tabela- trigonometria

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Tabela Anlise MatemticaUniversidade de Coimbra A n l i s e Ma t e m t i c aT A B E L A Mini-Atlas de funes Funes trigonomtricas directas Frmulas fundamentais: sen2x + cos2x = 1sen x + !2" # $ % = cosxOutras funes trigonomtricas: tan x =sen xcos x sec x =1cosxcosec x =1sen x cotan x =cos xsen x Outras frmulas importantes: sen2x = 2sen x cos x cos2x = cos2x ! sen2xsen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x cos(x + y) = cos x cos y ! sen x sen ysen2x = 1! cos2x2cos2x = 1+ cos2x2 tan(x + y) =tan x + tan y1 ! (tan x)(tan y) SendoL = tg x2 tem-se sen x =2L1 + L2 cos x =1! L21+ L2 sec x =1 + L21 ! L2cosec x =1 + L22L tan x =11! L !11 + L cotan x =1! L22L Funes trigonomtricas inversas y = arcsen xsen y = x,- 2 y 2

y = arccos xcos y = x,0 y y = arctan xtan y = x,- 2< y < 2

y = arcsec xsec y = x,0 < y < , y 2

y = arccosec xcosec y = x,- 2< y < 2, y 0 y = arccotan xcotan y = x,0 < y < Principais frmulas: arctan x = arcsenx1 + x2! " # $ % & = arccosec1 + x2x! " # $ % & arctan x + arccotan x = arcsen x + arccos x = arccosec x + arcsec x = '2 Funo logartmica Por definio ex= y !x = log y ax= y !x = loga yisto , a funo logaritmo natural e a funo logaritmo de base a so as funes inversas, respectivamente, da TabelaAnlise Matemtica 2007 funo exponencial natural e da funo exponencial de base a (com a >0, a1). Temos (frmula de mudana de base) Funes f(x)g(x) Por definio f(x)g(x) = e g(x) ln f(x) onde e o nmero de Euler. Isto significa que f(x)g(x) s est definida se f(x) > 0. Funes hiperblicas Por definio, as funes hiperblicas so senh x = ex! e! x2 cosh x = ex+ e! x2 Frmula fundamental: cosh2x ! senh2x =1 Outrasrelaespodemserdeduzidasqueseassemelhamsrelaesentreasfunestrigonomtricas, como cosh 2x = cosh2x + senh2xsenh2x = 2senh x cosh xOutras funes: tanh x =senh xcosh xsech x =1cosh xcosech x =1senh xcotanh x =cosh xsenh x Funes hiperblicas inversas y = argcosh xcosh y = x ,0 yy = argsech xsech y = x ,0 y y = argsenh xsenh y = x, y = argtanh xtanh y = x, y = argcosech xcosech y = x,, y 0 y = argcotanh xcotanh y = x,y 0 Frmulas de reduo: argsenh x = log x + x2+1( )arg cosh x = log x + x2!1( ), x "1argsech x = log1+ 1 ! x2x# $ % & ' ( , 0 < x )1argcosech x = log1x+ 1 +1x2# $ % & ' ( arg tanh x = log1+ x1! x# $ % & ' ( , !1 < x 0" # $ % $ funo de Heaviside

H(x) =0 sex < 012 sex = 01 sex > 0! " # $ # funo rectngulo

!(x) =1 se x < 120 se x > 12" # $ Relaes importantes: !(x) = H x + 12" # $ % & H x & 12" # $ % sgn(x) = 2 H(x) !1 funo caracterstica (o maior inteiro que inferior ou igual a x) C(x) = [x] = nse n x < n+1,com nZ funo mantissa (a parte decimal de x) M(x) = x - [x] Tabela de Primitivas Seja f uma funo real de varivel real definida num intervalo aberto ]a,b[. Sejam e constantes reais no nulas. Seja p um nmero real no nulo. C designa uma constante arbitrria. As regras abaixo s so vlidas em intervalos abertos. Por inverso da tabela de derivadas das funes elementares, obtemos: FunoPrimitivaRestries 0 C a ax + C p fp-1 f' fp + Cp0, f 0 se p Z- , f > 0 se p irracional fp f' fp+1p+1+ C p-1,f 0 se p Z-\{-1}, f > 0 se p irracional af f' log aaf + Ca>0 af f' aflog a+ Ca>0 f'f log a loga|f| + Ca>0, f 0 f'f log|f| + Cf 0 |f|ff' = sgn(f) f'|f| + Cf 0 f' cos fsen f + C f' sen f-cos f + C f' sec2 ftan f + C f' cosec2 f-cotan f + C f' sec ftan fsec f + C TabelaAnlise Matemtica 2007 f' cosec fcotan f-cosec f + C f'1 - f2 arcsen f + C|f| < 1 ou -arccos f + C|f| < 1 f'1 + f2 arctan f + C ou -arccotan f + C f'|f|f2 - 1 arcsec f + C|f| > 1 ou -arccosec f + C|f| > 1 f' senh f cosh f + C f' cosh f senh f + C f' sech2 ftanh f + C f' cosech2 f-cotanh f + C f' sech f tanh f-sech f + C f' cosech f cotanh f-cosech f + C f'1 + f2argsenh f + C f'f2 - 1 argcosh f + Cf>1 f'1 - f2 argtanh f + C|f|1 f'f1 - f2 -argsech |f| + C|f| peap+1ap< 1,escolhemos r =am+1am

(b') sean+1an inferior ou igual a paran > pescolhemosr = Tabela Anlise MatemticaUniversidade de Coimbra 2- A srie de termos no negativos e a sua convergncia foi determinada utilizando o critrio de Cauchy Suponhamos que an convergente, que an0 e que n!+ "lim nan = < 1 Rm< rm+11 ! r (a) se a sucesso ( )nan decrescente e de primeiro termoa1 < 1, escolhemos r =mam

(b) senan sempre inferior ou igual aescolhemosr = (a') se a sucesso ( )nan decrescente paran > pe pap< 1, escolhemosr = = mam

(b') se nan inferior ou igual aparan > pescolhemosr = 3- A convergncia da srie foi determinada utilizando o critrio de Leibniz A srie ser da forma (!1)nann=1+"#ou(!1)n+1ann=1+"# coman0,decrescente e com limite zero. O resto de ordem m uma srie alternada coman 0,decrescente e com limite zero.| Rm |am+1 O sinal de Rm igual ao sinal do seu primeiro termo. Funes especiais funoerroouintegralde probabilidade fer(x) = 2!e"t20x#d tfuno exponencial integralEi(x) =e!ttx+"#dtfuno logartmica integral Li(x) =1logt0x!dt funoseno integralSi(x) =sen tt0x!dtfunointegraldeFresnel comseno S(x) = 2!sent20x"d tfuno de Gauss normalizada G(x) = 12!e" t2/ 2" #x$d t funoco-seno integralCi(x) =costtx!"d t= - - log x +1! cos tt0x"dtonde a constante de Euler (um nmero aproximadamente igual a 0,5772156649...) funointegraldeFresnel com co-seno C(x) = 2!cost20x"d t integrais elpticos de primeira espcie F(k, !) =11 " k2sen2u du =0!#11 " t2( ) 1 " k2t2( )0sen!#d tintegrais elpticos de segunda espcie E(k, !) = 1 " k2sen2u du =0!#1 " k2t21" t20sen!#dt TabelaAnlise Matemtica 2007 integrais elpticos de terceira espcie !(", n, k) =11 + nsen2u( ) 1 # k2sen2u du =0"$11 + nt2( )1 # t2( ) 1# k2t2( )0sen"$d t Desenvolvimentos em srie funo srie de potncias de xconvergncia sen xx ! x33! + x55! !. .. +(!1)n!1x2 n!1(2n !1)!+. .. R tan xx + x33 + 2x515 + 17x7315 +.. . + 22 n22n!1( )Bnx2n!1(2n)!+. .. |x| < 2

arcsen xx + 12 x33 + 1! 32 ! 4 x55 + 1! 3 ! 52 ! 4 ! 6 x77 +. .. +(2n)!22n(n!)2x2n +12n +1+. .. |x| 1 arctan xx ! x33 + x55 ! x77 +. .. + !1 ( )n x2n+12n +1+.. . |x| 1 ex1 + x + x22! + x33! +. .. + xnn! +. .. R tanh xx ! x33 + 2x515 !17x7315 +.. . + !1 ( )n!1 22n22n!1( )Bnx2 n!1(2n)!+.. . |x| < 2

argsenh xx ! 12 x33 + 1" 32 " 4 x55 ! 1" 3 " 52 " 4 " 6 x77 +. .. |x| < 1 (1 + x ) 1 + !x + !(! "1)2!x2+. .. +!(! "1)(! " 2). .. (! " n +1)n!xn+.. .|x| < 1 se -1 -1 0 Os valoresBnque aparecem nos desenvolvimentos detan xetanh xso os nmeros de Bernoulli. Por definio os nmeros de Bernoulli so os nmeros que aparecem no desenvolvimento em srie de potncias da funo xex!1 = 1 ! x2 + B12!x2! B24! x4+ B36! x6!... vlida desde que |x| < 2. Os primeiros nmeros de Bernoulli so n1234567 Bn 16

130

142

130

566

6912730

76