ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

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Programa de Pós-Graduação em Eng Mecânica – PPGEM PME-5015 - Tópicos da Teoria da Elasticidade Aplicados à Engenharia Mecânica

5a Lista de Exercícios – Problemas 2D em Coordenadas Retangulares

1) Considere a função dada por:

tcyP

cyxyx

tcFyx

.4.

.3

....4

3),(2

2

3+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

e a região do plano associada à chapa retangular de altura 2.c, comprimento l e espessura t indicada

abaixo:

Pede-se:

a) mostrar que a função ),( yxφ pode ser utilizada como uma função de tensão;

b) determinar a distribuição de tensões ( xyyx τσσ ,, ) associadas a tal função;

c) indicar graficamente como deve ser aplicado o carregamento nos contornos da chapa;

d) determinar o campo de deformações ),,( xyyx γεε admitindo que o material da chapa tenha

comportamento elástico-linear com constantes elásticas E e ν dadas;

e) determinar o campo de deslocamentos ),( yxu e ),( yxv considerando as seguintes condições

necessárias para impedir o movimento de corpo rígido:

0

0)0,(0)0,(

0,=

∂∂

=

=

== ylxxv

lvlu

x

y

l

2.c

EPUSP - PME PME-5015 / Tópicos da Teoria da Elasticidade Prof. R. Ramos Jr.

2

2) Mostre que a função ),( yxφ dada abaixo é uma função de tensão e determine qual problema de

E.P.T. ela permite resolver quando aplicada à região delimitada pelas retas cy ±= e x = 0, no semi-

eixo positivo dos x (ver figura do exercício 1).

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−= 22

33232

3 2.5

23...8

),( cyycycyxcqyxφ

3) Resolva novamente o exercício 1 considerando P = 0 e mostre que, se aplicarmos as condições

de apoio dadas por:

0),(),(0)0,(0)0,(

=−=

=

=

cluclulvlu

então a flecha, neste caso, será dada por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

== 2

23

0,0 .2

)54(1.3

. lc

EIlFv yx

ν

4) Utilize a solução em forma de séries de Fourier para resolver o problema de E.P.T. para a chapa

retangular de espessura constante (t) indicada abaixo:

Considere que o carregamento aplicado à face superior da chapa seja dado por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

lxsenqxq os

..)( π

e determine:

a) a distribuição de tensões xyyx τσσ ,, para os pontos da chapa;

x

y

l

2.c

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3

b) o campo de deformações ),,( xyyx γεε para os pontos da chapa admitindo que o material da chapa

tenha comportamento elástico-linear com constantes elásticas E e ν dadas;

c) o campo de deslocamentos ),( yxu e ),( yxv , considerando as seguintes condições necessárias

para impedir o movimento de corpo rígido:

0)0,(0)0,0(0)0,0(

=

=

=

lvvu

d) a linha elástica da viga a partir do resultado obtido em (c);

e) confrontar a linha elástica obtida a partir dos resultados da Teoria da Elasticidade com os

resultados obtidos a partir da teoria simples de viga (considere ν = 0,3 para efeito de confronto de

resultados).

5) Mostre que, se ),( yxV for uma função harmônica plana, ou seja, se satisfizer a equação de

Laplace dada por:

02

2

2

2=

∂∂

+∂∂

yV

xV

então as funções Vx. , Vy. e Vyx ).( 22 + satisfazem a equação de compatibilidade de deformações

expressa na forma:

0.2 4

4

22

4

4

4=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yyxxφφφ

e podem, portanto, ser tomadas como funções de tensão.