Teoria de Sistemas Lineares - dsce.fee.unicamp.bralimped/ia536_cap1.pdf · Um sistema é dito distribuído ou a parâmetros distribuídos se o seu estado tem inﬁnitas variáveis

Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas

Teoria de Sistemas Lineares

A. P. C. Gonçalves

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

2◦ Semestre de 2012

Gonçalves, A. P. C. IA536–Teoria de Sistemas Lineares UNICAMP 1 / 46


NOTA AO LEITOR

Este material foi preparado como suporte às aulas e éinteiramente baseado nos livros:

C.T. Chen, Linear System Theory and Design, 3rd Edition,Oxford University Press, 1999.

J. C. Geromel, A. G. B. Palhares, Análise Linear de Sistemas

Dinâmicos: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios, EditoraEdgard Blücher Ltda., 2004.

onde o leitor poderá encontrar maiores informações e detalhessobre os tópicos aqui abordados.



Conteúdo

1 Capítulo I – Descrição Matemática de SistemasConceito de SistemaTipos de SistemasSistemas Lineares e Invariantes no TempoLinearizaçãoSistemas a tempo discreto



Conceito de Sistema

Um sistema dinâmico a tempo contínuo, definido para todot ∈ R é um dispositivo que converte um sinal de entrada u(t)(definido para todo t ∈ R) em um sinal de saída y(t) (definidopara todo t ∈ R), através da relação

y(t) = S[u(t)]

onde S[·] indica um ente matemático que associa sinais deentrada a sinais de saída.

Assumimos que, se um sinal de entrada é aplicado, uma única

saída pode ser medida nos terminais.



Tipos de Sistemas

Um sistema com apenas um terminal de entrada e um terminalde saída é chamado SISO, do inglês single-input, single-output.

Um sistema com dois ou mais terminais de entrada e/ou doisou mais terminais de saída é chamado de multivariável. Maisespecificamente, se ele tem dois ou mais terminais de entradae de saída, ele é chamado MIMO, do inglês multi-input,

multi-output.

A entrada será denotada u(t) para estrada única ou u(t) paramúltiplas entradas. Para p terminais de entrada, u(t) ∈ R

p ouu = [u1 u2 · · · up]

′. De forma análoga, a saída será denotadapor y(t) ou y(t).



Causalidade

Um sistema é dito sem memória se sua saída y(t0) dependeapenas da entrada aplicada em t0; ela é independente daentrada aplicada antes ou depois de t0. Por exemplo, umcircuito puramente resistivo é um sistema sem memória.

A maior parte dos sistemas tem memória. Ou seja, a saída emt0 depende de u(t) para t < t0, t = t0 e t > t0.

Um sistema é dito causal ou não antecipativo se a sua saídaatual depende apenas de entradas passadas ou presentes, masindepende de entradas futuras. Todo sistema físico é causal,caso contrário, ele teria capacidade de antecipar ou prever

valores futuras da saída.



Estado

A saída presente de um sistema causal pode ser afetada porentradas passadas. Mas, quanto tempo será preciso voltar notempo para avaliar o efeito da entrada na saída?

No caso geral, pode ser necessário regressar todo o tempo atémenos infinito.

Como pode ser inconveniente, se não impossível, conheceru(t) de −∞ até o instante t, usamos o conceito de estado.

Definição (Estado)

O estado x(t0) de um sistema, no tempo t0, é a informação

necessária em t0 para, juntamente com a entrada u(t) com t ≥ t0,

determinar unicamente a saída y(t) para todo t ≥ t0.



Estado

Por definição, conhecido o estado em t0, não há maisnecessidade de conhecer a entrada u(t) aplicada antes de t0para determinar a saída y(t) após t0

Em certo sentido, o estado resume o efeito da entrada passadana saída futura.

As componentes de x são chamadas variáveis de estado. Emgeral, podemos considerar o estado inicial como um conjuntode condições iniciais.



Sistemas concentrados

Um sistema é dito concentrado ou a parâmetros concentrados

se o número de variáveis de estado é finito. Por exemplo, umcircuito elétrico com indutores, capacitores e resistores, cujoestado é dado pelas correntes nos indutores e tensões noscapacitores.Um sistema é dito distribuído ou a parâmetros distribuídos seo seu estado tem infinitas variáveis. Por exemplo, uma linha detransmissão.Outro sistema distribuído é aquele definido por um atrasounitário da entrada

y(t) = u(t − 1)

Para determinar {y(t), t ≥ t0} a partir de {u(t), t ≥ t0}precisamos de {u(t), t0 − 1 ≤ t < t0}, um conjunto deinfinitos pontos.



Linearidade

Um sistema é dito linear se ele tem as seguintes propriedadesAditividade Se y1(t) = S[u1(t)] e y2(t) = S[u2(t)] entãoy1(t) + y2(t) = S[u1(t) + u2(t)].Homogeneidade Se y(t) = S[u(t)], então αy(t) = S[αu(t)]para todo α ∈ R.As duas propriedades acima, combinadas, recebem o nome depropriedade de Superposição.

O sistema é dito não-linear se a propriedade de superposiçãonão for verificada.



Descrição entrada-saída

Vamos desenvolver uma equação matemática para representara resposta de sistemas lineares com estado inicial nulo.

Seja δ∆(t − ti) o pulso de largura ∆ e área unitária

δ∆(t − ti) =

{

1∆

ti ≤ t ≤ ti +∆0 t < ti , t > ti +∆

Uma entrada u(t) pode ser aproximada por

u(t) ≈∑

i

u(ti )δ∆(t − ti)∆

Vamos chamar g∆(t, ti) = S[δ∆(t − ti)]. TemosS[δ∆(t − ti)u(ti )∆] = g∆(t, ti )u(ti )∆ (homogeneidade)S[∑

iδ∆(t − ti )u(ti )∆] =

∑

ig∆(t, ti)u(ti )∆ (aditividade)




Podemos aproximar a saída y(t) por

y(t) ≈∑

i

g∆(t, ti )u(ti )∆

Quando ∆ → 0, o pulso δ∆(t − ti) se torna um impulso em ti ,denotado por δ(t − ti).

A resposta ao impulso em ti é denotada por g(t, ti).

A medida que ∆ → 0, a aproximação acima se torna umaigualdade, com o somatório substituído por uma integral e osinstantes ti se convertendo em um continuum, substituídos porτ . Além disso, ∆ se torna dτ .

y(t) =

∫

∞

−∞

g(t, τ)u(τ)dτ




Se o sistema for causal, nenhuma saída pode existir antes daaplicação de uma entrada. Portanto

Causal ⇔ g(t, τ) = 0, t < τ

Um sistema é dito relaxado em t0 se seu estado em t0 for 0.Assim, a saída y(t) para t ≥ t0 depende apenas da entradau(t) para t ≥ t0. Se o sistema também for causal

y(t) =

∫ t

t0

g(t, τ)u(τ)dτ




Se um sistema linear tem p terminais de entrada e q terminaisde saída, então a descrição entrada-saída é

y(t) =

∫ t

t0

G(t, τ)u(τ)dτ

onde

G(t, τ) =

g11(t, τ) g12(t, τ) · · · g1p(t, τ)g21(t, τ) g22(t, τ) · · · g2p(t, τ)

......

...gq1(t, τ) gq2(t, τ) · · · gqp(t, τ)

e gij(t, τ) é a resposta no tempo t, no i-ésimo terminal desaída, a um impulso aplicado no instante τ , no j -ésimoterminal de entrada, com as demais entradas nulas.



Descrição no espaço de estado

Todo sistema linear concentrado pode ser descrito por umconjunto de equações na forma:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

onde x := dx/dt.

Para um sistema com p entradas e q saídas, u ∈ Rp e y ∈ R

q.

Se o sistema tiver n variáveis de estado, x ∈ Rn.

Para sistemas distribuídos, a dimensão do estado é infinita e omodelo de estado não é usado.



Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT)

Um sistema é dito invariante no tempo se

y(t − τ) = S[u(t − τ)]

para todo τ ∈ R.

Se a entrada for a mesma, não importando em que momentoτ ela é aplicada, a forma de onda da saída será sempre igual.Podemos assumir, sem perda de generalidade, que t0 = 0.

Se o sistema é invariante no tempo, podemos escrever

g(t, τ) = g(t + T , τ + T ) = g(t − τ, 0) = g(t − τ)

para todo T ∈ R. A descrição entrada-saída se reduz a

y(t) =

∫ t

0

g(t − τ)u(τ)dτ =

∫ t

0

g(τ)u(t − τ)dτ



Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT)

A saída de um sistema LIT, com condições iniciais nulas, é aconvolução da entrada u(t) com sua resposta ao impulsog(t).A convolução entre dois sinais, também representada porg(t) ∗ u(t) é uma operação

associativa,distributiva ecomutativa.

A condição para um sistema linear e invariante no tempo sercausal é g(t) = 0 para t < 0.



Transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função f (t), definida paratodo t ∈ R, denotada por f (s) ou L[f (t)], é uma função devariável complexa

f (s) : D(f ) → C

onde D(f ) é o seu domínio e

f (s) :=

∫

∞

−∞

f (t)e−stdt

D(f ) := {s ∈ C : f (s) existe}

É importante ressaltar que f (s) existe indica que a integralacima converge e é finita.




Geralmente D(f ) não coincide com C. Nestes casos, existempontos s ∈ C dais que s /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinação do domínio da transformada de Laplace.

Importante: O domínio D(f ) da transformada de Laplacedepende fortemente do domínio de f (t). Como verificaremosem seguida

t ∈ [0,∞) ⇒ Re(s) ∈ (α,∞)

t ∈ (−∞, 0] ⇒ Re(s) ∈ (−∞, β)

t ∈ (−∞,∞) ⇒ Re(s) ∈ (α, β)

para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domíniode f (t), menor o domínio de f (s) e vice-versa.




Os seguintes exemplos ilustram os domínios das transformadasde Laplace de algumas funções:

f (t) = e−at : R → C e D(f ) = ∅.f (t) = e−at : [0,∞) → C e

f (s) =1

s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) > −Re(a)}

f (t) = e−at : (−∞, 0] → C e

f (s) = −1

s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) < −Re(a)}

f (t) = e−a|t| : (−∞,∞) → C e

f (s) =−2a

s2 − a2, D(f ) = {s ∈ C : |Re(s)| < Re(a)}




A função exponencial eλt : R → C com λ ∈ C qualquer nãoadmite a transformada de Laplace.

Para funções definidas em todo t ∈ R, a transformada deLaplace é muito restritiva

Vamos restringir nosso interesse a funções definidas parat ∈ [0,∞) e assim

f (s) :=

∫

∞

0

f (t)e−stdt

com domínio D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α} para algumα ∈ R a ser determinado.




Classe importante: Definida pela existência de sf ∈ C tal queo limite

limτ→∞

∫ τ

0

|f (t)e−sf t |dt

existe e é finito.

Lema (Domínio)

Para as funções da classe acima, é válido que:

Qualquer s ∈ C satisfazendo Re(s) ≥ Re(sf ) pertence a D(f ).

Existe M finito tal que |f (s)‖ ≤ M para todo s ∈ D(f ).




A forma geral do domínio da transformada de Laplace é

D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}

Determinação do domínio usando f (t): Para a função f (t)dada, determine o menor α ∈ R tal que

limτ→∞

∫

τ

0

|f (t)e−αt |dt < ∞

Determinação do domínio usando f (s): Para a função f (s)dada, determine o menor valor de α ∈ R tal que ela permaneçaanalítica e portanto finita para todo s ∈ D(f ).




A função f (s) = e−s

snão é analítica em s = 0. De fato, a sua

série de Laurent é

f (s) =1s− 1 +

s

2−

s2

6+ · · ·

e portantoD(f ) := {s ∈ C : Re(s) > 0}

A função f (s) = 1−e−s

sé analítica em s = 0. A sua série de

Taylor é

f (s) = 1 −s

2+

s2

6− · · ·

e portanto

D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > −∞} = C




O cálculo de uma transformada de Laplace fora de seu domíniopode trazer resultados errados

A função f (t) = sen(t) para t ≥ 0 tem transformada deLaplace dada por

f (s) =1

s2 + 1

É possível calcular lims→0 sf (s) = 0. Entretanto, esse limite édiferente de limt→∞ sen(t), que é indeterminado. Por quê?A função f (t) = et para t ≥ 0 tem transformada de Laplace

f (s) =1

s − 1

Embora f (0) = −1, este valor é diferente de∫∞

0etdt. Por

quê?



Função de transferência

A transformada de Laplace da convolução entre duas funções é

L[f (t) ∗ h(t)] = f (s)h(s)

A transformada de Laplace da saída de uma sistema LIT, comc.i. nulas, é dada por

y(s) = g(s)u(s)

onde g(s) é chamada função de transferência do sistema.Para um sistema com p entradas e q saídas, temos

y(s) = G(s)u(s)

G(s) =

g11(s) g12(s) · · · g1p(s)g21(s) g22(s) · · · g2p(s)

......

...gq1(s) gq2(s) · · · gqp(s)



Função de Transferência

Um sistema LIT concentrado pode ser descrito pelo conjuntode equações:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Aplicando transformada de Laplace às equações acima:

s x(s)− x(0) = Ax(s) + Bu(s)

y(s) = Cx(s) + Du(s)

que implica em

y(s) = C(sI − A)−1x(0) + [C(sI − A)−1B+ D]u(s)




Note que a expressão anterior explicita duas componentes daresposta: à entrada nula e ao estado nulo.

Se o estado inicial x(0) for nulo, a equação anterior se reduz a

y(s) = [C(sI − A)−1B + D]u(s)

de onde chegamos na expressão da matriz de transferênciacomo

G(s) = C(sI − A)−1B + D




Sistemas LIT concentrados tem função de transferênciaracional em s ∈ C, da forma

g(s) :=N(s)

D(s)=

∑mi=0 ei s

i

∑ni=0 ai si

onde ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R para todoi = 1, · · · , n.

Se n ≥ m, a função g(s) é própria e g(∞) = zero ou umaconstante finita.Se n > m, a função g(s) é estritamente própria e g(∞) = 0.Se n < m, a função g(s) é imprópria e |g(∞)| = ∞.

As raízes de D(s) = 0 são os polos de g(s), onde ela deixa deser analítica. Assim, denotando os polos por pi ∈ C, temos

D(g) = {s ∈ C : Re(s) > maxi=1,··· ,n

pi}



Matriz de Transferência

No caso de uma matriz G(s) é racional se cada um de seuselementos for uma função racional.

Se todos os seus elementos forem funções próprias, a matrizG(s) é própria e G(∞) é uma matriz constante ou nula.Se todos seus elementos forem funções estritamente próprias, amatriz G(s) é estritamente própria, e G(∞) = 0.

Chamamos λ ∈ C de polo de G(s) se ele for polo de algumelemento do G(s).



Linearização

A maioria dos sistemas físicos é não-linear e variante notempo. Alguns deles podem ser descritos pela equaçãodiferencial não-linear

x(t) = h(x(t),u(t), t)

y(t) = f(x(t),u(t), t)

onde h e f são funções não-lineares.

O comportamento dessas equações pode ser muito complexo eestá fora do escopo deste curso.

Podemos, em alguns casos, trabalhar com aproximaçõeslineares.



Linearização

Suponha que, para uma certa entrada u0(t) e algumacondição inicial, x0(t) é a solução da equação de estado, isto é

x0(t) = h(x0(t),u0(t), t)

Suponha que a entrada seja levemente perturbada,tornando-se u0(t) + u(t). Para algumas equações não-lineares,a solução da equação de estado também sofre uma pequenaperturbação x0(t) + x(t).

Podemos expandir a equação de estado

x0(t) + ˙x(t) = h(x0(t) + x(t),u0(t) + u(t), t)

= h(x0(t),u0(t), t) +∂h

∂xx +

∂h

∂uu+ · · ·



Linearização

Introduzindo a notação

A(t) :=∂h

∂x:=

∂h1∂x1

∂h1∂x2

· · · ∂h1∂xn

∂h2∂x1

∂h2∂x2

· · · ∂h2∂xn

......

...∂hn

∂x1

∂hn

∂x2· · · ∂hn

∂xn

B(t) :=∂h

∂u:=

∂h1∂u1

∂h1∂u2

· · · ∂h1∂up

∂h2∂u1

∂h2∂u2

· · · ∂h2∂up

......

...∂hn

∂u1

∂hn

∂u2· · · ∂hn

∂up

para os Jacobianos e desprezando as potências de ordemelevada de x e u temos

˙x(t) = A(t)x + B(t)u(t)



Sistemas a tempo discreto

Um sistema dinâmico a tempo discreto, definido para todok ∈ Z é um dispositivo que converte um sinal de entrada u[k ](definido para todo k ∈ Z) em um sinal de saída y [k ] (definidopara todo k ∈ Z), através da relação

y [k ] = S[u[k ]]

onde S[·] indica um ente matemático que associa sinais deentrada a sinais de saída.

Assumimos que, se um sinal de entrada é aplicado, uma única

saída pode ser medida nos terminais.

A variável independente pode ser naturalmente inteira, porexemplo para sistemas de dinâmica econômica, ou representarinstantes de tempo t = kT para T fixo.



Tipos de sistema

Um sistema a tempo discreto é causal se a saída atual dependesomente de entradas presentes e passadas.

O estado no instante k0, denotado por x[k0], é a informaçãono instante k0 que, juntamente com u[k ] para k ≥ k0,determina unicamente a saída y [k ], k ≥ k0. Os elementos dex são chamados variáveis de estado.

Se o número de variáveis de estado é finito, o sistema éconcentrado; caso contrário, é distribuído.

Um sistema a tempo discreto é linear se as propriedades deaditividade e de homogeneidade são verificadas. Neste caso, aresposta pode ser decomposta como a soma da resposta ao

estado nulo com a resposta à entrada nula.




O impulso unitário δ[k ] é definido como

δ[k − m] =

{

1 se k = m

0 se k 6= m

onde k ∈ Z e m ∈ Z denotando dois instantes.

Qualquer entrada pode ser expressa como

u[k ] =

∞∑

m=−∞

u[m]δ[k − m]

Seja g [k ,m] = S[δ[k − m]]. Como o sistema é linear, a saídapode ser escrita como

y [k ] =

∞∑

m=−∞

g [k ,m]u[m]




Se o sistema for causal, nenhuma saída pode existir antes daaplicação de uma entrada. Portanto

Causal ⇔ g [k ,m] = 0, k < m

Um sistema é dito relaxado em k0 se seu estado em k0 for 0.Assim, a saída y [k ] para k ≥ k0 depende apenas da entradau[k ]) para k ≥ k0. Se o sistema também for causal

y [k ] =k

∑

m=k0

g [k ,m]u[m]




Se o sistema for invariante no tempo, podemos assumir, semperda de generalidade, que k0 = 0.

A descrição entrada-saída se reduz a

y [k ] =k

∑

m=0

g [k − m]u[m] =k∑

m=0

g [m]u[k − m]

A saída de um sistema LIT, com condições iniciais nulas, é aconvolução discreta da entrada u[k ] com sua resposta aoimpulso g [k ].

A convolução discreta entre dois sinais, também representadapor g [k ] • u[k ] é uma operação associativa, distributiva ecomutativa.

A condição para um sistema LIT ser causal é g [k ] = 0 parak < 0.



Transformada Z

A transformada Z de uma função f [k ], definida para todok ∈ Z, denotada por f (z) ou Z[f [k ]], é uma função devariável complexa

f (z) : D(f ) → C

onde D(f ) é o seu domínio e

f (z) :=∞∑

k=−∞

f [k ]z−k

D(f ) := {z ∈ C : f (z) existe}

É importante ressaltar que f (z) existe indica que o somatórioacima converge e é finito.



Transformada Z

Geralmente D(f ) não coincide com C. Nestes casos, existempontos z ∈ C dais que z /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinação do domínio da transformada Z.

Importante: O domínio D(f ) da transformada Z dependefortemente do domínio de f [k ]. Como verificaremos em seguida

k ∈ [0,∞) ⇒ |z| ∈ (α,∞)

k ∈ (−∞, 0] ⇒ |z| ∈ (0, β)

k ∈ (−∞,∞) ⇒ |z| ∈ (β, α)

para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domíniode f (t), menor o domínio de f (z) e vice-versa.



Transformada Z

A função potência µk : R → C com µ ∈ C qualquer nãoadmite a transformada Z.

Para funções definidas em todo k ∈ Z, a transformada deLaplace é muito restritiva

Vamos restringir nosso interesse a funções definidas parak ∈ N e assim

f (z) :=

∞∑

k=0

f [k ]z−k

com domínio D(f ) := {z ∈ C : |z | > α} para algum α ∈ R aser determinado.



Transformada Z

Classe importante: Definida pela existência de zf ∈ C tal queo limite

limi→∞

i∑

k=0

|f [k ]z−kf |

existe e é finito.

Lema (Domínio)

Para as funções da classe acima, é válido que:

Qualquer z ∈ C satisfazendo |z | ≥ |zf | pertence a D(f ).

Existe M finito tal que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ D(f ).



Transformada Z

A forma geral do domínio da transformada Z é

D(f ) := {z ∈ C : |z | > α}

Determinação do domínio usando f [k ]: Para a função f [k ]dada, determine o menor α ∈ R tal que

limi→∞

i∑

k=0

|f [k ]α−k | < ∞

Determinação do domínio usando f (z): Para a função f (z)dada, determine o menor valor de α ∈ R tal que ela permaneçaanalítica e portanto finita para todo z ∈ D(f ).



Função de transferência

A transformada Z da convolução entre dois sinais discretos é

Z[f [k ] • h[k ]] = f (z)h(z)

A transformada Z da saída de uma sistema LIT, com c.i.nulas, é dada por

y(z) = g(z)u(z)

onde g(z) é chamada função de transferência do sistema.Para um sistema com p entradas e q saídas, temos

y(z) = G(z)u(z)

G(z) =

g11(z) g12(z) · · · g1p(z)g21(z) g22(z) · · · g2p(z)

......

...gq1(z) gq2(z) · · · gqp(z)




Um sistema a tempo discreto LIT concentrado pode serdescrito pelo conjunto de equações:

x[k + 1] = Ax[k ] +Bu[k ]

y[k ] = Cx[k ] + Du[k ]

Aplicando transformada Z às equações acima:

z[x(z)− x(0)] = Ax(z) + Bu(z)

y(z) = Cx(z) + Du(z)

que implica em

y(z) = Cz(zI − A)−1x(0) + [C(zI − A)−1B + D]u(z)




Note que a expressão anterior explicita duas componentes daresposta: à entrada nula e ao estado nulo.

Se o estado inicial x(0) for nulo, a equação anterior se reduz a

y(z) = [C(zI − A)−1B + D]u(z)

de onde chegamos na expressão da matriz de transferênciacomo

G(z) = C(zI −A)−1B+ D


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