SUB-PROJETO DE PESQUISA: IMAGEM MATEMÁTICA · delimitar o espaço da reflexão, uma vez que trataremos de Signos Visuais. Termo que doravante será utilizado especificamente para

SUB-PROJETO DE PESQUISA: IMAGEM MATEMÁTICA

(Vinculado ao Projeto Matemática Viva)1

Esequiel R. Oliveira – UERJ – [email protected]

Maria Ignez R. David – UERJ

Geraldo Botelho Lins – UERJ

José Antonio Novaes – UERJ

Nelson Melo de Rezende – UERJ

1. Introdução

A linguagem é uma forma de organizar o mundo e de compreendê-lo; é uma

ferramenta de comunicação entre indivíduos e de distinção entre culturas; é um meio

identificar as coisas do mundo físico e de distinguir duas idéias de modo claro e

constante2. Muitas são as definições possíveis para linguagem, no entanto todas,

possivelmente convergem para um ponto comum ao universo aqui tratado, o

conhecimento – no Ensino Básico. Qualquer que seja a abordagem (específica ou geral)

o conhecimento é a substância da experiência escolar. É comum dizer-se que a produção

escolar imprescinde do conhecimento de mundo do aluno. Desse modo a linguagem que

é responsável pela inserção da criança no mundo cultural e social, antes mesmo da sua

chegada à escola, recebe desta um tratamento especial, investigativo e normativo.

Visando não apenas a comunicação e a compreensão do que é visível – uso

predominante da linguagem na infância – mas também da dimensão abstrata do

conhecimento. Quando a linguagem torna-se objeto de conhecimento em si.

Esse novo universo desvenda, para a criança, o mistério de como se produz o

registro de uma história, já que a criação é fácil para ela. E, embora ela saiba que os

livros registram (contam) histórias e que a escola é o lugar onde se aprende os segredos

da escrita, possivelmente a atitude de surpresa diante da amplitude da ciência lingüística

– ainda que tratada em seu nível – seja um fato que se repete durante toda experiência

1 Convênio Projeto Matemática Viva – UERJ e Núcleo Estudos em Tecnologia, Linguagem e Educação Matemática – NETECLEM/FAFIC – Coordenadora: Profª Drª Mônica Rabello de Castro. 2 Saussure (1969)

Anais do VIII – Comunicação Científica GT 09 - Processos Cognitivos e Lingüísticos na Educação Matemática 2

escolar. Inclusive pelo fato de ser a linguagem matéria de estudo obrigatório durante

toda formação básica. Até aqui há uma simplificação de conceito, uma vez que o uso do

termo linguagem está associado à palavra falada ou escrita. Ocorre, porém, que a

linguagem verbal não é a única existente3, há diversos sistemas lingüísticos. Entretanto,

para ser fiel à definição apresentada no início deste texto, todos estão relacionados à

compreensão do mundo, à categorização das coisas e das ações humanas, estabelecendo

diferenças e significados que variam de acordo com os grupos sociais, sejam elas

pequenos ou grandes. Ao ouvirmos tal grito agimos de forma particular numa atitude

que reúne cautela, curiosidade, solidariedade. A correspondência entre a idéia

(significado) e o som (significante) constitui a estrutura da linguagem, o signo

(Saussure, 1969)4.

Embora a definição de signo proposta por Saussurre esclareça a importância da

linguagem na produção de sentido, ela restringe o conceito à linguagem verbal quando

afirma ser aquele a união de um significado a uma imagem sonora. Todavia é possível

ampliar a noção de significante sem prejuízo da relação significante/significado,

conforme propõem Barthes (1990) e Fiorin (2002)5. E é sobre essa proposta que se

fundamenta essa Pesquisa.

2 Objetivo

O objetivo desta pesquisa e promover é analisar a relação entre alguns aspectos

da teoria lingüística (verbal) e a leitura /produção do texto (mensagem) visual, de modo

a qualificar a contribuição deste na produção do conhecimento escolar em geral e na

aprendizagem matemática em particular.

3. Justificativa

Sendo a linguagem visual um sistema de signo que precede a fala e a escrita mas

que permanece presente nas produções humanas nas mais variadas formas, desde as

artísticas até os sinais de comunicação, há que se supor que a sua estrutura seja objeto

durante a formação escolar. Mas, se de um lado isto já ocorre nas aulas de artes de outro

este exercício freqüentemente se restringe a estes espaços. 3 Fiorin (2002) p. 58 4 Saussurre (1969) 5 Barthes (1990) p.43: “Hoje é necessário ampliar a noção totalizante de língua, sobretudo do ponto de vista semântico: a língua é a abstração totalizante das mensagens emitidas recebidas”. Fiorin (2002) p.58: “Não se pode falar em imagens acústicas quando se trabalha com outros sistemas de signos. Por isso é necessário ampliar a noção de significante para que ela possa ser usada em todas as linguagens”.


Tal fato não se verifica no uso da linguagem verbal. O uso de formas descritivas:

relatórios, descrições e histórias são comuns em todos momentos da atividade escolar,

tanto fornecidas pelo professor quanto solicitadas ao aluno. Mesmo que se diga que os

desenhos dos alunos são comuns nas aulas, que os mapas, as ilustrações dos livros, os

cartazes e os vídeos são exemplos da presença da imagem no âmbito escolar, ainda

assim não se poderia creditar a tal presença um exercício lingüístico-visual consciente.

Pelo simples fato de que a formação do educador não inclui um exercício de

competência nessa linguagem6. Isto é, não há clareza sobre um conhecimento do signo

visual que possibilite a produção de significados em diversas áreas de conhecimento.

Ao contrário, é comum dizer-se que tal competência é um talento concedido a

poucos. O que permite presumir a aplicação do conceito de leitura e expressão

imagética com vistas a produção de novos signos estão restritos a setores particulares

como o da criação artística ou da habilidade para reprodução de imagens. Desprezando-

se, dessa forma, a hipótese de que a linguagem no sentido amplo não se restringe a essas

finalidades específicas. Pois se assim fosse somente estenógrafos, poetas, cronistas e

romancistas produziriam conhecimento através da linguagem verbal. A competência

lingüístico-visual é inerente aos humanos habilitados ao sentido da visão. Mesmo

admitindo eventual polêmica à essa afirmativa no que concerne, por exemplo, à

percepção espacial proporcionada pelo tato, ela está aqui posta com a finalidade de

delimitar o espaço da reflexão, uma vez que trataremos de Signos Visuais. Termo que

doravante será utilizado especificamente para a linguagem visual. Enquanto que em

referência a abordagem verbal (ou mesmo geral) do conceito será usado apenas a

expressão signo.

4. Metodologia

A fim de subsidiar esta reflexão, serão apresentadas analogias entre alguns

aspectos da teoria geral dos signos, relevantes ao signo visual, que potencialize o

aproveitamento da idéia da competência lingüístico-visual no desenvolvimento da

habilidade de leitura de imagem e seu aproveitamento na prática cotidiana da construção

do conhecimento escolar. Tais analogias serão fundamentadas em três abordagens do

6 Chomsky (1986) Descreve a gramática universal: a capacidade linguística humana, determinada geneticamente. O que pressupõe um conhecimento lingüístico comum a todos os falantes em qualquer língua, independente de um processo de escolarização.


tema: (i) a composição do signo, (ii) o estudo de suas características e (iii) a

classificação dos signos. Cada abordagem será composta de uma base teórico-conceitual

que sustente a proposição de atividades cuja testagem indicará caminhos para análise,

seleção e adequação de imagens na elaboração de seqüências didáticas no ensino de

matemática.

5. Relato de Experiência e Revisão Bibliográfica

Como forma de exemplificar a pesquisa apresenta-se seguir os relatos de duas

experiências7 e duas revisões bibliográficas que abordam o uso de imagens na

aprendizagem em temáticas distitntas. No primeiro caso, para ilustrar o

desenvolvimento da fórmula da soma dos termos de uma P.A,utiliza-se a figura de uma

escada, conforme desenvolvido no anexo I. A segunda experiência (anexo II) apresenta

imagens homotéticas como ferramenta na compreensão das operações com números

racionais. Onde a discussão se dá em torno de proposições de alteração das dimensões

de figuras semelhantes (através de transformações no plano) e da coerência destas com

as suas traduções aritméticas (ou vice-versa). Nesse caso, todo conceito se constrói com

a intermediação da imagem.

Todavia, apesar de bem sucedidas as experiências, em alguns momentos do

processo verificou-se fatos relativos à compreensão – leitura do signo – das figuras

utilizadas, o que motivou a substituição de algumas. A avaliação desses fatos levou a

conclusão de que a imagem pode contribuir ou comprometer a aprendizagem escolar,

por isso exige seleção cuidadosa e consciente.

A primeira revisão bibliográfica (anexo III) identifica no uso de imagens

estereotipadas um dos “nós” do ensino de geometria. Ao analisar ilustrações de livros

didáticos de matemática do ensino fundamental, depoimentos de professores do ensino

fundamental e a produção de alunos do curso de formação de professores de matemática

da UERJ constatou uma série de equívocos conceituais decorrentes, entre outros

aspectos, do uso de imagens estereotipadas.

A segunda revisão bibliográfica teve como tema o estudo da área do círculo e

focalizou a evolução do uso da imagem nos livros didáticos nos últimos dezoito anos e

7 Ver relatório das experiência em anexos.


concluiu que ao longo do tempo as deduções (demonstrações) ganharam um

encadeamento lógico com a imagem.

Uma rápida reflexão as diversas conclusões permite caracterizar o uso da

imagem na sala de aula da seguinte forma:

(a) pode intermediar a construção do conceito viabilizando a produção

(formalização) do texto matemático;

(b) pode ilustrar demonstrações desenvolvidas em linguagem matemática, com

vistas a identificar aplicações de determinados conceitos;

(c) pode ser irrelevante para o processo de aprendizagem ou até comprometê-lo.

6. CONCLUSÃO

A pesquisa pretende, portanto, numa de suas etapas investigar o tema nestes

domínios. Identificar situações (na pesquisa em material didático e na realização de

experiências pedagógicas) que exemplifiquem os três casos e determinar suas causas à

luz da semiologia da imagem. E desse modo contribuir para a escolha de imagens,

consciente e cientificamente sustentável, na produção de material didático.

7. BIBLIOGRAFIA:

APARIRI, Roberto. MATILLA, Augustin Garcia. SANTIAGO, Manuel Valdivia. La

Imagem. Madri: Universidad Nacional de Educacion a Distancia, 1992.

BARTHES, R. O Óbvio e o Obtuso: ensaios críticos III. Tradução Lea Novaes. Rio de

Janeiro: Nova Fronteira, 1990.

CHOMSKY, N. O Conhecimento da língua: sua natureza, origem e uso. Tradução

Anabela Gonçalves e Ana Teresa Alves. Lisboa: Editorial Caminho, 1986.

FIORIN, José luiz. Introdução à lingüística I. Objetos teóricos. São Paulo: Contexto:

2002.

LURIA, A. R. Pensamento e Linguagem. Últimas conferências de Luria.Porto Alegre:

Artes Médicas, 1987.


PEIRCE, C. S. Semiótica. Tradução J. Teixeira Neto. São Paulo: Editora Perspectiva,

2000.

SAUSSURE, Ferdinand. Curso de Lingüística Geral. São Paulo: Cultrix/Edusp, 1969.


ANEXO I

Soma dos Termos de Uma Progressão Aritmética8

Geraldo Lins

Antes de deduzimos a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma P.A.,

costumamos contar aos nossos alunos a historinha de um garoto muito esperto chamado

Gauss, que é a seguinte:

Em 1787 na Alemanha, durante uma aula de aritmética, o professor, querendo manter

seus alunos ocupados, propôs que eles somassem todos os números inteiros de 1 a 100.

Esperando entreter as com a tarefa por um bom tempo, ficou surpreso com a rapidez do

resultado correto apresentado por um dos meninos – 5050. O menino era, aquele que

mais tarde seria conhecido como o Príncipe dos Matemáticos, Carl Friedrich Gauss

(1777-1855).

O raciocínio do menino apesar de genial era simples e elegante. A tarefa era somar

1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 97 + 98 + 99 + 100. Gauss percebeu que somar o primeiro com o

último número ( 1 + 100 ) era igual a soma do segundo com o penúltimo ( 2 + 99 ) que

por sua vez era igual a soma do terceiro como o antepenúltimo ( 3 + 98 ) e assim

sucessivamente. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = .....= 50 + 51 = 101. Como existem 50

desses pares, Gauss simplesmente multiplicou 50 x 101 = 5050 e assim encontrou

corretamente o resultado procurado.

A historinha do Gauss serve de motivação para a dedução da fórmula da soma dos n

primeiros termos de uma P.A., já que a seqüência dos números naturais formam uma

P.A. de razão 1 (um), mas quando generalizamos para uma P.A. de razão qualquer,

verificamos que alguns alunos não ficam absolutamente convencidos de nossos

argumentos, primeiro porque eles percebem que ao contrário do que ocorria na tarefa

de Gauss, o numero de elementos da P.A. pode não ser par, o que parece inviabilizar o

argumento por ele usado.

8 Adaptado da Apostila Matemática no Ensino Médio-IAp/UERJ Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo

Lins


Após a apresentação da fórmula da soma acima faremos uma generalização e

então será imprescindível o uso de imagens que esclareçam de forma definitiva todas as

dúvidas que porventura subsistam à dedução que apresentamos a seguir:

Como queremos a soma dos termos de uma P.A. finita, escrevemos:

nnn aaaaaaS ++++++= −− 12321 ...... . Esta soma permanece a mesma se apenas a

escrevermos em outra ordem, portanto podemos escrevê-la de trás para diante

12321 ..... aaaaaaS nnn ++++++= −−

Somando membro a membro as duas igualdades resulta

( ) ( ) ( ) ( 123121 .......2 aaaaaaaaS nnnn ++++++++= −− )

)

. Como, a soma de termos

eqüidistantes dos extremos é sempre igual, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( nnnnn aanaaaaaaaa +=++++++++ −− 1123121 ....... . Logo

( )2

1 naaS n+

= que é a fórmula buscada.

Vamos agora usar as imagens que fazem essa dedução se tornar ainda mais simples e

convincente.

Podemos representar os termos da P.A. como pequenas barras que vão crescendo a

razão constante, como no desenho abaixo:

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

Para efetuar a soma vamos usar o mesmo artifício que usou Gauss. Tomaremos duas

dessas “escadas” sendo que uma estará invertida, e vamos uni-las formando um

retângulo. Constatamos o que já tinha sido observado por Gauss, que as soma dos

termos são todas iguais .....536271 =+=+=+ aaaaaa

2a4a 3a 1a7a 6a 5a


1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

Portanto podemos escrever que ( )

27.

2 71 aaS

+=

( )

. Como esse procedimento é sempre

possível para um número finito de termos, generalizamos a fórmula acima para o caso

de n qualquer e então 2

1 naaS n+

= .

Conclusão

Em turmas onde tentamos deduzir a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma

P.A. sem a utilização do recurso da imagem, mas usando a mesma idéia usada pelo

garoto Gauss, observamos que nossos alunos ficavam inseguros quando fazíamos a

generalização do processo. O principal argumento que os alunos apresentavam para por

em dúvida a fórmula resultante da generalização, era o fato de que Gauss somara 100

termos de uma P.A. e, portanto, um número par de termos, mas se o número de termos

fosse ímpar, como proceder?. O recurso da imagem deixa claro que não importa quantos

termos estamos somando e não deixa dúvidas sobre o fato de que os termos

eqüidistantes dos extremos têm soma igual. Nas turmas onde as imagens das “escadas”

invertidas foram usadas, os alunos não tiveram qualquer dúvida e descobriram mais do

que isso, descobriram que não precisavam decorar uma fórmula para a soma.


ANEXO II

Multiplicação de Números Relativos através de Homotetia

Maria Ignez Rocha David

Objetivo: conceituar produto de números relativos através da composição de homotetias.

As demonstrações ou mesmo outros argumentos que justificam as regras de sinais

para o produto de números relativos, para a maioria dos alunos de 6ª série, são muito

abstratos, sem significado. Trabalhando com a composição de homotetias, os alunos

estabelecem tais regras de forma conclusiva, observando as figuras construídas. Em

futuras discussões, o professor rapidamente retoma as regras concluídas, pois as imagens

são facilmente resgatadas da memória dos alunos.

I) HOMOTETIAS

A transformação denominada homotetia possui um ponto fixo, que também se

chama centro da homotetia, e um número pelo qual se multiplica a distância de cada

ponto a esse centro. Esse número é dito razão da homotetia.

Para encontrar a figura transformada, liga-se cada ponto da figura dada ao ponto fixo e

marca-se, a partir desse centro, a nova distância, resultado da multiplicação da distância

inicial pela razão.

OBS: O centro, cada ponto inicial e seu transformado encontram-se sobre uma mesma

reta.

ATIVIDADES

1) a) Desenhe uma bandeirinha e escolha fora dela um ponto que será o centro da

homotetia.

b) Encontre a nova localização dos vértices, multiplicando por 2 as distâncias.

c) Desenhe a nova figura.


OBS: chame de A, B, C, ... os pontos da figura inicial e de A’, B’, C’, ... os novos

pontos.

2) Faça para a figura abaixo a homotetia pedida:

O Ponto fixo / razão: 3/5

II) COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS DE MESMO CENTRO ( 1ª Parte )

A cada figura aplique a composição de homotetias proposta pelo esquema e

encontre a razão da homotetia que leva diretamente a primeira figura à última. Você

deve colorir cada figura encontrada de uma cor diferente.


x 2 x 2/3

2) FIG ABCDE FIG A’B’C’D’E’ FIG A”B”C”D”E”

R = 4/3

III) HOMOTETIA DE RAZÃO NEGATIVA

1) Desenhe um triângulo qualquer no centro desta folha, com base paralela ao seu

rodapé e um ponto P no prolongamento desta base, situado a 2 cm do vértice


direito do triângulo. Este ponto será o centro das homotetias. Chame o triângulo

de figura 1.

a) Efetue uma homotetia de razão 2 sobre a figura 1, encontrando a figura 2.

b) Efetue uma homotetia de razão – 2 sobre a figura 1, encontrando a figura 3.

IV) COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS DE MESMO CENTRO ( 2ª Parte)

1) Efetue as composições de homotetias de acordo com os esquemas dados.

Determine também a razão da homotetia que leva diretamente a primeira figura à

última.

a) Fig ABC --- x 2 Fig A”B”C” --- x(-3) Fig A”B”C”

-- x ( - 6 )

C’


b) Fig ABCDE -- x (-1) Fig A’B’C’D’E’ -- x (-1/2) Fig A”B”C”D”E”

-- x ( 1/2 )

B’


ANEXO III

Estereótipo em Geometria

José Antonio Novaes e Esequiel Rodrigues Oliveira

Em uma rápida pesquisa nos livros didáticos (aproximadamente 20 títulos) de

matemática usados atualmente nas instituições de ensino fundamental dos municípios

do Rio de Janeiro e de Duque de Caxias, constatamos que um dos “nós” do ensino de

geometria pode estar relacionados ao uso de imagens estereotipadas9 (figuras) de

conceitos geométricos. O objetivo deste relato é apresentar alguns casos que tipificam a

afirmação aqui feita e sustentam uma proposta de investigação do papel da imagem na

construção de conceitos geométricos em geral e de conceitos inclusivos, em particular.

A observação preliminar do material reunido permite listar algumas abordagens

visuais restritivas comuns à maioria dos títulos.

1. quando se fala em paralelogramo esta é a figura que aparece com maior

freqüência:

Entendemos que apesar da definição escrita – quadrilátero que possui dois pares de

lados paralelos – estar correta, a imagem focalizada e apreendida pelo leitor é de apenas

uma das possibilidades de aplicação do conceito. Perde-se, nesse caso, a oportunidade

de fazer a abordagem plena do conceito em duas linguagens, a verbal e a visual. Todas

as figuras abaixo incluem-se na definição de paralelogramo:

9 Segundo Aparici (1992 p. 274) “Um estereótipo consiste em associar um nome (marca, conceito, partido etc.) a uma expressão ou uma imagem que após um certo número de repetições é imediatamente evocada pela pessoa que escuta ou lê o nome”.


losango-não-quadrado quadrado retângulo-não-quadrado

Observe-se que as duas primeiras imagens referem-se a paralelogramos com

características particulares (ângulos retos e lados congruentes), que são reunidas no

terceiro. No entanto, no material analisado foi observada a freqüência com que os

conceitos do retângulo e do losango deixam de ser ilustrados com a forma quadrada.

2. nos livros das séries iniciais os únicos polígonos representados foram os

regulares. Enquanto que a maioria dos objetos possuem a forma poligonal

irregular. As mesas quando poligonais possuem tampos retangulares, as asas

delta são polígonos apresentam uma forma de quadrilátero que raramente é

utilizada como exemplo. Destaque-se que nessa fase do ensino, onde não se

discute as propriedades dos polígonos a imagem assume papel preponderante na

apropriação intuitiva dos conceitos.

3. o terceiro aspecto que merece destaque é a posição com que se apresentam as

imagens. Em geral os retângulos são apoiados horizontalmente num dos lados e

os losangos sobre um vértice. Tal escolha tem provocado equívocos conceituais

como a identificação de um quadrado apoiado sobre o vértice (apenas) como

losango, por exemplo.


Tais equívocos são freqüentes entre alunos e professores das séries iniciais do

ensino fundamental. Desde 1995 vimos atuando em cursos de formação continuada para

professores das séries iniciais das redes municipais e estadual do Estado do Rio de

Janeiro. Em geral ao pegar um papel quadrado e mudá-lo de posição, a professora muda

também o seu nome. E reage com surpresa à informação de que a mudança de posição

não muda as características da forma poligonal. Todavia os equívocos e as restrições

conceituais decorrentes de imagens estereotipadas não são uma particularidade do

cotidiano das séries iniciais do ensino fundamental.

Nas turmas de formação de professores (Licenciatura em matemática), ao

ministrar a disciplina de Prática de Ensino, é curioso observar que as respostas dos

licenciandos a uma atividade em que se pede a montagem de um paralelogramo com

três peças de um tangram é significativamente estereotipada. Jamais foram

representados quadrados ou retângulo em (6) turmas diferentes. Este comportamento vai

ao encontro da abordagem de Ariri (1992) que afirma que as imagens estereotipadas

oferecem ao indivíduo uma série de conceitos que servem de tábua de valores que

permitem realizar uma série de construções mentais que se caracterizam por ser

facilmente manipuláveis. Desse modo entendemos que a base das operações mentais

mobilizadas para resolver o problema proposto é a imagem estereotipada do

paralelogramo.

Pelo aqui exposto entendemos que o estudo cuidadoso sobre as implicações desses

estereótipos nos livros didáticos bem como na prática docente do ensino de geometria

faz-se necessário e urgente. É com este objetivo que se inicia a pesquisa apresentada

neste relato.


ANEXO IV

A Imagem no Estudo da Área do Círculo – Revisão Bibliográfica

Pesquisando vários livros didáticos de matemática do Ensino Fundamental pudemos

perceber como a dedução da área do círculo se modificou ao longo dos anos. No início,

a demonstração tinha um caráter extremamente algébrico e dedutivo através do

encadeamento lógico de conceitos e técnicas já dominados anteriormente pelo aluno. Ao

longo do tempo essas deduções começaram a ganhar um misto de encadeamento lógico

e imagem, chegando agora na sua maioria, com um forte apelo ao recurso da imagem. O

objetivo desta revisão é mostrar a evolução na forma de demonstrar tal conceito ao

longo dos anos, utilizando trechos selecionados de alguns livros didáticos que

apresentam diferentes abordagens da questão, em edições dos últimos dezoito anos. Ao

final serão tecidas algumas considerações sobre o material analisado.

1ª abordagem: Quintela, A. ed. Companhia Editora Nacional, 1966; pág 181.

“Área do círculo:

Chama-se área do círculo o limite para o qual tendem as áreas dos

polígonos regulares, convexos, inscritos, quando o nº de

lados cresce indefinidamente. Seja S a área de um círculo de raio r e C, o

comprimento da circunferência do mesmo círculo (figura abaixo)

o

ar

Representemos por S´, p e a, o semi-perímetro e o apótema de um

polígono regular, convexo, inscrito, teremos:

S ´ = p x a. Se dobrarmos indefinidamente o nº de lados, o perímetro do polígono terá

por limite o comprimento da circunferência, o apótema a tenderá para o raio

r, e a área será, por definição, o limite de S´; assim, teremos:


r2C

×=S

Conclui-se:

A área do círculo tem por medida o produto do comprimento da

semicircunferência pelo raio”

2ª abordagem: Fernandes, A. Matemática; Companhia Editora Nacional, 1975; pág 168

“Área do círculo:

A área do círculo é o limite para o qual tende a área do polígono regular

inscrito cujo número de lados cresce indefinidamente.

O apótema do polígono tende para o raio. Assim, a área do círculo será dada

por

S = p.a

Lembrando que o comprimento da circunferência é C = 2p = 2πr, vem:

P = πr

Como a = r, teremos:

S = πr . r ⇒ S = π r2

Isto é, a área do círculo é igual ao produto da medida da semicircunferência

pela medida do raio”.

3ª abordagem: Pierro, Neto Di S. Matemática: Conceito e Operações; Editora

Saraiva, 1982; pág 178.

“Área do Círculo

Do mesmo modo como procedemos com a circunferência do item

anterior, consideremos um círculo de raio r e centro O e vamos dividir a

circunferência do mesmo em pequenos arcos que determinam, pelos

pontos de divisão, pequenas cordas. Obtemos, assim, um polígono

regular, cujo apótema é a.


A área desse polígono é o produto do semiperímetro pelo apótema.

A = p.a onde p é o semiperímetro e a é o apótema

Entretanto, quando se aumenta indefinidamente o número de pontos

de divisão da circunferência, o polígono se aproxima cada vez mais do

círculo e o perímetro do polígono aproxima-se do comprimento dessa

circunferência. Do mesmo modo, o apótema a será aproximadamente

igual ao próprio raio do círculo. Desse modo, chamando de n o número de

lados do polígono regular inscrito, teremos, quando n crescer

indefinidamente:

A = p.a ≅ p.r ( ≅ está significando “aproximadamente igual a”)

Onde p será o semiperímetro da circunferência, ou seja:

A = r.2

r2π = π r2 A = π r2” .

4ª abordagem: Mori, Iracema , Onaga, S. Dulce. Matemática: Idéias e Desafios.

Ed. Saraiva, 1996. pág 210.

“Área de Círculo

Desenhando um quadrado inscrito numa circunferência e em seguida um

octógono regular, obteve-se esta figura. Faça um desenho parecido com este,

mas continue desenhando polígonos regulares inscritos: 16 lados, 32 lados

...

Compare a área desses polígonos com a área deste círculo. O que se pode

dizer?


Agora observe o que ocorre quando aumentamos o números de lados dos

polígonos inscritos numa circunferência de raio r.

a

4

a 8

a 6

As áreas dos

polígonos vão

se aproximando

da área do

• Os perímetros dos polígonos aproximam-se do comprimento da

circunferência:

Perímetro ≅ 2π r p = 2

perímetro ≅ π r

• Os apótemas dos polígonos aproximam-se do raio da

circunferência:

a ≅ r

• As áreas dos polígonos aproximam-se da área do círculo:

(área do polígono) = p.a

(área do polígono ) ≅ π r . r → ( área do círculo ) = π r2”


5a abordagem: Silveira, Ênio e Marques, Cláudio. Matemática. 8a série: Ed. Moderna,

1995.

6a abordagem: GiovannI, R, José ; Castrucci, B; Giovanni, Jr, R. José. A Conquista da

Matemática: Ed. FTD, 1998. pág 271




7a abordagem : Dante, R. Luiz ; Tudo é Matemática: Ed.Ática. 2002. pág 213-215

Anais do VIII – Comunicação Científica GT 09 - Processos Cognitivos e Lingüísticos na Educação Matemática

26

Anais do VIII – Comunicação Científica

27 GT 09 - Processos Cognitivos e Lingüísticos na Educação Matemática



Considerações Finais

As três primeiras abordagens possuem as mesmas características – apóiam-se

basicamente no texto verbal –, sendo que na terceira, a nosso ver, o autor mostra com mais

clareza a idéia de limite. Mesmo nesta, somente uma (ou mais) leitura atenta de trechos

como o trânscrito abaixo, possibilita a percepção do conceito: “O polígono se aproxima

cada vez mais do círculo), o apótema a se aproxima do raio e o perímetro do polígono s e

aproxima do comprimento dessa circunferência.”10(Quintela,: 1996, p. 181)

Observando, ainda, as três abordagens iniciais, verifica-se que apenas a primeira

apresenta a figura de um octógono inscrito numa circunferência, embora o autor não faça a

ela referência alguma.

A quarta abordagem já apresenta um contexto que possibilita a interação: aluno-

leitor, texto e figura. A seqüência de polígonos inscritos num mesmo círculo facilita a

concepção da idéia de limite. Além disso, é usado o recurso da ilustração da fala de um

“personagem” possivelmente com a intenção de provocar reflexão a partir da relação texto-

figura.

Na quinta abordagem a figura passa a ser dominante na demonstração, ou seja, esta

fica totalmente calcada na figura. O autor usa a divisão do círculo em partes iguais e as

arruma num retângulo. É importante ressaltar que nessa demonstração a idéia de limite não

foi trabalhada e nem se faz referência ao fato de que essas partes são na realidade setores

circulares. Despreza-se o arco, considerando-o como um segmento que formará o lado de

um retângulo, sendo o outro, o apótema.

Na sexta abordagem o autor mostra a mesma seqüência de polígonos inscritos como

no quarto exemplo. Mais adiante mostra, como curiosidade, o cálculo da área do círculo.

Para isso usa o círculo dividido em partes iguais, com as metades coloridas – azul e

amarelo – e faz o encaixe dessas cores formando um paralelogramo oblíquo (mas o nomeia

retângulo). Usa também as partes iguais deixando os arcos aparecerem, como no exemplo

anterior, mas não faz nenhuma menção ao conceito de limite deixando que o aluno-leitor

calcule a área. A abordagem em forma de curiosidade, a nosso ver, por si só deduz a

fórmula. Mesmo sem que se faça alusão ao conceito de limite.

10 Entendemos que se queria dizer: área do polígono se aproxima da área do círculo.


Na última abordagem o autor faz três comentários distintos com auxílio de imagens,

a fim de fundamentar o estudo da área do círculo: (a) calcula o valor da área do círculo

usando um quadriculado e compara o valor aproximado com o obtido pela fórmula da área

do círculo usada para π = 3,1; (b) mostra que a área do círculo está entre a área do quadrado

inscrito e circunscrito à um mesmo círculo, daí conclui que a área do círculo é obtida pelo

produto de um número próximo de 3 e r2; (c) usa a divisão do círculo em partes iguais, às

quais chama de setores, organiza-as num paralelogramo e não deixa de falar no conceito de

limite. Este exemplo utiliza fartamente o texto visual, apesar de restringir-se, como todos os

outros, a imagens lógico-matemáticas. Em nenhum caso se verifica a apropriação de

imagens narrativas.

As considerações aqui feitas têm como referência um juízo preliminar do potencial

da imagem na construção de conceitos matemáticos em geral e de área do círculo em

particular. Porém avaliações sobre níveis de eficácia dos diferentes tipos textos visuais e/ou

materiais didáticos serão objeto de investigação em etapas posteriores da pesquisa.

Palavras-Chave

1. linguagem, 2. leitura de imagem, 3. formação de professores.

7. BIBLIOGRAFIA:

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SUB-PROJETO DE PESQUISA: IMAGEM MATEMÁTICA · delimitar o espaço da reflexão, uma vez que trataremos de Signos Visuais. Termo que doravante será utilizado especificamente para