TA 733 A – Operações Unitárias II

Aula 08

Condução em Regime TRANSIENTE

Método da Capacitância ConcentradaEfeitos Espaciais

Condução em Regime Transiente

OBJETIVO: Avaliar a dependência da Temperatura no tempo no interior de sólidos em regime transiente; Determinar a T.C. entre um sólido e o ambiente.

Métodos:

•Capacitância concentrada:• Gradiente de Temperatura desprezível: T(t)

•Solução das equações diferenciais :• Gradiente de temperatura não desprezível: T(x,t)

Método da Capacitância Concentrada

conv

TSÓLIDO = Homogênea

Método da Capacitância Concentrada

Essência do Método: “Temperatura é espacialmente uniforme”

Ou seja: T(t) ; dT/dx = 0

R INTERNA <<<< R EXTERNA

k h

Condução Convecção (+Radiação)

Não utiliza-se:a Eq. de Fourier

Utiliza-se :Balanço Globalde Energia

Método da Capacitância Concentrada

Balanço Global de Energia:saientraAR EEE

).(... TTAhdt

dTcV Superf

dt

d

Ah

cV

Superf.

..

TTConsiderando:Integrando: t=0 e T(0)=Ti

t

Superf

dtd

Ah

cVi 0.

..

Método da Capacitância Concentrada

TTiiOnde:

Método da Capacitância Concentrada

Constante de tempo térmica:

Onde: t= [ s ]

Rt = Resistência por convecçãoCt = Capacidade térmica concentrada

Ou então:

Li

t

exp

Método da Capacitância Concentrada

Método da Capacitância Concentrada

Energia trocada do instante “0” até “t”:

Ou seja:

Onde: Resfriamento (+Q), Aquecimento (-Q)

Q= M . C . (Ti – Tf)

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

Regime PERMANENTEcte =

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

Rearranjando:

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

Biot = Indicador (adimensional) da queda de temperatura do sólido relativa a diferença de temperatura entre superfície e o fluido

Para Biot <<<< 1: •Distribuição de temperatura uniforme no sólido = T(t);•Razão das resistências térmicas;•R COND <<<< R CONVEC

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

UNIDIMENSIONAL, Ti > T

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

Simplicidade do Método: USO CONDICIONADO

SE ENTÃO ERRO DO MÉTODO PEQUENO

Onde : Lc = Comprimento Característico = V / As

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

PLACA (T.C. ambos lados) : Lc = L (meia espessura)CILINDRO LONGO : Lc = r0/2ESFERA : Lc = r0/3

Voltando no expoente da equação:

VALIDADE do Método da Capacitância Concentrada

2

.

CL

tFo

Número de Fourier: (Tempo adimensional)

22..

..

..

.

..

.

..

..

Lc

t

k

Lch

Lc

t

c

k

k

Lch

Lcc

th

cV

tAh s

FoBicV

tAh s ...

..

FoBiTT

TT

ii

.exp

Distribuição temporal

da temperatura:

Exemplo 5.1.

a) D = ? Para t= 1 sb) t = ? Para T=199 °C

Exemplo 5.1.

a) Da eq. 5.7:

Exemplo 5.1.b)

Bi << 0,1

Análise Geral da Capacitância Concentrada

TODAS

POSSIBILIDADES

Análise Geral da Capacitância Concentrada

Eq. Diferencial de 1a. Ordem não linear

Sem solução exata

Análise Geral da Capacitância Concentrada

Caso:

Sem geração

Sem convecção

Análise Geral da Capacitância Concentrada

Exemplo 5.2.

Exemplo 5.2.

Em regime Permanente:

Em regime Transiente:

Para T=217,7C

t = 4,9 s

Exemplo 5.2.

EFEITOS ESPACIAIS

Método Algébrico: (Método da Capacitância = INAPROPRIADO) Gradiente de Temperatura não desprezívelP

LACA

Condições Iniciais:

EFEITOS ESPACIAIS

Solução:

Adimensionalizando a equção diferencial parcial:

EFEITOS ESPACIAIS

C.I.:

CondiçõesContorno:

Solução:

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Solução:

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONALEM REGIME TRANSIENTE

•PLACA PLANA•CILINDRO LONGO•ESFERA