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1 1. INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL A Estatística Experimental é a parte da Matemática aplicada aos dados experimentais obtidos de experimentos. O seu objeto é o estudo dos Experimentos, no que diz respeito ao seu Planejamento; Execução; Análise dos dados e Interpretação dos resultados. 1.1. TERMINOLOGIA Experimento ou ensaio: Trabalho previamente planejado, que segue determinados princípios básicos onde se faz a comparação de efeito de tratamentos. Tratamento: É o método, elemento ou material cujo efeito deseja medir ou comparar um experimento. Pode ser classificado em quantitativos e qualitativos. Testemunha: É um tratamento padrão que pode ser usado na comparação com os outros tratamentos. Unidade experimental ou parcela: É a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que deverão refletir seu efeito. Unidade amostral: É aquela porção do material onde são medidas as variáveis para avaliação dos tratamentos. Material experimental: É todo o material de que o pesquisador dispõe para a execução do experimento. Delineamento experimental: É o plano utilizado na experimentação, ou seja, o arranjo das unidades experimentais usadas para controlar o erro experimental e ao mesmo tempo acomodar o delineamento de tratamento no experimento. Implica na forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais e em um amplo entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados estiverem disponíveis. Delineamento de tratamentos: O modo de combinar os diversos níveis dos fatores em estudo. Tipos de variação: Na experimentação agrícola ocorrem três tipos de variações. O primeiro tipo é chamado de variação premeditada, que se origina dos diferentes tratamentos, deliberadamente introduzidos pelo pesquisador, com o propósito de fazer comparações. O segundo tipo, chamado de variação externa, é devido a variações não intencionais de causas conhecidas, que agem de modo sistemático. Por exemplo, a heterogeneidade do solo é uma variação deste tipo, pois as parcelas localizadas em solos mais férteis produzem mais que as localizadas em terrenos pobres. O terceiro tipo, chamado de variação acidental ou do acaso, que é de causa desconhecida, de natureza aleatória e que não está sob controle do pesquisador. Tal variação é que constitui o chamado Erro experimental.

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Ótimo material sobre Estatística Experimental, direcionado para o curso de Agronomia.

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1. INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

A Estatística Experimental é a parte da Matemática aplicada aos dados experimentais obtidos de experimentos. O seu objeto é o estudo dos Experimentos, no que diz respeito ao seu

Planejamento;

Execução;

Análise dos dados e

Interpretação dos resultados. 1.1. TERMINOLOGIA

Experimento ou ensaio: Trabalho previamente planejado, que segue

determinados princípios básicos onde se faz a comparação de efeito de tratamentos.

Tratamento: É o método, elemento ou material cujo efeito deseja medir ou comparar um experimento. Pode ser classificado em quantitativos e qualitativos.

Testemunha: É um tratamento padrão que pode ser usado na comparação com os outros tratamentos.

Unidade experimental ou parcela: É a unidade que vai receber o tratamento e

fornecer os dados que deverão refletir seu efeito.

Unidade amostral: É aquela porção do material onde são medidas as variáveis

para avaliação dos tratamentos.

Material experimental: É todo o material de que o pesquisador dispõe para a execução do experimento.

Delineamento experimental: É o plano utilizado na experimentação, ou seja, o

arranjo das unidades experimentais usadas para controlar o erro experimental e ao mesmo tempo acomodar o delineamento de tratamento no experimento. Implica na forma como os tratamentos serão designados às unidades experimentais e em um amplo entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados estiverem disponíveis.

Delineamento de tratamentos: O modo de combinar os diversos níveis dos

fatores em estudo.

Tipos de variação: Na experimentação agrícola ocorrem três tipos de variações. O primeiro tipo é chamado de variação premeditada, que se origina dos diferentes tratamentos, deliberadamente introduzidos pelo pesquisador, com o propósito de fazer comparações. O segundo tipo, chamado de variação externa, é devido a variações não

intencionais de causas conhecidas, que agem de modo sistemático. Por exemplo, a heterogeneidade do solo é uma variação deste tipo, pois as parcelas localizadas em solos mais férteis produzem mais que as localizadas em terrenos pobres. O terceiro tipo, chamado de variação acidental ou do acaso, que é de causa desconhecida, de natureza aleatória e que não está sob controle do pesquisador. Tal variação é que constitui o chamado Erro experimental.

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Erro experimental: É a medida das variações existentes entre os dados ou

observações que se apresentam nas unidades experimentais que recebem tratamentos iguais, ou seja, é a causa da variação que reflete os efeitos do acaso.

Os erros experimentais são de dois tipos:

- Inerentes à variabilidade nas unidades experimentais, nas quais os tratamentos são aplicados, pois é característica de tais unidades produzirem resultados diferentes quando sujeitos aos mesmos tratamentos. - Falta de uniformidade na conduta física do experimento, isto é, falha na padronização da técnica experimental.

População ou conjunto universo: É o conjunto constituído por todos os dados

possíveis com relação à característica em estudo.

Amostra: É uma parte representativa da população, isto é, um subconjunto do

conjunto universo.

Características de uma população:

Parâmetros: µ – média; σ2 – variância; σ – desvio padrão.

Amostra: É uma parte representativa da população, isto é, um subconjunto do

conjunto universo.

Características de uma amostra:

Estatísticas ou estimativas: m̂ ou

X – média. s2 – variância. s – desvio padrão. Desses parâmetros ou estimativas, alguns são considerados medidas de posição (ou tendência central), e outros, medidas de dispersão (ou variação).

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1.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO Das medidas de posição (média, mediana, moda, quartis, e outras), a mais utilizada em experimentação é a média aritmética.

Média aritmética: É definida como a soma de todas as observações, dividida

pelo número delas. Assim, para uma população com N elementos X1, X2, X3, ... , XN, a média

aritmética (µ) será:

N

X , ... , X X X µ N321 ou

N

X

µ

i

1

N

i

Para uma amostra com n elementos: x1, x2, x3, ..., xn, a estimativa da média (

X )

será:

Xn

x , ... , x x x n321 ou

n

x

i

1

n

i

X

Mediana: A mediana de um conjunto de dados ordenados (rol) é o valor que

divide esse conjunto em subconjuntos com igual número de dados. É um valor que ocupa a posição central dos dados. Se x1, x2, x3, ..., xn, representa uma amostra aleatória de tamanho n, arranjada em ordem crescente de magnitude, então a mediana da amostra é definida pela estatística:

1)/2 (n x se n é impar.

~

X (ou Md) =

2

x x 1 n/2n/2 se n é impar.

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Moda: A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior

freqüência nesse conjunto. Às vezes, um conjunto de valores apresenta duas ou mais modas, o que indica uma certa heterogeneidade dos dados. Se x1, x2, x3, ..., xn, não necessariamente todos diferentes, representa uma Amostra aleatória de tamanho n, então a moda M é aquele valor da amostra que ocorre com maior freqüência. A moda pode não existir, e quando ela existe, não necessariamente é única.

Quando o conjunto de valores não apresenta qualquer valor com frequência maior que a dos outros valores. Então, para se ter uma idéia do valor da moda podemos utilizar uma fórmula empírica, proposta por Pearson:

M =

X - 3 (

X - ~

X )

1.3. MEDIDAS DE DISPERSÃO Dispersão ou variação é o grau com que os dados tendem a se afastar de um valor central, geralmente a média aritmética. Amostras com mesma média podem apresentar distribuições diferentes. Portanto, só a média não nos dá uma idéia clara de como os dados se distribuem. Então, é necessário calcular as medidas de dispersão ou variação para se ter uma melhor noção da distribuição dos dados. Das medidas de dispersão, veremos: a amplitude total, a variância, o desvio padrão, erro padrão da média, coeficiente de variação e índice de variação.

Amplitude: É a distancia entre os dois valores extremos de uma distribuição.

A amplitude de uma amostra aleatória x1, x2, x3, ..., xn é definida pela estatística: R= x(n) - x(1), onde x(n) e x(1) são, respectivamente, as observações de valor máximo e de valor mínimo na amostra. Ela é uma pobre medida de variabilidade, particularmente se o tamanho da amostra é grande. Ela considera apenas os valores extremos e não diz nada a respeito da distribuição dos valores entre os extremos. Além disso, como é improvável que uma amostra contenha os valores mínimo e máximo da população, a amplitude geralmente subestima a amplitude populacional, sendo um estimador viesado e ineficiente. Deve ser considerada, ainda, a influência de possíveis ‘outliers’, que são mensurações discrepantes, no estimador da amplitude.

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Apesar das limitações dessa medida de dispersão, a amplitude é usada para se ter uma indicação rápida e fácil da variabilidade em diversas áreas, tais como: controle de qualidade de matérias-primas ou de produtos industriais coletados em intervalos regulares de tempo e em estudos taxonômicos com interesse nos valores populacionais mínimos e máximos esperados.

Variância: É o grau com que os dados tendem a se dispersar em torno de um

valor central (média), ou seja, é a média aritmética dos quadrados dos desvios de cada valor com relação à sua média aritmética. Então, para uma população com N elementos X1, X2, X3, ..., XN, cuja a média é:

N

X

µ

i

1

N

i

, os desvios em relação à média serão: e1 = X1 - µ, e2 = X2 - µ, ... ,

eN = XN - µ. A variância será:

N

, ... ,

eeee2

N

2

3

2

2

2

12 =

N

SQD =

N

) (X

2

1

i

N

i

=

N

N

)X(

X

2

1

i

2

i

12

N

iN

i , ou:

N

)X(

X N

1

2

1

i

2

i

1

2

N

iN

i

Normalmente, trabalhamos com amostras, e a estimativa da variância (representada s2) é calculada, para uma amostra com n elementos, por:

1 -n

, ... ,

dddd2

n

2

3

2

2

2

12 s =

1-n

SQD=

1-n

) (x

2

1

i

Xn

i

=

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6

1-n

n

)x(

x

2

1

i

2

i

12

n

in

i

s , ou:

n

)x(

x 1-n

1

2

1

i

2

i

1

2

n

in

is

O denominador utilizado no cálculo da variância denomina-se número de graus de liberdade (G.L.). Ele pode ser pensado como o número de elementos estatisticamente independentes na soma de quadrados. O valor do G.L. representa o número de partes independentes de informação na soma de quadrado. A variância é sempre um valor positivo, e sua unidade é quadrática. Ela supera a desvantagem da amplitude na avaliação da variabilidade, pois, considera a posição de cada observação relativa à média da amostra.

Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância, tomada como valor positivo. É

expressa na mesma unidade dos dados e por esta razão possui significado físico e é preferido pelos pesquisadores, por ser mais fácil de interpretar. O desvio padrão populacional (σ) é definido como:

N

N

)X(

X

2

1

i

2

i

1

N

iN

i , ou:

N

)X(

X N

1

2

1

i

2

i

1

N

iN

i

O estimador amostral do desvio padrão populacional σ é um estimador viesado,

obtido pela simples extração da raiz quadrada da variância amostral. O maior viés ocorre principalmente em pequenas amostras. Correções para viés do desvio padrão são possíveis (Gurland & Trupathi, 1971; Tolman, 1971), mas raramente empregadas. O estimador do desvio padrão está apresentado na equação a seguir:

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1-n

n

)x(

x

2

1

i

2

i

1

n

in

is , ou:

n

)x(

x 1-n

1

2

1

i

2

i

1

n

in

i

s

Erro padrão da média: É dado pela razão entre o desvio padrão populacional

e a raiz do tamanho da amostra. É expresso pela seguinte equação:

n

X

O estimador amostral desse parâmetro é apresentado pela seguinte equação:

n

s

sX

As razões da necessidade do estimador são: (a) não se conhece, em geral, o desvio padrão populacional; b) na maioria das situações reais não é possível retirar todas as amostras de uma população; e c) em geral, apenas uma amostra é extraída da população. O erro padrão da média é uma medida da dispersão das médias amostrais em torno da média da população. Quanto menor for o seu valor, mais provável será a chance de obter a média da amostra nas proximidades da média da população, e quanto maior for menos provável se torna esse evento. Assim, ele é um estimador da precisão da estimativa de uma média populacional. É de importância fundamental na teoria da estimação e testes de hipóteses sobre médias.

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Coeficiente de variação (CV): É a medida de dispersão que expressa,

percentualmente, o desvio padrão por unidade de média, ou seja:

X

s 100 CV

onde s e

X são expressos na mesma unidade. O coeficiente de variação é um número abstrato (sem unidade). Este coeficiente dá idéia de precisão do experimento, mas tem defeito importante: ignora o número de repetições. Eles podem ser considerados: Baixo: quando o CV for menor que 10%; Médio: quando o CV estiver entre 10-20%; Alto: quando o CV for superior a 20% e menor ou igual a 30%; Muito Alto: quando o CV for superior a 30%.

Índice de variação (IV) ou coeficiente de precisão (CP):

É o coeficiente de variação (CV) dividido por n , isto é, pela raiz quadrada do

número de repetições, dado pelo número de unidades da amostra. É um número abstrato. Não tem o defeito do CV, pois leva em conta o número de repetições (n). É definido pela seguinte equação:

n

s 100 IV

X

n

CV =

X

sX x100

1.4. TIPOS DE EXPERIMENTOS

- Experimentos preliminares: São aqueles em que se utiliza um grande

número de tratamentos, poucas repetições e parcelas pequenas, e ainda são conduzidos sem muito rigor estatístico. Geralmente são usados para ensaio de introdução de variedades em que se precisa fazer uma triagem. - Experimentos críticos: São realizados pelas instituições de pesquisa e se escolhem certos tratamentos, com base nas informações obtidas nos estudos preliminares; usam-se maior número de repetições e técnicas estatísticas recomendadas, procurando-se confirmar hipóteses previamente estabelecidas. - Experimentos demonstrativos: São usados por extensionistas e Secretarias

de Agricultura e se baseiam nas informações dos experimentos críticos. Avaliam-se aspectos econômicos.

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Objetivos de um experimento

- Levantar questões a serem respondidas - Observar efeitos a serem estimados - Detectar interações a serem conhecidas - Formular hipóteses a serem testadas

Quanto ao número de fatores os experimentos podem ser:

- Unifatoriais - Fatoriais

1.5. PESQUISA CIENTÍFICA

Em qualquer pesquisa cientifica, o procedimento geral é o de formular hipóteses e verificá-las, diretamente, ou por meio de suas conseqüências. Para tanto é necessário um conjunto de observações ou dados, e o planejamento de experimentos é essencial para indicar o esquema sob o qual as hipóteses podem ser testadas. As hipóteses são testadas por meio de métodos de análise estatística que dependem do modo como as observações ou os dados foram obtidos, e, desta forma, o planejamento de experimentos e a análise dos dados estão intimamente ligados e devem ser utilizados em certa seqüência nas pesquisas cientificas. Isso pode ser visualizado na Figura a seguir, na qual verificamos que as técnicas de planejamento devem ser utilizadas entre as etapas (1) e (2), e os métodos de análise estatística, na etapa (3).

Planejamento

Formulações dehipóteses

Teste das hipótesesFormuladas

(2)

(4)

(3)

(1)

Observações

Desenvolvimentoda Teoria

Análise Estatística

Circularidade do método científico

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1.6. PONTOS A SEREM CONSIDERADOS PARA REDUZIR A VARIAÇÃO ALEATÓRIA

O que nos obriga a utilizar a análise estatística para testar as hipóteses formuladas é a presença, em todas as observações ou dados, de efeitos de fatores não controlados que causam variação. Estes fatores podem ou não ser controláveis.

Entre os fatores considerados não controláveis, podemos citar: pequenas diferenças de fertilidade de solo, ligeiras variações nos espaçamentos, profundidade de semeadura um pouco maior ou menor que prevista no trabalho, variação na constituição genética das plantas, pequenas variações nas doses de adubos, inseticidas, fungicidas, herbicidas, etc. Estes efeitos, que sempre ocorrem, não podem ser conhecidos individualmente e tendem a mascarar o efeito do tratamento em estudo. Visando tornar mínima a variação do acaso, o experimentador deve fazer o planejamento do experimento de tal forma que consiga isolar os efeitos de todos os fatores que podem ser controlados. Especial importância deve ser dada alguns pontos, como: tamanho e a forma da parcela, orientação das parcelas, efeito de bordaduras entre as parcelas, falhas de plantas nas parcelas, número de repetições dos experimentos, delineamentos experimentais e forma de condução dos experimentos.

1.6.1. Tamanho e forma da parcela De um modo geral, a escolha da parcela deve ser orientada de forma a minimizar erro experimental, isto é, as parcelas devem ser o mais uniforme possível, para que, ao serem submetidas a tratamentos diferentes, seus efeitos sejam detectados. No Experimento de campo o tamanho e a forma das parcelas são bastante

variáveis, em função de: a) Material com que se está trabalhando:

Devemos aumentar ou diminuir o tamanho das parcelas em função da cultura que está sendo estudada. Por exemplo, parcelas para a cultura da cana-de-açúcar devem ser maiores que aquelas para a cultura do milho ou feijão.

b) Objetivo da pesquisa:

O objetivo do trabalho experimental também influencia o tamanho da parcela. Exemplo, experimentos de comparação de níveis de irrigação necessitam de parcelas maiores do que os de competição de variedades.

c) Número de tratamentos em estudo:

Quando o número de tratamentos é muito grande, como ocorre com os experimentos de melhoramento genético vegetal, o tamanho das parcelas deve

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ser reduzido, para diminuir a distância entre as parcelas extremas, visando homogeneidade entre elas.

d) Quantidades disponíveis de sementes:

É outro fator que pode limitar o tamanho das parcelas, principalmente nos ensaios de introdução de novos materiais genéticos.

e) Uso de máquinas agrícolas:

Nos experimentos em que é necessária a utilização de máquinas agrícolas (como tratores e colheitadeiras), o tamanho das parcelas deve ser obrigatoriamente, grande, para permitir as condições ideais de trabalho dessas máquinas.

f) Área total disponível para a pesquisa:

Freqüentemente, o experimentador tem que ajustar seu experimento ao tamanho da área disponível, que em geral é pequena, o que resulta na utilização de parcelas menores que o desejável.

g) Custo, tempo e mão-de-obra:

São fatores que também limitam o tamanho das parcelas. Algumas vezes, o fator limitante é o custo de parcelas muito grandes; outras vezes é a falta de tempo do pesquisador para poder obter as observações em parcelas muito grandes; e outra ainda, a falta de mão-de-obra para as operações durante a condução do experimento.

O tamanho ótimo para a parcela será aquele que resulte na menor variação entre parcelas dentro do bloco. A forma da parcela refere-se à razão entre o comprimento e a largura. A melhor forma da parcela será, para cada caso, a que melhor controle as variações acidentais e a que se adapte à natureza dos tratamentos a estudar. No delineamento em blocos casualizados, o melhor é que a forma da parcela seja retangular, para que cada bloco seja o mais quadrado possível, enquanto que, ao contrário, no delineamento em quadrado latino, a parcela deve aproximar-se o mais possível da forma quadrada, para que toda a repetição se aproxime do quadrado. Para parcelas de tamanho pequeno, o efeito da forma é quase nulo. Porém, em parcelas maiores ele pode ser considerável.

No que se refere à forma das parcelas, experimentos realizados em diversos

países, com diferentes culturas, têm mostrado que, para se obter maior precisão, as parcelas devem ser relativamente compridas e estreitas. Assim, as parcelas de

uma repetição tenderão a participar de todas as grandes manchas de fertilidade do terreno que ocupam, e também, quando for grande o número de tratamentos, o

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bloco não se afastará muito da forma quadrada, que é outra recomendação para diminuir o efeito da variação ambiental. A forma da parcela também influenciada pelo efeito bordadura e pela heterogeneidade do solo. Em alguns experimentos, devemos separar as bordaduras, para evitar influência sobre a parcela dos tratamentos aplicados nas parcelas vizinhas. Neste caso, teremos a área total e a área útil da parcela, e os

dados a serem utilizados na análise estatística serão apenas aqueles coletados na área útil da parcela. Em experimentos onde a bordadura pode efeito apreciável ,

parcelas quadradas são desejáveis porque elas possuem um perímetro mínimo, para um dado tamanho de parcela. (retangular = 9 m x 4 m = 36 m2, perímetro igual a 26 m; quadrada = 6 m x 6 m = 36 m2 terá perímetro igual a 26 m). Por outro lado, quando existe um gradiente de fertilidade do solo, as parcelas deverão ser retangulares. Em determinados experimentos, deseja-se acompanhar o crescimento das plantas por intermédio de uma análise de crescimento feita por meio de dados fisiológicos obtidos em amostragens semanais ou quinzenais de plantas. Nestes experimentos, devem ser separadas nas parcelas algumas linhas de cultura onde serão feitas as amostragens, deixando-se outras para a produção, veja detalhes na Figura a seguir: B - Bordadura

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

B

B

B

} AMOSTRAGEM

} PRODUÇÃO

} AMOSTRAGEM

A amostragem de parcela é um procedimento para a seleção de uma fração de plantas de uma parcela experimental, para a representação dessa parcela co precisão. Uma técnica de amostragem de parcelas é considerada boa, se os valores das características medidos na amostra estão muito próximos daqueles que teriam sido obtidos, se as mensurações tivessem sido efetuadas em todas as plantas da parcela. Alguns fatores devem ser levados em conta, quando da amostragem de parcelas. São eles: unidade amostral, tamanho amostral e método de amostragem. A unidade amostral refere-se à unidade na qual serão feitas as mensurações. O tamanho amostral refere-se ao número de unidades amostrais que serão tomadas em cada parcela, e o método de amostragem é a maneira pela qual as unidades amostrais são escolhidas na parcela. Deve-se procurar separar a área amostrada do restante da parcela. Veja Figura acima.

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Experimentos em casa de vegetação para a construção de cada parcela

podem-se utilizar um conjunto de vasos, ou então, um único vaso com duas ou três plantas. Às vezes, uma única planta constitui a unidade experimental.

Experimentos de laboratório uma amostra simples do material poderá constituir a parcela, porém, às vezes, é necessário utilizar amostra composta. Na amostra obtida de cada parcela, devem ser feitas diversas determinações, das quais é obtida uma média para representar o valor observado nessa parcela. “Não devemos confundir as diversas determinações da mesma amostra material com as repetições do experimento”.

Vários métodos podem ser utilizados para a escolha do tamanho e forma ideais de parcela. Entre eles estão os métodos baseados em dados de Ensaio de Uniformidade (Método da Máxima Curvatura, Método do Índice de Heterogeneidade do Solo e o Método de Hatheway) e em Ensaios Experimentais (Método da Máxima Curvatura Modificado por Sanchez).

1.6.2. Orientação das parcelas A orientação das parcelas refere-se à escolha da direção ao longo da qual os comprimentos das parcelas serão colocados. A orientação das unidades experimentais pode reduzir ou aumentar os efeitos dos gradientes de fertilidade do solo do campo. Se o terreno tem um gradiente de fertilidade conhecido, as

parcelas de cada repetição ou bloco devem ser colocadas com sua maior dimensão no sentido paralelo a tal gradiente (Figura a seguir). O gradiente de fertilidade tem a direção da flecha. X Y Z

0g 0g 0g

0g 0g 0g

0g 0g 0g

0,5g

0g

3g

0,5g

0g

3g

0,5g

0g

3g

.4g .3g .2g .1g 0g 1g 2g 3g 4g

Na distribuição X, em que a maior dimensão das parcelas é perpendicular ao gradiente de fertilidade, verifica-se que algumas parcelas têm maior fertilidade do que outras (conseqüentemente maior variabilidade), enquanto na distribuição Y, todas as parcelas participam por igual das diferentes fertilidades do solo (menor variabilidade), pois todas terão um extremo fértil e outro pobre. Na distribuição Z, três parcelas participam da parte mais fértil, três da parte intermediária e três da parte mais pobre (variabilidade intermediária).

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Portanto, as parcelas devem ser colocadas no campo com o lado mais comprido paralelo à direção de tal gradiente. Se não for possível adotar a distribuição Y por dificuldades de ordem prática, então se deve adotar a distribuição Z, sendo a X, a menos recomendável.

1.6.3. Efeito bordadura entre parcelas

Denomina-se efeito bordadura à diferença em comportamento entre plantas ao longo dos lados ou extremidades de uma parcela e as plantas do centro dessa parcela. Essa diferença pode ser medida pela altura de planta, resistência às pragas e moléstias, rendimento de grãos e de frutos, etc. O efeito bordadura pode ocorrer quando um espaço não plantado é deixado entre blocos e entre parcelas. Estes espaços proporcionam maior aeração, luz e nutrientes às plantas de bordaduras, e contribuem para aumentar por este motivo a colheita, com isto os rendimentos dos tratamentos ficam superestimados em razão da maior produção das plantas de bordadura. Esta influencia é tanto maior, quanto maior é a área que circunda a parcela, e menor é a parcela. As áreas livres não só aumentam o rendimento, como também, o que é pior, os tratamentos não apresentam por igual esta influência, assim nos experimentos de competição, algumas variedades tendem a aproveitar melhor que outras as áreas livres. Desse modo, alguns tratamentos podem estar inconvenientemente em vantagem sobre outros nos experimentos, e dar lugar a conclusões erradas. Figura PV pg. 36 O efeito bordadura também pode ocorrer quando determinados tratamentos influenciam nocivamente no comportamento dos tratamentos vizinhos, como exemplo: experimentos com competição de variedades, principalmente se as variedades apresentam hábito de crescimento e maturidade diferentes; experimentos com fertilizantes, inseticidas, fungicidas, bactericidas, herbicidas; experimentos com sistemas de irrigação, etc. Para minimizar o efeito bordadura, o pesquisador deve tomar as seguintes precauções: a) evitar o uso de áreas não plantadas para separar parcelas experimentais; b) o número de ruas no experimento deve reduzir-se ao máximo; c) não medir caracteres agronômicos em fileiras-bordadura que, provavelmente, sofreram os efeitos de competição entre parcelas; d) plantar umas poucas fileiras de um genótipo uniforme ao redor do perímetro do experimento, para minimizar o efeito de bordos não plantados sobre parcelas localizadas ao longo dos lados do campo experimental; e) quando variedades a serem avaliadas diferem bastante quanto ao hábito de crescimento, escolher um delineamento experimental que permita o agrupamento de variedades homogêneas, particularmente pela altura. Isto reduzirá o número de fileiras necessárias como bordadura, contra o efeito de competição varietal; e a quantidade de fileiras a excluir depende do tipo de efeito bordadura. Quando houver dúvida e quando o tamanho da parcela for bastante grande, excluir pelo menos duas fileiras.

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1.6.4. Falhas de plantas nas parcelas

Pode-se dizer que uma parcela experimental apresenta falhas quando ela possui um stand reduzido em relação ao inicial, isto é, apresenta covas sem plantas. As falhas de plantas nas unidades experimentais é uma das principais causas do erro experimental. Contudo, nem todas as falhas influem no erro experimental, só aquelas extrínsecas aos tratamentos são as que influem, tal é o caso de morte de plantas devido às pragas e doenças, ao empoçamento da água em virtude dos desníveis do terreno, etc. Por outro lado, as causas intrínsecas devido aos tratamentos, tais como morte de plantas por um dos tratamentos, queima ou maltrato das plantas, etc., não influem no erro experimental. A presença de falhas em uma parcela significa que nem todas as plantas da parcela estão sujeitas ao mesmo espaçamento e competição. Além disso, existe uma correlação positiva entre número de plantas e produção, ou seja, quanto maior o número de plantas, maior será a produção; se ocorrer falhas de plantas nas parcelas de um determinado tratamento, o mesmo será prejudicado porque não poderá expressar todo seu potencial, ainda que as plantas vizinhas às falhas desenvolvam mais que as outras. Desse modo, a presença de falhas contribui para aumentar o erro experimental, já que elas levam à falta de uniformidade das condições experimentais. Se as falhas são de pequena monta, de até 5%, em geral não constituem um fator sério. Porém, se estiverem no intervalo de 5% < F ≤ 30%, é necessário recorrer aos métodos de correção de falhas (Regra de três, Fórmulas de correção, Análise covariância, etc.). Se as falhas são de mais de 30% da população de plantas, é preferível repetir o experimento.

1.6.5. Número de repetições dos experimentos O número de repetições de um experimento depende de vários fatores: variabilidade do meio em que se realiza o experimento; número de tratamentos em estudo; recursos de pessoal, dinheiro, equipamento, etc. Quanto maior a variabilidade de meio, maior deve ser o número de repetições. A variabilidade do pode influir mais sobre algumas características em estudo do que sobre outras. Se entre os tratamentos em estudo esperamos que haja poucas diferenças, o número de repetições deve ser maior para que se possa medi-las com maior precisão. Se os recursos de terreno, dinheiro, tempo, etc., disponíveis são pequenos, logicamente o número de repetições deverá ser reduzido. A área das parcelas também limita o número de repetições, diminuindo esse número à medida que aumenta a área da unidade experimental.

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O número ideal de repetições em um experimento pode ser determinado por meio de ensaios de uniformidade ou por meio de métodos baseado em resultados conseguidos em ensaio anterior. Uma regra prática, que tem surtido bons resultados na experimentação agrícola e zootécnica, é a de que os ensaios devem ter, no mínimo, 20 parcelas e/ou 10 graus de liberdade para o resíduo ou erro experimental.

1.6.6. Delineamentos experimentais

Serão abordados nos capítulos seguintes alguns delineamentos experimentais usados na experimentação agrícola.

1.6.7 Forma de condução dos experimentos

A execução de um experimento inicia com a eleição do terreno. Este terreno deve ser o reflexo das condições médias da região ao qual se pretende estender as conclusões obtidas do experimento, bem como ser o mais uniforme possível a fim de reduzir o erro experimental. Deve haver uniformização na execução dos trabalhos a ser realizados no experimento. Durante a instalação e execução do experimento, o experimentador deve procurar diminuir o efeito dos fatores não controlados. Por exemplo: para evitar variações de espaçamento da cultura, e para evitar a variação de espaçamentos entre plantas, podemos utilizar uma ripa perfurada, com um furo distante do outro tantos centímetros quanto o espaçamento entre plantas, e a semeadura será feita manualmente. Para evitar pequenas variações na profundidade de semeadura, podemos utilizar um soquete juntamente com a ripa perfurada, durante a semeadura. As sementes são colocadas na perfuração e comprimidas pelo soquete, que penetra até a profundidade recomendada para a cultura. Variações nas doses de adubo podem ser evitadas pelo uso de uma calha de madeira para sua aplicação, que proporciona uma distribuição uniforme, na dose recomendada.

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1.7. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO a) Princípio da repetição: consiste na reprodução do experimento básico e tem

por finalidade propiciar a obtenção de uma estimativa do erro experimental, além de fornecer a capacidade para aumentar a precisão das estimativas das médias dos

tratamentos (aumento o número de repetições diminuir

2

y,

conseqüentemente aumentando a precisão de

y ).

A Princípio da Repetição

A A A A A

B B B B B B

C C C C C C

D D D D D D

Repetições

Experimento básico

b) Princípio da casualização: evita o erro sistemático e propicia a todos os tratamentos a mesma probabilidade designados a qualquer das unidades experimentais.

A Princípio da repetição e

D A D A A

B B B C C D

C Casualização A C D C B

D B D C B A

Repetição + casualização

Experimento básico c) Principio do controle local: divide um ambiente heterogêneo em sub-ambientes homogêneos e torna o delineamento experimental mais eficiente pela redução do erro experimental.

BL. BL. BL. BL. BL. I II III IV V

A Princípio da repetição, casualização e

A D C B B

B B A D C A

C controle local C B A D D

D D C B A C

Repetição + casualização + controle local

Experimento básico

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1.8. DIAGRAMA DOS PRINCÍPIOS DA EXPERIMENTAÇÃO

REPETIÇÃO

CASUALIZAÇÃO CONTROLE LOCAL

VALIDEZ DA ESTIMATIVA DO ERRO

ESTIMATIVA DO ERRO

REDUÇÃO DO ERRO

1.9. RELAÇÕES ENTRE OS PRINCÍPIOS BÁSICOS E OS DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

Fisher desenvolveu a técnica denominada análise de variância, que teve grande repercussão na pesquisa cientifica.

Análise de variância (Anova) É a técnica que consiste na decomposição do

número de graus de liberdade e da variância total de um material heterogêneo em partes atribuídas a causas conhecidas e independentes (fatores controlados), e a uma porção residual de origem desconhecida e de natureza aleatória (fatores não controlados). Em outras palavras, esta técnica é a que nos permite fazer partições do número de graus de liberdade (denotados por G. L.) e de somas de quadrados (S.Q.), com cada uma das partes nos proporcionando uma estimativa de variância (denominada quadrado médio – Q.M.). Para podermos utilizar a metodologia estatística da Anova nos resultados de um

experimento, é necessário que o mesmo tenha considerado pelos menos os princípios da repetição e da casualização, a fim de se obter uma estimativa válida para o erro experimental, que permita a uma aplicação dos testes de significância. Ao fazermos um experimento considerando apenas esses dois princípios, sem utilizar o principio do controle local, temos o delineamento inteiramente casualizado ou inteiramente ao acaso. Nesse delineamento temos apenas duas causas ou fontes de variação: Tratamentos (causa conhecida ou fator controlado) e Resíduo ou Erro (causa desconhecida, de natureza aleatória, que reflete o efeito dos fatores não controlados). O esquema de análise de variância será:

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Delineamento Inteiramente Casualizado - DIC

Causa da variação G.L SQ QM F

Tratamentos t–1 SQT QMT QMT/QMR Resíduo t(r–1) SQR QMR

Total tr–1 SQT0 Se as condições experimentais forem sabidamente heterogêneas, ou se houver dúvida quanto à sua homogeneidade, devemos utilizar o principio do controle local, estabelecendo, então, os blocos (grupos de parcelas homogêneas). Cada um deles deve conter todos os tratamentos. O delineamento experimental assim obtido é denominado delineamento em blocos casualizados ou em blocos ao acaso. Nesse caso, devemos isolar mais uma causa de variação conhecida (fator controlado), que são os blocos. Uma vez que cada bloco de conter todos os tratamentos, há uma restrição na casualização, que deve ser feita designando os tratamentos às parcelas dentro de cada bloco. O esquema de análise de variância será: Delineamento em Blocos Casualizados - DBC

Causa da variação G.L SQ QM F

Blocos b–1 SQB QMB QMB/QMR Tratamentos t–1 SQT QMT QMT/QMR Resíduo (b–1) (t–1) SQR QMR

Total bt–1 SQT0 A utilização do principio do controle local sempre nos conduz a uma redução no número de graus de liberdade do resíduo. Se as condições experimentais forem duplamente heterogêneas, o experimentador é obrigado a controlar os tipos de heterogeneidade, devendo utilizar de um delineamento que exagera no princípio do controle local, e que é denominado delineamento em quadrado latino. Neste delineamento, que não é muito utilizado,

o número de repetições deve ser igual ao número de tratamentos, e, portanto, o número de parcelas deve ser um quadrado perfeito. Nesse caso, temos parcelas totalmente diferentes que, no entanto, podem ser grupadas de acordo com duas classificações: em uma primeira etapa, organizamos blocos de acordo com uma das classificações (que denominamos linhas); a seguir,

organizamos blocos de acordo com o outro critério de classificação (que denominamos colunas). Para a designação dos tratamentos às parcelas, devemos casualizá-los tanto nas linhas como nas colunas do quadrado latino. O esquema da análise de variância será:

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Delineamento em Quadrado Latino - DQL

Causa da variação G.L SQ QM F

Linhas t–1 SQL QML QML/QMR Colunas t–1 SQC QMC QMC/QMR Tratamentos t–1 SQT QMT QMT/QMR Resíduo (t–1) (t–2) SQR QMR

Total t2 –1 SQT0 Alertamos novamente para o fato de que o uso do principio do controle local acarreta sempre uma redução no número de graus de liberdade do resíduo, o que constitui uma desvantagem. Entretanto, essa desvantagem geralmente é compensada, pois ocorrerá também uma redução na soma de quadrados do resíduo, e obtendo-se assim maior precisão, pois há uma redução na variância residual, devida ao fato de isolarmos o efeito de fatores que normalmente seriam incluídos no resíduo.

1.10. MÉTODOS PARA AUMENTAR A PRECISÃO DOS EXPERIMENTOS

A precisão se refere à ordem de grandeza da diferença entre dois tratamentos, passível de ser detectada em um experimento. Os procedimentos que podem levar a um aumento nessa precisão são classificados em 3 tipos:

O primeiro visa o aumento do tamanho do experimento, quer pelo aumento do número de repetições ou pela inclusão de tratamentos adicionais.

O segundo cuida do manuseio do material experimental de tal maneira que os efeitos de variabilidade são diminuídos. O terceiro tem por objetivo o refinamento da técnica experimental. São eles: a) Aumento do número de repetições:

A precisão de um experimento sempre pode ser aumentada pelo uso de repetições adicionais, mas o nível de melhoria nessa precisão diminui com o aumento do número de repetições. Por exemplo, para se dobrar o grau de precisão com que duas médias são comparadas em um experimento com 4 repetições, serão necessárias 16 repetições. De um modo geral, para a obtenção de uma precisão razoável em experimentos de campo com culturas, são necessárias de quatro a oito repetições. Se não é possível, é preferível deixar o experimento para ser executado noutra ocasião com recursos suficientes para realizá-lo com o número de repetições adequado.

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b) Escolha do material experimental:

Materiais experimentais heterogêneos podem constituir importante fonte de variação afetando o erro experimental, comprometendo decisivamente a precisão de um experimento, caso não sejam tomadas providências para eliminar sua variabilidade intrínseca. Na escolha dos materiais experimentais, o pesquisador deve escolher os de maior uniformidade.

c) Escolha das unidades experimentais:

O tamanho e a forma das parcelas afetam a precisão do experimento. Em geral, a variabilidade entre parcelas decresce com o aumento do tamanho da parcela, mas, uma vez atingido um tamanho ideal, o aumento da precisão diminui rapidamente com tamanhos maiores. As parcelas retangulares são mais eficientes na superação da heterogeneidade do solo quando seu eixo maior está na direção de maior variação do solo.

d) Escolha dos tratamentos:

A cuidadosa seleção dos tratamentos é importante não apenas na obtenção dos objetivos do experimentador, mas também para aumentar a precisão do experimento. Por exemplo, o efeito de um fertilizante, inseticida, fungicida ou herbicida, é melhor determinar como as parcelas respondem a doses crescentes do produto do que decidir se duas doses sucessivas são ou não significativamente diferentes. Conseqüentemente, um conjunto apropriado de doses possibilitará planejar teste de significância que serão mais sensíveis do que simplesmente comparar médias adjacentes em um conjunto. O uso de experimentos fatoriais, nos quais dois ou mais fatores não testados simultaneamente, pode proporcionar considerável aumento na precisão.

e) Agrupamento das unidades experimentais:

O agrupamento planejado das unidades experimentais envolve o uso do principio do controle local. Assim, é possível reunir em blocos, parcelas ou unidades experimentais adjacentes situadas em porção de solo com aproximadamente as mesmas características de fertilidade, declividade, profundidade, etc. O critério para a formação de blocos deve ser tal que, entre parcelas ou unidades de um mesmo bloco as diferenças devem ser as menores possíveis, não importando, entretanto, o tamanho das diferenças entre parcelas de blocos diferentes que podem ser grandes ou pequenas. Por meio de certas restrições na casualização dos tratamentos nas parcelas, é possível remover algumas fontes de variação, tais como variações na fertilidade do solo, na disponibilidade de água, na infestação inicial e outras, ao longo da área experimental. O agrupamento das parcelas de modos diferentes dá origem aos diferentes delineamentos experimentais.

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Quando o controle local é exercido por meio de blocos dá lugar ao delineamento experimental denominado blocos ao acaso. O controle local pode ser exercido por outros meios além de blocos como é o caso de linhas e colunas nos experimentos denominados quadrados latinos. Através do controle local, as grandes diferenças ou efeitos entre blocos, linhas, colunas serão eliminadas do erro experimental e não comprometerão a precisão do experimento.

f) Técnicas mais refinadas:

Uma técnica imperfeita pode aumentar o erro experimental e distorcer os efeitos dos tratamentos de duas maneiras: (1) introdução de flutuações adicionais de natureza aleatória e (2) fornecendo medidas consistentemente viciadas. A melhor segurança contra (1) é o cuidado e vigilância na tomada de medidas e contra (2), a casualização e uso de instrumentos precisos e não viciados.

Uma técnica adequada tem por objetivos: a) aplicação uniforme dos tratamentos; b) proporcionar medidas adequadas e não viciadas dos efeitos dos tratamentos; c) eliminar a possibilidade de enganos ou erros grosseiros de mensuração, anotação, etc. através da supervisão eficiente do trabalho; e d) controlar influências externas de forma que todos os tratamentos sejam afetados igualmente. Por exemplo, a técnica conhecida como análise de covariância pode, às vezes, ser usada para remover uma importante fonte de variação entre as unidades experimentais. Na realização de um experimento é possível tomar medidas suplementares que predizem até certo grau o desempenho das parcelas experimentais (tais como, número de plantas por parcela, número de vagens ou espigas por parcela, etc). Por meio desta técnica podemos estimar dos dados o quanto as observações foram influenciadas pelas variações nestas medidas suplementares. A resposta média de cada tratamento pode então ser ajustada com o objetivo de remover o erro experimental que aparece desta fonte.

1.11. PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS Procurando tornar mínima a variação do acaso, o pesquisador deve fazer o planejamento do experimento de tal forma que consiga isolar os efeitos de todos os fatores que podem ser controlados. O planejamento constitui a etapa inicial de qualquer trabalho, e, portanto, um experimento também deve ser devidamente planejado, de modo a atender aos interesses do experimentador e às hipóteses básicas necessárias para a validade da análise estatística.

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Freqüentemente, o estatístico é consultado para tirar conclusões com base em dados experimentais. Considerando que essas conclusões dependem da forma como foi realizado o experimento, o estatístico solicitará uma descrição detalhada do experimento e de seus objetivos. O pesquisador ao iniciar um experimento deve formular uma série de questões e buscar respondê-las. Como exemplo, podemos citar:

a) Quais as características (ou variáveis) que serão analisadas?

Num mesmo experimento, várias características (ou variáveis) podem ser estudadas. Portanto, no planejamento do experimento devemos definir antecipadamente quais características de interesse, para que as mesmas possam ser avaliadas no decorrer do experimento.

b) Quais os fatores que afetam essas características?

Relacionar todos os fatores que possuem efeito sobre as características que serão estudadas, como por exemplo: variedade, cultivar ou híbrido, adubação, densidade de plantio, irrigação, sistema de cultivo, controle de pragas e doenças, etc.

c) Quais desses fatores serão estudados no experimento?

Nos experimentos simples, apenas um tipo de tratamento ou fator pode ser estudado de cada vez, sendo os demais fatores mantidos constantes. No caso de experimentos mais complexos, como os experimentos fatoriais e em parcelas subdivididas, podemos estudar simultaneamente os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores, como, por exemplo, cultivares e adubações.

d) Como será constituída a unidade experimental ou parcela?

A unidade experimental ou parcela poderá ser constituída por uma única planta ou por um grupo delas. Quando utilizamos uma única planta por parcela, se ocorrer qualquer problema com ela (doença, morte, etc.) teremos um caso de parcela perdida, o que causa complicações na análise estatística. Portanto, devemos definir adequadamente o que constituirá a parcela.

e) Quantas repetições deverão ser utilizadas?

O número de repetições de um experimento depende do número de tratamentos a serem confrontados e do delineamento experimental escolhido. Quanto maior o número de repetições maior será a precisão do experimento. De um modo geral, recomenda-se que o número de unidades experimentais ou parcelas não seja inferior a 20 e que o número de graus de liberdade associado ao efeito dos fatores não controlados (Resíduo) não seja inferior a 10.

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f) Como serão analisados os dados obtidos no experimento?

A análise estatística dos dados depende apenas do delineamento experimental utilizado para realizar o experimento.

Sendo essas apenas uma pequena parte das questões que devem ser

respondidas ao planejarmos um experimento, concluí-se então, que o planejamento deve ser muito bem feito, para que a análise estatística possa ser efetuada de forma adequada e conduza a conclusões válidas.

1.12. ITENS ESPECIFICADOS NO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS a) Título: O mais simples possível, de forma a não deixar dúvida sobre os objetivos

da experimentação.

b) Responsável e colaboradores: Indicar as pessoas que irão trabalhar na

execução da pesquisa e as instituições a que pertencem.

c) Objetivos: Expor claramente as questões que devem ser respondidas pelo

trabalho.

d) Histórico: Indicar os motivos que levaram o experimentador a fazer a pesquisa, incluindo uma revisão de literatura com os trabalhos mais importantes sobre o assunto nos últimos anos.

e) Material e métodos:

­ Localização do experimento: Indicar o lugar, especificando as coordenadas geográficas, o tipo de solo, a acidez, a topografia e a necessidade ou não de calagem, adubação e drenagem. Se possível fazer uma análise de solo antes da instalação do experimento.

­ Materiais: Especificar as variedades, os híbridos ou cultivares. Especificar

também, a quantificação dos adubos, os fungicidas, os herbicidas, os inseticidas,o calcário e outro produtos a serem utilizados e os equipamentos necessários para sua aplicação.

­ Tratamentos: Devem ser indicados da forma mais completa possível. É também

conveniente mencionar o custo de cada tratamento, visando estudos econômicos posteriores.

­ Adubação: Citar os adubos empregados, as percentagens de nutrientes, a

época e a forma de aplicação, especificando a quantidade a ser utilizada por parcela e por hectare.

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­ Semeadura ou plantio: Indicar a época de semeadura, o poder germinativo das

sementes e a quantidade de sementes a ser utilizada. No caso de plantio, especificar a procedência das mudas e a quantidade a ser utilizada. ­ Delineamento experimental: Indicar o delineamento que será utilizado,

apresentando um croqui da parcela e o esquema de instalação do experimento no campo, detalhando: espaçamento, número de sementes ou mudas, número de plantas por parcela e por área útil, área total e área útil por parcela e área do bloco e total do experimento e esquema de análise de variância.

­ Tempo de execução provável: Especificar o tempo que demorará para a

execução completa da pesquisa, indicando também, se for o caso, o número de anos em que o experimento será repetido.

­ Orçamento: Fornecer uma estimativa dos gastos a serem realizados com: construções, mão-de-obra, serviços de terceiros, equipamentos, materiais de consumo, combustíveis, manutenção de equipamentos, diárias e imprevistos (19% do custo total do projeto).

DURANTE A EXECUÇÃO DO EXPERIMENTO, O PESQUISADOR DEVERÁ ANOTAR TODAS AS INFORMAÇÕES QUE JULGAR NECESSÁRIAS, E, AO FINAL DO MESMO, ELABORAR UM RELATÓRIO.

1.13. RELATÓRIO

No Relatório deverá constar: a) O planejamento experimental b) Dados gerais: (solo, cultura anterior, data da semeadura, datas das aplicações dos adubos, datas das irrigações, condições climáticas). c) Tratos culturais: (número de cultivos, capinas, pulverizações e polvilhamentos,

com as respectivas datas) d) Dados das parcelas: (número da parcela, data da germinação, data da floração, data da maturação, doenças e pragas que ocorreram, stand, produção e outros dados relevantes)

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f) Análise de variância e conclusões: O pesquisador deverá faze uma análise

das conclusões e dar a explicação da razão do sucesso ou fracasso do experimento, dando sugestões com relação à conveniência ou não da continuação do experimento ou de sua alteração no(s) seguinte(s).

1.14. EXIGÊNCIAS DE UM BOM EXPERIMENTO As exigências de um bom experimento são:

a) Que não apresente erros sistemáticos; b) Que seja suficientemente preciso a ponto de permitir ao pesquisador retirar

conclusões convincentes do experimento. c) Que seja realizado em uma ampla variação de condições para permitir que as

conclusões do experimento apresentem amplitude de validade. d) Que o experimento seja simples na sua execução e análise. e) Que permita ao pesquisador calcular a incerteza nas estimativas das

diferenças entre tratamentos.

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2. TESTES DE SIGNIFICÂNCIA E DE COMPARAÇÕES DE MÉDIAS

2.1. Introdução

Um dos principais objetivos

da Estatística

é a

tomada de

decisão

a respeito da

população

co

m

ba

se

n

a

Ob

se

rva

ção

de

am

ostr

as

Ao tentarmos tomar decisão, é conveniente a formulação de hipóteses relativas às populações – denominadas de hipóteses estatísticas Hipóteses estatísticas – são suposições acerca dos parâmetros de uma ou mais populações, ou considerações a respeito das distribuições de probabilidade das populações. Freqüentemente, formulamos uma estatística com o objetivo de rejeitá-la ou invalidá-la. Ex.: Um experimento de competição de cultivares de alface

CU

LT

1

CU

LT

2

CU

LT

3

... CU

LT

9

CU

LT

10

Hipótese da nulidade (H0) H. Estatística Hipótese alternativa (H1) H0: não há diferença entre as produções das cultivares testadas, ou que, as

cultivares apresentam efeitos semelhantes sobre a produção (1 = 2 =

... 10), ou a variância entre as produções das cultivares comparadas é nula

( 2

T = 0). .

H1: há diferença entre as produções das cultivares testadas, ou que, as cultivares

apresentam efeitos diferentes sobre a produção ( i j para pelo menos um

i j), ou variâncias entre as produções das cultivares comparadas não é nula

( 2

T 0).

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Os processos que nos permitem decidir se aceitamos ou rejeitamos uma determinada hipótese estatística, ou se a amostra observada difere significativamente dos valores esperados são denominados de testes de hipóteses ou testes de significância.

Porém, ao tomarmos a decisão de rejeitar ou aceitar uma hipótese, estamos sujeitos a incorrer em um dos erros:

Erro do tipo I – é o erro que cometemos ao rejeitar uma hipótese verdadeira, que deveria ser aceita. Erro do tipo II – é o erro que cometemos ao aceitar uma hipótese falsa, que deveria

ser rejeitada.

Realidade

Decisão _________________________________ Rejeição H0 Aceitação H0

H0 Verdadeiro

Erro tipo I

()

Decisão correta

(γ = 1- ) H0 Falso

Decisão correta

(Poder: 1- )

Erro tipo II

()

Este dois tipos de erro estão associados de tal forma que, se diminuímos a probabilidade de ocorrência de um deles, automaticamente, aumentamos a probabilidade de ocorrência do outro.

Em Estatística, de um modo geral, controlamos apenas o erro do tipo I, por meio do nível de significância do teste, representado por α e que consiste na probabilidade máxima com que nos sujeitamos a correr o risco de cometer um erro tipo I ao rejeitar uma determinada hipótese.

Na prática, é comum (embora não seja obrigatório) fixarmos o nível de

significância em 5% ( = 0,05) ou em 1% ( = 0,01).

Se, por exemplo, for escolhido o nível de 5% ( = 0,05), isso significa que teremos 5 possibilidades em 100 de que rejeitemos H0 quando ela deveria ser aceita, ou seja, existe uma confiança de 95% de que tenhamos tomado uma

decisão correta.

A confiança que temos de ter tomado uma decisão correta ao aceitar a hipótese

verdadeira é denominada grau de confiança do teste e é representada por 1- ,

expressa em percentagem.

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Nível de significância – ()

Grau de confiança – (γ) = 1 –

Ex.: Tipos de adubos na produção de hortaliças = 5%

= 0,05: existe 5% de probabilidade de estarmos errando ao rejeitar H0 e da diferença entre os efeitos dos adubos ser casual.

1 – = 0,95: existe 95% de probabilidade de que tomamos uma decisão correta ao rejeitar H0, e da diferença entre os efeitos dos adubos não ser casual, mas sim porque um adubo é melhor que outro.

2.2. Teste F para a análise de variância

O Teste “F”, obtido por Snedecor, tem por finalidade comparar estimativas de variâncias.

Na Anova, as estimativas de variâncias são dadas pelos quadrados médios (Q.M.), obtendo-se um para cada causa de variação. Então para o DBC temos: Q.M. Tratamentos, Q.M. Blocos e Q.M. Resíduo. Então:

Q.M. Tratamentos Q.M. Blocos FTRAT = -------------------------- FBLOCOS = --------------------- Q.M. Resíduo Q.M. Resíduo Para tratamentos, as hipóteses H0 e H1 podem ser representadas por:

H0 : 2

T = 0 e H1 = 2

T ≠ 0. Mas,

Q.M.Resíduo – estima a variação do acaso = 2 ; e

Q.M. Tratamentos – estima a variação do acaso mais a variação causada pelos

efeitos de tratamentos = 2 + r 2

T , em que r é o número de repetições dos

tratamentos.

Q.M. Tratamentos σ2 + r 2

T

Logo: FTRAT = -------------------------- = --------------------- Q.M. Resíduo σ2

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30

Calculado o valor de F, buscamos nas tabelas da distribuição de F (geralmente nos níveis de 5% e 1%) os valores críticos ou limites (F tabela), em função do número graus de liberdade de Tratamentos (ou Blocos, ... ) – na horizontal, e do número de graus de liberdade do Resíduo – na vertical.

O valor critico de F obtido na tabela nos indica o valor máximo que a razão de variâncias (F calculado) poderá assumir devido apenas a flutuações amostrais.

Comparando então F calculado com F da tabela:

a) Se F calculado ≥ F tabela, o teste é significativo no nível testado (α). Então, devemos rejeitar H0.

b) Se F calculado < F tabela, o teste não é significativo no nível testado. Então,

não devemos rejeitar H0. VEJA GRÁFICO ELEIDE

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31

2.2.1. Aplicação do teste F Exemplo 1. Num experimento de competição de cultivares de cana-de-açúcar,

foram utilizados 5 tratamentos e 4 repetições, no delineamento em blocos casualizados. Os blocos controlavam diferenças de fertilidade do solo entre terraços. As cultivares de cana-de-açúcar (tratamentos) testadas foram: 1) Co 413 2) CB 40/19 3) CB 40/69 4) CB 41/70 5) CB 41/76.

Para a produção de cana-de-açúcar (variável analisada), em t ha-1, foram obtidas as seguintes somas de quadrados, para análise de variância: S.Q. Tratamentos = 3.978,88 S.Q. Blocos = 1.266,05 S.Q. Total = 8.678,29 As hipóteses que desejamos testar são: a) Para Tratamentos:

H0: As cultivares de cana-de-açúcar comparadas não diferem quanto à

produção de cana-de-açúcar (ou 2

T = 0).

. H1: As cultivares de cana-de-açúcar comparadas apresentam diferença

quanto à produção de cana-de-açúcar (ou 2

T 0).

b) Para Blocos: H0: As diferenças de fertilidade do solo entre os terraços (blocos) apresentam

efeitos semelhantes sobre a produção de cana-de-açúcar (ou 2

B = 0).

. H1: As diferenças de fertilidade do solo entre os terraços (blocos) apresentam

efeitos diferentes sobre a produção de cana-de-açúcar (ou 2

B 0).

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Para testar estas hipóteses, deve-se realizar a análise de variância que se encontra no Quadro a seguir.

Quadro da análise de variância do experimento

CAUSA DE VARIAÇÃO G.L. S.Q. Q.M. F

Tratamentos 4 3.978,88 994,72 3,48 *

Blocos 3 1.266,05 442,02 1,48 ns

Resíduo 12 3.433,36 286,11

Total 19 8.678,29

Valores de F da tabela: - Tratamentos – 4 x 12 g.l.: {5% = 3,26 1% = 5,41} - Blocos – 3 x 12 g.l.: {5% = 3,49 1% = 5,95} Decisão:

a) Tratamentos: F calculado > F da tabela a 5% e menor que F da tabela a 1%. O

teste é significativo no nível de 5% de probabilidade. Rejeita-se H0. b) Blocos: F calculado < F da tabela a 5%. O teste não é significativo no nível de 5% de probabilidade. Aceita-se H0.

Conclusões: a) Tratamentos: Que as cultivares de cana-de-açúcar comparadas (pelo menos duas delas) possuem efeitos diferentes quanto à produção de cana-de- açúcar. b) Blocos: As diferenças de fertilidade do solo entre os terraços (blocos) possuem efeitos semelhantes (não influem) sobre a produção de cana-de-açúcar.

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33

2.3. Contrastes

O teste F significativo, para mais que dois tratamentos, nos permitem, apenas, tirar conclusões muito gerais com relação ao comportamento dos tratamentos, indicando que entre eles existem efeitos diferentes sobre a variável analisada, nada nos informando sobre quais os melhores (ou piores) tratamentos. Para verificar quais os melhores (ou piores) tratamentos, uma das maneiras é a utilização dos procedimentos para comparações múltiplas ou testes de comparações de médias dos tratamentos. Antes de adentrarmos nestes testes, precisamos entender alguns conceitos. Contraste (C) é uma função linear de totais de tratamentos ou de médias da forma

C = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn = .)yc(1

ii

n

i

2.3.1. Contraste de médias - Y

Se o valor esperado ou média de yi é E(yi) = µi então o valor esperado ou média de C é Y = c1µ1 + c2µ2 + ... + cIµI será um contraste se, e só se: c1 + c2 + ... + cI = 0

ou i

1

c

I

i

= 0, por exemplo: Y = µ1 + µ2 + µ3 – 3 µ4 é um contraste, pois tem-se:

c1 = 1; c2 = 1; e c3 =1 e c4 = - 3, logo, c1 + c2 + c3 + c4 = 1 + 1 + 1 + (-3) = 0.

2.3.2. Estimativa do contraste (^

Y )

Num experimento, não se conhece as médias verdadeiras dos tratamentos, de forma que o verdadeiro valor do contraste (Y), não pode ser calculado. No entanto,

como se conhece as estimativas das médias dos tratamentos ( im̂ ), pode-se assim,

obter a estimativa do contraste (^

Y ).

Uma estimativa para o contraste do exemplo acima é dada por:

4321

^

m̂3m̂m̂m̂ Y , com i

1

c

I

i

= 0.

Page 34: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

34

O contraste pode ser:

Simples: quando envolve apenas duas médias; e

21

^

1m̂m̂ Y

Múltiplo: quando mais de duas médias estão envolvidas.

321

^

1m̂2m̂m̂ Y

2.3.3. Estimativa da variância da estimativa do contraste - ^

V (^

Y )

Sendo a estimativa de um contraste uma relação entre as médias estimadas dos

tratamentos ( im̂ ), ela possui uma variância. Então, num experimento, para um

contraste da forma genérica: Y = c1µ1 + c2µ2 + ... + cIµI cuja estimativa é dada por: ^

Y = c1 1m̂ + c2 2m̂ + ... + cI Im̂ no qual as médias dos tratamentos foram calculadas

com r repetições, temos:

^

V (^

Y ) = (c12 + c2

2 + ... + cI2)

r

2s, em que: s2 = Q.M. Resíduo.

2.3.4. Erro padrão do contraste - s (^

Y )

O erro padrão do contraste é a raiz quadrada positiva da estimativa da variância da estimativa do contraste, ou seja:

s (^

Y ) = )( ^^

YV .

Page 35: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

35

2.3.5. Covariância entre dois contrastes

Consideremos as duas estimativas de contraste:

II2211

^

1m̂a...m̂a m̂ a Y

e

II2211

^

2m̂b ...m̂b m̂ b Y

Nas quais, as médias foram estimadas com r1, r2, ..., rI repetições, respectivamente. A estimativa de covariância entre essas duas estimativas de contrastes é definida por:

2

i

ii

1

2

I

I

II2

2

2

222

1

1

11^

2

^

1s

r

bas

r

ba...s

r

bas

r

ba),CÔV(

I

i

YY

Freqüentemente, temos s12 = s2

2 = ... = sI2 = s2;

2

I

II

2

22

1

11^

2

^

1s )

r

ba...

r

ba

r

ba(),CÔV( YY

Nas análises de variância de delineamentos balanceados, todas as médias possuem o mesmo número de repetições, r, e, portanto:

)b a...b ab a(),CÔV( II2211

^

2

^

1YY

r

2s=

r

I

i

2

II

1

sba

que é o caso mais freqüente.

Page 36: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

36

2.3.6. Contrastes ortogonais

A ortogonalidade entre dois contrastes traduz uma independência entre eles, isto é, a variação de um é completamente independente da variação do outro. Dois contrastes são ortogonais quando a soma algébrica dos produtos dos coeficientes das médias correspondentes é nula (para médias calculadas com mesmo número de repetições), ou seja, se a covariância entre eles for nula. Assim, a condição de ortogonalidade é dada por:

2

I

I

II2

2

2

222

1

1

11 sr

ba...s

r

bas

r

ba = 0, ou seja,

r

I

i

2

II

1

sba

= 0

Se admitirmos a mesma variância para todas as médias, a condição de ortogonalidade será:

II2211 b a...b ab a = 0, ou seja, II

1

ba

I

i

= 0 .

Consideremos os seguintes contrastes: Y1 = m1 – m2 + 0m3 Y2 = m1 + m2 – 2m3. Assim, temos:

Y1 1 -1 0 Y2 1 1 -2

II

3

1

bai

= 1 + (-1) + (0) = 0

Portanto, Y1 e Y2 são ortogonais entre si. Observações:

1. Três ou mais contrastes serão ortogonais entre si se eles forem ortogonais dois a dois;

2. Do ponto de vista prático, se dois ou mais contrastes são ortogonais entre si, isso indica que as comparações neles feitas são comparações independentes;

3. Num experimento qualquer, o número máximo de contrastes ortogonais que podemos obter é igual ao número de graus de liberdade de tratamentos desse experimento.

Page 37: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

37

A escolha de contrastes para um estudo não deve ser ditado por sua ortogonalidade para apresentar uma bela tabela de análise de variância ordenada. Antes, os contrastes devem ser construídos para responder questão especificas de pesquisa. As hipóteses de pesquisa e o delineamento de tratamentos devem ditar a construção dos contrastes.

2.4. Taxas de erro para procedimentos de comparação de médias No contexto dos procedimentos de comparação de médias, o erro do tipo I ocorreria por julgar um par de médias significantemente diferente quando na realidade as médias são semelhantes. O erro do tipo II ocorreria quando o par de médias é realmente diferente, mas, não detectado como sendo diferente. Para o erro tipo I, nos procedimentos de comparações múltiplas, entre outras, existem duas formas de medir este erro. A primeira refere-se à avaliação da probabilidade de se rejeitar uma hipótese verdadeira em todas possíveis combinações dos níveis dos tratamentos tomados dois a dois, sendo conhecida por taxa de erro tipo I por comparação (comparisonwise ou per-comparison error rate). A segunda forma é a medida do erro tipo I como a probabilidade de se realizar pelo menos uma inferência errada por experimento e é conhecida por taxa de erro tipo I por experimento (experimentwise error rate). O terceiro tipo de erro ao se realizar uma inferência, conhecido como erro tipo III, refere-se à probabilidade de classificar um nível de tratamento como superior ao outro, quando de fato o segundo nível supera o primeiro. Esse tipo de erro, embora quase nunca seja considerado, é muito importante para os melhoristas, pois pode alterar a classificação dos genótipos e, em conseqüência, recomendar uma linhagem ou cultivar de pior desempenho. Deve-se ter sempre em mente que os erros tipo I e II são inversamente correlacionados (quando um diminui o outro aumenta) e que o experimentador tem controle apenas do erro tipo I, por meio da fixação do nível α. O bom senso deve prevalecer à luz das conseqüências da tomada de decisões erradas. Para reduzir ambas taxas a valores baixos, geralmente necessita-se de tamanhos de amostras muito grande (repetições). Assim, buscam-se procedimentos que dar algum balanço entre as taxas de erro tipo I e II, a não ser que um dos erros seja mais importante do que o outro. As dificuldades com as comparações múltiplas residem principalmente no entendimento das taxas de erros associadas com o teste de hipóteses múltiplas. Os testes têm os riscos associados com decisões para rejeitar ou não a hipótese. Para qualquer contraste entre médias o risco associado em declarar o contraste real quando não é, é o risco do erro tipo I, enquanto que o risco de declarar o contraste entre médias populacionais ser igual a zero quando não é, é o do erro tipo II. O nível de significância escolhido para testar a hipótese determina o risco do erro tipo I. Tamanho de amostra, variância e tamanho para as médias da população verdadeira determina a taxa do erro do tipo II para uma dada taxa de erro tipo I.

Page 38: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

38

Considere primeiro a probabilidade dos erros tipo I. Um simples teste para diferença entre duas médias de tratamentos é o t de Student com a estatística calculada como:

to

rrs

ji

yy

1

1

2

ji

O nível de significância ou probabilidade do erro tipo I para um simples teste é uma taxa de erro por comparação αc. É o risco que se corre por tomar uma simples comparação. Há p(p -1)/2 comparações duas a duas entre as p médias de tratamentos. Por exemplo, se há quatro tratamentos (A, B, C, D) há 4(3)/2=6 possíveis pares; (A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D) e (C,D). Se os seis pares de médias são testados com a estatística to da equação acima, há a possibilidade de cometer 0, 1, 2, 3, 4, 5, ou 6

erros do tipo I, se as seis médias populacionais são todas semelhantes. Com a possibilidade de até seis erros do tipo I para seis testes, pode-se usar outra forma de erro tipo I baseado nos riscos acumulados associados com a família dos testes sob consideração. A família é o conjunto de comparações duas a duas, para exemplo, no parágrafo anterior. Os riscos acumulados associados com uma família de comparações é a taxa de erro tipo I por experimento αe. É o risco de cometer pelo menos um erro tipo I entre as famílias de comparações no experimento. A taxa de erro tipo I por experimento pode ser avaliada por uma família de testes independentes. Contudo, todos os testes para duas médias, usando a formula do teste to não são independentes, desde que a variância s2 no denominador de cada Estatística to seja a mesma, e o numerador de cada teste contenha as mesmas médias como várias das outras estatísticas to.

2.4.1. Avaliando as taxas máximas de erro

Embora o conjunto de testes na família apenas descritos não seja independente, o limite superior para o valor da taxa de erro tipo I por experimento pode ser avaliada por assumir testes independentes. Suponha que as hipóteses de nulidade sejam verdadeiras para n testes independentes. A probabilidade de um erro tipo I para qualquer teste simples é αc (taxa por comparação) com (1- αc) a probabilidade de uma decisão. A probabilidade de cometer x erros do tipo I é dada pela distribuição binomial:

P(x) = x-n

c

x

c )1( x)!-(n x!

n! para x = 0, 1, 2, ..., n erros do tipo I. A

probabilidade de cometer nenhum tipo de erro tipo I é: P(x=0) = (1 - αc)n.

A probabilidade de se cometer pelo menos um erro do tipo I (x = 1, 2, 3, ..., n) é

Page 39: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

39

P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) ou αe = 1 – (1 - αc)n.

A probabilidade αe é o risco de se cometer pelo menos um erro do tipo I entre as n

independentes comparações. É o limite superior da taxa de erro do tipo I por experimento para n testes entre um conjunto de médias de tratamentos. A equação: αc = 1 – (1 – αe)

1/n expressa a taxa de erro tipo I por comparação como uma função da taxa de erro do tipo I por experimento. A relação entre as duas taxas de erro do tipo I para alguns valores selecionados de n é apresentada na Tabela a seguir. Se cada um dos testes é conduzido com uma taxa de erro por comparação de αc = 0,05 o risco de pelo menos um erro do tipo I subir quando o número de testes aumenta. Quando n=1, o teste é conduzido para ambos os erros do tipo I que são idênticos como eles deviam ser desde que apenas um erro do tipo I possa ser cometido. Quando n=5, a probabilidade de risco de pelo menos um erro do tipo I entre as cinco decisões tem subido a αe = 0,226 e com n = 10 o risco sobe a probabilidade de 0,401 de cometer pelo menos um erro tipo I. A última coluna da Tabela 1 dar uma indicação da taxa de erro do tipo I por comparação requerida para manter uma taxa de erro do tipo I por experimento de αe = 0,05. Por exemplo, quando cinco testes são conduzidos e se deseja manter o risco de cometer pelo menos um erro do tipo I tanto baixo quanto 1 em 20 chances, a taxa de erro por comparação para cada n = 5 testes deve ser αc = 0,01 e para n = 10 testes deve ser αc = 0,005. Tabela 1. Relação entre αc e αe para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 15, 20 ou 25 testes independentes

N αe quando αc = 0,05 αc quando αe = 0,05

1 0,0500 0,0500 2 0,0975 0,0253 3 0,1426 0,0169 4 0,1855 0,0127 5 0,2262 0,0102 6 0,2649 0,0085 7 0,3017 0,0073 8 0,3366 0,0064 9 0,3698 0,0057

10 0,4013 0,0051 15 0,5367 0,0034 20 0,6594 0,0026 25 0,7226 0,0020

Page 40: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

40

Uma escolha apropriada da taxa de erro por comparação determina a taxa de erro de família para um grupo de declarações para assegurar simultaneamente os testes de hipóteses ou intervalos de confiança. Na equação αe = 1 – (1 - αc)

n evidencia-se o relacionamento para os intervalos de confiança ou testes de hipóteses independentes. O relacionamento é baseado na desigualdade de Bonferroni que declara que a taxa de erro da família é menor do que ou igual a soma das taxas de erro de comparação individual. Quando n testes são conduzidos na mesma taxa de erro por comparação αc, a desigualdade de Bonferroni expressa o seguinte relacionamento: αe ≤ n αc. A igualdade do relacionamento mantém-se quando os testes são independentes. A taxa de erro por comparação para a estatística teste é determinada por dividir a taxa de erro máxima da família desejada pelo número de testes simultâneos, αc ≤ αe/n. Por exemplo, com três testes para um determinado experimento, uma taxa de erro da família de αe = 0,05 requer uma taxa de erro por comparação de αc ≤ 0,05/3 = 0,017. 2.5. Procedimentos para comparação de médias Quando o teste F na Anova não confirma diferenças significativas entre as médias dos tratamentos, o experimento simplesmente não fornece evidencia suficiente para confirmar as diferenças entre os tratamentos. Assim, sem informação adicional, um teste não significativo leva o pesquisador a uma conclusão geral de que os valores médios são essencialmente semelhantes. De um ponto de vista prático, nenhuma inferência adicional a respeito das médias de tratamentos pode ser ordinariamente feita. Por outro lado, quando se observa um teste F da Anova significativo, se aceita a hipótese de que existem diferenças significativas entre as médias dos tratamentos, porém, ela não indica onde se encontram as diferenças. Assim, para se obter essa informação é necessária alguma espécie de análise pós-Anova. Segundo Neter & Wasserman (1974) há algumas alternativas considerando a análise para modelos fixos:

a) A decomposição da soma de quadrados de tratamentos para testes de hipóteses de interesse;

b) Comparação direta dos efeitos níveis dos fatores usando técnicas de estimação.

Page 41: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

41

No primeiro caso, a decomposição da soma de quadrados de tratamento é feita em situações em que os tratamentos possuam uma estrutura que possibilite a realização da partição das somas de quadrados. Isso é muito comum no melhoramento de plantas quando são utilizados delineamentos especiais, tais como os cruzamentos dialélicos. Essa partição é efetuada também quando os tratamentos envolvem níveis quantitativos e a sua decomposição é realizada por meio de regressão. A segunda opção corresponde ao emprego de testes apropriados para as comparações das médias dos tratamentos tomados par a par ou no caso de comparações por meio de contrastes pré-estabelecidos. Uma das categorias dos procedimentos de comparação de médias consiste de testes de comparações múltiplas (TCM) e de testes de amplitudes múltiplas (TAM). Estes dois procedimentos são designados para julgar as significâncias entre todas as diferenças entre os pares de médias. Os testes de comparações múltiplas de médias usam um simples valor crítico enquanto que os testes de amplitudes múltiplas usam dois ou mais valores críticos. O teste t e o teste de Tukey são dois procedimentos de comparação múltipla usados para comparar as médias. O teste SNK e o de Duncan são dois procedimentos de amplitudes múltiplas usados para comparar médias. Outra categoria de procedimentos de comparação de médias usa apenas as comparações pareadas envolvendo um controle. Um dos testes pertencente a esta categoria é o teste de Dunnett. 2.5.1. Teste “t” de Student ou Diferença Mínima Significativa (DMS)

O teste t de Student serve para testar médias de dois tratamentos ou médias de dois grupos de tratamentos (caso em que o contraste tem mais de duas médias envolvidas). Para sua aplicação correta, devemos considerar os seguintes requisitos básicos: ­ Os contrastes a serem testados devem ser estabelecidos antes de obtidos os

dados experimentais (não devem ser feitas comparações sugeridas pelos dados). ­ Os contrastes a serem testados devem ser ortogonais entre si. ­ As comparações feitas devem ser no máximo, iguais ao número de grãos de

liberdade de tratamentos.

Quando aplicamos o teste t a um contraste qualquer, estamos interessados em verificar se a estimativa do contraste difere ou não de zero (valor de H0 se fosse verdadeira).

Page 42: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

42

Então, testamos H0: Y = 0 vs H1: Y ≠ 0. A estatística teste é dada por:

)S(

0 t

^

^

Y

Y

Embora não seja muito freqüente, às vezes existe interesse em comparar a estimativa do contraste com um valor arbitrário. A estatística teste é dada por:

Em ambos os casos, o valor de t calculado deve ser comparado com os valores de t tabelados, para verificar a significância do teste. O critério do teste é o seguinte:

a) Se ct ≥ tt, o teste é significativo ao nível α de probabilidade considerado. Neste

caso, rejeita-se H0.

b) Se ct < tt, o teste é não significativo ao nível α de probabilidade considerado.

Neste caso, aceita-se H0.

O teste t quando aplicado a vários contrastes de duas médias em um mesmo experimento, ele não é exato, porque se o nível de significância for α para cada contraste a probabilidade (PC) de que um pelo menos de n contrastes ortogonais seja significativo, é de nα. Então:

PC = n n número de contrastes

= nível de significância

Para qualquer conjunto de k médias, o procedimento da DMS consiste de fazer testes t ordinários de todas as diferenças dos pares advindo de k(k-1)/2. As diferenças pareadas são comparações da forma µi - µh em um DIC. Para este delineamento então, a DMS testaria Ho: µi = µh individualmente para todos os i e h, com i ≠ h.

A DMS de Fischer é um procedimento que é usado apenas quando o teste F da Anova básica aponta para diferenças significativas entre as médias. Esta insistência fornece um melhor controle da taxa de erro. O termo ‘DMS protegida’ é algumas vezes usado neste procedimento. Uma ‘DMS desprotegida’ não requer um teste da Anova de igualdade de médias de tratamentos; isto é, uma ‘DMS desprotegida’ seria usada se ou não o teste da Anova indicasse diferenças significativas para tratamentos. Por isso, a DMS não recomendada quando ela for desprotegida.

Page 43: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

43

Devido os testes t de todas as hipóteses possíveis em Ho: µi = µh sejam independentes, o α usado para fornecer o valor crítico é aplicável a cada comparação individual, não a coleção inteira de comparações dentro de qualquer um experimento.

O procedimento da DMS tem uma taxa de erro por comparação αc= α sobre

todas as repetições dos experimentos. Para um simples experimento, um limite superior para a taxa de erro composta é dado por αp = 1 – (1 - αc)

n com n = k(k-1)/2. Os valores da Tabela 1 indicam que a taxa de erro composta aumenta rapidamente quando o número de testes aumenta.

Para testar a Ho: µi = µh contra H1: µi ≠ µh, a DMS tem a seguinte forma:

DMS = tv, α * sd,

onde tv, α representa o valor tabelado do teste t, para um dado número de graus de liberdade do resíduo v e um nível de probabilidade α. O sd é a raiz quadrada da variância da diferença entre duas médias. No caso de um experimento em que todos os tratamentos tem o mesmo número de repetições, sd é dado por:

sd =r

QMRes *2,

onde QMRes representa o quadrado médio do resíduo e r o número de

repetições. Outra expressão mais conveniente para a equação da DMS acima é dada por ter os valores tabulares da distribuição t relacionados a outra coleção de valores tabulares, chamada de valores de amplitude estudentizada, da seguinte maneira:

tv,α = q (2, α,v)/ 2 , q (2, α,v),

onde q (2,α,v) é o valor da amplitude estudentizada de ordem 2 (Tabela anexa), α o nível de significância e v o número de graus de liberdade. Assim, a DMS pode

ser reescrita da seguinte forma:

DMS = q (2, α,v)/ 2 * r

QMRes *2

onde q (2,α,v) é o valor da amplitude estudentizada de ordem 2 (Tabela anexa), α a taxa de erro por comparação e v o número de graus de liberdade.

Page 44: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

44

Se as médias, sendo comparadas, apresentam número de repetições diferentes, a fórmula adequada é dada por:

sd =

rr 21

1

1 QMRes ,

onde r1 e r2 representam estes números de repetições. 2.5.2. Aplicação do teste t Vamos utilizar os dados do exemplo do teste F, considerando-se que as médias das 4 repetições de cada tratamento foram:

1m̂ = 100,2 t/ha

2m̂ = 137,2 t/ha

3m̂ = 139,7 t/ha s2 = QMRes = 286,1137

4m̂ = 129,8 t/ha r = 4

5m̂ = 124,6 t/ha G.L.Res = 12

Supondo que se deseja testar o contraste: 54321

^

m̂m̂m̂m̂m̂4 Y que

corresponde a verificar se a média da cultivar Co 413 difere da média das cultivares CBs, temos as seguintes hipóteses:

H0: 1m̂ = 4

m̂m̂mm̂ 5432 vs H1: 1m̂ ≠

4

m̂m̂mm̂ 5432

ou: H0: Y = 0 vs H1: Y ≠ 0

^

Y = 4(100,2) – 137,2 – 139,7 – 129,8 – 124,6

^

Y = - 130,5 t/ha

^

V (^

Y ) = [42 + (-1)2 + (-1)2 + (-1)2 + (-1)2] 4

286,1137 = 1430,55

s (^

Y ) = 1430,55 = 37,8 t/ha.

Page 45: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

45

)S(

0 t

^

^

c

Y

Y =

37,8

5,130 = - 3,45 **

tt (12 g.l., α = 0,05) = 2,18. tt (12 g.l., α = 0,01) = 3,06.

Como ct > tt, concluímos que o contraste é significativo ao nível de 1% de

probabilidade. As hipóteses, neste caso são: H0: Y = 0 vs H1: Y ≠ 0, então rejeitamos H0 em favor de H1.

A média de produção da variedade Co ( 1m̂ ) difere da média das cultivares do CB

(4

m̂m̂mm̂ 5432 ).

Pelos resultados, verificamos que o grupo CB é melhor que a variedade Co, produzindo, em média, 32,6 t/ha a mais. O cálculo da DMS para comparação das médias duas a duas é:

DMS = tα,GLE *r

QMRes *2 = 2,18 *

4

286,1137 *2= 2,18 * 11,96 = 26,1

DMS = q (2, α,v)/ 2 * r

QMRes *2= 3,08 / 2 *

4

286,1137 *2= 3,08* 11,96/ 2 = 26,1

CB 40/69 3m̂ = 139,7 a PC = n = k(k-1)/2 * = 5(5-1)/2 * 0,05 = 0,5

CB 40/19 2m̂ = 137,2 a

CB 41/70 4m̂ = 129,8 a s2 = QMRes = 286,1137

CB 41/76 5m̂ = 124,6 ab r = 4

Co 413 1m̂ = 100,2 b G.L.Res = 12

Os tratamentos 3, 2, 4 e 5 devem ser considerados não diferentes entre si e os tratamentos 3, 2 e 4 diferentes do tratamento 1. Esta informação foi obtida com uma probabilidade de 0,5. Por isso, não se recomenda o uso do teste t para todos os contrastes de médias duas a duas em um experimento.

Page 46: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

46

2.5.3. Teste de Tukey ( ) ou Método da DHS (Diferença Honestamente Significante)

Serve para testar qualquer contraste entre duas médias de tratamentos.

O número de contrastes que podem ser testados consiste no número de combinações das duas médias, duas a duas.

O teste é exato quando as duas médias do contraste têm mesmo número de repetições.

É considerado um dos testes mais conservadores para a comparação de médias por manter constante seu erro tipo I, não importando o número de médias que estão sendo testadas.

Por ser um teste rigoroso, geralmente, é aplicado apenas no nível de 5% de probabilidade.

Atualmente, o teste de Tukey é o teste mais utilizado para comparações das médias de um experimento.

Baseado na amplitude total estudentizada (q). Foi desenvolvido por J. W. Tukey. Ele acreditava que o procedimento da DMS era bastante liberal e deveria ser modificado por usar um valor de amplitude estudentizada de ordem k igual ao número de médias sendo comparadas, mais exatamente de ordem 2 que a DMS usa. Basicamente isto implica que a DMS assume todos os pares de médias são adjacentes enquanto o procedimento de Tukey assume que cada par de média ocorre no final da posição do arranjo ordenado. Esta pressuposição de extrema ordenação demanda uma maior diferença crítica e leva a um procedimento mais conservador do que a DMS. Por esta razão alguns pesquisadores têm rotulado o método de Tukey como Diferença Honestamente Significante ou método da DHS.

O valor da amplitude total estudentizada é dado pela seguinte expressão:

qI,v = s

)Min()Max(

yyii

A Tabela (2A) em anexo apresenta os valores de q para diferentes valores de I (número de tratamentos) e v (número de graus de liberdade do resíduo), ao

nível de 5% de probabilidade. Por exemplo, um experimento com I = 5, v = 12 e α = 0,05, o valor de q é igual a 4,51. Isso indica que a chance de se obter, em um outro experimento semelhante sob Ho uma amplitude padronizada igual ou superior a 4,51, é de 5%.

O método de Tukey tem uma taxa de erro por experimento de tamanho α, o valor usado para obter o ponto da tabela. Assim, se α = 0,05 é usado na obtenção do valor da amplitude estudentizada, o pesquisador cometeria decisões erradas em 5% dos experimentos (de um dado conjunto de pesquisa). Apresenta a seguinte forma de cálculo:

DHS ou r

QMRes q

v,k, = )(

2

1

^

v,k,q DV

,

Page 47: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

47

onde qk,v,α é o valor da amplitude total estudentizada de ordem k, o número de médias sendo comparadas; α é a taxa de erro por experimento do método de Tukey (Anexo) e v é o número de graus de liberdade do resíduo; QMRes é o

quadrado médio do resíduo e r é numero de repetições; )(^

DV é a variância do

contraste entre duas médias. Em outras palavras, a DHS é igual à constante multiplicada pela raiz quadrada da metade da variância do contraste entre duas médias. Para delineamentos desbalanceados, é satisfatório em muitas situações tomar como aproximação do teste o número médio de repetições das médias dos níveis de tratamento. A melhor forma é tomar a média harmônica do número de repetições ri, por:

rh

ri1

11

1

t

it

O teste de Tukey tem por objetivo de controlar a taxa de erro por experimento (experimentwise), sendo bastante conservador com relação à taxa de erro por comparação (comparisonwise). É conveniente salientar que o teste de Tukey serve para realizar todas as comparações par a par que o pesquisador tiver interesse, mesmo aquelas sugeridas pelos dados experimentais (data snooping). Para a aplicação do teste de Tukey: a) Calcular a diferença mínima significativa, representada por ( ); b) Calcular as estimativas dos contrastes de duas médias;

c) Comparar cada estimativa de contraste, em valor absoluto com a diferença mínima significativa ( ); d) Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste.

2.5.4. Aplicação do teste Tukey Consideremos os dados do exemplo do teste F e do teste t de Student. Em ordem decrescente (apenas para facilitar a aplicação do teste), as médias dos tratamentos são:

CB 40/69 3m̂ = 139,7 s2 = QMRes = 286,1137

CB 40/19 2m̂ = 137,2 k = 5 tratamentos

CB 41/70 4m̂ = 129,8 r = 4

CB 41/76 5m̂ = 124,6 q = valor da tabela para 5 tratamentos e 12 GLRes

Co 413 1m̂ = 100,2 ao nível α= 5% = 4,51.

Page 48: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

48

* Cálculo da diferença mínima significativa:

r

QMRes q

v,k, = 4,51*

4

286,1137 = 4,51* 8,46 = 38,1 t/ha

* Cálculo das estimativas dos contrastes de duas médias, comparação com o valor absoluto da DHS e indicar a significância do no valor das estimativas dos 10 contrastes de duas médias:

CB 40/69 3m̂ = 139,7 a

CB 40/19 2m̂ = 137,2 ab

CB 41/70 4m̂ = 129,8 ab

CB 41/76 5m̂ = 124,6 ab

Co 413 1m̂ = 100,2 b

O teste de Tukey só acusou diferença significativa entre as médias 3m̂ e 1m̂ .

As demais médias não diferiram entre si.

2.5.5. Teste de Duncan (D)

É menos rigoroso que o teste de Tukey, mas é de aplicação mais trabalhosa. O teste exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente de valores e todas as médias possuam o mesmo número de repetições para ser exato.

Em cada contraste só se pode comparar duas médias, mas a diferença entre elas podem abranger duas ou mais médias.

Normalmente, o teste é aplicado no nível de 5% de probabilidade, e a significância do teste é representada ligando-se, por uma barra contínua, duas médias que não diferem.

Duncan apresentou este teste para comparação de médias adotando o principio de múltiplas amplitudes, isto é, existem tantos valores de diferença mínima quantas forem as médias menos 1, e estes valores são tanto maiores quanto mais médias estiverem envolvidas na comparação. Este critério implica que, ao se compararem duas médias quaisquer, devem ser consideradas não apenas aquelas médias, mas também todas as demais que se situarem entre elas, isto é, ao se comparar a primeira média com a quarta, deve-se considerar que a comparação envolve quatro médias, pois a segunda e a terceira médias se localizam entre elas.

Page 49: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

49

Tem as mesmas características que o teste de Tukey no que se refere às pressuposições exigidas para sua aplicação. Ele usa como fundamento a amplitude estudentizada. No entanto, como principal diferença do teste anterior, para cada contraste, o nível de significância é alterado em função do número de médias (p) abrangidas pelo contraste efetuado. Por esta razão, somente os contrastes entre médias ordenadas são considerados neste teste.

Se um contraste é realizado entre a maior e menor média, o número de médias abrangidas é p=n. Se o contraste é realizado entre a maior e a segunda menor, ou entre a segunda maior e a menor, então p = n-1, e assim por diante. Dessa forma, o nível de significância proposto por Duncan é:

αp = 1 – (1 – α)p-1 (2 ≤ p ≤ n) Para este nível de significância de Duncan, verifica-se que αp ≥ α, sendo que a igualdade se verifica apenas para p=2. O nível de significância (αp) proposto por Duncan pretende fornecer uma proteção separada para cada comparação par a par, ao nível nominal de significância α, ou seja, o teste controla a taxa de erro por comparação, mas não controla a taxa de erro por experimento.

A forma do teste de Duncan (denominado de amplitude total mínima significativa) (Dp) é:

Dp = z(p, v, αp) = )( 2

1 ^

DV = z(p, v, αp) r

QMRes ,

onde z é o valor da amplitude estudentizada e os outros termos já foram especificados anteriormente. Tabelas apropriadas para o valor de z são encontradas no Anexo (3A).

Para a aplicação do teste de Duncan, advindo de um experimento com p tratamentos, cujas médias foram todas calculadas com r repetições, tem-se:

a) Colocar as p médias dos tratamentos em ordem decrescente;

b) Calcular a estimativa do contraste: menormaior

^

m̂ m̂ pY (abrange p médias);

c) Calcular o valor da amplitude total mínima significativa;

d) Comparar ^

pY com Dp;

e) Repetir os b, c e d, até o último contraste. No caso de serem diferentes os números de repetições dos tratamentos, podemos usar procedimento semelhante ao do teste de Tukey.

Page 50: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

50

2.5.6. Aplicação do teste Duncan

Consideremos os dados do mesmo exemplo paro teste de Tukey. Médias de tratamentos em ordem decrescente:

CB 40/69 3m̂ = 139,7 t/ha

CB 40/19 2m̂ = 137,2 t/ha

CB 41/70 4m̂ = 129,8 t/ha

CB 41/76 5m̂ = 124,6 t/ha

Co 413 1m̂ = 100,2 t/ha

a) Para o contraste que abrange 5 médias:

13

^

1m̂ m̂ Y = 39,5 t/ha

D5 = 3,364

286,1137 = 28,4 t/ha z5: 5 médias x 12 GLRes = 3,36 (5%).

Como ^

1Y > D5, conclui-se que 13 m̂ m̂ .

b) Para o contraste que abrange 4 médias:

53

^

2m̂ m̂ Y = 15,1 t/ha

12

^

3m̂ m̂ Y = 37,0 t/ha

D4 = 3,334

286,1137 = 28,2 t/ha z4: 4 médias x 12 GLRes = 3,33 (5%).

Como ^

2Y < D4, conclui-se que 53 m̂ =m̂ . Neste caso, deve-se unir 3m̂ e 5m̂ por

uma barra contínua, ou colocar mesma letra, e nenhuma outra comparação deve ser feita com duas médias dentro dessa barra.

Como ^

3Y > D4, conclui-se que 12 m̂ m̂ .

c) Para o contraste que abrange 3 médias:

14

^

4m̂ m̂ Y = 29,6 t/ha

Page 51: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

51

D3 = 3,234

286,1137 = 27,3 t/ha z3: 3 médias x 12 GLRes = 3,23 (5%).

Como ^

4Y > D3, conclui-se que 14 m̂ m̂ .

d) Para o contraste que abrange 2 médias:

15

^

5m̂ m̂ Y = 24,4 t/ha

D2 = 3,084

286,1137 = 26,0 t/ha z2: 2 médias x 12 GLRes = 3,08 (5%).

Como ^

5Y < D2, conclui-se que 15 m̂ m̂ . Neste caso, deve-se unir 5m̂ e 1m̂ por

uma barra continua. Representação:

CB 40/69 3m̂ = 139,7 a

CB 40/19 2m̂ = 137,2 a

CB 41/70 4m̂ = 129,8 a

CB 41/76 5m̂ = 124,6 ab

Co 413 1m̂ = 100,2 b

* Médias seguida de uma mesma letra não diferem pelo teste de Duncan (P>0,05).

* Verificou-se que houve diferenças significativa entre as médias: 3m̂ e 1m̂ ;

2m̂ e 1m̂ e 4m̂ e 1m̂

* Pelo teste de Tukey, foi detectada diferença significativa, somente, entre as

médias 3m̂ e 1m̂ .

* Verifica-se, dessa forma, que o teste de Duncan é menos rigoroso que o teste de Tukey, já que mostra como significativas diferenças que não são significativas pelo teste de Tukey.

Page 52: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

52

2.5.7. Teste de Student – Newman – Keuls ou SNK

É um teste aplicado da mesma forma que o teste de Duncan, com a diferença que, ao calcularmos a amplitude mínima significativa do teste, Dp, utilizamos os valores da tabela de Tukey, em vez de utilizarmos os valores da tabela de Duncan.

É um teste intermediário entre o teste de Tukey (mais rigoroso) e o teste de Duncan (menos rigoroso).

Compara todo e qualquer contraste entre duas médias.

Baseado em múltiplas amplitudes (várias amplitudes estudentizadas).

Este teste controla a taxa de erro por comparação, mas não controla a taxa de erro por experimento totalmente.

A técnica de aplicação do teste exige que as médias estejam ordenadas e são determinadas tantas DMS quantas são o número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste em estudo.

A DMS (Wp) para o teste de SNK se as médias forem estimadas com o mesmo número de repetições, é definida por:

Wp = r

QMRes q

v,p, = )(

2

1

^

v,p,q DV

,

A expressão é semelhante à do método de Duncan. A diferença é que o nível de significância é constante (α); contudo, o número de médias abrangidas (p) é variável. Desse modo, a tabela da amplitude estudentizada (q) é a mesma da adotada para o teste de Tukey.

Se as médias forem estimadas com diferentes números de repetições, a DMS’ (W’p) é dada por:

W’p = )( 2

1

^^

v,p,q YV

,

onde ^

Y = i'.i. m̂ m̂ , i ≠ i’.

)(^^

YV = ^

V ( i'.i. m̂ m̂ ) =

rr ii '

1

1 QMRes

Se ^

Y > Wp ou ^

Y > W’p o contraste é significativo.

Observação: Quando num conjunto de médias ordenadas a comparar, a maior não difere significativamente da menor, pelo teste SNK, não se admite diferença significativa entre médias intermediárias.

Page 53: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

53

No caso de serem diferentes os números de repetições dos tratamentos, podemos usar procedimento semelhante ao do teste de Tukey.

2.5.8. Aplicação do teste SNK

Vamos utilizar os dados do exemplo já visto para os testes anteriores.

CB 40/69 3m̂ = 139,7 t/ha

CB 40/19 2m̂ = 137,2 t/ha

CB 41/70 4m̂ = 129,8 t/ha

CB 41/76 5m̂ = 124,6 t/ha

Co 413 1m̂ = 100,2 t/ha

a) Para o contraste que abrange 5 médias:

13

^

1m̂ m̂ Y = 39,5 t/ha

W5 = 4,514

286,1137 = 38,1 t/ha q: 5 médias x 12 GLRes = 4,52 (5%).

Como ^

1Y > W5, conclui-se que 13 m̂ m̂ .

b) Para o contraste que abrange 4 médias:

53

^

2m̂ m̂ Y = 15,1 t/ha

12

^

3m̂ m̂ Y = 37,0 t/ha

W4 = 4,204

286,1137 = 35,5 t/ha q4: 4 médias x 12 GLRes = 4,20 (5%).

Como ^

2Y < W4, conclui-se que 53 m̂ =m̂ . Neste caso, deve-se unir 3m̂ e 5m̂ por

uma barra contínua, ou colocar mesma letra, e nenhuma outra comparação deve ser feita com duas médias dentro dessa barra.

Como ^

3Y > W4, conclui-se que 12 m̂ m̂ .

Page 54: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

54

c) Para o contraste que abrange 3 médias:

14

^

4m̂ m̂ Y = 29,6 t/ha

W3 = 3,774

286,1137 = 31,9 t/ha q: 3 médias x 12 GLRes = 3,77 (5%).

Como ^

4Y < W3, conclui-se que 14 m̂ m̂ .

Neste caso, deve-se unir 4m̂ a 1m̂ por uma barra, e nenhuma outra

comparação deve ser feita com duas médias dentro dessa barra. Então, não há mais nenhum contraste que possa ser testado. O resultado final do teste de Student-Newman-Keuls, para o exemplo, é apresentado a seguir, no qual as médias seguidas de uma mesma letra não diferem.

CB 40/69 3m̂ = 139,7 a

CB 40/19 2m̂ = 137,2 a

CB 41/70 4m̂ = 129,8 ab

CB 41/76 5m̂ = 124,6 ab

Co 413 1m̂ = 100,2 b

Verificamos pelo teste de Student-Newman-Keuls, que existem diferenças

significativas entre as médias: 3m̂ e 1m̂ e 2m̂ e 1m̂ .

Pelo teste de Duncant, verificamos que houve diferença significativa entre as

médias: 3m̂ e 1m̂ ; e 2m̂ e 1m̂ e entre 4m̂ e 1m̂ .

Pelo teste de Tukey, foi detectada diferença significativa, somente, entre as

médias 3m̂ e 1m̂ .

Dessa forma, confirmamos que o teste de Student-Newman-Keuls é um teste intermediário entre o teste de Tukey (mais rigoroso) e o teste de Duncan (menos rigoroso).

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55

2.5.9. Teste de Dunnett (d)

Este teste é utilizado quando as únicas comparações que interessam ao experimentador são aquelas entre um determinado tratamento padrão (geralmente o Controle ou Testemunha) e cada um dos demais tratamentos.

Assim, um experimento com I tratamentos (um dos quais o tratamento padrão) permite a aplicação do teste a (I -1) comparações. Dunnett introduziu um procedimento teste para este propósito baseado em uma taxa de erro do tipo I por experimento (αp = α).

A expressão do teste é a seguinte:

d) = td (I, , v) * sd ,

onde td (p, , v) representa o valor tabelado do teste (Anexos 5ª e 6ª, unilateral ou Anexos 7ª e 8ª, bilateral) para I tratamentos (excluído o padrão), nível de

probabilidade e número de graus de liberdade do resíduo v. Sd é a raiz quadrada da variância da diferença entre duas médias. No caso de um experimento em que todos os tratamentos têm o mesmo número de repetições, sd é dada por:

sd = r

QMRes* 2

Quando o número de repetições for diferente, então o valor do erro padrão da diferença entre a média da testemunha com ro repetições e qualquer outro tratamento com r repetições é igual a:

sd= 1

1

QMRes

rr o

.

Page 56: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

56

2.5.10. Aplicação do teste Dunnett

a) Calcular o valor do teste,dado por:

d = td * r

QMRes* 2

b) Calcular as estimativas dos contrastes:

controle1

^

1m̂ m̂ Y

controle2

^

2m̂ m̂ Y

...

controle1)-(I

^

)1(m̂ m̂

IY

c) Comparar cada estimativa de contraste, em valor absoluto, com d:

* Se ^

Y ≥ d, o teste é significativo, indicando que a média do Controle difere

significativamente da média do tratamento com ele comparado.

* Se ^

Y < d, o teste não é significativo, indicando que a média do Controle

não difere significativamente da média do tratamento com ele comparado.

d) Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste )(^

Y .

Page 57: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

57

2.5.11. Exemplo de aplicação do teste Dunnett

Para o exemplo que estamos utilizando, vamos considerar a variedade Co 413 como tratamento Controle. Então, devemos comparar sua média com cada uma das médias das demais variedades.

a) Cálculo do valor de d:

td da tabela, para 4 G.L. de tratamentos x 12 12 G.L.Res= 2,81 (5%).

d = td * r

QMRes* 2 = 2,81*

4

286,1137*2 = 33,6 t/ha

b) Cálculo das estimativas dos contrastes:

12

^

1m̂ m̂ Y = 37,0 t/ha

13

^

2m̂ m̂ Y = 39,5 t/ha

14

^

3m̂ m̂ Y = 29,6 NS t/ha

15

^

4m̂ m̂ Y = 24,4 NS t/ha

Verificamos que, pelo teste de Dunnett (5%), a média da variedade 1 difere significativamente das médias das variedades 2 e 3, mas não significativamente das médias das variedades 4 e 5.

2.5.10. Comparações múltiplas com o melhor tratamento (CMMT) ou procedimento de Hsu

Para um número de situações experimentais, a tarefa primária do pesquisador é determinar o “melhor tratamento”. Primeiro, devemos considerar o caso onde o melhor tratamento é um tendo o maior valor. Por exemplo, um agrônomo pode desejar determinar a melhor variedade em termos de produção, de um grupo recente de variedades formada.

Page 58: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

58

Em adição, o pesquisador pode querer saber se qualquer dos outros tratamentos podia servir como substitutos para o melhor. Comparações do melhor com cada média de “outro” tratamento, são relevantes para fazer tais avaliações. Geralmente, há pouco ou nenhum interesse em quaisquer outras comparações pareadas de médias de tratamentos. O objetivo é selecionar o conjunto de tratamentos ou um simples tratamento (se possível) que forneça o resultado mais desejável. As comparações múltiplas com o melhor tratamento (CMMT), procedimento desenvolvido por Hsu, possibilita o pesquisador a selecionar tratamentos em um subconjunto com uma probabilidade de seleção correta P(SC) = (1- α) de que o melhor tratamento esteja incluído no subconjunto. Pode-se observar a similaridade do método de Hsu’s com o método de comparações de Dunnett envolvendo o controle. Na realidade, se o controle é o “melhor” tratamento, os dois procedimentos são equivalentes no sentido de que os tratamentos não estão no mesmo subconjunto. Outra similaridade entre os métodos é que os mesmos valores tabulares são usados em ambos os métodos. Para construir a coleção contendo o melhor tratamento, os seguintes passos devem ser dados: a) Calcule a média de cada tratamento e obtenha a maior média dos tratamentos

max(

j

y ) i = 1, 2, ..., t

j ≠ i b) Obtenha a quantidade M

M = dα, k, v 1

1

QMRes

i

rr j

onde dα, k, v é o valor tabelado para comparações unilaterais (Anexo ) para k= t -1, nível de significância α para P(SC) = 1- α, v graus de liberdade para o quadrado médio do resíduo QMRes = s2.

As regras do CMMT seleciona um tratamento no melhor subconjunto se

i

y > max(

j

y ) - M

j ≠ i

Page 59: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

59

2.5.12. Teste de Scheffé ou teste S

Freqüentemente utilizado para testar qualquer contraste entre médias de tratamentos. No entanto, como se trata de um teste muito rigoroso, normalmente, ele é mais utilizado para testar contrastes que apresentam mais de duas médias, isto é, comparam médias de grupos de tratamentos.

Para a sua aplicação correta, exige apenas que o teste F da análise de variância para Tratamentos seja significativo, pois quando o teste F é significativo, isso indica que se deve ter, pelo menos, um contraste de médias de tratamentos que seja significativo. Isso não implica que o contraste significativo tenha que ser um contraste entre duas médias.

Este teste fornece uma proteção para o erro por experimento para qualquer número de contrastes, ou seja, α é a taxa de erro relativa por experimento. Conseqüentemente, o teste é bastante conservador e é geralmente usado para contrastes não planejados ou contrastes sugeridos pelos dados.

2.5.13. Aplicação do teste de Scheffé

Seja um contraste qualquer: Y = c1m1 + c2m2 + ... + cImI

em que as médias foram todas calculadas com r repetições.

a) Calcular a estimativa do contraste - ^

Y

II2211

^

m̂c...m̂c m̂ c Y

b) Calcular a estimativa de variância da estimativa do contraste - )(^^

YV

^

V (^

Y ) = (c12 + c2

2 + ... + cI2)

r

QMRes

c) Calcular o valor do teste, S, por:

Page 60: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

60

)( 1) - (I S^^

GLRes 1,-I ,F YV

,

onde I = número de tratamentos do experimento; Fα, I-1, GLRes = valor crítico tabelado no nível de significância α desejado em função do número de graus de liberdade de tratamentos e do número

de graus de liberdade do resíduo e )(^^

YV = variância do contraste.

d) Comparar a estimativa do contraste (em valor absoluto) com S:

* Se ^

Y ≥ S, o teste é significativo, rejeita-se Ho para Y, e conclui-se que

as médias dos dois tratamentos (ou dos dois grupos) de Y diferem

significativamente.

* Se ^

Y < S, o teste não é significativo, não rejeita-se Ho para Y, e

conclui-se que as médias dos dois tratamentos (ou dos dois grupos) de Y não diferem significativamente.

e) Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste (^

Y ).

2.5.14. Exemplo de aplicação do teste de Scheffé

Vamos exemplificar o teste de Scheffé, com os dois contrastes seguintes: 1 – Y1 = 4m1 – m2 – m3 – m4 – m5 (Co vs CB) 2 – Y2 = m3 – m1 (CB 40/69 vs Co 413) 1 – Co vs CB

H0: 1m = 4

mmmmm 5432 vs H1: 1m ≠

4

mmmm 5432

ou H0: Y1 = 0 vs H1: Y ≠ 0

^

1Y = 54321 m̂m̂m̂m̂m̂4

Page 61: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

61

^

1Y = 4(100,2) – 137,2 – 139,7 – 129,8 – 124,6

^

1Y = - 130,5 NS t/ha

^

V (^

1Y ) = [42 + (-1)2 + (-1)2 + (-1)2 + (-1)2]

4

286,1137 = 1430,55

)( 1) - (I S^^

GLRes 1,-I ,F YV

= F da tabela – 4 G.L. Trat. x 12 G.L.

Res = 3,26 (5%).

1430,55 x 3,26 x 1) - (5 S = 136,6 t/ha.

Conclusão:

Como ^

Y < S, o teste não é significativo no nível de 5% de probabilidade.

Rejeita-se Ho. A média das variedades CB (4

mmmm 5432 ) não difere

da média da variedade Co (m1). Verifica-se que este mesmo contraste foi significativo (no nível de 1% de probabilidade) pelo teste t de Student, mas não foi significativo no nível de 5% de probabilidade para o teste de Scheffé. 2 – CB 40/69 vs Co 413 Ho : m3 – m1 vs H1 : m3 ≠ m1

ou Ho : Y2 = 0 vs H1 : Y2 ≠ 0

13

^

2m̂ m̂ Y = 139,7 – 100,2 = 39,5 NS t/ha

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62

^

V (^

2Y ) = [(1)2 + (-1)2]

4

286,1137 = 143,06

143,06 x 3,26 x 1) - (5 S = 43,2 t/ha.

Conclusão:

Como ^

Y < S, o teste não é significativo no nível de 5% de probabilidade.

Rejeita-se Ho. A média da variedade CB 40/69 ( 3m ) não difere da média da

variedade Co (m1). Verifica-se que este mesmo contraste foi significativo (no nível de 5% de probabilidade) pelo teste Tukey, teste de Duncan, teste de Student-Newman- Keuls e teste de Dunnett, mas não foi significativo (no nível de 5% de probabilidade) pelo teste de Scheffé. Ainda, o valor de S (43,2 t/ha) serve para testar qualquer contraste entre duas médias, pelo teste de Scheffé. Isso mostra que, neste experimento, nenhum contraste entre duas médias é significativo pelo teste de Scheffé (a maior diferença entre elas é de 39,5 t/ha), confirmando que o teste de Scheffé é o mais rigoroso dos testes estudados.

2.5.15. Teste de Scott-Knott

Este teste foi idealizado por Scott & Knott e sua base teórica na análise de conglomerados, e sua significância é formulada sobre o teste do χ2.

A grande vantagem em sua utilização advém do fato de que nenhuma média pode pertencer a mais de um agrupamento, como ocorre nos testes anteriores, ou seja, o teste determina a constituição de grupos de médias disjuntos, sempre que haja sido encontrada significância na aplicação do teste F na análise de variância.

Não apresenta uma fórmula básica de obtenção de um ou mais valores para comparação das médias, mas antes estabelece os grupos em função da variabilidade entre estes grupos de médias.

A sua aplicação, portanto, deve ser feita segundo as regras abaixo:

a) Ordene as k médias em ordem decrescente;

b) Crie k-1 partições de grupos de médias, da seguinte forma:

- Partição 1: grupo do tratamento 1 e o grupo formado pelos tratamentos 2, 3, ..., k,

Page 63: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

63

- Partição 2: grupo dos tratamento 1 e 2 e o grupo dos tratamentos 3, 4, ..., k, e assim sucessivamente até a

- Partição k-1: grupo formado por tratamentos 1, 2, ..., k-1 e o grupo do tratamento k. c) Calcule a soma de quadrado entre grupos de cada partição, usando a fórmula:

k

)(

k

)2(

k

)1(SQ

2

2

2

1

2

GTGG

grupos

,

onde G1, G2 e GT são respectivamente, os totais das médias componentes do grupo 1, grupo2 e soma total e k1, e k2 o número de tratamentos em cada grupo na partição. O máximo valor de SQgrupos é denominado de β2

o. d) Calcule:

k

)r

QMRes(

2

o

SQmédias

,

onde r é o número de repetições de cada tratamento e ν é o número de graus de liberdade do resíduo. e) A partição de soma de quadrado máxima será válida se a estimativa λ for significativa, sendo esta estatística dada por:

2

o

2

o

)2(2

,

com λ tendo uma de χ2 com w graus de liberdade, para w = k/(π -2). f) Se λ for significativo, aplicam-se as regras 2 até 5 dentro de cada grupo da partição e assim sucessivamente, até que não seja mais possível dividir as médias em grupos. Se λ for não significativo, não haverá formação de grupos de médias. Para os dados sendo utilizados até aqui com 5 tratamentos, é possível a criação de 4 partições iniciais, a saber: Partição 1: grupo 1 (trat 1) e grupo 2 (trat’s 2, 3, 4 e 5), Partição 2: grupo 1 (trat’s 1 e 2) e grupo 2 (trat’s 3,4 e 5),

Page 64: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

64

Partição 3: grupo 1 (trat’s 1, 2 e 3) e grupo 2 (trat’s 4 e 5), Partição 4: grupo 1 (trat’s 1, 2, 3 e 4) e grupo 2 (trat 5). Lembrando que as médias dos tratamentos de 1 a 5 foram iguais a: 139,7; 137,2; 129,8; 124,6 e 100,2, respectivamente, tem-se para a partição 1 a seguinte soma de quadrado:

5

(

4

(

1

(SQ

631,5)491,8)139,7)222

1

Partição

= 224,45

5

(

3

(

2

(SQ

631,5)354,6)276,9)222

2

Partição

= 492,08

5

(

2

(

3

(SQ

631,5)224,8)406,7)222

3

Partição

= 644,03

5

(

1

(

4

(SQ

631,5)100,2)531,3)222

4

Partição

= 851,51

Como a partição 1 possui a maior soma de quadrado entre grupos, a soma de quadrados associada a essa partição será o primeiro valor de β2

o. Sendo α2o

igual a 109,00, tem-se que a estatística λ é igual a 18,56, como calculado a seguir, com aproximadamente 4 de liberdade, o que a torna significativa a 5% de probabilidade, com a conseqüente formação inicial de dois grupos médias, um formado pelos tratamentos 1, 2, 3 e 4 e o outro pelo tratamento 5. SQMédias = (139,72 +137,22 + 129,82 + 124,62 + 100,22) – (631,5)2/5 SQMédias = 994,72 W = k/(π – 2) = 5/(π – 2) = 4,38 ≈ 4

Page 65: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

65

k

)r

QMRes(

2

o

médiasSQ

= 125

)4

286,1137(1272,994

= 109,00

Partição 4 -

2

o

2

o*)2(2

= 00,109

51,851*

)2(2

= 1,3760 x 7,812 = 10,75 *

2

o

2

o*)2(2

= 00,109

03,644*

)2(2

= 1,3760 x 5,9085 = 8,13 *

2

o

2

o*)2(2

= 00,109

08,492*

)2(2

= 1,3760 x 4,5145 = 6,21 *

2

o

2

o*)2(2

= 00,109

45,224*

)2(2

= 1,3760 x 2,0592 = 2,83 *

A cada um destes grupos aplicam-se, as regras b a e, o que resulta na inexistência de qualquer outra partição significativa. Estes resultados podem ser resumidos assim:

CB 40/69 3m̂ = 139,7 a

CB 40/19 2m̂ = 137,2 a

CB 41/70 4m̂ = 129,8 a

CB 41/76 5m̂ = 124,6 a

Co 413 1m̂ = 100,2 b

Conclusão: As variedades CB’s se destacaram da Co 413.

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Contrastes

Ortogonais

Previamente escolhidos – t ou DMS, Bonferroni

Sugeridos pelos dados – Schefeé, Tukey, Duncan, SNK

Mais de 2 médias – Scheffé

Não ortogonais

Comparação só com a testemunha – Dunnett

2 médias entre si – Duncan, SNK, Tukey

Page 67: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - DIC

CARACTERÍSTICAS:

Utiliza apenas os princípios da repetição e da casualização.

Os tratamentos são designados as parcelas de forma inteiramente casual, com números iguais ou diferentes de repetição por tratamento.

Para instalação desses experimentos no campo, deve-se ter certeza da homogeneidade das condições ambientais e do material experimental.

As unidades experimentais são tão homogêneas quanto possível, isto é, nenhuma fonte de variação pode ser reconhecida entre elas sob qualquer agrupamento ou armazenamento.

Freqüentemente utilizado em experimentos de laboratório, nos ensaios com vasos realizados dentro de casas-de-vegetação, viveiro, ripado, etc.

PLANO EXPERIMENTAL

As parcelas que receberão cada um dos tratamentos são determinadas de forma inteiramente casual, por meio de sorteio, para que cada unidade experimental tenha a mesma probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos estudados, sem nenhuma restrição na casualização.

Considere um experimento com 4 tratamentos (A, B, C, D) e 5 repetições, que dá um total de 20 parcelas (número mínimo de parcelas exigido por ensaio).

A1 A3 D2 B1 D4

ALOCADAS ATRAVÉS DE

SORTEIO

B2 B4 A4 B5 C4

C2 D1 A5 C1 C5

D5 C3 D3 B3 A2

INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO

Definir o local onde o experimento será conduzido (laboratório, casa de vegetação, ripado, viveiro, etc.).

Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, plaquetas, etc., seguindo o croqui. As parcelas podem ser: vasos, caixas de madeira, placas de petri, etc.

Distribuir as parcelas experimentais no local onde o experimento será conduzido.

Colocar as plantas e ou material correspondente ao seu respectivo tratamento em cada parcela.

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VANTAGENS

Delineamento bastante flexível (número de tratamentos e de repetições depende apenas do número de parcelas disponíveis);

O número de repetições pode variar de um tratamento para outro, embora o ideal seja que eles se apresentem igualmente repetidos;

A análise estatística é simples, mesmo quando o número de repetições por tratamento é variável.

O número de graus de liberdade para o resíduo é o maior possível.

DESVANTAGENS

Exige homogeneidade total das condições experimentais.

Pode conduzir a uma estimativa de variância residual bastante alta, uma vez que, não se utilizando do princípio do controle local, todas as variações, exceto as devidas a tratamentos, são consideradas como variação do acaso.

MODELO MATEMÁTICO PARA O DIC

yij = µ + τi + εij ; i = 1,2, ..., t

j = 1,2, ..., r

yij = Valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j.

= Média geral ou da população (ponto de referência). τi = Efeito do tratamento i aplicado na parcela.

ij = Efeito dos fatores não controlados na parcela.

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PRESSUPOSIÇÕES BÁSICAS PARA A VALIDADE DA ANOVA 1. Aditividade: efeitos dos fatores que ocorrem no modelo matemático devem ser

aditivos (efeitos de tratamentos e ambientais são aditivos).

2. Independência: os erros ou desvios ij, devidos aos efeitos de fatores não

controlados, devem ser independentes. Isso implica que os efeitos de tratamentos sejam independentes, que não haja correlação entre eles. Isso pode não ocorrer quando os tratamentos são níveis crescentes de adubos, inseticidas, fungicidas, herbicidas, etc., ocasião em que a análise de variância deve ser feita estudando-se a regressão.

3. Homogeneidade (ou homocedasticidade) de variâncias: os erros ou desvios

ij, devidos aos efeitos de fatores não controlados, devem possuir uma variância

comum 2. Isso significa que a variabilidade das repetições de um tratamento deve ser semelhante dos outros tratamentos, isto é, os tratamentos devem possuir variâncias homocedásticas.

4. Normalidade: os erros desvios ij, devidos aos efeitos de fatores não controlados, devem possuir uma distribuição normal de probabilidade. Isso implica que os dados experimentais se ajustem a uma distribuição normal de probabilidades. Falha na obtenção de uma ou mais destas pressuposições afeta tanto o nível de significância como a sensibilidade do teste F na ANOVA. Assim, qualquer saída de uma ou mais dessas pressuposições deve ser corrigida antes que a ANOVA seja aplicada.

EFEITOS NÃO ADITIVOS Uma saída comum da pressuposição da aditividade em experimentos agrícolas é uma onde os efeitos são multiplicativos em vez de aditivos. Dois fatores são ditos ter efeitos multiplicativos se seus efeitos são aditivos apenas quando expressos em termos percentuais. Efeitos Aditivos Efeitos Multiplicativos ___________________________ _________________________________ Reps Reps Ef. Reps

_______ Ef. Reps _______ _________________

Trat I II (I – II) Trat I II I – II 100(I – II)/II

__________________________________ __________________________________________

A 180 120 60 A 180 120 60 50

B 160 100 60 B 150 100 50 50

Ef. Trat (A – B) 20 20 Ef. Trat (A – B) 30 20

100(A – B)/B 20 20

___________________________ _________________________________

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NÃO INDEPENDÊNCIA DOS ERROS É comum em delineamento sistemático, onde as unidades experimentais são arranjadas sistematicamente ao invés de modo aleatório. Isto é assim, porque o delineamento requer que certos pares de tratamentos sejam colocados em parcelas adjacentes onde outros são sempre colocados a alguma distância.

Croqui de um delineamento sistemático com 6 tratamentos e 4 repetições REP I REP II REP III REP IV

A HETEROGENEIDADE DE VARIANCIA E NÃO NORMALIDADE

A heterogeneidade da variância pode ser classificada em dois tipos: 1) Heterogeneidade regular: é aquela geralmente associada com os dados cuja

distribuição não é normal. A variância está funcionalmente relacionada com a média dos diversos tratamentos testados. Ex. dados de contagens, tais

como: o número de plantas infectadas por parcela ou número de lesões por folha

(geralmente segue Poisson, com s2 = m̂ ). Outro exemplo é a percentagem de

sobrevivência de insetos ou percentagem de plantas infectadas com uma doença. Tais dados descrevem a proporção de ocorrências em que cada ocorrência pode apenas ser um dos possíveis resultados (vivo ou morto, ou

infestado e não infestado). Geralmente segue binomial, com s2 = m̂ (1- m̂ ).

2) Heterogeneidade irregular: é aquela onde a variância e a média não estão

funcionalmente relacionadas. Geralmente ocorre em experimentos onde, devido à natureza dos tratamentos testados, alguns têm erros (ou variabilidade) que são substancialmente mais alto ou mais baixo do que os outros. Ex.: Experimentos onde se testa a resposta do rendimento a tratamento químico, tais como fertilizantes, inseticidas ou herbicidas. A aplicação não uniforme de tratamentos químicos pode resultar em uma maior variabilidade nas parcelas tratadas do que nas parcelas não tratadas (testemunhas).

A B C D E F

F A B C D E

E F A B C D

D E F A B C

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Em ensaios de variedades onde vários tipos de materiais melhorados estão sendo comparado, o tamanho da variância entre parcelas de uma dada variedade dependerá do grau de homogeneidade genética do material que está sendo testado. A variância da geração F2, por exemplo, pode ser esperada mais alta do que aquela da geração F1. As variâncias das variedades que são altamente tolerante ou altamente suscetíveis ao estresse que estão sendo testadas, por exemplo, são esperadas ser menor do daquelas variedades com grau moderado de tolerância.

AS CORREÇÕES PARA HETEROGENEIDADE, NÃO NORMALIDADE E NÃO ADITIVIDADE SÃO FREQUENTEMENTE POSSÍVEL POR MEIO DE TRANSFORMAÇÃO DOS DADOS DE SUA FORMA ORIGINAL A DIFERENTE FORMA.

SOLUÇÃO A HETEROGENEIDADE

Heterogeneidade Regular - Buscar uma transformação adequada.

Heterogeneidade Irregular - Eliminar tratamentos dos discrepantes. Se não for

possível; - Subdividi-los em grupos e testá-los separadamente

através de resíduos apropriado a cada grupo. MEDIDAS PARA CORRIGIR A HETEROGENEIDADE DA VARIÂNCIA

O sintoma mais comum dos dados experimentais que viola uma ou mais das pressuposições da ANOVA é a heterogeneidade de variância. Duas são as medidas usadas para corrigir a heterogeneidade da variância.

1) É aquela que trata do método de transformação de dados para variâncias que estão funcionalmente relacionada a média. Um diagnóstico correto do tipo específico de heterogeneidade de variância presente nos dados deve ser feito antes que uma medida corretiva apropriada possa ser selecionada. Procedimentos: a) Para cada tratamento, calcule a variância e a média sobre as repetições (a

amplitude pode ser usada no lugar da variância). b) Faça um diagrama de dispersão entre o valor médio e a variância (ou a

amplitude). O número de pontos no diagrama é igual ao número de tratamentos.

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c) Visualmente examine o diagrama de dispersão para identificar o padrão

de relacionamento, talvez algum, entre a média e a variância. A Figura a seguir ilustra três resultados possíveis: - Homogeneidade de variância (a); - Heterogeneidade de variância quando a variância é funcionalmente relacionada a média (b); - Heterogeneidade de variância quando não há relacionamento funcional entre a variância e a média (c). FIGURA EGLEIDE

2) É aquela trata do método de subdividir os erros das variâncias que não são funcionalmente relacionada a média.

A heterogeneidade de variância na qual nenhum relacionamento entre variância e a média existe, é quase sempre devido a presença de um ou mais tratamentos cujos erros associados são diferentes daqueles dos outros tratamentos. Estes erros excepcionalmente altos e baixos são geralmente devido a duas principais causas: - Eles envolvem tratamentos que, por sua natureza, exibe variâncias grandes ou pequenas. - Eles envolvem erros grosseiros; isto é, alguns valores grandes ou pequenos que podem ter sido registrado erroneamente em algumas parcelas resultando em variâncias do erro grandes dos tratamentos envolvidos. A partição do erro é um procedimento comumente usado para manusear dados que tem heterogeneidade de variância que não são funcionalmente relacionada a média. A partição dos erros não deve ser usada, contudo, quando a heterogeneidade é devida a erros grosseiros. Em outras palavras, a partição do erro deve ser aplicada apenas após a presença de erros grosseiros ter sido completamente examinada e eliminada. Procedimento para detectar erros grosseiros e aplicar o método de partição do erro:

a) Identificar tratamentos que tenham diferenças extremamente grandes entre observações de diferentes repetições. Para cada um destes tratamentos, identificar a parcela especifica cujo o valor é grande diferente do resto (isto é, parcelas com valores excepcionalmente grandes e pequenos).

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b) Para parcela em questão, examinar os registros ou diário dos dados para ver se algumas observações ou anotações foram observadas pelo pesquisador para explicar o valor extremo. c) No croqui de campo, marcar as parcelas que tem valores extremos por colocar um sinal + na parcela com valor excepcionalmente alto e um sinal – nas parcelas com valor excepcionalmente baixo. Examine a proximidade das parcelas com sinais + e – para localizar possíveis causas que estejam relacionadas a localização da parcela na área experimental. d) Para as parcelas cujas causas dos valores extremos foram identificadas como erros grosseiros, recuperar os valores corretos se possível. Se a recuperação não é possível, os dados suspeitos devem ser rejeitados e os dados declarados perdidos. Para parcelas cujas causas de valores extremos não podem ser determinadas, os dados suspeitos devem ser retidos.

TESTES PARA VERIFICAÇÃO DA HOMOCEDASTICIDADE DE VARIANCIAS

Teste de Fmax. de Hartley – Hc ou Fmax = S2

max/S2

min. Se Hc for maior ou igual a H,

valor tabelado (HC H(g, r – 1) ’) - rejeita-se hipótese homocedasticidade. Este teste

pode ser aplicado quando temos mais de duas variâncias, mas os diferentes grupos têm o mesmo número de indivíduos. Além deste teste, existem outros para verificação da homocedasticidade, como: Teste de Levine, C de Cochran, de Bartlett, de Brown Forsythe, de O’brien, etc. PARA A HETEROGENEIDADE DA VARIANCIA, A TRANSFORMAÇÃO DE DADOS APROPRIADA PARA SER USADA DEPENDE DO TIPO ESPECIFICO DE RELACIONAMENTO ENTRE A VARIANCIA E A MÉDIA.

TIPOS DE TRANSFORMAÇÕES

† Transformação raiz quadrada: y

Apropriada para estabilizar as variâncias das observações da distribuição de Poisson. Freqüentemente usada para dados de contagens, onde a variância é igual a média.

Apropriada para dados consistindo de números inteiros pequenos, dados de contagem provenientes de:

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Ex.: Número de ervas daninha por parcela, números de colônias de bactérias por lâmina, número de insetos capturados em armadilha luminosa, número de insetos por folha, número de bactérias em uma placa de Petri, número de sementes germinadas por parcela, número de plantas infestadas, etc.

Apropriada para dados provenientes de uma escala de notas também devem ser transformados:

Apropriada ocasionalmente para dados de percentagem oriundos de dados de contagem. Se as percentagens estiverem entre 0 e 30% ou 70 e 100%, mas não em ambas, a transformação raiz quadrada é recomendada. As percentagens entre 70% e 100%, devem ser de preferência subtraídas de 100, antes de se fazer a transformação.

A transformação raiz quadrada é, ainda, indicada no caso de percentagens, fora dos limites acima considerados, quando as observações estão claramente numa escala contínua.

A transformação raiz quadrada Y = y terá uma variância constante σy2 = 0,25

para todos os valores µy. Se a média é pequena, µy < 3, então a transformação Y

= 3/8 y é superior a y para estabilizar as variâncias.

Quando ocorrem zeros ou valores abaixo de 10, usar 1,0 y ou 0,5 y , em

lugar de y .

† Transformação logarítmica – log y ou ln y ­ Apropriada a dados onde existe uma proporcionalidade entre as médias e os

desvios padrões (ou amplitudes) dos diversos tratamentos, ou seja, todas as amostras apresentam o mesmo coeficiente de variação.

­ Apropriada também quando os efeitos principais são multiplicativos em vez de aditivos. Nessa situação, tal transformação, além de estabilizar as variâncias produz aditividade nos efeitos do modelo matemático e tende a normalizar a distribuição dos erros.

­ Indicada para números inteiros com grande amplitude de variação (por exemplo,

em estudo com número de microorganismos, cuja variação está entre 50 e 200.000).

Ex.: Número de insetos por parcela, número de ovos por planta ou por unidade de área, número de bactérias, esporos, de grão de pólen, dados de adição de

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vitaminas em animais, Quando a amostragem possui dados iguais a zero ou muito próximos de zero.

Usa-se log (y + 1). A base 10, por conveniência, no emprego da transformação logarítmica é a mais usada; no entanto, pode-se empregar qualquer base.

† Transformação angular ou arcoseno – p’ = arc seno p

Apropriada a dados em que a média é proporcional a variância, ou seja, oriundos de uma distribuição binominal, como aqueles expressos em proporções p = (y/n) ou percentagens P=100(y/n). Existem tabelas apropriadas para essa transformação, nas quais entramos diretamente com a percentagem (P) e

obtemos arc sen P/100 .

A transformação angular é usada para homogeneizar a variância residual dos dados de percentagem ou normalizar a distribuição binomial, especialmente quando as percentagens observadas estiverem todas entre 0 e 30% ou entre 70 e 100%.

Se as percentagens dos dados estiverem entre 30 e 70%, torna-se desnecessária a transformação, e pode-se analisar diretamente os dados originais. Se os dados extrapolam esta amplitude, usa-se então a transformação.

A transformação também é desnecessária quando as porcentagens são resultantes da divisão de valores observados nas parcelas por um valor constante (valor representativo), como a média do tratamento testemunha ou quando são representativas de concentração, como teor de N na folha, pureza da semente, teor de sacarose da cana-de-açúcar, teor de proteína do trigo, etc.

A transformação é necessária em dados de percentagem provenientes de dados discretos num total de casos, como, por exemplo, percentagem de germinação (número de sementes germinadas/número total de sementes), percentagem de plantas doentes (número de plantas doentes/número de plantas consideradas), etc.

A transformação angular não é boa quando p = 0/n = 0 ou p = n/n=1. A transformação é melhorada por substituir 0/n por 1/4n e n/n por 1- 1/4n, antes de transformar os dados, onde n é o número total de unidades sob observação.

Anscombe (1948) propôs uma transformação ainda melhor: p’ = 0,5 n arcsen

3/4 n

3/8 +y

.

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76

Não apropriada a dados de percentagem que não são originados de dados de contagem. Por exemplo, percentagem de proteína em arroz, índice de infecção, percentagem de lucro, etc.

A análise de variância e outros métodos associados a distribuição normal são aplicados sobre os dados transformados. Quando a análise é completada, a média aritmética das contagens transformadas pode ser transformada de volta para a escala original tornando-se uma média derivada, isto é, para uma

transformação raiz quadrada ( y ), a média das contagens transformadas deve

ser elevada ao quadrado, para uma transformação log (y + 1), deve-se obter o antilog da média transformada e subtrair 1. De modo geral, as médias derivadas são menores que as médias das contagens na escala original. Portanto, pequenos ajustes devem ser feitos sobre as médias derivadas. ELLIOTT (1979) recomenda as seguintes correções: 1. Transformação raiz quadrada: A média dos dados transformados em raiz quadrada deve ser elevada ao quadrado, e a seguir somada com a variância

dos dados transformados Y = antilog [_

y + 1,15 V(_

y )].

2. Transformação logarítmica: Devemos adicionar à média da variável

transformada 1,15 vezes a variância da variável transformada (Y = antilog [_

y +

1,15 V(_

y )], e a seguir obter o antilog da média derivada. O valor final é

geralmente um bom estimador da média obtida diretamente das contagens.

3. Para a transformação arco seno os valores transformados podem ser transformados na escala original, usando-se a seguinte expressão: p = (sen p’)2 e multiplicando por 100 para expressá-lo em percentagem (P).

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TRANSFORMAÇÕES DE DADOS

Se existem chances iguais de um evento ocorrer na distribuição binomial (p=q=0,5) e n aproxima-se de infinito, então a série de probabilidades dada por (p + q)n aproxima-se de uma curva simétrica em forma de sino. Esta é a curva da distribuição normal, que é a distribuição associada com variáveis contínuas, tais como, medições, pesagens, etc. A distribuição normal raramente é aceitável para estudar contagens, mas ela é

importante por causa do grande número de métodos estatísticos associados a ela, tais como: teste t, análise de variância, análise de regressão, coeficiente de correlação, etc. O uso destes métodos envolve as condições: eij ~ N (0, σ

2)

1. Os dados devem seguir uma distribuição normal. 4. A variância da amostra deve ser independente da média e constante nas várias

amostras.

5. Os componentes da variância devem ser aditivos. 6. Os erros devido aos efeitos dos fatores não controlados ou acaso devem ser

independentes. A distribuição binomial positiva é aproximadamente normal se o número de unidades amostrais é grande (n > 30) e a variância da amostra não é menor que 3. (A variância é s2 = npq. Portanto, a aproximação normal pode ser usada quando 0,4 ≤ p ≤ 0,6 para 10 ≤ n ≤ 30, ou quando 0,1 ≤ p ≤ 0,9 para n > 30, e não pode ser usada quando n < 10).

A distribuição de Poisson é muito assimétrica para baixos valores do parâmetro λ

(estimado por m̂ = s2), mas aproxima-se da normalidade quando λ cresce, e é aproximadamente normal quando λ é maior do que 10. A distribuição binomial negativa é assimétrica para uma grande faixa de variação da média quando k é pequeno (isto k < 3), mas aproxima-se da normalidade quando k aumenta e a média é razoavelmente grande (µ = 10 ou mais). Quanto k tende para ∞, a distribuição binomial negativa é idêntica à distribuição de Poisson. Como a média e a variância tendem a crescer juntas em todas as três distribuições, a segunda condição de independência entre a média e a variância

nunca é satisfeita. Portanto, alguns métodos, incluindo o teste t, análise de variância, análise de regressão, etc. não podem ser aplicados sem o risco de erros consideráveis. Esta dificuldade pode ser superada, trocando cada contagem por uma função matemática adequada das contagens.

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78

As contagens são então transformadas, e a transformação correta geralmente normaliza a distribuição de freqüência das contagens, elimina a dependência entre a média e a variância e assegura que os componentes da variância sejam aditivos (Para a análise de variância).

A ESCOLHA DA TRANSFORMAÇÃO CORRETA DEPENDE DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS CONTAGENS ORIGINAIS.

RELAÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES MAIS USUAIS COM AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUENCIA DOS DADOS

Distribuição Relação entre

s2 e m̂

Transformação Adequada Condições

Especiais

Poisson

s2 = m̂

y Nenhum valor < 10

Empírica

s2 = C

2 m̂

y

Poisson

s2 = m̂

0,5 y

Alguns valores < 10

Binomial s

2 < m̂

s2 = m̂ (1- m̂ )/n

Arco Seno Proporção

Proporções binomiais

Binomial Negativa

s2 > m̂

s2 > m̂

log (y + k/2)

Arc Seno Hiperb0,750 -k

0,375 +y

2 < k < 5

k > 5

Desconhecida

Empírica

s2 > m̂

s2 = C

2 m̂2

log (y)

Nenhum zero

Desconhecida

s2 > m̂

log (y + 1)

Alguns zeros

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79

Um método bastante simples de se encontrar a transformação mais adequada é através da lei de potência de Taylor.

Diz: “A variância (σ2) de uma população é proporcional a uma potência fracionária da média aritmética (µ), ou seja σ2 = a µb e portanto, log σ2 = log a + b log µ onde, a e b são parâmetros populacionais”. O parâmetro a depende principalmente do tamanho das unidades amostrais. O parâmetro b é um índice de dispersão e varia continuamente de zero (0) no caso da distribuição regular (σ2 < µ), a infinito (∞) no caso de distribuições altamente contagiosas (σ2 > µ). No caso da distribuição aleatória, temos a = 1 e b = 1. Obtida uma estimativa de b, podemos encontrar facilmente a transformação mais adequada

para que os métodos associados com a distribuição normal sejam utilizados. A TRANSFORMAÇÃO APROPRIADA PODE SER OBTIDA POR: Y = yp

onde, p = 1 – b/2. TABELA 1 - ANEXA PROCEDIMENTOS PARA ENCONTRAR A TRANSFORMAÇÃO APROPRIADA

1. Obter as médias e variâncias para cada amostra. 2. Obter o logaritmo da média e logaritmo da variância para cada amostra. 3. Estimar os parâmetros a e b através de uma regressão linear de y = log (s2)

sobre x = log( m̂ ), isto é: log s2 = log a + b log m̂ , onde: EGLEIDE COM ESTA TÉCNICA, OS DADOS ORIGINAIS SÃO CONVERTIDOS EM NOVA ESCALA RESULTANDO EM UM NOVO CONJUNTO QUE É ESPERADO SATISFAZER A CONDIÇÃO DE HOMOGENEIDADE DE VARIANCIA.

DEVIDO UMA ESCALA COMUM DE TRANSFORMAÇÃO SER APLICADA A TODAS AS OBSERVAÇÕES, OS VALORES COMPARATIVOS ENTRE OS TRATAMENTOS NÃO SÃO ALTERADOS E COMPARAÇÕES ENTRE ELES PERMANECEM VÁLIDOS.

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DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS

Sempre que não haja homogeneidade das condições experimentais devemos utilizar o princípio do controle local.

Esse delineamento leva em consideração os três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local.

PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DESTE DELINEAMENTO

1. As parcelas são distribuídas em grupos ou blocos, o mais uniformes possíveis. 2. O número de parcelas por bloco deve ser um múltiplo do número de tratamentos

(geralmente igual). 3. Os tratamentos são designados às parcelas de forma casual.

VANTAGENS DESSE DELINEAMENTO

Controla as diferenças que ocorrem nas condições ambientais, de um bloco para outro.

Permite dentro de certos limites, utilizar qualquer número de tratamentos e de blocos.

Conduz a estimativas menos elevada do erro experimental.

A análise estatística é relativamente simples.

DESVANTAGENS

Pela utilização do princípio do controle local, há uma redução no número de graus de liberdade do resíduo.

A exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco limita o número de tratamentos, que não pode ser muito elevado.

Bloco: é um grupo de unidades experimentais que fornece efeitos homogêneos em uma variável resposta. Bloco completo: é um grupo homogêneo de unidades experimentais onde os “t”

tratamentos aparecem uma... Bloco nem sempre é sinônimo de repetição

E F B A

C B A C

A D B C

1 bloco e 1 repetição 1 bloco 2 repetições

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PLANO EXPERIMENTAL

Bloco 1 B D C A E t = 5 tratamentos r = 4 blocos Casualização feita por meio de sorteio ou tabela de número aleatório

2 B A E D C

3 C D E B A

4 D B A E C

Gra

die

nte

de f

ert

ilidade A C D B E

Bloco I

C E A B D BLOCOS

Bloco II

E A C D B

Bloco III

MODELO MATEMÁTICO DO DBC

ij = + Ti + j + Eij; i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., r

ij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento “i” no bloco j.

= média da população. Ti = efeito devido ao tratamento “i” que foi aplicado na parcela.

j = efeito devido ao bloco “i” em que se encontra a parcela. Eij = efeito devido aos fatores não controlados na parcela.

HIPÓTESES BÁSICAS PARA ANOVA

1. Aditividade 3. Homocedasticidade 2. Independência 4. Normalidade

TABELA PARA ANOVA DO DBC

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r - 1 SQB QMB QMB/QMR Tratamentos t - 1 SQT QMT QMT/QMR Resíduo (r - 1) (t – 1) SQR QMR

TOTAL rt - 1 SQT0

Hipóteses para o efeito de tratamento

H0: 1 = 2 = ... t ou todo Ti = 0

H1: pelo menos duas (médias) t diferem

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Exemplo da Anova e interpretação dos resultados DBC COM MAIS DE UMA REPETIÇÃO DE TRATAMENTO POR BLOCO

T1 T2

BLOCOS r1 r2 y1 y2

B1 y111 y112 y211 y212 B2 ! ! ! ! B3 ! ! ! ! B4 y141 y142 y241 y242

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + Ti + j + Eijk i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., r

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos b - 1 SQB QMB FB Tratamentos t - 1 SQT QMT FT Erro experimental Sub SQE QME

TOTAL btr - 1 SQT0 Delineamento em blocos casualizados balanceados com grupos de tratamentos diferentes – Group Balanced Block Design (GBBD)

A característica principal deste delineamento é o grupamento de tratamentos dentro de blocos homogêneos baseado em características dos tratamentos.

Tratamentos pertencentes ao mesmo grupo são sempre testados no mesmo bloco.

Tratamentos pertencentes ao mesmo grupo são comparados com um maior grau de decisão do que aqueles pertencentes a grupos diferentes.

Este experimento é comumente usado em ensaios de variedades, onde variedades com caracteres morfológicos similares são colocados no mesmo grupo. Dois dos critérios mais comumente usados para grupar as variedades são:

Altura de planta: evitar o efeito de competição

Duração do crescimento: minimizar a competição e facilitar as operações de colheita.

Outro tipo de ensaio usando este delineamento é aquele envolvendo controle químico de insetos na qual os tratamentos podem ser subdivididos em operações de pulverização similares para facilitar a aplicação do inseticida no campo.

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Ex.: Um ensaio envolvendo 45 variedades de arroz com três repetições divididas em 3 grupos (comparação de crescimento; menos 105 dias, de 105 a 115, maiores que 115 dias).

CASUALIZAÇÃO E CROQUI DE CAMPO

7 8 1 4 14 38 39 43 44 33 2 1 13 5 15

12 3 13 10 9 C 31 42 36 32 45 A

11 4 3 14 7

6 11 2 5 15 40 34 35 41 37 9 12 10 6 8

21 20 27 18 22 1 11 9 4 6 31 33 35 38 44

16 25 17 24 30 A

12 10 7 15 13 C

36 34 37 42 41

26 19 28 29 23 3 2 8 5 14 34 43 32 45 40

41 31 32 44 43 17 27 22 25 28 16 25 23 20 17

36 37 40 35 38 B

26 13 21 19 20 B

22 19 30 28 21

33 39 42 45 34 16 23 24 30 29 18 24 26 29 27

Bloco I Bloco II Bloco III

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + j + j + ij + Tk(j) + Eijk i = 1, 2, ..., r j = 1, 2, ..., s k = 1, 2, ..., t

j = efeito do i-ésimo bloco.

j = efeito do i-ésimo grupo.

ij = componente do erro proveniente do i-ésimo bloco e i-ésimo grupo. Tk(j) = efeito do i-ésimo tratamento dentro do i-ésimo grupo. Eijk = componente residual.

ESQUEMA DA ANOVA Causa da variação G.L. SQ QM F

Bloco r - 1 SQB QMB Grupo (G) s - 1 SQG QMG QMG/QMEG Erro (A) (r – 1) (s – 1) SQE (a) QME(a) Tratamento dentro G1 (t/s) – 1 SQTD . G1 QMTDG1 QMTG1/QMEG(1) Tratamento dentro G2 (t/s) – 1 SQTD . G2 QMTDG2 Tratamento dentro G5 (t/s) – 1 SQTD . G5 QMTDG5 Erro s (r – 1) (t/s – 1) SQE(b) QME(1)

Total rt – 1 SQT0

DELINEAMENTO EM CLASSIFICAÇÃO HIERÁRQUICA OU DELINEAMENTO EM

SUB-AMOSTRA É algumas vezes necessário amostrar subunidades das unidades experimentais para adquirir os dados necessários para um estudo de unidade observacional neste caso é uma sub-amostra tomada de uma unidade experimental maior. As sub-amostras introduz uma outra fonte de variabilidade para as observações em adição aquelas entre tratamentos e entre unidades experimentais.

MÉTODOS QUÍMICOS

1 2 Feixes de

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plantas de algodão 1 2 3 1 2 3

y111 y121 y131 y211 y221 y231 y112 y122 y132 y212 y222 y232 Modelo linear para explicar r.s 2st observações experimentais obtidas em um experimento em sub-amostra delineado em DIC, tem a seguinte forma:

ijk = + j + Eij + ijk; i = 1, 2, ..., j j = 1, 2, ..., r k = 1, 2, ..., s

i1k = observação da k-ésima sub-amostra na i-ésima UE do i-ésimo tratamento.

= média população. 1 = efeito de tratamento. Eij = componente aleatório explicando a variação em UE no mesmo tratamento.

ijk = componente aleatório explicando a variação dentro UE, entre sub-amostras da mesma UE. ANOVA PARA O DELINEAMENTO EM SUB-AMOSTRA EM DIC

Causa da variação G.L. SQ QM F

Tratamentos t - 1 SQT QMT FT Erro experimental t (r – 1) SQE QME Erro de amostragem tr (s – 1) SQA QMA

TOTAL trs – 1 Modelo matemático para um experimento em DBC em “n” sub-amostra da UE é:

ijk = + j + j + Eij + ijk; i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., r k = 1, 2, ..., s ANOVA PARA O DELINEAMENTO EM SUB-AMOSTRA EM DBC

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r - 1 SQB QMB FB Tratamentos t – 1 SQT QMT FT Erro experimental (r – 1) (t – 1) SQE QME Erro de amostragem rt (s – 1) SQA QMA

TOTAL rts – 1

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DELINEAMENTO EM QUADRADOS LATINOS - DQL

Apesar de sua alta eficiência, constitui-se no delineamento estatístico menos utilizado na pesquisa agronômica por ter menos flexibilidade. Eles levam em consideração três princípios básicos: repetição, casualização e controle local. Controle local: controla a heterogeneidade do ambiente de duas maneiras

diferentes. Casualização: os tratamentos são distribuídos nos blocos de tal forma que cada um apareça uma só vez em cada linha e em cada coluna. 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 3’ 1’ 4’ 5’ 2’

1 A B C D E 4 D E A B C 4 A D B C E

2 B C D E A 5 E A B C D 5 B E C D A

3 C D E A B 2 B C D E A 2 D B E A C

4 D E A B C 1 A B C D E 1 C A D E B

5 E A B C D 3 C D E A B 3 E C A B D

Quadrado padrão Os quadrados latinos mais usados são de 5 x 5 a 8 x 8. Os menores de 5 x 5 devem ser usados com mais de uma repetição e fazer a análise conjunta. Os maiores de 8 x 8 torna-se difícil a execução e análise do ensaio.

VANTAGENS

1) Controla a heterogeneidade do ambiente em duas direções. 2) Conduz a estimativas menos elevadas do erro experimental. 3) Vários delineamentos do mesmo tamanho podem ser combinados.

DESVANTAGENS

1) O número de linhas, colunas e tratamentos deve ser igual. 2) Delineamentos pequenos fornecem poucos G.L. para estimação da variação

residual. 3) Os quadrados latinos não são apropriados se os efeitos de linha, coluna e

tratamentos não são aditivos, ou seja, se eles interagem em qualquer combinação.

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + j + yj + k + Eijk; i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., t k = 1, 2, ..., t

ijk = observação da parcela que recebeu tratamento ‘k”, na linha “i” e na coluna “j”.

= média da população.

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j = efeito da i-ésima linha. yj = efeito da j-ésima coluna.

k = efeito do k=ésimo tratamento.

ANOVA PARA O DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO

Causa da variação G.L. SQ QM F

Linhas t – 1 SQL QML Colunas t – 1 SQC QMC Tratamentos t – 1 SQT QMT QMT/QMR Resíduos (t – 1) (t – 2) SQR QMR

TOTAL t2 – 1 SQT0 HIPÓTESES DE INTERESSE

H0: K = 0 para todo “k”

H1: K 0 para algum “k” SUBAMOSTRAGEM DO DQL

A análise de um DQL com subamostras é quase idêntica aquele para um DBC com subamostras. A única diferença é devido a inclusão de um segundo fator de bloqueamento no DQL. MODELO MATEMÁTICO

ijkm = + j + yj + k + Eijk+ ijkm; i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., t k = 1, 2, ..., t m = 1,2 ..., s

)σN(0, i.i.d. são sσ'

)σN(0, i.i.d. são sE'

2

E

2

E

Os E’s e ’s são distribuídos independentes um do outro.

ANOVA PARA DQL COM SUBAMOSTRAS

Causa da variação G.L. SQ QM F

Linhas t – 1 SQL QML Colunas t – 1 SQC QMC Tratamentos t – 1 SQT QMT QMT/QMR Resíduos (t – 1) (t – 2) SQR QMR

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Erro de amostragem t2 (s – 1) SQE QME

TOTAL st2 – 1 SQT0

DELINEAMENTO EM RETÂNGULO LATINO – DRL É assumido que um dos fatores de bloqueamento é aumentado, mas para manter as características de equilíbrio necessário, este fator deve ser um múltiplo do número de tratamentos. Suponha que os blocos colunas sejam aumentados para dar um arranjamento retangular de UE de tratamento t x mt. Delineamento Retângulo Latino 3 x 6 com 3 tratamentos

A C C B B A

C B A C A B

B A B A C C

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + j + yj + k + Eijk+ ijk; i = 1, 2, ..., t j = 1, 2, ..., mt k = 1, 2, ..., t

ANOVA PARA DQL COM SUBAMOSTRAS

Causa da variação G.L. SQ QM F

Linhas t – 1 SQL QML Colunas mt – 1 SQC QMC Tratamentos t – 1 SQT QMT QMT/QMR Resíduos (mt – 2) (t – 2) SQR QMR

TOTAL mt2 – 1 SQT0

DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO REPETIDO (DQLR)

É assumido que DQL padrão é repetido “s” vezes. Os mesmos “t” tratamentos são usados em cada dos “s” quadrados. Assim os tratamentos são cruzados com os quadrados de modo que a interação tratamento x quadrado possa existir.

MODELO MATEMÁTICO

gijk = + g + gi + ygj + k + ()gk + Egijk; Para g = 1, 2, ..., s i = 1, 2, …, t j = 1, 2, ..., t k = 1, 2, ..., t

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gijk = observação do quadrado “g”, na i-ésima linha, j-ésima coluna e k-ésimo tratamento.

= media da população.

g = efeito do g-ésimo quadrado.

gi = efeito da i-ésima linha dentro g-ésimo quadrado. ygj = efeito da j-ésima coluna dentro g-ésimo quadrado.

k = efeito do k-ésimo tratamento.

()gk = efeito da interação entre g-ésimo quadrado e k-ésimo tratamento. Egijk = componente residual. Causa da variação G.L. SQ QM F

Quadrados (Q) s – 1 SQQ QMQ Linhas (quadrados) s(t – 1) SQL QML Colunas (quadrados) s(t – 1) SQC QMC Tratamentos (t – 1) SQT QMT QMT/QMR Q x T (s – 1) (t – 1) SQ (Q x T) QM (Q x T) QM (Q x T)/QMR Resíduos s(t – 1) (t – 2) SQR QMR

TOTAL st2 – 1 SQT0

DELINEAMENTO QUADRADO GREGO-LATINO (DQGL)

O delineamento Quadrado Grego-Latino permite remover três fontes de variação do erro experimental.

Neste delineamento as unidades experimentais são agrupadas em três diferentes maneiras. Estas são agrupadas pelas linhas, colunas e por classificação extra, designado por letra grega.

A designação deste agrupamento é restrita, de tal modo que, cada letra grega ocorre uma vez, e apenas uma vez, em cada linha e cada coluna.

As letras gregas formam um quadrado latino com relação as linhas e colunas.

Os tratamentos designados pelas letras latinas, são agora designadas as unidades experimentais de tal maneira que cada tratamento ocorre uma vez, e apenas uma vez, em cada linha, coluna e cada letra grega.

Os tratamentos formam assim um quadrado latino diferente nas linhas e colunas, ou que é independente do quadrado formado pelas letras gregas (para maiores detalhes sobre casualização conste Cochran & Cox (1957) p. 146).

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Quadrado Grego Latino 4 x 4 (básico)

1 2 3 4

1 C A D B

2 D B C A

3 A C B D

4 B D A C

Vantagem: 2) Ele permite controlar a variabilidade para três fontes de variação. Desvantagens: 1) O número de UE's aumenta rapidamente quando o número de tratamento

aumenta. 2) O número de G.L. do erro é pequeno se o número de tratamento é pequeno. 3) Perda de dados complica extremamente a análise estatística. 4) Cancelamento nos três agrupamentos é raramente possível. Restrições:

1) O DQGL tem sido construído para todo número de tratamento. 2) Teoricamente, estes delineamentos são possíveis para qualquer “t” desde que “t”

seja um número primo ou uma potencia de um número primo.

3) Do ponto de vista prático, os limites são 5 t 12, porque: Se t = 3 GLE (erro) = 0 Se t = 4 GLE = 3 GLE muito pequeno Se t = 12 GLE = 99 (144 UE's) } número UE's muito grande

Devido suas limitações, o quadrado grego-latino tem sido raramente usado na pesquisa.

MODELO MATEMÁTICO

Page 91: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

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ijkl = + i + i + k + l + Eijkl; Para

i = 1, 2, …, t j = 1, 2, ..., t k = 1, 2, ..., t l = 1, 2, … t

ijkl = observação na linha “I” e coluna “j” para a letra grega “k” e Latina “l”.

i = efeito de i-ésima linha.

i = efeito de j-iésima coluna.

k = efeito da letra grega.

l = efeito do tratamento letra Latina.

ESQUEMA DE ANOVA

Causa da variação G.L. SQ QM F

Linhas t – 1 SQL QML Colunas t – 1 SQC QMC Letras gregas t – 1 SQLG QMLG Tratamento (letra grega latina) t – 1 SQT QMT QMT/QMR Erro (t – 3) (t – 1) SQR QMR

TOTAL t2 – 1 SQT0

EXPERIMENTO EM FAIXAS

O experimento em faixa é especialmente adequado para o experimento com dois fatores em que a precisão desejada para medir o efeito da interação entre os dois fatores é mais alta do que para os efeitos principais de um dos fatores. Isto é realizado com o uso de três tamanhos de parcelas. 1. Parcela com faixa vertical para o primeiro fator. 2. Parcela com faixa horizontal para o segundo fator. 3. Parcela interação para a interação entre os dois fatores A parcela com faixa vertical e horizontal é sempre perpendicular entre si. Não há nenhum relacionamento entre seus tamanhos. A parcela interação é a menor. Os graus de precisões associados com os efeitos principais de ambos os fatores são sacrificados para aumentar a precisão do efeito da interação. Este experimento é típico em ensaios de irrigação, aplicação de fungicidas, uso de diferentes cortes em campineiras, épocas de colheitas, etc.

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EXPERIMENTO EM PARCELAS SUB-DIVIDIDAS

N1 N2 N3 N3 N2 N1 N3 N1 N2

V6 V4 V5

V5 V2 V2

V4 V6 V3

V3 V3 V4

V2 V1 V6

V1 V6 V6

BLOCO I BLOCO II BLOCO III

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + i + i + ij + k + rik + ()ik + Eijk; i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., b PRESSUPOSIÇÕES DO MODELO

- ’s são i.i.d. N(0, 2

δσ )

- n’s são i.i.d. N(0, 2

nσ )

- E’s são i.i.d. N(0, 2

Eσ )

Os ’s, n’s e E’s são distribuídos independentemente um do outro.

ESQUEMA PARA ANOVA

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 SQB QMB

A (horizontal) a – 1 SQA QMA QMA/QME(a)

Erro (a) (r – 1) (a – 1) SQE(a) QME(a)

B (vertical) b – 1 SQB QMB QMB/QME(b)

Erro (b) (r – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B QME(L)

A x B (a – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B QMA X B/QME(a)

Erro (c) (r – 1) (a – 1) (b – 1) SQE(c) QM' (c)

TOTAL rab – 1 SQT0

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DESVIOS PADRÕES DAS DIFERENÇAS

Diferença entre Desvio padrão

Duas médias de “A” 2QME(a)/rb

Duas médias de “B” 2QME(b)/ra

Duas médias de “A” no mesmo nível de B

1)QME()/rb(b 2QME(a)

Duas médias de “B” no mesmo nível de “A”

a1)QME(b)/r(a 2QME(a)

Para duas médias tendo diferentes níveis tanto de “A” como de “B”

abb)QME(a)/r - a - (ab bQME(b) 2[aQME(a)

EXPERIMENTO EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS

(SPLIT – PLOT)

O experimento em parcelas subdivididas é uma extensão do experimento em parcelas subdivididas para acomodar um terceiro fator é exclusivamente adequado para experimento com 3 fatores, onde três diferentes níveis de precisão são desejados para os vários efeitos.

Este experimento é caracterizado por duas características importantes:

1. Há 3 tamanhos de parcelas correspondendo aos três fatores. 2. Há 3 níveis de precisão, com a parcela recebendo o menor grau de precisão e a

sub-parcela recebendo o maior grau de precisão.

CROQUI – CASUALIZAÇÃO

A2 A3 A1

B2c1 B2c2 B2c1 B1c1 B1c3 B1c1 B2c2 B2c1 B2c2

B1c3 B1c1 B1c2 B3c3 B2c1 B1c2 B1c1 B1c3 B1c2

: : . : . . .

. . . : . : : :

EXPERIMENTO EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS

(SPLIT – SPLIT – PLOT)

Experimento em faixas com parcelas subdivididas é uma extensão do experimento em faixas na qual a parcela intersecção é subdivida para acomodar um terceiro fator. CARACTERÍSTICAS

Page 94: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

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1. Há 4 tamanhos de parcelas – a faixa horizontal, a faixa vertical, a parcela intersecção e a subparcela.

2. Há 4 níveis de precisão com que os efeitos dos vários fatores são medidos com o nível mais alto correspondendo ao fator subparcelas e suas interações com outros fatores.

A: 3 níveis de N B: 6 variedades C: 2 métodos de plantio

N1 N2 N3 N3 N2 N1 N3 N1 N2

V6 P2 P1 P2 V4 P2 P2 P1 V5 P2 P2 P2

P1 P2 P1 P1 P2 P1 P1 P1 P2

V5 P2 P1 P1 V2 P1 P2 P2 V2 P1 P2 P2

P1 P2 P2 P2 P1 P2 P2 P1 P1

V3 P1 P2 P2 V6 P2 P2 P2 V3 P1 P2 P2

P2 P1 P1 P2 P1 P1 P2 P2 P1

V2 P1 P2 P1 V3 P1 P2 P2 V4 P1 P1 P2

P2 P1 P2 P2 P2 P1 P2 P1 P2

V4 P2 P1 P2 V1 P2 P2 P1 V6 P1 P2 P1

P1 P2 P1 P2 P1 P2 P2 P2 P1

V1 P1 P2 P2 V5 P1 P2 P2 V1 P2 P1 P2

P2 P1 P2 P2 P1 P2 P2 P1 P1

REP. I REP. II REP. III CASUALIZAÇÃO:

1. Faça a casualização para o fator vertical e fator horizontal (variedades). 2. Divida cada parcela intersecção em cada uma repetição em subparcelas e faça a

casualização seguindo o mesmo esquema do experimento em parcelas subdivididas.

MODELO MATEMÁTICO

ijkm= + i + i + ij + k + nik + ()ik + ijk + m + ()jm + ()km ()jkm + Eijkm i = 1,

2, …, j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., b m = 1, 2, ..., c

ESQUEMA DA ANOVA Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 SQBl QMBL A a – 1 SQA QMA QMA/QME(a) Erro (a) (r – 1) (a – 1) SQE(a) QME(a) B b – 1 SQB QMB QMB/QME(b) Erro (b) (r – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B A x B (a – 1) (b – 1) SQE(b) QMA x B QMA X B/QME(a) Erro (c) (r – 1) (a – 1) (b – 1) SQE(c) QME(C)

C (c – 1) SQC QMC QMC/QME(a) A x C (a – 1) (c – 1) SQAC QMAC QMAC/QME(a) B x C (b – 1) (c – 1) SQBC QMBC QMBC/QME(b) A x B x CA x BC (a – 1) (b – 1) (c – 1) SQABC QMABC QMABC/QME(c)

Page 95: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

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Erro (a) ab(r – 1) (c – 1) SQE(a) QME(a)

Parcelas rabc – 1 SQT0

MODELO MATEMÁTICO

ijkm= + i + i + ij + k + ()ik + nijk + m(k) + ()jm(k) + Eijkm

i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., g m = 1, 2, ..., b

ESQUEMA DA ANOVA Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 SQBl QMBL A a – 1 SQA QMA QMA/QME(a) Erro (a) (r – 1) (a – 1) SQE(a) QME(a) B b – 1 SQB QMB QMB/QME(b) Erro (b) (r – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B A x B (a – 1) (b – 1) SQE(b) QMA x B QMA X B/QME(a) Erro (c) (r – 1) (a – 1) (b – 1) SQE(c) QME(C)

C (c – 1) SQC QMC QMC/QME(a) A x C (a – 1) (c – 1) SQAC QMAC QMAC/QME(a) B x C (b – 1) (c – 1) SQBC QMBC QMBC/QME(b) A x B x CA x BC (a – 1) (b – 1) (c – 1) SQABC QMABC QMABC/QME(c) Erro (a) ab(r – 1) (c – 1) SQE(a) QME(a)

Parcelas rabc – 1 SQT0

MODELO MATEMÁTICO

ijkm= + i + i + ij + k + ()ik + nijk + m(k) + ()jm(k) + Eijkm i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., g m = 1, 2, ..., b

ESQUEMA DA ANOVA Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 SQBl QMBL A a – 1 SQA QMA QMA/QME(a) Erro (a) (r – 1) (a – 1) SQE(a) QME(a) Grupo (g) (g – 1) SQG QMB(g) A x G (a – 1) (g – 1) SQAG QMAG QMAG/QME(b) Erro (b) a(g – 1) (r – 1) SQE(b) QME(b) B WITHIN G1 (b/g) – 1 SQB(G1) QMB(G1) QMB(G1)/QME(g1)

B WITHIN G (b/g) – 1 SQB(G1) QMB(G1) A x B WITHIN G1 (a – 1) [(b/g) -1] SQA x B(G1) QMA x B (G1) A x ( WITHIN G) (a – 1) [(b/g) -1] SQA x B(G) QMA x B (G) Erro (G) ag(r – 1) [(b/g) -1] SQE(g) QME(g)

TOTAL Rab – 1

EXPERIMENTO EM BLOCOS BALANCEADOS COM GRUPOS DE

TRATAMENTOS DIFERENTES EM PARCELA SUBDIVIDA

Page 96: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

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A característica principal deste experimento é o grupamento de tratamentos dentro de blocos homogêneos baseado em características do tratamento. Tratamentos pertencentes ao mesmo grupo são sempre testados no mesmo bloco. Tratamentos pertencentes ao mesmo grupo são comparados com um maior grau de precisão do que aqueles pertencentes a grupos diferentes. Este experimento é comumente usado em ensaio de variedades onde variedades com caracteres morfológicos similares são colocados mesmo entre. Dois critérios mais comumente usados para grupar as variedades são: Altura de planta – evitar o efeito de competição Duração do crescimento – minimizar a competição e facilitar as operações de colheita. Outro tipo de ensaio usando este experimento é aquele envolvendo controle químico de insetos na qual os tratamentos podem ser subdivididos em operações de pulverização similares para facilitar a aplicação do inseticida no campo. Ex: 45 variedades são criadas de acordo com seu período de crescimento: S1 – menos de 105 dias – S2 – 105 a 115 dias – S3 – maior que 115 dias e são testadas em duas quantidades de adubo (A1 e A2).

CROQUI

REP. I REP. II REP. III

S0 S2 S3 S2 S3 S1 S1 S2 S3

5 31 25

10 37 28

15 43 20

1 35 22

A2 2 34 27 A2 A2

14 36 18

9 42 26

13 32 29

11 38 19

8 39 21

3 41 17

4 33 25

6 44 23

7 90 30

12 45 16

A2 A2 A2

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97

EXPERIMENTOS FATORIAIS

O tipo de experimento multifator mais comumente usado é o experimento fatorial – são aqueles nos quais são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores. Cada subdivisão de um fator é denominada de nível do fator. Os tratamentos nos experimentos fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.

Variedades (V1, V2, V3) Adubações (A1, A2, A3) Ex.: Fatorial 3 x 3 x 2 Épocas de plantio (E1, E2) 18 tratamentos

V1A1E1 V2A1E1 V3A1E1

V1A1E2 V2A1E2 V3A1E2

V1A2E1 V2A2E1 V3A2E1

V1A2E2 V2A2E2 V3A2E1

V1A3E1 V2A2E1 V3A3E1

V1A3E2 V2A2E2 V3A3E2

Consideramos um fatorial 2 x 2, com os fatores: Adubação (A0, A1) e Calcário (C0, C1). Os resultados de produção para os 4 tratamentos são:

C0 C1 Totais

A0 14 23 37 A1 32 53 85

Totais 46 76 122 Efeito simples de um fator – é uma medida da variação que ocorre com a

característica em estudo (produção) corresponde as variações nos níveis desse fator, em cada um dos níveis do outro fator. ­ Efeito simples de adubo na ausência de calcário

A.d.C0 = A1C0 – A0C0 = 32 – 14 = 18

­ Efeito simples de adubo na presença de calcário A.d.C1 = A1C1 – A0C1 = 53 – 23 = 30

Page 98: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

98

­ Efeito simples de calcário na ausência de adubo

C.d.A0 = A0C1 – A0C0 = 23 – 14 = 9 ­ Efeito simples de calcário na presença de adubo

C.d.A1 = A1C1 – A1C0 = 53 – 32 = 21

Efeito principal de um fator – é uma medida da variação que ocorre com a

característica (produção) correspondendo as variações nos níveis desse fator, em média de todos os níveis do outro fator.

Efeito principal de A = 242

3018

2

Ad.CAd.C 10

Efeito principal de C = 152

219

2

Cd.ACd.A 10

Efeito de interação A x C = 62

921

2

A. Cd- A. Cd 01

Ñ Interação

A1 A1

A

A0

A0

A0

(a) (b) (c)

C 0 C 0 C 0C 1 C 1 C 1

INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO Os experimentos fatoriais podem ser instalados em qualquer dos delineamentos experimentais já estudados. Devemos seguir a risca o que determina tal delineamento, no que se refere a instalação.

ESQUEMA DA ANOVA PARA UM FATORIAL A x B

Causa da variação G.L. SQ QM F

Fator A (A) a – 1 SQA QMA QMA/EMR Fator B (B) B – 1 SQB QMB QMB/QMR Interação A x B (a – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B (Tratamentos) t – 1 SQT QMT Blocos r – 1 SQB QMB Resíduo (t – 1) (r – 1) SQR QMR

TOTAL tr – 1 SQT0

Page 99: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

99

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + i + αj+ k + ()ik + εijk

i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., b

ijk = observação que recebeu a combinação do j-ésimo nível do fator “A” e k-ésimo nível do fator “B” no i-ésimo bloco;

= média geral;

i = efeito do i-ésimo bloco; α = efeito do j-ésimo nível do fator “A”;

k = efeito k-ésimo nível do fator B;

()ik = efeito da interação resultante do j-ésimo nível do fator A e k-ésimo nível do fator B;

εijk = erro experimental.

HIPÓTESES PARA OS PARÂMETROS DOS TRATAMENTOS

)μ...μ(μ 0βΣ )μ...μ(μ 0αΣ:H BkB2Bkk

AjA2Ajj

0 11

j ()jk = 0 e

k ()jk = 0

H1: j j 0 e 0βΣ k

k ,

j ()jk 0 e

k ()jk 0

VANTAGENS DOS EXPERIMENTOS FATORIAIS

a) Permitem estudar os efeitos simples e principais dos fatores e os efeitos das

interações entre eles. b) Melhor utilização dos recursos dando maior eficiência.

DESVANTAGENS DOS EXPERIMENTOS FATORIAIS a) Quando o número de fatores aumenta o tamanho do experimento torna-se

grande. Ex.: 6 x 4 x 2 com 2 repetições (1) blocos incompletos (2) uso da técnica de confundimento e (3) uso de fatoriais fracionários.

b) A análise estatística é mais trabalhosa que nos experimentos simples e a interação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.

De acordo com a natureza dos fatores usados os experimentos fatoriais podem ser: 1. Qualitativos: cujos os níveis do fator são categorias . Ex.: cultivares, tipos de

poda, espaçamentos, tipos de raças, tipos de fungicida. 2. Quantitativos: cujos os níveis de fator são medidas quantitativas. Ex.: Doses de

fertilizantes, níveis de herbicidas, temperaturas, populações de plantas, etc.

Page 100: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

100

3. Mistos: quando se usa os dois tipos de tratamentos. Ex.: Arranjamentos

espaciais e populações de plantas.

Métodos de análise para fatoriais com: 1. Dois fatores qualitativos: contrastes planejados entre grupos de tratamentos,

seleção do melhor subconjunto de tratamentos, comparação de tratamentos ao controle e procedimento de comparações múltiplas.

2. Dois fatores quantitativos: curvas de respostas regressionais.

= 0 + 1x1 + 22

1x + 3x2 + 42

2x + 5x1x2 + ε

3. Um fator quantitativo e outro qualitativo: se int e sign e efeitos principais

significativo. Procedimento de comparação de média para fator quantitativo, por exemplo:

= 0 + 1x + 2x2 + 2x2 + ... + px

p + ε

Usos dos experimentos fatoriais

1. Nos experimentos exploratórios onde o objetivo é examinar um número grande

de fatores para determinar quais são importantes e quais não são. 2. Para estudar o relacionamento entre vários fatores, em particular para determinar

a presença e magnitude das interações. 3. Em experimentos delineados para levar recomendações sobre uma maior

variedade de condições.

ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE UM FATORIAL A x B Desvios padrões para uso de testes de média

Diferenças de duas Desvio padrão K

- Médias “A” 2QMR/rb a

- Médias “B” 2QMR/ra b

- Médias AB, no mesmo nível de B 2QMR/r a

- Médias AB, no mesmo nível de A 2QMR/r b

Elemento fatorial do tipo A x B x C

MODELO MATEMÁTICO

Page 101: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

101

ijkm= + i + j + k + ()ij + ()jk + ()ik + ()ijk + εijkm

ESQUEMA DA ANOVA PARA FATORIAL A x B x C

Causa da variação G.L. SQ QM F

A a – 1 SQA QMA QMA/QMR B b – 1 SQB QMB QMB/QMR C c – 1 SQC QMC QMC/QMR A x C (a – 1) (c – 1) SQAC QMAC QMAC/QMR A x B (a – 1) (b – 1) SQAB QMAB QMAB/QMR B x C (b – 1) (c – 1) SQBC QMBC QMBC/QMR A x B x C (a – 1) (b – 1) (c – 1) SQABC QMABC QMABC/QMR

Tratamentos abc – 1 SQT Resíduo abc(r – 1) SQR QMR

TOTAL rabc – 1 SQT0

HIPÓTESES PARA OS PARÂMETROS DOS TRATAMENTOS

0...)(0)(00 0βΣ 0;αΣ:H,,,,,

ii

ii

0 kji

ikki

ijjiji

kk

H1: Σ1 (algum i); 3

1 0 (alg. 1)

k 0 (alg. K); ( alg. i.j) ... () 0 (alg.

i,j,k)

DESVIOS PADRÕES DAS DIFERENÇAS ENTRE 2 MÉDIAS

Fator Desvio padrões de diferença

A 2QMR/rbc

B 2QMR/rac

C 2QMR/rab

AB 2QMR/rc

AC 2QMR/rb

BC 2QMR/ra

ABC 2QMR/r

FATORIAIS COM TRATAMENTOS ADICIONAIS OU FATORIAIS AUMENTADOS É qualquer experimento tendo um fatorial completo de tratamento mais um ou mais tratamentos adicionais. Suponha que um experimento fatorial 3 x 2 + 2 foi conduzido na UOF A. Três doses de nitrogêneo (20, 30 e 40 lbs) em combinação com duas doses de fósforos (5 e 10 lbs) mais dois tratamentos adicionais: C1 = tratamento padrão VS fatorial 3 x 2

Page 102: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

102

C2 = Testemunha VS todos os outros, com três repetições foram delineados para os efeitos desses fatores na produção do algodão. Delineamento experimental dói um DBCC. Nº DE TRATAMENTOS = 3 x 2 + 2 = 8

MODELO MATEMÁTICO

ijkl = + i + 1+ k + ()ik + i + Eijkl i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., b l = 1, 2 ..., p

ESQUEMA DA ANOVA PARA FATORIAL 3 x 2 + 2

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 = 2 SQB QMB Tratamentos (t – 1) = (7)

Nitrogênio (N) a – 1 = 2 SQN QMN QMN/QMR

Fósforo (F) b – 1 = 1 SQF QMF QMF/QMR

N x f (a – 1) (b – 1) = 2 SQNF QMN x F QMN x F/QMR

C1 1 SQC1 QMC1 QMC1/QMR

C2 1 SQC2 QMC2 QMC2/QMR

Resíduo (r – 1) (ab – 1) = 10 SQR QMR

TOTAL rab – 1 = 19

EXPERIMENTO FATORIAIS COM SUBAMOSTRAS

Em muitos experimentos onde vários fatores estão envolvidos, alguns podem ser fatoriais ou cruzados com outros; alguns podem ser subamostrais dentro dos níveis dos outros fatores. Quanto tanto os fatores cruzados e em subamostras aparecem no mesmo experimento ele é chamado experimento fatorial com subamostra.

MODELO MATEMÁTICO

ijkl = + 1+ i + k(1) + ()ij + ()ik(1) + Eijkl i = 1, 2, …, a j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., c l = 1, 2 ..., r

ESQUEMA PARA ANOVA DE FATORIAIS COM SUBAMOSTRAS

Causa da variação G.L. SQ QM F

A a – 1 SQA QMA QMA/QMAC/B B b – 1 SQB QMB QMB/QMC/B A x B (a – 1) (b – 1) SQA x B QMA x B QMA x B/QMAC/B C/B b(c – 1) SQC/B QMC/B QMC/B/QMR AC/B B(a – 1)(c – 1) SQAC/B QMAC/B QMAC/B/QMR Resíduo abc(r – 1) SQR QMR

TOTAL rabr – 1

Page 103: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

103

EXPERIMENTO COM FATORES EM SUBAMOSTRAS É quando cada nível da hierarquia representa um fator, neste experimento há uma hierarquia de observação com subamostras das unidades experimentais. Os tratamentos representam os níveis mais altos e as subamostras representam os níveis mais baixos da hierarquia.

1 4

1 7

1 2

2 5

2 8

3 6

3 95 114 106 12

MODELO MATEMÁTICO PARA 3 FATORES

ijk = + 1+ I (i) + k(1) i = 1, 2, …, a j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., c MODELO MATEMÁTICO PARA 4 FATORES

ijkm = + 1+ j(i) + k(ib) + m(idm) i = 1, 2, …, a j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., c m = 1, 2 ..., d

ESQUEMA PARA ANOVA

Causa da variação

G.L. Causa da variação

G.L. QM F

A a – 1 A QMA QMA QMR/QMB(A) B (A) a(b – 1) B(A) QMB QMB(A) QMB(A)/QMC(B) Resíduo ou C(B) (A)

ab(i – 1) Resíduo ou D(C)(B)(A)

abc(c - 1) QMC(B)(A) QMC(B)(A)/QME

TOTAL a – 1 TOTAL ac - 1

EXPERIMENTO EM SUBAMOSTRAS COM DIFERENTES NÍVEIS DE FATORES

É um experimento que tem número diferentes de níveis de fatores que são subamostras dentro dos outros fatores. Os níveis dos fator “B” subamostras dentro do fator “A” pode variar de um nível do fator “A” a outra de tal maneira que os graus de liberdades para o QMA QMB/A serão mais ou menos iguais.

ESTRUTURAS

ESTÁGIOS

A

B:A

C:3

bi

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104

ESQUEMA PARA COM DIFERENTES NÍVEIS DE FATORES

Causa da variação

G.L. SQ QM F

A (a – 1) SQA QMA QMA/QMB(A) B(A)

ab i

n

1 i

SQB(A) QMB(A) QMB(A)/QMC(B)A

C(B)(A) i

a

1 ib - N

SQC(B)(A) QMC(B)(A)

TOTAL N – 1 SQT0 EXPERIMENTO EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS O experimento em parcelas sub-divididas ou “Split-Plot” é próprio para experimentos com 2 fatores (A e B), em que a resposta de um deles é mais importante. Consiste em colocar nas parcelas um fator (o menos importante) e subdividir esta parcela com o outro fator. Nestes experimentos as parcelas são divididas em pares iguais, denominados de subparcelas, e podem ser distribuídas em qualquer delineamento estatístico, sendo mais utilizados os DICs e os DBCCs. De acordo com a estruturação das subparcelas, podemos distinguir dois tipos de experimentos em parcelas subdivididas: a) Parcelas subdivididas no espaço: quando em cada parcela há uma subdivisão

da sua área em subáreas. Constituindo cada uma delas, uma subparcelas. Ex.: parcelas, cultivares de milho e sua área subdivididas subáreas, cada uma delas com espaçamentos diferentes.

b) Parcelas subdivididas no tempo: quando as parcelas não se subdividem, mas,

periodicamente, são tomados dados em cada uma delas, constituindo estas tomadas as subparcelas. Ex.: nas parcelas diferentes cultivares de manga, e a cada ano avaliar a produção de frutos sempre nas mesmas parcelas. Cada constitui uma subparcela.

1

2 2 2 1 1

2 2,1 1 2 1

2 3 4 5

Page 105: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

105

A principal característica dos experimentos em parcelas subdivididas está na forma como é feita a casualização dos dois grupos de tratamentos. A casualização é feita em dois estágios: Primeiro casualiza-se os níveis do fator “A” nas parcelas. Em seguida casualiza-se os níveis do fato “B” nas subparcelas. E2 E1 E3

C1

C3

C2

C3

C2

C1

C3

C1

C2

OU 3 CULTIVARES 3 ESPAÇAMENTOS

C3 C1 C2

E2

E1

E3

E3

E1

E2

E1

E3

E2

Em função das casualizações efetivadas neste experimento, tem-se dois resíduos distintos: Resíduo (a) – Base para comparações dos níveis do fator nas parcelas. Resíduo (b) – Base para comparações dos níveis do fator nas subparcelas. O delineamento em parcelas subdividas é desejável nas seguintes situações: 1) Ele pode ser usado quando os tratamentos associados aos níveis de um dos

fatores exigem maior quantidade de material na unidade experimental do que os tratamentos do outro fator. Ex.: Métodos de preparo do solo (parcelas grandes). O outro fator, variedades (parcelas menores).

2) O delineamento pode ser usado quando um fator adicional é incorporado num

experimento, para ampliar seu objetivo. Ex.: Principal objetivo: comparar os efeitos de diversos fungicidas contra infecção por uma doença diversas variedades são incluídas (para ampliar) para ver a resistência da planta.

Variedades distribuídas nas parcelas e os fungicidas nas subparcelas. Largamente usado em ensaios envolvendo: adubação mineral e calagem; irrigação e densidade de plantio; métodos de ensaio e recursos audiovisuais; etc. Devido ao tamanho da parcela e precisão de medidas dos efeitos não serem o mesmo para os fatores, as seguintes diretrizes são sugeridas quando designar um particular fator: 1. Grau de precisão: para um maior grau de precisão para o fator “B” do que o fator

“A”, aloque o fator “B” as subparcelas e o fator “A” a parcela. 2. Tamanho relativo dos efeitos principais: se o efeito principal de um fator (fator B)

é esperado ser maior e mais fácil de detectar do que algum do outro fator (A). O fator “B” deve ser designado as parcelas e o fator “A” subparcelas.

Page 106: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

106

3. Práticas de manejo: as práticas cultivares por um fator pode ditar o uso de parcelas grandes. Por conveniência prática, tal fator deve ser designado as parcelas. Experimento de manejo d’água e adubação.

VANTAGENS E DESVANTAGENS DESTE EXPERIMENTO

VANTAGENS:

1. Melhor utilização dos recursos dando maior eficiência. 2. Permitem estudar os efeitos principais dos fatores ... 3. É mais prático de distribuir que o fatorial, o que os tornam muitas vezes prescrito

pelos pesquisadores.

DESVANTAGENS: 1. O número de tratamentos cresce rapidamente quando o número de níveis

aumenta, dificultando a instalação do experimento. 2. Menos eficiente, do ponto de vista estatístico, que os fatoriais pois possuem dois

resíduos.

INSTALAÇÃO DOS EXPERIMENTOS Consideramos um experimento para testar um fator A (Calcário) em dois níveis (A1, A2), distribuídos em 4 blocos casualizados. Um segundo fator B (adubo) em 3 níveis (B1, B2, B3) alocados as parcelas. 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco

A2B1 A1B2 A1B3 A2B1

A2B3 A1B3 A1B1 A2B3

A2B2 A1B1 A1B2 A2B2

A1B2 A2B3 A2B1 A1B1

A1B1 A2B2 A2B2 A1B3

A1B3 A2B1 A2B3 A1B2

MODELO MATEMÁTICO

ijk = + i + ij + ij + k + ()ik + εijk

i = 1, 2, …, r j = 1, 2, ..., a k = 1, 2, ..., b

ijk = parcela que recebeu j-ésimo de “”, k-ésimo de “B” na i-ésima repetição.

= media da população.

i = efeito de i-ésima repetição.

ij= efeito de i-ésimo nível do fator A.

ij = Componente de erro da parcela.

Page 107: Tecnicas Experimentais Em Fitotecnia - Revisado

107

k = efeito k-ésimo nível do fator B.

()ik =efeito da interação do j-ésimo nível do fator A e do k-ésimo nível do fator B.

εijk = componente de erro da subparcela.

ESQUEMA PARA ANOVA (DECOMPOSIÇÃO DO G.L.)

C. variação G.L. C. variação G.L. C. variação G.L.

DQL DBC DIC

Linhas a – 1 Colunas a – 1 Blocos r – 1 A a – 1 A a – 1 A a – 1 Erro (A) (a – 1) (a – 2) Erro (A) (a – 1)(r – 1) Erro (A) a(r – 1) Parcelas a

2 – 1 Parcelas ar – 1 Parcelas ar – 1

B b – 1 B b – 1 B b – 1 A x B (a – 1) (b – 1) A x B (a – 1)(b – 1) A x B (a – 1)(b – 1) Erro (B) a(a – 1) (b – 1) Erro (B) a(r – 1)(b – 1) Erro (B) a(r – 1)(b – 1)

Subparcelas a2b – 1 Subparcelas arb – 1 Subparcelas ar(b-1)

HIPÓTESES PARA TESTE DE TRATAMENTOS

H0: toda ()jk= 0 H0: todo j = 0 H0: todo k = 0

H1: algum ()jk 0 H1: algum j 0 H1: algum k 0

Diferença entre Desvio padrão

Duas médias de A (a1 – a2) 2QMR(a)/rb

Duas médias de B (b1 – b2) 2QMR(b)/ra

Duas médias de “B” no mesmo nível de “A” (a1b1 – a1b1)

2QMR(b)/r

Duas médias de “A” no mesmo nível de “B” (a1b1 – a1b1)

QMR(b)/rb 1)- b( 2(QMR(a)

ESQUEMA DA ANOVA

Causa da variação G.L. SQ QM F

Blocos r – 1 SQBL QMBL A a – 1 SQA QMA QMA/QME(a) B b – 1 SQB QMB QMB/QMR(b) A x B (a – 1) (b – 1) SQAB QMAB QMAB/QMr(a) Resíduo (a) (r – 1)(ab – 1) SQR(a) QMR(a) Parcelas abr - 1 SQP

C (c – 1) SQC QMC QMC/QMR(a) A x C (a – 1) (c – 1) SQAC QMAC QMAC/QMR(b) B x C (b – 1) (c – 1) SQBC QMBC QMBC/QMR(b) A x B x C (a – 1) (b – 1) (c – 1) SQABC QMABC QMABC/QMR(c)

Resíduo (b) ((rabc-1)-(abr-1))-(c-1)-((a-1)(c-1))-((a-

1)(b - 1)(c - 1)) SQR(b) QMR(b)

Subparcelas rabc – 1 SQSP

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108

MODELO MATEMÁTICO

ijkm= + i + i + k + ()ik + ijk + m + ()jm + ()km + ()jkm + Eijkm