TEORIA DE ESTRUTURAS - Paginas Pessoaispaginas.isep.ipp.pt/iat/files/fichas-testr-iat.pdfi departamento de engenharia civil licenciatura em engenharia civil teoria de estruturas fichas

I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS

FICHAS DE EXERCÍCIOS

FICHA 111 - REVISÕES

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS

FICHA 222 - ESTRUTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS

FICHA 333 - ESTRUTURAS CONTÍNUAS ISOSTÁTICAS

FICHA 444 - ESTRUTURAS MISTAS ISOSTÁTICAS

FICHA 555 - ESTRUTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS

FICHA 666 - ESTRUTURAS CONTÍNUAS HIPERESTÁTICAS

FICHA 777 - ESTRUTURAS MISTAS HIPERSTÁTICAS

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

FICHA 888 - ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS

FICHA 999 - ESTRUTURAS CONTÍNUAS

ISABEL ALVIM TELES

Licenciatura em Engenharia Civil

TEORIA DE ESTRUTURAS

REVISÕES 111

Ficha 1 1 / 2 Isabel Alvim Teles

1- Calcule as reacções e os esforços nas barras da estrutura representada na figura.

2- Calcule as reacções e os esforços nas barras da estrutura representada na figura.

3- Calcule as reacções da estrutura representada na figura. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis.

3.0 m

4.0 m 4.0 m

20 kN

3.0 m

40 kN

30 kN 10 kN

50 kN

A B

DC

E F

3.0 m

5 m

D

25 kN/m

A

B C

100 kN

211.5 2

2.5 m

2.5 m

1.5 m 3.0 m1.5 m

50 kN

40 kN

25 kN

30°

15 kN

40°

30 kN

10 kN

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL



REVISÕES 111


4- Calcule as reacções da estrutura representada na figura.

Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis.

5- Calcule as reacções da estrutura representada na figura. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis.

6- Calcule as reacções da estrutura representada na figura. Determine os esforços nas barras bi-articuladas. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) da barra DEFG caracterizando todos os pontos notáveis.

2.5 m 2.0 m 1

1.5 m

A

10 kN/m

50 kNm

B

C D

3.5 m 2.5 m

4.0 m

15 kN/m

20 kN

50 kN

A

B

C

D

4.0 m

3.0 m 2.0 m2.0 m

A

12 kN/m

20 kNm

40 kN

30°B

C

D E F G

2.0 m

60 kN

50°




ESTRUTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS 222


1- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras têm secção quadrada com 2cm de lado e o seu material constituinte é aço com E = 200 GPa e α = 10-5/°C.

a) Determine o deslocamento do nó B;

b) Determine o deslocamento do nó C;

c) Determine a rotação da barra AD;

d) Determine a rotação da barra BE relativamente à barra EC (variação do ângulo BEC);

e) Determine a variação da distância entre o nó A e o nó F;

f) Determine a variação da distância entre o nó D e o nó C;

g) Determine a variação da distância entre o nó D e a barra AE.

2- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.

Todas as barras são em aço com E = 200 GPa e α = 1,2x10-5 /°C.

As barras AB, AC e CE são constituídas por um perfil T90. As restantes barras são constituídas por duas cantoneiras L90x7 soldadas.

Para além do assentamento vertical de 3 mm do apoio da direita e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida aos seguintes incrementos de temperatura:

Barras AB, AC e CE: ΔT = +30°C

Restantes barras: ΔT = +10°C

Perfil T90

área = 17,1 cm2

Cantoneiras L90x7

área = 2 x 12,2 cm2


b) Determine o deslocamento do nó D;

c) Determine a rotação da barra AB;

d) Determine a rotação relativa das barras BC e BD (variação do ângulo DBC);

e) Determine a variação da distância entre o nó A e o nó D;

f) Determine a variação da distância entre o nó C e a barra BD.

3.0 m

4.0 m 4.0 m

100 kN

3.0 m

20 kN

AB

ED

F

C

40 kN

30 kN

60 kN

50 kN

20 kN

10 kN

3 mm

A

3.0 m

4.0 m 4.0 m

25 kN

3.0 m

D

CB

E

50 kN

25 kN




ESTRUTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS 222


3- Uma estrutura articulada plana foi fixada à parede e tecto de uma câmara frigorífica.

Devido a um erro, a fixação do nó A sofreu um desvio de 5 mm em relação ao pretendido (ver figura).

Dentro da câmara frigorífica as barras ficam submetidas a uma variação de temperatura de -25 °C.

Aço constituinte das barras: E = 210 GPa α = 1,5x10-5 /°C

Barra ED

Perfil circular: Ø = 80mm

Restantes barras

Perfil tubular: Ø = 80 mm esp = 8 mm



c) Determine a força vertical a aplicar em D para que a barra ED fique horizontal.

3.0 m 3.0 m

2.00 m

E

1.25 m

1.00 m

2.25 m

5 mm

A B

C

D




ESTRUTURAS CONTÍNUAS ISOSTÁTICAS 333


1- Considere a viga representada na figura.

a) Determine o deslocamento do ponto C;

b) Determine a rotação no ponto C;

c) Determine o deslocamento vertical do ponto B (despreze a contribuição do esforço transverso);

d) Determine a rotação no ponto B (despreze a contribuição do esforço transverso);

e) Considere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação uniforme de temperatura de 20°C. Determine o deslocamento horizontal do ponto C;

f) Considere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação de temperatura de 30°C na face superior e de 10°C na face inferior. Determine o deslocamento vertical do ponto C.


Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso.

a) Determine o deslocamento do ponto A;

b) Determine a rotação no ponto A;

c) Determine a rotação no ponto C;

d) Determine a flecha a meio vão;

e) Considere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação de temperatura de -10°C na face superior e de +40°C na face inferior. Determine o deslocamento vertical do ponto A e a sua rotação;

f) Considerando as acções da alínea anterior, determine a flecha a meio vão.

Material

Betão: E = 20 GPa; ν = 0,2; α = 1,5x10-5 /°C

Secção tranversal: 0,30 m x 0,30m

Material

Betão: E = 30 GPa; α = 1,2x10-5 /°C

Secção tranversal (b x h)

0,30 m x 0,40m 5.0 m1.5 m

A

B C

50 kN/m

20 kN10 kN

2.5 m 1.5 m

A B C

35 kN




ESTRUTURAS CONTÍNUAS ISOSTÁTICAS 333


3- Considere a estrutura representada na figura constituída por um material com as seguintes características:

E = 25 GPa; ν = 0,2; α = 1,4x10-5 /°C

a) Determine o deslocamento e rotação do ponto B;

b) Determine o deslocamento e rotação do ponto D;

c) Determine o deslocamento e rotação do ponto a meia altura do pilar AC;

4- Considere a estrutura de betão (E=30 GPa; α=1,2x10-5 /°C) constituída por dois pilares e uma viga com secções rectangulares conforme representado na figura.

Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: -10 °C no exterior e +25°C no interior.

O apoio A sofreu um assentamento de 5 mm.


a) Determine o deslocamento do apoio A;

b) Determine a rotação no ponto B;

c) Determine que força horizontal deverá ser aplicada em D para que o ponto A não sofra qualquer deslocamento horizontal.

5.0 m

A

50 kN/m

1.5 m

1.5 m

10 kN

C D

B

60 kN2.0 m

T = +25 °C

T = -10 °C

0.30

0.40

5mm

0.30

0.50

0.30

0.40

25 kN

10 kNm40 kN

0.3

T = -5 °C

T =

+20

°C

T =

+20

°C

0.2

0.3

0.2

2.0 m

0.5 0.5

A

BC D




ESTRUTURAS MISTAS ISOSTÁTICAS 444


1- Considere a estrutura representada na figura.


a) Determine a rotação relativa das secções à direita e à esquerda da rótula C;

b) Determine o deslocamento relativo dos pontos A e E.



a) Determine o deslocamento do ponto D;

b) Determine a rotação do ponto A;

c) Determine a variação do ângulo formado pelas barras BF e FC.

Barras AC e CE

Secção: 0,25m x 0,30m

Betão: E = 30 GPa

Restantes barras

Perfil tubular: Ø = 60 mm esp = 5 mm

Aço: E = 200 GPa

Barra AD

Secção: ver desenho

Betão: E = 29 GPa

Restantes barras

Perfil tubular: 100 mm x 100 mm esp = 5 mm

Aço: E = 206 GPa

2.0 m 3.0 m3.0 m

2.0 m

2.0 m

60 kN

20 kN/m

80 kN

15 kN

3mm

A

B

C D E

GF

1.5 m

10 kN/m

A

2.0 m

0.30

0.40

3.0 m

30 kN

1.5 m

8 kN

B DC

E F




ESTRUTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS 555


4.0 m

3.0 m 4.0 m

D

200 kN

50 kN120 kN

CA

B

50 kN

1,5 mm

2 mm


Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transversal apresenta uma área de 10 cm2.

Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de +15°C.

Material constituinte das barras: Aço E = 200 GPa α = 1,5 x 10-5 /°C

a) Determine as reacções nos apoios;

b) Determine os esforços instalados em todas as barras;

c) Determine o deslocamento do nó B;

d) Determine a rotação da barra AB;

e) Determine a variação do ângulo ABD.

2- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras têm secção quadrada com 4cm de lado e o seu material constituinte é aço com E = 200 GPa e α = 1,5x10-5/°C.

Para além do assentamento vertical de 1,5mm do apoio C e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de -10°C.



c) Determine o deslocamento do nó E;

d) Determine o deslocamento do apoio C;

e) Determine a rotação da barra AB.

D

200 kN

100 kN

150 kNE

1,5 mm

4.0 m

3.0 m 4.0 m

AB

C






D

100 kN

150 kN

50 kN

C

3 mm

2 mm

1,5 mm

4.0 m

3.5 m4.0 m

B

A


Para além dos assentamentos dos apoios e das forças aplicadas nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a variações de temperatura conforme indicado na tabela anexa.




c) Determine o deslocamento do nó C;

d) Determine a força horizontal a aplicar em C para que este nó não sofra deslocamento horizontal;

e) Determine a força perpendicular à barra AC a aplicar em C para que este nó não sofra deslocamento vertical;

f) Determine a rotação da barra CD;

g) Determine a variação do ângulo CDB.

BARRAS ÁREA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

AB

BD 10 cm2 +20 °C

AC

CD 8 cm2 -5 °C

BC 8 cm2 -








Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de +15 °C.


a) Determine os esforços instalados em todas as barras;

a) Determine os esforços instalados em todas as barras o deslocamento do nó D;


c) Determine a posição do apoio C após deformação;


e) Determine a variação do ângulo EBC;

f) Determine a força horizontal a aplicar em C para que o nó D não sofra deslocamento vertical.

4.0 m

3.0 m 4.0 m

D

200 kN

60 kN

CA B

50 kN

1,5 mm

2 mm

E

3.0 m

40 kN

45°







Para além dos assentamentos dos apoios e das forças aplicadas nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a variações de temperatura conforme indicado na tabela anexa.

Material constituinte das barras: Aço E = 210 GPa α = 1,5 x 10-5 / ºC

a) Determine os esforços instalados em todas as barras;

b) Determine a força vertical a aplicar em C para que a barra BD fique descarregada;

c) Determine o deslocamento do nó B;

d) Determine a força horizontal (Fh) e a força vertical (Fv) a aplicar simultaneamente em C para anular o deslocamento do nó B;

e) Determine o deslocamento do nó C;

f) Determine a rotação da barra CD;

g) Determine a variação do ângulo BAC.

BARRAS ÁREA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

AB

BD 10 cm2 + 20 °C

AC

CD 8 cm2 - 5 °C

BC

AD 8 cm2 -

4.0 m

3.5 m4.0 m

B

A

D

200 kN

100 kN

C

3 mm

1 mm

1,5 mm

60 kN







Todas as barras apresentam uma relação L/(EA) de 2x10-5 m/kN e são constituídas por um material que tem um coeficiente de dilatação térmica α = 1x10-5 /°C.

Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, as barras AB, BC e CD da estrutura estão submetidas a uma variação uniforme de temperatura de -10 °C.

a) Determine as reacções nos apoios e os esforços instalados em todas as barras;

b) Determine o deslocamento vertical do nó E;

c) Determine a posição do apoio D após deformação;


e) Determine a rotação da barra CF.

4.0 m

3.0 m 3.0 m

E

150 kN

CA B

60 kN

D

1 mm

F

3.0 m

2 mm

30 kN

T = -10 °C T = -10 °C T = -10 °C








Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, algumas barras estão submetidas a variações uniformes de temperatura:

barras AD e DF: ∆T = -5 °C

barras CD e DE: ∆T = +10 °C

Características do material constituinte das barras: E = 200 GPa α = 1,5 x 10-5 /°C

a) Determine as reacções nos apoios e os esforços instalados em todas as barras;

b) Determine o deslocamento do nó E;

c) Determine a rotação da barra BE;

d) Determine qual deveria ser o assentamento vertical do apoio C para que a barra AB se mantivesse horizontal após deformação;

F

3.0 m

100 kN

B

120 kN

1 mm

T = +10 °C T = +10 °C

T =

-5°C

T =

-5°C

4.0 m

3.0 m 3.0 m

A

150 kN

EC D 60 kN

1,5 mm




ESTRUTURAS CONTÍNUAS HIPERESTÁTICAS 666




a) Determine as reacções nos apoios e trace os diagramas de esforços da viga;

b) Determine o deslocamento vertical da secção B;

c) Determine a rotação da viga no apoio A.

2- Considere a estrutura de betão (E=29 GPa; α=10-5 /°C) constituída por dois pilares e uma viga com secções rectangulares conforme representado na figura.

Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: +20 °C no exterior e +10°C no interior.

O apoio A sofreu um assentamento de 2 mm e uma rotação de 0,001 rad conforme indicado na figura.


a) Determine as reacções e trace os diagramas de esforços da estrutura;

b) Determine o deslocamento horizontal da secção D.

Material Betão: E = 20 GPa; α = 1,2 x 10-5 /°C

Secção tranversal (b x h) 0,25 m x 0,36 m

3.0 m

A

30 kN

B D

E

40 kN

3.0 m

T = +10 °C

0.30

0.50

0.30

0.50

T = +20 °C

30 kN/m

C

3.0 m

0.30

0.50

2 mm

0,001 rad

150 kN

C

B

A

3.0 m1.5 m

90 kN

1 mm

0,5 mm

1,5 mm

2x10 rad

T = 10 °C

T = - 2°C




ESTRUTURAS MISTAS HIPERESTÁTICAS 777



As barras AB e BC estão submetidas às variações de temperatura indicadas na figura.


a) Determine as reacções e trace os diagramas de esforços da estrutura;

b) Determine o deslocamento do ponto B.

Barras AB e BC

Secção (bxh) = 0,20m x 0,30m

Betão: E = 30 GPa; α = 10-5 /°C

Restantes barras

Área = 10 cm2

Aço: E = 210 GPa

2 mm

2.4 m

A

100 kN

3.0 m

T = -10 °C

0.20

0.30

T = -2 °C

B

2.4 m 4.0 m

80 kN

30 kN

CD

EF

G




ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS 888



Responda às alíneas aplicando o Método dos Deslocamentos.

a) Determine os deslocamentos dos nós da estrutura;

b) Determine as reacções nos apoios;

c) Determine os esforços nas barras.

Material

Aço: E = 210 GPa

Secção tranversal

Barras a; b; c: área = 10 cm2 Restantes barras: área = 5 cm2

4.0 m 4.0 m

50 kN

100 kN

50 kN

60 kN

35 kN

3 mm

1

32

45

1 mm

3.0 m

3.0 ma

b

d

f

c e

g




ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS 888


2- Considere uma estrutura articulada, constituída por 6 barras e 4 nós.

Informação adicional: EA = 3x105 kN

Barra 1 : =

K

1Local

00000750000750000000075000075000

−

−

T1 = -T3

Barra 2 :

=

=

1

Local2Global

2Local K K K

Barra 3: α = 90°; L3 = 3 m

Contribuição de cada uma das barras na matriz de rigidez da estrututa:

[ ] =ESTRUT

GK

a) Desenhe e cote a estrutura;

b) Sabendo que se podem individualizar as partições da matriz de rigidez da forma abaixo indicada, represente os apoios da estrutura;

[ ] =ESTRUT

GK

c) Considere um assentamento de apoio de 1mm na direcção do grau de liberdade Δ5 e as seguintes forças concentradas: Direcção do grau de liberdade Δ1: F= 50 kN

Direcção do grau de liberdade Δ4: F= -150 kN

Determine os deslocamentos dos nós da estrutura;

d) Determine as reacções no apoio duplo, usando apenas o número necessário de equações.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 (1)+(4)+(5) (1)+(4)+(5) (1) (1) (5) (5) (4) (4)

2 (1)+(4)+(5) (1)+(4)+(5) (1) (1) (5) (5) (4) (4)

3 (1) (1) (1)+(2)+(6) (1)+(2)+(6) (2) (2) (6) (6)

4 (1) (1) (1)+(2)+(6) (1)+(2)+(6) (2) (2) (6) (6)

5 (5) (5) (2) (2) (2)+(5)+(3) (2)+(5)+(3) (3) (3)

6 (5) (5) (2) (2) (2)+(5)+(3) (2)+(5)+(3) (3) (3)

7 (4) (4) (6) (6) (3) (3) (3)+(4)+(6) (3)+(4)+(6)

8 (4) (4) (6) (6) (3) (3) (3)+(4)+(6) (3)+(4)+(6)

1 3 4 6 2 5 7 8

1

KLL KLF

3

4

6

2

KFL KFF

5

7

8




ESTRUTURAS CONTÍNUAS 999


1- Considere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E = 30 GPa e com as secções aí indicadas.




c) Trace os diagramas de esforços da estrutura.

2- Considere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E = 25 GPa e em que todas as barras têm secção 0,30m x 0,40m.




c) Trace os diagramas de esforços da estrutura.

5 k

N/m

1.5 m

50 kN

20 kN

10 kN

23

4

1

2

3

0.30

0.50

4 m

3 m

3 m

7 kN

0.30

0.40

1mm

0.30

0.50

2 m

1

6 m

1 m

3 m

2 m3 m

2 m

10 kN/m

20 kN

0,002 rad

30°

50 kN

25 kN

30 kNm

40 kN

20 kNm

1 2

3

4

1

2

3

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