Técnicas Matemático-Computacionais para o Tratamento de …rogerio/publications/dissertacao_apresentacao.… · Implementar uma aplicação (software) para o sistema operacional

Rogério Vargas PPGInf / Universidade Católica de Pelotas – slide 1

Técnicas Matemático-Computacionais para o

Tratamento de Incertezas Aplicadas ao

Problema do Fluxo de Potência em Sistemas

de Transmissão de Energia Elétrica

Rogério Vargas

orientador: Luciano Barboza co-orientadora: Graçaliz Dimuro

Pelotas, 29 de Fevereiro de 2008

Introdução


Motivação

Introdução

Motivação

Metodologias Utilizadas

História MatemáticaIntervalar

História Lógica Fuzzy

História C-XSC

Objetivos


� Dados (Equipamento de Medição)

� Calibragem

� Deterioração

� Modelagem (Simplificações)

� Numéricos (Computadores e Arredondamento)


Introdução

Motivação




História C-XSC

Objetivos


� Matemática Intervalar

� Lógica Fuzzy

� Biblioteca C-XSC

História Matemática Intervalar

Introdução

Motivação




História C-XSC

Objetivos


� Matemática Intervalar

� Aritmética Intervalar, Moore em 1965

� Matemática Intervalar, Leslie Fox em 1974

� Críticas feitas:

� Resultados pessimistas, demasiadamente grandes

� Processamento computacional

� Aritmética avançada, software e hardware


Introdução

Motivação




História C-XSC

Objetivos


� Lógica Fuzzy

� Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965

� Teoria de Conjuntos

� Variáveis “imprecisas”, “vaga”

História C-XSC

Introdução

Motivação




História C-XSC

Objetivos


� Biblioteca C-XSC

� Década de 60, suportar uma aritmética mais poderosa que aaritmética de ponto-flutuante ordinária

� Ausência de linguagens de alta exatidão em programaçãonumérica e computação científica

� Estender linguagens para computações científicas, conhecidascomo XSC

� Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade de Wuppertal(Alemanha)

Objetivos

Introdução

Motivação




História C-XSC

Objetivos


� Objetivos da Pesquisa

� Analisar algoritmos para o tratamento das incertezas em fluxode potência em redes de energia elétrica utilizando comometodologia a Matemática Intervalar e a Lógica Fuzzy

� Implementar uma aplicação (software) para o sistemaoperacional Linux utilizando como recurso de implementação abiblioteca C-XSC e as metodologias estudadas

Matemática Intervalar


Conceitualização


Conceitualização

Adição e Subtração

Multiplicação e Divisão

Considerações daMatemática Intervalar


� A Matemática Intervalar considera um conjunto de métodos paramanipulação de intervalos numéricos que aproximam dadosincertos

� Oliveira, 2005:

� Intervalos representam valores desconhecidos e contínuos

� Kulisch, 2003:

� Intervalos controlam o erro de arredondamento erepresentam dados inexatos, aproximações e erros detruncamento de procedimentos



Conceitualização





Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

� Adição:

X + Y = [(x1 + y1) ; (x2 + y2)]

Resultado: [3, 7]

� Subtração:

X − Y = [(x1 − y2) ; (x2 − y1)]

Resultado: [−1, 3]



Conceitualização





Sejam X,Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

� Multiplicação:

X × Y = [min{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2};

max{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2}]

Resultado: [2, 12]

� Divisão:

X

Y=

[min

{x1

y1

,x1

y2

,x2

y1

,x2

y2

};max

{x1

y1

,x1

y2

,x2

y1

,x2

y2

}]

com 0 /∈ [y1; y2]. Resultado: [0, 6666, 4]

Considerações da Matemática Intervalar


Conceitualização





� Representar os dados na forma intervalar, consiste em delimitar oproblema

� Os sistemas computacionais atuais são incapazes de representartodos os números reais

� Com o uso da Matemática Intervalar pode-se obter uma respostaque não contenha algo de interesse. Os algoritmos a seremdesenvolvidos devem ser algoritmos intervalares e não versõesintervalares dos algoritmos pontuais

Lógica Fuzzy


Conceitualização

Lógica Fuzzy

Conceitualização

Definição de ConjuntosFuzzy

Exemplo de “Quente”

Especialista doConhecimento

Tipos deRepresentações (1)


Considerações daLógica Fuzzy


� Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 e Zadeh, 1965:

� Também conhecida como Conjuntos Nebulosos. Nas últimasdécadas, pesquisadores da inteligência artificial vêmtrabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy

� Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997:

� Crescimento no número de pesquisas, desenvolvimento demáquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de pó, arcondicionados, robôs autônomos e até mesmo chips FuzzyVLSI

Definição de Conjuntos Fuzzy

Lógica Fuzzy

Conceitualização








Teoria dos Conjuntos Clássicos:

� Um elemento pertence ou não pertence a um conjunto

χA(x) = 1, se x é um elemento do conjunto A, e

χA(x) = 0, se x não é um elemento do conjunto A

Teoria dos Conjuntos Fuzzy:

� Atribuindo a noção de pertinência, a premissa de pertence ou nãopertence é quebrada

µA(x) : U → [0, 1]

onde U é o conjunto universo de discurso e A é um Conjunto Fuzzy


Lógica Fuzzy

Conceitualização








0

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ce

rte

za

(%)

Temperatura ( C)

0

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Re

levâ

ncia

Temperatura ( C)

Especialista do Conhecimento

Lógica Fuzzy

Conceitualização








0

1

Gra

u d

e P

ert

inê

ncia

Altura (m)

1

(X)

1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90

� Abaixo de 1, 60m, não significa ser alto

� Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto

Engenheiro do Conhecimento, define quais as regras.

Tipos de Representações (1)

Lógica Fuzzy

Conceitualização








� Tipo Sino

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Sino

1

(X)

� Tipo S e Z

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Z

1

(X)

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função S

1

(X)

Tipos de Representações (2)

Lógica Fuzzy

Conceitualização








� Triangular

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Triangular

(X)

(X)a b c

Tri(x,a,b,c)

� Trapezoidal

0

1

Gra

u d

e P

ert

inência

Função Trapezoidal

(X)

(X)a b c d

Trap(x,a,b,c,d)

Considerações da Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

Conceitualização








� A utilização da Lógica Fuzzy não possui uma complexidade grande,no sentido de que pode ser facilmente implementada

� O uso de Números Fuzzy possibilita que as avaliações dasvariáveis sejam expressas com incertezas baseadas em umaavaliação quantitativa. Isto evita realizar outras avaliaçõesquantitativas objetivando conhecer as incertezas

� As operações com Números Fuzzy seguem as mesmaspropriedades das operações intervalares. A diferença é que, comos Números Fuzzy, as operações são realizadas para cada nível depertinência, como se o Número Fuzzy fosse “fatiado” em diversosintervalos

C-XSC


Características da Biblioteca C-XSC

C-XSC

Características daBiblioteca C-XSC

Tipos de DadosNuméricos Simples

Tipos de Dadosaplicados a Matrizes eVetores

Escolha da BibliotecaC-XSC


� Aritmética intervalar para números reais, complexos, intervalarescomplexos

� Vetores e matrizes dinâmicos

� Subarrays de vetores e matrizes

� Tipos de dados de alta exatidão

� Operadores aritméticos predefinidos com alta exatidão

� Controle de arredondamento dos dados de entrada e saída

� Biblioteca de rotinas para a resolução de problemas matemáticos

� Resultados numéricos com rigor matemático

Tipos de Dados Numéricos Simples

C-XSC






� real

� interval (intervalo de reais)

� complex (número complexo)

� cinterval (intervalo complexo)

Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores

C-XSC






� rvector (vetor de reais)

� ivector (vetor de intervalos reais)

� cvector (vetor de complexos)

� civector (vetor de intervalos complexos)

� rmatrix (matriz de reais)

� imatrix (matriz de intervalos reais)

� cmatrix (matriz de complexos)

� cimatrix (matriz de intervalos complexos)

Escolha da Biblioteca C-XSC

C-XSC






� Disponibilidade:É uma biblioteca freeware e vem ao encontro das necessidades dogrupo de pesquisa

� Usabilidade:O C-XSC é uma biblioteca que trabalha com a linguagem deprogramação C/C++ e permite escrever algoritmos numéricosproduzindo resultados confiáveis num ambiente de programaçãoconfortável

Estudo de Caso: Fluxo de Potência


Esquema de Transmissão de Energia Elétrica

Estudo de Caso: Fluxo dePotência

Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica

Problema Físico


- Barra PV - Barra PQ

Problema Físico

Estudo de Caso: Fluxo dePotência

Esquema deTransmissão de EnergiaElétrica

Problema Físico


� Sistema de Equações Não-Lineares

(e2

i + f2

i )Gii −

nX

k=1

k 6=i

[ei(ekGik − fkBik) + fi(fkGik − ekBik) − Pgi+ Pdi

= 0

−(e2

i + f2

i )Bii −

nX

k=1

k 6=i

[fi(ekGik − fkBik) − ei(fkGik + ekBik) − Qgi+ Qdi

= 0

e2

i − f2

i − |Vespi

|2

= 0

� Suprir a demanda?

� Linhas de transmissão suportam a energia?

Entrada de Dados


Arquivo de Leitura

Entrada de Dados

Arquivo de Leitura


1**** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) ****4

1 4 8.00 37.00 3.001 6 12.3 51.80 4.202 3 72.3 105.00 0.002 5 28.2 64.00 0.003 4 0.00 13.30 0.00.909 44 6 9.70 40.70 3.005 6 0.00 30.00 0.00.975 6

99995

1 2 barra1 1.10 -9999+99992 1 barra2 1.10 50. -15.0 20.0 0. 0.3 0 barra3 55. 13.4 0 barra4 0. 0.5 0 barra5 30. 18.6 0 barra6 50. 5.

9999

Proposta via Matemática Intervalar


Conversão Intervalar das Demandas

Proposta via MatemáticaIntervalar

Conversão Intervalardas Demandas

Erros de Leitura emInstrumentos

Variação da Demandano Tempo

Implementação


Pd = [infimun; supremum] Qd = [infimun; supremum]

� O sistema pode ser analisado:

� Sob o ponto de vista dos erros em instrumentos de medição

� Sob o ponto de vista das variações nas demandas das barrasPQ em um determinado período de tempo

Erros de Leitura em Instrumentos





Implementação


Pint = [Pi − αi;Pi + αi] Qint = [Qi − βi;Qi + βi]

� Pint e Qint são os intervalos resultantes da conversão dasdemandas ativa e reativa pontuais para dados intervalares

� αi e βi são os erros associados aos instrumentos de leitura daspotências ativa e reativa na barra i do sistema de potência

� Pi e Qi são os valores pontuais das potências ativa e reativamedidas pelos respectivos instrumentos na barra i do sistema depotência

Variação da Demanda no Tempo





Implementação


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

5

10

15

20

25

←9.7568

←20.0012

O

O

←1.8367

←8.0179

O

OD

eman

da A

tiva

(MW

)

Horas do Dia

Variaçao da Demanda Ativa

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 62

4

6

8

10

←4.8669

←9.0886

O

O

←2.4174

←4.2432

O

O

Dem

anda

Rea

tiva

(MV

Ar)

Horas do Dia

Variaçao da Demanda Reativa

Barra 1Barra 2

Barra 1Barra 2

Implementação





Implementação


� Krawczyk:

K(x̃, X = x̃ − Cf(x̃) − (I − CJ(X))(x̃ − X)

Proposta via Números Fuzzy


Geração das Demandas como Números Fuzzy

Proposta via NúmerosFuzzy

Geração das Demandascomo Números Fuzzy

Implementação

Interpretação daSolução


Implementação



Implementação



1. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são um. À solução obtida é atribuído grau depertinência um

2. Executa-se um fluxo de potência intervalar com os intervalos cujaspertinências são zero. À solução obtida é atribuído grau depertinência zero

3. Traçam-se duas retas, uma com os ínfimos dos intervalos solução,e outra, com os supremos. Assim, gera-se um Número FuzzyTrapezoidal para a solução

Interpretação da Solução



Implementação



Observa-se que, a partir dos intervalos (pertinência 1 e pertinênciazero), qualquer valor para outras pertinências são obtidas através dasequações das retas.

Resultados Numéricos


Validação


Validação

Erro no Equipamento


Equipamento deMedição (Fuzzy)


� Resultados comparados com a Literatura

� MatLab usando IntLab

Erro no Equipamento


Validação

Erro no Equipamento




Resultado Pontual

Barra Magnitude(pu) Ângulo(◦)

3 0, 9051 −11, 7277

Resultado MatLab (IntLab) / C++ (C-XSC)

Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦) Resultado3 [0, 8930; 0, 9174] [−12, 0675; −11, 3934] MatLAb

3 [0, 8998; 0, 9104] [−11, 7810; −11, 6750] C++

Variação da Demanda no Tempo


Validação

Erro no Equipamento




Barra Magnitude(pu) Ângulo( ◦)3 [0, 8766; 0, 9349] [−12, 0106; −11, 4578]

� Nota-se intervalos de diâmetro relativamente grandes, poisinicialmente as demandas ativa e reativa nas barras PQ foramsupostas com variações de 15% em torno do dado pontual

� Esta variação se reflete no perfil de tensão e acaba tornando odiâmetro dos intervalos maiores

Equipamento de Medição (Fuzzy)


Validação

Erro no Equipamento




Conclusão


Considerações Finais (1)

Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


Algumas conclusões referentes a Matemática Intervalar:

� A obtenção dos resultados obtidos pela Matemática Intervalarpermite conhecer a dimensão do erro ocasionado pelosequipamentos de medição

� Apenas com o percentual de erro informado pelo fabricante doequipamento de medição, pode-se converter as demandas ativa ereativa na forma de intervalos

� O uso de intervalos como resposta não garante que ela contenhaalgo de interesse. Os algoritmos a serem desenvolvidos devem seralgoritmos intervalares e não versões intervalares dos algoritmospontuais


Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


Referente aos Números Fuzzy, pode-se dizer que:

� A representação, por ser de forma gráfica, é intuitiva para ainterpretação

� Para a geração dos resultados Fuzzy não necessitou-se de grandeprocessamento computacional, utilizou-se apenas uma bibliotecafree para a geração dos gráficos

� Através dos Números Fuzzy, foi possível tratar o erro ocasionadopela depreciação dos equipamentos de medição, além de tratar oerro inerente de medição do equipamento


Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


Sobre a biblioteca C-XSC:

� Pode-se combinar qualquer linha de código do C-XSC com linhasde código do C++. Os programas utilizando o C-XSC semprefornecem os mesmos resultados numéricos em computadores comdiferentes compiladores C++

� Além de tratar os erros dos equipamentos de medição e variaçãodo fluxo de potência no tempo, foi possível também tratar eventuaiserros que possam acontecer por arredondamentos erepresentações da mantissa do computador

Trabalhos Futuros

Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


� Desenvolvimento de uma interface gráfica para o ambiente,possibilitando especificar diversas variáveis que atualmente estãodefinidas no código, como por exemplo, tolerâncias para o processoiterativo, número máximo de iterações, fator de carga e etc

� Utilização de Números Fuzzy Intervalares

� Aperfeiçoamento dos algoritmos, visando diminuir o tempo deresposta

� Simulação em outros sistemas reais de grande porte

� Desenvolver o algoritmo para ser executado em clusters decomputadores

Publicações

Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


� Artigo completo, no ano de 2007, no XXX CNMAC (CongressoNacional de Matemática Aplicada e Computacional), realizado emFlorianópolis - SC. Este artigo apresentou o uso da MatemáticaIntervalar no fluxo de potência

� Submeteu-se um artigo completo para a revista TEMA (Tendênciasem Matemática Aplicada e Computacional), com algumasmodificações no artigo apresentado no XXX CNMAC

� Dois resumos para congressos internacionais foram aceitos. Umpara o 16th PSCC (Power Systems Computation Conference), ondefoi apresentado a abordagem do fluxo de potência em umdeterminado período de tempo. E outro resumo foi aceito para o10th PMAPS (Probabilistic Methods Applied to Power Systems),onde é abordado o fluxo de potência usando a MatemáticaIntervalar e Números Fuzzy

Obrigado...

Conclusão




Trabalhos Futuros

Publicações

Obrigado...


Técnicas Matemático-Computacionais para o

Tratamento de Incertezas Aplicadas ao

Problema do Fluxo de Potência em Sistemas

de Transmissão de Energia Elétrica

Contato: [email protected]

Documents

Técnicas Matemático-Computacionais para o Tratamento de …rogerio/publications/dissertacao_apresentacao.… · Implementar uma aplicação (software) para o sistema operacional