172
Teoria Teoria Da Da Amostragem Amostragem Professor Lorí Viali, Dr. Prof. Titular do Dpto de Estatística e permanente do Educem. [email protected] - http://www.pucrs.br/famat/viali/

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TeoriaTeoria

DaDa

AmostragemAmostragem

Professor Lorí Viali, Dr.

Prof. Titular do Dpto de Estatística e permanente do Educem. [email protected] - http://www.pucrs.br/famat/viali/

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Prof. Lorí Viali , Dr. – PUCRS – EDUCEM – Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática

Uma coleção de todos os

possíveis elementos, objetos

ou medidas de interesse.

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Prof. Lorí Viali , Dr. – PUCRS – EDUCEM – Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática

Um levantamento efetuadosobre toda uma população édenominado de levantamentocensitário ou simplesmentecenso.

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Um subconjunto finitode uma população deinteresse.

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O processo de escolha de

uma amostra da população é

denominado de amostragem.

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Método de se inferir sobre

uma população a partir do

conhecimento de pelo menos

uma amostra dessa população.

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Estudo das relações teóricas

existentes entre uma população e

as amostras dela extraídas.

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POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE

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AT m i op so ts r

ad g e e

m

Probabilística

Não Probabilística

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Todos os elementos da

população têm probabilidade

conhecida (e diferente de zero)

de fazer parte da amostra.

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Aleatória Simples

Sistemática

Estratificada

Por Conglomerados

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Uma amostra é dita “aleatória

simples” ou “ao acaso” se todos os

elementos da população tiverem a

mesma probabilidade de pertencer a

amostra

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A

A

S

====

n

Nk

AnNk =

ComReposição

SemReposição

Total de Amostras

Nnk =

Não Ordenadas

Ordenadas

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Uma característica da populaçãoé denominada de parâmetro.

Um estimador é umacaracterística da amostra.

Uma estimativa é um valorparticular de um estimador.

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A MÉDIAµ

A VARIÂNCIAσ2

O DESVIO PADRÃOσ

A PROPORÇÃOπ

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A VARIÂNCIAS2

O DESVIO PADRÃOS

A PROPORÇÃOP

A MÉDIAX

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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO

θθθθ

θ̂1

θ̂2

θ̂k

..... ....................... ..................

Amostra 1

Amostra 2

Amostra k

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A distribuição de

probabilidade de um

estimador (variável aleatória)

é denominada de distribuição

amostral desse estimador.

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População P = {1, 2, 3, 4}

%504

2

4

1010==

+++=π

2514

30502 22

22 ,

n,X =−=−= µ

∑σ

5024

10

4

4321,==

+++=µ

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0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1 2 3 4

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Plano Amostral

aa = ao acaso

Método

s/r = sem reposição

Tamanho das Amostras

n = 2

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Tem-se:

N = 4; n = 2.

Então:

6242

4

2

4=

−=

=

=

)!(!

!

n

Nk

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Amostras Médias Variâncias Proporções1 (1, 2) 1,5 0,5 0,52 (1, 3) 2,0 2,0 0,03 (1, 4) 2,5 4,5 0,54 (2, 3) 2,5 0,5 0,5

5 (2, 4) 3,0 2,0 1,06 (3, 4) 3,5 0,5 0,5

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1,5 1/62,0 1/62,5 2/63,0 1/6

3,5 1/6Total 1,0

x )xX(P)x(f ==

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0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

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1,5 1/6 1,5/6 2,25/62,0 1/6 2,0/6 4,00/62,5 2/6 5,0/6 12,50/63,0 1/6 3,0/6 9,00/6

3,5 1/6 3,5/6 12,25/6Total 1,0 15/6 40/6

x )x(f )x(f.x )x(f.x2

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502615 ,/

)x(f.x)X(EX

==

=== ∑µ

3

251

6

40502 2

222

,

)(E)X(V

,

)X(EXX

=−=

=−==σ

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Média

Erro padrão

COMReposição

SEMReposição

Características

nX

σ=σ

1−

−σ=σ

NnN

nX

µ==µ )X(EX

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Para este exemplo, tem-se:

3

25,1

3

2

2

25,1

14

24

2

25,1

1N

nN

n

22X

=

=

=

−=

−=

σσ

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Se uma amostra aleatória de

tamanho “n” for retirada de uma

população X com uma distribuição

N(µ; σ), então a distribuição de ,

média da amostra, tem uma

distribuição N(µ, )

X

n

σ

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14

2

nX ==

σ=σ

2=σ

µ=µX

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Uma amostra de n = 16

elementos é retirada de uma

população N(80; 8). Determine:

)77X(P )a( <

)85X76(P )b( <<

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0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

48 56 64 72 80 88 96 104 112

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Tem-se: µ = 80, σ = 8

Sabe-se que:

216

8

n

e 80

X

X

==σ

=

=

σ

µ

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Então:

%68,6 0,0668

)50,1(-1,50)P(Z

)2

8077X(P

)77X(P )a(

X

X

==

=−Φ=<=

=−

<−

=

=<

σ

µ

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%10,97%28,2%38,99

)00,2()50,2(

)5,2Z2(P

)2

8085X

2

8076(P

)85X76(P )b(

X

X

=−=

=Φ−Φ=

=<<−=

=−

<−

<−

=

=<<

σ

µ

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Se uma amostra aleatória de

tamanho “n > 30” for retirada de uma

população com qualquer distribuição

de média µ e desvio padrão σ, então a

distribuição de , média da amostra,

tem uma distribuição aproximadamente

N(µ, )

X

n

σ

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0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0 2 4 6 8

5016

2,

nX ==

σ=σ

2=σ

2=µ=µX

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Uma amostra de “n” elementos é

retirada de uma população N(80; 4).

Determine “n” de forma que:

%,)X(P 50179 =<

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Tem-se: µ = 80, σ = 4

Sabe-se que:

nn

e

X

X

4

80

=

=

σ

µ

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Então:

%,)4

n()

4

n-P(Z

)

n

X(P

)X(P

X

X

501

48079

79

=−Φ=<=

=−

<−

=

=<

σ

µ

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76

6884172

1724

688 2≅≥

==

−=−

),(n

,.,n

,n

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p f(p)0,0 1/60,5 3/61,0 1/6

Total 1,0

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Prof. Lorí Viali , Dr. – PUCRS – EDUCEM – Pós Graduação em Educação em Ciências e Matemática

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0 0,5 1

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p f(p) p.f(p) p2.f(p)0,0 1/6 0/6 0/60,5 4/6 2/6 1/61,0 1/6 1/6 1/6

Total 1,0 3/6 2/6

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%5050,06/3

)p(f.p)P(EP

===

=== ∑µ

12

1

6

2

)(E)P(V

63

)P(EP2

222P

=−=

=−==

σ

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COM

Reposição

SEMReposição

Média

Erro padrão

π==µ )P(EP

1N

nN

n

)1(P

−π−π=σ

n

)1(P

π−π=σ

Características

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Para este exemplo, tem-se:

12

1

3

25,0

3

2

2

25,0

14

24

2

5,0.5,0

1N

nN

n

)1(2P

==

=

=

−=

−π−π=σ

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0

10

20

30

40

50

0,0 25,0 50,0 75,0 100,0

%50

0,5.0,5

)1(P

=

==

=π−π=σ

%81,1510

)50,01(5,0n

)1(P ====

−−−−====

ππππ−−−−ππππ====σσσσ

%50P

=π=µ

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Se uma amostra aleatória de

tamanho “n > 100” for retirada de uma

população com proporção ππππ, então a

distribuição de P, proporção na

amostra, tem uma distribuição

aproximadamente N(π, )n

( π−π 1

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0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

40,00 42,50 45,00 47,50 50,00 52,50 55,00 57,50 60,00

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Uma amostra de n = 400 eleitores

é retirada da população que prefere o

candidato Zigoto com π = 50%

Determine:

%)56P(P )b( >

%)54P%47(P )a( <<

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Tem-se: π = 50%

Sabe-se que: µP = π = 50%

%50,2025,0

400

)45,01(45,0

n

)1(P

==

=−

=

=π−π

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Então:

%01,83

%51,11%52,94)20,1( - )60,1(

1,60) Z P(-1,20

)%5,2

%50%54P

%5,2

%50%47(P

)54P47(P )a(

P

P

=

=−=−ΦΦ=

=<<=

=−

<−

<−

=

=<<

σ

µ

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%82,0)40,2(

)40,2(1)40,2Z(P

)%50,2

%50%56P(P

%)56P(P )b(

P

P

=−Φ=

=Φ−=>=

−>

−=

=>

σ

µ

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s2 f(s2)0,5 3/62,0 2/64,5 1/6

Total 1,0

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0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,5 2,0 4,5

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s2 f(s2) s2.f(s2) (s2) 2.f(s2)0,5 3/6 1,5/6 0,75/62,0 2/6 4,0/6 8,00/64,5 1/6 4,5/6 20,25/6

Total 1,0 10/6 29/6

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67,13

5

)(f)(E ssS 222S2

==

=== ∑µ

06,218

37

18

5087

6

29

][E)(V

3

5

)S(E)S(S

2

2 22 222

S2

==−

=−=

=−==

σ

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Média

Erro padrão

CaracterísticasAmostragem com reposição

)(E 22S2 S σµ ==

1n

2

1n

2 24

S2−

=−

= σσ

σ

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Se uma amostra aleatória de

tamanho “n” (grande) for retirada de

uma população com variância σσσσ2222, então

a distribuição de S2, variância daamostra, tem uma distribuição

aproximadamente χ2 com “n-1” g.l., a

menos de uma constante.

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Isto é:

χσ−

=2

1-nnS

1

22

Este resultado é conhecido

como Teorema de Fisher

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Uma amostra de n = 81

elementos é retirada de uma

população com variância σσσσ2 = 10.

Determine a probabilidade de que

P(S2 > 15).

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Tem-se:

n = 81

σ2 = 10

Sabe-se que:

χσ−

=2

1-nnS

1

22

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%,)

)).

)).

])n.(

])n(

[P)(P

(P

(P(P

[P

S

n

n

250120

10

8015

10

8015

115

151

15

280

280

280

22

1

21

22

=>

=>=>=

=−

>=

=>−

=>

χ

χχ

σχ

χσ

Então:

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0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

35 38 40 43 45 48 50 53 55 58 60 63 65

)5 ; 50(N

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0%

10%

20%

30%

40%

50%

10 19 29 39 49 58 68 78 87 97 107 117 126 136 146

25)(E 22S == σ

35,351n

2 = 2

S2 =−

σσ

Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão

0,0085 110,2515 22,0809 25,76778

n = 2

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0%

5%

10%

15%

20%

6 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91

252S2 == σµ

68,174

2.25

1n

2 = 2

S2 ==−

σσn = 5

Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão

3,54 113,22 26,80 20,37

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0%

5%

10%

15%

20%

12 14 17 19 22 24 27 29 32 34 37 39 41 44 46

252S2 == σµ

07,725

2.25

1n

2 = 2

S2

==

=−

σσn = 25

Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão

12,94 39,90 25,66 6,28

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385n

9,0.1,0n

)P1(Pn

03,0

96,1

z

2

c2

−≥

ε

(b)

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1068n

5,0.50,0n

)P1(Pn

03,0

96,1

z

2

c2

−≥

ε

(a)

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Qual o tamanho mínimo de umaamostra para estimarmos a proporçãode defeituosos de uma máquina comuma precisão de 3% e umaconfiabilidade de 95%. Se (a) nadase sabe sobre esta proporção (b) elanão é superior a 10%.

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A estimação tem por objetivo

fornecer informações sobre

parâmetros populacionais, tendo

como base uma amostra aleatória

extraída da população de interesse.

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ESTIMAÇÃOESTIMAÇÃO

POPULAÇÃO

AMOSTRAθ

θ̂

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Por Ponto

Por intervalo

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ESTIMAÇÃO POR PONTO

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

A estimativa por ponto é feita

através de um único valor.

A estimativa por intervalo,

fornece um conjunto de valores.

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A estimação tem por objetivo

fornecer informações sobre

parâmetros populacionais, tendo

como base uma amostra aleatória

extraída da população de interesse.

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A estimação tem por objetivo

fornecer informações sobre

parâmetros populacionais, tendo

como base uma amostra aleatória

extraída da população de interesse.

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ESTIMAÇÃOESTIMAÇÃO

POPULAÇÃO

AMOSTRAθ

θ̂

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Por Ponto

Por intervalo

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ESTIMAÇÃO POR PONTO

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

A estimativa por ponto é feita

através de um único valor.

A estimativa por intervalo,

fornece um conjunto de valores.

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As características básicasde um estimador são:

A média:

A Variância:

)ˆ(Eˆ θ=µθ

)ˆ(Eˆ

)]ˆ(Eˆ[E

)E(

)ˆ(V

2

ˆ

θθ

θ−θ

σ

−=

==

=θ=θ

2

2

2

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Através da média, pode-se

saber em torno de que valor o

estimador está variando. O ideal é

que ele varie em torno do

parâmetro θ.

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Pela raiz quadrada da variância

tem-se uma idéia do erro cometido na

estimação, isto é, o valor

σ θ=θ )ˆ(V ˆ

é denominado de erro padrão de θ.

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A terceira informação

necessária é a distribuição do

estimador, isto é, qual o modelo

teórico (probabilístico) do

estimador.

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Erro amostral: θ−θ=ε ˆ

OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES

Viés:

EQM: )ˆ(E)ˆ(EQM θ−θ=θ2

θ−θ=θ )ˆ(E)ˆ(B

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Relação entre EQM e Variância

])ˆ(E)][ˆ(Eˆ[E

)ˆ(EQM

])ˆ(E[)]ˆ(Eˆ[E

]})ˆ(E[)]ˆ(Eˆ{[E

])ˆ(E)ˆ(Eˆ[E

)ˆ(E

θ−θθ−θ+

++=

==

==

==θ

θ−θθ−θ

θ−θ+θ−θ

θ−θ+θ−θ

θ−θ

2

22

2

2

2

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Como:

0=θ−θθ−θ ])ˆ(E)][ˆ(Eˆ[E

Segue:

)ˆ(B

])ˆ(E)]ˆ(Eˆ[E

)ˆ(E

)ˆ(V

)ˆ(EQM

θ

θ−θθ−θ

θ−θ

+θ=

=+=

==θ

2

22

2

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Isto é, o Erro Quadrado Médio

de um estimador é a sua Variância

somada com o quadrado do Viés.

)ˆ(B)ˆ(V)ˆ(EQM θ+θ=θ2

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Erro Quadrado Médio

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

θθθθ

)ˆ(E θθθθ

)ˆ(Viés θθθθ

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Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra

aleatória de uma variável

(população) X, com um parâmetro

de interesse θ. Seja uma função

da amostra (estimativa de θ).

θ̂

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Um estimador é dito não-

tendencioso, não-viciado, sem

viés ou imparcial se:

θ=θ=µθ)ˆ(Eˆ

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TendenciosoTendencioso Não tendenciosoNão tendencioso

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

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Momentos

Mínimos Quadrados

Máxima Verossimilhança

MELNT (Melhor Estimativa

Linear Não Tendenciosa)

Bayes

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É o mais antigo dos métodos para

determinar estimadores (Pearson,

1894). Baseia-se no princípio de que se

deve estimar o momento de uma

distribuição populacional pelo

momento correspondente da amostra.

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Desta forma a média populacionaldeve ser estimada pela média amostral,a variância populacional pelavariância amostral e assim por diante.

Este método produz estimadoresque são consistentes e assintoticamentenormais.

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A média da amostra éum estimador não-viciado deµ , isto é:

X

µ==µ )X(EX

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A proporção amostral

“P” é um estimador não-

viciado de π, isto é:

ππππ========µµµµ )P(EP

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A variância da amostra

“S2” é um estimador viciado

de σ2, isto é:

σµ ≠= 222 )(E

S S

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A variância da amostra“S2”, calculada com “n-1”

no denominador é umestimador não viciado de σ2,isto é:

σσσσµµµµ ========22

2 )(ES S

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0=θ∞→

)ˆ(Vlimn

Um estimador não

viciado é dito consistente

se:

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A média da amostra éum estimador consistente deµ, isto é:

X

02

== σ

∞→∞→ n)X(V limlim

nn

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A proporção amostral

“P” é um estimador

consistente de π, isto é:

01

=π−π

=∞→∞→ n

)()P(V limlim

nn

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A variância da amostra

“S2” é um estimador

consistente de σ2, isto é:

01

2 42 =

−= σ

∞→∞→ n)(V limSlim

nn

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Dados dois estimadores

não-tendenciosos de um

mesmo parâmetro, o mais

eficiente é o que apresenta

menor variância.

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O estimador “1” é maiseficiente que o “2”

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοο

οοοο

1οοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο

οοοοοοοο

οοοο οοοο

οοοο

οοοο οοοο

2

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A média (simples) da

amostra é um estimador

mais eficiente de µµµµ, do que

qualquer média ponderada.

X

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Considere o seguinteconjunto de valores:

-3 -1,2 -0,5 0,9 1,1 2,2 2,8 4,5

Determine estimativas da:

(a) Média

(b) Variabilidade

(c) Da proporção de positivos

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A médiaA melhor estimativa da média é

dada pela média da amostra. Assim:

8508

86

8

548222119050213

,,

,,,,,,,

nx xi

==

=+++++−−−

=

==∑

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A variânciaA melhor estimativa da

variância (σ2) é dada pela

variância amostral (s2). Assim:

6957

8639

18

7856445

18

86445

1

850 2222

,,,,

.,

n

n ),(xxs i

≅=−

−=

=−

−==

−=∑

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O desvio padrãoExtraindo a raiz quadrada da

variância, tem-se uma estimativa

do desvio padrão:

392694357

8639

18

7856445

18

86445

1

850 222

,,,,,

.,

n

ns

),(xxi

≅==−

−=

=−

−=

−=

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A proporção

A melhor estimativa de ππππ é

dada pela proporção amostral (p):

%,,n

fp 50626250

8

5====

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Com base na distribuição davelocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,determine estimativas da:

(a) velocidade média

(b) variabilidade da velocidade

(c) da proporção de carros acima dos100 km/h

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Velocidades Freqüência80 | 85 885 | 90 1390 | 95 2495 | 100 33

100 | 105 29105 | 110 13

Total 120

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Velocidades Freqüência xi fixi

80 | 85 8 82,5 660,085 | 90 13 87,5 1137,590 | 95 24 92,5 2220,095 | 100 33 97,5 3217,5

100 | 105 29 102,5 2972,5105 | 110 13 107,5 13,97,5

Total 120 11605

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A média

A melhor estimativa da média é

dada pela média da amostra. Assim:

h/km ,nixxf i 7196

120

11605===

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Velocidades Freqüência xi

80 | 85 8 82,5 54450,0085 | 90 13 87,5 99531,2590 | 95 24 92,5 205350,0095 | 100 33 97,5 313706,25

100 | 105 29 102,5 304681,25105 | 110 13 107,5 150231,25

Total 120 1127950

xf ii2

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O desvio padrão

km/h ,,,

.

n

nis

),(

xxf i

896477247119

79175649

1120

1201127950

1

708396 2

22

≅==

=−

=−

−=

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A proporçãoA melhor estimativa de π é

dada pela proporção amostral (p):

%,

)(

n

fp

35350120

42

120

1329

===

=+

==

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Z

Supondo σσσσ conhecido

α−=<<− 1)Z(P zz cc

czcz−

α−12

α

2

α

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α−=<<− 1)Z(P zz ccDe

Tem-se:

α−=<µ−<−−

α−=<µ−<−

α−=<−

<−

σ+−σ

σσ

σ

µ

1

1

1

)..X(P

).X.(P

)X

(P

XcXc

XcXc

cX

Xc

zXz

zz

zz

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Assim:

α−=<µ<−

α−=<µ−<−−

σ+σ

σ+−σ

1

1

)..X(P

)..X(P

XcXc

XcXc

zXz

zXz

Então, o IC de “1 – α” para µµµµ é

calculado por:

±X Xε =εX xcz σ

nx

σ=σ

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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,e supondo que o desvio padrãopopulacional é igual a sete km/hdetermine uma estimativa para avelocidade média, com umaconfiabilidade de 95%.

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Tem-se:

±X Xε =εX xcz σ

nx

σ=σ

Mas:

25,16390,0.96,1X ==ε

96,1zc =

6390,0120

7

nx ==

σ=σ

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O IC de “1 – α” para µµµµ é

calculado por:

[ ][ ]

[ ]96,97 ;46,95

25,171,96 ;25,171,96

X ;X XX

+−

ε+ε−

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0,00

0,20

0,40

ns

Xtn

µ−=−1 tt1, n = 21, n = 2

tt2, n = 32, n = 3

N(0; 1)N(0; 1)

σσσσ desconhecido

ctct−

α−1 2

α

2

α

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α−=<<− 1)t(P tt ccDeTem-se:

α−=<µ−<−−

α−=<µ−<−

α−=<−

<−

σ+−σ

σσ

σ

µ

1

1

1

)..X(P

).X.(P

)X

(P

ˆzXˆt

ˆtˆt

t

XtXc

XcXc

cX

Xc

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Assim:

α−=<µ<−

α−=<µ−<−−

σ+σ

σ+−σ

1

1

)..X(P

)..X(P

ˆtXˆt

ˆtXˆt

XcXc

XcXc

XˆX ε± xcX ˆtˆ σ=εn

sˆ x =σ

Então, o IC de “1 – α” para µ,µ,µ,µ, se

σ for desconhecido é calculado por:

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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estradaPOA/Osório, determine umaestimativa para a velocidademédia, com uma confiabilidade de95%.

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Tem-se:

Mas:

25,16290,0.98,1ˆ X ==ε

98,1tc =

2906,0120

4772,47

n

sˆ x ===σ

XˆX ε± xcX ˆtˆ σ=εn

sˆ x =σ

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O IC de “1 – α” para µµµµ é

calculado por:

[ ][ ]

[ ]96,97 ;46,95

25,171,96 ;25,171,96

ˆX ;ˆX XX

+−

ε+ε−

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α−=<<− 1)Z(P zz cc

czcz−

α−1 2

α

2

α

n

)1(P

π−π=σ n

)P1(Pˆ P

−=σ

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α−=<<− 1)Z(P zz ccDe

Tem-se:

α−=<µ−<−−

α−=<µ−<−

α−=<−

<−

σ+−σ

σσ

σ

µ

1)..P(P

1).P.(P

1)X

(P

PcPc

PcPc

cP

Pc

zPz

zz

zz

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Assim:

α−=<µ<−

α−=<µ−<−−

σ+σ

σ+−σ

1

1

)..P(P

)..P(P

PcPc

PcPc

zPz

zPz

Então, o IC de “1 – α” para ππππ é

calculado por:

ε± ˆPP σ=ε ˆ PcP zˆn

)P1(Pˆ P

−=σ

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Com base na distribuição das

velocidades de uma amostra de 120carros andando na estrada POA/Osório,

determine uma estimativa para a

proporção de carros com velocidadeacima de 100 km/h, com uma

confiabilidade de 95%.

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Tem-se:

Mas:

%53,83541,4.96,1ˆ X ==ε

96,1zc =

% 3541,4120

)35,01.(35,0

n

)p1(pˆ P =

−=

−=σ

ε± ˆPP σ=ε ˆ PcP zˆn

)P1(Pˆ P

−=σ

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O IC de “1 – α” para ππππ é

calculado por:

[ ]

[ ]

[ ]%53,43 %;47,26

8,53%35% %;53,8%35

ˆP ;ˆP PP

+−

ε+ε−

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σχ

−=

− 2

22

1nS)1n(

χ2s

α−12α

2

α

χ2i

α−=<< χχχ −1)(P 2

s2

1n2i

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DeTem-se:

α−=<< χχχ −1)(P 2

s2

1n2i

α−=−

<<−

α−=<−

<

α−=<−

<

χσ

χ

χ

σ

χ

χσ

χ

1))1n()1n(

(P

1)1

)1n(

1(P

1))1n(

(P

21

22

2s

2

21

2

2

2s

2s2

22i

SS

S

S

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Então o IC de “1 – α” para σσσσ2222 é

calculado por:

−−

χχ21

2

2s

2 SS )1n(;

)1n(

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Então o IC de “1 – α” para σσσσ é

calculado por:

−−

χχ21

2

2s

2 SS )1n( ;

)1n(

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Com base na distribuição dasvelocidades de uma amostra de 120carros andando na estradaPOA/Osório, determine umaestimativa para a variabilidade davelocidade, com umaconfiabilidade de 95%.

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Tem-se:

Mas:

−−

χχ21

2

2s

2 SS )1n( ;

)1n(

46,145

81,94

2s

2i

=

=

χ

χ

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O IC de “1 – α” para σσσσ é

calculado por:

[ ]7,72 ;23,6

81,94

4772,47.119 ;

46,145

4772,47.119

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É desejável um IC com alta

confiabilidade (1 - α) e pequena

amplitude (ε) . Isto requer uma

amostra suficientemente grande,

pois, para “n” fixo, confiança e

precisão varia inversamente.

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A seguir os tamanhos

mínimos necessários de

amostras para estimar os

principais parâmetros dentro de

uma confiabilidade (1 – α) e

uma precisão (ε) especificados.

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Para estimar a média de umapopulação, supondo σ conhecido

ε

σ≥

ε

σ=

σ=σ=ε

c2

c

cxc

z.n

z.n

nzz

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Para estimar a média de umapopulação, com σ conhecido

ε≥

ε=

==ε

c2

c

cxc

t.sn

t.sn

n

stst

tc será obtidoatravés de umaamostra piloto n’

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Para estimar a proporçãopopulacional.

)P1(Pn

)P1(Pz

n

n

)P1(Pzz

c2

c

cxc

z−≥

−ε

=

−=σ=ε

ε

“p” seráestimadoatravés deuma amostrapiloto n’

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Qual o tamanho mínimo de umaamostra para estimarmos a proporçãode defeituosos de uma máquina comuma precisão de 3% e umaconfiabilidade de 95%. Se (a) nadase sabe sobre esta proporção (b) elanão é superior a 10%.

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1068n

5,0.50,0n

)P1(Pn

03,0

96,1

z

2

c2

−≥

ε

(a)

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385n

9,0.1,0n

)P1(Pn

03,0

96,1

z

2

c2

−≥

ε

(b)