TEORIA DOS NÚMEROS

Aula 2 – Princípio da Indução Finita

Prof. Mário Alves

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA– AULA 2

TEORIA DOS NÚMEROSTEORIA DOS NÚMEROS

Conteúdo Programático desta aula

Princípio da Boa Ordenação; Princípio da Indução Finita; e Exemplos.

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PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃOVamos a algumas definições para que possamos compreender melhor o conteúdo de nossa aula:

Definição: Seja A um conjunto de inteiros. Denominamos elemento mínimo de A um elemento a pertencente a A tal que a é menor ou igual a x, para todo x pertencente a A.

Teorema Nr 2.1: Se a é elemento mínimo de A, então este elemento é único.

O elemento mínimo de A, se existe, chamamos de menor elemento de A ou primeiro elemento de A.

x)A)(ax( e A(aa= Amin ≤∈∀∈⇔

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PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO

- Exemplo Nr 2.1: O conjunto N = {1,2,3,4,5,...} dos inteiros positivos possui o 1 como elemento mínimo (mín N=1), pois 1 pertence a N e 1 é menor ou igual a n, para qualquer n pertencente a N.

- Exemplo Nr 2.2: O conjunto tem o elemento mínimo 9 (min A=9), pois 9 pertence a A e 9 é menor ou igual a x, para todo x pertencente a A.

}8>x|z∈x{=A

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PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO

- Exemplo Nr 2.3: O conjunto Z- = {0, -1, -2, -3, -4, ...} dos números inteiros não positivos não tem elemento mínimo, já que não existe a pertencente ao conjunto tal que a seja menor ou igual a x, para todo x pertencente a Z- .

- Exemplo Nr 2.4: O conjunto tem o elemento mínimo 3 (mín J = 3), pois 3 pertence a J (3 divide 9) e

} xdivide 3|N∈{x=J 2

)∈2 e A∈1 ( J xtodo para x 3 A∈≤

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PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITATeorema Nr 2.2: Seja P(n) uma proposição associada a

cada inteiro positivo n e que satisfaça às seguintes condições:

(1)P(1) é verdadeira;(2)Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira,

então P(k+1) também é verdadeira.

- Assim, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOSExercício Nr 2.1: Mostre que:

P(n): 1+3+5+7+...+(2n-1) = n2,Solução: - P(1) é verdadeira, pois 1 = 12.- A hipótese de indução é que a proposição:

P(k): 1+3+5+...+(2k-1) = k2, k N é verdadeira.- Adicionando 2k+1 a ambos os membros da

igualdade, obtemos:1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k2 + (2k+1) = (k+1)2,

o que mostra que P(k+1) é verdadeira.

N n ∈∀

∈

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOSExercício Nr 2.2: Demonstre a proposição abaixo:

Solução:- P(1) é verdade, pois =

- Nossa hipótese de indução é:

é verdadeira

N n ,1+nn =)1+n(n

1+...+4.31+3.2

1+1.21 = P(n) ∈∀

1.21

1+11

N k ,1+kk =)1+k(k

1+...+4.31+3.2

1+1.21 = P(k) ∈

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOS

- Somando a ambos os lados da equação anterior, teremos:

- Ou seja, significa que a proposição P(k+1) é verdadeira. Assim, P(n) é verdade para todo inteiro positivo n.

2+k1+k=)2+k)(1+k(

1+k2+k =

=)2+k)(1+k(1+1+k

k =)2+k)(1+k(1+)1+k(k

1+...+4.31+3.2

1+1.21

2

2)+1).(k+(k1

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOSExercício Nr 2.3: Demonstre que:

P(n): 3|(22n-1),Solução: - P(1) é verdadeira, pois 3|(22.1-1)- A hipótese de indução é que a proposição:

P(k): 3|(22k-1), k N é verdadeira. Portanto:22k-1 = 3q, com q Z;

- Assim:22(k+1)-1 = 22.22k -1 = 4. 22k – 1= 4. 22k – 4 + 4 – 1 =

= 4(22k – 1) +3 = 4.3q + 3 = 3(4q+1)- Logo, a proposição P(k+1) é verdadeira. Assim, P(n) é

verdadeira para todo inteiro positivo n.

N n ∈∀

∈∈

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOS

Exercício Nr 2.4: Prove que a seguinte afirmação A(n) é verdadeira para todo n pertencente a Z com n maior ou igual a 1:

A(n): A soma dos primeiros n números inteiros positivos é dada por:

1+2+3+4+5+...+n = n.(n-1)/2.

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EXEMPLOS E EXERCÍCIOSSolução:- P(1) é verdadeira, pois 1(1+1)/2 = 2/2 = 1.

- A hipótese de indução é que a proposição:P(k): 1+2+3+4+5+...+k = k(k+1)/2, k N é

verdadeira.

- Adicionando k+1 a ambos os membros da igualdade, obtemos:1+2+3+4+5+...+k +(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) =

= (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2,o que mostra que P(k+1) é verdadeira, e P(n) é

verdadeira para todo n Z com n 1.

∈

∈ ≥