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eries trigonom´ etricas de Fourier alculo II Departamento de Matem´ atica Universidade de Aveiro 2018-2019 alculo II | 2018-2019 eries de Fourier 1 / 20

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Series trigonometricas de Fourier

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

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Eletrocardiograma

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Ondas Sonoras

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Series trigonometricas de Fourier

Os fenomenos periodicos aparecem nas mais variadas situacoes:

ondas de som,

movimento da Terra,

batimento cardıaco,

processamento de sinais,

etc.

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Series trigonometricas de Fourier

necessidade de representar uma funcao periodica por meio de funcoesperiodicas simples, como por exemplo a funcao cosseno e a funcao seno

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Series trigonometricas de Fourier

Essa representacao simples e efetuada sob a forma de uma serie chamadaserie de Fourier da funcao.

Definicao

Suponhamos que f e uma funcao que pode ser representada por uma serietrigonometrica da forma

∞∑n=0

An cos(2π

Pnx) + Bn sin(

Pnx) (1)

com An,Bn ∈ R, n ∈ N0.

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Series trigonometricas de Fourier

A serie (1) converge absoluta e uniformemente em R sempre que as seriesnumericas

∑∞n=0 an e

∑∞n=0 bn forem absolutamente convergentes.

Tal resulta essencialmente das propriedades das series e do Criterio deWeierstrass.

Se a serie trigonometrica convergir, a sua funcao soma e necessariamenteuma funcao periodica de perıodo 2π

A serie (1) tem perıodo P. Assim a serie (1) representa uma funcaoperiodica de perıodo P, isto e, a funcao deve satisfazer

f (x) = f (x + P)

para qualquer x ∈ R.

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Series trigonometricas de Fourier

Definicao [Funcao periodica]:

Uma funcao f : R −→ R diz-se periodica de perıodo P > 0 quando paratodo o x ∈ R se tem

f (x + P) = f (x).

Ao menor dos perıodos chama-se perıodo fundamental.

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Series trigonometricas de Fourier

Exemplos

1 A funcao sin(x) e periodica de perıodo 2π: sin(x + 2π) = sin(x), ∀x ∈ R.

x

f (x)

f (x) = sin x

2 A funcao sin( 2πP

x), n ∈ N, P > 0, e periodica de perıodo P:

sin(2π

Px + 2π) = sin(

P(x + P)) = sin(

Px), ∀x ∈ R.

3 A funcao sin( 2πnP

x), n ∈ N, P > 0, e periodica de perıodo Pn

:

sin(2πn

Px + 2π) = sin(

2πn

P(x +

P

n)) = sin(

2πn

Px), ∀x ∈ R.

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Series trigonometricas de Fourier

Nota: Se a funcao f e periodica de perıodo P, entao tambem e periodicacom perıodo 2P, 3P, 4P, . . ..

Nota: Toda a funcao P periodica f (x) pode ser convertida numa funcao2π periodica

g(x) = f (P

2πx).

Pois g(x + 2π) = f ( P2π (x + 2π)) = f ( P

2πx + P) = f ( P2πx) = g(x).

aqui vamos considerar apenas funcoes 2π-periodicas

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Series trigonometricas de Fourier

Definicao [Serie de Fourier associada a funcao f ]:

Para uma funcao f : R −→ R periodica de perıodo 2π e integravel, chama-seserie de Fourier associada a funcao f a serie de funcoes

a0

2+∞∑n=1

an cos(nx) + bn sin(nx) (2)

onde a0, an, bn ∈ R, n ∈ N sao os coeficientes de Fourier de f (x). Estescoeficientes sao determinados da seguinte forma

a0 =1

π

∫ π

−π

f (x)dx

an =1

π

∫ π

−π

f (x) cos(nx)dx , n ∈ N,

bn =1

π

∫ π

−π

f (x) sin(nx)dx , n ∈ N.

Ou se preferirmos

an =1

π

∫ π

−π

f (x) cos(nx)dx , n ∈ N0.

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Series trigonometricas de Fourier

Recorde: Uma funcao f : R −→ R epar se f (x) = f (−x), ∀x ∈ R,ımpar se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ R.

A funcao cosseno e par: cos(x) = cos(−x).A funcao seno e ımpar: sin(x) = − sin(−x).

Se f (x) e uma funcao par entaoa funcao f (x) cos(x) e para funcao f (x) sin(x) e ımpar

Se f (x) e uma funcao ımpar entaoa funcao f (x) cos(x) e ımpara funcao f (x) sin(x) e par

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Series trigonometricas de Fourier

Propriedades:

Recapitulemos, para nao esquecer, tres propriedades uteis no calculo doscoeficientes de Fourier:

1 Se g(x) e uma funcao par∫ π

−πg(x)dx = 2

∫ π

0g(x)dx .

2 Se g(x) e uma funcao ımpar∫ π

−πg(x)dx = 0.

3 Se g(x) e uma funcao periodica de perıodo 2π, entao∫ π

−πg(x)dx =

∫ a+2π

ag(x)dx ,∀a ∈ R.

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Series trigonometricas de Fourier

Exemplos

Determine a serie de Fourier associada a cada uma das funcoes indicadas:

1 f (x) =

{1, x ∈ [0, π]−1, x ∈ [−π, 0[

, em [−π, π]

2 f (x) = |x |, em [−π, π]

3 f (x) = x , em [−π, π]

4 f (x) = x + x2, em [−π, π]

5 f (x) = ex , em [−π, π]

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Series trigonometricas de Fourier

Extensao periodica

Extensao periodica de uma funcao definida em intervalos de amplitude 2πa toda a reta real:

se f : [a, a + 2π[−→ R, com a ∈ R, podemos extender esta funcao a todoo R de forma unica de modo a torna-la 2π periodica.

O mesmo se passa se f :]a, a + 2π] −→ R, com a ∈ R.

Por isso, supondo que f e integravel, com algum abuso de linguagem,dizemos que a serie de Fourier de f coincide com a serie de Fourier da suaextensao 2π periodica a R.

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Series trigonometricas de Fourier

Extensao par

Extensao par de uma funcao f : [0, π] −→ R e integravel ao intervalo[−π, π]

fp(x) =

{f (−x), −π ≤ x < 0f (x), 0 ≤ x ≤ π

Extensao ımpar

Extensao ımpar de uma funcao f : [0, π] −→ R e integravel ao intervalo[−π, π]

fi (x) =

−f (−x), −π ≤ x < 00, x = 0f (x), 0 ≤ x ≤ π

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Series trigonometricas de Fourier

Exemplo

Para a funcao f : [0, π] −→ R, f (x) = x ,

temos a extensao par fp : [−π, π] −→ R, fp(x) = |x |,

e temos a extensao ımpar fi : [−π, π] −→ R, fi (x) = x .

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Series trigonometricas de Fourier

Se f : [−π, π[−→ R e par, a sua serie de Fourier e uma serie de cossenos

f (x) ∼ a0

2+

+∞∑n=1

an cos(nx),

com

an =2

π

∫ π

0f (x) cos(nx)dx , n ∈ N0

Se f : [−π, π[−→ R e ımpar, a sua serie de Fourier e uma serie de senos

f (x) ∼+∞∑n=1

bn sin(nx),

com

bn =2

π

∫ π

0f (x) sin(nx)dx , n ∈ N

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Convergencia das series trigonometricas de Fourier

Uma serie de Fourier nem sempre converge para a funcao que foi usadapara a construir. No entanto, sob certas condicoes, podemos identificar asua soma e, por vezes, a soma coincide com a funcao original.

Teorema [de Dirichlet]

Seja f (x) uma funcao real, periodica, de perıodo 2π e seccionalmentediferenciavel. Em qualquer ponto c ∈ R a serie de Fourier converge para

f (c+) + f (c−)

2.

Deste modo podemos dizer que quer nos pontos de continuidade, quer nospontos de descontinuidade, a serie de Fourier converge pontualmente paraa funcao

S(x) =

{f (x), se f e contınua em x ;f (x+)+f (x−)

2 , se f nao e contınua em x .Calculo II | 2018-2019 Series de Fourier 19 / 20

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Series trigonometricas de Fourier

Exemplos

Sendo S(x) a soma da serie, sera que S(x) = f (x), ∀x ∈ R?

1 f (x) =

{1, x ∈ [0, π],−1, x ∈ [−π, 0[

deduzimos a serie de Fourier f (x) ∼∑+∞

n=14π

sin((2n−1)x)2n−1 .

2 f (x) = |x |.

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