Unioestetede.unioeste.br/bitstream/tede/4668/2/Rosane Spielmann...UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS / CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

UTILIZAÇÃO E SIGNIFICADOS ATRIBUÍDOS AO SINAL DE IGUAL: UM OLHAR PARA A

PRODUÇÃO ESCRITA DE ALUNOS EM PROVAS

DE CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I

ROSANE SPIELMANN

CASCAVEL 2019

NÍVEL DE MESTRADO E DOUTORADO / PPGCEM

ÁREA DE CONCETRAÇÃO: EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

LINHA DE PESQUISA: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

USOS, OMISSÕES E SIGNIFICADOS ATRIBUÍDOS AO SINAL DE IGUAL: UM

OLHAR PARA A PRODUÇÃO ESCRITA DE ALUNOS EM PROVAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I

ROSANE SPIELMANN

CASCAVEL - PR

2019

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS

EXATAS E TECNOLÓGICAS / CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

NÍVEL DE MESTRADO E DOUTORADO / PPGECEM

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

LINHA DE PESQUISA: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

USOS, OMISSÕES E SIGNIFICADOS ATRIBUÍDOS AO SINAL DE IGUAL: UM OLHAR PARA A PRODUÇÃO ESCRITA DE ALUNOS EM PROVAS DE CÁLCULO

DIFERENCIAL INTEGRAL I

ROSANE SPIELMANN

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Educação Matemática – PPGECEM da Universidade Estadual do Oeste do Paraná/UNIOESTE – Campus de Cascavel, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Educação Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Andréia Büttner Ciani

CASCAVEL - PR

2019

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força e permitido que tudo

isso acontecesse.

A minha professora orientadora, Andréia Büttner Ciani, pelo apoio, confiança,

dedicação e por ter acreditado em mim neste trabalho. Também por ser uma grande

profissional que com todo o seu carinho me ajudou na elaboração deste estudo.

Aos professores da banca examinadora, André Luis Trevisan, Rodolfo Eduardo

Vertuan e Tânia Stella Bassoi, pela atenção e contribuição dedicados a este estudo.

E, for fim, mas não menos importante, aos meus pais, Ana e Ivo, e ao meu

namorado, Alexander, pelo incentivo, auxílio, amor e confiança em todos os

momentos.

SPIELMANN, R. Usos, omissões e significados atribuídos ao sinal de igual: um

olhar para a produção escrita de alunos em provas de Cálculo Diferencial Integral I. 2019. 190 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – - Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, Cascavel, 2019.

RESUMO O sinal de igual é um dos símbolos mais utilizados nas aulas de Matemática e, dessa forma, recebeu grande atenção de diversas pesquisas que constataram o seu uso inadequado por alunos durante toda a Educação Básica. Nesse sentido, a intenção dessa pesquisa foi investigar os usos, omissões e significados do sinal de igual também no Ensino Superior. Assim, o trabalho consistiu na análise da produção escrita de alunos de Cálculo Diferencial Integral I (CDI), no qual foram utilizadas duas avaliações aplicadas durante o ano letivo de 2015/2016 em uma turma de primeiro ano de Engenharia Agrícola, de uma universidade estadual do oeste do Paraná. Para isso, seguimos a interrogação: a partir da produção escrita dos alunos do primeiro ano de graduação de um curso de Engenharia Agrícola, o que é possível inferir sobre o uso do sinal de igual nas suas provas? Com isso, o objetivo foi compreender quais os usos, omissões e significados que o sinal de igual recebe por estudantes do Ensino Superior em uma situação de avaliação. A postura assumida na investigação foi qualitativa e pautada na abordagem metodológica de Análise de Conteúdo. Tomamos como aporte teórico norteador a Análise da Produção Escrita como Prática de Investigação. Baseados nas análises das produções escritas dessas provas, inferimos que o símbolo é um item de importância secundária nas resoluções e acreditamos que isso seja resultante de uma vida escolar onde os alunos não tiveram contato com as diversas finalidades e especificidades que o símbolo possui. Palavras-chave: Avaliação da Aprendizagem; Análise da Produção Escrita; Sinal de igual; Cálculo Diferencial e Integral; Ensino de Cálculo.

ABSTRACT

The equal sign is one of the symbols most used in mathematics classes and, therefore, received great attention from several researches that verified its inappropriate use by students throughout the Basic Education. In this sense, the intention of this research appeared in investigating the uses, omissions and meanings of the equal sign also in Higher Education. Thus, the work consisted in the analysis of the written production of students of Integral Differential Calculus (ICD), in which two evaluations were applied during the academic year 2015/2016 will be used in a first year group of Agricultural Engineering, of a state university of western Paraná. For this, we followed the question: from the written production of the students of the first year of graduation of an Agricultural Engineering course, what is possible to infer about the use of equal sign in their tests? With this, the objective was to understand the uses, omissions and meanings that the equal sign receives by Higher Education students in an evaluation situation. The posture assumed in the research is qualitative and based on the methodological approach of Content Analysis of Bardin. We take as theoretical guiding input the Analysis of Written Production as a Research Practice. Based on the analysis of these tests, we infer that the symbol is an item of secondary importance in the resolutions and we believe that this is a result of a school life where the students did not have contact with the different purposes and specificities that the symbol has. Keywords: Learning Assessment; Written production analysis; Equal sign; Differential and Integral Calculus I; Calculus Teaching.

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Significados pertencentes ao Sinal de Igual. ......................................... 21

Quadro 2 – Categorias por questão. ......................................................................... 64 Quadro 3 – Categorias referentes aos usos e significados atribuídos pelos alunos do Sinal de Igual. .......................................................................................................... 111 Quadro 4 – Quantidade de produções por categoria. ............................................. 111

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplo de uma descrição realizada. ...................................................... 47 Figura 2 – Exemplo das categorias criadas em uma questão. .................................. 48

Figura 3 – Gráfico da questão 3. ............................................................................... 53 Figura 4 – Gráfico da questão 4. ............................................................................... 55

Figura 5 – Gráfico da questão 2. ............................................................................... 60 Figura 6 – Gráfico da questão 2’. .............................................................................. 60

Figura 7 - Produção escrita do aluno P15. ................................................................ 65 Figura 8 - Produção escrita do aluno P16. ................................................................ 66

Figura 9 - Produção escrita do aluno P14. ................................................................ 67 Figura 10 - Produção escrita do aluno P20. .............................................................. 67

Figura 11 - Produção escrita do aluno P26. .............................................................. 68 Figura 12 - Produção escrita do aluno P19. .............................................................. 68


Figura 15 - Produção escrita do aluno P35. .............................................................. 70 Figura 16 - Produção escrita do aluno P5. ................................................................ 71




Figura 23 - Produção escrita do aluno P9. ................................................................ 76 Figura 24 - Produção escrita do aluno P1. ................................................................ 77 Figura 25 - Produção escrita do aluno P41. .............................................................. 78











Figura 46 - Produção escrita do aluno P1. ................................................................ 91

Figura 47 - Produção escrita do aluno P11. .............................................................. 92






Figura 58 - Produção escrita do aluno P36. .............................................................. 98 Figura 59 – Produção escrita do aluno P34. ............................................................. 99

Figura 60 – Produção escrita do aluno P23. ........................................................... 100 Figura 61 - Produção escrita do aluno P21. ............................................................ 101


Figura 64 - Produção escrita do aluno P41. ............................................................ 104 Figura 65- Produção escrita do aluno P1. ............................................................... 104

Figura 66 - Produção escrita do aluno P7. .............................................................. 105 Figura 67 - Produção escrita do aluno P34. ............................................................ 106


Figura 70 - Produção escrita do aluno P10. ............................................................ 108 Figura 71 - Produção escrita do aluno P3. .............................................................. 109

SUMÁRIO

RESUMO ........................................................................................................................................................ 7

ABSTRACT .................................................................................................................................................... 8

INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................14

CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................................19

UM PANORAMA DA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................19

1.1. SINAL DE IGUAL .............................................................................................................................19 1.1.1. UM BREVE HISTÓRICO DO SÍMBOLO...........................................................................................19 1.1.2. OS SIGNIFICADOS DO SINAL DE IGUAL NA MATEMÁTICA .............................................................20 1.1.3. SIGNIFICADOS ATRIBUÍDOS PELOS ALUNOS ACERCA DO SINAL DE IGUAL, SEGUNDO AS

PESQUISAS 23 1.1.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE AS PESQUISAS ...................................................................................30 1.2. AVALIAÇÃO COMO OPORTUNIDADE DE APRENDIZAGEM ..................................................................32 1.3. ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA COMO PRÁTICA DE INVESTIGAÇÃO ............................................36 1.4. RELAÇÃO DA LINGUAGEM COM A ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA ................................................40

CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................................44

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ...................................................................................................44

2.1. CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA ...................................................................................................44 2.2. APRESENTANDO OS SUJEITOS ENVOLVIDOS ..................................................................................45 2.3. ASSUMINDO UMA ABORDAGEM INTERPRETATIVA DOS DADOS ........................................................46 2.4. SOBRE AS PROVAS ANALISADAS ....................................................................................................49 2.4.1. A PROVA 1 ................................................................................................................................50 2.4.1.1 QUESTÃO 1 ...............................................................................................................................51 2.4.1.2 QUESTÃO 2 ..............................................................................................................................52 2.4.1.3 QUESTÃO 3 ..............................................................................................................................53 2.4.1.4 QUESTÃO 4 ..............................................................................................................................55 2.4.1.5 QUESTÃO 5 ..............................................................................................................................55 2.4.1.6 QUESTÃO 6 ..............................................................................................................................56 2.4.1.7 QUESTÃO 7 ..............................................................................................................................58 2.4.2. A PROVA 6 ...............................................................................................................................58 2.4.2.1 QUESTÃO 1 ..............................................................................................................................59 2.4.2.2 QUESTÃO 2 ..............................................................................................................................61 2.4.2.3 QUESTÃO 3 ..............................................................................................................................62 2.4.3. AS CATEGORIAS CRIADAS POR QUESTÃO EM CADA PROVA ........................................................63

CAPÍTULO 3 .................................................................................................................................................65

ANÁLISES ....................................................................................................................................................65

3.1 SOBRE A PROVA 1 ...........................................................................................................................65

3.1.1. SOBRE A QUESTÃO 1 ................................................................................................................65 3.1.2. SOBRE A QUESTÃO 2 ................................................................................................................71 3.1.3. SOBRE A QUESTÃO 3 ................................................................................................................81 3.1.4. SOBRE A QUESTÃO 4 ................................................................................................................87 3.1.5. SOBRE A QUESTÃO 5 ................................................................................................................87 3.1.6. SOBRE A QUESTÃO 6 ................................................................................................................89 3.1.7. SOBRE A QUESTÃO 7 ................................................................................................................97

3.2 SOBRE A PROVA 6 ...........................................................................................................................98

3.2.1. SOBRE A QUESTÃO 1 ................................................................................................................98 3.2.2. SOBRE A QUESTÃO 2 .............................................................................................................. 103 3.2.3. SOBRE A QUESTÃO 3 .............................................................................................................. 107

3.3 O QUE A PRODUÇÃO ESCRITA PÔDE REVELAR ACERCA DA COMPREENSÃO QUE OS ALUNOS POSSUEM SOBRE O SINAL DE IGUAL ............................................................................... 110

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................................... 115

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................... 120

APÊNDICES ............................................................................................................................................... 127

APÊNDICE 1 ............................................................................................................................................... 128

APÊNDICE 2 ............................................................................................................................................... 130

APÊNDICE 3 ............................................................................................................................................... 131

APÊNDICE 4 ............................................................................................................................................... 183

APÊNDICE 5 ............................................................................................................................................... 189

14

INTRODUÇÃO

Um dos símbolos mais utilizados na Matemática é o sinal de igual (TRIVILIN,

2014). Desde o momento da alfabetização até a matemática universitária este

símbolo1 se faz presente e a sua interpretação e compreensão é necessária para que

o aluno aprenda Matemática.

No decorrer da Educação Básica os significados2 pertinentes ao sinal de igual

são frequentemente modificados, motivo este resultante dos diversos conteúdos que

compreendem esse símbolo. No entanto, é comum sua utilização de forma

inadequada, tanto por estudantes do Ensino Fundamental quanto do Ensino Médio,

como destacam algumas pesquisas (CAVALCANTI, 2008; MATOS, CAVALCANTI,

2010; BANDARRA, 2011; TRIVILIN, 2014; TRIVILIN, RIBEIRO, 2015; CIVINSKI,

2015). Os resultados destas pesquisas apontam que grande parte dos alunos tem

uma compreensão deste símbolo apenas como operação e que acabam utilizando-o

de forma equivocada em situações matemáticas, o que acarreta, além de dificuldades

na compreensão e utilização do sinal de igual, em dificuldades ou obstáculos na

compreensão dos conteúdos cuja representação faz uso desse símbolo, bem como

das situações em que seu uso é feito.

De acordo com Trivilin e Ribeiro (2015), nos Anos Iniciais do Ensino

Fundamental as aulas de Matemática são fortemente voltadas para as operações

básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Porém, não há uma

preocupação em explicar aos alunos o motivo de o sinal de igual estar presentes

nestes cálculos, de forma que, parece ficar subentendido a eles, que este aparece

apenas como o indicador de um resultado ou de uma operação a ser realizada.

Autores como Cavalcanti e Matos (2008) e Santos (2013) verificaram que essa

compreensão de que a função do “=” seria para dar uma resposta ou para separar a

conta permanece ao longo da escolaridade, chegando até os Anos Finais.

Normalmente os alunos acabam ficando condicionados que, após armar uma conta,

eles precisam utilizar o sinal de igual para efetuar a operação. Mas isso faz com que

eles não compreendam a real importância da presença deste sinal naquele momento,

1 Nesta pesquisa, tomamos as palavras sinal e símbolo como sinônimos. 2 Esclarecemos que, quando mencionamos sobre os significados do sinal de igual, estamos nos referindo sobre as diversas finalidades que o símbolo pode receber na expressão a qual está inserido. Sobre estes significados, apresentamos no texto do tópico 1.1.2.

15

ocasionando assim, o seu uso apenas para separar as parcelas do resultado, no caso

da adição, por exemplo.

Com isso, essa compreensão equivocada traz implicações para a

aprendizagem, pois, quando os significados do sinal de igual não forem ampliados

corretamente, é possível que o “=” seja na maioria das vezes associado apenas a

ideia de igualdade, isto é, que uma coisa é igual a outra. E nos momentos em que

esse significado não condizer com o contexto inserido, pode levar o aluno ao erro, por

ele não ser capaz de compreender o símbolo com outro significado e assim,

consequentemente, não entender o conceito matemático presente no conteúdo.

Ao chegar aos Anos Finais, os alunos precisam compreender que este símbolo

não se restringe apenas às operações aritméticas, que ele pode ter também a função

de igualdade e equivalência, como é o caso do ensino da Álgebra, por exemplo. No

entanto, Silva e Ribeiro (2014) afirmam que muitas vezes os significados do sinal de

igualdade não são ampliados nesse segundo ciclo, o que faz com que os alunos não

entendam que o seu significado vai além de ficar à frente da resposta.

Esse entendimento inconsistente do uso do sinal de igual pode acompanhar o

aluno por bastante tempo, chegando até o Ensino Médio, período que, segundo

Cavalcanti (2008), os alunos acabam seguindo sem que tenham clareza quanto ao

sentido da utilização deste sinal. O autor ressalta que muitos estudantes

compreendem o significado do sinal de igual apenas em operações aritméticas e em

equações e, algumas vezes, utilizando-o fora do contexto que se encontra.

Exemplificando essa afirmação, Lima (2007) constatou que no estudo de equações o

sinal de igual é compreendido, principalmente, como operacional3. Assim seu

significado acaba não sendo compatível ao contexto em questão.

Corroborando com as pesquisas supracitadas, Silva e Ribeiro (2014) afirmam

ser comum rupturas4 na compreensão do símbolo na passagem de um nível de ensino

para o outro, principalmente quando alguns conceitos não foram bem explorados. Um

exemplo seria quando o sinal de igual está presente em exercícios que solicitam

apenas que os alunos “resolvam a operação”. Esses tipos de atividades, segundo os

autores, “contribuem para a construção do significado operacional [...] não

possibilita[ndo] a efetiva construção do significado de equivalência (SILVA; RIBEIRO,

3 Indicador do resultado de uma operação. 4 Rupturas no sentido de que muitos conceitos não são bem explorados entre os dois níveis, prejudicando a construção e a ampliação dos diversos significados.

16

2014, p. 81, inserção nossa). Por isso, é imprescindível que diversos significados

sejam apresentados e bem explorados pelo professor nas aulas de Matemática.

Perante o exposto, ressaltamos a importância de o professor explorar bem

todos os conceitos que cercam cada conteúdo matemáticos e para que possa tomar

conhecimento se o aluno realmente aprendeu, uma alternativa é seguir uma postura

investigativa e explorar a própria produção escrita do aluno. Além disso, considerar a

produção escrita contribui para a prática avaliativa. Deste modo, tomamos como

vertente teórica a Avaliação da Aprendizagem seguindo a perspectiva da Análise da

Produção Escrita como Prática de Investigação (FERREIRA, 2009).

Considerando a vertente Avaliação da Aprendizagem, podemos dizer que o

estudo pelo presente trabalho se iniciou há algum tempo, não na sua elaboração em

si, mas no anseio de realizar pesquisa sobre isso. Este motivo é resultante dos

estudos realizados durante a graduação, no qual a avaliação da aprendizagem foi um

assunto de grande relevância, evidenciando o quanto a prática avaliativa precisa ter

destaque na vida profissional do professor.

A avaliação não deve ser praticada apenas como verificação do que o aluno

aprendeu, mas que diversas estratégias de ensino sejam praticadas na sala de aula,

afim de obter informes, esclarecer dúvidas e superar dificuldades, contribuindo ao

aluno a tomada de consciência sobre sua aprendizagem e, ao professor, que reoriente

a sua prática, caso necessário. Com isso, acreditamos que é preciso conceber a

avaliação como componente fundamental da aprendizagem do estudante, de forma

que o professor crie condições para que seu aluno aprenda e não simplesmente

reproduza os conteúdos de maneira descontextualizada.

Por isso, acreditamos que é de suma importância que o professor assuma um

papel de investigador na sua prática avaliativa, pois o foco da avaliação não é apenas

verificar se o aluno apresentou sua resolução correta ou não, mas analisar, investigar,

conhecer quais procedimentos e estratégias utiliza, que conhecimentos ele mobiliza,

que hipóteses ele considera, que conjecturas elabora. Resumindo, de certa forma,

tudo isso, utilizamos a expressão de Santos (2007) afirmando que estamos em busca

de identificar a maneira de lidar5 do aluno nas provas. Nesse sentido, a prova, um

5 Com a expressão maneiras de lidar, o autor se refere a investigar as estratégias e os procedimentos que os alunos elaboraram para resolver um problema, ressaltando uma mudança no foco perante as resoluções, “substituindo o ‘erro’, que em muitos casos acreditamos estar ainda caracterizando os alunos pela falta, por maneiras de lidar, expressão que considerarmos mais adequada para os

17

instrumento de avaliação da aprendizagem, serve à investigação tanto da

aprendizagem do aluno, quanto ao ensino do professor, “sendo constituída como um

processo que indaga os resultados apresentados, os trajetos percorridos, os

percursos previstos, as relações estabelecidas entre as pessoas, saberes,

informações, fatos, contextos” (ESTEBAN, 2000, p. 11).

Nesse sentido, a prova escrita é um instrumento compatível com uma avaliação

como prática de investigação, pois ao utilizá-la o professor pode obter informações

sobre o que o aluno sabe a respeito do conteúdo e os seus modos de lidar, obtendo

dados sobre o processo de ensino e aprendizagem. E, assim, relacionamos a Análise

da Produção Escrita como Prática de Investigação. Julgamos necessário esclarecer

que, mesmo que a presente pesquisa tenha sido realizada há mais de dois anos após

a aplicação das provas, a professora da turma também tomou suas aulas como prática

de investigação, mas não com o mesmo foco que nós, afinal, aqui, nós não estamos

nos relacionando com os alunos, mas sim analisando suas provas e olhando para a

produção escrita perante o sinal de igual, no intuito de entender como usam e

compreendem o símbolo.

Frente ao descrito justificamos o motivo para essa investigação. Levando em

conta a totalidade de informações que a Análise da Produção Escrita proporciona ao

professor e considerando o que foi constatado nas pesquisas citadas anteriormente,

que as compreensões dos alunos sobre o sinal de igualdade não são precisas e

perduram durante toda a Educação Básica e como não encontramos nenhum estudo

que fale sobre isso no Ensino Superior. Assim, surgiu a intenção de investigar, por

meio de provas escritas, quais usos e compreensões, alunos do Ensino Superior

fazem do sinal de igual e se eles demonstram compreender o seu significado em

determinado contexto.

Para averiguar isso, buscamos analisar provas6 de Cálculo Diferencial Integral

I (CDI) aplicadas durante o ano letivo de 2015/20167 em uma turma de Engenharia

Agrícola, de uma universidade estadual do oeste do Paraná. Justificamos a escolha

processos de resolução de uma questão, com a qual acreditamos estar caracterizando os alunos pelo que eles já têm num determinado momento” (SANTOS, 2007, p. 22, grifos do autor). 6 O formato das provas será apresentado nos Procedimentos Metodológicos, porém já destacamos que as questões não foram elaboradas pensando nos significados que o sinal de igual poderia assumir, por isso entendemos que os alunos utilizaram o símbolo de forma espontânea em suas resoluções. 7 A disciplina ocorreu em dois anos pelo fato de acontecer após a greve dos professores e funcionários estaduais. Assim, o ano letivo iniciou em 2015 e finalizou em 2016.

18

por essa turma por dois motivos. Um deles é que alunos que cursam alguma

engenharia, tem interesse, a priori, pela Matemática e tem ela como um dos pilares

da sua formação. Já o outro motivo foi pela escolha por essa disciplina, sendo que ela

permite olhar para o sinal de igual em vários contextos matemáticos (relação de

dependência entre variáveis, transição de gráficos para expressão algébrica, por

exemplo) e também pelo fato de a orientadora esta pesquisa ter sido a professora da

disciplina.

Nesse contexto, enunciamos o problema de pesquisa desse trabalho: a partir

da produção escrita dos alunos do primeiro ano de graduação de um curso de

Engenharia Agrícola, o que é possível inferir sobre o uso do sinal de igual nas suas

provas? Guiados por essa pergunta diretriz e baseados em referenciais teóricos,

investigamos os significados e as concepções a respeito do símbolo de igual, nas

produções escritas, e de que maneira os alunos representam a ideia de igualdade em

um contexto de avaliação em matemática.

A partir disso, elencamos o objetivo geral da pesquisa que é compreender quais

os usos, omissões e significados8 que o sinal de igual recebe por estudantes do

Ensino Superior em uma situação de avaliação, no caso provas escritas de uma

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Deste objetivo emergem os objetivos

específicos:

Analisar as provas aplicadas para o primeiro ano de Engenharia Agrícola

com o olhar para o sinal de igual;

Categorizar os dados coletados nas provas seguindo a abordagem

metodológica de Análise de Conteúdo de Laurence Bardin;

Discutir as possíveis implicações que os significados do símbolo trazem

para a aprendizagem matemática do aluno.

Ressaltamos, ainda, que o trabalho de dissertação foi organizado em cinco

capítulos: a Introdução; a Fundamentação Teórica, envolvendo conceitos sobre o

Sinal de igual, a Avaliação da Aprendizagem, a Análise da Produção Escrita como

Prática de Investigação e a Linguagem Matemática na Produção Escrita; os

Procedimentos Metodológicos; as Análises e; por fim, as Considerações Finais.

8 Esclarecemos que, quando o sinal de igual aparece, olhamos para a forma gráfica com que foi apresentado, se o significado atribuído condiz ao conteúdo e, além disso, quando o símbolo não aparece, também olhamos e, neste caso, buscamos compreender a influência que essa omissão pôde trazer para a resolução.

19

CAPÍTULO 1

UM PANORAMA DA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1. Sinal de igual

Devido aos diversos significados assumidos pelo sinal de igual nos diferentes

conteúdos matemáticos, resolvemos apresentar suscintamente a sua história, os seus

significados na Matemática e discussões de pesquisas brasileiras já realizadas acerca

dos significados do símbolo atribuídos por alunos.

1.1.1. Um breve histórico do símbolo

Há alguns séculos já estamos bastante familiarizados com os símbolos

matemáticos, dentre eles o sinal de igual, que é representado graficamente por duas

retas paralelas (=). Mas nem sempre foi essa a notação utilizada para representar

uma igualdade, havendo diversas simbologias existentes até ser adotado o símbolo

tal como o conhecemos hoje.

Por volta de 1500 o sinal de igual era expresso por palavras, tais como

“aequales, aequantur, esgale, faciunt, ghelijck ou gleich” (CAJORI, 1993, p. 297) e até

de forma abreviada, em que utilizam aeq, pha, entre outros. Neste mesmo tempo,

diversos matemáticos representavam uma igualdade com símbolos. Pacioli, por

exemplo, usou o traço (-) como um símbolo para a igualdade e Francesco Ghaligai

além de usar um único traço (-), optou também por traços em sequência (- - -), nestes

casos, os símbolos serviam para expressar uma igualdade e para separar fatores

(CAJORI, 1993, p. 110-113).

O sinal de igual como utilizamos hoje em dia foi representado apenas em 1557,

por Robert Recorde na sua obra denominada The Whetstone of Witte. Neste livro está

presente a primeira vez que se utilizou o sinal de igual gráfico como conhecemos, ou

seja, “=”. A justificativa usada por Recorde para escrever esse símbolo como dois

segmentos de retas paralelas é que “não pode haver duas coisas mais iguais” (EVES,

2011, p. 301).

20

Entretanto, o símbolo “=” não passou a ser utilizado imediatamente após a sua

criação por Recorde, pois diversos matemáticos continuaram a adotar outras

representações e, também, porque este símbolo foi utilizado com outras finalidades,

como diferença e mais ou menos. Somente anos depois, durante o século XVII,

quando Leibniz passa a utilizá-lo que o símbolo foi adotado de forma geral, sendo

considerado até hoje como representação de uma igualdade.

1.1.2. Os significados do sinal de igual na Matemática

O sinal de igual possui diversos significados dependendo do contexto no qual

está inserido e do conteúdo matemático presente. Assim, torna-se interessante

discuti-los. Encontramos múltiplos significados na literatura, de forma que alguns

destes coincidiam em várias pesquisas e outros de forma mais individual9. A partir

disso, apresentamos no Quadro 1 os significados e suas respectivas características.

SIGNIFICADOS CARACTERÍSTICAS AUTORES

Ação

Quando o “=” é compreendido como uma ação, ou seja, um ato a ser

realizado para resolver determinada tarefa.

GONZÁLEZ, 2006

Conectivo

Quando o “=” é substituído inadequadamente por setas

matemáticas, com a ideia de ligação, implicação, portanto, entre outros.

COSME, 2007

Equivalência

No contexto das equações, a sua principal ideia é a de equilíbrio,

remetendo a uma balança, de modo que tudo que estiver de um lado

precisa, necessariamente, estar do outro.

GONZÁLEZ, 2006 COSME, 2007

CAVALCANTI, 2008 PONTE; BRANCO;

MATOS, 2009

Fórmula

Quando o “=” se faz presente em uma fórmula, em que é preciso interpretar

as informações da tarefa e aplicar nesta fórmula.

GODINO; FONT, 2003

Identidade

É quando o “=” é usado para indicar que os dois valores, tanto o que está

antes do sinal quanto o que está após, representam a mesma coisa, deixando aquela igualdade válida.

GODINO; FONT, 2003


9 As pesquisas utilizadas para a elaboração do Quadro 1 foram selecionadas da seguinte forma: tendo em mãos os quatorze trabalhos utilizados na escrita do tópico 1.1.3 (esse tópico foi escrito antes do 1.1.2), olhamos nas referências bibliográficas de todos eles e buscamos pelos que discutiam sobre os significados do sinal de igual em diversos contextos de conteúdos e níveis de escolaridade. Foi assim que obtivemos os seis trabalhos que utilizamos na escrita do Quadro 1.

21

Igualdade Relacional

No contexto das igualdades aritméticas, o símbolo de “=”

representa que o que está de um lado dele precisa ser igual ou equivalente

ao que está do outro.

GONZÁLEZ, 2006 CAVALCANTI, 2008

Operação

Quando o “=” indica um cálculo ou uma operação a ser realizada, em que é preciso obter um resultado

como resposta, dessa forma, ele é interpretado como um operador.

KIERAN, 1981 GONZÁLEZ, 2006

CAVALCANTI, 2008 PONTE; BRANCO;

MATOS, 2009

Proporcionalidade Quando o “=” se refere a razões,

podendo indicar uma proporção ou comparação.

PONTE; BRANCO; MATOS, 2009

Proposta de atividade de

cálculo

Quando o “=” aparece em expressões incompletas, pedindo que se resolva a

operação e coloque um resultado após o sinal.

GONZÁLEZ, 2006

Relação Funcional

Quando o “=” é utilizado no contexto das funções com a ideia de relação de dependência entre as variáveis

dependente e independente.

GONZÁLEZ, 2006 CAVALCANTI, 2008 PONTE; BRANCO;

MATOS, 2009

Relação Nome-Símbolo ou

Correspondência

Referente ao uso da palavra ‘igual’ em nosso vocabulário ou escrita,

representando a ideia de que duas coisas são muito semelhantes, como quando dizemos que duas pessoas

são iguais. Ou também como indicador de correspondência, de

modo a relacionar objetos

matemáticos, como 1

2= 0,5 ou a

relação de objetos não matemáticos a números, por exemplo, a

representação de cinco animais é igual ao número 5.

COSME, 2007 GONZÁLEZ, 2006

CAVALCANTI, 2008

Resposta Quando utilizamos a palavra ‘igual’ na oralidade, por exemplo, “o resultado

desta tarefa é ...”. COSME, 2007

Resultado Quando o “=” é utilizado entre uma

expressão e o número que representa o seu resultado.

COSME, 2007

Semelhança ou Aproximação

Quando o “=” é usado para representar a ideia de uma

aproximação de um valor, sendo que a grafia correta seria “≅”.


Separador Quando o “=” é utilizado para

representar o passo a passo de uma tarefa resolvida.

GONZÁLEZ, 2006

Quadro 1 – Significados pertencentes ao Sinal de Igual. Fonte: Dos autores, 2019.

22

É possível notar a variedade de significados que o sinal de igual pode receber

dependendo do contexto e, ainda, entender que pode haver outros significados além

desses. Dessa forma, os alunos, cotidianamente, estão em contato com o símbolo em

diversos cálculos matemáticos e seria essencial que compreendessem cada um deles

nas suas especificidades.

Deixar de entender estes significados ou usar o sinal de igual de modo

inadequado pode acarretar em dificuldades na compreensão matemática. Se o aluno

tiver um entendimento restrito sobre o uso do símbolo, sem se dar conta que ele tem

uma finalidade em cada situação que aparecer, pode prejudicar o seu avanço em

conteúdos matemáticos futuros. Segundo Souza (2011), isso se deve ao fato da

vivência escolar com conteúdos descontextualizados e sem conexão com a realidade

ou com situações aplicáveis, voltando-se, quase que exclusivamente, a aplicação de

fórmulas e memorização.

Nesse sentido, a falta da compreensão do símbolo pode acarretar em

problemas conceituais (KIERAN, 1881), de modo que esse termo se refere a

dificuldade do aluno de organizar ideias e conceitos acerca de determinado assunto

ou de compreendê-lo de forma equivocada, que nesse caso estamos nos referindo ao

sinal de igual.

Isso pode decorrer do fato de os alunos estarem habituados a encontrar em

atividades matemáticas algumas palavras-chave, como: “calcule, determine, obtenha,

resolva, derive, integre. Tal prática leva o aluno a uma preocupação única em obter

números que nada trazem de significados físicos ou matemático-conceituais”

(GUIMARÃES, 2002, p. 2). Assim, as aulas de Matemática estão condicionando os

alunos apenas a resolver questões, deixando de lado o cuidado e a preocupação com

os símbolos.

Isso vem ao encontro do que Pedroso e Krupechacke (2009) constataram em

suas pesquisas, de que a maioria dos alunos que estão no último ano do Ensino Médio

não possui domínio sobre conteúdos matemáticos e isso acarreta em altos níveis de

reprovação nos primeiros anos de graduação (considerando os cursos que envolvem

o ensino de Cálculo Diferencial Integral). Corroborando com isso, Lachini (2001)

comenta que quando o professor universitário analisa as produções de seu aluno, ele

percebe que esses jovens estão mal alfabetizados em Matemática e que muitos têm

23

dificuldades de perguntar e esclarecer suas dúvidas, adiando ainda mais a superação

dessas incompreensões e o avanço em conceitos importantes.

Nesse sentido, Moysés (1997) ressalta que se tanto aluno quanto professor

depararem com diversos símbolos matemáticos e não conseguirem dar significado

para eles em variados contextos, então a escola estará privando o aluno de ler e

interpretar o mundo, pois é essencial que ele compreenda as notações para ser capaz

de entender a razão delas existirem.

Privar o aluno de superar os problemas conceituais e avançar na compreensão

perante o sinal de igual, pode provocar um grande impacto no aprendizado dele, afinal

como pudemos ver no Quadro 1, são vários os significados que o símbolo possui e

deixar de apresentá-los ao aluno poderá interferir drasticamente em conteúdos que

ele utilizará como pré-requisitos na Educação Superior. Sobre isso, Nasser et al (2012)

sugerem que se desenvolvam alternativas para as aulas de Matemática ainda no

Ensino Médio, buscando antecipar situações que poderão aparecer em uma disciplina

de Cálculo, por exemplo, lá no Ensino Superior. Ou ainda, outra possibilidade seria

explorar atividades de Matemática Básica nos primeiros meses de graduação,

buscando superar lacunas na aprendizagem e contribuindo para o raciocínio

matemático avançado.

1.1.3. Significados atribuídos pelos alunos acerca do sinal de

igual, segundo as pesquisas

Seguindo nossa proposta que é investigar se os alunos ao adentrarem no

Ensino Superior, utilizam o sinal de igual demonstrando compreender o seu

significado em determinado contexto, fez-se necessário compreender quais são as

concepções e os significados que os alunos possuem deste símbolo antes de

entrarem na graduação, ou seja, ainda na Educação Básica. Para isso, realizamos um

estudo teórico baseado nas pesquisas já realizadas que abordam sobre o tema e que

são voltadas para a Educação Básica, dado que não encontramos nada que aborde

sobre isso no Ensino Superior.

Para a coleta dessas pesquisas utilizamos o Catálogo de Teses e Dissertações

da CAPES, o Portal Brasileiro de Publicações Científicas – OASIS e o Google

Acadêmico, utilizando como elementos para pesquisa as palavras-chave “sinal de

igual"/“sinal de igualdade" e "educação matemática” de forma integrada. Dessa

24

pesquisa selecionamos quatorze trabalhos dentre teses, dissertações e artigos, que

investigaram os significados do sinal de igual na perspectiva dos alunos ao longo do

Ensino Fundamental, desde os anos iniciais, até o Ensino Médio. A sequência de

apresentação segue a ordem cronológica em que foram elaborados.

A pesquisa de Azevedo (2002) se propôs a fazer um estudo sobre o ensino de

equações para jovens e adultos. No decorrer de sua investigação a autora presenciou

fortemente a concepção de igualdade voltada para a ideia de balança, em que os

próprios alunos visualizavam a relação de equilíbrio. Porém, alguns alunos

apresentaram confusão no momento das atividades, fazendo um uso inadequado do

sinal de igual. Ocorreu substituição do símbolo de igual pelo de implicação, houve

duas vezes a utilização do sinal de igual em uma única equação e, teve também,

resoluções em que o sinal foi omitido. Esses equívocos não significam que o aluno

não soube resolver a atividade, apenas destaca a necessidade de dar mais atenção

a todos os elementos da equação e não somente as incógnitas, pois durante a

resolução os alunos acabam usando o “=” de modo impróprio, como se o seu uso

inadequado não influenciasse na resposta estar correta ou não.

A proposta de Cosme (2007) foi estudar a evolução histórica do sinal de igual

e seus significados atribuídos por alunos e professores. A autora ressaltou que nas

situações matemáticas em que os alunos precisam operar com o sinal de igualdade

(=), de desigualdade (≥), de aproximadamente (≅), de implicação (⟹) e de

equivalência (⟺) parecem ser simples, mas na maioria das vezes, acabam se

tornando um problema, pois eles se sentem inseguros em relação à quando devem

usá-los e de qual maneira.

Essa confusão pode se dar por não estar claro para o aluno que são símbolos

diferentes e, assim, referem-se a ideias matemáticas diferentes, que precisam receber

a importância que merecem em cada contexto. O sinal de igual e de

aproximadamente, por exemplo, são muito parecidos graficamente, mas seus

significados são distintos e influenciam nas resoluções se não forem compreendidos

nas suas especificidades.

Por esse motivo é importante de apresentar aos alunos os vários significados

que são atribuídos à igualdade. Porém, segundo Cosme (2007), parece que é

somente nos Anos Finais do Ensino Fundamental que se exige um maior rigor quanto

aos símbolos, esperando que os alunos sejam capazes de acompanhar essa

25

mudança. Entretanto, é constante a confusão quanto os usos do símbolo, confundindo

semelhança com equivalência, entre outros.

A proposta da pesquisa de Lima (2007) foi realizar um estudo sobre as

concepções de equações vistas no Ensino Médio. A autora verificou que o sinal de

igual, bem como a incógnita, no estudo de equações, são vistos apenas como um

símbolo ou uma operação a ser realizada. Ela percebeu nas resoluções realizadas

pelos alunos que “a incógnita, quando aparece, é categorizada como um símbolo. Isto

pode ser um indício de que ela não é vista, por esses alunos, como um número, mas

apenas como um símbolo a ser manipulado” (LIMA, 2007, p. 141). Vemos que se a

incógnita não tem significados concretos para o aluno, torna-se ainda mais difícil ele

compreender a função que o sinal de igual desempenha em uma equação, o que

acaba prejudicando a sua aprendizagem.

Sobre isso, podemos verificar nas falas dos alunos participantes da pesquisa,

que “toda equação tem uma incógnita e o sinal de igualdade” (LIMA, 2007, p. 182) e

que o sinal de igual existe “porque tem que chegar no resultado, no produto final”

(LIMA, 2007, p. 182). Diante disso, a autora destacou que os significados de igualdade

atribuídos pelos alunos como operacional não condiz com o sentido que deveria ter

em equações.

A proposta da pesquisa de Cavalcanti e Santos (2007) foi analisar o que os

alunos do 7º ano compreendiam sobre sinal de igual em diferentes expressões, isto

é, em que o símbolo “=” aparecia no início e no final da sentença, por exemplo,

3x+5=18 e 2x=6+10. Os alunos demonstraram noção operacional e de equivalência

em igualdades aritméticas; já quanto às equações, o índice de compreensão foi maior

ao que se refere à noção de equivalência. Verificamos esses resultados nas respostas

dadas por eles como: “dar o resultado da expressão; significa mostrar a resposta;

resposta da soma; é para dar o resultado depois da igualdade [...] equivalência entre

o primeiro e segundo membro; o lado esquerdo e direito tem o mesmo valor; mesma

coisa” (CAVALCANTI; SANTOS, 2007, p. 9).

Já Cavalcanti (2008) se propôs a averiguar as concepções que alunos do 3º

ano do Ensino Médio possuem sobre os significados do símbolo de igual na Álgebra

e na Aritmética. Para isso foram aplicados questionários que indagavam os alunos

sobre o que entendiam sobre o “=” em determinada situação. Antes da aplicação da

atividade o autor elaborou um quadro com as possíveis concepções que o sinal de

26

igual poderia receber dos alunos, sendo elas: operacional, igualdade relacional,

equivalência, funcional e relacional nome-símbolo, já apresentados no tópico anterior

desta dissertação (CAVALCANTI, 2008, p. 109).

Os resultados obtidos evidenciaram que nas operações aritméticas a maioria

dos alunos apresentaram uma concepção operacional; sobre as igualdades

aritméticas, demonstraram concepções operacional ou relacional nome-símbolo, já

quanto ao contexto algébrico das equações e funções, a confusão entre o significado

do símbolo e o contexto em que estava inserido foi grande. Isto é,

[...] a maior parte dos alunos apresentou uma concepção compatível com o significado do símbolo “=” no contexto das operações aritméticas. No entanto, [...] os resultados demonstraram que as concepções que apresentaram maiores percentuais não foram compatíveis com os significados do símbolo “=” nos contextos das igualdades aritméticas, equações e funções (CAVALCANTI, 2008, p. 202).

Isso evidencia a associação do sinal de igual com a aritmética, sendo

compreendido como um operador. Nesse sentido, o autor ressalta que como o sinal

de igual tem vários significados, não devemos restringir a sua utilização a apenas a

um deles. Mas a tentativa de realizar isso precisa ser bem explorada com os alunos,

pois eles possuem dificuldade de compreender o símbolo nos vários contextos em

que se insere.

Os autores Berrincha e Saraiva (2009) se propuseram a investigar o

entendimento que os alunos possuem na passagem do conteúdo de Aritmética para

Álgebra em uma turma do 7º ano. Essa mudança não é fácil para os estudantes, pois

quanto ao primeiro conteúdo o “=” funciona como um operador, mas já no segundo

ele passa a ter mais significados, como de concepção relacional e de equivalência,

por exemplo. A proposta da atividade era que os alunos olhassem para o símbolo em

igualdades e equações para além de ter que apenas realizar uma operação, de modo

que colaborava para que percebessem o significado do símbolo em cada contexto.

Apesar de alguns alunos terem dificuldades de compreender o símbolo na sua

totalidade, a realização da atividade contribuiu para que a concepção operatória que

tinham no início fosse expandida para uma perspectiva relacional. Porém, vale

ressaltar que na pesquisa “o sinal ‘=’ é, por vezes, confundido com o símbolo ‘⟺’”

(BERRINCHA; SARAIVA, 2009, p. 14). Para os autores, no entanto, esse equívoco só

pode ser superado com o entendimento do símbolo no contexto em que se insere.

27

O trabalho de Badaró (2010) se propôs a realizar um estudo sobre os

significados atribuídos ao sinal de igual tratados na Matemática e em pesquisas da

área. Ele destaca que o sinal de igual passa a fazer parte da vida dos estudantes

desde o início de sua escolarização e com o decorrer dos conteúdos estudados na

Educação Básica, os alunos acabam tendo dificuldades de compreenderem e

adquirirem os novos significados pertencentes a este símbolo de forma precisa, o que

acaba criando várias dificuldades conceituais.

O estudo de Matos e Cavalcanti (2010) consistiu na realização de atividades

com alunos do 7º ano. Essas atividades aconteceram em forma de perguntas escritas

que investigavam o que os alunos entendiam sobre o símbolo de “=” e que

explicassem o que o sinal significava em uma expressão e em uma equação. A análise

do estudo evidenciou que a maioria dos alunos apresentavam concepção operacional

do símbolo quando se trata de igualdades aritméticas, de modo que podemos ver nas

respostas dadas por eles: “dar o resultado da expressão; significa mostrar a resposta;

resposta da soma; é para dar o resultado depois da igualdade” (MATOS;

CAVALCANTI, 2010, p. 9).

Já uma minoria de alunos demonstrou noção relacional, relatando que o

símbolo “representa igualdade dos números; que os dois lados são iguais; mesma

coisa” (MATOS; CAVALCANTI, 2010, p. 9). Porém, algumas respostas chamavam a

atenção para o sinal apenas como um símbolo separador, sendo “para separar a conta

do resultado” (MATOS; CAVALCANTI, 2010, p. 10). Essas compreensões distintas

mostram que os alunos percebem que os significados do sinal de igual dependem do

contexto em que o símbolo aparece, porém ainda possuem dificuldades para

visualizá-lo corretamente.

A proposta de Bandarra (2011) foi realizar atividades com alunos do 2º, 5º e 8º

ano sobre suas interpretações sobre o sinal de igual. A investigação continha tarefas

em que os alunos precisavam completar os espaços em branco em um lado da

igualdade e outras que tivessem que explicar se determinada igualdade era

verdadeira ou não. Dentre as resoluções, a autora notou que alguns alunos do 2º ano

reconheceram o sinal de igual como equivalência e, no geral, a maioria compreendiam

com o sentido relacional. Os alunos do 5º ano perceberam o símbolo como

operacional para realizar um cálculo e que ele é “utilizado para dizer o resultado de

uma conta e que não tem outro significado” (BANDARRA, 2011, p. 316).

28

Referente aos alunos do 8º ano, verificou-se que grande parte dos alunos veem

o sinal de “=” como operacional e alguns nem conseguem interpretá-lo corretamente

no contexto que se encontra, associando, normalmente, a operações aritméticas. O

estudo buscava investigar se as dificuldades persistiam no decorrer dos anos letivos

e as autoras verificaram que sim, que alguns alunos provavelmente não conseguem

superar a ideia de símbolo operacional e levam por anos a concepção do símbolo

tomado na Aritmética e, por isso, a autora sugeriu que fossem realizadas estratégias

entre professores dos três níveis para que seja superada essas dificuldades.

Um dos objetivos da pesquisa de Santos (2013) foi investigar como os alunos

utilizavam o sinal de igual e qual os significados que atribuíam a ele no ensino de

equação de primeiro grau. Para isso foi aplicada uma atividade em sala de aula

buscando compreender as concepções que os alunos possuíam sobre o conteúdo.

Dentre as interrogações feitas, uma delas perguntava o que os alunos compreendiam

sobre equação de primeiro grau. Algumas respostas foram do tipo: “uma operação

com sinal de igual no meio” (SANTOS, 2013, p. 28) e “é uma operação que separa as

incógnitas dos números com um sinal de igual” (SANTOS, 2013, p. 28).

Outra questão indagava sobre o significado do sinal de igualdade, vejamos as

falas dos alunos:

Significa que o que vem depois é o resultado. Que é igual a um número. Para separar as letras com os números. Uma separação entre incógnitas dos números para achar o valor. Para separar a resposta que é o conjunto universo e transformar-se no conjunto verdade. Representa a continuação da conta. Mostra quanto ela vale. Apenas cinco alunos responderam que era uma igualdade e dois disseram que era um tipo de balança, porque os dois lados são exatamente iguais (SANTOS, 2013, p. 30).

Com essas respostas o autor constatou o quanto o sinal de igual é visto como

um operador, tendo como função apenas separar a pergunta da resposta,

evidenciando que uma atividade precisa ser resolvida. E que para superar essas

compreensões cabe ao aluno entender os diversos significados de igualdade e

perceber que o “=” não é apenas um símbolo coringa.

A pesquisa de Trivilin (2014) propôs investigar os conhecimentos que os

professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental possuem ao ensinar os

significados do sinal de igual. Segundo ela, é nesse nível de ensino que os alunos

passam a presenciar o sinal de igual constantemente nas aulas, mas a aceitação do

29

seu uso nas operações aritméticas não sugere a sua compreensão. Essa afirmativa

ocorre, pois, “o sinal de igualdade é apontado [...] como de importância secundária

para os alunos, que o reconhecem como sendo o sinal que indica o ‘lugar’ no qual

devem colocar o resultado das operações realizadas” (TRIVILIN, 2014, p. 44). Para a

autora, a superação disto pode ocorrer por meio de estratégias e atividades que

explorem o uso correto de palavras e notações para cada contexto em que o “=” se

encontra.

Trivilin (2014) destaca que as considerações vindas das professoras

participantes da pesquisa evidenciam que a falta de atenção dada a esse símbolo é

considerável, pois até elas demonstraram ter dificuldades de expressar suas

concepções quando questionadas sobre os significados do “=” nas equações, dizendo

que “o significado é dar o resultado da operação” (TRIVILIN, 2014, p. 75). Já em

situações onde há imagens com balanças relataram que “o significado era de

equivalência, de comparação” (TRIVILIN, 2014, p. 75). E em situações de completar

lacunas e obter uma igualdade em ambos os lados entendem que “na verdade a

terceira está misturando o significado da primeira atividade com a segunda”

(TRIVILIN, 2014, p. 75).

A autora destacou a imprecisão nas respostas que as professoras deram sobre

o que compreendem sobre o sinal de igual. Ainda é possível perceber que para

algumas delas o significado por trás do sinal de igual parece ser algo lógico para o

aluno nas diversas situações, pois segundo uma professora “[...] o aluno tem que

saber o que representa[m] os sinais matemáticos. Quando o professor fala dos sinais

de adição, mais, subtração, menos, os sinais de diferente e igual, maior ou menor o

aluno já está incorporando o símbolo e os significados. O aluno conhecendo o sinal,

sozinho, vai absorvendo aquele símbolo” (TRIVILIN, 2014, p. 91, inserção nossa).

O objetivo da pesquisa de Silva e Ribeiro (2014) foi analisar livros didáticos do

Ensino Fundamental, Anos Iniciais e Finais, no que se refere aos significados

atribuídos ao sinal de igual e como se dá a transição desses níveis de ensino. Eles

afirmam que essa passagem ocasiona no aluno diversas rupturas quanto à

compreensão de alguns conteúdos matemáticos. Nos livros dos Anos Iniciais as

autoras verificaram a construção do conceito de equação por meio de atividades com

desenhos e também situações que colaboram com a concepção relacional, porém em

nenhum momento se propôs a noção de equivalência. Já nos livros dos Anos Finais,

30

atividades de equivalência são frequentemente encontradas, entretanto os autores

perceberam que esse conceito é visto como se os alunos já tivessem conhecimento

dele, esperando por parte deles a compreensão de determinados significados do sinal

de igual que nunca tiveram visualizado ou vivenciado situações que os permitissem

construir a ideia, o que causa dificuldades na aprendizagem.

A proposta de Civinski (2015) foi a aplicação e análise de atividades de Álgebra

para o Ensino Fundamental focando nas interpretações sobre o sinal de igual. A

pesquisadora percebeu que os alunos compreendem o símbolo apenas como

operacional, afirmando que ele serve para “dar o resultado” e dizer que a “resposta é

...”. Por vezes os alunos não conseguiam perceber as igualdades como equivalência

ou comparação, compreendendo o símbolo apenas como um operador que exige

alguma ação do aluno.

A proposta do estudo de Cruz (2016) foi averiguar se a comunicação na aula

pode contribuir para o pensamento algébrico do estudante, para isso investigou a

compreensão do aluno sobre o sinal de igual como equivalência. O desenvolvimento

da pesquisa se deu com os alunos realizando atividades em grupos e depois

socializando suas resoluções com a turma em voz alta. A autora ressalta a importância

de trabalhar com os diferentes significados do sinal de igual, pois de início os

estudantes tendem a entendê-lo como operacional, mas a interação com os colegas

na sala de aula contribuiu para que eles pudessem visualizá-lo como equivalência.

1.1.4. Considerações sobre as pesquisas

Baseados nesse levantamento que realizamos sobre as concepções e os

significados que os alunos possuem sobre o sinal de igual no decorrer da Educação

Básica, podemos argumentar, de modo geral, que eles possuem compreensões

incompatíveis com os significados do sinal de igual nos diversos contextos em que ele

se encontra.

Os pesquisadores perceberam que alguns alunos têm dificuldades de entender

que o “=” tem uma finalidade de equivalência em uma equação, normalmente

associando o símbolo apenas às operações aritméticas. Em contrapartida, ficou

evidente em determinados trabalhos que os estudantes notam que o símbolo possui

significados dependendo do contexto, porém isso não é indicativo de que eles

31

compreendem esse significado para todas as situações, mas que entendem que uma

igualdade pode ter mais de uma finalidade.

Sobre isso, os conhecimentos matemáticos que os alunos já possuem “podem

tornar-se obstáculos ao aprendizado de novos conceitos” (SILVA; SILVA; LUCENA,

2010, p. 7). Motivo esse, porque “o conhecimento antigo atua como uma força

contrária à realização de uma nova aprendizagem” (PAIS, 2008, p. 42). Nesse sentido,

um obstáculo não se refere a falta de conhecimento em que o aluno não é capaz de

realizar determinada tarefa por não compreender o conteúdo, mas por utilizar seus

conhecimentos já existentes para buscar solucioná-lo, deixando de ir além e

estabelecer relações em busca de avançar na aprendizagem daquela situação. Assim,

o aluno traz consigo conhecimentos antigos que podem, muitas vezes, não estarem

matematicamente adequados em determinados contextos, fazendo com que isso o

estabilize em um patamar, dificultando seu avanço na aprendizagem.

Essas afirmações citadas se encaixam fortemente nos diversos conteúdos que

envolvem o sinal de igual. O estudante vivencia fortemente o símbolo voltado para

operações aritméticas nos Anos Iniciais e essa concepção acaba ficando

internalizada, mas quando inicia o estudo da Álgebra precisa abrir espaço para uma

nova concepção, o que pode se tornar um obstáculo, como os autores disseram. Isso

porque os alunos, possivelmente, utilizaram seus conhecimentos sobre o sinal de

igual considerando que estivessem no contexto das operações aritméticas, porém ao

estarem trabalhando com outro significado para o símbolo chegaram a um obstáculo

e, por isso, necessitavam que seu antigo conhecimento fosse aprofundado, superando

essa dificuldade.

Ficou fortemente manifestado que os significados que os alunos possuem é de

um sinal operacional, assumindo uma operação a ser realizada e uma resposta a ser

dada para as atividades. Isso pode ser resultado de uma vida escolar voltada para

resolução de tarefas mecânicas, que são, geralmente, desprovidas de significados e

de situações aplicadas ao cotidiano, o que acarreta em poucos momentos que há

discussões acerca do significado, do conceito e do objetivo de determinado cálculo

matemático.

Sobre o uso dos símbolos, a maioria das pesquisas constataram confusão

quanto à notação adequada para o sinal de igual. Nesses casos os alunos acabaram

substituindo o “=” pelo símbolo de implicação (⟺), mas eles possuem significados

32

matemáticos distintos e que precisam ser compreendidos nas suas especificidades.

Outra confusão apresentada foi a utilização exagerada do sinal de igual e até a

omissão dele em uma equação.

Por isso, é imprescindível que os diversos significados do sinal de igual sejam

explorados nas aulas, mas para que isso ocorra é preciso que o professor faça uso

da oralidade explicando a finalidade do “=” em cada contexto. Ou seja, é preciso

utilizar uma linguagem matemática precisa e correta, para que os alunos possam

compreender as diversas funções que o símbolo pode assumir, ou seja, deve tomar

cuidado para que a forma com que aborde conceitos matemáticos não acabe

prejudicando o entendimento do aluno perante o conteúdo. Assim, falamos de uma

linguagem matemática correta, pois a Matemática traz consigo uma linguagem

própria, com a presença de símbolos, sinais e regras específicas. Segundo Zuchi

(2011), o uso desses termos matemáticos é semelhante ao uso de palavras, mas que

precisam ser compreendidas no contexto desta área de estudo. Por esse motivo o

professor deve preocupar-se com o uso das palavras, afinal a Matemática possui uma

linguagem que necessita desse cuidado.

Dessa forma, acreditamos que o professor deve tomar como ponto de partida

para suas aulas uma linguagem que contribua para que os alunos entendam a

Matemática na sua totalidade. Não basta achar que os alunos sabem os conceitos de

forma implícita, é preciso garantir que eles saibam. Quanto mais os alunos utilizarem

a linguagem matemática nas aulas, mais chances de compreender os conteúdos eles

terão.

Nesse sentido, as intervenções associadas a essas pesquisas buscaram

contribuir para que compreensões quanto ao sinal de igual fossem expandidas, pois

os alunos puderam ter contato com situações que possibilitaram isso. Elas

colaboraram também para a tomada de consciência dos alunos quanto ao uso e a

compreensão que possuíam do símbolo, ajudando para que possam avançar na

aprendizagem e superar dificuldades conceituais.

1.2. Avaliação como oportunidade de aprendizagem

A prática avaliativa é uma atividade rotineira na esfera educacional, que busca

verificar, apreciar, compreender o que o aluno aprendeu. “Assim, o acto de avaliação

33

é um acto de ‘leitura’ de uma realidade observável [...] acto pelo qual se formula um

juízo de ‘valor’ incidindo num objecto determinado (indivíduo, situação, acção,

projecto, etc.)” (HADJI, 1994, p. 31).

Discutir sobre avaliação é fundamental, pois ela envolve todo o contexto a ser

considerado, seja o aluno, o professor, os métodos de ensino, os instrumentos

avaliativos, isto é, a totalidade de quesitos que cercam esse processo. Por isso, faz-

se necessário avaliar os alunos no decorrer das aulas, só assim é possível ter uma

avaliação mais precisa.

Essa temática da avaliação também recebe grande relevância em alguns

documentos pedagógicos, como as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação

Básica (DCN) afirmando que

[...] a avaliação não é apenas uma forma de julgamento sobre o processo de aprendizagem do aluno, pois também sinaliza problemas com os métodos, as estratégias e abordagens utilizados pelo professor. (BRASIL, 2013, p. 123).

Para os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) a avaliação é um

[...] conjunto de ações que busca obter informações sobre o que foi aprendido e como; elemento de reflexão contínua para o professor sobre sua prática educativa; instrumento que possibilita ao aluno tomar consciência de seus avanços, dificuldades e possibilidades (BRASIL, 1997, p. 56).

Já para a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é preciso

[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos (BRASIL, 2018, p. 17).

De acordo com essas orientações, a avaliação deve ser compreendida como

um processo no qual o professor possa rever a sua prática e, ao aluno, que tome

consciência da sua aprendizagem. Além disso, a avaliação para a aprendizagem deve

estar voltada para a construção do conhecimento, para a busca de conhecer as

habilidades e dificuldades dos alunos e dialogar com eles. Por esse motivo que o

professor precisa acompanhar a aprendizagem do estudante e não apenas classificá-

lo, pois avaliar somente para atribuir notas finais pode não condizer com a realidade

da evolução do aluno. Assim, coletar informações contínuas pode ser o caminho mais

digno.

Vindo ao encontro disso, Libâneo (1994), diz que a avaliação deve seguir

algumas tarefas no processo de ensino, sendo elas classificadas como:

34

Verificação: coleta de dados sobre o aproveitamento dos alunos, através de provas, exercícios e tarefas ou meios auxiliares, como observação de desempenho, entrevistas, etc. Qualificação: comprovação dos resultados alcançados em relação aos objetivos e, conforme o caso, atribuição de notas e conceitos. Apreciação qualitativa: avaliação propriamente dita dos resultados, referindo-os a padrões de desempenho esperados (LIBÂNEO, 1994, p. 196).

Essas tarefas evidenciam que a prática de aplicar e corrigir atividades e

exercícios é somente o primeiro passo e, ainda, apenas como forma de verificação do

desempenho dos alunos. É necessário utilizar essas informações e ir em busca de

comprovar seus indícios, tomando como norte os objetivos propostos inicialmente e,

somente a partir disso, que conceitos e notas são atribuídas, afinal os resultados agora

adquiridos são mais claros quanto a aprendizagem dos alunos. Por fim, os resultados

obtidos servirão de controle para o que deve ser feito a seguir ou sobre as mudanças

e retomadas que precisam acontecer.

Barlow (2006), discute a respeito do mito de avaliar, pois a avaliação apenas

para atribuição de uma nota é uma ilusão de aprendizagem, afinal um número não é

capaz de definir o tamanho do conhecimento de um aluno. Da mesma forma que

somente um instrumento avaliativo também não é. Buriasco, Ferreira e Ciani (2009)

corroboram dizendo que este mito remete exclusivamente em medir e classificar os

alunos. Libâneo (1994) ressalta que atribuir notas serve apenas como um controle

formal, com o propósito classificatório. Seguindo essa ideia, Loch também reitera que

avaliar não é atribuir

[...] notas, fazer médias, reprovar ou aprovar os alunos. Avaliar, numa nova ética, é sim avaliar participativamente no sentido da construção, da conscientização, busca da autocrítica, autoconhecimento de todos os envolvidos no ato educativo, investindo na autonomia, envolvimento, compromisso e emancipação dos sujeitos (LOCH, 2000, p. 31).

Vemos o quão importante é a avaliação para a aprendizagem, pois aplicar

instrumentos avaliativos apenas para atribuição de nota não contribui plenamente

para o conhecimento do aluno, mas quanto mais informações da aprendizagem do

aluno o professor tiver, maiores serão as chances de a avaliação ser justa e precisa,

afinal avaliar não consiste em atribuir uma nota, “mas na ação de ‘fazer aparecer o

valor’” (BURIASCO; FERREIRA; CIANI, 2009, p. 73). Além do mais, uma avaliação

que acontece do dia-a-dia da sala de aula possibilita que o aluno conheça suas

habilidades e perceba os seus avanços quanto a sua aprendizagem, permitindo a ele

que busque superá-las e tome consciência de seus progressos. E ao professor que

35

investigue a aprendizagem deste aluno, interrogando-se sobre os caminhos que ele

segue, compreendendo os processos, analisando e discutindo os vestígios que eles

apresentam.

No entanto, Buriasco (1999, p. 70) afirma que muitas vezes a avaliação “volta-

se, quase que exclusivamente, para a função classificatória” e, neste caso, essa

avaliação acaba sendo concebida como um “instrumento estático e frenador no

processo de crescimento” (LUCKESI, 2005, p. 35). E isso se deve, muitas vezes, de

acordo com Libâneo (1994), pelo fato de que a avaliação ocorre apenas no final de

uma etapa de ensino.

Nesse sentido, Buriasco (1999) destaca que um instrumento avaliativo que,

normalmente, é aplicado apenas no final de um período de estudo e as vésperas de

um novo, sem dar um tempo para que os alunos revejam suas dificuldades e busquem

superá-las são as provas escritas. Neste caso, a prova não é uma avaliação para a

aprendizagem, mas apenas para finalizar uma etapa de estudos.

Esteban (2004, p. 9) adverte que, talvez, “a avaliação seja um ‘mal necessário’”.

Mas, então devemos considerá-la como um mal necessário para o bem. Já que as

provas (bimestrais, semestrais) são obrigatórias nas escolas, o correto seria explorá-

las em busca de efetivar o conhecimento do aluno. Olhar para a prova e buscar

conhecer o aluno.

Segundo esses autores supracitados, as provas finais não precisam ser apenas

cumprimento de normas burocráticas, elas podem e devem ser um instrumento de

aprendizagem que dê indícios das dificuldades e dos conhecimentos adquiridos, além

disso, elas podem ser pensadas para que os alunos, ao resolvê-las, sejam capazes

de avançar nos conceitos matemáticos. Por esse motivo a avaliação é um processo

de reflexão da aprendizagem e não deve se resumir apenas a notas em provas.

Referindo-se a isso, Luckesi (2005) observa a forte relação com o erro e o

acerto em provas e, por isso, ressalta a necessidade de distinguir a avaliação de

julgamento. O julgamento se refere ao certo e ao errado em uma atividade, de modo

que o primeiro, normalmente, é considerado em uma avaliação já o segundo é

excluído, não demonstrando importância no ato de avaliar.

Esteban (2000, 2004) corrobora com essa afirmação, pois percebe o quão difícil

é separar a relação acerto/saber-fazer com erro/não-saber-fazer. Parece não haver

um entendimento que o erro não tem, necessariamente, relação com a falta de

36

aprendizagem, isso porque “o erro dá pistas sobre os conhecimentos, práticas,

processos, valores, presentes na relação pedagógica, embora frequentemente

invisíveis. O erro é portador de conhecimentos” (ESTEBAN, 2000, p. 14).

É preciso considerar o erro como indício de repensar o ensino, coletando dele

vestígios que indicam até que ponto o aluno soube compreender e no que ele não

conseguiu expressar corretamente o conhecimento que possuía. Da mesma forma

que, o acerto, por si só, não comprova a aprendizagem almejada pelo docente. Por

esse motivo que autores como esses ressaltam a importância de repensar a

concepção de certo e do errado em busca de melhorar a aprendizagem dos alunos.

Diante disso, nota-se que não basta avaliar por avaliar, é necessária uma

dedicação maior para esse momento. Afinal, é uma atividade em que o aluno deve

expressar o que aprendeu e, se não for uma avaliação que possibilite isso da forma

mais precisa, estará prejudicando o aluno ao invés de ajudá-lo.

Assim, ainda que se tenha clareza da dimensão da Avaliação da Aprendizagem

como um todo, considerando a importância de uma avaliação contínua, formativa e

diagnóstica10, que desfruta de diversos instrumentos avaliativos, nesta pesquisa, em

função de olharmos para uma prova escrita, vamos nos ater à avaliação enquanto

Análise da Produção Escrita como Prática de Investigação, levando em conta o

alcance que a produção escrita do aluno pode mostrar sobre o seu aprendizado.

1.3. Análise da Produção Escrita como Prática de Investigação

Levando em consideração a importância da avaliação para docente e

estudantes, cabe ao professor realizar uma prática avaliativa eficaz, que possa

realmente acompanhar o crescimento de seu aluno. E como a prova é um instrumento

avaliativo muito comum no contexto escolar, vista como uma espécie de lei, Lopez,

Buriasco e Ferreira (2014) defendem que faça a aplicação dela para coletar

informações úteis sobre a aprendizagem do aluno. Mas, para isso, é preciso mudar a

visão de como ela é realizada e corrigida. Faz-se necessário considerar a produção

escrita do aluno e analisá-la com cuidado, buscando investigar indícios de

10 Segundo Hadji (1994), a avaliação formativa se refere a um levantamento de informações e tomada de consciência durante todo o período letivo, que contribui para professor e aluno caminharem juntos em busca da aprendizagem. Já quanto a avaliação diagnóstica, contribui para que o aluno verifique quais conhecimentos ele já adquiriu e, ao professor, que conheça as aptidões e habilidades de seu aluno e para diagnosticar as lacunas existentes, a fim de produzir informações para garantir a eficácia do processo de ensino e aprendizagem.

37

conhecimento por meio dela, afinal nesta produção, o aluno apresenta o que sabe, o

que ainda não sabe, conceitos que possui facilidade e os que têm dificuldade

(SANTOS, 2007; SANTOS, 2008; FERREIRA, 2009).

Segundo Nagy Silva e Buriasco (2005), a análise da produção escrita possibilita

ao professor compreender as respostas dadas pelos alunos e o motivo das estratégias

escolhidas. Mas é interessante que o professor estimule no aluno uma visão crítica

das suas resoluções e dos caminhos escolhidos em cada situação. Essa atividade

desenvolve no aluno o raciocínio matemático11 e uma atitude investigativa frente a sua

produção. Além disso, é também uma alternativa para o professor rever a sua prática

e adaptá-la a realidade da turma, se necessário.

A alternativa de utilizar a produção escrita é uma ótima aliada no processo de

ensino e aprendizagem, porém Santos (2008) ressalta que ela é apenas uma amostra

de informações, isto é,

[...] não se pode afirmar que um estudante não sabe determinado conteúdo pelo fato de não se ter obtido uma informação sobre ele em sua produção escrita. Somente pode-se dizer algo a respeito do que o estudante fez, e não do que deixou de fazer (SANTOS, 2008, p. 23).

Nesse sentido, se o aluno não apresentar toda a resolução esperada de

determinada questão, não seria justo afirmar que ele não sabe, ele pode apenas não

ter exposto seu conhecimento acerca daquele aspecto do conteúdo. Uma sugestão

nesse momento seria o professor unir uma prova em fases12, de modo que assim

poderia perguntar ao aluno sobre os conceitos que não ficaram esclarecidos e, num

segundo momento, analisar esse conhecimento novamente por meio da produção

escrita.

Contudo, é essencial que as atividades avaliativas sirvam “de tal forma que

permitam aos alunos revelar o que sabem, ao invés do que eles não sabem” (DE

LANGE, 1999, p. 10, tradução nossa13). Normalmente, quando os alunos recebem

uma avaliação corrigida, os seus erros estão indicados de modo acentuado, e isso faz

parecer que os erros sejam concebidos como algo mais forte do que os acertos. O

11 Entendemos por raciocínio matemático quando o aluno é capaz de explicar e justificar as suas ideias, fazer inferências, formular conjecturas e obter generalizações (OCDE, 2016). 12 Esse instrumento é voltado para a realização de uma avaliação em mais de uma fase, de modo que o professor deixa questionamentos na produção do aluno que foi realizada no primeiro momento e assim o aluno volta a refletir sobre o que havia respondido. Nessa avaliação o professor considera a produção do aluno em todas as fases, além disso, é uma ótima oportunidade para a aprendizagem (PIRES; BURIASCO, 2012). 13 “Be such that they enable students to reveal what they know, rather than what they do not know”.

38

correto seria que os acertos fossem fortemente indicados e os erros aparecessem

como novas indagações a serem complementadas.

Assim, os erros viriam como um incentivo para superá-los e como uma

estratégia de ensino, afinal o aluno cometer um erro não evidencia que ele não sabe

o conteúdo, ele pode não ter compreendido a atividade. Uma sugestão seria modificar

a nota da avaliação se o aluno avançasse em relação aos equívocos cometidos. Isso

vem ao encontro que “o processo de avaliação, incluindo pontuação e avaliação, deve

ser aberto aos alunos” (DE LANGE, 1999, p. 10, tradução nossa14).

Ressalta-se, ainda, que

[...] a análise da produção escrita não tem como objetivo a atribuição de uma nota ou um conceito. O objetivo está em obter informações que possibilitem uma tomada de consciência do ocorrido nos processos de ensino e de aprendizagem e de decisão de modo a auxiliar tanto professor quanto estudantes a organizar e orientar seus trabalhos (SANTOS; BURIASCO, 2016, p. 240).

Por esse motivo, a análise da produção escrita auxilia no momento da prática

avaliativa e considerá-la é um ótimo caminho para tomar a avaliação como prática de

investigação. De modo que este termo se refere a conhecer e obter informações sobre

as ações e desempenhos do estudante em uma atividade (PEREGO, 2006;

FERREIRA, 2009; SANTOS, 2008).

Assumir uma postura investigativa colabora para conhecer o que os alunos

sabem, as estratégias que escolhem e como atuam frente às atividades. Ajuda,

também, para rever o ensino, estabelecendo relações ao que foi repassado em aula

e como os alunos demonstraram receber determinados conteúdos. Seguir esta prática

de investigação exige uma mudança por parte do avaliador, pois não deve se limitar

apenas em dizer se as respostas estão certas ou erradas, ou muito menos que existe

uma única resposta exata, mas sim interrogar e compreender os diversos caminhos e

trajetórias escolhidas em cada resposta e respeitar o tempo e as dificuldades deles.

Assim, a avaliação como prática de investigação

[...] é um processo de buscar conhecer ou, pelo menos, obter esclarecimentos, informes sobre o desconhecido por meio de um conjunto de ações previamente projetadas e/ou planejadas que procura seguir os rastros, os vestígios, esquadrinhar, seguir a pista do que é observável, conhecido (FERREIRA, 2009, p. 21).

14 “The assessment process, including scoring and grading, should be open to students”.

39

Dessa forma, haverá uma gama de informações sobre os conhecimentos e

dificuldades que os alunos possuem e o professor dispondo dessas informações terá

condições de repassar esses dados aos seus alunos, uma forma possível é em

feedback15, de modo que eles tomarão conhecimento de suas dificuldades e terão

condições de superá-las.

Sobre esses feedbacks De Lange (1999) revela que eles podem acontecer de

forma direta, ajudando o professor a repassar informações ao seu aluno a respeito de

suas resoluções sobre o que está errado e por quê está e, assim, sugerir a ele uma

correção e compreensão de sua dificuldade. Outra maneira é o feedback indireto, em

que o aluno é indagado se sua resolução está correta ou não, exigindo que ele

explique seus caminhos comparando com respostas de outros colegas. Com isso, o

feedback é um excelente contribuinte da prática avaliativa16, pois oferece informações

precisas para que o aluno avance na sua aprendizagem e, por isso, “os alunos devem

ter oportunidades de receber feedback genuíno sobre seu trabalho” (DE LANGE,

1999, p. 10, tradução nossa17).

Assim, a prática de investigação é um meio de reflexão do professor de sua

própria atuação, do desempenho dos alunos, sendo que “indaga os resultados

apresentados, os trajetos percorridos, os percursos previstos, as relações

estabelecidas entre pessoas, saberes, informações, fatos, contextos” (ESTEBAN,

2000, p. 11).

Por isso, adotar uma postura investigativa requer um contato estreito entre o

que o aluno demonstra saber e o que ele apresenta em registros escritos, por meio

de sua linguagem escrita, cabendo ao professor reunir essas informações em prol de

acompanhar a aprendizagem de seus estudantes. Ela permite, ainda, refletir e

interrogar-se sobre o processo avaliativo, possibilitando uma variedade de

informações sobre o processo de conhecimento do estudante.

15 Consideramos feedback como uma informação que é enviada à origem sobre o resultado de uma mensagem. 16 Esclarecemos que, nesta pesquisa, o feedback, pós esta análise, não foi dado aos alunos, já que a disciplina já havia se encerrado. Contudo, a pesquisa pode denotar o quão compreender as práticas dos alunos no contexto de uma prova que se atenta ao sinal de igual pode contribuir para o professor reorientar sua prática. 17 “Students should have opportunities to receive genuine feedback on their work”.

40

1.4. Relação da linguagem com a análise da produção escrita

Na Análise da Produção Escrita em Matemática estamos trabalhando no nível

da linguagem, no caso, a linguagem escrita. E quando trabalhamos nesse nível,

precisamos considerar as variações que podem surgir do uso dela. Nesse sentido,

apresentamos brevemente a importância da linguagem no Ensino de Matemática e a

relação com a língua materna18.

O ensino e a aprendizagem de Matemática são mediatizados pela linguagem, ou melhor, pelas linguagens, principalmente pela linguagem matemática e a linguagem natural. Essas são aprendidas por um indivíduo desde a tenra idade, oralmente. A escrita, habitualmente, é aprendida na escola, e a linguagem matemática necessita de uma linguagem natural para ser elaborada (LORENSATTI, 2009, p. 97).

Essa afirmação evidencia que tanto o contato com a Língua Portuguesa e com

a Matemática estão presentes na vida do sujeito desde muito pequeno, porém acaba

sendo uma utilização e um contato mais simples. Nesse sentido, desde o nascimento

temos contato com a linguagem oral e isso acontece através de instruções verbais,

no contato direto com outros seres humanos, principalmente com nossos pais. Essa

linguagem é denominada de língua materna, ou seja, é a primeira língua que o

indivíduo aprende (SOUTO et al, 2014).

Ao mesmo tempo que a criança vai aprendendo as palavras, ela também vai

tendo contato com os números e vai dando sentido para eles em cada contexto, assim

vai vivenciando a linguagem natural e matemática no seu cotidiano. Assim, ao

adentrar a escola, a criança já possui (ou deve possuir) um domínio simples da

linguagem materna e da matemática e, passa, então, a aperfeiçoá-la no decorrer de

seu processo de alfabetização.

No momento da leitura, o aluno tem contato com letras, sílabas, palavras e sons

e precisa compreendê-las na sua totalidade para que possa ler. Assim,

[...] o ato de ler passa a compreender um conjunto de habilidades que vão da

simples decodificação de palavras escritas até a atribuição do sentido, ou

sentidos, que as palavras podem assumir, de acordo com as situações de

interação verbal (PARISOTTO, 2005, p. 27936).

18 Compreendemos língua materna como sendo a língua que temos contato desde o nosso nascimento e a primeira que aprendemos a falar.

41

Já no ensino e aprendizagem matemática, o aluno precisa ter, dentre as

capacidades fundamentais desta área19, a de comunicar. Diante disso,

O letramento matemático envolve comunicação. A pessoa percebe a existência de algum desafio e é estimulada a reconhecer e compreender uma situação-problema. A leitura, decodificação e interpretação de declarações, perguntas, tarefas ou objetos lhe permitem criar um modelo mental da situação, que constitui um passo importante na compreensão, esclarecimento e formulação de um problema. Durante o processo de resolução de problemas, às vezes é necessário resumir e apresentar resultados intermediários. Posteriormente, quem resolveu o problema pode precisar expor para outras pessoas a solução a que chegou e, talvez, apresentar uma explicação ou justificativa (OCDE, 2016, p. 143).

Perante essas colocações é notável que a presença da linguagem na sala de

aula é fundamental, de modo que a Matemática “é impregnada de nossa linguagem

natural” (SILVA; SILVA; LUCENA, 2010, p. 3).

“A Matemática traz consigo uma linguagem própria, que comumente se chama

de linguagem matemática” (FLORENÇO JUNIOR, 2014, p. 32). Sendo uma forma de

linguagem, ela também exige do aluno habilidades de decodificação para

compreendê-la. E é nesse momento que o aluno precisa transformar a língua materna

na linguagem matemática e vice-versa.

Sendo a linguagem, segundo Souto et al (2014), um sistema de signos20, que

as pessoas utilizam para se comunicar, a Matemática também compreende este

sistema. Nesse caso, os signos são utilizados para representar conceitos e objetos

matemáticos e, por esse motivo, faz-se necessário que conheçamos os significados

deles.

A Matemática se caracteriza como um sistema simbólico e escrito, porém os

símbolos por si só não são capazes de explicitar seus significados, é necessária a

oralidade para tornar-se compreensível aquela simbologia. Assim, é por meio da

linguagem oral que é possível compreender a linguagem matemática escrita (ROSA,

2009). Diante disso, percebemos a relação de dependência mútua entre a linguagem

matemática e a língua materna (MACHADO, 2001).

19 As sete capacidades fundamentais da matemática são: comunicar; “matematizar”; representar; raciocinar e argumentar; delinear estratégias para a solução de problemas; utilizar linguagem simbólica, formal e técnica e fazer operações; usar ferramentas matemáticas (OCDE, 2016, p. 140). 20 “O signo tem uma natureza psíquica e é a união do sentido e da imagem acústica, ou seja, do significado e do significante. Pode-se entender como significado o sentido, o conceito [...]. Já o significante pode ser entendido como a imagem acústica [...]. Para que um signo seja um signo, é preciso que socialmente haja uma aceitação para tal, quer dizer, uma convenção social” (XAVIER, 2014, p. 89-90).

42

Sobre isso, Cândido (2001), ainda atribui à linguagem materna dois papéis em

relação à Matemática:

Por um lado, a língua materna é aquela na qual são lidos os enunciados, na qual são feitos os comentários e a qual permite interpretar o que se ouve ou lê de modo preciso ou aproximado. Por outro, a língua materna é parcialmente aplicada no trabalho matemático, já que os elos de raciocínio matemático apoiam-se na língua, em sua organização sintática e em seu poder dedutivo (CÂNDIDO, 2001, p. 17).

Como a Matemática exige a decodificação de símbolos e códigos por meio do

formalismo, e como este processo não é comum ao aluno, condiciona-se para a

linguagem a superação dessa dificuldade. Assim, o professor deve tomar bastante

cuidado para usar as palavras e expressões corretas ao ensinar conceitos novos,

afinal uma “confusão” de linguagens pode acarretar obstáculos linguísticos21 para o

aluno (SILVA; SILVA; LUCENA, 2010).

Assim, nas aulas de Matemática a comunicação entre professor e alunos deve

acontecer tanto pela língua materna como pela linguagem matemática, porém “a

linguagem matemática não é natural como a língua materna [...] a linguagem

matemática é construída e precisa da língua materna nessa construção” (VIALI;

SILVA, 2007, p. 7).

Então, para que o ensino e aprendizagem de Matemática não seja prejudicado,

os alunos precisam realmente compreender os significados dos símbolos, mas a

diversidade de simbologia e a redução dos termos pode ser um dificultador no

processo (ROSA, 2009). Contudo, enquanto o aluno faz uso da comunicação

articulada com os conhecimentos matemáticos, está desenvolvendo, segundo

Cândido (2001), a linguagem matemática.

Portanto, quanto mais as crianças têm oportunidades de refletir sobre um determinado assunto – falando, escrevendo ou representando –, mais elas o compreendem. Assim [...] atividades que requeiram do aluno a comunicação ajudam-no a esclarecer, refinar e organizar seus pensamentos, fazendo com que se aproprie tanto de conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo em qualquer tempo (CÂNDIDO, 2001, p. 2).

Então, quando o aluno escreve algo em sua prova, por exemplo, é a sua

maneira de lidar o que sabe sobre aquele conteúdo, mas, sobre isso a autora ressalta

21 Trata “de concepções que se tornam entrave na apreensão de novas ideias. Conceitos ou palavras que ‘cabem’ bem em certas situações, certos contextos, mas em novos contextos produzem malentendidos, fracassos” (SILVA; SILVA; LUCENA, 2010, p. 9).

43

que o ato de escrever não depende somente da escrita, mas ela se junta a oralidade

para representar as ideias do aluno.

Assim, levando isso em consideração e ressaltando o valor da produção escrita

do aluno em uma prova, vemos a importância da linguagem nesse tipo de instrumento

de avaliação também. Dessa forma, cabe ao professor investigar a aprendizagem do

aluno a partir da linguagem escrita que ele expressa e buscar indícios da sua

aprendizagem.

44

CAPÍTULO 2

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

2.1. Caracterização da pesquisa

A fim de investigar o modo como o sinal de igual é utilizado em provas escritas

do Ensino Superior e, considerando o objetivo que é compreender quais os usos,

omissões e significados que o sinal de igual recebe por estudantes deste nível de

ensino ao utilizá-lo em uma situação de avaliação, analisamos as produções escritas

em provas de Cálculo Diferencial Integral I, aplicadas durante o ano letivo de

2015/2016 em uma turma de Engenharia Agrícola, da qual temos acesso às provas

pelo motivo da orientadora dessa pesquisa ter sido responsável pela turma.

Admitimos que usar apenas a produção escrita pode não nos dar dados

precisos sobre a compreensão que o aluno possui do sinal de igual comparando aos

dados que uma entrevista semiestruturada, por exemplo, nos daria. Mas assumimos

essa forma de análise por condizer com o que investigamos, no caso, o uso do

símbolo em uma situação escrita.

Entendemos, também, que a compreensão que o aluno tinha sobre o sinal de

igual naquele momento de avaliação e a que possui hoje, provavelmente, não seja a

mesma, até porque o fato de o aluno olhar para a sua própria produção escrita (em

uma entrevista, no caso), demonstra que o sujeito não é mais o mesmo que produziu,

ou seja, ele pode ser capaz de perceber o uso inadequado do símbolo que na hora da

avaliação não se deu conta. E não é essa tomada de consciência que estamos

investigando, mas sim a forma com que o sinal foi empregado. Por isso, ressaltamos,

que apenas inferimos sobre as compreensões que os alunos manifestam e discutimos

a forma que utilizam o sinal de igual, a partir da análise.

Devido a nossa investigação se tratar de um olhar descritivo interpretativo para

os registros escritos dos alunos, com foco nas compreensões deles quanto à utilização

do sinal de igual, adotamos uma abordagem predominantemente qualitativa.

De acordo com Alves-Mazzotti e Gewandsznajder (2004), a pesquisa

qualitativa possui um enfoque indutivo, sendo sua principal característica a

compreensão e a interpretação do fenômeno estudado. Como, nesta pesquisa, há

uma grande quantidade de dados, o processo de análise é contínuo e busca encontrar

45

padrões, categorias e estabelecer relações, com o intuito de desvelar o significado do

objeto de estudo.

Sobre isso, Garnica (2001) ressalta que esses dados coletados são

predominantemente descritivos, pois exigem uma leitura ampla, de modo que a

descrição se mantenha precisa. Bogdan e Biklen (1994) também definem como uma

investigação descritiva, em que os dados devem ser transcritos respeitando sua forma

original. Esses últimos autores ainda defendem que os dados precisam ser analisados

de forma indutiva buscando estabelecer significado para o objeto estudado.

2.2. Apresentando os sujeitos envolvidos

Para dar início a nossa pesquisa, primeiramente, fez-se necessário contatar o

coordenador do curso de Engenharia Agrícola da universidade, a fim de obter o

consentimento dele sobre o desenvolvimento da pesquisa. Submetemos o projeto

para a avaliação do Comitê de Ética em Pesquisa, de modo que os autores solicitaram

a dispensa do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, pois utilizariam apenas

dados secundários obtidos a partir de material já coletado e arquivado para fins

pedagógicos, sem a possibilidades de identificação individual, preservando, assim, a

privacidade dos sujeitos.

Conforme mencionado anteriormente, a turma escolhida para a realização da

pesquisa foi o primeiro ano de Engenharia Agrícola de uma universidade estadual do

oeste do Paraná que cursavam a disciplina de Cálculo Diferencial Integral I. A turma

iniciou a disciplina com 45 alunos e no decorrer do ano houve algumas desistências,

além disso, ao final apenas 12 alunos obtiveram a aprovação.

A ementa da disciplina contemplava os seguintes tópicos: conjuntos numéricos,

funções de uma variável, limites, derivadas, aplicações, funções primitivas de uma

variável, integrais, técnicas de integração, aplicações de integrais, sequências e

séries. Quanto à proposta de avaliação, ela contou com seis provas escritas

individuais e sem consulta valendo cem pontos cada e, assim, a nota final resultou da

média aritmética entre essas notas.

No entanto, na nossa pesquisa utilizamos apenas as provas 1 e 6 para analisar.

Nesse processo de análise, quando tratamos dos alunos utilizamos pseudônimos, de

modo que nomeamos os alunos seguindo a ordem alfabética como P1, P2, assim por

diante até o P42, já que esta foi a quantidade de alunos que realizaram a primeira

46

prova. Para a última prova mantivemos a mesma nomeação da prova anterior para os

que a resolveram.

2.3. Assumindo uma abordagem interpretativa dos dados

Para a análise dos dados, nos pautamos em uma abordagem interpretativa à

luz da Análise de Conteúdo de Bardin, que por sua vez, pode ser entendida como “um

conjunto de técnicas de análise das comunicações” (BARDIN, 2016, p. 37). Assim,

essas comunicações passam por uma descrição, de modo que “a descrição analítica

funciona segundo procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo

das mensagens. Tratar-se-ia, portanto, de um tratamento da informação contida nas

mensagens” (BARDIN, 2016, p. 41). Ou seja, ela consiste em instrumentos

metodológicos que buscam descrever o estudo e realizar inferências sobre ele a partir

dos dados coletados.

Nessa investigação pretendemos analisar todos os dados e informações

registradas pelos alunos de maneira exaustiva, a fim de encontrar indícios da

utilização e dos significados atribuídos ao sinal de igualdade pelos alunos. Por esse

motivo, o estudo desses registros escritos passou por três fases que, conforme

descreve Bardin são: a pré-análise, a exploração do material e o tratamento dos

resultados obtidos e interpretação.

A pré-análise é referente à organização do estudo, onde é necessária “a

escolha dos documentos a serem submetidos à análise, a formulação de hipóteses e

dos objetivos e a elaboração de indicadores que fundamentem a interpretação final”

(BARDIN, 2016, p. 125). Ou seja, busca sistematizar as primeiras ideias em busca do

desenvolvimento da análise. Nesse sentido, organizamos a primeira e a última prova,

isto é, colocando as produções dos alunos em ordem alfabética seguindo os

pseudônimos P1 à P42 para cada uma delas. Em seguida, realizamos uma leitura

flutuante22 de todas as resoluções, com o intuito de averiguar o uso do sinal de igual

de cada aluno e de todos eles de modo geral, porém nesse primeiro momento

buscamos apenas deixar aparecer as primeiras impressões sobre a utilização do sinal

de igual.

22 Consiste em estabelecer contato com os documentos a analisar e em conhecer o texto deixando-se invadir por impressões e orientações (BARDIN, 2016, p. 126).

47

A segunda fase refere-se à exploração do material, de modo que “consiste

essencialmente de operações de codificação, decomposição ou enumeração, em

função de regras previamente formuladas” (BARDIN, 2016, p. 131). Nesse momento,

fizemos as descrições23 dos registros dos alunos, buscando identificar os significados

atribuídos ao sinal de igual e as estratégias24 e os procedimentos25 utilizados pelos

alunos nas resoluções. Assim, iniciamos pela questão um da primeira prova do aluno

P1 e seguimos até o P42, após fomos para a questão dois, seguindo a mesma ordem

dos alunos, até terminar todas as questões da prova. De forma análoga, para a última

prova.

Diante disso, buscamos descrever toda a produção presente em cada questão

evidenciando os caminhos e passos utilizados pelo aluno, se optou pela estratégia e

procedimentos corretos, ou se cometeu algum equívoco nessa parte. Ainda,

procuramos inferir sobre os possíveis significados que o sinal de igual recebeu pelo

aluno naquele contexto. Vejamos na Figura 1 um exemplo desse processo.

Figura 1 – Exemplo de uma descrição realizada.

Fonte: Apêndice 3.

Feito isso, passamos para a fase de categorização desses registros, de modo

que buscamos classificar a partir de usos e compreensões semelhantes quanto ao

sinal de igual. Ou seja, buscamos similaridades nas produções a partir das descrições

23 Ver Apêndices 3 e 4. Descrevemos em forma de tabela para facilitar no momento da categorização e também realizamos a resolução das questões. 24 Segundo Hadji (1994, p.47), por estratégia compreende-se “a orientação geral das operações e dos meios a utilizar [...] a arte de conduzir, de fazer avançar um exército [...] um conjunto de acções coordenadas tendo em vista uma finalidade”. 25 O procedimento diz respeito ao processo de desenvolvimento da estratégia, o modo pelo qual se desenvolve a estratégia” (BURIASCO; FERREIRA; CIANI, 2009, p. 77).

48

feitas, reunindo, então, todas as provas que indicavam que os alunos seguiram ou

produziram uma ideia parecida.

Com isso, buscamos conhecer o que estava por trás do registro escrito,

atribuindo significados para as mensagens, classificando assim informações

semelhantes das distintas. Dessa forma, foi preciso reunir palavras/concepções

próximas e sinônimas para poder formar um agrupamento que, dessa forma, segundo

Bardin (2016) é possível criar categorias para essas unidades de significados.

A categorização é uma operação de classificação de elementos constitutivos de um conjunto por diferenciação e, em seguida, por reagrupamento segundo o género (analogia), com os critérios previamente definidos. As categorias, são rubricas ou classes, as quais reúnem um grupo de elementos [...] sob um título genérico, agrupamento esse efectuado em razão dos caracteres comuns destes elementos (BARDIN, 2016, p. 147).

Por exemplo, após ter descrito as produções e feita uma leitura de todas elas

novamente, verificou-se que onze alunos haviam omitido o sinal de igual, então

juntamos essas provas e olhamos novamente para elas buscando verificar se havia a

possibilidade de ser criada uma categoria baseada nesse aspecto identificado.

Com isso, seguimos o processo de categorização pelo “procedimento por

acervo” (BARDIN, 2016, p. 149), em que as categorias são definidas durante a análise,

pelo fato de não sabermos o que iríamos encontrar nas produções escritas, assim o

título de cada categoria26 foi definido somente no final do processo. Vejamos na Figura

2 uma exemplificação desse processo.

Figura 2 – Exemplo das categorias criadas em uma questão.

Fonte: Apêndice 5.

Baseados nisso, criamos um nome para a categoria que buscasse evidenciar

de forma direta qual o uso ou o significado que àqueles alunos possuíam perante ao

símbolo. Destacamos que quando o nome se assemelhava ao que já havia na

26 Ver Apêndice 5.

49

literatura, utilizamos esses mesmos nomes (Quadro 1), já quando não havia, nós

criamos a nomeação conforme julgamos pertinente.

Já quanto a última fase, o tratamento dos resultados, a inferência e a

interpretação, a autora explica que “os resultados brutos são de maneira a serem

significativos (‘falantes’) e válidos [...]. O analista, tendo à sua disposição resultados

significativos e fiéis, pode então propor inferências e adiantar interpretações a

propósito dos objetivos previstos” (BARDIN, 2016, p. 131). Nessa fase, tendo já as

categorias, optamos por alguns alunos que pudessem representar todos os demais

presentes nesse agrupamento e analisamos detalhadamente a categoria para atribuir

significado às produções escritas. Assim, fomos descrevendo as categorias e

exemplificando com as produções escritas dos alunos e atribuindo as nossas

compreensões, interpretações e inferências sobre a maneira como o sinal de igual é

concebido pelos alunos.

E, para finalizar, baseados nas análises realizadas, tecemos considerações

sobre os significados e a utilização do sinal de igual atribuídos pelos alunos, por meio

da análise da produção escrita e, também, fizemos inferências e reflexões que esses

usos e significados podem implicar e influenciar do ensino e aprendizagem em

Matemática e o seu uso no Ensino de Cálculo.

2.4. Sobre as provas analisadas

Pretendemos analisar a primeira e a última prova da disciplina para buscar

indícios se as ideias sobre o sinal de igual de determinado aluno recorrentes na

primeira prova ainda seriam recorrentes na última prova. Frisamos que as provas não

foram elaboradas e nem corrigidas pensando nos significados do sinal de igual, o foco

delas era apenas voltado para os conteúdos estudados na disciplina de Cálculo

Diferencial Integral I. Assim, ressaltamos que estamos olhando para uma disciplina

que no seu decorrer não buscou produzir dados com a intenção que estes fossem

utilizados para pesquisas.

Entendemos que na primeira prova os alunos ainda estão muito acostumados

com a Matemática escolar da Educação Básica, agora na última eles já vivenciaram

um ano de graduação e esperava-se um amadurecimento e crescimento perante

conceitos matemáticos. Ao olhar para a última prova não estamos dizendo que foi feito

um trabalho para que os significados do sinal de igual fossem ampliados em cada

50

conteúdo, apenas tomamos como um parâmetro para investigar se os significados

foram expandidos.

Dessa forma, é possível que a disciplina tenha ou não impactado uma mudança

das compreensões dos alunos apenas pelo fato de tê-la estudado, dado que os

diversos conteúdos abarcam significados variados do sinal de igual. Assim, julgamos

possível ter uma visão de como o sinal de igual foi tomado por alunos no decorrer de

uma disciplina no Ensino Superior analisando a primeira e a última prova.

2.4.1. A prova 1

Iniciamos nossa análise das produções com a primeira prova, sendo que ela

continha sete questões, de forma que algumas delas tinham vários itens a serem

resolvidos (Apêndice 1). A questão 1 tratava de leis definidas para intervalos, a

questão 2 envolvia o cálculo do quociente das diferenças, a questão 3 cobrava uma

expressão baseada no gráfico dado, a questão 4 pedia o limite a partir de duas

funções, a questão 5 solicitava a imagem baseada na questão anterior, a questão 6

tratava do cálculo de limite de funções e a questão 7 cobrava o esboço de um gráfico.

Nessa prova tiveram 42 alunos que a resolveram, de modo que para analisar

essas produções escritas, procedemos apresentando, ainda nesse tópico, a resolução

e o significado do sinal de igual esperado nas questões. Já no tópico das análises,

apresentamos as categorias, ou seja, o que, de fato, foi encontrado nas produções,

isto é, os usos, omissões e significados atribuídos pelos alunos sobre o sinal de igual

e, finalmente, as inferências e reflexões.

Após feita as descrições das produções escritas obtivemos categorias comuns

nas sete questões. Optamos por enumerar as categorias gerais de 1 a 4 e as

subcategorias de a) a g). Ressaltamos que as categorias gerais e as subcategorias

fazem parte de toda a prova 1, porém nem todas elas pertencem a todas as questões,

ou seja, a subcategoria a) pode pertencer apenas a questão 3 e 4, assim como a

subcategoria b) está presente em todas as questões, por exemplo. Por isso, optamos

por analisar questão por questão, apresentando as categorias centrais e as

subcategorias pertencentes a cada questão, afim de olhar para o foco da questão e a

forma como o sinal de igual foi empregado.

As categorias obtidas pelo procedimento por acervo são apresentadas abaixo.

1. Uso correto do sinal de igual

a) Equivalência

51

b) Relação Funcional

2. Uso incorreto do sinal de igual

c) Conectivo

d) Relação Nome-Símbolo ou Correspondência

3. Uso do sinal de igual de forma mecânica

e) Fórmula

f) Resultado

g) Separador

4. Omissão do sinal de igual.

Ressaltamos que as nomeações das categorias gerais foram criadas por nós,

dado que julgamos ser uma nomenclatura que abarcasse as subcategorias. Já as

subcategorias receberam os mesmos nomes já apresentados na literatura, isto é, do

Quadro 1.

Ainda, destacamos que houve produções em que pouco se pode inferir sobre

o sinal de igual, houve resoluções fora do contexto esperado e até resoluções em

branco, ou seja, não teve produção escrita. Assim, nesses três casos, esses alunos

ficaram fora das categorias da determinada questão.

Na sequência apresentamos as questões desta prova com suas respectivas

resoluções e categorias identificadas.

2.4.1.1 Questão 1

A primeira questão da prova foi “Seja ℎ(𝑥) = {1 − 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0

2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0, calcule ℎ(−2), ℎ(1) e

esboce o gráfico”. Esperava-se que os alunos tivessem a compreensão de que era

preciso tomar a decisão de qual sentença deveriam considerar, dado os dois intervalos

do domínio da função. No caso, quando o valor fosse maior que zero era preciso

escolher a segunda sentença e maior/igual a zero, seria a primeira. Assim, as

resoluções se dariam da seguinte forma:

ℎ(−2) = 1 − (−2)2 = 1− 4 = −3

ℎ(1) = 2 ∙ (1) + 1 = 2 + 1 = 3

Como, possivelmente, os alunos já vivenciaram o conceito de função no Ensino

Médio e deram continuidade no Ensino Superior, como é o caso da disciplina de CDI,

acreditamos que eles poderiam ser capazes de associar a função ℎ(𝑥) com a

representação genérica de uma função afim, 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 e com uma quadrática, 𝑦 =

52

𝑎 ∙ 𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐. Com isso, poderiam ser capazes de analisar o intervalo correto para

aquele domínio de função.

Almejava-se, também, que os alunos registrassem o “=” cuidadosamente em

suas resoluções, tomando como parâmetro a ideia de igualdade de função, em que

segundo Cavalcanti (2008, p. 78) “o atributo mais adequado do símbolo ‘=’ no contexto

das funções é indicar uma relação dinâmica que implica na ideia de dependência

causal entre as variáveis dependente e independente”. Assim, esperava-se que eles

não usassem o símbolo apenas por usar, de forma gráfica, mas que demonstrassem

compreender o seu significado naquele contexto.

Feita as descrições para essa questão, verificamos que duas produções (P17

e P40) tiveram uma estratégia fora do contexto e P9 não apresentou produção escrita.

Então, a partir das 39 produções restantes foram criadas 3 categorias, na qual a

discussão delas será feita no capítulo 3.


b) Relação Funcional


c) Conectivo


f) Resultado

g) Separador.

2.4.1.2 Questão 2

A segunda questão foi “Calcule o quociente das diferenças e simplifique a sua

resposta quando possível. Se 𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥2, calcule 𝑓(3+ℎ)−𝑓(3)

ℎ e se 𝑔(𝑥) =

1

𝑥, calcule

𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)

𝑥−𝑎”. Esperava-se que os alunos compreendessem que toda relação entre

grandezas pode ser determinada por uma lei de formação algébrica e assim deveriam

aplicar a lei de 𝑓 no quociente, na sequência a propriedade distributiva, após adicionar

os números e os monômios semelhantes e, ao final, simplificar a expressão.

Vejamos as duas resoluções:

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)

ℎ=4 + 3(3 + ℎ) − (3 + ℎ)2 − 4 + (3 ∙ 3) − (3)2

ℎ=4 + 9 + 3ℎ − 9 − 6ℎ − ℎ2 − 4− 9 + 9

ℎ

=−3ℎ − ℎ2

ℎ=ℎ(−3 − ℎ)

ℎ= −ℎ − 3

53

𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎=

1𝑥−1𝑎

𝑥 − 𝑎=

𝑎 − 𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑥 − 𝑎

=

𝑎 − 𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑥 − 𝑎1

=

=𝑎 − 𝑥

𝑥 ∙ 𝑎∙1

𝑥 − 𝑎=

𝑎 − 𝑥

(𝑥 ∙ 𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎)=−1

𝑎 ∙ 𝑥

Assim, esperava-se que os alunos entendessem a dependência entre o

quociente e a função e que a relação entre ambas geraria uma nova igualdade, de

modo que havendo duas grandezas e que a alteração na proporção de uma delas em

relação a outra, dependeria da primeira.

Diante disso, o registro correto do “=” estaria relacionado à ideia de dependência

entre as grandezas e, ainda, o uso do símbolo implica em um cuidado maior quanto

ao desenvolvimento da resolução, afinal, para que lei de formação algébrica aplicada

ao quociente seja válida é preciso que as igualdades estejam corretas.

Verificou-se que P2, P31, P33, P37 e P40 não apresentaram produção, assim

as demais 37 produções se encaixaram em 4 categorias:


a) Equivalência


c) Conectivo


e) Fórmula

f) Resultado

g) Separador


2.4.1.3 Questão 3

A terceira questão foi: “Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a

curva dada a seguir”.

Figura 3 – Gráfico da questão 3.

Fonte: Apêndice 1.

Inicialmente, esperava-se dos alunos que interpretassem o gráfico, analisando

as retas e identificassem as coordenadas de pontos pertencentes a essas. Assim,

54

chegariam à conclusão que para encontrar qual a função, composta por duas leis, era

preciso calcular as inclinações das retas que a compõem. Assim a resolução iniciaria

com o cálculo dos coeficientes das retas. Tendo que as retas passam por pontos

explicitados no gráfico, bastaria calcular o quociente entre a diferença das ordenadas

e abcissas e após isso utilizar esse coeficiente e os pontos para encontrar a expressão

da reta.

𝑚 =6− 4

5 − 0

𝑚 =2

5

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 4 =2

5∙ (𝑥 − 0)

𝑦 =2

5𝑥 + 4

𝑚 =1 − 5

10 − 5= −

4

5

𝑦 − 5 =−4

5∙ (𝑥 − 5)

𝑦 =−4

5𝑥 + 9

Almejava-se que os alunos percebessem novamente a ideia de dependência

entre as variáveis, pois ao substituir os pontos na fórmula e achando o coeficiente

angular obtém-se a função que define a reta. Com isso o “=” vai além de apenas um

símbolo presente na fórmula da reta, mas ele expressa a relação de dependência

entre a variável dependente e independe. Ao final seria interessante que os alunos

percebessem que as duas funções encontradas poderiam assumir um conjunto de

valores do domínio levando em conta seus intervalos.

Dez provas não apresentaram produção escrita (P2, P8, P9, P13, P25, P29,

P33, P37, P38 e P42) e cinco (P10, P18, P20, P27 e P40) pouco se pode inferir da

compreensão quanto ao sinal de igual, dado que os alunos utilizam poucas vezes o

símbolo em suas resoluções. Contudo, a partir das 27 produções restantes foram

criadas 4 categorias:




e) Fórmula

f) Resultado


55

2.4.1.4 Questão 4 Nesta questão a professora já dava o sinal de igual, assim os alunos apenas

precisavam colocar as respostas após ele. “A partir da representação das funções f e

g:”

a) lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) =

b) lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) =

c) 𝑓(0) =

d) lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

e) 𝑓(4) =

f) lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

g) 𝑔(0) =

h) 𝑔(4) =


Fonte: Apêndice 1.

Seguem as respostas esperadas para os itens acima:

a) 3

b) 1

c) 1

d) ∄

e) -4

f) 0

g) 10

h) 2

i) ∄

j) 0

Como na questão já eram dados os gráficos, a expressão que pedia alguns

limites daquela função e o sinal de igual, o aluno só precisava analisar os dados e

escrever a resposta. Contudo, era importante que ele lembrasse que o limite de uma

função expõe seu comportamento nos momentos de aproximação de determinados

valores, não precisamente no valor de 𝑥, mas sim nos valores de função que se

aproximam de 𝑥. Dessa forma, a função pode possuir um limite para 𝑥 sem ser

definida nesse ponto em seu domínio. Não foi criada nenhuma categoria para a

questão, já que não houve a utilização do símbolo por nenhum aluno.

2.4.1.5 Questão 5

Esta questão cobrava que “Considerando que o domínio das funções

esboçadas na questão 4 anterior é o conjunto dos números reais, ℝ, qual será o

conjunto imagem? 𝐼𝑚(𝑓) e 𝐼𝑚 (𝑔)?”. A resolução seria, respectivamente, ]3; −4] e [10] ∪

]8;−∞[.

56

Essa questão é semelhante a anterior no que se refere ao sinal de igual, ou

seja, já era descrito o símbolo na tarefa, assim bastava ao aluno analisar o gráfico

baseado nas funções e descrever o conjunto imagem. Diante disso, a maioria das

produções não apresentaram nem demonstraram querer usar o símbolo em suas

resoluções, exceto três (P12, P22 e P37) que se encaixaram em três categorias:


d) Relação Nome-Símbolo ou Correspondência


f) Resultado


2.4.1.6 Questão 6

Esta questão cobrava: “Calcule o limite das funções: lim𝑥→16

𝑥−16

√𝑥−4; lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥; lim𝑡→2

𝑡2−4

𝑡3−8;

lim𝑣→4+

4−𝑣

|4−𝑣|; lim𝑥→2

√𝑥+6−𝑥

𝑥3−3𝑥2; lim𝑥→1+

𝑥2−9

𝑥2+2𝑥−3.

Aqui, além de esperar que os alunos já tivessem conhecimentos acerca do

conceito de função, a ideia de limite, de forma que ele é usado para descrever o

comportamento de uma função à medida em que ela se aproxima de determinado

valor. Assim, as resoluções se dariam, inicialmente, tentando aplicar o limite direto,

porém diversas vezes obtém-se uma indeterminação. Com isso, precisavam utilizar

manipulações algébricas, técnicas de racionalização, aplicar propriedades, entre

outros, a fim de tornar-se possível calcular o valor do limite no ponto.

Vejamos as resoluções dos itens anteriores:

a) lim𝑥→16

𝑥−16

√𝑥−4. Primeiramente é preciso eliminar a indeterminação por meio da

técnica da racionalização, ou seja, multiplicar da fração pelo seu conjugado. Após é

preciso de manipulações algébricas, aplicar a propriedade distributiva, fazer

simplificações, para ao fim, poder aplicar o limite.

lim𝑥→16

𝑥 − 16

√𝑥 − 4=0

0

lim𝑥→16

𝑥 − 16

√𝑥 − 4= lim

𝑥→16

𝑥 − 16

√𝑥 − 4∙ √𝑥 + 4

√𝑥 + 4= lim

𝑥→16

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

𝑥 + 4√𝑥 − 4√𝑥 − 16= lim

𝑥→16

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

𝑥 − 16

= lim𝑥→16

√𝑥(𝑥 − 16) + 4(𝑥 − 16)

𝑥 − 16= lim

𝑥→16√𝑥 + 4 = √16 + 4 = 4 + 4 = 8

57

b) lim𝑥→0


𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥. Primeiramente é necessário substituir as funções trigonométricas

por funções equivalentes. Após ir fazendo manipulações algébricas e, por fim, aplicar

o limite.

lim𝑥→0


𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥= lim

𝑥→0

(1

𝑠𝑒𝑛 𝑥)2

(1𝑡𝑔 𝑥

)2 = lim𝑥→0

1𝑠𝑒𝑛2 𝑥1

𝑡𝑔2 𝑥

= lim𝑥→0

1

𝑠𝑒𝑛2 𝑥∙𝑡𝑔2 𝑥

1= lim

𝑥→0

1

𝑠𝑒𝑛2 𝑥∙ (𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos𝑥)2

= lim𝑥→0

1

𝑠𝑒𝑛2 𝑥∙𝑠𝑒𝑛2 𝑥

cos2 𝑥= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛2 𝑥

(𝑠𝑒𝑛2 𝑥) ∙ (cos2𝑥)= lim

𝑥→0

1

cos2 𝑥= 1

c) lim𝑡→2

𝑡2−4

𝑡3−8. Basta fazer o produto da soma pela diferença e aplicar o limite.

lim𝑡→2

𝑡2 − 4

𝑡3 − 8= lim

𝑡→2

(𝑡 − 2) ∙ (𝑡 + 2)

(𝑡 − 2) ∙ (𝑡2 + 2𝑡 + 4)= lim

𝑡→2

𝑡 + 2

𝑡2 + 2𝑡 + 4=

2 + 2

22 + 2 ∙ 2 + 4=4

12=1

3

d) lim𝑣→4+

4−𝑣

|4−𝑣|. É necessário aplicar o limite por um valor próximo a 4, mas é preciso

que seja maior, dado a condição que 𝑣 está tendendo a 4 pela direita.

lim𝑣→4+

4 − 𝑣

|4 − 𝑣|=4 − 4,5

|4 − 4,5|=−0,5

0,5= −1

e) lim𝑥→2

√𝑥+6−𝑥

𝑥3−3𝑥2. Primeiramente é necessário multiplicar a fração pelo seu

conjugado. Após é preciso de manipulações algébricas, fazer simplificações, para ao

fim, poder aplicar o limite.

lim𝑥→3

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥3 − 3𝑥2∙√𝑥 + 6 + 𝑥

√𝑥 + 6 + 𝑥= lim

𝑥→3

−𝑥2 + 𝑥 + 6

(𝑥3 − 3𝑥2) ∙ (√𝑥 + 6 + 𝑥)= lim

𝑥→3

(𝑥 + 2) ∙ (−𝑥 + 3)

−𝑥2(−𝑥 + 3) ∙ (√𝑥 + 6 + 𝑥)

= lim𝑥→3

(𝑥 + 2)

−𝑥2 ∙ (√𝑥 + 6 + 𝑥)=

(3 + 2)

−32 ∙ (√3+ 6 + 3)=

5

−9 ∙ (√9+ 3)=

5

−9 ∙ (6)= −

5

54

f) lim𝑥→1+

𝑥2−9

𝑥2+2𝑥−3. É preciso fazer o produto da soma pela diferença, simplificar

alguns membros e analisar para onde a função converge.

lim𝑥→1+

(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 3)= lim

𝑥→1+

(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)= −∞

g) lim𝑥→−3

𝑥2−9

𝑥2+2𝑥−3. É preciso fazer novamente o produto da soma pela diferença e

após aplicar o limite.

lim𝑥→−3

(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 3)= lim

𝑥→−3

(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)=(−3) − 3

(−3) − 1=−6

−4=3

2

Dentre todas as provas, apenas uma produção (P12) não apresentou resolução

escrita em nenhum dos itens. Assim, as demais 41 fizeram com que a questão

culminasse em 4 categorias:


58


c) Conectivo


f) Resultado

g) Separador


2.4.1.7 Questão 7

Esta questão pedia que: “Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que

satisfaça a todas as condições seguintes: lim𝑥→3−

𝑓(𝑥) = ∞; lim𝑥→3+

𝑓(𝑥) = −∞; lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = −1;

𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3”.

Nesta questão era preciso analisar as condições dadas, usar os conhecimentos

sobre curva, reta, limite, domínio e imagem, buscar unir todos esses aspectos e

esboçar o gráfico. Nesse sentido, possivelmente os alunos não precisariam fazer

cálculos e nem usar o sinal de igual, por isso entendemos que apenas uma produção

(P3) conteve o símbolo, o que culminou em se encaixar na seguinte categoria:


e) Fórmula.

2.4.2. A Prova 6

Finalizamos nossa análise das produções com a última prova, ou seja, a seis,

de modo que ela continha três questões (Apêndice 2). A questão 1 abordava o esboço

de um gráfico, a questão 2 pedia o cálculo de integrais indefinidas e a questão 3 o

cálculo de integrais definidas, sendo que nestas duas questões havia vários itens a

serem resolvidos.

A análise das produções dessa prova deu-se de forma análoga a da prova 1.

Foram 16 alunos que a resolveram e, dentre esses, 6 foram por meio da segunda

chamada. Contudo, as duas provas eram muito semelhantes e dado o número baixo

de alunos que a resolveram, optamos por olhar para ambas. Assim, optamos por

analisar as questões que eram comuns nelas, por isso nomeamos os itens em comum

de outra forma, como i), ii) e assim por diante. Ou, no caso da questão 1,

apresentamos as questões relativas às duas chamadas.

Após feita as descrições das produções escritas obtivemos 6 categorias entre

as três questões, sendo semelhantes as obtidas na prova 1. Diante disso, mantivemos

59

a enumeração feita na outra prova. Aqui, continuamos analisando questão por

questão e olhando para o foco dela e a forma como o sinal de igual foi usado.

As categorias obtidas pelo procedimento por acervo são apresentadas abaixo.



c) Conectivo


e) Fórmula

f) Resultado

g) Separador


Destacamos que na questão 1 houve produções em que pouco se pode inferir

sobre o sinal de igual e resoluções em branco. Com isso, estes alunos ficaram fora

das categorias da determinada questão. Agora, apresentamos as questões da prova

6 com suas respectivas resoluções e categorias identificadas.

2.4.2.1 Questão 1

Esta questão pedia: “Calcular a medida da área da região delimitada pela

curva/parábola/reta. Esboçar os gráficos em um mesmo eixo de coordenadas e

hachurar a região da área a ser calculada”.

Neste caso, a área é dada pela integral da função f menos a integral da função

g. Assim, é preciso realizar este cálculo, mas para descobrir os valores da limitação

da integral é necessário igualar as duas funções. Após isso basta esboçar o gráfico,

atribuindo valores para as funções.

Vejamos a seguir as resoluções das duas chamadas:

(1ª chamada) – parábola 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥2 e a reta 𝑔(𝑥) = 𝑥. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 3𝑥 − 𝑥2 = 𝑥 2𝑥 − 𝑥2 = 0 𝑥1 = 0 𝑥2 = 2

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥2

0

= ∫ [3𝑥 − 𝑥2 − 𝑥]𝑑𝑥2

0

=3𝑥2

2|0

2

−𝑥3

3|0

2

−𝑥2

2|0

2

= (3 ∙ 22

2−3 ∙ 02

2) − (

23

3−03

3) − (

22

2−02

2) = (6 − 0) − (

8

3− 0) − (2 − 0) =

4

3

60


Fonte: Apêndice 2.

(2ª chamada) – curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 7 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 − 1.

𝑥2 − 5𝑥 + 7 = −𝑥2 + 5𝑥 − 1 𝑥1 = 1 𝑥2 = 4

= ∫ [(𝑥2 − 5𝑥 + 7) − (−𝑥2 + 5𝑥 − 1)]𝑑𝑥4

1

=𝑥3

3|1

4

−5𝑥2

2|1

4

+7𝑥|14 +

𝑥3

3|1

4

−5𝑥2

2|1

4

+𝑥|14

=2𝑥3

3− 5𝑥2 + 8𝑥 + 𝐶|1

4

= (2 ∙ 43

3−2 ∙ 13

3) − (5 ∙ 42 − 5 ∙ 12) + (8 ∙ 4 − 8 ∙ 1) = (

128

3−2

3) − 75 + 24 = −9

Figura 6 – Gráfico da questão 2’.

Fonte: Apêndice 2.

Dentre as produções dessa questão, uma produção (P38) não apresentou

resolução escrita e em duas delas (P1 e P7) pouco se pode inferir sobre o uso do sinal

de igual, dado que utilizaram poucas vezes. Assim, as demais 13 fizeram com que a

questão culminasse em 4 categorias:



c) Conectivo


e) Fórmula

f) Resultado

g) Separador


61

2.4.2.2 Questão 2

A segunda questão cobrava: “Calcule as integrais indefinidas”. Neste caso, o

cálculo da integral indefinida se refere a uma antiderivada, tal que 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Assim, para resolver a questão precisamos utilizar algumas propriedades de integrais.

A seguir veremos os itens que eram comuns em ambas as chamadas e suas

resoluções.

i) ∫𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥

∫𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ (1 − cos2 𝑥) =

= ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos2 𝑥 𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos2 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = cos𝑥; 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 −∫𝑢2(−𝑑𝑢) = −cos 𝑥 +𝑢3

3= −cos𝑥 +

𝑐𝑜𝑠3𝑥

3+ 𝑐

ii) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑒𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥; 𝑣 = −cos𝑥

∫𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ (− cos𝑥) − ∫(−cos𝑥) ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑢2 = 𝑒𝑥; 𝑑𝑢2 = 𝑒

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣2 = cos 𝑥 𝑑𝑥; 𝑣2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

= −𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 +∫𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 =−𝑒𝑥 ∙ cos𝑥 +𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −∫𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= ∫𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 +∫𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 +𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 2∫𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ (𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 𝑥)

= ∫𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑒𝑥

2∙ (𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 𝑥)

iii) ∫ ln|𝑥|𝑑𝑥

𝑢 = ln𝑥; 𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥

∫ ln|𝑥|𝑑𝑥 = ln|𝑥| ∙ 𝑥 −∫𝑥 ∙1

𝑥𝑑𝑥

= 𝑥 ∙ ln|𝑥| −∫1 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln|𝑥| − 𝑥 + 𝑐

iv) ∫1

√𝑥(1+√𝑥)2 𝑑𝑥

∫1

√𝑥(1 + √𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫

1

√𝑥∙

1

(1 + √𝑥)2

𝑢 = 1 + √𝑥; 𝑑𝑢 =1

2√𝑥→ 2𝑑𝑢 =

1

√𝑥

62

= ∫2 ∙1

𝑢2 𝑑𝑢 = 2∫𝑢−2𝑑𝑢 = −2 ∙ 𝑢−1 =

−2

1 + √𝑥+ 𝑐

Nesta questão todos os alunos apresentaram resolução escrita e isso gerou 4

categorias:



c) Conectivo


f) Resultado

g) Separador


2.4.2.3 Questão 3

Esta questão solicitava: “Calcule a integral definida”.

∫ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠1

2𝑥 𝑑𝑥

π

0

Temos que a integral definida pode ser calculada encontrando a integral da

função e subtraindo o valor dessas integrais nos dois extremos da integração (limite

inferior e superior). Pode-se resolver utilizando a integração por partes.

𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = cos1

2; 𝑣 = 2𝑠𝑒𝑛

𝑥

2

∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

= 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥

2− 2∫𝑠𝑒𝑛

𝑥

2 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛

𝑥

2+ 4 cos

𝑥

2|0

π

= 2π − 4

Nessa questão duas provas estiveram em branco (P38 e P41), o restante das

produções gerou 3 categorias:



c) Conectivo


f) Resultado

g) Separador

63

2.4.3. As categorias criadas por questão em cada prova

Com o intuito de facilitar o entendimento sobre quais categorias cada questão

obteve, criamos o Quadro 2 a seguir.

PROVAS QUESTÕES CATEGORIAS

PROVA 1

Questão 1

Uso correto do sinal de igual: Relação

Funcional

Uso incorreto do sinal de igual: Conectivo

Uso do sinal de igual de forma mecânica:

Resultado e Separador.

Questão 2

Uso correto do sinal de igual: Equivalência



Fórmula, Resultado e Separador

Omissão do sinal de igual.

Questão 3

Uso correto do sinal de igual

Uso incorreto do sinal de igual


Fórmula e Resultado


Questão 4

Questão 5

Uso incorreto do sinal de igual: Relação

Nome-Símbolo ou Correspondência


Resultado


Questão 6




Resultado e Separador


Questão 7 Uso do sinal de igual de forma mecânica:

Fórmula.

PROVA 6

Questão 1




Fórmula, Resultado e Separador


Questão 2 Uso correto do sinal de igual


64


Resultado e Separador


Questão 3




Resultado e Separador.

Quadro 2 – Categorias por questão. Fonte: Dos autores, 2019.

65

CAPÍTULO 3

ANÁLISES

Tendo como referência o nosso problema de pesquisa: “a partir da produção

escrita dos alunos do primeiro ano de graduação de um curso de Engenharia Agrícola,

o que é possível inferir sobre o uso do sinal de igual nas suas provas?”, buscamos

compreender quais os usos, omissões e significados que o símbolo recebe por esses

alunos. Consideramos a forma gráfica com que foi apresentado, o seu significado

naquele contexto e as possíveis omissões nas resoluções. Realizamos análises sobre

os registros escritos presentes nas provas, para que pudéssemos realizar inferências

sobre a produção escrita.

3.1 Sobre a Prova 1

Vejamos agora as 7 questões com suas respectivas categorias, evidenciando

os usos, omissões e significados atribuídos pelos alunos sobre o sinal de igual e, após,

as inferências e reflexões acerca delas.

3.1.1. Sobre a questão 1

A subcategoria b): “Relação Funcional”, pertencente à Categoria 1: Uso correto

do sinal de igual, resultou de um número expressivo de produções em que os alunos

demonstraram compreender o significado do sinal de igual naquele contexto, obtendo

também uma resposta total ou parcialmente correta.

A Figura 7 referente ao P15 é representativa de diversas produções, como P7,

P24, P25, P28, P29, P37 e P39, em que todos desenvolveram os itens de acordo com

a resolução esperada. Esses alunos optaram por realizar o passo a passo do cálculo

um abaixo do outro, igualando ℎ(−2) e ℎ(1) corretamente à sentença definida para

aquele intervalo do domínio da função.

Figura 7 - Produção escrita do aluno P15.

Fonte: Do autor, 2018.

Assim, o uso gráfico do sinal de igual estava correto e, inferimos, que eles

compreenderam o significado que o símbolo deveria receber na situação. Ainda, ao

66

escolher a sentença correta para cada item, eles demonstraram perceber

entendimento de intervalos e domínio, pois para cada elemento do domínio haveria

uma imagem.

As produções P3, P4, P16, P24, P25 e P41 também obtiveram a resposta

correta e demonstraram, assim como as produções representados pela Figura 7, que

possuem a compreensão apropriada do significado do sinal de igual no contexto de

funções e da importância do seu uso correto, dado a forma com que empregam todos

os valores. Vejamos na Figura 8.



Contudo, os alunos referentes à essas produções escreveram suas resoluções

não com uma expressão abaixo da outra, mas, na maioria das vezes, na mesma linha.

Essa estratégia também é correta, apenas uma forma, talvez, mais direta de

resolução. O importante é que em todos os casos, os alunos não omitiram, por

exemplo, o ℎ(−2) no início, evidenciando, novamente, a relação de dependência entre

as variáveis.

Já P8, P13, P23, P30, P36 e P38 acabaram cometendo erros de procedimento,

obtendo outro resultado no item a), porém o uso do sinal de igual sempre foi

representado corretamente, sendo igualado a expressão inicial e mantido no decorrer

do cálculo.

Assim, julgamos que estes alunos pertencentes à esta categoria possuem uma

compreensão condizente com o esperado sobre o sinal de igual, dado que o uso e o

significado estavam corretos para a questão e que, possivelmente, atribuíram ao “=”

uma relação de “dependência causal entre uma variável dependente (no caso, y) e

uma variável independente (no caso, x)” (CAVALCANTI, 2008, p. 107).

Contudo, apesar de incluí-los nessa categoria, não podemos afirmar com

precisão que todos tiveram essa compreensão, até porque o significado do símbolo

em uma função não é o mesmo em uma operação aritmética e equação, por exemplo,

mas os alunos podem correr o risco de tomarem com a mesma finalidade. Entretanto,

temos que nos basear no que a produção escrita pôde revelar desses dados e retirar

o que mais se mostra para nós acerca desse possível entendimento do sinal de igual

(FERREIRA, 2009).

67

A subcategoria c): “Conectivo”, pertencente à Categoria 2: Uso incorreto do

sinal de igual, representa o uso de outros símbolos matemáticos no lugar do sinal de

igual, mudando a ideia de igualdade que deveria existir. Nesse caso, foram 6 as

resoluções com essas trocas, sendo pertencentes as produções P11, P14, P19, P20,

P26 e P34. Vejamos alguns exemplos a seguir.

A produção escrita de P14 para a resolução do item a) da primeira questão,

Figura 9, mostra que o aluno opta pela lei correta, respeitando o domínio de validade

que contém -2, que corresponde ao intervalo (-∞,0], chegando à resposta esperada.



No entanto, chamou-nos a atenção a forma com que ele passa de uma

igualdade a outra, utilizando uma flecha, com o significado de implicação, na primeira

passagem. Já na segunda passagem, de uma igualdade a outra, utiliza o símbolo da

Matemática de implicação () com o significado de igualdade. Assim, possivelmente,

os símbolos, flecha simples () e a implicação (), foram utilizados com a ideia de

igualdade e de conectivo, ‘então’, respectivamente. Ainda, destacamos o uso do sinal

de igual somente na última passagem. Isso pode indicar que foi utilizado para indicar

a resposta final, como se indicasse que ali terminasse o cálculo.

Esta produção presente na prova P14, revela dois aspectos quanto à ideia de

igualdade e ao significado do símbolo de igual. O primeiro em relação ao símbolo

diferente do igual (=) para representar a ideia de igualdade e o segundo diz respeito

à utilização do símbolo de igual para indicar a resposta fina da questão.

Já em P20 o aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e

1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Notamos a

forma com que ele expressa uma igualdade em alguns momentos, ora utilizando o

sinal de igual, ora o de ‘portanto’ o que indica uma confusão quanto aos símbolos.

Assim, inferimos que para o aluno o sinal de igual vai apenas como resultado e em

outros momentos ele pode ser substituído por conectivos.



68

Com a sua produção escrita, acreditamos que para ele o símbolo “∴” poderia

substituir o significado que o “=” tem, pois escreve as expressões entre esse símbolo

como se fosse uma igualdade. Além disso, ele só faz uso do sinal de igual

corretamente para expressar a resposta final, indicando que nesse momento somente

é possível usar este símbolo para indicar a ideia de resultado.

Na Figura 11, o aluno da produção P26 obteve a resposta esperada para a

questão, porém chamamos a atenção para dois detalhes em sua resolução. A primeira

é que ele utiliza a sentença escrevendo ℎ(𝑥) e depois ao substituir por -2 não

reescreve como sendo ℎ(−2), o que pode indicar uma confusão quanto a igualdade

expressa, afinal a maneira como igualou os termos não seria uma igualdade

matematicamente correta.



O segundo aspecto é que após escrever a sentença ele utiliza o sinal de igual

e o símbolo de implicação ao mesmo tempo, esquecendo, possivelmente, de escrever

h(2) entre os dois símbolos.

Exceto P26, as demais 6 produções presentes nesta categoria, apesar de

conterem flechas () com o significado de implicação () no decorrer da resolução,

empregam o sinal de igual no final, reforçando os indícios de indicação do resultado

final. Trazemos como exemplo, Figura 12, uma produção representativa deste grupo.



Esta categoria evidencia a utilização equivocada dos símbolos de igual, da

representação de igualdade e do conectivo indicador de implicação. Se esta categoria

tivesse sido delimitada no decorrer do curso em andamento, tarefas específicas para

o tratamento destas relações poderiam ter sido elaboradas lançadas a este grupo de

alunos. Cabe ressaltar que o rigor na utilização sempre esteve presente nas aulas

ministradas e a atenção foi chamada dos alunos foi chamada e explicada as

diferenças entre os símbolos e seus significados. No entanto, é natural que

explicações expositivas e correções sejam insuficientes para dar conta da

69

aprendizagem de determinados aspectos que já vêm cristalizados em sua

escolaridade. Para romper este ciclo são necessárias intervenções mais incisivas e

efetivas. neste sentido. Nesse sentido, Neto (2008) defende que, como a Matemática

é baseada de uma simbologia vasta e com diversas regras, é imprescindível que haja

uma comunicação eficiente entre professor e aluno, contribuindo ao estudante

perceber essa área nas suas especificidades e com sua abordagem formal e só assim

poderá passar a compreender que cada símbolo tem sua finalidade própria e que

precisa ser respeitada.

A subcategoria f): “Resultado”, pertencente à Categoria 3: Uso do sinal de igual

de forma mecânica, decorreu de 8 produções (P6, P10, P18, P22, P27, P31, P33 e

P42) em que o sinal de igual foi utilizado apenas para indicar a resposta final, ou seja,

o resultado. Dessa forma, seguem algumas figuras que exemplificam.

Em P22 o aluno não chega na resposta correta no item a) por um erro no

procedimento do cálculo. Ele demonstrou entender que era preciso substituir o valor -

2 e o 1 nas sentenças, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda

acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade não válida, pois 1 −

(−2)2 não é igual a 5, isso pode ter se dado por um descuido nos sinais da expressão.



Já em b) obteve a resposta correta. Porém em ambas resoluções faz o uso do

sinal de igual apenas no resultado e nos outros momentos omite, o que nos leva a

entender que o aluno estaria desconsiderando que as expressões resultam de uma

lei da função e que aquela expressão não seria igualada de uma anterior.

A Figura 14 traz outra forma de produção de alguns alunos. O P33, por

exemplo, escreveu uma expressão abaixo da outra e usa o sinal de igual apenas no

momento final, o que nos leva a entender que para ele, separando as expressões por

linhas, é como se estivesse nítido que são igualdades e por isso usa o sinal de igual

apenas por último, quando obtém o resultado.

70



A única produção dessa categoria que obteve a resposta esperada foi P10,

contudo, esse aluno também usou o sinal de igual apenas no resultado.

Essas omissões do sinal de igual indicam que para esses alunos o símbolo

escrito é um item secundário em um registro escrito e, assim, temos indicativos de

que, possivelmente, eles não compreendem o significado de igualdade e do símbolo

de igual em um cálculo, neste caso, de função. Ou ainda, que a compreensão que

possuem do sinal de igual é apenas para indicar um resultado, como se a regra para

todo cálculo matemático é escrever a resposta final após este símbolo e que é

“utilizado para dizer o resultado de uma conta e que não tem outro significado”

(BANDARRA, 2011, p. 315). Vemos que o símbolo foi usado como um “aviso” de que

aí vem a resposta.

A subcategoria g): “Separador”, também pertencente à Categoria 3, resultou de

7 produções (P1, P2, P5, P12, P21, P32 e P35) em que o sinal de igual foi escrito,

aparentemente, apenas como um símbolo que separa o passo a passo da resolução.

A maioria das produções, assim como P35, não havia igualado a expressão à

ℎ(−2) e ℎ(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam de

uma lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela sentença

é resultante de uma anterior. Vejamos a Figura 15.



Assim, inferimos que os alunos utilizam o símbolo apenas como um separador,

em que é preciso separar o passo a passo do cálculo, sem se dar conta de que ele

tem uma finalidade maior e precisa ser compreendido corretamente a partir dela.

A Figura 16 representa as produções P2, P5, P32 e P35, pois em todas elas os

alunos substituíram o valor -2 para as duas sentenças definidas, assim deduzimos

haver descuido quanto aos intervalos dados em cada caso, acarretando em erro de

estratégia.

71



Com base nisso, percebemos que diversas produções pertencentes nessa

categoria obtiveram uma resposta incorreta, consequentemente, obtendo uma

igualdade não válida. Entretanto, aqui, chamamos a atenção para a omissão do sinal

de igual no início da resolução e, sobre isso, inferimos que os alunos concebem as

expressões produzidas por eles como sendo de forma independente da função,

evidenciando não resultar dela.

Assim, se o sinal de igual é utilizado apenas em alguns momentos, é como se

os alunos não percebessem que ele é essencial para que o significado de relação de

dependência exista e que não é apenas um símbolo de convenção em cálculos

matemáticos para separar as expressões presentes. É exatamente nesse sentido que

Cavalcanti (2008) coloca que quando o “=” for tomado com o significado de ação será

entendido como um símbolo separador, que deverá conter uma série de operações e

ao final um resultado, de modo que essas expressões estejam uma ao lado da outra.


A subcategoria a): “Equivalência”, pertencente à Categoria 1: Uso correto do

sinal de igual, resultou do uso adequado do sinal de igual e da forma como as

produções escritas evidenciaram um entendimento de equilíbrio perante as

expressões. Foram 6 (P3, P13, P23, P24, P30 e P36) produções que contribuíram

para a criação da categoria.

A Figura 17 representa os únicos dois alunos que, além de utilizar o sinal de

igual corretamente, chegaram a resposta esperada, por meio das produções P3 e

P30. Baseado na produção P30, notamos que o aluno fez separadamente os cálculos

para 𝑓(3) e 𝑓(3 + ℎ), empregando o sinal de igual em todos os passos e de forma

correta, mantendo as expressões igualadas à função. Após isso, ele faz uso de uma

flecha para indicar que daquele quociente resultou a nova expressão, ou seja, a flecha

simples é utilizada com o significado de igualdade.

72



Apesar de o aluno ter utilizado uma flecha ao invés do sinal de igual, inferimos

que, neste caso, esta flecha pode indicar, além da igualdade, que a expressão à direita

que queria igualar à da esquerda estava distante. Por isso, podemos inferir que ele

compreendeu o significado de equivalência e a relação entre a função e o quociente.

Os 4 alunos restantes não obtiveram a resposta esperada, cometeram erro de

estratégia ou de procedimento, porém entendemos que eles compreenderam a

relação de equivalência nesse caso. A figura 18 pertencente à produção P24 irá

representar também P13, P23 e P36. O P24 errou na estratégia e isso acarretou em

um erro na igualdade, pois lida com 𝑓(3 + ℎ) como se fosse 𝑓(3 − ℎ − 3). Assim, o uso

do ‘=’ não poderia ser empregado, afinal o aluno não está obtendo um valor condizente

para a expressão. Do mesmo modo para as demais três produções, entretanto,

inferimos que compreendem a igualdade com a ideia de equilíbrio, já que estabelecem

relação entre as variáveis.



Baseados nessas produções escritas acreditamos que os alunos

compreendiam o significado de equivalência e inferimos que usaram o sinal de igual

com o entendimento de comparação entre os dois lados da igualdade, de que ambos

os lados são iguais, que o lado esquerdo tem o mesmo valor que o direito

73

(CAVALCANTI, 2008). Desse modo, corroborando com o que Bandarra (2011)

defende, temos que a ideia de equivalência deve ser desenvolvida ao longo da

Educação Básica de modo que novas situações sejam expandidas, para que os

alunos possam compreender os significados pertencentes ao sinal de igual.


sinal de igual, culminou com a produção de P11 e P20, os quais utilizaram flechas e

o símbolo de “portanto”.

A Figura 19 apresenta uma produção escrita na qual o sinal de igual é utilizado

uma única vez, de maneira correta. Como o sinal é utilizado apenas na última

passagem, antes do resultado final, inferimos que o sinal é um indicador de resposta

final, dado que nas outras passagens, de uma expressão equivalente para outra, não

há sinal. Mas faz a utilização do símbolo portanto () para indicar a igualdade de

expressões algébricas equivalentes. Tal símbolo foi utilizado apenas nas duas últimas

linhas, para separar as expressões algebricamente equivalentes, escritas em uma

mesma linha. Daí, concluímos que o símbolo de portanto foi utilizado para representar

a igualdade e o sinal de igual para indicar o resultado final.



Na produção da prova P11, o sinal de igual é utilizado corretamente na primeira

sentença. Porém, no cálculo do quociente das diferenças entre a função aplicada em

x e em a, sobre a diferença entre x e a, entre uma passagem e outra, é utilizado o

símbolo de implicação () para cada duas expressões. Inferimos que este símbolo

foi utilizado para representar a ideia de equivalência entre duas expressões

algébricas. Mesmo a última expressão não sendo equivalente, inferimos que a

intenção do aluno foi a de expressar a igualdade por meio do símbolo , por que

74

consideramos que nesta passagem houve uma “simplificação” não válida

matematicamente, ao “cortar” o x.



Analisando as duas figuras anteriores vemos que a partir do momento que o

aluno internaliza determinado símbolo ele passa a utilizá-lo diversas vezes, como é o

caso de P20 em que novamente usa o “∴” ao invés do “=”. Isso pode explicar que

o ser humano possui a capacidade de criar símbolos e ferramentas capazes de sínteses dinâmicas e originais, nas quais a linguagem simbólica aparece dentro de um contexto histórico-cultural, primeiro, como instrumento coletivo e, mais tarde, individual, de comunicação (MODEL, 2005, p. 45).

Com isso, entendemos que o uso de flechas ou outros símbolos podem ser

resultado de que, em algum momento da sua vida escolar, tiveram contato com esse

determinado sinal e, acabaram tomando-o como item pessoal de suas produções

matemáticas, quase que um símbolo próprio. Contudo, a mesma autora ressalta que

com o decorrer dos conteúdos matemáticos essa confusão pode não ser esclarecida,

privando o aluno de uma compreensão dos símbolos e da sua utilização em cada

contexto.

A subcategoria e): “Fórmula”, pertencente à Categoria 3: Uso do sinal de igual

de forma mecânica, decorreu de três produções (P6, P28 e P34) que, possivelmente,

os alunos fizeram uso do sinal de igual pelo fato de resultar de fórmulas matemáticas,

mais especificamente, o cálculo com a fórmula resolutiva da equação de segundo

grau. Vejamos a Figura 21.



75

Notamos que P34 opta por encontrar as raízes da função e acaba

desconsiderando o quociente e inferimos que o aluno não soube estabelecer relação

entre a função e o quociente. Sobre o uso do sinal de igual, inferimos que os alunos

presentes nessa categoria compreendem como fórmula, já que apenas aplicam os

valores na função, não omitindo nenhuma vez o sinal, mas não demonstrando haver

relação entre esse cálculo e o do quociente.

Nesses casos notamos que o sinal de igual, possivelmente, é concebido como

um item obrigatório em uma fórmula e como os alunos estão tão habituados a utilizá-

lo em cálculos corriqueiros (como é o caso da fórmula resolutiva da equação de

segundo grau) e acabam por usá-lo sem a real importância que deveria receber. Isso,

provavelmente, é resultando da cultura escolar de condicionar os alunos a aplicarem

valores em fórmulas e apenas operarem com os valores sem compreender o real

significado daquela fórmula e o motivo real do cálculo.

Ainda, segundo Santos (2012, p. 89), muitas vezes os alunos optam por

determinada fórmula pelo fato de estarem habituados a seguirem métodos decorados

e que sempre dão certo, gerando uma resposta correta. Assim, eles acabam

"construindo uma falsa certeza de terem aprendido o conteúdo”, mesmo estando

muito distantes disso, mas sim reproduzindo uma operação mecânica sem

compreensão.


de forma mecânica, foi criada dada as 8 produções em que o sinal de igual foi utilizado

apenas para indicar a resposta final, sendo P1, P5, P8, P9, P25, P27, P29 e P32.

Dessas resoluções, todas foram desenvolvidas de forma incorreta.

A maioria das produções aparecem com as expressões uma abaixo da outra,

diante disso, acreditamos que para os alunos omitir o “=” quando as expressões

tiverem abaixo uma da outra é possível, já para evidenciar a resposta é preciso

escrever o símbolo, como se o “=” não tivesse a ver com igualdade, mas como

indicador de resposta. A produção P32 está representando também produções muito

semelhantes perante o destacado anteriormente, além disso, percebemos que o aluno

tem conhecimento da resolução do cálculo, porém comete um pequeno equívoco que

interfere na resposta.

76



Na Figura 23 vemos a produção de P9, além de escolher uma estratégia errada,

segue com os procedimentos equivocadamente. Ressaltamos um passo realizado por

ele de forma incorreta, ele tinha 3𝑥 − 𝑥2 e com seus possíveis cálculos obtém 32, como

se tivesse feito “desaparecer” o 𝑥. Além disso, pela produção escrita notamos que o

aluno buscou encontrar o valor de ℎ, mas ao final como obteve uma fração e,

possivelmente, sem saber sair dela assume que ℎ = 13.



Esse aluno também faz uso do sinal de igual apenas na resposta final, como

se todas as outras expressões não fossem igualadas de uma anterior. Inferimos que

ele faz essa “manipulação” para obter a resposta, buscando, necessariamente, usar

o sinal de igual. Talvez por estar acostumado que é preciso do símbolo para indicar

um resultado. Assim, acreditamos que ele não compreende plenamente o significado

do sinal de igual e da ideia de igualdade no contexto dado.

Pela produção escrita presente na Figura 24, notamos que o aluno buscou

encontrar o valor de 𝑓 como se fosse uma incógnita e não uma função, tentando

colocá-la em evidencia e, também, transforma uma soma em uma multiplicação.

77

Assim, podemos inferir que o aluno pode ainda não compreender a ideia de igualdade

de uma função e faz uso dos símbolos e valores mecanicamente.



O que foi possível notar com essas produções é os alunos demonstraram uma

preocupação maior em expressar um resultado numérico, mesmo que para isso

precisassem fazer algumas manipulações incorretas para obtê-lo. Isso vem ao

encontro do que Trivilin (2014, p. 15) afirma, que os alunos aprenderam que “devem

armar e efetuar a operação e na sequência ‘dar a resposta’ ou ‘colocar o resultado’

após o sinal de igualdade”. Com isso, percebemos que o símbolo se tornou mais um

tipo de instrução para fazer algo e obter a resposta depois dele.

A subcategoria g): “Separador”, também pertencente à Categoria 3, foi criada

dado o grande número de produções escritas que usaram o sinal de igual para separar

o passo a passo da resolução. Os únicos alunos que resolveram corretamente essa

questão foi P14, P21 e P41, já os demais (P4, P17, P18, P19, P22, P26, P35, P38 e

P42) acabaram cometendo erro de estratégia ou de procedimento.

A Figura 25 representa a produção P41, que acaba utilizando de forma

equivocada o sinal de igual, pois o aluno iguala a sua expressão a um 𝑔(𝑥), ou seja,

iguala à sua função, contudo, àquela expressão seria resultante do quociente. Assim,

esta produção evidencia que o aluno se preocupa em usar o sinal de igual entre as

expressões, separando o passo a passo da resolução, mas acaba por não

compreender o seu real significado na igualdade, dando importância apenas para a

grafia do sinal de igual.

78



A seguir vemos que P21 utiliza a estratégia e os procedimentos corretos, de

modo que opta por escrever as expressões uma abaixo da outra na maioria das vezes,

mas ao escrever duas ao lado faz uso do sinal de igual. Diante disso, acreditamos que

para ele omitir o “=” quando as expressões tiverem abaixo uma da outra é possível, já

para separar suas expressões é preciso escrever o símbolo, como se o “=” não tivesse

a ver com igualdade, mas separador do passo a passo.



Na Figura 27 podemos ver a produção P26, em que notamos que a estratégia

do aluno é apenas operar com o quociente no começo, evidenciando que ele estava

preocupado em simplificar o máximo para facilitar o cálculo ao invés de verificar se a

igualdade estava válida. Notamos que ele não faz relação entre a resposta que obteve

no quociente com a função. Ainda, sobre o sinal de igual, inferimos, que ele toma

apenas para separar o passo a passo da resolução, afinal no resultado expressa a

resposta com um retângulo ao redor o que nos leva a entender que utilizou no “meio”

da resolução apenas.



79

Essa categoria nos levou a perceber que os alunos usam de forma mecânica o

sinal de igual, que fazem uso quando sentem a necessidade de mostrar que as

expressões não são as mesmas, neste caso quando estão na mesma linha, ou

também que usam tantas vezes que até acabam utilizando em momentos que não

havia necessidade. Sobre isso, Cavalcanti (2008) afirma que, muitas vezes, o

significado atribuído ao símbolo é apenas para separar dois membros de uma mesma

igualdade.

A categoria 4: “Omissão do sinal de igual” resultou dadas as produções escritas

com a falta do símbolo, tanto no início, no meio e no final das resoluções. Apesar de

omitir o sinal de igual, 6 alunos chegaram a resposta correta, P7, P10, P12, P15, P16

e P39, de modo que alguns deles usaram o sinal em uns momentos, mas a maioria

em nenhum deles. Vejamos algumas figuras a seguir que exemplificam esses casos.

A Figura 28 mostra que o aluno utilizou a estratégia e os procedimentos

corretos de resolução, no entanto suas expressões aparentam ser independentes

entre si, pois não as escreve nem na sequência e nem uma exatamente abaixo da

outra. Assim, inferimos que para o aluno não há a necessidade do uso do sinal de

igual e nem de representar a ideia de igualdade, dado que também omite o “=” após

o quociente, como se não resultasse dele.



A Figura 29 mostra que o aluno fez separadamente os cálculos para 𝑓(3) e 𝑓(3 +

ℎ), omitindo o sinal de igual. Após, ao unir as duas respostas escreve as expressões

mais abaixo, mas não esclarece a origem delas, como se não fossem igualdades

resultantes da função e do quociente e novamente não usa o “=” nesses cálculos.

Ressaltamos que a professora regente ao corrigir a questão escreve os sinais de igual

em caneta, reforçando a importância do seu uso.

80



Nessa situação, acreditamos que para o aluno o que é crucial em um cálculo

matemático é operar com os valores numéricos, assim se não for usado

adequadamente os símbolos, que são possivelmente compreendidos como de

importância secundária para o aluno, não faria tanta diferença, desde que seja

apresentada toda a resolução e uma resposta correta ao final.

Na Figura 30 mostramos que o aluno também resolveu corretamente a

questão, no entanto suas expressões foram escritas uma abaixo da outra e sem o uso

do sinal de igual, contudo em um dos passos quando escreve duas expressões na

mesma linha faz uso do símbolo. Com essas atitudes inferimos que para o aluno se

as expressões não tiverem uma ao lado da outra, omitir o sinal de igual é possível e

também poderiam representar a ideia de igualdade, caso contrário é necessário de

um símbolo que mostre que as expressões são distintas.



Foram dois alunos que além de não usar o sinal de igual, não obtiveram uma

resposta correta. Em P12 o aluno escolhe a estratégia correta, mas erra no

procedimento ao não usar os parênteses na 𝑓(3). Além disso, a omissão do sinal de

igual aparenta que 𝑓(𝑥) faz parte da fração toda, como se estivesse multiplicando o 4,

por exemplo e, também, ao chegar na possível resposta da questão não usa o sinal

de igual.

81



Essa forma de agir do aluno demonstra que o “=” seria dispensável em um

cálculo, como se apenas os números fossem importantes. Essas atitudes expressam

a falta de compreensão do significado que os símbolos matemáticos representam em

cada situação, ou por não ter ideia do que se está fazendo, apenas reproduzindo a

lógica do algoritmo, em que na sala de aula o professor cobra realmente um número

como resposta e não o rigor com os símbolos.

Baseados nessas produções e corroborando com Cosme (2007), percebemos

que muitos alunos omitem o sinal de igual entre frações, quando querem simplificar o

resultado, ou até mesmo entre a incógnita e seu valor numérico. Então, eles tendem

a escrever o símbolo pelo fato de o professor tê-los ensinado a usar, mesmo sem

compreender o que seriam essas igualdades e o significado atribuído ao sinal.

3.1.3. Sobre a questão 3 A categoria 1: “Uso correto do sinal de igual” se deu a duas produções (P14 e

P21) que foram resolvidas de acordo com o esperado e fizeram o uso do sinal de igual

adequadamente. Inferimos que ambos os alunos compreendem a relação entre o

gráfico e as expressões, já que estabeleceram corretamente as informações e, ainda,

usaram o sinal de igual sempre de forma correta, seja no decorrer do cálculo ou na

resposta. Vejamos um exemplo na Figura 32.

82



Diante dessas produções, vemos a importância de os alunos compreenderem

de onde vem aquela expressão, que faz uso de um símbolo que representa uma

igualdade e, por isso, a expressão deve representar essa ideia. Talvez, dessa forma,

é possível que eles entendam que o uso correto do sinal de igual concebe uma relação

de dependência entre as variáveis e passem a usá-lo de forma mais precisa e

consciente.

Esclarecemos que não é fácil afirmar se eles compreendem corretamente o

significado que o sinal de igual tem naquele contexto, assim como demonstraram

entender o cálculo da tangente. Porém, o símbolo foi usado em diversas situações

distintas, o que nos leva a pensar que o aluno associou de acordo com o esperado.

Contudo, para o professor regente da disciplina é possível investigar se essa

compreensão realmente aconteceu e, sobre isso, Civinski (2015) defende que o

professor pode pedir que os alunos socializem suas respostas, solicitando que falem

do símbolo mais fortemente. Caso verificar que os alunos realmente tinham a

compreensão, pedir que falem para os colegas, mas caso perceber que não tinham,

aproveitar o momento e explicar isso para todos eles.

A categoria 2: “Uso incorreto do sinal de igual” resultou pelo fato de duas

produções (P32 e P36) empregarem o símbolo de forma incorreta, gerando

igualdades não válidas.

A Figura 33 mostra uma produção que envolvia limites e, neste caso, o aluno

afirma que estes três limites, tendendo a valores distintos, são iguais. Primeiramente,

a resolução não cobrava o uso de limites e, segundo, dizer que estes limites são iguais

evidencia que, o uso do “=”, muitas vezes, é usado apenas para separar sentenças

83

ou dizer que elas são parecidas, por exemplo. Inferimos que o aluno não deu atenção

alguma para a sua produção, nem se quer percebeu que escreveu o sinal de igual de

forma totalmente equivocada.



Já a Figura 34 mostra uma produção em que o aluno tentou associar os pontos

do gráfico, mas fez uso do sinal de igual para representar, possivelmente, domínio e

imagem. Em momento algum podemos dizer que zero é igual a quatro, por exemplo.

Acreditamos que o aluno fez uso do “=” para registrar a sua compreensão do gráfico,

contudo, não percebe que afirma que coisas diferentes são iguais.



Essa categoria evidenciou a falta de atenção e entendimento do que o sinal de

igual representa e que o seu uso deve condizer com o contexto e não ser usado

apenas como um símbolo ‘coringa’ para todas as situações. Nesse sentido, Model

(2005) ressalta que as notações matemáticas usadas em sala de aula tornam-se,

muitas vezes, obstáculos para os alunos quando eles precisam utilizá-los em

determinados momentos. Assim, acreditamos que talvez esse seja o motivo do seu

uso incorreto em diversas situações, o fato de os alunos não terem conhecimento do

significado e precisarem de algum símbolo para sua resolução e acabam tomando o

sinal de igual para esse fim.

A categoria 4: “Omissão do sinal de igual” resultou das produções P5, P7 e

P30, em que a omissão aconteceu na forma de um espaço em branco, que estaria

representando o sinal de igual.

Dentre eles, um aluno não finalizou os cálculos, já os outros dois chegaram na

resposta correta, o que evidencia o entendimento da relação da reta com a sua

expressão e, ainda empregaram o sinal de igual corretamente em todos os casos,

exceto em um. Nessa omissão, deixaram espaços em branco entre as sentenças e,

84

acreditamos, que esse espaço vazio representasse o “=” para eles, já que buscaram

separar as expressões. Vejamos na Figura 35 a seguir.



Não conseguimos afirmar o motivo dessa omissão, já que nos outros momentos

o uso foi correto. Baseados nessas produções, inferimos que os alunos entendem a

relação de dependência entre as variáveis, só, talvez, não tem um entendimento mais

amplo da necessidade do símbolo, demonstrando uma importância primária com os

números e fórmulas e usando o sinal de igual de forma secundária. Talvez, isso se

deve ao fato de que no início da escolarização os símbolos são “utilizados como

‘ferramenta de apoio’ em conteúdos” (MODEL, 2005, p. 124), o que pode culminar

com que os alunos, posteriormente, continuem tomando eles com essa mesma

finalidade, o que certamente privará o aluno de avançar em conceitos básicos.


de forma mecânica, foi criada pelo fato de cinco produções (P3, P11, P15, P23 e P39)

em que os alunos demonstraram que estavam resolvendo a questão seguindo

fórmulas usuais, seja devido ao aprendizado no decorrer da sua vida escolar ou

mesmo na disciplina de CDI.

Percebemos que P3 encontra o coeficiente angular correto, mas ao fazer uso

da fórmula da reta tangente opera equivocadamente. O aluno realiza uma

multiplicação em cruz, porém a forma como faz isso evidencia que ele considera que

havia um sinal de positivo entre os termos da expressão à direita, a saber, =1+𝑦𝑜

10+𝑥𝑜,

contudo, na fórmula deveria ser um sinal de menos. A passagem desse momento para

o outro expressa uma igualdade incorreta, pois a falta do “+” poderia ser traduzida

como um sinal de multiplicação, compreendida como 10𝑥𝑜.

85



Assim, vemos que a falta de um símbolo matemático pode, além de confundir

o aluno nos procedimentos de cálculo, gerar uma igualdade não válida, neste caso, o

“=” não poderia receber o significado que teve. E entendemos que ele foi usado

mesmo assim por fazer parte da fórmula desse cálculo, em que o símbolo é item

obrigatório e então deve estar presente, mesmo que seja sem uma explicação lógica

para o aluno.

A Figura 37 representa uma produção em que foi escrito uma função para as

retas sem o cálculo do coeficiente angular, ao menos. Percebemos que este aluno

utilizou os pontos do gráfico e assumiu a lei de uma função quadrática, mesmo sendo

retas.



Apesar de a grafia do “=” ser usado correto na função, essa, por sua vez, não

condiz com o gráfico exposto, então nem o uso e nem o significado da igualdade foi

concebido corretamente pelo aluno. Mas, como o símbolo se faz presente em todas

as funções ou equações, por exemplo, nesse caso, infere-se que o aluno concluiu que

para ele precisaria estar presente. Por isso, vemos o seu uso como item presente em

uma fórmula.

Diante disso, Santos (2012) coloca que grande parte dos alunos se preocupam

em decorar métodos e fórmulas e a resolver os exercícios de forma mecânica,

buscando provar para si e para o professor que aprendeu o conteúdo e que aplicar os

valores na fórmula e obter a resposta correta estaria evidenciando seu aprendizado.

86

A subcategoria f): “Resultado”, também pertencente à Categoria 3, decorreu de

expressivas 15 produções (P1, P4, P6, P12, P16, P17, P19, P22, P24, P26, P28, P31

P34, P35 e P41) em que julgamos o sinal de igual ter sido concebidas com o

significado de resultado e resposta final. Dessas produções, em oito delas (P12, P16,

P17, P24, P26, P34, P35 e P41) os alunos apenas escreveram uma função como

resposta da questão. Nenhum deles obtiveram o resultado correto e, a partir das

produções escritas, percebemos que buscaram relação com funções, mas sem

expressar o porquê a escolha por elas e também não utilizaram os cálculos da reta

tangente. A Figura 38 exemplificará esses casos.



Considerando a estratégia tomada pelo aluno, é difícil inferir sobre sua

compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que

como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o

aluno empregou o símbolo mais como um resultado, já que após a escrita de 𝑓(𝑥)

precisava escrever uma função.

Evidentemente, em sete produções (P1, P4, P6, P19, P22, P28 e P31) os

alunos buscaram associar os pontos do gráfico na relação de domínio e imagem.

Assim, entendemos que o uso do sinal de igual foi utilizado entre a expressão que

seria a pergunta e a sua respectiva resposta. Podemos ver um exemplo na Figura 39.



Esses casos mostram que, além de todos os alunos demonstrarem não saber

resolver a questão, buscaram alguma forma de resolver a tarefa mesmo fora do

contexto. Além disso estão acostumados a ver o sinal de igual em situações que

envolvem limite e, isso nos leva a inferir, que fazem uso de símbolos matemáticos por

87

presenciarem cotidianamente, não exigindo deles um pensar sobre o mesmo, mas o

uso pelo uso. Reconhecendo o sinal de igual como o lugar onde devem escrever o

resultado, após terem realizado as operações necessárias (TRIVILIN, 2014).


Como mencionado no capítulo anterior, essa questão não teve nenhuma

categoria pelo fato de os alunos não terem escrito nenhuma vez o símbolo. Isso se

explica pelo fato de a professora já dar o “=” após a pergunta de cada item. Diante

disso, acreditamos que os alunos, ao se deparar com o símbolo, entenderam que

precisam ‘dar uma resposta’, já que muitos, segundo Berrincha e Saraiva (2009), ao

se depararem com o sinal de igual querem realizar a operação, vendo o “=” como um

comando para realizar a ação. Badaró (2010) corrobora com essa colocação, dizendo

que o símbolo, na maioria das vezes, é um estímulo à ação, em que ele precisa fazer

alguma coisa.

Diante disso, uma questão como essa não possibilitaria ao professor investigar

o conhecimento do aluno, por meio da produção escrita, sobre o sinal de igual, mas

entendemos que a prova não foi aplicada com esse foco, então não haveria problema.

Porém, acreditamos que o professor deve sempre buscar o máximo de alternativas

possíveis para compreender o aprendizado de seu aluno, mesmo que os conceitos

não sejam o objetivo central da atividade avaliativa. Isso porque o aluno pode não

avançar em determinado conteúdo se tiver incompreensões em ‘pré-requisitos’, por

exemplo.


A subcategoria d): “Relação nome-símbolo ou correspondência”, pertencente à

Categoria 2: Uso incorreto do sinal de igual, resultou da produção de P12 em que o

aluno intercalou escritas com representações em sua resposta. Vejamos a seguir.



88

O aluno buscou estabelecer uma relação entre domínio e imagem, mas de

forma equivocada, pois ele fixa-se em olhar para as curvas de forma individual e não

para o gráfico no todo, o que evidencia que alguns conceitos ainda não haviam sido

compreendidos. Ainda chamamos a atenção para o sinal de igual, pois inferimos que

ele usa o símbolo como uma correspondência entre o domínio e imagem ou como

uma forma de dizer que ‘é igual’ (como se fosse usado na oralidade).

Por esse motivo o classificamos nessa categoria, afinal, inferimos que ele está

atribuindo à grafia “=” o significado da palavra igual ou correspondendo às escritas

entre o símbolo. Isso porque, segundo Cavalcanti (2008, p. 154) ter essa “concepção”

nome-símbolo não estaria relacionado diretamente com os significados do sinal de

igual em determinado contexto, mas "seria como uma concepção ‘genérica’,

independente do contexto no qual o sinal de igualdade aparece”. Entretanto, González

(2006) ressalta que esse entendimento pode prejudicar o aluno em conceitos

matemáticos básicos que envolvem o símbolo.

A subcategoria f: “Resultado”, pertencente à Categoria 3: Uso do sinal de igual

de forma mecânica, decorreu de uma produção (P37) em que o aluno reescreveu a

expressão dos itens e o sinal de igual e após a sua resposta. Vejamos a Figura 41.



Notamos que o aluno tem noção de que o 3 não pertenceria ao conjunto, porém

deveria escrevê-lo fazendo o conjunto aberto e não substituindo por 2,999 e mantendo

o conjunto aberto. A mesma coisa para o 8, porém ali também omitiu um outro valor

do conjunto. Ainda, sobre o sinal de igual, julgamos que ele compreende como

resultado, já que reescreveu a expressão “imagem” no começo, ao meio o símbolo e

por fim escreveu a resposta. Corroborando com o que já destacamos de Trivilin

(2014), que os alunos se habituaram tanto a ter que, necessariamente, armar a conta,

escrever o sinal de igual no meio e por último apresentar a sua resposta.

A categoria 4: “Omissão do sinal de igual” decorreu de uma produção (P22) em

que um espaço em branco correspondeu ao sinal de igual, ou seja, o símbolo foi

89

omitido. Aparentemente o aluno optou por alguns valores, possivelmente os presentes

no gráfico, mas não podemos compreender o motivo da escolha.



Vemos que ora o aluno usou o sinal de igual antes da resposta (item b) e ora

omitiu (item a), deixando um espaço em branco que correspondia ao símbolo.

Comparar os dois itens nos permitiu inferir que o aluno realmente atribuiu ao espaço

vazio a ideia do símbolo, deixando subentendido o significado de igualdade.

Isso faz supor que, ao terem liberdade de escolha para representar conjuntos, os estudantes relutam no uso de uma linguagem mais formal, com simbologia mais “carregada”, como é o caso desse tipo de representação. Isso também pode significar um indício de que estes alunos apresentam dificuldade ao transitar entre as diferentes formas de representação de um conjunto (MODEL, 2005, p. 100).

Essa colocação do autor representou bem, evidenciando que muitas vezes os

alunos podem se preocupar em dar a resposta esperada, o conjunto correto, como é

esse caso e, inferimos, que eles optam por não utilizar adequadamente os demais

símbolos que estariam envolvidos, acreditando que, para o professor, estaria

subtendido que se referia a uma igualdade.


A categoria 1: “Uso correto do sinal de igual” resultou de 4 produções (P3, P24,

P30 e P41) em que a maioria dos itens foram desenvolvidas de acordo com o

esperado e, também, que fizeram o uso do sinal de igual de forma adequada.

Acreditamos que a maioria desses alunos compreendem como se dá o cálculo do

limite e a necessidade uso correto do sinal de igual em todos os momentos.

Na Figura 43 o P41 reescreve o item a ser resolvido e vai utilizando as

manipulações algébricas até poder aplicar o limite no ponto. Notamos que ele usa o

sinal de igual de forma correta em todos os passos e, inferimos, que ele demonstra

que àquelas expressões são resultantes de uma anterior e, por isso, estão

representando uma igualdade válida.

90



O aluno P30 demonstrou saber resolver o item, mas comete o equívoco de

aplicar o número no ponto ao invés de analisar o seu comportamento nas

proximidades daquele valor. Entretanto, também utilizou o sinal de igual corretamente

em todas as passagens.



Assim, essa categoria expressa os alunos que utilizaram o sinal de igual

sempre corretamente e que, possivelmente, compreendem a sua importância no

contexto dado, contudo, é difícil afirmar que eles compreendem o seu significado, mas

consideramos que eles demonstraram entender, dado o cuidado que tiveram em suas

resoluções. Nesse sentido, Cavalcanti (2008) afirma que é possível que os alunos

progridam na compreensão adequada do símbolo e os conceitos matemáticos que o

cercam, desde que for explorado isso a partir dos anos iniciais e for avançando

progressivamente. Com isso, vemos que os alunos podem entender os diferentes

significados, basta que seja trabalhado isso durante toda a Educação Básica.

A categoria 2: “Uso incorreto do sinal de igual” resultou de 7 produções (P1, P6,

P8, P13, P19, P25 e P39) onde foi utilizado símbolo de forma incorreta. Em todos os

casos o “=” foi empregado no lugar errado. Vejamos algumas figuras a seguir.



91

A produção escrita de P25 evidenciou que o aluno acaba optando por um

procedimento equivocado e acreditamos que ele não percebeu que 5

0 não pode ser 5,

sendo um aspecto que necessitaria ser ampliado rapidamente, pela influência que tem

na Matemática. Quando opta por aplicar o limite, acaba levando a expressão ‘lim’

junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que

ele já estava aplicando o limite no ponto. Sobre isso, utiliza o sinal de igual após a

expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, acarretando no uso incorreto do

símbolo.

Na Figura 46 o P1 demonstra apenas saber aplicar o limite no ponto, porém em

nenhum momento busca fazer as manipulações algébricas necessárias. Quando

chega em uma indeterminação, aparentemente, considera que isso leva ao limite não

existir, demonstrando confusão quanto às frações. Além disso, também utilizou o sinal

de igual após a expressão ‘lim’, sendo de forma incorreta.



Vemos que várias produções apresentam o sinal de igual após o ‘lim’, como se

a igualdade fosse da expressão ‘lim’ e não resultante de uma função inicial. Isso indica

que os alunos não deram atenção necessária para a expressão, o “=” e o ‘lim’, mas

apenas reescrevendo até chegar a um resultado que, por sua vez, aparece após o

sinal de igual. Talvez nas aulas de CDI não tenha sido explicado com maior atenção

sobre esse aspecto, mas após essas produções, caberia ao professor retomar esse

aspecto e explorar qual seria o significado desse sinal de igual.

Com base nisso, Badaró (2010) ressalta que quando está nítido, por parte dos

alunos, esses equívocos e incompreensões perante o sinal de igual, essa dificuldade

permanece estável e pode persistir durante toda a educação. Ainda, conclui que isso

decorre de que a grande maioria dos alunos não conseguem expressar a

92

representação simbólica “=” tanto na linguagem escrita ou oral, o que,

consequentemente, provoca esse uso incorreto.

A subcategoria 2: “Conectivo”, também pertencente à Categoria 2, foi criada

dado as 4 produções (P10, P11, P20 e P34) em que os alunos usam flechas ou o

símbolo de “portanto” para indicar a próxima igualdade. As Figuras 47 e 48 irão

representar essas produções.

Em sua resolução, P11 apesar de obter a resposta esperada, não leva a

expressão ‘lim’ junto, o que evidencia um descuido quanto a quesitos importantes no

cálculo, dando indícios que de se preocupa em aplicar o limite no ponto. Quanto ao

sinal de igual, em alguns momentos ele faz uso, porém na maior parte de suas

produções o substitui por flechas, dando a entender que os dois símbolos seriam

semelhantes e com o mesmo significado.



O aluno P20, assim como já foi comentado na questão 1 e 2, realiza suas

produções sempre intervalando o uso do sinal de igual e o de “portanto”.



Possivelmente, esse aluno nunca percebeu a confusão que comete quanto aos

símbolos matemáticos. Talvez, se fosse ampliado o significado de cada um dos

símbolos nas aulas de Matemática, ele não cometesse mais essas trocas e estaria

avançando em conceitos matemáticos. Isso porque, para Neto (2008), expor para o

aluno essa confusão seria o mesmo que desequilibrá-lo entre o que ele sabe e como

ele utiliza, isso fará com que perceba por si só que tomava de forma equivocada,

mesmo que involuntariamente, determinados conceitos matemáticos.


de forma mecânica, decorreu de expressivas 12 produções (P4, P7, P9, P14, P15,

93

P16, P21, P23, P27, P28 e P29) em que o sinal de igual foi utilizado apenas para

indicar a resposta da resolução. Vejamos algumas produções a seguir.



Com P16 percebemos que o aluno tinha conhecimento da resolução, mas

cometeu erro de procedimento no decorrer do cálculo. Também, acaba optando por

aplicar o limite mesmo levando o ‘lim’ junto. Destacamos ainda que o aluno omitiu o

sinal de igual todas as vezes, talvez por escrever uma expressão abaixo da outra, o

que remete que as expressões não são resultantes da anterior. Ao final, escreve o

símbolo apenas na resposta, dando a ideia de resultado, como se somente nesse

momento o “=” fosse item obrigatório.

Ao olharmos para a produção P21, verificamos a omissão do sinal de igual na

resolução, talvez pelo fato de o aluno fazer uma expressão abaixo da outra e acreditar

que não há a necessidade do uso. Ele só não obtém a resposta esperada por um

descuido no sinal, mas notamos que tinha conhecimento do procedimento da

resolução. Porém, utilizou o sinal de igual apenas quando chegou na resposta, o que

nos leva a inferir que vê o símbolo como resultado.



94

Já em P28 notamos que o aluno apenas aplicou o limite no ponto, sem realizar

as manipulações algébricas necessárias. Além disso, utiliza o “=” no final do cálculo

para indicar o resultado da questão. Percebemos que, por fim, o aluno sempre retorna

escrevendo a expressão ‘lim’ seguida do sinal de igual e após a resposta obtida, com

isso, inferimos que para o aluno ele estava procurando o resultado de um limite, como

se não decorresse de uma função que acompanhava essa expressão ‘lim’.



Talvez o fato de os alunos escreverem o sinal de igual apenas no último passo,

ao obter o resultado, seja decorrente de uma vida escolar em que estão habituados a

fazer isso e compreendem o seu significado apenas dessa forma. Podemos confirmar

isso a partir de uma fala de um aluno: “‘esse símbolo é a representação de igual,

igualdade. Usamos ele no fim de uma conta para indicar o resultado e também para

indicar que alguma coisa é igual a outra’” (COSME, 2007, p. 139). Com isso,

percebemos que está internalizado para ele que no final de um cálculo ele precisará

escrever o “=” para dizer que chegou ao resultado e que os valores são iguais.


dez produções (P2, P17, P18, P22, P26, P32, P33, P36, P38, P40 e P42) em que

consideramos o uso do sinal de igual apenas como símbolo de separação do passo a

passo das resoluções. A seguir veremos algumas figuras que exemplificam esses

casos.

Pela produção P17 acreditamos que o aluno tem dificuldades de entender que

o que estava fazendo era igualando frações equivalentes. Ainda, ele demonstrou

saber aplicar o limite no ponto, porém inferirmos que teve problemas em compreender

que ao chegar em uma indeterminação é preciso de manipulações algébricas para

sair dela, já pelo fato de escolher o 20 não conseguimos visualizar o porquê dessa

escolha.

95



Nessa produção percebemos a falta de cuidado com os símbolos matemáticos,

pois traça um único segmento de reta, representando a barra da fração e escreve o

sinal de igual por cima dela, além de omiti-lo em um momento. Assim, inferimos que

talvez o aluno não se preocupa com os seus significados e a importância de usá-los

corretamente e faz uso deles de forma mecânica, apenas para separar o passo a

passo entre as expressões.

Já na produção P33 percebemos que o aluno tem conhecimento sobre a

técnica do conjugado, mas acabou simplificando termos diferentes. Ele também leva

o ‘lim’ junto e acaba não substituindo os termos no numerador e, com isso, inferimos

que como daria zero o aluno achou que estivesse errado. Então como ele escreveu

as igualdades de forma incompleta, inferimos que utilizou o sinal de igual apenas como

separador dos passos da resolução, já que foi reescrevendo sem demonstrar atenção

quanto à igualdade.



Exemplificaremos mais um caso desta categoria em que P38 demonstrou

utilizar o sinal de igual apenas quando havia duas ou mais expressões na mesma

linha, já quando escrevia elas uma abaixo da outra, acabava por omitir o símbolo,

além disso, acaba cometendo equívocos nas manipulações algébricas. Diante disso,

acreditamos que o aluno usa o sinal de igual como separador, recebendo atenção

dele apenas quando precisa separar as expressões, caso contrário não demonstra ter

importância. Vejamos a Figura 54 na seguência.

96



Baseados nessas produções e no que Cavalcanti (2008) diz sobre isso, temos

que a concepção de separador é quando os alunos escrevem o “=” para identificar a

resposta e para separar as expressões, sendo as letras dos números, os membros da

incógnita ou até mesmo em uma função. Assim, percebemos que usar o símbolo em

todos os passos pode ser apenas uma concepção operacional fortemente presente

no cotidiano do aluno.

A categoria 4: “Omissão do sinal de igual” resultou de quatro produções (P5,

P31, P35 e P37) em que o símbolo foi omitido. Em dois desses casos (P5 e P37), o

símbolo foi substituído por um espaço em branco, mas remetendo à ideia do uso do

símbolo. Vejamos a Figura 55 que exemplifica esses casos.



A produção escrita de P5 deu indícios de que a maneira como o aluno vai

fazendo as simplificações nos leva a inferir que ele não percebe que comete erro de

procedimento. Também destacamos o uso do sinal de igual, ele empregou o símbolo

apenas no primeiro momento, depois escreve uma expressão ao lado da outra, mas

omitindo o sinal e, na sua resposta final, deixa novamente um espaço em branco antes

da resposta.

Assim, inferimos que ele atribuiu ao espaço vazio o significado de igualdade.

Isso pode justificar o fato de que alunos não dão a devida “importância de como se dá

a validação de tais afirmações no âmbito da matemática escolar” (NETO, 2008, p.

113), ou seja, de que o uso ou a omissão do símbolo não fosse fator crucial no

significado e na validação que cada expressão representa.

As outras produções (P31 e P35) diversas vezes os alunos omitiram o símbolo

no decorrer das resoluções.

97



Com a produção escrita P35 percebemos que o aluno tem conhecimento de

aplicar o limite no ponto, porém aplica outro valor, além disso, notamos que ele não

levou em consideração as técnicas de manipulações algébricas que necessitava antes

disso. Também, acreditamos que ele não percebe que 0

12 não é a mesma coisa que

12, o que gerou um erro de cálculo. Sobre o sinal de igual ele omitiu todos os sinais,

escrevendo as expressões uma ao lado da outra, o que nos leva a inferir que para ele

o símbolo não é necessário em sua resolução, que ficaria subentendido as igualdades.

Produções como essa, novamente corroboraram para o que Cosme (2007)

destaca sobre o uso do sinal de igual, isto é, que muitos alunos omitem o símbolo

entre frações equivalentes, possivelmente, por não conhecerem o seu significado e

por estarem habituados a verem seu uso nas aulas de Matemática, mas sem

compreender a sua finalidade. Assim, deixam de usá-lo por não saber da sua real

finalidade.



de forma mecânica, decorreu de uma produção (P3) em que o aluno utilizou uma

expressão de função afim para obter sua resposta. A produção escrita forneceu

indícios que o aluno acreditou que era necessário encontrar uma expressão que

satisfizesse o 𝑓(2) e o 𝑓(−2).



Assim, inferimos que ele compreendeu o sinal de igual como fórmula, já que

buscou aplicar os valores em uma expressão que é normalmente utilizada em diversos

cálculos matemáticos. Diante disso, acreditamos que quando o aluno não sabe qual

98

caminho seguir em determinada tarefa, acaba optando por uma estratégia usual em

diversos conteúdos, quase como se fosse um cálculo coringa e isso acaba

acarretando no emprego involuntário do sinal de igual, já que é um símbolo presente

em cálculos matemáticos. Assim, Santos (2012, p. 116) afirma que “a forma clássica

e formalista de ensinar e de ‘aprender’ a Matemática se revela no método da repetição

e memorização de fórmulas e regras pelos alunos”. Sendo que isso decorre do que

os alunos normalmente observam nas aulas.

3.2 Sobre a Prova 6

Vejamos as 3 questões com suas respectivas categorias, que buscaram

evidenciar os usos, omissões e significados atribuídos pelos alunos sobre o sinal de

igual e, na sequência, apresentamos as inferências e reflexões acerca delas.


A categoria 1: “Uso correto do sinal de igual” resultou de 3 produções (P14, P36

e P41) em que os alunos fizeram o uso do sinal de igual de forma adequada.

Entretanto, apenas P14 resolveu o item corretamente, os outros dois cometeram erros

de procedimento no decorrer da resolução. Vejamos um desses casos a seguir.



O aluno optou pela estratégia correta, mas acabou omitindo parte da resolução

ao não subtrair a função 𝑔(𝑥) pela 𝑓(𝑥), porém ele demonstrou ter ideia do cálculo,

mas por algum motivo calculou somente com uma função. Sobre o sinal de igual, todos

os alunos utilizaram corretamente em todos os momentos o que nos levou a acreditar

que eles compreendem como se dá o cálculo da integral e da necessidade do uso

correto do sinal de igual em todos os momentos.

Novamente, ressaltamos que é difícil afirmar que eles compreendem o

significado do símbolo nesse caso, mas também não podemos dizer que não

compreendem. Por isso, a produção escrita nos mostra que eles usam de forma

correta e, por isso, se encaixaram nessa categoria. Talvez uma possível certeza sobre

99

essa compreensão que os alunos possuem é por meio de uma entrevista, por

exemplo, para o professor tenha uma visão ampla sobre o conhecimento de seus

alunos. Isso porque, segundo Cavalcanti e Santos (2007), o fato de os alunos terem

uma compreensão correta do significado do símbolo é essencial para a aprendizagem

de conceitos básicos da Matemática.


sinal de igual, representa duas produções (P25 e P34) que fizeram uso de outro

símbolo matemático no lugar do sinal de igual, isto é, uso de flechas. Vejamos a Figura

59 que irá exemplificar esses casos.

Figura 59 – Produção escrita do aluno P34.


Em P34 vemos que o aluno escolheu a estratégia correta, porém comete um

erro de procedimento, pois não utiliza parênteses em um momento. Assim, pela

produção escrita vemos que ele tem conhecimento do cálculo, mas por descuido errou

a resolução. Sobre o sinal de igual, o aluno omite o sinal na maior parte da resolução,

apenas usa quando há mais de uma expressão na mesma linha, o que nos leva a

entender que utiliza para separá-las. Contudo, ele ainda usa flechas na parte final da

resolução e, por isso, inferimos que toma tanto a flecha quanto o sinal de igual como

símbolos semelhantes, que poderiam representar o significado de implicação ().

Além disso, notamos que na última linha o aluno usa a flecha e o sinal de igual

ao obter o resultado, porém acaba fazendo um quadrado ao redor da resposta,

passando por cima do sinal de igual. Diante disso, entendemos que para o aluno é

preciso evidenciar o valor numérico e, talvez, apenas o uso do sinal de igual não

chamasse a atenção necessária para o resultado, por isso acaba, quase que,

deixando o sinal de igual em segundo plano e dando ao quadrado a ideia de resultado.

Essa categoria evidencia que os alunos estão habituados com os símbolos das

operações, como sinal de mais e de vezes, por exemplo, mas que o sinal de igual

100

recebe atenção secundária por eles, ou até seja pelo fato deles não compreenderam

que seu uso é tão importante quanto os outros. É necessária uma intervenção que

proponha, por exemplo, uma tarefa, a qual faça os alunos refletir sobre os significados

e utilizações dos conectivos e do sinal de igual na Matemática. Mais uma explicação

ou advertência da professora não seria o suficiente, isso porque compreendê-los e

incorporá-los de forma correta a sua linguagem “[...] não significa somente absorvê-

los [...], mas é necessário internalizá-los.” (MODEL, 2005, p. 45).


de forma mecânica, decorreu de duas produções (P23 e P37) em que acreditamos

que os alunos utilizaram o sinal de igual apenas por estarem aplicando os valores em

fórmulas matemáticas. Vejamos a produção P23 na Figura 60 a seguir.



Notamos que o aluno escolheu a estratégia correta, porém comete erro de

procedimento ao escrever duas vezes uma mesma expressão. Com isso, vemos que

ele tinha ideia da resolução, mas talvez por descuido acabou repetindo um passo o

que influenciou em todo o resto, afinal aplicou o limite em três expressões e não em

duas. Sobre o sinal de igual, ele omite em todos os momentos, exceto na fórmula da

área no início de sua resolução.

Nesses casos, acreditamos que os alunos escrevem o sinal de igual de forma

mecânica, como se todo cálculo matemático tivesse incluso na sua escrita este

símbolo e, por isso, do seu uso na resolução. Inferimos, então, que para esses alunos,

no decorrer do cálculo não seja necessário escrever o sinal de igual, afinal o que

importaria mesmo seria operar corretamente com os valores e encontrar o resultado

esperado, já que no começo ele escreve na fórmula inicial.

101

Talvez isso aconteça por estarmos habituados a tomar como ponto de partida

alguma fórmula e saber que o “=” se faz pressente em qualquer cálculo. Então, após

isso, operamos com os valores sem compreender plenamente o que está sendo feito

e muito menos parar para analisar o que aquele símbolo representa na resolução. E

foi isso que Santos (2012, p. 117) constatou em sua pesquisa, quando alguns alunos

afirmaram que “o alicerce para a aprendizagem da Matemática se resume a cálculos

e operações, sendo que outros conceitos não se fazem necessários”. Ou seja, a

essência dessa disciplina seria operar com fórmulas, sem se dar atenção para todo

os aspectos que a cercam.

A subcategoria f): “Resultado”, também pertencente à Categoria 3, decorreu de

2 produções (P21 e P30) em que o sinal de igual foi utilizado para indicar a resposta

da resolução. Vejamos a Figura 61 que exemplifica.



Ambos os alunos desenvolveram o item de acordo com a resolução

apresentada, o que evidencia que tinham conhecimento do cálculo. Entretanto, ora

utilizam o sinal de igual e ora omitem, principalmente quando escrevem uma

expressão abaixo da outra. Além disso, P21 usa uma flecha para indicar que o cálculo

iria continuar na outra coluna. Diante desses fatores, inferimos que eles usaram o

símbolo como resultado, evidenciando, novamente, que ao final o sinal de igual fosse

item obrigatório antes do valor numérico.

Como eles demonstraram saber resolver o cálculo, acreditamos que deram

atenção maior para isso e acabaram omitindo o símbolo no decorrer, contudo, ao final

acabam utilizando. Possivelmente isso corrobore com o que Cosme (2007, p. 142)

concluiu, de que tanto “o significado de resultado, e também o de resposta, no uso do

símbolo ‘=’ está presente nos alunos, mesmo quando eles não parecem ter a intenção

102

de externá-lo”. Ou seja, os alunos mesmo não pensando que seja esse o seu uso,

acabam por escrevê-lo com esse significado.

A subcategoria g): “Separador”, também pertencente à Categoria 3, culminou

de 4 produções (P3, P4, P10 e P39) em que o uso do sinal de igual remetia e entendê-

lo como símbolo que separa o passo a passo da resolução. A produção P39 irá

exemplificar esses casos, sendo que foi o único aluno que obteve a resposta correta.



Com a produção escrita desse aluno vemos ele tem conhecimento do cálculo,

porém ora utiliza o sinal de igual e ora omite, e as vezes em que ele usa é quando há

mais de uma expressão na linha, na fórmula inicial e na resposta final. Diante disso,

verificamos que o aluno costuma utilizar o símbolo, mas, provavelmente, não

compreende o seu significado, e como acreditamos que empregou de forma

mecânica, julgamos ser como separador do passo a passo.

Civinski (2015, p. 4) coloca que no começo da vida escolar do aluno, o sinal de

igual é usado para separar o cálculo da resposta, sendo “visto como um comando

para realizar uma ação”. Mas com o passar do tempo ele pode ser usado mais de uma

vez em uma mesma conta, mas se não for explicado para o aluno o motivo disso

acontecer, talvez ele não entenda o que as expressões entre o “=” estão

representando e acabam escrevendo para separar estas expressões, como se não

tivesse uma finalidade matemática por trás disso, permanecendo apenas como uma

ação ou separador.

103


A categoria 1: “Uso correto do sinal de igual” culminou com 3 produções (P3,

P14 e P36) no qual os alunos usaram corretamente o sinal de igual. O P14

desenvolveu todos os itens de forma adequada, P3 errou somente um deles, já P36

acertou apenas um. Vejamos a produção de P14.



Notamos que o aluno tem conhecimento do cálculo e sobre o sinal de igual

utilizou corretamente em todos os momentos. Destacamos que ele se preocupa em

igualar a sua primeira expressão a integral do item e depois usa o símbolo em todos

os outros momentos de forma adequada e atribuindo ao sinal de igual a sua finalidade

nesse caso.

Diante disso, percebemos a importância de o aluno, além de demonstrar

compreender o conteúdo matemático, ter conhecimento dos símbolos que o cercam,

pois, o cálculo não se restringe apenas em números ou letras, mas também a

símbolos, mesmo que alguns deles recebam mais atenção que outros. Mas muitas

vezes na sala de aula esses aspectos não são explorados exaustivamente pelo

professor e prejudica os alunos a visualizarem isso e, esses por sua vez, não tem

culpa de não compreender se não lhe são repassados isso. Uma saída, segundo

Civinski (2015, p. 46), é que “os alunos explorem situações onde o símbolo “=” possua

significados distintos durante toda a Educação Básica”. Afinal, quanto mais isso

ocorrer, maiores as chances de eles usarem e compreenderem o símbolo

corretamente em todos os contextos.


sinal de igual, resultou de duas produções (P30 e P41) no qual os alunos utilizam

flechas no decorrer da resolução ao invés do sinal de igual.

Na Figura 64, vemos que P41 buscou uma estratégia inicial condizente com o

adequado, porém cometeu um equívoco ao escolher o “u” e isso influenciou nos

demais termos. Vemos que o aluno utilizou o sinal de igual no começo da resolução,

104

mas ao acabar o espaço da linha usa o símbolo de implica (), como igualdade e

indicando que irá continuar abaixo e, já nesta segunda linha. Omite o sinal de

igualdade quando desenvolve a regra de integração.



Diante disso, inferimos que o aluno considerou a implicação como uma

igualdade e significando que mudará de linha. Isso nos leva a pensar que os alunos

não compreendem plenamente que o “=” não é apenas um separador, mas seu

emprego é para indicar a igualdade, equivalência.

Isso pode ser resultado de que a simbologia matemática é bastante formal e

que os alunos só serão capazes de vencer esse formalismo se o professor apresentar

e retomar constantemente o significado de cada notação e símbolo usado em cada

momento (MODEL, 2005).


de forma mecânica, decorreu de 3 produções (P1, P10 e P25) no qual elencamos que

o sinal de igual representava a resposta final. Apenas P25 resolveu um dos itens

corretamente, todos os demais seguiram estratégias incorretas. Vejamos a Figura 65.

Figura 65- Produção escrita do aluno P1.


O aluno P1 realiza pouca produção em cada item, demonstrando ir direto para

o resultado, sendo que ele reescreve a integral e iguala a uma resposta de forma

direta, sem fazer manipulações algébricas, não realizando nenhuma técnica de

integração e nem integrando, sendo que mantém o símbolo de integral em todos os

resultados. Assim, inferimos que ele possui dificuldade de compreender os conteúdos

da disciplina de CDI.

105

Levando em consideração sua produção, acreditamos que ele utiliza o sinal de

igual apenas como resultado, já que emprega o símbolo apenas com essa finalidade

e, que, como estamos habituados a sempre ter que dar uma resposta em qualquer

cálculo matemático, o aluno não fez nada diferente disso. Deu uma resposta para o

que o professor pedia, mesmo que não esteja correta, mas vinha seguida da pergunta

e do sinal de igual. Porém, segundo Lima (2007, p. 60), “isso pode trazer dificuldades

para alunos que estão habituados a obter resultados quando efetuam uma operação”.

Ou seja, eles podem não avançar em conceitos básicos quando deixam de

compreender o significado deste símbolo em cada contexto.


3 produções (P4, P7 e P39) em que o sinal de igual serviu para separar as expressões

da resolução. A maioria dos itens desses alunos foram resolvidos adequadamente e

a Figura 66 irá exemplificá-los.



Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas

sobre o sinal de igual, ora utilizou quando escreve mais de uma expressão na mesma

linha e ora o omitiu. Assim, inferimos que o aluno usa o sinal de igual como um item

separador, apenas quando precisa separar as expressões, caso contrário sua

utilização não teria tanta necessidade.

Por mais esse motivo vemos que muitas vezes os alunos se preocupam

primeiramente com os valores numéricos, com as manipulações algébricas ou até

mesmo com “simplificações” equivocadas para chegar a uma resposta e quando usam

o sinal de igual não percebem que ele possui grande importância para que aquela

resolução seja plenamente verdadeira e válida. Assim, entendem que o “=” precisa

106

estar no meio de uma operação, separando as incógnitas dos números, por exemplo

(SANTOS, 2013).

A categoria 4: “Omissão do sinal de igual” resultou de 5 produções (P21, P23,

P34, P37 e P38) em que várias vezes os alunos omitiram o símbolo em suas

resoluções. A maioria dos itens desses alunos foram desenvolvidos corretamente.

Vejamos um exemplo pertencente a P34.



Com a produção escrita desses alunos vemos que eles têm conhecimento do

cálculo, entretanto, o problema está no uso do sinal de igual. O P34 utiliza o símbolo

apenas quando escreve os fatores “u” e “v” e nos outros momentos da resolução omite

totalmente o sinal, mas vale destacar que nem sempre ele escreve “u” e “v”, como é

o caso visto na figura 67, sendo que a professora escreve em vermelho eles. Nesse

caso, nos questionamos como o aluno conseguiu integrar corretamente sem ter

escrito nessa produção esses valores.

Baseados nisso, notamos que quando o aluno usa o sinal de igual é que ele

está buscando uma resposta para aqueles termos, já no cálculo em si acaba omitindo,

talvez, por escrever as expressões uma abaixo da outra, atribuindo à linha de baixo o

significado do sinal de igual. Notamos que para os alunos o sinal de igual pode ser

omitido ou substituído por outra coisa, até por uma linha em branco, o que é

preocupante, pois evidencia a falta de conhecimento com esse símbolo.

Segundo Cosme (2007), são constantes as vezes que os alunos omitem esse

símbolo em suas resoluções ou confundem com semelhança, aproximação, entre

outros. Uma possível explicação dada pela autora é que os alunos “não conheçam as

propriedades da igualdade, não tenham ainda formado o conceito de igualdade

matemática ou não dominem as regras da linguagem matemática” (COSME, 2007, p.

65).

107


A categoria 1: “Uso correto do sinal de igual” decorreu de 4 produções (P14,

P23, P36 e P37) em que os alunos fizeram o uso do sinal de igual de forma adequada.

Contudo, dois obtiveram a resposta esperada e os outros não.



Na produção de P14 ele opta pela estratégia correta, mas acaba esquecendo

do número 2 ao obter o “v”. Destacamos que a professora escreve a caneta esses

valores faltantes em sua resolução. Sobre o sinal de igual, ele utilizou corretamente

em todos os momentos, de modo que escreve uma sentença em cada linha e usa o

sinal no início de cada uma e no começo já iguala à integral a ser resolvida. Baseados

nisso, vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo e toma o cuidado de calcular

corretamente, apesar de ter esquecido um valor, e também utiliza todos os símbolos

matemáticos presentes no cálculo. Por esse motivo contribuiu para a criação dessa

categoria, assim como os outros três alunos.

Ter a resolução correta e fazer uso dos símbolos adequadamente contribui para

o professor ter maior condições de acompanhar o aprendizado de seu aluno, porém

quando o aluno demonstra fragilidades em qualquer um dos dois quesitos citados,

cabe ao professor chamar atenção para isso, pois talvez uma simples explicação já

faz o aluno avançar ainda mais no seu conhecimento matemático, uma vez que “uma

compreensão rica e adequada acerca do símbolo ‘=’ é indispensável para o

desenvolvimento" (CAVALCANTI; SANTOS, 2007, p. 5).

A subcategoria c): “Conectivo”, pertencente à Categoria 2: Utilização do

símbolo de implicação (flecha dupla) ou flecha simples como o significado de

igualdade, equivalência. Vejamos a Figura 69 que irá exemplificar. Utiliza o sinal de

igual apenas nas duas últimas passagens, o que nos faz inferir que o utiliza com o

significado de expressar, indicar o resultado final.

108



O aluno põe para fora da integral o ½ e ainda multiplica os dois 𝑥 da expressão

com o cosseno, obtendo cos2 𝑥, após isso aplica o limite. Assim, a partir dessa

produção, acreditamos que o aluno não soube qual estratégia tomar e segue

caminhos que acabam complicando ainda mais a sua resolução, além de cometer

equívocos matemáticos, o que demonstra fragilidades em conceitos supostamente

simples para essa disciplina.

Quanto ao sinal de igual, fez uso apenas ao final e nos outros momentos

sempre utiliza flechas, mas como faz uso delas nos lugares corretos que deveriam ser

os sinais de igual, julgamos que atribuiu a elas o significado do símbolo. Novamente

chamamos a atenção para a necessidade de os alunos entenderem que na

Matemática o “=” e a “→” são distintos e não podem ser intercalados se o significado

for para representar uma igualdade.

Isso pode ser resultado de que muitos alunos não se sentem à vontade com os

símbolos quando o professor utiliza nas aulas, contudo Model (2005) afirma que, em

geral, eles declaram compreender, mesmo que necessitariam de um auxílio, “assim,

fica claro que a utilização dos símbolos matemáticos não ocorre com naturalidade”

(MODEL, 2005, p. 107).


de forma mecânica, decorreu de 4 produções (P1, P4, P10 e P34) em que julgamos

que o sinal de igual foi usado como resultado da questão. Destes, apenas P4 chega

na resposta correta, mas a seguir veremos a produção de P10 como exemplo.



109

Logo no início, o aluno põe para fora da integral o ½, possivelmente

considerando que fosse uma constante, após, integra o restante dos termos e aplica

o limite. Baseados nessa produção, notamos que o aluno tem noção do conceito

integral, porém não utiliza das técnicas de integração que necessitava nesse caso.

Ainda, vai resolvendo sem escrever nenhum sinal de igual, fazendo uso apenas na

resposta final, indicando compreender aquele valor como resultado.

Quando o aluno usa o “=” somente no fim é como se ele quisesse que o

professor notasse fortemente sua resposta, o que nos faz inferir que para o aluno o

professor não precisasse se atentar para o cálculo todo, mas para o seu resultado,

afinal no decorrer da educação escolar os alunos estão condicionados a apresentar

uma resposta e, muitas vezes, estando certa é o que importaria. Nesse sentido, Lima

(2007, p. 168) defende que, para os alunos, o essencial é que “se efetuem ações

sobre números para alcançar um resultado final. A incógnita e a manipulação

simbólica não parecem ser importantes para eles, assim como o sinal de igual”.

A subcategoria g): “Separador”, também pertencente à Categoria 3, culminou

de 5 produções (P3, P7, P21, P25 e P39) em que o uso do sinal de igual aparenta

estar empregado de forma mecânica, apenas como símbolo entre os valores

numéricos. Somente P39 seguiu um caminho totalmente equivocado, os demais

acertaram total ou parcialmente suas resoluções. Vejamos a Figura 71 pertencente a

P3.



O aluno cometeu um equívoco ao omitir o número 2 do início da resolução, o

que o fez obter outro resultado, aqui a professora também escreveu a caneta esse

valor. Ao final ele substitui os limites, porém não analisa para onde os valores tendem,

finalizando com uma expressão em que já havia substituído, mas manteve os extemos

escritos ao final, o que evidencia uma falta de atenção quanto à resolução.

110

Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas

acabou cometendo equívocos que o fizeram obter outro valor. Sobre o sinal de igual,

ora o utilizou e ora não, demonstrando uma importância secundária com o símbolo,

assim acreditamos que utiliza como separador, já que usa quando as expressões são

na mesma linha e ao final. Talvez isso decorra das atividades que envolviam

operações aritméticas lá nos anos iniciais, deixando os alunos condicionados a

compreenderem o sinal de igual de forma operacional, em que é preciso usar o

símbolo no decorrer da resolução até chegar ao resultado (TRIVILIN, 2014).

3.3 O que a produção escrita pôde revelar acerca da compreensão que os

alunos possuem sobre o sinal de igual

Tivemos 191 produções escritas que foram analisadas, isto é, excluindo as

questões em branco ou aquelas em que pouco se pode inferir sobre o sinal de igual,

restou essa quantia de resoluções que culminaram para a criação das 11 categorias.

Elaboramos o Quadro 3 que mostra a quantidade de produções em cada categoria e

quais são essas produções presentes. Vejamos a seguir:

CATEGORIA QUANTIDADE PRODUÇÕES

Conectivo 17 P10, P11, P14, P19, P20, P25,

P26, P30, P34 e P41

Fórmula 11 P3, P6, P11, P15, P23, P28,

P34, P39 e P37

Equivalência 6 P3, P13, P23, P24, P30 e P36

Omissão do sinal de igual

20

P5, P7, P10, P12, P15, P16, P19, P21, P22, P23, P30, P31,

P34, P35, P37, P38 e P39

Relação funcional 18 P3, P4, P7, P8, P13, P15, P16, P23, P24, P25, P28, P29, P30,

P36, P37, P38, P39, P41

Relação nome-símbolo ou correspondência

1 P12

Resultado 53

P1, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P6, P10, P12, P14, P15, P16,

P17, P18, P19, P21, P22, P23, P24, P25, P26, P27, P28, P29, P30, P31, P32, P33, P34, P35,

P37, P41 e P42

Separador 40

P1, P2, P3, P4, P5, P7, P10, P12, P14, P17, P18, P21, P22, P25, P26, P32, P33, P35, P36,

P38, P39, P40, P41 e P42

111


16 P3, P14, P21, P23, P24, P30,

P36, P37 e P41

Uso incorreto do sinal de igual

9 P1, P6, P8, P13, P19, P25,

P32, P36 e P39 Quadro 3 – Categorias referentes aos usos e significados atribuídos pelos alunos do Sinal de Igual.

Fonte: Dos autores, 2019.

Relacionando o Quadro 3 com o Quadro 1, ou seja, com os significados do sinal

de igual presentes na literatura, vemos que conseguimos identificar vestígios de que

os alunos possuíam compreensões já discutidas por outros autores, mas também

estabelecemos categorias novas a partir do que verificamos nas provas. Com isso,

vemos que não só os alunos matriculados na disciplina de CDI possuíam

determinadas utilizações do símbolo, mas que diversos alunos já pesquisados

evidenciaram inconsistências em sua utilização e problemas no entendimento do uso

e dos significados do sinal de igual.

Notamos que a quantidade de produções por categoria variou de 1 a 53,

vejamos no Quadro 4, seguindo a ordem decrescente.

CATEGORIA QUANTIDADE

Resultado 53 Separador 40

Omissão do sinal de igual 20

Relação Funcional 18 Conectivo 17

Uso correto do sinal de igual 16 Fórmula 11

Uso incorreto do sinal de igual 9

Equivalência 6 Relação Nome-Símbolo ou

Correspondência 1

Quadro 4 – Quantidade de produções por categoria. Fonte: Dos autores, 2019.

É nítido que o uso operatório do símbolo é constante, afinal as categorias

Resultado e Separador tiveram, juntas, quase a metade das produções pertencentes

às 11 categorias. Isso, possivelmente, deve ser decorrente de que “o símbolo ‘=’ é

frequentemente utilizado como um comando para calcular e em seguida, colocar o

resultado do cálculo adquirindo assim, status semelhante a um operador” (MATOS;

CAVALCANTI, 2010, p. 1).

Novamente, chamamos a atenção que os alunos costumam reproduzir o que

veem nas aulas e quando não compreendem o objetivo de determinado conteúdo,

112

acabam operacionalizando o processo, seguindo um passo a passo mecanizado e

decorado para obter êxito na tarefa avaliativa. E, consequentemente, o sinal de igual,

que parece ser um item genérico no cálculo, acaba servindo apenas para separar as

expressões e mostrar qual é a resposta final.

Da mesma forma que o uso operatório preocupa, a omissão do símbolo

também é fator inquietante. Apesar de ter 20 produções na categoria Omissão, tiveram

mais resoluções com essa falta do símbolo, porém acabaram se encaixando em

outras categorias, pelo fato de o aluno omitir em apenas um momento da resolução e

nos outros deu indícios de que usou como separador, conectivo, por exemplo. Mas,

resumindo, queremos dizer que a omissão do “=” foi constante nas produções,

principalmente quando os alunos escrevem uma expressão abaixo da outra,

evidenciando que, para eles, o símbolo tem função de operador, que é preciso ser

escrito apenas para dizer que as expressões não são as mesmas, caso contrário,

ficaria subentendido a igualdade. Ou também quando deixaram um espaço vazio,

nesses casos, vemos que a falta do uso de símbolos em uma resolução, prejudica,

matematicamente falando, a validade do cálculo, contudo, inferimos que eles tinham

compreensão que se tratava de uma igualdade, mas por algum motivo não

escreveram o “=”.

Na literatura, as categorias Relação Funcional e Equivalência, evidenciaram

que os alunos tiveram compreensões condizentes do sinal de igual no contexto do

conteúdo ao qual se tratava. Entretanto, na nossa investigação, essas categorias

culminaram somente da análise da produção escrita, o que nos faz ter consciência de

que corremos o risco que nem todos os alunos possuíam essas compreensões.

Entretanto, esperamos que eles tivessem e, talvez, naquelas questões eles realmente

compreendessem a necessidade e finalidade do símbolo. Se isso aconteceu, vemos

o quão importante para o aluno aprender o conteúdo matemático é saber a

importância de cada item pertencente no cálculo e não apenas ir em busca de uma

resposta numérica.

A categoria Conectivo também teve um número considerável de produções, de

modo que conseguimos identificar uma alta frequência em se tomar um símbolo por

outro, principalmente o sinal de igual com a flecha simples e o símbolo de implicação

e até mesmo o de equivalência, dentre outros. Além disso, notamos que alguns dos

alunos usaram em várias questões os conectivos, como é o exemplo de P20, em que

113

resolveu apenas a prova 1, e das 7 questões, três delas usou o símbolo , que

significa portanto. Com tantos casos similares, fica para nós a evidência de que há um

subentendido de que se pode utilizar conectivos de maneira aleatória como, por

exemplo, qualquer um deles no lugar do sinal de igual.

As categorias Uso Correto e Uso Incorreto do sinal de igual decorreram das

resoluções onde os alunos usaram de forma adequada ou inadequada,

respectivamente, o símbolo. Quando o aluno demonstra compreender o conteúdo e a

necessidade de usar corretamente todos os símbolos matemáticos, notamos que as

chances de êxito são maiores. Isso evidencia que os alunos não devem se preocupar,

em uma prova de Matemática, apenas a resolver e chegar ao resultado, mas é preciso

compreender todo o processo de resolução e a linguagem na qual o processo é

expressado. Um aluno que talvez tenha compreendido os conceitos da disciplina é o

P14, pois em quatro questões adequou-se aos critérios da categoria Uso Correto,

fazendo, assim, parte dela.

Em contrapartida, os alunos que se encaixaram na categoria Uso Incorreto,

inferimos que usaram o “=” como um símbolo “coringa/genérico”, e demonstraram uma

preocupação maior com os números e com as operações do que com o sinal de igual.

Nesses casos, os alunos precisavam fortemente de uma intervenção para que

pudessem se darem conta da linguagem que estavam utilizando.

Inferimos que os alunos que contribuíram para a criação da categoria Fórmula

escreveram o símbolo mais por estarem acostumados a vê-lo em qualquer fórmula

matemática. Os alunos não deveriam ser julgados por esse entendimento, o “=”

realmente está presente nas fórmulas. O que pensamos que deveria ser feito,

contudo, suponhamos que a professora da disciplina o fez, era o professor, ao

apresentar um novo conteúdo, além de chamar atenção para o símbolo, explicar a

sua finalidade naquele contexto e naquela fórmula, especificando os aspectos que o

cercam. Assim, toda vez que o aluno fosse aplicar valores em uma fórmula, poderia

ser capaz de entender com maiores chances, a proposta da tarefa.

A categoria Relação Nome-Símbolo ou Correspondência teve apenas uma

produção pertencente a ela. Nesse caso, percebemos que o aluno usou o sinal de

igual mais como um auxílio para expressar a sua ideia perante a questão, não tendo

muita relação com a disciplina de CDI propriamente dita, mas foi uma saída que ele

tomou para resolvê-la. Porém, assim como já destacamos anteriormente, isso pode

114

prejudicar o aluno, pois ele está trazendo para o senso comum o significado de um

símbolo em um contexto de avaliação que envolve a Matemática.

Baseados nas análises que fizemos das duas provas, a nossa compreensão

perante a produção escrita dos alunos, nos permitiu fazer inferências a respeito do

que as resoluções mostravam do entendimento deles sobre o sinal de igual. Porém, a

criação dessas categorias

[...] foram determinadas mais pelas inferências feitas do que pelo que estava literalmente registrado. Em um outro tipo de análise [...] as respostas dadas poderiam não ser consideradas, não pelo fato de não serem plausíveis, mas porque não revelam exatamente o que ‘supostamente’ se quis expressar (FERREIRA, 2009, p. 133).

Ou melhor, não é que não nos baseamos nas resoluções, mas é difícil

compreender realmente o que o aluno quis expressar quando usa o sinal de igual de

formas diferentes em uma mesma resolução, ou quando usa a todo momento, mas

não sabemos qual o seu entendimento desse uso. Mas, dado o nosso modo de análise

se manter apenas na produção escrita, consideramos o que ela pôde nos revelar e os

indícios que nos propiciaram visualizar acerca dessa compreensão.

Levando em consideração a produção escrita dos alunos em uma situação de

avaliação, é possível inferir, sobre o uso do sinal de igual, que as compreensões e

utilizações variaram bastante. Assim, verificar se eles avançaram ou se mantiveram

perante suas compreensões sobre o sinal de igual tornou-se complicado, pois os

alunos, já inicialmente, tinham diversas utilizações perante o símbolo. Da mesma

forma, que as produções de um aluno se mantiveram nas mesmas categorias, outros

alteraram bastante, como é o caso de P11 que se encaixou em duas categorias:

Conectivo e Fórmula, já o P12 variou entre: Omissão, Relação Nome-Símbolo ou

Correspondência, Resultado e Separador.

115

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse trabalho, fomos guiados a analisar as produções escritas de estudantes

de Engenharia Agrícola, mais precisamente, a forma como usam e compreendem o

sinal de igual em uma situação de avaliação, na qual não foi explorado pelo professor

regente os significados que o símbolo possui no ensino de Cálculo. Ainda, buscamos

inferir sobre as possíveis compreensões que esses estudantes atribuíam ao sinal de

igual e agrupamos em categorias comuns o que as produções nos revelaram.

Ao iniciar a investigação, estávamos partindo de um caminho obscuro,

desconhecido e duvidoso, pois não sabíamos o que iríamos encontrar naquelas

provas. A priori, não era possível ter ideia se os alunos faziam uso do sinal de igual

em todos os momentos, se não faziam, ou se o substituíam por outros símbolos. A

incerteza de que as produções escritas pudessem nos revelar algo acerca do nosso

foco de pesquisa era grande. Mas deixamo-nos guiar pela perspectiva de que a

análise da produção escrita seria uma possibilidade plausível para investigar o que

nos propomos e, então, deixar que os resultados aparecessem para nós. E assim

fizemos!

Muitas coisas apareceram para nós a partir das produções escritas. E foram

elas que culminaram na criação das categorias e subcategorias referente aos usos,

omissões e significados que os alunos atribuíam ao sinal de igual.

Foi identificado o uso de forma correta, o que nos propiciou fazer inferências

de que os alunos compreendiam o significado do símbolo em determinado contexto,

mais especificamente sobre a ideia de equivalência e de relação funcional. Contudo,

afirmar isso é um pouco delicado, por isso, em alguns momentos, inferimos que o

símbolo foi usado considerando o contexto e, assim, possivelmente o aluno

relacionou, mesmo que de forma espontânea, o cálculo que produzia com os símbolos

que faziam parte dele. Reiteramos que essa categoria foi baseada nos indicativos que

as produções nos revelaram, contudo, tê-la criado é satisfatório, mantendo uma “luz

no fim do túnel” de que a Matemática é compreendida pelos alunos e não só sendo

tomada como algo mecânico.

Entretanto, também verificamos o uso de forma incorreta. Nesses casos, ficou

fortemente revelado a sua utilização sem compreensão e a substituição do símbolo

por conectivos. Usar o sinal de igual em uma igualdade não válida põe em risco o

116

significado que o símbolo possui naquele contexto, demonstrando uma importância

secundária com ele em um cálculo. Além disso, substituí-lo por quaisquer outros

símbolos matemáticos evidencia uma inconsistência quanto aos significados que cada

um possui na Matemática e, principalmente, a incompreensão do significado do sinal

de igual.

Constatamos em muitos casos o uso pelo uso e o uso de forma mecânica.

Sobre as resoluções referentes a isso, o sinal de igual estava presente (as vezes não

em todos os momentos), mas notamos uma importância primária com o cálculo, ou

seja, operar com números e letras e acabar usando o sinal de igual apenas como

convenção. Isso também evidencia que o símbolo não é compreendido na sua

totalidade e qual seria o motivo de usá-lo.

Por fim, averiguamos omissões do sinal de igual em diversas produções. Houve

ora uso e ora omissão, omissão parcialmente e omissão totalmente. Quando o

símbolo é omitido pouquíssimas vezes na resolução há a possibilidade de que o aluno,

na pressa de fazer a prova, acaba esquecendo de escrevê-lo. Porém, omiti-lo muitas

vezes evidencia que ele não é tomado como item essencial na resolução e que

escrevê-lo ou não, manteria a mesma ideia de igualdade esperada.

Contudo, a nossa intenção de comparar as produções dos alunos nas duas

provas não deu muitos indícios de avanços na maneira como eles compreendiam o

sinal de igual. Até porque não foi trabalhado isso nas aulas, porém, inferimos que os

alunos, por si só, não tiveram uma tomada de consciência sobre o uso dos símbolos

matemáticos. Assim, acreditamos que se não for explorado em nenhum momento

esse uso na graduação é bem provável que esses alunos nunca analisem a

importância do uso correto e dos diversos significados que o sinal de igual possui.

Sobre as resoluções analisadas, o que se pôde perceber é que os alunos

“realizam procedimentos, muitas vezes, sem saber bem o que estão fazendo;

resolvem por meio de determinado procedimento porque chegam a situações

semelhantes ao que professor resolveu em sala de aula” (SANTOS, 2008, p. 107).

Essa constatação descreveu o que encontramos em algumas produções. Tiveram

alunos que evidenciaram saber qual seria a estratégia e o procedimento necessário

para resolver determinada questão, mas talvez seja apenas pelo fato de o professor

ter seguido aquele caminho nas aulas anteriores e, assim, o aluno “sabia” qual deveria

ser o seu ponto de partida. Porém, no decorrer da resolução eles demonstraram

117

fragilidades em conceitos da Matemática Básica, o que acarreta o erro na resolução

e, consequentemente, a dificuldade de avançar nos conteúdos do Cálculo.

Muitos desses equívocos se referiam a erros de fatoração, simplificação,

potenciação, operações fracionárias, propriedade distributiva, falta de parênteses e

também dificuldade de distinguir expressão de equação, em que os alunos costumam

igualar a zero qualquer expressão buscando obter uma resposta (CURY, 2003). Essa

autora, assim como nós, verificou, muitas vezes, a existência dos mesmos erros nas

produções de alguns alunos e, com isso, chamou o fato de “erro resistente” e afirmou

que essas dificuldades se tornam “travas” no raciocínio do aluno.

Diante disso, notamos o quanto as dificuldades encontradas nas produções

escritas resultam da inconsistência em conceitos da Educação Básica. É notório que

não é só o uso do sinal de igual que acarreta problemas conceituais nesses alunos,

mas é um leque de conceitos que precisariam ser ampliados, sendo uma

possibilidade, talvez, a revisão de conteúdos prévios para a disciplina de CDI, até

porque, caso contrário, essa dificuldade poderá resistir por muito tempo.

Verificou-se, também, dificuldade na análise de funções com mais de uma

sentença, no esboço de gráficos, no conceito de integral, entre outros. Sobre isso,

vemos que é imprescindível que os professores discutam as causas desses erros e

busquem meios para superá-los. Afinal, verificou-se na literatura que o grande número

de repetências e evasões dos cursos de Engenharia decorre da disciplina de Cálculo

(CURY, 2003; PEDROSO; KRUPECHACKE, 2009).

Notamos que parte dos alunos demonstraram saber resolver as questões e

utilizar dos conhecimentos aprendidos na disciplina de CDI, porém, em contrapartida,

verificamos uma certa “cultura”, por parte de outros alunos, de ignorar o enunciado e

fazer algo com os valores dados na questão, o que resulta no erro e, possivelmente,

apenas na busca de um resultado numérico. Provavelmente, isso seja resultante de

uma vida escolar baseada na explicação e apresentação de exemplos dados pelo

professor, seguida de exercícios semelhantes executados pelo aluno, onde não há

aplicação real para ele, mas apenas com o objetivo de ser avaliado em uma prova

escrita.

Possivelmente, isso acarretou o fato de os alunos não demonstrarem utilizar o

sinal de igual com a importância que merecia em suas produções, de modo que o

símbolo parece ser um item “tão antigo” no ambiente escolar que é tomado de forma

118

mecânica, servindo como operador ou para indicar uma resposta final. Verificamos

que para alguns alunos o sinal de igual pode ser usado apenas quando há mais de

uma expressão na mesma linha, que pode ser omitido ou até ser substituído por outra

coisa, como um espaço e uma linha em branco ou por flechas. Essas atitudes são

preocupantes, pois revelam a falta de conhecimento dos alunos perante o símbolo.

Entretanto, uma possível explicação seja que nas aulas de Matemática esses

aspectos não tenham sido explorados exaustivamente pelo professor, o que

prejudicou os alunos, já na graduação, a visualizarem e compreenderem as

finalidades do símbolo. Acreditamos que seja um problema no “sistema”. Por exemplo,

um professor não apresentou a seu aluno esses conceitos e, este por sua vez, tornou-

se professor, e não tendo conhecimento de todos os aspectos que cercam o sinal de

igual, também não ensinou para seus alunos.

Diante disso, justificamos a importância do nosso trabalho. Queremos impactar

professores, alunos, pesquisadores, sobre a necessidade de considerar e explorar os

símbolos matemáticos, principalmente o sinal de igual, em todos os conteúdos que

estudam nas aulas. É preciso que os alunos passem a entendê-lo como um item

indispensável para a validação de um cálculo e não apenas um símbolo que é usado

quando bem entender.

O aluno realizando a resolução e fazendo uso dos símbolos adequadamente,

contribui para que o professor tenha maiores condições de acompanhar o aprendizado

dele e investigar suas aptidões e dificuldades, e caso o aluno demonstrar fragilidades,

caberá ao professor chamar atenção e buscar explorar isso.

Levando isso em consideração que defendemos o uso da Análise da Produção

Escrita como Prática de Investigação, pois ao fazermos a escolha por essa

perspectiva buscamos apresentá-la como uma alternativa para o professor adotá-la

em sala de aula, implementando a sua prática avaliativa. Para nós ficou evidente que

muitos indícios sobre a aprendizagem e sobre as dificuldades do aluno se mostram

em suas produções. É possível coletar informações, explorá-las e contribuir para que

o aluno avance nos conteúdos já estudados.

Supomos que o professor que trabalhou essa disciplina de CDI fez algo

parecido, percebendo no decorrer das aulas esses usos equivocados do sinal de igual.

Talvez, ao ter esse estudo com os alunos após a primeira prova, nas demais eles

mostrariam avanços perante esses aspectos. Mas também, o professor poderia (se

119

não o fez) ter explorado outros conceitos que sentisse a necessidade, a partir do que

viu nas produções escritas dos alunos nas provas.

Por esse motivo que defendemos o uso da prova escrita na sala de aula, ela

deve ser aplicada como uma forma de acompanhar a aprendizagem do aluno e não

apenas para classificá-lo. Reiteramos que também defendemos o uso dos mais

diversos instrumentos avaliativos, a análise da produção escrita é apenas uma opção.

Cabe ao professor experimentar e definir quais são os melhores para ele e para a sua

turma.

Tomar a análise da produção escrita “é uma forma de respeitar e valorizar o

trabalho do estudante e do professor, de conhecer de que forma mobilizam o

conhecimento existente e produzem novos saberes, de conhecer caminhos

percorridos desde a leitura da questão até a obtenção da resposta” (FERREIRA, 2009,

p.134). Por isso, acreditamos que ter considerado essa perspectiva unindo-a à Análise

de Conteúdo de Bardin, foi satisfatório para termos dados mais precisos sobre as

produções e quais eram os usos e os significados que os alunos dessa disciplina

possuíam acerca do sinal de igual.

Com o presente trabalho, esperamos contribuir ao professor, tanto com um

suporte teórico, quanto para sua prática efetiva, que perceba que os alunos correm o

risco de compreender certos conceitos matemáticos de forma equivocada quando

todos os aspectos que cercam determinado conteúdo não forem bem explorados; que

compreendam que a produção escrita possibilita a eles tomarem um conhecimento

mais amplo sobre a aprendizagem de seus alunos e; também, que revejam a sua

prática avaliativa assumindo uma atitude investigativa, caso ainda não a tenham.

Sabendo que alguns alunos variaram entre as categorias e outros se

mantiveram nas mesmas, deixamos uma possibilidade de uma pesquisa futura.

Realizar uma análise vertical (SANTOS; BURIASCO, 2015), isto é, análise de todas

as produções de um mesmo aluno, para investigar e discutir como ele compreendia o

sinal de igual, pois acreditamos que ter esse olhar mais individualizado mostrará muito

sobre a aprendizagem do aluno.

Finalizamos o estudo satisfeitas, pois ele propiciou conhecer uma maneira de

avaliar os alunos, possibilitando uma tomada de consciência da própria prática

avaliativa, além de contribuir para estarmos sempre em busca de nos tornarmos

melhores profissionais para nossos alunos e para os que estão por vir.

120

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127

APÊNDICES

128

APÊNDICE 1

PROVA ESCRITA 1

Questão 1 – Seja ℎ(𝑥) = {1 − 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0

2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

a) Calcule h(-2)

b) Calcule h(1)

c) Esboce o gráfico de h.

Questão 2 – Calcule o quociente das diferenças e simplifique a sua resposta quando

possível.

a) Se 𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥2, calcule 𝑓(3+ℎ)−𝑓(3)

ℎ.

b) Se 𝑔(𝑥) =1

𝑥, calcule

𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)

𝑥−𝑎.

Questão 3 – Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada a

seguir:

Questão 4 – A partir da representação das funções f e g.

a) lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) =

b) lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) =

c) 𝑓(0) =

d) lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =

e) 𝑓(4) =

f) lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =

g) 𝑔(0) =

h) 𝑔(4) =

i) lim𝑥→4

𝑔(𝑥) =

j) lim𝑥→−3

𝑔(𝑥) =

129

Questão 5 – Considerando que o domínio das funções esboçadas na questão 4

anterior é o conjunto dos números reais, ℝ, qual será o conjunto imagem?

a) 𝐼𝑚 (𝑓) =

b) 𝐼𝑚 (𝑔) =

Questão 6 – Calcule o limite.

a) lim𝑥→16

𝑥−16

√𝑥−4

b) lim𝑥→0


𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥

c) lim𝑡→2

𝑡2−4

𝑡3−8

d) lim𝑣→4+

4−𝑣

|4−𝑣|

e) lim𝑥→2

√𝑥+6−𝑥

𝑥3−3𝑥2

f) lim𝑥→1+

𝑥2−9

𝑥2+2𝑥−3

g) lim𝑥→−3

𝑥2−9

𝑥2+2𝑥−3

130

APÊNDICE 2

PROVA ESCRITA 6

Questão 1 – Calcular a medida da área da região delimitada pela curva/parábola/reta.

Esboçar os gráficos em um mesmo eixo de coordenadas e hachurar a região da área a ser

calculada.

1ª chamada: parábola 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥2 e a reta 𝑔(𝑥) = 𝑥.

2ª chamada: curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 7 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 − 1.

Questão 2 – Calcular as integrais indefinidas.

e) c) ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥

f) d) ∫𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

g) e) ∫ ln|𝑥|𝑑𝑥

h) f) ∫1

√𝑥(1+√𝑥)2 𝑑𝑥

Assim:

i. e), c)

ii. f), d)

iii. g), e)

iv. h), f)

Questão 3 – Calcular as integrais definidas.

b) a) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥1

2𝑥 𝑑𝑥

π

0

131

APÊNDICE 3

DESCRIÇÕES DAS PRODUÇÕES ESCRITAS DA PROVA ESCRITA 1

QUESTÃO 1

Q1 DESCRIÇÕES REPRESENTATIVAS DAS PRODUÇÕES

P1

1.a) O aluno substitui o valor -2 nas duas leis da função, obtendo -3 e 5 como resposta. O estudante escreve f(-2) = 5 e f(-2) = -3.

ℎ(−2) = 1 − (−2)2 1 + 22 = 1+ 4 = 5 ℎ(−2) = 2 ∙ (−2) + 1

2 ∙ −2 + 1 = −4 + 1 = −3 1.b) Novamente substitui o valor 1 nas duas leis da função, resultando em 2 e 3.

ℎ(1) = 1 − (1)2 1 + 22 = 1+ 1 = 2

ℎ(1) = 2 ∙ 1 + 1 = 2 + 1 = 3 1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: No item a) o aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 na lei da função, porém não expressa uma decisão quanto à resposta final. Isso fornece indícios de que foi considerado que para ele uma mesma lei de função pode chegar a duas respostas, como -3 e 5, o que vai contra a concepção de imagem e, consequentemente a de igualdade, pois -3 é diferente de 5. Da mesma forma para o item b). Sobre o sinal de igual, inferimos que o aluno compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P2

1.a) Desenvolveu o item para as duas leis da função. Na primeira resolve o expoente e faz o jogo de sinal ao mesmo tempo, obtendo

1 − (−2)2 = 1− 4 = −4 2 ∙ (−2) + 1 = 4 + 1 = 5

1.b) Idem ao item anterior.

1 − (1)2 = 1− 1 = 0 2 ∙ (1) + 1 = 2 + 1 = 3

1.c) Não esboçou. Comentários e Inferências: No item a) o aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Também acabou calculando equivocadamente no expoente com o sinal negativo, o que gerou uma igualdade incorreta, mas o aluno não deve ter percebido isso. Ainda, não igualou

h(-2) em nenhum momento, desconsiderando que 1 − (−2)2 resulta da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como um separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução. De forma análoga para o item b).

P3

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada, contudo para isso o aluno aplica vários valores para as duas leis da função e ao final responde os dois itens adequadamente.

𝑥(0) = 1 − 02 = 1 𝑥(−1) = 1 − (1)2 = 0

𝑥(−2) = 1 − 1(−2)2 = −3 𝑥(1) = 2(1) + 1 = 3 𝑥(2) = 2(2) + 1 = 5 𝑥(3) = 2(3) + 1 = 7

1.a) -3 1.b) 3 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e o 1 nas funções, mas substituiu outros valores também, não apenas o valor pedido na alternativa, porém para responder utiliza apenas a resposta correta, desconsiderando as demais. Ainda, percebemos que ele utilizou x(-2) ao invés de h(-2) o que acreditamos que

132

deve remeter ao costume de utilizar o x nas equações e funções. Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que demonstra estabelecer relação entre as variáveis.

P4

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P5

1.a) Desenvolveu o item para as duas leis da função.

1 − (−2)2 = 1− 4 = −3 2 ∙ (−2) + 1 = −2 + 1 = −1


1 − (1)2 = 1− 1 = 0 2 ∙ (1) + 1 = 2 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 2 ∙ (−2) + 1 não é igual a -1, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebeu isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam de uma lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como um separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P6


1 − (−2)2 = 3 2 ∙ (−2) + 1 = 5


1 − 1 = 0 2 ∙ 1 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e o 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 2 ∙ (−2) + 1 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam de uma lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como resultado, já que ao mesmo tempo que separa as expressões já obtém a resposta final.

P7

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual corretamente e acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que demonstra estabelecer relação entre as variáveis.

P8

1.a) Escolheu a estratégia correta, porém comete um erro de procedimento, pois não utiliza parênteses e acaba resolvendo o expoente e fazendo o jogo de sinal ao mesmo tempo.

ℎ(−2) = 1 −−22 ℎ(−2) = 1 + 4 = 5

1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço incorreto, pois traçou uma reta do ponto 3 ao 5. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas por um descuido errou em um dos cálculos. Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P9 Não apresentou produção escrita.

P10

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.a)

1 − (−2)2 = −3 1.b)

2 ∙ 1 + 1 = 3 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam de uma lei da função e, ainda, que a omissão

133

do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como resultado, já que ao mesmo tempo que separa as expressões já obtém a resposta final.

P11


1 − (−2)2 = 1− 4 = −3 2 ∙ (−2) + 1 = −2 + 1 = −1


1 − (1)2 = 1− 1 = 0 2 ∙ (1) + 1 = 2 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda, percebemos que ele utilizou h(-2) e h(1) apenas no início e depois omite, desconsiderando que a expressão resulta da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Sobre o sinal de igual, o aluno faz uso de flechas que dá a ideia do conectivo ‘então’ para chegar a uma nova expressão.

P12

1.a) Comete um equívoco de jogo de sinal.

ℎ(𝑥) = 1 − (−2)2 ℎ(𝑥) = 3

1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno utiliza o x ao invés do valor substituído, demonstrando não se dar conta que é preciso ter relação entre o que está antes e o que está após o sinal de igual. Ainda, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como um separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P13

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P14

Desenvolveu os itens de acordo com a resolução apresentada. 1.a)

ℎ(−2) = 1 − 𝑥2 → 1 − (−2)2 ⇒ 1 − 4 = −3 1.b)

ℎ(1) = 2𝑥 + 1 → 2 ∙ (1) + 1 = 3 1.c) Esboço correto. Comentários e Inferências: Chamamos a atenção para a forma com que o aluno passa de um momento para outro, utilizando flechas, assim, faz uso delas possivelmente com a ideia do conectivo ‘então’, mas intercala a seta simples e uma dupla, que tem sentidos diferentes, isto é, então e implica, respectivamente.

P15

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P16

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P17

1.a) Desenvolveu o item para as duas funções, sendo que ele considera o intervalo dado em cada uma.

1 − (−2)2 ≤ 0 1 − 4 ≤ 0 3 ≤ 0

2 ∙ (−2) + 1 > 0 −3 > 0 (II)

No final conclui que (3, -3). 1.b)

1 − 12 ≤ 0 0 = 0 2 ∙ 1 + 1

134

3 > 0 No final conclui que (0, 3). 1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, percebemos que ele prestou atentou para a condição que a função dava, mas mesmo assim inferimos que ele não se deu conta que não precisava calcular para ambas funções. Ainda acreditamos que o aluno não percebeu que as respostas do item a) que chegou não fazem sentido, afinal 3 não pode ser menor ou igual a zero, nem que -3 seja maior que zero, e isso que gerou uma desigualdade incorreta, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Sobre o sinal de igual, não utilizou em nenhum momento, dado que usou sinais de desigualdade.

P18


1 − (−2)2 1 − 4 = −3

2(−22) + 1 2 ∙ 4 + 1 = 4


1 − 12 = 0 2 ∙ 1 + 1

4 1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda, percebemos que ele utilizou h(-2) e h(1) apenas no início e depois omite, desconsiderando que a expressão resulta da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior, também só utiliza o símbolo apenas na resposta final, remetendo a ideia de resultado.

P19

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual apenas na resposta final, remetendo a ideia de resultado, além disso, em um momento utiliza uma flecha para dar sequência na resolução, que dá a ideia do conectivo ‘então’. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior.

P20


1 − (−2)2 ∴ 1 − 4 = −3 2(−22) + 1 ∴ −3 + 1 = −3


1 − 12 ∴ 1 − 1 = 0 2 ∙ 1 + 1 ∴ 2 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Chamamos a atenção para a forma com que ele expressa uma igualdade em alguns momentos, ora utilizando o sinal de igual, ora o de ‘portanto’ o que indica uma confusão quanto aos símbolos. Assim, inferimos que para o aluno o sinal de igual vai apenas como resposta e em outros momentos ele pode ser substituído por conectivos.

P21

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Notamos que ele não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Com isso, inferimos que utiliza o símbolo como separador, dando a ideia de representar os passo a passo da resolução.

P22 1.a) Escolheu a estratégia correta mas errou no procedimento, no jogo de sinal.

135

1 − (−2)2 1 + 4 = 5


2 ∙ 1 + 1 2 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e o 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda acabou

calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 1 − (−2)2 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam de uma lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como resultado, já que utiliza apenas na resposta final.

P23

1.a) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, no jogo de sinal e no expoente.

ℎ(−2) = 1 − (−2)2 ℎ(−2) = 1 − 2 = −1

1.b) Desenvolveu adequadamente.

ℎ(1) = 2 ∙ 1 + 1 = 3 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas por um descuido errou um dos cálculos no item a). Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P24

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P25 Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P26

1.a) Desenvolveu os itens de acordo com a resolução apresentada.

ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥2 → = 1 − (−2)2 = 1− 4 = −3 1.b)

ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 1 = 2(1) + 1 = 3 1.c) Esboçou corretamente a curva. Comentários e Inferências: Chamamos a atenção no item a) para um momento em que o aluno utiliza o sinal de igual e uma flecha ao mesmo tempo, unindo a ideia de igualdade com a do conectivo ‘então’ ao mesmo tempo, possivelmente o aluno dizer que então aquilo era igual a expressão seguinte, porém o uso dos dois símbolos juntos não está correto. Notamos que o aluno utiliza o x ao invés do valor substituído, demonstrando não se dar conta que é preciso ter relação entre o que está antes e o que está após o sinal de igual.

P27


1 − 4 = −3

2(−22) + 1 = 5 1.b) Idem ao item anterior.

1 − 1 = 0 2 ∙ 1 + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Também acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 2 ∙ (−2) + 1 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Ainda, inferimos que para o aluno o sinal de igual deve ser usado como resultado, indicando a resposta final.

P28 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva.

136

Comentários e Inferências: No item c) inferimos que o aluno não percebeu a relação da expressão com a reta. Utilizou o sinal de igual corretamente em todos os momentos e acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P29

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual corretamente em todos os momentos e acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P30

1.a) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, no jogo de sinal.

ℎ(−2) = 1 − (−2)2 ℎ(−2) = 1 + 4 ℎ(−2) = 5

1.b) Desenvolveu adequadamente. ℎ(1) = 2 ∙ 1 + 1 ℎ(1) = 2 + 1 ℎ(1) = 3

1.c) Esboço incorreto, pois traçou uma reta do ponto 3 ao 5. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas por um descuido errou um dos cálculos no item a). Sobre o gráfico, notamos que o aluno utilizou as respostas anteriores para traçar uma reta, sem se dar conta que seria uma curva. Quanto ao sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P31

Desenvolveu os itens para as duas funções. 1.a) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, no jogo de sinal.

1 + 22 = 5 2 ∙ (−2) + 1 = 5

1.b)

1 − (1) = 0 2 ∙ (1) + 1 = 3

1.c) Esboço incorreto. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda, a forma como optou com o expoente e o sinal negativo fez com que a resposta final se alterasse da esperada. Também acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 2 ∙ (−2) + 1 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como resultado, já que utiliza apenas na resposta final.

P32

1.a) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, no expoente.

1 − 𝑥2 = 1 − (2)2 = 1 − 2 = −1 1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

2𝑥 + 1 = 2 ∙ (1) + 1 = 3 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas por um descuido errou um dos cálculos. Também acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 1−(2)2 não é igual a -1, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e inferimos que o aluno utiliza o símbolo como um separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P33

Desenvolveu os itens para as duas funções. 1.a)

1 − (2)2 1 − (−4) −3

2 ∙ (−2) + 1

137

−4+ 1 = 5 1.b)

1 − 12 1 − 1 = 0 2 ∙ 1 + 1 2 + 1 = 3

1.c) Não apresentou esboço. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda, a forma como optou com o expoente e o sinal negativo fez com que a resposta final se alterasse da esperada. Também acabou calculando equivocadamente em (II), o que gerou uma igualdade incorreta, pois −4 + 1 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e assim, inferimos que o aluno utiliza o símbolo como resultado, já que utiliza apenas na resposta final e ora nem utiliza.

P34


ℎ(𝑥) = 1 + 22 ℎ(𝑥) = 5

1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 1 → 2 ∙ (1) + 1 ℎ(𝑥) = 3

1.c) Esboço incorreto, pois traçou uma reta do ponto 3 ao 5. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas o passo que optou por resolver fez com que a resposta final se alterasse da esperada. Também

acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma igualdade incorreta, pois 1 − (−2)2 não é igual a 5, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Sobre o gráfico, notamos que o aluno utilizou as respostas anteriores para traçar uma reta, sem se dar conta que seria uma curva. Ainda, percebemos que ele não utilizou h(-2) e h(1) quando substituiu a incógnita, mas sim h(x). Em um momento utiliza uma flecha, como o significado de implicação, para dar sequência à resolução.

P35

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: Notamos que ele não igualou a h(-2) e h(1) em nenhum momento, desconsiderando que as expressões resultam da lei da função e, ainda, que a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior. Com isso, inferimos que utiliza o símbolo como separador, dando a ideia de representar o passo a passo da resolução.

P36


ℎ(𝑥) = 1 − (2)2 = −1 1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

ℎ(𝑥) = 2 ∙ (1) + 1 = 3 1.c) Esboço parcialmente correto, pois representou alguns pontos fora do lugar adequado. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, mas talvez por querer resolver os cálculos de forma direta acabou calculando equivocadamente, o que

gerou uma igualdade incorreta, pois 1 − (−2)2 não é igual a -1, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P37

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual corretamente em todos os momentos e acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P38

1.a) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, no expoente.

ℎ(−2) = 1 − (2)2 ℎ(−2) = 1 − 2 ℎ(−2) = −1

1.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

ℎ(1) = 2 ∙ (1) + 1 ℎ(1)2 + 1

138

ℎ(1) = 3 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: No item c) inferimos que o aluno não percebeu a relação da expressão com a reta. Além disso, o aluno demonstrou saber resolver a questão, mas por um descuido errou um dos cálculos e acabou calculando equivocadamente, o que gerou uma

igualdade incorreta, pois 1 − (−2)2 não é igual a -1, contudo a forma com que o aluno escreve remete que ele não percebe isso. Utilizou o sinal de igual corretamente em todos os momentos e acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P39 Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P40

O aluno considerou que as duas funções fossem em forma fracionária e aplicou o limite nelas. 1.a)

1 − (−2)2

2 ∙ 2 + 1=−1

3

1.b) 1 − (1)2

2 ∙ 1 + 1=0

3

1.c) Esboçou corretamente a curva. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar a técnica do limite, mas nesse caso não era isso que era proposto. Inferimos que o aluno não havia se dado conta do que fazer nos itens a) e b), já que no c) acabou fazendo os cálculos corretamente para o gráfico.

P41

Desenvolveu os itens a) e b) de acordo com a resolução apresentada. 1.c) Seu equívoco foi traçar uma reta ao invés de uma curva. Comentários e Inferências: No item c) inferimos que o aluno não percebeu a relação da expressão com a reta. Sobre o sinal de igual, acreditamos que o aluno compreende como relação funcional, já que estabelece relação entre as variáveis.

P42

Desenvolveu os itens para as duas funções. 1.a)

ℎ(𝑥) = 1 − (2)2 2 ∙ (−2) + 1 1 − (−4) = 5 −4 + 1 = −3

1.b)

ℎ(𝑥) = 1 − 12 = 0 2 ∙ 1 + 1 = 3

1.c) Não esboçou. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou entender que era preciso substituir o valor -2 e 1 nas funções, mas não se atentou para a condição que a função dava. Ainda, percebemos que ele não utilizou h(-2) e h(1) quando substituiu a incógnita, mas sim h(x) e ora nem utiliza, escrevendo as expressões todas desorganizadas, como se não fossem resultantes de uma anterior. Inferimos que o aluno usou o sinal de igual como resultado, já que após a expressão vem a resposta e algumas vezes até o omitiu.

QUESTÃO 2 Q2 DESCRIÇÕES REPRESENTATIVAS DAS PRODUÇÕES

P1

2.a) O aluno desmembrou o quociente passando o f fosse para antes do sinal de igual fazendo a troca de sinal no numerador e “simplificou” o h do denominador com o h do numerador.

𝑓 =3ℎ − 3

ℎ= 𝑓 =

3 + 3ℎ

ℎ= 𝑓 = 6

2.b) O aluno reescreveu as expressões, mas não escreveu nenhuma resolução, apenas um sinal de interrogação. Comentários e Inferências: Pela produção escrita notamos que o aluno buscou encontrar o valor de f, como se fosse uma incógnita e não uma função, de forma que podemos inferir que o aluno pode ainda não compreender a diferença de equação e função e,

139

consequentemente, a igualdade de uma função. Sobre o sinal de igual, inferimos que o aluno compreende como resultado, em que é usado para dar a resposta final.


P3

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento ao fazer a multiplicação da fração.

1𝑥−1𝑎

𝑥 − 𝑎

𝑎 − 𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑥 − 𝑎1

=𝑎 − 𝑥

𝑥𝑎∙𝑥 − 𝑎

1=𝑎2 − 𝑥2

𝑥𝑎=

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno cometeu um equívoco na multiplicação, em que obteve o numerador e o denominador de forma invertida, o que acarretem uma resposta distinta, além disso, acreditamos que não soube simplificar, já que deixou o sinal de igual sem uma resposta. Inferimos que o aluno teve a noção de equilíbrio, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro.

P4

2.a) Supostamente, calculou o valor de 𝑓(𝑥) obtendo o valor 4 e reescreveu a função no quociente.

(4 + 3𝑥 − 𝑥2) − 4

3𝑥 − 𝑥2=𝑥2 − 3𝑥 − 4 − 4

−𝑥2 + 3𝑥=𝑥2 − 3𝑥 − 8

𝑥2 − 3𝑥

𝑓 =𝑥2 − 3𝑥 − 8

𝑥2 − 3𝑥

2.b) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Percebemos que o aluno se preocupou em trabalhar com a f(x) e desconsiderou a lei do quociente, também, não sabemos o motivo dele ter optado por aquele denominador. Ainda, ele mudou os sinais do numerador sem ter uma necessidade que ajudasse a resolver a questão. Sobre o sinal de igual, inferimos que o aluno compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P5

2.a) Transcreveu o quociente, mas ao iniciar a resolução com a fração substituiu o h por 4. 𝐹(3 + 4) − 𝐹(3)

4

𝐹(8) − 𝐹(3)

4

𝐹 =5

4

2.b) Reescreveu o quociente e substituiu o x por 2 e o a por 1. 𝑔(2) − 𝑔(1)

2 − 1=1

1

Comentários e Inferências: Percebemos que o aluno se preocupou em trabalhar com o quociente, mas desconsiderou a f(x). Por algum motivo ele assumiu que h=4 e somou incorretamente 3+4, escrevendo duas igualdades incorretamente, e de forma análoga, x=2 e a=1. Ainda, sobre o sinal de igual ele utilizou apenas na resposta final, dando a ideia de resultado.

P6

2.a) Calculou as raízes de f(x), encontrando as raízes -1 e 4. Depois opera com o quociente, “abrindo” o 𝑓(3 + ℎ).

𝐹(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥2 𝑓(𝑥) = 𝑥1 = −1 𝑥2 = 4 𝐹3 + 𝐹4− 𝐹3

𝐻=𝐹𝐻

𝐻

2.b) Substitui o g(x) por 1

𝑥 e depois “simplifica” a fração por x.

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎

1𝑥− 𝑔𝑎

𝑥 − 𝑎=𝑔𝑎

𝑎

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno sentiu a necessidade de resolver a função pela fórmula resolutiva da equação de segundo grau,

140

porém isso não é pedido no enunciado. Ainda trabalhou com o quociente desconsiderando a função, o que evidencia que ele não fez relação entre a função e o quociente. Ainda, no item b) faz uma simplificação equivocada, obtendo uma igualdade incorreta. Sobre o sinal de igual, inferimos que usou como fórmula.

P7

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento, ao multiplicar a seguinte expressão:

𝑎 − 𝑥

(𝑥 ∙ 𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎)=

𝑎 − 𝑥

𝑥2 − 𝑥𝑎 + 𝑥𝑎 − 𝑎2=

𝑎 − 𝑥

𝑥2 − 𝑎2

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tinha noção da resolução, mas por um equívoco acabou obtendo uma resposta incorreta. Ainda, no item a) ele não utilizou o sinal de igual em nenhum momento, já no b) em alguns momentos sim e em outros não.

P8

2.a) Reescreve a função buscando um valor para x. Depois opera com o quociente, “abrindo” o 𝑓(3 + ℎ).

𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥2 𝑓(𝑥) = 4 + 4𝑥2 𝑥2 = 4 − 4 𝑥 = 0

𝑓(3 + 4) − 𝑓(3)

ℎ

3𝑓 + 4𝑓 − 3𝑓

ℎ

4𝑓

ℎ= 4


𝑥 e depois faz algumas “simplificações”.

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎

1𝑥 − 𝑔

𝑥= 1 − 𝑔

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios de que o estudante operou, no item a), de maneira independente com as duas expressões e não encontramos indícios de que ele estabeleceu alguma relação entre a primeira expressão com a segunda. Também operou equivocadamente na função, o que gerou uma igualdade incorreta, demonstrando buscar apenas um valor para a incógnita. Ainda, no item b) faz uma simplificação equivocada, obtendo uma igualdade incorreta. Sobre o sinal de igual, inferimos que ele usa apenas para dar a resposta final, como forma de resultado.

P9

2.a) Substituiu o h do quociente pela função e ao final buscou um valor para o h. (3 + 4 + 3𝑥 − 𝑥2) − (3)

ℎ

(7 + 32) − 3

ℎ

(7 + 9) − 3

ℎ

16 − 3

ℎ

ℎ = 13

2.b) Substitui o g(x) e o x por 1

𝑥 e não utiliza o g(a), depois faz algumas “simplificações”.

1𝑥 − 𝑎

1𝑥 − 𝑎

= 0 Comentários e Inferências: Pela produção escrita no item a) notamos que o aluno buscou encontrar o valor de h e deu indícios de desconsiderar o valor de x, sendo que soma termos diferentes. Ele acabou calculando equivocadamente em vários momentos, o que gerou em

igualdades incorretas, por exemplo, 16−3

ℎ não é igual a ℎ = 13, contudo a forma com que o

aluno escreve remete que ele não percebe isso. No item b) buscou simplificar o máximo

141

que pode para obter um resultado, porém esta simplificação não poderia dar zero. Também não igualou a sua produção com o quociente em nenhum momento, desconsiderando que a sua resolução resulta daquela expressão, dessa forma a omissão do sinal não expressa que aquela expressão é igualada de uma anterior e utilizou apenas na resposta final o sinal de igual, dando a ideia de resultado.

P10

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento.

1

𝑥−1

𝑎∙𝑥

1−𝑎

1

𝑥 + 𝑎

𝑥 + 𝑎= 1

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tinha ideia da resolução, mas teve dificuldade em realizar a multiplicação de fração, o que acarretou em uma resposta incorreta. No item a) não utilizou o sinal de igual em nenhum momento, dessa forma esta omissão não demonstra que aquela expressão é igualada a uma anterior e já no item b) ora omite e ora usa o sinal de igual apenas na reposta final.

P11

2.a) Reescreve a função e substituiu o valor de x por 3. Depois opera com o quociente, “simplificando” o h.

𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥2 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 4 𝑓(3) = −32 + 3 ∙ 3 + 4 𝑓(3) = 9 + 9 + 4

𝑓(3) = 22 𝑓(3 + ℎ) − 22

ℎ⇒ 𝑓(3) − 22

𝑓(3) − 22 ⇒ 22 − 22 = 0


𝑥 e depois “simplifica” a fração por x.

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎⇒

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎⇒1− 𝑔(𝑎)

−𝑎

Comentários e Inferências: No item a) o aluno demonstrou entender que precisava aplicar o 𝑓(3) na função, porém, desconsidera que precisava fazer isso também na 𝑓(3 +ℎ). Também acabou lidando de forma equivoca no jogo de sinal no expoente de forma que chega uma igualdade incorreta. Ainda, no item b) faz uma simplificação equivocada, obtendo de novo uma igualdade incorreta. Também destacamos que na maior parte da resolução ele usa flechas para chegar a uma nova expressão dando a ideia do conectivo ‘então’ e, quando usa o símbolo.

P12

2.a) Optou pela estratégia correta, e fez a substituição do quociente na função, mas apresentou alguns equívocos na resolução, não fazendo o uso de parênteses.

𝑓(𝑥)4 + 3(3 + ℎ) − (3 + ℎ)2 − 4 + 3(3 + ℎ) − 32

ℎ

𝑓(𝑥)12ℎ + ℎ2

ℎ

𝑓(𝑥) 12 + ℎ 2.b) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: A produção escrita deu indícios que o aluno tinha noção que precisava substituir o quociente na função, mas fez isso de forma equivocada, o que não ajudou com que pudesse resolver a questão corretamente. Ainda, sobre o sinal de igual, não usou em nenhum momento, o que deixou a dúvida se o f(x) estava no numerador ou se a frente a fração.

P13

2.a) O aluno operou as duas expressões da questão, fazendo algumas “simplificações”.

=4+ 3𝑥 − 𝑥2(3 + ℎ) − 4 + 3𝑥 − 𝑥2(3)

ℎ

=−𝑥2(3 + ℎ) − 𝑥2(3)

ℎ

=(3 + ℎ) ∙ (3)

ℎ

=9+ 3ℎ

ℎ

142

2.b) Apenas substitui o x por 1

𝑥 .

=𝑔(1𝑥) − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno inicia juntando as expressões e obtém duas variáveis, x e h, mas no decorrer da resolução simplifica o x e sua reposta fica em função de h. Inferimos que o aluno não se preocupa em tomar cuidado se suas simplificações continuam deixando a igualdade correta, mas busca simplificar o máximo possível para chegar na resposta. Inferimos que o aluno teve a noção de equilíbrio, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro, apesar de seus cálculos não remeterem a isso.

P14

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Teve apenas um erro de procedimento, obtendo a resposta positiva ao invés de negativa. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tinha noção da resolução, apenas teve um pequeno equívoco. Sobre o sinal de igual, no item a), fez uso dele apenas no momento de dar a resposta final, dessa forma esta omissão não demonstra que aquela expressão é igualada a uma anterior. Já no item b) ora usa o sinal de igual e ora flechas. Assim, inferimos que o aluno compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P15

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento.

𝑥−1 − 𝑎−1

𝑥 − 𝑎= −1

Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno tinha ideia da resolução, mas no item b) não soube utilizar as manipulações algébricas para resolver. No item a) não faz uso do sinal de igual em nenhum momento, dessa forma esta omissão não demonstra que aquela expressão é igualada a uma anterior. Já no b) utilizou pouco.

P16

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas errou no procedimento.

1𝑥 −

1𝑎

1𝑥−1𝑎

=1

𝑥2−1

𝑎2

Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno tinha ideia da resolução, mas no item b) não soube utilizar as manipulações algébricas para resolver. Sobre o sinal de igual, faz uso em poucos momentos e nos outros o omite.

P17

2.a) Não apresentou produção escrita.

2.b) Transformou 1

𝑥 em fração e omitiu todos os x. Igualou ao quociente e iniciou sua

resolução.

=√𝑔 − 𝑔(𝑎)

√𝑎=√𝑔 − 𝑔

√𝑎 − 𝑎= 1

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno teve dificuldade de compreender a relação da função com o quociente. Contudo, a forma como apresentou sua resolução, nos leva a acreditar que o aluno compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P18

2.a) O aluno operou as duas expressões da questão, fazendo algumas “simplificações”. 4 + 3𝑥 − 𝑥2(3 + ℎ) − 4 + 3𝑥 − 𝑥2(3)

ℎ

= 4 + 3(3) − 4 + 3 = 4(3) − 4 = 18 − 4 = 12

2.b) Substitui o x por 1

𝑥 .

𝑔(1𝑥) − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎=

1𝑥 − 𝑎

1𝑥− 𝑎

143

Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) percebemos que o aluno inicia juntando as expressões e obtém duas variáveis, x e h, mas no decorrer da resolução simplifica ambas e sua resposta é numérica. Inferimos que o aluno não se preocupa em tomar cuidado se suas simplificações continuam deixando a igualdade correta, mas busca simplificar o máximo possível para chegar na resposta. Já no item b) ele busca resolver, mas comete um erro ao buscar simplificar tudo. Ainda, sobre o sinal de igual em alguns momentos ele o omite e quando usa, inferimos, que o aluno compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P19

2.a) O aluno fez a 𝑓(𝑓(3 + ℎ)).

𝐹 =4 + (3𝐹(3 + ℎ) − 𝐹(3)

ℎ−𝐹[(3 + ℎ) − 𝐹(3)]2

ℎ

𝐹 = 4 + (3𝐹(3 + ℎ) − 𝐹(3) − [3𝐹 − 𝐹ℎ − 𝐹(3)]2 …

𝐹 =27𝐹 + 47𝐹ℎ − 𝐹(12)

ℎ

2.b) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: A produção escrita deu indícios que o aluno tinha noção que precisava substituir o quociente na função, mas não soube qual caminho tomar para fazer isso. Ainda, sobre o sinal de igual inferimos que compreende como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P20

2.a) Multiplicou a função por 𝑓(3 + ℎ) e 𝑓(3). (4 + 3𝑥 − 𝑥2)(3 + ℎ) − [4 + 3𝑥 − 𝑥2(3)]

ℎ

… 4ℎ + 3ℎ𝑥 − ℎ𝑥2

ℎ∴(ℎ + 𝑥)(4ℎ − 𝑥)

ℎ

ℎ(4 + 3𝑥 − 𝑥2)

ℎ∴ 4 + 3𝑥 − 𝑥2 ∴ (1 + 𝑥)(4 − 𝑥) = 0

2.b) Substitui o g por 1

𝑥.

1𝑥(𝑥) −

1𝑥 (𝑎)

𝑥 − 𝑎∴1 − 𝑎

𝑥2 − 𝑎=1

𝑥2

Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) percebemos que o aluno inicia juntando as expressões e obtém duas variáveis, x e h, mas no decorrer da resolução simplifica o h e sua resposta fica em função de x. Inferimos que o aluno não se preocupa em tomar cuidado se suas simplificações continuam deixando a igualdade correta, mas busca simplificar o máximo possível para chegar na resposta. No item b) o aluno não conseguiu escolher uma estratégia que o ajudasse na resolução. Ainda, sobre a estratégia tomada pelo aluno, utilizou o sinal de igual apenas na resposta final, em outros momentos o omite e utiliza o símbolo do conectivo de ‘portanto’ no seu lugar quando escreve na mesma linha.

P21

2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas não conseguiu simplificar a expressão ao final. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tinha noção da resolução, mas por um equívoco acabou obtendo uma resposta incorreta e nem buscou simplifica-la. No item a) utilizou o sinal de igual apenas na resposta final e apenas em um momento quando escreve duas expressões na mesma linha. Já no item b), inferimos que foi usada com a ideia de separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P22

2.a) Buscou colocar o x da função em evidencia e depois operar com o quociente.

𝑥(𝑥 + 3 + 4) 𝑥(𝑥 + 7) 𝑥2 + 7

𝑥2 + 7(3 + ℎ) − 𝑥2 + 7(3)

ℎ=3 + ℎ − 3

ℎ=ℎ

ℎ


𝑥 e faz algumas “simplificações”.

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎= 1 − 𝑔

144

Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) percebemos que o aluno busca simplificar a função, mas comete muitos erros matemáticos. Depois busca juntar as expressões e obtém duas variáveis, x e h, mas no decorrer da resolução simplifica x e sua resposta fica em função de h. Ainda, chamamos a atenção para a forma como o aluno resolve os cálculos, como se não desse a real importância em verificar se a igualdade de mantinha válida. Já no item b) vemos que, novamente, as simplificações excessivas o fazem errar. Sobre o sinal de igual ora utiliza e ora o omite e quando utiliza, inferimos, que seja apenas como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P23


𝑓(3 + ℎ) = 4 + 3(3 + ℎ) − (3 + ℎ)2 𝑓(3 + ℎ) = 4 + 3(3 + ℎ) − 9 + 6ℎ + ℎ2

𝑓(3 + ℎ) = ℎ2 + 9ℎ + 4 𝑓(3) = 4 + 3 ∙ 3 − 32

𝑓(3) = 4

=ℎ + 9ℎ + 4 − 4

ℎ

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)

ℎ= ℎ + 9

2.b) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento. 1𝑥 −

1𝑎

𝑥 − 𝑎=𝑥−1 − 𝑎−1

𝑥 − 𝑎=

1

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução do cálculo, porém comete alguns equívocos no jogo de sinal e nas manipulações algébricas. Utilizou o sinal de igual corretamente, mesmo fazendo três cálculos separados demonstra compreender o que cada resultado significa na igualdade final. Inferimos que o aluno teve a noção de equilíbrio, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro.

P24

2.a) “Abriu” o 𝑓(3 + ℎ) em 𝑓(3) e 𝑓(ℎ).

=[(4 + 3 ∙ 3 − 32) − (4 + 3ℎ − ℎ2)] − (4 + 3 ∙ 3 − 32)

ℎ

…

=−3ℎ + ℎ2 − 4

ℎ=ℎ(−3 + ℎ) − 4

ℎ= −3 + ℎ − 4 = ℎ − 7

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)

ℎ= ℎ − 7

2.b) Teve apenas um erro de procedimento, obtendo a resposta positiva ao invés de negativa. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem uma ideia correta da resolução, mas o modo como lida com 𝑓(3 + ℎ) acaba prejudicando sua reposta e obtendo outro valor final. Utilizou o sinal de igual corretamente, demonstrando entender que se tratava de igualdades. Inferimos que o aluno teve a noção de equilíbrio, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro.

P25


𝑓(3 + ℎ) = 4 + 3(3 + ℎ) − (3 + ℎ)2 4 + 9 + 3ℎ − 9 + 6ℎ + ℎ2

4 + 9ℎ + ℎ2 𝑓(3) = 4 + 3 ∙ 3 − 32

𝑓(3) = 4 ℎ + 9ℎ + ℎ2 − 4

ℎ= 9 + ℎ

2.b) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem uma ideia correta da resolução, mas o modo como lida com 𝑓(3 + ℎ) acaba prejudicando sua reposta e obtendo outro valor final. Porém este aluno faz os passos da resolução longes um do outro, como se fossem cálculos independentes, mas no momento de juntar os resultados de 𝑓(3) com 𝑓(3 + ℎ)

145

não usa o sinal de igual, omitindo a ideia de igualdade, além disso, utilizou o símbolo apenas na resposta final, com a ideia de resultado.

P26

2.a) “Abriu” o 𝑓(3 + ℎ) em 𝑓(3) e 𝑓(ℎ) e depois aplica o h na função dada.

=𝑓(3) + 𝑓(ℎ) − 𝑓(3)

ℎ=𝑓(ℎ)

ℎ=

4 + 3ℎ − ℎ2

ℎ=4 + ℎ(3 − ℎ)

ℎ=

7 − ℎ 2.b) Escolheu a estratégia correta, mas não conseguiu simplificar a expressão ao final. Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) vemos que o aluno buscou simplificar o que pode para poder facilitar sua resolução, contudo isso afetou o desenvolvimento dela, dando indícios que ele estava preocupado em simplificar o máximo para facilitar o cálculo ao invés de verificar se a igualdade estava válida. Notamos que ele não fez relação entre a resposta que obteve no quociente com a função. No item b) vemos que ele tinha noção da resolução, mas não simplificou. Sobre o sinal de igual, inferimos, que ele tome como separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução.

P27

2.a) Optou pela estratégia correta, e fez a substituição do quociente na função, mas apresentou alguns equívocos na resolução, fazendo “simplificações” incorretas.

4 + 3(3 + ℎ) − (3 + ℎ)2 − (4 + 3 ∙ 3 − 32) …

ℎ(−3ℎ + ℎ2 − 4)

ℎ= −3 + ℎ − 4 = −7ℎ


1𝑎

𝑥 − 𝑎= 1 − 1 = 0

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução do cálculo, porém comete alguns equívocos que interfere nas resoluções. Sobre o sinal de igual, faz uso dele apenas quando escreve as expressões na mesma linha e na resposta final, sendo que nos outros momentos o omite, dessa forma inferimos que sua compreensão é como resultado, em que usa para dar a resposta final.

P28

2.a) Calculou as raízes de f(x), mas depois não as utiliza e opera com o quociente de forma independente à função.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 4

∆= (−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4 ∆= −7

𝑥 =3 ± √−7

2

𝑓(3) = 4 + 3 ∙ 3 − (3)2 𝑓(3) = 4

4 + ℎ − 4

ℎ=ℎ

ℎ= ℎ


𝑥 e g(a) por (x-a).

1𝑥 − (𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎=1

𝑥

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução parcial do cálculo do item a), porém o modo como lida com 𝑓(3 + ℎ) acaba prejudicando sua resolução. Além disso, o aluno faz os passos da resolução longes um do outro, como se fossem cálculos independentes e, inferimos que compreende como fórmula, já que utiliza a fórmula resolutiva para a equação do segundo grau.

P29

2.a) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento ao esquecer o

elemento (3 + ℎ)2 e os parênteses. 4 + 3 ∙ (3 + ℎ) − 4 + 3 ∙ 3 − 32

ℎ

4 + 9 + 3ℎ − 4 + 9 − 9

ℎ

146

4 + 9 + 3ℎ − 4

ℎ= 0

4 + 9 + 3ℎ − 4 = ℎ 2ℎ = −4 − 9 + 4

ℎ =9

2

2.b) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução do cálculo, porém comete um pequeno equívoco que interfere na resposta. Sobre o uso do sinal de igual usa quando dar chegar a uma resposta, nos leva a inferir que compreende como resultado.

P30

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada, fazendo separadamente o 𝑓(3) e o 𝑓(3 + ℎ), depois faz uso de uma flecha para indicar que a união das duas respostas resulta do quociente. Comentários e Inferências: O aluno ao unir os dois resultados com uma flecha dá a ideia de que ‘então aquilo seja igual a isso’ e na sequência utiliza corretamente o sinal de igual. Assim, acreditamos que o aluno tem a ideia de equilíbrio, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro.


P32

2.a) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento ao esquecer os parênteses.

4 + 3 ∙ (3 + ℎ) ∙ (3 + ℎ)2 − 4 + 3 ∙ 3 − 32

ℎ

4 + 3 ∙ 3 + 3ℎ − 9 + 6ℎ + ℎ2 − 4+ 9 − 9

ℎ

−3+ 9ℎ + ℎ2

ℎ= −

3

ℎ+ 9 + ℎ


𝑥 e g(a) por a.

1𝑥 − 𝑎

𝑥 − 𝑎=

1𝑥𝑥−𝑎

𝑎=1

𝑥2− 1

1

𝑥∙1

𝑥=1

𝑥2

Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução do cálculo, porém comete um pequeno equívoco que interfere na resposta. Já no item b) demonstra não compreender muito bem a relação do quociente om a função, seguindo um caminho que não lhe ajuda a obter a resposta. Sobre o sinal de igual, omite em alguns momentos como se aquela expressão é igualada a uma anterior e, assim, inferimos que compreende como resultado, em que é usado para dar a resposta final.


P34

2.a) Apenas calculou as raízes de f(x).

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆= (−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4

∆= 9 + 16 ∆= 25

−𝑏 ± √∆

2𝑎

−3± 5

−2=→

−14

−2= 7 →

−4

−2= 2


𝑥.

1𝑥− 𝑔(𝑎)

𝑥 − 𝑎→ ∞

Comentários e Inferências: Notamos no item a) que o aluno opta por encontrar as raízes da função e acaba desconsiderando o quociente, já no b) acreditamos que ele não soube fazer as manipulações algébricas e afirmou que tendia ao infinito. Sobre o uso do sinal de

147

igual, inferimos que ele compreende como fórmula, já que apenas aplica os valores na fórmula resolutiva para a equação do segundo grau.

P35

2.a) Ele multiplica a função por 𝑓(3 + ℎ) e 𝑓(3) e depois busca obter o valor de x. 4 + 3𝑥 − 𝑥2 ∙ (3 + ℎ) − 4 + 3𝑥 − 𝑥2 ∙ 3

ℎ= ⋯ =

4ℎ + ℎ + 18𝑥

ℎ=5ℎ + 18𝑥

ℎ

= 5 + 18𝑥 = 18𝑥 = −5 = 𝑥 =−5

18

2.b) Substitui o g por 1

𝑥.

1𝑥(𝑥) −

1𝑥(𝑎)

𝑥 − 𝑎=1 + 𝑥2 −

1𝑥(𝑎)

𝑥 − 𝑎=1 + 𝑥2 + 𝑥𝑎

𝑥 − 𝑎= 1 + 𝑥2 + 𝑎

Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) percebemos que o aluno inicia juntando as expressões e obtém duas variáveis, x e h, mas no decorrer da resolução simplifica h e na sua resposta encontra o valor de x. Acreditamos que o aluno não percebeu que o passo de encontrar a incógnita estaria cometendo um equívoco. No item b) não fez corretamente a substituição da função, o que o levou a caminhos diferentes e ainda errou nas simplificações. Ele utiliza o sinal de igual em todos os passos, mas inferimos que o aluno apenas quer buscar um valor numérico ao final, o que nos leva a entender que ele compreende o símbolo apenas como um separador, sem se dar conta se as igualdades são válidas.

P36

2.a) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento ao esquecer os parênteses.

4 + 3 ∙ (3 + ℎ) ∙ (3 + ℎ)2 − 4+ 3 ∙ 3 − 32

ℎ=4 + 9 + 3ℎ − 9 − ℎ2 − 4+ 9 − 9

ℎ=

=3ℎ − ℎ2

ℎ=ℎ(3 + ℎ)

ℎ= 3 + ℎ


1𝑎

𝑥 − 𝑎=

𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎

=1

𝑥 − 𝑎

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da resolução do cálculo, porém no item a) comete um pequeno equívoco que interfere na resposta e no b) acreditamos que não soube fazer as manipulações algébricas necessárias. Sobre o sinal de igual utilizou corretamente e inferimos que ele compreende como equivalência, sendo que tudo que está de um lado do sinal de igual representa a mesma coisa do que está do outro.


P38

2.a) Substitui (3 + ℎ) e 3 na função. 4 + 3(3 + ℎ) − 32

ℎ=4 + 9 + 3ℎ − 9

ℎ=4 + 3ℎ

ℎ=

2.b) Substitui o g(x) e o x por 1

𝑥.

1𝑥 − 𝑔(𝑎)

1𝑥 − 𝑎

=−𝑔(𝑎)

−𝑎

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem uma ideia da resolução, mas o modo como lida com as substituições em 𝑓(3 + ℎ) e 𝑓(3) acaba prejudicando sua reposta e obtendo outro valor final. No item a) apenas faz simplificações para obter o resultado. Sobre o sinal de igual, começa as resoluções sem igualar aos quocientes, porém mais adiante utiliza o símbolo, por fim escreve o sinal, mas não escreve nenhuma resposta na sequência, dando a ideia de que sua igualdade não foi obtida. Assim, inferimos que ele compreendeu o símbolo apenas como um separador, sem se dar conta se as igualdades são válidas.

P39 2.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 2.b) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento, obtendo a resposta positiva ao invés de negativa.

148

Comentários e Inferências: Demonstra compreender a resolução de ambas tarefas. Porém, poucas vezes utiliza o sinal de igual, no item a) o aluno resolve 𝑓(3 + ℎ) e 𝑓(3) separadamente e ao dever unir os dois resultados não faz nenhum símbolo para poder dar continuidade a resolução, assim destacamos a omissão total do símbolo no item a), como se as expressões não fossem igualdades.


P41

Desenvolveu os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: O aluno demonstra compreender a resolução das tarefas. Sobre o sinal de igual, utilizou em todos os momentos, as vezes até exageradamente, igualando a função e igualando a expressão. Nesse sentido chamamos a atenção para que o aluno iguala a 𝑓(𝑥) o que na verdade seria ao quociente, a um 𝑟(𝑥) por exemplo. Assim, inferimos que o aluno usa o sinal apenas de forma mecânica como um separador, em que é preciso separar o passo a passo da resolução, já que escreve-as na mesma linha.

P42

2.a) Não apresentou produção escrita.


4 .

=

14 − 𝑔

(𝑎)

14− 𝑎

=

14 − 𝑔

14

=4

4= 1

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno teve dificuldade de compreender a relação da função com o quociente. Contudo, a forma como apresentou sua resolução, nos leva acreditar que ele teve a noção de separador, apenas para separar o passo a passo.

QUESTÃO 3


P1 O aluno inicia escrevendo: 𝑓(𝑥)𝑥→6 = 4 𝑓(𝑥)𝑥→1 = 10 𝑓(𝑥)𝑥→6 = 4 𝑓(𝑥)𝑥→5 =?

Após isso conclui que s𝑒 𝑥 ∁ [4,6) e s𝑒 𝑥 ∁ [5,10). Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno buscou relações com as propriedades do limite e não com de reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que ele compreende o sinal de igual como resultado, já que escreve os valores dos pontos como se fossem resposta daquela função.

P2 Não apresentou produção escrita. P3 O aluno fez a resolução apenas para a segunda reta, mas cometeu um equívoco quando

escreve a expressão e, ainda, depois faz a multiplicação de fração como se fosse adição. −4

5=1 ∙ 𝑦𝑜10 ∙ 𝑥𝑜

−4

5=1 + 𝑦𝑜10 + 𝑥𝑜

𝑓(𝑥) = 5𝑦 + 4𝑥 + 45 = 0 Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber como resolver a questão, mas um pequeno equívoco com a fórmula fez com que sua resposta fosse outra. O equívoco evidencia que ele prosseguiu com uma igualdade incorreta, pois a forma como lidou com a multiplicação não condiz com o processo correto. Ainda, acreditamos que ele não percebeu que havia a necessidade de fazer para a outra reta. Inferimos que o aluno compreende o sinal de igual como fórmula, já que operando de forma incorreta, dando a ideia de que está mecanizando em um cálculo.

149

P4 O aluno apenas escreve que 𝑓(0) = 4 𝑓(5) = 5 𝑓(10) = 1

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno tem noção de domínio e imagem, mas não conseguiu resolver usando os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que ele compreende o sinal de igual como resultado, já que escreve os valores dos pontos como se fossem resposta daquela função.

P5 O aluno apenas escreve que 𝑓(5) 5

𝑓(10) = 1 Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno tem noção de domínio e imagem, mas não conseguiu resolver usando os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, utilizou o sinal de igual apenas em um momento e no outro omite deixando um espaço vazio.

P6 O aluno apenas escreve 𝑓(4) = [𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 0] 𝑓(5) = [𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 5]

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno quer expressar um intervalo para as funções, mas não conseguiu resolver usando os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que ele compreende o sinal de igual como resultado, já que escreve o conjunto para quais os valores dos pontos recebiam, segundo ele.

P7 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual corretamente na maioria das vezes,

exceto quando o omite fazendo 1−5

10−5

−4

5, o que inferimos que o aluno atribuiu ao

significado de igualdade o espaço vazio, em branco, para mostrar que as duas frações não eram as mesmas, mas sim a resposta de uma delas.

P8 Não apresentou produção escrita. P9 Não apresentou produção escrita. P10 O aluno escreve:

{4 𝑠𝑒 𝑥 = 0 4 +𝑥

2 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 5 5 𝑠𝑒 𝑥 = 5 6 −

𝑥

2𝑠𝑒 𝑥 < 5

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno quer expressar um intervalo para as funções, mas não conseguiu resolver usando os cálculos da reta tangente. E que tem noção de expressar em forma de igualdade e desigualdade. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que pouco o utiliza, mas acreditamos que ele buscou relações entre domínio e imagem.

P11 O aluno escreve duas resoluções que parecem estar de forma independente. Na primeira utiliza os pontos do gráfico em forma de função, na segunda estratégia faz em forma de matriz. Porém, não conclui nada de destes caminhos.

𝑓(𝑥) = 10𝑥2 + 5𝑥 + 6 + 4 𝑓(𝑥) = 10𝑥2 + 5𝑥 + 10

𝑥 𝑦5 510 15 6

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não soube utilizar a fórmula da reta tangente e buscou algumas estratégias para resolver, mas ambas parecendo estar de forma independente. Ele demonstra saber o formato de uma função, mas não sabe coletar os valores para formar uma função correta. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que utilizou o sinal de igual como fórmula, já que aplicou numa possível fórmula de equação de segundo grau.

P12 O aluno escreve uma função e depois inicia várias tentativas independentes entre si de resolver a questão, como multiplicação de fração, mas não chega a nenhum resultado final.

𝑓(𝑥) = {𝑥 +2

5 𝑠𝑒 𝑥 < 5 𝑥 −

150

Comentários e Inferências: Aparentemente o aluno buscou relações do gráfico com uma função, entretanto não conseguimos inferir sobre o significado dessa escolha e das demais que teve. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.

P13 Não apresentou produção escrita. P14 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada para a primeira reta.

6 = 5𝑎 + 𝑏 ⋯

𝑦 =2

5𝑥 + 4 → 𝑥 < 5

O aluno escolhe a estratégia correta, mas comete um erro de procedimento para a segunda reta, obtendo como resposta:

𝑦 =5

5𝑥 + 1 → 𝑥 > 5.

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber como resolver a questão, mas um pequeno equívoco fez uma das expressões mudar. Utilizou o sinal de igual corretamente e inferimos que ele compreende a relação entre o gráfico e as expressões.

P15 O aluno inicia buscando o valor do coeficiente angular, mas utiliza outros valores, isso faz com que sua resolução seguinte não coincida com a esperada

𝑚 =1 − 6

0 − 10=−5

−10==

1

2

1

2=1 − 𝑦

5 − 10

⋯ 𝑦 = 5

1

2=1 − 5

5 − 𝑥

𝑥 =8

5

𝑓(𝑥) =8

5𝑥 + 5

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno tem noção do cálculo de coeficiente angular e reta tangente, mas não soube interpretar o gráfico corretamente o que o fez errar. Utilizou o sinal de igual em toda a sua resolução, mas inferimos que o utilizou como fórmula, já que estava operando os valores em uma.

P16 O aluno apenas escreve

𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒 𝑥 ≠ 5 𝑥2 − 25

𝑥2 + 2𝑥 − 35𝑠𝑒 𝑥 = 5 ∄

Comentários e Inferências: Aparentemente o aluno buscou relações do gráfico com uma função, entretanto não conseguimos inferir sobre o significado dessa escolha. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.

P17 O aluno apenas escreve 𝑓(𝑥)𝑥→5− = 𝑥

2 − 8+ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑥→5+ = 𝑥 + 2

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite e com funções, mas sem expressar o porquê a escolha por aquelas funções. Ele demonstra saber o formato de uma função, mas não sabe coletar os valores para formar uma função correta. E também não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, mas inferimos que talvez tenha uma compreensão como resultado.

P18 O aluno apenas escreve: 𝑓(𝑥)𝑥→4−

151

𝑓(𝑥)𝑥→10− Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite, porém não igualou a nada, omitindo o sinal de igual. Também não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual.

P19 O aluno escreve lim𝑥→5−

𝑓(𝑥) =6

lim𝑥→5+

𝑓(𝑥) = 5

lim𝑥→5

𝑓(𝑥) = ∄

lim𝑥→10

𝑓(𝑥) = 1

𝑓(0) = 4 Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite, mas não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que ele compreende o sinal de igual como resultado, já que escreve os valores dos pontos como se fossem resposta daquela função.

P20 O aluno expressa o gráfico por meio de intervalos, tanto usando representação por desenhos, quanto de forma escrita, a saber

𝑎 [0,5), 𝑏 [5,10), 𝑎𝑈𝑏 [0,10] Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação de intervalo, mas não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual.

P21 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual corretamente e inferimos que ele compreende a relação entre o gráfico e as expressões. Apenas destacamos que no final, ao encontrar a resposta correta faz uso de uma flecha para indicar que ela vem da lei de formação de uma função.

𝑦 =−4

5𝑥 + 𝑏 ⇐ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

P22 O aluno escreve que buscou encontrar a distância da curva entre 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), fazendo 𝑔(𝑥)𝑥→5 − 𝑓(𝑥)𝑥→5

𝑔(𝑥 + 5)𝑥→10 − 𝑓(𝑥 + 4)𝑥→9 e essa distância é igual a 1, resultado do 10 − 9 dos valores que 𝑥 está tendendo. Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre as duas retas, mas não utilizou os cálculos da reta tangente, além disso faz uma igualdade incorreta, pois subtrai os valores de x como se fosse isso que estivesse subtraindo e não as funções. Ainda, sobre o sinal de igual utilizou apenas na resposta final, com a ideia de resultado.

P23 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Utilizou o sinal de igual na maior parte da resolução, omitiu apenas ao escrever as respostas finais, porém inferimos que utilizou o símbolo fórmula, já que demonstra estar substituindo os valores em uma.


𝑓(𝑥) =

{

4 + 𝑥 ∙

2

10, 𝑠𝑒 𝑥 < 5

5 − 𝑥 ∙1

10, 𝑠𝑒 𝑥 > 5

𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 = 5

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno estava desenvolvendo corretamente a primeira expressão, mas depois não conseguiu acertar para as outras. Ainda inferimos que o aluno não percebeu na última expressão que se 𝑥 = 5 então ele teria 5 e não mais o x. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.


152


𝑓(𝑥) = {𝑥 + 4 𝑝/ 𝑥 < 5𝑝/ 𝑥 ≥ 5

Comentários e Inferências: A produção escrita evidencia que o aluno buscou relação com funções, mas sem expressar o porquê a escolha por elas. E também não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.


{𝑥 > 5𝑥 < 5𝑥 = 5

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não percebeu que estava tomando um mesmo x com valores diferentes, pois escreve com sinal de igual, de maior e de menor, obtendo assim igualdades falsas. Inferimos que ele não percebeu esse equívoco quanto ao sinal de igual e fez uso incorreto. Assim, pouco se pode inferir sobre sua compreensão.

P28 O aluno apenas escreve lim𝑥→5−

=6

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite, mas não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, sobre o sinal de igual, inferimos que seja como resultado.

P29 Não apresentou produção escrita. P30 Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual, ora o omitiu e deixou espaços em branco dando a ideia de seu uso.

P31 O aluno apenas escreve 𝑓(𝑥)𝑥→0− = 4 𝑓(𝑥)𝑥→5+ = 5

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite, mas não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, inferimos que ele compreende o sinal de igual como resultado, já que escreve os valores dos pontos como se fossem resposta daquela função.

P32 O aluno apenas escreve lim𝑥→5

5 = lim𝑥→10

1 = lim𝑥→5−

6

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico com limite, e acabou igualando-os. Inferimos que o aluno não percebeu que as igualdades não são verdadeiras e, assim, fez uso incorreto do sinal de igual.

P33 Não apresentou produção escrita. P34 O aluno apenas escreve

𝑓(𝑥) = {2𝑥2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0

3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

Comentários e Inferências: A produção escrita evidencia que o aluno buscou relação com funções, mas sem expressar o porquê a escolha por elas. E também não utilizou os cálculos da reta tangente. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.

P35 O aluno considera um dos pontos do gráfico tendendo a um valor e escreve

𝑓(𝑥)𝑥→5 = {5 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 < 65 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 5

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno buscou relações de intervalos, mas não conseguiu resolver usando os cálculos da reta tangente. Mas nota-se que esta estratégia não é correta, pois seu intervalo não foi analisado corretamente do gráfico. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas

153

julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.

P36 O aluno apenas escreve 5 = 5 0 = 4 10 = 1

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno buscou estabelecer uma relação entre os pontos do gráfico, mas para isso igualou alguns. Inferimos que o aluno não percebeu que as igualdades não são verdadeiras e, assim, fez uso incorreto do sinal de igual.

P37 Não apresentou produção escrita. P38 Não apresentou produção escrita. P39 Optou pela estratégia correta, mas não finalizou a resolução.

𝑚 =4− 6

0 − 5=−2

−5

2

5=4 − 𝑦

0 − 𝑥

Comentários e Inferências: Percebemos que o aluno tinha conhecimento do cálculo, mas por algum motivo não continuou. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza pouco, mas inferimos que seja como fórmula, já que substituiu os valores em uma.

P40 O aluno escreve 3

−10=4𝑦

0𝑥

0 + 3𝑥 = −40 − 10𝑦 40

−10+3𝑥

−10= 𝑦

−4 +3𝑥

−10= 𝑦

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem

dificuldade de operar com frações, pois é como se estivesse fazendo 3

−10=

4+𝑦

0+𝑥, o que gera

uma igualdade incorreta. Considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual.

P41 Escreveu a expressão correta para a primeira reta, já para a segunda escreve que é 𝑓(𝑥) =11 − 𝑥, porém não apresenta os cálculos que usou para obter essas respostas. Comentários e Inferências: Como ele não apresentou produção escrita não podemos dizer como chegou àquela resposta. Ainda, considerando a estratégia tomada pelo aluno, pouco se pode inferir sobre sua compreensão sobre o sinal de igual, já que utiliza apenas uma vez, mas julgamos que como a questão solicitava que fosse encontrada uma expressão para a função, o aluno empregou o símbolo mais como resultado.


QUESTÃO 4


P1 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 0 X; d) 0 X; e) -4 ✓; f) 1 X; g) 0 X; h) 1 X; i) 8 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter conhecimento do limite das funções quando a curva ou a reta estava desenhada, mas quando ele precisava analisar a imagem sem essa representação, demonstrou dificuldade, também inferimos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

P2 a) −∞ X; b) 3 X; c) 1 ✓; d) 3 X; e) -4 ✓; f) +∞ X; g) 10 ✓; h) 2 ✓; i) 2 X; j) 0 ✓. Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno ora analisa o gráfico como se fosse realmente o x tendendo a algum valor e ora parece que ele olha o y tendendo, pois a forma como a curva se dá, deu a entender que ele analisou ao contrário. Ele demonstrou ter mais facilidade ao olhar para o conjunto imagem, obtendo maior êxito.

P3 Desenvolveu todos os itens corretamente. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico.

P4 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 0 X; d) ; e) -4 ✓; f) 1 X; g) 0 X; h) 2 ✓; i) 2 X; j) 6 X.

154

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter conhecimento do limite das funções quando a curva ou a reta estava desenhada, mas quando ele precisava analisar a imagem sem essa representação, demonstrou dificuldade, também inferimos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

P5 a) ; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) ]3[ X; g) ]6,8][10] X; h) 2 ✓; i) ]8[ X; j) ]6[ X. Comentários e Inferências: O aluno se preocupou em dizer se o ponto pertencia ao conjunto ou não, usando o símbolo de conjunto aberto ou fechado. Assim, notamos que ele tem mais dificuldade de analisar quando a curva ou a reta não estava desenhada, optando por escrever mais de um ponto, sendo os que estavam no mesmo eixo do limite pedido.

P6 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) ∄ ✓; e) +∞ X; f) 1 X; g) ∄ X; h) −∞ X; i) 4 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: O aluno começou acertando todos os itens, mas depois não acertou mais nenhum, talvez ele tenha se distraído, mas notamos que ele se fixou mais em olhar para a curva ou a reta estava desenhada o que pode ter prejudicado.

P7 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto o item g), respondendo que ∄. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas cometeu um equívoco.

P8 a) -4 X; b) 1 ✓; c) 3 X; d) 1 X; e) 1 X; f) 1 X; g) 6 X; h) 1 X; i) 0 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno teve bastante dificuldade de analisar o gráfico, não considerando quando o ponto era pertencendo ou não ao conjunto e não seguindo a curva corretamente.

P9 a) 2,9 X; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 0 X; e) ∄ X; f) 0 ✓; g) -3 X; h) 2,9 X; i) ∄ ✓; j) 0 ✓. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter ideia de analisar o gráfico, mas cometeu alguns erros, como ele tinha noção que o 3 não pertencia ao conjunto, então escrevei 2,9, porém essa não seria a resposta. Talvez alguns quesitos ainda não foram bem esclarecidos para ele.

P10 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto os itens d) = 3 e 1 e i) = 4 e 0. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas notamos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

P11 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) ∄ X; d) 1 X; e) -4 ✓; f) -4 X; g) 10 ✓; h) ∄ X; i) 2 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou tem algumas dificuldades, inferimos que quando não entendia qual seria o valor, acreditava que não existia ou também não se deu conta que o ponto não era pertencente ao conjunto. Vemos que ele até analisa o gráfico, mas ainda teria alguns conceitos para serem mais explorados.

P12 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto os itens d) = 1 e i) = 2. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas notamos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

P13 a) 3 ✓; b) 4 X; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) 1 X; g) 4 X; h) ∞ X; i) 4 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou utilizar pontos não pertencentes ao conjunto como suas respostas, o que demonstra dificuldade de compreender e analisar o gráfico.



P16 Desenvolveu os demais itens corretamente, exceto os itens c) e e). Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas inferimos que talvez por ele ter tido dificuldade de analisar aquele limite, respondeu que o limite não existia.

P17 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 1 X; e) +∞ X; f) 1 X; g) ∄ X; h) −∞ X; i) 4 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: O aluno começou acertando todos os itens, mas depois não acertou mais nenhum, talvez ele tenha se distraído e confundido os gráficos, pois parece que ora ele olhou para um e ora para outro.

P18 a) 1 X; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) 1 X; g) 0 X; h) 2 ✓; i) 6 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: Notamos que todos os limites em que o x estava tendendo a 0, o aluno respondeu 1. Assim, inferimos que ele teve a mesma compreensão para todos, não

155

notando que a direção interferia na resposta. Também cometeu alguns equívocos quanto aos pontos que não pertenciam ao conjunto.

P19 Desenvolveu os demais itens corretamente, exceto os itens i) e j), respondendo 4 e 6, respectivamente. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas inferimos que talvez não percebeu que aqueles valores não pertenciam ao conjunto.

P20 a) 3 ✓; b) -4 X; c) 1 ✓; d) 4 X; e) +∞ X; f) -4 X; g) 0 X; h) +∞ X; i) 8 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno teve bastante dificuldade de analisar o gráfico, não considerando quando o ponto era pertencendo ou não ao conjunto e não seguindo corretamente a qual valor o x estava tendendo.


P22 a) 3 ✓; b) ∄ X; c) 0 X; d) ∄ ✓; e) -4 ✓; f) 0 ✓; g) 0 X; h) 4 X; i) 4 X; j) ∄ X. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno se confunde um pouco com limite e domínio e com pontos não pertencentes ao conjunto, o que prejudicou em alguns momentos sua resolução.



P25 Desenvolveu os demais itens corretamente, exceto os itens f) e j), respondendo ∄ e 1,5, respectivamente. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas inferimos que talvez não percebeu que aqueles valores tenderiam a zero e, talvez, por isso, teve dificuldade de visualizar.

P26 Desenvolveu os demais itens corretamente, exceto os itens g) e h), respondendo ∄ em ambos. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, mas notamos que abaixo desses dois itens ele escreve que o 0 e o 4 não estariam no domínio de g. Assim, vemos que ele analisou de forma equivocada, como se esses valores fossem a imagem e não que estaria buscando pelas imagens.

P27 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto o item b), respondendo que -4. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas cometeu um equívoco.

P28 Desenvolveu os demais itens corretamente, exceto os itens b) e f), respondendo -1 e 1, respectivamente. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas inferimos que analisou de forma equivocada esses pontos.

P29 a) 3 ✓; f) 0 ✓; i) 0 X; j) 0 ✓, os demais itens deixou sem resolver. Comentários e Inferências: Notamos que os itens que ele respondeu, acertou praticamente todos, então ficamos na dúvida se ele não soube os demais ou não quis fazer.

P30 a) −∞ X; b) 3 X; c) 1 ✓; d) 3 X; e) -4 ✓; f) +∞ X; g) 10 ✓; h) 2 ✓; i) 2 X; j) 0 ✓. Comentários e Inferências: Vemos que o aluno acertou todas de imagem e somente uma de limite, o que nos leva a inferir que ele conseguiu analisar o gráfico quanto se refere a domínio e imagem, mas quanto a limite há quesitos que precisariam ser ampliados.

P31 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) ∅ X; e) -4 ✓; f) 0 ✓; g) ∅ X; h) ∅ X; i) 0 X; j) 0 ✓. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem noção da resolução, porém inferimos que quando não soube responder afirmava que conjunto era vazio, ainda acreditamos que se confundiu, pois deveria ser que não existe.

P32 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto os itens d) = 1 e i) = 2. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas notamos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

P33 a) −∞ X; b) +∞ X; f) 1 X; i) 4 X; j) -3 X, os itens c), d), e), g) e h) deixou em branco. Comentários e Inferências: Pouco conseguimos inferir sobre a produção do aluno, vemos que ele respondeu com o mesmo número em que o x estava tendendo ou com infinito. Assim, vemos sua dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem e limite.

P34 a) +∞ X; b) 4 X; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) -4 X; g) 10 ✓; h) −∞ X; i) −∞ X; j) −∞ X.

156

Comentários e Inferências: Vemos que o aluno acertou a maioria dos itens de imagem e nenhum de limite, o que nos leva a inferir que ele tem mais facilidade quanto se refere a domínio e imagem, mas quanto a limite há quesitos que precisariam ser ampliados.

P35 a) 3 ✓; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) 0 ✓; g) 6 X; h) 0 X; i) -0,1 X; j) 1 X. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno teve dificuldade de olhar para onde o x estava tendendo, tendo uma perspectiva equivocada, ainda quando o limite não existiria, acabou dando um valor bem próximo de zero, talvez, por saber que zero não poderia ser.


P37 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto o item g), respondendo que ∄. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas cometeu um equívoco.

P38 a) ∄ X; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) ∄ ✓; e) -2 X; f) 0 ✓; g) ∄ X; h) ∄ X; i) ∄ ✓; j) 0 ✓. Comentários e Inferências: Notamos que quando havia um número não pertencente ao conjunto e próximo ao valor que o x estava tendendo, o aluno dizia que ele não existia. Com isso vemos que há quesitos que precisariam ser ampliados.

P39 Desenvolveu todos os itens corretamente, exceto o item i), respondendo que 2. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender limite de função e gráfico, apenas cometeu um equívoco.



P42 a) 0 X; b) 1 ✓; c) 1 ✓; d) 1 X; e) -4 ✓; f) 4 X; g) -3 X; h) 2 ✓; i) 2 X; j) 6 X. Comentários e Inferências: Vemos tem noção de limite, mas as vezes que errou parece que percebeu o valor como se fosse aquele e não nas proximidades dele. Ainda inferimos que para ele o limite deveria existir para todos, pois deu valores para as alternativas em que o limite não existia.

QUESTÃO 5


P1 a) (3, −∞) ou [-4,4) X b) (−∞, 6); (8, −∞) X Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno se fixou muito no gráfico, ou seja, nos valores presentes nas curvas, sem analisar para onde elas iriam, no caso do infinito. O que nos leva a entender que eles não conseguem ir além do que veem, não compreendendo plenamente a amplitude de uma reta ou curva.

P2 Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter mais facilidade ao olhar para o conjunto imagem na questão anterior, mas nessa ele não respondeu, o que nos deixa sem entender o porquê de deixar em branco.

P3 a) {𝑦 ∈ 𝑅/−4 ≤ 𝑦 ≤ 3} ±✓ b) {𝑦 ∈ 𝑅/−∞ ≥ 𝑦 ≤ 10} ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu pequenos equívocos, como ao conjunto ser aberto e não fechado e deixando um ponto fora, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P4 a) {1} X b) {10}X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno optou por esses valores pois eram pontos pertencentes ao conjunto, porém não poderia ser apenas um em cada gráfico, o que o aluno, possivelmente, não percebeu, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P5 a) ]3][1,-4] ±✓ b) [10 [−∞[ ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu pequenos equívocos, como a forma de escrever o conjunto e deixando um ponto fora, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P6 a) [𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 0] X b) [𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −3] X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno escolheu alguns valores do gráfico para dizer que era imagem, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P7 a) ]3, -4] ✓ b) ]8, −∞[ ±✓

157

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto fora, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P8 Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter dificuldade na questão anterior o que pode ter acarretado em compreender o conjunto imagem.

P9 a) 1,-4 X b) 2 X Comentários e Inferências: ferimos que o aluno escolheu alguns valores do gráfico para dizer que era imagem, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P10 a) [1, -4] e [−∞,3[ X b) {2; 10} X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não se atentou ao gráfico ao todo, mas sim no item a) em olhar para a reta e a curva e no item b) escolheu alguns pontos do gráfico, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P11 a) -4; 1; 3 X b) 2; 3; 6; 8; 10 X Comentários e Inferências: O aluno escreveu no gráfico, ao lado do eixo x a palavra domínio, e no eixo y, imagem. Então vemos que ele tem essa noção, mas não compreendeu ainda bem que não é pra escrever os pontos, mas sim o conjunto em que eles pertencem.

P12

Comentários e Inferências: O aluno buscou estabelecer uma relação entre domínio e imagem, mas de forma equivocada, pois ele fixa-se em olhar para as curvas e não para o gráfico no todo, o que evidencia que alguns quesitos ainda não foram bem esclarecidos para ele. Ainda chamamos a atenção para o sinal de igual, pois inferimos que ele usa o símbolo como uma correspondência entre o que chama de domínio e imagem ou como uma forma de dizer que ‘é igual’, como se fosse usado como representação da oralidade. Assim vemos como relação nome-símbolo ou correspondência.


P14 a) (3, -4) ±✓ b) (10, −∞) ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto fora, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P15 Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter mais facilidade ao olhar para o conjunto imagem na questão anterior, mas nessa ele não respondeu, o que nos deixa sem entender o porquê de deixar em branco.

P16 a) {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 4} X b) {𝑥 ∈ 𝑅} X Comentários e Inferências: Inferimos que para o aluno, no item a) a imagem não valeria para alguns valores, já no item b) valeria para todos os reais.

P17 a) (1, 4) X b) (10, 2) X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não se atentou ao gráfico ao todo, mas sim no item a) em olhar para a reta e a curva e no item b) escolheu alguns pontos do gráfico, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.


P19 a) ]3, -4] ✓ b) [2, 10] X Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar corretamente o item a), mas cometeu um equívoco no b) ao deixar pontos fora do conjunto imagem.

P20 a) {3, 1, -4} X b) {10, 8, 6} X

158

Comentários e Inferências: Percebemos que o aluno tem noção que o eixo y seria a imagem, mas não compreendeu ainda bem que não é para escrever todos os pontos, mas sim o conjunto em que eles pertencem.

P21 a) [-4, 3[ ✓ b) ]-8, 6[ e ]6, 8[ e ]8, 10] X Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar corretamente o item a), mas vemos que ele se manteve entre dois valores com intervalo aberto e escrevendo de várias formas o possível conjunto imagem.

P22 a) 𝑅 1 X b) 𝑅=2 X Comentários e Inferências: Aparentemente o aluno optou por alguns valores, possivelmente os presentes no gráfico, mas não podemos compreender o motivo da escolha. Ainda, inferimos que em a) o aluno quis dizer que seria ‘os reais igual a 1’ e em b) ‘os reais igual a 2’, porém omitiu o sinal de igual, deixando um espaço em branco representando o símbolo.

P23 Apenas este aluno desenvolveu a questão de acordo com a resolução apresentava. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tem noção de conjuntos e conseguiu analisar o gráfico considerando seus pontos pertencentes ou não ao conjunto imagem. Assim, notamos que ele possui facilidade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P24 a) (+∞, 3) ∪ [1, -4] ∪ (-1, -1] X b) (−∞, 6) ∪ (8, 4) ∪ (0, −∞) X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não se atentou ao gráfico ao todo, mas sim em olhar para a reta e a curva e para os pontos do gráfico, o que demonstra dificuldade de compreender o conceito de domínio e imagem.

P25 a) [-4, 3] ±✓ b) [−∞, 10] ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto fora e fazer intervalo fechado quando não era, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P26 a) [-4, 3) ✓ b) (−∞, 10) ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto fora, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P27 a) {𝑦 ∈ 𝑅/−4 ≤ 𝑦 < 3} ✓ b) {𝑦 ∈ 𝑅/10 ≥ 𝑥 ≥ 0} ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu pequenos equívocos, como ao deixar pontos fora e escrever o x invés de y, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P28 a) (1, 0) X b) (4, 2) X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno teve dificuldade compreender o que seria o conjunto imagem.

P29 Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno deixou em branco muitos itens na questão anterior também, o que pode justificar essa omissão de resposta.

P30 a) {−∞; −4; 1; +∞} X b) {0; 2; 10} X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não se atentou a olhar para o gráfico, mas sim para os pontos que seriam a imagem dele, segundo as suas respostas da questão anterior.

P31 Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Não sabemos o motivo de ter deixado em branco, já que respondeu corretamente vários itens da questão anterior.

P32 a) [-4, 3] ±✓ b) ]−∞, 10] ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto fora e deixar o intervalo fechado quando não era, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P33 a) {𝑥 ∈ 𝑅/0 ≤ 𝑥 ≤ 4} X b) {𝑥 ∈ 𝑅/−3 ≤ 𝑥 ≤ 4} X Comentários e Inferências: Notamos que o aluno escreveu o conjunto imagem como sendo os pontos presentes no eixo x, ou seja, totalmente o contrário de onde deveria olhar.

P34 a) {𝐼 ∈ 𝑅/1 ≤ 𝑥 ≤ 4} X b) {𝐼 ∈ 𝑅/4 ≤ 𝑥 ≤ 10} X Comentários e Inferências: Notamos que o aluno escreveu o conjunto imagem como sendo os pontos presentes no gráfico, porém não conseguimos inferir sobre o motivo de escolhe-los.

P35 a) [1, 3) X b) (6, 8) X

159

Comentários e Inferências: Vemos que o aluno escolheu alguns pontos do eixo y, porém que estavam acima do eixo x, desconsiderando a parte negativa. O que influenciou no conjunto imagem.

P36 a) 𝑥 ∈ 𝑅 X b) 𝑥 ∈ 𝑅 X Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno deve pensar que para qualquer valor de x valerá o conjunto imagem.

P37 a) Im(f) = (2,999; -4) X b) Im(g) = (−∞; 7,999) X Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem noção de que o 3 não pertenceria ao conjunto, porém deveria escreve-lo fazendo o conjunto aberto e não diminuindo e mantendo o conjunto aberto. A mesma coisa para o 8, porém ali também omitiu um outro valor do conjunto. Ainda, sobre o sinal de igual, julgamos que ele compreende como resultado, já que reescreveu a expressão imagem e depois apresentou a resposta.

P38 a) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −4 𝑒 𝑥 ≤ 3 X b) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 0 𝑒 𝑥 < 8 X Comentários e Inferências: No item a) o aluno apenas cometeu o equívoco de deixar o conjunto aberto em 3, porém em b) escolhe dois valores presentes no eixo y, mas que não representam o conjunto.

P39 a) (0, 3) ∪ (−∞, 1) X b) (−∞, 6) ∪ (4, 8) ∪ [2] ∪ (−∞, 0) X Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno se fixou muito no gráfico, ou seja, nos valores presentes nas curvas, sem analisar o todo.

P40 a) {𝑥 ∈ 𝑅/[4, 0] X b) {𝑥 ∈ 𝑅/[4, 0] X Comentários e Inferências: Notamos que o aluno obteve o mesmo conjunto imagem para os dois itens e não entendemos o motivo pela escolha dos valores. Ainda, chamamos a atenção para a forma com que ele escreve o conjunto imagem, unindo as duas maneiras em uma só.

P41 a) ]3, 4] ✓ b) [10, −∞,) ±✓ Comentários e Inferências: O aluno demonstrou analisar bem o gráfico, cometeu um equívoco, ao deixar um ponto não pertencente ao intervalo dentro dele, mas inferimos que ele tem uma noção de conjunto imagem.

P42 a) ∄ X b) 2 X Comentários e Inferências: É difícil inferir sobre a produção do aluno, já que em um item ele diz que não existe o conjunto e em outro dá um valor que nem está evidenciado no gráfico.

QUESTÃO 6


P1 6.a) Aplicou o limite logo no início e ao final conclui que limite não existe. 16 − 16

√16 − 4

0

4 − 4=0

0

Notamos que o aluno ainda havia escrito ao lado da resposta ‘não existe’ a frase ‘ou seria uma indeterminação?’, porém acabou riscando em cima cancelando essa resposta. 6.b) O aluno não faz a substituição por outras funções e aplica o limite nessa função mesmo.

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐20

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔20

6.c) Aplicou o limite logo no início e ao final conclui que limite não existe.

=22 − 4

23 − 8 =

4 − 4

8 − 8=0

0

6.d) Novamente aplicou o limite direto, concluindo que limite não existe.

=4− 4

|4 − 4| =

0

0

6.e) Aplicou o limite e diz que o limite não existe.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥3 − 3𝑥2 =0

0

6.f) Aplicou o limite e conclui que é uma indeterminação. 12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3= −

8

0

160

𝑥2 − 9

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = −

8

0

6.g) Novamente aplicou o limite e obtém zero e conclui que o limite não existe.

𝑙𝑖𝑚 =𝑥→−3−32 − 9

−32 + 2 ∙ (−3) − 3⋯ =

0

0= 0

Comentários e Inferências: O aluno demonstra apenas saber aplicar o limite no ponto, porém em nenhum momento busca fazer as manipulações algébricas necessárias. Sobre a indeterminação, aparentemente, o aluno considera que isso leva ao limite não existir e vice-versa. Além disso, o que nos chamou a atenção foi a forma que o aluno utilizou o sinal de igual no limite, colocando o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, como se a igualdade fosse da expressão ‘lim’ e não resultante de uma função inicial, afinal não iguala a ela no começo, assim fez uso incorreto do símbolo.

P2 6.a) O aluno colocou um sinal de igual ao lado da questão e já aplicou o limite.

=16 − 16

√16− 4= 0

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) O aluno apenas iguala à questão e aplica o limite.

22 − 4

23 − 8 =4 − 4

8 − 8= 0

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Aplicou o limite logo no início.

√3 + 6 − 3

33 − 3(3)2 =

3 − 3

9 + 27= −18

6.f) Apenas aplicou o limite.

=12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3=−8

−4= 2

6.g) Novamente aplicou o limite e obtém zero. −32 − 9

−32 + 2 ∙ (−3) − 3=

9 − 9

9 + (−6) − 3= 0

Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios de que o aluno apenas

substituiu o valor de 𝑥 onde havia a incógnita, demonstrando não levar em consideração as técnicas de manipulações algébricas necessárias. Ainda, percebemos que sua resposta

chegou em 0, mas na verdade a indeterminação levaria a 0

0, dessa forma estaria aplicando o

sinal de igual de maneira incorreta, já que a igualdade não seria aquilo. Ainda, a sua soma em f) foi equivocada, o que pode ter influenciado em perceber a indeterminação. Inferimos que este aluno tem dificuldades em compreender frações. Ainda, inferimos que o sinal deva ser usado como separador, onde é empregado para separar o passo a passo da resolução.

P3 6.a) O aluno colocou um sinal de igual ao lado da questão e a desenvolveu de acordo com a resolução apresentada, obtendo a resposta correta. Porém, no momento de aplicar o limite, levou junto a expressão 𝑙𝑖𝑚𝑥→16, a saber

= √16 + 4 = 4 + 4 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→16

8

6.b) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento ao não fazer mais uma substituição de função.

=1

𝑠𝑒𝑛 𝑥∙ 𝑡𝑔 𝑥

1=𝑡𝑔2𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥=

𝑡𝑔20

𝑠𝑒𝑛20 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

0

1= 0

6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 4,1 e 4,5 e em ambos obteve a resposta esperada.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = −1

6.e) Opta pela estratégia correta, porém comete erro de procedimento, ao fazer uma simplificação:

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

−𝑥2 + 𝑥 + 6

𝑥(𝑥2 − 3𝑥)(√𝑥 + 6 + 𝑥)

Conclui que o limite não existe. 6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, mas substituiu por números próximos a 1 pela direita.

161

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver a questão, utilizando as ferramentas corretas e aplicando o limite no ponto, porém cometeu alguns equívocos e não conseguiu finalizar corretamente, também, em a), acaba levando ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já havia aplicado o limite. Em d) nem aplica o limite no ponto e já conclui que não existe. Ainda, o sinal de igual é utilizado corretamente.

P4 6.a) O aluno começou já aplicando o limite e finaliza dizendo que “não existe”. 16 − 16

√16 − 4

0

4 − 4=0

0= 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

6.b) Apenas escreve qual seria as funções equivalentes, mas não faz nenhum cálculo com elas. 6.c) O aluno apenas iguala à questão e aplica o limite, afirmando que ele não existe.

22 − 4

23 − 8 =4 − 4

8 − 8=0


6.d) Aplicou o limite direto, concluindo que não existe.

= 0


6.e) Novamente aplicou o limite direto, concluindo que limite não existe.

√3 + 6 − 3

33 − 3 ∙ 32= ⋯ =

0

0

6.f) Aplicou o limite e conclui que é uma indeterminação. 12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3=−8

−1= 8

6.g) Novamente aplicou o limite e obtém zero e conclui que o limite não existe. −32 − 9

−32 + 2 ∙ (−3) − 3=0

0= 0

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno apenas substituiu o valor de 𝑥 onde havia a incógnita, não levando em consideração as técnicas de manipulações algébricas que

necessitava. Também demonstrou entender que a fração 0

0 estaria relacionada a não existir

o limite. Em f) acaba fazendo um cálculo equivocado, o que pode ter influenciado em perceber que dava indeterminação. Inferimos que utiliza o sinal de igual com a ideia de resultado.

P5 6.a) O aluno optou por multiplicar o denominador por ele mesmo, aplicou a propriedade distributiva no denominador, porém com um equívoco, fez algumas “simplificações” resultando em

𝑥 − 16

(√𝑥 − 4)(√𝑥 − 4) =

𝑥 − 16

2√√𝑥22

− 4√𝑥 − 16

⋯ 𝑥

𝑥 + 𝑥 − 4√𝑥

𝑥 − 4√𝑥 Após isso aplicou o limite, mas levou junto a expressão 𝑙𝑖𝑚𝑥→16,

16 − 4√16 ⋯

12 − 16 = −4

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) O aluno fez algumas “substituições” e obteve 1.

4 − 𝑣

|4 + 𝑣| 4

4 1

6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) Aplica a fórmula resolutiva para a equação do segundo grau., obtendo 5 e -3, mas não faz nenhum cálculo após isso.

162

6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: A produção escrita do aluno deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou multiplicando apenas o denominador e ainda usou o mesmo sinal. Quando opta por aplicar o limite, acaba levando ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Sobre a maneira como vai fazendo as simplificações inferimos que o aluno não presta atenção que escreve igualdades incorretas. Também destacamos o uso do sinal de igual, ele empregou o símbolo apenas no primeiro momento, depois escreve uma expressão abaixo da outra, mas omitindo o sinal e quando acaba o espaço da folha faz uma flecha até chegar na nova expressão, além disso, na sua resposta final usa o sinal de igual no limite e, inferimos, que atribuiu ao significado de igualdade o espaço vazio, em branco em d), assim omitindo o sinal.

P6 6.a) O aluno utiliza o produto da soma pela diferença e “simplifica” dois termos. (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 + 4)

(√𝑥 − 4)= 16 + 4 = 20

= 20 6.b) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento e não finaliza a resolução.

(1

𝑠𝑒𝑛 𝑥)2

𝑥

(𝑡𝑔 𝑥1)2

𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥2

𝑡𝑔 𝑥2=𝑠𝑒𝑛02

𝑡𝑔02

6.c) O aluno faz alguma “simplificação” e substitui na nova expressão, dizendo que o limite é zero.

=𝑡2 − 4

𝑡3 − 8=𝑡 − 2

𝑡 − 2=2 − 2

2 − 2= 0

= 0 6.d) Aplicou o limite direto.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣|==

0

8

6.e) O aluno escreve

= 𝑥 + 3 𝑙𝑖𝑚 = 3 + 3 = 6

6.f) O aluno faz a soma e produto apenas no denominador e no numerador omitiu uma parte dele.

(𝑥 − 3)

(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 1)

(𝑥 + 1) 𝑙𝑖𝑚 = 1 + 1 = 2

6.g) O aluno usa a mesma função que encontra em f) e substitui o -3.

𝑙𝑖𝑚 𝑥 + 1 = −3 + 1 = −2 Comentários e Inferências: Com a produção do item a), c) e f) percebemos que ele buscou estratégias para simplificar e resolver a questão, porém o caminho que tomou não o ajudou, pois as expressões não eram equivalentes, gerando uma igualdade incorreta. Já em b) acabou não fazendo uma nova substituição de função, o que interferiu na resolução. Em d) não sabemos o porquê de tomar uma nova função para o limite. Também chamamos a atenção para a omissão de ‘lim’ antes de aplicá-lo no ponto e para o uso do sinal de igual, como se aquela expressão não fosse resultante de nenhuma função e não dependesse de um limite. Percebemos também no final o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, assim fez uso incorreto do sinal de igual e, ainda, utilizou o símbolo na resposta final.

P7 6.a) Optou pela estratégia correta, mas teve erro de procedimento, no seguinte momento: 𝑥2 + 16𝑥 − 16𝑥 − 256

𝑥√𝑥 + 16√𝑥 − 4𝑥 − 16 =

𝑥2 − 256

𝑥√𝑥 + 16√𝑥 − 4𝑥 − 16 =

162 − 256

16 ∙ 4 + 16 ∙ 4 − 4 ∙ 16 − 16

0

48

= 0 6.b) Apenas escreve

= 0 6.c) O aluno faz uma divisão de polinômios, mas não finaliza.

163

𝑡3 + 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑡 − 8 ÷ 𝑡2 − 4 6.d) Apenas escreve

= −1 6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou compreender o caminho inicial da resolução, porém após isso ele parece tomar um rumo diferente, aparentemente, no

numerador ele multiplica o 4𝑥 e o 64 por 4 e multiplica 𝑥 ∙ √𝑥, já no denominador acreditamos que ele copiou parte do numerador e é difícil inferir o que o aluno fez, pois parece não ter uma sequência lógica entre algumas expressões. Também acaba optando por aplicar o limite, levando ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. No item d) o aluno não faz a resolução, mas chega a resposta esperada, e não sabemos o motivo. Destacamos ainda que o aluno utilizou corretamente todas as vezes em que havia mais de uma expressão por linha, mas a maioria dos seus usos é como resultado.

P8 6.a) Aplicou o limite logo no início 16 − 16

√16− 4 = 4 − 4 = 0

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Apenas aplicou o limite.

𝑙𝑖𝑚 =𝑥→222 − 4

23 − 8= 0

6.d) Aplicou o limite direto, concluindo que dá zero.

= 0 6.e) Novamente aplicou o limite direto, concluindo que limite não existe.

𝑙𝑖𝑚 =𝑥→3√3 + 6 − 3

33 − 3 ∙ 32= ⋯ =

3 − 3

9 − 27= −18

6.f) Aplicou o limite logo.

= 12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3=−2

4

6.g) Novamente aplicou o limite e obtém zero.

𝑙𝑖𝑚𝑥→−3

−32 − 9

−32 + 2 ∙ (−3) − 3=

9 − 9

9 ± 6 − 3= 0

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém inferirmos que ele não percebe que antes disso é preciso de manipulações algébricas para

sair da indeterminação. Ainda, destacamos que possivelmente este aluno considera que 0

0 é

igual a 0 e seu equívoco em compreender que 0

−18= −18. Ainda, a sua soma em f) foi

equivocada, o que pode ter influenciado em perceber a indeterminação. Além disso, o aluno utilizou o sinal de igual no limite, colocando o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, fazendo uso incorreto do sinal de igual.

P9 6.a) O aluno resolveu a questão buscando domínios para a função, depois escolhe números que estivessem dentro desse conjunto e substitui na incógnita

{𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 16} 15 − 16

√15 − 4=−1

11= 11

14,5 − 16

√14,5 − 4=−11,5

11,5

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Segue a mesma estratégia do seu item a), vejamos um exemplo da sua produção.

1,52 − 4

1,53 − 8=

6.d) Idem aos itens anteriores, escolhendo valores menores que 4 para substituir. 4 − 1

4 − 1=3

3= 6

6.e) O aluno substituiu a função por 2, mas deixa um x sem substituir.

164

√2 + 6 − 2

23 − 3𝑥2= ⋯ =

−0,5

3𝑥2

6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: A produção escrita do aluno deu indícios que ele não compreende como se dá o cálculo de limite. Inferimos que o aluno entende que quando há uma função é preciso descobrir o domínio dela. Como o aluno não conclui nada do seu cálculo, fica difícil julgar o que ele quis dizer quando opta por esses cálculos. Inferimos

também, a dificuldade que o aluno demonstra ter no cálculo de frações, admitindo que 1

13=

13 e que 3

3≠ 6. Quando ao uso do sinal de igual e considerando a sua estratégia,

consideramos que utiliza como resultado. P10 6.a) O aluno eleva todos os termos ao quadrado, até mesmo o ‘lim’, depois faz algumas

“simplificações” termo a termo, isto é, a incógnita com a incógnita e o número com o número. 𝑥2 + (−16)2

(√𝑥)2+ (−4)2

⇒𝑥2 + 256

𝑥 + 16= 𝑥 + 16

Após isso usa uma flecha para baixo para dar continuidade ao cálculo.

√𝑥 + 16 = √𝑥 + 4

√16 + 4 = 8 6.b) O aluno opera somente com a cotangente e diz que o limite não existe.

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔 =1

𝑡𝑔 𝑥→ 𝑡𝑔 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 →

𝑠𝑒𝑛 0

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 0 =1

0 ∅

6.c) O aluno faz uma divisão de polinômios e ao final conclui sua resposta com zero.

𝑡3 − 23 ÷ 𝑡2 − 4 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) Opta pela estratégia correta, porém usa o sinal oposto, obtendo 2 como resposta.

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3)⇒1 + 3

1 + 1= 2

6.g) Idem ao item f), mas obtendo 0/2 como resposta. (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3)⇒−3 + 3

−3 + 1=0

2

Comentários e Inferências: Com a produção do aluno acreditamos que, no item a), ele buscou eliminar a raiz do denominador no início e para isso elevou todos os termos ao quadrado. O curioso é que ele elevou também o ‘lim’, mas isso evidencia que ele compreende que ao elevar um lado da expressão é preciso elevar do outro. Além disso, acabou cometendo equívocos quando busca simplificar a expressão termo a termo, gerando igualdade incorreta. No item b) o aluno não utiliza as duas funções e nem leva a expressão ‘lim’ junto, como se não fosse importante, até porque substitui o zero em seno e cosseno, obtendo uma fração. No item c) não sabemos o motivo da resposta do aluno, já que nem leva a expressão ‘lim’ em nenhum momento. Também faz o símbolo de vazio, mas conclui que o limite não existe, o que mostra a confusão com os símbolos. Em f) ele comete equívoco, talvez, por descuido ao trocar o sinal. Também destacamos o seu uso do sinal de igual, ele usa flechas para chegar a uma nova expressão, com a ideia do conectivo ‘portanto’.

P11 6.a) O aluno desconsiderou o limite e apenas avançou usando a função, sendo que aplicou a raiz no 4 do denominador e faz algumas “simplificações”.

=𝑥 − 16

√𝑥 − √4=√𝑥 − √16

√𝑥 − √4

√𝑥 − 4

√𝑥 − 2=−4

−2= 2

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao fazer produto da soma pela diferença no denominador. Ele troca o t por x na resolução.

𝑥2 − 4

𝑥3 − 8 =

(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)

(𝑥 − 2) ∙ (𝑥2 + 0) ∙ (−𝑥2 + 4)

(2 + 2)

(22 + 0) ∙ (−22 + 4) =

4

32⇒1

8

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Ele busca manipular o denominador e aplica o limite.

165

=√𝑥 + 6 − 𝑥

(𝑥2 + 0)(𝑥 + 3)= ⋯ ⇒

√6

54

6.f) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao fazer uma “simplificação”.

=(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)⇒−3

−1= 3

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: A produção escrita do item a) deu indícios que ele não compreende como se dá o cálculo de limite, pois não leva o ‘lim’ junto nas passagens e nem busca substituir o 16, assim parece que ele considera apenas uma função e não dependendo de um limite. Inferimos que ele quis eliminar a incógnita para obter uma resposta numérica. Em g) não leva ‘lim’ junto. Já em c), e) e f) ele cometeu um equívoco nas manipulações algébricas, o que influenciou na resolução. Quanto ao uso do sinal de igual, inferimos que compreende com a ideia do conectivo ‘portanto’ ao dar uma resposta final.

P12 Não apresentou produção escrita em nenhum item. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não soube resolver o limite de funções.

P13 Não apresentou produção escrita em nenhum item, exceto no item c). 6.c) O aluno escreveu apenas a seguinte expressão.

==𝑡2 − 4

(𝑡3 − 8) ∙ (𝑡2 − 4)

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não soube resolver o limite de funções. E sobre o sinal de igual, ele emprega o símbolo no limite, colocando o símbolo antes e após a expressão ‘lim’, fazendo uso incorreto dele.

P14 6.a) Opta pela estratégia correta, mas usa o procedimento errado, ao invés de multiplicar a função pelo conjugado ele a iguala e erra a multiplicação do denominador, também “simplificou” alguns termos de forma incorreta

𝑥 − 16

√𝑥 − 4=√𝑥 + 4

√𝑥 + 4 =

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

𝑥 − 16= √16+ 4 ∙ 16 + √𝑥 − 64 4 + 64 + 4 − 64 = 4

6.b) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento e não finaliza a resolução.

=1

𝑠𝑒𝑛 𝑥∙𝑡𝑔 𝑥

1 𝑡𝑔 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

6.c) O aluno faz uma divisão de polinômios e finaliza que sua resposta é 4.

𝑡3 − 8÷ 𝑡2 − 4 ⋯

𝑡 + 2 = 4 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) O aluno ignora a raiz, multiplica o x no numerador e aplica o limite.

6 − 𝑥3

𝑥3 − 3𝑥2(√𝑥 + 6 + 𝑥)= ⋯

1

2

6.f) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento.

=(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3)= 4

6.g) Opta pela estratégia correta, mas usa o procedimento na divisão.

=−6

−4= 2

Comentários e Inferências: A produção escrita do item a) deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou fazendo a distributiva apenas no numerador e no denominador multiplica primeiro termo com primeiro termo e primeiro termo com primeiro termo e em e) entendemos que ele somou os números, mas omitiu o x. Já em b) acabou não fazendo uma nova substituição de função, o que interferiu na resolução. Ainda inferimos sobre a sua desatenção ou desconhecimento de que deve levar o ‘lim’ até aplicá-lo no ponto. No item c) vemos que o aluno substitui o 2 na expressão que obteve e em e) demonstra bastante confusão a quais procedimentos tomar. Sobre o sinal de igual, inferimos que compreende como resultado, em que é preciso dar a resposta final.

P15 6.a) Opta pela estratégia correta, mas usa o procedimento errado, ao multiplicar a função pelo conjugado, utiliza o mesmo sinal do denominador.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4∙√𝑥 − 4

√𝑥 − 4

166

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

𝑥 − 8√𝑥 + 16

√𝑥(𝑥 − 16) − 4𝑥 + 64

√𝑥(−8) + 𝑥 + 16

6.b) Apenas escreve qual seria as funções equivalentes, mas não faz nenhum cálculo com elas. 6.c) O aluno faz uma divisão de polinômios, para substituí-lo no denominador.

𝑡3 − 8÷ 𝑡2 − 4 = 𝑡2 − 2𝑡 + 4𝑡 𝑡 + 2

𝑡2 − 2𝑡 + 4𝑡

2 + 2

22 − 2 ∙ 2 + 4 ∙ 2

⋯

𝑙𝑖𝑚𝑡→2

=1

2

6.d) Substituiu alguns valores em v próximos a 4. 4 − 4,1

4 − 4,1= 1

4 − 3,99

4 − 3,99= 1

= 1 6.e) Apenas escreve

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥(𝑥2 − 3𝑥)

6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém levou o ‘lim’ junto ao aplica-lo.


= −∞

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

=3

2

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tinha conhecimento da resolução algébrica, porém como teve uma confusão no cálculo do conjugado e na divisão de polinômios o que acarretou em valores diferentes dos esperados. Percebemos que o aluno parou no meio da resolução, mesmo levando o ‘lim’ todo o momento, não aplica ele no ponto ao final. Além disso, não faz uso do sinal de igual em nenhum momento, apenas no item colocando o símbolo antes e após a expressão ‘lim’, como forma de resultado.

P16 6.a) Opta pela estratégia correta, mas usa o procedimento errado, ao invés de colocar √𝑥 em evidencia no numerador, ele já aplica o limite, a saber

16√16 + 4(16) − 16√16 − 64

16 − 4

16 ∙ 4 + 64 − 16 ∙ 4 − 64

−64

⋯ 48

−64

3

4

6.b) O aluno busca substituir por funções equivalentes, mas logo aplica o limite, sem fazer todas manipulações necessárias e finaliza dizendo que o limite não existe.

1𝑠𝑒𝑛0

∙1

𝑠𝑒𝑛01𝑡𝑔0 ∙

1𝑡𝑔0

10 ∙10

10∙10

6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada, porém também leva a expressão ‘lim’ junto.

167

6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 4,01 e 4,001 e em ambos obteve a resposta esperada.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = −1

6.e) Opta pela estratégia correta, porém comete erro de procedimento em um passo, ao fazer:

𝑙𝑖𝑚𝑥→3

−𝑥2 + 𝑥 + 6

(𝑥√𝑥 + 6 − 3√𝑥 + 6) ∙ 𝑥3

Conclui que o limite não existe. 6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, mas substituiu por números próximos a 1 pela direita. 6.g) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento ao usar o 3 positivo e não negativo. Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tinha conhecimento da resolução, mas por omitir um passo ou fazer manipulações de forma equivocada acabou obtendo erros. Ainda, acaba optando por aplicar o limite levando o ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Destacamos ainda que o aluno omitiu o sinal de igual todas as vezes, talvez por escrever uma expressão abaixo da outra, como se as expressões não fossem resultantes da anterior, escrevendo apenas na resposta final o símbolo, como resultado.

P17 6.a) O aluno realiza dois cálculos independentes. No primeiro ele assume que 𝑥 → 20 e

depois 𝑥 → 16 . Também escreve 𝑙𝑖𝑚 = 16.

20 − 14 =4

√20 − 4

4 =

√16

4

4= 1

16 − 16

√16 − 4= 0 =

0

4 − 4=0

0

6.b) Somente escreve 0

1.

6.c) O aluno apenas iguala à questão e aplica o limite, afirmando que ele não existe. 22 − 4 = 0

23 − 8

𝑙𝑖𝑚 = 2 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Pela primeira expressão do item a) acreditamos que o aluno tem dificuldades de entender que o que estava fazendo era igualando frações equivalentes. Já pelo fato de escolher o 20 não conseguimos visualizar o porquê dessa escolha. Ainda, o aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém inferirmos que ele teve problemas em compreender que ao chegar em uma indeterminação é preciso de manipulações algébricas para sair dela, apenas aplicando o limite. Nesta produção percebemos o uso incorreto dos símbolos matemáticos, pois traça uma única reta, assim inferimos que ele usa como separador, apenas para separar o passo a passo.

P18 6.a) O aluno colocou um sinal de igual ao lado da questão e já aplicou o limite, porém assume

que 𝑥 → 4

=−4− 16

√−4− 4=−20

2 − 4=−20

−2= −10

6.b) Apenas escreve qual seria as funções equivalentes, mas não faz nenhum cálculo com elas. 6.c) O aluno apenas iguala à questão e aplica o limite, porém substitui por -1.

−12 − 4

−13 − 8 =−3

−4

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) O aluno substituiu a função por 2.

√2 + 6 − 2

23 − 3𝑥2= ⋯ =

2

0

6.f) Aplicou o limite e conclui que é uma indeterminação.

168

=12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3=−8

0

6.g) Novamente aplicou o limite, mas substitui por 5. 52 − 9

52 + 2 ∙ 5 − 3=16

12

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém escolheu valores incorretos para isso. Mas ele foi direto para esse passo, não utilizando de manipulações algébricas para pode aplicar o limite depois. Ainda, percebemos que ele apresentou um equívoco na fração com negativo no numerador e no denominador e não percebeu que denominador igual a zero não existe. Quando ao sinal de igual, inferimos que usou com a ideia de separador.

P19 6.a) Opta pela estratégia correta, mas usa o procedimento errado, ao não usa os parênteses.

𝑥 − 16 ∙ √𝑥 + 4

√𝑥 − 4 ∙ √𝑥 + 4 𝑥 ∙ √𝑥 − 12

√𝑥 ∙ √𝑥 =

16 − 12

√16=4

4= 1

Ao final conclui que = 1 .

6.b) Somente escreve =1

𝑐𝑜𝑡.

6.c) O aluno escreveu algumas expressões, que parecem não terem ligação. 𝑡 − 1𝑡 − 4𝑡2 − 2

(𝑡 + 2)(𝑡 − 2) 𝑡2 + 2𝑡 − 2𝑡 − 4

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) O aluno busca simplificar a raiz elevando ao quadrado, mas depois não finaliza seus cálculos.

√𝑥 + 62+ 𝑥

𝑥3 − 3𝑥2 ∙ √𝑥 + 6 + 𝑥

6.f) Aplica a fórmula resolutiva para a equação do segundo grau obtendo 3 e -1, e conclui que o limite é 4.

= 4 6.g) Mesma estratégia do item f). Comentários e Inferências: A produção escrita do irem a) deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou fazendo passos de simplificação e adições que influenciaram no desenvolvimento da resolução e obtendo igualdades incorretas. Quanto ao sinal de igual usou em todos os momentos durante as frações, mas não leva a expressão ‘lim’ junto, o que, inferimos, que ele não percebe que estaria igualando de forma equivocada. Em c), e), f) e g) fica difícil inferir sobre o que o aluno quis fazer e como chegou na resposta. Ainda, ao final utilizou o símbolo no limite, colocando o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, fazendo uso incorreto do sinal de igual.

P20 6.a) O aluno começa aplicando o limite na função e conclui que é indeterminação. Então opta pelas manipulações algébricas para resolver, sua estratégia é eliminar a raiz de denominador, assim comete erro de procedimento.

16 − 16

√16− 4=0

0

(𝑥 − 16)2

(√𝑥2

− 4)2 ∴

(𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 4)

𝑥 − 4 ∴ (𝐼)𝑥 + 4 = 16 + 4 = 20

6.b) Apenas escreve qual seria as funções equivalentes, mas não faz nenhum cálculo com elas. 6.c) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, no denominador.

=(𝑡 + 2)(𝑡 − 2)

(𝑡 + 2)(𝑡2 + 4)∴𝑡 + 2

𝑡2 + 4=1

2

=1

2

6.d) Desenvolveu o item de corretamente, porém seguiu outra estratégia. 4 − 𝑣 − 3

|4 − 𝑣 − 3| =

4 − 4 − 3

4 − 4 − 3=

−3

−(−3)= −1

6.e) O aluno busca simplificar a raiz elevando ao quadrado e depois aplica o limite.

169

𝑥 + 6 − 3

𝑥6 − 3𝑥4∴3 + 6 − 3

36 − 3 ∙ 34 =

6

486

6.f) Opta pela estratégia correta, porém comete erro de procedimento em um passo, ao multiplicar por 2x.

∴ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

(𝑥 − 3) ∙ 2𝑥

(𝑥 − 1) ∙ 2𝑥 ⋯ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−4

1= −4

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém na resposta final usa o sinal negativo. Comentários e Inferências: Verificamos em a) que o aluno tem conhecimento de qual estratégia seguir quando chega a uma indeterminação, de que consegue usar o produto da soma pela diferença e aplicar o limite no ponto. Porém sua tentativa de eliminar a raiz elevando ao quadrado ao invés de utilizar o conjugado e multiplicar por 2x o fez encontrar uma resposta incorreta e, também acabou levando o ‘lim’ junto ao substituir a incógnita. Em d) optou por um outro caminho, mas que resolveu corretamente e usou o sinal de igual correto. Já em c) não leva o ‘lim’ em nenhum momento e em e) só leva junto ao aplicar o 3. O aluno intercala o uso do sinal de igual com o do conectivo ‘portanto’ ∴, demonstrando não seguir um padrão quando aos símbolos e inferimos a dificuldade de compreender os seus reais significados, em que para o sinal de igual deveria ser usado apenas como resultado.

P21 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.d) Desenvolveu o item de corretamente, porém seguiu outra estratégia.

4 − 𝑣

−(4 − 𝑣)

4 − 𝑣

−4 + 𝑣

4 − 𝑣

−1(4 − 𝑣) 1

−1= −1

6.e) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao usar o sinal de negativo em:


−(𝑥 + 2)

−𝑥2∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

1

√𝑥 + 6 + 𝑥

−(3 + 2)

−32∙

1

(√3+ 6 + 3)⋯ = −

1

54

6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução e ainda explica como chegou na resposta com uma escrita: “quando 𝑥 → 1 pela direita x assume valor maior que 1, portanto (𝑥 + 1) no denominador assume valor muito pequeno e o numerador assume número negativo próximo a 2. Logo essa divisão tenderá ao infinito negativo”. 6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Verificamos a omissão do sinal de igual na resolução, talvez por fazer uma expressão abaixo da outra e pensar que não há a necessidade do uso, mas isso indica que as expressões não são resultantes da anterior. Em d) optou por um outro caminho, mas que resolveu corretamente. Em e) só não obtém a resposta esperada por um descuido no sinal. Vemos em f) que o aluno tinha total entendimento da resolução, pois sua escrita é uma comprovação do seu conhecimento perante o assunto. Além disso, utilizou o símbolo corretamente apenas quando aplicou o limite no ponto, ou quando buscou obter as funções equivalentes, o que nos leva a inferir que vê o símbolo como resultado, pois omite todos os símbolos, usando apenas na resposta final.

P22 6.a) O aluno colocou um sinal de igual ao lado da questão e já aplicou o limite.

=16 − 16

√16 − 4=

0

√12

6.b) Somente escreve = 0. 6.c) Busca colocar o t em evidência, mas comete equívocos.

𝑡(𝑡2 − 4)

𝑡(𝑡2 − 8)=𝑡2 − 4

𝑡2 − 8=4

8

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Aplicou o limite direto.

=√3 + 6 − 3

33 − 3 ∙ 32= ⋯ =

0

9 − 27=

0

−18

6.f) Fez uma “substituição” e aplicou o limite. 𝑥2 − 9

𝑥2 + 2𝑥 − 3 =

−9

2 ∙ 1 − 3=−9

−1

6.g) Busca colocar o x em evidência, mas comete equívocos e aplica o -3 em x.

170

=𝑥(𝑥 − 9)

𝑥(𝑥 + 2 − 3)= ⋯ = 6

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, mas inferimos que ele não levou em consideração as técnicas de manipulações algébricas que necessitava para resolver o limite, além disso, não concluiu a resposta que obteve, ainda quando faz alguma manipulação, acaba optando por uma simplificação equivocada. Em g) acaba colocando x em evidencia sem se dar conta que os valores numéricos não acompanhavam a incógnita, chegando numa igualdade incorreta. Quanto ao sinal de igual, inferimos que usou como separador.

P23 6.a) O aluno reescreve o limite em uma fração de dois limites e conclui que o limite não existe.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4

16 − 16

√16− 4=0

0 ∄

6.b) Substitui o zero em várias funções e ao final afirma que o limite não existe. 𝑡𝑔 0 = 0

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔20 = 0−1 = 0 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐20 = 0−1 = 0 6.c) Segue a mesma estratégia do seu item a).

𝑡2 − 4

𝑡3 − 8 =0

0 ∄

6.d) Idem ao item a). 4 − 𝑙𝑖𝑚

𝑣→4+𝑣

− | 𝑙𝑖𝑚𝑣→4+

𝑣| =4 − 4

4 − 4 ∄

6.e) Idem ao item a).

√𝑥 + 6 − 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑥

𝑥3 − 3 𝑥→3𝑥2 =27 − 27

∄

6.f) Idem ao item a). 𝑥2 − 9

𝑥2 + 2𝑥 − 4 = ∄

6.g) Apenas aplicou o limite e conclui que não existe.

=9− 9

9 − 6 − 3 ∄

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno pode achar que o ‘lim’ estava multiplicando numerador de denominador e opta por reescrevê-lo nos dois membros da fração. O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém acreditamos que ele entende que indeterminação ou zero o limite não existe. Já em b) não sabemos o motivo da escolha do aluno. Além disso, verificamos a utilização do sinal de igual apenas como resultado.

P24 6.a) O aluno ao invés de multiplicar a função pelo conjugado ele multiplica apenas pelo √𝑥.

=𝑥 − 16

√𝑥 − 4∙√𝑥

√𝑥 = ⋯ =

√16 ∙ (16 − 16)

16 − 4=4 ∙ 0

12=0

12= 0

6.b) Desenvolve corretamente até o final, mas não aplica o limite.

=1

𝑥

6.c) Coloca t em evidência e depois aplica o limite.

=𝑡(𝑡 − 4)

𝑡(𝑡2 − 8) =

𝑡 − 4

𝑡2 − 8=2 − 4

4 − 8=1

2

6.d) O aluno faz uma tabela para substituir os valores e obtém a resposta correta. 𝑓(𝑣) 𝑦 − 2 1 ⋯ ⋯ 6 − 1

6.e) Opta pela estratégia correta, mas comete um erro de procedimento no seguinte passo:

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

−𝑥2 + 𝑥 + 6

𝑥3 − 3𝑥2 ∙ 6= ⋯ =

1

9

6.f) O aluno segue a mesma ideia de multiplicar a função pelo conjugado.

171

=𝑥2 − 9

𝑥2 + 2𝑥 − 3 ∙𝑥2 + 9

𝑥2 + 9= ⋯ =

1− 9

1 + 4 ∙ 1 − 4,5= −4

6.g) Segue a mesma estratégia de f) e substitui por -3, obtendo 3 como resposta. Comentários e Inferências: A produção escrita do item a) e e) deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou multiplicando de forma equivocada. Não havendo mais a possibilidade de indeterminação, o aluno aplica o limite, mas no começo ainda leva o ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite, já no item b) não leva o ‘lim’ junto em nenhum momento, o que talvez seja o motivo de não ter aplicado zero no ponto e em c) ora leva e ora não. Em d) e f) segue uma estratégia diferente e em d) apesar de não haver os cálculos obteve a resposta esperada. Quanto ao sinal de igual, usou corretamente.

P25 6.a) O aluno ao invés de multiplicar a função pelo conjugado ele a iguala e não muda o sinal.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4=√𝑥 − 4

√𝑥 − 4 =𝑥 − 16 ∙ √𝑥 − 4

(√𝑥 − 42

)2 = 16 − 16

√16 − 4

16 − 4 =

√12

12

Ele não considerou que o 16-16 era da fração também, depois ele faz o mmc de √12 e finaliza:

2√3

12

6.b) Desenvolve o item de acordo com a resolução apresentada, porém omite a expressão ‘lim’ em todos os passos. 6.c) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao fazer produto da soma pela diferença no denominador.

𝑡2 − 4

𝑡3 − 8 (𝑡 − 2) ∙ (𝑡 + 2)

(𝑡 − 2) ∙ (𝑡 + 2)2 = ⋯ =

4

18=1

4

1

4

6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 5 e 3, mas no segundo desconsidera para dar a resposta final.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = −1

6.e) O aluno busca simplificar a raiz elevando ao quadrado e depois aplica o limite.

𝑙𝑖𝑚 =𝑥→3√𝑥 + 62 2

− 𝑥2

(𝑥3 − 3𝑥2) ∙ (√𝑥 + 6 + 𝑥)= ⋯ =

3+ 2

9 ∙ 0= 5

6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém na resposta final usa o sinal negativo. Comentários e Inferências: A produção escrita do item a) deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou multiplicando pelo mesmo sinal. Em e) acaba optando por um procedimento equivocado e acreditamos que não percebeu

que 5

0 não pode ser 5. Quando opta por aplicar o limite, acaba levando ‘lim’ junto, o que nos

leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. No item b) omite a expressão ‘lim’, o que pode ter sido por falta de atenção, já que em a) usou e em c) omitiu algumas vezes. Utilizou o sinal de igual em a), c) e e) após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser e fez uso incorreto do sinal de igual, já em b) e d) usou em todos os momentos, inferimos que como separador.

P26 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) O aluno escreve que o valor é negativo, pois 4 está à direita e conclui que a resposta é 1, sem fazer cálculos.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = −1

6.e) Opta pela estratégia correta, porém não faz nenhum passo após o conjugado. 6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tem ideia da resolução, mas não consegue fazer as manipulações algébricas necessárias. Utilizou o sinal de igual em todos

172

os momentos, mas sua resolução é um pouco desorganizada, assim inferimos que seja como separador.

P27 6.a) O aluno escreve que 𝑥 ≠ 16 e na sequência escreve duas frações. 𝑥 − 16

𝑥2 − 4

𝑥 − 16

2𝑥 − 4=

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) O aluno derivou parte da expressão e depois substitui o t por 1 e 3.

2𝑡 − 4

6𝑡 − 8

2 ∙ 1 − 4

6 ∙ 1 − 8=−3

−7

2 ∙ 3 − 4

6 ∙ 3 − 8=2

10

6.d) Opta por substituiu por 5 e 6, mas não apresenta os cálculos, apenas:

𝑣 = 5 ⇒−1

1= −1

𝑣 = 6 ⇒−2

2= −1

6.e) Buscou eliminar a raiz elevando os termos ao quadrado e apenas escreve 𝑥2 + 36 − 𝑥

3𝑥2 − 6𝑥

6.f) Apenas calcula o delta obtendo -8, mas não faz nenhum cálculo após isso. 6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstra compreender que o denominador não pode ser zero, mas acaba seguindo um caminho que não o ajuda e parece desistir de resolver. Além disso, é difícil inferir o motivo das escolhas do aluno, mas acreditamos que tem dificuldade de compreender o cálculo de limite. Usou o sinal de igual apenas no final, possivelmente buscando um resultado para a expressão.

P28 6.a) Inicia aplicando o limite no ponto e depois opta pelas manipulações algébricas, mas comete erro de procedimento e não finaliza.

16 − 16

16 − 4

= 0 𝑥 − 16

√𝑥 − 4 ∙ √𝑥 + 4

√𝑥 + 4

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

𝑥 + 4√𝑥 − 4√𝑥 − 16

6.b) Apenas escreve qual seria as funções equivalentes, mas não faz nenhum cálculo com elas. 6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) Aplicou o limite direto, concluindo que limite não existe.

4 − 4

|4 − 4|

𝑙𝑖𝑚𝑣→4+

= 0

6.e) O aluno coloca um x do denominar em evidencia e aplica o limite.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥(𝑥2 − 3𝑥)

√3 + 6 − 3

3(32 − 3 ∙ 3)

⋯

√9 − 3

3 → 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3

3 − 3

0


= 0

6.f) Opta pela estratégia correta, mas comete um erro ao substituir o 1 em x.

173


(1 − 3)

(1 − 1)→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

−2

0


∅

6.g) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento ao somar de forma incorreta.


(−3) − 3

(−3) − 1𝑙𝑖𝑚𝑥→−3

−6

−2 𝑙𝑖𝑚𝑥→−3

= 3

Comentários e Inferências: A produção escrita do aluno deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a resolução, mas acabou desistindo pois, inferirmos, que ele não consegue finalizar corretamente as manipulações algébricas e acabou cometendo alguns equívocos ao substituir o 1 no ponto. Ainda, quando opta por aplicar o limite, acaba levando ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Não utilizou o sinal de igual em nenhum momento, exceto quando usou o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser e ao obter o resultado.

P29 6.a) Aplicou o limite no início. 16 − 16

√16 − 4

0

4 − 4=0

0= 0

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Aplicou o limite logo no início e ao final conclui que deu zero.

22 − 4

23 − 8

𝑙𝑖𝑚𝑡→2

0

0= 0

6.d) Apenas diz que o limite tende ao infinito.


= ∞

6.e) Novamente aplicou o limite direto.

𝑙𝑖𝑚 =𝑥→3√3 + 6 − 3

33 − 3 ∙ 32= ⋯ =

0

0= 0

6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Novamente aplicou o limite.

−32 − 9

−32 + 2 ∙ (−3) − 3 =

0

6

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém inferirmos que ele esqueceu que antes disso é preciso de manipulações algébricas para sair da indeterminação. Utilizou o sinal de igual de maneira equivocada ao igualar zero à uma

indeterminação 0

0 e leva o ‘lim’ junto mesmo já tendo aplicado no ponto. Além disso, utilizou

o sinal de igual apenas como resultado. P30 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

6.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém na resposta final obteve um equívoco.

1

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =

1

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 0 =1

0 ∄

6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.d) Aplicou o limite direto, concluindo que limite dá zero.

=4 − 4

|4 − 4| =

0

8= 0

6.e) O aluno “simplifica” o x e aplica o limite, concluindo que dá uma indeterminação.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥(𝑥2 − 3𝑥) = ⋯

√9 − 1

9 − 9=2

0= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜

6.f) Opta pela estratégia correta, mas comete um erro ao substituir o 1 em x e conclui que é indeterminação.


(1 − 3)

(1 − 1)→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

−2

0

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

174

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber resolver o item b), mas no momento de aplicar o limite interpretou o cosseno de forma errada e não obteve êxito e em d) não substituiu por valores próximos a 4, já em f) comete o equívoco por aplicar o número, em e) optou por uma estratégia incorreta o que influenciou em sua resposta, além de escrever que o não existe seria uma indeterminação. Utilizou o sinal de igual corretamente.

P31 6.a) O aluno começou multiplicando pelo conjugado, mas colocou a raiz em todo o termo, após faz a distributiva e algumas “simplificações”, mas não finaliza o cálculo.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4 ∙ √𝑥 + 4

√𝑥 + 4

𝑥 − 16 √𝑥 + 4

(√𝑥2 + 4𝑥 − 4𝑥 + 16)2

𝑥 − 16 √𝑥 + 4

𝑥2 + 16

6.b) Apenas escreve 0

0.

6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Apenas escreveu uma expressão, mas não fez nenhum cálculo.

(√𝑥 + 6) + 𝑥

6.f) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento. (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3)

4

2== 2

6.g) Idem ao item f), mas obtendo 0/-2 como resposta. (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 3)=

0

−2

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento da técnica do conjugado, porém comete o equívoco de usar a raiz e em f) de aplicar o 1 na expressão. Não utilizou o sinal de igual em nenhum momento, exceto quando usou o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser.

P32 6.a) O aluno multiplica a função pelo conjugado, mas ele utiliza o mesmo sinal do denominador, multiplicando o primeiro termo com primeiro e segundo com segundo e desconsidera as raízes.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4∙√𝑥 − 4

√𝑥 − 4=𝑥 + 64

𝑥 + 16=16 + 64

16 + 16=80

32=5

2= 2,5

6.b) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento ao aplicar o limite logo.

=(

1𝑠𝑒𝑛 𝑥

)2

(1𝑡𝑔 𝑥

)2 =

(10)2

(10/1

)2 =

0

1= 0

6.c) Busca colocar o t em evidência, mas comete equívocos.

=𝑡2 − 4

𝑡(𝑡2 − 8)=1 − 4

2 − 8=−3

−5

6.d) Aplicou o limite direto, concluindo que limite dá zero. 4 − 4

|4 − (−4)| =0

8= 0

6.e) O aluno “simplifica” o x e aplica o limite.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥2(𝑥 − 3) = ⋯

3 − 3

32(3 − 3)=1

9

6.f) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento.

=(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3)= ⋯ =

4

2= 2

6.g) Idem ao item f), mas obtendo 0/-2 como resposta.

=(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 3)=

0

−2= 0

175

Comentários e Inferências: A produção escrita do item a) deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou multiplicando pelo mesmo sinal. Ainda, se confundiu quanto a distributiva, pois multiplicou termos de forma independente, o que leva a uma igualdade incorreta. Em c) e e) faz procedimentos incorretos e ainda em c) substituiu por 1, o que nos leva a inferir que estava desatento aos dados; e em d) não substituiu por valores próximos a 4, em f) comete equívoco ao aplicar o 1 na expressão. Notamos que ao aplicar o limite no ponto, em nenhum momento leva o ‘lim’ junto, como se tivesse trabalhando apenas com frações. Inferimos que utilizou o sinal de igual apenas como separador dos passos da resolução.

P33 6.a) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, mas não finaliza a resposta.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4 ∙ √𝑥 + 4

√𝑥 + 4=𝑥 − 16

√𝑥 + 4 =√16 + 4

=4 + 4

=8

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Opta pela estratégia correta, mas comete erro de procedimento ao fazer uma “simplificação”, porém não aplica o limite no ponto.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥3 − 3𝑥2∙ √𝑥 + 6 + 𝑥

√𝑥 + 6 + 𝑥= ⋯ = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3

3 + 3

𝑥3 − 3𝑥2

6.f) Não apresentou produção escrita. 6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Percebemos que o aluno tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou simplificando termos diferentes. Ainda, ao aplicar o limite no ponto acaba levando o ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite e, também, não substitui no numerador e, com isso, inferimos que como daria zero, o aluno achou que estivesse errado. Inferimos em e) que o aluno tem ideia das resoluções, mas em e) segue uma estratégia diferente que não o ajuda a resolver. Como ele escreveu as igualdades de forma incompleta, inferimos que utilizou o sinal de igual como separador dos passos da resolução.

P34 6.a) O aluno segue dois caminhos, em um deles ele multiplica a função pelo conjugado com o sinal correto e no outro mantém o sinal do denominador.

𝑥 − 16

√𝑥 − 4∙√𝑥 − 4

√𝑥 − 4=𝑥 ∙ √𝑥 + 64

𝑥 + 16=√𝑥 + 64

16= √𝑥 + 4

Após o aluno aplica o limite no ponto, escrevendo

√𝑥 + 4 → √16 + 4 → 4 + 4 = 8 De forma análoga para o segundo caminho, obtendo 0 como resultado. Assim, ele conclui que a resposta é 8 e 0. 6.b) Reescreve as funções e chega que elas tendem ao infinito.


𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥 →

∞

∞= 1

6.c) O aluno segue dois caminhos, em um deles buscou simplificar toda a expressão por 𝑡3 e na outra multiplicar por (𝑡3 − 8) e conclui que o limite dá ½.

=

𝑡2 − 4𝑡3

𝑡3 − 8𝑡3

⋯ 48 −

48

1 −88

=0

0

𝑡2 − 4

𝑡3 − 8 ∙𝑡3 − 8

𝑡3 − 8

⋯ 1

2

6.d) O aluno multiplica toda a expressão por (4 − 𝑣). 4 − 𝑣

|4 − 𝑣| ∙4 − 𝑣

|4 − 𝑣|

176

⋯

=0

0 → ∄

6.e) Dividiu toda a expressão por 𝑥3.

√𝑥 + 6 − 𝑥𝑥3

𝑥3 − 3𝑥2

𝑥3

=√3 + 6

𝑥3=1

9

6.f) Dividiu toda a expressão por 𝑥2 e substitui por 1. 𝑥2 − 9𝑥2

𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑥2

→−9

2 − 3=9

1

6.g) Mesma estratégia do item f), mas substitui por -3, obtendo 1 como resposta. Comentários e Inferências: Percebemos que no item a) que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas acabou realizando de duas formas diferentes. Também se confundiu quanto a distributiva, pois multiplicou termos de forma independente, gerando uma igualdade incorreta. Em e), f) e g) opta por uma estratégia incorreta e também comete erros de procedimentos que acarretam em outra resposta. Ainda, ao aplicar o limite no ponto acaba levando o ‘lim’ junto, o que nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Nota-se que sua resposta final é contraditória, pois o mesmo limite chegou em duas respostas distintas, ou seja, havia duas igualdades diferentes. No item b) vemos que para ele infinito sobre infinito seria 1, sendo quesitos que precisariam ser ampliados. Em c) vemos a confusão quanto a qual estratégia seguir, indo para caminhos bem distintos. Além disso, sobre o uso do sinal de igual, ora ele utiliza para a resposta, ora ele substituiu por flechas para chegar a uma nova expressão, dando a ideia do conectivo ‘então’.

P35 6.a) O aluno inicia já aplicando o limite no ponto, porém não utiliza o 16 e sim o 4. 4 − 16

√4 − 4

−12

−2 = 6

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Aplicou o limite logo no início.

−22 − 4

−23 − 8 𝑙𝑖𝑚

𝑡→2

4 − 4

−8 − 8 𝑙𝑖𝑚𝑡→2

0

−16 𝑙𝑖𝑚𝑡→2

− 16

6.d) O aluno substitui v por 2 e obtém 1 como resposta.

𝑙𝑖𝑚 𝑣→4+4 − 2

4 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑣→4+ 1

6.e) O aluno substituiu a função por -2.

√−2 + 6 − (−2)

−23 − 3 ∙ (−2)2


−1

5

6.f) Aplica o limite logo no início. 32 − 9

32 + 2 ∙ 3 − 3 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

0

12 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+12

6.g) Novamente aplicou o limite, porém substitui por -2.


−22 − 9

−22 + 2 ∙ (−2) − 3 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−3 −5

−3

Comentários e Inferências: Com a produção escrita percebemos que o aluno tem conhecimento de aplicar o limite no ponto, porém aplica outros valores no ponto. Mas isso demonstra que ele não levou em consideração as técnicas de manipulações algébricas que necessitava antes disso. Em d) faz uma simplificação equivocada que leva a uma resposta errada. Ainda, ao levar o ‘lim’ junto nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Em f) atém de omitir as manipulações, acaba

não percebendo que 0

12≠ 12. Utilizou o sinal de igual apenas no resultado em a), já em c), f)

e g) omitiu todos os sinais. P36 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada.

177

6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Optou pela estratégia correta, mas não deu continuidade na resolução após o conjugado. 6.f) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento.

=(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 3) =

4

2= 2

6.g) Idem ao item f), mas obtendo 0/-2 como resposta.

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→−3

(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3)

(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 3)=0

−2

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tem ideia da resolução, mas não soube qual caminho tomar para prosseguir e em f) comete equívoco ao aplicar o 1 na expressão e g) usa o sinal oposto. Utilizou o sinal de igual na maioria dos passos, mas inferimos que foi apenas como separador.

P37 6.a) O aluno buscou eliminar a raiz do denominador e conclui que o limite tende ao infinito.

√𝑥 − 16

√√𝑥 − 4=√𝑥 − 16

𝑥 − 4=√0

12

∞ 6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Não apresentou produção escrita. 6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 4,1 e 4,2 porém em ambos obteve a resposta com o sinal oposto.

4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = 𝑙𝑖𝑚

𝑣→4+= 1


1

6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) Apenas substituiu o x por números próximos a 1 pela direita, mas conclui que o limite tende a mais infinito.


= ∞

6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: Com a produção do aluno acreditamos que ele buscou eliminar a raiz do denominador no início e para isso elevou todos os termos pela raiz, o que expressa uma igualdade incorreta. Ainda, inferimos que ele buscou aplicar o limite no ponto, mas em nenhum momento levou o ‘lim’ junto, trabalhando apenas com frações. Ao final sua conclusão foi um pouco contraditória, pois encontra um valor numérico, mas responde que o limite tende ao infinito. Inferimos que utilizou o sinal de igual apenas para separar e também atribuiu ao significado de igualdade o espaço vazio, em branco, ou seja, acabou o omitindo.

P38 6.a) Aplicou o limite no início. 16 − 16

√16 − 4=0

0

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, no denominador.

(𝑡 + 2)(𝑡 − 2)

(𝑡 + 2)(𝑡 − 2) =

4

2(2 + 2)=4

8

6.d) O aluno aplica o limite no início e conclui que não existe. 4 − 4

4 − 4 = ∅

6.e) Não apresentou produção escrita. 6.f) O aluno faz a substituição por 1, obtendo conjunto vazio e depois uma tentativa de manipulação algébrica.

12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3 =

8

3 − 3= ∅

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) − 9

(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) − 3

6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém acreditamos que ele esqueceu que antes disso é preciso de manipulações algébricas para sair da indeterminação. Ainda, em a) inferimos que ele buscou aplicar o limite no ponto, mas

178

em nenhum momento levou o ‘lim’ junto, trabalhando apenas com frações. Já em c) e f) acaba cometendo equívocos nas manipulações algébricas. Em d) ele escreve conjunto vazio, mas afirma que o limite não existe. Utilizou o sinal de igual apenas como separador, para separar as expressões.

P39 6.a) O aluno responde que o limite não existe e busca provar isso de duas formas. 𝑥 − 16

√𝑥 − 4= +∞

𝑥 − 16

√𝑥 − 4= −∞

6.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém omitiu a resposta final, não aplicando o limite.

1

𝑥

6.c) O aluno escreve:

=𝑡 + 2

𝑡2 + 2𝑡 + 4 𝑙𝑖𝑚

𝑡→2 = 4 − 12 =

1

3

6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 4,5 e 5 e em ambos obteve a resposta esperada.

= −1 6.e) O aluno coloca o x em evidencia, mas não prossegue com a resolução.

√𝑥 + 6 − 𝑥

𝑥2(𝑥 − 3)

6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém levou o ‘lim’ junto ao aplica-lo.


= −∞

6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita do item a) inferimos que o aluno tem conhecimento sobre limites infinitos, mas que nesse caso não se aplicava. No item b) demonstrou saber resolver o item b), mas no momento de aplicar o limite, inferimos que acabou esquecendo. Considerando a sua estratégia, usou o sinal de igual de forma adequada em a), mas fora do contexto esperado e em b), omitiu o símbolo em todos os momentos, já nos demais usou o símbolo após a expressão ‘lim’ e não antes como deveria ser, fazendo uso incorreto.

P40 6.a) O aluno iguala o limite a uma fração que contém, no denominador, o conjugado. Esta estratégia não resolve a questão, pois não elimina o zero do denominador.

=𝑥 − 16

√𝑥 − 4=√𝑥 + 4

√𝑥 + 4 =

𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 16√𝑥 − 64

(√𝑥2 )

2− 16

=−16𝑥√𝑥 + 4𝑥 − 64

𝑥 − 16

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) O aluno apagou uma tentativa de resolução. 6.d) Substitui v por 4/2 e 4/10, obtendo 1 em ambos os cálculos. 4−

4

2

4−4

2

⋯ 1 4−

4

10

4−4

10

= ⋯ = 1

6.e) Novamente ao invés de multiplicar a função pelo conjugado ele a iguala e acaba cometendo erro de procedimento.

=(√𝑥 + 6)

2− 𝑥2

𝑥3√𝑥 + 6 + 𝑥4 − 3𝑥2√𝑥 + 6 − 3𝑥3 = ⋯ =

0

27

6.f) Aplica o limite logo no início, substituindo por números próximos ao 1. (1,5)2 − 9

(1,5)2 + 2 ∙ (1,5) − 3 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+− 9

6.g) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao somar um termo.

=−9

−4 =

9

4

Comentários e Inferências: A produção escrita do aluno deu indícios de que ele tem conhecimento sobre a técnica do conjugado, mas sua produção expressou uma igualdade incorreta quando fez a distributiva apenas no numerador e no denominador e multiplicando primeiro termo com primeiro termo e primeiro termo com primeiro termo e quando usou o

179

igual ao invés do de vezes. Inferimos que o sinal de igual foi utilizado como multiplicador. Em f) omite as manipulações e substitui por um valor. Como usou o sinal de igual no lugar do de multiplicação, vemos que fez uso incorreto do símbolo. Em d) ora utilizou o sinal e ora omitiu, assim inferimos que usou como separador. E também leva o ‘lim’ junto ao já aplicar o limite no ponto.

P41 6.a) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Porém ao aplicar o limite no ponto acaba levando o ‘lim’ junto. 6.b) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, porém na resposta final obteve um equívoco.

1

𝑥 ∞

6.c) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. 6.d) Não apresentou produção escrita. 6.e) Opta pela estratégia correta, mas erra no procedimento, ao esquecer o sinal de negativo em:

5

9 ∙ (√9 + 3)=

5

9 ∙ (6)=5

54

6.f) Desenvolveu o item de acordo com a resolução, mas substituiu por números próximos a 1 pela direita. 6.g) Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Ao levar o ‘lim’ junto nos leva a inferir que o aluno pode não ter compreendido plenamente que ele já estava aplicando o limite. Em b) acabou compreendendo de forma equivocada o cosseno e obtendo outra resposta. Em e) só não obtém a resposta esperada por um descuido no sinal. Utilizou o sinal de igual corretamente em todos os momentos.

P42 6.a) Aplicou o limite logo no início e concluiu que o limite não existe.

=16 − 16

√16 − 4=0

0= 0

6.b) Não apresentou produção escrita. 6.c) Aplicou o limite logo no início.

=22 − 4

23 − 8 =

4 − 4

8 − 8 = 0

6.d) Aplicou o limite para dois valores, sendo 5 e 6 e em ambos obteve a resposta esperada. 4 − 𝑣

|4 − 𝑣| = −1

6.e) Aplicou o limite logo no início e coloca o -3 dentro da raiz também.

√3+ 6 − 3

27 − (−3𝑥)(−3𝑥) = ⋯ = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3

6

54

6.f) O aluno aplica o limite e faz a substituição por 1. 12 − 9

12 + 2 ∙ 1 − 3

=8

0

6.g) Não apresentou produção escrita. Comentários e Inferências: O aluno demonstrou saber aplicar o limite no ponto, porém inferirmos que ele esqueceu que antes disso, seria necessário realizar manipulações algébricas para eliminar a indeterminação e ainda não percebeu que a fração em f) não poderia ser sua resposta. Utilizou o sinal de igual de maneira equivocada ao igualar zero à

uma indeterminação 0

0, porém utilizou o símbolo corretamente, nos outros momentos.

QUESTÃO 7


P1 O aluno não representou nenhuma curva, todas retas, até mesmo as que tendiam ao infinito. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno ainda tem muito consolidado função de primeiro grau, não expandindo para outras quando necessário.

P2 Não apresentou produção escrita. P3 O aluno escreveu

180

𝑓(2) = 𝑥 − 1 𝑓(2) = 2 − 1 = 1 𝑓(−2) = 𝑥 − 1

𝑓(−2) = −2 − 1 = −3 Então conclui que

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 A partir disso, no gráfico esboça corretamente o 𝑓(2) e o 𝑓(−2). Comentários e Inferências: A produção escrita fornece indícios que o aluno acreditou que era necessário encontrar uma expressão que satisfizesse o 𝑓(2) e o 𝑓(−2), já que finalizou com uma função que representasse elas. Assim, inferimos que o aluno compreendeu o sinal de igual como fórmula, já que buscou aplicar os valores em uma expressão.

P4 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma reta passando por eles e ao final delas escreve os símbolos de infinito, como se assim estivesse satisfazendo as outras duas condições. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas talvez não se atentou corretamente aos limites que tendiam ao infinito, sendo aspectos que precisariam ser ampliados para ele.

P5 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma reta passando por eles. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas omitiu os limites que tendiam ao infinito.

P6 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma reta passando por eles, após faz as curvas tendendo a 3, porém faz as duas no 1º quadrante. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas ao não unir uma reta e uma curva que coincidiam, acabou cometendo um erro no gráfico.

P7 O aluno esboçou o gráfico corretamente, apenas deixou o -1 de 𝑓(𝑥) = −1 com intervalo aberto. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar as informações e aplica-las no gráfico, o que evidencia que ele tem conhecimento do assunto.

P8 Não apresentou produção escrita. P9 O aluno esboçou o gráfico corretamente, apenas não passou a curva pelo -1, mas sim por

0,5. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar as informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo um equívoco, talvez por descuido.

P10 O aluno esboçou o gráfico corretamente. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar as informações e aplica-las no gráfico, o que evidencia que ele tem conhecimento do assunto.

P11 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma reta passando por eles, após faz as curvas tendendo a 3 e a -3. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas compreendeu o tendendo a 3 pela esquerda como sendo a -3, o que o fez errar nessa parte, sendo aspectos que precisariam ser ampliados para ele.


P13 Não apresentou produção escrita. P14 O aluno esboçou o gráfico corretamente, apenas deixou passar um pouco a curva que tendia

a 3 pela esquerda, chegando a 3,5 aproximadamente. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar as informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo um equívoco, talvez por descuido.




181

P18 O aluno marcou os pares ordenados (−3, 2); (2, 1); (0,−1) e traçou curvas passando pelo número 3 em y. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno buscou resolver as condições, mas inferimos que não teve conhecimento suficiente para resolver, o que mostra que seu entendimento de tender ao infinito é que vindo de qualquer direção, desde que chegasse ao número 3 estaria certo. Vemos que há vários aspectos que precisariam ser ampliados para ele.

P19 O aluno marcou os pontos corretos e traçou a curva próximo a onde deveria passar, mas acabou traçando ela um pouco torta, fazendo ela tender para outro ponto e não ao infinito. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas não tomou cuidado ao traçar a curva, talvez não percebendo corretamente para onde iria o infinito.

P20 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma reta passando por eles. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas omitiu os limites que tendiam ao infinito.


P22 O aluno marcou os pares ordenados (3, −2); (2, 1); (−2, 1); (0,−2) e traçou uma curva vindo

do +∞ passando pelos pares ordenados e indo ao −∞. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno buscou resolver as condições, mas inferimos que não teve conhecimento suficiente para resolver e que para ele deveria ser apenas uma curva. Vemos que há vários aspectos que precisariam ser ampliados para ele.




P26 O aluno esboçou a maior parte do gráfico corretamente, apenas começou a traçar a curva que tendia a 3 pela direita no infinito parando no 3. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar algumas informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo equívocos e, por isso, esses aspectos precisariam ser ampliados.


P28 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3 e traça uma reta passando por eles, após faz as curvas tendendo a 3 e a -3. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas traçou a reta e as curvas de forma independente, sendo aspectos que precisariam ser ampliados para ele.

P29 Não apresentou produção escrita. P30 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3 e traça uma reta passando

por eles, após, começou a traçar a curva que tendia a 3 pela direita no infinito no 3 e tendendo a infinito. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar algumas informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo equívocos, fazendo o limite ao infinito ao contrário e, por isso, esses aspectos precisariam ser ampliados.

P31 O aluno quase esboçou o gráfico corretamente, apenas não passou a curva pelo -1, mas sim por -0,5 e deixou passar um pouco a curva que tendia a 3 pela esquerda, chegando a 3,5 aproximadamente. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar as informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo equívocos.

182

P32 O aluno esboçou a maior parte do gráfico corretamente, apenas começou a traçar a curva que tendia a 3 pela direita no infinito passando por 3 e indo ao infinito novamente. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar algumas informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo equívocos e, por isso, esses aspectos precisariam ser ampliados.

P33 Não apresentou produção escrita. P34 O aluno traçou uma curva passando por (3, −2), outra por (1, 2), uma reta passando por -1

e as curvas tendendo ao infinito, mas sem vir de algum ponto específico, apenas começou em algum ponto. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno buscou resolver as condições, mas inferimos que não teve conhecimento suficiente para resolver e que para ele deveria ser apenas uma curva. Vemos que há vários aspectos que precisariam ser ampliados para ele.

P35 O aluno apenas marcou os pares ordenados (3, 0); (2, 1); (−1, 0); (−2, −3). Comentários e Inferências: Notamos que o aluno buscou resolver as condições, mas inferimos que não teve conhecimento suficiente para resolver.

P36 O aluno marcou os pontos de 𝑓(𝑥) = −1 , 𝑓(2) = 1 e 𝑓(−2) = −3, porém traça uma parábola passando por eles. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno tinha noção de interpretar as informações e aplica-las no gráfico, mas talvez não se atentou aos limites, sendo que alguns aspectos precisariam ser ampliados.


P38 O aluno traçou uma reta saindo de (−3,−2), outra saindo de -1 e as curvas tendendo ao infinito a 3 e a -3. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno buscou resolver as condições, mas inferimos que não teve conhecimento suficiente para resolver e que para ele deveria ser apenas uma curva. Vemos que há vários aspectos que precisariam ser ampliados para ele.

P39 O aluno esboçou a maior parte do gráfico corretamente, apenas começou a traçar a curva que tendia a 3 pela direita vindo do infinito no primeiro quadrante. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar algumas informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo equívocos e, por isso, esses aspectos precisariam ser ampliados.

P40 O aluno esboçou a maior parte do gráfico corretamente, apenas ao unir a curva que tendia a 3 pela esquerda com 𝑓(2) = 1, deixa elas sendo curvas distintas. Comentários e Inferências: Notamos que o aluno soube interpretar algumas informações e aplica-las no gráfico, porém acabou cometendo um equívoco.



183

APÊNDICE 4

DESCRIÇÕES DAS PRODUÇÕES ESCRITAS DA PROVA ESCRITA 6

QUESTÃO 1


P1 1ª ch.

Apenas reescreveu as funções e esboçou uma parábola. Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno não soube como unir as funções no cálculo e como uma era parábola optou por desenhá-la.

P3 1ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete um erro ao encontrar o intervalo de integração e também em um cálculo de expoente. Sobre o gráfico esboça uma parábola e uma reta passando pelos pontos do intervalo.

𝑥 = 3𝑥 − 𝑥2 𝑥 = 3 𝑥 = 0

Comentários e Inferências: Vemos que ele tinha ideia da resolução, mas comete erros de cálculo o que influenciou. Sobre o sinal de igual, ora ele utiliza e ora omite e, inferimos, que ao utilizar compreende como separador.

P4 2ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete erros de procedimento nos cálculos ao integrar. No gráfico fez uma reta.

⋯ =128

3−2

3− 27 =

45

3

Comentários e Inferências: Vemos que ele tinha ideia da resolução, mas comete erros de cálculo o que influenciou. Sobre o sinal de igual vemos que se o aluno usa mais de uma expressão na mesma linha ele usa o sinal, já quando é uma em cada linha o omite, assim inferimos que seja como separador.

P7 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada, porém não tem nenhum cálculo, apenas as conclusões de cada conta e o gráfico. Comentários e Inferências: O aluno pode compreender a resolução, mas como não apresentou nenhum cálculo fica difícil inferir qual é seu entendimento da questão.

P10 1ª ch.

O aluno optou pela estratégia correta, mas acabou omitindo parte da resolução ao não subtrair a função g(x) pela f(x). Esboçou o gráfico corretamente.

∫ [3𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥2

0

=

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter ideia do cálculo, mas por algum motivo calculou somente com uma função. Sobre o sinal de igual o aluno omite o sinal na maior parte, apenas usa quando há mais de uma expressão na mesma linha, assim inferimos que seja como separador.

P14 2ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual utilizou corretamente em todos os momentos.

P21 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, porém esboça o gráfico sem muita precisão. Sobre o sinal de igual o aluno omite o sinal na maior parte, apenas usa quando vai dar o resultado.

P23 2ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete erro de procedimento ao escrever duas vezes a seguinte expressão, o que acarretou em três expressões a serem substituídas por 4 e 1.

𝑥3

3|14 −

5𝑥2

2|14+7𝑥|0

2

Comentários e Inferências: Vemos que ele tinha ideia da resolução, mas talvez por descuido acabou repetindo um passo o que influenciou em todo o resto da resolução. Sobre o sinal de igual omite em todos os momentos, exceto na fórmula da área para obter a resposta final, assim inferimos que compreende como fórmula.

P25 1ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete um erro de procedimento, omitindo um valor.

Ele subtrai 3𝑥2

2 por –

𝑥2

2, mas na hora de escrever acaba esquecendo o denominador. Assim,

chegou em outra resposta ao final. Esboçou corretamente o gráfico.

184

𝐴 =2

3

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas por descuido errou a resolução. Vemos que ora o aluno usa o sinal de igual como resposta e ora usa flechas com o conectivo ‘então’.

P30 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Vemos que ora o aluno utiliza o sinal de igual e ora omite, assim inferimos que ele usa como resultado.

P34 2ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete um erro de procedimento, pois não utiliza parênteses em um momento e também não esboça o gráfico. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas por descuido errou a resolução. Sobre o sinal de igual o aluno omite o sinal na maior parte, apenas usa quando há mais de uma expressão na mesma linha, mas ainda, usa flechas com o conectivo ‘então’.

P36 1ª ch.

O aluno optou pela estratégia correta, mas acabou omitindo parte da resolução ao não subtrair a função g(x) pela f(x). Esboçou o gráfico corretamente.

∫ [3𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥2

0

=

Comentários e Inferências: O aluno demonstrou ter ideia do cálculo, mas por algum motivo calculou somente com uma função. Sobre o sinal de igual utilizou corretamente em todos os momentos.

P37 2ª ch.

Escolheu a estratégia correta, porém comete um erro de procedimento em escrever um sinal e um valor trocado.

⋯𝑥3

3|14 −

5𝑥2

2|14 − 7𝑥|1

4

13

3−5 ∙ 12

2− 1

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas por descuido errou a resolução. Sobre o sinal de igual, inferimos que o aluno utiliza como fórmula, já que aplica a fórmula resolutiva para a equação do segundo grau.

P38 2ªch.

Não apresentou produção escrita.

P39 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Vemos que ora o aluno utiliza o sinal de igual e ora omite, assim inferimos que ele usa como separador.

P41 1ª ch.

O aluno integra as funções corretamente, mas ele substitui o 0 na f e o 2 em g.

=22

2−3 ∙ 0

2−03

3

Comentários e Inferências: Sobre o sinal de igual utilizou corretamente em todos os momentos.

QUESTÃO 2


P1 1ª ch.

O aluno reescreve a integral e iguala a uma resposta de forma direta, sem fazer manipulações algébricas. Vejamos um exemplo de i)

∫𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥 = ∫1

2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem dificuldades de resolver os itens, não realizando nenhuma técnica de integração e nem integrando, mantendo o símbolo de integral em todos os resultados. Sobre o sinal de igual inferimos que utiliza como resultado.

P3 1ª ch.

Desenvolveu quase todos os itens de acordo com a resolução apresentada, exceto o iii), quando toma “u” sendo apenas x, a saber, 𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas teve um erro de procedimento. Sobre o sinal de igual, utilizou corretamente em todos os momentos.

P4 Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada.

185

2ª ch.

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ora utilizou em todos os momentos, sendo que algumas vezes no início da linha, outras ao final e, ora também omitiu o símbolo. Assim, inferimos que ele utiliza como separador.

P7 1ª ch.

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada, porém omitiu o “c” da constante em todos eles. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ora utilizou quando escreve mais de uma expressão na mesma linha e ora omitiu o símbolo. Assim, inferimos que ele utiliza como separador.

P10 1ª ch.

O aluno realiza pouca produção em cada item, demonstrando ir direto para a resposta. Vejamos em iii)

=1

𝑥+ 𝑐

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem dificuldades de resolver os itens, não realizando nenhuma técnica de integração e nem integrando, mantendo o símbolo de integral em todos os resultados. Sobre o sinal de igual inferimos que utiliza como resultado.

P14 2ª ch.

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual utilizou corretamente em todos os momentos, igualando sua primeira expressão à integral do item e depois usa todos de forma adequada.

P21 1ª ch.

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Contudo, comete um erro de procedimento ao substituir “u” por seno ao invés de cosseno.

− 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝑠𝑒𝑛3𝑥

3 + 𝑐

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, apenas inferimos que cometeu um erro por descuido. Sobre o sinal de igual, utilizou apenas quando escreve os fatores “u” e “v”, por exemplo, nos outros momentos da resolução, omite o sinal. Vale destacar que quando acaba o espaço da folha, faz uma flecha indicando que irá continuar na outra coluna.

P23 2ª ch.

Desenvolveu todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ora utilizou em alguns momentos, porém sua resolução é um pouco desorganizada, o que dificuldade inferir sobre o uso desde símbolo; já ora acabou omitindo o sinal em grande parte da resolução.

P25 1ª ch.

Desenvolveu corretamente apenas o item ii). Em iii) e iv) não obteu a resposta esperada, pois não fez as substituições em “u”. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem ideia do cálculo, mas demonstra ainda ter dificuldades de resolver todos os casos. Sobre o sinal de igual, apesar de usar na maioria dos passos, inferimos que ele dá importância primária como resultado, já que ao final das resoluções sempre reescreve o símbolo com a resposta.

P30 1ª ch.

Não resolveu nenhum item corretamente, pois comete erros de procedimento, seja em simplificações incorretas ou escolhas equivocadas. Vejamos em i) um desses casos, em que ele deriva o cosseno.

∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 −∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 → ⋯

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem ideia do cálculo, mas demonstra ainda ter dificuldades com as manipulações, seguindo caminhos equivocados. Sobre o sinal de igual, utiliza bem pouco, na maior parte faz uso de flechas, com a ideia do conectivo ‘entao’, ‘implica’.

P34 2ª ch.

Desenvolveu quase todos os itens de acordo com a resolução apresentada, exceto o i), quando escreve:

∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 −∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, utilizou apenas quando escreve os fatores “u” e “v”, por exemplo, nos outros momentos da resolução, omite o sinal. Vale destacar que nem sempre ele escreve “u” e “v”.

P36 Desenvolveu apenas o item ii) de acordo com a resolução apresentada. Nos outros, acabou seguindo caminhos distintos, vejamos:

186

1ª ch.

=1

2𝑥 ∙𝑙𝑛 𝑙𝑛 |𝑥|2 =

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem ideia do cálculo, mas demonstra ainda ter dificuldades com as manipulações, integrando de forma equivocada. Sobre o sinal de igual utilizou corretamente em todos os momentos.

P37 2ª ch.

Desenvolveu quase todos os itens de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, utilizou apenas quando escreve os fatores “u” e “v”, por exemplo, nos outros momentos da resolução, omite o sinal, chamando atenção para a resposta com um círculo ao redor.

P38 2ª ch.

Desenvolveu apenas o item ii) de acordo com a resolução apresentada. Nos outros, acabou seguindo caminhos distintos, vejamos: i)

∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

iii)

ln|𝑥|1

𝑥∙ 𝑥

iv)

∫1

2 𝑑𝑢 ∙ 𝑢

Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno tem dificuldades de utilizar as propriedades de integração, pois acaba manipulando as expressões de forma equivocada. Sobre o sinal de igual, omite o símbolo sempre que escreve uma expressão abaixo da outra, utiliza apenas quando escreve os fatores “u” e “v”, por exemplo, nos outros momentos da resolução, omite o sinal.

P39 1ª ch.

Desenvolveu os itens i) e ii) de acordo com a resolução apresentada. Nos outros, acabou seguindo caminhos distintos, como em iv):

= ∫1

√𝑥(1 + 2√𝑥 + √𝑥2)

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem ideia do cálculo, mas demonstra ainda ter dificuldades com algumas manipulações. Sobre o sinal de igual, ora utilizou em todos os momentos, sendo que algumas vezes no início da linha, outras ao final e, ora também omitiu o símbolo. Assim, inferimos que ele utiliza como separador.

P41 1ª ch.

Desenvolveu apenas o item iii) de acordo com a resolução apresentada. Nos outros, acabou seguindo caminhos distintos, seja nas manipulações ou em obter o “u”. Vejamos de i):

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥3; 𝑑𝑢 = 3(𝑠𝑒𝑛𝑥2) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno tem dificuldades de utilizar as propriedades de integração, pois acaba manipulando as expressões de forma equivocada e percebemos que ele derivou o x ao invés do seno. Ainda, notamos que intercala o uso do sinal de igual, com o de flechas simples, no sentido do conectivo ‘então’ ou ‘implica’.

QUESTÃO 3


P1 1ª ch.

Possivelmente o aluno utilizou o formulário e derivou o cosseno e já finaliza o cálculo.

= ∫ 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛1

2𝑥) 𝑑𝑥

π

0

Comentários e Inferências: Inferimos que o aluno ficou em dúvida sobre qual estratégia utilizar. E como usou apenas uma vez o sinal de igual fica difícil inferir sobre sua compreensão, mas inferimos que seja como resultado, já que o utiliza apenas na finalização.

P3 1ª ch.

Cometeu um equívoco ao omitir o número 2 do início da resolução, o que o fez obter outro resultado. E a final, substitui os limites, porém não analisa para onde os valores tendem, finalizando com:

𝜋𝑠𝑒𝑛1

2𝜋 +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

1

2𝜋 − 1

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas acabou cometendo equívocos que o fizeram obter outro valor. Sobre o sinal

187

de igual, ora o utilizou e ora o omitiu, assim acreditamos que utiliza como separador, já que usa quando as expressões são na mesma linha.

P4 2ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ora o utilizou e ora o omitiu, contudo, o modo como usa nos dá a entender que seja como resultado, já que escreve ao aplicar os limites.

P7 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ora o utilizou e ora o omitiu, assim acreditamos que utiliza como separador, já que não usa no início da linha, como se as expressões não resultassem de outras.

P10 1ª ch.

O aluno põe para fora da integral o ½ e integra o restante dos termos, após isso aplica o limite.

1

2∙𝑥2

2∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥|0

𝜋⋯ = 0

Comentários e Inferências: Notamos que o aluno tem noção de integral, porém não utiliza das técnicas de integração. Ainda, usou o sinal de igual apenas na resposta final, indicando compreender como resultado.

P14 2ª ch.

Opta pela estratégia correta, mas esquece do número 2 em “v”.

= 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛1

2𝑥) −∫𝑠𝑒𝑛

𝑥

2 𝑑𝑥

Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ele utilizou corretamente em todos os momentos, de modo que escreve uma sentença em cada linha e usa o sinal no início de cada uma.

P21 1ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual ele utilizou no decorrer do cálculo, em todos os passos, porém ao obter a resposta final o omite, grifando a resposta ao seu redor. Isso nos levou a inferir que compreende apenas como separador.

P23 2ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ele utilizou corretamente em todos os momentos, de modo que escreve uma sentença em cada linha e usa o sinal no início de cada uma.

P25 1ª ch.

Cometeu um equívoco ao omitir o número 2 do início da resolução, o que o fez obter outro resultado.

= 𝜋 + 1 Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo, mas acabou cometendo equívocos que o fizeram obter outro valor. Sobre o sinal de igual, ora o utilizou e ora o omitiu, assim acreditamos que utiliza como separador, já que usa quando as expressões são na mesma linha.

P30 1ª ch.

O aluno põe para fora da integral o ½, multiplica os dois x com o cosseno, após isso aplica o limite.

= ∫1

2∙ cos2 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ ⋯

π

0

Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno não soube qual estratégia tomar e faz vários cálculos que acabam complicando ainda mais a sua resolução. Utiliza o sinal de igual apenas ao final, nos outros momentos usa conectivos.

P34 2ª ch.

O aluno obteve a resposta correta, porém apresenta em sua resolução a partir da substituição dos limites, com isso, a professora não considera a resposta pela omissão dos cálculos que envolvem as propriedades de integral. Comentários e Inferências: É difícil inferir sobre sua compreensão, dado que omite vários passos do cálculo. Sobre o sinal de igual usa apenas como resultado.

P36 1ª ch.

O aluno comete um erro ao encontrar o fator “v” da integração por partes, o que mudou toda a resolução da esperada. Ainda, não finaliza seus cálculos.

𝑣 =1

2𝑠𝑒𝑛

1

2𝑥

Comentários e Inferências: Vemos que o aluno tem noção da técnica de integração por partes, porém integra de forma equivocada. Sobre o sinal de igual, ele utilizou corretamente em todos os momentos.

188

P37 2ª ch.

Desenvolveu o item de acordo com a resolução apresentada. Comentários e Inferências: Com a produção escrita vemos que o aluno tem conhecimento do cálculo. Sobre o sinal de igual, ele utilizou corretamente em todos os momentos, de modo que escreve uma sentença em cada linha e usa o sinal no início de cada uma.

P38 2ª ch.


P39 1ª ch.

O aluno já inicia cometendo erros na integração por partes. Depois, ao substituir o limite, usa um 𝑓(0) e 𝑓(𝜋).

𝑓(0) = 2 ∙ 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0) + 4 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (0) = 4 Comentários e Inferências: Acreditamos que o aluno teve bastante dificuldade na resolução, também chamamos a atenção para o modo como integra, utilizando um f para a função. Sobre o sinal de igual fica difícil inferir sobre sua compreensão, mas inferimos que seja como separador, já que aparentemente usa de forma mecânica.

P41 1ª ch.


189

APÊNDICE 5

CATEGORIAS SOBRE O SINAL DE IGUAL

CATEGORIAS PROVA ESCRITA 1

QUESTÃO 1

PRODUÇÕES ESCRITAS CATEGORIAS E SUBCATEGORIAS

P3, P4, P7, P8, P13, P15, P16, P23, P24, P25,

P28, P29, P30, P36, P37, P38, P39 e P41 Relação Funcional – 1.b)

P11, P14, P19, P20, P26 e P34 Conectivo – 2.c)

P6, P10, P18, P22, P27, P31, P33 e P42 Resultado – 3.f)

P1, P2, P5, P12, P21, P32 e P35 Separador – 3.g)

P17 e P40 Estratégia escolhida é fora do

contexto.

P9 Não há produções escritas.

QUESTÃO 2


P3, P13, P23, P24, P30 e P36 Equivalência – 1.a)

P11 e P20 Conectivo – 2.c)

P6, P28 e P34 Fórmula – 3.c)

P1, P5, P8, P9, P19, P25, P27, P29 e P32 Resultado – 3.f)

P4, P14, P17, P18, P21, P22, P26, P35, P38, P41

e P42 Separador – 3.g)

P7, P10, P12, P15, P16 e P39 Omissão do sinal de igual – 4.

P2, P31, P33, P37 e P40 Não há produções escritas.

QUESTÃO 3


P14 e P21 Uso correto do sinal de igual – 1.

P32 e P36 Uso incorreto do sinal de igual – 2.

P3, P11, P15, P23 e P39 Fórmula – 3.e)

P1, P4, P6, P12, P16, P17, P19, P22, P24, P26,

P28, P31 P34, P35 e P41 Resultado – 3.f)

P5, P7 e P30 Omissão do sinal de igual – 4.

P10, P18, P20, P27 e P40 Pouco se pode inferir da compreensão

quanto ao sinal de igual.

P2, P8, P9, P13, P25, P29, P33, P37, P38 e P42 Não há produções escritas.

190

QUESTÃO 4


Todos os alunos Não houve a utilização sinal de igual.

QUESTÃO 5


P12 Relação nome-símbolo ou

correspondência – 2.d)

P37 Resultado – 3.f)

P22 Omissão do sinal de igual – 4.

Todos os demais alunos, exceto P12, P22 e

P37 Não houve a utilização sinal de igual.

QUESTÃO 6


P3, P24, P30 e P41 Uso correto do sinal de igual – 1.

P1, P6, P8, P13, P19, P25 e P39 Uso incorreto do sinal de igual – 2.

P10, P11, P20 e P34 Conectivo – 2.c)

P4, P7, P9, P14, P15, P16, P21, P23, P27, P28 e

P29 Resultado – 3.f)

P2, P17, P18, P22, P26, P32, P33, P36, P38, P40

e P42 Separador – 3.g)

P5, P31, P35 e P37 Omissão do sinal de igual – 4.


QUESTÃO 7


P3 Fórmula – 3.e)

Todos os demais alunos, exceto P3 Não houve a utilização sinal de igual.

CATEGORIAS PROVA ESCRITA 6

QUESTÃO 1


P14, P36 e P41 Uso correto do sinal de igual – 1.


P23 e P37 Fórmula – 3.e)

P21 e P30 Resultado – 3.f) P3, P4, P10 e P39 Separador – 3.g)

P1 e P7 Difícil inferir sobre a compreensão quanto ao sinal de igual.


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QUESTÃO 2


P3, P14 e P36 Uso correto do sinal de igual – 1.


P1, P10 e P25 Resultado – 3.f)

P4, P7 e P39 Separador – 3.g) P21, P23, P34, P37 e P38 Omissão do sinal de igual – 4.

QUESTÃO 3


P14, P23, P36 e P37 Uso correto do sinal de igual – 1.

P30 Conectivo – 2.c)

P1, P4, P10 e P34 Resultado – 3.f)

P3, P7, P21, P25 e P39 Separador – 3.g)

P38 e P41 Não há produções escritas.

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Unioestetede.unioeste.br/bitstream/tede/4668/2/Rosane Spielmann...UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS / CCET PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO