T1 21 B1

Sombras de um cone de revoluo com a base frontalDetermina-se a sombra do vrtice e a sombra da base no plano em relao ao qual esta paralela, ou seja o PFP. A determinao dos pontos de tangncia e dos pontos de quebra faz-se como nos casos da pgina anterior. Aqui toda a sombra real da base elptica, sendo utilizados os pontos 1, 2 e B para a determinar. A sombra prpria limitada pelas separatrizes [TV] e [TV].

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Sombras II - 8

Nesta pgina mostra-se como se determinam as sombras de um cone com a base de perfil.

R2

hfhR T2 E2 O2A2B2 T2 l2 F2G2 Q2 D2 xfR ER TR l1 OR ES2 AS2 VS2 FS2 QS DS1 GS1 DR G1 GR TR T1 B1 O1C1D1 TS1 V1 QS VV1 TS2 V2 C2

AR

A1 FR E1F1 Q1 QR T1

RR

R1

Sombras de um cone oblquo com a base de perfilEm rebatimento determinam-se quais os pontos da base cuja sombra interessa achar. Para o efeito utilizam-se os pontos A, D, E, F, G e Q, ponto de quebra nessa linha. O ponto R a interseco do raio de luz que passa pelo vrtice com o plano da base. Os pontos de tangncia T e T so aqueles em que o contorno da sombra une as partes elpticas com as partes rectas. tambm nesses pontos que nascem as separatrizes. Aqui um ponto de quebra situa-se no contorno elptico, outro no contorno recto.

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Sombras II - 9

Sombras de cilindrosQuando se trata de cilindros com bases paralelas a um plano de projeco, sugere-se que se comece com a determinao das suas sombras nesse plano, sejam elas reais ou virtuais. Nesta pgina observam-se dois cilindros de revoluo com as bases frontais.

U2U2US2 A2A2 l2 T2T2TS2 T1 x A1 O1 O2O2OS2 B2B2 22 Sombras de um cilindro de revoluo com uma base no PFPA sombra da base de afastamento nulo situa-se no PFP. Unindo as sombras projecta