Tarefa 1 com o Cabri 3D - geometrias.eugeometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf · Constrói figuras no Cabri 3D que ilustrem as seguintes situações: 1.1

! CONSTRUÇÕES DINÂMICAS USANDO CABRI3D (via JOÃO ALMIRO)

Tarefa 1 com o Cabri 3D “Teorema do telhado”

1. Constrói uma figura no Cabri 3D que ilustre o seguinte teorema:

Se dois planos P e P' contêm respectivamente duas rectas paralelas, então a sua

intersecção é paralela às duas rectas.

!

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Tarefa 2 com o Cabri 3D Paralelas e perpendiculares

1. Constrói figuras no Cabri 3D que ilustrem as seguintes situações:

1.1. Dado um plano P e uma recta r pertencente a esse plano.

Representa uma recta perpendicular a r e que não seja perpendicular a P.

1.2. Dado um plano P e uma recta r pertencente a esse plano.

Representa um plano paralelo a r que não seja paralelo a P.



Tarefa 3 com o Cabri 3D Tetraedro e octaedro

1. Construção de um tetraedro.

1.1. Constrói no plano um triângulo equilátero [ABC], centrado num ponto P

1.2. Desenha uma recta r, perpendicular ao plano em P.

1.3. Constrói o segmento [AB].

1.4. Desenha uma circunferência “à volta” de AB que passe por C.

1.5. Intersecta a circunferência com a recta r – ponto D

1.6. Conclui a construção do tetraedro usando o comando tetraedro (e não tetraedro

regular), clicando em A, B, C e D.

2. Construção de um octaedro

2.1. Marca os pontos médios das arestas do tetraedro da figura anterior.

2.2. Usa o comando poliedro convexo e clica nesses pontos por qualquer ordem.

2.3. Torna as faces do tetraedro transparentes.

2.4. Esconde o tetraedro



Tarefa 4 com o Cabri 3D Pirâmides

1. Construção de uma primed

1.1. Marca um ponto no espaço.

1.2. Constrói um polígono qualquer no plano.

1.3. Constrói uma pirâmide com base sense polígono e com vértice no ponto.

1.4. Experimenta estilos e cores.

2.

2.1. Constrói uma pirâmide pentagonal regular.

2.2. Usando os comandos do Cabri 3D indica o volume V, a área da base A e o

comprimento da altura h.

2.3. Que relação existe entre o volume V e o produto A x h (área da base vezes a

altura)?

2.4. Será este resultado válido para todas as pirâmides? Constrói uma pirâmide com

base não regular e verifica.



Tarefa 5 com o Cabri 3D Volumes da pirâmide e do cone

1.

1.1. Constrói um cubo.

1.2. Constrói uma pirâmide regular no interior do cubo que tend por base uma das faces

do cubo e a altura igual à aresta.

1.3. Calcula os volumes do cubo e da pirâmide.

1.4. Encontras alguma relação entre esses volumes?

1.5. Altera o valor da aresta do cubo e verifica o que se passa com essa relação.

2.

2.1. Constrói um cilindro, em torno de um segmento de recta perpendicular ao plano

inicial e que passa por um ponto desse plano.

2.2. Constrói um cone no interior do cilindro com a mesma base e a mesma altura.

2.3. Existe alguma relação entre os volumes do cone e do cilindro?

2.4. Altera o valor do raio do cilindro e verifica o que se passa com essa relação.



Tarefa 6 com o Cabri 3D Cones e volumes

1. Construção de um cone

1.1. Constrói um círculo no plano.

1.2. Traça uma perpendicular ao plano passando pelo centro do círculo.

1.3. Marca um ponto nessa perpendicular.

1.4. Constrói o cone cuja base é o círculo e com vértice nesse ponto.

2.

2.1. Intersecta o cone por um plano paralelo à base.

2.2. Faz a curva de intersecção

2.3. Constrói um novo cone que tenha por base esta intersecção e com o mesmo vértice

que o outro cone.

2.4. Para uma melhor visualização modifica a cor e os estilos dos dois cones.

2.5. Indica, com os comandos do Cabri 3D, os volumes (V1 e V2) e os comprimentos das

alturas (h1 e h2) dos dois cones.

2.6. Que relação existe entre ! e ! ? 1

2

VV

1

2

hh



Tarefa 7 com o Cabri 3D Cilindro e esfera

1.

1.1. Traça um segmento de recta [AB] perpendicular ao plano inicial.

1.2. Constrói uma esfera de diâmetro [AB].

1.3. Traça o plano mediador do segmento de recta [AB].

1.4. Representa a curva de intersecção desse plano com a superfície esférica.

1.5. Constrói um cilindro em torno do segmento de recta [AB] e que passe por um ponto

pertencente à curva representada na alínea anterior.

2.

2.1. Calcula os volumes da esfera e do cilindro construídos na pergunta anterior.

2.2. Encontras alguma relação entre esses dois volumes?

2.3. Imagina agora que enches com água o espaço situado entre a esfera e o cilindro.

Qual a relação entre o volume dessa água e o volume da esfera?

2.4. Calcula a área lateral do cilindro e a área da superfície esférica. Existe alguma

relação entre essas áreas?

2.5. Será que alterando o raio da esfera se mantém todas as relações que encontraste

nas alíneas anteriores? Experimenta.



Tarefa 8 com o Cabri 3D Às voltas com o cuboctaedro

1.

1.1. Constrói um cubo transparente com uma das faces no plano inicial.

1.2. Marca os pontos médios de todas as arestas.

1.3. Constrói o poliedro que se obtém unindo todos os pontos médios das arestas. A este

poliedro chama-se cuboctaedro.

1.4. Roda-o de forma a observares melhor as suas características.

1.5. Caracteriza e classifica as faces deste poliedro. Se necessário planifica-o.

1.6. Confirma que este poliedro verifica a fórmula de Euler.

1.7. Determina a área da superfície do cuboctaedro.

1.8. Relaciona os volumes do cuboctaedro e do cubo inicial.

2.

2.1. Constrói um octaedro.

2.2. Identifica o poliedro obtido a partir da união dos pontos médios das suas arestas.

2.3. Relaciona os volumes dos dois poliedros.



Tarefa 9 com o Cabri 3D Viagem ao interior do cubo

1.

1.1. Constrói um cubo transparente com uma das faces no plano inicial.

1.2. Traça duas diagonais faciais não complanares e perpendiculares.

1.3. Constrói o poliedro que se obtém unindo os extremos dessas duas diagonais

1.4. Roda-o de forma a observares melhor as suas características.

1.5. Caracteriza e classifica as faces deste poliedro e identifica-o. Se necessário

esconde o cubo e o plano iniciais e faz a sua planificação.

1.6. Confirma que este poliedro verifica a fórmula de Euler.

2.

2.1. Indica a área da superfície do poliedro obtido.

2.2. Repara que o cubo inicial ficou constituído, para além do poliedro que identificaste

na pergunta 1.5., por mais quatro poliedros. Identifica-os e determina o seu volume.

Se necessário podes construir um deles para o visualizares com a ajuda do Cabri 3D.

2.3. Relaciona o volume do sólido construído na pergunta 1.3. com o do cubo inicial.



Tarefa 10 com o Cabri 3D Perímetros, áreas e volumes no cubo

1.

1.1. Constrói um cubo transparente com uma das faces no

plano inicial e identifica os vértices, como na figura.

1.2. Constrói o triângulo [AFH].

1.3. Marca os pontos médios das arestas [AB], [BF],

[FG], [GH], [DH] e [AD].

1.4. Constrói o polígono que se obtém unindo os seis

pontos médios marcados anteriormente.

1.5. Determina os perímetros do triângulo e do

hexágono.

Como explicas o resultado obtido?

1.6. Calcula agora as áreas dos mesmos polígonos e relaciona-as.

Como explicas o resultado obtido?

1.7. Verifica-se que os dois polígonos dividem o cubo em três sólidos.

Existirá alguma relação entre os seus volumes (incluindo o do cubo)? Investiga.

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A B

CD

E F

GH


Tarefa 11 com o Cabri 3D Stella octangula

1.

1.1. Constrói um octaedro.

1.2. Constrói 8 tetraedros, sabendo que cada um terá como base uma das faces do

octaedro.

1.3. Ao sólido constituído pelo octaedro e pelos 8 tetraedros chama-se Stella octangula.

Constrói um poliedro unindo os 8 vértices dos tetraedros que não pertencem ao octaedro

inicial. Faz as medições necessárias para mostrares que este novo poliedro é um cubo.

1.4. Qual é a relação entre os volumes do octaedro e de cada um dos tetraedros.

1.5. Qual é a relação entre os volumes da Stella octangula e do cubo construído na

pergunta 1.3.

2. Tendo por base um cubo consegue-se construir a Stella octangula.

Faz essa construção e explica como procedeste.

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Tarefa 12 com o Cabri 3D Construir um dodecaedro

1.

1.1. Constrói, no plano inicial, um pentágono regular centrado na origem O.

1.2. Desenha uma recta r, perpendicular ao plano em O

1.3. Constrói o segmento [PQ] definido por um dos lados

1.4. Desenha uma circunferência “à volta” de [PQ] que passe por O.

1.5. Faz uma rotação do pentágono em torno desse segmento e que transforme o ponto

O num ponto A qualquer da circunferência

1.6. Faz uma rotação deste novo pentágono em torno da recta r de modo a transformar

P em Q.

1.7. Com as adaptações necessárias, procede de igual modo para construir os outros

três pentágonos obtidos por rotação em torno de r.

1.8. Desenha uma recta s, passando por A e perpendicular ao pentágono obtido em 1.5.

1.9. Intersecta as rectas r e s.

1.10. Transforma os 6 pentágonos construídos, através de uma simetria central com

centro no ponto de intersecção obtido na alínea anterior.

1.11. “Fecha” o dodecaedro arrastando A.

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Tarefa 13 com o Cabri 3D Homotetias

1.

1.1. Traça uma recta definida por dois pontos A e B pertencentes ao plano inicial.

1.2. Constrói um plano perpendicular a essa recta que passe por A.

1.3. Constrói um quadrilátero qualquer nesse plano.

1.4. Traça semi-rectas a unir o ponto B a cada um dos vértices do quadrilátero.

1.5. Esconde o plano e os vectores iniciais e a recta AB.

1.6. Muda o estilo da superfície do plano perpendicular à recta AB para riscas finas.

1.7. Marca o ponto médio entre o ponto B e um dos vértices do quadrilátero à tua

escolha.

1.8. Transforma o quadrilátero numa homotetia de centro em B que transforma o vértice

do quadrilátero escolhido na alínea anterior no ponto médio marcado também na alínea

anterior.

1.9. Mede as áreas e os perímetros dos dois quadriláteros. Consegues estabelecer

alguma relação entre os perímetros? E entre as áreas?

1.10. Arrasta o quadrilátero inicial e observa se as relações encontradas continuam

válidas.

1.11. Transforma agora o quadrilátero inicial numa homotetia de razão 1,5.

1.12. Consegues estabelecer alguma relação entre o perímetro e a área deste

quadrilátero com o perímetro e a área do quadrilátero inicial?

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Tarefa 14 com o Cabri 3D Vistas

1. Considera o seguinte poliedro.

! Observando-o podemos obter as seguintes vistas:

Frente Lado Cima

1.1. Utilizando o Cabri 3D, reproduz o seguinte poliedro.

! 1.2. Move-o de maneira a representar as suas vistas de frente, de lado e de cima.

Desenha-as no espaço seguinte.

Frente Lado Cima

1.3. Considera como unidade de área a face de um cubo. Qual a medida de área total

deste poliedro?

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2. Considera as seguintes vistas relativas a um poliedro constituído apenas por cubos de

igual tamanho.

Frente Lado Cima

2.1. Com o Cabri-3D, constrói um poliedro cujas vistas sejam as dadas e desenha-o.

3. Na figura está representada uma caixa com

a forma de paralelepípedo na qual estão

introduzidos alguns cubos sobrepostos e todos

de igual tamanho.

3.1. Quantos cubos contém o paralelepípedo?

3.2. Sabendo que o volume ocupado pelos

cubos é 1344 cm3, determina a medida da aresta de cada cubo.

3.3. Calcula as dimensões (comprimento, largura e altura) do paralelepípedo.

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Tarefa 15 com o Cabri 3D Planificações

1.

1.1. Constrói um cubo

1.2. Faz a sua planificação (Usa o comando Abrir poliedro).

1.3. Pinta da mesma cor os pontos que representam o mesmo vértice e verifica se a tua

solução está correcta. (terás que criar pontos sobre os vértices para os poderes pintar

de cor diferente)

1.4. Pinta da mesma cor os segmentos que representam a mesma aresta e verifica se a

tua solução está correcta. (terás que criar segmentos sobre as arestas para os poderes

pintar de cor diferente)

1.5. Clica com o botão direito do rato na planificação e faz Adicionar planificação.

(Obtém-se uma planificação do cubo que poderá ser impressa).

2.

2.1. Constrói um cubo.

2.2. Faz a sua planificação.

2.3. Desenha segmentos na planificação de modo que o cubo fique “embrulhado” como

em cada uma das figuras seguintes:

! !

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Tarefa 16 com o Cabri 3D As secções no cubo

1.

1.1. Constrói um cubo,

1.2. Define um segmento [AB] sobre uma das suas arestas e neste marca um ponto P.

1.3. Constrói o plano perpendicular a [AB] que contém o ponto P.

1.4. Desenha a secção produzida por este plano sobre o cubo.

1.5. Regista as características da secção obtida à medida que o ponto P percorre [AB].

2.

2.1. Repete o exercício anterior sendo [AB] diagonal de uma das faces. (Podes usar o

comando Poliedro truncado para visualizares melhor a secção.)

2.2. Investiga se existe alguma secção quadrada sem ser resultante de um plano

perpendicular a uma aresta.

3.

3.1. Repete ainda o exercício inicial sendo [AB] uma das diagonais espaciais do cubo.

3.2. Relaciona as secções obtidas com o número de faces do cubo intersectadas pelo

plano dado.

3.3. Investiga qual a posição relativa das intersecções produzidas por um plano em duas

faces opostas do cubo.

4.

4.1. Constrói no Cabri 3D a figura abaixo:

- Um cubo com uma circunferência a passar por 3 vértices (A, B e C).

- Um ponto Q sobre a circunferência.

- Um segmento de recta [AQ], definido por dois pontos da circunferência.

- Um ponto P sobre [AQ].

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!

4.2. Traça um plano perpendicular a [AQ] que contem P.

4.3. Desenha a sessão produzida por este plano sobre o cubo.

4.4. Para cada posição do ponto Q na circunferência, faz variar a posição do ponto P,

observando as secções produzidas pelo plano no cubo.

4.5. Investiga as condições em que se deve cortar o cubo para que a secção obtida seja:

4.5.1. Um trapézio.

4.5.2. Um paralelogramo.

4.5.3. Pentágono.

5.

5.1. Em cada um dos cubos apresentados, constrói a secção neles produzida pelo plano

ABC.

! ! !

5.2. Confirma os teus resultados utilizando o Cabri 3D

A

C

B

A

B

C

A B

C

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Tarefa 17 com o Cabri 3D Truncaturas no octaedro

1. O poliedro representado na figura é um octaedro truncado: Todas as suas faces são

polígonos regulares e foi obtido por truncatura de um octaedro.

!

1.1. Reproduz esta figura utilizando o Cabri 3D.

Nota que se traçares, pelo centro de um triângulo equilátero, rectas paralelas aos lados,

estas dividem-nos em 3 partes iguais.

!

1.2. Que tipo de polígonos são as faces do octaedro truncado. Se necessário planifica-o.

1.3. Confirma que este poliedro verifica a fórmula de Euler

1.4. Relaciona o volume do octaedro truncado com o do octaedro inicial.

1/3

1/3

1/3

Centro

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Tarefa 18 com o Cabri 3D Paralelepípedo, coordenadas e truncaturas

1. Construção de um paralelepípedo

1.1. Marca um ponto A no plano e um ponto B no espaço

1.2. Constrói um paralelepípedo em que AB é uma diagonal espacial (Usa o comando

Paralelepípedo XYZ).

1.3. Coloca as coordenadas nos vértices do paralelepípedo.

1.4. Arrasta o paralelepípedo com o rato e observa as suas coordenadas.

2.

2.1. Traça a diagonal espacial [AB].

2.2. Marca um ponto P nessa diagonal.

2.3. Constrói o plano perpendicular a [AB] que contém esse ponto.

2.4. A partir do paralelepípedo inicial, constrói o poliedro que se obtém por truncatura,

considerando este plano de corte. (Usa o comando Poliedro truncado)

2.5. Arrasta com o rato o ponto P e observa as alterações no poliedro obtido por

truncatura.

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Tarefa 19 com o Cabri 3D Perdido no espaço

Numa viagem feita ao espaço, um astronauta perdeu-se numa das plataformas espaciais. Com

ele, tinha apenas um GPS que lhe permitia saber a sua localização, relativamente a um referencial cartesiano Oxyz.

De modo a tirar algumas conclusões que possam ajudar o astronauta a salvar-se, vamos fazer algumas explorações, utilizando o Cabri 3D,.

1. Para a salvação do astronauta é fundamental perceber onde se localiza, no espaço, a

plataforma em que se encontra.1.1. Para tal:

- marca um ponto P no espaço, que não pertença ao plano xOy.- traça um plano p (plataforma), perpendicular ao eixo Oz, que passa pelo ponto P.

- marca um ponto A (astronauta) sobre este plano- indica as coordenadas do ponto A e a equação do plano p.

- faz deslocar o astronauta, sobre a plataforma, em vários sentidos.1.2. Tenta descobrir uma relação entre as coordenadas do ponto A e a equação do plano p.

1.3. E se a plataforma se deslocar no espaço, o que acontece a essa relação?

2. Repete este procedimento no caso de uma plataforma perpendicular a outro eixo coordenado à tua escolha. Regista as conclusões obtidas.

3. O que acontecerá se esta plataforma estiver paralela a um dos eixos coordenados?

3.1. Começa por efectuar os seguintes procedimentos:- por um ponto qualquer P do plano xOy, traça uma recta r paralela a um dos eixos

coordenados.- desenha o plano p (plataforma), que contém a recta r e outro ponto qualquer do espaço,

não pertencente ao plano xOy.3.2. Qual a posição deste plano p em relação ao eixo coordenado considerado? Indica a

equação deste plano p.3.3. Desenha uma outra plataforma q, paralela a outro eixo coordenado e indica também a sua

equação.

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! CONSTRUÇÕES DINÂMICAS USANDO CABRI3D (via JOÃO ALMIRO)3.4. Analisa as equações destes dois planos e encontra uma relação entre a equação de cada

plano e a sua posição relativamente aos eixos coordenados.

4. Finalmente, imaginemos que a plataforma está numa posição sem qualquer relação de paralelismo ou perpendicularidade com qualquer dos eixos coordenados.

4.1. Assim, é necessário desenhar um plano que intersecte os três eixos coordenados e posteriormente tentar relacionar a sua equação com um determinado vector. Sendo assim:

- sobre cada um dos vectores que definem o referencial, traça uma recta, de modo que evidencie melhor cada um dos eixos de um referencial cartesiano Oxyz.

- marca um ponto qualquer sobre cada um desses eixos.- desenha o plano p que passa por esses três pontos.

- marca um ponto A sobre este plano e por ele traça uma recta r, perpendicular ao plano p.- constrói um vector v com origem no ponto A que tenha a direcção da recta r.

- indica a equação do plano p e as coordenadas do vector v.4.2. Alterando o comprimento do vector v, tenta encontrar uma relação entre as suas

coordenadas e a equação do plano p.4.3. Altera a posição do plano e verifica se a relação que encontraste se mantém.

Moral da história:Embora o astronauta continue à deriva, esperemos que esta história vos tenha ensinado alguma

coisa!

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Tarefa 20 com o Cabri 3D Outras actividades com sólidos

1. Constrói os duais dos sólidos platónicos

2. Constrói uma caixa com forma cúbica com uma esfera inscrita e abre uma “tampa” da

caixa.

!

3. Reproduz a figura

!

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Tarefa 1 com o Cabri 3D - geometrias.eugeometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf · Constrói figuras no Cabri 3D que ilustrem as seguintes situações: 1.1