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Tema V. CURVAS COMPOSTAS CURVAS COMPOSTAS Quando se produzem duas curvas circular sucessivas e ambas estão do mesmo lado de sua tangente comum, estas curvas constituem uma curva composta. Os raios destas curvas são diferentes. Utilizam-se quando se deseja adaptar o traçado à topografia do terreno, sobretudo na zona montanhosa, em que pode ser necessária a utilização de duas, três, ou mais curvas circulares simples de raios diferentes. É por este motivo que em dependência do número de curvas de raios diferentes empregados, o sistema de curvas composta recebe o nome de curvas compostas de dois centros, de três centros, etc. Curvas compostas de dois centros Na figura 1 observa-se que o PC da segunda curva coincide com o PT da primeira , e a este ponto se lhe denomina PCC. Figura No1. Curva composta Para a curva de maior raio :

Tema V. CURVAS COMPOSTAS CURVAS COMPOSTAS … · Conhecidos quatro destes setes elementos, ... Curva composta. As curvas compostas de dois centros tratam-se para seu cálculo e replanto,

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Tema V. CURVAS COMPOSTAS

CURVAS COMPOSTAS

Quando se produzem duas curvas circular sucessivas e ambas estão do mesmo ladode sua tangente comum, estas curvas constituem uma curva composta.

Os raios destas curvas são diferentes. Utilizam-se quando se deseja adaptar o traçado àtopografia do terreno, sobretudo na zona montanhosa, em que pode ser necessária autilização de duas, três, ou mais curvas circulares simples de raios diferentes.

É por este motivo que em dependência do número de curvas de raios diferentesempregados, o sistema de curvas composta recebe o nome de curvas compostas dedois centros, de três centros, etc.

Curvas compostas de dois centros

Na figura 1 observa-se que o PC da segunda curva coincide com o PT da primeira, ea este ponto se lhe denomina PCC.

Figura No1. Curva composta

Para a curva de maior raio:

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R1: Raio em metros

T1: Tangente em metros

∆1: ângulo de inflexão em graus sexagésimos.

Para a curva de menor raio:

R2: Rádio em metros

T2: Tangente em metros

∆2: ângulo de inflexão em graus sexagésimos.

Além :

∆ = ∆1 + ∆2 = Ângulo de inflexão no PI

Em uma curva composta há sete elementos que a definem:

∆, R1, T1, ∆1, R2, T2, ∆2

Conhecidos quatro destes setes elementos, incluindo entre eles um ângulo, é possível determinar os outros três restantes.

T b=R1−R2 cos∆−(R1−R2) cos ∆1

Sen∆=

Y 1

Sen∆

T a=R2−R1 cos∆1+(R1−R2 ) cos∆2

Sen ∆=

Y 2

Sen ∆

Sen ∆1=Ta+T b cos∆−R2 Sen∆

R1−R2

=X1−R2 Sen∆

R1−R2

Sen ∆2=R1 Sen∆−Ta cos ∆−T b

R1−R2

R1=R2+Tb Sen∆−R2(1−cos ∆)

1−cos∆1

R2=R1−R1 (1−cos ∆ )−T aSen ∆

1−cos∆2

Na figura 2 representou-se uma curva composta mas de forma inversa à da figura 1.

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Figura No 2. Curva composta.

As curvas compostas de dois centros tratam-se para seu cálculo e replanto, como duascurvas circulares simples por separado.

As especificações recomendam que a curva de maior raio não seja superior em vez emeia ao raio da curva mais fechada.

R1 ≤ 1.5R2

CURVAS DE TRÊS CENTROS

Utilizam-se nas vias de giro e nas revoltas de raio mínimo das intersecções, com oobjectivo de adaptar-se melhor à trajectória das impressões deixadas pelos veículos dedesenho, com o qual se economiza na construção do pavimento.

Sempre que as condições do lugar de construção da intersecção permitam-no, oprojectista deverá utilizar uma curva de três centros em lugar de uma curva circularsimples.

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Figura No 4. Curva de três centros

Pode-se observar que a curva de três centros é uma variante da curva composta (comtrês centro), com a particularidade de que os raios das curvas extremas R2 são iguais emaiores que o raio R1 da curva central.

Como os raios da curva de três centros utilizados nas vias de giro das intersecções sãode curto comprimento, para sua implantação se recomenda o método das coordenadas.

É possível e muito recomendável a utilização de curvas de transição em lugar das curvasde três centros nas vias de giro.

∆ = ∆1 + 2∆2

Para a curva de R1:

T1 = R1 tag ∆1/2

D1=∆1 R1

57.2958

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Para a curva de raio R2:

T2 = R2 tag ∆2/2

D2=∆2 R2

57.2958

Onde T1 e T2: Tangentes particulares das curvas de rádio R1 e R2 em metros.

D1 e D2: Desenvolvimentos particulares das curvas de raio R1 e R2 em metros.

∆1 e ∆2: Ângulos centrais que subentendem às curvas de raio R1 e R2 em graussexagésimos

Ademais:

T e=[R2 Sen∆2−(R2−R1 )Sen

∆1

2 ] Sec ∆2

Onde: Te: Tangente exterior da curva de três centros em metros

cos ∆2=1−O

R2−R1

O: Retranqueo da curva de três centros, o qual estão em função da velocidade de desenho adoptada na via de giro da intersecção.

CURVAS REVERSAS

Quando duas curvas se sucedem em sentido contrário e têm o ponto de união outangencia comum, recebem o nome de curvas reversas.

Este ponto recebe o nome de ponto de curvatura reversa (PCR), e nos casos de raiosde curvaturas pequenos podem-se produzir problemas que fazem difícil o movimentodos veículos devido a uma manobra errática dos condutores, além de que se criamproblema para o desenvolvimento da sobre elevação e o correcto escorrimento daságuas superficiais que caem sobre a calçada.

Para seu cálculo e implantação seguem-se os mesmos princípios estudados nas curvascirculares simples.

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Figura No 3. Curvas reversas.

CURVAS DE TRANSIÇÃO

1. Elementos e funções fundamentais da curva de transição.

2. Cálculo da longitude da curva de transição

Introdução.

Denominam-se curvas de transição àquelas curvas que se colocam nos extremos dascurvas circulares simples, de forma tal que a mudança de curvatura entre o troço recto eo arco circular seja suave e gradual e que a sobre elevação em todos seus pontos esteconforme com o grau de curvatura.

A necessidade da curva de transição compreende-se quando analisamos o movimento deum veículo entre um lance recto e um circular. Quando um veículo que circula por umlance recto de estrada chega a um circular, deve colocar suas rodas dianteiras com umnovo ângulo, que depende do raio da curva circular pela qual vai transitar. Compreende-se que este movimento não pode ser realizado instantaneamente, senão que se precisadum intervalo de tempo para poder o realizar; criando assim a necessidade duma curvade transição cuja longitude tanto faz à velocidade do veículo pelo tempo.

Entre as curvas de transição mais usualmente empregadas podem citar-se:

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Clotoide; Na qual se cumpre que o raio de curvatura é inversamente

proporcional a sua longitude.

Lemniscata de Bernoulli; Na qual se cumpre que o grau de curvatura é

directamente proporcional ao raio vector.

Espiral cúbica; É uma curva dada pelas mesmas expressões da clotoide, mas

desprezando na equação de "ela" alguns termos.

De todas elas, a mais difundida é a clotoide, já que sua forma se adapta à trajectóriaseguida por um veículo que viaja a velocidade constante e cujo volante é accionado deforma uniforme.

As vantagens da clotoide sobre a curva circular simples podem resumir-se no seguinte:

Produzem uma fácil e natural trajectória para os veículos, de forma tal que a

força centrífuga aumenta e diminui gradualmente quando um veículo entra ousai de dita curva. Este facto tende a garantir uma velocidade uniforme; bemcomo aumentar as condições de segurança.

Produzem a longitude desejável para o desenvolvimento da sobre elevação, e

toda ela pode ser distribuída em dita curva.

Onde a secção transversal do pavimento da via na parte circular, tem que ser

alargado, as clotoides facilitam a longitude desejável para a transição emlargura.

A estética duma estrada é altamente favorecida com sua utilização.

Figura 1. Curva de transição

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TS: Ponto de mudança de tangente a clotoide.

SC: Ponto de mudança de clotoide a circular.

CS: Ponto de mudança de circular a clotoide. ST: Ponto de mudança de clotoide atangente. l: Arco de clotoide desde o TS ou ST a um ponto qualquer de dita curva.

ls: Longitude total da clotoide desde o TS ao SC ou desde o CS ao ST.

φ: Angulo central do arco de clotoide l.

φs: Angulo central do arco de clotoide ls; chamado ângulo da clotoide.

g: Grau de curvatura da clotoide em um ponto (variable)

Gc: Grau de curvatura do círculo deslocado, ao que resulta tangente a clotoide; no SC eCS.

∆: Ângulo de inflexão no PI; igual ao ângulo central que subtende a toda a curva detransição. ∆c: Ângulo central que subtende o arco circular intermédio de desenvolvimento Dc,entre o SC e o CS.

e: Ordenada à tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao TS ou ST e atangente inicial.

Ys: Ordenada à tangente no SC ou CS.

X: Distância sobre a tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao TS ou STe a tangente inicial.

Xs: Distância sobre a tangente do SC ou CS.

O: Retruque. Menor distância que separa ao arco circular prolongado e a tangenteinicial.

t: Abcissa do retruque.

Ts: Tangente da clotoide. Distância entre o PI e o TS ou entre o PI e o ST.

A seguir expõem-se as expressões que permitam calcular as coordenadas (x;y) de umponto qualquer sobre a clotoide, com o objectivo de obter a fórmula que rege àsinflexões neste tipo de curva e poder chegar a implantaras no terreno.

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Figura 2. Clotoide entre o TS e o SC.

Φ: Ângulo central que subtende a um arco de espiral l.

SC lR

l

2

2

Quando φ = φs; l = ls, a expressão anterior transforma-se em:

C

Ss R

l

2

Y: Ordenada para um ponto qualquer sobre a curva clotoide em função do ângulo Ø.

Esta expressão pode-se expressar em função de l:

....

!5.11!3.732

211

27

23

SC lRY

Expressão simplificada

423

3lY

X: Abcissas de qualquer ponto sobre a clotoide com referência ao TS ou ST de dita curva.

.....

!4.9!2.52

29

25

21

SC lRX

Expressão simplificada

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Conhecidas estas expressões, é possível determinar a equação que rege as inflexões numa clotoide.

2

2

´ 20l

lS

S

FUNÇÕES FUNDAMENTAIS.

Na figura 2 representam-se os dois arcos de clotoide compreendidos entre o TS e o SC;e entre o ST e o CS, os quais estão unidos por um arco circular intermédio que osubtende um ângulo central de:

∆c = ∆ - 2S

Para colocar as clotoides transladou-se radialmente o arco circular para adentro àposição AA'; na qual:

BA = B'A'= O (retruque)

O qual vem dado pela expressão:

O = YS - Rc(1 - cos S

) expressão simplificada c

s

R

lO

24

2

Figura 2. Funções fundamentais

Da própria figura pode-se determinar a abcissa do retruque:

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t = Xs - Rc sen φs expressão simplificada 2slt

Estes dois valores são de grande utilidade, já que mediante eles é possível conheceroutras funções fundamentais da clotoide; como são: a tangente (Ts) e sua externa (É).Para sua determinação utilizamos a figura 3.

Figura 3. Outras funções

A tangente é a distância que separa ao PI do TS e do ST; sua determinação éfundamental para conhecer as estações dos pontos notáveis da curva de transição.

Y' = Tc+ O.tan ∆/ 2

e segundo a definição de tangente: Ts = t + y'

Pelo que:

Ts = Tc + O.tan ∆/2 + t

Que é a expressão utilizada para determinar a tangente numa curva de transição.

A função externa (E) é a distância entre o PI e o ponto médio da curva de transição. Dafigura 3 obtém-se

Es =Ec + O.sec ∆/ 2

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Além, da própria figura 3 é possível determinar o desenvolvimento do arco circularintermédio entre o SC e o CS.

C

S

GDc

)2(20

Nas expressões anteriores Ts; o; t; Tc; É e Dc, expressam-se em metros e ∆; S

e Gc,em graus sexagésimos.

Na figura 4 pode-se determinar outras funções menos importantes das curvas clotoideou de transição.

Figura 4. Funções menos importante da curva clotoide.

Corda Longa (CL): Distância entre o TS e o SC ou entre o ST e o CS.

3S

S

Cos

XCL

Tangente Curta (TC): Distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o SC ou

CS de dita curva.

S

S

Sen

YTC

Tangente Longa (TL): a distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o TS ou

ST de dita curva:

TL =XS −TC cosφS

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CRITÉRIOS PARA A DETERMINAÇÃO DA LONGITUDE DA CURVACLOTOIDE.

Existem diferentes factores que fixam a longitude da clotoide; cada um deles dá lugaraos seguintes critérios:

Longitude mínima de clotoide para o desenvolvimento da sobre elevação.

Longitude mínima de clotoide por conforto dinâmico e de segurança para o utente.

Longitude mínima de clotoide por conforto óptico.

As longitudes das curvas clotoides em nenhum caso devem ser menores que o 60 % davelocidade de desenho da via.

Longitude mínima para o desenvolvimento da sobre elevação.

Este critério proporciona valores mínimos de curva clotoide para que se possadesenvolver satisfatoriamente a sobre elevação. Para isso, se estabelecem valoresmáximos de pendente longitudinal dos bordes da via com relação a seu eixo, os quaisdependem da velocidade de desenho adoptada; com o objectivo de conseguir um bomdrenagem do pavimento na zona próxima no ponto de 0 % de sobre elevação.

Pode-se chegar a determinar por uma simples proporção que:

maxmaxmin .2

. ea

plS

Onde:

a: largura da via; em metros.

emax: peralte máximo correspondente à curva; em m/m.

ls(min): longitude mínima de clotoide por transição de peralte; em metros.

Pmáx: denominador da pendente longitudinal máxima obtido em função da velocidade natabela 1.

Tabela 1. Pendente longitudinal máxima

Velocidad dediseño VD

(km/h)

Pendentelongitudinal

máxima

30 1/100

40 1/125

50 1/150

60 1/175

80 1/200

100 1/225

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Longitude mínima por conforto dinâmico e de segurança para o utente.

Este critério fixa valores adequados para a mudança da aceleração transversal oucentrífuga, com o objectivo de conseguir uma cómoda transição entre o troço recto e otroço circular.

Pode-se determinar pela seguinte expressão:

máx

CS e

R

V

Kt

Vl 127

65.46

2

min

As especificações recomendam para o coeficiente Kt os seguintes valores:

Desejável

Para VD < 80 km/h --- Kt = 0,50 m/s3

VD ≥ 80 km/h --- Kt = 0,40 m/s3

Máximo

Para VD = 100 km/h --- Kt = 0,50 m/s3

VD = 80 km/h --- Kt = 0,60 m/s3

VD <80 km/h --- Kt = 0,70 m/s3

Longitude mínima por conforto óptico.

Este critério recomenda que por razões de ordem estético, o ângulo Øs que subtende aclotoide deva ter um valor mínimo de 3,5 graus.

A longitude mínima da clotoide segundo o critério de confort óptico, deve ser igual oumaior que a novena parte do raio do arco circular intermédio.

9minC

S

Rl

A forma de proceder num caso particular, será determinar a longitude mínima de curvade transição pelo cada um dos três métodos tratados e escolher a maior deles; que a suavez cumpre com os dois restantes.

Exemplo de cálculo de longitude de curva de transição.

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Calcular a longitude mínima de curva de transição de acordo aos três métodosdesenvolvidos, se conhecem-se os seguintes dados:

VD = 80 km/h.

Rc = 572,96 m.

emax = 10 % = 0,10 m/m.

e = 6% = 0,06 m/m pendente longitudinal dos borde = 1/200

a = 7.00 m.

Longitude mínima recomendável.

ls(min) = 0,6 VD = 0,6 . 80

ls(min) = 48,00 m

Por transição de peralte, na expressão:

ls(min) = p . a/2. e

1 ls(min) = 200 . 7/2. 0,06 = 42 m.

Longitude esta menor que a mínima recomendável em função da velocidade dedesenho.

Por conforto dinâmico e segurança para o utente, na expressão:

máx

CS e

R

V

Kt

Vl 127

65.46

2

min

06,0.127

96,572

80

40.50,46

80 2

minSl

=15m

Por conforto óptico na expressão:

mR

l CS 64

9

96,572

9min

Observa-se que o critério dominante é o de conforto óptico, já que é maior que os doisrestantes. Portanto, a longitude da clotoide a utilizar é de 48 metros (critériobaseado na velocidade de desenho), ou preferivelmente 64 metros que resultouser o critério dominante.

No ANEXO I encontram-se tabuladas as longitudes de clotoide em função davelocidade de desenho e do raio e grau de curvatura da curva de transição. Deve-sedestacar que se colocaram duas colunas para estas longitudes: longitude mínima elongitude óptica.

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A longitude mínima obedece ao critério dominante entre transição de peralte econforto dinâmico e de segurança para o utente; e a longitude óptica ao critério deconforto óptico. Construiu-se desta forma motivado porque o critério de conforto óptico quase sempreresulta dominante sobre os outros dois, e em muitas ocasiões não é possível odesenvolvimento desta longitude devido a restrições no traçado; ou seja, dá-se apossibilidade de utilizar segundo o caso, ou a longitude dominante resultante dos doisprimeiros critérios desenvolvidos; ou a longitude óptica.

Deve-se assinalar que as longitudes de curva de transição que aparece no ANEXO I sãolongitudes mínimas; pelo que se não existem restrições para seu desenvolvimento noterreno, é possível utilizar longitudes maiores que as que aparecem em dito anexo.

CURVAS DE TRANSIÇÃO COMPLETAMENTE TRANSICIONALES.

Denominam-se assim àquelas curvas de transição nas que não existe arco circularintermédio; isto é, ∆c = 0.

Na figura 5 encontra-se representado este problema.

O ponto comum entre as duas clotoides denomina-se clotoide-clotoide (SS); e para queesta condição suceda deve se cumprir que:

φs = ∆/2

Sa

S

E

YSen 11º360

Ângulo para replantar a união da externa com o ss bisando o TS. Δ=φS1+ φS2

CURVAS DE TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICAS.

As curvas de transição assimétricas produzem-se quando devido a limitações notraçado não é possível a colocação de clotoides iguais à entrada e à saída de ditacurva.

No cada uma delas se mantêm as mesmas funções deduzidas para a curva de transiçãomas com algumas variações. Destaca-se que as expressões a utilizar dependerão dasmagnitudes dos retruqueis nas clotoides de entrada e de saída

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Figura 5. Curvas de transição completamente transicional

Na figura 6 pode-se demonstrar que:

Si O2 > O1 :

Sen

OOtOTT CS

12111 2tan

Sen

OOtOTT CS

12222 2tan

Si O1>O2:

Sen

OOtOTT CS

12111 2tan

Sen

OOtOTT CS

12222 2tan

Onde: TS1 e TS2: Tangente da clotoide primeiramente e saída ( m).

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Figura 6. Curva de transição assimétrica

A função externa responde à seguinte equação:

2

11

2

111 212

CSS

Cssa CosROTRSentE

O ângulo para replantar a união da externa com o arco circular bisando ao TS será:

Sa

S

E

ZYSen 11º360

Onde: Z na figura 6, será igual a:

442 1C

SC

C SenSenRZ

Por último, o desenvolvimento do arco circular entre o SC e CS será:

C

SSC G

D 2120

Cálculo E Implantação Da Curva De Transição

Trabalhos De Campo

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Definem-se os trabalhos de campo como o conjunto de operações que deve realizar acomissão de topografia, para poder chegar a replantar as estações notáveis (TS; SC;PM; CS e ST) e todas as estações pares da curva de transição.

Fundamentalmente existem dois métodos para o replanto:

Por ângulos de inflexão.

Por coordenadas.

Replante por ângulos de inflexão.

É o método mais generalizado para o replanto da clotoide e utiliza a expressão:

2

2

´ 20l

lS

S

Onde: ls e l: expressam-se em metros.

φs: expressam-se em graus sexagésimos.

α: expressa-se em minutos sexagésimos.

Não obstante, podem-se usar outras duas formas de calcular as inflexões para o replantesimilares à anterior, é onde o ângulo de inflexão α' esteja expressado em função doparâmetro K e A.

40´

2Kl

2

296,572´

A

l

Define-se o parâmetro K como a razão de mudança do grau de curvatura daclotoide por estações pares do traçado (20m); ou seja, como a clotoide é uma curva decurvatura uniformemente variável (g = 0º00' no TS ou ST e g = Gc no SC ou CS), oparâmetro K indica como é esta variação a cada 20m. O parâmetro K é uma constantepara uma mesma clotoide.

O parâmetro A define-se como:

lRA .

Onde: R: Rádio da clotoide em um ponto qualquer; em metros.

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l: Longitude pela clotoide entre o TS ou ST e o ponto P; em metros. No caso particularde que o ponto P da clotoide coincida com o SC ou CS:

SC lRA .

Onde: Rc: Rádio do arco circular; em metros.

ls: Longitude da clotoide; em metros.

O parâmetro A é também uma constante para uma mesma clotoide; pelo tanto, existeuma expressão que os relaciona.

2

40,22918

AK

IMPLANTAÇAO POR COORDENADAS.

Demonstrou-se que o ângulo central que subtende a toda a clotoide (Øs), para pontos P

sobre a mesma varia entre

= 0º00' até

= S

Se avalia-se na expressão

SSl

l

2

, para os diferentes pontos da clotoide, osângulos centrais resultantes serão os correspondentes às estações pares do traçado. Seestes valores de φ substituem-se nas expressões de x e y, obtêm-se as coordenadas (x; y)correspondentes às estações pares do traçado e ter-se-á resolvido o problema do replantepor coordenadas desde a tangente inicial.

Resolver este problema mediante o cálculo manual resulta muito engrosso (chato); peloque se criou uma tabela ANEXO II, para valores unitários de x e y, que ao multiplicarpelos ângulos φ e por suas distâncias ao TS ou ST de todas as estações pares do traçadonos proporcionam os valores da (x) e da (y) dessas estações.

Exemplo de registo de replante por coordenadas.

Calcular o registo de replante por coordenadas da curva clotoide cujos dados são:

EST TS = 81 + 1,14

φS=10º00´

Ls=120m

Assim, para calcular o x e a y correspondente à estação EST 84+ 0,00, se procede daseguinte forma:

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Acham-se no ANEXO II os valores unitários da (x) e da (y) para:

φ= 0º00' e sua diferença para um minuto (1').

Para a x:

Para φ = 0º00' ...... 1,000 000

Diferencia para 1'.... 0,000 000

Para a y:

Para φ = 0º00' ...... 0,000 000

Diferencia para 1'.... 0,000 097

Multiplica-se a diferença para um minuto pela quantidade de minutos que tem o

ângulo φ na estação EST 84 + 0,00:

0,000000.34,68'=0,00000000 (para a x)

0,000097.34,68'=0,00336396 (para a y)

Se soma o resultado anterior com o valor correspondente a 0º00'.

1,000000 +0,00000000 =1,00000000 ( para a x)

0,000000 +0,00336396 =0,00336396 (para a y)

Multiplica-se o resultado anterior pela distância entre o TS e a estação EST 84+0,00:

X = 1,00000000.28,86 =28,860000m

Y =0,00336396.28,86 =0,0963808m

Se aproxima-se até o centímetro

X =28,86m

Y = 0,10m

Estes valores aparecem nas duas últimas colunas da tabela 4 para a estação EST 84+0,00. O processo repete-se na cada estação par do traçado.

Tabla No 4. Registo de replante por coordenadas

Page 22: Tema V. CURVAS COMPOSTAS CURVAS COMPOSTAS … · Conhecidos quatro destes setes elementos, ... Curva composta. As curvas compostas de dois centros tratam-se para seu cálculo e replanto,

ESTAÇÃO DISTANCIA (m)

(l/ls)² φ X (m) Y (m)

TS= 81+1,14

0,00 0,0000 0º00' 0,00 0,00

82+0,00 8,86 0,00550º03,30'

8,86 0,00

84+0,00 28,86 0,05780º34,68'

28,86 0,10

86+0,00 48,86 0,06781º39,48'

48,86 0,47

88+0,00 68,86 0,32933º17,58'

68,84 1,32

90+0,00 88,86 0,54935º29,16'

88,81 2,83

92+0,00 108,86 0,82308º13,80'

108,66 6,20

SC=93+1,14

120,00 1,0000 10º00' 120,63 6,97