25
TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

  • Upload
    others

  • View
    27

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Page 2: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

TEMA 2: Dinámica I

• Capítulo 3: Dinámica del sólido rígido

• Eje instantáneo de rotación

• Sólido con eje fijo

• Momento de inercia.

• Teorema de Steiner.

• Conservación del momento cinético axial.

• Energía cinética.

• Teorema del momento cinético de un punto y de un sistema de partículas. Conservación

Page 3: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Sólido Rígido

Sólido rígido

Sistema indeformable

Distancia entre partículas constante

Fuerzas internas de cohesión mayores que fuerzas externas

Se mueven todas las partículas conjuntamente

Movimiento

Siempre puede descomponerse en:

Translación (vectores velocidad paralelos)

Rotación (vectores velocidad describen arcos de circunferencia respecto recta imaginaria:

• eje instantáneo de rotación

Page 4: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Sólido con un eje fijo

Vamos a suponer un sólido ligado a un eje fijo

Sólo puede girar

No hay translación

Las fuerzas aplicadas producirán giro cuando tengan componente perpendicular al eje.

Page 5: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Energía cinética de rotación

Cuando la fuerza aplicada produce un movimiento de rotación, la energía de un punto de material en giro:

22

,,2

1

2

1iiiiiiRotic rmvmEE

La energía cinética total será la suma para todas las partículas

2222 ·2

2

1

2

1

ii

i

iii

i

iiRot rmrmvmE

Siendo el paréntesis el momento de inercia, I

2

2

1 IErot

Page 6: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momento de Inercia

La energía cinética de rotación es proporcional a la velocidad angular al cuadrado

La constante de proporcionalidad es una cantidad característica del cuerpo que gira: momento de inercia y es una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de rotación respecto a su eje.

i

iirmI 2

dmrI 2

Sistema discreto de partículas Objeto continuo

Depende de La masa Su distribución geométrica respecto al eje de giro

Unidades: kg·m2

Page 7: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momentos de Inercia

2

0

L

I x dm

M L dm dx

Mdm dx

L

Ejemplo. Barra uniforme

2 2 3 2

0 0

1 1

3 3

L L

I x dm x dx L ML

Densidad de masa lineal ():

El momento de inercia alrededor del eje z es también 1/3 ML2, y el correspondiente al eje x es cero si supongamos que toda la masa está sobra el eje x.

Page 8: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momentos de Inercia

2222 MRdmRdmRdmrI

Ejemplo. Anillo respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro

Page 9: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momentos de Inercia

24

2

4

0

3

0

22

2

1

24

2

22

2

MRRR

MR

A

MI

drrrdrrdmrI

rdrA

MdAdm

RR

Ejemplo. Disco uniforme respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro

Page 10: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momentos de Inercia

hRdrrhrI

R

4

0

2

2

1·2·

22

2

1mRIhRm

Ejemplo. Cilindro macizo

drrhV

MdVdm 2

Page 11: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momentos de inercia más importantes

Page 12: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Teorema de Steiner

Si se conoce I respecto a un eje que pasa por el centro de masas, se puede conocer respecto a otro eje paralelo a éste

2·hMII CMh

Page 13: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momento de fuerza

Aplicamos una fuerza sobre un cuerpo que puede girar respecto a un eje

Situamos en él el sistema de coordenadas, r

Si la línea de acción no pasa por el eje F || r

Aparece un momento de fuerza

...que hace girar el cuerpo

Fr

FsenrFrFt

Brazo de palanca

Page 14: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Segunda Ley de Newton para la rotación

Al aplicar una fuerza no colineal con r, la componente tangente al arco producirá una aceleración tangencial (“1ª Ley de Newton”)

TiiTiiTi urmamF ···· ,,

Multiplicando vectorialmente por ri ·2

iii rm

Y sumando para todas las partículas del sólido

··2 Irm iii

Page 15: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Naturaleza vectorial de la rotación

La dirección de la velocidad angular se determina por convención con la regla de la mano derecha.

Page 16: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Producto vectorial

Frτ

Page 17: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Propiedades del producto vectorial

nBAC senAB

BAB

ABA

CABACBA

ABBA

AA

dt

d

dt

d

dt

d

0

0

kkjjii

jik

ikj

kji

Page 18: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momento angular de una partícula

prL

ωωkk

kvrprL

Imrmrrmv

senrmvm

22

90

Momento angular de un sistema que gira alrededor de un eje de simetría.

Page 19: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momento angular de una partícula

Para cualquier sistema de partículas que gira alrededor de un eje de simetría, el momento angular total es paralelo a la velocidad angular.

Page 20: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Resultados adicionales que se refieren al momento () y al momento angular (L)

El momento externo neto que actúa sobre un sistema es igual a la tasa de cambio del momento angular del sistema:

Si se integran los dos términos de esta ecuación con respecto al tiempo se obtiene:

dt

d sistneto

L

f

i

t

t

netosist dtτL

Page 21: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Momento angular de la Tierra

espínórbitasist LLL

Page 22: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Teoremas del momento cinético para un sistema

Momento cinético de un sistema

iii prLL

dt

pdrp

dt

rd

dt

dL ii

i

iii Frdt

Ld

ext

dt

Ld

Derivando respecto al tiempo

v || p

vp m

Page 23: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Teorema del Momento cinético

Para sólido con eje fijo

prL dt

Ld

dt

dLzz

L

Page 24: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Conservación del momento cinético

Si el momento total respecto al eje de giro es nulo el momento cinético respecto a dicho eje se mantiene constante

cteLdt

Ld 0

1. Momento de inercia constante

2. Momento de Inercia cambia

a) I aumenta, disminuye

b) I disminuye, aumenta

ctecteI

IL

2

2

1mR

Page 25: TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Problema

Determinar el momento angular respecto al origen en las situaciones. (a) Un coche de masa 1200 kg se mueve en un círculo de 20 m de radio con velocidad de 15 m/s. El círculo se halla en el plano xy, centrado en el origen. Mirado desde un punto situado en la parte positiva del eje z, el coche se mueve de sentido antiorario. (b) El mismo coche se mueve con velocidad v=-(15 m/s)i a lo largo de la línea y=yo=20 m en el plano xy paralela al eje x. (c) Un disco en el plano xy de radio 20 m y masa 1200 kg gira con velocidad angular de 0.75 rad/s alrededor de su eje, que es el eje z. Visto desde un punto situado en la parte positiva del eje z, el disco se mueve en sentido antiorario.