TeoriadaCamadaLimiteLaminar

Capítulo10

•  VamosanalisarasituaçãoparaRe•  Empar:cular,daremosênfasearegiãodacamadalimite

•  EmboraResejaalto(Re>>1),escoamentoseráconsideradolaminar.Asoluçãopodeserusadacomobaseparaoestudodosmecanismosecondiçõescrí:casparaainstabilidade(transiçãoparaescoamentosturbulentos)

•  Métododaexpansãoassintó:cacasada

∞

Teoriadoescoamentopotencial

•  Sólidoestacionárioimersonumfluidoincompressível,escoamentotranslacional,regimepermanente

•  2D(porsimplicidade)

•  AltosRe•  Equaçõesdeconservaçãoadimensionais(U,lc,pc=ρU2):

€

u•∇u = −∇p +1Re

∇2u

∇ •u = 0

•  Vor:cidade:•  Φescalar:•  Assim,aequaçãodemomentumpodeserescritaemtermosdavor:cidade:

€

ω ≡ ∇∧u∇∧ ∇φ( ) = 0

€

∇∧ u•∇u+∇p− 1Re

∇2u

= 0

u•∇ωconvecção devorticidade por u

=ω •∇u+1Re

∇2ω

transporte de ω por difusão

•  Escoamento2Daformadaequaçãoésimilaradaeq.energia,eRetemanalogiacomPe:

•  Re>>1:

•  Avor:cidadeéconstanteaolongodalinhadecorrente,eseoescoamentoécaracterizadoporlinhasdecorrenteabertas(ω=0noesc.uniforme):

€

w =ωkw•∇u ≡ 0

u•∇ω =1Re

∇2ω

€

u•∇ω = 0⇒ω =ω(ψ)

€

ω ≡ 0 Escoamento irrotacional

•  Logo,

•  ACCdenãodeslizamentonaparedenãopodesersa:sfeitaparaofluidoinvíscito(soluçãonãoéválidapróximoàfronteira)

•  Asoluçãoéboalongedaparede.Perto,ocomprimentocaracterís:coseriadiferente

•  Pertodaparede:camadalimite,eaCCdenãodeslizamentoésa:sfeita

€

∇∧u = 0 eu ≡ ∇∧ ψk( )⇒∇2ψ = 0 escoamento potencial

Exemplo:escoamentoemtornodeumcilindro

€

1r∂∂r

r ∂ψ∂r

+

1r2∂ 2ψ∂θ 2

= 0

CC : r→∞ ψ → rsinθr =1 ψ = 0

⇒ψ = rsinθ 1− 1r2

Experimentos

Re=13

Re=26

•  Asoluçãonãoéválidapertodaparede•  Deve‐sedefinirumnovocomprimentocaracterís:co,significa:vonestaregião

•  Novaadimensionalizaçãoequaçõesdacamadalimite

Equaçõesdacamadalimite•  Re>>1•  2regiões:pertodocorpoelongedocorpo.Distânciascaracterís:caspercodocorposãomuitomenores(2dimensõescaracterís:cas).

•  Paraoescoamentoemtornodeumcilindro,usandocoordenadascilíndricas:

Equaçõesdacamadalimite

€

v = v er+ ueθ

v ∂u∂r

+ur∂u∂θ

+uvr

= −1r∂p∂θ

+1Re

∂ 2u∂r2

+∂∂r

ur

+

1r2∂ 2u∂θ 2

+2r2∂v∂θ

v ∂v∂r

+ur∂v∂θ

−u2

r= −

∂p∂r

+1Re

∂ 2v∂r2

+∂∂r

vr

+

1r2∂ 2v∂θ 2

−2r2∂u∂θ

1r∂∂r

rv( ) +1r∂u∂θ

= 0

y ≡ r −1x ≡θ

v ∂u∂y

+uy +1

∂u∂x

+uvy +1

= −1y +1

∂p∂x

+1Re

∂ 2u∂y 2

+∂∂y

uy +1

+

11+ y( )2

∂ 2u∂x 2

+2

1+ y( )2∂v∂x

v ∂v∂y

+uy +1

∂v∂θ

−u2

y +1= −

∂p∂y

+1Re

∂ 2v∂y 2

+∂∂y

vy +1

+

11+ y( )2

∂ 2v∂x 2

−2

1+ y( )2∂u∂x

1y +1

∂∂r

y +1( )v[ ] +1y +1

∂u∂x

= 0

Naparededocilindro,y=0

•  Novaadimensionalização:Y=Reαy•  αadeterminar

•  Aequaçãodacon:nuidadefica

€

1Y /Reα( ) +1

Reα ∂∂Y

Y /Reα( ) +1( )v[ ] +1

Y /Reα( ) +1∂u∂x

= 0

Y /Reα( ) +1→1

Reα ∂v∂Y

+∂u∂x

= 0

Readimensionalizandov,paragaran:rqueas2soluçõescasemnolimite:

€

V =Reβ v⇒α = β

∂V∂Y

+ v ∂u∂x

= 0

αétalqueasderivadasemrelaçãoaYsejamdeO(1),independentesdeRe

•  Vamosobterapenasoprimeirotermodaexpansãonas2regiões

•  AdimensãodaregiãointernaéO(aRe‐α),quecomoα>0,éumnúmeromuitopequeno

•  Paradeterminarαeaformaapropriadadaeq.demovimento,usamosasnovasvariáveis.Aeq.nadireçãotangencialé:

€

V ∂u∂Y

+u

(Y /Reα ) +1[ ]∂u∂x

+1Reα

uV(Y /Reα ) +1[ ]

= −1

(Y /Reα ) +1[ ]∂p∂x

+

Re2α−1 ∂2u

∂Y 2 +Reα

Re∂∂Y

u(Y /Reα ) +1[ ]

+

1Re (Y /Reα ) +1[ ]

2∂ 2u∂x 2 +

2Reα

∂V∂x

Re→∞

u∂u∂x

+V ∂u∂Y

+O(Re−α ) = −∂p∂x

+Re2α−1 ∂2u

∂Y 2 +O(Re−α )

+O(Re−1)

Maior termo viscoso (O(Re2α−1))⇒α =1/2 para que os efeitos viscosos permaneçamquando Re →∞.

•  Logo,adimensãodaespessuradacamadalimiteéO(Re‐1/2).

•  Daeq.demomentonadireçãonormal:

•  EquaçõesnaCL,independentedageometria:

€

∂p∂Y

=O Re−1/ 2( )⇒ pressão independe de Y na CL

€

∂u∂x

+∂V∂Y

= 0

u∂u∂x

+V ∂u∂Y

= −∂p∂x

+∂ 2u∂Y 2

∂p∂Y

= 0

•  Comoapressãonãovarianadireçãonormal:

€

∂p∂x

CL

=y→0lim ∂p

∂x

esc . potencial

ue :velocidade EPue (x) ≡ u• t( )y→0EP :u•∇u = −∇p∂p∂x y→0

= −ueduedx

Obs:• y=0:superjciedocorpo• t:vetorunitáriotangenteàsuperjcie• comp.normaldevelocidadenasuperjcieénulo

EquaçãodeBernouilli

•  AsequaçõesdaCLficam:

€

∂u∂x

+∂V∂Y

= 0

u∂u∂x

+V ∂u∂Y

= ueduedx

+∂ 2u∂Y 2

CC : u =V = 0 em Y = 0limY>>1 u(x,Y ) = ue (x)

Exemplo:escoamentosobreplacaplanahorizontal–soluçãodeBlasius

€

Re =UL /υ

SoluçãoforadaCL(escoamentopotencial)

€

∂ 2ψ∂x 2

+∂ 2ψ∂y 2

= 0

CC : y→∞ ψ → yy = 0 ψ = 0

⇒ψ = y ue =∂ψ∂y

=1⇒ ∂p∂x

= 0

•  Assim,oproblemadaCLfica:

€

∂u∂x

+∂V∂Y

= 0

u∂u∂x

+V ∂u∂Y

=∂ 2u∂Y 2

CC : u =V = 0 em Y = 0,x > 0Y →∞ u→1,x > 0em x = 0 u =1

•  Soluçãoob:daporBlasius(1908),usandosimilaridade:

€

u ≡ f '(η) η ≡Y2x

⇒continuidade V = −

∂u∂xdY

0

Y∫ =

12x

ηf '− f( )

f (0) = 0 (Y =η = 0,V = 0) f '(0) = 0 (η = 0,u = 0) :f '''+ ff ''= 0CC :η = 0 f = f '= 0η→∞ f '=1

Asoluçãofoiob:danumericamente

•  Dosresultados,observa‐seque:

€

f '(η) ~ 0.99 quando η ~ 3.6

⇒δ ~ 3.6 2xRe

τ xy = µ∂u∂y

y= 0

=µUL

Re2x

f ''(0)

f ''(0) = 0.469

D = 2µU Re2f ''(0) dx

x0

1∫ = 4µU Re

2f ''(0)

CD ≡D

ρU 2L=

42f ''(0)Re

Obs:Asoluçãoparatensãoésingularemx~0AsoluçãodaCLindependedeL:aseqs.sãoparabólicas,logoasoluçãonumaposiçãox*dependeapenasdascondiçõesemx<x*