Teorema da Amostragem - cin.ufpe.brcabm/pds/PDS_Aula03_Amostragem.pdf · Carlos Alexandre Mello –[email protected] 4 Processamento Digital de Sinais Referimo-nos a um sistema que

Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Teorema da Amostragem

Carlos Alexandre Mello

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Processamento Digital de Sinais

� Aspecto fundamental:� Conversão do sinal contínuo em uma sequência

de amostras� Um sinal discreto no tempo� Após o processamento digital, a sequência de

saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo



� A sequência x é escrita como:� x = {x[n]}, -∞ <n < ∞

n inteiro

� Sequência gerada a partir do processo de amostragem

� n-ésimo termo:� x[n] = xa(nT), -∞ <n < ∞



� Referimo-nos a um sistema que implementa a operação anterior como um conversor ideal contínuo-para-discreto (C/D) no tempo

� Na prática, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D)

� Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de conversores C/D ideais

� Na implementação ou escolha de um conversor A/D deve-se considerar a quantização da saída, linearidade, a necessidade de circuitos sample-and-hold e limitações na taxa de amostragem



� Circuito sample-and-hold no MatLab

Simulink



� Circuito sample-and-hold no MatLabEntrada



� Circuito sample-and-hold no MatLabSaída









� Em geral, a amostragem é um processo não-inversível� Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes,

não é possível reconstruir o sinal original xc(t)

� Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída


Processamento Digital de SinaisAmostragem



� É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, dividindo-o em duas partes� O processo consiste de um trem de impulsos

seguido de uma conversão desse trem em uma sequência


Processamento Digital de SinaisAmostragem



� Na conversão analógico-digital é necessário colher-se um número discreto de amostras de um sinal contínuo

� O problema crucial na amostragem está com o número de amostras/seg que devem ser colhidas

� Um número muito pequeno de amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal

� A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shannon-Nyquist



� Experimento: Sinal de voz� >> [som, Fs] = wavread('a_casa.wav');� >> soundsc(som, Fs)� >> som2 = som(1:2:length(som));� >> soundsc(som2, Fs/2)

� >> soundsc(som, Fs/2) % ☺






� A taxa de amostragem deve ser definida corretamente no momento da discretização do sinal

� Problemas:� https://www.youtube.com/watch?v=yr3ngmRuG

Uc




� O teorema estabelece que, sob certas condições, as amostras de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada

� Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras colhidas sem nenhuma aproximação


Teorema de Shannon

� Um sinal de banda limitada por fm Hz está

unicamente determinado por amostras, se

são tomadas, pelo menos, 2fm amostras

equidistantes por segundo


Teorema de ShannonProva

� Se as amostras são obtidas a cada Ts segundos, considera-se então um trem de impulsos δTs(t)

� A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por:



Pares sinal etransformada



� Vamos analisar o espectro do sinal amostrado� O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser

determinado com o auxílio do teorema da convolução na frequência:

� Segue que:



� Se:

� Então, o espectro de fs(t) é dado por:



� E, finalmente:

� Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçamento Tsentre amostras



� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Suponha um sinal banda limitado em wm:



� Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal:� Se:







Aliasing



� Recuperação do sinal original - FPB

FPB



� Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que:� ws ≥ 2wm

� ou seja� 2π/Ts ≥ 2.2πfm ⇒ Ts ≤ 1/(2fm) seg

� O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist


Teorema de Shannon

� Além da preocupação com a taxa de amostragem, deve-se tomar precauções quanto à recuperação do sinal para não provocar distorções:� Ganho nas altas frequências� Perda nas baixas frequências� Modulação das frequências do sinal original� Casos híbridos





� Na digitalização de imagens, podemos observar esses fenômenos:� Exemplo: Padrões de Moireé


Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras

� De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts ≤ ½ fm, então a passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamente o sinal analógico

� Sabendo que: f(t)

F(w)

FPBFunção Sample


Teorema da AmostragemRecuperação do Sinal a Partir de suas Amostras

� Como o sinal é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) corresponde à superposição de várias funções sample deslocadas, centradas em 0, ±T, ±2T, ....



� Referências:� Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989� Digital Signal Processing Using MatLab and

Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007� Digital Signal and Image Processing, T.Bose,

John Wiley and Sons, 2004

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