SP 12 - GeoGebra - Métodos Avançados

José Manuel Dos Santos Dos Santossantosdossantos@ese.ipp.pt

Instituto GeoGebra Portugal / ESE - IP Porto

Quinta-feira, 31 março, 9:00Sala B2.02A

Utilizadores com conhecimento de GeoGebra

A evolução do GeoGebra fez deste software um ambiente de aprendizagem por excelência que se

alarga quer ao uso escolar quer a diversas áreas de investigação em matemática. De facto, a capacidade de

comunicação entre diferentes janelas, permite manipular objetos matemáticos em múltiplas representações:

algébricas, simbólicas, em folhas de cálculo e geométricas. Acresce ainda a possibilidade de poder realizar

alguma programação que confere a possibilidade de alargar as aplicações do software a muitas áreas da

matemática. Assim, o IGP pensou dinamizar uma sessão pratica no ProfMat 2016 que permita ilustrar as

capacidades atrás referidas, bem como, propiciar a construção de materiais diversos e num leque mais

alargado de conteúdos matemáticos.

Versão atualizada do software em: http://download.geogebra.org/installers/5.0/?C=M;O=D

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Notas

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Tarefa 1 - Cubo de aresta aPretende-se criar um cubo, podendo variar a medida da aresta com um selector. 1. Iniciemos o GeoGebra, grave o ficheiro com o nome cuboaresta_a.ggb. 2.Dirigindo-nos ao Menu Exibir, seleccionar a Janela de Visualização e Janela de Visualização 3D.

Figura 1 - Aplicação Cubo de aresta a.

3. Digitar na barra de entrada o comando a=3, dar entrada, e exibir o selector, ou a ferramenta .4. Definem-se os vértices do cubo a partir do vértice A adicionando o vetor respectivo.

A=(0,0,0)B=A+(a,0,0)C=A+(a,a,0)D=A+(0,a,0)E=A+(0,0,a)

5.Por ultimo o cubo é definido como um prisma de Vértices A,B,C e D na base, um quadrado cuja medida do lado é a, ou seja, de aresta [AE] que mede a. Use o comando Ca=prisma[A,B,C,D,E].

6. Meça o volume do cubo com a ferramenta, , volume.

Tarefa 2 - Cubo com face num plano que contem o eixo Oy e planificação1. Uma construção alternativa seria usar apenas:

A=(0,0,0)B=A+(a,0,0)E=A+(0,0,a)Cubo=Cubo[A, B, Vetor[A, E]]

2. Crie um selector c=1/2 que varie entre 0 e 1.3. Use a barra de entrada e escreva P_d=Planificação[Cubo, c]. Movimente o

selector c e observe o efeito.4. Crie: os selectores α (α =3), e β (β=-1); o pano α y + β z= 0, acautelando que

fica designado por p; o vector normal ao plano p (u=VetorPerpendicular[p]).5. Altere os valores dos selectores α e β e observe.

Figura 2 - Cubo e planificação.

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Tarefa 3 - Tetraedro com face no plano ABC1.Na Janela de Visualização 3D marque três pontos não colineares.

Figura 3 - Tetraedro, planificação e altura.2. No campo de entrada use o comando:

2.1. p=Plano[A, B, C], para definir o plano p;2.2. u=VetorPerpendicularUnitário[p].

2. Marque dois pontos, D e E, no plano p.3. Crie a vista 2D de p, clicando no botão direito do rato no plano.4. Crie um parâmetro d=½, dando-lhe a propriedade de seletor que varie entre 0 e 1 e passo 0.1.5. No campo de entrada use o comando:

5.1. Tetraedro=Tetraedro[D, E, u];5.2. P_T=Planificação[Tetraedro, d].

6. Altere o valor do parâmetro d e observe o efeito.7. Desafio, obtenha a altura do tetraedro.

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Tarefa 4 - Cónicas - 3D para 2D1. Abra o GeoGebra .2. No Menu Exibir active a Janela de Visualização 3D.3. Na barra campo de entrada escreva, e de entrada, de cada um dos seguintes comandos:

3.1. a=ConeInfinito[(0, 0, 0), (0, 0, 3), 45°]3.2. A= (4,4,0)3.3. B=(0,-4,0)3.4. C=(0,0,4)3.5. b=Plano[A,B,C]

Figura 4 - Cónicas - 3D para 2D.4. Mova os pontos A, B e C na Janela de Visualização 3D e observe a interseção do cone com o plano.5. Determine a interseção escrevendo Interseção[b,a] na barra campo de entrada, dando entada, ou usando a

ferramenta, , Interseção de Duas Superfícies .6. Explore a vista 2d do plano, obtendo elementos característicos da cónica definida nesse plano.7. Prove, geometricamente, que para o cone e os pontos, acima indicados a cónica é uma parábola. 8. Verifique onde pode usar a ferramenta volume, entre os sólidos definidos pelos os comandos:

Cone[<Ponto>,<Ponto>,<Raio>], ConeInfinito[<Ponto>,<Vetor>,<Ângulo>], ConeInfinito[ <Ponto>, <Reta>, <Ângulo> ].

9. Se tiver tempo, volte a esta tarefa, e explore o caso em que a interseção é uma elipse.

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Tarefa 5 - Superfícies em coordenadas paramétricas

Uma superfície corresponde a um subconjunto de pontos, s, de !3 , de modo que é possível estabelecer uma

função de um aberto de !2 , I, em s. Em coordenadas paramétricas, uma superfície s é descrita pelo lugar

geométrico dos pontos da forma s(u,v)=(f1(u,v), f2(u,v), f3(u,v)) onde as funções fi , com i∈{1,2,3}, são

funções de um subconjunto I de !2 em ! contínuas e diferenciáveis.

Figura 5 - Toro e as suas coordenadas paramétricas.

Na aplicação ( ver figura 5) podem alterar-se as funções f1, f2, e f3 . Em alternativa pressionar os botões para obter alguns exemplos de superfícies.

O caso do Toro Um toro pode ser imerso em IR3 como uma superfície algébrica do quarto grau. Usando coordenadas paramétricas, o toro é gerado, na versão atual do GeoGebra, em português de Portugal, com o comando Superfície[(R + r cos(v)) cos(u), (R + r cos(v)) sin(u), r sin(v), u, 0, 2 π, v, 0, 2 π], onde: u, v estão no intervalo [0, 2π]; R é a distância do centro do tubo ao centro do toro; r é o raio do “tubo.” Na figura 6 observa-se uma aplicação do GeoGebra com um toro e alguns dos seus elementos geométricos. Os seletores alteram os valores de R e r, respectivamente, a distância do centro do tubo ao

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centro do toro e o raio do “tubo”. Movimentando o ponto A, na aplicação da figura 6, construída segundo o processo da figura 7, visualiza-se como pode ser o toro gerado como uma superfície de revolução.

Figura 6 - Toro e alguns dos seus elementos geométricos.

Roteiro:

1. Defina os raios, com a campo de entrada ou a ferramenta selector .

2. Defina a superfície, em coordenadas paramétricas com o comando Face, atenção a sintaxe: Face[ <Expressão>, <Expressão>, <Expressão>, <Variável 1>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Variável 2>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ].

3. Marque as circunferências que representam os “equadores” do toro com o comando

Circunferência[ <Ponto>, <Raio>, <Direção> ], ou com a ferramenta , onde a direcção é o eixo dos z.

4. Marque a circunferência que representa o “meridiano” que passa por A, do toro com o comando

Circunferência[ <Ponto>, <Raio>, <Direção> ], , ou com a ferramenta , onde a direcção é um plano paralelo ao plano que a contêm.

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Nº Nome Ícone Definição Comando

1 Número h

2 Número r

3 Número R

4 Superfície Lateral Toro SuperfícieLateral[(R + r cos(v)) cos(u), (R + r cos(v)) sin(u), r sin(v), u, 0, 6.28, v, 0, 6.28]

SuperfícieLateral[(R + r cos(v)) cos(u), (R + r cos(v)) sin(u), r sin(v), u, 0, 6.28, v, 0, 6.28]

5 Ponto O Pontos de Interseção de EixoOz, EixoOx Intersetar[EixoOz, EixoOx]

6 Circunferência ec Circunferência com centro O e raio R, paralelo a xOy Circunferência[O, R, xOy]

7 Circunferência ei Circunferência com centro O e raio r, paralelo a xOy Circunferência[O, r, xOy]

8 Circunferência ee Circunferência com centro O e raio R + r, paralelo a xOy Circunferência[O, R + r, xOy]

9 Ponto A Ponto em ec Ponto[ec]

10 Reta rA Reta que contém O, A Reta[O, A]

11 Reta nA Reta contendo A perpendicular a rA e paralela a xOy RetaPerpendicular[A, rA, xOy]

12 Plano a z = h z = h

13 Circunferência cA Circunferência com centro A e raio R - r, eixo paralelo a nA

Circunferência[A, R - r, nA]

14 Ponto B Pontos de Interseção de cA, a Intersetar[a, cA]

14 Ponto C Pontos de Interseção de cA, a Intersetar[a, cA]

15 Circunferência c Circunferência do eixo EixoOz que contém B Circunferência[EixoOz, B]

16 Circunferência d Circunferência do eixo EixoOz que contém C Circunferência[EixoOz, C]

17 Ângulo β

18 Circunferência Rca cA rotação de amplitude β de EixoOz Rotação[cA, β, EixoOz]

Figura 7 - Protocolo da construção da aplicação.5. Construa um selector, β, que represente um ângulo a variar entre 0 e 360º.6. Rode um meridiano c_A em torno do eixo Oz usando o comando: Rotação[c_A, β, EixoOz ] . Mude as

propriedades do meridiano alterando o traço.7. Desafio. Construa um plano paralelo a xOy e represente a intersecção com o toro.8. Explore outras superfícies, em coordenadas paramétricas, a sua escolha. Por exemplo para o cone elíptico

teríamos f_1(u,v)=1*v*cos(u), f_2(u,v)=2*v*sin(u) e f_3(u,v)=3*v.

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Tarefa 6 - Gráficos de Funções !2 em ! e superfícies.

1. Introduza cinco parâmetros na campo de entrada ( a, b, c, d, e) ou em alternativa cinco slides,

faça-os variar entre -3 e 3 de 1 em 1.

2. Represente a função f1(x,y)=e^2 - ((x - a)^2 / b + (y - c)^2 / d).

3.Represente os planos de equação:

3.2. x+0 y + 0 z = a ;

3.3. 0 x+ y + 0 z = c ;

3.4. 0 x+ 0 y + z = e .

4. Interprete o significado das curvas

traçadas sobre a superfície, gráfico da função

f1.

5. Represente as sequências:

5.1.Sequência[ x+0 y + 0 z = a , a, -3, 3 ] ;

5.2. Sequência[ 0 x+ y + 0 z = a , a, -3, 3 ] ;

5.3. Sequência[ 0 x+ 0 y + z = a , a, -3, 3 ] .

6. Encontre valores para os parâmetros ( a, b,

c, d, e) e uma função f3 de modo que a

união dos gráficos de f2 e f3 estejam

contidos numa superfície:

6.1.limitada;

6.2. esférica, neste caso qual será a

coordenada do seu centro e o valor do seu

raio.

7.Como proceder no ponto 6 de modo a obter

uma superfície cónica.

Figura 8 - Superfície seccionada.

Figura 9 - Reunião de dois hemisférios.

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Tarefa 7 - Superfícies como rotação do gráfico de uma função de ! em ! .

1. Introduza cinco parâmetros, na barra

campo de entrada escreva os comandos:

1.1. a=1 ;

1.2. b=1 ;

1.3. c=2 :

1.4. d= 2.

2. Na janela de visualização represente:

2.1. os pontos de coordenadas

(a,b) e (c,d), para isso na barra

campo de entrada escreva:

2.1.1. P= (a,b) ;

2.1.2. Q=(c,d) ; Figura 10 - Superfície gerada por rotação de uma função real de variável real.

2.2. um seletor, α, que comandará um ângulo;

2.3. a função f1(x)=(d-b)/(c-a)*(x-a)+b.

2.4. A função f2(x)=Se[-3 ≤ x ≤ 3, f1].

3. Faça aparecer a janela de visualização 3D e na barra campo de entrada escreva:

3.1. S_t=Superfície[f1, α] ;

3.2. S_p=Superfície[f2, α] .

4. Explore a aplicação que construiu: alterando o valor do ângulo, os parâmetros, e mostrando e

ocultando as superfícies geradas em 3.

5. Construa uma aplicação que lhe permita representar:

5.1. um cilindro.

5.2.um hemisfério de uma superfície esférica;

5.3. um hemisfério um elipsoide.

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Referências

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