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GUIDG.COM PG. 1
5/6/2011 MAT: Notao Matemtica, Smbolos Matemticos. As principais
notaes utilizadas em Matemtica: Dicionrio, manual, tabela,
conceitos, notao, nmeros, formulrio, frmulas, operadores
matemticos, simbologia, smbolos, sinais, letras, abreviaes,
definies, teoremas, regras e etc. ESTE ARTIGO DEVE SER USADO COMO
UM GUIA, NO UTILIZE COMO FONTE NICA DE ESTUDOS.
Palavras e conceitos importantes:
Notao matemtica: (1) o conjunto de smbolos do qual o matemtico
utiliza para expressar, resumir, esclarecer e aplicar na resoluo de
um problema. (2) uma linguagem cuja grafia e semntica se utiliza
dos smbolos matemticos e da lgica matemtica, respectivamente. com
base nessa notao que so construdas as sentenas matemticas
(Wiki).
Notao cientfica / Notao exponencial: veja a definio completa na
seo MEF (medidas fsicas). uma forma de escrever nmeros astronmicos
ou microscpicos, utilizando um nmero simples multiplicado por uma
potncia de base decimal. Ex: 990.000.000.000 = 9,9B1011
Cincia (do Latim scientia, significando "conhecimento): Conjunto
sistematicamente organizado de proposies evidentes ou aceitas,
necessrias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o
conhecimento pelas causas.
Matemtica: cincia que tem por objetivo determinar as medidas,
propriedades e relaes de quantidades e grandezas. a cincia do
raciocnio lgico e abstrato. (Wiki), do grego (mthma) que significa:
cincia, conhecimento, aprendizagem; e , (mathmatiks): apreciador do
conhecimento.
Nmero (Wiki): um objeto da Matemtica usado para descrever
quantidade, ordem ou medida; a relao entre a quantidade e a unidade
(Newton).
Calculus do latim: pedra, pedrinha (Onde comeou a ser aplicado o
processo de contagem, e as operaes). Pela histria as primeiras
contagens do homem foram feitas com pedrinhas (tais que pudessem
ser carregadas, a fim de expressar a quantidade que se tinha de
alguma coisa).
Clculo: Efeito de calcular, resolver problemas matemticos ou do
mundo real, utilizando mtodos matemticos. O interessante neste
ponto o mtodo de clculo, pois o procedimento matemtico que nos
ajuda a resolver problemas do cotidiano.
lgebra: Parte da matemtica que ensina a calcular, generalizando
e simplificando as questes aritmticas, por meio de letras de um ou
mais alfabetos. A palavra Al-jabr da qual lgebra foi derivada
significa "reunio", "conexo" ou "complementao". A palavra Al-jabr
significa, ao p da letra, a reunio de partes quebradas. E foi o
ttulo de um trabalho do matemtico Al-Khowarizmi (considerado o
fundador da lgebra como ns conhecemos hoje).
Razo: A relao existente entre grandezas da mesma espcie. A
palavra razo vem do latim ratio e significa diviso ou o quociente
entre dois nmeros A e B.
Axioma: Definio admitida como verdadeira (verdade absoluta), que
no necessita de provas.
...
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Na coluna Notao, ou ser utilizado para variao do alvo. Notao:
Significado: Definio / Descrio:
, , , , , , , , , , , , , , ,pi, , , , , , , ,
Alfabeto Grego
Utilizado na matemtica, fsica e entre muitas outras reas do
conhecimento, o Alfabeto Grego. Na coluna esquerda as letras
minsculas ao lado das maisculas direita com seus respectivos
nomes.
Alfa Iota R Beta Kapa Sigma Gama Lambda Tau Delta Mi Ipsilon
Epsilon Ni Fi Zeta Csi Qui Eta micron Psi Theta pi Pi Omega
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
O sistema decimal. Algarismos
Indo-Arbicos
Algarismos ou dgitos so smbolos usados na representao de nmeros
inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais.
Utiliza-se estes dez smbolos, que chamamos de algarismos (por
homenagem ao matemtico Al-Khowarizmi) para representar quantidades,
objetos... 0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas
unidades... usado internacionalmente na cincia e na maioria dos
pases.
N Naturais
Conjuntos numricos:
N o conjunto dos nmeros naturais. So os nmeros que vo de 0, 1,
2, 3 ... + (l-se mais infinito).
Todo nmero natural seguido imediatamente por outro nmero natural
chamado sucessor, ou seja: N = {0,1,2,3,4, ...}.
O antecessor de 1 0, e a definio o nmero que antecede, isto que
vem antes (sinnimo: predecessor).
O smbolo N* usado para indicar o conjunto de nmeros naturais sem
o zero, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
...}
Z Inteiros
O conjunto dos nmeros inteiros o conjunto dos nmeros naturais
acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). representado
pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemo significar
"nmero".
Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
O smbolo Z* usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros,
sem o zero: Z* = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O smbolo Z+ usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros no
negativos: Z+ = {0,1,2,3,4,...}
O smbolo Z@ usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros,
no-positivos: Z@= {..., -3, -2, -1, 0}
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O smbolo Z+C
usado para indicar o conjunto de nmeros inteiros positivos:
Z+C
= {1,2,3,4,5, ...}
O smbolo Z@C
usado para indicar o conjunto de nmeros negativos: Z@C
= {-1, -2, -3, -4, -5...}
Como todos os nmeros naturais tambm so nmeros inteiros, dizemos
que N um subconjunto de Z ou que N est contido em Z: N Z.
Q Racionais
Frao: ndffff
=numerador
denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Frao: Nmero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi
dividida uma unidade ou um inteiro.
Numerador: o numero superior do trao que separa os termos da
frao, indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o
denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma
unidade.
Quando dividimos um nmero inteiro (a) por outro nmero inteiro
(b) obtemos um nmero racional. Todo nmero racional representado por
uma parte inteira e uma parte fracionria. A letra Q deriva da
palavra inglesa Quotient , que significa Quociente, j que um nmero
racional um quociente de dois nmeros inteiros.
Quociente: Nmero que indica quantas vezes o divisor se contm no
dividendo; resultado de uma diviso.
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o nmero racional 3,0. Se
a = 1 e b = 2, obtemos o nmero racional 0,5. Ambos tm um nmero
finito de casas aps a vrgula e so chamados de racionais de decimal
exata.
Existem casos em que o nmero de casas aps a vrgula infinito. Por
exemplo, a = 1 e b = 3 nos d o nmero racional 0,33333... a chamada
dzima peridica.
Podemos considerar que os nmeros racionais englobam todos os
nmeros inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os
nmeros inteiros.
Q =a
bffff| a 2 Z e b 2 ZCT U
Lembre-se que no existe diviso por zero. Por qu? Zero o que nos
indica a ausncia, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por
zero no estamos dividindo, e por isso a diviso no pode ser
efetuada. Assim consideramos a inexistncia da diviso por zero.
O smbolo Q* usado para indicar o conjunto dos nmeros racionais
sem o zero:
QC
= x 2 Q | x 0R S
O smbolo Q+ usado para indicar o conjunto de nmeros racionais
no-negativos: Q
+= x 2 Q | x 0R S
O smbolo Q- usado para indicar o conjunto de nmeros racionais
no-positivos:
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Q@
= x 2 Q | x 0R S
O smbolo Q*+ usado para indicar o conjunto de nmeros racionais
positivos sem o zero: Q
+
C= x 2 Q | x > 0R S
O smbolo Q*- usado para indicar o conjunto de nmeros racionais
negativos sem o zero: Q@
C= x 2 Q | x < 0R S
I ou Irracionais
Quando a diviso de dois nmeros tem como resultado um nmero com
infinitas casas depois da vrgula, que no se repetem periodicamente,
obtemos um nmero chamado irracional.
O nmero irracional mais famoso o PI ( ).
ou R Reais
O conjunto formado por todos os nmeros racionais e irracionais o
conjunto dos nmeros reais, indicado por R.
Indicamos por R* o conjunto dos nmeros reais sem o zero. RC=R@
0
P Q
O smbolo R+ usado para indicar o conjunto de nmeros reais
no-negativos: R+ = x 2R | x 0
R S
O smbolo R- usado para indicar o conjunto de nmeros reais
no-positivos: R@ = x 2R | x 0
R S
O smbolo R*+ usado para indicar o conjunto de nmeros reais
positivos: R+C
= x 2R | x > 0R S
O smbolo R*- usado para indicar o conjunto de nmeros reais
negativos: R@C
= x 2R | x < 0R S
C ou C Complexos
Um nmero complexo representado na forma: a + bi , sendo a a
parte real e b a parte imaginria.
A unidade imaginria representada pela letra i , e significa a
raiz quadrada de -1. Pode-se escrever ento: i = @ 1p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .
2, 3, 5, 7 ... Primos
Em N (naturais)
Nmero Primo: (1) Aquele que s divisvel por si e pela unidade.
(2) Nmero divisvel por um e por ele mesmo.
Observao: o nmero 1 no primo nem composto, o nico nmero divisvel
apenas por um nmero, ele mesmo. O nmero 2 o nico primo
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par. As unidades comuns (isto todo primo termina em) so: 1, 3,
7, 9.
At hoje no se sabe se existe uma regra, funo ou lei de seqncia,
que permita calcular qual o prximo nmero primo.
Tabela dos 100 primeiros Nmeros Primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271,
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353,
359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433,
439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509,
521, 523, 541 ...
O ltimo nmero primo calculado (por computador): 243.112.609 1 ,
este o primo Mersenne de nmero 46 e tem 12.978.189 dgitos.
Compostos
Em N (naturais).
Nmero composto: Aquele que divisvel por mais de dois nmeros
distintos.
ou {} Vazio
Significa que o conjunto no tem elementos, um conjunto vazio. C
= { } ou C =
Ex: A={1,2,3} B={4,5,6} A B={} ou A B=
Obs: representao errada de um conjunto vazio:
E = P Q
Isto , dessa forma o conjunto contm um elemento.
Unio
A U B
L-se: "A unio com B"
Ex: A={5,7,10} , B={3,6,7,8}
A B = {3,5,6,7,8,10}
Interseo
L-se como "A interseo B" Ex: A={1,3,5,7,8,10} B={2,3,6,7,8} A
B={3,7,8}
Pertence
Indica relao de pertinncia. Ex: 5 N . Significa que cinco
pertence aos Naturais.
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No pertence
Ex: -1 N. Significa que o nmero -1 no pertence aos nmeros
Naturais.
Esta contido
Ex: N Z
Significa que o conjunto dos nmeros naturais est contido no
conjunto dos nmeros inteiros.
No esta contido Ex: R N
Significa que o conjunto dos nmeros reais no est contido no
conjunto dos nmeros naturais.
Contm
Ex: Z N,
Significa que o conjunto dos nmeros inteiros contm o conjunto
dos nmeros naturais.
| Tal que
Barra reta (vertical)
Ex: R+ = x 2 R | x 0R S
Leitura: Reais positivos so todos os x pertencentes a R tais que
x maior ou igual a zero.
\ Menos, sem
Barra para esquerda.
Teoria dos conjuntos (Complemento terico) A \ B, significa que o
conjunto que contm todos os elementos de A menos os elementos de B.
Ex: A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5} Ento A \ B = {2,4}
OBS: A barra pra direita ( / ) indica diviso.
Se, ... Ento
se...ento p: Jos vai ao mercado q: Jos vai fazer compras
p q
Se Jos vai ao mercado ento ele vai fazer compras.
Implica
A: So Paulo capital de um estado brasileiro B: So Paulo uma
cidade brasileira
A B
Ex: sendo verdadeira a afirmao que est antes dele, ento tambm
ser verdadeira a afirmao sua direita. Por exemplo, So Paulo capital
de
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um estado brasileiro implica que So Paulo uma cidade
brasileira.
*Deve-se tomar cuidado na utilizao deste sinal, para no
aplica-lo desnecessariamente.
Exemplos:
x 2 + 2 = 4 [ x 2 = 2 [ x =F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
(certo, usar em linha)
x 2 + 2 = 4 [ F 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
? (errado, quatro implica em...)
x 2 + 2 = 4[ x = F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww ? (errado, no pular a linha)
Se, e somente se
Se, e somente se.
Ex: p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas p
q
Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas
boas.
9 e 9+
Existe e
No existe
Indica existncia.
9 x 2 Z | x > 3
L-se: Existe x pertencente ao conjunto dos nmeros inteiros tal
que x maior que 3.
(O existe pode aparecer ainda, como um E ao contrario e cortado,
que representa inexistncia.
Ex: 9+ x B. (no existe x em B)
Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, no existe x no conjunto B.
...
Perodo , a reticncia
A aplicao, depende do caso:
1 - Pode representar o perodo de um numero racional ou
irracional. (Perodo: parte que se repete).
Ex: 1,222... (Neste caso indica que o perodo, 2)
2 Pode representar a continuidade de uma seqncia numrica, ou uma
soma.
3 Pode ocorrer mais aplicaes.
Ex: Seja o conjunto Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } E
isto indica que os nmeros seguem indefinidamente para o
infinito.
Verifique a definio de infinito.
Veja a definio do dicionrio portugus:
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reticncia : s. f. Omisso daquilo que se devia ou podia dizer;
silncio voluntrio. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam
aquela omisso.
Portanto
Utilizado em expresses, equaes, e etc. Especialmente quando for
apresentar o resultado final de um clculo.
Exemplo em logaritmos:
log2 4 = x ^ 2x= 4
2x = 42x = 22# x = 2
Para todo
um A de cabea para baixo.
Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja".
Ex: x > 0, x positivo.
Leitura: para todo x maior que zero, x positivo.
( ) Parnteses - I
Por ordem de resoluo o primeiro a se resolver.
O parnteses na matemtica pode ter vrias aplicaes, vamos citar
algumas: 1 f(x) = 3x+2
Aqui est representando a funo de 1grau, ou funo afim, o
parnteses neste caso, guarda o espao para valores que sero
substitudos no lugar de x.
Ex: supondo que x = 3/2 + 4 f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2
Para resolver voc pode aplicar a propriedade distributiva, ou
tirar o mnimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma
resposta.
Substituindo f(x) por y.
y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2
Pode tambm representar um intervalo aberto (igualmente o
colchetes para fora). Veja:
x tal que x, est entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. Ou x 2R
| 3 x
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Em funes/intervalos, representa incluso; exemplo:
[0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 x 1 (L-se: x maior ou
igual a zero e menor ou igual a 1)
]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x 4 (L-se:
x maior que dois e menor ou igual a 4)
]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x <
2 (L-se: x maior que menos seis e menor que 2)
{ } Chaves - III
Por ordem de resoluo o terceiro a se resolver.
o conjunto de... Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por
a, b e c.
+ Adio
L-se: "mais" Ex: 2+3 = 5 (L-se: dois mais trs igual a cinco).
Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado 5.
Mais ou Menos
Indicao de um valor x com duplo sinal.
x =F 5 [ x1 = + 5 e x2 =@ 5
Isto pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a
concluso feita com a prova ou teste dos valores. Isto melhor
entendido no assunto equaes de segundo grau e razes de eq. de 2
grau.
Quando delta maior que zero, a equao de segundo grau apresenta
duas razes devido a presena do sinal mais ou menos contida na
frmula para as razes da equao de segundo grau (frmula atribuda
Bskara).
- Subtrao
L-se como "menos"
Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado
2.
O sinal - tambm denota um nmero negativo.
Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o
resultado -4.
*ou B ou . Multiplicao
L-se: "multiplicado" ou vezes Ex: 8*2 = 16, significa que se
multiplicarmos 8 por 2, o resultado 16.
2*3 = 3*2 (L-se duas vezes trs igual a trs vezes dois)
Propriedade Comutativa: A ordem dos fatores no altera o
produto
2 e 3 so fatores, 6 o resultado da multiplicao, tambm chamado de
produto.
*Fator: Cada uma das quantidades que so objetos de uma
multiplicao
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/ ou ou : Diviso
L-se: "dividido" Ex: Vamos representar a diviso: 6 por 2:
6 / 2 = 62fff
= 6D 2 = 6 :2
Todas essas notaes significam que se dividirmos 6 por 2, o
resultado 3.
62fff
= 3 . Neste caso temos uma frao (que uma diviso). L-se: Seis
sobre dois igual trs.
n
dffff
Frao
Frao: ndffff
=numerador
denominadorfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
; Leitura de fraes:
1/1 = 1 = Um inteiro = Um meio 1/3 = Um tero = Um quarto 1/5 =
Um quinto 1/6 = Um sexto 1/7 = Um stimo 1/8 = Um oitavo 1/9 = Um
nono
1/11 = Um onze avos 1/12 = Um doze avos 1/13 = Um treze avos
1/14 = Um quatorze avos 1/15 = Um quinze avos 1/16 = Um dezesseis
avos 1/17 = Um dezessete avos 1/18 = Um dezoito avos 1/19 = Um
dezenove avos
1/10 = um dez avos 1/20 = um vinte avos 1/30 = um trinta avos
1/40 = um quarenta avos 1/50 = um cinqenta avos 1/60 = um sessenta
avos 1/70 = um setenta avos 1/80 = um oitenta avos 1/90 = um
noventa avos 1/100 = um cem avos 1/1000 = um mil avos 1/10000 = um
dez mil avos 1/100000 = um cem mil avos 1/1000000 = um milho
avos
= um dcimo = um vigsimo = um trigsimo = um quadragsimo = um
qinquagsimo = um sexagsimo = um septuagsimo = um octogsimo = um
nonagsimo = um centsimo = um milsimo = um dcimo milsimo = um
centsimo milsimo = um milionsimo
2/3 = dois teros 3/2 = trs meios 4/5 = quatro quintos 5/4 =
cinco quartos 6/7 = seis stimos 7/8 = sete oitavos 8/9 = oito nonos
9/8 = nove oitavos
10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11 13/20 = treze vinte avos, 13
sobre 20 60/7 = sessenta stimos, 60 sobre 7 73/21 = setenta e trs
vinte e um avos /e = pi sobre e n/m = n sobre m
...
A Frao uma representao da diviso, isto uma simplificao devido as
divises no exatas: Ex: Como expressar a diviso 2 por 3:
0,666666666... = 2/3 = 23fff
= 2D 3 = 2 A 13fff
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Tipos de fraes:
Frao prpria: n < d (numerador menor que o denominador, isto a
parte tomada dentro do inteiro).
Frao imprpria: n > d (numerador maior que o denominador, isto
a parte tomada maior que o inteiro).
Frao aparente: n mltiplo de d . Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2
Frao equivalente: so fraes que representam a mesma parte do
inteiro. Ex: = 2/4 = 3/6 = 4/8
Frao composta: quando n uma frao e d outra frao, tais que se
apresentem na forma:
n
dffff| n = ef
fffffe d = gh
ffff,
n
dffff
=
e
ffffff
gfffffff
hffffff
=e
ffffffA
hgffff
Portanto as fraes do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , so denominadas
fraes compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicao: a
primeira pela inversa da segunda. Isto :
( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g )
i ndffff
Nmero Misto
Um nmero misto, aquele que constitudo por uma parte inteira (i)
mais a frao n/d.
O nmero misto no o produto i . n/d .
Transformaes:
Ex, nmero misto para uma frao:
4 14ffff
= 4 + 14ffff
=164fffffff+ 14
ffff=
174fffffff
L-se: quatro e um quarto; quatro mais um quarto; ou quatro
inteiros e um quarto; Quatro inteiros mais um quarto;
Ex: frao para um nmero misto:
1913fffffff
=1313fffffff+ 613
fffffff= 1 + 613
fffffff= 1 613
fffffff
% Percentagem
ou
Porcentagem
... 1%, 2%, 3% ... 100% ... L-se: Um por cento, dois por cento
...
Do latim, Per Centum = a cada centena
definido como uma medida de razo de base cem (100). Isto a
proporo que o nmero a est para b (base), sendo a o numerador e b o
denominador.
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a
bffff
Indicador de frao por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou
seja um nmero por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 =
0,1 20% = 20/100 = 0,2
= Igual,
Igualdade
L-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o
mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1
Diferente
Ex: 13 31 (13 diferente de 31). Ex: x=5, y=2 Logo x y
=N
Numericamente igual
Este smbolo empregado em casos particulares.
Exemplo em fsica: Considere o grfico abaixo de um movimento
uniforme:
Neste caso dizemos que a rea A do grfico representa o
deslocamento escalar s do mvel, ento:
s=N A =v + v0
2fffffffffffffffffff
At
# Cerquilha
ou
Cardinal
Para o matemtico:
Cerquilha o sinal que definimos como o smbolo de nmero. Isto ele
indica o nmero de algo.
#1, #2 ... pode ser lido como: nmero um, nmero dois. Pode ser
empregado na construo de tabelas, enumerao de exemplos, exerccios,
ordem etc.
Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs)
Este smbolo muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu
vrios nomes e agora esta como um smbolo de multi-significado (ou
seja, o significado depende do caso de aplicao). Alguns exemplos de
nomes comuns. Ex: jogo-da-velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e
etc.
ou
Aproximadamente
ou
Aproximadamente igual
Tanto faz a utilizao de um ou de outro, mas no confunda com
Congruente.
Usamos para arredondamento de um valor muito grande, peridico ou
irracional. Alguns exemplos de aplicao:
pi 3,14 ; e 2,72 ; 2pwwwwwwwwwwwwwwwww
1,41
3pwwwwwwwwwwwwwwwww
1,73 ; 13fff
1,3
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No confundir com: t Congruente
Para informaes sobre como arredondar um valor corretamente veja
o artigo: MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos,
Notao cientfica e Unidades SI
~
Eqipolente ; Negao, (Lgica) ;
Semelhana (Trigonometria)
Depende o caso ou assunto.
1 - Em lgebra Linear e Geometria Analtica:
Dois segmentos orientados AB e CD so eqipolentes quando tm o
mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido. A eqipolncia dos
segmentos AB e CD representada por AB ~ CD .
2 Em lgica, podem ser os smbolos: ~ e : Ex: p: Os alunos iro
passear.
~p ou : p : Os alunos no iro passear.
3 Veja o uso do til para a semelhana de tringulos (mais
abaixo).
4 Podem existir outras aplicaes.
e (Lgica)
Ex: p: Cludia tem um cachorro q: Cludia tem um gato
p q
Cludia tem um cachorro e um gato.
ou (Lgica)
Ex: p: Jos gosta de jogar futebol q: Jos gosta de jogar tnis
p q
Jos gosta de jogar futebol ou tnis.
e a6 Equivalente ou Idntico
Exemplos: 2/4 1/2
L-se: equivalente ou idntico .
x= 16 , y = 4 logo x y
O sinal cortado significa no equivalente ou no equivale.
t
Congruente
ngulos Congruentes:
Dois segmentos de reta so chamados congruentes quando tiverem a
mesma medida, na mesma unidade.
-
GUIDG.COM PG. 14
Exemplo Os segmentos de reta e , da figura, tm medida 4 cm,
portanto so
congruentes.
Indica-se:
< > Comparao
Desigualdade Estrita.
menor que, maior que x < y significa que x menor que y x >
y significa que x maior que y
Comparao
Desigualdade no estrita.
menor ou igual a, maior ou igual a x y significa: x menor ou
igual a y; x y significa: x maior ou igual a y
x n = x A x A x= y Potenciao
Definio dos termos da potenciao
L-se: x elevado ensima potncia igual ao produto de x, n vezes,
que igual a y.
x n = x A x A x = y
x = base n = expoente ou potncia (determina o nmero de fatores)
x.x.x... = produto de fatores ( determinado pelo expoente) y =
produto (em alguns livros definido como potncia)
Exemplos:
@ 3` a@ 2 = 1@ 3` a2fffffffffffffffffff
=19fff
@ 2` a@ 1
=1@ 2` a1ffffffffffffffffff=@ 12fff
10 = 121 = 232 = 3 A 3 = 9
Existem vrias propriedades, consulte Propriedades da
Potenciao.
x 2 = n
x ao quadrado igual a n
comum alunos terem dvidas nesse caso, por isso destacamos com um
exemplo:
x = 9 ?
Aqui vem a seguinte pergunta, que nmero elevado ao quadrado
igual a nove? E voc responde 3! (certo), mas esquece que pode ser
(-3) tambm.
-
GUIDG.COM PG. 15
Portanto no cometa mais esse erro, existem dois nmeros que
elevados ao quadrado so iguais a nove. Isto :
x 2 = 9x 2@ 9 = 0ento:x 2@32 = 0diferena de quadrados:veja a
forma fatorada:x + 3` a
x @ 3` a
= 0portanto x + 3 = 0 ou x @ 3 = 0x =@ 3 ou x = 3
Podendo ser escrita da seguinte forma:
}3,3{39:
9::
2
2
=
==
=
=
=
Sxento
xexemplonxento
nx
!!!! Fatorial , n fatorial (n!)
O Smbolo / Sinal de exclamao na matemtica definido como
fatorial. Fatorial que vm da palavra fator.
A definio de n fatorial a seguinte:
n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1
Definimos tambm: 0! = 1 1! = 1
Exemplos:
Para n = 6, teramos: n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
4!=4.3.2.1 = 24
20!18!fffffffff
=20.19 A 18!
18!ffffffffffffffffffffffffffffffff
= 20.19 = 380
(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)!
n + 1` a !n@ 1` a
!fffffffffffffffffffffffff
=
n + 1` a
A n` aA n@ 1` a !
n@ 1` a
!fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= n + 1` a
n = n2 + n
Radical
O smbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix
quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o
lado do quadrado. n x L-se: Raiz ensima de x.
OBS: quando no houver nmero no ndice esta ser sempre quadrada,
no existe em R razes de ndice par de nmeros negativos. Existem em R
razes de ndices impares de nmeros negativos. Ex: 416 += (Raiz
quadrada de 16)
-
GUIDG.COM PG. 16
273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 3@
273pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=@ 3 (Raiz cbica)
2164 += (Raiz quarta de 16) ...
reipwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= z
( ) Radical (sinal) ( i ) ndice (fora) ( r ) Radicando (dentro)
( e ) Expoente de r ( z ) Raiz (resultado)
Importante: A raiz quadrada de um nmero sempre positiva.
|| 2 xx =
A segunda notao para razes a o expoente fracionrio. Ento
z = re
ifffff
Exemplo: A raiz quadrado de x ao cubo:
x 3qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x32fffff
A raiz quinta de x ao quadrado:
x 25qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x25fffff
Decoreba: para escrever corretamente, quem esta por dentro esta
por cima, e quem esta por fora esta por baixo.
(dentro da raiz, fora da raiz, por cima na frao (numerador), por
baixo na frao (denominador).
log Logaritmo
Ex: log28 = 3
O logaritmo de 8 na base 2 3, pois elevando 2 ao expoente 3
obtemos 8. Nunca esquea, se no tiver base no logartmo, definimos
como sendo na base 10.
ln (l) Logaritmo (n) neperiano
Logartmo natural
logen = y
Logartimo neperiano o logartmo cuja base o numero "e". e =
2,718281828....
Ex: log e 8 = 2,079441542... porque e 2,079441542... = 8
-
GUIDG.COM PG. 17
e Nmero de Euler
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287...
L-se nmero de ilar ou tambm: nmero de Napier, constante de Nper,
nmero neperiano, constante matemtica e nmero exponencial. Publicado
em 1618 por John Napier.
Constante de Euler-
Mascheroni
*letra grega Gama minscula
teoria dos nmeros.
= 0,577215664901532860606512090082402431...
A sexta constante matemtica importante, foi calculado com
centenas de casas decimais. No se sabe se um nmero irracional.
i Unidade imaginaria
i = @ 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
i utilizado para representar a raiz de menos um Consulte Nmeros
Complexos.
pi Pi (Minsculo) *letra grega
pi = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...
O nmero pi definido como a razo entre a circunferncia de um
crculo e o seu dimetro.
Mas este nmero tem outras personalidades. tambm um nmero
irracional e um nmero transcendente.
Em trigonometria pi = 180
Tambm conhecido como constante de Arquimedes ou nmero de
Ludoph.
2pwwwwwwwwwwwwwwwww
Constante de Pitgoras
*Raiz quadrada de dois.
2pwwwwwwwwwwwwwwwww
= 1.41421 35623 73095 04880 16887
Nmero de Ouro
Letra grega Fi minscula
razo urea, Proporo urea.
=1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...
-
GUIDG.COM PG. 18
y = ax + b
ou
y = mx + n
Funo do primeiro grau.
Ou
Equao da reta Ou.
* Para melhor entender verifique a definio de funo.
Ex: y = 0,5x + 1
m o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox).
n o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy).
Se n e m forem diferentes de zero chama-se funo afim, Se n for
igual a zero chama-se funo linear. Se m for maior que zero a funo
crescente. Se m for menor que zero a funo decrescente. Se f(x) = y
= x, chama-se funo identidade.
ax + by + c = 0
Equao geral da reta
GEOMETRIA ANALITICA
y = @ abfffffffffff
x @c
bffff
Equao reduzida da reta
GEOMETRIA ANALITICA
ax2 + bx + c =0
e
x =@bF b2@4acq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A equao de segundo grau
e a frmula para
As Razes da Equao de
Segundo Grau
Ocorre de escrevermos Bskara, mas o certo Bhaskara.
apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir crditos ao
Matemtico Bhaskara, e o mtodo para extrair as razes, como frmula de
Bhaskara. (Consulte a histria).
Essa frmula se obtm quando fatora-se a equao de segundo grau,
completa-se os quadrados e isola-se a varivel (x). Vite tambm props
outro mtodo para extrao das razes (devem existir mais), mas essa a
forma mais fcil mesmo, e como na matemtica trabalha-se
repetidamente com equaes de segundo grau, ser fcil a memorizao.
Essa a equao de segundo grau igualada zero:
ax2 + bx + c =0
a, b, c so os coeficientes (tambm chamados de parmetros), e x a
varivel.
E foi a partir dela que surgiu a frmula, o problema consistia em
achar os valores de x para os quais tornam a equao verdadeira, ou
seja que valores de x tornam a equao nula.
Publicamos um artigo demonstrando essa frmula, verifique o ndice
de Matemtica Bsica.
-
GUIDG.COM PG. 19
Pesquisa de Razes Racionais
Razes da equao polinomial quando o grau maior que 2.
Este mtodo chamado Pesquisa de razes, por que raramente na
primeira tentativa se acha uma soluo para o problema. No entanto
ele sugere um caminho, resumimos a definio abaixo.
(A) Razes Racionais: Seja a funo polinomial P(x) = 0 de grau
n.
a0 xn + a1 x
n + 1 ++ an@ 2 x
2 + an@ 1 x + an = 0
an 0 e a0 0b c
As possveis razes so o(s) nmero(s) x = p/q (p e q nmeros
primos), onde p divisor Inteiro de an (termo independente) e q
divisor Inteiro de a0 (coeficiente do termo de maior grau).
(B) Razes Inteiras: Um caso particular se an divisvel por a0 ,
for um nmero inteiro. Ento obtemos sem tantas tentativas as razes,
que so os divisores inteiros de an . (Mas o teorema que abrange
mais amplamente o primeiro mesmo).
Exemplo para (A): Determinar em C as razes da funo
polinomial:
f (x) = 2x3 + x2 + x 1
Soluo.
I ) 2x3 + x2 + x 1 = 0
II) As razes possveis so x = p/q, onde p divisor inteiro de -1 e
q divisor inteiro de 2 .
III) D(-1) = { 1} = p D(2) = {1, 2} = q IV) Razes possveis: x =
p/q { 1 , 1/2 }
V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o
polinmio e testar as possveis razes.
VI) Verifica-se que 1/2 raiz do polinmio, e a funo polinomial
dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x):
P(x) = (2x+2x+2)(x-1/2)
VII) Com o Mtodo para extrao das razes da eq. De segundo grau
temos o conjunto soluo, com duas razes imaginrias:
Exemplo para (B):
Determinar as razes:
-
GUIDG.COM PG. 20
f (x) =2x-11x+17x-6=0
De acordo com o teorema B, as razes possveis, j que -6 divisvel
por 2, so apenas os divisores inteiros de -6.
D(-6) = {1, 2, 3, 6}
Pesquisando as razes pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
Vemos que 2 raiz, simplificando a funo: f (x) = (x 2) (2x2 7x +
3) S = {1/2, 2, 3}
Logo notamos tambm que existe outra raiz inteira, 3. E aqui se
esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz j seria sugerida,
no entanto o conjunto das razes possveis aumentaria de oito razes
possveis para doze.
Utilizando o mtodo A, o conjunto das razes possveis :
x = p/q={ -, , 1, 3/2, -2, 2, 3, -3, 6}
Portanto esteja consciente de utilizar o mtodo adequado.~
Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicaes e
resumimos abaixo omitindo a demonstrao: Considere a funo polinomial
de coeficientes Reais:
f x` aa0 x n + a1 x n + 1 ++ an @ 2 x 2 + an @ 1 x + an
E dois nmeros tais que a < b , f (a) . f (b) 0
1 Se f (a) . f (b) < 0 , Ento em f (x) existe um nmero impar
de razes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinmio. (se
for trs, ento uma ou trs razes).
2- Se f (a) . f (b) > 0 , Ento em f (x) no existe, ou existe
um nmero par de razes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do
polinmio. (se for seis, ento no existem razes, ou h duas, ou quatro
ou seis razes).
Este teorema resolve questes de anlise, por exemplo:
Analise a funo polinomial e verifique quantas razes h no
intervalo (0, 1). f(x) = x5 2x2 + 3x +1 .
Soluo: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , ento no h razes, ou h
duas, ou quatro razes no intervalo dado. (isto porque o polinmio de
quinto grau).
Produtos Notveis
1) Quadrado da soma ou diferena de dois termos: a + b` a2 = a 2
+ 2ab + b 2
a @ b` a2 = a 2@ 2ab + b 2
-
GUIDG.COM PG. 21
2) Diferena de Quadrados: a 2@ b 2 = a + b` aA a @ b` a
3) Cubo da soma ou diferena de dois termos: a + b` a3 = a 3 + 3a
2 b + 3ab 2 + b 3
a @ b` a3 = a 3@ 3a 2 b + 3ab 2@ b 3
4) Soma ou diferena de Cubos: a 3 + b 3 = a + b
` aA a 2@ ab + b 2b c
a 3@ b 3 = a @ b` a
A a 2 + ab + b 2b c
Binmio de Newton
No se assuste com a seguinte frmula, pois ela muito simples, e
foi desenvolvida com a inteno de facilitar o clculo.
A forma x + a` an
8 n > 1 2 Z , expandida da seguinte maneira e aplicvel a
todas as formas demonstradas anteriormente em Produtos notveis.
x + a` an
= x n +n
1!fffffA x n@ 1 A a +
n A n@ 1` a
2!ffffffffffffffffffffffffffffff
A x n@ 2A a2 +
+n A n@ 1` a
A n@ 2` a
3!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x n@ 3A a3 +
+n n@ 1` a
n@ 2` a
2n@ 1` a
!ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x A an@ 1 + an
Procedimento, para o lado direito da igualdade: 1 o primeiro
termo (x) sempre elevado ao expoente n.
2 o segundo termo, o expoente vezes x elevado a uma unidade a
menos que o n inicial. Multiplique isso por a.
3 o terceiro o produto de n pelo expoente de x do segundo termo,
ou seja: n e (n 1). Divida isso pelo nmero de termos escritos, ou
seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades reduzidas do
n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a mais que a do
segundo termo.
A dica memorizar os passos, deduzir os produtos notveis (que
possam ser) pelo Binmio de Newton, e por ltimo demonstrar a frmula
at o quarto termo. Depois disso repetio.
PA Progresso Aritmtica
PA, Progresso Aritmtica. uma seqncia numrica, tal que o termo
posterior o termo anterior mais a razo.
PA = a1 , a2 , a3 , ,anP Q
A Razo de uma PA r a razo, numa PA determina-se fazendo a
diferena do termo posterior pelo termo anterior, isto :
-
GUIDG.COM PG. 22
r = a2@ a1
Termo geral de uma PA:
an = a1 + n@ 1` a
r
Formula de recorrncia: Termo qualquer, sendo n m :
an = am + n@m` a
r
Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 :
an = am + n@m` a
r [ a10 = a4 + 10@ 4` a
r
43 = 25 + 6r6r = 18 [ r = 3
Conseqncia: A soma dos extremos de uma PA sempre um nmero
constante. Considere a PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
ento:
a1 = 2, a2 = 4, a9 = 18a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 =
a5 + a52 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20
Termo mdio, Mdia aritmtica:
Sendo a1 , a2 , a3 uma PA ento:
a2 =a1 + a3
2ffffffffffffffffffff
[ an =an@ 1 + an + 1
2ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Soma dos termos da PA:
Sendo a1 e an ento a soma dos n termos da PA:
S n =a1 + anb c
n
2ffffffffffffffffffffffffffffffff
PG Progresso Geomtrica
PG, Progresso Geomtrica. uma seqncia numrica, tal que o termo
posterior o termo anterior vezes a razo.
Ex: PG = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} uma PQ de razo 2.
q a razo, e obtm-se dividindo o termo posterior pelo
anterior.
q = anan@ 1
ffffffffffffff
Termo geral: an = a1 A q
n@ 1
Termo qualquer: an = am A qn@ m
Termo mdio, Mdia Geomtrica:
-
GUIDG.COM PG. 23
Seja a PG: , an@ 1 , an , an + 1 , ` a
an` a2
= an@ 1` a
A an + 1` a
an` a
=F an@ 1` a
A an + 1`
aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Isto : o termo do meio a raiz quadrada do produto: termo
anterior vezes termo posterior (depende o sinal da seqncia
tambm).
Soma dos termos da PG:
S n = a1Aqn@ 1q@ 1ffffffffffffffffffff g
ou S n = a1 A1@ qn1@ qffffffffffffffffffff g
Apesar da troca de sinal, as duas frmulas so iguais.
Soma dos termos da PG, quando -1 < q < 1 , e n + . Isto a
soma dos termos de uma Progresso Geomtrica Convergente.
S n =a1
1@ qffffffffffffffff
Ex: Qual o valor da soma s = 1 + 12fff+ 14ffff+ 18
fff+ ?
q =12ffff
1ffff
=12fff
, S1 =1
1@ 12ffff
ffffffffffffffff=
11fff
2fff
= 2
ABffffffffff
Segmento de reta
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a
figura (*) constituda por eles e por todos os pontos que esto entre
eles.
Exemplo: O segmento de reta determinado por A e B representado
por AB
ffffffffff ,
dizemos que A e B so suas extremidades, e representamos por AB a
medida de .
ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
ou ujjjjjjjjk
Vetor
Geometria Analtica, lgebra Linear. Vetor, verifique a definio
formal. Segmento de reta orientado.
ujjjjjjjjk
= ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A
Ex: se A x1 ,y1 ,z1` a
e B x2 ,y2 ,z2` a
ento ABjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A = x2@ x1 , y2@ y1 ,z2@ z1` a
-
GUIDG.COM PG. 24
< ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk>
Produto escalar
Geometria Analtica, lgebra Linear. Esta notao implica que
devemos multiplicar as coordenadas do vetor u pelas de v, e ento
obter o produto escalar. Tambm representasse por: ujjjjjjjjkA
vjjjjjjjjk
Exemplo:
ujjjjjjjjk
= 1,2,3b c
e vjjjjjjjjk
= 4,5,6b c
ento < ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk> = ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk=
1,2,3b c
A 4,5,6b c
= 4 + 10 + 18` a= 32
d P,pib c
Distncia de um ponto a um Plano
d P,pib c
=
ax0 + by0 + cz0 + dLLL MMM
a2 + b2 +
c2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
a,b,c so as coordenadas do vetor normaldo planox0 ,y0 ,z0 so as
cordenadas do ponto qualquerd =@ax1@ by1@cz1 onde x1 ,y1 ,z1
` aso as coordenadas
de umponto pertencente ao plano A
Ex: A distncia entre o ponto P(-4,2,5) ao plano : 2x + y + 2z +
8 = 0
d P,pib c
=
2 @ 4` a
+ 1 2` a
+ 2 5` a+ 8LLL MMM22 + 12 +
22qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d P,pib c
= 4uc
d P1 ,P2b c
Distncia entre dois pontos
GEOMETRIA ANALTICA Utilizando como base o teorema de Pitgoras,
pode-se calcular a facilmente a distancia entre dois pontos no
plano cartesiano.
seja: P1 x1 , y1 ,z1` a
e P2 x2 ,y2 ,z2` a
ento a distncia d P1 ,P2b c
= | P1
P2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk|
d P1 ,P2b c
= x2@x1` a2
+ y2@y1` a2
+ z2@z1`
a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Ou seja a distncia o mdulo do vetor P1
,P2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
Ex. A distncia entre P(7,3,4) e Q(1,0,6) d P,Qb c
= 1@7` a2
+ 0@3` a2
+ 6@4`
a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=
49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=7 u.c.
u.c. : unidades de comprimento
-
GUIDG.COM PG. 25
Xi = m
n
f i` a
Notao Sigma
Somatrio" * letra grega
Sigma maiscula
Xi = m
n
f i` a= f m` a+ f m + 1` a+ f m + 2` a+ f n` a
i o ndice da soma ( um smbolo arbitrrio, pode assumir o valor de
qualquer letra) m o limite inferior n o limite superior f (i) a
funo
Ex: Xk = 1
5k 2 =12 + 22 + 32 + 42 + 52
Produto, Produtrio.
(Aritmtica) *letra grega Pi Maisculo
Produto em, at, de...
| x | Mdulo / Valor absoluto de x
|-5| = 5
L-se: o mdulo de menos cinco igual cinco. Significa
geometricamente a distancia do valor de x at zero. (veja a definio
de mdulo para mais informaes).
|x| = x`
a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
|9| = 9` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=
9
Definio: O mdulo de x x se x for maior ou igual a zero ou o
mdulo de x -(x) se x for menor que zero.
Definio em linguagem matemtica:
|x| = x, se x 0@ x, se x
-
GUIDG.COM PG. 26
ou
ngulo reto
90
Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formao
de um ngulo de noventa graus (90) entre duas retas ou planos,
independente se a primeira(o) estiver disposta(o) de forma
horizontal, vertical ou diagonal.
Um ngulo reto a metade de um ngulo raso.
// Paralelo
Retas paralelas
Se r e s so duas retas paralelas indicamos por r // s.
L-se: r paralela(o) s .
Retas paralelas so aquelas que no possuem ponto em comum, ou
seja no se cruzam, no so concorrentes.
ngulo raso ngulo raso
Um ngulo raso mede 180, e a metade do ngulo de uma volta
completa (360).
Raso: Adj.: De superfcie plana; liso.
ngulo agudo ngulo agudo
o ngulo cuja medida esta entre 0 e 90. Ou o mesmo que 0 < x
< 90
Agudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado
de um instrumento cortante)
ngulo obtuso ngulo obtuso
aquele cuja medida situa-se entre 90 e 180. Ou o mesmo que 90
< x < 180
Obtuso: Adj.:Que no aguado ou agudo; que no bicudo; arredondado,
rombo.
ngulos complementares
ngulos complementares
So aqueles cujas medidas somam 90, e diz-se que um o complemento
do outro.
Ex: 34 o complemento de 56 e vice-versa, pois 34 + 56 = 90
Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar.
ngulos suplementares
ngulos suplementares
So aqueles cujas medidas somam 180 e diz-se que um o suplemento
do outro. Ex: 48 o suplemento de 132 e vice-versa, pois 48 + 132 =
180
Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer
falta.
ngulo de depresso
ngulo de depresso
o ngulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o
ngulo alfa ""
-
GUIDG.COM PG. 27
ngulo de elevao ngulo de elevao
o ngulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o
ngulo alfa ""
Bissetriz de um ngulo
Bissetriz de um angulo
Bissetriz de um ngulo a semi-reta que partindo do vrtice,
determina dois ngulos congruentes ( ou seja, de mesma medida).
Obs: todo ngulo possui uma nica bissetriz
Grau
Indicao para ngulos e coordenadas em geometria / trigonometria,
temperatura em graus Celsius e etc.
Tempo: 1 grau igual a 60 minutos que igual a 3600 segundos. 1 =
60 = 3600
MAT: Por definio, 1 grau o arco equivalente a (um trezentos e
sessenta avos) da circunferncia, ou seja, em um arco de volta
completa, ou de uma volta, cabem 360 (graus).
Minuto
Indicao abreviada de minuto.
Ex: 1 = 60 (Um minuto igual a sessenta segundos).
Segundo
Indicao abreviada de segundo.
Ex: 20 segundos = 20
gr Grado Definimos como 1 grado o arco equivalente a da
circunferncia, isto , em uma circunferncia ou arco de uma volta
cabem 400 gr (grados).
Esse sistema no to eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu
em desuso.
-
GUIDG.COM PG. 28
rad Radiano
(1) Um radiano o arco cujo comprimento igual ao do raio da
circunferncia onde tal arco foi determinado.
(2) Um radiano o comprimento de arco cujo medida igual a do raio
da circunferncia que ele compe.
arc Arco AB / AB&
Definimos como arco de circunferncia cada uma das partes em que
ela dividida por dois de seus pontos.
: Um Arco representado dessa forma, e l-se: Arco AB
Se dois pontos coincidem, h portanto dois arcos, um o arco nulo,
e outro o arco de uma volta.
Ateno: No confundir com segmento de reta.
sin ou sen e cos
Seno e Co-seno
Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por no
entender o significado das abreviaes sen, cos, tg, etc. esses
termos representam medidas, que se projeta em algum eixo. Por
exemplo o seno de um ponto P(x,y) dado pela relao abaixo, e
significa uma medida.
sen ` a
=
cateto
opostohipotenusafffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
cos ` a
=
cateto adjacentehipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Funo Trigonomtrica:
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GUIDG.COM PG. 29
Definio geomtrica de sen e cos: Tomemos uma circunferncia de
raio 1 e um ponto A da mesma, considere o sistema de coordenadas da
figura acima. Dado um nmero real x, seja Px o ponto da
circunferncia correspondente a x, ento:
cos x = abscissa de Px ; sen x = ordenada de Px ; Portanto Px =
(cos x, sen x)
Obs: o smbolo da funo seno sen, ento deveramos escrever sen(x),
e da mesma forma para cos x, cos(x). A omisso dos parnteses
tradicional, e serve para aliviar a notao. Contudo no v pensar que
sen x, um produto de sen por x. E isso no tem sentido, pois sen e
cos uma correspondncia (funo) e no um nmero:
sen x no produto de sen por x; cos x no produto de cos por
x.
co-x Co-razo x
O complemento de x
Expliquemos o significado da partcula co, que inicia o nome das
relaes co-seno, co-tangente e co-secante. Ela foi introduzida por
Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razo trigonomtrica do
complemento. Por exemplo, co-seno de 22 tem valor idntico ao seno
de 68 (complementar de 22).
Assim, as relaes co-seno, co-tangente e co-secante de um ngulo
indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento
desse ngulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome
de razo, podemos dizer que
co-razo x = razo (90 - x)
Exemplos:
Iasen
pi3fffffd e
= cospi2fffff@
pi3fffffd e
= cos3pi @ 2pi
6fffffffffffffffffffffffffff g
= cospi6fffffd e
IIasen 37` a= cos 90@ 37` a= cos 53` a
Com base no tringulo apresentado na figura A, conclui-se
que:
sen = cos e sen = cos
tg = cotg tg = cotg
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GUIDG.COM PG. 30
sec = cossec sec = cossec
tan ou tg Tangente
tg = (co: cateto Oposto)/(ca: cateto adjacente) = co/ca
tg x = senxcosxffffffffffffff
=
co
hfffffffff
ca
hfffffffffffffffff
=co
hfffffffA
hca
fffffff=
co
ca
fffffff
Interpretao geomtrica no ciclo trigonomtrico:
cot ou cotg Co-tangente
cot x =cos x
sen xffffffffffffffff
=1
tg xffffffffffff
Sabendo as trs primeiras sen, cos e tg, o resto no fica difcil
de memorizar veja:
Quando aparecer Co pode se para memorizao interpretar como:
inverso de. Tg sen sobre cos, ento cotg o inverso de tg, e fica cos
sobre sen.
Geometricamente:
sec Secante
sec x =1
cos xfffffffffffffff
Secante lembra Seno, mas um sobre cosseno
Geometricamente
csc ou cossec Co-secante csc x =
1sen xffffffffffffffff
Co-secante lembra cosseno, mas um sobre seno
-
GUIDG.COM PG. 31
Interpretao geomtrica das
funes trigonomtricas no
ciclo trigonomtrico
sinh ou senh Seno hiperblico
Definimos a seguinte funo exponencial como Seno hiperblico, e
suas demais conseqentes abaixo.
f:RQR , sinh x` a= ex@ e@ x2ffffffffffffffffffffffffff
cosh Co-seno hiperblico
f:RQ 1, +1B c
, cosh x` a
=ex + e@ x
2fffffffffffffffffffffffff
tanh ou tgh Tangente hiperblica
f:RQ @ 1, 1b c
,
sinh x` acosh x
` affffffffffffffffffffffff= tgh x` a= ex@ e@ xex + e@
xffffffffffffffffffffffffff
coth ou cotgh Co-tangente hiperblica
f:RCQ @1 ,@ 1b c
S 1, +1b cD E
,
1tgh x` afffffffffffffffffffff= coth x
` a=
ex + e@ x
ex@ e@ xffffffffffffffffffffffffff
sech Secante hiperblica
f:RQ 0, 1b c
,
1cosh x
` affffffffffffffffffffffff= sech x` a= 2ex + e@
xfffffffffffffffffffffffff
csch ou cossech Co-secante hiperblica
f:RCQRC , 1sinh x` affffffffffffffffffffff= csch x` a= 2
ex@ e@ xffffffffffffffffffffffffff
Relaes Hiperblicas
Aqui est uma analogia s relaes trigonomtricas, onde alguns casos
tambm so verificados nas funes hiperblicas. Abaixo esto algumas
identidades:
1) cosh2 x @sinh2 x = 1
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GUIDG.COM PG. 32
2) sinh @ x` a=@ sinh x` a
3) cosh @ x` a= cosh x` a
4) coshx + sinhx = e x
5) coshx@ sinhx = e@ x
6) sech2 x = 1@ tgh2 x
7) @csch2
x = 1@coth2 xcsch2 x = coth2 x@ 1
X\Z
8) sinh x + y` a= sinhxA coshy + sinhyA coshx
9) cosh x + y` a= coshxA coshy + sinhxA sinh y
10) sinh 2x` a= sinh x + x` a= 2 A sinhxA coshx
11) cosh 2x
` a= cosh x + x
` a= cosh2 x + sinh2 x= 2 Asinh2 x + 1= 2 Acosh2 x @ 1
X^^^^^^^\^^^^^^^Z
12) sinh2 x = coshx@ 12fffffffffffffffffffffffffffff
13) cosh2 x = coshx + 12fffffffffffffffffffffffffffff
Relaes Trigonomtricas
Relao fundamental
Partindo da figura A e da relao de Pitgoras: a = b + c
(dividindo por a) 1 = (b/a) + (c/a)
Tomando em relao ao ngulo B. Sabemos que sen x = (c.o./h) =
(b/a) e cos x = (ca/h) = (c/a)
sen2 x + cos2 x = 1
Outras relaes:
sec2 x = 1 + tg2 x mas cosx 0cossec2 x = 1 + cotg2 x mas senx
0
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GUIDG.COM PG. 33
Relaes Trigonomtricas Em senos
Algumas frmulas que podem ser teis na vida dos estudantes de
clculo. Quando aparece: cos a cos b , isto implica que estamos
multiplicando o co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a
todas as frmulas apenas mudando as funes em sen, cos, tg, etc.
1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
2: sen(a b) = sen a cos b cos a sen b Decoreba para 1 e 2: Minha
terra tem palmeiras onde canta o sabi, seno a co-seno b, seno b
co-seno a. Sinais iguais
3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a sen(2a) = 2
sen a cos a
4: sena senb =@12fff
cos a + b` a@ cos a@b` aB C
5: sena cos b = 12fff
sen a + b` a+ sen a@b` aB C
No recomendo a memorizao, mas voc deve saber que existem essas
relaes, saber aplicar e ter em mos quando for necessrio.
Relaes Trigonomtricas Em co-senos
1: cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b
2: cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b Decoreba para 1 e 2:
coa-coa, senta-senta.Sinais contrrios.
3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a sen a sen a cos(2a) =
cosa sena 3b: cos(2a) = 1 2sena 3c: cos (2a) = 2cos a 1 OBS: 3b e
3c so obtidas por substituio da relao fundamental. E a partir
dessas duas relaes pode-se chegar a outras por manipulao
algbrica.
4: cos a cos b = 12fff
cos a + b` a+ cos a@b` aB C
Relaes Trigonomtricas Em tangente
1: tg a + b` a= sen a + b` a
cos a + b` affffffffffffffffffffffffffffffffff tg a + b` a= tga
+ tgb1@ tga A tgbffffffffffffffffffffffffffffffffffffff^ cos a +
b
` a 0
2: tg a@ b` a= sen a@b` a
cos a@b` affffffffffffffffffffffffffffffffff tg a@b` a= tga@
tgb1 + tga A tgbfffffffffffffffffffffffffffffffffffff^ cos a@b
` a 0
3: tg 2a` a
=
2tga1@ tg2 affffffffffffffffffffffffffff
^ cos 2a` a
0
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GUIDG.COM PG. 34
Relaes Trigonomtricas Em metades.
1: sen2 a2ffffd e
=1@ cos a
2ffffffffffffffffffffffffffff
2: cos2 a2ffffd e
=1 + cos a
2fffffffffffffffffffffffffff
3: tg2 a2ffffd e
=1@ cos a1 + cosaffffffffffffffffffffffffffff
^ cosa @ 1
Relaes Trigonomtricas
Soma e diferena de senos
1: senp + senq = 2sen p + q2fffffffffffffffffd e
A cosp@ q
2fffffffffffffffffd e
2: senp@ senq = 2sen p@ q2fffffffffffffffffd e
A cosp + q
2fffffffffffffffffd e
Relaes Trigonomtricas
Soma e diferena de co-senos
1: cos p + cos q = 2cos p + q2fffffffffffffffffd e
A cosp@q
2fffffffffffffffffd e
2: cos p@ cos q =@2sen p + q2fffffffffffffffffd e
A senp@q
2fffffffffffffffffd e
Relaes Trigonomtricas para qualquer
tringulo Lei dos senos.
Lei dos senos:
A medida de um lado (x) igual ao dobro do raio (2R) vezes o seno
do ngulo oposto ao lado (X^ ):
( x = 2R senX^ ).
Ou tambm: a
senA^fffffffffffffffff
=
bsenB^ffffffffffffffff
=
c
senC^ffffffffffffffff
= 2R
Obs: O Tringulo no precisa ser eqiltero (ter os lados
iguais).
Relaes Trigonomtricas para qualquer
tringulo Lei dos co-senos.
Lei dos co-senos:
a2 = b2 + c2@ 2bc A cos A^
b2 = a2 + c2@ 2ac A cos B^
c2 = a2 + b2@ 2ab A cosC^
Mais informaes consulte a teoria.
a 2 = b 2 + c2
Teorema de Pitgoras
Consulte trigonometria. Relao trigonomtrica de Pitgoras para o
Triangulo Retngulo (T.R. aquele que possui um ngulo de noventa
graus ou ngulo reto).
a, b e c so as medidas dos catetos.
Cateto: Cada um dos lados do ngulo reto no tringulo retngulo.
Adjacente: prximo, vizinho, ao lado. Hipotenusa: em geometria, o
nome do lado do triangulo que esta oposto ao ngulo reto.
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GUIDG.COM PG. 35
A hipotenusa ao quadrado (a) igual (=) a soma dos quadrados dos
catetos (b + c).
CO = cateto oposto ao ngulo CA = cateto adjacente ao ngulo
Outras relaes:
Altura h: a.h = b.c h = m.n
Projees m e n: b = a.n c = a.m
Existem controvrsias quanto a atribuio da frmula Pitgoras, pelo
fato dele prprio no ter deixado nada por escrito, o que se tem so
relatos de outros estudiosos daquela poca, que podem ser alteraes
do trabalho original, de qualquer forma conhecemos esse teorema e
assim nos lembramos por teorema de Pitgoras.
Polgonos regulares Tabela de polgonos
Polgonos (figuras geomtricas com n nmero de lados iguais). Obs:
Polgono regular todo polgono convexo que tem os lados congruentes e
os ngulos coincidentes (ngulos iguais).
Nmero de lados, Polgono: 3 - Triangulo 4 - Quadriltero 5 -
Pentgono 6 - Hexgono 7 - Heptgono 8 Octgono 10 - Decgono 11 -
Undecgono 12 - Dodecgono 15 - Pentadecgono 20 Icosgono
d = n A n@ 3` a
2fffffffffffffffffffffffffffff
Nmero de diagonais.
Polgonos
A diagonal a reta que liga vrtices no consecutivos: O nmero de
diagonais (d) dado por:
d = n A n@ 3` a
2fffffffffffffffffffffffffffff
(n) o nmero de lados do polgono.
Para este polgono temos 5 lados, e substituindo na frmula temos
o nmero de diagonais que 5. Mas nem sempre o nmero de lados
igual
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GUIDG.COM PG. 36
ao nmero de diagonais. As diagonais desde pentgono so as retas
coloridas.
Si = n@ 2` a
A 180 Soma de ngulos
internos.
Polgonos
Essa frmula determina a soma dos ngulos internos de um polgono
convexo, mas no necessariamente regular.
Si = n@ 2` a
A 180
i^
ngulo interno
Em polgonos regulares, como todos os ngulos so coincidentes,
podemos calcular cada ngulo interno utilizando a formula da soma de
ngulos internos (Si ) dividida pelo nmero de lados (n) do
polgono.
i^ =Sinffffff[ i^ =
n@ 2` a
A 180n
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
ABBCffffffffff
=DEEFffffffffff
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas
transversais quaisquer, que segmentos de uma ( ABBC
ffffffffff) so proporcionais aos segmentos
correspondentes da outra ( DEEFffffffffff).
a // b // c ento ABBCffffffffff
=DEEFffffffffff
ABC ~ DEF Semelhana de tringulos
O til (~) neste caso pode ser lido como semelhante
Os tringulos so semelhantes se as seguintes condies forem
verificadas:
1 Os ngulos internos correspondentes so iguais. 2 A razo entre
os lados homlogos forem proporcionais.
Homlogo: lados, ngulos, diagonais, vrtices e outros elementos
que se correspondem ordenadamente.
Ento, em linguagem matemtica resumimos:
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GUIDG.COM PG. 37
ABC~DEF ^A^ = D^
B^ = E^
C^ = F^
X^^^^\^^^^Z e
a
dffff
=beffff
=c
ffff
= k
Decorrncia:
No Tringulo ABC, se PQffffffffff
// BCffffffffff
, ento APQ ~ ABC
Infinito
um "oito deitado" e representa o infinito.
Este smbolo foi criado pelo matemtico Ingls John Wallis
(1616-1703) para representar a "aritmtica Infinitorum".
Infinito no um nmero, um conceito, pode ser visto como aquilo
que esta acima de todos os nmeros, e que contm todos e alm.
xQ1 Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que
ele cresce sempre, sem ter um limite, independente do sinal,
positivo ou negativo, cresce nos dois sentidos simultaneamente.
xQ +1 Se for dito que x tende a mais infinito, ento ele cresce
sempre, somente na parte positiva.
Proporcional
definir.
f :AQ B
Funo de A em B
f = funo : = de A = Conjunto de sada (Domnio) = em B = Conjunto
de chegada (Contra-domnio)
L-se: f de A em B .
Ou interpretasse como associao, Se associa ao elemento. Exemplo
de utilizao em funes:
f : R R xy | y = a.x + b, a0
L-se: F de R em R, associa a cada x o elemento y igual a vezes x
mais b com a diferente de zero.
f x` a
Funo de x
Consulte a teoria de Funes: L-se: f de x
Exemplo: f(x) = ax + b (L-se: f de x igual a ax mais b) Essa uma
funo de primeiro grau, ou tambm chamada de funo afim quando b for
diferente de zero.
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GUIDG.COM PG. 38
Podendo variar entre f, f, F ... e no se restringindo x, podendo
ser y, z, t, e qualquer outra letra.
lim Limite
Verificar tabela de limites no ndice de Calculo Dif. E integral.
Ex:
Indica que 3 o limite da funo 2x+1 quando x tende a 1.
f .
Derivada
f a notao para a derivada de uma funo, outras notaes tambm so
usadas freqentemente: Se y uma funo de x y = f x` ab c, ento a
derivada de x indicada por: f . x` a= dydxffffffff= Dx y
A definio:
f . x` a= limxQ 0
f x + x` a@ f x` ax
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
, l-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada
parcial).
Quando trata-se de uma funo de vrias variveis, o smbolo de
derivao muda. Ex: seja u = f(x,y,z) ento a derivada indicada em
relao a que varivel quer-se derivar a funo:
uxffffffff
,
uyffffffff
,
uzffffffff
que indicam a derivada da funo f em relao x, y , z ,
respectivamente. Existem outros casos de aplicao.
Integral
, S de Soma.
O smbolo da integral um S estilizado (e no um I como pode se
pensar), pelo fato da integral ser uma soma (Clculo 2).
Inicialmente a integral vista como a inversa da derivada, a
Anti-derivada (clculo 1), e depois ela recebe uma nova cara, que a
soma de infinitsimos para o clculo de reas e volumes, verifique as
noes intuitivas e a definio formal por um livro.
Existem vrias regras de integrao. Exemplo de uma das regras:
L-se: A integral de seno de x dx "menos" cosseno de x"mais" a
constante.
Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o
clculo 1)
Omitimos a bibliografia. Encontrou erro? Faa sua sugesto, entre
em contato pelo menu (?) SOBRE O SITE em www.guidg.hd1.com.br
