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7/27/2019 Steinbruch - Matrizes, Determinantes e Sistemas.pdf

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Matrizes, Determinantes e Sistemasde Equaes Lineares

Alfredo SteinbruchProfessor de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980)e da Pontifcia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-HillSo PauloRua Tabapu, 1.105, Itaim-BibiCEP04533(011) 881-8604 e (011) 881-8528

Rio de Janeiro e Lisboa e Porto e Bogot e BuenosAires e Guatema14 e Madrid e Mhk:o e New York e Panam eSan Juan e SantiagoAuckland e Hamburg e Kuala Lumpur e London e Milan e Montreal e New Delhi e Paris e Singapore e Sydney eTokyo e Toronto


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SUMRIO

PREFCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXCaptulo 1 - MATRIZES

Matriz de ordem m por n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Diagonal principal e diagonal secundria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Matriz diagonal e matriz unidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Matriz zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Matriz oposta de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. . . . . . . . . . 4Igualdade de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Adio de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Produto de uma matriz por um escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Produto de uma matriz por outra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Matriz transposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Matriz simtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 12Matriz anti-simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 13Problema.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Captulo 2 - DETERMINANTES .Classe de uma permutao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Termo principal e termo secundrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Determinante de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Preliminares para o clculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem 28Clculo do determinante de 2! ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Vil


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VIII Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares

Clculo do determinante de 3!! ordem . . . . . . . . : . . 29Desenvolvimento de um determinante de ordem n por umalinha ou por uma coluna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Clculo de um determinante de qualquer ordem. . . . . . . . . . . . . . 42Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Captulo 3 - INVERSO DE MATRIZESMatriz inversa de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matriz no-singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Propriedades da matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .' . . .Operaes elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Eq 'valA . d .UI encla e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Inverso de uma matriz por meio de operaes elementares . Matriz ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problemas ................................

505151525354576161

Captulo 4 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARESEquao linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Sistemas de equaes lineares. . . . . . . . . . . . . . . . 71Sistemas equivalentes ........ . . . . . . . . . . . 73Estudo e soluo dos sistemas de equaes lineares. . . . . . . . 73Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


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PREFCIO

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes osconhecimentos mnimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equaes lineares,conhecimentos que so indispensveis para estudar e compreender os contedos de vriasdisciplinas dos Cursos de Engenharia, Administrao, Economia, Matemtica, Fsica,Computao etc.Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTES eSISTEMAS DE EQUAES LINEARES" tem trs caractersticas principais:

1) unidade de tratamento na soluo de problemas diferentes. Assim, semdescuidar de casos particulares, o clculo de determinantes de qualquerordem, a inverso de matrizes e a soluo de m equaes lineares com nvariveis, quaisquer que sejam m e n, so feitos utilizando processosanlogos;2) linguagem simples, didtica (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo embenefcio da clareza) e acessvel a estudantes de qualquer Curso de nvelsuperior;

3) nfase na parte prtica, contendo 168 problemas resolvidos e propostos, estescom respostas ou roteiros para a soluo.

IX


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X Matrizes, D e t e n n i n a n t ~ s e Sistemas de Equaes Lineares

o autor ficar compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitara estudantes a compreenso das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes,determinantes e sistemas de equaes lineares como pr-requisito.Crticas, sugestes para a melhoria deste livro, assim como informaes sobreeventuais erros, sero bem recebidas no endereo do autor*.

Alfredo Steinbruch

* Rua Vieira de Castro, 275/601- Fone (0512) 31-328890.040 - Porto Alegre - RS - BR


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ICAPITULO 1MATRIZES

1.1 - MATRIZ DE ORDEM m POR n

Chama-se rIUltriz de ordem m por n a mo quadro de m x n elementos (em geral,nmeros reais) dispostos emm linhas e n colunas.

a l l alZ alna:H a22 ~ n

A = .

A matriz na qual m 'i ' n retangular, se representa por A(m,n) e se diz de or-dem m por n ou m x n.

A matriz na qual m = n quadrada, se representa por An(ou A(n, n' e se dizde ordem n.

Cada elemento de uma matriz A est afetado de dois ndices: O primeirondice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [ ~ j ] ' i variandode1 a m (i = 1, 2, , m) e j variando de 1 a n (j = 1, 2, , n). Assim, se a matriz tem 2

1


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2 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares

linhas(m = 2) e 3 colunas (n = 3), ao fixar para i o valor 1 e fazendo j variar de 1 a 3,obtm-se:

Fixando, a seguir, para i o valor 2 e fazendo j variar de 1 a 3, obtm-se:

isto :~ 1

A(2 3) = A = rall, L21

~ 2 ~ 3

A matriz de ordem m por 1 uma matriz-eoluna ou vetor-eoluna e a matriz .de ordem 1 por n uma matriz-linha ou vetor-linha. Exemplos:

1.2 - DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDRIA Numa matriz quadrada A = [aij] , de ordem n, os elementos ~ j ' em que i = j,constituem adiagonalprincipal. Assim, a diagonal formada pelos elementos alI' a22' ..., ~ a diagonal principal. Numa matriz quadrada A = [ ~ j ] ' de ordem n, os elementos em quei + j = n + 1, constituem a diagonal secwuiria. Assim, a diagonal formada pelos

elementos a1n, ~ n-1' ~ n-2' 8n1 (1 + n = 2 + n-l = 3 + n-2 = ... = n + 1) adiagonal secundria.1.3 - MATRIZ DIAGONAL E MATRIZ UNIDADE

A matriz quadrada A = [ ~ j ] que tem os elementos ~ j = Oquando i >F j umamatriz diagonal:


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Matrizes 3

a l l O OO az2 O

A = .O O 8nn

A matriz diagonal que tem os elementos ~ j = 1 para i = j uma matriz unida-de. Indica-se a matriz unidade por ~ ou simplesmente por I:

1.4 - MATRIZ ZERO

O1O

Uma matriz zero a matriz cujos elementos so todos nulos. Indica-se a matrizzero por O.

O = ~ OO OOO

1.5 - MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZMatriz oposta de uma matriz A = [ ~ j ] a matriz B = [bij] tal que bi j = - ~ j .Indica-se amatriz oposta de Apor -A. Exemplo:

[-7-A = 3 =:J


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4 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares

1.6 - MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE MATRIZTRIANGULAR INFERIORA matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = Opara i> j uma ma-

triz triangular superior e a matriz quadrada B = [bijl que tem os elementos b jj = O parai < j uma matriz triangular inferior. Exemplos:35O B =[;-3 O79

1.7 - IGUALDADE DE MATRIZESDuas matrizes A = [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, so iguais se, e somentese, 8;j = bij Exemplo:

[ ~ 31 31

1.8 - ADiO DE MATRIZESA soma de duas matrizes A = [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, uma matrizC = [cijl tal que cij = 8;j + bij" Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A + B.

Exemplos:

1) [al l a 12 a l ~ J + [ ~ 1 b 12 b13J = [a l l+b l l a 12+b 12 a 13+b 13]a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21+b21 a22+b22 a23+b232)

~-21 1 - ~ ~ -1 ~1 2 3O 2 + O 2 2-1 4 -3 O -1


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Matrizes 5

1.8.1 - Diferena de duas matrizesA diferena A-B de duas matrizes, de mesma ordem, defmida por A + (-B).Exemplo:r5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ - ~ ~ = ~ ~ + ~ ~ = ~ ~

1.8.2 - Propriedades da adio de matrizesPara as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se:I) A + (B + C) = (A + B) + CI l ) A +B=B+AIII) A + O = O+ AIV) A + (-A) == -A + A = O

1.9 - PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Se um escalar, o produto de uma matriz A = [ajjl por esse escalar umamatriz B = [bjjl tal que bjj = ~ j . Indica-se o produto da matriz A por por A. Exemplo:5 x ~ -2-5 lJ=[5X4O 5 x 3 5 x (-2)5 x (-5) 5x lJ = [205 x O 15 -10-25

1.9.1 - Propriedades da multiplicao de umamatriz por um escalarPara e /.I. escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se:I) (/.I.) A::;:: {/.I.A)II) (+/.I.) A = A + /.I.AID) (-/.I.) A = A-/.I.A


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6 Matrizes, Detemnantes e Sistemas de Equaes Lineares

IV) (A + B) = A + i l lV) IA = A

1.10 - PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA

Sejam as matrizes AO ,4) e B(4,O

A = [4 3 2 5] e B ~ mo produto AB , por defmio, uma matriz CO,l) tal que:CH = 4 x 6 + 3 x 4 + 2 x 5+ 5 x 3 = 24 + 12 + 10 + 15 = 61

isto , cH a soma dos produtos, na ordem em que esto dispostos, dos elementos da ma.triz-linha A pelos elementos da matriz-coluna B. A matriz Co,o = [61] o produto damatriz ~ 1 , 4 ) pela matriz B(4,2) O dispositivo abaixo facilita, visualmente, entender adefinio do produto da matriz ~ 1 , 4 ) pela matriz B(4,O:

. .' .............. .:. . .:. . ..:. ... '(=J.................................. . 2 x 5 = 10 5. . . 5 x 3 = 15 3.. - .61

[4 3 2 5] . . . [61]A condio para multiplicar a matriz AO .4) pela matriz B(4.0' de acordo com adefinio, que o nmero de linhas de B (no caso, 4) seja igual ao nmero de colunas de

A (no caso, tambm 4). Por outro lado, a ordem da matriz-produto C dada pelo nmerode linhas de A (no caso, 1) e pelo nmero de colunas de B (no caso, tambm 1), isto ,


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Matrizes 7

CO,l). Se se escrever em seqncia a ordem da matriz A e a ordem da matriz B:f i(1,4) (4,1)4

O 22 e 32 nmeros, sendo iguais, indicam que a multiplicao possvel, e o 12 e 42nmeros indicam a ordem da matriz-produto c:

A. , B ' \1,4) X (4,1)e. . ' ---fi

Suponha-se que se deseja multiplicar uma matriz Ao,4) por uma matriz B(4,2):A. t B t \1,4) x (4,2) Tendo em vista que o 22 e o 32 nmero so iguais, a multiplicao possvel, e

a ordem da matriz-produto C ser dada pelo 12 e 42 nmeros:~ 1 , 4 ) x B(4,2) = CO,2)Sejam as matrizes:

A ~ [4 3 2 5] e B ~ ~ ]Para efetuar o produto da matriz-linha AO,4) (daqui por diante chamada simplesinente linha) pela matriz B(4,2)' considera-se cada coluna de B como uma matriz-coluna

(daqui por diante chamada simplesmente coluna) e efetua-se o produto da linha A pela I!coluna de B, obtendo-se o 12 elemento de C; a seguir, efetua-se o produto da linha A pela2! coluna de B, obtendo-se o 22 elemento de C. O dispositivo a seguir facilita o entendimento do processo:

... .... :.. ~ .1 ::: .ii ... .. j . ~ ..i.. .. ~ . ........................... . .: : 2 x 5 = 10 5 7 2 x 7 = 14: : : -5- 3 . ~ .is ... 3 4- .. -5 -. 4 .i . . ...................... . . . . . . 61 . 44 . . . . . . . .@ 3 2 5} [i ~ J


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A matriz C(l,Z) = [61 44] o produto das matrizes A(l,4) e B(4,Z).Suponha-se, agora que se deseja multiplicar uma matriz ~ Z , 3 ) por uma matriz

tA(Z,3) x B(3,4) Tendo em vista que A de ordem (2,3) e que B de ordem (3,4), o produtoexiste e uma matriz C(Z,4):

A(Z,3) x B(3,4) C(Z,4)

Sejam as matrizes

A = ~ 2 :] B ~ ~ 2 4e 3 12 7Para efetuar O produto das matrizes A e B, considera-se cada linha da matriz A

como uma matriz-linha (chamada linha) e cada coluna de B como uma matriz-coluna(chamada coluna). A seguir, multiplica-se a linha de A sucessivamente pela pelapela e pela colunas de B, obtendo a primeira linha da matriz C. Em continuao,multiplica-se a linha de A sucessivamente pela 1 linha, pela pela e'pela 4 ~ colunas de B, obtendo-se a linha da matriz-produto C:

25 x

232

417

[30~ 3

2625

6034 :] = C(Z,4)

Conforme foi explicado antes, o elemento CZ4 = 20, por exemplo, foi obtidomultiplicando a linha de A pela 4 ~ coluna de B:CZ4 = 2(1) + 5(0) + 3(6) = 2 + O+ 18 = 20

e os demais elementos de C, de modo anlogo.De acordo com o que foi visto at agora, pode-se dizer, por exemplo, que:A(3,5) X B(5,6) = C(3,6)A(Z,7) x B(7,4) = C(Z,4)A(5,4) x B(4,8) = C(5,8)' etc.


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Matrizes 9

1.10.1 - Clculo de um elemento qualquerde uma matriz-produtoSejam as matrizes:

Tendo em vista que A de ordem (2,3) e que B de ordem (3,3), o produto uma matriz C, de ordem (2,3):

C13Jo elemento c23 ' por exemplo, obtm-se multiplicando a 2! linha de A pela 3!

colunadeB:

Assinalando o 22 ndice de "a" e o 12 ndice de "b", v-se que, em cada parce- .la, eles so iguais:

Essa expresso pode ser escrita do seguinte modo:k=3Ik=l

isto , C23 o somatrio dos produtos ~ k ~ 3 ' k variando de 1 a 3. Um elemento qualquercij da matriz C ser calculado do seguinte modo:k=3

cij I aik ~ jk=l

Essa expresso que, na verdade, defme o produto C(2,3) = A(2,3) x B(3,3). Ge-neralizando, se A(m,n) = [ ~ j ] e se B(n,p) = [bij] , o produto AB umamatriz C(m,p) tal que:


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10 Matrizes, Determinmltes e Sistemas de Equaes Lineares

k=ncij I anc l>tj

k= l

-1.10.2 - No comutatividade da multiplicao de duas matrizesEm geral, a existncia do produto AB no implica a existncia do produto BA.Exemplo:

Entretanto, o produto B(5,6) x A(3,5) no existe porque 6 # 3, isto , o nmero decolunas da I!! matriz no coincide com o nmero de linhas da 2!! matriz.Mesmo quando as multiplicaes A x B e B x A so possveis, os dois produtos

so, em geral, diferentes:A(4,3) x B(3,4) = C(4,4)B(3,4) x ~ 4 , 3 ) = D(3,3)Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA

seriam tambm matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim, difeririam. Sejam porexemplo as matrizes:

A= [ ~ ~ ] e B ~ ~ J~ ~ J x ~ ~ = G 2 ~B 39 53

BA = ~ ~ ] x ~ ~ = ~ 6 :]0Os produtos AB e BA so diferentes, o que significa que a multiplicao deduas matrizes no comutativa. Existem, entretanto, matrizes A e Btais que AB = BA,

porm essa no a regra. H dois casos que interessam particularmente e um deles oseguinte: AI = IA = A. Exemplo:


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Matrizes 11

f6 -31 fi 01 fi 01 f6 -31 f6 -31~ 2 7J x ' lJ = \Q lJ x ~ 2 II = ~ 2 7Jo outro caso ser visto no item 3.1, Captulo 3.

1.10.3 - Propriedades da multiplicao de uma matriz por outraAdmitindo que as ordens das matrizes possibilitem as operaes, tem-se:I) (AB) C = A (BC)II) (A + B) C = AC + BC

III) C (A + B) = CA + CBIV) (a A) B = A (a B) = a (AB), a E RV) AB ;4 BA, em geralVI) Se AB = O, no necessrio que A = Oou B = O. E x ~ p l o :

Mas, se AB = O, qualquer que seja B, ento A =.O; do mesmo modo, se AB = O,qualquer que sejaA, ento B = O.

1.11 - MATRIZ TRANSPOSTAA matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, a matriz N, de ordem nporm, que se obtm escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas. Exemplos:

1.11.1 - Propriedades da matriz transpostaPara ). um escalar qualquer e para A e Bmatrizes de mesma ordem, tem-se:


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I) (A + BBi = At + Btm(XAi = XAt"-III) (A t) t= AIV ) ( -Ai = _A tV) (AB)t = BtAtAs propriedades de I a N so imediatas. A propriedade V ser verificada pormeio do seguinte exemplo:a)

A ( 3 ~ ) ~ [ ~ ~ } B(2,2) = ~ JAD ~ [ ~ J [10 I :l. (AD)' ~ O (1)2 _ 6 64 - 14 20 14 8b)

t U O 2J t e :](2,3)= 3 2 4 e B(2,2) = 2O2

2] = [104 14

68

14120J (2)

Comparando (1) e (2), verifica-se que (ABi = Bt A ~

1.12 - MATRIZ SIMTRICAUma matriz quadrada S = [ ~ j ] simtrica se st = S. Exemplo:


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Matrizes 13

O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At uma matrizsimtrica. Exemplo:

A ~ [ j 4 A t ~ [ : 2 1J. ~ 6 -1 1 9 ~3 AAt = -1 -12 -44 = S = st1 -5 19 -44 86 A soma de uma matriz quadrada A com a sua transposta At uma matriz

simtrica. Exemplo:

At ~ 4 A' ~ [ : -3 5] l2 1 1 ~ ] ~ S S'1 -1 7 A+A t = 1 -2.5 7 1 , 2 9 1 , 7 161.12.1 - Propriedade da matriz simtrica

Uma matriz quadrada A = [ ~ j ] simtrica se, e somente se, os elementosdispostos simetricamente em relao diagonal principal so iguais.

1.13 - MATRIZ ANTI-SIMTRICAUma matriz quadrada A a n t i - ~ t r i c a se At = -A. Exemplo:

3O6

-3O-6

A derena B = A - At entre uma matriz quadrada A e a sua transposta At uma matriz anti-simtrica. Exemplo:


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A = r ~ ~ ;] A t = r ~ : . B = A _ A t = [ ~ - ~ - ~ J B t = r _ ~ ~ -502] =-Bb 6 9, b 1 9, -2 5 O , L -5

1.13.1 - Propriedade da matriz anti-simtricaUma matriz quadrada A = [ ~ j ] anti-simtricase, e somente se, = - isto, se os elementos dispostos simetricamente em relao diagoDal principal so opostos e

os elementos da diagonal principal so nulos.

1.14 - PROBLEMAS RESOLVIDOS1) Dadas as matrizes

A= [Y +4 2] e B= ~ 1 9 2 2J9 X 2 + 4 53 ,calcular y e x de modo que A seja igual a B, isto :

."[Y ;4 x2 ~ 4] = [ 1 ~ 5 ~ ] ,Soluo:

Pela definio de i ~ d a d e de matrizes, deve-se ter:Y + 4 = 12 :. Y = 8x2 + 4 = 53

. ~ x 2 = 49x = 7


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Matrizes 15

Os problemas de 2 a 4 se referem s matrizes:

3 8] [-3 7 1]9 - 6 B=-4254 -1 , O 9 4 e C ~ ~2) Calcular A + BSoluo:

3 8] [-3 7 1] [_1 10 9J-6 + -4 2 5 = -9 11 -14 -1 O 9 4 7 13 33) Calcular C - ASoluo:

~ -8C -A = 4 -39 -54) Calcular 3A - 2B + 4CSoluo:

~ l _ L ~ ~ ~ 1= [ ~ ~ ~ ~d L 4 -;J 2 -9Fazendo D = 3A - 2B + 4C, vem:

[23 8] [-3D = 3 -5 9 -6 - 2 -47 4 -1 O 71]. [7-83]2 5 + 4 4 -3 29 4 9 -5 1[

6 9D = -15 27

21 12

D = r ~G7-3711-26

- ~ J + [ :-3 O_ ~ l-;J

-14 _2J [28. -32 12J-4 -10 + 16 -12 8-18 -8 36 -20 4


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5) Calcular (A + B) CSoluo:(A + B) foi calculado no problema 2. Logo:

[1 10 9J ~ -8A + B) C = -9 11 -1 4-37 13 3 9 - 5 3] [114 -67 26J2 = -28 45 -61 128 -110 50Este problema poderia ser resolvido calculando AB e AC e, aps, determinandoAb + AC. (Exerccio a cargo do leitor).

6) Calcular o produto das matrizes:A _r-8 4 -6 lJ _ r ~(2 ,4) - L2 -5 7 3 B(4,2) - ~

Soluo:

11 [ ~ - ~ J = [5 -213J 1 -5 6 7J3 8

7) Calcular o produto das matrizes:

A = ~ ~ J e X = [;]7 -2 z


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Matrizes 17

Soluo:

[2 3 4] [x] [2X + 3y + 4ZJ(3,3) x ~ 3 , l ) = C(3,l) = 3 5 -4 Y = 3x + 5y - 4z4 7 -2 Z 4x + 7y - 2z interessante assinalar que a matriz C tem 3 linhas e uma s coluna: o elemento da I!! linha : 2x + 3y + 4z; o elemento da 2!! linha : 3x + 5y - 4z; o elemento da 3!! linha : 4x + 7y - 2z.O fato de que a matriz C tem 3 linhas e uma s6 coluna permite escrever, sob a

forma matricial, o seguinte sistema de equaes, por exemplo:!x + 3y + 4z = -43x + 5y-4z = 254x + 7y-2z = 24De fato, fazendo:

A = r ~ ~ l x= [ ; J e B = [ 2 ~ 17 - ~ , z 24j,pode-se escrever que AX = B, ou:

ou, ainda:

~x + 3y + 4J ~ - 4 ~3x + 5y - 4z = 254x + 7y-2z 24


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e, de acordo com a definio de igualdade de matrizes:

\

2X + 3y + 4z = -43x + 5y -4z =254x + 7y - 2z = 24-Os problemas de 8 a 12 se referem s matrizes:

[4 _5]

A = 3 -7-2 4,

Soluo:

B = f-4 6 -31 C = f4 -3J e~ 3 5 sJ, 11 2

A = [4-59) Determinar BtSoluo:

3-7

[-4Bt = 6 5-3 8

10) Calcular (AB)tSoluo:

Em 1.11.1, propriedade VI, viu-se que:


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Matrizes 19

mas Bt e At foram determinados nos problemas 9 e 8, respectivamente. Logo:

[4 -3] [ J [ -1 9 - 4 ~t t . 4 3 -2(AB) = B (3,2) A (2,3) = 6 5 -5 -7 4 = . -1 -17 8-3 8 . -52 -65 38Este problema poderia ser resolvido calculando, em primeiro lugar, AB = E e,

aps, determinando E t :-1

-178- 5 2 ~-6538

[-1 9

(ABi = E t = -1 -17-52 -65

11) CalcularBtCSoluo:

A matriz Bt foi determinada no problema 9. Logo:

12) Calcular (AB)t DSoluo:

(AB)t foi calculado no problema 10. Logo:9

(AB)tn = -1 -17. -52 -65

~ l r ~ - ~ ~ l = r ~G 1 ~ 1 4

113

29834

-130


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13) Dada a matrizA = fio7 -251L -toJ,

calcular A x A = A2Soluo:

A matriz A2 chamada potncia 2 da matriz A. Neste problema, comoA2 = A, A chamada de matriz nihilpotente.14) Dada a matriz

A = [ ~calcular A2

Soluo:

4 -;J,

A2 = [ _ ~ - ~ _ ~ l [ _ ~ - ~ _ ~ l = [ ~ - ~ _ ~ l-4 4 - ;J -4 4 -;J -4 4 -;J

Tendo em vista que A2 = A, A chamada de matriz idempotente


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Matrizes 21

1.15 - PROBLEMAS PROPOSTOS

Nos problemas 1 a 3, calcular os valores de m e f i para que as matrizes A e Bsejam iguais.1)

A _ [ 8 150J =12 +m 3 e B 6 32) [m2-40 02+ j rI= e B =6 3 63)

A = [ : :2J e B = [ : lOx ~ 2 5 JOS problemas 4 a 12 se referem s matrizes:A = r 3 8J B = ~ -7 -9] C = [o 9 :]-1 -6 , 041 e 14

4) Calcular A + B5) Calcular B + C6) Calcular A + C7) Calcular A - B8) Calcular A - C9) Calcular B - C

10) Calcular X = 4A - 3B + 5C11) Calcular X = 2B - 3A - 6C12) Calcular X = 4C + 2A - 6B

Nos problemas 13 aIS, efetuar a multiplicao das matrizes A e X.

13)


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14)

15)

A = l ~ ~ ~ ~ ] e X = [ : ~ J2 4 5 -7 x39-9-86 x4

Os problemas 16 a 21 se referem s matrizes:

A - - 4 ~ J B = ~ - ; ] , C = ~ ~ :J e5 9,

16) Calcular AB17) Calcular (AB)D18) Calcular A(BD)19) Calcular BA20) Calcular (BA)C21) Calcular B(AC)22) Determinar amatriz At transposta da matriz

~ 4 3 - ~A = 1 -7 O -28 -9 6 -4Os problemas 23 a 27 se referem s matrizs

[1 7 3 -1D = -: - ~ - ~5 3 2 -3

~5 O-8 O

A= -2 21 -1

-3 -28 56 3


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Matrizes 23

23) Calcular (AB)t24) Calcular (AB)Dt25) Calcular A(BDt)26) Calcular BtC27) Calcular 2 (A B ~ + 3 Ct

Nos problemas 28 a 31, dada uma matriz A em cada um deles, calcular A2 eclassificar A.28) 29)

A= [ ~ ~ J A=[12 16J-9 -1230) 31)A=[5 1TI A=[6 10]-2 -4 -3 -51.15.1 - Respostas ou roteiros para os problemas propostos1) n = 5 e m = -62) m = 9 e n = 33) x = 54 a 6) Roteiro: Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao do problema 2

doitem 1.14.7 a 9) Roteiro:10 a 12) Roteiro:

3 a 15) Roteiro:

Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao do problema 3do item 1.14.Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao do problema 4do item 1.14.Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao do problema 7do item 1.14.


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16) Roteiro:

17) Roteiro:18) Roteiro:19) Roteiro:20) Roteiro:21) Roteiro:22) Roteiro:23) Roteiro:

Esse problema resolvido de modo anlogo ao do problema 6 doitem 1.14.I!:?) Calcular ~ 4 , 4 ) = A(4,2) x B(2,4) (j calculado no problema 16)2!:?) Calcular F(4,4) = E(4,4) x D(4,4)I!:?) Calcular G(2,4) = B(2,4) x D(4,4)2!:?) Calcular H(4,4) = A(4,2) x G(2,4)Esse problema resolvido de modo anlogo ao do problema 6 doitem 1.14.I!:?) Calcular J(2,2) = B(2,4) x A(4,2) (j calculado no problema 19)2!:?) Calcular 42,2) = J(2,2) x C(2,2)I!:?) Calcular ~ 4 , 2 ) = A(4,2) x G2,2)2!:?) Calcular N(2,2) = B(2,4) x ~ 4 , 2 )Esse problema resolvido de modo anlogo ao do problema 8 doitem 1.14.I!:?) Calcular ~ 4 , 4 ) = A(4,3) x B(3,4)2!:?) Determinar Et= (AB)t

ou:I!:?) Determinar At(3,4)2!:?) Determinar B\4,3)3!:?) Calcular Bt Af = (AB)t - Proriedade V da matriz transposta,

item 1.11.1).Esse 2!:? roteiro conveniente quando se conhecem as transpostas de A e de B.

24) Roteiro:

25) Roteiro:

26) Roteiro:'17) f'c()teiro:

I!:?) Calcular AB = E (j calculado no problema 23)2!:?) Determinar Dt3!:?) Calcular EDt= FI!:?) Determinar Dt (j determinado na problema 24)2!:?) Calcular BDt = G3!:?) Calcular AG = HI!:?) Determinar Bt2!:?) Calcular Bt C = JI!:?) Determinar At2!:?) DeterminarBt (j determinado no problema 26)3!:?) Calcular AtBt = K


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28) A nihilpotente29) A nihilpotente30) A idempotente31) A idempotente

42) Calcular 2 K52) Detenninar Ct62) Calcular 3 C

t = L72) Somar 2 K + L

Matrizes 25


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CAPTULO 2DETERMINANTES

2.1 - CLASSE DE UMA PERMUTAOConsidere o leitor uma permutaoa c b

dos trs elementos a, b, c e sejaa b c,

na qual os elementos esto na ordem alfabtica, a permutao principal. Diz-se que doiselementos de uma permutao formam uma inverso se esto em ordem inversa dapermutao principal.

Assim, na permutao dada acb, os elementos c e b fonnarn uma inverso.Uma permutao de classe par ou de classe fmpar, conforme apresente um

nmero par ou mpar de inverses.A permutao acb de classe mpar.

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Determinantes 27

2.2 - TERMO PRINCIPAL E TERMO SECUNDRIODada umamatriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos elemntos da diagonal

principal d-se o nome de termo principal, e ao produto dos elementos da diagonalsecundria d-se o nome de termo secundrio.

Termo principal: a11 , a12 al3' '" , l\m Termo secundrio: a 1n ' a2 n-l a3 n-2 ' , an l

2.3 - DETERMINANTE DE UMA MATRIZChama-se determinante de uma matriz quadrada soma algbrica dos produtos

que se obtm efetuando todas as permutaes dos segundos ndices do termo principal,fixados os primeiros ndices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou - , conformea permutao dos segundos ndices seja de classe par ou de classe Dpar.

A utilizao da definio e o clculo de determinantes sero feitos logo apsserem dadas algumas informaes necessrias para a melhor compreenso do assunto.

Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmocorresponde. Se a matriz de ordem 3, por exemplo, o determinante ser de ordem 3.

A representao do determinante de uma matriz A, que ser designado pordet A, faz-se de maneira anloga da matriz, colocada entre dois traos verticais:

311 a12 31n321 322 a2n

detA =

Apesar de o determinante de uma matriz quadrada A = [ ~ j ] ' de ordem n, serum nmero real, costuma-se, por comodidade, uma vez que aquele nmero calculado apartir dos elementos das linhas e das colunas da matriz, falar nas linhas e nas colunas dodeterminante.


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2.4 - PRELIMINARES PARA O CLCULODOS DETERMINANTES DE 2? E DE 3? ORDEMPara a correta aplicao da definio de determinante de uma matriz,

considerem-se as tabelas constantes dos itens 2.4.1 e 2.4.2.

2.4.1 - Tabela referente s permutaes dos nmeros 1 e 2o total de pennutaes dos nmeros 1 e 2 : P2 = 2 ! = 1 x 2 = 2.

Permutao Nmero de Oasseda Sinal queprincipal Permutao inverses permutao precede oproduto

12 12 O par +12 21 1 mpar -

2.4.2 - Tabela referente s permutaes dos nmeros 1, 2 e 3o total de pennutaes dos nmeros 1,2 e 3 : P3 = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6.

Permutao Nmero de Oasseda Sinal queprincipal Permutao inverses permutao precede oproduto123 123 O par +123 132 1 mpar -123 312 2 par +123 213 1 mpar -123 231 2 par +123 321 3 mpar -


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Determinantes 29

2.5 - CLCULO DO DETERMINANTE DE 2 ~ ORDEMo determinante de 2!! ordem o que corresponde matriz de ordem 2:

o termo principal au a12 e os segundos ndices so 1 e 2. O conjunto {I, 2}admite 2 permutaes: 12 e 21, a primeira de classe par e a segunda de classe mpar. (VerTabela, item 2.4.1.) De acordo com a deftnio de determinante, pode-se escrever:

Por comodidade, costuma-se dizer que o determinante de 2!! ordem igual aotermo principal menos o termo secundrio. Exemplos:

1)

2)\7 -51et A = = 7(-1) - (-5)(2) = -7 + 10 = 32 -1

detI =I ~ I= 1(1) - 0(0) = 1 - O= 12.6 - CLCULO DO DETERMINANTE DE 3 ~ ORDEM

O determinante de 3!! ordem o que corresponde matriz de ordem 3:


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o tenno principal alI a22 a33 e os segundos ndices so 1, 2 e 3. O conjunto{I, 2, 3} admite seis pennutaes: 123, 312, 231, 132, 213 e 321, as trs primeiras declasse par e as trs ltimas de classe mpar. (Ver Tabela, item 2.4.1) De acordo com adefInio de detenninante, pode-se escrever:

Na prtica, obtm-se essa f6nnula de dois modos que sero vistos a seguir.

2.6.1 - Desenvolvimento do determinante por uma linhaA f6nnula de 2.6 pode ser transfonnada na seguinte:

ou:

isto , o detenninante da matriz A, de ordem 3, igual soma algbrica dos produtos decada elemento da I!! linha pelo detenninante menor que se obtm suprimindo aI!! linha e acoluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder essesprodutos, alternadamente, pelos sinais + e - , iniciando pelo sinal +. Essa maneira deescrever a f6nnula de 2.6 para calcular um determinnte de 3!! ordem denominadadesenvolvimento do determinante pela ] i ! linlul. Exemplo:

det A = ~ ~ ~ = + 21 1 41_ 51 3 41 + 71 3 81168-3 82 62 6det A = 2 (2 - 32) - 5 (6 - 24) + 7 (24 - 6) = 2 ( - 30) - 5 ( - 18) + 7(18)det A = - 60 + 90 + 126 = 156


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Determinantes 31

Um determinante pode ser calculado por qualquer linha (ou por qualquercoluna), cuidando-se da alternncia dos sinais + e - que precedem os produtos. No casodo determinante de ordem 3, a alternncia dos sinais + e - , por linha e por coluna, aseguinte:

+ ++

+ +Exemplo: Calcular o mesmo determinante, desenvolveildo-o pela 2!! coluna:

2 5 7 1 41 1 71 12etA= 314 = -5 +1 - 8682 62 62 34

det A = -5 (6 - 24) + 1 (4 - 42) - 8 (8 - 21) = -5 (-18) + 1 (-38) - 8 (-13)det A = 90 - 38 + 104 = 156

2.6.2 - Regra de SarrusA frmula de 2.6 tambm pode ser obtida pela Regra de Sarrus, que consiste

no seguinte:I!'?) repetem-se as duas primeiras colunas direita do quadro dos elementos da

matriz A;2!'?) multiplicam-se os trs elementos da diagonal principal bem como os trs

elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal +;

3!'?) multiplicam-se os trs elementos da diagonal secundria bem como os trselementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtosdo sinal-o Assim:

+ + +


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Exemplo: Calcular257

detA 3 1 46 8 2

Soluo:

det A = + 4 + 120 + 168 - 30 - 64 - 42 = 156

2.7 - DESENVOLVIMENTO DE UM DETERMINANTEDE ORDEM n POR UMA LINHA OU PORUMA COLUNA

Se se repetir o raciocnio e o roteiro do clculo de um determinante de 3!! ordempara um determinante de 4!! ordem, por exemplo, se chegar concluso de que essedeterminante poder ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquercoluna, devendo-se ter cuidado com a alternncia dos sinais + e - que precedem osprodutos, alternncia essa que, para o determinante de 4!! ordem, a seguinte:

+ ++ +

+ ++ +


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Derenninanres 33

Exemplo: Calcular, desenvolvendo pela I!! linha:

detA-2 -3 -1 -2-1 O 1 -2-3 -1 -4 1-2 2 -3 -1

Soluo:O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1

detA = + (-2) -1 -4 1 - (-3) -3 -4 1 + (-1) -3 -1 1 - (-2) -3 -1 -42 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 2 2 -3

O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1det A =-2 -1 -4 1 +3 -3 -4 1 - 1 -3 -1 1 +2 -3 -1 -4 (1)

2 -3 -1 -2 -3 -1 -2 2 -1 -2 2 -3Fazendo:

O 1 -2=+01 -4 1 1_ 1 l-I 11 l-I ~ IetB = -1 -4 1 + (-2)2 -3 -3 -1 2 -1 2-1

det B = 0(4 + 3) - 1(1 - 2) - 2(3 + 8) = 0(7) - 1(-1) - 2(11)det B = O + 1 - 22 = - 21

de t C = - ~ - ~ = + (-1) 1-4 11_ 1 1-3 11 + (':'2) 1-3 -41-3 -1 -2 -1 -2 -3-2 -3 -1det C = - 1 (4 + 3) - 1 (3 + 2) - 2 (9 - 8) = -1(7) - 1(5) - 2(1)det C = - 7 - 5 - 2 = - 14

-1 O -2 l-I 11 1-3 11 1-3 -11det D = -3 -1 1 = + (-1) 2 - O + (-2)-1 -2 -1 -2 2. -2 2 -1det D = - 1 (1 -2) - 0(3 + 2) - 2 (-6 -2) = - 1 (-1) - 0(5) - 2 (-8)


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34 Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equaes Lineares

det D = 1 - 0+ 16 = 17

-1 O 1 l-I -41 1-:; -41 1-3 -1\de tE= -3 -1 -4 = +(':'1) 2 O + 1-3 - -2 -3 -2 2-2 2 -3det E = -1 (3 + 8) - 0(9 - 8) + 1 (-6 -2) = -1(11) - 0(1) +1(-8)det E = - 11 - 0 -8 = - 19

Substituindo det B, det C, det D e det E em (1), vem:det A = - 2(-21) + 3(-14) -1(17) + 2(-19) = 42 - 42 -17 - 38detA = -55

Igualmente se pode calcularum determinante de ordem n = 5,6, 7, 8, 10, 50,etc., desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo por meio doqual se calcula um determinante de 4 ~ ordem. Entretanto, esse processo, por envolver umnmero excessivamente elevado de operaes, torna-se quase impraticvel. Por isso, noitem 2.9 ser visto um processo em que, apesar de conter ainda um nmero elevado deoperaes, esse nmero sensivelmente menor do que o do desenvolvimento do determinante por uma linha ou por uma coluna.

Para se ter uma idia do nmero elevado de operaes que devem ser feitasno clculo de um determinante de ordem n ~ 3 pelo processo de desenvolv-Io por umalinha ou por uma coluna, basta considerar o nmero de determinantes de ordem 2 quedevem ser calculad9s nesse processo. Assim, o clculo de um determinante:

a) de ordem 3, implica calcular 3 determinantes de ordem 2;b) de ordem 4, implica calcular 4 x 3 = 12 determinantes de ordem 2;c) de ordem 5, implica calcular 5 x 4 x 3 = 60 determinantes de ordem 2:ti) de ordem 6, implica calcular 6 x 5 x 4 x 3 = 360 determinantes de ordem 2;e) de ordem 10, implica calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400

determinantes de ordem 2. Quando n ~ 4, muito natural que enganos sejam cometidos e que, portanto,

o clculo feito no corresponda ao valor do determinante. Por essa razo (e mesmo que o


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Determinantes 35

processo a ser visto em 2.9 seja menos trabalhoso), atualmente se calcula um detenninantepor computador, por meio de umPROGRAMA adequado previamente elaborado.

2.8 - PROPRIEDADES DOS DETERMINANTESDentre as diversas propriedades dos detenninantes sero relacionadas, a seguir,_

aquelas que, de uma forma ou de outra, dizem mais de perto com o clculo dosdetenninantes de qualquer ordem ou com as propriedades dos vetores. Essas propriedadesno sero demonstradas mas to-somente verificadas por meio de exemplos; por outraparte, sempre que for necessrio calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha,isso ser feito, por comodidade, pela I! linha, salvo meno expressa em contrrio.

I) O detenninante de uma matriz A igual ao detenninante da sua transposta At,isto , det A = At Exemplo:

[ ~ ~ I= 2(3) - 5(7) = 6 - 35 = -29 Como conseqncia dessa propriedade, tudo que for vlido para as linhas de

um detenninante vlido para as colunas e reciprocamente.mSe a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituda de elementos todosnulos, o detenninante nulo. Exemplo:

l l ) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o determinante nulo.Exemplo:


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det A = 5 (18 - 4) - 5 (18 - 4) + 2 (12 - 12) = 5(14) - 5(14) + 2(0)det A = 70 - 70 + O = OIV) Se na matriz A ~ u a s linhas tm seus elementos correspondentes

proporcionais, o determinante nulo. (Numa matriz A, dois elementos so correspondentes quando, situados em colunas diferentes, esto na mesma linha ou quando, situados emlinhas diferentes, esto na mesma coluna. Exemplo:

det A = I :I= 2(9) - 6(3) = 18 - 18 = ONesse determinante, os elementos correspondentes das duas colunas so

proporcionais:62

93 3

V) O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) igual aotermo principal, isto , igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:

Os dois ltimos determinantes, por terem uma coluna com elementos todosnulos, so nulos (II propriedade); logo:

det A = 41 I= 4(1)(2) - 3(0 = 4(1)(2) - Od e t A= 4 x l x 2

Como conseqncia dessa propriedade:a) o determinante de uma matriz diagonal (por ser ao mesmo tempo diagonal

superior e inferior) igual ao produto dos elementos da diagonal principal;


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Determinantes 37

b) O detenninante de uma matriz unidade I, de qualquer ordem (por ser umamatriz diagonal e todos os elementos dessa diagonal serem iguais a 1), igual a 1. Exemplos:

1 O O5 O OdetD = d e t ~ O 1 OO 2 O = 5 x 2 x 7; =lxlx ... x l = 1

O O 7 O O 1VI) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz A, o

detenninante muda de sinal, isto , fica multiplicado por -1. Exemplo:

det A = ~ ~ 52 = + 1 lo 21_ 3 lo 21 + 5 10 40 IO 4 12 4 12 O 12det A = 1(O - 8) - 3(0) + 5(0) = - 8 - O + O = - 8

1 3 5O 4 12O O 2

de acordo com a propriedade V.

lx4x2=8

Como se v, ao serem trocadas entre si, a 2!! linha pela 3!! da matriz A, o det Aficou multiplicado por -1, isto , seu valor foi alterado. Para que se mantenha o valor dodet A, no caso de haver necessidade de trocar entre si duas linhas (ou colunas), seproceder do seguinte modo:

1 3 5 1 3 5det A = O O 2 = - 1 O 4 12

O 4 12 O O 2Na realidade, tendo em vista que o det A foi multiplicado por -1, ele, para

manter seu valor, deveria ser dividido por -1 (ou multiplicado pelo inverso de -1, no caso-+. Como o resultado seria o mesmo, se optou pela situao mais simples.


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Quando se desejar trocar, por exemplo, a 2! linha pela 3! de uma matriz Apara facilitar o clculo de seu determinante, se escrever assim:

135det A = O O 2 -+ ~ 3 :

O 4 12135

det A = - 1 O 4 12O O 2

Essa operao ser utilizada no clculo de um determinante de qualquer ordem, quando,como aconteceu no presente caso, num determinado estgio do processo do clculo, nofor conveniente haver o nmero zero na diagonal principal: a troca da 2! linha pela 3!tirou o zero da diagonal principal e colocou em seu lugar o nmero 4.

Vll) Quando se multiplicam por um nmero real todos os elementos de umalinha (ou coluna) de uma matriz A. o determinante fica multiplicado por esse nmero.Exemplo:

Na propriedade VI viu-se que:1 3 5

det AI = O 4 12 = 8O O 2

Suponha o leitor que se deseje multiplicar a 2! linha por -+ (o que o mesmo que dividiros elementos da linha por 4) e calcular o valor do det Az obtido:

det A z = ~ ~ ~ = + 111 31_ 31 O 31 + 51 O ~ I002 02 02 Odet A z = 1(2 - O) - 3(0) + 5(0) = 2 - O+ OdetAz = 2


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Determinantes 39

Como se v ~ . o det Ai ficou multiplicado por -{- ao se multiplicar os elementos da 2! linha por -{- , uma vez que:

1det ~ = 2 = (det Ai) x "4 18 x-4'isto , o valor de det Ai' foi alterado. Para que se mantenha o valor do det Ai' no caso dehaver necessidade de multiplicar a 2! linha por -{- , se proceder do seguinte modo:

1 3 5O 4 12O O 2

135= 4 O 1 3O O 2

Repetindo o que j foi dito, multiplicar os elementos de uma linha por +- o mesmo quedividir os elementos da linha por 4 (ou, o mesmo que dividir o determinante por 4). Da,porque, para compensar, isto , para que o determinante mantenha seu valor, necessriomultiplic-lo pelo inverso de ~ ,ou seja, por 4

Quando se desejar multiplicar, por exemplo, a 2! linha de uma matriz A por+ara facilitar o clculo de seu determinante se escrever assim:1 3 5

det Ai = O 4 12O O 2

135det Ai = 4 O 1 3

O O 2Essa operao ser utilizada no clculo de um determinante de qualquer ordem, quando,como aconteceu no presente caso, num determinado estgio do processo do clculo, sedesejar obter o nmero 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicao donmero 4, que estava na 2! linha como elemento da diagonal principal, por ~ , colocouo nmero 1 no seu lugar.


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Se se desejar obter o nmero 1 em lugar do nmero 2 no det A2, basta multiplicar a 3!linha por -}- e fazer a respectiva compensao multiplicando det A2 pelo inverso de1 . , 2T ' Isto e, por :

135det A2 = O 1 3 1O O 2 --+2"L3:

1 3 5det A2 = 2 O 1 3O O 1

Recapitulando todas as operaes feitas at agora com o det A da propriedade VI, tem-se:1 3 5 1 3 5

det A = O O 2 12 1--+ L23: det A =-1 O 4 --+ 4' L2:O 4 12 O O 21 3 5 1 3 5

det A = -1 x 4 O 1 3 det A = -1 x 4 x 2 O 1 3O O 2 1 O O 1-+2'L3:

Tendo em vista que, pela propriedade V, o determinante de uma matriztriangular superior igual ao termo principal e, como no ltimo determinante, o termoprincipal igual a 1 (T = 1 x 1 x 1), vem:

det A = -1 x 4 x 2 x 1 = -8valor esse que j foi encontrado ao calcular det A no exemplo da propriedade VI.

VIII) Um determinante no se altera quando se somam aos elementos de umalinha (coluna) de uma matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna)previamente multiplicados por um nmero real diferente de zero. Exemplo:

1 2 4 110 12 1 14 12 1 14 10 1et A=: 1 ~ 1 ~ =+ 1 7 9 - 2 5 9 + 4 5 7det A = 1 (90 - 84) - 2 (36 - 60) + 4 (28 - 50) = 1(6) - 2(':'24) + 4(-22)det A = 6 + 48 - 88 = - 34


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Determinantes 41

Pretende-se, agora, substituir a 2!! linha do det A pela soma de seus elementoscom os elementos correspondentes da I!! linha previamente multiplicados por - 4:

2!! linha: 4 10 12I!! linha: 1 2 4Multiplicador: -4 -4 -8 -16Nova 2!! linha O 2 -4

detA I ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ 1 - 2 1 ~ ~ I + 4 1 ~det AI = 1 (18 + 28) - 2 (O + 20) + 4 (O - 10) = 1(46) - 2(20) + 4(-10)det AI = 46 - 40 - 40 = - 34 Como se v, det AI = de A, isto , a utilizao da propriedade VIII no

altera o valor do determinante de uma matriz. Quando se desejar somar, por exemplo, os elementos da 2!! linha com os

correspondentes elementos da I!! linha, previamente multiplicados por -4, se escreverassim:

1 2 4detA = 4 10 12 ..... ~ - 4 L I :

5 7 9

1 2 4de tA= O 2 -4

5 7 9

Essa operao ser utilizada no clculo de um determinante de qualquer ordem,quando, como aconteceu agora, num determinado estgio do processo do clculo, sedesejar o nmero "zero" para formar uma matriz triangular. Para facilitar a obteno dozero que se utiliza a propriedade VIT, isto , se faz a operao adequada para substituiro nmero que est na diagonal principal pelo nmero 1; e isso que se ver no prximoitem.


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2.9 - CLCULO DE UM DETERMINANTE DEQUALQUER ORDEMPara calcular o detenninante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para n ;;. 2,

isto , n = 5,6, 10,20,50, 100, etc.) ser utilizado o processo de triangulao.Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se procedero com as linhas

(colunas) de seu detenninante as operaes adequadas para transformar a matriz A numamatriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo que se efetuaro com o det A asnecessrias compensaes, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo deacordo com as propriedades dos detenninantes j vistas e verificadas.

Antes de dar um exemplo, uma explicao se faz necessria ao leitor: o idealseria calcular um detenninante de ordem elevada, mas, no caso, o clculo se tomariademorado e repetitivo, porque, como j se teve oportunidade de verificar, o processo paraobter o nmero zero sempre o mesmo, assim como o processo para se obter o nmero 1,na diagonal principal, tambm sempre o mesmo. Por isso, o exemplo a ser dado ser o deum detenninante de 4 ~ ordem, embora, repetindo, o processo de triangulao seja vlidopara o clculo de um detenninante de qualquer ordem. Por outro lado, preciso declararque o clculo de detenninantes de ordem muito grande s foi possvel a partir do uso doscomputadores que, em geral, com algumas variaes, utilizam o processo de triangulao.Dada a explicao ao leitor, convm ainda dizer que, por comodidade, facilidade nosclculos e por ser bastante prtico, para executar o processo de triangulao procura-secolocar, por meio das operaes adequadas (e das respectivas compensaes quando for ocaso), como elementos da diagonal principal, exceto o ltimo, o nmero 1.

Obtido o nmero 1 na 1 linha e 1 coluna, isto alI = 1, substituem-se pormeio das operaes competentes todos os demais elementos da 1 coluna por zeros; damesma forma, depois de obter ~ 2 = 1, substituem-se os demais elementos da 2 ~ coluna,situados abaixo (acima) de ~ 2 por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um doselementos da diagonal principal da matriz A, trs hipteses podem ocorrer:

o elemento igual a zero. Nesse caso, deve-se proceder operao de trocade linhas e multiplicar o det A por -1, como compensao, isto , para que det A conserveseu valor;

o elemento igual a k. Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementosda linha por+'com o que se obtm o nmero 1 como elemento da diagonal principal


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Determinantes 43

dessa linha. Por outro lado, para compensar, isto , para que det A mantenha seu valor,deve-se multiplic-lo pelo inverso de+'ou seja, por k;

3!!) o elemento igual a 1. Nesse caso, nada a 'fazer no que diz respeito diagonal principal.Exemplo: Calcular pelo processo de triangulao:

detA-2 -3 -1 -2-1 O 1 -2-3 -1 -4 1-2 2 -3 -1

detA =-2

131 12 '2

O 3 3 -12 2

O 7 5 42 2O 5 -2 1

1 3 1 12 2

detA =-2 -1 O 1 -2 -+ L2 + LI:-3 -1 -4 1 -+ L3 + 3L1:-2 2 -3 -1 -+ L4 + 2L1:

1 3 1 12 2

O 1 1 23 3det A = -2 (-T

O 7 5 4 7--- -+ L3 - " 2 ~ :2 2O 5 -2 1 -+ L4 - 5 ~ :


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1 3 1 1 1 3 1 1--- --2 2 2O 1 1 2 O 1 1 23 3 3 3det A = -2 ("'!") det A = -2 (2)(-6)O O -6 19 1 O O 1 .19

3 -+ '6L3 : 18O O -7 13 O O -7 13 L 4 + 7 ~ :- -+3 3

1 3 1 1- -2O 1 1 23 3 de tA= -2 (2 ) (-6) O O 1 1918

O O O 5518

mas O determinante de uma matriz triangular superior igual ao termo principal:55 55Tj = 1 x 1 x 1 (-IS) = -18

logo:3 55 55det A = -2 ('2) (-6) (-IS) = 18 (-18) = -55

Esse determinante j foi calculado no exemplo do item 2.7 e, como era deesperar, o resultado foi o mesmo.


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Determinantes 45

2.10 - PROBLEMAS RESOLVIDOSAssim como foi feito em 2.8, sempre que for necessano calcular um

determinante desenvolvendo-o por uma linha, isso ser feito, por comodidade, pela 1linha.

Nos problemas 1 a 4, resolver as equaes:1)

x -2 x+ 3 3 -12 1 3 =603 2 1

Soluo:

+ (x - 2) 1 3 - (x + 3) 2 3 + (x -1 ) 2 12 1 3 1 3 2

(x - 2)(1 - 6) - (x + 3)(2 - 9) + (x - 1)(4 - 3) = 60(x - 2)(-5) - (x + 3)(-7) + (x - 1)(1) = 60- 5x + 10 + 7x + 21 + x - I = 60

3x = 60-10-21 + 13x = 30

30x = 3 102)

3 2 x1 -2 x 82 -1 x

Soluo:

+ 3 1 ~ ~ :1- 2 1 ~ :1 + x I ~ = 8

60


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3 (-2x + x) -2 (x-2x) + x (-1 + 4) = 83 (-x) - 2 (-x) + x(3) = 8- 3x + 2 x + 3x = 8

2x = 88x = 2" 4

3)

Soluo:

101- x o

(8 - x) (7 - x) - 10 (2) = O56 -8x -7x + x2 -20 = Ox2 - 15x + 36 = O,

equao cujas razes so xl = 12 e x2 = 34)

Soluo:

3 - x-11

-15 -x-1

1-1

3 - xO

15 - x -1 I(3 -x ) -1 3 - x - (-1) l-I - 1 1+ 11 - 1 5- x l=01 3 - x 1-1

(3 - x) (15 - 8x + x2 - 1) + 1 (-3 + x + 1) + 1 (1 - 5 + x) = O45 - 24x + 3x2 - 3 - 15x + 8x2 - x3 + x - 3 + x + 1 + 1 - 5 + x = O- x3 + l lx 2 - 36x + 36 = Ox3 _11x 2 + 36x-36 = O

Na equao do 3!? grau, as solues inteiras, caso existam, so divisoras dotenno independente - 36. Com as devidas substituies na equao acima, verifica-se que


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Determinantes 47

x= 2 uma delas. Conseqentemente, x- 2 um fator do polinmio x3- l lx2 + 36x - 36.Dividindo o polinmio por (x - 2) a equao poder ser representada assim:

( x -2 ) (x2 -9 x + 18) = O(x - 2) (x - 3) (x - 6) = OAs razes dessa equao so: xl = 2, x2 = 3 e x3 = 6.

2.11 - PROBLEMAS PROPOSTOSDadas as matrizes:

[34 1]A = -5 -2 -9 B = 37 8 6 , 7 ~ J e c = [ ~ :2 -4 -1 -2 -;j,calcular, pelo processo de triangulao ou pelo desenvolvimento por uma linha (oucoluna):1) det A2) detB3) detC4) det (A +B)5) det (A-B)6) det (2A - 3b + 4C)7) det (BC)14) Calcular o determinante da matriz:

A = [ ~ ~ - ~ ]1 -1 1 -24 -3 5 1

8) det (ACt)9) det (CB)A

10) det C(BA)11) det B(CA)12) Verificar se det (A +B) = det A + det B13) Verificar se det (AB) = det A x det B

a) Desenvolvendo-o pela 2!! linha., b) Pelo processo de triangulao.


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9) Roteiro: 12) CalcularCB = L22) Calcular LA =M32) Calcular detM

11) Roteiro: 12) Calcular CA = P22) Calcular BP =Q32) Calcular detQ


Nos problemas 15 a 24, resolver as equaes dadas.

15) 4 6 x 16) 3 5 75 2 -x =-128 2x x 3x 39-7 4 2x 4 6 7

17) 5 1 3 18) x+ 3 x+1 x '+43x O 1 100 4 5 3 = -77x 2 1 9 10 7

19) 12-x 1 1 20) 1 O x-I18-2x 3 2 = 10 1 1 x-2 O15-2x O 1 2 1 x-4

21) 2 x 2 22) 2 6 21 1 x = -3 4 x 2 O1 1 6 2x 8 4

23)11().X l ~ x l O

24) 7-x -2 O=10 -2 6-x -2 =0

O -2 5-x

2.11.1 - Respostas ou roteiros para os problemas propostos1 a 3) Roteiro: Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao dos exemplos do item

2.6.1 ou do exemplo do item 2.9.4) Roteiro: 12) Calcular A + B = E 5) Roteiro: 12) Calcular A - B = F

22) Calcular det E 22) Calcular det F6) Roteiro: 12) Fazer G =2A - 3B + 4C 7) Roteiro: 12) Calcular BC =H

22) Calcular G 22) Calcular det H32) Calcular det G

8) Roteiro: 12) DeterminarCt22) CalcularACt = J32) Calcular det J

10) Roteiro: 12) Calcular BA = N22) CalcularCN =M32) Calcular det M


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Detenninantes 49

12) Roteiro: 12) Calcular det A 13) Roteiro: 12) Calcular det A22) Calcular det B 22) Calcular det B32) CalcularA + B 32) Calcular AB42) Calcular det (A + B) 42) Calcular det (AB)52) Calcular det A + det B 52) Calcular det A x det B62) Comparar det (A +B) 62) Comparar det (AB)

com det A + det B com det A x det B14) Roteiro: As alneas a) e b) desse problema so resolvidas de modo anlogo ao dosexemplos dos itens 2.7 e 2.9 respectivamente.15) x = 2 16) x = 317) x = 5 18) x = 119)x=7 2O)x=-121) x = 5 e x = 3 22) x = 423) x = 18 e x = 5 24) x = 3, x = 6 e x = 9


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CAPTULO 3-INVERSAO DE MATRIZES

3.1 - MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZDada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de

mesma ordem, que satisfaa condio:AB = BA = I

diz"7se que B inversa de A e se representa por A-I:AA-l = A-IA = I Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A invers{vel.Exemplo: dadas as matrizes

A - r8 5l e B _I 7 -5l~ 1 ~ ~ 1 1 ~ ,

A inversa de B (ou B inversa de A). De fato:

50


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Inverso de Matrizes 51

3.2 - MATRIZ SINGULARUma matriz quadrada A cujo determinante nulo uma matriz singular.

Exemplo: a matriz

singular porque det A = O:det A = + 1 : ] - 4 ~ : ] + 7 = 1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15)det A ~ 1 (-3) - 4 ( ~ 6 ) + 7 (-3) = -3 x 24 - 21 = O

A matriz singular no tem inversa.

3.3 - MATRIZ NO-SINGULARUma matriz quadrada A cujo determinante diferente de zero uma matriz

no-singular ou regular. Exemplo: a matriz

no singular porque det A -:;6 O:

d e t A = + 2 [ ~ ~ J - 3 [ ~ ~ J + l ~ =2 ' ( 6 - 2 ) - 3{15 -6 )+1 (5 -6 )r det A = 2(4) - 3(9) + 1 (-1) = 8 - 27 - 1 = -20

A matriz no-singular sempre tem inversa.


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3.4 - PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSAI) (A-l)-l = A.II) A matriz unidade a sua prpria inversa: I = I-I.

Se A e B so matrizes quadradas, de mesma ordem, tem-se:IV) (A + B)-l = A-l + B-l.V) (AB)-l = B-lA-l.Esta propriedade ser verificada pormeio do seguinte exemplo:a) Dadas as matrizes

A = [ : ~ ] e C = [ ~ -:] ,amatriz C inversa de A:

AC = IS Sll2 -51 = 11 Oll3 ~ l : 3 sj Lo lj,isto , A-l = C.

b) Dadas as matrizes

B = ~ j e F = [: - ,a matriz F inversa de B:

BF = r 7l r4 -il = 11 oll? 4j ~ s 9J Lo lj,


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isto , B-l = F.c) O produto das matrizes A e B :

AB = ~ ~ ~ = ~ ~ ~ ~ ]ti) O produto das matrizes B-l e A-I :

B-!A-! = h ~ - ~ hi - ~ = h i ~ - ~e) O produto das matrizes AB e B -1A -1 :

-1 -1 _ f97 761 r29 -761_ rI(AB) x (B A ) - ~ 7 2 ~ l:37 9 ~ - ~Tendo em vista que o produto das matrizes AB e B-IA-l igual a I, a matriz

B-IA-l inversa da matriz AB:(AB)-1 = B-IA-l

3.5 - OPERAES ELEMENTARESDenominam-se operaes elementares de umamatriz as seguintes:I) Permutao de duas linhas (colunas).fi) Multiplicao de todos os elementos de uma linha (coluna) por um nmero

real diferente de zero.ill) Substituio dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os

elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por umnmero real diferente de zero.


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3.6 - EQUIVALNCIA DE MATRIZESDada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, equivalente

matriz A, e se representa por B - A, se for possvel transformar A em B por meio de umasucesso fInita de operaes elementares.

Com relao s operaes elementares para transformar uma matriz em outraequivalente a ela, convm ter presente o seguinte:

a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a 2!! linha pela 3!! de uma matrizA, se proceder assim:

3A = O O

O 43 ~I = O 4 15

O O 2

b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da 2!! linha, por exemplo,d .AI, .a matrIz I por "4 ' se escrevera assnn:

~ 3z = O 1 3O O 2c) Quando se desejar substituir os elementos da I!! linha, por exemplo, da matriz

Az, pela soma deles com os elementos correspondentes da 2!! linha previamentemultiplicados por -3, se escreve assim:

[1 OA 3 = O 1 3O O 2

Recapitulando as operaes elementares que foram efetuadas com a matriz Aat obter a matriz equivalente A3, verifIca-se que:

. I) A operao LZ3 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal epoder colocar em seu lugar, aps adequada operao, o nmero 1.


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II) A operao ~ L2 foi efetuada para, em lugar do nmero 4 na diagonalprincipal, se obter o nmero 1.m) A operao LI - 3 ~ foi efetuada para, em lugar do nmero 3, situado

acima do nmero 1 da diagonal principal, se obter um zero.Como se v, com as operaes elementares se obtm os mesmos resultados j

alcanados com as propriedades VI, VII e vm dos determinantes: que aquelas propriedades eram, na realidade, operaes elementares. No caso, entretanto, dos determinantes,a VI e a VII propriedades, quando aplicadas, alteram seu valor, da a necessidade deefetuar compensaes, isto , realizar operaes que anulem tais alteraes e mantenhamo valor do determinante. No o caso, porm, das matrizes: as operaes elementares tmpor objetivo transformar uma matriz A em uma matriz B, equivalente a ela.

3.6.1 - Transformao de uma matriz na matriz unidadeQualquer matriz quadrada A, de ordem n, no-singular, pode ser transformada

na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucesso fInita de operaeselementares.

Antes de dar um exemplo, duas informaes ao leitor:I!) em vez de transformar uma matriz quadrada de ordem eleva


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AI ~ ~1

- ~ - 4 L , :[ ~ J l '-1 ~ -"2L,: 22 25 5 3 ..... L3 - 2 LI:

A 2 ~ [ ; 1 ~ A 3 ~ [ ; 2 3J2 * 2 2..... ~ 3 : 1 *O 4 O ..... -L4 z'4 O -4A 4 ~ ~ - ~

1

A, ~ [ ~ 1]1 ..... L I -'2 L2 : O-21 1 1 *O O ..... -"4L3 :A 6 ~ [ ;

O3rL-2L. A, ~ [ ~ O_ I 2 3'2 11 O OO 1

Como se v. a matriz A, por meio de uma sucesso fInita de operaeselementares, foi transfonnada na matriz equivalente I. '

Tendo em vista que det A7 = det I = 1 e que as operaes realizadas com asmatrizes A, Az, A3 e As alteraram o det A, as operaes a seguir anularo as alteraes epermitiro calcular o det A:

det A = 2 (-1) (4) (-4) (1) = 32Conferindo:

213det A = 4 2 2 = + 21 2 21_ 1 14 21 + 3 .1 4 21253532325det A = 2 ( 6 -10 ) -1 (12-4) + 3 (20-4) = 2 ( -4) -1 (8) + 3 (16)det A = - 8 - 8 + 48 = 32


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3.7 - INVERSO DE UMA MATRIZ POR MEIODE OPERAES ELEMENTARESA mesma sucesso ftnita de operaes elementares, que transfonna a matriz

quadrada A na matriz unidade I, transfonna uma matriz I, de mesma ordem, na matriz A-I,inversa de A.

Para detenninar, pois, a matriz inversa de A:a) coloca-se, ao lado da matriz A, uma matriz I, separada por um trao vertical;b) transfonna-se, por meio de operaes elementares, a matriz A numa matriz I,

aplicando-se simultaneamente, matriz I, colocada ao lado de A, as mesmas operaeselementares.

Exemplo: detenninar a inversa da matriz

A ~ ~ 13

Soluo

~ 1 7 1 O1 * [ 1 7 1 O ~ ]-->-L2 1 -3 2 O 1 2 2 23 4 O O 3 2 O 1 --> L2 -1 LI:3 4 O O --> L3 - 5 LI:

11 1 7 1 O O 1 1 7 1 O O --> LI - 2 ~ :- - - - - -2 2 2 2 2 22 *, O 1 6 2 2 O5 3 1 1 O -->-L- -- .- 5 2 --2 2 2 10 10 5 1O 1 27 5 O 1 O 1 27 5 O 1 --> L 3 - 2 " ~ :- -- -- - - - --2 2 2 2 2 2


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58 Matrizes. Detenninantes e Sistemas de Equaes Lineares381 O 38 6 2 O 1 O 38 6 2 O -> L I - I O ~ :---lO 10 10 10 10 106O 1 6 2 2 O O 1 6 2 2 O -> Lz + W ~- - -O 10 5 10 10 5

10 * O O 1 24 2 10O 132 24 1 1 -> - -L3"- - ---- 132 " - - - -O 10 5 132 132 1321 O O 12 34 38

132 132 132O 1 O 12 54 6-- - - -32 132 132O O 1 24 2 10

132 132 132Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz12 34 38 6 17 19132 132 132 66 66 66

B= 12 54 6 6 27 3132 132 132 66 66 6624 2 10 12 1 5132 132 132 66 66 66

a matriz A-I, inversa de A.o leitor pode fazer a verificao efetuando o produto AB, cujo resultado deve

ser I. O det A, considerando as alteraes assinaladas com asteriscos e feitas as

devidas compensaes, :5 132det A = 2('2) (- 10) x 1 = -66


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3.7.1 - Inverso de uma matriz de ordem 2

Detenninar a inversa da matriz:A = ~ :]

Soluo:

[:b 1 1

[:b 1

:]O --> -LI: a ad O --> L 2 + (-c) L I :[, ~ 1 1-Od- ~ acabc ad - bc

(1 )--=a amas:

de t A = \ : :1 ad - bcFazendo:

ad -b c = n (2)

e substituindo (2) em (1), vem:d _ bc n= a ,ento:a

~ ~ ~ : L,' ~ Qlbb 1 b 1 --> L --LI a 2:

a a a an c 1 c ~ ja n


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o . . . ! . - + ~ - blan n1 c a- - -n n

1 bc n+ b c-+-=-- -a an anad -bc+bc ad d _----- = -- = - , entao:an an n

1 o d bn n

o 1 c an n

Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz

a matriz A-I inversa de A.

3.7.1.1 - Regra prticaExaminando o resultado do item anterior, verifica-se que se pode obter a matrizA-1, inversa da matriz A, de ordem 2, permutando os dois elementos da diagonal

principal, trocando os sinais dos dois elementos da diagonal secundria e dividindo osquatro elementos de A por det A = n (se n = O, A no tem i n v e r ~ a ) .Exemplos: determinar a matriz Ifiversa de cada uma das seguintes matrizes

sl e A = ~ o s e -sen el2J ~ e n ecos eJ


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Soluo:

1)detL = 7 6 = 28-18 = 10

3 4e L-I 4 610 10

3 710 10

2)

3)

det M I 1 I= 20 - 20 = O e M no tem inversa

4)d A cos e -sen e 2 2 1et = = cos e + sen e =

sen e cos ee A-I _ [COS e sen e1

- sen e c o s eJ3.8 - MATRIZ ORTOGONAL

Matriz ortogonal a matriz quadrada A cuja transposta At coincide com ainversa A-I. A matriz A do exemplo 4, item 3.7.1 ortogonal. De fato:

A= rcos e - sen el e At = fcos e sen e l = A-Il.!en e CDS e J t sen e c o s eJ

3.9 - PROBLEMAS RESOLVIDOSNos problemas 1 a 3, determinar por meio da regra prtica (item 3.7.1.1) a

matriz inversa de cada uma das matrizes dadas


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1)

Soluo:

2)

Soluo:

-4 21 ~ 2 6 ~ _ 2 4 2 ~ ~ ~ 3 0 _ 1 2 1 ~et B = -6 = 32 -12 = 20 e B-I =20 20 10 10

3) cSoluo:

detC = 1 ~ 1 = 5 0 _ 5 1 =-1 e C- I5 -17-1 -1-3 10-1 -1

1-5 17lL3 -lOJ4) Calcular, por operaes elementares, a matriz inversa da matriz:

4 8J128 16


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Soluo:

4 8 1 O6 12 O 18 16 O O

12 4 '2 O6 12 O 18 16 O O

Soluo:124 100

21 2 4 1 O O --+ LI -2 L2:2

O 2 4 3 O 12

1 2 1 1 O2 2

O 2 4 3 O 1 --+ L 3 -2 L2:2

1 *O - -+-L '2 2'2 4 -1 1

1 O O 3 -1 O2

O 1 2 12

1 O2

O O O 1 -1 12

Tendo em vista que a matriz A no pode ser transformada na matriz I, ela notem inversa, isto , A uma matriz singular.

A matriz A foi transformada numa matriz triangular superior cujos elementosda diagonal principal so 1, 1 e Oe, portanto, o termo principal Tp = 1 x 1 x O= O, o quesignifica que det A = O. Por outro lado, se se considerasse as alteraes assinaladas comasteriscos e feitas as devidas compensaes, se teria:

det A = 2 x 2 x O= O.Nos problemas 5 a 8, dadas as matrizes a seguir, verificar se cada uma delas

ortogonal:


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V3 v'3 v'32v'2 - -I 3 3 3-[: :1 B ~ ~ -J 3 3A= c= eD= v'6 V6 V6I , 2V2 I 3 6 63 3

O V2 V22 2

Solues:5)

7)

o fato de ser AAt = I implica ser At = A-i e, portanto, A ortogonal.BB t = fi -21 rI 21 15 01~ !J 1:2 ~ ~ 5J

Tendo em vista que BBt #- I, B no ortogonal.

I 2V2 I 2V2- -- - -~ :]

3 3 3CCt = =

2 v'2 I 2Y2 I----3 3 3o fato de serCCt = I implica ser Ct = C-i e, por conseguinte,C ortogonal.


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8)V3 V3 V3 v'3 V6 O- - - -3 3 3 3 3 1 O ODd = v'6 V6 V6 v'3 V6 v'2- - - O 1 O3 6 6 3 6 2O V2 v'2 v'3 V6 V2 O O 1

2 2 3 6 2o fato de serDDt = I implica serDt = D-I e, por conseguinte, D ortogonal.

9) Supondo as matrizes A e C quadradas, de mesma ordem e inversveis, resolver aequao matricial na qual X a varivel.

Soluo:a) Pr-multiplicando ambos os membrospor C-I, vem:C-I (CAxt) = C-I C(C-IC)AXt = C-I CC-IC = I

IAXt = II A =AAXt = I

3.10 - PROBLEMAS PROPOSTOS

b) Pr-multiplicando ambos os membrospor A-I, vem:A-I (AXt) = A-I I(A-IA) X t = A-I IA-IA = IA-I I = A-I

IX t = A-IIX=XXt = A-IX = (A-I)t

Nos problemas 1 e 2, transformar na matriz unidade as matrizes dadas.1)

A = 3 -5 42)

[ ~B= 1OO1-21


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66 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares

Nos problemas 3 a 6, detenninar, pela regra prtica (item 3.7.1.1), a matrizinversa de cada uma das matrizes dadas.3) A=[: - 1 ~ 4) B = [ ~ 1 ~ ]95) l7 :] 6) D = [ ~ -:]= -4

Nos problemas 7 a 10, verificar se a matriz de cada um deles ortogonal.7) A J ~ :1 8) B ~ r ~ lt: ~ J 1 V2- - --29) 1 O O 10) V2 O v'2- -

V2 v'2 2 2c= O - - V2 O V22 D= -O v'2 v'2 2 22 2 O 1 O

Nos problemas 11 a 26, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizesdadas.11) l3 4 - ~ 12) B ~ [ ~ 4= ~ 1 3-5 613) C ~ [ ~ O O ~

14) D { ~ O - ~O -2 -22 1 -3 O 23 2

,


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15) E ~ t ~ O - ~ ] 16) [3 -6 -12J4 F= ~ 3 -3-2 -9 -24

17) ti 10 - ~ 18) H ~ D 2 ~ ]= - : -4 4-2 219) ~ I -2 - 20) [3 -1 -3J= -2 -4 -5 L= 2 -4 -1-3 -5 -6 -1 -2 -221) ~ I O - ~ 22) N { ~ -2 ~ ]= -1 -1 -1-1 -1 O23) p ~ [ ~ 2 - 24) [I -1 1-2 Q = -3 -3-1 -7 3 -3 -4 -325) R ~ [ ~ O 26) li 2 O Us= O -1 2O O O -1O O O -127) Calcular O valor de k para que a matriz

A = [ ~ ~ Jno tenha inversa.

Nos problemas 28 a 31, supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesmaordem e inversveis, resolver as equaes matriciais nas quais X a varivel.28) ADX=ABC 29) DXt=DC30) ABCX2D2 = ABCXD 31) D-IXD = AC


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3.10.1 - Respostas ou roteiros para os problemas propostos1 e 2) Roteiro: Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao do exemplo doitem 3.6.1.3 a 6) Roteiro: Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao dos problemas 1 a

3 do item 3.9.7 a 10) Roteiro: Esses problemas so resolvidos de modo anlogo ao dos problemas 5 a

8 do item 3.9.11)

13)

15)

17)

14 9 13 12) B no tem inversa3 3 3

A-I = -2 -1 -21 1 1

11 O O O 14) 1 O 12 2

C-I ~ l: 1 O O D-I = 1 1 1-4 2 4-2 1 O 3 O 14 41 -2 1

-4 5 -5 16) 11 4 -2- - -2 3 3E-I = 1 1 1 p-I = 2 O 1

2 2 2 3 33 -1 2 2 1 1-2 3 3 31 -1 1 18) H no tem inversa2 2

G-I = -1 3 52 2

3 -2 72 2


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19) li 3 -r] 20) L-I ~ [: 4 -IJ-l= = 3 -3 3 -9-2 1 -8 -5 14

21) li o - ~ 22) N - I ~ G-10 -:J-l = ~ -1 71 -6 -523) ~ 2 1 - 24)

7 1 -1]-l = -1 -1 Q-l = ~ o-3 -2 -2 -125) 1 o o 26) -1 -2 -4 2

2R-I = o 1 o o -1 -2 -3

3 S-1 =o o 1 o o -1 -1-7

o o o -127) Roteiro: Resolver a equao

[ ~ ~ I = Opois a matriz cujo determinante nulo no tem inversa.28) X = D-IBC 29) X =C t30) X = D-l . 31) X = DACn-1


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ICAPITULO 4SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

4.1 - EQUAO LINEAREquao linear uma equao da fonna:

na qual xl' X2' . " , xn so as variveis; aI az, ..., ~ so os respectivos coeficientes dasvariveis e b o tenno independente. Os valores das variveis que transfonnam uma equao linear em identidade,

isto , que satisfazem a equao, constituem sua soluo. Esses valores so denominadosra(zes da equao linear. Exemplo: a equao

2x+y=1Oadmite, entre outras, as razes x = 3 e y = 4, pois: 2 x 3 + 4 = 10.

70


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Sisterru1S de Equaes Lineares 71

4.2 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARESA um conjunto de equaes lineares se d o nome de sistema de equaes

lineares:

{

al1 Xl + a l2 X2 + + a ln ~ = b lazl Xl + az2 X2 + + azn ~ = b2.. . .. . .. . .~ l Xl + ~ X2 + ... + ~ ~ = bm

Os valores das variveis que transformam simultaneamente as equaes de umsistema linear em identidade, isto , que satisfazem a todas as equaes do sistema,constituem sua soluo. Esses valores so denominados ra(zes do sistema de equaeslineares.

4.2.1 - Sistema compatvelDiz-se que um sistema de equaes lineares compatfvel quando admite

soluo, isto , quando tem razes. Um sistema compatvel pode ser determinado ouindeterminado:

o sistema determinado quando admite uma nica soluo. Exemplo: osistema

{ 2x + 3y = 183x + 4y = 25 determinado, pois tem como razes unicamente x = 3 e y = 4.

o sistema indeterminado quando admite mais de uma soluo (na verdade,admite infinitas solues). Exemplo: o sistema

{4x + 2y = 1008x + 4y = 200


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indetenninado, pois admite infinitas solues:x 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 ...Y O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ...

4.2.2 - Sistema incompatvelDiz-se que um sistema de equaes lineares incompatfvel quando no admite

soluo. Exemplo: o sistema

{3X + 9y = 123x + 9y = 15 incompatvel, pois a expresso 3x + 9y no pode ser simultaneamente igual a 12 e iguala 15 para mesmos valores de x e y.

4.2.3 - Sistema linear homogneoQuando num sistema de equaes lineares os termos independentes so todos

nulos, o sistema chamado 1wmogneo. Exemplo: homogneo o sistema

{ 3xI + 6x2 = O12xI + 24x2 = O Todo sistema linear homogneo tem, pelo menos, uma soluo, denominada

soluo trivial: ~ = O(no caso, i = 1, 2), isto , Xl = x2 = O. Alm da soluo trivial, osistema homogneo pode ter, no necessariamente, outras solues, denominadas soluespr6prias. No exemplo dado, as solues prprias so:

isto , a cada valor arbitrrio atribudo a x2 se obtm um valor para xl; e cada conjuntodesses dois valores satisfaz o sistema.


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Sistemas de Equaes Lineares 73

4.3 - SISTEMAS EQU IVALENTESDiz-se que dois sistemas de equaes lineares so equivalentes quando admitemamesma soluo. Exemplo: os sistemas

{3x + 6y = 422x --4y = 12 e { X + 2y = 14x-2y = 6so equivalentes porque admitem amesma soluo: x = 10 e y = 22.

4.3.1 - Operaes Elementares e Sistemas EquivalentesUm sistema de equaes lineares se transfonna num sistema equivalente quando

se efetuam operaes elementares sobre suas equaes:I) Permutao de duas equaes.mMultiplicao de uma equao por um nmero real diferente de zero.

lII) Substituio de uma equao por sua soma com outra equao previamentemultiplicada por um nmero real diferente de zero.

As operaes elementares aplicadas a um sistema de equaes lineares seroindicadas do mesmo modo que na inverso de matrizes.

4.4 - ESTUDO E SOLUO DOS SISTEMASDE EQUAES LINEARESPor razes de ordem didtica, o estudo e a soluo dos sistemas de equaeslineares ser feito, separadamente, nos dois casos em que podem se apresentar:I!?) Sistema de n equaes lineares com igual nmero de variveis.2!?) Sistema de mequaes lineares em n variveis (m #- n).


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4.4.1 - Sistema de n equaes lineares com n variveisPara resolver um sistema de n equaes lineares com n variveis seroapresentados trs mtodos: o de Gauss-Jordan, o da matriz inversa e o da regra de

Cramer. Em 4.4.1.4, alneas a), b) e c), se informar em que casos conveniente utilizarcada mtodo.

O mtodo de Gauss-Jordan e o da matriz inversa exigem que a matriz doscoeficientes das variveis possa ser transformada na matriz I. Em 4.4.2.5, exemplos I e 2,so tratados casos em que a referida matriz no pode ser transformada na matriz unidade,ao mesmo tempo em que se indica a maneira de obter a soluo dos sistemascorrespondentes.

4.4.1.1 - Mtodo de Gauss-JordanConsidere o leitor, inicialmente, o seguinte sistema de equaes lineares e sua

transformao em sistemas equivalentes, at obter a sua soluo:

{2X + 4y = 22 -> ~ LI:5x-15y = -20

{ Ix + 2y = 11Ox-25y = -75 -> __l_ Lz :25

fIx + Oy = 5Ox + 1y = 3

isto , x = 5 e y = 3.O leitor atento ter verificado que:

ou:

{Ix + 2y = 115x - 15y = -20 -> Lz -5 LI:

{ Ix + 2y = 11 -> LI -2 Lz:Ox + 1y = 3

{Ix =51y = 3

a) a matriz dos coeficientes das variveis foi transformada, por meio deoperaes adequadas, na matriz unidade; ao mesmo tempo, submetida s mesmasoperaes, a matriz-coluna dos termos independentes foi transformada nas razes dasequaes, isto , na soluo do sistema;


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Sistemns de Equaes Lineares 75

b) as variveis x e y, durante as operaes realizadas, praticamente noparticiparam do processo, a no ser por sua presena ao lado dos coeficientes.

Diante dessas duas constataes, fcil explicar e entender o mtodo deGauss-Jordan que, por sua vez, muito simples:

I!?) coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variveis, separada por umtrao vertical, a matriz-coluna dos termos independentes:

[ ~ 41 22J-15 -20Essa matriz, associada ao sistema de equaes lineares, chamada matriz

ampliada do sistema. Cada linha dessa matriz uma representao abreviada da equaocorrespondente no sistema. O trao vertical dispensvel, mas colocado para facilitar avisualizao da matriz dos coeficientes das variveis e da matriz-coluna dos termosindependentes;

2!?) transforma-se, por meio de operaes adequadas, a matriz dos coeficientesdas variveis na matriz unidade, aplicando-se s i m u l t a n e a m e ~ t e matriz-coluna, colocadaao lado da matriz dos coeficientes das variveis, as mesmas operaes;

32) transformada a matriz dos coeficientes das variveis na matriz unidade, amatriz dos termos independentes ficar transformada, ao [mal, na soluo do sistema.Exemplo: resolver o sistemar1 + 1x2 + 3x, ~ 8

4x1+ 2x2 + 2x3 = 42x1+ 5x2 + 3x3 = -12

Soluo:

[:1 3 8 r ~ L . 1 1 3 42 1 2""2 4 25 3 -12 4 2 2 4 ~ L 2 - 4 L 1 :

2 5 3 -12 ~ L 3 - 2 L 1 :


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1 1 3 4 1 1 3 4- - - -2 2 2O O -4 -12 O 4 O -20 1- + ~ . - + 4 ~ :O 4 O -20 O O -4 -121 1 3 4 1 1 13+ LI -"2 L2: O 3- -2 2 2 2O 1 O -5 O 1 O -5O O -4 -12 O .0 -4 -12 1-+ --L34 .

1 O 3 13 3 [ ~ -:]+ L I - 2 ~ : O O- -2 2 1 OO 1 O -5 O 1O O 1 3

De acordo com o que ficou explicado. o sistema inicial de equao lineares setransformou no sistema equivalente:

{IxI + OX2 + Ox3 = 2OXI + lX2 + Ox3 = -5Ox I + Ox2 + Ix3 = 3,

isto , Xl = 2, x2 = -5 e x3 = 3.

4.4.1.2 - Mtodo da matriz inversaSeja o sistema:

{

a u Xl + aI2 X2 + + aln xn : b I~ I x2 + a22 x2 + + a2n xn - b2.. ... ... ..nI xl + an2 x2 + ... + ~ n xn = bn


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Fazendo:

a11 a12 . a1n xl b1A= 8z1 8z2 8zn X= X2 B= b2e.:

8n1 8n2 8nn xn bn

o sistema pode ser escrito sob a forma matricial:

al I a12 ... a1n Xl b18z1 a22 .. 8zn x2 b2an1 ~ ... ann Xn bn

Ou, utilizando a notao abreviada:AX=BAdmitindo a existncia da matriz A-I, isto , admitindo que a matriz dos

coeficientes das variveis pode ser transformada na matriz 1-, e pr-multiplicando ambos osmembros da igualdade por A-I, vem:

A-1 (AX) = A-1B(A-1A)X = j \ - lBA-I A = IIX = A-1BX = A-1B (1)A soluo do sistema bastante simples: basta multiplicar a matriz A-I, inversa

da matriz A dos coeficientes das variveis, pela matriz-coluna B dos tennosindependentes. Exemplo: resolver o sistema:

f6x + 2y = -6

lOx + 5y = -5


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78 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equnes Lineares

Soluo:

Fazendo:

o sistema se transforma em:AX=B

e a soluo dada pela frmula (1):x = A-IB

mas:

[ 6 25J = 6(5)-2(10) = 30-20 = 10det A = 10

logo:

e A-I =5101010

610

5 2- - -O 10x 10 610 10

isto : xl = -2 e X2 = 3.

4.4. 1.3 - Regra de C r a m ~ rA regra de Cramer, que no utiliza as operaes elementares, de uso muito

restrito e no ser demonstrada (mas verificada por meio de exemplos), consiste noseguinte:

I!?)


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calcula-se o detenninante Di da matriz que se obtm da matriz doscoeficientes das variveis, substituindo a coluna dos coeficientes da varivel xi pelacoluna dos termos independentes;

calcula-se xi pela f6rmula:x. = Di

1 DNo caso de um sistema de 2 equaes lineares com 2 variveis, i varia de 1 a 2;

se se tratar de um sistema de 3 equaes lineares com 3 variveis, i varia de 1 a 3.Exemplos:1) Resolver o sistema

j2XI + 4X2 = 22. 5x I - 15x2 = -20Soluo:

D I ~ -1:I=30 - 20=50DI

122

-1: I=330 + 80 = -250-20D2 = I ~ 221 = -40 - 110=150-20

DI -250xl = --=--= 5D -50

D2 -150x2 =--=--= 3D -50Este problema foi resolvido em 4.4.1.1, com as variveis designadas por x e y,

como introduo soluo de um sistema de n equaes lineares com n variveis pelomtodo de Gauss-Jordan.


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2) Resolver o sistema

{2X1 + 1x2 + 3x2 = 84x1 + 2x2 + 2x3 = 42x1+ 5x2 + 3x3 = -12

Soluo:o clculo dos detenninantes, quer pela regra de Sarros, quer desenvolvendo-opor uma linha (coluna), fica a cargo do leitor.

2 8 34 4 2 = -1602 -12 3

D 213= 4 2 2253

328 1 34 2 2 64

-12 5 32 1 84 2 4 962 5 -12

DI 64Xl = - -= - -= 2D 32

D2 -160x2 = -- = -- = -5D 32D3 96x3 = - -= - -= 3D 32

Este problema foi resolvido em 4.4.1- Exemplo, pelo mtodo de Gauss-Jordan.O leitor, aps calcular D, DI' D2 e D3, poder comparar as duas maneiras de encontrar assolues e decidir qual delas julga a mais conveniente.

4.4.1.4 - Convenincia da utilizao dos mtodos de Gauss-Jordan, da matrizinversa e da regra de Cramera) conveniente empregar o mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas den equaes lineares com n variveis nos dois seguintes casos:


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I!?) quando se tem para resolver um nico sistema;2!?) quando se tem para resolver um conjunto de sistemas de n equaes (e igual

nmero de variveis), tais que as matrizes dos coeficientes das variveis de cada sistemasejam diferentes umas das outras. Dentre as inmeras aplicaes do mtodo de Gauss-Jordan, de se destacar aque, embora no explicitamente, contribui para a soluo de problemas de Programao

Linear. De outra parte, deve-se salientar que o mtodo citado particularmenteindicado quando o nmero n de equaes for relativamente grande.b) conveniente empregar o mtodo da matriz inversa no caso em que se tempara resolver conjuntos de sistemas, todos com n equaes (e igual nmero de variveis),tais que as matrizes dos coeficientes das variveis de cada sistema sejam todas iguais,variando somente os termos independentes. Nesse caso, basta calcular somente a inversade uma nica matriz, com a qual, por meio da fnnula (1) de 4.4.1.2, se resolvero todosos sistemas. Exemplo: resolver os seguintes sistemas de equaes lineares:

{2xl + 1 ~ + 7x3 = bl1xl + 3x2 + 2x3 = b25xl + 3x2 + 4x3 = b3

1) para2) para3) paraSoluo:Fazendo:

b l = 16,b l = 25,b l = 3 ,

b2 = -5 ,b2 = -11,b2 = 5 ,

b3 = 11b3 = 5b3 = -5


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os trs sistemas se transfonnam em:1) AX = B 12) AX = B 23) AX = B 3

e a soluo dada pela fnnula (1) de 4.4.1.2:1) X = A-IB12) X=A-IB 23) X = A-IB3

A inversa da matriz A, confonne foi visto no exemplo de 3.7 :6 17 19

66 66 66A-I = 6 27 366 66 66

12 1 566 66 66 ,

por conseguinte:1)

6 17 1966 66 66 [:] [ ~ ] [J= 6 27 366 66 - 6612 1 566 66 66

isto , xl = 3, x2 = -4 x3 = 2.


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2)6 17 19-66 66 66 ~ ~ : ] [;] [:]= 6 27 3-66 66 6612 1 566 66 66

isto , Xl = 2, x:2= -7 e x3 = 4.3)

6 17 1966 66 66

GJ m[:J= 6 27 366 66 - 6612 1 566 66 66

isto , Xl = -3, Xz = 2 e x3 = 1. Conjuntos de sistemas desse ltimo tipo se encontram em Macroeconomia,

como, por exemplo, no Quadro de Insumo-Produto de Leontieff - Fluxo de Bens eServios. Pases altamente desenvolvidos obtm desse Quadro conjuntos de sistemas dedezenas ou centenas de equaes lineares (e igual nmero de variveis), cada sistema coma mesma matriz dos coeficientes das variveis, mudando somente as matrizes-coluna dostermos independentes. A soluo desses sistemas (que implica a inverso de uma nicamatriz) permite calcular a produo que deve ter cada setor em que a Economia Nacionalfoi dividida, a fim de atender s exigncias diretas e. indiretas para as utilizaesintermedirias (setor produtivo) e final.

A inverso de uma dessas matrizes s6 foi possvel com o advento doscomputadores.

c) A regra de Cramer, de uso restrito como j foi dito, utilizada, em geral,somente para resolver sistemas de 2 equaes lineares com 2 variveis ou, mesmo, de 3equaes com 3 variveis. Para sistemas de mais de 3 equaes lineares (e igual nmerode variveis) a regra praticamente inaplicvel em virtude do elevado nmero dedeterminantes a calcular.


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84 Matrizes, Detemnantes e Sistemas de Equaes Lineares

4.4.2 - Sistema de m equaes linearescom n variveis ( m =1= n)o mtodo para resolver um sistema de m equaes lineares com n variveis semelhante ao mtodo de Gauss-Jordan, visto em 4.4.1.1, com a diferena de que a matriz

dos coeficientes das variveis no pode ser transformada na matriz unidade, porque ela uma matriz retangular. Entretanto, o procedimento inicial o mesmo: transforma-se nonmero 1, por meio de operaes adequadas, cada elemento no qual i = j, e em zerosos dem ais elementos das colunas em que se situam esses Depois, feitas algumasconsideraes, se encontrar a soluo do sistema. A seguir sero dados trs exemplos quefacilitaro a compreenso do mtodo.1) Resolver o sistema de 3 equaes com 2 variveis:

{2X l + 4xz = 165xl-2xZ = 410x l -4xz = 3

Soluo:1.....-L2 1 ..... Lz -5 LI:

..... L3 -10 LI:

Esta matriz corresponde ao sistema:

2 ~12 -36-24 -77

1..... - 12 Lz:

{I Xl + Oxz = 2OXl + 1xz = 3Ox l + Oxz =-5

que equivalente ao sistema dado. Ora, como no existem valores de Xl e xz quesatisfazem a 3!! equao (Ox l + Oxz = -5), o sistema incompatvel.


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2) Resolver o sistema de 4 equaes com 2 variveis:2x l + 4x2 = 165x l -2x2 = 43xl + 1x2 = 94x l -5x2 =-7

Soluo:

~ 4 1] ~ ~ L ' ~ 2 - ~2 I" -2 - LZ-5 LI:2 41 9 1 - L3 -3 LI:-5 -7 -5 -L4 -4L l :~

2 - ~ J 1~

2 ~ ~ LI -21'2'-12 - -12 Lz: 1 3-5 -15 -5 -15 - ~ + 5 Lz:-13 -39 -13 -39 - L4 + 13 Lz:~

O

~ ] r + O x 2 ~ 21 Esta matriz corresponde ao sistema: OXl + 1x2 = 3O Ox l + OX2 = OO OXl + OX2 = Oque equivalente ao sistema dado. As 3 4!! equaes no estabelecem nenhuma condio para xl e x2' Portanto, a soluo do sistema ser dada pelas duas primeiras equaes:

{IX l + Oxz = 2Ox l + lxz = 3,

isto , xl = 2 e x2 = 3.


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3) Resolva o sistema de 2 equaes com 4 variveis:

12X I - 8xZ + 24x3 + 18x4 = 844x I - 14xz + 52x3 + 42x4 = 190Soluo:

Documents

Steinbruch - Matrizes, Determinantes e Sistemas.pdf