Teoria de Filas – Aula 1Aula de hoje

Revisão de probabilidade

Eventos e probabilidade

Independência

Prob. condicional

Aulas passada

Introdução, Logística e Motivação para avaliação e desempenho

Experimentos AleatóriosO que é um experimento aleatório?

Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado!

Exemplos:Resultado de jogar um dado

Palavra de busca submetidas ao Google

Tempo de espera no ponto de ônibus

Vivemos num mundo aleatório...

Caracterizando AleatoriedadeComo caracterizar um experimento aleatório?

Ingredientes necessários...

Possíveis resultados do experimento

“Probabilidade” de ocorrer cada um dos resultados

Modelos Probabilísticos

Modelo Probabilístico

Componentes

Espaço amostral (S): conjunto de eventos elementares que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório

Probabilidade de eventos (P): quantificação da “chance” que cada evento ocorra

Conjunto de eventos (E): subconjunto de eventos que são de nosso interesse

Representação matemática de um fenômeno aleatório

Exemplo: Dado

Espaço amostral (S): cada uma das faces do dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidade de eventos (P): chance de que cada face ocorra: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc.

Conjunto de eventos (E): números pares, E = {2, 4, 6}

Exemplo: Tempo Esperandoum Ônibus

Espaço amostral (S): tempo de espera até a chegada de um ônibus (medido em segundos), S = {0, 1, 2, ...}

Probabilidade de eventos (P): chance de que uma pessoa espere exatamente x segundos, P(0), P(1), P(2), etc.

Conjunto de eventos (E): tempo de espera menor que 1 minuto, E = {x | x < 60}

Exemplo: Status de 2 Componentes (1/2)

Espaço amostral (S1): total de componentes em

funcionamento, S = {0, 1, 2}

Probabilidade de eventos (P): chance de que x componentes estejam funcionando, P(0), P(1), P(2)

Conjunto de eventos (E): total de componentes em funcionamento seja no máximo igual a dois

Exemplo: Status de 2 Componentes (2/2)

Espaço amostral (S2): qual componente está em

funcionamento S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)}

Probabilidade de eventos (P): chance que o componente 1 esteja em funcionamento e o 2 nã0 esteja em funcionamento: P(1)

Conjunto de eventos (E): um dos componentes está em funcionamento

Exemplo: Fila de Banco (total de clientes)

Espaço amostral (S1): total de clientes em uma

das filas do banco, S = {0, 1, 2,3,...}

Probabilidade de eventos (P): chance de ter x pessoas na fila, P(0), P(1), P(2),P(3),...

Conjunto de eventos (E): total de clientes na fila seja menor que 10

Exemplo: Fila de Banco (total de clientes por idade)

Espaço amostral (S2): total de clientes em uma

das filas do banco, considerando a faixa etaria S = {(0,0),(0,1),..,(1,0),...}

Probabilidade de eventos (P): chance de ter x jovens na fila, P(0,0), P(1,0), P(1,1),P(1,2),...

Conjunto de eventos (E): total de clientes jovens na fila é menor que 5

O que é Probabilidade?

“Chance de que um evento ocorra”

Fração de ocorrência ou frequência relativa

contagem de eventos

número de ocorrências divido por número total de eventos

Exemplo:

A frequência relativa de uma das faces de um dado é em torno de 1/6

O que é Probabilidade?Conceito Clássico

Se associada a um experimento aleatório tivermos um espaço amostral com N elementos, igualmente prováveis, e A é um evento que contem N

A elementos do espaço de resultados

então:

P[A] = NA

/N

Exemplos:

Dado justo

Urna com bolas

O que é Probabilidade?Conceito baseado em frequência (nem todos os resultados de um experimento aleatório são equiprováveis!)

A probabilidade de um acontecimento é avaliada através da informação já existente, sendo igual a razão entre o número de vezes em que se verificou uma realização favorável ao evento A ( N

A ) e o

número de vezes (N) que o experimento aleatório foi realizado

P[A] = limN, →∞

NA

/N

O que é Probabilidade?Exemplo: O telefone toca. Qual é a probabilidade de ser engano?

Neste caso, dizer que a probabilidade de ser engano é equiprovável a probabilidade de não ser engano, não reflete a realidade!

Vamos recorrer à experiência para obter esta medida!

Álgebra de EventosDiagrama de eventos

S

Evento A

Evento B

Evento C

Conjunto de eventos (resultados) elementaresEx. evento A, evento B, etc

Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório

Operações de união, interseção e complemento

Espaço amostral

Aplicando Álgebra de EventosVamos considerar uma célula wireless com 5 canais idênticos. O seguinte experimento aleatório pode ser considerado: observar quantos canais estão disponíveis. Cada canal pode estar em dois estados diferentes: ocupado (0) e disponível (1). O espaço amostral tem 32 tuplas, representando todas as combinações possíveis dos estados dos canais.

Exemplo: Dois dadosConsidere dois dados jogados simultaneamente

Qual é o espaco amostral?

S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }

Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),

(6,2), (6,4), (6,6)}

B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

Evento B : soma é menor que 7

Exemplo: Dois dados

Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4),

(6,6)}

Evento B : soma é menor que 7B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),

(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados são pares

A∩B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}

Exemplo: Status de 2 ComponentesConsidere a observação da saída de dois componentes consecutivos em uma linha de produção

Qual é o espaco amostral?

S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)}

Evento A :Exatamente um componente não está funcionando

A = {(1,0),(0,1)}Evento B :Os dois componentes estão em funcionamento

B = {(1,1)}

Exemplo de Confiabilidade (1/2)Sistema com 2 discos idênticos

Sistema operacional quando ao menos 1 disco está funcionando

Qual probabilidade do sistema estar operacional?

Modelo

p: prob. de um disco falhar

Falhas ocorrem de forma independente

Exemplo de Confiabilidade (2/2)Qual é o experimento aleatório?

Qual é o espaço amostral?

estado do disco 1, estado do disco 2

f = disco falhou, o = disco operacionalS = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) }

Qual é o conjunto de eventos de interesse?(ao menos 1 disco está operacional)

A = { (f, o), (o, f), (o, o) }

Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse?

Exemplo de Execução de Código(1/3)

Considere o seguinte código

if B then s1

else s2

Experimento aleatório consiste em observar 2 execuções sucessivas do comando if

Qual probabilidade de ocorrer pelo menos uma execução de s1? Qual a probabilidade de s2 ser executado na primeira vez?

Exemplo de Execução de Código(2/3)

Qual é o experimento aleatório?

Qual é o espaço amostral?

comando 1a execução, comando 2a execução

s1 = execução s1, s2 = execução s2S = { (s1, s1), (s1, s2), (s2, s1), (s2, s2) }

Através de inúmeras repetições da execução do código, temos:

P((s1,s1)) = 0.34; P((s1,s2)) = 0.26

P((s2,s1)) = 0.26; P((s2,s2)) = 0.14

Exemplo de Execução de Código(2/3)

Qual é o conjunto de eventos de interesse?A = “Pelo menos uma execução de s1”

B = “s2 é executado na primeira vez”

A = {(s1,s1),(s1,s2),(s2,s1)}

B = {(s2,s1),(s2,s2)}

P(A)? P(B)?

P(A) = P((s1,s1)) + P((s1,s2)) + P((s2,s2))

P(B) = P((s2,s1)) + P((s2,s2))

Exemplo de total de pacotes em um roteador (1/2)

Considere um buffer em um roteador na saída

da rede do ICE

Temos uma fila!

Buffer tem tamanho máximo = B

Qual probabilidade de não ter nenhum pacote de dados no buffer? Qual a probabilidade do buffer ter ocupação maior ou igual a 50% ?

Exemplo de total de pacotes em um roteador (2/2)

Qual é o espaço amostral?Total de pacotes no roteador

N = número de pacotes no roteador

S = {0,1,2,3,4,...,B}

Qual é o conjunto de eventos de interesse?A = “Nenhum pacote no roteador”

B = “Ocupação maior ou igual a 50%”

P(A)? P(B)?

P(A) = P(o)

P(B) = P(B/2) + P(B/2 +1) + … + P(B)

Exclusão MútuaDois eventos A e B são mutuamente exclusivos se

A∩B=∅conjuntovazioExemplos?

Evento A: os dois dados são pares

Evento B: os dois dados são ímpares

Evento A: um dado é par

Evento B: um dado é ímpar

Axiomas de Probabilidade

(A1): para cada evento A, 0

Probabilidade Condicional (1/6)Relacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos

S

Evento BEvento A

Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu?

Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A?

Espaço amostral passa a ser o evento B

Probabilidade Condicional (2/6)Considere a probabilidade de um acidente aéreo.

Sabemos que a probabilidade de morrer em um

acidente aéreo é baixa

No entanto, dado que o avião tenha caído...

A probabilidade é quase 1!

Porque?

Probabilidade Condicional (3/6)

Definição

P [A∣B]=P [ A∩B]P [B]

Probabilidadede A dado B

Probabilidade Condicional (4/6)

Consideremos um colégio onde o total de alunos é de 6800. Dentre estes alunos, 2829 possuem cabelos loiros e 1768 possuem cabelos loiros e olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno ter olho azul, dado que possui cabelos loiros?

Eventos

A – alunos possuem olhos azuis

L – alunos possuem cabelos loirosEntão:

P(A|L) = P(A ∩ L)/P(L) = (1768/6800)/(2829/6800) = 0.625

Probabilidade Condicional (5/6)

Originalmente, P(A) = 0.4134 < P(A|L) = 0.625!

Observe que quando condicionamos em L, restringimos o espaço amostral ao conjunto

das pessoas loiras Aumento de →probabilidade!

Probabilidade Condicional (6/6)Consideremos agora que neste mesmo colégio existam 857 alunos de olhos castanhos e 115 alunos com olhos castanhos e cabelos loiros. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, não tenha cabelos loiros, dado que tenha olhos castanhos?

C – alunos possuem olhos castanhos

L – alunos possuem cabelos loirosEntão:

P(L|C) = 1 - P(L|C) = 1 – (115/6800)/(857/6800) = 0.8658

Como identificar dependência e independência de eventos?

Probabilidade de chover é independente da nossa vontade!

Já o número de pessoas que levam o guarda-chuva para o trabalho depende da previsão de tempo!

E no caso ...

Em que A e B são independentes?

ExercíciosConsideremos uma caixa que contenha 5000 chips, 1000 produzidos pela companhia X e o resto pela companhia Y. 10% dos chips que são produzidos pela companhia X são defeituosos e 5% dos chips produzidos pela companhia Y são defeituosos. Se escolhemos aletoriamente um chip e este está defeituoso, encontre a probabilidade deste chip ter sido produzido pela companhia X.

Exercícios

Na próxima aula ...

Independência

Condicionamento

Probabilidade Total

Variável aleatória discreta

Funções de distribuição.

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