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Tema V. CURVAS COMPOSTAS
CURVAS COMPOSTAS
Quando se produzem duas curvas circular sucessivas e ambas estão do mesmo ladode sua tangente comum, estas curvas constituem uma curva composta.
Os raios destas curvas são diferentes. Utilizam-se quando se deseja adaptar o traçado àtopografia do terreno, sobretudo na zona montanhosa, em que pode ser necessária autilização de duas, três, ou mais curvas circulares simples de raios diferentes.
É por este motivo que em dependência do número de curvas de raios diferentesempregados, o sistema de curvas composta recebe o nome de curvas compostas dedois centros, de três centros, etc.
Curvas compostas de dois centros
Na figura 1 observa-se que o PC da segunda curva coincide com o PT da primeira, ea este ponto se lhe denomina PCC.
Figura No1. Curva composta
Para a curva de maior raio:
R1: Raio em metros
T1: Tangente em metros
∆1: ângulo de inflexão em graus sexagésimos.
Para a curva de menor raio:
R2: Rádio em metros
T2: Tangente em metros
∆2: ângulo de inflexão em graus sexagésimos.
Além :
∆ = ∆1 + ∆2 = Ângulo de inflexão no PI
Em uma curva composta há sete elementos que a definem:
∆, R1, T1, ∆1, R2, T2, ∆2
Conhecidos quatro destes setes elementos, incluindo entre eles um ângulo, é possível determinar os outros três restantes.
T b=R1−R2 cos∆−(R1−R2) cos ∆1
Sen∆=
Y 1
Sen∆
T a=R2−R1 cos∆1+(R1−R2 ) cos∆2
Sen ∆=
Y 2
Sen ∆
Sen ∆1=Ta+T b cos∆−R2 Sen∆
R1−R2
=X1−R2 Sen∆
R1−R2
Sen ∆2=R1 Sen∆−Ta cos ∆−T b
R1−R2
R1=R2+Tb Sen∆−R2(1−cos ∆)
1−cos∆1
R2=R1−R1 (1−cos ∆ )−T aSen ∆
1−cos∆2
Na figura 2 representou-se uma curva composta mas de forma inversa à da figura 1.
Figura No 2. Curva composta.
As curvas compostas de dois centros tratam-se para seu cálculo e replanto, como duascurvas circulares simples por separado.
As especificações recomendam que a curva de maior raio não seja superior em vez emeia ao raio da curva mais fechada.
R1 ≤ 1.5R2
CURVAS DE TRÊS CENTROS
Utilizam-se nas vias de giro e nas revoltas de raio mínimo das intersecções, com oobjectivo de adaptar-se melhor à trajectória das impressões deixadas pelos veículos dedesenho, com o qual se economiza na construção do pavimento.
Sempre que as condições do lugar de construção da intersecção permitam-no, oprojectista deverá utilizar uma curva de três centros em lugar de uma curva circularsimples.
Figura No 4. Curva de três centros
Pode-se observar que a curva de três centros é uma variante da curva composta (comtrês centro), com a particularidade de que os raios das curvas extremas R2 são iguais emaiores que o raio R1 da curva central.
Como os raios da curva de três centros utilizados nas vias de giro das intersecções sãode curto comprimento, para sua implantação se recomenda o método das coordenadas.
É possível e muito recomendável a utilização de curvas de transição em lugar das curvasde três centros nas vias de giro.
∆ = ∆1 + 2∆2
Para a curva de R1:
T1 = R1 tag ∆1/2
D1=∆1 R1
57.2958
Para a curva de raio R2:
T2 = R2 tag ∆2/2
D2=∆2 R2
57.2958
Onde T1 e T2: Tangentes particulares das curvas de rádio R1 e R2 em metros.
D1 e D2: Desenvolvimentos particulares das curvas de raio R1 e R2 em metros.
∆1 e ∆2: Ângulos centrais que subentendem às curvas de raio R1 e R2 em graussexagésimos
Ademais:
T e=[R2 Sen∆2−(R2−R1 )Sen
∆1
2 ] Sec ∆2
Onde: Te: Tangente exterior da curva de três centros em metros
cos ∆2=1−O
R2−R1
O: Retranqueo da curva de três centros, o qual estão em função da velocidade de desenho adoptada na via de giro da intersecção.
CURVAS REVERSAS
Quando duas curvas se sucedem em sentido contrário e têm o ponto de união outangencia comum, recebem o nome de curvas reversas.
Este ponto recebe o nome de ponto de curvatura reversa (PCR), e nos casos de raiosde curvaturas pequenos podem-se produzir problemas que fazem difícil o movimentodos veículos devido a uma manobra errática dos condutores, além de que se criamproblema para o desenvolvimento da sobre elevação e o correcto escorrimento daságuas superficiais que caem sobre a calçada.
Para seu cálculo e implantação seguem-se os mesmos princípios estudados nas curvascirculares simples.
Figura No 3. Curvas reversas.
CURVAS DE TRANSIÇÃO
1. Elementos e funções fundamentais da curva de transição.
2. Cálculo da longitude da curva de transição
Introdução.
Denominam-se curvas de transição àquelas curvas que se colocam nos extremos dascurvas circulares simples, de forma tal que a mudança de curvatura entre o troço recto eo arco circular seja suave e gradual e que a sobre elevação em todos seus pontos esteconforme com o grau de curvatura.
A necessidade da curva de transição compreende-se quando analisamos o movimento deum veículo entre um lance recto e um circular. Quando um veículo que circula por umlance recto de estrada chega a um circular, deve colocar suas rodas dianteiras com umnovo ângulo, que depende do raio da curva circular pela qual vai transitar. Compreende-se que este movimento não pode ser realizado instantaneamente, senão que se precisadum intervalo de tempo para poder o realizar; criando assim a necessidade duma curvade transição cuja longitude tanto faz à velocidade do veículo pelo tempo.
Entre as curvas de transição mais usualmente empregadas podem citar-se:
Clotoide; Na qual se cumpre que o raio de curvatura é inversamente
proporcional a sua longitude.
Lemniscata de Bernoulli; Na qual se cumpre que o grau de curvatura é
directamente proporcional ao raio vector.
Espiral cúbica; É uma curva dada pelas mesmas expressões da clotoide, mas
desprezando na equação de "ela" alguns termos.
De todas elas, a mais difundida é a clotoide, já que sua forma se adapta à trajectóriaseguida por um veículo que viaja a velocidade constante e cujo volante é accionado deforma uniforme.
As vantagens da clotoide sobre a curva circular simples podem resumir-se no seguinte:
Produzem uma fácil e natural trajectória para os veículos, de forma tal que a
força centrífuga aumenta e diminui gradualmente quando um veículo entra ousai de dita curva. Este facto tende a garantir uma velocidade uniforme; bemcomo aumentar as condições de segurança.
Produzem a longitude desejável para o desenvolvimento da sobre elevação, e
toda ela pode ser distribuída em dita curva.
Onde a secção transversal do pavimento da via na parte circular, tem que ser
alargado, as clotoides facilitam a longitude desejável para a transição emlargura.
A estética duma estrada é altamente favorecida com sua utilização.
Figura 1. Curva de transição
TS: Ponto de mudança de tangente a clotoide.
SC: Ponto de mudança de clotoide a circular.
CS: Ponto de mudança de circular a clotoide. ST: Ponto de mudança de clotoide atangente. l: Arco de clotoide desde o TS ou ST a um ponto qualquer de dita curva.
ls: Longitude total da clotoide desde o TS ao SC ou desde o CS ao ST.
φ: Angulo central do arco de clotoide l.
φs: Angulo central do arco de clotoide ls; chamado ângulo da clotoide.
g: Grau de curvatura da clotoide em um ponto (variable)
Gc: Grau de curvatura do círculo deslocado, ao que resulta tangente a clotoide; no SC eCS.
∆: Ângulo de inflexão no PI; igual ao ângulo central que subtende a toda a curva detransição. ∆c: Ângulo central que subtende o arco circular intermédio de desenvolvimento Dc,entre o SC e o CS.
e: Ordenada à tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao TS ou ST e atangente inicial.
Ys: Ordenada à tangente no SC ou CS.
X: Distância sobre a tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao TS ou STe a tangente inicial.
Xs: Distância sobre a tangente do SC ou CS.
O: Retruque. Menor distância que separa ao arco circular prolongado e a tangenteinicial.
t: Abcissa do retruque.
Ts: Tangente da clotoide. Distância entre o PI e o TS ou entre o PI e o ST.
A seguir expõem-se as expressões que permitam calcular as coordenadas (x;y) de umponto qualquer sobre a clotoide, com o objectivo de obter a fórmula que rege àsinflexões neste tipo de curva e poder chegar a implantaras no terreno.
Figura 2. Clotoide entre o TS e o SC.
Φ: Ângulo central que subtende a um arco de espiral l.
SC lR
l
2
2
Quando φ = φs; l = ls, a expressão anterior transforma-se em:
C
Ss R
l
2
Y: Ordenada para um ponto qualquer sobre a curva clotoide em função do ângulo Ø.
Esta expressão pode-se expressar em função de l:
....
!5.11!3.732
211
27
23
SC lRY
Expressão simplificada
423
3lY
X: Abcissas de qualquer ponto sobre a clotoide com referência ao TS ou ST de dita curva.
.....
!4.9!2.52
29
25
21
SC lRX
Expressão simplificada
Conhecidas estas expressões, é possível determinar a equação que rege as inflexões numa clotoide.
2
2
´ 20l
lS
S
FUNÇÕES FUNDAMENTAIS.
Na figura 2 representam-se os dois arcos de clotoide compreendidos entre o TS e o SC;e entre o ST e o CS, os quais estão unidos por um arco circular intermédio que osubtende um ângulo central de:
∆c = ∆ - 2S
Para colocar as clotoides transladou-se radialmente o arco circular para adentro àposição AA'; na qual:
BA = B'A'= O (retruque)
O qual vem dado pela expressão:
O = YS - Rc(1 - cos S
) expressão simplificada c
s
R
lO
24
2
Figura 2. Funções fundamentais
Da própria figura pode-se determinar a abcissa do retruque:
t = Xs - Rc sen φs expressão simplificada 2slt
Estes dois valores são de grande utilidade, já que mediante eles é possível conheceroutras funções fundamentais da clotoide; como são: a tangente (Ts) e sua externa (É).Para sua determinação utilizamos a figura 3.
Figura 3. Outras funções
A tangente é a distância que separa ao PI do TS e do ST; sua determinação éfundamental para conhecer as estações dos pontos notáveis da curva de transição.
Y' = Tc+ O.tan ∆/ 2
e segundo a definição de tangente: Ts = t + y'
Pelo que:
Ts = Tc + O.tan ∆/2 + t
Que é a expressão utilizada para determinar a tangente numa curva de transição.
A função externa (E) é a distância entre o PI e o ponto médio da curva de transição. Dafigura 3 obtém-se
Es =Ec + O.sec ∆/ 2
Além, da própria figura 3 é possível determinar o desenvolvimento do arco circularintermédio entre o SC e o CS.
C
S
GDc
)2(20
Nas expressões anteriores Ts; o; t; Tc; É e Dc, expressam-se em metros e ∆; S
e Gc,em graus sexagésimos.
Na figura 4 pode-se determinar outras funções menos importantes das curvas clotoideou de transição.
Figura 4. Funções menos importante da curva clotoide.
Corda Longa (CL): Distância entre o TS e o SC ou entre o ST e o CS.
3S
S
Cos
XCL
Tangente Curta (TC): Distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o SC ou
CS de dita curva.
S
S
Sen
YTC
Tangente Longa (TL): a distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o TS ou
ST de dita curva:
TL =XS −TC cosφS
CRITÉRIOS PARA A DETERMINAÇÃO DA LONGITUDE DA CURVACLOTOIDE.
Existem diferentes factores que fixam a longitude da clotoide; cada um deles dá lugaraos seguintes critérios:
Longitude mínima de clotoide para o desenvolvimento da sobre elevação.
Longitude mínima de clotoide por conforto dinâmico e de segurança para o utente.
Longitude mínima de clotoide por conforto óptico.
As longitudes das curvas clotoides em nenhum caso devem ser menores que o 60 % davelocidade de desenho da via.
Longitude mínima para o desenvolvimento da sobre elevação.
Este critério proporciona valores mínimos de curva clotoide para que se possadesenvolver satisfatoriamente a sobre elevação. Para isso, se estabelecem valoresmáximos de pendente longitudinal dos bordes da via com relação a seu eixo, os quaisdependem da velocidade de desenho adoptada; com o objectivo de conseguir um bomdrenagem do pavimento na zona próxima no ponto de 0 % de sobre elevação.
Pode-se chegar a determinar por uma simples proporção que:
maxmaxmin .2
. ea
plS
Onde:
a: largura da via; em metros.
emax: peralte máximo correspondente à curva; em m/m.
ls(min): longitude mínima de clotoide por transição de peralte; em metros.
Pmáx: denominador da pendente longitudinal máxima obtido em função da velocidade natabela 1.
Tabela 1. Pendente longitudinal máxima
Velocidad dediseño VD
(km/h)
Pendentelongitudinal
máxima
30 1/100
40 1/125
50 1/150
60 1/175
80 1/200
100 1/225
Longitude mínima por conforto dinâmico e de segurança para o utente.
Este critério fixa valores adequados para a mudança da aceleração transversal oucentrífuga, com o objectivo de conseguir uma cómoda transição entre o troço recto e otroço circular.
Pode-se determinar pela seguinte expressão:
máx
CS e
R
V
Kt
Vl 127
65.46
2
min
As especificações recomendam para o coeficiente Kt os seguintes valores:
Desejável
Para VD < 80 km/h --- Kt = 0,50 m/s3
VD ≥ 80 km/h --- Kt = 0,40 m/s3
Máximo
Para VD = 100 km/h --- Kt = 0,50 m/s3
VD = 80 km/h --- Kt = 0,60 m/s3
VD <80 km/h --- Kt = 0,70 m/s3
Longitude mínima por conforto óptico.
Este critério recomenda que por razões de ordem estético, o ângulo Øs que subtende aclotoide deva ter um valor mínimo de 3,5 graus.
A longitude mínima da clotoide segundo o critério de confort óptico, deve ser igual oumaior que a novena parte do raio do arco circular intermédio.
9minC
S
Rl
A forma de proceder num caso particular, será determinar a longitude mínima de curvade transição pelo cada um dos três métodos tratados e escolher a maior deles; que a suavez cumpre com os dois restantes.
Exemplo de cálculo de longitude de curva de transição.
Calcular a longitude mínima de curva de transição de acordo aos três métodosdesenvolvidos, se conhecem-se os seguintes dados:
VD = 80 km/h.
Rc = 572,96 m.
emax = 10 % = 0,10 m/m.
e = 6% = 0,06 m/m pendente longitudinal dos borde = 1/200
a = 7.00 m.
Longitude mínima recomendável.
ls(min) = 0,6 VD = 0,6 . 80
ls(min) = 48,00 m
Por transição de peralte, na expressão:
ls(min) = p . a/2. e
1 ls(min) = 200 . 7/2. 0,06 = 42 m.
Longitude esta menor que a mínima recomendável em função da velocidade dedesenho.
Por conforto dinâmico e segurança para o utente, na expressão:
máx
CS e
R
V
Kt
Vl 127
65.46
2
min
06,0.127
96,572
80
40.50,46
80 2
minSl
=15m
Por conforto óptico na expressão:
mR
l CS 64
9
96,572
9min
Observa-se que o critério dominante é o de conforto óptico, já que é maior que os doisrestantes. Portanto, a longitude da clotoide a utilizar é de 48 metros (critériobaseado na velocidade de desenho), ou preferivelmente 64 metros que resultouser o critério dominante.
No ANEXO I encontram-se tabuladas as longitudes de clotoide em função davelocidade de desenho e do raio e grau de curvatura da curva de transição. Deve-sedestacar que se colocaram duas colunas para estas longitudes: longitude mínima elongitude óptica.
A longitude mínima obedece ao critério dominante entre transição de peralte econforto dinâmico e de segurança para o utente; e a longitude óptica ao critério deconforto óptico. Construiu-se desta forma motivado porque o critério de conforto óptico quase sempreresulta dominante sobre os outros dois, e em muitas ocasiões não é possível odesenvolvimento desta longitude devido a restrições no traçado; ou seja, dá-se apossibilidade de utilizar segundo o caso, ou a longitude dominante resultante dos doisprimeiros critérios desenvolvidos; ou a longitude óptica.
Deve-se assinalar que as longitudes de curva de transição que aparece no ANEXO I sãolongitudes mínimas; pelo que se não existem restrições para seu desenvolvimento noterreno, é possível utilizar longitudes maiores que as que aparecem em dito anexo.
CURVAS DE TRANSIÇÃO COMPLETAMENTE TRANSICIONALES.
Denominam-se assim àquelas curvas de transição nas que não existe arco circularintermédio; isto é, ∆c = 0.
Na figura 5 encontra-se representado este problema.
O ponto comum entre as duas clotoides denomina-se clotoide-clotoide (SS); e para queesta condição suceda deve se cumprir que:
φs = ∆/2
Sa
S
E
YSen 11º360
Ângulo para replantar a união da externa com o ss bisando o TS. Δ=φS1+ φS2
CURVAS DE TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICAS.
As curvas de transição assimétricas produzem-se quando devido a limitações notraçado não é possível a colocação de clotoides iguais à entrada e à saída de ditacurva.
No cada uma delas se mantêm as mesmas funções deduzidas para a curva de transiçãomas com algumas variações. Destaca-se que as expressões a utilizar dependerão dasmagnitudes dos retruqueis nas clotoides de entrada e de saída
Figura 5. Curvas de transição completamente transicional
Na figura 6 pode-se demonstrar que:
Si O2 > O1 :
Sen
OOtOTT CS
12111 2tan
Sen
OOtOTT CS
12222 2tan
Si O1>O2:
Sen
OOtOTT CS
12111 2tan
Sen
OOtOTT CS
12222 2tan
Onde: TS1 e TS2: Tangente da clotoide primeiramente e saída ( m).
Figura 6. Curva de transição assimétrica
A função externa responde à seguinte equação:
2
11
2
111 212
CSS
Cssa CosROTRSentE
O ângulo para replantar a união da externa com o arco circular bisando ao TS será:
Sa
S
E
ZYSen 11º360
Onde: Z na figura 6, será igual a:
442 1C
SC
C SenSenRZ
Por último, o desenvolvimento do arco circular entre o SC e CS será:
C
SSC G
D 2120
Cálculo E Implantação Da Curva De Transição
Trabalhos De Campo
Definem-se os trabalhos de campo como o conjunto de operações que deve realizar acomissão de topografia, para poder chegar a replantar as estações notáveis (TS; SC;PM; CS e ST) e todas as estações pares da curva de transição.
Fundamentalmente existem dois métodos para o replanto:
Por ângulos de inflexão.
Por coordenadas.
Replante por ângulos de inflexão.
É o método mais generalizado para o replanto da clotoide e utiliza a expressão:
2
2
´ 20l
lS
S
Onde: ls e l: expressam-se em metros.
φs: expressam-se em graus sexagésimos.
α: expressa-se em minutos sexagésimos.
Não obstante, podem-se usar outras duas formas de calcular as inflexões para o replantesimilares à anterior, é onde o ângulo de inflexão α' esteja expressado em função doparâmetro K e A.
40´
2Kl
2
296,572´
A
l
Define-se o parâmetro K como a razão de mudança do grau de curvatura daclotoide por estações pares do traçado (20m); ou seja, como a clotoide é uma curva decurvatura uniformemente variável (g = 0º00' no TS ou ST e g = Gc no SC ou CS), oparâmetro K indica como é esta variação a cada 20m. O parâmetro K é uma constantepara uma mesma clotoide.
O parâmetro A define-se como:
lRA .
Onde: R: Rádio da clotoide em um ponto qualquer; em metros.
l: Longitude pela clotoide entre o TS ou ST e o ponto P; em metros. No caso particularde que o ponto P da clotoide coincida com o SC ou CS:
SC lRA .
Onde: Rc: Rádio do arco circular; em metros.
ls: Longitude da clotoide; em metros.
O parâmetro A é também uma constante para uma mesma clotoide; pelo tanto, existeuma expressão que os relaciona.
2
40,22918
AK
IMPLANTAÇAO POR COORDENADAS.
Demonstrou-se que o ângulo central que subtende a toda a clotoide (Øs), para pontos P
sobre a mesma varia entre
= 0º00' até
= S
Se avalia-se na expressão
SSl
l
2
, para os diferentes pontos da clotoide, osângulos centrais resultantes serão os correspondentes às estações pares do traçado. Seestes valores de φ substituem-se nas expressões de x e y, obtêm-se as coordenadas (x; y)correspondentes às estações pares do traçado e ter-se-á resolvido o problema do replantepor coordenadas desde a tangente inicial.
Resolver este problema mediante o cálculo manual resulta muito engrosso (chato); peloque se criou uma tabela ANEXO II, para valores unitários de x e y, que ao multiplicarpelos ângulos φ e por suas distâncias ao TS ou ST de todas as estações pares do traçadonos proporcionam os valores da (x) e da (y) dessas estações.
Exemplo de registo de replante por coordenadas.
Calcular o registo de replante por coordenadas da curva clotoide cujos dados são:
EST TS = 81 + 1,14
φS=10º00´
Ls=120m
Assim, para calcular o x e a y correspondente à estação EST 84+ 0,00, se procede daseguinte forma:
Acham-se no ANEXO II os valores unitários da (x) e da (y) para:
φ= 0º00' e sua diferença para um minuto (1').
Para a x:
Para φ = 0º00' ...... 1,000 000
Diferencia para 1'.... 0,000 000
Para a y:
Para φ = 0º00' ...... 0,000 000
Diferencia para 1'.... 0,000 097
Multiplica-se a diferença para um minuto pela quantidade de minutos que tem o
ângulo φ na estação EST 84 + 0,00:
0,000000.34,68'=0,00000000 (para a x)
0,000097.34,68'=0,00336396 (para a y)
Se soma o resultado anterior com o valor correspondente a 0º00'.
1,000000 +0,00000000 =1,00000000 ( para a x)
0,000000 +0,00336396 =0,00336396 (para a y)
Multiplica-se o resultado anterior pela distância entre o TS e a estação EST 84+0,00:
X = 1,00000000.28,86 =28,860000m
Y =0,00336396.28,86 =0,0963808m
Se aproxima-se até o centímetro
X =28,86m
Y = 0,10m
Estes valores aparecem nas duas últimas colunas da tabela 4 para a estação EST 84+0,00. O processo repete-se na cada estação par do traçado.
Tabla No 4. Registo de replante por coordenadas
ESTAÇÃO DISTANCIA (m)
(l/ls)² φ X (m) Y (m)
TS= 81+1,14
0,00 0,0000 0º00' 0,00 0,00
82+0,00 8,86 0,00550º03,30'
8,86 0,00
84+0,00 28,86 0,05780º34,68'
28,86 0,10
86+0,00 48,86 0,06781º39,48'
48,86 0,47
88+0,00 68,86 0,32933º17,58'
68,84 1,32
90+0,00 88,86 0,54935º29,16'
88,81 2,83
92+0,00 108,86 0,82308º13,80'
108,66 6,20
SC=93+1,14
120,00 1,0000 10º00' 120,63 6,97