Surpresas Sobre a Lei da Gravitação Universal

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Surpresas Sobre a Lei da Gravitao UniversalVitor Veneza Quimas Macedo*

Aluno do Quinto Perodo de Informtica, UFRJ. Orientao: Bruno Costa, Matemtica Aplicada IM -UFRJ.

Resumo:

Apresento neste texto fatos sobre a Lei da Gravitao Universal e como Isaac Newton chegou aos resultados que levaram a uma revoluo na cincia moderna. Tambm sero apresentados argumentos que mostraro que o pensamento que muitos tem sobre a forma da aplicao da Lei da Gravitao Universal errneo, mas que para poucos e particulares casos essa aplicao vlida, e que dentre eles est o mais importante dos casos, os corpos celestes. Esta uma foto de uma edio do Principia que pode ser encontrada na Biblioteca de Obras Raras da UFRJ-Centro de Tecnologia.

IntroduoQual seria a magnitude da fora de atrao do conjunto abaixo, sendo R o raio e M a massa do anel e d a distncia entre o centro de massa do anel e o ponto P , sendo a massa deste m?

O que normalmente se supe que devemos concentrar a massa no centro massa do corpo e simplesmente considerar o anel como sendo um ponto e neste caso a magnitude da fora seria F = Porm, fazendo uma anlise mais detalhada faamos da seguinte maneira: Separe a fora F nas seguintes componentes, dividindo o aro em n partes, de modo que sejam criados Fi(s), no qual cada Fi representa a fora de atrao entre P e cada ponto do aro:GMm . d2

Separe agora Fi em duas componentes, uma na direo do centro do aro e a outra contida no plano do mesmo. Podemos verificar facilmente que as componentes de todos Fi(s) que esto contidas no aro se anulam, veja a figura abaixo:

Basta ento calcularmos qual ser o valor da soma de todas as componentes dos Fi(s) na direo do centro do aro, mas sabemos como calcular a magnitude de cada Fi que dada porcos = d d 2 + R2

, temos ento que o resultado dado por

GmMi cos , e d 2 + R2 GmMid

agora sabermos quanto vale Mi, como dividimos o aro em n partes, pudemos supor que cada parte do mesmo tinha massa Mi = os Fi(s) teremos

(d

2

+R

3 2 2

)

. Falta

n

GmMid

1

da equao obtida quando se concentra a massa do aro no centro de massa do mesmo e supe que este um ponto, mas se olharmos mais cuidadosamente verificaremos que as duas equaes sero exatamente iguais se tendermos R a zero, o que ocorre quando trabalhamos com distncias em que R desprezvel. possvel mostrar que este mtodo de concentrao de massa no centro de massa vlido para certos casos particulares. Se supusermos que uma casca esfrica formada por uma infinidade de aros sucessivos de raios que vo desde zero, na extremidade da casca, at o valor do raio da mesma no seu centro, podemos usar um argumento geomtrico aliado ao clculo integral, que essa suposio correta.

(d

2

+R

3 2 2

)

=

Gmd

(d

2

+ R2

)

3 2

M , ento se somarmos todos n GmMd n 1 Mi = 2 2 3 , o que diferente d +R 2

(

)

Sendo a mesma correta, se pensarmos que planetas e os corpos celestes em geral so basicamente cascas esfricas concntricas cuja densidade proporcional distncia das mesmas ao centro de massa da esfera, podemos concluir que este mtodo tambm vlido para tais corpos celestes.(1)

Um pouco de histriaA Lei da Gravitao Universal foi desenvolvida por Isaac Newton, que durante o fechamento da Universidade de Cambridge na Inglaterra, devido peste que assolou Londres em 1665, deu incio aos pensamentos que mudariam os fundamentos da cincia. Em 1672 foi publicado o primeiro trabalho cientfico de Newton que tratava de suas descobertas sobre a natureza da luz, e devido a crticas de alguns, dentre eles Robert Hooke, Newton relutou, a partir de ento, a apresentar novos trabalhos. Mas em 1679, devido s correspondncias que trocavam, na qual Hooke sugeriu que os planetas eram atrados por uma fora central que diminua com o quadrado da distncia, as idias de Newton sobre essas questes reviveram. Edmund Halley se interessou pelo tema e ao visitar Newton em Cambridge em 1684 perguntou especificamente qual seria a forma da rbita de um planeta que fosse atrado por uma fora da forma descrita por Hooke, Newton imediatamente disse que era uma elipse dizendo que havia provado este fato h tempo, mais tarde Halley recebeu duas provas sobre a questo, e percebendo a importncia deste trabalho decidiu com o apoio da Royal Society a persuadir Newton a publicar suas descobertas, o que levou a publicao, em 1687, de um dos mais importantes livros da cincia, o Principia.

A Lei do Inverso do QuadradoNo ponto de partida da anlise da magnitude de F Newton primeiro separa o movimento de um corpo P em torno da fonte da fora S.

Ele faz isso considerando a trajetria que P percorreria caso F deixasse de atuar sobre o mesmo a partir de uma dada posio, ou seja, na direo da reta tangente, e ento considera o movimento na direo na qual F atua em toda a sua magnitude, na direo de SP, ficamos ento com Q que a posio de P decorrido um tempo pequeno t , QR paralelo a SP e QT perpendicular a RPZ. Considere que em P a velocidade na direo de PS vale zero, neste caso S deslocou P em sua direo uma distncia QR, como t pequeno Newton considera que F no variou de P at Q, ou seja QR = que Fp =2mQR . t 2 a(t ) 2 F ,como a = temos 2 m

Agora precisamos verificar quanto vale

constante de Kepler , pois ele j havia provado que basta assumirmos que se P sofre atuao de uma fora central ento a linha que liga P a S percorre reas iguais em tempos iguais, sendo assim=rea readoTringulo SP QT 1 4 2 = , ento 2 = , substituindo na 2t t t ( SP QT ) 2 t 82 mQR . O que Newton precisa agora tender Q SP 2 QT 2

1 , nesta parte Newton usa a t 2

relao anterior temos Fp =

a P e ver o que acontece, mas para isso ele precisa supor a rbita percorrida, e neste instante ele assume que uma elipse (2). Temos ento o seguinte :

QR 8k 2 m lim Fp = , visto que somente QR e QT se alteram ao movermos Q 2 Q P QT 2 SP

P, e o que se segue um dos argumentos mais famosos da cincia, e Newton usa o seguinte diagrama para prov-lo:

Esta figura est na nota de uma libra que foi impressa em 1960. (Reparem na figura e tentem ver o que est errado, a resposta est no final do artigo)

Aqui est uma foto do Principia com o mesmo diagrama.

Temos que DK, HI e Qx so paralelos a tangente em P RPZ, S e H so os focos da elipse, QT perpendicular em SP e PF perpendicular em DK. Para mostrar a sutileza da prova, Newton comea verificando que EP=AC e faz uso da primeira das seguintes propriedades clssicas da elipse para provla, sendo que as demais propriedades so usadas para demonstrar as relaes citadas logo abaixo: 1- Os ngulos