Técnicas de Projeto de Filtros IIR - UFPEcabm/pds/PDS_Aula05_FiltrosIIR.pdf · Carlos Alexandre Mello – [email protected] 2 Técnicas de Projeto de Filtros IIR A técnica básica

Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Técnicas de Projeto de Filtros IIR

Carlos Alexandre Mello

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A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais

A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura

Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D)

No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar

transformações a filtros passa-baixa

Essas transformações também estão disponíveis na literatura.

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Existem duas formas de projeto de filtros IIR

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Para projetar filtros IIR, vamos:

1) Projetar FPB analógicos;

2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB

digitais;

3) Aplicar transformações de frequência nas bandas

para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

O principal problema dessas técnicas é que não

temos controle sobre a fase do filtro

Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em

magnitude

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Escala Relativa

Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro

analógico

Então as especificações do FPB quanto à

resposta quadrática de magnitude são dadas

por:

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onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a

frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de

atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte



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Especificações de um filtro

passa-baixa analógico

Da figura temos:



Escala Relativa

Os parâmetros ε e A estão relacionados aos

parâmetros RP e AS na escala dB como:

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Escala Relativa

As tolerâncias 1 e 2 da escala absoluta são

relacionados a ε e A por:

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Escala Relativa

Especificações de filtros analógicos não têm

informação de fase

Para calcular a função de sistema Ha(s) no

domínio-s considere :

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Escala Relativa

Então temos :

Os polos e zeros da função de magnitude

quadrática são distribuídos de forma simétrica

(em relação ao eixo real ou complexo)

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Da definição de polos e zeros de partir de

Ha(s).Ha(-s), podemos construir Ha(s) que é a

função do sistema do filtro analógico

Queremos que Ha(s) seja causal e estável, então

todos os polos de Ha(s) devem estar no semi-

plano esquerdo

Todos os polos do semi-plano da esquerda de

Ha(s).Ha(-s) são usados para construir Ha(s)

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Observação:

A transformada é apresentada no plano-s indicando o

uso da transformada de Laplace (por ser no domínio

analógico)

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Características de Protótipos Analógicos

O projeto de filtros IIR reside na existência de

filtros analógicos para obter filtros digitais

Esses filtros analógicos são chamados de filtros

protótipos

Três protótipos são largamente usados na prática:

Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico

Vamos ver as características das versões passa-

baixa desses filtros

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Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é que a resposta

em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte

A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por:

onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte

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Filtro de Butterworth

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Do gráfico, podemos observar:

i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N.

ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|2 = 0,5, para todo N, o que

implica 3 dB de atenuação em Ωc

iii) |Ha(jΩ)|2 é uma função monotonicamente

decrescente em Ω

iv) |Ha(jΩ)|2 se aproxima de um FPB ideal em N → .

V) |Ha(jΩ)|2 é maximamente plano em Ω = 0

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Sua função de sistema Ha(s) é:

Para projetar o filtro, precisamos encontrar as

raízes e pólos da função do sistema

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c





O FPB analógico é especificado pelos

parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS

Assim, a essência do projeto no caso do filtro

de Butterworth é obter a ordem N e a

frequência de corte dada Ωc

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Assim, dadas essas especificações, queremos:

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Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:

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Como N deve ser inteiro, então consideramos:

N = N

Para satisfazer exatamente as especificações

do projeto em ΩP:

Para satisfazer exatamente as especificações

do projeto em ΩS:

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Filtro de Butterworth: Exemplo

Projete um filtro Butterworth satisfazendo:

Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2

Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB

Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3

Ripple na banda de corte: AS = 16 dB

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Solução:

Para satisfazer as especificações em ΩP

Para satisfazer as especificações em ΩS

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Solução:

Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por

exemplo Ωc = 0,5

Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e

Ωc = 0,5

Ou seja:

Como Ω = s/j, temos:

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Solução:

Os pólos pk da função anterior podem ser calculados no MatLab

como:

>> a = [-64 0 0 0 0 0 1];

>> b = roots(a)

b =

-0.5000

-0.2500 + 0.4330i

-0.2500 - 0.4330i

0.5000

0.2500 + 0.4330i

0.2500 - 0.4330i

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Solução:

Para termos um filtro causal e estável, usamos os

pólos do semi-plano esquerdo:





Solução:

Vamos ajustar o numerador para que o ganho na

frequência zero seja unitário

Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos:

(s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125

Logo, o numerador é multiplicado por um fator de 1/8

e temos:





Solução:


Filtro analógico




Solução:

Para transformar o filtro em digital, podemos usar o

método de transformação bilinear

Nele, consideramos:

onde T é um parâmetro


OBS: Explicação nas notas de aula.




Solução:

No nosso caso, consideramos T = 1:





Solução: No MatLab:


function [b, a] = u_buttap(N, omegac)

[z, p, k] = buttap(N);

p = p*omegac;

k = k*omegac^N;

B = real(poly(z));

b0 = k;

b = k*B;

a = real (poly(p));

T

z, p, k para c = 1



Filtro de Chebyshev

Existem dois tipos de filtros de Chebyshev

O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de

passagem

e o tipo II, na banda de corte

Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em

ambas as bandas

Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem

menor ordem

Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que

um de Butterworth para as mesmas especificações




Filtro de Chebyshev

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Filtro de Chebyshev

A resposta quadrática de magnitude de um filtro

Chebyshev tipo I é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da

banda de passagem e TN(x) é o polinômio de

Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ωc):




Filtro de Chebyshev

Para um filtro Chebyshev tipo II:

Ou seja, x = (Ω/Ωc) é substituído por seu inverso e

ε2TN2(x) também




Filtro de Elíptico

Esses filtros apresentam ondulações na banda de passagem e de corte

São similares em magnitude a filtros FIR equirriple

São filtros ótimos no sentido que eles alcançam a menor ordem N para as dadas especificações

São muito difíceis de projetar e analisar Não é possível projetá-los com ferramentas simples,

sendo necessário uso de tabelas e recursos computacionais




Filtro de Elíptico

A resposta quadrática de magnitude é dada por:

onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda

de passagem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N




Filtro de Elíptico

Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do

filtro é dado por:

Onde:


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Transformações em Frequência

Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros

seletores de frequência como passa-alta, passa-

faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um

protótipo do tipo passa baixa

A partir desse protótipo, é possível aplicar uma

transformação algébrica para construir o filtro

desejado

As transformações mais comuns estão na tabela a

seguir...


Transformações em Frequência

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Comparação entre Filtros FIR e IIR

Seja M o comprimento (número de coeficientes)

de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um

filtro elíptico (IIR)

Se assumimos que ambos os filtros atendem

exatamente às mesmas especificações, os dois

filtros são equivalentes e atendem à relação:


Comparação entre Filtros FIR e IIR

Isso mostra que, para a maior parte das

aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do

ponto de vista computacional

As condições mais favoráveis para filtros FIR são:

1. Grandes valores de 1;

2. Pequenos valores de 2;

3. Grande largura da banda de transição.



Técnicas de Projeto de Filtros

Referências:

Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,

J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000

Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

Digital Signal Processing Using MatLab and

Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

Digital Signal and Image Processing, T.Bose,

John Wiley and Sons, 2004

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