Teoria DDaa Amostragem - pucrs.br .Teoria DDaa Amostragem Professor Lorí Viali, Dr. Prof. Titular

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  • TeoriaTeoria

    DaDa

    AmostragemAmostragem

    Professor Lor Viali, Dr.

    Prof. Titular do Dpto de Estatstica e permanente do Educem. viali@pucrs.br - http://www.pucrs.br/famat/viali/

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Uma coleo de todos os

    possveis elementos, objetos

    ou medidas de interesse.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Um levantamento efetuadosobre toda uma populao denominado de levantamentocensitrio ou simplesmentecenso.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Um subconjunto finitode uma populao deinteresse.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    O processo de escolha de

    uma amostra da populao

    denominado de amostragem.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Mtodo de se inferir sobre

    uma populao a partir do

    conhecimento de pelo menos

    uma amostra dessa populao.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Estudo das relaes tericas

    existentes entre uma populao e

    as amostras dela extradas.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    POPULAO(Censo)

    AMOSTRA(Amostragem)

    InfernciaErro

    PROBABILIDADE

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    AT m i op so ts r

    ad g e e

    m

    Probabilstica

    No Probabilstica

  • Todos os elementos da

    populao tm probabilidade

    conhecida (e diferente de zero)

    de fazer parte da amostra.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Aleatria Simples

    Sistemtica

    Estratificada

    Por Conglomerados

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Uma amostra dita aleatria

    simples ou ao acaso se todos os

    elementos da populao tiverem a

    mesma probabilidade de pertencer a

    amostra

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    A

    A

    S

    ====

    n

    Nk

    AnNk =

    ComReposio

    SemReposio

    Total de Amostras

    Nnk =

    No Ordenadas

    Ordenadas

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Uma caracterstica da populao denominada de parmetro.

    Um estimador umacaracterstica da amostra.

    Uma estimativa um valorparticular de um estimador.

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    A MDIA

    A VARINCIA2

    O DESVIO PADRO

    A PROPORO

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    A VARINCIAS2O DESVIO PADROS

    A PROPOROP

    A MDIAX

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    POPULAOPOPULAO

    1

    2

    k

    ..... ....................... ..................

    Amostra 1

    Amostra 2

    Amostra k

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    A distribuio de

    probabilidade de um

    estimador (varivel aleatria)

    denominada de distribuio

    amostral desse estimador.

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    Populao P = {1, 2, 3, 4}

    %504

    2

    4

    1010==

    +++=

    2514

    30502 22

    22 ,

    n,X ===

    5024

    10

    4

    4321,==

    +++=

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    0,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    0,25

    1 2 3 4

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    Plano Amostral

    aa = ao acaso

    Mtodo

    s/r = sem reposio

    Tamanho das Amostras

    n = 2

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Tem-se:

    N = 4; n = 2.

    Ento:

    6242

    4

    2

    4=

    =

    =

    =

    )!(!

    !

    n

    Nk

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Amostras Mdias Varincias Propores1 (1, 2) 1,5 0,5 0,52 (1, 3) 2,0 2,0 0,03 (1, 4) 2,5 4,5 0,54 (2, 3) 2,5 0,5 0,5

    5 (2, 4) 3,0 2,0 1,06 (3, 4) 3,5 0,5 0,5

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    1,5 1/62,0 1/62,5 2/63,0 1/6

    3,5 1/6Total 1,0

    x )xX(P)x(f ==

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    0,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    0,25

    0,30

    0,35

    1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    1,5 1/6 1,5/6 2,25/62,0 1/6 2,0/6 4,00/62,5 2/6 5,0/6 12,50/63,0 1/6 3,0/6 9,00/6

    3,5 1/6 3,5/6 12,25/6Total 1,0 15/6 40/6

    x )x(f )x(f.x )x(f.x2

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    502615 ,/

    )x(f.x)X(EX

    ==

    ===

    3

    251

    6

    40502 2

    222

    ,

    )(E)X(V

    ,

    )X(EXX

    ==

    ===

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Mdia

    Erro padro

    COMReposio

    SEMReposio

    Caractersticas

    nX

    =

    1

    =

    NnN

    nX

    == )X(EX

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Para este exemplo, tem-se:

    3

    25,1

    3

    2

    2

    25,1

    14

    24

    2

    25,1

    1N

    nN

    n

    22X

    =

    =

    =

    =

    =

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    Se uma amostra aleatria de

    tamanho n for retirada de uma

    populao X com uma distribuio

    N(; ), ento a distribuio de ,

    mdia da amostra, tem uma

    distribuio N(, )

    X

    n

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    14

    2

    nX ==

    =

    2=

    =X

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Uma amostra de n = 16

    elementos retirada de uma

    populao N(80; 8). Determine:

    )77X(P )a( 30 for retirada de umapopulao com qualquer distribuio

    de mdia e desvio padro , ento a

    distribuio de , mdia da amostra,

    tem uma distribuio aproximadamente

    N(, )

    X

    n

  • 0,00

    0,10

    0,20

    0,30

    0,40

    0,50

    0,60

    0,70

    0,80

    0 2 4 6 8

    5016

    2,

    nX ==

    =

    2=

    2==X

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Uma amostra de n elementos

    retirada de uma populao N(80; 4).

    Determine n de forma que:

    %,)X(P 50179 =

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    Tem-se: = 80, = 4

    Sabe-se que:

    nn

    e

    X

    X

    4

    80

    =

    =

    =

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Ento:

    %,)4

    n()

    4

    n-P(Z

    )

    n

    X(P

    )X(P

    X

    X

    501

    48079

    79

    ==

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    76

    6884172

    1724

    688 2

    ==

    =

    ),(n

    ,.,n

    ,n

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    p f(p)0,0 1/60,5 3/61,0 1/6

    Total 1,0

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    0,00

    0,10

    0,20

    0,30

    0,40

    0,50

    0,60

    0,70

    0 0,5 1

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    p f(p) p.f(p) p2.f(p)0,0 1/6 0/6 0/60,5 4/6 2/6 1/61,0 1/6 1/6 1/6

    Total 1,0 3/6 2/6

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    %5050,06/3

    )p(f.p)P(EP

    ===

    ===

    12

    1

    6

    2

    )(E)P(V

    63

    )P(EP2

    222P

    ==

    ===

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    COM

    Reposio

    SEMReposio

    Mdia

    Erro padro

    == )P(EP

    1N

    nN

    n

    )1(P

    =

    n

    )1(P

    =

    Caractersticas

  • Prof. Lor Viali , Dr. PUCRS EDUCEM Ps Graduao em Educao em Cincias e Matemtica

    Para este exemplo, tem-se:

    12

    1

    3

    25,0

    3

    2

    2

    25,0

    14

    24

    2

    5,0.5,0

    1N

    nN

    n

    )1(2P

    ==

    =

    =

    =

    =

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