Teoria de Perturbacao Dependente do Tempo

Eduardo B. Guedes

Estagio Supervisionado de Docencia em Fısica - MQII

04 e 09 de julho de 2013

O problema

Hamiltonianos da forma:

H(t) = H0 + λW (t) (λ 1) (1)

Conhecemos:

H0|ϕn〉 = En|ϕn〉 (H0 6= H0(t)) (2)

Estado do sistema dependente do tempo:

|ψ(t)〉 =∑

n

cn(t)|ϕn〉 ; cn(t) = bn(t)e−iEnt/~ (3)

Equacoes diferenciais para para os bn(t):

i~d

dtbn(t) = λ

∑k

e iωnk tWnk (t)bk (t) (4)

Onde:

Wnk = 〈ϕn|W (t)|ϕk〉 ; ωnk =En − Ek

~, (5)

Condicoes iniciais:

|ψ(t0)〉 =∑

n

bn(t0)e−iEnt0/~|ϕn〉 (6)

Solucao Perturbativa

Admitiremos que Wnk e ”pequeno”, e que os bn(t) evoluem lenta-mente no tempo. Procuramos entao solucao na forma de potenciasde λr :

bn(t) = b(0)n (t) + λb

(1)n (t) + λ2b

(2)n (t) + . . . (7)

Substituindo essa forma na equacao diferencial dos coeficientes bn(t),temos:

r = 0⇒ i~d

dtb

(0)n (t) = 0, (8)

r 6= 0⇒ i~d

dtb

(r)n (t) =

∑k

e iωnk tWnk (t)b(r−1)k (t) (9)

A solucao em ordem-0 (eq. (8)) evolui sem perturbacao. A relacaode recorrencia (9) permite-nos encontrar a solucao de ordem r apartir da solucao em ordem r − 1. Necessitamos ainda da condicaoinicial bn(t0), que sera obtida sob a hipotese de o estado inicial serum autostado de H0:

|ψ(t0)〉 = e−iωi t0 |ϕi 〉 (10)

e entao (por (3))

cn(t0) = bn(t0)e−iωi t0 ⇒ bn(t0) = δni (11)

Ainda, como a expansao (7) deve ser valida para todo λ, segue que:

b(0)n (t0) = δni (12)

b(r)n (t0) = 0 (13)

Solucao em ordem-1Fazendo r = 1 em (9) e integrando, temos:

i~[b(1)n (t)− b

(1)n (t0)] =

∑k

e iωnk tWnk (t)b(0)k (t) (14)

Substituindo b(0)k (t0) = δki , temos:

b(1)n (t) =

1

~

t∫t0

e iωni t′Wni (t

′)dt ′ (15)

De modo que, substituindo (12) e (15) em (7) obtemos os coefici-entes calculados ate primeira ordem em λ:

b1n(t) = δni +

1

~

t∫t0

e iωni t′Wni (t

′)dt ′ (16)

(Notem a diferenca entre (1) e 1 ”pendurados”nos coeficientes!)

Probabilidade de transicao

A probabilidade de o sistema ser encontrado em |ϕf 〉 no instante te:

Pi→f (t) = |〈ϕf |ψ(t)〉|2 = |bf (t)|2 (17)

Ondebf (t) = b

(0)f (t) + λb

(1)f (t) (18)

Vamos supor que o estado final e diferente do estado inicial (ouseja, estamos interessados nos casos em que a perturbacao induzuma transicao entre dois autoestados de H0). Entao:

Pi→f (t) = λ2|b(1)f (t)|2 =

1

~2

∣∣∣∣∣∣t∫

t0

e iωni t′Wfi (t ′)dt ′

∣∣∣∣∣∣2

(19)

Casos especiais de W (t)

Vamos discutir 3 casos especiais de W (t):(i) Perturbacao abrupta: Dependencia de W (t) com t e ”muitocurta”(ocorre em [− τ

2 ; τ2 ]):

i~d

dt|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (20)

Integrando no intervalo [− τ2 ; τ2 ]

i~[|ψ(τ

2)〉 − ψ(−τ

2)〉] =

τ2∫

− τ2

H(t)|ψ(t)〉dt (21)

Se H(t) nao → ∞ em [− τ2 ; τ2 ], no limite τ → 0, a integral acima

tende a zero, e|ψantes〉 = |ψdepois〉 (22)

Exemplo: perturbacao abrupta

Caixa com comprimento L→ 2LSe τ t (t e o tempo caracterıstico de H no sentido da relacaode incerteza de Heisenberg), o estado permanece inalterado apos avariacao do comprimento da caixa.

∆E∆t ≈ ~→ ∆t ≈ ~∆E≈ ~

~2π2

2mL2

≈ mL2

~(23)

Casos especiais de W (t)

(ii) Perturbacao adiabatica: Se a dependencia de H com t e ”muitogrande”, vale o TEOREMA ADIABATICO:”Se H varia no tempo em [0; τ ] e, se em t = 0, |ψ(t = 0)〉 eautoestado de H(0), entao, em t = τ , |ψ(t = τ)〉 e o autoestadocorrespondente de H(τ).”A cada instante temos En, |ϕn〉 diferentes. Se no intervalo [0; τ ]os nıveis En(t) nao se cruzam, podemos associar autoestados cor-respondentes.

Exemplo: perturbacao adiabatica

Caixa infinita 1D com L = L(t)A cada instante os autoestados e as autoenergias do hamiltonianopodem ser identificados como

En(t) =n2π2~2

2mL(t)〈x |n(t)〉 =

√2

L(t)sin

(nπx

L(t)

)(24)

O teorema diz que, se em t = 0 o estado era |n(t = 0)〉, entao, emt = τ , o estado sera |n(τ)〉. Isso ocorrera se o tempo de variacaoτ for muito MAIOR que o inverso da MENOR frequencia de Bohrωmn(t) = Em(t)−En(t)

~ do estado |n(τ)〉.

No exemplo da caixa:

ωmin = (22 − 12)~2π2

2mL2(0)≈ ~

mL2(0)(25)

Obs.: nao vale para estados degenerados ou estados que se tornamdegenerados durante o intervalo de variacao do hamiltoniano.Obs2: na pratica, 1

ωmin acaba sendo tomado como o tempo carac-terıstico do hamiltoniano.

Casos especiais de W (t)

(iii) Perturbacao periodica: Se W (t) for periodico no tempo, porexemplo W (t) = W e−iωt .Obs.: Se quisermos o caso W (t) = W e iωt , basta fazermos −ω →ω.Obs2.: W e Hermitiano, mas W (t) nao! Trabalharemos com esseoperador ”estranho”porque a partir dele e possıvel obter W (t) =W sin(ωt) e W (t) = W cos(ωt).Em primeira ordem (f 6= i), temos:

b(1)f (t) =

Wfi

i~

[e(ωfi−ω)t − 1

i(ωfi − ω)

](26)

Usando:∣∣∣∣e iθ − 1

iθ

∣∣∣∣2 =

(e iθ − 1

iθ

)(e−iθ − 1

−iθ

)=

2− 2cos(θ)

θ2=

sin( θ2 )2(θ2

)2

(27)

Perturbacao periodica

No instante t, a probabilidade de encontrar o sistema no estado |ϕf 〉e:

Pi→f (t) = |b1f (t)|2 =

1

~2W 2

fi

[sin[(ωfi − ω) t

2 ]

(ωfi − ω) t2

]2

t2 (28)

Qual a forma da funcao que entre [ . ]?

De todos os estados |ϕf 〉, aqueles onde e mais provavel encontrar osistema sao os estados em que

|(ωfi − ω)t|2

≤ π (29)

Dito de outra forma, os estados |ϕf 〉 mais provaveis possuem energiana faixa

Ef − Ei = ~ω ± 2π~t

= ~ω(

1± 2π

ωt

)(30)

Se ωt 2π, a faixa de energia e muito estreita em torno de Ef =Ei ± ~ω. Nesse caso, a perturbacao ja executou muitas oscilacoes ea ressonancia de impoe.

Se usarmos radiacao com frequencia ~ω = E2 − E1 em um atomooriginalmente no estado fundamental (n = 1) e fizermos a medidasem esperar tempo suficiente, podemos ter uma surpresa e encontraro sistema no nıvel n = 3. A partir de que instante a probabilidadede encontrar esse sistema em n = 3 se torna desprezıvel?

E3 − E2 ≥2π~∆t⇒ ∆t ≥ h

Ry( 14 −

19 )

= 2, 2x10−15s (31)

Na pratica as medidas sao feitas apos esse tempo, ou seja, depoisque a perturbacao ja oscilou varias vezes.

No limite de longos tempos, a funcao(

sin(x)x

)2se torna cada vez

mais estreita. Veja:

∞∫−∞

(sin(ωτ)

ωτ

)2

dω =π

τ(32)

de modo que

limτ→∞

(sin(ωτ)

ωτ

)2

=π

τδ(ω) (33)

Usando esse resultado na expressao de Pi→f (t), obtemos a REGRADE OURO DE FERMI:

Pi→f (t) =2π

~|Wfi |2δ(Ef − Ei − ~ω)t (34)

onde usei que:

δ(ωf − ωi − ω) = ~δ(Ef − Ei − ~ω) (35)

Hamiltoniano de um eletron sujeito a radiacao EM

Onda propagante na direcao ~k, linearmente polarizada, com frequenciaω

~E (~r , t) = ~E0sin(~k · ~r − ωt) (36)

~B (~r , t) = ~B0sin(~k · ~r − ωt) (37)

Os campos ~E e ~B sao ortogonais entre si e em relacao a direcao depropagacao ~k .

Quais o potenciais que originam esses campos? No Gauge de Cou-lomb (∇ · ~A = 0) :

~A (~r , t) = ~A0cos(~k · ~r − ωt) (38)

φ (~r , t) = 0 (39)

~A0 × ~k = ~B0−ωc~A0 = ~E0 (40)

E o Hamiltoniano se escreve:

H =[P + e

c~A(R, t)]2

2m− e2

R+ Hspin (41)

Onde

Hspin =e

mcS ·(~A0 × ~k

) e(i~k·R−iωt) − e(−i~k·R+iωt)

2i(42)

Abrindo o termo ao quadrado em H, devemos comparar as ordensde grandeza dos termos:

e

2mcP · ~A ≈ e~E0

2ma0ω(43)

e2

2mc~A2 ≈ e2~E 2

0

2mω2(44)

O termo em ~A2 pode ser ignorado se ~ω eE0a0. Para lasers, tipi-camente, eE laser

0 a0 ≈ 1, 5× 10−6eV . No caso em questao podemosconsiderar ~ω ≈ 1eV .

Os termos cruzados que aparecem ao abrir o quadrado em (41)podem ser somados se lembrarmos que:[

P · ~A, ~k · R]

= 0 (45)

Agora devemos estimar a ordem de grandeza de Hspin. Para a ra-diacao tıpica considerada nesse exemplo, ~ω ≈ 1eV , correspon-

dendo a um λ ≈ 12000A, de modo que:

|~k| =2π

λ|R| ≈ a0 (46)

~k · R ≈ 2π

λa0 1 (47)

Podemos fazere i~k·R ≈ 1 + i~k · R + . . . (48)

Valores tıpicos:

WDE =e

2mc(~A · P) ≈ eA0~

2mca0(49)

Wo =e

2mc(~A · P)(i ~K · R) ≈ eA0~k

2mc(50)

Ws =e

mcS · (~A× ~k)

2i≈ e

2mc~A0k (51)

Os dois ultimos termos tem a mesma ordem de grandeza, e sao me-nores do que HDE por um fator ka0 ≈ 10−4. Entao, o Hamiltonianofica:

H = H0 +e

2mc(~A0 · P)e−iωt (52)

Transicoes para nıveis discretosSera que teremos problemas na Regra de Ouro de Fermi (34) se tiver-mos a condicao de ressonancia? Nao! Na pratica, nao conseguimosobter radiacao eletromagnetica nao e estritamente monocromatica,mas sim com uma distribuicao de frequencias c(ω). Surge entaouma integral em dω, e, pela propriedade de filtragem, a probabili-dade de ocorrer uma transicao de i → f fica:

Pi→f (t) =2π

~c(ωfi )|WDE |2δ(Ef − Ei − ~ω)t (53)

Precisamos agora conhecer elementos de matriz da forma (~A podeapontar em qualquer direcao)

WDE = 〈f | e

2mc(~A0 · P)|i〉 (54)

Para isso, lembramos que:

[X , H0] = [X ,P2

x

2m] =

i~mPx (55)

Entao,

〈nf lf mf |Px |ni limi 〉 =m

i~(Ei − Ef )〈nf lf mf |X |ni limi 〉 (56)

〈nf lf mf |X |ni limi 〉 =

∞∫0

Rnf lf (r)xRni li r2dr

∫Ω

Y ∗nf lf(Ω)sin(θ)cos(φ)Yni li (Ω)dΩ

(57)Na integral da parte angular usamos o teorema de Wigner-Eckart(complemento CX ) e temos as famosas regras de selecao dipolar:

∆l = ±1 ∆m = ±1 (58)

Mesmo que a radiacao tenha frequencia ω31, por exemplo, a ex-citacao |100〉 → |320〉 nao pode ocorrer por transicao dipolar. Porem,as taxas de transicao quadrupolares, etc, sao muito menores.

Autoestados do contınuo

Quem sao os autoestados do contınuo? Sao autoestados de H0 comautovalores positivos. Para |r | → ∞, esses estados podem ser dados

por ψE (~r) = ei~pf ·~r~

(2π~)3/2, e sao caracterizados pelo parametro contınuo

(estado improprio) E =p2

f2m .

A Probabilidade de o eletron ser ejetado e detectado (em todo oespaco) e:

Pi→cont(t) =2π

~

∫~pf

|WDE |2δ(p2

f

2m− Ei − ~ω)t (59)

Atomo de hidrogenio no estado fundamental sujeito a umaradiacao EM

Consideremos um atomo de H no estado fundamental sob a acao deuma onda eletromagnetica com frequencia bem definida ~ω

δ(Ef − E100 − ~ω) =δ(pf −

√2m(E100 + ~ω))

pfm

(60)

E

WDE = 〈~pf |e

2mc(~A0 · P)|100〉 =

∫∞

=e

i~pf ·~r~

(2π~)3/2

e− r

a0√(πa3

0)(~pf · ~A0)d~r

(61)

= (~pf · ~A0)1

(2π~)3/2

1√(πa3

0)

8πa0[

( 1a0

)2 + ( ~pf~ )2]2

(62)

Fazendo a integracao em dpf e usando a funcao delta obtemos

Pi→~pf=

[4a3

0e2pf |~A0 · ~pf |2

mπ~4c2[1 + pf a0~ ]4

dΩ

]t (63)

O termo entre [ . ] e a taxa de deteccao,que e maior na direcao de~E