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Sumário
1.TRIGONOMETRIA .......................................................................................... 1
2.RELAÇÃO DE EULLER ................................................................................. 6
3.ANÁLISE COMBINATÓRIA ........................................................................... 7
4. GEOMETRIA ANÁLITICA ............................................................................. 7
5.GEOMETRIA PLANA ..................................................................................... 8
6. FRAÇÕES .................................................................................................... 10
7.MÉDIA, MEDIANA E MODA ......................................................................... 13
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 21
3
1. Trigonometria
02. (UFC) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno do ângulo
BÂC é:
a) 12/13
b) 11/13
c) 10/13
d) 6/13
e) 1/13
03. (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância entre M e N é, aproximadamente,
a) 4,2 m
b) 4,5 m
c) 5,9 m
d) 6,5 m
e) 8,5 m
4
04. (UNESP) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a
uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em
relação ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista
levou para percorrer completamente a rampa é
a) 2,5.
b) 7,5.
c) 10.
d) 15.
e) 30.
05. (UEM) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um
aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos = 30°
e = 60° e a medida do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura.
Nessas condições, a altura da torre é:
a) 15 m
b) 17,5 m
c) 20 m
d) 22,5 m
e) 25 m
5
06. ENEM (2013)
6
2.Relação de Euller
V+F=A+2
7) (UNAES) Um poliedro convexo é formado por 4 faces quadrangulares, 4 faces
triangulares e 3 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é igual a:
a) 11.
b) 15.
c) 14.
d) 33.
e) 46.
8) (CESGRANRIO) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
9) (PUCCAMP) Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que APENAS
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
7
3.ANÁLISE COMBINATÓRIA
10) A soma do número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra
AMOR com o número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra PAZ
é um número:
a) 7!
b) ímpar
c) primo
d) múltiplo de 6
e) divisível por 9
4.GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
𝒅𝑨𝑩 = √(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨)𝟐 + (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨)
𝟐
PONTO MÉDIO
𝑿𝑴 =𝑿𝑨 + 𝑿𝑩
𝟐
𝒀𝑴 =𝒀𝑨 + 𝒀𝑩
𝟐
11) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes: a) 1º e 2º b) 2º e 3º c) 3º e 2º d) 4º e 2º
e) 3º e 4º
12) A distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, √8 ) é:
a) √7 b) 3 c) 2
d) 2 √7
8
e) 5
13) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O
comprimento da mediana AM é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
e) 7
5.GEOMETRIA PLANA
14) Desejo cimentar um terreno retangular de 35 metros de frente por 62 metros de
fundo. No centro desse terreno vai ser construída uma piscina quadrada de 15 metros
de lado. Calcule quantos sacos de cimento serão utilizados, sabendo-se que com uma
saca cimenta-se 5m2.
a) 289
b) 389
c) 189
d) 89
e) 489 SISTEMAS LINEARES
15) A solução do sistemas {
2𝑥 − 𝑧 = 05𝑥 + 2𝑦 = −11𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
a) (1, -2, -3) b) (3, -1, 2) c) (-1, -3, -2) d) (1, 0, -2)
16)
a) 0,2 b) 1,2 c) 1,4 d) 12,9 e) 64,8
9
17)
a) Cilindro, Prisma de base pentagonal e
Pirâmide.
b) Cone, Prisma de base pentagonal e
Pirâmide.
c) Cone, Tronco de Pirâmide e Pirâmide.
d) Cilindro, tronco de Pirâmide e Prisma.
e) Cilindro, Prisma e Tronco de Cone.
18)
a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31
19)
10
6. Frações
20) Enem 2016
Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos
públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico
do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente.
Entretanto, com o sanciona mento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou
divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão
de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário
público, a pena sofrerá um aumento de 1/3
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de
reclusão poderá variar de
A 4 a 16 meses.
B 16 a 52 meses.
C 16 a 64 meses.
D 24 a 60 meses.
E 28 a 64 meses.
21) Enem 2016
Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação
da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes
medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos
de 1/2, 3/8 e 5/4.
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos
A) 1/2, 3/8, 5/4
B) 1/2, 5/4, 3/8
C) 3/8, 1/2, 5/4
D) 3/8, 5/4, 1/2
E) 5/4, 1/2, 3/8
22) Enem 2015-
No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para
motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho
modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador
recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta
a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente
àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue
o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa as cartas da mão de
um jogador são como no esquema:
11
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um
par com a carta da mesa?
A 9
B 7
C 5
D 4
E 3
23) Enem 2013
Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista
do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não
foram vendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao
total de cadeiras desse mesmo setor é
A) 17/70
B) 17/53
C) 53/70
D) 53/17
E) 70/17
24) Enem 2016
Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos
públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico
do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente.
Entretanto, com o sanciona mento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou
divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão
de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário
público, a pena sofrerá um aumento de 1/3
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de
reclusão poderá variar de
A 4 a 16 meses.
B 16 a 52 meses.
C 16 a 64 meses.
D 24 a 60 meses.
E 28 a 64 meses.
12
25) Enem 2016
Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação
da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes
medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos
de 1/2, 3/8 e 5/4.
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos
A) 1/2, 3/8, 5/4
B) 1/2, 5/4, 3/8
C) 3/8, 1/2, 5/4
D) 3/8, 5/4, 1/2
E) 5/4, 1/2, 3/8
26) Enem 2015
No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para
motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho
modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador
recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta
a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente
àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue
o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de
um jogador são como no esquema:
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um
par com a carta da mesa?
A 9
B 7
C 5
D 4
E 3
27) Enem 2013
Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do
setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não
foram vendidas.
13
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao
total de cadeiras desse mesmo setor é
A) 17/70
B) 17/53
C) 53/70
D) 53/17
E) 70/17
7.Média, Mediana e Moda
28) Enem 2016
Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em
um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A
quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.
Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da
mediana do número de erros.
A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a
A 2,0.
B 2,5.
C 3,0.
14
D 3,5.
E 4,0.
29) Enem 2016
Um vendedor de assinaturas de TV a cabo teve, nos 7 primeiros meses do ano, uma
média mensal de 84 assinaturas vendidas. Devido a uma reestruturação da empresa,
foi exigido que todos os vendedores tivessem, ao final do ano, uma média mensal de 99
assinaturas vendidas. Diante disso, o vendedor se viu forçado a aumentar sua média
mensal de vendas nos 5 meses restantes do ano.
Qual deverá ser a média mensal de vendas do vendedor, nos próximos 5 meses, para
que ele possa cumprir a exigência da sua empresa?
a) 91
b) 105
c) 114
d) 118
e) 120
30) Enem 2016
O gráfico mostra a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris,
no período de 2004 a 2010. Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de
produção diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos três
últimos anos apresentados no gráfico.
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
Se a estimativa tivesse sido confirmada, a estimativa média de produção diária de
petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido igual a
a) 1,940.
b) 2,134.
c) 2,167.
d) 2,420.
e) 6,402.
15
31) Enem 2016
O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de
combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-
Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três
“pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta
deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As
informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais
deles se enfrentariam na primeira luta.
A primeira luta foi entre os atletas
a) I e III.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
32) Enem 2016
Preocupada com seus resultados, uma empresa fez um balanço dos lucros obtidos nos
últimos sete meses, conforme dados do quadro.
Avaliando os resultados, o conselho diretor da empresa decidiu comprar, nos dois
meses subsequentes, a mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês em que
o lucro mais se aproximou da média dos lucros mensais dessa empresa nesse período
de sete meses.
Nos próximos dois meses, essa empresa deverá comprar a mesma quantidade de
matéria-prima comprada no mês
A I.
B II.
C IV.
D V.
E VII.
16
33) Enem 2016
Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou
consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação
contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os
moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue.
A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade.
A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados:
I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a
média dos casos confirmados.
II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual
à média dos casos confirmados.
Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?
a) 59
b) 65
c) 68
d) 71
e) 80
34) Enem 2016
A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no
semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a
média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário,
ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa
empresa, de janeiro a maio do ano em curso.
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para
o gerente continuar no cargo no próximo semestre?
a) 26 b) 29 c) 30 d) 31 e) 35
17
35) Enem 2016
Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela
nos últimos cinco meses:
• 1º mês: 21;
• 2º mês: 22;
• 3º mês: 25;
• 4º mês: 31;
• 5º mês: 21.
No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela
em estoque. A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no
início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos
meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas
aplicadas nos últimos cinco meses.
Para atender essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o
posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é
a) 156. b) 180. c) 192. d) 264.
e) 288.
36) Enem 2016
Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que
entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares
do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante
a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar
do edifício.
Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a
subida do térreo ao quinto andar?
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
18
37) Enem 2015
Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação
de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece
à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior
pontuação na quinta etapa.
A ordem de classificação final desse concurso é
A A, B, C, E, D.
B B, A, C, E, D.
C C, B, E, A, D.
D C, B, E, D, A.
E E, C, D, B, A.
38) Enem 2015
Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os
atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:
A mediana dos tempos apresentados no quadro é
A 20,70.
B 20,77.
C 20,80.
D 20,85.
E 20,90.
39) Enem 2015
Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou as idades
dos entrevistados e organizou esses dados em um gráfico
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?
A 9
B 12
C 13
D 15
E 21
19
40) Enem 2015
Cinco amigos marcaram uma viagem à praia em dezembro. Para economizar,
combinaram de ir num único carro. Cada amigo anotou quantos quilômetros seu carro
fez, em média, por litro de gasolina, nos meses de setembro, outubro e novembro. Ao
final desse trimestre, calcularam a média dos três valores obtidos para escolherem o
carro mais econômico, ou seja, o que teve a maior média. Os dados estão
representados na tabela:
Qual carro os amigos deverão escolher para a viagem?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
41) Enem 2014
Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes
para verificar qual o mais adequado para a produção de um determinado produto. Cada
série consiste em avaliar um dado reagente em cinco experimentos diferentes. O
pesquisador está especialmente interessado naquele reagente que apresentar a maior
quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média encontrada para
aquele reagente. Após a realização de cinco séries de experimentos, o pesquisador
encontrou os seguintes resultados:
Levando-se em consideração os experimentos feitos, o reagente que atende às
expectativas do pesquisador é o
A) 1.
B) 2.
C) 3.
20
D) 4.
E) 5.
42) Enem 2014
Ao final de uma competição de ciências de uma escola, restaram apenas três
candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior
média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física,
considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números
inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química.
No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em
ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a
competição é
A) 18.
B) 19.
C) 22.
D) 25.
E) 26.
43) Enem 2014
Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma
empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela
apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana
das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será
A) K.
B) L.
C) M.
D) N.
E) P.
21
44) Enem 2014
Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes
relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as
numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico dos sapatos com
o intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda
desses dados anotados pelos donos.
Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número
0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns
é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior
número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais
vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não
serão mais encomendados os sapatos de cor
A) branca e os de número 38.
B) branca e os de número 37.
C) branca e os de número 36.
D) preta e os de número 38.
E) preta e os de número 37.
8. CONSIDERÇÃO FINAL
Material produzido com muito carinho para meus alunos queridos, que irá
precisar para uma boa didática Matemática durante o ano de 2017.
Apostila selecionada para um ótimo aproveitamento dos conteúdos que iremos
discutir em sala de aula, na nossa querida ETEC ÂNGELO CAVALHEIRO, que
muito nos ensina, sermos cidadãos de bem e de muita sabedoria para conquistar
horizontes ainda não explorados.
Como Professor de vocês quero que leve esta apostila com muito carinho
durante este ano, que será para alguns ainda uma caminhada e para outros um
início de um novo ciclo ao final deste ano.
Quero agradecer todos por fazer parte deste meu sonho, que hoje posso acordar
e não mais me perguntar, será que foi um sonho apenas?
Sejam todos perseverantes não só em matemática mais em todos os conteúdos,
não desistindo nunca. Faça de cada dia o último dia viveremos sempre
intensamente, pois Deus nos permite o livre arbítrio para podermos conquistar
22
aquilo que mais almejamos, deixe este ser supremo ser dono de suas escolhas
entregue tudo a Deus meus meninos que elas serão felizes para sempre.
Aproveitem esta fase vocês merecem.
