UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

HENRIQUE FRANCIZ XIMENES DE ANDRADE BILBAO

DIMENSIONAMENTO DE ABSORVEDORES DE MASSA

SINTONIZADA PARA LAJES DUPLO T PRÉ-FABRICADAS EM

CONCRETO POR MEIO DE ALGORITMO GENÉTICO

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

CAMPO MOURÃO

2016

HENRIQUE FRANCIZ XIMENES DE ANDRADE BILBAO

DIMENSIONAMENTO DE ABSORVEDORES DE MASSA

SINTONIZADA PARA LAJES DUPLO T PRÉ-FABRICADAS EM

CONCRETO POR MEIO DE ALGORITMO GENÉTICO

Trabalho de Conclusão de Curso de graduação, apresentado à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do curso superior de Engenharia Civil do Departamento Acadêmico de Construção Civil – DACOC, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Marcelo Rodrigo Carreira

CAMPO MOURÃO

2016

TERMO DE APROVAÇÃO

Trabalho de Conclusão de Curso

DIMENSIONAMENTO DE ABSORVEDORES DE MASSA SINTONIZADA PARA LAJES

DUPLO T PRÉ-FABRICADAS EM CONCRETO POR MEIO DE ALGORITMO GENÉTICO

por

Henrique Franciz Ximenes de Andrade Bilbao

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi apresentado às 13h50min do dia 01 de dezembro

de 2016 como requisito parcial para a obtenção do título de ENGENHEIRO CIVIL, pela

Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Após deliberação, a Banca Examinadora

considerou o trabalho aprovado.

Prof. Dr. Leandro Waidemam Prof. Dr. Ronaldo Rigobello

( UTFPR )

( UTFPR )

Prof. Dr. Marcelo Rodrigo Carreira

(UTFPR) Orientador

Responsável pelo TCC: Prof. Me. Valdomiro Lubachevski Kurta

Coordenador do Curso de Engenharia Civil:

Prof. Dr. Ronaldo Rigobello

A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso.

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Câmpus Campo Mourão Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Construção Civil

Coordenação de Engenharia Civil

Em memória à minha família que sempre me ensinou o real

significado da palavra amor.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus por sempre ter me dado

sabedoria, paciência e determinação para vencer desafios como este aqui

apresentado. Também, gostaria de agradecer pela família que Ele me deu a qual

sempre é presente nos melhores e piores momentos, compartilhando-os sempre.

Agradeço a minha avó, Sônia Ximenes, ao meu avô, Hayrton Andrade, por

sempre terem me acolhido tendo o cuidado igualmente de uma mãe e um pai e, me

ensinando sempre a ser a melhor pessoa possível.

Também um agradecimento especial a minha mãe que sempre tem e

sempre terá o meu maior amor. Espero um dia poder retribuí-la por tudo que tem

feito por mim, tornando este sonho realidade.

Às minhas irmãs que, apesar de tamanha diferença de idade, pensamentos

e virtudes, as amo de maneira igual e, lembrando que, amor de irmão é sempre o

mais conturbado mas que nunca cai perante as dificuldades.

A minha bela e grande família, mas não menos importantes, um muito

obrigado por tudo que sempre fizeram, sendo felizes e unidos como uma boa e

velha família italiana.

Para a minha namorada Gigliolla vai meus sinceros agradecimentos por tudo

que fez, tem feito e um dia irá fazer por mim e por nós. Desejo sempre que você

trace seu próprio caminho, faça sua história, com determinação e a destreza que

sempre demonstrou ter desde quando nos conhecemos. Lembrando-se sempre que

após a tempestade vem a calmaria a qual você pode se apoiar e se reerguer. Enfim,

continue sendo essa pessoa maravilhosa que é.

Aos meus amigos, todos que fizeram parte de algum momento em minha

vida, um abraço e muito obrigado por torcerem e comemorarem sempre as minhas

vitórias.

RESUMO

Bilbao, Henrique F. X. de A. Dimensionamento de absorvedores de massa sintonizada para lajes duplo T pré-fabricadas em concreto por meio de algoritmo genético. 2016. 102f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Departamento Acadêmico de Construção Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Campo Mourão, Campo Mourão, 2016.

Nos últimos anos, o avanço das técnicas de análise e dimensionamento estrutural em conjunto com o constante desenvolvimento na produção de materiais com melhores propriedades mecânicas, tem permitido a construção de estruturas com maiores vãos e com seções transversais mais econômicas. Com o aumento dos vãos e redução das seções transversais, podem surgir problemas relacionados à vibração excessiva nas estruturas. A vibração excessiva pode ser controlada utilizando o dispositivo de controle passivo chamado Absorvedor de Massa Sintonizada (AMS) cuja instalação é feita onde se tem a maior amplitude modal, podendo ser necessário um ou mais AMS’s na estrutura. Estes dispositivos são constituídos de um conjunto massa-mola disposto em paralelo com um amortecedor, para que sejam fixados na estrutura e constituir assim um sistema. Para o dimensionamento destes dispositivos é necessário encontrar os valores ótimos para os parâmetros: relação entre massas do sistema (µ), relação entre frequências do sistema (β) e amortecimento adimensional do absorvedor (ξa). A realização do dimensionamento pode ser feita utilizando o método apresentado por Moutinho (1998) com o uso de ábacos. O objetivo deste trabalho é desenvolver e implementar um Algoritmo Genético (AG) para o dimensionamento de um AMS para aplicação em laje piso pré-fabricada. O AG foi testado em três modelos analíticos de lajes sujeitas a ação do caminhar de uma pessoa. As estruturas foram propositalmente dimensionadas de tal forma que estivessem em ressonância com o 3º harmônico do caminhar de uma pessoa. Para todas as lajes estudadas considerou-se um carregamento de caminhar normal, com frequência do harmônico fundamental de 2 Hz, criando assim uma simulação de situação de desconforto para os usuários da laje. Após as simulações com o AG concluiu-se que os resultados obtidos para os parâmetros µ, β e ξa foram coerentes com os resultados obtidos pelos ábacos de Moutinho (1998). Por fim observou-se que, para as três lajes estudadas, o critério de conforto à vibração foi alcançado após a instalação do AMS. Palavras-chave: Absorvedor de Massa Sintonizada. Algoritmo Genético. Laje piso. Vibração.

ABSTRACT

Bilbao, Henrique F. X. de A. Design of tuned mass damper for precast concrete double tees floor slabs by means of genetic algorithm. 2016. 102f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Departamento Acadêmico de Construção Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Campo Mourão, Campo Mourão, 2016.

In the last years, the advance of structural analysis and design together with a constant development in the production of materials with better mechanic properties has allowed the construction of higher spans structures and more economical cross sections. The larger spans and the more economical cross-sections can cause problems related to excessive vibration in the structures. Excessive vibration can be controlled using the passive control device called Tuned Mass Damper (TMD) whose installation is done where the highest modal amplitude, and it may be necessary to have one or more TMD in the structure. These devices are constituted of a mass-spring assembly arranged in parallel with a damper, so that they are fixed in the main structure and thus constitute a system. For the design of these devices it is necessary to find the optimal values for the parameters: relation between system masses (μ), system frequency relation (β) and dimensionless damping of the absorber (ξa). The design can be done using the method presented by Moutinho (1998) with the use of abacuses. The objective of this work is to develop and implement a Genetic Algorithm (AG) for the design of a TMD for application in precast concrete floor slab. The GA was tested on three analytical models of slabs subject to the walking people loading. The precast concrete slabs were purposely designed such that were in resonance with the 3rd harmonic of walking people loading. For all the slabs studied, it was considered a normal walking load, with frequency of the fundamental harmonic of 2 Hz, thus obtaining a simulation of discomfort for the users of the slab. After the simulations with the GA it was concluded that the results obtained for the parameters μ, β and ξa were consistent with the results obtained by Moutinho (1998). Finally, it was observed that, for the three floor slabs studied, the vibration comfort criterion was reached after the TMD installation. Keywords: Tuned mass damper. Genetic Algorithm. Precast concrete floor slab. Vibration.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Algoritmo Genético típico. ......................................................................... 21 Figura 2 - Cruzamento, método de um ponto. ........................................................... 24 Figura 3 - Cruzamento, método de multipontos. ....................................................... 25 Figura 4 - Cruzamento, método uniforme. ................................................................. 25 Figura 5 - Exemplo de um sistema com 1 GDL. ........................................................ 28 Figura 6 - DCL do sistema com 1 GDL. .................................................................... 28 Figura 7 - Exemplo 1 de estruturas com 2 GDL. ....................................................... 29 Figura 8 - Exemplo de sistema com 2 GDL. .............................................................. 30 Figura 9 - Diagrama de corpo livre do sistema com 2 GDL. ...................................... 30 Figura 10 - Modelo de AMS para estruturas sem amortecimento. ............................ 34 Figura 11 - Modelo de um AMS para estruturas com amortecimento. ...................... 35 Figura 12 - Curvas de amplificação máxima do deslocamento da massa m1. .......... 36 Figura 13 - Curvas para determinação de β. ............................................................. 37 Figura 14 - Curvas para determinação de ξ2. ........................................................... 37 Figura 15 - Curvas de amplificação máxima do deslocamento relativo. .................... 38 Figura 16 – Laje Duplo T de concreto pré-fabricada. ................................................ 42 Figura 17 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 1 (L1). ......................... 43 Figura 18 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 2 (L2). ......................... 43 Figura 19 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 3 (L3). ......................... 44 Figura 20 - Fluxograma básico de um AG. ................................................................ 47 Figura 21 – Amplificação dinâmica em L1 (Teste 5). ................................................. 56 Figura 22 - Amplificação dinâmica em L2 (Teste 5). .................................................. 56 Figura 23 - Amplificação dinâmica em L3 (Teste 2). .................................................. 57 Figura 24 – Amplificação dinâmica em L1 (Teste 8). ................................................. 61 Figura 25 – Amplificação dinâmica em L2 (Teste 7). ................................................. 61 Figura 26 – Amplificação dinâmica em L3 (Teste 10). ............................................... 62 Figura 27 – Amplificação dinâmica em L1 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 8). ........ 62 Figura 28 – Amplificação dinâmica em L2 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 7). ........ 63 Figura 29 – Amplificação dinâmica em L3 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 10). ...... 63 Figura 30 – Amplificação dinâmica em L1 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 14). ...... 66 Figura 31 – Amplificação dinâmica em L2 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 14). ...... 66 Figura 32 – Amplificação dinâmica em L3 no intervalo 0,8 ≤ r ≤ 1,2 (Teste 11). ...... 67

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Parâmetros para o caminhar de uma pessoa. ......................................... 39 Tabela 2 – Parâmetros da equação (32). .................................................................. 40 Tabela 3 – Valores de K e ξ para uso na equação (33). ........................................... 41 Tabela 4 - Lajes estudadas neste trabalho. .............................................................. 44 Tabela 5 - Cargas dos materiais considerados no dimensionamento. ...................... 45 Tabela 6 - Momentos de inércia equivalente para as lajes. ...................................... 46 Tabela 7 - Intervalos adotados para cada gene. ....................................................... 48 Tabela 8 - Resultados do dimensionamento das lajes. ............................................. 52 Tabela 9 - Avaliação das flechas das lajes. .............................................................. 52 Tabela 10 - Resultados da avaliação dinâmica das lajes. ......................................... 53 Tabela 11 - Parâmetros do AMS obtidos pelos ábacos de Moutinho (1998). ........... 54 Tabela 12 - Resultados obtidos nos testes com a função objetivo f1(r). .................... 54 Tabela 13 - Melhores resultados observados a partir da Tabela 12. ......................... 55 Tabela 14 – Eficiência do AMS com parâmetros obtidos pela otimização de f1r. .... 57 Tabela 15 - Resultados obtidos pelo AG utilizando a função objetivo f2(r). ............... 59 Tabela 16 - Melhores resultados observados a partir da Tabela 15. ......................... 60 Tabela 17 - Resultados obtidos pelo AG utilizando a função objetivo f3(r). ............... 65 Tabela 18 - Melhores resultados observados a partir da Tabela 16. ......................... 65 Tabela 19 – Eficiência do AMS com parâmetros obtidos pela otimização de f3r. ..... 68 Tabela 20 - Dados obtidos para o AMS. ................................................................... 68

LISTA DE SÍMBOLOS

γ Coeficiente que define o gene dominante

i Contador

p(t) Excitação dinâmica

fI(t) Força de inércia

fD(t) Força de amortecimento

fS(t) Força elástica

t Tempo

x Deslocamento

Velocidade

Aceleração

k Rigidez

c Coeficiente de amortecimento viscoso

m massa

p Amplitude da força de excitação

ω Frequência de excitação

r Razão entre a frequência de excitação pela frequência natural

ξ Amortecimento adimensional

ωd Frequência natural amortecida

ωn Frequência natural

A Constante

B Constante

C1 Constante

C2 Constante

x0 Deslocamento inicial

β Razão entre a frequência natural do AMS pela frequência natural da laje

µ Razão entre a massa do AMS pela massa da laje

G Amplificação dinâmica

fp Frequência da passada

vp Velocidade da passada

lp Comprimento da passada

αi Componente de carga (amplitude) do i-ésimo harmônico

φ Ângulo de fase

K Constante

W Peso da área do painel afetada pela carga pontual

fck Resistência característica do concreto à compressão

fyk Resistência característica ao escoamento do aço

Ec Módulo de elasticidade à compressão do concreto

Edin Módulo de elasticidade dinâmico à compressão do concreto

Ieq Momento de inércia equivalente do painel duplo T

L Vão do painel duplo T

g Aceleração da gravidade

f(r) Função objetivo

q Coeficiente de ponderação da função objetivo

ϕ Bitola da armadura

FS Fator de segurança

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14

1.1 CONTEXTO HISTÓRICO ................................................................................ 14

1.2 DELIMITAÇÃO DO ESTUDO .......................................................................... 16

2 OBJETIVOS ........................................................................................................... 17

2.1 OBJETIVO GERAL .......................................................................................... 17

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................ 17

3 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................... 18

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................... 19

3.1 INTRODUÇÃO A OTIMIZAÇÃO NA ENGENHARIA........................................ 19

3.2 FUNDAMENTOS DE ALGORITMOS GENÉTICOS ........................................ 20

3.2.1 Preliminares .............................................................................................. 20

3.2.2 Estrutura de funcionamento do Algoritmo Genético .................................. 21

3.2.3 Operadores genéticos ............................................................................... 21

3.2.3.1 Inicialização ........................................................................................ 22

3.2.3.2 Avaliação – Função desempenho (fitness) ......................................... 22

3.2.3.3 Seleção ............................................................................................... 23

3.2.3.4 Cruzamento ........................................................................................ 24

3.2.3.5 Mutação (Crossover) .......................................................................... 26

3.2.3.6 Atualização ......................................................................................... 27

3.2.3.7 Finalização.......................................................................................... 27

3.3 FUNDAMENTOS DE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS ................................... 27

3.3.1 Sistemas com 1 grau de liberdade ............................................................ 27

3.3.2 Sistemas com 2 graus de liberdade .......................................................... 29

3.3.3 Solicitação harmônica devido a vibração forçada ..................................... 32

3.3.4 Absorvedores de massa sintonizada ......................................................... 34

3.3.4.1 AMS em estruturas com amortecimento ............................................. 34

3.3.4.2 Dimensionamento de AMS para estruturas amortecidas .................... 35

3.4 Vibração devido ao caminhar de uma pessoa ............................................. 39

3.4.1 Frequência natural mínima para pisos pré fabricados com lajes duplo T ....................................................................................................................... 40

3.5. Limite aceitável de vibração em pisos ......................................................... 41

4 MÉTODOS ............................................................................................................. 42

4.1 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DAS LAJES ........................................ 42

4.2 AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DAS LAJES .................... 45

4.2 IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO GENÉTICO ......................................... 46

4.2.1 Estrutura desenvolvida para os operadores genéticos .............................. 47

4.2.1.1 Função objetivo .................................................................................. 47

4.2.1.1 Início da população ............................................................................. 48

4.2.1.2 Avaliação (fitness) .............................................................................. 49

4.2.1.3 Critério de parada ............................................................................... 49

4.2.1.4 Seleção ............................................................................................... 49

4.2.1.5 Cruzamento ........................................................................................ 50

4.2.1.6 Mutação .............................................................................................. 51

4.3 ANÁLISE DINÂMICA DAS LAJES APÓS A INSTALAÇÃO DO AMS .............. 51

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................... 52

5.2 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DUPLO T ................................................ 52

5.2.1 Dimensionamento Estrutural ..................................................................... 52

5.2.2 Comportamento dinâmico das lajes antes da instalação do AMS ............. 52

5.3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL .......................................................... 53

5.3.2 Testes com a função objetivo 1 ............................................................. 54

5.3.3 Calibração da função objetivo ................................................................... 58

5.3.3.1 Testes do AG com a função objetivo f2(r) ........................................... 59

5.3.4 Determinação das propriedades do AMS .................................................. 68

6 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 69

7 REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 71

APÊNDICE A – Memorial de cálculo do dimensionamento e análise dinâmica das lajes duplo T .............................................................................................................. 76

14

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTO HISTÓRICO

No constante avanço da engenharia nos últimos anos, visando a economia e

o aprimoramento das técnicas de análise e dimensionamento estrutural, se mostra

cada vez mais evidente a construção de estruturas com maiores vãos e com seções

transversais de dimensões reduzidas. Se por um lado este avanço permitiu uma

redução de peso, por outro, contribuiu para a obtenção de estruturas mais esbeltas e

flexíveis, portanto mais susceptíveis a problemas relacionados à vibração.

As estruturas que estão expostas a níveis de vibrações mecânicas não

previstas em projeto, podem ter seu desempenho prejudicado. Sua integridade física

pode ser comprometida pelas vibrações excessivas, além do desconforto causado

aos usuários. Nestes casos, é necessário reduzir os níveis de vibrações dessas

estruturas adicionando-se, por exemplo, dispositivos externos ou forças externas.

Pode-se classificar o controle por meio de dispositivos externos ou forças externas

do tipo ativo, passivo, semi-ativo e híbrido. Como explicações e exemplos das

classificações dadas, se tem (OSPINA, 2008):

Controle ativo e semi-ativo: consiste na tentativa de redução da

resposta estrutural mediante a aplicação de forças adicionais,

associadas a uma fonte de energia externa. Tendo como exemplos o

amortecedor de massa ativo, rigidez variável, sistemas

amortecedores e materiais inteligentes;

Controle passivo: conceito parecido com o controle ativo, mas não

necessita de fonte de energia externa para o controle das ações

dinâmicas. São exemplos, os amortecedores metálicos, viscoelástico,

de fricção, fluído viscoso, líquidos sintonizados e de massa

sintonizada;

Controle híbrido: Classificação que mescla o controle passivo com o

ativo. Necessita de forças de magnitudes menores nos atenuadores,

gerando uma considerável redução no custo além de ter um

desempenho mais eficiente comparado ao sistema passivo. Vale

15

salientar que na falta de energia, o componente passivo deste tipo de

controle ainda oferece um certo grau de proteção à estrutura. Como

exemplos se tem os amortecedores de massa híbrido, amortecedores

viscoelásticos com contraventamento ativo, entre outras uniões de

sistemas passivos e ativos.

Os Absorvedores de Massa Sintonizada (AMS), que são classificados como

dispositivos externos de controle passivo, têm se mostrado muito eficientes na

prática, se destacando com bons resultados como mostrado por Moutinho (1998),

Lima (2007), Dos Santos (2009) e Pereira (2014). Tal dispositivo tem a vantagem de

não necessitar de fonte de energia externa e nem de tecnologia avançada.

Para o bom desempenho do AMS em conjunto com a estrutura e, para que

este promova uma redução na vibração do sistema principal, faz-se necessário

encontrar os valores ótimos dos parâmetros do AMS, recaindo assim em uma

equação transcendental. Para a solução de tal equação pode-se recorrer a métodos

numéricos. Utilizando-se de métodos numéricos, Moutinho (1998) criou uma solução

por meio da utilização de ábacos, a qual foi assegurada sua eficiência por Pereira

(2014), Dos Santos (2009) e Paredes (2008).

O avanço da inteligência computacional tem permitido obter novas

ferramentas para a solução de problemas complexos de engenharia. Assim sendo,

problemas que recaem em equações transcendentais podem ser solucionados por

meio de métodos numéricos implementados em programas computacionais.

Na busca por respostas e na tentativa em solucionar problemas encontrados

pela álgebra, um professor da Universidade de Michigan chamado John Holland

começou a desenvolver pesquisas envolvendo a Teoria da Evolução apresentada

por Charles Darwin em 1858 em conjunto à computação moderna. Com base nestas

teorias, Holland fez sua publicação em 1975 cujo título é Adaptation in Natural and

Artificial Systems. Com esta publicação, Holland tornou possível mesclar a

computação com a biologia para solucionar problemas até então de difícil solução.

Como vantagem da utilização do método heurístico dos AG’s, pode-se citar

a simplificação que é aceita na formulação e solução de problemas de otimização e,

também, a flexibilidade de uso para diversas áreas de pesquisa conforme é

apresentado por Goldberg et al. (1992). Em seu trabalho, Goldberg et al. (1992)

tentou coletar todas as referências bibliográficas sobre AG’s já publicadas desde

1986, resultando em aproximadamente 1200 referências encontradas.

16

No contexto apresentado, este trabalho visa o dimensionamento de

absorvedores de massa sintonizada por meio de algoritmo genético.

1.2 DELIMITAÇÃO DO ESTUDO

O presente trabalho será limitado a implementar o método do Algoritmo

Genético para o dimensionamento de AMS em estruturas com amortecimento

adimensional superior a 1%.

17

2 OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GERAL

Implementar um AG para o dimensionamento de absorvedores de massa

sintonizada para lajes piso duplo T pré-fabricadas em concreto.

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Compreender a lógica dos AG’s na otimização de um problema de

Engenharia;

Identificar a função objetivo a ser otimizada para o dimensionamento

dos AMS;

Implementar um AG no software Scilab para a otimização de AMS;

Calibrar o algoritmo com os ábacos de Moutinho (1998);

Simular a otimização de AMS’s e avaliar os resultados obtidos.

18

3 JUSTIFICATIVA

A solução para o dimensionamento do AMS em estruturas com

amortecimento maior que 1% leva a uma equação complexa. Tal equação foi

utilizada como função objetivo no presente trabalho e sua solução só pode ser

conseguida por meio de métodos numéricos. Dentre os diversos métodos numéricos

de otimização, foi escolhido o método dos Algoritmos Genéticos. A escolha do

método foi baseada em suas vantagens como flexibilidade, fácil aplicabilidade e alto

desempenho no quesito otimização de resultados.

Os AGs são relativamente fáceis de serem implementados e sua utilização

tem tido, na grande maioria dos trabalhos, bastante sucesso como técnica de

otimização, englobando muitas áreas de pesquisa. Na atualidade, há uma grande

tendência de utilizar métodos como este, visando flexibilidade na solução de

problemas complexos em muitos ramos da engenharia.

A carência de trabalhos de pesquisa, os quais envolvem o uso de AG’s no

dimensionamento de dispositivos que amenizam vibrações nas estruturas,

especificamente os absorvedores de massa sintonizada incentivou a escolha do

tema.

Para que os AMS's sejam utilizados em estruturas, as quais há uma

necessidade de diminuir suas vibrações dinâmicas excessivas, os parâmetros do

sistema de controle de vibrações precisam ser calculados com seus valores ótimos.

Na busca por respostas ótimas, pensou-se em utilizar o método do AG.

No que se refere ao uso do programa Scilab, a proposta é desenvolver o AG

que utilize uma plataforma gratuita e, além disso, que consiga ser executado em

quase todos os sistemas operacionais atuais no mercado, fazendo assim com que

fique mais flexível e estável sem necessitar compatibilizá-lo para sistemas

diferentes.

19

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

3.1 INTRODUÇÃO A OTIMIZAÇÃO NA ENGENHARIA

De acordo com Castro (2001), a otimização de qualquer tarefa ou processo

está diretamente ligada à maneira mais eficiente e com menor custo possível para

sua realização. Não se pensa diferente em qualquer área de Engenharia, na qual se

busca sempre a melhor maneira e menor custo para a realização de projetos.

Para Vianna (2003), o início de um problema de otimização é dado ao se

determinar quais são seus parâmetros e variáveis, definindo assim o problema real

bem como as restrições que as variáveis estão sujeitas. Com isso, uma função

objetivo é definida para que, posteriormente, possa ser maximizada ou minimizada.

Com o conhecimento das funções, pode-se aplicar várias técnicas que permitem

otimizá-las, como exemplo as citadas por Camp et al. (1998): programação

matemática, método dos critérios de otimização e os métodos de buscas heurísticas

ou métodos genéticos.

Ainda, a otimização pode ser classificada em dois tipos (LUCAS, 2002):

Otimização numérica: se desenvolve com o valor de retorno de

funções matemáticas. Como exemplo pode-se tentar descobrir o valor

de e que maximize a função dada pela equação (1):

( , ) = 21,5 + sin(4 ) + sin(20 ); (1)

Otimização combinatória: descobrir a melhor combinação entre os

recursos disponíveis e suas características. Exemplo: melhor maneira

de alocar processos de igual prioridade em uma memória.

20

3.2 FUNDAMENTOS DE ALGORITMOS GENÉTICOS

3.2.1 Preliminares

Segundo Guimarães e Ramalho (2001), os AG’s são métodos de busca e

otimização criados a partir da Teoria da Evolução apresentada por Charles Darwin

em seu livro The Origin of Species em 1858. Este método consiste em uma área de

estudo da computação evolutiva que, por sua vez, é um ramo da computação

natural a qual, a partir de conceitos da natureza, tenta solucionar problemas

complexos.

De forma análoga e simples, as variáveis utilizadas nos problemas são

genes, como nos cromossomos. No espaço solução, cada coordenada de um ponto

pode ser entendida como um gene. Já os cromossomos podem ser chamados de

indivíduos. O conjunto de indivíduos, portanto, pode ser chamado de população, a

qual, com a sucessão de cruzamentos, converge para uma resposta que mais se

adapte ao esperado objetivo (GUIMARÃES; RAMALHO, 2001).

A implementação dos AGs é feita utilizando elementos como o da

sobrevivência, sempre priorizando os mais aptos, e também a troca genética. A

partir destes princípios, os indivíduos que demonstrarem melhores características

genéticas terão mais chances de sobrevivência e reprodução, podendo assim

repassar seus genes para gerações futuras. Em contrapartida, os indivíduos que

apresentarem menor aptidão, serão extintos durante o processo evolutivo.

Por trabalhos realizados como o de Castilho (2003), Castro (2001), Carreira

(2007), Yan e Zhou (2008) e De Castro (2009) utilizando os AGs para otimização,

percebe-se que esta é uma ferramenta bem difundida para a solução de problemas

complexos de engenharia.

21

3.2.2 Estrutura de funcionamento do Algoritmo Genético

Basicamente, o AG segue as seguintes etapas: inicialização (cria a

população inicial), avaliação, seleção, cruzamento, mutação, atualização e, caso

chegue na resposta desejada ou na condição imposta, finalização, caso contrário

reinicia-se todo o processo desde a avaliação (LUCAS, 2002).

O modelo genérico típico para um AG pode ser representado conforme

Figura 1:

Figura 1 - Algoritmo Genético típico. Fonte: Lacerda (1999)

3.2.3 Operadores genéticos

Os operadores genéticos são a base do AG, fazendo as transformações

necessárias para que sejam criados indivíduos cada vez mais aptos e aproximados

da resposta, em um processo de otimização contínuo, contribuindo para que as

populações evoluam a cada nova geração. Os operadores genéticos são

22

classificados em: inicialização, função aptidão, seleção, cruzamento, mutação,

atualização e finalização (ROSA; LUZ, 2009).

3.2.3.1 Inicialização

O operador inicialização é o responsável pelo início básico da execução do

Algoritmo Genético clássico (LUCAS, 2002). Tal operador cria uma população inicial

para ser a base do início da otimização de respostas como possíveis soluções do

problema, além de serem usadas para a geração de uma nova população

(ARMENTANO, 2005).

Como exposto por Armentano (2005), cada problema pode precisar de um

número diferente de indivíduos na população gerada durante o processo de

inicialização, não seguindo um padrão. Deve-se atentar ao tamanho da população,

para que não seja muito pequena, a ponto de não representar alguns locais de

busca, assim como não muito grande de tal forma que torne o algoritmo

demasiadamente lento.

Normalmente se faz o uso de funções aleatórias que irão gerar a população

inicial que, por consequência, também será aleatória. Este recurso é utilizado para

se fornecer uma maior “biodiversidade”, garantindo assim um leque maior no espaço

de pesquisa (LUCAS, 2002).

3.2.3.2 Avaliação – Função desempenho (fitness)

O objetivo de um AG é de aproximar-se da solução ótima ao combinar e

recombinar populações de soluções repetidamente. Para que esta técnica tenha

uma certa eficiência se faz necessário avaliar a proximidade entre as hipóteses-

solução e a solução ótima. Em outras palavras, significa definir qual solução é

melhor (SANTO, 2013).

O tempo de processamento empregado na avaliação em geral é

relativamente pequeno quando comparado ao tempo despendido com os outros

23

operadores. Entretanto, como no AG se trabalha com uma população de soluções

potenciais, também incorre o custo de se avaliar esta população. Além disso, a cada

geração serão avaliadas novas populações podendo-se aumentar o tempo de

execução do algoritmo consideravelmente ao se pensar que um AG pode conter

várias substituições de populações hipóteses-solução durante sua execução até

convergir para o resultado ótimo (LEITE, 2006). Além disso, como dito por Lucas

(2002), o operador de avaliação é considerado a parte mais importante, pois,

mantém a ligação entre o problema de engenharia e o algoritmo em si.

3.2.3.3 Seleção

O princípio essencial por trás do algoritmo genético é a seleção natural

Darwiniana. A seleção é o operador genético principal para o AG. Se esta seleção é

muito restrita, o algoritmo pode convergir prematuramente, já se for pouco restritiva

pode demorar mais que o necessário. Durante as duas últimas décadas, alguns

métodos de seleção foram propostos, examinados e comparados (GEN; CHENG,

1997). Como descrito por Lucas (2002) e Gen e Cheng (1997), há várias formas de

aplicar a seleção, as quais se destacam:

seleção por ranking (rank selection): são criadas ordenações de

hipóteses solução de acordo com seu valor de adequação a resposta,

simulando um ranking;

seleção por giro de roleta (roulette wheel selection): a ideia básica é

determinar a probabilidade de seleção para cada cromossomo

proporcionalmente ao valor de sua função desempenho;

seleção por torneio (tournament selection): escolhe aleatoriamente

grupos de soluções e, assim, seleciona-se o melhor cromossomo

para a reprodução;

seleção uniforme: todos os indivíduos possuem a mesma

probabilidade de serem selecionados, ou seja, a seleção dos

indivíduos é realizada aleatoriamente e sem demais restrições. Este

tipo de seleção pode não realizar uma melhora da próxima geração.

24

3.2.3.4 Cruzamento

Após a fase de seleção dos indivíduos, se dá o início do cruzamento. Tal

processo, faz com que os indivíduos mais aptos se reproduzam gerando

descendentes para a próxima geração. Assim como na biologia, a reprodução

consiste na troca de material genético entre “pares” de indivíduos (pais) originando

os novos indivíduos (filhos) que irão formar a população seguinte. Portanto, de

maneira mais simples, a proposta deste operador é propagar as características

positivas dos indivíduos mais aptos por meio da troca de informações entre eles,

onde se dará, então, a geração de uma nova população (ROSA; LUZ, 2009).

Para os AG’s codificados em números binários, as formas mais comuns de

trocas de segmentos são: um ponto, multipontos e uniforme, conforme descritos

abaixo (CASTILHO, 2003):

a) Um ponto: a partir do ponto de cruzamento que é escolhido, faz-se a

troca genética dos pais, gerando dois novos filhos, conforme mostra a

Figura 2.

Figura 2 - Cruzamento, método de um ponto. Fonte: Adaptado de Castilho (2003)

b) Multipontos: é feita a troca genética a partir dos pontos especificados,

como mostrado na Figura 3.

25

Figura 3 - Cruzamento, método de multipontos. Fonte: Adaptado de Rosa e Luz (2009)

c) Uniforme: utilizando-se como base máscaras de bits, onde os alelos

possuírem o valor 1 utiliza-se, inicialmente, o material genético do pai

e 0 o da mãe (Figura 4). Isso se inverte para a criação do outro filho.

Figura 4 - Cruzamento, método uniforme. Fonte: Adaptado de Rosa e Luz (2009)

Já para AG’s codificados com números reais, Michalewicz (1996) propôs que

os filhos podem ser obtidos por meio da equação (2).

= ∙ + (1 − ) ∙ ã (2)

Onde é o coeficiente que define o gene dominante e seu valor é gerado

aleatoriamente entre 0 e 1.

26

3.2.3.5 Mutação (Crossover)

Na maioria dos casos, quando inicia-se o algoritmo com a população inicial,

os indivíduos que constituem esta população ainda estão longe de serem a resposta

para o problema por conta de sua aleatoriedade inicial. Sendo assim, possivelmente

os operadores de seleção e cruzamento serão incapazes de diversificar a população

para que encontre a solução ideal, podendo fazer com que o algoritmo convirja

prematuramente (LEITE, 2006).

O operador da mutação mantém a diversidade na população de forma a

explorar todo o espaço solução e, desta forma, evitar a convergência prematura para

um mínimo (ou máximo) local.

Após estabelecida a probabilidade da mutação, o algoritmo deverá percorrer

indivíduo por indivíduo da população resultante do cruzamento mudando

aleatoriamente os genes dos indivíduos com uma certa probabilidade ( ) (LEITE,

2006).

Há ainda, alguns tipos de mutação mais comuns utilizados nos AGs, como

descrito por Lucas (2002):

a) mutação flip: cada gene a sofrer mutação receberá um valor sorteado;

b) mutação por troca (swap mutation): são sorteados pares de genes

para trocarem de valor entre si;

c) mutação creep: um valor aleatório (de acordo com os parâmetros

utilizados) é somado ou subtraído do valor do gene.

De acordo com Leite (2006), a mutação é de grande importância para ter

uma diversidade maior na população, mas deve ser aplicada de maneira criteriosa

para evitar a perda da informação genética dos indivíduos mais aptos em tal

processo.

27

3.2.3.6 Atualização

A atualização nada mais é que a inserção dos indivíduos, que sofrem

seleção, cruzamento e mutação, para a população novamente, obtendo-se assim

uma nova recombinação de indivíduos da população que terão respostas mais

próximas das ideais buscadas (LUCAS, 2002).

Ainda, para Lucas (2002), uma característica que é amplamente utilizada é

chamada de elitismo. No elitismo n melhores indivíduos da população já ordenada

são passados diretamente para a população subsequente a fim de não perder os

melhores genes obtidos.

3.2.3.7 Finalização

Este operador genético é composto de um critério de parada, dando assim,

final ao processo de evolução caso o AG alcance uma tolerância pré-definida.

Os critérios para a parada podem ser vários, desde o número de gerações

criadas até o grau de convergência da atual população. Podendo-se utilizar também

uma combinação de critérios (LUCAS, 2002).

3.3 FUNDAMENTOS DE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS

3.3.1 Sistemas com 1 grau de liberdade

As propriedades físicas essenciais para um sistema dinâmico com um grau

de liberdade (1 GDL) sujeito a amortecimento viscoso são sua massa ( ), rigidez (k)

e amortecimento (c) (CLOUGH; PENZIEN, 2003). Como é mostrado na Figura 5.

28

Figura 5 - Exemplo de um sistema com 1 GDL. Fonte: Adaptado de Clough e Penzien (2003)

O bloco de massa , representado pela Figura 5, está equipado com rodas

que lhe permite somente a capacidade de movimento horizontal.

As forças que agem na direção do deslocamento do grau de liberdade são a

força aplicada, ( ), e as três forças resultantes do movimento, que são a força de

inércia, ( ), força de amortecimento, ( ), e a força da mola, ( ) (CLOUGH;

PENZIEN, 2003). A Figura 6 ilustra o diagrama de corpo livre do bloco de massa m.

Figura 6 - DCL do sistema com 1 GDL. Fonte: Adaptado de Clough e Penzien (2003)

O equilíbrio dinâmico das forças que atuam no bloco é mostrado na equação

(3) a seguir:

( ) + ( ) + ( ) = ( ) (3)

Com:

( ) = ( ) (4)

( ) = ( ) (5)

c

m p (t )

x(t )

k

f D(t)

f S (t )

f I(t ) p(t )

x(t )

29

( ) = ( ) (6)

Onde fI(t) é a força de inércia, fD(t) é a força de amortecimento, fS(t) é a força

elástica, p(t) é a excitação dinâmica, m é a massa do sistema, c é o coeficiente de

amortecimento viscoso e k é a rigidez do sistema.

Com a substituição das equações (4), (5) e (6) na equação (3), obtém-se a

equação do movimento para um sistema com 1 GDL a seguir:

( ) + ( ) + ( ) = ( ) (7)

3.3.2 Sistemas com 2 graus de liberdade

De acordo com Rao (2011), os sistemas que requerem duas coordenadas

independentes para descrever seu movimento são chamadas de sistemas com dois

graus de liberdade.

Para que se exemplifique um sistema com 2 GDL, a qual se deseja obter 2

números de coordenadas independentes descrevendo-a, se tem as Figuras 7 e 8

mostradas a seguir:

Figura 7 - Exemplo 1 de estruturas com 2 GDL. Fonte: Adaptado de Silva (2009)

30

Conforme ilustrado pela Figura 7, a estrutura de barra rígida tem um

deslocamento do centro de massa para baixo (eixo ), a partir da posição de

equilíbrio. Ainda, para que se tenha uma descrição do deslocamento de qualquer

partícula da barra, deve-se considerar a rotação θ que, no exemplo, se dá no sentido

horário. Logo, com a situação descrita, se tem 2 GDL em que e θ é o possível

conjunto de coordenadas generalizadas (SILVA, 2009).

Agora, considere um sistema de 2 GDL composto por duas massas ligadas

por um amortecedor ( ) e uma mola de acoplamento ( ) conforme Figura 8.

Figura 8 - Exemplo de sistema com 2 GDL. Fonte: Rao (2011)

Como descrito por Rao (2011), existe uma equações do deslocamento para

cada massa. O movimento do sistema é completamente descrito (conforme a Figura

8), pelos deslocamentos ( ) e ( ), os quais definem a posição das massas e

. O diagrama de corpo livre das massas e é mostrado na Figura 9

Figura 9 - Diagrama de corpo livre do sistema com 2 GDL. Fonte: Rao (2011)

A aplicação da segunda lei de Newton para cada massa resulta nas

equações (8) e (9) as quais descrevem, respectivamente, o movimento as massas 1

e 2

31

+ ( + ) − + ( + ) − = (8)

− − ( + ) − − ( + ) = (9)

As equações (8) e (9) podem ser escritas em forma de matriz como

mostrado na equação (10).

+ + = (10)

Onde , e são respectivamente as matrizes de massa,

amortecimento e rigidez do sistema conforme equações (11), (12) e (13).

=0

0 (11)

=+ −

− + (12)

=+ −

− + (13)

Ainda, , e são, respectivamente, os vetores de deslocamento,

velocidade e aceleração dados pela equação (14) e é o vetor de cargas

conforme equação (15).

=( )( ) =

( )( ) =

( )( )

(14)

=( )( )

(15)

Logo, da equação (10), tem-se:

00

( )( ) +

+ −− +

( )( ) +

+ −− +

( )( ) =

( )( ) (16)

32

3.3.3 Solicitação harmônica devido a vibração forçada

O movimento de um sistema vibratório que resulta de uma força aplicada

externamente é chamado de vibração forçada. A resposta à vibração forçada

consiste de duas partes: resposta transiente, que tende ao desaparecimento quando

há amortecimento, e resposta estacionária ou permanente, a qual é o movimento

que permanece após a resposta transiente desaparecer (Braun et al., 2002).

A equação de movimento de um sistema amortecido com 1 GDL e

submetido a uma excitação harmônica cosseno do tipo ( ) = ∙ ( ) é dada

por:

+ + = ∙ ( ) (17)

Onde p é a amplitude da força de excitação e ω é a frequência de excitação.

Segundo Rao (2011), a solução geral é dada pela soma de uma solução

homogênea ou complementar, e uma particular como mostrado na equação (18).

( ) = ( ) + ( ) (18)

A solução homogênea ( ) corresponde a solução da equação (17) quando

p(t)=0 e representa um termo transitório quando c ≠ 0, já a solução permanente ( )

depende da frequência de excitação e é uma reposta em regime permanente

(SILVA, 2009).

Para a solução particular da equação (17), tem-se (RAO, 2011):

( ) = cos( ) + ( ) (19)

As constantes e são dadas por:

=1 − ²

(1 − ) + 4 ² ²

(20)

33

=2

(1 − ) + 4 ² ²

(21)

Onde r é a razão entre a frequência de excitação pela frequência natural do

sistema e ξ é o amortecimento adimensional.

Quando a estrutura apresenta amortecimento subcrítico (ξ

34

3.3.4 Absorvedores de massa sintonizada

O AMS é um dispositivo de controle de vibrações passivo clássico da

engenharia, com um ou vários sistemas massa-mola e um ou vários absorvedores

junto ao sistema principal para que atenue suas vibrações. O AMS está localizado

geralmente no ponto de maior amplitude modal, para atenuar as vibrações devidas

ao primeiro modo de vibração (OSPINA, 2008).

O modelo de um AMS conectado a uma estrutura não amortecida é

mostrado na Figura 10. Trata-se de um sistema de 2 GDL no qual a massa da

estrutura é suspensa por uma mola elástica representando a rigidez da

estrutura, e o AMS consiste na massa suportada por uma mola e por um

amortecedor viscoso atuando em paralelo com esta (KRENK; HOGSBERG,

2013).

Figura 10 - Modelo de AMS para estruturas sem amortecimento. Fonte: Moutinho (1998)

3.3.4.1 AMS em estruturas com amortecimento

No caso da aplicação de um AMS a uma estrutura com amortecimento

(Figura 11), o modelo é composto por uma massa principal sustentada por uma

mola com uma rigidez e um amortecedor de constante . Uma masa adicional

35

é posicionada sobre através de uma mola de rigidez e um amortecedor de

constante (MOUTINHO, 1998).

Figura 11 - Modelo de um AMS para estruturas com amortecimento. Fonte: Moutinho (1998)

3.3.4.2 Dimensionamento de AMS para estruturas amortecidas

De acordo com Liu e Coppola (2010), considerando uma excitação senoidal

( ) = ∙ sen( ) sobre a massa principal, a amplitude do movimento permanente

da massa principal é dada pela seguinte equação (27).

( ) =1 −

²²

+ 4

²−

4+

1+ ( + 1) + 1 + 4 + − + +

³

(27)

Com

= ; = ; =

= ; = (28)

36

Onde ω1 e ω2 são respectivamente as frequências naturais da laje e do

AMS, m1 e m2 são respectivamente as massas da laje e do AMS e k1 e k2 são

respectivamente as rigidezes da laje e do AMS.

Ainda, para Paredes (2008), para que se efetue o dimensionamento do AMS

deve-se determinar os valores ótimos dos parâmetros , e µ.

Segundo Rocha (2012), para um valor de fator amortecimento do sistema

maior que 1%, não se deve desprezar o coeficiente de amortecimento estrutural

podendo, caso seja feito, acarretar erros significativos no processo de sintonização

não obtendo assim a precisão necessária para esse tipo de sistema.

Tendo em vista que o concreto apresenta amortecimento em torno de 4%, a

determinação dos parâmetros ótimos do absorvedor a partir da equação (27), para

lajes de concreto, pode ser obtida através do método desenvolvido por Moutinho

(1998). Neste método os parâmetros do AMS são obtidos por meio dos ábacos

mostrados nas Figuras 12, 13, 14 e 15.

Figura 12 - Curvas de amplificação máxima do deslocamento da massa . Fonte: Adaptado de Moutinho (1998)

37

Figura 13 - Curvas para determinação de β. Fonte: Adaptado de Moutinho (1998)

Figura 14 - Curvas para determinação de . Fonte: Adaptado de Moutinho (1998)

38

Figura 15 - Curvas de amplificação máxima do deslocamento relativo. Fonte: Adaptado de Moutinho (1998)

A Figura 12 permite determinar a massa , que deverá conter o AMS a

partir da máxima amplificação admissível no piso. A Figura 13 permite determinar o

valor ótimo de , visando calcular a constante de mola do AMS. O coeficiente de

amortecimento adimensional do AMS é obtido a partir do ábaco da Figura 14. Por

fim, na Figura 15, se obtém a amplitude máxima do deslocamento relativo entre o

AMS e a estrutura principal, indispensável para calcular o espaço mínimo a deixar

entre as duas massas vibrantes.

Ainda, segundo Moutinho (1998), o deslocamento máximo ( ),

velocidade máxima ( ) e o deslocamento estático da estrutura podem ser obtidos

respectivamente através das relações:

= = −²

(29)

= (30)

, = (31)

39

Onde é a amplitude harmônica condicionante e é a rigidez modal

corresponde ao modo de vibração da frequência .

3.4 Vibração devido ao caminhar de uma pessoa

Devido às características próprias que cada indivíduo possui, como o peso,

sexo, tipo de calçado que utiliza, estrutura óssea, dentre outros, as diferenças que

cada um apresenta aparece tão logo no começo de seus primeiros passos sobre a

estrutura (MELLO, 2005).

Para a definição da ação de uma pessoa sobre a estrutura, existem alguns

parâmetros que são considerados de grande importância como a frequência da

passada ( ), velocidade da passada ( ) e comprimento da passada ( )

(SANCHES, 2012).

A correlações entre os parâmetros comentados anteriormente variam de

acordo com cada atividade. Para o caminhar estes parâmetros são mostrados na

Tabela 1, segundo Bachmann e Ammann (1987).

Tabela 1 - Parâmetros para o caminhar de uma pessoa.

Atividade ( ) ( / ) ( )

Caminhar lento ~1,7 1,1 0,60

Caminhar normal ~2,0 1,5 0,75

Caminhar rápido ~2,3 2,2 1,00

Corrida lenta (trote) ~2,5 3,3 1,30

Corrida rápida >3,2 5,5 1,75

Fonte: Adaptado de Bachmann e Ammann (1987)

A força devido ao caminhar humano pode ser escrita de várias formas

diferentes e cada autor sugere diferentes harmônicos. Bachmann e Ammann (1987)

modelaram a força produzida pelo caminhar de uma pessoa com série de Fourier de

5 harmônicos conforme a equação (32).

40

( ) = 1 + cos (2 + ) (32)

Onde p(t) é o carregamento dinâmico (N), t é o tempo (s), p é o peso da

pessoa (N), αi é o coeficiente dinâmico do harmônico, fp é a frequência do passo

(rad), φi é o ângulo de fase do harmônico (rad) e i é o contador do harmônico.

A Tabela 2 mostra os coeficientes dinâmicos sugeridos por Bachmann e

Ammann (1987) para o uso na equação (32).

Tabela 2 – Parâmetros da equação (32).

Harmônico (i) Coeficiente dinâmico ( ) Ângulo de fase ( )

1 0,40 0

2 0,10 2

3 0,12 2

4 0,04 2

5 0,08 2

Fonte: Bachmann e Ammann (1987)

3.4.1 Frequência natural mínima para pisos pré fabricados com lajes duplo T

Segundo Mast (2001), para cada ambiente existe uma frequência natural

mínima que deve ser adotada em lajes de concreto, podendo esta ser calculada por

meio de uma fórmula empírica dada pela equação (33).

2,86 ln (33)

Onde é uma constante, ξ é o amortecimento modal e W é o peso da área

do painel afetada pela carga concentrada. A Tabela 3 mostra os parâmetros que

devem ser usados na equação (33).

41

Tabela 3 – Valores de K e ξ para uso na equação (33).

Tipo de edificação K (kN)

Escritórios, residências e igrejas 58 0,02a

0,03b

0,05c

Shoppings 20 0,02

Passarelas externas 8 0,01

a. para pisos com poucos elementos não estruturais e mobília, áreas abertas e igrejas

b. para pisos com elementos não estruturais e mobília

c. para pisos com divisórias inteiriças entre pisos Fonte: Mast (2001)

O efeito dinâmico de uma passada é fortemente influenciada pelo peso da

estrutura afetada pelo impacto da passada. Tomando como base outras referências,

Mast (2001) recomenda que, para o cálculo do peso W das lajes duplo T, a largura

da laje (B) seja considerada com um valor entre 0,8L para lajes com altura de

45,7cm a 0,6L para lajes 81,3cm de altura, ambas com capa de 7,62 cm.

3.5. Limite aceitável de vibração em pisos

De acordo com ISO 2631:1989, a qual por meio de experimentos e ensaios

laboratoriais apresenta as variações de frequências suportadas para o conforto

humano à vibração apresenta tabelas para acelerações máximas, frequência de

sensibilidade, nível de eficiência reduzida, entre outras. Dito isso e comparando as

normas internacionais ISO 2631:1989 com a ISO 2631:2003, pode-se observar que,

a mais recente, sugere que cada país defina seus próprios limites para vibrações.

Segundo Murray et al. (1997), a condição de conforto à vibração é atendida

se a aceleração de pico da laje não alcançar a aceleração limite de 0,5% de g (onde

g = 9,80665 m/s²).

42

4 MÉTODOS

Os tópicos a seguir apresentam os métodos empregados no

dimensionamento estrutural das lajes, na implementação do Algoritmo Genético e na

calibração da função objetivo.

4.1 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DAS LAJES

Para validar os resultados obtidos com o algoritmo implementado, foram

dimensionadas 3 lajes de piso pré-fabricadas constituídas por painéis de duplo T

(Figura 16).

Figura 16 – Laje Duplo T de concreto pré-fabricada.

As dimensões, em centímetros, das seções transversais foram extraídas do

PCI DESIGN HANDBOOK (2004) e estão apresentadas nas Figuras 17, 18 e 19.

43

Figura 17 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 1 (L1).

Figura 18 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 2 (L2).

44

Figura 19 – Seção transversal da laje Duplo T pré-fabricada 3 (L3).

A Tabela 4 apresenta os modelos de painéis usados nas simulações e o vão

adotado para cada laje.

Tabela 4 - Lajes estudadas neste trabalho.

Laje Modelo Vão (m) Cobrimento (mm)

L1 8DT32+2 9,4

25 L2 10DT32+2 9,0

L3 12DT28+2 8,0

Os vãos das lajes foram definidos de maneira que a frequência fundamental

das lajes fosse igual à frequência do 3º harmônico do caminhar normal de uma

pessoa (6 Hz). Desta forma, as acelerações máximas na metade do vão das lajes

produzidas pelo caminhar alcançaram valores superiores ao limite de 0,5%g.

Foi considerado para o concreto, uma resistência característica à

compressão ( ) de 25 MPa e módulo de deformação tangente inicial ( ) igual a

23,8 GPa. O aço utilizado é do tipo CA-50, com uma resistência característica ao

escoamento ( ) de 500 MPa.

Para o cálculo da carga total aplicada nas lajes além do peso-próprio, foi

considerada uma ação de sobrecarga acidental (q) de 2 kN/m² devido a sua

utilização para escritório comercial de acordo com a NBR 6120:1980. Para os

acabamentos foram considerados 3 cm de camada de regularização de argamassa

45

mista e uma camada de piso vinílico. A Tabela 5 mostra a carga considerada para

cada material.

Tabela 5 - Cargas dos materiais considerados no dimensionamento.

Material Carga

Concreto armado 25 kN/m³

Argamassa de regularização 21 kN/m³

Piso vinílico 0,10 kN/m²

As lajes foram dimensionadas de acordo com a norma NBR 6118:2014 a fim

de atenderem às exigências, tanto para Estados Limites de Últimos (ELU) quanto

para Estados Limites de Serviço (ELS) referentes a flecha excessiva. Os cálculos

dos dimensionamentos das lajes foram feitos com o auxílio do programa Smath

Studio e podem ser observados no Apêndice A.

4.2 AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DAS LAJES

Na análise dinâmica, as lajes consideradas como sendo uma viga

simplesmente apoiada com carregamento dinâmico aplicado no meio do vão. Desta

forma, tem-se um sistema equivalente de 1 GDL cuja constante de mola ( ) é dada

por:

=48

³

(34)

Onde k é a rigidez equivalente (N/m), é o módulo de elasticidade

dinâmico (N/m2), é o momento de inércia equivalente (m4) e L é o vão da laje (m).

Para a obtenção do valor do módulo de elasticidade dinâmico ( ), seu

cálculo foi realizado como sendo igual a 1,2 × (MAST, 2001).

Os valores utilizados para foram os mesmos encontrados ao se realizar

as verificações dos Estados Limites de Serviço (ELS). Para o cálculo da massa em

vibração nas lajes foi considerado o carregamento referente à combinação frequente

46

da norma NBR 8681:2003 tendo em vista que esta combinação é utilizada para a

verificação de Estado Limite de vibração excessiva.

As alturas das lajes analisadas neste trabalho não se encontram dentro dos

limites citados por Mast (2001) no que tange a largura a ser considerada no cálculo

do peso da laje. Desta forma, a massa das lajes foi calculada a partir destas cargas

obtidas da combinação frequente e das dimensões das lajes. Foi considerada a

aceleração da gravidade g = 9,80665 m/s2.

A Tabela 6 mostra os valores do momento de inércia equivalente bem como

das massas em vibração nas lajes.

Tabela 6 - Momentos de inércia equivalente para as lajes.

Laje Momento de inércia ( ) Massa (kg)

L1 0,0139 m4 15582,15

L2 0,0138 m4 17427,09

L3 0,0088 m4 17138,45

Segundo Bachmann et al (1995), o coeficiente de amortecimento para o

concreto armado pode variar entre 2% e 6%. Assim sendo, para o concreto das lajes

foi adotado um coeficiente de amortecimento adimensional (ξ1) igual a 4%.

Para o carregamento dinâmico, foi considerada uma pessoa com massa

( ) de 80 kg e uma frequência de passo para um caminhar normal de 2 Hz.

4.2 IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO GENÉTICO

Os três parâmetros que foram considerados para a otimização por meio do

AG são os mesmos obtidos pela utilização dos ábacos de Moutinho (1998), ou seja,

, e µ.

O método desenvolvido e implementado no programa Scilab foi aplicado de

maneira tal que a estrutura básica fosse conforme o fluxograma mostrado pela

Figura 20.

47

Figura 20 - Fluxograma básico de um AG. Fonte: Adaptado de Yan e Zhou (2008)

4.2.1 Estrutura desenvolvida para os operadores genéticos

4.2.1.1 Função objetivo

Neste trabalho inicialmente foi utilizada a função objetivo extraída de Liu e

Coppola (2010) a qual é mostrada na equação (35).

( ) = ∙ | ( ) − ( )| + ∙ | á − | (35)

Onde q1 e q2 são coeficientes de ponderação, ( ) e ( ) são

respectivamente as amplificações dinâmicas do primeiro e do segundo modo do

sistema de 2 GDL formado pela laje e o AMS e á é o maior valor entre ( ) e

( ) e é o valor de amplificação dinâmica na laje que resulta em acelerações

iguais ao limite de aceleração de 0,5%g.

A equação (35) é composta por dois termos: um considerando a diferença

entre os pontos máximos de amplificação dinâmica após aplicação do AMS e outro a

diferença entre a maior amplificação encontrada ( á ) e a amplificação limite da

laje ( ). Estes dois termos foram incluídos na função objetivo com a finalidade de

empregar a técnica desenvolvida por Hartog (1947) para a obtenção dos parâmetros

48

ótimo do AMS. De acordo com Hartog (1947), a atenuação da vibração do sistema

principal será considerada satisfatória se que os picos de amplificação nos dois GDL

(zonas de ressonância) tiverem a mesma amplitude e ao mesmo tempo alcançarem

o menor valor possivel de amplificação.

Cada termo da equação (35) contém uma constante de ponderação (q) a fim

de que se deem ênfases diferentes a cada parte da função. Os valores definidos por

Liu e Coppola (2010) para as constantes são de q1 = 1,0 e q2 = 0,7.

4.2.1.1 Início da população

Como início do algoritmo foi gerada uma população inicial com 25 indivíduos

cada um contendo 3 genes como informação genética. Os genes foram criados e

armazenados em forma de matriz e representam os seguintes parâmetros: µ, β e .

Ainda, para cada gene dos indivíduos, foram estipulados intervalos para criação dos

números randômicos conforme Tabela 7.

Tabela 7 - Intervalos adotados para cada gene.

Parâmetros Intervalos

µ 0 - 0,05

0,90 – 1,00

0,00 – 0,15

Vale ressaltar que os intervalos foram escolhidos de acordo com a

observação dos limites dados pelos ábacos utilizados no método de Moutinho

(1998).

49

4.2.1.2 Avaliação (fitness)

Para esta etapa, que tende a ser a mais simples do algoritmo, foi realizada a

análise dos resultados obtidos após aplicar-se a função objetivo nos indivíduos da

matriz população um a um.

A aptidão de cada indivíduo foi assumida como o resultado obtido pela

função objetivo e os indivíduos foram ordenados em ordem crescente de aptidão

para que os resultados obtidos mais próximos de zero se mantivessem no topo da

matriz população, permitindo então a aplicação das técnicas de otimização das

próximas etapas.

4.2.1.3 Critério de parada

Após realizada a avaliação, o programa avalia se foram atingidos os critérios

de parada, que são dois: o algoritmo pode encerrar o processamento caso seja

atingido o número máximo de 10000 gerações ou obtenha algum valor da função

objetivo inferior a 1 × 10 .

Para que fossem aplicados os critérios de parada utilizou-se dois tipos de

estruturas diferentes, o laço de repetição while e o condicional if-else. Para a

primeira aplicou-se o número de gerações fazendo com que enquanto não se

atingisse seu número máximo o laço continuaria em looping; já para a segunda

aplicou-se o valor de tolerância tornando-o um resultado limitante para a função

objetivo na busca pela otimização no dimensionamento do AMS utilizando o AG.

4.2.1.4 Seleção

O método seletivo utilizado para melhor desempenhar a otimização proposta

pelo AG foi o de seleção por torneio. A escolha foi realizada pela simples facilidade

de aplicação do tipo de seleção, permitindo a manipulação somente dos melhores

50

resultados encontrados pela população principal (matriz população) aplicados à

função objetivo.

Neste processo, dois indivíduos foram selecionados aleatoriamente na

população e o indivíduo mais apto (menor valor da função objetivo) foi selecionado

para a etapa do cruzamento. Este procedimento foi repetido até que o número de

indivíduos selecionados fosse igual ao número de indivíduos da população inicial.

Em seguida, os indivíduos selecionados foram armazenados em uma nova matriz

destinada ao processo de cruzamento (matriz cruzamento).

Foi implementado ainda o elitismo. Para tanto, adotou-se o número de

indivíduos de elite igual a três. Assim, os três primeiros indivíduos da população já

ordenada passaram automaticamente para a população da próxima geração. Desta

forma evitou-se perder a informação genética dos melhores indivíduos.

4.2.1.5 Cruzamento

O processo de cruzamento foi subdividido em duas etapas: a primeira etapa

é a do cruzamento propriamente dito entre os “pais”, de modo aleatório e a segunda

etapa consiste em adicionar os novos indivíduos gerados pelo processo (filhos) na

população principal (matriz população).

Na primeira etapa foi admitida uma taxa de cruzamento de 70%. Na

sequência, dois indivíduos foram sorteados aleatoriamente na matriz cruzamento e

foi sorteado um número aleatório entre 0 e 100%. Quando o número sorteado era

menor do que a taxa de cruzamento, o cruzamento entre os indivíduos ocorria de

forma que cada gene do filho gerado era obtido de acordo com a equação (2). É

importante destacar que para cada cruzamento foi gerado somente um filho. Nos

casos em que o cruzamento não ocorreu, um novo indivíduo foi acrescentado à

população. Este procedimento foi repetido até que a população tivesse o mesmo

número de indivíduos da população inicial menos o número de indivíduos de elite.

Na última etapa do processo realizou-se somente a atualização da matriz

população com os “filhos” gerados pelos cruzamentos e os novos indivíduos.

51

4.2.1.6 Mutação

Assim como no cruzamento foi admitida uma taxa de mutação de 30%.

Então, para cada indivíduo da matriz população, excetuando-se os indivíduos de

elite, foi sorteado um número aleatório entre 0 e 100%. Naqueles indivíduos nos

quais o numero sorteado foi menor do que a taxa de mutação foi aplicado o

operador de mutação. A mutação foi implementada da seguinte forma: o algoritmo

gera um valor aleatório entre 1 e 3. Este número define qual gene será mutado.

Escolhido o gene que sofrerá mutação, o algoritmo gera um novo valor conveniente

ao gene a ser alterado conforme os intervalos mostrados pela Tabela 7.

Para este processo vale ressaltar que os indivíduos selecionados pelo

elitismo não sofreram mutação a fim de preservar suas informações genéticas.

4.3 ANÁLISE DINÂMICA DAS LAJES APÓS A INSTALAÇÃO DO AMS

Por fim, após o dimensionamento e sintonização do AMS por meio do AG,

foi analisado se foi possível realizar a diminuição da aceleração máxima da laje,

causada pelo caminhar de uma pessoa.

Para calcular a aceleração máxima da laje após a instalação do AMS foi

utilizado um modelo analítico com 2 GDL como apresentado no item 3.3.2. Os

cálculos para a validação do método utilizado foram realizados com o auxílio do

programa Scilab.

52

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

5.2 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DUPLO T

5.2.1 Dimensionamento Estrutural

Os resultados obtidos no dimensionamento das lajes duplo T são

apresentados na Tabela 8.

Tabela 8 - Resultados do dimensionamento das lajes.

Laje Nº de barras Φ (mm) Área de aço (cm²) Estádio Flecha total (m)

L1 4 12,5 4,91 II 0,0105

L2 4 12,5 4,91 II 0,0104

L3 4 12,5 4,91 II 0,0110

Para todas as lajes observou-se conformidade com a norma NBR

6118:2014, no que tange à flecha excessiva como se pode observar na Tabela 9.

Tabela 9 - Avaliação das flechas das lajes.

Laje Vibração

( = 350) m

Aceitabilidade sensorial

( = 250) m

L1 0,0238 0,0376

L2 0,0257 0,0360

L3 0,0229 0,0320

5.2.2 Comportamento dinâmico das lajes antes da instalação do AMS

Apesar da conformidade alcançada com a norma NBR 6118:2014 no

dimensionamento das lajes, realizando o estudo dinâmico das mesmas, utilizando

como fonte de vibração o caminhar de uma pessoa, foi possível detectar problemas

quanto à vibração excessiva gerando amplificações dinâmicas ( ) superiores às

53

amplificações dinâmicas limites ( ) e, também, o mesmo se observou para as

acelerações das lajes, a qual a máxima é de 0,5%g, como mostrado na Tabela 10.

Tabela 10 - Resultados da avaliação dinâmica das lajes.

Laje á ( ²⁄ ) ( ²⁄ )

L1 12,50 8,11 0,0755

0,0490 L2 12,50 9,07 0,0675

L3 12,50 8,92 0,0687

Apresentado o problema de vibração excessiva, mesmo com

dimensionamentos realizados seguindo a norma NBR 6118:2014, justifica-se então

o início do processo de solução para tal problema com a instalação do AMS

dimensionado e implementado por AG para o controle da vibração.

5.3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

Tendo em vista a necessidade de utilização do AMS, para a realização do

seu dimensionamento foi implementado o AG desenvolvido neste trabalho. A

utilização deste método heurístico se deu pelo fato de que sua própria estrutura é

formada para que se encontre resultados ótimos de uma determinada função

objetivo.

Para o desenvolvimento do AG, foram desenvolvidos seus operadores

genéticos e aplicados de acordo com o fluxograma mostrado pela Figura 20. Suas

respectivas estratégias de manipulação foram devidamente escolhidas e aplicadas

conforme serão mostrados nos tópicos a seguir.

54

5.3.2 Testes com a função objetivo ( )

Para a comprovação da eficiência do AG desenvolvido neste trabalho,

inicialmente foram realizados testes para o dimensionamento do AMS utilizando a

função objetivo mostrada na equação (34). Foram realizados 5 testes para cada laje

e apresentado graficamente a diferença entre os resultados encontrados pelo

método dos ábacos de Moutinho (1998) e pelo AG implementado.

Os resultados dos testes do AG foram comparados aos resultados

encontrados pelos ábacos. Os resultados obtidos utilizando os ábacos podem ser

observados conforme apresentado na Tabela 11.

Tabela 11 - Parâmetros do AMS obtidos pelos ábacos de Moutinho (1998).

Laje µ

L1 0,009 0,985 0,040

L2 0,005 0,990 0,029

L3 0,006 0,989 0,030

A Tabela 12 mostra os melhores indivíduos obtidos com o AG em cada um

dos testes.

Tabela 12 - Resultados obtidos nos testes com a função objetivo f1(r).

Laje Teste µ ( ) , á / , /

L1

1 0,01553 0,97952 0,02446 0,00006 0,0248

0,0490

2 0,03001 0,96327 0,02294 0,00001 0,0185

3 0,00609 0,98935 0,03481 0,00005 0,0408

4 0,01863 0,97602 0,02390 0,00001 0,0226

5 0,03076 0,96244 0,02291 0,00010 0,0184

L2

1 0,03301 0,95483 0,01555 0,00013 0,0175

0,0490

2 0,01976 0,97192 0,01585 0,00016 0,0204

3 0,02569 0,96419 0,01568 0,00001 0,0187

4 0,01773 0,97460 0,01593 0,00012 0,0213

5 0,03670 0,95019 0,01551 0,00006 0,0172

L3

1 0,01592 0,97746 0,01713 0,00001 0,0226

0,0490

2 0,03142 0,95782 0,01658 0,00000 0,0177

3 0,02494 0,96592 0,01672 0,00000 0,0189

4 0,01530 0,97826 0,01717 0,00001 0,0230

5 0,02363 0,96758 0,01676 0,00003 0,0192

55

Pode-se observar pelos resultados encontrados e apresentados na Tabela

12 que não ocorre convergência dos parâmetros do AMS para um mesmo valor com

o uso desta função objetivo. A cada teste são encontrados diferentes valores para

todos os parâmetros especialmente para a relação entre massas (µ) que na maioria

dos casos foram obtidos valores muito superiores aos encontrados pelos ábacos de

Moutinho (1988).

Ocorre que durante os processos evolutivos do AG, aqueles indivíduos com

maior massa tendem a resultar em menores acelerações para a laje e, desta forma,

o algoritmo tende a reduzir os níveis de vibração aplicando massas maiores para o

AMS do que as obtidas pelos ábacos.

Os melhores resultados para cada laje (aqueles que alcançaram o menor

valor de aceleração) são mostrados na Tabela 13.

Tabela 13 - Melhores resultados observados a partir da Tabela 12.

Laje Melhores resultados , á /

L1 Teste 5 0,0184

L2 Teste 5 0,0172

L3 Teste 2 0,0177

As Figuras 21, 22 e 23 mostram as curvas de amplificação dinâmica das

lajes calculadas com os parâmetros dos AMS obtidos nos testes da Tabela 13 e

também para os parâmetros obtidos pelos ábacos.

Percebe-se então a necessidade de ponderar o acréscimo de massa na

estrutura a fim de se alcançar valores para os parâmetros dos AMS mais próximos

daqueles encontrados com os ábacos.

56

Figura 21 – Amplificação dinâmica em L1 (Teste 5).

Figura 22 - Amplificação dinâmica em L2 (Teste 5).

57

Figura 23 - Amplificação dinâmica em L3 (Teste 2).

Embora os parâmetros do AMS encontrados com o AG sejam muito

diferentes daqueles obtidos pelos ábacos de Moutinho (1998) pode-se observar (ver

Tabela 14) que em todos os testes aos valores da aceleração máxima da laje foram

inferiores ao limite aceitável de 0,049 m/s2.

Tabela 14 – Eficiência do AMS com parâmetros obtidos pela otimização de ( ).

Laje , á /

, / Antes do AMS Após o AMS

L1 0,0755 0,0184

0,0490 L2 0,0675 0,0172

L3 0,0687 0,0177

Para que se tenha controle dos parâmetros, não os tornando discrepantes

quando comparados aos encontrados nos ábacos, necessita-se realizar a calibração

da função objetivo com os ábacos de Moutinho (1998).

58

5.3.3 Calibração da função objetivo

A calibração da função objetivo foi realizada fazendo-se testes e observando

qual era os resultados obtidos com as alterações efetuadas, até que fossem

encontrados resultados satisfatórios tendo em vista que o Algoritmo Genético é um

método heurístico.

A função objetivo já calibrada é mostrada na equação (36).

( ) = ∙ | ( ) − ( )| + ∙ | á − | + . μ + . (1) − (36)

Onde q2 e q3 são constantes de ponderação, ( ) é função objetivo 1

(equação 35), (1) é a amplificação dinâmica calculada para r = 1, é a

amplificação limite calculada para a laje a fim de se atender ao critério de conforto e

FS é um fator de segurança igual a 1,4.

Como pode ser observado na equação (36), foram adicionados dois novos

termos. O primeiro termo é responsável pelo controle de massa do absorvedor

aplicado na estrutura. Na ausência deste termo, o algoritmo tende a usar valores

relativamente maiores de massa para minimizar a vibração da laje. Contudo, é

preciso ter em mente que é desejável resolver o problema de vibração de forma

eficiente com a menor adição de massa possível na estrutura.

Já o segundo termo acrescentado à função objetivo faz com que o algoritmo

busque parâmetros que resultem em uma amplificação na zona de trabalho da laje (r

= 1) igual a reduzida em 40% pelo fator de segurança FS.

O segundo termo foi inserido devido a análises e comparações de testes

realizados entre os resultados encontrados pelo AG e os resultados obtidos nos

ábacos de Moutinho (1998). Ainda, vale lembrar que no trabalho de Moutinho (1998)

só é citado que, para o desenvolvimento dos ábacos, foram utilizados métodos

numéricos não deixando explícito possíveis fatores de segurança, método de cálculo

ou qualquer informações que vieram a ser utilizadas durante este processo.

Portanto, para o fator de segurança assumiu-se o valor de 1,4 por ser um valor

comumente utilizado em dimensionamentos estruturais, considerando estruturas em

concreto.

59

Seguindo estas observações foi possível realizar a calibração da constante

de ponderação q3 que se encontra na função objetivo para a obtenção dos melhores

resultados. Após sucessivos testes observou-se que o melhor valor para esta

constante é q3 = 4. Esta constante está diretamente ligada à relação entre massas,

pode-se observar que a mesma está com a maior proporção para que seja feito o

controle nos valores de massas encontradas na implementação do AG.

5.3.3.1 Testes do AG com a função objetivo f2(r)

Com a função objetivo ( ) foram também realizados 5 testes para cada

laje de maneira semelhante aos realizados para a primeira função objetivo. Os

resultados podem ser observados na Tabela 15.

Tabela 15 - Resultados obtidos pelo AG utilizando a função objetivo f2(r).

Laje Teste µ ( ) , á / , /

L1

6 0,00659 0,98899 0,03289 0,03906 0,0395

0,0490

7 0,00660 0,98898 0,03294 0,04139 0,0395

8 0,00661 0,98895 0,03302 0,04527 0,0394

9 0,00653 0,98907 0,03263 0,02735 0,0397

10 0,00658 0,98900 0,03286 0,03789 0,0395

L2

6 0,00352 0,99321 0,02214 0,01659 0,0495

0,0490

7 0,00359 0,99309 0,02258 0,04310 0,0490

8 0,00356 0,99311 0,02238 0,03395 0,0492

9 0,00352 0,99319 0,02212 0,01765 0,0495

10 0,00355 0,99317 0,02229 0,02560 0,0493

L3

6 0,00391 0,99265 0,02370 0,02090 0,0477

0,0490

7 0,00391 0,99265 0,02368 0,02136 0,0477

8 0,00389 0,99268 0,02360 0,01572 0,0478

9 0,00390 0,99267 0,02362 0,01726 0,0477

10 0,00397 0,99255 0,02410 0,04312 0,0472

Observa-se na Tabela 15 que os valores obtidos para os três parâmetros do

AMS, em cada laje, foram mais homogêneos em todos os testes. Se os resultados

60

forem aproximados para três casas decimais pode-se dizer que os cinco testes de

cada laje convergiram para os mesmos valores dos parâmetros do absorvedor.

Comparando os resultados das Tabelas 12 e 15 com os parâmetros do AMS

encontrados pelos ábacos de Moutinho (1998) e apresentados na Tabela 11 pode-

se observar que com a função objetivo ( ) o AG apresentou um controle de massa

melhor em relação a função ( ).

As acelerações de pico nas lajes L1 e L3 alcançaram valores inferiores ao

limite aceitável de 0,0490 m/s2. Entretanto, para a laje L2 os valores de aceleração

estão muito próximos do limite aceitável de vibração e em quatro dos cinco testes a

aceleração de pico da laje L2 ultrapassou o limite de aceleração. Desta forma, o

critério de conforto não foi atendido para esta laje.

Para os testes mostrados na Tabela 15, os melhores resultados para cada

laje são apresentados na Tabela 16.

Tabela 16 - Melhores resultados observados a partir da Tabela 15.

Laje Melhores resultados , á /

L1 Teste 8 0,0394

L2 Teste 7 0,0490

L3 Teste 10 0,0472

As Figuras 24, 25 e 26 mostram as curvas de amplificação dinâmica das

lajes calculadas com os parâmetros dos AMS obtidos nos testes da Tabela 16 e

também para os parâmetros obtidos pelos ábacos.

61

Figura 24 – Amplificação dinâmica em L1 (Teste 8).

Figura 25 – Amplificação dinâmica em L2 (Teste 7).

62

Figura 26 – Amplificação dinâmica em L3 (Teste 10).

Nas figuras acima é possível observar que, para todas as lajes, as curvas de

amplificação dinâmica ficaram próximas. As maiores divergências ocorreramno

intervalo 0,8 ≤ ≤ 1,2, ou seja, próximas aos picos e vale de amplificação. As

Figuras 27, 28 e 29 mostram as amplificações neste intervalo para as três lajes.

Figura 27 – Amplificação dinâmica em L1 no intervalo 0,8 ≤ ≤ 1,2 (Teste 8).

63

Figura 28 – Amplificação dinâmica em L2 no intervalo 0,8 ≤ ≤ 1,2 (Teste 7).

Figura 29 – Amplificação dinâmica em L3 no intervalo 0,8 ≤ ≤ 1,2 (Teste 10).

64

Verifica-se nas Figuras 27 a 29 que o AG usando a função objetivo ( )

limitou os picos de amplificação nas zonas de ressonância em 8,11, 9,07 e 8,92,

respectivamente para as lajes L1, L2 e L3 conforme valores de determinados

para cada laje. Estes mesmos valores foram usados como dados de entrada nos

ábacos de Moutinho (1998) para a obtenção dos parâmetros do AMS. Entretanto,

observa-se nas Figuras 27 a 29 que as amplificações máximas obtidas com os

parâmetros obtidos pelos ábacos é inferior às amplificações limite.

Em todos os testes realizados com a função objetivo ( ) observou-se que o

dimensionamento do AMS com os ábacos de Moutinho (1998) resulta em valores

máximos de amplificação dinâmica 7% inferiores ao limite admissível.

Desta forma, a função objetivo ( ) (equação 36) foi modificada, a fim de

levar em conta esta diferença nos limites de amplificação e obteve-se, a função

objetivo ( ) mostrada na equação 37.

( ) = ∙ | ( ) − ( )| + ∙ | á − | + . μ + . (1) − (37)

Com

=1,07

(38)

Foram então realizados mais cinco testes para cada laje usando agora a

função objetivo ( ). Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 17.

65

Tabela 17 - Resultados obtidos pelo AG utilizando a função objetivo f3(r).

Laje Teste µ ( ) , á / , /

L1

11 0,00903 0,98588 0,03946 0,04185 0,0332

0,0490

12 0,00903 0,98587 0,03954 0,04203 0,0332 13 0,00904 0,98585 0,03952 0,04370 0,0332 14 0,00905 0,98585 0,03960 0,04467 0,0331 15 0,00900 0,98592 0,03939 0,03606 0,0332

L2

11 0,00521 0,99083 0,02844 0,02595 0,0402

0,0490

12 0,00523 0,99080 0,02855 0,03151 0,0401 13 0,00521 0,99083 0,02844 0,02708 0,0402 14 0,00527 0,99074 0,02879 0,04344 0,0399 15 0,00521 0,99083 0,02845 0,02655 0,0401

L3

11 0,00575 0,98999 0,03032 0,04964 0,0387

0,0490

12 0,00569 0,99019 0,03000 0,02620 0,0389 13 0,00574 0,99011 0,03027 0,03913 0,0387 14 0,00570 0,99017 0,03010 0,03097 0,0389 15 0,00521 0,99083 0,02845 0,02655 0,0401

Observa-se na Tabela 17 que, em todos os testes, as acelerações máximas

na