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Series trigonometricas de Fourier
Calculo II
Departamento de Matematica Universidade de Aveiro
2018-2019
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 1 / 20
Eletrocardiograma
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 2 / 20
Ondas Sonoras
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 3 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Os fenomenos periodicos aparecem nas mais variadas situacoes:
ondas de som,
movimento da Terra,
batimento cardıaco,
processamento de sinais,
etc.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 4 / 20
Series trigonometricas de Fourier
necessidade de representar uma funcao periodica por meio de funcoesperiodicas simples, como por exemplo a funcao cosseno e a funcao seno
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 5 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Essa representacao simples e efetuada sob a forma de uma serie chamadaserie de Fourier da funcao.
Definicao
Suponhamos que f e uma funcao que pode ser representada por uma serietrigonometrica da forma
∞∑n=0
An cos(2π
Pnx) + Bn sin(
2π
Pnx) (1)
com An,Bn ∈ R, n ∈ N0.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 6 / 20
Series trigonometricas de Fourier
A serie (1) converge absoluta e uniformemente em R sempre que as seriesnumericas
∑∞n=0 an e
∑∞n=0 bn forem absolutamente convergentes.
Tal resulta essencialmente das propriedades das series e do Criterio deWeierstrass.
Se a serie trigonometrica convergir, a sua funcao soma e necessariamenteuma funcao periodica de perıodo 2π
A serie (1) tem perıodo P. Assim a serie (1) representa uma funcaoperiodica de perıodo P, isto e, a funcao deve satisfazer
f (x) = f (x + P)
para qualquer x ∈ R.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 7 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Definicao [Funcao periodica]:
Uma funcao f : R −→ R diz-se periodica de perıodo P > 0 quando paratodo o x ∈ R se tem
f (x + P) = f (x).
Ao menor dos perıodos chama-se perıodo fundamental.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 8 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Exemplos
1 A funcao sin(x) e periodica de perıodo 2π: sin(x + 2π) = sin(x), ∀x ∈ R.
x
f (x)
f (x) = sin x
2 A funcao sin( 2πP
x), n ∈ N, P > 0, e periodica de perıodo P:
sin(2π
Px + 2π) = sin(
2π
P(x + P)) = sin(
2π
Px), ∀x ∈ R.
3 A funcao sin( 2πnP
x), n ∈ N, P > 0, e periodica de perıodo Pn
:
sin(2πn
Px + 2π) = sin(
2πn
P(x +
P
n)) = sin(
2πn
Px), ∀x ∈ R.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 9 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Nota: Se a funcao f e periodica de perıodo P, entao tambem e periodicacom perıodo 2P, 3P, 4P, . . ..
Nota: Toda a funcao P periodica f (x) pode ser convertida numa funcao2π periodica
g(x) = f (P
2πx).
Pois g(x + 2π) = f ( P2π (x + 2π)) = f ( P
2πx + P) = f ( P2πx) = g(x).
aqui vamos considerar apenas funcoes 2π-periodicas
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 10 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Definicao [Serie de Fourier associada a funcao f ]:
Para uma funcao f : R −→ R periodica de perıodo 2π e integravel, chama-seserie de Fourier associada a funcao f a serie de funcoes
a0
2+∞∑n=1
an cos(nx) + bn sin(nx) (2)
onde a0, an, bn ∈ R, n ∈ N sao os coeficientes de Fourier de f (x). Estescoeficientes sao determinados da seguinte forma
a0 =1
π
∫ π
−π
f (x)dx
an =1
π
∫ π
−π
f (x) cos(nx)dx , n ∈ N,
bn =1
π
∫ π
−π
f (x) sin(nx)dx , n ∈ N.
Ou se preferirmos
an =1
π
∫ π
−π
f (x) cos(nx)dx , n ∈ N0.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 11 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Recorde: Uma funcao f : R −→ R epar se f (x) = f (−x), ∀x ∈ R,ımpar se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ R.
A funcao cosseno e par: cos(x) = cos(−x).A funcao seno e ımpar: sin(x) = − sin(−x).
Se f (x) e uma funcao par entaoa funcao f (x) cos(x) e para funcao f (x) sin(x) e ımpar
Se f (x) e uma funcao ımpar entaoa funcao f (x) cos(x) e ımpara funcao f (x) sin(x) e par
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 12 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Propriedades:
Recapitulemos, para nao esquecer, tres propriedades uteis no calculo doscoeficientes de Fourier:
1 Se g(x) e uma funcao par∫ π
−πg(x)dx = 2
∫ π
0g(x)dx .
2 Se g(x) e uma funcao ımpar∫ π
−πg(x)dx = 0.
3 Se g(x) e uma funcao periodica de perıodo 2π, entao∫ π
−πg(x)dx =
∫ a+2π
ag(x)dx ,∀a ∈ R.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 13 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Exemplos
Determine a serie de Fourier associada a cada uma das funcoes indicadas:
1 f (x) =
{1, x ∈ [0, π]−1, x ∈ [−π, 0[
, em [−π, π]
2 f (x) = |x |, em [−π, π]
3 f (x) = x , em [−π, π]
4 f (x) = x + x2, em [−π, π]
5 f (x) = ex , em [−π, π]
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 14 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Extensao periodica
Extensao periodica de uma funcao definida em intervalos de amplitude 2πa toda a reta real:
se f : [a, a + 2π[−→ R, com a ∈ R, podemos extender esta funcao a todoo R de forma unica de modo a torna-la 2π periodica.
O mesmo se passa se f :]a, a + 2π] −→ R, com a ∈ R.
Por isso, supondo que f e integravel, com algum abuso de linguagem,dizemos que a serie de Fourier de f coincide com a serie de Fourier da suaextensao 2π periodica a R.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 15 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Extensao par
Extensao par de uma funcao f : [0, π] −→ R e integravel ao intervalo[−π, π]
fp(x) =
{f (−x), −π ≤ x < 0f (x), 0 ≤ x ≤ π
Extensao ımpar
Extensao ımpar de uma funcao f : [0, π] −→ R e integravel ao intervalo[−π, π]
fi (x) =
−f (−x), −π ≤ x < 00, x = 0f (x), 0 ≤ x ≤ π
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 16 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Exemplo
Para a funcao f : [0, π] −→ R, f (x) = x ,
temos a extensao par fp : [−π, π] −→ R, fp(x) = |x |,
e temos a extensao ımpar fi : [−π, π] −→ R, fi (x) = x .
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 17 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Se f : [−π, π[−→ R e par, a sua serie de Fourier e uma serie de cossenos
f (x) ∼ a0
2+
+∞∑n=1
an cos(nx),
com
an =2
π
∫ π
0f (x) cos(nx)dx , n ∈ N0
Se f : [−π, π[−→ R e ımpar, a sua serie de Fourier e uma serie de senos
f (x) ∼+∞∑n=1
bn sin(nx),
com
bn =2
π
∫ π
0f (x) sin(nx)dx , n ∈ N
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 18 / 20
Convergencia das series trigonometricas de Fourier
Uma serie de Fourier nem sempre converge para a funcao que foi usadapara a construir. No entanto, sob certas condicoes, podemos identificar asua soma e, por vezes, a soma coincide com a funcao original.
Teorema [de Dirichlet]
Seja f (x) uma funcao real, periodica, de perıodo 2π e seccionalmentediferenciavel. Em qualquer ponto c ∈ R a serie de Fourier converge para
f (c+) + f (c−)
2.
Deste modo podemos dizer que quer nos pontos de continuidade, quer nospontos de descontinuidade, a serie de Fourier converge pontualmente paraa funcao
S(x) =
{f (x), se f e contınua em x ;f (x+)+f (x−)
2 , se f nao e contınua em x .Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 19 / 20
Series trigonometricas de Fourier
Exemplos
Sendo S(x) a soma da serie, sera que S(x) = f (x), ∀x ∈ R?
1 f (x) =
{1, x ∈ [0, π],−1, x ∈ [−π, 0[
deduzimos a serie de Fourier f (x) ∼∑+∞
n=14π
sin((2n−1)x)2n−1 .
2 f (x) = |x |.
Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 20 / 20