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Bom
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Curso: Sistemas de Informação
Disciplina: Matemática aplicada a computação
Prof. Esp. Elenildo Silva
AULA 2: Teoria dos
Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
Símbolos
Teoria dos Conjuntos
Conjuntos numéricos
N Z Q
I
R
Teoria dos Conjuntos
Zenão de Eléia (filósofo grego) , viveu entre 490 e 430 a.
C., já estudava e se preocupava com o conceito de
conjuntos e a sua imensidão.
Em 1872 Georg Cantor (1845 – 1918), definiu
e classificou os conjuntos através da “Teoria
dos conjuntos”.
Além da definição e de muitas outras
contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a
linguagem em todos os ramos da matemática.
Definição
Conjunto: representa coleções, classes ou agrupamentos de
objetos, que devemos indicar por uma letra maiúscula de
nosso alfabeto (A, B, C, D, E,...)
Ex: A = {1, 2, 3}, “está entre chaves”
Elemento: é cada objeto de uma coleção componentes de
um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas
de nosso alfabeto (a, b, c, d, e,...)
Ex: 1, 2, 3 “não tem chaves”
Teoria dos Conjuntos
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra
maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras
minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos
uma das três formas seguintes:
Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os
elementos do conjunto são apresentados numa lista,
envolvidos por um para de chaves e separados por ponto-e-
vírgula ou por vírgula.
Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0;2;4;6;8}
Teoria dos Conjuntos
Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for
conveniente escrever todos os elementos que formam o
conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por
todos os seus elementos.
Ex: A={x / x é um algarismo par} Lê-se: O conjunto A é
formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par.
Relação de Pertinência
A relação de pertinência indica se um
determinado elemento pertence ou não a um
determinado conjunto.
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8},
assim:
Relação de Pertinência
(Pertence)
(Não pertence)
Obs: Os símbolos ao lado, são usados
para relacionar apenas elementos com
conjuntos.
Relação de Pertinências
Contido ou não contido ( )
É usado entre subconjunto e conjunto.
Contém e não contém ( )
É usado entre conjunto e subconjunto.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem
os mesmos elementos.
Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}
OBS: A quantidade de vezes que os elementos dos conjuntos aparecem
não importa.
A repetição de elementos não altera um conjunto. Assim:
{b, c, c, c, d, e, e} = {b, c, d, e}
A ordem dos elementos não altera um conjunto. Assim:
{g, o, l} = {l, o, g, o} e {f, i, a, t} = {f, a, t, i, a}
Relação de Inclusão
A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está
contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de
um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está
contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro
conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto
não esteja contido no segundo.
Simbologia:
Obs: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto.
Tipos de Conjunto
Conjunto Unitário:
É aquele que apresenta um único elemento.
A = {x/x são os dias da semana que começam com a letra T}
A = { terça-feira }.
Exemplo:
Tipos de Conjunto
Conjunto Vazio:
É aquele que não apresenta elemento algum e é indicado por { } ou
A = {x/x são os dias da semana que começam com a letra Z}
A = .
Exemplo:
Obs: Um conjunto vazio sempre é dado por uma propriedade logicamente falsa.
Tipos de Conjunto
Conjunto Universo:
Exemplo:
É aquele que limita os elementos que podem ser soluções de um determinado
problema.
.
}0252{}0252{ 22
iguaissão
xxNxBexxRxAconjuntososseVerifique
Subconjuntos e a Relação de Inclusão
Dizemos que um conjunto A é subconjunto deoutro conjunto B quando todos os elementos de Atambém pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, ( ).
O conjunto B é subconjunto de si mesmo, poistodo conjunto é subconjunto de si mesmo.
OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é umsubconjunto de todos os conjuntos.
Relação de Inclusão
A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está
contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de
um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está
contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro
conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto
não esteja contido no segundo.
Simbologia:
Obs: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto.
Operações entre Conjuntos
União:
Dados dois conjuntos A e B chama-se união (ou reunião) entre A e B ao
conjunto formado pelos elementos de A ou B.
}{ BxouAxxBA
Exemplo:
}8,7,6,4,2,0{A
}9,6,4,3{B
}9,8,7,6,4,3,2,0{ BA
Operações entre Conjuntos
Intersecção:
Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção entre A e B ao conjunto
formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que
Pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
}{ BxeAxxBA
}8,7,6,4,2,0{A
}9,6,4,3{B
Exemplo:
}6,4{ BA
Operações entre Conjuntos
Diferença:
Dados dois conjuntos A e B chama-se diferença entre A e B ao conjunto
formado pelos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto
B.
}{ BxeAxxBA
Exemplo:
}8,7,6,4,2,0{A
}9,6,4,3{B
}8,7,2,0{ BA }9,3{ AB
}{ AxeBxxAB
Operações entre Conjuntos
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o
conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a
A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja
subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a
A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo .
Matematicamente:
Exemplo:
Dados U = {1, 2, 3,4} e A = {1, 2} determine :
={3, 4}
Complementar:
Número de Elementos da Reunião de
Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
Exercício 01
Sendo A = {{1}, {2}, {1,2}} podemos afirmar que:
.}2{}1){(
.2)(
.}2{}1{)(
.}1{)(
.}1{)(
AE
AD
AC
AB
AA
Exercício 02
121
12
21
21
21
21
)(
)(
)(
}{)(
)(
:.1622
8
13
942
CCCE
CCD
CCC
CCB
CCA
entãoTemosyx
yxsistemado
soluçõesdasconjuntooCeyx
yxsistemadosoluçõesdasconjuntooCSeja
Exercício 03
As provas de recuperação em matemática e física de uma escola
foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a pre-
sença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova
de matemática e 32 fizeram a de física, determine:
a) O número de alunos que fizeram as duas provas;
b) O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática;
c) O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.
Exercício 04
Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas empresas de
fornecimento de água (A), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um
bairro, obteve-se um grande número de reclamações.
A tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados
durante a pesquisa.
Com base na tabela, determine:
a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço;
b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço
oferecido pela empresa de fornecimento de água;
c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço;
d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois
serviços.
Exercício 05
Exercício 06
Exercício 05
Um conjunto A tem 13 elementos, A interseção B tem 8
elementos e A união B tem 15 elementos. Qual o número de
elementos do conjunto B?
Aula 2
Intervalos numéricos
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada
número x ∈ R a um ponto de uma reta r. assim se convencionarmos
uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um
sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta
orientada.
Intervalos numéricos
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são
chamados intervalos.
Intervalo limitado
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a a e menores ou
iguais a b.
Intervalo: [a, b]
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Intervalos numéricos
Intervalo limitado
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do
que b.
Intervalo: ]a, b[
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b}
Intervalos numéricos
Intervalo limitado
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais a a e
menores do que b.
Intervalo: [a, b[
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b}
Intervalos numéricos
Intervalo limitado
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e
menores ou iguais a b.
Intervalo: ]a, b]
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b}
Intervalos numéricos
Intervalos ilimitados
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais
menores ou iguais a b.
Intervalo: ]-∞ ,b]
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b}
Intervalos numéricos
Intervalos ilimitados
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores
que b.
Intervalo: ]-∞ ,b[
Conjunto: {x ∈ R | x < b}
Intervalos numéricos
Intervalos ilimitados
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores
ou iguais a a.
Intervalo: [a,+∞ [
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a}
Intervalos numéricos
Intervalos ilimitados
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que
a.
Intervalo: ]a, +∞ [
Conjunto: {x ∈ R | x>a}
Intervalos numéricos
Intervalos ilimitados
Reta numérica: Números reais.
Intervalo: ] ∞- ,+∞ [
Conjunto: R
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Referências
MINELLI, Juliano. Matemática discreta. Rio de Janeiro: Universidade
Estácio de Sá, 2014. 112 p.
SOUZA, João . Lógica para Ciência Da Computação. São Paulo:
Elsevier Editora, 2008.
BISPO, Carlos Alberto; CASTANHEIRA, Luiz B. e FILHO, Oswaldo
Melo S. Introdução à Lógica Matemática. 2. ed. São Paulo: Cengage
Learning,2011.
NOTARE, Márcia Rodrigues. Apostila Matemática Discreta.
Universidade de Caxias do Sul, 2003.
