T7 - Séries de Fourier e Transformada de Fourier

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    Sries de Fourier e

    Transformada de FourierProcessamento de Sinal

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    Anlise de Formas de Onda

    O matemtico francs Fourier descobriu que qualquer forma deonda peridica pode ser expressa como uma srie de sinusidescom relao harmnicasinusides cujas frequncias somltiplas da frequncia fundamental (ou frequncia harmnica)

    Genericamente, qualquer forma de onda peridica f(t) pode ser

    expressa como:

    Em que o termo a0/2 uma constante e representa a componente DC(mdia) de f(t).

    Os termos a1e b1representam a componente da frequnciafundamental ;

    a2e b2representam a componente do 2 harmnico 2 ; e assim sucessivamente;

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    Anlise de Formas de Onda

    A soma das componentes DC, fundamental,2 harmnico e 3 harmnico produz afuno f(t).

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    Clculo dos Coeficientes

    O clculo dos coeficientes a0, ane bnseguem as seguintes equaes:

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    Simetria das Sries de FourierTrigonomtricas

    Trs tipos de simetria na srie de Fourier:

    F(t) mpar: apenas termos com senos, todos os

    termos ai(incluindo a0) so nulos

    F(t) par: apenas termos com cosenos, todos ostermos biso nulos (a0pode ou no ser nulo)

    F(t) simetria meia-onda: todos senos e cosenospares so nulos

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    Formas de Onda Comunsmpar c/ simetria meia-onda Par c/ simetria meia-onda

    mpar s/ simetria meia-ondampar c/ simetria meia-onda

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    Fenmeno de Gibbs

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    Formas Alternativas das Sries deFourier Trigonomtricas

    Forma Trigonomtrica

    Formas alternativas

    ou

    Fasores

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    Anlise de Circuitos com Sries deFourier Trigonomtricas

    Considere a entrada vin(t)na figura abaixo. Calcular vc(t). Considerar apenas os 3primeiros termos da srie de Fourier e assumir=1.

    Circuito de fasoresnrepresenta o n de termos na srie de FourierNeste caso estamos apenas interessados em n=1,3,5Divisor de tenso:

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    Anlise de Circuitos com Sries deFourier Trigonomtricas

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    Anlise de Circuitos com Sries deFourier Trigonomtricas

    Matlab

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    Forma Exponencial das Sries deFourier

    As sries de Fourier so muitas vezes expressas na sua forma exponencial.Vantagens: Apenas necessrio fazer uma integrao em vez de duas (coeficientesane bn) Em vrios casos os integrais so mais simples

    Agrupando termoscom os mesmoexponenciais

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    Forma Exponencial das Sries deFourier

    Excepto para C0, os coeficientes Ciso complexos e surgem em pares de complexosconjugados:

    Para 1: Para calcular a srie trigonomtrica de Fourier:

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    Simetria em Sries de FourierExponenciais

    Funes pares Todos os coeficientes Ciso reais uma vez que as

    funes pares no tm termos com senos Funes mpares

    Todos os coeficientes Ciso imaginrios uma vezque as funes mpares no tm termos comcosenos

    Simetria Meia-Onda Cn= 0para todos os npares

    Sem simetria Se no houver simetria f(t) complexa

    C-n= Cn*em todas as situaes

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    Espectro de Linhas

    Quando a srie de Fourier conhecida, til para apresentar o grfico dasamplitudes dos harmnicos numa escala de frequncia que mostra o primeiroharmnico (frequncia fundamental), e os harmnicos seguintes vezes aamplitude da frequncia fundamental. Este grfico conhecido como oEspectro de Linhas e mostra as linhas espectrais que seriam exibidas num

    dispositivo analisador de espectros (spectrum analyzer).

    Onda Quadrada

    Rectificador

    de meia-onda

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    Espectro de Linhas - Exemplo

    Calcule a srie de Fourier exponencial para a forma de onda seguinte eapresente o seu espectro de linhas:

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    Espectro de Linhas - Exemplo

    Matlab

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    Clculo de Valor Eficaz

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    Clculo de Valor Eficaz - Exemplo

    Calcule IRMSpara a forma de onda seguinte:

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    Clculo de Valor Eficaz - Exemplo

    Calcule IRMSpara a forma de onda seguinte:

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    Clculo de Potncia Mdia

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    Potncia Mdia - Exemplo

    Para o circuito da figura abaixo calcule:a) A corrente ic(t)dado que vin(t) = 6[cos( t)-cos(3 t)/3)V em que =1000 rad/sb) A potncia mdia Paveentregue pela fonte de tenso

    a) Componente fundamental:

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    Potncia Mdia - Exemplo

    Para o circuito da figura abaixo calcule:a) A corrente ic(t)dado que vin(t) = 6[cos( t)-cos(3 t)/3)V em que =1000 rad/sb) A potncia mdia Paveentregue pela fonte de tenso

    a) Harmnico 3 ordem:

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    Potncia Mdia - Exemplo

    Para o circuito da figura abaixo calcule:a) A corrente ic(t)dado que vin(t) = 6[cos( t)-cos(3 t)/3)V em que =1000 rad/sb) A potncia mdia Paveentregue pela fonte de tenso

    b) Potncia mdia:

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    Clculo dos Coeficientes deFourier em MATLAB

    Para f(t) = cos ( t)em que =1. Use a srie de Fourier exponencial para calcular o valormdio C0e os 3 primeiros harmnicos C1, C2e C3em MATLAB.

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    Transformada de Fourier

    Vimos at aqui que as sries de Fourier para funes detempo peridicas produzem espectros de linhas discretoscom valores diferentes de zero para frequncias designadasde harmnicos.

    Outras funes (degrau unitrio, impulso unitrio, rampa

    unitria ou um pulso rectangular) produzem espectros defrequncia contnuos. Transformada de Fourier ou integral de Fourier:

    Funo complexa:

    Transformada inversa de Fourier

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    Transformada de Fourier

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    Propriedades e Teoremas

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    Propriedades e Teoremas

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    Pares de Transformadas de Fourierde Funes Comuns

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    Pares de Transformadas de Fourierde Funes Comuns

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    Transformada de Fourier Transformada de Laplace

    Se uma funo f(t) nula para t

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    MATLAB no Clculo da Transformadade Fourier de Funes de Tempo

    Verificar:

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    MATLAB no Clculo da Transformadade Fourier de Funes de Tempo

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    Anlise de Circuitos

    Convoluo

    Par de transformada:

    Resposta impulsional Funo do sistema

    Sabendo a resposta impulsional h(t), possvel calcular umaresposta g(t)para qualquer entrada f(t)atravs da multiplicaodas transformadas de Fourier F( )e H( )para obter G( ). Porfim, pode-se obter g(t)atravs da transformada inversa de Fourier

    de G( ).

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    Anlise de Circuitos - Exemplo

    Calcule a resposta g(t) atravs da transformada de Fourier, considerando a respostaimpulsional h(t) e a entrada f(t).

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    Anlise de Circuitos - Exemplo

    Calcule a resposta g(t) atravs da transformada de Fourier, considerando a respostaimpulsional h(t) e a entrada f(t).

    ou

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    Anlise de Circuitos - Exemplo

    Calcule a resposta g(t) atravs da transformada de Fourier, considerando a respostaimpulsional h(t) e a entrada f(t).

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    Anlise de Circuitos - Exemplo

    Calcule a resposta vL(t) atravs da transformada de Fourier, considerando a funo dosistema H(w) e assumindo iL(0+)=0.