TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 Mais algumas propriedades: 3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

1

Mais algumas propriedades:

3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z

1 1

2 2

1 11 2 1 2

[ ] ( )

[ ] ( )

1[ ]. [ ] ( ). ( . ). .

2

Z

Z

Z

c

x n X z

x n X z

x n x n X v X z v v dvj


2

3.4.10. Teorema de Parseval

Forma Geral:

* * * 11 2 1 2

1[ ]. [ ] ( ). 1/ . .

2n c

x n x n X v X v v dvj

P/ x1[n]=x2[n] sinal real

2 1 11[ ] ( ). . .

2n c

x n X v X v v dvj

Energia do sinal pode ser calculada tanto nodomínio n quanto no domínio Z


3

3.4.11. Teorema do Valor Final

Seja: x[n]=0, n<0 )().1(lim][lim1

zXznxzn

3.4.12. Somatório

[ ] ( )

[ ] ( )1

Z

nZ

k

x n X z

zx k X z

z

3.4.13. Sinais Periódicos

)(~

1)(

].[~][

zXz

zzX

Nmnxnx

N

N

p

p

Ex.: [n]


4

5. Análise de Sistemas LTIAtravés da Transformada Z

Seja um sistema discreto LTI:

x[n] y[n]h[n]

X(z) H(z) Y(z)=X(z).H(z)

h[n]: Resposta ao impulso do sistemaH(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=ej

Função de Transferência )(

)()(

zX

zYzH


5

5.1. Resposta em Frequênciade Sistemas LTI

)().()( zXzHzY

jezp /

)().()( XHY

Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT) Resposta em Frequência

Função complexa:

)()()(

)(.)()(

XHY

XHY


6

5.1.1. Filtros Seletivos Ideais

Passa-Baixas ideal:

c

c

lpH,0

,1)( Vimos que:

n

n

nnh c

lp ,sin

][

Passa-Altas ideal:

)(1)(,1

,0)(

lphp

c

c

hp HHH

n

n

nnnh c

hp ,sin

][][


7

Observações:

•Filtros Não-Causais: Logo irrealizáveis computacionalmente

•Fase nula!


8

5.1.2. Distorção de Fase e Atraso

Considere o sistema de atraso ideal:

][][ did nnnh

c/ resposta em frequência: dnjid eH )(

,.)(

1)(

did

id

nH

HNotação polar:

Visto que esta distorção linear de fase causa apenas umatraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é,o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.


9

Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como:

c

cnj

lp

deH

,0

,)(

.

E sua resposta ao impulso:

nnn

nnnh

d

dclp ,

)(

)(sin][

O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais.Note: Por maior que seja nd será sempre um filtro não-causal.


10

Medida conveniente da linearidade da fase éo Atraso de Grupo.Definido por:

( ) ( ) arg ( )d

grd H Hd

Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivadada fase de uma H(). Fase contínua.

Atraso de grupo ideal: Constante


11

Ex.: Dado o Sistema:


12

E o sinal de entrada:

0.25 0.5 0.85


13


14

5.2. Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC

Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC:

N

k

M

kkk knxbknya

0 0

][.][.

Calculando a Transformada Z de ambos os lados:

M

kk

N

kk knxbZknyaZ

00

][.][.


15

M

kk

N

kk knxbZknyaZ

00

][.][.

M

kk

N

kk knxZbknyZa

00

][.][.

M

k

kk

N

k

kk zXzbzYza

00

)(..)(..

M

k

kk

N

k

kk zbzXzazY

00

.).(.).(

N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zX

zYzH

0

0

.

.

)(

)()(


16

N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zX

zYzH

0

0

.

.

)(

)()(

NN

NN

MM

MM

zazazazaa

zbzbzbzbbzH

.......

.......)(

11

22

110

11

22

110

NNNNN

MMMMM

M

N

azazazaza

bzbzbzbzb

z

zzH

.......

.......)(

12

21

10

12

21

10

E a ROC??? Depende da causalidade do sistema


17

Ex: 2831

41

21

..1

.21)(

zz

zzzH

)(

)(

..1

.21)(

2831

41

21

zX

zY

zz

zzzH

2831

4121 ..1)(.21)( zzzYzzzX

)(.)(..2)()(..)(..)( 212831

41 zXzzXzzXzYzzYzzY

]2[]1[.2][]2[.]1[][ 83

41 nxnxnxnynyny


18

5.2.1. Estabilidade e Causalidade

• Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve contera circunferência unitária, p/ que exista a H() e por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável.

• Se o sistema é Causal a ROC deve ser a regiãofora do circulo definido pelo maior pólo.


19

z

1-1Re{z}

Im{z} z

1-1Re{z}

Im{z}

Re{z}

z

1-1

Im{z}z

1-1

Im{z}


20

5.2.2. Sistema Inverso

Hi(z) é inverso de H(z) se:

1)().()( zHzHzG i

Logo:

)(

1)(

zHzH i

][][*][][ nnhnhng i

h [n] hi[n]x[n]y[n]

x[n]

Pólos de H(z) são zeros de Hi(z)Zeros de H(z) são polos de Hi(z)


21

Conclusões:

Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistemaInverso Hi(z) Estável e Causal se e somente seos pólos E zeros de H(z) estiverem no interiordo circulo unitário.

Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA


22

5.2.3. Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais

Dado: H(z) racional:)(

)()(

zD

zNzH

Podemos expandi-la em frações parciais em z-1

N

k k

kNM

r

rr zd

AzBzH

11

0 .1.)(

p/ pólos simples e H(z) causal:

N

k

nkk

NM

rr nudArnBnh

10

][..][.][


23

Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nuloTeremos que h[n] terá duração infinita.Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response)

Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem(z=0) o sistema será IIR.

Primeiro caso:

N

k

nkk nudAnh

1

][..][

N

k k

k

zd

AzH

11.1

)(


24

Segundo caso:

Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem,

M

kk knbnh

0

][.][

h[n] terá duração finita M.

Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response)

Saída y[n] pode ser calculada como:

Isto é, h[n] será na forma:

M

k

kk zbzH

0

.)(

M

kk knxbny

0

][.][

Convolução com os coeficientes da H(z)


25

5.3. Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais

Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional,Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:

j

N

k

kk

M

k

kk

ezcomza

zbzH

0

0

.

.)(

N

k

kjk

M

k

kjk

ea

ebH

0

0

.

.)(


26

Observações:

)(log20)( HHdB

Módulo em dB: Diagrama de Bode

Fase:

Cuidar que geralmente a função arctan(x) retornaApenas o valor principal, isto é, entre [-,], fica parecendo que a fase possui descontinuidades.

22 )}(Im{)}(Re{)( HHH

)(.)()}(Im{.)}(Re{)( HjeHHjHH

Módulo:

)}(Re{

)}(Im{arctan)(

H

HH


27

5.3.1. Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples

Revisão: 21

2

1

..

.

2

1

2

1

2

1 ZZjZj

Zj

eZ

Z

eZ

eZ

Z

Z

Soma de Vetores:

Subtração de Vetores

21 VVR

21 VVR

1V

2V

R

1V

2V

R


28

Ex.1:5.0

)(

z

zzH

5.0)(.)cos(

)(.)cos(

5.0)(

sinj

sinj

e

eH

j

j

22 )(5.0)cos(

1)(

sinHAssim:

5.0)cos(

)(arctan)(

5.0)cos(

)(arctan

)cos(

)(arctan)(

sinH

sinsinH

Método Analítico:


29

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40

-20

0

20

40


Pha

se (

degr

ees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.5

0

0.5

1


Gro

up d

elay

(sa

mpl

es)

Matlab: Funções bodez.m e tf.m


30

Método Gráfico:

0.5

21

1

5.0)(

VV

V

z

zzH

jez

1-1

Z

1V

R

2V

Neste caso:

5.1

05.0varia

/11

R

RR

pV


31

0.5

DenNumH )(

1-1

Z

1V

R

2V

Neste caso:

0

00

VariaDen

/pNum

Fase:


32

Ex.2:

z

rzzH

)(

-0.5

1-1

Z

2V

R

1V


33

PólosdosDistâncias

ZerosdosDistânciaszH )(

)()()( PólosZeroszH

Generalizando:


34

Ex.3:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

0

2

4

6


Gro

up d

elay

(sam

ples)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40

-20

0

20


Mag

nitu

de (d

B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100

-50

0

50

100


Phas

e (d

egre

es)

64.0.8.0

1)(

2

2

zz

zzH

Zeros: -1 e 1Polos: 0.8/3 60°

1-1

Z


35

Ex.5.10: IIR 3ª ordem


36

5.5. Sistemas Passa-tudo

az

aza

za

azzH

**

1

*1 /1

.1)(


37

5.6. Sistemas de Fase Mínima

5.6.1. Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em:

)().()( min zHzHzH ap

Isto é, uma função fase mínima cascateada comum sistema all-pass para ajuste da fase.

5.6.2. Uso de filtros all-pass em compensação da respostaem frequência de sistemas fase não-mínima (sistemainverso é instável).

Hd(z) Hc(z)

min( ) ( ). ( )d d apH z H z H zmin

1( )

( )cd

H zH z


38

5.7. Sistemas com Fase Linear

Considere o sistema atraso ideal com Real, não necessariamente inteiro

,)( jid eH

Logo:

)(

)(

1)(

id

id

id

Hgrd

H

H

A transformada inversa é a resposta ao impulso:

nn

nsinnhid ,][


39

Se: =nd inteiro então voltamos a:

nn

nsinnhid ,][

][][ did nnnh

Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear

c

cj

lp

eH

,0

,)(

n

nsinnh c

lp ][


40

Se é um inteiro nd , a resposta ao impulso é simétrica em n=nd

][].2[ nhnnh lpdlp

Porém, se 2 for um inteiro teremossimetria em relação à n=

][].2[ nhnh lplp

Caso contrário o filtro terá faseLinear porém h[n] não será simétrica


41

5.7.2. Fase Linear Generalizada:

Condição suficiente para que um sistema tenhaFase linear:

][]2[

][]2[

nhnh

nhnh

Onde 2 é um número inteiro.


42

5.7.3. Sistemas c/ fase linear causais

Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0

Considerando também as condições anteriores p/ fase linear,Temos que h[n]=0 n>M

Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta aoImpulso com comprimento M+1 amostras

outros

MnnMhnh

,0

0,][][

E: 2/).()( Mje eAH

Ae() Função real, par e periódica


43

outros

MnnMhnh

,0

0,][][

E: )2/2/().()( Mjo eAH

Ao() Função real, impar e periódica

OU:

Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemascom fase linear. Existem sistemas com H(z) não racionalque possuem fase linear e não obedecem a estas condições.


44

Ex.5.17: Tipo I

parMnMhnh ][][


45

Ex.5.18: Tipo II

ímparMnMhnh ][][


46

Ex.5.19: Tipo III

parMnMhnh ][][


47

Ex.5.20: Tipo IV

ímparMnMhnh ][][


48

Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear

Zeros: Sobre circulo unitário Fora do circulo unitário aos pares simétricos

Tipo I Tipo II

Tipo III Tipo IV


49

Exercícios:

1) Calcule a H(z) do sistema:]1[][]1[][ 3

121 nxnxnyny

2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e Classifique os sistemas em FIR ou IIR

outros

Mnanha

n

,0

0,][) ][]1[.][) nxnyanyb

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