Sumário

Questão 1 (Assunto: Equações; Movimento retilíneo e uniforme) ............................................2

Questão 2 (Assunto: Ponto médio) ..........................................................................................3

Questão 3 (Assunto: Polinômios; Operações)..........................................................................4

Questão 4 (Assunto: Conjuntos numéricos) .............................................................................5

Questão 5 (Assunto: Expressões algébricas)...........................................................................5

Questão 6 (Assunto: Polinômio de 1o grau) .............................................................................6

Questão 7 (Assunto: Tratamento de informação; Gráficos)......................................................6

Questão 8 (Assunto: Polinômio de 1o grau) .............................................................................8

Questão 9 (Assunto: Ângulos entre retas concorrentes) ..........................................................9

Questão 10 (Assunto: Ângulos) ............................................................................................. 10

Questão 11 (Assunto: Expressões algébricas inteiras) .......................................................... 10

Questão 12 (Assunto: Operações com polinômios) ............................................................... 11

Questão 13 (Assunto: Conjunto dos números racionais) ....................................................... 12

Questão 14 (Assunto: Conjunto dos números racionais; Dízimas periódicas) ........................ 13

Questão 15 (Assunto: Ângulos) ............................................................................................. 14

Questão 16 (Assunto: Triângulos; Ângulos internos) ............................................................. 15

Questão 17 (Assunto: Polinômios) ......................................................................................... 16

Questão 18 (Assunto: Linguagem algébrica) ......................................................................... 16

Questão 19 (Assunto: Noções de conjuntos) ......................................................................... 16

Questão 20 (Assunto: Ângulos suplementares; Triângulos) ................................................... 17

Questão 21 (Assunto: Semelhança de triângulos) ................................................................. 18

Questão 22 (Assunto: Contagem; Princípio multiplicativo) ..................................................... 19

Questão 23 (Assunto: Polígonos regulares e áreas) .............................................................. 19

Questão 24 (Assunto: Prismas) ............................................................................................. 20

Questão 25 (Assunto: Ângulos) ............................................................................................. 21

Questão 26 (Assunto: Teorema de Pitágoras) ....................................................................... 22

Questão 27 (Assunto: Sistemas de equações) ...................................................................... 22

Questão 28 (Assunto: Contagem; Princípio multiplicativo) ..................................................... 23

Questão 1 (Assunto: Equações; Movimento retilíneo e uniforme)

A álgebra e a previsão do tempo

<www.saisp.br>.

Uma das principais funções dos meteorologistas é prever o tempo.

Os meteorologistas também estudam como as nuvens se formam, a poluição atmosférica, a

camada de ozônio e as variações climáticas em um ecossistema.

Para prever o tempo usam modelos matemáticos, fórmulas, que envolvem o conhecimento

de dados e de conceitos numéricos para representar a atmosfera.

A figura é uma imagem da Região Metropolitana de São Paulo, de um radar meteorológico

localizado em Salesópolis, SP.

O vento em altos níveis da atmosfera é de oeste com velocidade (c ) constante de 5 m/s (metros

por segundo).

Nesta questão, você fará a previsão da localidade de uma nuvem Cb (Cumulunimbus), que

provoca chuva e ventos torrenciais principalmente na estação de verão na capital.

A nuvem Cb está a uma distância de 1.500 m do centro. Em quantos minutos estará chovendo

no centro?

Para a resolução desta questão use o modelo matemático:

xc

t

Em que: x= distância t= tempo c= velocidade

Gabarito

1.5005

t

1.500 = 5t

1.500 : 5 = t

300 = t (tempo)

t = 300 s

Convertendo para minutos, temos:

300 : 60 = 5 minutos

A questão tem por objetivo avaliar a capacidade de leitura e interpretação do aluno, assim como a

capacidade de calcular o valor numérico de uma expressão quando são dados sua fórmula e seus

valores.

O aluno mediano talvez não faça a transformação de segundos para minutos. Cabe ao professor decidir

se vale a pena considerar apenas as substituições feitas. Já o aluno acima da média não só fará a

transformação necessária como também as substituições e os cálculos corretamente.

Questão 2 (Assunto: Ponto médio)

Três cidades podem ser representadas pelos pontos A, B e C, colocados nessa ordem sobre

uma linha reta. Sabe-se que:

• existe uma cidade M situada na metade do percurso da cidade A até a cidade B;

• existe uma cidade N situada na metade do percurso da cidade B até a cidade C;

• a distância entre as duas cidades mais afastadas é igual a 500 km.

a) Faça uma figura para representar essa situação.

b) Qual é a distância entre as cidades M e N?

c) É possível determinar a distância entre as cidades A e M? Em caso afirmativo, escreva

qual é o valor numérico que representa essa distância? Em caso negativo, justifique sua

resposta.

Gabarito

a)

b) 2x + 2y = 500 → x + y = 250

A distância entre as cidades M e N é dada por x + y.

c) Não é possível determinar a distância entre as cidades A e M.

Representamos algebricamente esta distância por x, mas faltam dados no problema para determinar

o valor numérico de x.

Observe que não é dito no enunciado que o ponto B é ponto médio do segmento AC; dessa forma,

não é correto afirmar que AB = BC. Logo, na figura do aluno já é possível perceber se houve esse

erro: fez as mesmas marcas de congruência nos quatro segmentos ou marcou o valor 125 em todos

os segmentos. As duas coisas tornam errada a resolução da questão.

Uma solução bastante elegante é fazer: MN = 500

2 = 250 km. Porém, para ser considerada certa,

é necessário que o aluno não cometa os erros descritos.

Alegar que a resposta do item b está correta não é justificativa para que o aluno receba certo nesse

item. O mais importante nesta questão é o raciocínio adequado e não a resposta em si.

Do aluno acima da média, espera-se que acerte todos os itens; do aluno mediano, ao menos os

itens a e b.

Questão 3 (Assunto: Polinômios; Operações)

Dividindo-se um polinômio P por x2 – 1, vamos obter quociente x + 2 e resto x – 3.

Qual é o resto da divisão do polinômio P por x – 2?

Gabarito

2

2

3 2

3 2

3 5

( 2)( 1) ( 3)

2 2 3

2 5

P x

x x x

x x x x

P x x

3 2

3

: ( 2)

( 2 5) : ( 2)

P x

x x x

x 2

3

2 0 5 2

(

x x x

x 2 2

2

2 ) 4 8

4

x x x

x

2

0 5

( 4

x

x 8 )

8 5

(8 16)

11

x

x

x

O resto da divisão é 11.

A questão tem como objetivo avaliar a capacidade do aluno de interpretar a questão, relembrar os termos

de uma divisão e a operação inversa, que é o caminho da resolução.

O aluno mediano pode errar nos cálculos, apesar de ter compreendido que a operação inversa é o

caminho da resolução. O aluno acima da média conseguirá resolvê-la corretamente.

Questão 4 (Assunto: Conjuntos numéricos)

Na reta numérica abaixo, localize os números: 5 3

2,5; 0,666 ...; 0,8; ;4 2

Gabarito

Questão 5 (Assunto: Expressões algébricas)

Resolva a expressão a seguir.

1 1 1 2 1 1 3 10,33 ... 1 3 0,66 ...

2 3 2 5 3 3 5 5

Gabarito

1 1 1 2 1 1 3 10,33 ... 1 3 0,66 ...

2 3 2 5 3 3 5 5

1 1 1 1 6 5 2 1 11 3

2 3 3 2 15 3 5 5

1 1 1 2 1 11 3

2 2 15 3 5 5

1 1 10 3 11 3

2 30 15 5

1 901

2

1 7 1

30 30 15 5

1 89 7 11

2 30 15 5

1 30 89 14 1

2 30 5

1 133 1

2 30 5

1 133 1 15 133 6 142 71

2 30 5 30 30 15

Questão 6 (Assunto: Polinômio de 1o grau)

Os grilos

A partir de pesquisas com grilos, notou-se que a quantidade de cricrilares está associada à

temperatura. Dessa maneira, as grandezas temperatura e cricrilares foram relacionadas

segundo uma expressão algébrica do tipo: n = 7t – 30, em que n indica a quantidade de

cricrilares por minuto; e t, a temperatura em graus Celsius.

Edwald Bianchini e Herval Accola. Curso de Matemática. 3 ed. São Paulo: Moderna. p. 89.

Determine a quantidade de cricrilares de um grilo por minuto se a temperatura em que ele

estiver for de 30 ºC.

Gabarito

n = 7t 30

n = 210 30

n = 180 180 cricrilares por minuto.

Questão 7 (Assunto: Tratamento de informação; Gráficos)

Luciano saiu de casa com R$ 140,00, comprou um fichário de R$ 30,00 e outros itens de

papelaria que o fizeram gastar mais R$ 20,00. Passou na casa de um amigo e pagou uma

dívida de R$ 30,00. Em seguida, comprou um ursinho de pelúcia de R$ 60,00 para a namorada

Vaneska, que logo mais encontraria. Havia combinado de ir ao cinema com ela, mas percebeu

que o dinheiro tinha acabado. Sorte a dele que conhecia o moço que vendia os ingressos, ficou

de passar no dia seguinte para acertar os R$ 10,00 que ficou devendo.

Quando saiu do cinema, ouviu alguém o chamar, era seu amigo Halmer, que lhe entregou

R$ 20,00 que disse estar lhe devendo há tempos.

Antes de sair do shopping, Luciano pagou o cinema. Depois disso, convenceu Vaneska a ir

embora para casa. Ainda bem que ela aceitou... Depois de um dia como aquele, ele não podia

gastar mais nada!

a) Complete a tabela a seguir com as informações do texto.

Gastos e ganhos de Luciano em um dia

Gastos e ganhos Valor (em reais) Saldo (em reais)

Saldo inicial 140 140

Fichário 30 110

Outros itens de papelaria

Dívida com o amigo

Presente

Cinema

Pagamento de Halmer

b) Complete o gráfico a seguir.

Gabarito

a)

Gastos e ganhos de Luciano em um dia

Gastos e ganhos Valor (em reais) Saldo (em reais)

Saldo inicial 140 140

Fichário 30 110

Outros itens de papelaria 20 90

Dívida com o amigo 30 60

Presente 60 0

Cinema 10 –10

Pagamento de Halmer 20 10

b)

Questão 8 (Assunto: Polinômio de 1o grau)

Luciana, Simone e Kelry moram na mesma rua. A rua delas é tão retinha que é possível uma

ver a outra quando as três estão na calçada em frente as suas casas.

A distância entre a casa de Luciana e a casa de Kelry é o quíntuplo da distância entre a casa

de Kelry e a de Simone, e a distância entre a casa de Simone e a de Luciana é igual a 480

metros.

a) Sabendo que a casa de Luciana é a primeira da rua, faça um esboço para representar a

situação descrita.

b) Quais são as possíveis distâncias entre as casas de Kelry e Simone?

Gabarito

a) Vamos chamar de L, S e K os pontos que representam a casa das três amigas e usar uma reta para

representar a rua onde elas moram.

Assim, temos duas possibilidades:

1a possibilidade:

2a possibilidade:

b) 1a possibilidade:

5x x + 480

4x 480

x 120 m

2a possibilidade:

5x x 480

6x 480

x 80 m

As possíveis distâncias entre as casas de Kelry e Simone são: 120 m ou 80 m.

Questão 9 (Assunto: Ângulos entre retas concorrentes)

Determine a medida dos ângulos agudos formados em cada caso.

a)

b)

Gabarito

a) Observando a figura, temos:

2x + 60° + x + 30° = 180°

3x = 180° – 90°

3x = 90º

x = 30°

Portanto, temos como ângulos 30° + 30° = 60° e 2 · 30° + 60° = 60° + 60° = 120°. Como o exercício

pede a medida do ângulo agudo, a resposta é 60°.

b) Observando a figura, temos que os ângulos 3y + 40° e 5y + 30° são opostos pelo vértice; assim:

3y + 40° = 5y + 30°

3y – 5y = 30° – 40°

– 2y = – 10°

2y = 10°

y = 5°

Também podemos montar a seguinte equação para descobrirmos x:

2x + 60° + 5y + 30° = 180°

2x + 60° + 5 · 5° + 30° = 180°

2x + 90° + 25° = 180°

2x + 115° = 180°

2x = 180° – 115°

2x = 65°

x = 32,5°

Dessa maneira, os ângulos serão 2 · 32,5° + 60° = 125° e 3 · 5° + 40° = 55°.

Portanto, o ângulo agudo será 55°.

Questão 10 (Assunto: Ângulos)

Em relação à figura a seguir, responda:

a) Quais os valores de x e y?

b) Qual a medida do ângulo DÔB?

Gabarito

a) Como AÔB BÔC CÔD, temos que:

2x + 11° = 3x + 3°

2x – 3x = 3° – 11°

– x = – 8°

x = 8°

Dessa forma:

2x + 11° = y + 11°

2 · 8° = y

16° = y

b) A medida de DÔB será dada pela soma das medidas dos ângulos DÔC e CÔB, assim:

DÔB = 3x + 3° + y + 11°

DÔB = 3 · 8° + 16° + 14°

DÔB = 54°

Questão 11 (Assunto: Expressões algébricas inteiras)

Analise os passos a seguir.

1. Pense em um número.

2. Multiplique-o por dois.

3. Acrescente 10 ao resultado.

4. Divida por dois.

5. Subtraia o número que você pensou.

6. O resultado é cinco.

a) Verifique se os mesmos passos funcionam se o número pensado for zero.

b) Mostre também como funciona se o número pensado for x.

Gabarito

a) Executando os passos, temos:

1) 0

2) 2 · 0 = 0

3) 0 + 10 = 10

4) 10

2 = 5

5) 5 – 0 = 5

b) Se o número pensado for x, então:

1) x

2) 2 · x

3) 2x + 10

4) 2x 10

2 = x + 5

5) x + 5 – x = 5

Portanto, a brincadeira funciona independente do número pensado.

Questão 12 (Assunto: Operações com polinômios)

Em uma bela manhã de um domingo qualquer, Janjão começou a refletir sobre o conteúdo que

cairia em sua prova de Álgebra, os elegantes polinômios! Lembrou que certa vez seu professor

disse-lhe que aquela letra x, que tanto aparecia, era simplesmente um símbolo sem significado.

Foi então que teve a ideia de abandonar o pobre x e utilizar a seguinte notação:

• Para P(x) = 3 ele usaria a notação P = (3)

• Para H(x) = 2x + 1 ele usaria a notação H = (2;1)

• Para G(x) = 5x2 – 7x + 4 ele usaria G = (5; –7;4)

• Para I(x) = x3 + x2 + x + 1 ele usaria I = (1;1;1;1)

Calcule as operações a seguir e coloque a resposta na notação utilizada por Janjão.

a) P(x) + H(x) + G(x) + I(x)

b) P(x) · x

Gabarito

a) P + H + G + I = 3 + 2x + 1 + 5x2 – 7x + 4 + x3 + x2 + x + 1

P + H + G + I = x3 + 6x2 – 4x + 9

A notação de Janjão faz equivalência entre o expoente do termo do polinômio com a posição dentro

dos parentes, de modo que o termo de expoente zero ocupe a primeira posição da esquerda para

direita dentro dos parênteses, o termo de expoente 1 ocupe a segunda posição e assim

sucessivamente. Assim, teremos que tal soma na notação dele será:

P(x) + H(x) + G(x) + I(x) = (1;6; –4;9)

b) P(x) · x = 3 · x = 3x

Como a notação de Janjão faz equivalência entre o expoente do termo do polinômio com a posição

dentro dos parênteses, devemos reescrever o resultado da seguinte maneira:

P(x) · x = 3x = 3x1 + 0x0

Assim, utilizando a notação de Janjão, temos:

P(x) · x = (3;0)

Questão 13 (Assunto: Conjunto dos números racionais)

Leia o texto abaixo para responder às questões.

Em uma bela manhã de sábado, Joãozinho estava fazendo sua tarefa de Aritmética. Um dos

exercícios pedia para escrever a representação decimal da fração

1

23 . Joãozinho, muito

esperto, pensou: “Bom, basta dividir o número 1 pelo número 23”. Como estava com muita

preguiça de efetuar a divisão “no lápis”, decidiu utilizar uma calculadora. Depois de muito

procurar, não conseguiu achar nenhuma! Frustrado só de pensar em efetuar a divisão “no

lápis”, teve a ideia: “Já sei, o Google responde!”. Prontamente dirigiu-se ao computador, abriu

a página do Google, digitou no campo de pesquisa 1/23 e clicou em “Pesquisar”. Como em

um passe de mágica, apareceu o resultado 1/23 = 0,0434782609. Não houve alegria maior

para Joãozinho nesse momento!

Abaixo segue uma imagem ilustrativa da tela do computador de Joãozinho no ato de sua

felicidade!

a) A fração 2

3 gera a dízima periódica 0,6

–. Se Joãozinho colocasse no Google

2

3, qual

resultado ele iria obter?

b) Se Joãozinho levar para o professor a resposta 0,0434782609, sabendo que o professor

irá avaliar apenas o resultado e não os meios pelos quais a obteve, ele irá acertar? Explique

sua resposta.

Gabarito

a) Note que o Google trabalha com 10 casas decimais; portanto, ele teria como resultado:

2

0,6666666666.3

b) Não, como o Google trabalha com um número limitado de casas decimais, a representação decimal

da fração 1

23 aparece como um decimal exato e não como uma dízima periódica.

Questão 14 (Assunto: Conjunto dos números racionais; Dízimas periódicas)

Dado um número racional qualquer a

b, pode-se encontrar a sua forma decimal por meio do

algoritmo usual da divisão. Por exemplo, a forma decimal do número racional 1

7 pode ser obtida

efetuando a divisão do número 1 pelo número 7, o que nos levará ao resultado

0,142857142857…

Segue abaixo uma demonstração dessa divisão utilizando o algoritmo usual.

a) Os números destacados são os restos possíveis da divisão por 7. Em uma divisão qualquer

por 11, quais são os restos possíveis?

b) Se, ao encontrarmos a representação decimal de um número racional a

b, por meio do

algoritmo usual, fosse possível obter como resultado uma dízima não periódica, o que

deveria acontecer com a quantidade de restos dessa divisão?

Gabarito

a) Os restos possíveis na divisão por 11 são os números inteiros de 0 até 10.

b) A quantidade de restos deveria ser infinita, o que é impossível, já que, na divisão por um número

inteiro não nulo b, teremos sempre b restos possíveis.

Questão 15 (Assunto: Ângulos)

Determine o valor de x em cada caso.

a)

b)

Gabarito

a) Como os ângulos são opostos pelos vértices, então são iguais. Assim:

9x – 3 = 2x + 67

7x = 70

x = 10º

b) Como os dois ângulos juntos formam um ângulo raso, então:

2x + 20 + 3x + 10 = 180

5x = 150

x = 30º

Questão 16 (Assunto: Triângulos; Ângulos internos)

O triângulo ABC a seguir é retângulo em B.

a) Determine os valores de x e y.

b) Determine o valor da soma x y z.

Gabarito

a) Como o triângulo é retângulo, o ângulo em A mede 60º. Dessa maneira:

x + 10 = 30

x = 20º

Assim como:

y – 10 = 30

y = 40º

b) Como x + 10 = 30º, temos que:

z + 30 + 30 = 180

z = 120º

Logo, x + y + z = 20 + 40 + 120 = 180º

Questão 17 (Assunto: Polinômios)

Sejam os polinômios A(x) x 1, B(x) x – 1 e C(x) x² 1. Calcule:

a) A(x)∙B(x)

b) A(x)∙B(x)∙C(x)

Gabarito

a) A(x)∙B(x) = (x + 1)∙(x – 1)

A(x)∙B(x) = x2 – x + x – 1

A(x)∙B(x) = x2 – 1

b) A(x)∙B(x)∙C(x) = (x2 – 1)∙(x2 + 1)

A(x)∙B(x)∙C(x) = x4 + x2 – x2 – 1

A(x)∙B(x)∙C(x) = x4 – 1

Questão 18 (Assunto: Linguagem algébrica)

Escreva cada item a seguir na linguagem algébrica.

a) A soma do dobro de um número com o seu triplo.

b) O quadrado da soma da terça parte de um número com o dobro de outro número.

Gabarito

a) A expressão “A soma do dobro de um número com o seu triplo” pode ser representada por

2x + 3x.

b) A expressão “O quadrado da soma da terça parte de um número com o dobro de outro número”

pode ser representada por

2x

+ 2y3

, com x ≠ y.

Questão 19 (Assunto: Noções de conjuntos)

Sendo A o conjunto dos divisores positivos do número 150, e B o conjunto dos divisores

positivos do número 90, resolva os seguintes itens.

a) Liste os elementos do conjunto B.

b) Qual o maior elemento do conjunto A B ? Justifique.

Gabarito

a) B = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

b) O conjunto A B é composto dos divisores comuns dos números 150 e 90. Portanto, o maior

elemento desses conjuntos é o MDC(150,90) = 30.

Questão 20 (Assunto: Ângulos suplementares; Triângulos)

Observe a seguir duas retas paralelas, r e s, cortadas pelas transversais t e u.

Responda:

a) Qual o valor de x?

b) Se o triângulo ABC é isósceles de base BC, qual é a medida de y?

Gabarito

a) Note que os dois ângulos são suplementares; dessa forma:

5x 2x 180º

180ºx

7

b) Se ABC é isósceles de base BC, devemos ter:

2x 2x y 180

y 180 4x

180Como x , então:

7

180y 180 4

7

180 180y 7 4

7 7

180y 3

7

540ºy

7

Questão 21 (Assunto: Semelhança de triângulos)

Na figura a seguir, ABC, DBE e FBG são triângulos equiláteros, o lado BC tem o dobro da

medida do segmento BE , o qual tem o dobro da medida do segmento BG .

Responda ao que se pede.

a) Sabendo que a medida do segmento BC é igual a 1 unidade, qual a razão entre as áreas

dos triângulos ABC e DBE?

b) Qual a área da região hachurada?

Gabarito

a) A área do triângulo ABC é dada por:

21 3 3

Área ABC4 4

A área do triângulo DBE é dada por:

213

34Área ABC4 16

Dessa forma:

3Área ABC 4 4Área DBE 3

16

Portanto, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DBE é 4.

b) Observe que a área do triângulo ABC é:

3

Área ABC4

Além disso, do resultado do item a, temos que:

Área ABCÁrea DBE

4

Área ABCÁrea FBG

16

Portanto, a área da região hachurada será:

Região hachurada Área ABC Área DBE Área FBG

Área ABC Área ABCRegião hachurada Área ABC

4 16

3 3 3Região hachurada

4 16 64

16 3 4 3 3Região hachurada

64 64 64

13 3Região hachurada

64

Questão 22 (Assunto: Contagem; Princípio multiplicativo)

Mariana desenhou o seguinte mapa em uma folha de papel.

Nele, A, B, C e D representam países, de maneira que os países A e C são vizinhos dos países

B e D, mas não são vizinhos entre si. Nessas condições, de quantas maneiras Mariana poderá

pintar o seu mapa:

a) para que os países A e D não tenham a mesma cor que os países C e B?

b) para que países vizinhos não tenham a mesma cor?

Gabarito

a) Se os países A e D tiverem a mesma cor, Mariana terá um total de 4 · 3 · 3 = 36 maneiras de pintar

o mapa, mas, se os países A e D tiverem cores distintas, ela terá um total de

4 · 3 · 2 · 2 = 48 maneiras. Sendo assim, ela terá um total de 36 + 48 = 84 maneiras de pintar o seu

mapa, de modo que os países A e D não tenham a mesma cor que um dos países B e C.

b) Se A e C têm cores distintas, ela terá um total de 4 · 3 · 2 · 2 = 48 maneiras; porém, se A e C forem

da mesma cor, ela terá um total de 4 · 3 · 3 = 36 maneiras de pintá-lo. Sendo assim, ela poderá

pintar o mapa de 48 + 36 = 84 maneiras, de modo que países vizinhos não tenham a mesma cor.

Questão 23 (Assunto: Polígonos regulares e áreas)

A figura a seguir representa um paralelogramo ABCD. Os lados AB e CD foram divididos em 7

partes iguais, tendo os pontos de divisão conectados por segmentos, e os lados AD e BC foram

divididos em 4 partes iguais, também tendo os pontos de divisão conectados por segmentos,

como ilustrado.

a) Se o paralelogramo EFGH tem o lado HG medindo 2 cm, e a altura relativa a esse lado

igual a 3 cm, qual a área desse paralelogramo?

b) Considerando as informações do item a, qual a área do paralelogramo ABCD?

Gabarito

a) Área(EFGH) = 2 · 3 = 6 cm2

b) Observe que o paralelogramo ABCD pode ser transformado da seguinte forma:

Dessa forma, note que temos 28 paralelogramos do tamanho de EFGH dentro do paralelogramo ABCD,

portanto:

Área(ABCD) = Área(AB’C’D) = 28 · Área(EFGH) = 28 · 6 = 168 cm2

Questão 24 (Assunto: Prismas)

Isabella resolveu aproveitar uma placa de papelão pintada para fazer uma caixa, sem tampa,

para guardar um de seus sapatos preferidos. Ela recortou um quadrado de cada um dos 4

cantos de uma placa retangular, que mede 28 cm 20 cm, e dobrou-os convenientemente,

colando as bordas laterais para, assim, formar a caixa. Se cada quadrado que ela recortou tem

lados de 5 cm, qual é o volume dessa caixa de sapatos?

Gabarito

Do enunciado, tem-se a figura que representa a placa e a caixa montada:

Assim, o volume da caixa é dado por 5 · 10 · 18 = 900 cm3.

Questão 25 (Assunto: Ângulos)

Um robô anda em linha reta para a frente e só obedece a dois comandos:

• O comando D faz com que ele vire 18° à direita em relação à direção original em que estava

andando.

• O comando E faz com que ele vire 20° à esquerda em relação à direção em que estava

andando.

a) Se esse robô obedecer à sequência de comandos DEDDEDD, qual será o ângulo que a

direção final do robô formará com a direção e sentido original em que estava andando?

b) Agora, suponha que o robô só obedeça ao comando D. Sabendo que o robô virou à direita

pelo menos uma vez, quantas vezes, no mínimo, esse comando foi dado para que o robô,

andando em linha reta, tenha retornado à direção e sentido inicial?

c) Se o robô obedecer ao comando E 36 vezes, qual será o ângulo que a direção final do robô

formará com a direção e sentido originais em que estava andando?

Gabarito

a) A sequência dada contém 5 comandos D e 2 comandos E; logo, o ângulo pedido é 5 18º 2 20 50º

para a direita.

b) Para retornar à direção e ao sentido original, o robô deverá virar 360º à direita, ou seja, o comando

D deverá ser dado 360

20 vezes.18

c) Ao obedecer o comando E 36 vezes, o robô virará 36·20º = 720º, ou seja, o ângulo formado com

a direção e sentido original será 0º, pois o robô andará paralelamente à direção original, no mesmo

sentido.

Questão 26 (Assunto: Teorema de Pitágoras)

A estrutura do telhado de um armazém pode ser representada pelo esquema a seguir, sendo

P e Q pontos médios dos lados AC e CB, e os segmentos PR,CDeQS

são perpendiculares

ao lado AB.

O material utilizado nessa estrutura é o ferro. Sabendo disso, responda:

a) Quantos metros de ferro serão gastos para construir a estrutura?

b) Se o custo do ferro é de R$ 10,00 por metro, qual será o custo total para construir a

estrutura?

Gabarito

a) Considere a figura:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PRA, tem-se x2 + 202 = 252 e, portanto,

x = 15. Assim, a quantidade necessária de ferro para construir essa estrutura, em metros, é

6 ·25 + 4 ·20 + 4 ·15 = 290.

b) Como o custo do ferro é de R$ 10,00 por metro, o custo total será de 290 ·10 = 2.900 reais.

Questão 27 (Assunto: Sistemas de equações)

Carlos e Eduardo estão montando pilhas com peças azuis e vermelhas. Eles perceberam que,

ao empilhar 7 blocos azuis e 6 vermelhos, formariam uma pilha com altura 95 cm, a mesma

altura da pilha que formariam caso empilhassem 13 blocos azuis e 3 vermelhos. Com base

nessas informações, responda:

a) Qual é a altura de um bloco vermelho?

b) Quantos blocos azuis são necessários para formar uma pilha com a mesma altura de um

bloco vermelho?

Gabarito

a) Sendo x a altura de um bloco vermelho e y a altura de um bloco azul, do enunciado tem-se o sistema:

6x 7y 95

3x 13y 95

Multiplicando a segunda equação por –2 e somando à primeira equação, tem-se –19y = –95 e,

portanto, y = 5. Substituindo na primeira equação, obtém-se 6x + 7 ·5 = 95 e, assim, x = 10. Logo,

a altura de um bloco vermelho é de 10 cm.

b) Do item anterior, tem-se que a altura de um bloco vermelho é de 10 cm e que a altura de um bloco

azul é de 5 cm. Logo, são necessários 2 blocos azuis para formar uma pilha com a mesma altura

de um bloco vermelho.

Questão 28 (Assunto: Contagem; Princípio multiplicativo)

Cada país tem um modelo diferente para placas de veículos. No Brasil, atualmente, as placas

são compostas de 3 letras escolhidas do alfabeto e 4 algarismos escolhidos de 0 a 9. Já na

Inglaterra, o modelo adotado é de 5 letras e 2 algarismos, como ilustrado nas figuras a seguir:

Modelo brasileiro Modelo inglês

Suponha que, ao formar qualquer uma das duas placas, seja possível escolher qualquer uma

das letras e dos algarismos.

a) Considerando o alfabeto português com 26 letras, quantas placas do modelo brasileiro é

possível formar?

b) Quantas placas do modelo inglês é possível formar, considerando um alfabeto de apenas

10 letras e os algarismos de 1 a 9?

Gabarito

a) O total de placas do modelo brasileiro é dado por 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 175.760.000.

b) Considerando as condições do enunciado, tem-se um total de 10 · 10 · 9 · 9 · 10 · 10 · 10 = 8.100.000 placas.