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TEORIA DE PORTFOacuteLIO COMPOSICcedilAtildeOOacuteTIMA DE UMA CARTEIshyRA DE INVESTIMENTO
Zilmar Joseacute de SOUZA Edson Costa BIGNOTTO
Resumo O artigo objetiva a aplicaccedilatildeo da Teoria do Portfoacutelio desenvolvida por Harry Markowitz na composiccedilatildeo oacutetima de uma carteira de ativos buscando a maximizaccedilatildeo do retomo esperado utilizando-se das teacutecnicas da programaccedilatildeo linear atraveacutes da linguagem GAMS aplicada agrave uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
Palavras-chave Portfoacutelio diversificaccedilatildeo retomo risco GAMS
Introduccedilatildeo
O presente artigo visa a aplicaccedillo da Teoria do Portfoacutelio desenvolvida por Harry Markowitz na composiccedilatildeo oacutetima de uma carteira de ativos objetivando a maximizaccedilatildeo do seu retomo esperado Para tlPlto utilizando-se das teacutecnicas da programaccedilatildeo linear atraveacutes da linguagem OAMS aplicadas agrave uma situaccedilatildeo hipoteacutetica apresentaraacute resultados que possivelmt3nte possam ser utilizados peshylos gerenciadores de portfoacutelios
Seraacute dividido em trecircs partes sendo a primeira representada pela breve revisatildeo bibliograacutefica da Teoria do Portfoacutelio de Markowitz e da composiccedilatildeo de uma carteira dita oacutetima a segunda parte envolveraacute a escolha dos ativos obsershyvando os criteacuterios da Teoria de tal modo a encontrannos o melnor conjunto retomo-risco modelando-o de acordo com as teacutecnicas da programaccedilatildeQ linear e finalmente a terceira apresentaraacute testes de aplicaccedilatildeo do modelo utilizando-se da linguagem GAMS e apontaraacute os resultados bem como as sugestotildees de uma carteira oacutetima e as consideraccedilotildees finais
1 A Teoria do Portfoacutelio
A Teoria do Portfoacutelio de Harry Markowitzl discorre sobre maximizaccedilao do retomo esperado de acordo aos niacuteveis de aceitaccedilatildeo do investidor perante o risco envolvido De acordo com MARKOWITZ (1952) o processo de escolha de um portfoacutelio divide-se em duas partes primeiro comeccedila com observaccedilatildeo e
bull Economiacutesta Graduado na FENUSP Campus de Ribeiratildeo Preto Mestrando em Economia na ESALQlUSP Campus de Piracicaba Economista Graduado na fEAfUSP Campus de Ribeiratildeo Preto Mestrando cm Economia na ESALQlUSP Campos de Piacuteracicaba
Harry Markowitz foi o primeiro a introduzir o conceito de variacircnda como medida de risco e devido a importacircncia do trabalho publicado na dtcada de 50 fOI premiado com o Premio Nobel de EcollQniacutela (1990)
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experiecircncia do administrador de fundos e termina com crenccedilas sobre a avaliashyccedilatildeo da performance futura segundo parte das crenccedilas relevantes sobre a performance futura e termina com a escolha do portfoacutelio
O objetivo geral desta Teoria eacute o gerenciamento de carteiras de investishymentos atraveacutes da seleccedilatildeo de portfoacutelios (chamados portfoacutelios eficientes) que maximizem os retornos esperados dado um niacutevel de risco Para construccedilatildeo de um portfoacutelio eficiente supotildee-se que o investidor seja avesso ao risco ou seja se haacute dois investimentos Com o mesmo retorno esperado mas com riscos diferenshytes o investidor prefere aquele com menor risco
O retorno de um Portfoacutelio eacute dado a partir da seguinte expressatildeo Rp =wl RI +w2 R2 + +wgRg
onde Rp taxa de retorno de um portfoacutelio em um periacuteodo Rg = taxa de retorno do ativo g no periacuteodo W g peso do ativo g no portfoacutelio e G = nuacutemero de ativos no portfoacutelio
Jaacute o retorno esperado de um Portfoacutelio com ativos arriscados eacute dado pela expressatildeo abaixo
E(Ri) pI ri + p2 r2 + + pn m onde m = taxa de retorno possiacutevel para o ativo i pn = probabilidade da
taxa de retorno n ocorrer para o ativo i e N = nuacutemero de possiacuteveis ocorrecircncias da taxa de retorno
Para medir o risco de um portfoacutelio Markowitz propocircs que fosse utilizashyda a ferramenta estatiacutestica da variacircncia que tem por definiccedilatildeo como sendo a medida de dispersatildeo em torno de um valor esperado No entanto o mercado de capitais usa com maior frequumlecircncia o desvio padratildeo como medida de risco devishydo agrave caracteriacutestica de possuir a mesma unidade de medida dos ati vos mas que conceitualmente eacute equivalente agrave variacircncia
Outra ferramenta importante utilizada pela Teoria eacute a quantificaccedilatildeo da correlaccedilatildeo entre os ativos procurando identificar o quanto os ativos estatildeo relashycionados A diversificaccedilatildeo de Markowitz relaciona o grau de correlaccedilatildeo entre os retornos dos ativos e procura combinar ativos que tecircm correlaccedilotildees baixas pershymitindo a composiccedilatildeo de uma carteira com baixo desvio padratildeo
Trabalhar com diversificaccedilatildeo de carteiras nos dias de hoje eacute o principal ponto dos negoacutecios ditos asse management (gestatildeo de ativos) As administrashydoras de recursos de terceiros optam por aperfeiccediloar o atendimento aos seus clientes como aumentar o conjunto de informaccedilotildees disponiacuteveis central de duacuteshyvidas e consultaria atendimento eletrocircnico e principalmente ter mais domiacutenio dos riscos conforme o retorno
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o autor natildeo quer com isso afirmar que a diversificaccedilatildeo eacute superior a natildeo diversificaccedilatildeo mas apenas que com ela eacute possiacutevel combinando ativos de mashyneira correta diminuir o risco envolvido fato que hoje eacute muito considerado principalmente apoacutes a crise asiaacutetica Como exemplo pode-se citar o caso de dividir uma aplicaccedilatildeo em dois ativos diferentes (accedilatildeo de duas empresas diferenshytes) Se os dois papeacuteis tiverem mesma variacircncia contudo opostas eacute possiacutevel concluir queuma combinaccedilatildeo deles teraacute variacircncia menor que cada um dos ativos separadamene O uacutenico caso no qual a variacircncia resultante seria maior do que a de cada ativo seria para ativos perfeitamente correlacionados onde os dois cashyminham em mesmo sentido
Dados os avanccedilos da matemaacutetica e da estatiacutestica bem como dos recurshysos computacionais torna-se cada vez mais plausiacutevel encontrar as combinaccedilotildees eficientes de retorno-risco que atendem agraves expectativas do cliente-investidor Vale ressaltar que apesar da tecnologia racional envolvida a decisatildeo final de onde e como investir acaba por ser do administrador dos recursos que vai de acordo com o cenaacuterio aplicar todo seu conhecimento e feeling para tomar as decisotildees no gerenciamento dos recursos
Eacute em cima desse ponto que propotildee-se esse exemplo baseado em persoshynagens hipoteacuteticos contudo com dados reais de mercado e proacuteximo agrave uma situshyaccedilatildeo que natildeo foge muito da rotina dos fundos de investimento Utilizando os ensinamentos sobre Programaccedilatildeo Linear e nossos conhecimentos limitados soshybre mercados financeiros apresentaremos as etapas propostas pela Teoria do Portfoacutelio ou seja estabelecer as crenccedilas sobre o mercado e montar uma carteira de investimentos
2 A Teoria do Portfoacutelio e a Programaccedilatildeo Linear
As teacutecnicas de construccedilatildeo de um Portfoacutelio Eficiente-Markowitz para um grande nuacutemero de ativos requer consideraacutevel quantidade de caacutelculos mesmo assim a Teoria do Portfoacutelio pouco tem se utilizado dos recursos da Programashyccedilatildeo Linear Segundo FABOZZI (1995) uma das teacutecnicas matemaacutetica mais utishylizada eacute a da programaccedilatildeo quadraacutetica No entanto segundo o citado autor oushytros meacutetodos alternativos mais simples e que requerem menos recursos computacionais podem ser utilizados pelos investidores Dentro deste escopo a programaccedilatildeo linear surge com grandes perspectivas de tornar-se importante fershyramenta para a anaacutelise de investimentos Para fins didaacuteticos apresentamos a seguir uma situaccedilatildeo hipoteacutetica onde poderia ocorrer a utilizaccedilatildeo da programashyccedilatildeo linear aplicada agrave Teoria do Portfoacutelio
21 Um Estudo de Caso O diretor-presidente do Grupo X Dr Joaquim deseja aplicar sobras de
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caixa no valor de R$ 10000000 em CDB e nas principais accedilotildees do IBOVESPA (blue chips) Dr Joaquim pede ao seu gerente financeiro Sr Silva que apresenshyte as possiacuteveis accedilotildees em que deve aplicar Antes Dr Joseacute lembra-o de seu lema maior lucro com menor risco possiacutevel Para resolver a questatildeo Sr Silva selecionou da Carteira Teoacuterica do IBOVESPA as 10 principais accedilotildees (em tershymos de quantidade de accedilotildees na carteira) conforme tabela abaixo
Tabela 1 Carteira teoacuterica das principais accedilotildees componentes do IBOVESP A
Accedilatildeo Tipo Qtde Teoacuterica Participaccedilatildeo() (1) (2)
TELB4 TELEBRAacuteS PN 3221650 40977
PETR4 PETROBRAacuteS PN 328030 8356
TELB3 TELEBRAacuteS ON 466241 4507
TLSP4 TELESP PN 161193 4431
ELET3 ELETROBRAacuteS ON 1195033 3986
ELET6 ELETROBRAacuteS PNB 1106072 3902
CMIG4 CEMIG PN 826282 3157
VALE4 V ALE RIO DOCE PNA 1254 3044
BESP4 BANESPA PN 448624 2713
BBDC4 BRADESCO PN 2790617 2467
() Cotaccedilatildeo por lote de mil accedilotildees
(l) Quantidade Teoacuterica vaacutelida para o periacuteodo de vigecircncia da carteira sujeita a alteraccedilotildees somente no caso de distribuiccedilatildeo de proventos (dividendo bonificaccedilatildeo e subscriccedilatildeo) pelas empresas (2) Participaccedilatildeo relativa das accedilotildees da carteira divulgada para a abertura dos negoacutecios do dia 230798 sujeita a alteraccedilotildees em funccedilatildeo das evoluccedilotildees dos preccedilos desses papeacuteis Fonte httpwwwenfoquecombrcotacoes (310798)
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De acordo com a Teoria do Portfoacuteliacuteo para se minimizar o risco deve-se escolher accedilotildees que possuem correlaccedilotildees negativas ou baixas entre elas Atento a este criteacuterio Sr Silva calculou as correlaccedilotildees dos rendimentos entre as 10 accedilotildees chegando aos seguintes resultados
Tabela 2 Correlaccedilatildeo entre as principais accedilotildees componentes do IBOVESPN
COacuted~ol BES41BBD41CMI41 ELE3IELE6IPET4ITEL3ITEL4ITLS4Iv AL4
BES4 100 059 060 036 040 081 062 057 068 080
BBD4 059 100 087 069 072 080 077 086 080 076
CMI4 060 087 100 088 089 091 089 088 088 069
ELE3 036 069 088 100 099 074 089 081 078 045
ELE6 040 072 089 099 100 077 090 082 081 049
PET4 081 080 091 074 077 100 087 084 089 085
TEL3 062 077 089 089 090 087 100 090 086 068
TEL4 057 086 088 081 082 084 090 100 079 078
TLS4 068 080 088 078 081 089 086 079 100 075
VAL4 080 076 069 045 049 085 068 078 075 100
I A correlaccedilatildeo foi calculada com base no preccedilo de fechamento dos ativos de shy101 a 300798
Diante destes resultados Sr Siacutelva sugere ao Dr Joaquim as accedilotildees que possuem o menor iacutendice de correlaccedilatildeo para composiccedilatildeo de seu portfoacutelio ou seja BANESP A ELETROBRAS TELEBRAS e V ALE DO RIO DOCE conshyforme mostrado na tabela a seguir
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Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
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212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
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As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
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carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
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A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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---__~_----------------------shy
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
experiecircncia do administrador de fundos e termina com crenccedilas sobre a avaliashyccedilatildeo da performance futura segundo parte das crenccedilas relevantes sobre a performance futura e termina com a escolha do portfoacutelio
O objetivo geral desta Teoria eacute o gerenciamento de carteiras de investishymentos atraveacutes da seleccedilatildeo de portfoacutelios (chamados portfoacutelios eficientes) que maximizem os retornos esperados dado um niacutevel de risco Para construccedilatildeo de um portfoacutelio eficiente supotildee-se que o investidor seja avesso ao risco ou seja se haacute dois investimentos Com o mesmo retorno esperado mas com riscos diferenshytes o investidor prefere aquele com menor risco
O retorno de um Portfoacutelio eacute dado a partir da seguinte expressatildeo Rp =wl RI +w2 R2 + +wgRg
onde Rp taxa de retorno de um portfoacutelio em um periacuteodo Rg = taxa de retorno do ativo g no periacuteodo W g peso do ativo g no portfoacutelio e G = nuacutemero de ativos no portfoacutelio
Jaacute o retorno esperado de um Portfoacutelio com ativos arriscados eacute dado pela expressatildeo abaixo
E(Ri) pI ri + p2 r2 + + pn m onde m = taxa de retorno possiacutevel para o ativo i pn = probabilidade da
taxa de retorno n ocorrer para o ativo i e N = nuacutemero de possiacuteveis ocorrecircncias da taxa de retorno
Para medir o risco de um portfoacutelio Markowitz propocircs que fosse utilizashyda a ferramenta estatiacutestica da variacircncia que tem por definiccedilatildeo como sendo a medida de dispersatildeo em torno de um valor esperado No entanto o mercado de capitais usa com maior frequumlecircncia o desvio padratildeo como medida de risco devishydo agrave caracteriacutestica de possuir a mesma unidade de medida dos ati vos mas que conceitualmente eacute equivalente agrave variacircncia
Outra ferramenta importante utilizada pela Teoria eacute a quantificaccedilatildeo da correlaccedilatildeo entre os ativos procurando identificar o quanto os ativos estatildeo relashycionados A diversificaccedilatildeo de Markowitz relaciona o grau de correlaccedilatildeo entre os retornos dos ativos e procura combinar ativos que tecircm correlaccedilotildees baixas pershymitindo a composiccedilatildeo de uma carteira com baixo desvio padratildeo
Trabalhar com diversificaccedilatildeo de carteiras nos dias de hoje eacute o principal ponto dos negoacutecios ditos asse management (gestatildeo de ativos) As administrashydoras de recursos de terceiros optam por aperfeiccediloar o atendimento aos seus clientes como aumentar o conjunto de informaccedilotildees disponiacuteveis central de duacuteshyvidas e consultaria atendimento eletrocircnico e principalmente ter mais domiacutenio dos riscos conforme o retorno
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o autor natildeo quer com isso afirmar que a diversificaccedilatildeo eacute superior a natildeo diversificaccedilatildeo mas apenas que com ela eacute possiacutevel combinando ativos de mashyneira correta diminuir o risco envolvido fato que hoje eacute muito considerado principalmente apoacutes a crise asiaacutetica Como exemplo pode-se citar o caso de dividir uma aplicaccedilatildeo em dois ativos diferentes (accedilatildeo de duas empresas diferenshytes) Se os dois papeacuteis tiverem mesma variacircncia contudo opostas eacute possiacutevel concluir queuma combinaccedilatildeo deles teraacute variacircncia menor que cada um dos ativos separadamene O uacutenico caso no qual a variacircncia resultante seria maior do que a de cada ativo seria para ativos perfeitamente correlacionados onde os dois cashyminham em mesmo sentido
Dados os avanccedilos da matemaacutetica e da estatiacutestica bem como dos recurshysos computacionais torna-se cada vez mais plausiacutevel encontrar as combinaccedilotildees eficientes de retorno-risco que atendem agraves expectativas do cliente-investidor Vale ressaltar que apesar da tecnologia racional envolvida a decisatildeo final de onde e como investir acaba por ser do administrador dos recursos que vai de acordo com o cenaacuterio aplicar todo seu conhecimento e feeling para tomar as decisotildees no gerenciamento dos recursos
Eacute em cima desse ponto que propotildee-se esse exemplo baseado em persoshynagens hipoteacuteticos contudo com dados reais de mercado e proacuteximo agrave uma situshyaccedilatildeo que natildeo foge muito da rotina dos fundos de investimento Utilizando os ensinamentos sobre Programaccedilatildeo Linear e nossos conhecimentos limitados soshybre mercados financeiros apresentaremos as etapas propostas pela Teoria do Portfoacutelio ou seja estabelecer as crenccedilas sobre o mercado e montar uma carteira de investimentos
2 A Teoria do Portfoacutelio e a Programaccedilatildeo Linear
As teacutecnicas de construccedilatildeo de um Portfoacutelio Eficiente-Markowitz para um grande nuacutemero de ativos requer consideraacutevel quantidade de caacutelculos mesmo assim a Teoria do Portfoacutelio pouco tem se utilizado dos recursos da Programashyccedilatildeo Linear Segundo FABOZZI (1995) uma das teacutecnicas matemaacutetica mais utishylizada eacute a da programaccedilatildeo quadraacutetica No entanto segundo o citado autor oushytros meacutetodos alternativos mais simples e que requerem menos recursos computacionais podem ser utilizados pelos investidores Dentro deste escopo a programaccedilatildeo linear surge com grandes perspectivas de tornar-se importante fershyramenta para a anaacutelise de investimentos Para fins didaacuteticos apresentamos a seguir uma situaccedilatildeo hipoteacutetica onde poderia ocorrer a utilizaccedilatildeo da programashyccedilatildeo linear aplicada agrave Teoria do Portfoacutelio
21 Um Estudo de Caso O diretor-presidente do Grupo X Dr Joaquim deseja aplicar sobras de
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caixa no valor de R$ 10000000 em CDB e nas principais accedilotildees do IBOVESPA (blue chips) Dr Joaquim pede ao seu gerente financeiro Sr Silva que apresenshyte as possiacuteveis accedilotildees em que deve aplicar Antes Dr Joseacute lembra-o de seu lema maior lucro com menor risco possiacutevel Para resolver a questatildeo Sr Silva selecionou da Carteira Teoacuterica do IBOVESPA as 10 principais accedilotildees (em tershymos de quantidade de accedilotildees na carteira) conforme tabela abaixo
Tabela 1 Carteira teoacuterica das principais accedilotildees componentes do IBOVESP A
Accedilatildeo Tipo Qtde Teoacuterica Participaccedilatildeo() (1) (2)
TELB4 TELEBRAacuteS PN 3221650 40977
PETR4 PETROBRAacuteS PN 328030 8356
TELB3 TELEBRAacuteS ON 466241 4507
TLSP4 TELESP PN 161193 4431
ELET3 ELETROBRAacuteS ON 1195033 3986
ELET6 ELETROBRAacuteS PNB 1106072 3902
CMIG4 CEMIG PN 826282 3157
VALE4 V ALE RIO DOCE PNA 1254 3044
BESP4 BANESPA PN 448624 2713
BBDC4 BRADESCO PN 2790617 2467
() Cotaccedilatildeo por lote de mil accedilotildees
(l) Quantidade Teoacuterica vaacutelida para o periacuteodo de vigecircncia da carteira sujeita a alteraccedilotildees somente no caso de distribuiccedilatildeo de proventos (dividendo bonificaccedilatildeo e subscriccedilatildeo) pelas empresas (2) Participaccedilatildeo relativa das accedilotildees da carteira divulgada para a abertura dos negoacutecios do dia 230798 sujeita a alteraccedilotildees em funccedilatildeo das evoluccedilotildees dos preccedilos desses papeacuteis Fonte httpwwwenfoquecombrcotacoes (310798)
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De acordo com a Teoria do Portfoacuteliacuteo para se minimizar o risco deve-se escolher accedilotildees que possuem correlaccedilotildees negativas ou baixas entre elas Atento a este criteacuterio Sr Silva calculou as correlaccedilotildees dos rendimentos entre as 10 accedilotildees chegando aos seguintes resultados
Tabela 2 Correlaccedilatildeo entre as principais accedilotildees componentes do IBOVESPN
COacuted~ol BES41BBD41CMI41 ELE3IELE6IPET4ITEL3ITEL4ITLS4Iv AL4
BES4 100 059 060 036 040 081 062 057 068 080
BBD4 059 100 087 069 072 080 077 086 080 076
CMI4 060 087 100 088 089 091 089 088 088 069
ELE3 036 069 088 100 099 074 089 081 078 045
ELE6 040 072 089 099 100 077 090 082 081 049
PET4 081 080 091 074 077 100 087 084 089 085
TEL3 062 077 089 089 090 087 100 090 086 068
TEL4 057 086 088 081 082 084 090 100 079 078
TLS4 068 080 088 078 081 089 086 079 100 075
VAL4 080 076 069 045 049 085 068 078 075 100
I A correlaccedilatildeo foi calculada com base no preccedilo de fechamento dos ativos de shy101 a 300798
Diante destes resultados Sr Siacutelva sugere ao Dr Joaquim as accedilotildees que possuem o menor iacutendice de correlaccedilatildeo para composiccedilatildeo de seu portfoacutelio ou seja BANESP A ELETROBRAS TELEBRAS e V ALE DO RIO DOCE conshyforme mostrado na tabela a seguir
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Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
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212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
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As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
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carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
Econ pesqui Araccedilatuba vl n1 p60-78 mar 1999
---__~_----------------------shy
74
rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
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o autor natildeo quer com isso afirmar que a diversificaccedilatildeo eacute superior a natildeo diversificaccedilatildeo mas apenas que com ela eacute possiacutevel combinando ativos de mashyneira correta diminuir o risco envolvido fato que hoje eacute muito considerado principalmente apoacutes a crise asiaacutetica Como exemplo pode-se citar o caso de dividir uma aplicaccedilatildeo em dois ativos diferentes (accedilatildeo de duas empresas diferenshytes) Se os dois papeacuteis tiverem mesma variacircncia contudo opostas eacute possiacutevel concluir queuma combinaccedilatildeo deles teraacute variacircncia menor que cada um dos ativos separadamene O uacutenico caso no qual a variacircncia resultante seria maior do que a de cada ativo seria para ativos perfeitamente correlacionados onde os dois cashyminham em mesmo sentido
Dados os avanccedilos da matemaacutetica e da estatiacutestica bem como dos recurshysos computacionais torna-se cada vez mais plausiacutevel encontrar as combinaccedilotildees eficientes de retorno-risco que atendem agraves expectativas do cliente-investidor Vale ressaltar que apesar da tecnologia racional envolvida a decisatildeo final de onde e como investir acaba por ser do administrador dos recursos que vai de acordo com o cenaacuterio aplicar todo seu conhecimento e feeling para tomar as decisotildees no gerenciamento dos recursos
Eacute em cima desse ponto que propotildee-se esse exemplo baseado em persoshynagens hipoteacuteticos contudo com dados reais de mercado e proacuteximo agrave uma situshyaccedilatildeo que natildeo foge muito da rotina dos fundos de investimento Utilizando os ensinamentos sobre Programaccedilatildeo Linear e nossos conhecimentos limitados soshybre mercados financeiros apresentaremos as etapas propostas pela Teoria do Portfoacutelio ou seja estabelecer as crenccedilas sobre o mercado e montar uma carteira de investimentos
2 A Teoria do Portfoacutelio e a Programaccedilatildeo Linear
As teacutecnicas de construccedilatildeo de um Portfoacutelio Eficiente-Markowitz para um grande nuacutemero de ativos requer consideraacutevel quantidade de caacutelculos mesmo assim a Teoria do Portfoacutelio pouco tem se utilizado dos recursos da Programashyccedilatildeo Linear Segundo FABOZZI (1995) uma das teacutecnicas matemaacutetica mais utishylizada eacute a da programaccedilatildeo quadraacutetica No entanto segundo o citado autor oushytros meacutetodos alternativos mais simples e que requerem menos recursos computacionais podem ser utilizados pelos investidores Dentro deste escopo a programaccedilatildeo linear surge com grandes perspectivas de tornar-se importante fershyramenta para a anaacutelise de investimentos Para fins didaacuteticos apresentamos a seguir uma situaccedilatildeo hipoteacutetica onde poderia ocorrer a utilizaccedilatildeo da programashyccedilatildeo linear aplicada agrave Teoria do Portfoacutelio
21 Um Estudo de Caso O diretor-presidente do Grupo X Dr Joaquim deseja aplicar sobras de
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caixa no valor de R$ 10000000 em CDB e nas principais accedilotildees do IBOVESPA (blue chips) Dr Joaquim pede ao seu gerente financeiro Sr Silva que apresenshyte as possiacuteveis accedilotildees em que deve aplicar Antes Dr Joseacute lembra-o de seu lema maior lucro com menor risco possiacutevel Para resolver a questatildeo Sr Silva selecionou da Carteira Teoacuterica do IBOVESPA as 10 principais accedilotildees (em tershymos de quantidade de accedilotildees na carteira) conforme tabela abaixo
Tabela 1 Carteira teoacuterica das principais accedilotildees componentes do IBOVESP A
Accedilatildeo Tipo Qtde Teoacuterica Participaccedilatildeo() (1) (2)
TELB4 TELEBRAacuteS PN 3221650 40977
PETR4 PETROBRAacuteS PN 328030 8356
TELB3 TELEBRAacuteS ON 466241 4507
TLSP4 TELESP PN 161193 4431
ELET3 ELETROBRAacuteS ON 1195033 3986
ELET6 ELETROBRAacuteS PNB 1106072 3902
CMIG4 CEMIG PN 826282 3157
VALE4 V ALE RIO DOCE PNA 1254 3044
BESP4 BANESPA PN 448624 2713
BBDC4 BRADESCO PN 2790617 2467
() Cotaccedilatildeo por lote de mil accedilotildees
(l) Quantidade Teoacuterica vaacutelida para o periacuteodo de vigecircncia da carteira sujeita a alteraccedilotildees somente no caso de distribuiccedilatildeo de proventos (dividendo bonificaccedilatildeo e subscriccedilatildeo) pelas empresas (2) Participaccedilatildeo relativa das accedilotildees da carteira divulgada para a abertura dos negoacutecios do dia 230798 sujeita a alteraccedilotildees em funccedilatildeo das evoluccedilotildees dos preccedilos desses papeacuteis Fonte httpwwwenfoquecombrcotacoes (310798)
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De acordo com a Teoria do Portfoacuteliacuteo para se minimizar o risco deve-se escolher accedilotildees que possuem correlaccedilotildees negativas ou baixas entre elas Atento a este criteacuterio Sr Silva calculou as correlaccedilotildees dos rendimentos entre as 10 accedilotildees chegando aos seguintes resultados
Tabela 2 Correlaccedilatildeo entre as principais accedilotildees componentes do IBOVESPN
COacuted~ol BES41BBD41CMI41 ELE3IELE6IPET4ITEL3ITEL4ITLS4Iv AL4
BES4 100 059 060 036 040 081 062 057 068 080
BBD4 059 100 087 069 072 080 077 086 080 076
CMI4 060 087 100 088 089 091 089 088 088 069
ELE3 036 069 088 100 099 074 089 081 078 045
ELE6 040 072 089 099 100 077 090 082 081 049
PET4 081 080 091 074 077 100 087 084 089 085
TEL3 062 077 089 089 090 087 100 090 086 068
TEL4 057 086 088 081 082 084 090 100 079 078
TLS4 068 080 088 078 081 089 086 079 100 075
VAL4 080 076 069 045 049 085 068 078 075 100
I A correlaccedilatildeo foi calculada com base no preccedilo de fechamento dos ativos de shy101 a 300798
Diante destes resultados Sr Siacutelva sugere ao Dr Joaquim as accedilotildees que possuem o menor iacutendice de correlaccedilatildeo para composiccedilatildeo de seu portfoacutelio ou seja BANESP A ELETROBRAS TELEBRAS e V ALE DO RIO DOCE conshyforme mostrado na tabela a seguir
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Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
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212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
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As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
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carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
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A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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---__~_----------------------shy
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
caixa no valor de R$ 10000000 em CDB e nas principais accedilotildees do IBOVESPA (blue chips) Dr Joaquim pede ao seu gerente financeiro Sr Silva que apresenshyte as possiacuteveis accedilotildees em que deve aplicar Antes Dr Joseacute lembra-o de seu lema maior lucro com menor risco possiacutevel Para resolver a questatildeo Sr Silva selecionou da Carteira Teoacuterica do IBOVESPA as 10 principais accedilotildees (em tershymos de quantidade de accedilotildees na carteira) conforme tabela abaixo
Tabela 1 Carteira teoacuterica das principais accedilotildees componentes do IBOVESP A
Accedilatildeo Tipo Qtde Teoacuterica Participaccedilatildeo() (1) (2)
TELB4 TELEBRAacuteS PN 3221650 40977
PETR4 PETROBRAacuteS PN 328030 8356
TELB3 TELEBRAacuteS ON 466241 4507
TLSP4 TELESP PN 161193 4431
ELET3 ELETROBRAacuteS ON 1195033 3986
ELET6 ELETROBRAacuteS PNB 1106072 3902
CMIG4 CEMIG PN 826282 3157
VALE4 V ALE RIO DOCE PNA 1254 3044
BESP4 BANESPA PN 448624 2713
BBDC4 BRADESCO PN 2790617 2467
() Cotaccedilatildeo por lote de mil accedilotildees
(l) Quantidade Teoacuterica vaacutelida para o periacuteodo de vigecircncia da carteira sujeita a alteraccedilotildees somente no caso de distribuiccedilatildeo de proventos (dividendo bonificaccedilatildeo e subscriccedilatildeo) pelas empresas (2) Participaccedilatildeo relativa das accedilotildees da carteira divulgada para a abertura dos negoacutecios do dia 230798 sujeita a alteraccedilotildees em funccedilatildeo das evoluccedilotildees dos preccedilos desses papeacuteis Fonte httpwwwenfoquecombrcotacoes (310798)
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De acordo com a Teoria do Portfoacuteliacuteo para se minimizar o risco deve-se escolher accedilotildees que possuem correlaccedilotildees negativas ou baixas entre elas Atento a este criteacuterio Sr Silva calculou as correlaccedilotildees dos rendimentos entre as 10 accedilotildees chegando aos seguintes resultados
Tabela 2 Correlaccedilatildeo entre as principais accedilotildees componentes do IBOVESPN
COacuted~ol BES41BBD41CMI41 ELE3IELE6IPET4ITEL3ITEL4ITLS4Iv AL4
BES4 100 059 060 036 040 081 062 057 068 080
BBD4 059 100 087 069 072 080 077 086 080 076
CMI4 060 087 100 088 089 091 089 088 088 069
ELE3 036 069 088 100 099 074 089 081 078 045
ELE6 040 072 089 099 100 077 090 082 081 049
PET4 081 080 091 074 077 100 087 084 089 085
TEL3 062 077 089 089 090 087 100 090 086 068
TEL4 057 086 088 081 082 084 090 100 079 078
TLS4 068 080 088 078 081 089 086 079 100 075
VAL4 080 076 069 045 049 085 068 078 075 100
I A correlaccedilatildeo foi calculada com base no preccedilo de fechamento dos ativos de shy101 a 300798
Diante destes resultados Sr Siacutelva sugere ao Dr Joaquim as accedilotildees que possuem o menor iacutendice de correlaccedilatildeo para composiccedilatildeo de seu portfoacutelio ou seja BANESP A ELETROBRAS TELEBRAS e V ALE DO RIO DOCE conshyforme mostrado na tabela a seguir
Econ pesquiAraccedilatuba YInlp61-78 mar 1999 65
Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
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212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
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As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
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carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
Econ pesqui Araccedilatuba vl n1 p60-78 mar 1999
---__~_----------------------shy
74
rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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De acordo com a Teoria do Portfoacuteliacuteo para se minimizar o risco deve-se escolher accedilotildees que possuem correlaccedilotildees negativas ou baixas entre elas Atento a este criteacuterio Sr Silva calculou as correlaccedilotildees dos rendimentos entre as 10 accedilotildees chegando aos seguintes resultados
Tabela 2 Correlaccedilatildeo entre as principais accedilotildees componentes do IBOVESPN
COacuted~ol BES41BBD41CMI41 ELE3IELE6IPET4ITEL3ITEL4ITLS4Iv AL4
BES4 100 059 060 036 040 081 062 057 068 080
BBD4 059 100 087 069 072 080 077 086 080 076
CMI4 060 087 100 088 089 091 089 088 088 069
ELE3 036 069 088 100 099 074 089 081 078 045
ELE6 040 072 089 099 100 077 090 082 081 049
PET4 081 080 091 074 077 100 087 084 089 085
TEL3 062 077 089 089 090 087 100 090 086 068
TEL4 057 086 088 081 082 084 090 100 079 078
TLS4 068 080 088 078 081 089 086 079 100 075
VAL4 080 076 069 045 049 085 068 078 075 100
I A correlaccedilatildeo foi calculada com base no preccedilo de fechamento dos ativos de shy101 a 300798
Diante destes resultados Sr Siacutelva sugere ao Dr Joaquim as accedilotildees que possuem o menor iacutendice de correlaccedilatildeo para composiccedilatildeo de seu portfoacutelio ou seja BANESP A ELETROBRAS TELEBRAS e V ALE DO RIO DOCE conshyforme mostrado na tabela a seguir
Econ pesquiAraccedilatuba YInlp61-78 mar 1999 65
Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
Econ pesqui Araccedilatuba vl n p60-78 mar 1999 66
212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
Econ pesqui Araccedilatuba vlnlp61-78 mar 1999 67
As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 68
Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 69
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
Econ pesqui Araccedilatuba vl n p60-78 mar 1999 70
Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
72 Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999
Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 73
A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
Econ pesqui Araccedilatuba vl n1 p60-78 mar 1999
---__~_----------------------shy
74
rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
Tabela 3 Correlaccedilatildeo entre as accedilotildees escolhidas para compor o portfoacutelio Coacutedigo ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 036 057 1 08 VAL4 045 078 08 1 ELE3 1 081 036 045 TEL4 081 1 057 078
Dr Joaquim fica saacutetisfeito mas agora quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mecircs de julho98 buscando o maior retorno Contudo duvidando da eficiecircncia de seu gerente faz as seguintes exigecircncias
poderaacute perder no maacuteximo 1 das sobras para evitar concentraccedilatildeo em determinados ati vos exige que no
maXImo 20 seja aplicado em CDB 40 em BANESPA 10 em ELETROBRAS 10 em TELEBRAS e 20 em V ALE DO RIO DOCE e
a carteira deveraacute render no miacutenimo igual ao rendimento do CDR Deve-se salientar que as principais hipoacuteteses da Teoria do Portfoacutelio foshy
ram satisfeitas neste exerciacutecio Dr Joaquim eacute avesso ao risco e por isto utilizashyse de instrumentos para evitar perdas em seu portfoacutelio como a diversificaccedilatildeo e a ferramenta estatiacutestica da correlaccedilatildeo Aleacutem disto observa-se atraveacutes do lema do Dr Joaquim a preocupaccedilatildeo com o retorno de seu portfoacutelio
211 Formulaccedilatildeo Matemaacutetica do Problema
Sr Silva depois de muito trabalho apresenta a seguinte formulaccedilatildeo matemaacutetica para o problema
Objetivo Maximizar o retorno da Carteira Alternativas aplicaccedilatildeo em CDB (xl) aplicaccedilatildeo em BANESPA (x2) aplicaccedilatildeo em ELETROBRAS (x3) aplicaccedilatildeo em TELEBRAS (x4) e aplicaccedilatildeo em VALE RDOCE (x5) Restriccedilotildees capital risco exigecircncias maacutexima da quantidade de ativos e rentabilidade miacutenima
A estrutura matemaacutetica deste exerciacutecio pode ser apresentada assim
sujeito agrave dp XI + dP2 x2 + dp] x] + dP4 x4 + dps x5lt= 1000 XI lt= 20000 x lt= 40000 x] lt= 10000 x lt= 10000 Xs lt= 20000 e
2 4
rm1x + rm x + rm x + rm x + rmSX5 gt = rm 1000001 2 2 3 3 4 4 l
Onde rmx retorno meacutediodia para o ativo i e dpx desvio padratildeo do I I 11
ativo F
o calculo do retomo meacutedio diaacuterio e do desvio padratildeo de ccedilada ativo foram elaborados com base no periodo de 310 I acirc 300798
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212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
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As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 69
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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---__~_----------------------shy
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
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Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
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Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
212 Anaacutelise de Sensibilidade dos Resnltados
Utilizando-se da linguagem GAMS chega-se aos resultados para os meshyses de fevereiro agravejulho983
conforme a estrutura matemaacutetica proposta Tabela 4 soluccedilatildeo primai fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE ST A TUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET x1 BASIS 2OOOOOOacuteOacute 000000 NONE 000840
000840 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 007180
007180 OQOOOO X3 ffASIS 10000000 000000 NONE 003530
003530 000000 XA BASIS 10168675 000000 NONE 008410
008410 000000 X5 NBASIS 00000000 000000 NONE 009110
018644 -009534
o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$ 34785 represenshytando R$ 486990 ao mecircs (498)4 Se compararmos com o rendimento meacutedio mensal do CDB (119) nota-se a oacutetima rentabilidade da carteira neste mecircs
Observa-se que apenas o ativo V ALE DO RIO DOCE (X5) natildeo foi inclushyiacutedo na composiccedilatildeo da carteira e a utilizaccedilatildeo de R$ 100 neste ativo acarretaria em um decreacutescimo de R$ 00095 no retomo da carteira Este ativo soacute poderia ser considerado na composiccedilatildeo da carteira caso seu retomo unitaacuterio diaacuterio fosse de R$ 0018644 e natildeo R$ 0009110 como o observado
Tabela 5 soluccedilatildeo dual fevereiro98
FEV SOLUTION [S MAX[MUM RETURN 3478518554 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHSVALUE USAGE SLACK
CAP NBINDING 00000000 10000000 71016867 28983133 DES BINDING 20265060 10000000 10000000 00000000 MXI BINDING 00083189 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00291218 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00120762 10000000 10000000 00000000 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 89831325 MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 84000000 34785186 -26385186
A soluccedilatildeo para os meses de abril maio ejunho foi considerada impossivel pelQ Software Os resultados encontram~se em anexo
~ Foram considendo5 aacutepeacutettlS 14 dias titeis de rendimento neste mecircs
Econ pesqui Araccedilatuba vlnlp61-78 mar 1999 67
As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 68
Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 69
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
Econ pesqui Araccedilatuba vl n p60-78 mar 1999 70
Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
As restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades maacuteximas dos ativos Xl X2 e X3 foram atuantes (binding) verificando-se pelo fato de natildeo terem folgas (slack) conforme tabela acima Atentando-se ao valor do preccediloshysombra vecirc-se que em se adotando um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim admitindo-se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da restriccedilatildeo de risco maacuteximo) obteriacutea-se um acreacutescimo de R$ 020265 ao resultado da funccedilatildeo objetivo
Jaacute em relaccedilatildeo agrave restriccedilatildeo de capital observa-se que apenas R$ 7101687 foram utilizados por isso verifica-se uma folga de 2898 do capital total Esta folga de capital ocorre porque nem todos os ativos estatildeo sendo utilizados em seu limite proposto
Tabela 6 right-hand-side ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 RIGHTshyHAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBINDING 00000000 0000000 71016867 NONE DES BINDING 20265060 10000000 95780000 13728000 MXl BINDING 00083189 20000000 00000000 49011095 MX2 BINDING 00291218 40000000 22298196 42003799 MX3 BINDING 00120762 10000000 00000000 13682373 MX4 NBINDING 00000000 10000000 10168675 NONE MX5 NBINDING 00000000 20000000 00000000 NONE MRE NBINDING 00000000 84000000 NONE 34785186
A tabela acima mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restrishyccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacuteximo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 95780 e 137280 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra
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Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 69
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
Econ pesqui Araccedilatuba vl n p60-78 mar 1999 70
Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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---__~_----------------------shy
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
Tabela 7 objetivhow ranges fevereiro98
FEV SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 3478518554 OBJECTIVE ROW RANGES
V ARIABLE ST ATUS VALUE RETURNUNIT MINIMUM MAXIMUM Xl BASIS 20000000 00084000 00000811 NONE X2 BASIS 40000000 00718000 00426782
NONE X3 BASIS 10000000 00353000 00232238 NONE XA BASIS 1016867 00841000 00410940
01278316 X5 NBASIS 00000000 00911000 NONE 01864386
A tabela 7 mostra o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode varishyar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Assim enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X2 situar-se entre 00072 e 00043 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Dada a volatilidade do mercado de capitais as informaccedilotildees contidas na tabela 7 satildeo de suma importacircncia para o gerente da carteira mostrando os intershyvalos de seguranccedila que permitem obter a soluccedilatildeo oacutetima
Tabela8 soluccedilatildeo primai marccedilo98
MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
VARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
X1 BASIS 20000000 000000 NONE 000700 000700 000000 X2 BASIS 83481276 000000 NONE 009810
009810 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002000
002000 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 003790
003790 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004890
004890 000000 Para este mecircs o retomo meacutedio diaacuterio da carteira proposta seraacute de R$
25159 representando R$ 553498 ao mecircs (5538)5 Comparado com o rendimento meacutedio mensal do CDB (154) temos uma boa rentabilidade da
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 69
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
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A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
Econ pesqui Araccedilatuba vl n1 p60-78 mar 1999
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 76
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
carteira neste mecircs Vale notar que diferentemente do mecircs anterior neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos na composiccedilatildeo do portfoacutelio
Tabela 9 soluccedilatildeo dual marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 DUAL PROBLEM SOLUTION CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 31651872 DES BINDING 13606103 10000000 10000000 00000000 MXl BINDING 00069048 20000000 20000000 00000000 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 31651872 MX3 BINDING 00108023 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00301037 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00304093 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 70000000 25159513 -18159513
Novamente as restriccedilotildees relativas ao risco maacuteximo e agraves quantidades
maacuteximas dos ativos Xl X3 X4 e X5 foram atuantes (binding) apresentanshy
do a natildeo existecircncia de folgas (slack) Quanto ao valor do preccedilo-sombra
adotando-se um perfil menos avesso ao risco para o Dr Joaquim e admitindoshy
se uma perda maacutexima de R$ 100100 (ou seja R$ 100 a mais no RHS da
restriccedilatildeo de risco maacuteximo) se conseguiria um acreacutescimo de R$ 013606 ao
resultado da funccedilatildeo objetivo inferior ao mecircs anterior poreacutem natildeo menos releshy
vante Com referecircncia agrave restriccedilatildeo de capital nota-se que apenas R$ 6834813
foram utilizados verificando-se uma folga de 3165 do capital total A folga
de capital ocorre porque o ativo X2 natildeo estaacute estatildeo sendo utilizado em seu
limite proposto
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Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
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A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
Econ pesqui Araccedilatuba vln1p61-78 mar 1999 75
Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 76
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
Tabela 10 right-Iacuteand-side ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXlMUM RETURN 2515951318 RlGHT -HAND-SIDE RANGES CONSTRAINT STATUS DUAL VALUE RHS VALUE MINlMUM MAXIMUM CAP NBINDING 00000000 10000000 68348128 NONE DES BINDING 13606103 10000000 39810000 32821000 MXI BINDING 00069048 20000000 00000000 51682632 MX2 NBINDING 00000000 40000000 83481276 NONE MX3 BINDING 00108023 10000000 00000000 44926538 MX4 BINDING 00301037 10000000 00000000 44384511 MX5 BINDING 00304093 20000000 00000000 59003589 MRE NBINDING 00000000 70000000 NONE 25159513
Identicamente ao exposto anteriormente a tabela 10 mostra o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra No caso exemplificado da restriccedilatildeo de risco maacutexishymo enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo situado entre R$ 39810 e 328210 a variaccedilatildeo no valor da funccedilatildeo objetivo seraacute proporcional ao valor do preccedilo-sombra da restriccedilatildeo Observe que para este mecircs teremos uma margem de seguranccedila bem maior que no mecircs anterior
Tabela 11 objetive row ranges marccedilo98 MAR SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 2515951318 OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABtE STATUS VALUE RETURNuumlNIT MINIMUM MAXIMUM
XI BASIS 20060000 00070000 00000952 NONE X2 BASIS 83481276 00981000 00000000
02133136 X3 BASIS 10000000 00200000 00091977 NONE X4 BASIS 10000000 00379000 00077963
NONE X5 BASIS 20000000 00489000 00184907
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nI p61-79 mar J999 71
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
72 Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999
Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 73
A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
Econ pesqui Araccedilatuba vl n1 p60-78 mar 1999
---__~_----------------------shy
74
rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 76
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
A tabela acima identifica o intervalo onde o retorno diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Entatildeo temos que enquanto a mudanccedila no valor diaacuterio do ativo X3 ocorrer a partir de 000091977 a soluccedilatildeo oacutetima encontrada continuaraacute sendo a mesma
Tabela 12 soluccedilatildeo primai julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 PRIMAL PROBLEM SOLUTION
V ARIABLE STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN VALUE NET
XI BASIS 20000000 000000 NONE 000570 000570 000000 X2 BASIS 40000000 000000 NONE 008330 008330 000000 X3 BASIS 10000000 000000 NONE 002650 002650 000000 X4 BASIS 10000000 000000 NONE 007200 007200 000000 X5 BASIS 20000000 000000 NONE 004410 004410 000000
A tabela 12 mostra o maior retorno meacutedio diaacuterio da carteira em compashyraccedilatildeo com os meses anteriores Seraacute de R$ 53130 representando R$ 1062600 ao mecircs (1063)6 Frente ao rendimento meacutedio mensal do CDB (114)teshymos uma performance notaacutevel da carteira neste periacuteodo Notamos novamente que neste mecircs teriacuteamos a inclusatildeo de todos os ati vos propostos Tabela 13 soluccedilatildeo dual julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT STA TUS DUAL VALUE RHS VALUE USAGE SLACK
CAP BINDING 00000000 10000000 lOtildeOtildeOOOOO 00000000 DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 46110000 MXI BINDING 00057000 20000000 20000000 00000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 40000000 00000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 10000000 00000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 10000000 00000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 20000000 00000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 53130000
-47430000
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
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mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
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Interessante no mecircs de julho eacute observar que todas as restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ati vos foram atuantes (binding) apresentando a natildeo existecircncia de folgas (slack) Isto proporcionou a plena utilizaccedilatildeo dos reshycursos disponiacuteveis (R$ 1000000) Quanto ao valor do preccedilo-sombra para o mecircs temos que a aplicaccedilatildeo de uma unidade a mais no ativo X4 proporcionaria um acreacutescimo de R$ 00072 ao resultado da funccedilatildeo objetivo Tabela 14 right-hand-side ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMUM RETURN 5313000000 RIGHT-HAND-SIDE RANGES CONSfRAtNT STATUS DUALVALUE RHS VALUE MINIMUM MAXIMUM
CAP NBtNDINoacute ootildeotildeotildeotildeotildeotildeotilde iotildeotildeooooO 10000000 NONE DES NBINDING 00000000 10000000 53890000 NONE MXI BINDING 00057000 20000000 00000000 20000000 MX2 BINDING 00833000 40000000 00000000 40000000 MX3 BINDING 00265000 10000000 00000000 10000000 MX4 BINDING 00720000 10000000 00000000 10000000 MX5 BINDING 00441000 20000000 00000000 20000000 MRE NBINDING 00000000 57000000 NONE 53130000
o intervalo em que a variaccedilatildeo no RHS da restriccedilatildeo atuante seraacute diretamente proporcional ao valor de seu preccedilo-sombra eacute mostrado acima As restriccedilotildees relativas agraves quantidades maacuteximas dos ativos mostram que seus RHSs podem variar de zero ateacute o limite proposto pelo Dr Joaquim Tabela 15 objetive row ranges julho98
JUL SOLUTION IS MAXIMlJM RETURN 5313000000 OBJECTIVE ROWRANGES
VARIABLE STATUS VALUE RETURNUNIT MINlMUM MAXlMUM
XI BASIS 20000000 00057000 00000000 NONE X2 BASIS 40000000 00833000 00000000
NONE X3 BASIS 10000000 00265000 00000000
NONE x4 BASIS 10000000 00720000 00000000
NONE X5 BASIS 20000000 00441000 00000000
NONE
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
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Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
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A tabela 15 mostra-nos o intervalo onde o retomo diaacuterio dos ativos pode variar sem afetar a soluccedilatildeo oacutetima Desse modo temos que enquanto a mudanccedila permitida para que a soluccedilatildeo oacutetima permaneccedila a mesma - no valor diaacuterio dos ati vos X3 situa-se entre zero ao infinito
213 Apresentaccedilatildeo da Carteira Oacutetima
Apoacutes estruturar o modelo matemaacutetico para cada periacuteodo e aplicar a linshyguagem GAMS o Sr Silva refletiu sobre os resultados que seriam apresentados ao Dr Joaquim pessoa que nunca confiou no mercado acionaacuterio sempre aplishycando suas sobras de caixa no CDB o qual considerava a mais segura das aplicaccedilotildees Apoacutes algumas ilaccedilotildees Sr Silva acabou por estabelecer a seguinte regra sobre como montar uma carteira de investimento ao Dr Joaquim para o periacuteodo de agosto (tendo como pressuposto as exigecircncias impostas pelo Dr Joaquim anteriormente)
Dado o conservadorismo e a aversatildeo ao riacutesco inerente ao seu chefe e tendo em matildeos os resultados dos cinco periacuteodos (fevereiro a junho98) para os quais aplicou a programaccedilatildeo linear montou o seguinte quadro
Tabela 16 Parcela do capital aplicado em cada Ativo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN Xl 2000000 2000000 000 000 000
X2 4000000 834813 000 000 000
X3 1000000 1000000 000 000 000
X4 101687 1000000 000 000 000
X5 000 2000000 000 000 000
CDB 2898313 3165187 10000000 10000000 10000000
De acordo com os resultados obtidos atraveacutes do ORSYS foi montada a tabela acima onde consta a quantidade de capital aplicada em cada um dos cinco ativos (CDB BANESPA ELETROBRAS TELEBRAS e VALE) e o restante seria aplicado diretamente no CDE Vale notar que para os periacuteodos que natildeo cumpriram as imposiccedilotildees do Dr Joaquim no caso abril maio e junho o capital seria aplicado em CDB pois a eventual aplicaccedilatildeo em accedilotildees traria um
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
Econ pesqui Araccedilatuba vln1p61-78 mar 1999 75
Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
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De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
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que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
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rendimento meacutedio negativo
A partir dessa distribuiccedilatildeo do capital Sr Silva elaborou um novo quashydro com os retornos meacutedios oacutetimos obtidos em cada um dos periacuteodos analisashydos
Tabela 17 Retomo meacutedio da carteira e CDB para cada periacuteodo em R$
FEV MAR ABR MAl JUN
CARTEIRA 486990 553520 000 000 000
CDB 34490 48775 112800 125000 120900
Total 521480 602295 112800 125000 120900
Com essa atitude o Sr Silva obteria um rendimento meacutedio no miacutenimo equivalente ao do CDB para os cinco periacuteodos contentando o Dr Joaquim soshybre a performance da aplicaccedilatildeo Em cima desses rendimentos meacutedios enconshytrou-se o peso do retomo de cada mecircs sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco periacuteodos que foi de R$1482475
Tabela 18 Ponderaccedilatildeo do retorno meacutedio mensal de cada mecircs sobre o renshydimento meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN Total 521480 602295 112800 125000 120900 1482475
35176 40628 7609 8432 8155 100
Os pesos referentes a cada periacuteodo foram obtidos dividindo-se o retomo meacutedio de cada mecircs sobre a soma dos mesmos (como exemplo pode-se apontar que fevereiro teve um peso de 35176 sobre o rendimento meacutedio para os cinco periacuteodos que foi de R$ 1482475)
Essa operaccedilatildeo serviu para distribuir as sobras de caixa da empresa do Dr Joaquim nos ativos da carteira proposta para o mecircs de julho lembrando que devem ser respeitadas as restriccedilotildees preestabelecidas Dessa forma multiplicanshydo o peso inerente a cada mecircs com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mecircs obteve-se a seguinte distribuiccedilatildeo
Econ pesqui Araccedilatuba vln1p61-78 mar 1999 75
Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 76
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
Tabela 19 Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
FEV MAR ABR MAl JUN JULHO Xl 703520 812560 000 000 000 1516000 X2 1407040 339168 000 000 000 1446200 X3 351760 406280 000 000 000 758040 X4 5769 706280 000 000 000 742049 X5 000 812560 000 000 000 812560 CDB 1019511 1285952 760900 843200 815500 4725063
Total 99999121
Como exemplo pode-se tomar o mecircs de fevereiro que teve R$2000000 aplicado em Xl (CDB) Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendishymento total deste mecircs (35176) obteacutem-se R$703520 Somando com os valoshyres obtidos para X 1 em relaccedilatildeo aos outros meses chega-se ao valor de R$1516000 a ser aplicado em Xl em julho Ressalta-se que a uacuteltima linha refere-se ao capital considerado sobra da carteira e seraacute aplicado no CDB
Assim distribuindo o capital de R$10000000 na carteira de investishymento proposta pelo Sr Silva de acordo com a ponderaccedilatildeo dos periacuteodos jaacute passados nota-se a distribuiccedilatildeo do capital entre os ativos da seguinte forma R$5274849 seriam aplicados na carteira e os R$4725063 iriam para o CDB Tendo em matildeos os dados reais para o mecircs de julho98 vamos comparar o rendishymento dessa proposta de carteira de investimentos
Tabela 20 Quantidade de R$ aplicada em julho98 considerando o peso de cada mecircs sobre o retomo meacutedio total para o periacuteodo (fev-jun98)
Ativo Qtde aplicada em julho Rendimento do Retorno de cada Julho ativo em julho Ativo
Xl 1516000 1142 17306
X2 1446200 16801 242970
X3 758040 3826 28925
X4 742049 14871 110353
X5 812560 8655 70331
CDB 4725063 1142 53939
Total 9999912 523825
10 rendimento de cada ativo no mecircs de julho foi considerado como adivisagraveo preccedilo do ativo no dia 3107 pelo preccedilo do ativo no dia 0107
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p60-78 mar 1999 76
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
De acordo com o exposto acima verificamos que o retorno da carteira proposta (5238~) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1142) Como o Dr Joaquim seguiu as orientaccedilotildees do Sr Silva ele chegou no dia 31 0798 com um montante de RS 10523825 A estrateacutegia adotada gerou um reshytorno excedente de R$ 418625 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB teria um montante de R$ 10114200 assim RS 10523825 - R$ 10114200 = R$ 418625)
Consideraccedilotildees Finais
A proposta do artigo foi encontrar a melhor alocaccedilatildeo do capital do Dr Joaquim para o mecircs de julho98 observando as restriccedilotildees impostas pelo messhymo Para tanto utilizamos a linguagem GAMS gerando os resultados discutishydos anteriormente Caso o Dr Joaquim tivesse seguido as orientaccedilotildees do Sr Silva aplicando suas sobras de caixa observando os resultados do mecircs anterior obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplishycaccedilatildeo em CDB (5283 da carteira contra 1142 do CDB)
No entanto a carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resoluccedilatildeo do problema e pelo retorno meacutedio de cada mecircs Tal procedimenshyto com certeza natildeo afasta os riscos sistemaacutetico e natildeo-sistemaacutetico que existem em aplicaccedilotildees em ativos arriscados O artigo aqui desenvolvido buscou apenas atraveacutes da Teoria do Portfoacutelio e da Programaccedilatildeo Linear diminuir estes riscos para um investidor avesso a risco Iniciativas como esta seraacute bastante importanshyte no futuro proacuteximo tendo em vista a disseminaccedilatildeo da informaccedilatildeo atraveacutes da informaacutetica e da crescente exigecircncia do investidor quanto ao tratamento de seu capital por parte dos gerentes de portfoacutelios
Dentro deste novo perfil segundo o jomal A CIDADE (090898) a CVM obrigaraacute todos os bancos e administradores a informar com destaque aos investidores o risco de seus fundos como por exemplo o rendimento dos uacuteltishymos 12 meses Os fundos que tiverem o risco maior que o patrimocircnio investido ou seja nos quais o investidor tem o risco de perder o patrimocircnio inteiro e ainda ter um prejuiacutezo adicional deveratildeo ser identificados como de talja preta como ironiza o presidente da CVM Francisco Silva Assim acredita-se que este artishygo tomar-se-aacute apenas uma das futuras pesquisas na aacuterea de mercado de capitais desenvolvidas pelo setor acadecircmico
Vale lembrar que poderiacuteamos traccedilar vaacuterios cenaacuterios modificando o pershyfil do Dr Joaquim (tornando-o mais ou menos avesso ao risco modificando as quantidade maacuteximas de ativos ou incluindo accedilotildees mais volaacuteteis) Enfim podeshyse fazer n variaccedilotildees do modelo aqui desenvolvido adaptando-o as caracteriacutesshyticas de cada investidor contudo acreditamos que o principal era atingir o objetivo
proposto (encontrar uma carteira de investimentos para julho98 mais rentaacutevel
Econ pesqui Araccedilatuba vl nl p61-78 mar 1999 77
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
que uma aplicaccedilatildeo em CDB)
SOUZA Zilmar Joseacute de e BIGNOTTO Edson Costa Portfolio theory optimal compositioll ofna investiment portfolio Economia amp Pesquisa Araccedilatuba v1 nl p 61-78 mar 1999
Abstract The article objectives the application ofPortfolio Theory developed by Harry Markowitz in optimaI composition of an basket assets searching the maximization of the expected retum using the programming linear techniques by language GAMS applied to the hypothetical situation Keywords Portfolio diversification retum risk GAMS
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
F ABOZZI FJ lJivestment management New Jersey Prentice Hall 1995 FUNDOS de investimento teratildeo nova regulamentaccedilatildeo A Cidade Ribeiratildeo Preto
09 ago 1998 MYERS Se ROBICHEK A A Otimizaccedilatildeo das decisotildees financeiras Satildeo
Paulo Atlas 1971 MARKOWITZ HM Portfolio selectionJournal ofFinance v07 p77-91
mar 1952 STlX G A Ca1culus ofrisk Scientific American v87 n03 may 1998
Econ pesqui Araccedilatuba v 1 n 1 p60-78 mar 1999 78
