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FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAES RELATIVSTICAS PARA O
SPIN
Londrina 2013
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FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAES RELATIVSTICAS PARA O
SPIN
Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Departamento de
Fsica da Universidade Estadual de Londrina, como requisito parcial
obteno do ttulo de Bacharel em Fsica.
Orientador: Prof. Dr. Jos Abdalla Helayl-Neto
Londrina 2013
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FLAVIA SILVIA DOS SANTOS
AS EQUAES DE WEYL E DIRAC COMO EQUAES RELATIVSTICAS PARA O
SPIN
Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Departamento de
Fsica da Universidade Estadual de Londrina, como requisito parcial
obteno do ttulo de Bacharel em Fsica.
BANCA EXAMINADORA
____________________________________
Orientador: Prof. Dr. Jos Abdalla Helayl-Neto
Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas
____________________________________
Coorientador: Prof. Dr. Antnio Edson Gonalves
Universidade Estadual de Londrina
____________________________________
Prof. Dr. Verissimo Manoel de Aquino Universidade Estadual de
Londrina
Londrina, _____de ___________de _____.
-
Dedico este trabalho a Deus e minha famlia.
-
AGRADECIMENTOS
Agradeo primeiramente a Deus, por tudo o que Ele tem feito na
minha vida, por ser o Criador, Salvador e Mantenedor de tudo. Por
Jesus ser meu melhor amigo e estar me guiando em cada passo da
minha jornada nessa Terra. Por estar me capacitado com inteligncia
e fora a concluir mais uma etapa da minha carreira profissional.
Pelo privilgio de ter conhecido pessoas maravilhosas, com quem
estive em contato esses quatro anos de graduao. E por tudo o que
Ele tem-me feito.
Sou grandemente agradecida ao meu orientador, o Prof. Jos
Abdalla Helayl-Neto, que,alm de me ter orientado neste trabalho e
me ensinado conceitos fsicos, mostrou-se um excelente profissional
e fsico, um exemplo de ser humano, educado e um exemplo de
humildade em pessoa. Obrigada pela pacincia, incentivo e pela
enorme bagagem de conhecimento que me proporcionou atravs de suas
fascinantes vdeo-aulas, palestras e orientao.
Dedico esta conquista tambm aos meus amados pais (Ccero e Vilma)
e as minhas amadas irms (Marcela e Franciele), que sempre me
incentivaram a buscar a concretizar os meus sonhos. Agradeo pelo
carinho, apoio, amor e pacincia que tiveram comigo.
A Universidade Estadual de Londrina (UEL) e ao CBPF, pela
oportunidade de participar das aulas de Eletromagnetismo e Iniciao
Cientfica, atravs das vdeo-aulas e pela oportunidade e privilgio de
ser orientada pelo Professor Helayl.
A todos os meus colegas de turma, perseverantes na jornada, em
especial, ao Renan, Mateus, Ana Carolina, Neusmar, Aline,
Guilherme, Helder e Demtrio.
Enfim, a todos os professores que me acompanharam durante a
graduao, em especial ao Prof. Pedro Henrique, a Profa. Hiromi
Iwamoto, ao Prof. Verssimo Manoel de Aquino, ao Prof. Antnio Edson
e ao Prof. Edson Laureto, por todo apoio.
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SANTOS, Flavia Silvia dos. Asequaes de Weyl e Dirac como equaes
relativsticas para o spin. 2013.67 f. Trabalho de Concluso de Curso
(Graduao em Fsica) Universidade Estadual de Londrina, Londrina,
2013.
RESUMO
O presente trabalho consiste no estudo e na descrio fsica de
duas categorias de frmions Weyl e Dirac -atravs de equaes de onda
relativsticas extradas a partir do Grupo de Lorentz. Neste
contexto, apresentaremos as representaes irredutveis relevantes
para as partculas do Modelo-Padro das Interaes Fundamentais.
Mostraremos como compor a equao de Dirac atravs do acoplamento das
equaes de Weyl para frmions ditos left e right, atravs da introduo
de um parmetro de mistura com dimenso de massa. A metodologia de
trabalho baseia-se, sobretudo nas aulas de cursos de
Eletromagnetismo e Teoria Clssica de CamposdoCBPF (Centro
Brasileiro de Pesquisas Fsicas), registradas no Projeto
Vdeo-Aulas,e pesquisas bibliogrficas sobre o assunto.
Palavras-chave:Equaes relativsticas. Frmions. Espao de
Minkowski. Spin. Representaes irredutveis do Grupo de Lorentz.
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SANTOS, Flavia Silvia dos. The Weyl and Dirac equations as
relativistic equations for spin. 2013. 67 f. Final Course Paper
(Physics Bachelor) Universidade Estadual de Londrina, Londrina,
2013.
ABSTRACT
The present essay sets out to study and discuss the physical
description of two categories of fermions Weyl and Dirac by
analysing the corresponding relativistic wave equations that stem
from the Lorentz Group. In this framework, we shall focus on the
irreducible representions where the particles of the Standard Model
for Fundamental Interactions are placed. We shall work out Diracs
Equation by coupling the Weyls Equations for left- and right-handed
fermions by means of a mixing mass parameter. The methodology of
our work mainly consists in following the courses on
Electromagnetic Theory and Classical Fields delivered at CBPF
(Brazilian Centre for Research in Physics), available in the
Video-Class Project, and bibliographical research on the topics of
this essay.
Keywords: Relativistic equations. Fermions. Minkowski Space.
Spin. Irreducible representations of Lorentz Group.
-
LISTA DE ILUSTRAES
Grfico 1 Grfico das funes hiperblicas
........................................................... 16
-
SUMRIO
1 INTRODUO
..................................................................................................
10
2 GRUPO DE LORENTZ
.....................................................................................
13 2.1 GRUPO
SO(1,1)..................................................................................................
14 2.2 GRUPO
SO(1,3)..................................................................................................
17 2.3 TRANSFORMAO DE LORENTZ UTILIZANDO ANOTAO COVARIANTE NO ESPAO
DE MINKOWSKI
....................................................................................................
20 2.4 OPERADORES DE SPIN
.........................................................................................
22 2.5 LGEBRA DE LIE DO GRUPO DE LORENTZ
.............................................................. 24
2.5.1 Representaes do Grupo SO(1,3)
..................................................................
26 3 EQUAES DE MAXWELL EM NOTAO COVARIANTE
......................... 29 3.1 EQUAES DE MAXWELL NO VCUO EM NOTAO
COVARIANTE ............................. 29 3.1.1 Equao de
Continuidade
................................................................................
32 3.2 SIMETRIA DE GAUGE
........................................................................................
33 4 EQUAES RELATIVSTICAS PARA FRMIONS
........................................ 34 4.1 EQUAO DE WEYL
...........................................................................................
34 4.1.1 Equao de Weyl Left
...................................................................................
34 4.1.2 Equao de Weyl Right
.................................................................................
35 4.1.3 O DAlembertiano Escrito no Espao dos Espinores
........................................ 36 4.2 REPRESENTAO
ESPINORIAL EM DIFERENTES BASES
......................................... 38 4.2.1 Construindo a
Equao de Dirac
......................................................................
38 4.2.2 Notao de Dirac
..............................................................................................
40 4.3 SOLUO DA EQUAO DE DIRAC PARA ENERGIA POSITIVA
.................................... 43 4.3.1 Soluo da Equao de
Dirac no Referencial de Repouso (E > 0) ................. 43
4.3.2 Soluo da Equao de Dirac para Momento No Nulo (E > 0)
....................... 44 4.4 SOLUO DA EQUAO DE DIRAC PARA ENERGIA
NEGATIVA .................................. 45 4.4.1 Soluo da Equao
de Dirac no Referencial de Repouso (E < 0) ................. 46
4.4.2 Soluo da Equao de Dirac para Momento No Nulo (E < 0)
....................... 47 4.5 INTRODUO DA INTERAO ELETROMAGNTICA
................................................... 48 4.6 SIMETRIA
DE CONJUGAO DE CARGA DA EQUAO DE DIRAC
............................... 50 4.6.1 Conjugao de Carga e as
Solues de Antipartcula ..................................... 53
-
5 CONCLUSO
...................................................................................................
56
REFERNCIAS
.........................................................................................................
59
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
..............................................................................
60
APNDICES
.............................................................................................................
61
APNDICE A Vetores covariante e contravariante
................................................ 62
APNDICE B Propriedades da conjugao de Dirac
............................................. 64
APNDICE C Propriedades da conjugao de carga
............................................ 66
-
10
1 INTRODUO
A importncia dos mtodos algbricos intrnsecos Teoria de Grupos
para a descoberta das leis gerais da teria quntica tem-se tornado
cada vez mais visvel, desde seu advento em 1929, no clssico livro
de Hermann Weyl, Theory of Groups and Quantum Mechanics,
inicialmente publicado em alemo.A Teoria de Grupos mostra-se um
campo da Matemtica de fundamental relevncia para a implementao e
aplicao do conceito de simetria em sistemas qunticos e na elaborao
de modelos e teorias para as interaes fundamentais entre partculas
genuinamente elementares. A investigaodas caractersticas especficas
de cada grupo de Lie, clssico ou excepcional, tem a vantagem de
oferecer uma viso sistemtica sobre o sistema em estudo, mas a
verdadeira compreenso das relaes entre grandezas fsicas deve ser
obtida seguindo-se um desenvolvimento fundamental explcito, que
envolve a teoria de representaes.1
A metodologia de trabalho desta Monografia baseia-se,
sobretudoem cursos registrados no Projeto Vdeo-Aulasmantido pelos
Grupos de Pesquisa Teoria de Campos e Partculas Elementares e Fsica
e Humanidadesdo CBPF (Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas) e
pesquisas bibliogrficas sobre a descrio de frmions atravs das
equaes de onda relativsticas ferminicas.
Este trabalho tem como objetivo o estudo da descriofsica de duas
categorias especficas de frmions, os frmions de Weyl e Dirac,atravs
de equaes relativsticas extradas a partir da teoria de grupo
aplicada Teoria da Relatividade Restrita, e assim, apresentar
alguns tipos de representaes, notao e formalismo que so muito
importantes na descrio das partculas fundamentais do Modelo-Padro
das Interaes Fundamentais: a matria - representada peloslptons
carregados (eltron, mon, tau e suas correspondentes antipartculas),
seus respectivos neutrinos e as 3 famlias de quarks, o setor de
bsons de gauge (fton, os bsons vetoriais carregados, W, e neutro,
Z, e os glons) e o crucial dubleto de escalares de Higgs,
elemento-chave para a gerao de massa das partculas do
Modelo-Padro.
Nesta Monografia, vamos nos concentrar especialmente no setor
ferminico a matria do Modelo-Padro. O nosso objetivo principal
mostrar de forma pedaggica, o que no se encontra nos livros-texto
da rea, como derivar a
-
equao de Dirac atravs do acoplamento das equaleft e right,
mediante a massa nas equaes de Weyl
Em geral, os livrostentando trabalhar algo como a raiz quadrada
da Equao de Kleinescalares, o que parece, em um primeiro momento
para os iniciantes, uma derivao muito formal, sem deixar claro, o
que h de mais importante para a Equao deo fato de ser uma equao
relativstica para o spin, fato que Pauli buscava tenazmente, mas
foi Dirac a primeiro chegar a um resultado bemnosso ponto de
partida.
Utilizaremos o Cuja motivao fsica de espao-tempo de Minkowski,
Mecnica Quntica. O fato inteiros, um resultado da Teoria de Grupos.
A Mecnica Quntica entra atribuindo ao spin a sua unidade fsica:
o
Os formalismoferminicas, em especial o forutilizados como
suporte desenvolvimentos justifica que estudemos em detalhes
esta
A estruturao do trabalho estNo Captu
de simetria dos diferentes espaos, onde no espao de Minkowski
obtmde Lorentz, que ser o gferminicas, que descrevem os frmio
No Captulo 3, a
componente transversal do campo se as equaes de Maxwell.
No Captulo 4equaes relativsticas ferminicas: Equao de Weyl e a
Equao de Dirac.Construmos a equao de Dirac. Verificade Dirac, o que
se deve ao contedo da representao irredutvel a ela Introduz-se a
interao eleprescrio do acoplamento mnimo.
equao de Dirac atravs do acoplamento das equaes de Weyl para
frmions ditos , mediante a introduo de um parmetro de mistura
massa nas equaes de Weyl para o neutrino (setor-left) e
antineutrinoEm geral, os livros-texto motivam e chegam
tentando trabalhar algo como a raiz quadrada da Equao de
Kleinescalares, o que parece, em um primeiro momento para os
iniciantes, uma derivao muito formal, sem deixar claro, o que h de
mais importante para a Equao deo fato de ser uma equao relativstica
para o spin, fato que Pauli buscava tenazmente, mas foi Dirac a
primeiro chegar a um resultado bem
Utilizaremos o grupo de Lorentz para obter as equaesmotivao
fsica de utiliz-lo porque ele sistematiza a lgebrad
de Minkowski, fornecendo-nos a base algbrica para o que o O fato
de o spin ser quantizado, tendo valores apenas semi
inteiros, um resultado da Teoria de Grupos. A Mecnica Quntica
entra atribuindo sica: o .
formalismos desenvolvidos para tratar das equaes relativsticas
ferminicas, em especial o formalismo de Dirac,so muito teis,
porque
suporte desenvolvimentos e descobertas futurajustifica que
estudemos em detalhes estas equaes e as suas solues.
A estruturao do trabalho est distribuda da seguinNo Captulo 2,
introduz-se o conceito de grupos atravs dos princpios
de simetria dos diferentes espaos, onde no espao de Minkowski
obtmde Lorentz, que ser o grupo base para a obteno das equaes
relativsticas
descrevem os frmions, como o eltron. No Captulo 3, ao descrever
o fton atravs do D
componente transversal do campo , no espao livre, em notao cose
as equaes de Maxwell.
No Captulo 4, so feitas descries dos frmions atravs das equaes
relativsticas ferminicas: Equao de Weyl e a Equao de Dirac.
mos a equao de Dirac. Verifica-se a insero natural do irac, o
que se deve ao contedo da representao irredutvel a ela
a interao eletromagntica pelo tradicional mtodo que denominamos
de prescrio do acoplamento mnimo.Analisamos as solues da equao de
Dirac e
11
es de Weyl para frmions ditos de mistura com dimenso de
neutrino (setor-right). equao de Dirac
tentando trabalhar algo como a raiz quadrada da Equao de
Klein-Gordon para escalares, o que parece, em um primeiro momento
para os iniciantes, uma derivao muito formal, sem deixar claro, o
que h de mais importante para a Equao de Dirac: o fato de ser uma
equao relativstica para o spin, fato que Pauli buscava tenazmente,
mas foi Dirac a primeiro chegar a um resultado bem-sucedido. Este
ser
para obter as equaes procuradas. sistematiza a lgebradas rotaes
no
nos a base algbrica para o que o spin na quantizado, tendo
valores apenas semi-
inteiros, um resultado da Teoria de Grupos. A Mecnica Quntica
entra atribuindo
s equaes relativsticas malismo de Dirac,so muito teis, porque
podem ser
e descobertas futuras na Fsica. Isto e as suas solues.
distribuda da seguinte forma: rupos atravs dos princpios
de simetria dos diferentes espaos, onde no espao de Minkowski
obtm-se o grupo rupo base para a obteno das equaes
relativsticas
o descrever o fton atravs do DAlembertiano da
espao livre, em notao covariante, obtm-
frmions atravs das equaes relativsticas ferminicas: Equao de
Weyl e a Equao de Dirac.
natural do spin na equao irac, o que se deve ao contedo da
representao irredutvel a ela associada.
tromagntica pelo tradicional mtodo que denominamos de Analisamos
as solues da equao de Dirac e
-
12
introduz-se o conceito do conjugado de Dirac e do conjugado de
carga. Finalmente, No Captulo 5, apresentamos as nossas
Consideraes
Finais, onde organizamos de forma mais objetiva os resultados
principais trabalhados nesta Monografia.
Seguem-se 3 Apndices, A, B e C, com o propsito de expecificarmos
as notaes e convenes utilizadas no trabalho e explicitar,
devidamente, detalhes mais tcnicos referentes a operaes especiais
associadas Equao de Dirac.
-
13
2 GRUPO DE LORENTZ
As teorias fsicas so associadas a princpios de simetria,
invarincias, que esto associadas a alguma classe de transformao,
porque ao mudar de referencial procuramos algo que deva permanecer
invariante ao fazer a transformao de um referencial para o outro.
Esses princpios de simetria estaro associados a alguma classe de
transformao, e essas transformaes se agrupam em uma classe chamada
de grupos. As leis fsicas devem ser covariantes tambm, com respeito
ao seu grupo de transformao, ou seja, as leis da fsica independem
do observador, elas devem ser vlidas em qualquer referencial,
somente as grandezas fsicas medidas que mudaro.
Por exemplo, no espao euclidiano bidimensional (E) se impusermos
que o produto escalar um invariante sob uma determinada
transformao, ento os mdulos dos vetores e os ngulos entre os
vetores sero preservados, j que suas definies envolvem o produto
escalar:
|| = , ||
Utilizando notao matricial o produto escalar definido como: ds
ds Supondo transformao do tipo: (1) Impondo o princpio de simetria
que preserva o produto escalar,
obtemos: ds ds ds ds ds = ds
que nos conduz a condio de ortogonalidade (2) A matriz(matriz
identidade) a mtrica do espao euclidiano para
que o princpio de simetria que preserva o produto escalar seja
satisfeito para a transformao do tipo . Portanto, esse princpio de
simetria nos conduziu ao conjunto de matrizes ortogonais, que gera
o grupo O(2), pois esse conjunto
-
14
satisfaz as condies de um grupo (associatividade, matriz
identidade, existncia da matriz inversa ).
Tirando o determinante da condio de ortogonalidade: det # 1 %1
Se 1(subgrupo especial), obtemos o grupo SO(2), que o
grupo de todas as matrizes reais (2x2) que sejam ortogonais e
com determinanteigual a +1.
A matriz transformao pode ser interpretada como uma matriz
rotao, ao fazer a relao entre: 1e que e a identidade trigonomtrica:
& '(& 1
2.1 GRUPO SO(1,1)
O espao de Minkowski bidimensional(M1,1) com uma coordenada
temporal (cdt) e uma espacial (dx) definido pela mtrica , = )1 00
+1,, (3) que define o produto escalar nesse espao da seguinte
maneira: ds ds cdt dx )1 00 +1, )cdtdx , cdt# + dx#
Definindo / )' ,, podemos reescrever o produto escalar,
utilizando a notao matricial, como: / /
Supondo transformao do tipo: (4) Impondo o princpio de simetria
que preserva o produto escalar,
obtemos: # / / / / / /
-
15
que nos conduz a seguinte condio: (5)
Multiplicando a relao (5), pela direita, por , obtemos: (6) ou
(7)
A condio (5) gera o grupo O(1,1), o grupo das matrizes
ortogonais para uma dimenso temporal e uma dimenso espacial.
Seja a matriz transformao , uma matriz qualquer dada por:
dcba
Aplicando-a na condio (7), obtemos:
=
1001
dbca
1001
ac
bd
1
=
dbca
ac
bd1 (8.1)
onde, 1 3' o determinante da matriz . A expresso (8.1) conduz as
seguintes relaes:
d=a (8.2)
c=b (8.3)
b=c (8.4)
a=d (8.5)
Substituindo a relao (8.2) em (8.5) ou (8.3) em (8.4), obtm-se
que: = 1 = 1
Assim como nas matrizes ortogonais, ou seja, a matriz
transformao R O(1,1), so matrizes pseudo ortogonais.
Se = +1 (subgrupo especial), obtemos o grupo SO(1,1), que o
grupo de todas as matrizes reais (2x2) que sejam pseudo ortogonais,
satisfazendo a condio (5) e com determinante igual a +1.
-
16
A condio = +1 nos conduz a matriz transformao , dada por:
abba
cujo determinante : 1 + 3 1 que pode ser relacionada com a
identidade hiperblica: '(4 & 4 & 1 (9) com, 1 '(4& e 3
4&, ou seja,
coshcoshsenh
senh (10)
Ento, a matriz transformao dada pela expresso (10), nos fornece
que: / /
=
dxcdt
senhsenh
dxcdt
coshcosh
'
'
que nos conduz s seguintes relaes: ' '(4&' 4& '(4& '
4& (11.1) 4&' '(4& '(4& 4&' (11.2) Sabendo
que:
'(4& 567586# 9 1, (12.1) e supondo que conheamos quem
4&, impondo que esta seja igual a um valor :, que deve estar no
intervalo +1 ; 4& ; 1, como pode-se verificar no Grfico 1:
Grfico 1 Grfico das funes hiperblicas
Fonte: Wikipedia. Disponvel em: . Acesso em: 20 de Out de
2013.
-
17
Assim, se conhecermos quem 4&, conheceremos quem '(4&
utilizando a definio da funo 4& e a identidade (9), porque
queremos saber a interpretao fsica da transformao / /, ou seja,
temos que: 4& ?@A? B : ; 1, (12.2) 4& :'(4&. (12.3)
Substituindo a relao (12.3) na equao (9), obtm-se que: '(4&
D 9 1. (12.4) Substituindo a expresso (12.4) na equao (9), obtm-se
que:
4& % :1 + :. De acordo com a relao (12.3) 4& ; '(4&,
portanto: 4& + DD. (12.5) Portanto, substituindo as expresses
(12.4) e (12.5) na matriz ,
expresso (10), obtemos a seguinte matriz de transformao:
)'(4& 4&4& '(4&, D E 1 +:+: 1 F . (12.6)
Interpretando c
V= , onde H a velocidade relativa entre o
referencial S e o referencial S, obtm-se a transformao de
Lorentz. ' DI ' + :, (13.1) DI + :' .(13.2) Portanto, as
transformaes do grupo SO(1,1), das matrizes pseudo
ortogonais, no espao de Minkowski, nos fornece a transformao de
Lorentz. No espao de M1,1 a transformao que deveria aparecer como
uma rotao assim como no espao E2, apareceu como uma translao, ou
seja, a Relatividade Restrita est na mtrica , que define um novo
produto escalar, do positivo no definido.2
2.2 GRUPO SO(1,3)
O espao de Minkowski 4-dimensional (M1,3), com uma coordenada
temporal e trs espaciais, definido pela mtrica:
-
18
=
1000010000100001
que define o produto escalar da seguinte forma; # / / '# # + # +
# + J onde, o vetor definido por:
/ B K' J L Impondo o princpio de simetria que preserva o produto
escalar,
obtivemos a seguinte relao: M M (14.1) 1 (14.2) que gera o grupo
SO(1,3).
Fazendo a expanso em primeira ordem da matriz transformao ,
temos que: N O O# (15)
Substituindo a expanso (15) na relao (14.1), obtemos que: M +M
(16) A matriz uma matriz (4x4):
=
ponmlkjihgfedcba
(17)
Substituindo a matriz (17) na relao (16), obtemos:
=
1000010000100001
**
1000010000100001
plhdokgcnjfbmiea
ponmlkjihgfedcba
onde, 1 +1 0 3 ' R S T +T 0 +U 4 + V +V 0 W +( X +X 0 Assim,
-
19
=
00
00
lhdlgchgbdcb
Definindo:3 Y, ' Y#, YZ, &, 4 ,W &Z Logo, podemos
reescrever a matriz como:
+
+
+
+
+
=
0100100000000000
0010000010000000
0000001001000000
0001000000001000
0000000100000100
0000000000010010
321
321
(18.1)
Obtendo, assim, seis geradores composto por:\ , R 1,2,3, que so
os geradores que acoplam o tempo e o espao, denominados de
boostspois geram as transformaes de Lorentz e \, R 1,2,3, os
geradores que caracterizam o espao e desacoplam o tempo,
representam rotaes no espao e pertencem a lgebra so(3).
Podemos reescrever a matriz como: Y` Y#`# YZ`Z & # &ZZ
(18.2) Os geradores `\ , R 1,2,3 correspondem aos chamados boosts e
os
geradores \, R 1,2,3 descrevem, respectivamente, rotaes no
sentido trigonomtrico realizadas nos planos coordenados x-y, y-z e
z-x.
As matrizes de transformao so:
= =
1000010000cosh00cosh
11
11
11
senhsenh
e
zz
yyxctsenhxxsenhctct
=
=
+=
+=
'
'
)(cosh)(')()(cosh'
11
11
-
20
==
10000cosh0001000cosh
22
22
22
senh
senh
e
zz
yctsenhyxx
ysenhctct
=
+=
=
+=
'
)(cosh)(''
)()(cosh'
22
22
==
33
33
33
cosh0001000010
00cosh
senh
senh
e
zctsenhzyyxx
zsenhctct
)(cosh)(''
'
)()(cosh'
33
33
+=
=
=
+=
==
10000cos00cos00001
11
1111
sen
sene
zz
yxsenyysenxx
ctct
=
+=
+=
=
'
)(cos)(')()(cos'
'
11
11
==
22
2222
cos000100
0cos00001
sen
sene
zxsenz
yyzsenxx
ctct
)(cos)(''
)()(cos''
22
22
+=
=
+=
=
==
33
3333
cos00cos00
00100001
sen
sene
zysenzzsenyy
xx
ctct
)(cos)(')()(cos'
'
'
33
33
+=
+=
=
=
onde: :\ ab@ ec 1 d1 + :\#e , R 1,2,3 Portanto, obtivemos
novamente a transformao de Lorentz, agora
para o grupo SO(1,3). Assim, a mtrica do espao de Minkowski gera
a transformao de Lorentz mais rotao, ou seja, nos conduz a
Relatividade Restrita.
2.3 TRANSFORMAO DE LORENTZ UTILIZANDO A NOTAO COVARIANTE NO
ESPAO DE MINKOWSKI
Reescrevendo o grupo de Lorentz, utilizando a notao covariante
(veja o Apndice A), o vetor / no espao M1,3 ser escrito como:
-
21
f B ct; x, y, z j; , #, Z (19) que obedece a transformao de
Lorentz, da seguinte forma: f kfk (20.1) onde, a transformao de
Lorentz kf dada pelas matrizes: 11e= ou 22e= ou
33e= .
A partir da transformao (20.1) obtivemos as relaes (14.1) e
selecionamos a condio (14.2), que definem o grupo de Lorentz.
Reescrevendo essas expresses em notao covariante: flMlfkf Mfk
(20.2)
Utilizando a expresso (18.2), fazendo a expanso em primeira
ordem da transformao de Lorentz, obtemos:
f kfk )mInopNop,kf k #qrlrl skfk t ukfk #qrlrlvwk (21) onde,
N
12qrlrl A expresso matricial geral que reproduz qualquer
componente dos
geradores do grupo de Lorentz, no espao M1,3, dada por: rlkf
+urfMlk + Mrkulf (22) O elemento de linha, em notao covariante dado
por: # ff Mfkkf Mfkkf ff (23) A partir da expresso (20.2), obtemos
que: Mlfkf lfMfk(24.1) Multiplicando a expresso (20.1) por Mlf,
esquerda, temos que: Mlff Mlfkfk (24.2) Substituindo a relao (24.1)
em (24.2), obtemos que: l lfMfkk (24.3) Portanto, no espao dual, a
transformao do objeto covariante
realizada pela matriz transposta inversa diferentemente do
objeto contravariante, que realizado pela matriz prpria . Isso
ocorre devido a mtrica no trivial () do espao de Minkowski.
-
22
O operador gradiente no espao de Minkowski, em notao covariante
dado por: xf yyz{ @ x , | (25.1) xf yyz{ @ x , +| (25.2)
O DAlembertiano dado por: xfxf @x + |# (25.3) O DAlembertiano um
invariante por transformao de Lorentz. A transformao do operador
gradiente, na notao covariante
dada por: yyz{ yyz} yz}yz{ fk yyz} (25.4) onde, xxf fk xxk ou
seja, a derivada de uma coordenada contravariante resulta em uma
coordenada covariante e vice-versa.
2.4 OPERADORES DE SPIN
O teorema de Helmholtz diz que todo campo vetorial pode ser
decompostoem uma parte longitudinal ou solenoidal mais uma parte
transversal ou irrotacional, demonstrando que a condio necessria
para se conhecer esse campo vetorial ter o conhecimento de seu
rotacional e de seu divergente. 3
Seja uma funo auxiliar ~, continua e definida em todo o espao.
Aplicando a seguinte relao vetorial sobre esta funo: | | ~ || ~ +
|~ (26.1)
Definindo: +|~ (26.2) | ~ (26.3) | ~, (26.4) substituindo estas
definies na relao (26.1), obtemos a seguinte expresso para o campo
vetorial : +| | (26.5)
-
23
ou seja, (26.6) Assim, a partir da definio (26.3) do vetor ,
tirando o seu
divergente, sabendo que o divergente do rotacional de um vetor
sempre nulo, logo, obtemos que: | | | ~ 0
Portanto, para se conhecer bem certo campo precisa-se conhecer
seu divergente e seu rotacional. 4
Tirando o divergente da expresso (26.5), obtemos: | +|# B `, , J
(26.7) Tirando o rotacional da expresso (26.5), obtemos: | | | || +
|# +|# B , , J(26.8) A partir das equaes (26.7) e (26.8), temos
que: + |I | (26.9) + |I | (26.10)
As expresses (26.9) e (26.10) esto em notao simblica, elas
significam, matematicamente, que:
+Z | 4| + | Z + | +Z | 4| + | Z + |
onde, a funo de Green do laplaciano dada por: |# + uZ + ou seja,
dividir um funo pelo laplaciano significa calcular a sua funo de
Green.
Assim, podemos reescrever a expresso (26.5), substituindo pela
relao (26.9), como:
| 1|# | | cuja i-sima componente do vetor dada por: \ yby| | \
q\ &\ (27.1)
Definindo:
-
24
q\ B x\x| Substituindo a relao (26.10) na componente do
rotacional do vetor , temos que:
| \ \x \x + 1|# x + 1|# u\u + u\uxx + 1|# xx\ + xx\ + 1|# xx\
1|# |#\ \ + xx\|# | \ u\ +q\ B &\
Ento, de acordo com a relao (26.6) podemos decompor a relao
(27.1) em uma parte longitudinal e uma transversal, dadas
respectivamente por: \ yby| q\ (27.2) \ u\ + yby|I &\
(27.3)
No espao M1,3, um quadrivetor escrito como: f j, (componente
contravariante) f j, + (componente covariante) No Grupo SO(1,3),
que gera o espao M1,3, a componente j um
escalar com spin igual a zero 0, j as componentes espaciais que
formam um vetor tridimensional tem spin igual a um, 1. Portanto, no
campo , a parte longitudinal guarda spin nulo 0 e a parte
transversal guarda o spin inteiro igual a unidade 1. 2
2.5 LGEBRA DE LIE DO GRUPO DE LORENTZ
lgebras de Lie surgem naturalmente como espaos vetoriais de
transformaes lineares munidos com uma operao chamada de
comutador.
O objetivo agora identificar e caracterizar os espinores do
grupo SO(1,3), porque os espinores descrevem os frmions. E queremos
encontrar uma equao relativstica que descreva o frmion fundamental
do eletromagnetismo, o eltron.
Obtivemos seis geradores a partir das transformaes de Lorentz,
cuja representao matricial foi fornecida na equao (22), mas sabendo
que M , ou por componentes, MfkMk uf, podemos reescrever a equao
(22) como:
-
25
fk +MfMk + MfMk (28) cujas componentes do tipo j\ B \, R 1,2,3
so chamados de boosts e geram as transformaes de Lorentz, e as
componentes \ B \, R U V ou \ # \ representam as rotaes do
espao.
Buscamos a descrio dos frmions dentro da lgebra so(1,3), por
isso, calcularemos o comutador entre os geradores do grupo SO(1,3),
utilizando as expresses (22) e (28), fk , l fkl + lfk MfMk +
MfMkurMl + Mrul + MMl + MMlufMk + Mfuk MfMkMl + MfMklMr + MfMkMl
MflMkMr +MMlfMk MMlkMf MfMlMk + MkMlMf Mk+fl Mfl+k Mklf Mfkl fk , l
+Mkfl Mflk + Mklf + Mfkl (29.1) ou seja, o comutador entre dois
geradores quaisquer resulta em uma combinao linear matricial,
confirmando que os geradores formam uma lgebra de Lie.
Fazendo o comutador de dois boosts obtm-se: B\, B j\, j +M\jj +
Mj\j M\jj Mjj\ \ (29.2) j que pela definio da mtrica M, os
elementos fora da diagonal so nulos, ou seja, M\j 0 e no existe
rotao em um plano \, ( R U, ou seja, o comutador entre dois
boostsgera uma rotao.
Fazendo o comutador entre duas rotaes obtm-se,
R\, R 14 \==, Utilizando a relao (29.1):
R\, R 14 \=u= u= + u= + u= 14 \ 14 \== + 14 \ + 14 \== +14 u\u +
u\u + 14 u\u= + u\u== +14 u\u + u\u + 14 u\u= + u\u== R\, R +\
(29.3)
-
26
ou seja, o comutador entre duas rotaes gera outra rotao. Fazendo
o comutador entre um boost e uma rotao, obtm-se que:
B\, R 12 =j\, = 12 =u\j= uj=\ + u\=j + uj\= B\, R +\ (29.4) ou
seja, o comutador entre um boost e uma rotao gera outro boost.
Portanto, existem termos fora da diagonal. Porm, se reescrevermos
uma nova base de geradores como uma combinao linear entre um booste
uma rotao, dada por: \ \# \ R\ (30.1) \ + \# \ + R\ (30.2) na qual,
J\, J R\ K\, R\ J\, 0
Portanto, com essa nova base no espao M1,3, definida pelas
expresses (30.1) e (30.2), o spin possui duas lgebras, devido
mistura do boostcom a rotao.
so(1,3) ~ so(3) so(3) su(2) su(2) Como o spin no relativstico
definido pela lgebra su(2), ento o
spin relativstico definido pela composio de dois spins no
relativsticos su(2) su(2), caracterizando assim o fton, cuja
representao )# , #,.2
2.5.1 Representaes do Grupo SO(1,3)
A partir dos seis geradores do grupo de Lorentz (fk definiram-se
duas classes de geradores,os boostsj\e as rotaes =, dos quais
atravs da combinao linear desses dois tipos de geradores
definiram-se dois novos tipos de geradores \, \, que comutam entre
si, \ , \ 0, ou seja, so ortogonais, criando assim uma nova
base.
Assim, a lgebra de Lie do grupo de Lorentz pode ser escrita como
a composio de duas lgebras su(2), j que \ e \ so uma combinao
linear
-
27
complexa de boosts com rotaes e por isso \ e \ so descritos pela
lgebrasu(2) individualmente. (1,3 2 2
O grupo SU2pode ser caracterizado por um nmero j, que pode tomar
valores inteiros e semi-inteiros, cujo vetor representado por , com
(2j+1) componentes. E similarmente, SU2 caracterizado por k, cujo
vetor representado por ,.
O grupo SO(1,3) caracterizado por dois nmeros U, V porque
somente esses dois geradores comutam entre si. Portanto, para
caracterizar uma partcula relativstica necessrio especificar quem
so esses dois nmeros U, V.
A representao 0,0, onde U 0 e V 0, caracteriza um escalar, um
campo de Higgs.
A representao # , 0, onde U # e V 0, pode caracterizar: um lpton
(W, um quark ou um neutrino no setor left. Associada a essa
representao o vetor , Y 1,2 (espinores de Weyl left). Essa
representao, cuja dimenso igual a dois, satisfaz a seguinte relao:
J\, J R\ cuja relao satisfeita pelas matrizes de Pauli divididas
por dois: b# , # R\ # , com J\ \/2 e K\ 0.
A representao 0, #, onde U 0 e V #, pode caracterizar: um lpton
(W ou um quark no setor right, cujo vetor , Y 1,2. Da mesma forma
essa representao, com dimenso igual a dois, satisfaz a seguinte
relao: K\, K R\ cuja relao satisfeita pelas matrizes de Pauli
divididas por dois: b# , # R\ # , com K\ b# e J\ 0
Portanto conhecemos quem so os geradores das representaes # , 0
e 0, #. Um objeto obtido a partir da soma espacial# , 0 0, #,
representa
o eltron, que descrito pela equao de Dirac, com dimenso igual a
quatro, cujo vetor denotado por:
-
28
EWWF ##
A representao com U # e V #, )# , #, f j, \, onde \ , onde R
1,2,3,caracteriza o fton. Essa representao cuja dimenso 2U 12V 1,
que igual a quatro tem como geradores: J\ \2 # K\ # \2
onde:
12 E 0 ## 0 F # 12 E 0 +R#R# 0 F Z 12 E# 00 +#F \ K\2 00
+\2L
Por exemplo, uma rotao em torno do eixo x dada por: #Z onde,
R2 R + R2 + R Somando com obtm-se que:
+ ,
0110100110010110
Portanto, a representao )# , #, bosnica, porque ao realizar uma
rotao completa de 2 em torno do prprio eixo sobre o objeto, o
resultado o prprio objeto. Essa a chamada representao
quadrivetorial do grupo de Lorentz, pois um vetor nessa representao
denotado por f j, . Do ponto de vista do grupo SO(3) (espao
euclidiano), a representao )# , #, de SO(1,3), apresenta 0 e 1.
-
29
3 EQUAES DE MAXWELL EM NOTAO COVARIANTE
Com as definies anteriores dos operadores de spin a partir do
Teorema de Helmholtz, vamos, agora, passar discusso de um
interessante aspecto que nos evidencia o importante papel das
representaes do grupo de Lorentz no programa de encontrar as equaes
relativsticas adequadas para descrever partculas com spin
bem-definido.
O primeiro exemplo que trabalharemos envolve o caso do spin1.
Mostraremos como a propagao de uma partcula de spin1 e massa de
repouso nula automaticamente nos leva descrio, baseada na simetria
de calibre, das equaes de Maxwell em sua forma covariante.
Portanto, ficar claro como uma
argumentao completamente baseada na representao )# , #, do grupo
SO(1,3) nos leva a redescobrir as equaes de Maxwell em bases
puramente algbricas.
Este exemplo do spin1 nos abrir o caminho para uma derivao
bastante peculiar da equao de Dirac para frmions com spin#
massivos, mais especificamente, os eltrons e psitrons.
3.1 EQUAES DE MAXWELL NO VCUO EM NOTAO COVARIANTE
O DAlembertiano da componente transversal do campo igual azero
descreve uma partcula com 1 e massa de repouso nula (fton), no
espao livre, ou seja, onde a densidade de carga e a corrente so
nulas. k 0 (31)
Substituindo a relao (27.3), covariantizada, na equao (31),
obtemos:
k k + xkxf f 0 k + xkxff 0 Usando a definio do DAlembertiano,
relao (25.3), obtemos: xfxfk + xkxff xfxfk + xkf 0 xf~fk 0
ou (32) xf~fk 0
-
30
Definindo o tensor de segunda ordem como: ~fk B xfk + xkf (33)
~fk xfk + xkf Portanto, a partir do espao M1,3, descrevendo uma
partcula com 1 e massa de repouso nula obtemos as equaes de Maxwell
no espao livre. Para 0 e R, R 1,2,3, a partir da expresso (33),
obtemos
que, ~j\ xj\ + x\j + @ x + |\j B /\ / (34.1) na qual, sabendo
que \ + e definindo j j B /', temos que:
xj\ + x\j +1' x + | ' +x + | (34.2) definindo/ B /' (campo
eltrico).
Para R, R 1,2,3 e U, U 1,2,3, a partir da expresso (33), obtemos
que, ~\ x\ + x\ +\| (34.3) ou seja, ~# +| Z,~#Z +| , ~Z +| #
Para R, R 1,2,3 e 0, substituindo a expresso (34.1) na equao
(32), obtemos: x\~\j x\/\ | / 0 | / 0 | 0 (34.4)
Para 0, R, R 1,2,3 e U, U 1,2,3, obtemos: xf~f xj~j x\~\ 1' x/ +
x\ \| 1' x/ + \x\ 0
Definindo, | B (34.5) e lembrando que: \ +\ x\ +x\ | @x
(34.6)
-
31
Expandindo a equao (32) obtemos a identidade de Bianchi: xf~k
xk~f x~fk 0 Para 0 e R, R 1,2,3, V U, U 1,2,3, obtemos: xj~\ x\~j
x~j\ 0
onde, ~\ +\| +\ ~j\ +~\j \'
ento, obtemos que:
+1' \x + 1' x\ + x\ +1' \x + 1' \| 0 | +x (34.7) Para R, R
1,2,3, U, U 1,2,3 e V 1,2,3, obtemos: x\~ x~\ x~\ 0 x\ \x \x 0
Multiplicando a equao acima por \, obtemos: +\x\ \\x \\x 0 +u\u +
u\ux\ u\\u + u\u\x u\\u + u\u\x 0 +x 3x 3x + x\\ 3x + x\\ 0 6x 0 x
| 0 (34.8) Portanto, a equao (32) equao de Maxwell no vcuo na
notao covariante. Para descrever uma partcula com 1 e massa de
repouso
diferente de zero, a equao (31) precisa ser diferente de zero.
Acrescentandoum termo ao lado direito da equao (32), descreveremos
essa nova partcula da seguinte forma: xf~fk jUk ou (35) xf~fk
jUk
Para R, R 1,2,3 e 0, obtemos: x\~\j x\~j\ x\ \' jUj
-
32
x\\ 'jUj Sabendo que, ~j\ \/'e' 1/jj
e definindo: Uj '` obtemos que: | (Lei de Gauss) (36.1)
Para 0, R, R 1,2,3 e V, V 1,2,3, obtemos: xj~j x\~\ jU 1' x \x\
1' x + \x\ jU onde, Uf Uj, + e \ +\, logo: | @x j (Lei de Ampre com
correo de Maxwell) (36.2)
A partir da identidade de Bianchi, para 0 e R, R 1,2,3, V U, U
1,2,3, da mesma forma que no espao livre, obtemos a Lei de Faraday:
| +x (36.3) Da mesma forma que no espao livre, para 0 e R, R 1,2,3,
V U, U 1,2,3, obtemos a lei de Gauss para o Magnetismo: | 0
(36.4)
3.1.1 Equao de Continuidade
Tirando o divergente da equao (35), e sabendo que os ndices do
tensor ~fk so ndices mudos, obtemos: xkxf~fk xfxk~kf +xfxk~fk
+xkxf~fk jxkUk onde, ~fk +~kf ento, para o lado esquerdo da equao
acima temos que: xkxf~fk +xkxf~fk 0
Logo, o sinal de igualdade implica que o lado direito ser dado
por: xkUk xjUj x\U\ 0 x` | 0 (36.5) esta equao a chamada equao de
continuidade.
-
33
3.2 SIMETRIA DE GAUGE
Fazendo uma transformao nas componentes do vetor da seguinte
forma: k k xkT onde,T seja uma funo contnua, tal que: xfxkT
xkxfT
Tirando o gradiente das componentes do vetor , obtemos: xfk xfk
xfxkT Logo, a transformao do tensor ~kf ser dada por: ~fk xfk + xkf
xfk xfxkT + xkf + xkxfT xfk + xkf ~fk Portanto, se o campo
fapresentar uma transformao feita por uma
funo contnua T, o tensor ~fk ser um invariante, apresentando uma
simetria, a chamada simetria de Gauge ou Calibre, ou seja, a
descrio de uma partcula de 1 e massa de repouso nula no espao M1,3
est vinculada com uma simetria de Gauge.
-
34
4 EQUAES RELATIVSTICAS PARA FRMIONS
A cada partcula associa-se uma equao relativstica que
caracterize e descreva essa partcula. Por isso, para cada
representao U, V obtida a partir dos geradores do grupo SO(1,3)
procuraremos uma equao relativstica que a descreva, porque cada um
desses objetos possue um espinor associado que descreve a sua
dinmica.
As equaes relativsticas ferminicas descrevem os frmions, cuja
caracterstica so spins semi-inteiros.
As equaes especificadas nos itens seguintes descrevem partculas
elementares e subatmicas. A equao de Weyl descreve o neutrino e o
antineutrino, a equao de Dirac descreve o eltron.
4.1 EQUAO DE WEYL
4.1.1 Equao de Weyl - Left
No Captulo 3 obtivemos as equaes de Maxwell covariantes, onde os
campos de radiao descreviam partculas com massa nula S 0 e spin
igual a 1 ( 1) atravs da equao (31). Agora queremos descrever uma
partcula com massa nula e spin #, que a descrio do neutrino (de
acordo com o Modelo Padro), um frmion - left. Impondo que o spin
dessa partcula esteja projetado ao longo da direo de movimento, que
dada pelo vetor momento linear, a equao que pode descrever essa
partcula a seguinte: X # (37.1) onde o operador de spin na
representao meio dado por:
2 Assim, atuando o operador dado pela equao (37.1) sobre um
espinor, na qual um autoestado do operador X com autovalor#,
obtm-se que: # || # (37.2)
-
35
Sabendo que o momento relativstico definido como: Rxf Xf (38) na
qual, Rxj Xj Xj @, xj y@ Rx\ X\ +X
E definindo o quadrivetor contravariante como, f B j, na qual: j
#
As matrizes de Pauli so: \ z, , ento, a partir da relao (37.2),
obtm-se que:
X ' Utilizando o Princpio da Correspondncia com a mecnica
quntica,
obtm-se que:
+R | Rx' R | xj 0 R\x\ xj# 0 Rfxf 0 (Equao de Weyl - left) (39)
ou, sabendo que Rxf Xf, podemos reescrever essa equao da seguinte
forma: fXf 0
Portanto, a equao de Weyl - left descreve o movimento de um
frmion no massivo, com # e cuja projeo do spin est ao longo do
movimento, o neutrino, cuja representao )# , 0,.
4.1.2 Equao de Weyl - Right
Para descrever uma partcula com massa nula e spin #, e cujo spin
dessa partcula esteja projetado no sentido contrrio da direo de
movimento,
-
36
ou seja, a descrio de um frmion - right, )0, #,. A equao que
pode descrever essa partcula a seguinte: X + # (40.1)
Analogamente ao que foi feito para o frmion-left, tendo # ,
definindo um espinorright e definindo f B ,+, obtm-se que: # || + #
(40.2)
+R | +Rx' R | xj 0 R+\x\ xj# 0 Rfxf 0 (Equao de Weyl - right)
(41) ou, podemos reescrever essa equao da seguinte forma: fXf 0
Portanto, a equao de Weyl - right descreve o movimento de um
frmion no massivo, com # e cuja projeo do spin est no sentido
contrrio direo do movimento, o antineutrino, cuja representao )0,
#,.
A representao )0, #, equivalente ao complexo conjugado da
representao )# , 0,, indicando que o antineutrino uma partcula
diferente do neutrino. 2
E0, 12F~ E12 , 0F
4.1.3O DAlembertiano Escrito no Espao dos Espinores
Adotamos na notao covariante que : f B , Se definirmos um sigma
barrado: f B ,+
a partir da relao simtrica entre esses dois quadrivetores: fk kf
Para 0, obtm-se que:
-
37
jj jj 2 Para 0 e R, obtm-se que: j\ \j + 0 Para R e U, obtm-se
que: \ \ + + +2u\ Portanto, a expresso geral da relao simtrica
entre os dois
quadrivetores sigma dada por: fk kf 2Mfk# (42) Mas, a relao de
anticomutao: f , k fk kf
fornece: Para 0: j, j jj jj 2 Para 0 e R: j, \ j\ \j + + +2 Para
R e U: \ , \ \ + + +2u\ Portanto, a relao de anticomutao geral
entre os quadrivetores
sigma tambm fornece uma relao similar (42). Atuando fxfsobre
kxk, sabendo essa relao simtrica e
utilizando a relao (42), temos que:
fxfkxk 12 fkkfxfxk Mfk#xfxk fxfkxk (43) Aplicando o operador
DAlembertianofxfkxk sobre espinor-
left, obtemos a equao de Weyl-left, dada por: 0 (44) Aplicando o
operador DAlembertianofxfkxk sobre espinor-
right , obtemos a equao de Weyl - right, dada por: 0 (45)
-
38
4.2 REPRESENTAO ESPINORIAL EM DIFERENTES BASES
Sabendo que:
12 , 0 0, 12 HD 12 , 12 0, 12 12 , 0 H D 12 , 12 onde a
representao# , # uma representao espinorial Y: ou Y:.
Etendo que qualquer matriz 2x2 pode ser expandida na base , ou
na base , +, como no exemplo: H Sff Sj S\\ (46.1) H ff j \\
(46.2)
Multiplicando a equao (46.1) por k e a equao (46.2) por k, pela
direita, e tirando o trao, obtm-se que: Hk Sf fk Hk Sf fk onde: fk
fk 2Mfk, que conduzem a: Sf # Hk ef # Hk
Assim, podemos reescrever as expresses (46.1) e (46.2) como: H D
# Hk Df (46.3) HD # Hk Df (46.4) ou seja, pode-se expandir a matriz
H em diferentes bases. Portanto, a atuao da matriz leva a
representao : )0, #, em Y # , 0 e vice-versa e essa relao conduz a
equao de Dirac.2
4.2.1 Construindo a Equao de Dirac
Descrevemos o neutrino e o antineutrino atravs da equao de
Weyl, que um frmion # no massivo. Para descrever uma partcula
ferminica massiva, deve-se acoplar um termo de massa equao de Weyl.
Portanto, adicionando as equaes de Weylright e left um termo
massivo, com unidade de momento, j que o termo fXf da equao de Weyl
tem unidade de
-
39
momento e concordando com o princpio de covarincia, o qual diz
que todos os termos de uma equao tensorial tm que ter a mesma
natureza, ou seja: Xff DD c 0 (47.1) XffD D ' 0 (47.2) onde, os
termos possuem dimenso de massa e como ' (velocidade da luz) tem
dimenso de velocidade, ento c e ' tem dimenso de momento. Pode-se
perceber tambm que o termo Xff D transforma o espinorleftD cuja
representao )# , 0, para a representao right)0, #, e igualmente, o
termo XffD transforma o espinor rightD cuja representao )0, #, para
a representao left)# , 0, .
As equaes (47.1) e (47.2) so equaes acopladas pela massa
ferminica.
A partir da equao (47.2), obtm-se que:
+ 1' Xkk Substituindo essa expresso na equao (47.1),
desacoplamos as
equaes: XfXkfk + '# 0 onde o termo fk simtrico, logo ele pode
ser reescrito como # fk kf e utilizando a expresso (42), obtm-se
que: XfXkMfk# + '# 0 X + '# 0
Considerando que , possuem unidades de massa, ento a equao a
cima conduz a seguinte relao: X S'# (48)
Fazendo uma correspondncia com a relao entre energia e momento
'X, a expresso (48) nos conduz a relao de energia relativstica S',
onde o quadrivetor momento igual a Xf Sc', X Sc', 0, com o vetor
momento nulo, ou seja, a partcula est em um estado estacionrio.
Portanto, as equaes acopladas (47.1) e (47.2) esto descrevendo
uma partcula ferminica massiva em um estado estacionrio.
-
40
Reescrevendo as equaes (47.1) e (47.2) utilizando a representao
matricial e definindo +S:
+S' XffXff +S' EF 0 Utilizando a representao de Weyl,
reescrevemos a expresso
acima como:
Xf ) 0 ff 0 , + S' EF 0 Definindo: cf B ) 0 ff 0 , (matrizes
gama de Dirac na representao de Weyl)
EF E12 , 0F E0, 12F Obtemos a equao de Dirac: Xfcf +S' 0 Como Xf
Rxf, ento: Rcfxf +S' 0 (49) Portanto, acoplando um termo de massa a
Equao de Weyl nas
representaes )0, #, e )# , 0, obteve-se a Equao de Dirac, que
descreve uma partcula ferminica # com massa, ou seja, a descrio do
eltron.
A Equao de Dirac uma equao de primeira ordem tanto na derivada
temporal, quanto na espacial, por isso ela possui dois graus de
liberdade (carga e spin) com quatro coordenadas: eltron com energia
positiva e spin up ou spin down e eltron com energia negativa
(anti-eltron) com spin up ou down.
4.2.2 Notao de Dirac
A partir de agora, ser utilizado a notao de Dirac, para isso ser
necessrio redefinir a notao do espinor , para eliminar os ndices
com pontos que foi adotado no espao de Minkowski, ou seja:
## B #Z , Y 1,2,3,4
Essa redefinio ser utilizada para distinguir o espao dos
-
41
espinores, como os ndices Y 1,2,3,4, do espao de Minkowski, onde
tnhamos os ndices com ponto do setor right e os ndices sem ponto do
setor left.
A partir da definio da matriz cf, feita na seo 4.2.1, obtm-se as
seguintes propriedades dessa matriz:
O quadrado das componentes temporal e espacial da matriz cf,
dado por: cj# c\# + (50)
A componente temporal da matriz cf hermitiana e a componente
espacial anti-hermitiana: cj cjc\ +c\ (51) onde
cj E# 00 +#F c\ ) 0 + 0, (52) Essas matrizes so unitrias, pois
multiplicando a matriz cj por cj
e multiplicandoc\ por c\, pela esquerda. Tendo que cjcj e c\c\ ,
obtm-se que: cjcj c\c\
As componentes da matriz gama espacial e temporal anti-comutam
entre si: cjc\ +c\cj (53) c\c +cc\, R U
Nessa nova representao, a representao de Dirac, perde-se a noo
de espinor left e right, como havia-se definido no espao de
Minkowski.
O objetivo de se utilizar essa notao o de diferenciar as
componentes que so relativsticas e as que no so. J, na representao
de Weyl ficou claro a estrutura de spin da partcula. Os diferentes
tipos de representaes so importantes para ajudar a resolver o
problema abordado e simplificar a interpretao fsica do mesmo,
porque independentemente da representao a fsica do problema a
mesma.
Reescrevendo a equao de Dirac, dada pela equao (49), no espao
dos momentos, tendo que Rxf Xf, obtm-se que: cfXf +S'p 0 (54)
Utilizando a notao de Dirac, essa equao ter a seguinte
forma:
-
42
E +S'# + X' X' + S'#F ), 0 onde:
E#F EZF na qual, )# , 0, 0, #, porque nessa nova representao h
uma mistura de componentes.
Assim, obtm-se as seguintes equaes: + S'# + ' X 0 (55) ' X + S'#
0 Da ltima equao se extrai que: @7@I (56) Portanto, no limite no
relativstico ', as quatro componentes
do espao espinorial tendem para a representao bidimensional, com
um espinor dominante, pois depende de , assim, o espinor fixo,
trazendo consigo 4 parmetros reais independentes e o espinor
dependente. Isso ocorre porque foi imposto que satisfaz a equao de
Dirac. A quantidade de parmetros obtida foi devido o fato de a
equao de Dirac ser uma equao de primeira ordem na derivada
temporal.
Substituindo a expresso (56) na equao (55), obtm-se a equao de
energia e momento para uma partcula relativstica massiva. # +S#' +
X'# 0 onde, X'# '\X\X 'X \
Assim, obtm-se que: # +S#' + 'X 0 Para arbitrrio, extra-se a
equao da energia relativstica
massiva: %S#' 'X B %X (57) Portanto, a relao energia-momento
relativstico uma
consequncia da equao de Dirac.
-
43
4.3SOLUO DA EQUAO DE DIRAC PARA ENERGIA POSITIVA
Definindo ; X, o espinor de Dirac, com quatro componentes, como
a soluo da equao de Dirac com energia positiva (E > 0), a equao
de Dirac ser dada por: cj + c X' + S'#; X 0 (58)
Tirando o conjugado hermitiano da equao (58): cj c X' + S'# 0
(59) onde, cj cj, c +c, X X
Multipicando a equao (58) por pela esquerda, multiplicando a
equao (59) por pela direita e somando o resultado, obtm-se que:
XS' cj Definindo um novo tipo de conjugado, denominado de
conjugado de
Dirac(veja o Apndice B), como: cj (60) onde, # +Z +
diferenciando-se do conjugado hermitiano: # Z
4.3.1 Soluo da Equao de Dirac no Referencial de Repouso (E >
0)
Seja a energia dada por: X S'# obtemos que a soluo de um espinor
com energia positiva e momento nulo, ou seja, a soluo no
referencial de repouso, ser dada por: S'cj + S'#; 0 0 (61)
Na representao de Dirac, temos que: cj + )0 00 +2, (62)
Portanto, substituindo a matriz (62) na equao (61), obtemos
que:
-
44
S' )0 00 +2,K#ZL 0
implicando que: Z 0. Ento, a forma do espinor da soluo com
E>0 dada por:
S'#; 0 K#00 L K1000L # K
0100L (63) com duas solues independentes no espao
bidimensional.
4.3.2 Soluo da Equao de Dirac para Momento No Nulo (E >
0)
Pode-se reescrever a equao de Dirac para uma partcula
relativstica com energia positiva e momento arbitrrio (no nulo)
como: cfXf +S'Xf 0 (64)
Multiplicando o operador de Dirac pelo seu conjugado, obtemos:
cfXf +S'ckXk S' cfckXfXk +S' X + S' onde, o termo cfck, que
simtrico, pode ser reescrito como:
cfck 12 cfck ckcf Mfk Logo, a soluo da equao (64) dada por: Xf
ckXk S'S'#; 0 (65) Portanto, conhecendo a soluo para a partcula
livre em energia
positiva, basta multiplic-la pelo operador ckXk S' que obtemos a
soluo em qualquer instante, para um momento arbitrrio.
Tendo que as duas solues no referencial de repouso so:
K1000L , K0100L
Aplicando o operador ckXk S' nessas solues, obtemos que:
ckXk S' K1000L
@ S' X+ X + @ S'K1000L
@ S'0+X+Xz + RX
(66)
onde,
-
45
+ X )10, +E X Xz + RXXz RX +X F )10, ) +X+Xz + RX, Portanto, o
espinor
@ S'0+X+Xz + RX
o boostdo espinor livre, K1000L, de energia positiva, no
referencial da partcula de movimento.
A outra soluo dada pela aplicao do operador ckXk S' sobre a
segunda soluo:
ckXk S' K0100L
@ S' X+ X + @ S'K
0100L 0@ S'+Xz RXX
(67)
onde,
+ X )01, +E X Xz + RXXz RX +X F )01, E+Xz RXX F Portanto, o
espinor
0@ S'+Xz RXX
o boost do espinor livre, K0100L, de energia positiva, no
referencial da partcula de movimento.
Assim, a soluo geral de um eltron com E > 0 e momento no nulo
dada pela combinao linear desses dois boosts, (66) e (67).
Portanto, dado um eltron com E > 0 e momento definido sabemos
qual a sua funo de onda.
4.4SOLUO DA EQUAO DE DIRAC PARA ENERGIA NEGATIVA
Definindo +; X, o espinor de Dirac, com quatro componentes, como
a soluo da equao de Dirac com energia negativa (E < 0), a equao
de Dirac ser dada por: cj c X' S'#+; X 0 (68)
Definindo: Xf B /';+ X temos: cfXf cj ' + c X
-
46
cfXf cj ' c X
Assim, podemos reescrever a equao (68) como: cfXf S'+X 0 (69)
Tirando o conjugado hermitiano da expresso (68), temos que: cj + c
X' S'# 0 (70) Multiplicando a equao (69) por a esquerda e
multiplicando a
equao (70) por a direita, e somando o resultado, obtemos que:
(/S' + (71)
onde, B cj Portanto, obtivemos o mesmo resultado que o anterior
(para a
energia positiva), porm, agora, com sinal negativo. Assim,
temos: cfXf +S'X 0 cfXf S'+X 0
4.4.1 Soluo da Equao de Dirac no Referencial de Repouso (E<
0)
Analogamente ao processo seguido para encontrar a soluo da equao
de Dirac com E > 0, seguiremos o mesmo procedimento para
encontrar a soluo para a E < 0.
A soluo de um espinor com energia negativa e momento nulo, ou
seja, a soluo no referencial de repouso, ser dada por: cj +/'; 0 0
(72)
Na representao de Dirac, temos que: cj )2 00 0, (73)
Substituindo a matriz (73) na equao (72), obtemos que:
)2 00 0,K#ZL 0
implicando que: # 0
-
47
ento, a forma do espinor da soluo com E < 0 dada por:
+/'; 0 K 00ZL Z K0010L K
0001L (74) com duas solues independentes no espao
bidimensional:
K0010L, K0001L
4.4.2 Soluo da Equao de Dirac para o Momento No Nulo (E <
0)
Sendo a equao de Dirac para uma partcula relativstica com
energia negativa e momento arbitrrio (no nulo) dada por: cfXf S'+X
0 (75) multiplicando o operador de Dirac pelo seu conjugado,
obtemos: cfXf S'ckXk +S' cfckXfXk +S' X + S' onde, cfck Mfk e XfXf
XfXf X
Logo, a soluo da equao (75) dada por: +/'; X ckXk +S'+S'; 0 (76)
Portanto, conhecendo a soluo para a partcula livre com energia
negativa, basta multiplic-la pelo operador ckXk +S' que obtemos
a soluo em qualquer instante, para um momento arbitrrio.
Aplicando o operador ckXk +S' nas solues da equao de Dirac para
E < 0, no referencial de repouso, obtemos que:
ckXk +S' K0010L
@ +S' X+ X +@ S'K
0010L XXz RX+@ S'0
(77)
Portanto, o espinor XXz RX+@ S'0
o boostdo espinor livre, K0010L, de
energia negativa, no referencial da partcula de movimento.
Aplicando o operador ckXk +S' sobre a segunda soluo,
obtemos:
-
48
ckXk +S'K0001L
@ +S' X+ X +@ S'K
0001L Xz + RX+X0+@ S'
(78)
Portanto, o espinor Xz + RX+X0+@ S'
o boostdo espinor livre, K0001L, de energia negativa, no
referencial da partcula de movimento, onde, ckXk +S' cjXj c\X\ +S'
cjXj + c\X\ +S' cj ' c X + S' na qual, para E < 0, X\ +X.
Portanto, a soluo geral de um eltron com E < 0 e momento no
nulo dada pela combinao linear desses dois boosts, dados pelas
equaes (77) e (78).
4.5INTRODUO DA INTERAO ELETROMAGNTICA
Tendo que a equao de Dirac livre foi obtida na seo 4.2.1: Rcfxf
+S' 0 introduzindo um termo de potencial eletromgntico nesta equao,
dado por:
xf xf R f obtemos a seguinte equao: Rcfxf +S' + fcf 0 (79)
Reescrevendo esta equao no espao dos momentos, obtemos: cfXf +S'
+ fcf 0 (80) Assim, acrescentamos o campo eletromagntico na equao
de
Dirac, para descrever uma partcula carregada, um frmion, em
acoplamento mnimo com o campo eltrico.
Trabalharemos no limite baixamente relativstico, onde a energia
dominante a energia de repouso mc.
Abrindo a equao (80), temos que: cj + c X' +S'#+ cj ec c 0 (81)
onde, j /', \ +
-
49
Utilizaremos a notao de Dirac, pois nesta notao fica claro que a
componente da representao de Dirac no campo dos espinores tem
quatro componentes, que so dois espinores com duas componentes cada
um, onde a parte inferior fracamente relativstica.
Reescrevendo a equao (81) utilizando as matrizes de Dirac,
obtemos:
+S'# + # +' X + ' X + + +S'# # EF 0 (82) onde, EF
A partir da equao (82), obtemos as seguintes equaes acopladas: +
S'# + ' X + (83) ' X + ( S'# + (84)
Da equao (84) extramos que: @57@I5 (85)
Substituindo a relao (85) na equao (83), obtm-se que: + S'# +
S'# + ' X + (86) Para o lado esquerdo da equao (86), temos que: +
S'# + S'# + 2S'= + (87)
onde, = + S'# e S'# + 2S' Para o lado direito da equao (86),
temos que: \X\ + \X + '# '\X\X + X\ + \X \ '#u\ R\X\X + X\ + \X \
'X ' + R'#X + 2'# X ' X + (88)
Observao: \ tem uma parte simtrica e uma antissimtrica.
Portanto, substituindo as expresses (87) e (88) na equao (86),
obtemos: 2S'#= + 'X ' + R'#X + 2'# X Dividindo a equao acima por
2S'# e rearranjando os termos:
= + X2S 2S + 22S X + R2S X
-
50
12S X + + R2S X na qual, da mecnica quntica e do
eletromagnetismo, pelo princpio de correspondncia, temos que: X +R|
+R
Portanto, = + # X + + 5# (89) Obtemos, assim, uma interao
eletromagntica. Aquilo que no
espao de Minkowski, no limite no-relativstico, um acomplamento
mnimo, no limite fracamente relativstico a interao do spin eltrico
com o campo magntico,
j que # . Rearranjando a equao (89), para = Rx,obtemos a
equao
de Schrdinger: Rx # X + + 5# (90) Reescrevendo o penltimo termo
do lado direito da equao (90): 5# 2 ) 5#, )#, (91)
esse termo o acoplamento magntico, onde: 5# B (magneton de Bohr)
2 5 2 (razo giro eletromagntica do eltron) (92)
O resultado prevendo que a razo giro eletromagnetica do eltron
fosse igual a 2 foi um grande triunfo da equao de Dirac, pois esse
resultado foi extrado naturalmente da equao de Dirac, j na equao de
Pauli, o termo 5 2 precisa ser colocado a mo foradamente, ou seja,
a interao eletromagntica fracamente relativstica no-mnima. Pois ao
introduzir o acoplamento mnimo na equao de Dirac, a relatividade j
introduz o acoplamento magntico.2
4.6SIMETRIA DE CONJUGAO DE CARGA DA EQUAO DE DIRAC
A equao de Dirac com um campo eletromgantico dada pela equao
(79) dada por:
-
51
Rcfxf +S' + fcf 0 Tomando o conjugado de Dirac desta equao,
obtemos: +Rxfcf +S' + fcf 0 (93) Transpondo a equao (93), obtemos:
+Rcfxf +S' + fcf 0 (94) Existe uma matriz , unitria e
antissimtrica, tal que: cf +cf (95) cf , ck 2Mfk (96) cf, ck 2Mfk
(97) +cf, +ck 2Mfk (98)
onde, os dois grupos de matrizes (97) e (98) satisfazem a lgebra
das matrizes gama. Asrelaes de (96) a (98)so denominadas de
automorfismo da lgebra, porque os elementos mudam, mas as relaes
algbricas no mudam. A transformao (95) independe da representao que
for utilizada.
Ento, aplicando a matriz na equao (94), pela esquerda, e tendo
que, , obtemos: +Rcfxf +S' + fcf 0 (99)
Utilizando a propriedade (95) e definindo um novo tipo de
conjugao, denominado de Conjugao de Carga(veja Apndice C), dado
por: @ B (100) fazendo essas substituies na equao (99), obtemos:
Rcfxf@ +S'@ fcf@ 0 (101)
A equao (101) a equao de Dirac com um campo eletromagntico para
o espinor @. Portanto, a equao de Dirac oferece duas solues, na
qual a soluo @ tem a mesma massa e esta submetida ao mesmo campo
eletromagntico que a soluo , mas com carga oposta +, ou seja, duas
solues que se diferem somente pela natureza da carga, carga
positiva para a soluo e carga negativa para a soluo @.
Indo para a representao de Dirac, onde a propriedade (95)
satisfeita, multiplicando essa relao pela matriz, pela direita,
obtemos: cf +cf (102) onde: cj cj +cj , cj 0
-
52
c c c , c 0 (103) c# c# +c# , c# 0 cZ cZ cZ , cZ 0 ento, pelas
propriedades (103), se fizermos: Vcjc# (104)
Multiplicando a expresso (104) por cj, pela direita, temos que:
cj Vcjc#cj +Vc#cjcj +Vc# Multiplicando a expresso (104) por cj,
pela esquerda, temos que: cj Vcjcjc# Vc#
ento, a expresso (104) mesmo uma soluo da equao (102). Se a
matriz for unitria , a partir da soluo (104), na
qual:
1V +c#cj 1V cjc# V+c#cj Vcjc# temos que: 1V cjc# Vcjc# |V#| 1 ou
seja, a matriz tem que ser uma fase: \cjc# (105) cuja transposta
dada por: \c#cj +\cjc# +
Portanto, se a matriz for unitria, ela tambm ser antissimtrica e
satisfaz a propriedade (95) para qualquer cf.
Na notao de Dirac, a expresso (105) ficar como:
\ ) 00 +, E 0 + 0 F \ E 0 0 F Se \ R, temos que:
R E 0 0 F R K0 0 0 +R0 0 R 00R +R0 0 00 0 L K
0 0 0 10 0 +1 00+1 10 0 00 0 L Rcjc# (106)
-
53
Utilizando as definies de conjugao de carga (100) e conjugao de
Dirac (60) e tambm a relao (106), temos que: @ B cj cj cjC +cjC
+cjRcjc# +Rc# @ +Rc# (107)
Em notao das matrizes de Dirac:
@ +R K 0 0 0 +R0 0 R 00+R R0 0 00 0 L#Z K
0 0 0 +10 0 1 00+1 10 0 00 0 L#Z
@\@ +Z#+ (108)
Portanto, a conjugao de carga pega as solues de energia negativa
e transforma em solues de energia positiva, porm, como a conjugao
de carga tem o sinal da carga oposto, ento, troca-se a carga e
troca-se o sinal da energia. 2
4.6.1 Conjugao de Carga e as Solues de Antipartcula
Obtivemos na seo 4.4, as solues para a equao de Dirac com
energia positiva e negativa: cfXf +S', X 0 cfXf S'+,+X 0
Para energia positiva S'# e momento nulo X 0, obtivemos que as
solues so:
K1000L , # K0100L
Para energia negativa +S'# e momento nulo X 0, as solues so:
K0010L , # K0001L
-
54
Tirando o conjugado de carga da soluo , utilizando as definies
de conjugado de Dirac e de Carga, e a expresso (106), temos que: @
+cj +Rc# @ +Rc#
Em notao das matrizes de Dirac,
@ K 0 0 0 +10 0 1 00+1 10 0 00 0 LK0010L K
0100L # @ # Tirando o conjugado de carga novamente, na qual
sabemos que @@ (veja o Apndice C), temos que: @@ #@ (109) Tirando o
conjugado de carga da soluo #, utilizando as definies
de conjugado de Dirac e de Carga, e expresso (106), temos que:
#@ # +cj# +Rc## #@ +Rc## Em notao das matrizes de Dirac,
#@ K 0 0 0 +10 0 1 00+1 10 0 00 0 LK0001L +K
1000L + #@ + Tirando o conjugado de carga novamente, temos que:
#@@ # +@ (110) Portanto, a partir das relaes (109) e (110),
observa-se que a
soluo de energia negativa , #, nada mais do que o conjugado de
carga da soluo de energia positiva , #. Os lados direitos das
relaes (109) e (110) possuem energia positiva e descrevem um objeto
com carga positiva, os lados esquerdos so solues com energia
negativa e descrevem um objeto com carga negativa, porm as massas
das partculas so as mesmas. Logo, as solues de energia negativa
podem ser interpretadas como a conjugao de carga das solues de
energia positiva. Essa foi a interpretao que Dirac deu para as
solues com energia negativa, ou seja, aqui Dirac prev a existncia
dos psitrons (carga oposta, , com E > 0).2
-
55
Assim, quando fazemos a conjugao de carga sobre um eltron com
energia negativa, obtemos um psitron com energia positiva. Esse
ponto foi o ponto-chave na qual Dirac interpretou a antipartcula.
Logo, no h mais soluo com energia negativa, mas sim uma soluo com
energia positiva e com carga oposta , ou seja, um psitron.2
-
56
5CONCLUSO
Introduziu-se o conceito de grupos atravs dos princpios de
simetria dos diferentes espaos, dando um exemplo com o espao
euclidiano bidimensional (E). Ento, definiu-se uma nova mtrica que
caracteriza o espao de Minkowski, impondo o princpio de simetria
que preserva o produto escalar para uma transformao do tipo , que
nos conduz a condio e selecionando o subgrupo com 1, obtm-se o
grupo SO(1,3), o grupo das matrizes pseudo ortogonais (4x4), com
uma dimenso temporal e trs espaciais, denominado de grupo de
Lorentz, cujas transformaes so as Transformaes de Lorentz, da
Relatividade Restrita.
Atravs da lgebra de Lie caracterizou-se os espinores do grupo
SO(1,3), que descrevem os frmions, na qual, a partir desses
procuramos as equaes relativsticas que descrevam as partculas.A
partir dos geradores do grupo de Lorentz definiu-se duas classes de
geradores, os boosts e as rotaes, na qual a combinao linear destes
dois tipos de geradores nos conduz a uma nova base, composta por
dois novos geradores \, \, cujos grupos so caracterizados por dois
nmeros U, V. Onde para caracterizar uma partcula relativstica
necessrio especificar quem so esses dois nmeros U, V.
Os estudos sobre a luz conduziram o andamento da Fsica a algumas
representaes: as equaes de Maxwell, posteriormente a Relatividade e
ao grupo de Lorentz, que so descritas pelas equaes relativsticas,
na qual cada uma est associada a um espinor. A partir do grupo de
Lorentz ao atuar sobre um espinor ferminico, ou seja, um espinor
cuja representao uma partcula com spin semi-inteiro, com as
matrizes de Pauli, levando a representao (, 0) para a representao
(0, ) para descrever um frmion massivo necessrio acrescentar um
parmetro de massa na representao ferminica (, 0) e (0, ), que nos
conduz a Equao de Dirac.
Atravs da descrio do fton na notao covariante obteve-se as
equaes de Maxwell.
Obteve-se dois tipos de representaes: a representao de Dirac e a
representao de Weyl, na qual, esses diferentes tipos de
representaes so importantes para ajudar a resolver o problema
abordado e simplificar a interpretao fsica do mesmo, porque
independentemente da representao a fsica do problema
-
57
a mesma. Na representao de Weyl obtm-se claramente a estrutura
de spin e na representao de Dirac fica claro o quanto as partculas
so relativsticas ou no.
Atravs da teoria degrupo obteve-se as equaes de Maxwell do
eletromagnetismo e as relaes da fsica quntica, onde o spin surge
naturalmente da equao de Dirac sem precisar ser colocado a mo,
demonstrando a importnicia do ponto de vista proporcionado pela
teoria de grupos para a descoberta das leis fsicas.
Obtivemos que a massa do eltron surge do acoplamento dos setores
left e rightdo grupo de Lorentz. Mostramos, assim, como emergem as
matrizes de Dirac e a lgebra de Clifford naturalmente a partir da
introduo de massa na equao de Weyl, obtendo-se finalmente a Equao
de Dirac.
Introduzindo um termo de potencial eletromgntico na equao de
Dirac, para descrever um frmion carregado, em acoplamento mnimo com
o campo eltrico, no limite baixamente relativstico, obtivemos uma
interao eletromagntica. Aquilo que no espao de Minkowski, no limite
no-relativstico, um acomplamento mnimo, no limite fracamente
relativstico a interao do spin eltrico com o campo
magntico, j que # . Dessa anlise obteve-se, tambm, que a razo
giro eletromagnetica do eltron igual a 2, o que foi um grande
triunfo da equao de Dirac.
Verificou-se que a equao de Dirac oferece duas solues, e @, na
qual a soluo @ tem a mesma massa e esta submetida ao mesmo campo
eletromagntico que a soluo , mas com carga oposta +, ou seja, duas
solues que se diferem somente pelo natureza da carga, carga
positiva para a soluo e carga negativa para a soluo @.
A partir das solues para a equao de Dirac com momento nulo e
energia positiva (, #, e com momento nulo e energia negativa , #,
tirando o conjugado de carga dessas solues, obteve-se que, a soluo
de energia negativa , # o conjugado de carga da soluo de energia
positiva , #, ou seja, #@ e # +@. Como os lados direitos dessas
relaes possuem energia positiva e descrevem um objeto com carga
positiva, os lados esquerdos so solues com energia negativa e
descrevem um objeto com carga negativa, cujas massas das partculas
so as mesmas. Ento, as solues de energia negativa podem ser
interpretadas como a conjugao de carga das solues de energia
-
58
positiva. Essa foi a interpretao que Dirac deu para as solues
com energia negativa, prevendo, assim, a existncia do psitron.
Portanto, quando fazemos a conjugao de carga sobre um eltron com
energia negativa, obtemos um psitron com energia positiva. Essa
interpretao de Dirac foi muito importante, porque dessa forma no h
mais soluo com energia negativa, mas sim uma soluo com energia
positiva e com carga oposta, ou seja, o psitron.
-
59
REFERNCIAS
1 WEYL, Hermann; ROBERTSON, H. P.The theory of groups and
quantum mechanics.[s.n.]. DoverPublications, 1931.p.vii e viii.
2HELAYL-NETO, Jos Abdalla. Notas do Curso: Eletromagnetismo
Clssico, 1 semestre e 2 semestre de 2013. Centro Brasileiro de
Pesquisas Fsicas, Rio de Janeiro, 2012.
3 HSU, Hwi P.Anlise vetorial. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e
Cientficos, 1972. p. 122-125.
4 CANTARERO, Andrs. Terema de Helmholtz. 2004. Disponvel em: .
Acessoem: 23 out. 2013.
-
60
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
1 DIRAC, Paul Adrien Maurice. The quantum theory of the
electron. Cambridge:JSTOR, 1928. (Communicated by R. H. Fowler,
F.R.S. Received January 2, 1928). 2DIRAC, Paul Adrien Maurice. The
quantum theory of the electron: Parte IICambridge:JSTOR, 1928.
(Communicated by R. H. Fowler, F.R.S. Received February 2, 1928). 3
OAKES, Thiago Luiz Antonacci.Estado fundamental do tomo de
hidrognio via equao de Dirac em um cenrio com comprimento mnimo.
2013. 72f. Tese (Doutorado em Cincias Fsicas) Centro de Cincias
Exatas, Universidade Federal do Esprito Santo, Esprito Santo,
2013.
4 BROWN, Laurie M.Paul A.M.Diracs the principles of
quantummechanics. Physics in Perspective, BirkhuserVerlag, Basel,
2006(This article is based upon a talk I gave at the Baylor
University Dirac Centennial Conference, September 30-October 2,
2003, organized by Bruce Gordon).
5RIBAS, Rafael Marques. Equao de Dirac. 2001. 39f. Monografia
(Bacharel em Fsica) Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio
de Janeiro, 2011.
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APNDICES
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APNDICE A Vetores covariante e contravariante
Em um espao qualquer, n-dimensional (SN) podemos definir o
produto escalar como:
u v \ \\ onde, a mtrica do espao definida como:
\ Utilizando a notao matricial, reescrevemos o produto
escalar
como: u v Supondo uma transformao do tipo:
e impondo que o produto escalar seja um invariante, obtemos: u v
u v que nos conduz a seguinte condio: (A-1)
Se a mtrica for no singular, ou seja, se ela tiver um
determinante no nulo, ela ser inversvel.
Definindo um novo vetor ( como o produto entre a mtrica e o
vetor :
Aplicando a transformao em , obtemos: (A-2) A partir da relao
(A-1), temos que: (A-3) Substituindo a relao (A-3) em (A-2),
obtemos que: (A-4)
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Portanto em um espao cuja mtrica no trivial cria-se uma nova
categoria de vetores (vetor dual) que se transforma por ,
diferentemente da primeira categoria de vetores que se transforma
por . Esses dois tipos de vetores que tm origem na mtrica no
trivial so chamados de vetores covariantes e contravariantes, que
podem ser definidos colocando-se ndices em cima e embaixo.
Definiremos como vetores contravariantes os vetores com ndice em
cima, e vetores covariantes os vetores com ndice embaixo: f (vetor
contravariante) (A-5) f(vetor covariante) (A-6)
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APNDICE B Propriedades daconjugao de Dirac
Conhecendo as seguintes propriedades do conjugado hermitiano: cj
cj(B-1) c\ +c\, R 1,2,3 (B-2) onde, cjcj , c\c\ + (B-3) na qual, em
notao de Dirac,
cj E# 00 +#F c\ ) 0 + 0, Multiplicando a relao (B-1) por cj, a
direita e a esquerda, e
utilizando a propriedade (B-3), obtm-se que: cjcjcj cjcjcj cj
cjcjcj cj (B-4) Fazendo a mesma operao sobre a relao (B-2), obtm-se
que: cjc\cj +cjc\cj c\cjcj c\ cjc\cj c\(B-5) Comparando as
expresses (B-4) e (B-5) verifica-se que tanto a
coordenada espacial quanto a coordenada temporal, ambas obedecem
a mesma relao. Portanto podemos agrup-las em uma expresso nica dada
por: cjcfcj cf , 0,1,2,3(B-6)
Reescrevendo essa relao para matrizes, temos que: cjcj De acordo
com as propriedades (B-1) e (B-2), observa-se que na
conjugao hermitiana nem todas as matrizes gama so
auto-conjugadas. Mas, na conjugao de Dirac, todas as matrizes gama
so auto-conjugadas: cf cf , 0,1,2,3(B-7)
Portanto, definimos o conjugado de Dirac como: cj (para um
espinor ) (B-8) cjcj (para uma matriz M) (B-9) Analisaremos, a
seguir, algumas proriedades do conjugado de Dirac: 1) Para duas
matrizes, temos que:
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cjcj cjcj cjcjcjcj (B-10) Introduzimos o termo cjcj, pois ele
igual a matriz identidade. 2) Tirando o conjugado do conjugado de
Dirac, temos que:
cjcj (B-11) 3) Fazendo o produto de uma matriz com um espinor,
obtemos: cj cj cjcjcj (B-12) 4) Multiplicando um espinor por um
escalar, obtemos: ' 'cj 'cj ' ' ' (B-13) 5) Multiplicando uma
matriz por um escalar, obtemos: ' cj'cj 'cjcj ' ' ' (B-14) 6)
Tirando o conjugado de Dirac de uma mariz inversa: cjcj cjcj cjcj
cjcj (B-15)
na qual, utilizamos a seguinte propriedade: Tirando o conjugado
hermitiano dessa propriedade, temos que: Portanto, a partirdessas
propriedades, (B-10) a (B-15) observa-se
que a conjugao de Dirac apresenta propriedades similares s do
conjugado hermitiano. Exceto, que como j dissemos, as matrizes gama
so auto-conjugadas na conjugao de Dirac, o que no ocorre na
conjugao hermitiana.
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APNDICE C Propriedades da conjugao de carga
Tendo que a definio do Conjugado de Carga definido por: @ B
(C-1) (i) Tirnado o transposto desta relao, obtemos: @ +
Multiplicando essa ltima relao pela matriz , pela direita, e
sabendo a matriz uma matriz unitria e antissimtrica, temos que:
@ + +@ (C-2) (ii) Tirando o transposto da seguinte relao , que um
nmero,
ou seja a transposta de um nmero o prprio nmero, temos que: +@@
+@@ (C-3) onde, a partir da definio (C-1) e utilizando a definio de
conjugado de Dirac para um espinor, dado pela expresso (B-8), temos
que: @ B cj cj cj +cj(C-4) cujo conjugado de Dirac ser dado por: @
B @cj (C-5)
Substituindo a relao (C-4) em (C-5): @ cjcj cjcj cjcj +cjcj +
onde, cjcj , cf +cf @ + (C-6)
(iii) Tirando o transposto da seguinte relao cf, que tambm um
nmero, temos que: cf cf cf cf @cf@ onde, utilizamos as relaes
(C-1), (C-6), cf +cf e . cf @cf@ (C-7)
(iv) Utilizando a definio de conjugado de carga (C-1),a relao
(C-4) e a definio de conjugado de Dirac para um espinor, dado pela
expresso (B-8). Ento, tirando o cojugado de carga do conjugado de
carga, temos que:
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@@ @ +cj +cj +cjcjcjcj + ++ onde, cjcj
cj cjcj
Portanto, @@ (C-8)
