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Temas de DSP

Conceitos básicos

de

Sinais

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O que é um “sinal”?

Definir um sinal é uma forma genérica de se referir a uma variável que se altera com o tempo, espaço, ou alguma outra variável independente:

• Um sinal pode ser definido de forma determinística, se puder ser modelado exatamente para cada valor da variável independente, mediante uma expressão matemática, uma função, uma tabela de valores, ou algo similar.

• Ou ser definido em forma probabilística ou estocástica (random signals), onde não é possível prever o valor exato do sinal para cada valor da variável independente, ainda que se tenha certas características globais (distribuição ou densidade probabilística, espectro, energia).

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Tipos possíveis de sinais

Um sinal analógico varia de forma

contínua em sua magnitude, sendo

definido para todo instante da

variável independente (p.ex: tempo).

Um sinal discreto varia de forma

contínua em sua magnitude, sendo

definido apenas para certos valores

da variável independente.

Um sinal digital varia de forma

discreta em sua magnitude, estando

definido apenas para certos valores

da variável independente.

kT

x(kT)

t

x(t)

kT

N(kT)

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Tipos de sinais

A maioria dos fenômenos naturais macroscópicos estão associados a sinais contínuos: temperatura, radiação, som, velocidade e direção do vento, umidade,... O mesmo ocorre com muitos fenômenos físicos usados em aplicações tecnológicas: força, torque, velocidade de giro, potência, etc...

Muitas vezes é possível, para facilidade de cálculo, definir sinais imaginários (usando números complexos).

Fenômenofísico

TransdutorSample& Hold

ConversorA/D

Sinalcontínuo

Sinaldiscreto

Sinaldigital

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Temas de DSP

Conceitos básicos

de

sinais contínuos

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Sinais periódicos e aperiódicos

O comportamento de um dado sinal pode catalogar-se como transitório ou de estado estacionário. Chamamos de estado estacionário se o sinal exibe periodicidade, ou pode ser considerado o resultado de uma soma de

funções periódicas. Uma função x(t) é periódica, de período T, se, e apenas se, atende a equação x(t+nT)=x(t) para todo tempo e para todos os

possíveis valores inteiros de n. Uma função é quase periódica se cumpre a condição prévia para um certo conjunto de valores de n.

transitório transitórioquase-estacionário

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Funções periódicaspares e ímpares

Uma função x(t) é chamada par, se para todo valor de t se cumpre que x(t) = x(-t)

Uma função x(t) é chamada ímpar se para todo valor de t se cumpee que x(t) = - x(-t)

Qualquer função periódica pode ser vista como a soma de uma componente par mais uma componente ímpar

x(t) = xpar(t) + ximpar (t)

onde xpar (t) = 1/2 [ x(t) + x(-t) ] y ximpar(t) = 1/2 [ x(t) - x(-t) ]

coseno = par seno = impar

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Ainda que os sistemas físicos estejam associados aos sinais reais, usando a igualdade de Euler

e jz = cos(z) + j.sen(z) é possível representar estas quantidades mediante números complexos, tais como:

E um termo cosenoidal como:

Pode associar-se a parte real de um sinal complexo

Representação de sinais:e uso de Fasores

/Ae.AX j

].Re[)cos(.)( 00

tjeXtAtx

tjtj eXeAtx 00 ..)(~ )(

X

Re

Im

Re[X] = A.cos(0)

A

cos(x) pode representar-se em série como 1-(x2/2!)+(x4/4!)-(x6/6!)+(x8/8!)+..., sen(x) como x-(x3/3!)+(x5/5!)-(x7/7!)+(x9/9!)+..., e ex como 1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+..+(xn/n!)+...se esta série se aplica com x=jz, e j 2 =-1, se tem:e jz=1+jz-(z2/2!)-j(z3/3!)+(z4/4!)+j(z5/5!)-(z6/6!)-j(z7/7!)+.... que nos dá e jz = cos (z) + j.sen(z)

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O sinal complexa

pode ser relacionada com x(t) como:

Representação de sinais:o uso de Fasores

tjtj eXeAtx 00 ..)(~ )(

)](~Re[)( txtx

Componenteimaginário

Co

mp

one

nte

real

t

t

t

0

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O sinal complexo

também pode ser relacionada com x(t) como:

• de onde:

Representação de sinais:Fasores conjugados

tjtj eXeAtx 00 ..)(~ )(

)](~)(~.[)( *21 txtxtx

)(* 0.)(~ tjeAtx

Co

mp

one

nte

real

t

Fasoresconjugados

Fasoresconjugados

Componenteimagináriat

tx(t)

x*(t)

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Formas de especificarum sinal

Um sinal unidimensional x(t) pode ser definido especificando seus valores ao longo do tempo.

Ainda que esta especificação do sinal seja completa, para o sinal ser processado, será necessário obter certas características do sinal e redefinir x(t) mudando a variável independente t por uma nova variável (uma transformação de variáveis é necessária).

tempo

Amplitude

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Análise das componentesem freqüência

Um dos métodos de modelagem de sinais x(t) é feita através da soma de componentes de distintas freqüências, cada uma com fase inicial

tempo

Freqüência/fase inicial

Amplitude

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O “espectro” de um sinal

Se analisarmos um sinal x no eixo das freqüências, a função x(f) representa o espectro de um sinal; neste caso devemos usar o espectro complexo para poder representar a fase

tempo

freqüência/fase inicial

Amplitude

Espectro defreqüências

Espectro defreqüências

x(t)

x(f)

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Espectros de amplitude e fase usando sinais complexos

O sinal real:

Pode ser representado

mediante seu espectro real

Alternativamente, se usamos

fasores, devemos agregar

freqüências negativas para

identificar amplitude e fase

dos fasores conjugados

)cos(.)( 0 tAtx

)()( 00 .2

.2

)( tjtj eA

eA

tx

f f

Amplitude Fase

f0 f0

A 0

f

Amplitude

f0

A/2

-f0

fFase

f0-f0

0

-0

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Sistemas Lineares

Um sistema é algo que aceita um ou mais sinais de entrada e gera uma ou

mais saídas. Este sistema G pode ser descrito através de um operador (ou

função) que aplicado às entradas “x” gera as saídas “y”.

Um sistema pode ser:

• homogêneo

• aditivo

• linear

• invariante no tempo

Neste caso é denominado LTI (Linear Time Invariant), ou estacionário

Gx(t) y(t) = G[x(t)]

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Sistemas LTI: propriedades

homogêneo: G[k.x(t)] = k.G[x(t)]

aditivo: G[x1(t) + x2(t)] = G[x1(t)] + G[x2(t)]

linear: se é homogêneo e aditivo

G[ ]kx(t)

k.x(t) G[k.x(t)]G[ ] k

x(t)

G[x(t)]

k.G[x(t)]

+x1(t)

x2(t)G[ ] +

x1(t)

x2(t)

G[ ]

G[ ]

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invariante no tempo:

dado y(t) = G[x(t)]

se obtém y(t-T) = G[x(t-T)] para todo T

causal: se em todo instante de tempo G[x(t)] só depende do valor atual e dos valores prévios de x(t). Esta é uma característica de todos os sistemas que se encontram no mundo real, ainda que o uso de modelos não causais pode ser útil em certas aplicações.

estável: se e apenas se toda possível excitação limitada x(t) produz uma resposta G[x(t)] também limitada.

Sistemas LTI: propriedades

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Sistemas LTI:resposta de amplitude

É um tipo de representação que indica o comportamento em amplitude do sistema, em função da freqüência.

Ignora o comportamento da fase. se faz necessário empregar escalas logarítmicas para a

amplitude (decibéis) e em freqüência (oitavas) para facilitar o traçado de assíntotas.

|A|

f

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Sistemas LTI:atraso de fase e de grupo

O atraso de fase é um gráfico que indica o atraso ou avanço de fase que sofre cada componente de freqüência ao atravessar um sistema. Junto com a resposta de amplitude, define-se a estabilidade do sistema (margem de fase e margem de ganho)

O atraso de grupo está associado à tangente desta curva. Uma tangente variável indica que a “forma” do sinal é alterada, e por isto é chamado também “ atraso da envolvente”.

f

O