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TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE

Fenômenos de Transporte II - Profa. Cintia B. Gonçalves

Em processos de aquecimento ou resfriamento em equipamentos com operação em batelada, assim como na colocação em marcha ou na parada de equipamentos com operação contínua, a transferência de

calor ocorre em regime transiente

Na transferência de calor em regime transiente, a temperatura muda não só com a posição no interior do corpo, ela também muda com o tempo em uma mesma posição; tanto a taxa de transferência de calor através

do corpo, como a energia interna do corpo mudam com o tempo. O corpo acumula ou desacumula energia interna.

Exemplos: tratamento térmico de enlatados em equipamentos em batelada, aquecimento e resfriamento de equipamentos contínuos.

1ª Abordagem: SISTEMAS CONCENTRADOS (SITUAÇÃO MAIS SIMPLES)

T¥ (ar quente) T

Corpo metálico qualquer (elevada

condutividade térmica)

Resistência externa à transferência de calor (RE) =Ah ×

1

Resistência interna à transferência de calor (RI) =Ak

L c

×

AV

áreavolume

L c ==Em geometria:PlanaCilindricaEsférica

LL c =2RL c =3RL c =

Quando RI <<<<< RE, pode-se desconsiderar a diferença de

temperatura no interior do corpo e admitir que todo ele se aquece

(no caso contrário, resfrie) a uma temperatura uniforme por todo

o corpo, a qual muda com o tempo.

1,01

<=×

== BIOTk

Lhh

kLRERI cc

A aproximação é válida só quando a resistência interna é muito menorque resistência externa. NÃO ESQUECER QUE É UMAAPROXIMAÇÃO

t = 0T = T0

t = t1

T = T1

t = t2

T = T2

• Desenvolvimento da equação:

Calor transferido para o corpo = Calor acumulado no corpo

Taxa de calor transferido ).(. TTAhq -= ¥

Taxa de calor acumuladodtdT

cmq p ..=

h = coeficiente convectivo detransporte de calor fluido-corpo

A = área de transferência de calor (nasuperfície do corpo)

m = massa do corpo

cp = calor específico do corpo

T¥ = temperatura do fluido(constante ao longo do tempo)

T(t) = temperatura do corpo(uniforme em todo o corpo, masvariável com o tempo)

t = tempo

dtdT

cmTTAh p ..).(. =-¥ òò -=

¥

T

T

tp

oTT

dTAh

cmdt

)(.

.

.

0

T

ToTT

Ah

cmt pt

)(ln..

.0

--= ¥

Condição inicial: p/ t = 0 ® T=To

÷÷ø

öççè

æ---

=¥

¥

o

p

TTTT

Ah

cmt ln.

.

.t

o

pcmAh

eTTTT ..

.÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ-

¥

¥ =--

Equação ou perfil de temperatura válida para qualquer sistema com RI desprezívelT

T¥

To

t

Bi = Número de Biot =RERI

kLh c =

.

[ ] alAdimension

..

... 2

==

Cmhkcal

mCmh

kcal

Bi

o

o

Fo = Número de Fourier = 2

.

cL

ta= Tempo Adimensional

[ ] alAdimension .

2

2

==m

ss

m

Fo

CONCEITOS IMPORTANTES EM REGIME TRANSIENTE

pck×

=r

aonde = difusividade térmica

2

AV

L

ck

Vm

c

p

=

=

=

.

.

ra

r

Escrevendo o Perfil de Temperatura em função de Bi e Fo:

t

o

pcmAh

eTTTT ..

.÷÷ø

öççè

æ-

¥

¥ =--

c

c

ccpp LL

ttt

o

Lkh

Lch

cVAh

eeeTTTT ...

.´÷

÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ-

¥

¥ ××

×××× ===--

arr

e sabendo que:

kLh

Bi c.= 2

.

cL

tFo

a=

( )FoBi

o

eTTTT ×-

¥

¥ =--

Mas

• A situação descrita anteriormente, de sistemas concentrados, ocorresomente para sólidos metálicos (elevada condutividade térmica) compequena dimensão característica (pequeno raio ou pequena ½ espessura).

• Tal situação NUNCA OCORRE para sólidos alimentícios pois suacondutividade térmica é baixa e a resistência interna NUNCA ÉDESPREZÍVEL.

• Mas uma SITUAÇÃO SIMILAR pode ocorrer para recipientescontendo alimentos sob forte agitação. Esta é a situação de um tachoagitado contendo um fluido alimentício; considerado como um leitoPERFEITAMENTE MISTURADO..

IMPORTANTE: a transferência de calor no alimento sob agitação ocorrepor CONVECÇÃO.

Tacho agitado com mistura perfeita,sendo aquecido ou resfriado emregime transiente.

tcmAU

o

peTTTT .

..

÷÷ø

öççè

æ-

¥

¥ =--

U = coeficiente global de transferência de calor entre alimentosob agitação e o meio de aquecimento (ou resfriamento)

A = área de transferência de calor

m = massa do alimento no tacho = ralimento.Valimento

cp = calor específico do alimento

T¥ = temperatura do meio de aquecimento ou resfriamento

T = temperatura do alimento ao longo do tempo

Exercício de aplicação 1

Determinar a reposta de temperatura de um fio de cobre de 0,8 mm de diâmetro a T0 = 150 ºC quando imerso subitamente em:

a) Água (h = 70 kcal/h.m2.ºC) a 40 ºCb) Ar (h = 10 kcal/h.m2.ºC) a 40 ºC

Dados:kcobre = 322 kcal/h.m.ºCcp cobre = 0,091 kcal/kg.ºCr = 8975 kg/m3

q(t ) =h. A.[ T(±L, t) - T¥ ]

T0 = temperatura inicial do corpo, considerada uniforme

T¥ = temperatura do fluido que envolve o corpo, consideradaconstante ao longo de todo o processo

2A) Transferência de calor em regime transiente em placa plana infinita deespessura 2L

T¥

T0 T0

T¥

t = 0 t = t1 t = t2 t = t3 t = t4

2L +L-L

2ª Abordagem: RESISTÊNCIA INTERNA NÃO DESPREZÍVEL (CASO MAIS

COMUM E MAIS COMPLICADO)

T(x,t) = temperatura do corpo ao longo do processo, varia com o tempo ea posição considerada

T(±L,t) = temperatura na superfície do corpo (posições +L e –L), variacom o tempo

q(t) = taxa de calor transferido, varia com o tempo

h = coeficiente convectivo de T.C., considerado constante ao longo de

todo o processo

A = área de T.C, área da superfície do sólido através da qual se

estabelece o contato térmico com o fluido; esta área é suposta constante

ao longo de todo o processo (o sólido NÃO se contrai ou encolhe duranteo processo)

3

2a Lei de Fourier:

÷÷ø

öççè

涶

+¶¶

+¶¶

=¶¶

2

2

2

2

2

2

.zT

yT

xT

tT

a

a = difusividade térmica =pc

k.r

; [ ]s

m2

=a

0

0

2

2

2

2

=¶¶

=¶¶

zT

yT

Não há T.C nas direções y e z

Equação que comanda a transferência de calor em regime transiente nessas condições

Integração da equação por separação de variáveis:

2

2

.xT

tT

¶¶

=¶¶ a

[ ] ( )xtLLsenL

LsenTTTT

nnn cncnnc

cn

o

.cos...exp.).cos()..(.

).(.2 2

1

lallll

l-ú

û

ùêë

é+

=-- å

¥

=¥

¥

Onde os valores de l (l1, l2, ……, ln) são as n raízes da equação.

Condições iniciais e de contorno da equação:1. t = 0 T=To , -L £ x £ L

2. t = ¥ T=T¥ , -L £ x £ L

3. x = 0 Simetria do perfil de temperatura

4. x = L Convecção na interface

txT

x"÷

øö

çèæ

¶¶

==

,00

)( ¥-××=÷øö

çèæ

¶¶

×× ±=±=

TTAhxT

Ak LxLx

Usando ainda os seguintes adimensionais:

sólido corpo no posição de alAdimension ou ==Rr

Lx

X

aladimension tempoFourier .2 ===cLt

Foa

Obtém-se:

[ ]

X)Fo,função(Bi,

)..cos(...exp.).cos()..(.

).(.2 22

1

=--

-úû

ùêë

é+

=--

¥

¥

¥

=¥

¥ å

TTTT

XLFLLLsenL

LsenTTTT

o

cnocnn cncnn

cn

o

lllll

l

Fourier Adimensional de posição

Equação colocada na forma gráfica, CARTAS DE HEISLER

Temperatura do plano médio, para uma placa plana infinita, de espessura 2L

2.

Lt

oF a=

Bi1

Temperatura como uma função da temperatura do centro, para uma placa plana infinita, de espessura 2L

Bi1

¥

¥

--

TtTTtxT

),0(),(

Lx

Perda de calor adimensional Q/Q0, para uma placa plana infinita, de espessura 2L, com o tempo

2BiFo ×

0QQ

=Bi

4

Temperatura do plano médio, para um cilindro infinito, de raio R

Bi1

2.

Rt

oF a=

Temperatura como uma função da temperatura do eixo, para um cilindro infinito, de raio R

Bi1

¥

¥

--

TtTTtrT

),0(),(

Rr

Perda de calor adimensional Q/Q0, para um cilindro infinito, de raio R

2BiFo ×

=Bi0Q

Q

Temperatura do plano médio, para uma esfera, de raio R

Bi1

2.

Rt

oF a=

Temperatura como uma função da temperatura do eixo, para uma esfera de raio R

Bi1

¥

¥

--

TtTTtrT

),0(),(

Rr

Perda de calor adimensional Q/Q0, para uma esfera, de raio R

=Bi

2BiFo ×

0QQ

5

Um cilindro longo (L = 2 m) de aço (k=40 W/m.K, a=1´10-5 m2/s, r=7854 kg/m3, cp=434 J/kg.K) com 0,2 m de diâmetro e temperatura inicial de 400 ºC, é subitamente imerso em água a 50 ºC. Se o coeficiente convectivo é igual a 200 W/m2.K, após 20 minutos, calcule: (a) a temperatura no centro do cilindro, (b) a temperatura na superfície do cilindro, (c ) o calor transferidopara a água.

D L

Exercício de aplicação 2 Uma placa longa de carne aço (k=0,499 W/m.K, r=1073 kg/m3, cp=3480 J/kg.K) com 0,203 m de espessura e temperatura inicial de 37,8 ºC é resfriadacom ar a 1,7 ºC e coeficiente convectivo igual a 39,7 W/m2 K. Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 10 ºC.

No preparo de uma festa, a anfitriã deseja resfriar bebidas enlatadas (k=0,497 kcal/h.m.ºC, a=0,497´10-3 m2/h, r=1000 kg/m3, cp=1 kcal/kg.ºC) de 18 até 1,5 ºC. A temperatura do congelador é de -18ºC e o coeficiente convectivo é igual a 2,84´10-3 W/cm2 ºC. As latas possuem diâmetro igual a 6 cm. Determine o tempo aproximado de resfriamento.

Uma maça (k=0,355 W/m.ºC, r=820 kg/m3, cp=3600 J/kg.ºC) com 6 cm de diâmetro inicialmente a 15 ºC é resfriada com água a 2 ºC e coeficienteconvectivo igual a 50W/cm2 ºC. Determine o tempo necessário para que o centro da maça atinja 3ºC.

Exercício de aplicação 3

Exercício de aplicação 4

Exercício de aplicação 5

Corpos bi- e tri-dimensionais

Cilindro curto de diâmetro 2R e comprimento 2Z

ZoRoZRo TTTT

TTTT

TTTT

2 espessurade placa

2infinito cilindro

22curto cilindro

÷÷ø

öççè

æ--

´÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ--

¥

¥

¥

¥

´¥

¥

Barra infinita de espessura 2L e largura 2W

WoLoWLo TTTT

TTTT

TTTT

2 placa

2 placa

22barra

÷÷ø

öççè

æ--

´÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ--

¥

¥

¥

¥

´¥

¥

Paralelepípedo de espessura 2L, largura 2W e comprimento 2Z

ZoWoLoZWLo TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

2 placa

2 placa

2 placa

222pedoparalelepí

÷÷ø

öççè

æ--

´÷÷ø

öççè

æ--

´÷÷ø

öççè

æ--

=÷÷ø

öççè

æ--

¥

¥

¥

¥

¥

¥

´´¥

¥

Um assado de forma cilíndrica (10 x 20 cm) com 2,3 kg, inicialmente a 20 ºC, é colocado em um forno a 180 ºC e coeficiente convectivo igual a 14 W/cm2 ºC. Determine o tempo necessário para que o centro do assado atinja 90 ºC. Propriedades do assado: k=0,649 kcal/h.m.ºC, a=1,576´10-7 m2/s, r=985,7 kg/m3, cp=4,179 kJ/kg.ºC

Exercício de aplicação 6