TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA

COLECÇÃO DE PROBLEMAS

Luís Lemos Alves, 2009

PARTE - I

INTRODUÇÃO MATEMÁTICA

DEFINIÇÕES E CONCEITOS FUNDAMENTAIS

PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA

CALORIMETRIA

1- Considere a função

0)K const,()( >== KVKVp

a) Represente graficamente p(V) para V∈[V1,V2], V1,V2 > 0. b) Calcule a derivada dp/dV e o diferencial dp.

c) Calcule o integral, e interprete graficamente o resultado. ∫2

1

)(V

VdVVp

d) Calcule o integral , e interprete graficamente o resultado. ∫2

1

p

pdp

[Note que a variável independente é V]. 2- Considere a função

[ ][ ]⎩

⎨⎧

>∈>∈

>==0,;,0,;,

0)C const,(),(2121

2121VVVVVTTTTT

CVTCTVp

a) Calcule as derivadas parciais TV

p⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

e VT

p⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

e o diferencial dp.

b) Calcule o integral para T = const, e interprete

graficamente o resultado.

∫2

1

),(V

VdVTVp

c) Calcule o integral para V = const, e interprete

graficamente o resultado.

∫2

1

),(T

TdTTVp

d) Calcule o integral supondo dT/T = dV/V. ∫2

1

),(V

VdVTVp

e) Calcule o integral . ∫2

1

p

pdp

[Note que as variáveis independentes são V e T]. 3- Classifique cada um dos seguintes sistemas quanto a serem abertos /

fechados e isolados / não isolados, indicando se trocam calor / trabalho / massa com o seu exterior.

a) motor de um automóvel;

b) óleo de um amortecedor de automóvel; c) doce de morango dentro de um frasco

selado, no frigorífico;

d) café dentro de uma garrafa térmica, pousada numa prateleira;

e) o mesmo café, na mesma garrafa

térmica, a viajar na mala de um estudante;

f) o planeta Terra;

g) o Universo, tal como é entendido pela ciência actual.

4- Calcule a altura de que deve cair a água duma cascata, para que a sua

temperatura aumente 1oC após atingir a base da cascata.

NOTA: admita que, ao atingir o solo, a energia potencial da água se converte integralmente em energia interna.

5- Calcule a energia que é necessário fornecer a 200g de gelo, à temperatura de −20oC e à pressão de 1atm, para obter a mesma quantidade de vapor de água a 100oC.

6- Considere um fluido que realiza as transformações termodinâmicas

representadas nos diagramas (a)-(c).

V V2V1

p

p0

VV2V1

p

VV2V1

p

(a) (b) (c)

a) Calcule o trabalho realizado sobre o fluido nas transformações (a) p = p0 = const.

(b) p = k/V, com k = const.

b) Indique como se pode calcular graficamente o trabalho realizado pelo fluido em cada uma das transformações.

c) Indique se o fluido fornece ou recebe trabalho na transformação (c).

7- Calcule a temperatura indicada por um termómetro de gás (cheio com

1mol), cuja coluna de mercúrio tem 5cm de altura. [NOTA: 1mol de um gás diluído, à pressão atmosférica e temperatura de 0oC, ocupa um volume de 22,4L].

8- Considere o Teorema da Energia Cinética

,

onde

... energia cinética (macroscópica)

a) Demonstre o Teorema da Energia Mecânica

,

onde

inexMk WW +=ε∆

Mkε

exW ... trabalho das forças exteriores

inW ... trabalho das forças interiores.

nc

exnc

inpMkm WW +=ε∆+ε∆≡ε∆

εm ... energia mecânica

... energia potencial total

... energia potencial associada às forças interiores

... trabalho das forças interiores não conservativas

... trabalho das forças exteriores não conservativas.

b) Combine o resultado de a) com o Primeiro Princípio da Termodinâmica,

onde

exp,inp,p ε+ε=ε

inp,ε

exp,ε ... energia potencial associada às forças exteriores

ncinWnc

exW

para mostrar que em sistemas mecânicos se tem

ncininp, WQU −=ε∆−∆

U ... energia interna re o sistema e o exterior

Interprete o resultado obtido.

Q ... calor trocado ent

c) Aplique o resultado de b) ao estudo do contacto, com atrito, entre dois

(i) Considere o contacto isotérmico (T = const) de dois sólidos na

s forças de atrito é totalmente dissipado

(ii) onsidere o contacto adiabático (Q = 0) de dois sólidos no vácuo.

sólidos indeformáveis.

atmosfera. Admita que a energia interna dos sólidos é apenas função da temperatura. Mostre que o trabalho dasob a forma de calor. CMostre que o trabalho das forças de atrito conduz a uma diminuição da energia interna dos sólidos.

DADOS E CONSTANTES

1 cal = 4,186 J (equivalente mecânico da caloria) g = 9,8 ms-2

Cm,p (gelo) = 0,5 cal g-1 oC-1

Cm,p (água) = 1 cal g-1 oC-1

λfusão (gelo) = 80 cal g-1

λvaporização (água) = 540 cal g-1

ρHg = 13,6x103 kg m-3

Soluções de questões seleccionadas 1-

b) dVVKdp

VK

dVdp

22 ; −=−=

c) 1

2ln)(2

1

VVKdVVp

V

V=∫

O integral corresponde à área limitada pela curva p(V) e pelas rectas V=V1 e V=V2.

d) 12

2

1

VK

VKdp

p

p−=∫

2-

a)

dTVCdV

VTCdp

VC

Tp

VTC

Vp

VT

+−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

2

2 ;

b) )cons(ln),( te

1

22

1

==∫ TVVCTdVTVp

V

V

c) )cons(22

),( te2

1222

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫ VTT

VCdVTVp

T

T

d) ( )12te 2

1

),(;cons VVpdVTVppVdV

TdT V

V−==⇒= ∫

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

2

1

2

22

1

VT

VTCdp

p

p

4- 427 m

5- 6,1x105 J

6- a) (a) )( 120 VVp −−

(b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1

2lnVVk

7- 291 K

PARTE - II

INTRODUÇÃO À TEORIA CINÉTICA

MUDANÇAS DE ESTADO

GASES PERFEITOS – EQUAÇÃO DE ESTADO

GASES REAIS – EQUAÇÃO DE VAN DER WAALS

TRANSFORMAÇÕES NUCLEARES

1- Considere um bloco de cobre, com massa 1kg, à pressão atmosférica. Aquece-se o cobre, fazendo variar a sua temperatura entre 20ºC e 50ºC.

a) Calcule o calor absorvido pelo cobre. b) Mostre que βcobre = 3αcobre para uma dilatação isotrópica do bloco, onde

αcobre = (1/l)(dl/dT) e βcobre = (1/V)(dV/dT) são os coeficientes de dilatação linear e volúmica do cobre, respectivamente. Admita que o bloco é isotrópico e que o seu volume varia pouco.

c) Estime o valor do trabalho realizado pelo bloco de cobre, supondo que o

seu volume variou linearmente com a temperatura.

d) Calcule a variação da energia interna do bloco de cobre.

e) Compare os resultados obtidos nas alíneas a) e d). Interprete a diferença entre eles à luz das propriedades de um sólido e indique se, neste caso, faz sentido diferenciar os calores específicos a pressão e volume constante.

2- A partir da Teoria Cinética, calcule o calor específico a volume constante

dos seguintes sistemas: a) Gás perfeito monoatómico. b) Gás perfeito diatómico, à temperatura ambiente.

c) Gás perfeito diatómico, à temperatura de 3000K.

d) Gás perfeito triatómico, à temperatura de 3000K.

e) Sólido cristalino.

3- O ar seco é uma mistura de gases que se comporta como um gás perfeito

diatómico. Numa mole de ar existem 0,78mol de azoto N2 [mN2 = 28 g mol-1], 0,21mol de oxigénio O2 [mO2 = 32 g mol-1], sendo as restantes 0,01mol compostas por vários outros gases tais como argon Ar e dióxido de carbono CO2. A pressão atmosférica é a soma das pressões parciais dos vários gases.

a) Calcule o calor específico molar do ar seco a volume constante, CV, e a pressão constante, Cp, à temperatura ambiente.

b) Calcule a massa molar e a densidade do ar seco em condições PTN.

c) Calcule o calor específico mássico a volume constante do ar seco, Cm,V, à temperatura ambiente.

4- Considere uma arca frigorífica com

capacidade de 120L, cuja porta tem 0,8m de altura e 0,5m de largura. Quando se abre a porta não se observa uma alteração apreciável da quantidade de ar no interior da arca, muito embora a sua temperatura suba ligeiramente.

Suponha que, quando se abre a porta, o ar interior atinge uma temperatura uniforme de –8oC, estando em equilíbrio com a pressão atmosférica exterior. Quando se fecha a porta, o ar interior arrefece até à temperatura de –10oC. Nestas condições, estime qual a força necessária para reabrir a porta da arca, admitindo que a sua junta é completamente hermética. [Considere que o ar é um gás perfeito.]

5- Considere um gás perfeito monoatómico à pressão pi = 1,2atm e temperatura Ti = 300K, o qual se encontra em equilíbrio no interior dum êmbolo cilíndrico de volume Vi = 1L, cujo pistão, de massa m = 1kg e espessura desprezável, está a uma altura h = 50cm. Admita que existe uma massa M sobre o pistão a qual, uma vez retirada, permite ao gás expandir-se adiabaticamente até uma pressão pf, uma temperatura Tf e um volume Vf.

patma) Calcule o valor da massa M. b) Calcule o valor da pressão final pf.

m+M

c) Calcule a razão de expansão Vf / Vi .

d) Calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o exterior.

e) Calcule o valor da temperatura final Tf.

6- Um reservatório de 5L, com paredes rígidas e adiabáticas, tem no seu interior hélio e um balão de borracha com oxigénio (ver figura). Na situação inicial o hélio ocupa 4L e encontra-se à pressão p = 1atm e temperatura T = 300K. Nessa situação, o oxigénio no interior do balão (com volume Vb = 1L) está em equilíbrio térmico com o hélio. Devido à elasticidade da borracha, a pressão do oxigénio é sempre superior à do hélio. Admita que a pressão exercida pela borracha é descrita por pborr = K/Vb, com K = 0,1 atm L. Considere que, nas condições da experiência, o calor específico molar (a volume constante) do oxigénio é igual a 5R/2.

He

O2

a) Calcule o número de moles de oxigénio no interior do balão. b) Retira-se hélio do reservatório, até se atingir uma pressão p’ = 0,1atm

(mantendo-se inalterada a temperatura da atmosfera de hélio). Esta operação provoca uma expansão rápida (adiabática) do oxigénio no interior do balão, que mantém o equilíbrio entre as pressões interna (do oxigénio) e externa (do hélio e da borracha). No fim do processo, o balão aumentou de volume até Vb’ = 2L e rebentou.

b1) Calcule a temperatura T’ do oxigénio imediatamente antes do rebentamento do balão. Justifique porque razão o oxigénio se mantém no estado gasoso, após esta expansão, sabendo que a sua temperatura de vaporização é Tvaporização, O2 = 90K (a 1atm).

b2) Calcule o trabalho realizado pelo oxigénio para expandir o balão, até ao seu rebentamento. [Sugestão: Utilize o Primeiro Princípio da Termodinâmica.] b3) Calcule a temperatura final de equilíbrio da mistura hélio-oxigénio, após o rebentamento do balão.

7- Considere um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas, no qual existem

dois compartimentos (A e B) termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existe azoto (mN2 = 28g mol-1; pA = 6atm, TA = 290K, VA = 2L), enquanto no compartimento B existe hélio (mHe = 4g mol-1; pB = 1,5atm, TB = TA, VB = 4L). Considere estes gases como perfeitos.

a) Calcule o número de moles de N2 e He, existentes nos recipientes A e B. b) Calcule a energia interna e os calores específicos a volume constante e

a pressão constante de cada um dos gases.

c) Calcule a densidade mássica de cada um dos gases.

d) Obtenha a razão vq(N2)/vq(He), entre as velocidades quadráticas médias

dos dois gases.

e) Admita que se retira a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases. e1) Indique qual é a temperatura de equilíbrio, Teq, da mistura. e2) Calcule a energia interna de equilíbrio, Ueq, da mistura. e3) Calcule a pressão de equilíbrio, peq, da mistura. Verifique a lei de Dalton.

f) Suponha agora que se diminui em 2%, e de forma isotérmica, o volume

total VA+VB do recipiente. Calcule os novos valores de equilíbrio da pressão e da energia interna da mistura. [NOTA: nesta transformação, as paredes do recipiente deixam de ser rígidas e adiabáticas.]

8- A figura seguinte esquematiza o diagrama do ponto triplo para a água.

Identifique as mudanças de estado que se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos A, B e C, indicados na figura.

9- Pretende-se obter algumas propriedades do amoníaco (NH3) no ponto triplo.

A pressão de vapor do amoníaco sólido é dada por :

e a do amoníaco líquido por

onde a pressão p está em Torr e a temperatura T em K. a) Calcule a temperatura T0 e a pressão p0 do ponto triplo do amoníaco. b) Indique, justificando, qual é o estado físico do amoníaco a PTN.

10- A equação de Van der Waals (VDW), para uma mole de um fluido, pode escrever-se na forma reduzida

( ) rrr

r TVV

p 81332 =−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

onde , e cr ppp /≡ cr VVV /≡ cr TTT /≡ representam, respectivamente, a pressão reduzida, o volume reduzido e a temperatura reduzida do fluido, definidos em relação aos parâmetros críticos correspondentes.

a) Verifique que as propriedades matemáticas do ponto crítico do fluido são

correctamente descritas pela equação reduzida de VDW. b) Obtenha a expressão da equação reduzida de VDW, no limite de altas

temperaturas e altas diluições do fluido. Utilize a expressão obtida para deduzir a relação entre os parâmetros críticos pc, Vc e Tc.

c) Discuta o significado físico do termo aditivo em pressão e do termo subtractivo em volume, na equação reduzida de VDW.

11- O hélio e a água são correctamente descritos, na transição líquido-vapor,

pela equação de Van der Waals (VDW)

( ) nRTnbVV

anp =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

a qual conduz às seguintes expressões para a pressão crítica pc e o volume crítico Vc

227bapc = ; nbVc 3= .

Para o hélio tem-se

a = 0,0340x106 atm cm6 mol-2b = 23,40 cm3 mol-1

e para a água

a = 5,460x106 atm cm6 mol-2b = 30,45 cm3 mol-1

a) Indique qual das duas substâncias tem forças de interacção molecular

mais intensas. Calcule a relação de ordem de grandeza entre as suas intensidades, considerando que os seus átomos / moléculas têm dimensões semelhantes.

b) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem um ponto de

ebulição mais baixo, à pressão atmosférica.

c) Indique qual das duas substâncias tem moléculas maiores. Calcule o valor do raio do átomo de hélio, no quadro do modelo de VDW.

d) Mostre que os parâmetros críticos de VDW verificam a expressão

ccc nRTVp83

= ,

onde Tc é a temperatura crítica do sistema.

e) Calcule Tc para o hélio e para a água, e compare o comportamento

destes sistemas à temperatura ambiente (~300 K).

12- O hélio é bem descrito pela equação de estado de Van der Waals (VDW)

( ) nRTnbVV

anp =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

com a = 3,44x10-3 Pa m6 mol-2 e b = 23,40x10-6 m3 mol-1. a) Calcule o valor do raio dum átomo de hélio. b) Deduza as expressões das coordenadas (pc, Vc, Tc) do ponto crítico dum

gás real, a partir da equação de VDW. Calcule pc e Tc para o hélio.

c) Considere uma mole de hélio à temperatura inicial T1 = 140K, sobre a qual se realiza uma expansão livre de Joule entre V1=1L e V2 = 2V1. Admita que o calor específico molar a volume constante do hélio é CV = (3/2) R.

c1) Utilize a expressão geral da variação da energia interna

dVpTpTdTnCdU

VV ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=

para calcular a temperatura final T2 do gás, após a expansão. c2) Calcule a variação da entropia do hélio na expansão. c3) Compare os resultados das alíneas c1) e c2) com os que se obteriam admitindo que o hélio é um gás perfeito. Interprete.

13- Considere os seguintes sistemas: (I) Um plasma de fusão, de densidade electrónica ne = 1018cm-3 e energia electrónica kBTe = 1keV. (II) Uma lâmpada fluorescente, onde ne = 1011cm-3 e kBTe = 2eV. (III) A ionosfera terrestre, onde ne = 106cm-3 e kBTe = 0,1eV. a) Calcule o comprimento de Debye e a frequência de plasma desses

sistemas. Compare os resultados obtidos. b) Sugira uma explicação para o facto da expressão da frequência de

plasma ser independente da temperatura electrónica do sistema. c) Explique porque razão o tubo da lâmpada fluorescente não se encontra

à temperatura de 2eV (~ 23000K, era capaz de fundir!). (NOTA: o gás no interior da lâmpada encontra-se à pressão de 2Torr e a uma temperatura de 70oC).

14- Numa estação arqueológica no Egipto encontrou-se uma múmia que se

pretende datar. A actividade do 14C existente na múmia, por unidade de massa de carbono, é de 9 (desintegrações) s-1 g-1, e a sua actividade na atmosfera (e na matéria viva), por unidade de massa de carbono, é actualmente de 13,5 (desintegrações) s-1 g-1. Sabe-se que o período de semi-transformação do 14C é de 5730 anos.

a) Calcule a constante de decaimento do 14C.

b) Suponha que a actividade do 14C na atmosfera se tem mantido

constante ao longo dos anos. Calcule a idade da múmia, e faça a datação da estação arqueológica.

c) Discuta a validade da aproximação utilizada na alínea b), relativamente

à variação da actividade do 14C na atmosfera. Indique de que modo esta aproximação tem influência nas datações antes calculadas.

15- Considere uma rocha em cuja composição existe 87Rb (rubídio) e 87Sr

(estrôncio). Suponha que o 87Sr da rocha resultou exclusivamente do decaimento do 87Rb, ao longo dos anos. Sabe-se que o período de semi-transformação do 87Rb em 87Sr é de 4,7x1010 anos.

a) A análise da rocha revela uma percentagem relativa de 99% de 87Rb.

Indique se será possível encontrar fósseis dos primeiros mamíferos nessa rocha. [NOTA: o aparecimento dos primeiros mamíferos ocorreu há 9,5x107 anos.]

b) Calcule a percentagem mínima de 87Rb que tem de existir nessa rocha, para que a estimativa actual da idade da Terra (4,5x109 anos) permaneça válida.

16- Uma das mais importantes reacções de fusão nuclear no Sol envolve a

colisão de dois átomos de 3He (cujo núcleo é formado por 2 protões e um neutrão), dando origem a Hélio-4 e hidrogénio

3He + 3He → 4He + 1H + 1H

As massas dos núcleos intervenientes nesta reacção são m(3He) = 5,008237x10-27 kg m(4He) = 6,646483x10-27 kg m(1H) = 1,673534x10-27 kg Calcule a energia libertada pela fusão de cada par de átomos de 3He em repouso. Expresse o resultado em eV.

17- Uma das mais importantes reacções de fissão nuclear do 235U envolve a

formação de 94Zr e de 140Ce, segundo

235U + 1n → 94Zr + 140Ce + 2 1n + 6 e

Sabe-se que a diferença entre as massas dos produtos e dos reagentes desta reacção é 4x10-25 g. Calcule a energia por nucleão libertada devida à fissão dum núcleo de 235U em repouso. Expresse o resultado em eV.

18- Considere uma fonte pontual de raios-γ (com 0,8MeV de energia) no vácuo,

cuja taxa isotrópica de emissão é S = 4x1012 s-1. Pretende-se atenuar este feixe de radiação, colocando a fonte no interior duma câmara de ferro com 1 cm de raio. Sabe-se que o comprimento de semi-redução do ferro é L1/2 = 1,33cm (para raios-γ de 0,8MeV).

a) Mostre que o fluxo J de raios-γ, calculado à distância r da fonte, é dado

por

24 rSJπ

=

b) Calcule o fluxo de radiação que incide na parede interna da câmara. c) Calcule o coeficiente de atenuação mássico do ferro (para raios-γ de

0,8MeV).

d) Estime a espessura mínima da câmara de ferro, que garante uma atenuação a 80% do fluxo de raios-γ.

DADOS E CONSTANTES Condições PTN (Pressão e Temperatura Normais) p = 1atm = 760Torr; T = 273K 1 atm = 1,013 x 105 Pa R = 8,314 J K-1 mol-1

NA = 6,023 x 1023 mol-1 Mcobre = 63,55 g mol-1

Cp (cobre) = 0,384 J g-1 ºC-1

ρcobre = 8,92 g cm-3 (valor a 20oC)

αcobre = 1,7x10-5 K-1 (coeficiente de dilatação linear; valor a 20oC)

ρferro = 7,86 g cm-3

me = 9,11 x 10-31 kg

e = 1,60 x 10-19 C ε0 = 8,85 x 10-12 C2 N-1 m-2

Soluções de questões seleccionadas

1- a) Q = 1,152x104 J

b) W = − 1,74x10-2 J

c) ∆U = Q + W = 1,152x104 J

2-

a) CV = 3R/2 b) CV = 5R/2 c) CV = 7R/2 d) CV = 13R/2 (moléculas lineares) ; CV = 6R (moléculas não lineares)

e) CV = 3R

3-

a) CV = 20,8 J K-1 mol-1 Cp = 29,1 J K-1 mol-1

b) Mar = 28,6 g mol-1

ρar = 1,28 kg m-3

c) Cm,V = 0,73 J K-1 g-1

4- 306 N 5-

a) M = 3,13 kg

b) pf = 1,06x105 Pa

c) Vf / Vi = 1,09

d) Wgas = 9,54 J

e) Tf = 285 K 6-

a) n = 0,045 mol

b) b1) T = 81,2 K

b2) W = 204,6 J b3) Teq = 111,4 K

7- a) nN2 = 0,50 mol

nHe = 0,25 mol

b) CV, N2 = 20,8 J K-1 mol-1 Cp, N2 = 29,1 J K-1 mol-1

UN2 ~ 3 kJ

CV, He = 12,5 J K-1 mol-1 Cp, He = 20,8 J K-1 mol-1

UHe ~ 0,91 kJ

c) ρN2 = 7 kg m-3 ρHe = 0,25 kg m-3

d) vq (N2) / vq (He) = 0,38 e) e1) Teq = 290 K

e2) Ueq ~ 3,9 kJ e3) peq ~ 3 atm = pN2 + pHe

f) p’eq ~ 3,06 atm U’eq = Ueq ~ 3,9 kJ

9-

a) T0 = 195,2 K p0 = 44,6 Torr

b) Estado gasoso

10-

a) c

cc V

RTp83

=

11-

a) FH20 / FHe ~ 102 b) aHe < aH20

A intensidade das forças inter-moleculares é mais fraca no hélio, e portanto a temperatura de ebulição do hélio é menor que a da água.

c) bHe < bH20

A água tem moléculas maiores que o hélio. rHe = 1,32 Å

d) cccc nRTVpRbaT

83

278

=⇒=

e) Tc (He) = 5,2 K << Tamb Estado fluido à temperatura ambiente. Tc (H2O) = 647,3 K >> Tamb Estados líquido ou gasoso à temperatura ambiente, dependendo da pressão.

12-

a) rHe = 1,45 Å b) pc = 2,3x105 Pa

Tc = 5,2 K

c) c1) T2 = 139,9 K c2) ∆S = (5,9 – 8,9x10-3) J K-1

13-

a) (I) λD = 2,35x10-7 m ; ωp = 5,6x1013 s-1 (II) λD = 3,32x10-5 m ; ωp = 1,8x1010 s-1

(III) λD = 2,35x10-3 m ; ωp = 5,6x107 s-1

b) N/V = 5x1022 m-3 ; ne = 1017 m-3 14-

a) λ = 3,8x10-12 s-1 b) 3351 anos

15- b) 94%

16- 12,9 MeV

17- 0,96 MeV / nucleão

18-

a) J(r=1cm) = 3,2x1011 cm-2 s-1 b) µ/ρ = (ln2 / L1/2) / ρ = 0,066 cm2 g-1 c) x = ln5 / µ = 3,10 cm

PARTE - III

TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS

ENTROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA

TERMODINÂMICA

1- Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 120L, dos quais 100L são ocupados por ar (gás perfeito diatómico). A porta da arca tem 1m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética. Suponha que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura uniforme de –23oC e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar interior arrefece até à temperatura de –28oC, ficando o sistema em equilíbrio.

a) Calcule o número de moles, n, de ar

dentro da arca. b) Calcule, justificando, os calores

específicos molares do ar a volume e a pressão constantes. Obtenha o coeficiente adiabático do ar (γ).

c) Calcule o calor trocado pelo ar, após

se ter fechado a porta e o equilíbrio ter sido atingido.

d) Calcule a força necessária para

reabrir a porta.

e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da arca, o volume do ar aumenta 10L antes que a porta se abra e a pressão atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura do ar imediatamente antes de a porta se abrir.

2- Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1cm3 de

água, à temperatura de 100oC. 3- Considere 100g de gelo à temperatura T0 = 0oC, em contacto com o ar

ambiente à temperatura Tamb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água líquida a 0oC.

a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo + ambiente = Universo), supondo Tamb=30oC (Verão em Lisboa).

b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse Tamb=0oC

(Inverno em Paris). [Despreze as variações de volume do sistema gelo-água]

4- Um cubo de gelo de massa 1g é colocado dentro de uma caixa hermética e

termicamente isolada onde existem 2 moles de ar (gás perfeito diatómico). Inicialmente o gelo encontra-se a 0oC e o ar encontra-se a 10oC à pressão atmosférica normal, patm.

a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores específicos molares a volume e pressão constantes, CV (ar) e Cp (ar), para o ar dentro da caixa.

b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura

constante de 0oC. Calcule a variação de energia interna ∆Uar e a temperatura final Tf (ar) do ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo.

c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, Teq, após a fusão do

gelo. [Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são idênticos.]

d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão

(a 0oC). e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea

anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a fusão do gelo é um processo irreversível.

f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0C,

está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da caixa não varia significativamente durante este processo de fusão. Discuta a veracidade desta aproximação.

5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com

volume Vcobre = 1L até à sua temperatura de fusão, Tcobre = 1083oC. Para se arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume Vágua de água fria, à temperatura Tágua = 20oC.

Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica: A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume VA de água (que

abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do bloco até TA , cobre = 100oC;

B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial Tágua e uma temperatura final de equilíbrio Teq.

Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar ambiente.

a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor

específico mássico a volume constante do bloco de cobre, CV (cobre). b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água QA, durante a

transformação A. c) Calcule o volume VA de vapor de água, produzido durante a

transformação A. d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a

transformação A.

e) Suponha que o volume total de água é Vágua = 5L .Obtenha o valor da temperatura de equilíbrio Teq, após a transformação B. Indique, justificando, qual o valor de Teq quando Vágua >> 1.

6- Considere uma mole de hélio à pressão pi = 1bar e temperatura Ti = 300K,

em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão livre, de secção 10cm2, tem massa desprezável. Coloca-se uma massa M = 20kg sobre o pistão, a qual é responsável por uma compressão isotérmica do gás até uma nova situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito.

a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, pf. b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no

processo de compressão. c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação.

Indique se a transformação é reversível ou irreversível. 7- Considere hélio (He) à pressão pi = 6x105Pa e temperatura Ti = 3000K, em

equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com volume inicial Vi = 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás se expanda de forma adiabática até uma temperatura Tf = 2000K. Admita que o hélio é um gás perfeito.

a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo. b) Calcule a variação de energia interna ∆U e o trabalho Wgas realizado

pelo gás na expansão.

c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível. c1) Calcule o volume final Vf ocupado pelo gás. c2) Calcule a pressão final pf do gás.

d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a

pressão atmosférica exterior.

d1) Calcule o volume final Vfirr ocupado pelo gás.

d2) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta transformação.

8- Considere uma mole de N2 que se encontra dentro de um recipiente

isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os compartimentos A e B estão separados por uma divisória, de massa m e espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base do recipiente. Em B existe vácuo.

Considere o azoto como um gás perfeito. Sejam ainda: VA= 1m3; VB = VA; TA = 200K; m = 2,5kg; h = 8,3m. Num primeiro processo de transformação a divisória é removida horizontalmente. Para este caso: a) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. b) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a

expansão, para repor a pressão inicial.

c) Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse tratado como um gás real.

Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considera-se que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este caso: d) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. e) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a

expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea b) e comente.

f) Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os

dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer calor). Comente a diferença entre os valores calculados.

9- Considere um gás perfeito monoatómico, de calor específico molar CV =

3R/2, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo pistão, de área A = 20cm2, possui uma massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se em equilíbrio com o exterior, à temperatura ambiente T0 = 300K e pressão atmosférica p0 =1atm, ocupando um volume V0 =1L. a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M = 10kg sobre o pistão,

provocando-se a compressão isotérmica do gás.

a1) Calcule a pressão pi de equilíbrio após a compressão.

a2) Calcule o volume Vi de equilíbrio após a compressão. a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com o exterior, durante a compressão.

b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também

isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio.

b1) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão, respectivamente pf e Vf. b2) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com o exterior, durante a expansão.

c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e

expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial (T0, p0, V0) e o equilíbrio final (T0, pf, Vf).

Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.

10- Considere um gás perfeito, de calor específico molar CV = 3R/2, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura T0 = 300K, em equilíbrio à pressão p0 = patm, e ocupando um volume V0 = 1dm3. O pistão está sujeito à pressão atmosférica exterior patm = 1atm.

Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás.

• Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de temperatura T1 = 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás até um volume V1.

• Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura T0 = 300K, o que provoca uma compressão isobárica do gás.

a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu processo de expansão.

b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de

expansão.

c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão, a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre o gás e o calor total fornecido ao gás.

d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global

(expansão seguida de compressão) é ou não reversível. 11- O ar no interior dum pneu encontra-se à

pressão pi = 3,5atm e à temperatura Ti = 300K. Admita que o ar se comporta como um gás perfeito diatómico.

a) Calcule a densidade do ar (em

partículas m-3) no interior do pneu, e os seus calores específicos molares a pressão e a volume constantes.

b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente

a sua válvula. Admita que o ar realiza uma expansão rápida (adiabática) entre os volumes Vi(pi, Ti) e Vf(patm, Tf). (NOTA: patm = 1 atm é a pressão atmosférica). b1) Considere que o ar do pneu se expande de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior. Calcule a temperatura final do ar, Tf

irrev, após a expansão. Será esta forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula? b2) Suponha agora que a expansão realizada pelo ar do pneu era reversível (o que é bem menos realista). Calcule a nova temperatura final do ar, Tf

rev, após a expansão. Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.

12- Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c1 e c2 e temperaturas T1 e T2, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que atinjam o equilíbrio térmico à temperatura Tf. Admita c1 e c2 independentes da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume dos sólidos.

a) Obtenha a expressão de Tf em função de T1 e T2. b) Obtenha a expressão da variação de entropia, ∆S, do sistema dos dois

sólidos. c) Mostre que ∆S = ∆SUniverso > 0.

[Sugestão: escreva ∆S como a soma de duas funções de x ≡T/T1, e analise-as graficamente.]

13- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENTES, que ocupam os

dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas. Os compartimentos (de volumes VA e VB) encontram-se termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existem nA moles de gás em equilíbrio à temperatura TA, e no compartimento B existem nB moles de gás em equilíbrio à temperatura TB. Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases.

a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da mistura.

b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois

gases.

c) Escreva a expressão obtida em b) para VA = VB e TA = TB.

14- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o

ar se comporta como um gás perfeito de massa M = 29g mol-1, em "equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração da gravidade (g = 9,8ms-2) e o coeficiente adiabático do ar (γ = 1,4) não variam com a altitude z.

a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p

do gás e da sua massa volúmica ρ. b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o

equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z. c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p

para z = 1km, sabendo que p0 = 1atm e T0 = 300K à altitude z = 0. 15- O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente

adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.

O recipiente de volume V (grandes dimensões) encontra-se ligado a um manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe ar, à pressão p e temperatura T, sobre o qual se efectuam as seguintes transformações: 0) Com a válvula aberta p=patm, T=Tamb e h=0.

(patm é a pressão atmosférica e Tamb a temperatura ambiente). 1) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir

isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p= patm + ρHggh (estado A).

2) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até

regressar à pressão p=patm (estado B). 3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura

inicial, T=Tamb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p= patm + ρHggh' (estado C).

Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis. a) Represente num diagrama (p,V) e num diagrama (T,S) as

transformações (AB e BC) sofridas pelo ar. b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro.

(Suponha ρHggh, ρHggh' « patm).

c) Calcule γ para h=58 mm e h'=16 mm.

16- O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura abaixo.

O recipiente de volume V0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verifica-se que a esfera se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à diferença de pressões p−p0 (p0 representa a pressão atmosférica).

Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observa-se que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis) sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas.

p

g

V0, p

z

a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de p−p0.

b) Exprima a diferença de pressões p−p0 em função das variações de

volume ∆V do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera. Admita que p−p0 << p0 e ∆V << V0.

c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do

movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão

( ) 2/1200 /2 γπ= SpmVT .

[Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório

sem atrito: .] ( ) 0/2 2 =π+ xTx&&

d) Calcule γ para m=20 g, V0=10 L, S=2,36 cm2, p0=105 Pa e T=1 s.

DADOS E CONSTANTES

1 atm = 1,013 x 105 Pa 1 bar = 105 Pa 1 cal = 4,186 J R = 8,314 J K-1 mol-1 NA = 6,023 x 1023 mol-1 g = 9,8 ms-2

ρcobre = 8,9 kg L-1 Mcobre = 63,54 g mol-1

ρágua = 1 kg L-1

Cm,p (água) = 1 cal g-1 oC-1

λfusão (gelo) = 80 cal g-1

λvaporização (água) = 540 cal g-1

Soluções de questões seleccionadas 1-

a) n = 4,9 mol b) CV = 20,8 J K-1 mol-1

Cp = 29,1 J K-1 mol-1

γ = 1,4

c) Q = − 509,6 J d) F = 1013 N

e) p = 0,886x105 Pa

T = 239 K 2- 1,447 cal K-1

3-

a) ∆Sgelo = 122,7 J K-1 ∆Samb = − 110,5 J K-1

∆Suniverso = 12,2 J K-1

b) ∆Suniverso = 0 J K-1

4-

b) ∆Uar = − 333,7 J Tf (ar) = 1,98 oC

c) Teq = 1,8 oC d) ∆Sgelo = 1,22 J K-1

f) ∆p / patm = − 2,8% << 1 ⇒ Aproximação válida

5-

a) Cm,V (cobre) = 0,39 J K-1 g-1 b) QA = 3,412 MJ

c) VA = 1,32 L

e) ∆SA, cobre = − 4,48 kJ K-1 f) Teq = 34,7 oC (Vágua = 5 L)

Teq → Tágua = 20 oC (Vágua >> 1 L)

6- a) pf = 2,96x105 Pa b) Q = − W = − 4,89x103 J

c) ∆Sgás = − 9,0 J K-1

∆Sext = 16,3 J K-1

∆Suniverso = 7,3 J K-1

7-

c) n = 0,96 mol d) ∆U = − Wgás = − 12 kJ

e) c1) Vf = 73,5 L

c2) pf = 2,2x105 Pa

f) d1) Vfirr = 158,5 L

d2) ∆SUniverso = 6,1 J K-1

8-

a) TA’ = TA = 200 K pA’ = 831 Pa

b) Q = 4155 J d) TA’’ = 190,2 K

pA’’ = 790 Pa e) Q = 4358 J f) ∆S(1) = 5,76 J K-1 ; ∆S(2) = 4,72 J K-1

9- a) a1) pi = 1,5 atm

a2) Vi = 0,67 L a3) W = − Q = 49,6 J

b) b1) pf = p0 = 1 atm ; Vf = V0 = 1 L

b2) W’ = − Q’ = − 33,4 J

c) ∆SUniverso = ∆Sex = 0,054 J K-1 10-

a) ∆Uexp = 50,65 J b) Wgás,exp = 33,77 J

c) ∆U = 0 J ; W = 0 J ; Q = 0 J (Qexp = − Qcomp > 0)

11- a) N/V = 8,6x1025 m-3 b) b1) Tf

irrev = 239 K → − 34 oC b2) Tf

rev = 210 K → − 63 oC 12-

a) 21

2211f cc

TcTcT++

=

b) )ln()ln( 2f21f1 TTcTTcS +=∆

13-

a) BA

BBAAnn

TnTnT++

=eq ; BA

BBAAVV

TnTnRp++

=)(

eq

c) 2ln)( RnnS BA +=∆ 14-

c) 1

0

00

11)(−γγ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ργ−γ

−= zgp

pzp

15-

b) 'hh

h−

≈γ

16-

d) γ = 1,42

PARTE - IV

CICLOS TERMODINÂMICOS

MÁQUINAS TÉRMICAS E FRIGORÍFICAS

1- É possível construir Centrais Eléctricas aproveitando a diferença de temperatura entre a superfície e o fundo do mar. Em 1979 foi construído um protótipo no Hawai, onde a temperatura à superfície é de 30°C e a do fundo 18°C.

Admita que este protótipo funciona como uma máquina de Carnot, permitindo a produção de 500MW de potência eléctrica.

a) Calcule o rendimento deste protótipo de Central Eléctrica. b) Faça um esboço dos diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, assinalando as

transformações em que a Central realiza/recebe trabalho e as transformações em que fornece/recebe calor.

c) Calcule a potência térmica extraída das águas superficiais.

d) Calcule a potência térmica libertada para as águas profundas.

e) Se a Central utilizar amoníaco este tem de coexistir nos estados líquido

e de vapor, o que a 30°C conduz a uma pressão de cerca de 11atm. Calcule a quantidade de amoníaco que se vaporiza por unidade de tempo, sabendo que, nessas condições, o seu calor latente de vaporização é 1144 kJ kg-1.

f) Calcule a variação de entropia, por unidade de tempo, das águas

superficiais, das águas profundas e da Central. 2- Considere um ciclo de Carnot reversível, em que um caudal de ar (gás

perfeito diatómico) de 10 mol s-1 sofre duas transformações adiabáticas e duas transformações isotérmicas às temperaturas TQ = 400K e TF = 300K. As transformações isotérmicas têm uma razão de compressão idêntica: VQ-final / VQ-inicial = VF-inicial / VF-final = e1/R.

a) Faça um esboço dos diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, assinalando as

transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e as transformações em que o ar fornece/recebe calor.

b) Calcule a potência térmica trocada com as fontes de calor exteriores. c) Calcule a potência e o rendimento do ciclo.

3- Num ciclo de Carnot, realizado por um gás perfeito de coeficiente adiabático γ = 1,7, o ponto de maior pressão iguala 1,4x106Pa, para um volume de 10dm3 e uma temperatura de 720K. A partir desse ponto (A), o gás expande-se isotermicamente até um estado (B) e de seguida adiabaticamente até um volume de 24dm3 (C). Uma compressão isotérmica, até um volume de 15dm3, leva-o ao ponto (D). Finalmente, o gás regressa ao estado (A) através dum processo adiabático.

a) Esboce o ciclo num diagrama (p,V) e num diagrama (T,S). b) Complete a tabela seguinte.

p (Pa) V (dm3) T (K)

A 1,4x106 10 720 B C 24 D 15

c) Calcule o rendimento deste ciclo de Carnot. d) Calcule a variação de entropia do sistema, das fontes e do Universo, na

transformação CD. 4- Considere uma máquina frigorífica que opera entre as temperaturas de

−10°C e 25°C. Durante 1/2 hora o fluído recebe 106J do congelador. Admita que a máquina funciona reversivelmente.

a) Calcule a eficiência da máquina. b) Calcule o valor da energia mecânica fornecida à

máquina e da energia térmica cedida à fonte quente, durante 1/2 hora.

c) Calcule o valor da potência indicada pelo

fabricante para a máquina. d) Calcule (em g/s) o caudal do fluido que circula na máquina, supondo que

se trata do R134A (λvaporização -R134A=200kJ/kg).

5- Considere um frigorífico que opera com um fluido frigorigénio de massa molar M = 120 g mol-1. Admita que este fluido pode ser descrito como um gás perfeito de calores específicos a volume constante CV = 63,6 J mol-1 K-1 e a pressão constante Cp = CV + R. Sabe-se que o fluido, com caudal m = 40 g s& -1, realiza o ciclo reversível representado no diagrama (T,S) da figura. Considere que a razão de expansão do fluido, na isotérmica à temperatura mais baixa, é VA / VD = 100.

a) Calcule a eficiência ε do frigorífico. b) A transformação AB ocorre devido à acção do compressor sobre o fluido.

b1) Calcule a variação de energia interna do fluido, por unidade de tempo, em AB. b2) Calcule a razão de compressão VB / VA do fluido em AB.

c) Calcule a potência calorífica que o frigorífico retira do congelador. DAQ&

[Sugestão: Comece por escrever a expressão da variação de entropia na transformação DA.]

d) Calcule o custo de operação do frigorífico durante 1h, sabendo que o preço EDP de 1kWh de energia é 0,1euro (IVA incluído).

6- Pretende-se manter uma sala a 22ºC, num dia de inverno em que a temperatura média do ar exterior é de 6ºC. Para isso dispõe-se de uma bomba de calor de 1000W de potência. Admita que a sala perde calor a uma taxa de 4,5 x 103 kJ h-1.

Observa-se que a bomba de calor só funciona 15 minutos, em cada período de uma hora. Nesse período…

a) Calcule a energia consumida (trabalho)

pela bomba. Calcule o calor que a bomba retira ao ambiente. Calcule a eficiência da bomba de calor.

b) Calcule a variação da entropia do

Universo devido ao funcionamento da bomba e conclua acerca da reversibilidade do seu funcionamento.

c) Calcule a energia consumida por uma

bomba de calor reversível, com a mesma capacidade de aquecimento.

7- Pretende-se manter o interior de uma sala a uma temperatura Tsala = 22oC,

num dia frio de Inverno em que a temperatura ambiente exterior é Tamb = 3oC. Para isso usa-se uma bomba de calor com uma potência e uma eficiência

kW1=W&5BC =ε .

a) Estando a sala numa situação térmica

estacionária, calcule a potência calorífica fornecida à sala por esta bomba, bem como a taxa Q à qual a sala perde calor.

salaQ&

&

b) Calcule a potência calorífica extraída do

ambiente pela bomba de calor. ambQ&

c) Calcule a taxa de variação de entropia do Universo devido à

bomba de calor, e conclua quanto à reversibilidade ou irreversibilidade do seu funcionamento.

UniversoS&∆

d) Calcule, justificando, qual a eficiência máxima de uma bomba de calor

que funciona entre duas fontes térmicas às temperaturas Tsala = 22oC e Tamb = 3oC.

8- Um ciclo de Ericsson para a realização de trabalho é constituído pela seguinte sucessão de transformações:

A – compressão isobárica à pressão pmin entre as temperaturas Tmax e Tmin B – compressão isotérmica à temperatura Tmin entre as pressões pmin e pmaxC – expansão isobárica à pressão pmax entre as temperaturas Tmin e TmaxD – expansão isotérmica à temperatura Tmax entre as pressões pmax e pmin O ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico com Cp = 28 JK-1mol-1) entre as temperaturas Tmin = 300K e Tmax = 600K, sendo pmax / pmin = e10/R ~ 3,33.

As transformações isotérmicas são reversíveis. As transformações isobáricas A e C realizam-se em equilíbrio mecânico com o exterior, pondo o ar em contacto com duas fontes de calor às temperaturas Tmin e Tmax, respectivamente. a) Esboce os diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, identificando no diagrama

(p,V) as transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e no diagrama (T,S) as transformações em que o ar recebe/cede calor.

b) Calcule o calor recebido/cedido pelo ar em cada uma das quatro

transformações do ciclo.

c) Calcule o trabalho global WEricsson realizado pelo ar neste ciclo.

d) Calcule a variação de entropia do Universo ∆SUniverso devido a este ciclo, e conclua da sua reversibilidade ou irreversibilidade.

e) Calcule o trabalho, Wrev, realizado por um ciclo reversível que opere

entre as temperaturas Tmin e Tmax e que receba da fonte quente a mesma quantidade de calor que o ciclo de Ericsson. Verifique que ∆W ≡ Wrev − WEricsson = Tmin ∆SUniverso .

f) Indique que alterações faria neste ciclo de Ericsson para maximizar o

seu rendimento. Qual seria neste caso o trabalho global realizado pelo ar (mantendo a quantidade de calor recebida da fonte quente)?

9- Considere um ciclo real de produção de trabalho em que 10mol de um gás

perfeito sofrem as seguintes transformações:

AB: Compressão adiabática reversível entre as temperaturas 300K e 400K. BC: Expansão isotérmica a 400K em que o volume duplica (VC = 2 VB). CD: Expansão adiabática reversível entre as temperaturas 400K e 300K. DA: Compressão isotérmica a 300K até ao volume inicial (VA).

A fonte de calor que fornece calor ao gás encontra-se a TFQ = 420K e a fonte de calor que recebe calor do gás encontra-se a TFF = 280K. Admita que o trabalho realizado/recebido pelo gás nas transformações isotérmicas é reversível.

a) Calcule, para este ciclo real:

a1) A variação de entropia do gás e o calor trocado entre o gás e as fontes de calor, em cada uma das quatro transformações. a2) A variação de entropia das fontes de calor num ciclo completo. Conclua sobre a reversibilidade ou irreversiblidade do ciclo. a3) O rendimento do ciclo, comparando-o com o de um ciclo de Carnot que utilize as mesmas fontes de calor. Indique em que difere este ciclo de Carnot do ciclo real considerado.

b) Considere que o valor da entropia do gás, nas transformações

adiabáticas, é igual no ciclo real e no ciclo de Carnot correspondente. Esboce os dois ciclos num único diagrama (T,S) e explique como se poderia calcular graficamente o rendimento de qualquer dos ciclos.

10- Um ciclo de Stirling para a realização de trabalho é constituído pela

seguinte sucessão de transformações isométricas e isotérmicas:

A – aquecimento isométrico entre as temperaturas Tmin e TmaxB – expansão isotérmica, à temperatura Tmax, entre os volumes Vmin e Vmax C – arrefecimento isométrico entre as temperaturas Tmax e TminD – compressão isotérmica, à temperatura Tmin, entre os volumes Vmax e Vmin

Admita que o ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico, com CV = 20 J K-1 mol-1), entre as temperaturas Tmin = 600K e Tmax = 1200K, para uma razão de compressão Vmax / Vmin = e10/R ~ 3,33. Considere que as transformações isotérmicas são reversíveis e que as transformações isométricas A e C se realizam pondo o ar em contacto com duas fontes de calor às temperaturas Tmax e Tmin, respectivamente.

a) Esboce os diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo.

Identifique, no diagrama (p,V), quais as transformações em que o ar recebe / realiza trabalho. Identifique, no diagrama (T,S), quais as transformações em que o ar recebe / cede calor.

b) Calcule o trabalho recebido / realizado pelo ar em cada uma quatro

transformações do ciclo. c) Calcule o calor recebido / cedido pelo ar em cada uma quatro

transformações do ciclo. Indique que relação existe entre os calores trocados nas duas transformações isométricas.

d) Calcule a variação de entropia do Universo (ar + fontes de calor) neste ciclo, e conclua acerca da sua reversibilidade ou irreversibilidade.

e) Pretende-se optimizar a máquina que opera com este ciclo de Stirling.

e1) Calcule o rendimento η deste ciclo de Stirling. Compare-o com o rendimento ηCarnot dum ciclo de Carnot a operar entre duas fontes às temperaturas Tmax e Tmin e interprete. e2) Indique que alterações deveria realizar neste ciclo de Stirling para maximizar o seu rendimento.

11- A figura representa o ciclo de Otto, constituído pelas seguintes

transformações:

AB - compressão adiabática de VA a VBBC - aquecimento isométrico de TB a TCCD - expansão adiabática de VC = VB até VD = VA DA - arrefecimento isométrico de TD a TA

Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com coeficiente de adiabaticidade γ . Admita que as transformações adiabáticas são reversíveis, e que as trocas de calor se realizam apenas com duas fontes térmicas de temperaturas TC e TA. a) Mostre que

onde R = VA / V0 é o factor de compressão do ciclo.

1−γ== RTT

TT

D

C

A

B

b) Utilize o resultado da alínea anterior para obter a expressão do rendimento ηOtto do ciclo, em função de R e γ.

c) Indique, justificando, se ηOtto é igual, maior ou menor que o rendimento

ηCarnot de um ciclo de Carnot, que usasse as mesmas fontes térmicas às temperaturas TC e TA.

d) Calcule a variação de entropia do Universo ∆SUniverso devido a este ciclo,

e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.

12- O ciclo de Otto representado na figura abaixo descreve o funcionamento do motor duma moto bi-cilíndrica a 4 tempos1. Admita que o ciclo é descrito reversivelmente por um gás perfeito de energia interna U = 2,5 n R T (com n o número de moles do gás). Sabe-se que cada cilindro tem volume máximo VA = 300cm3 e que a sua razão de compressão é VA / V0 = 8. Considere patm = 105Pa, TA = 293K, e que após a explosão o gás atinge uma temperatura de 1023K.

a) Mostre, a partir dos dados do enunciado, que o gás tem um coeficiente adiabático γ = 1,4.

b) Complete as tabelas seguintes.

T (K) p (Pa) V (cm3)

A 293 1,0x105 300 B C 1023 D

Q (J) W (J)

A → B 0 97,3 B → C 0 C → D 0 − 147,9 D → A 0

c) Calcule o rendimento do motor. d) Quantas rotações por minuto tem de atingir o motor bi-cilíndrico para

que a moto debite “4 cavalos” (1 CV ~ 736 W) ?

1 Neste motor, cada cilindro realiza um ciclo termodinâmico após duas transformações combinadas de compressão / expansão (1ª transformação: admissão OA + compressão AB; 2ª transformação: expansão CD + escape AO; cada uma destas transformações combinadas corresponde a uma revolução da cambota).

13- Considere um motor Diesel a funcionar com uma razão de compressão R = Vmáx / Vmin = 16. Sabe-se que, durante a inflamação do combustível, o êmbolo do motor se move para um volume igual a 2,5Vmin. Admita que o ar que realiza o ciclo Diesel (suposto reversível) é um gás perfeito diatómico.

a) Represente o ciclo num diagrama (p,V),

explicando cada um dos seus tempos de funcionamento.

b) Represente o ciclo num diagrama (T,S).

c) Calcule o rendimento do motor.

14- Considere n moles de um gás perfeito, que executa um ciclo

termodinâmico (passando sucessivamente pelos volumes VB < VA < VC < VD), entre duas fontes térmicas às temperaturas T1 e T2 > T1.

O ciclo é constituído pela seguinte sequência de transformações:

- compressão adiabática reversível entre (T1, VA) e (T2, VB); - expansão até VC contra a pressão atmosférica, realizada em contacto com a fonte térmica à temperatura T2. No final desta transformação, o gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico) com o exterior.

- expansão adiabática reversível entre (T2, VC) e (T1, VD); - compressão até VA sob a acção da pressão atmosférica, realizada em contacto com a fonte térmica à temperatura T1. No final desta transformação, o gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico) com o exterior.

a) Marque os pontos A, B, C, D num diagrama (p,V).

Indique, justificando, se é possível representar as transformações deste ciclo no diagrama.

b) Mostre que o ciclo tem uma única razão de compressão isotérmica RT,

verificando-se

A

D

B

CT V

VVVR =≡

c) Mostre que o rendimento do ciclo se pode escrever como

2

11TTRT−=η

d) Escreva a expressão da variação de entropia do universo devida a este

ciclo, e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.

15- A figura representa um esboço do diagrama (p,V) do ciclo de Brayton, utilizado nos motores de reacção de foguetões e de turbopropulsores.

AB - compressão adiabática CD - expansão adiabática BC – expansão isobárica DA – compressão isobárica

Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com um calor específico a pressão constante Cp. Admita que as transformações adiabáticas são reversíveis, e que as trocas de calor do ciclo se realizam por contacto entre o gás e duas fontes térmicas de temperaturas TC e TA < TC.

A

B C

D

p

V V

a) Sejam n = 10mol e Cp = 29,1 J mol-1 K-1. Considere TA = 300K, TB = 900K, TC = 1200K e TD = 400K.

a1) Sugira, justificando, uma estrutura possível (monoatómico / diatómico / ... ) para este gás perfeito. a2) Indique quais as transformações onde o gás recebe/cede calor, e calcule o trabalho total fornecido pelo gás após cada ciclo. a3) Calcule a razão de compressão VA /VB do ciclo de Brayton. a4) Calcule a variação de entropia do gás durante a transformação DA. Mostre que o resultado obtido não viola o 2º Princípio da Termodinâmica.

b) Mostre que o rendimento ηBrayton de um ciclo de Brayton pode ser

calculado utilizando a expressão

Indique, justificando, se ηBrayton é igual, maior ou menor que o rendimento de um ciclo de Carnot, que utilizasse as mesmas fontes térmicas às temperaturas TC e TA. [Sugestão: comece por mostrar que CBDA TTTT = .]

C

D

TT

−=1ηBrayton

16- Considere o motor nuclear duma nave espacial, que utiliza plutónio (239Pu94) como combustível e mercúrio (Hg) como fluido circulante. O aquecimento do mercúrio faz-se com a energia das partículas α(4He2), obtidas na transformação nuclear 239Pu94 → 235U92 + 4He2 + γ

A figura esquematiza o diagrama (p,V) do ciclo termodinâmico (reversível) realizado pelo mercúrio.

(1) – (2) CONDENSADOR - condensação isobárica do mercúrio (2) – (3) BOMBA MAGNETO-HIDRODINÂMICA - compressão isométrica (do mercúrio líquido) (3) – (3’) CALDEIRA - vaporização isobárica do mercúrio (3’) – (4) CALDEIRA - sobreaquecimento isobárico (do mercúrio gasoso) (4) – (1) TURBINA - expansão adiabática (do mercúrio gasoso)

Em (1), a pressão e a temperatura do mercúrio (gasoso) são pmin = 105 Pa e T1 = 630 K, respectivamente. Em (2), a densidade do mercúrio (líquido) é ρ2 = 14 g cm-3 e em (3) a sua pressão e temperatura são pmax = 3x106 Pa e T3 = 892 K. O mercúrio tem massa molar M = 200 g mol-1, calor latente de vaporização λvap = 60 kJ mol-1, e coeficiente adiabático γ = 1,4. Considere que o mercúrio gasoso se comporta como um gás perfeito, com calor específico a pressão constante Cp = 28 J K-1 mol-1.

Recorde que a temperatura dum sistema não se altera, durante uma mudança de estado a pressão constante.

p

pmax

pmin

V2 V3’ V1

2

3 4

1gás → líquido

líquido

líquido → gás 3’

gás

V4 V

a) Calcule a temperatura T4 do mercúrio em (4), antes de entrar na turbina. b) Calcule a razão de expansão V1/V4 na turbina, e a razão volumétrica

V1/V2 no condensador.

c) A condensação (1) - (2) do mercúrio é conseguida colocando-o em contacto com uma fonte térmica, à temperatura de 300 K. Calcule a variação de entropia do Universo, por unidade de massa do mercúrio, durante esta transformação.

d) Sabe-se que a actividade do plutónio, utilizado como combustível

nuclear, é de 6x1015 desintegrações por segundo. Cada desintegração dá origem a uma partícula α(4He2) com 5,25 MeV de energia. O 239Pu94 tem um período de semi-desintegração T1/2 = 2,4x104 anos.

d1) Calcule a potência (em watts) fornecida pelo combustível nuclear. Determine o valor mínimo do caudal mássico (em g s-1) de mercúrio, que garante a refrigeração do motor. [Sugestão: Note que a potência fornecida pelo combustível nuclear é utilizada em (3) - (3’) para vaporizar o mercúrio, e em (3’) - (4) para sobreaquecer o gás obtido.] d2) Suponha que a nave espacial é enviada em missão com duração de dois anos. Calcule a actividade do plutónio após a missão. Justifique se a perda de actividade poderá pôr em causa a realização da missão.

17- Os ciclos de absorção são uma forma de produzir frio utilizando uma fonte de calor (por exemplo, energia solar). Uma máquina de absorção utiliza três fontes de calor (Fonte Quente, Ambiente e Fonte Fria) a temperaturas diferentes. Entre a Fonte Quente e o Ambiente produz-se trabalho, o qual serve para retirar calor da Fonte Fria transferindo-o para o Ambiente.

Considere uma máquina de absorção que funciona entre uma Fonte Quente a 127oC e uma Fonte Fria a 7oC. Para uma temperatura ambiente de 40oC, a máquina extrai uma potência calorífica de 10kW da Fonte Fria. a) Proponha, justificando, uma expressão para a eficiência total εT da

máquina de absorção. [Sugestão: Comece por escrever as expressões do rendimento da produção de trabalho e da eficiência da extracção de calor].

b) Calcule a eficiência total εT,rev da máquina de absorção, supondo o seu

funcionamento reversível. c) Sabe-se que a máquina de absorção tem uma eficiência total εT = 0,5.

Calcule a potência calorífica fornecida pela Fonte Quente e a potência calorífica total transferida para o Ambiente.

d) Calcule a variação global de entropia do Universo, por unidade de

tempo, para esta máquina de absorção.

e) Discuta de que modo seria possível arrefecer uma cerveja no deserto, utilizando como fonte de energia água aquecida por um colector solar.

18- Considere uma máquina térmica cíclica que funciona entre duas fontes térmicas (de capacidade calorífica cQ = cF = c = 400 kJ K-1) às temperaturas TQ e TF < TQ. Suponha que, durante cada ciclo, a máquina realiza trocas de calor infinitesimais e reversíveis com as fontes, e que essas trocas de calor conduzem a uma modificação das temperaturas das fontes, cujos valores iniciais são TQ0 = 373K e TF0 = 283K.

a) Calcule a temperatura de equilíbrio das fontes, Teq, para a qual a

máquina deixa de funcionar.

b) Calcule o trabalho fornecido pela máquina até deixar de funcionar. c) Calcule o rendimento da máquina e compare-o com o rendimento duma

máquina de Carnot a funcionar entre TQ0 e TF0. Interprete.

19- Pretende-se arrefecer até uma temperatura de 20ºC o ar seco duma sala

(capacidade calorífica c = 4x103 kJ K-1), inicialmente à temperatura ambiente exterior de 32ºC. Para isso liga-se um aparelho de ar condicionado que funciona durante uma hora sem parar.

Calcule a potência (média) do aparelho de ar condicionado, supondo o seu funcionamento reversível.

DADOS E CONSTANTES

1 atm = 1,013 x 105 Pa R = 8,314 J K-1 mol-1 NA = 6,023 x 1023 mol-1

Soluções de questões seleccionadas 1-

a) η = 3,96% c) = 12626 MW Q&

d) = −12126 MW FFQ& e) ~ 11x10m& 3 kg s-1

f) = − 41,67x10FQS&∆ 6 W K-1

FFS&∆ = 41,67x106 W K-1

S&∆ = 0 W K-1

2-

a)

V

p

TF

TQ A

B

C

D W

W

W

W

VQi VFf VQf VFi S

T

A B

C D TF

TQ Q

Q

b) = 4 kW ; = − 3 kW QQ& FQ& c) = 1 kW ; η = 25% W&

3-

a)

b) p (Pa) V (dm3) T (K)

A 1,4x106 10 720 B 8,8x105 15,9 720 C 4,4x105 24 540 D 7,0x105 15 540

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

AAD V

Vpp AA

D

A

DD T

VV

ppT =

DC TT = DC

DC p

VVp =

AB TT = γ−

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

B

CCB T

Tpp

AB

AB V

ppV =

c) %251 =−=ηA

BTT

d) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

C

D

A

AA

C

DCD V

VnT

VpVVnRS ln − 9,14 J K-1

=∆−=∆ CDCDFQ SS 9,14 J K-1

0=∆+∆=∆ CDFQ

CDCDUniverso SSS

4-

a) ε = 750% b) W = 0,13x106 J

Q = 1,13x106 J

c) P = 72 W d) = 2,8 g sm& -1

5-

a) =−

=εDABC

DATT

T 7,4

b)

b1) =−=∆ )( DABCVAB TTCMmU && 742 W

b2) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−γ 11

BC

DA

A

BTT

VV

0,38

==γV

pCC

1,13

c) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

D

ADA V

VRMmS ln&& 12,8 W K-1

=∆= DADADA STQ && 3293 W

d) =ε

= DAQW&

& 445 W

Custo = 0,04 euros =3-0,1x10xh1xW& 6-

a) W = 900 kJ

FFQ = 3600 kJ ε = 500%

b) = 2,4 kJ KUniversoS∆ -1 > 0 ⇒ Bomba irreversível c) revW = 244 kJ

7-

a) = Q = 5 kW salaQ& &

b) = 4 kW ambQ& c) = 2,46 W KUniversoS&∆ -1 > 0 ⇒ Bomba irreversível

d) ambsala

salamax TT

T−

=ε = 1553% ; Eficiência duma máquina reversível

8-

a) p

V

WC

WA

WB WD

Tmax

Tmin pmax

pmin

T

S

QD

QA

QB

QCTmax

Tmin

b) = − 8400 J ; = − 3000 J ; = 8400 J ; = 6000 J AQ BQ CQ DQ c) = 3000 J EricssonW

d) = 14 JKUniversoS∆ -1 > 0 ⇒ Ciclo irreversível e) = ηrevW Carnot ( CQ + ) = 0,5 x (8400 + 6000) = 7200 J DQ

Ericssonrev WWW −≡∆ = 4200 J

Universomin ST ∆ = 4200 J

f) Maximizar rendimento ciclo de Ericsson ηEricsson = ηCarnot ⇒ EricssonW = = 7200 J revW⇒ = 0 Ericssonrev WWW −≡∆⇒ = 0 ⇒ ciclo reversível Universomin ST ∆

Transformar isobáricas em transformações reversíveis, realizadas pondo o ar em contacto com uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas temperaturas diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos práticos, utilizar um recuperador de calor que reinjecta na isobárica C o calor cedido na isobárica A.

9-

a) a1) = 0 ; = 57,6 J KABS∆ BCS∆ -1 ; CDS∆ = 0 ;

DAS∆ = − = − 57,6 J KBCS∆ -1

ABQ = 0 ; BCBC STQ ∆=BC = 23,0 kJ ; = 0 ; = − 17,3 kJ CDQ DAQ

a2) FFFQUniverso SSS ∆+∆=∆ = 6,9 JK-1 > 0 ⇒ ciclo irreversível

a3) η = = 25% ; η)/(1 BCDA TT− Carnot = )/(1 FQFF TT− = 33%

Em Carnot as isotérmicas são reversíveis porque realizadas em contacto directo com as fontes de calor.

b)

10-

a)

WD

WB

p

QB

QCQA

QD

T

V S

b) = 0 J ; = −12x10AW BW 3 J ; = 0 J ; = 6x10CW DW 3 J

c) = 12x10AA UQ ∆= 3 J ; BB WQ −= = 12x103 J ;

ACC QUQ −=∆= = −12x103 J ; DD WQ −= = − 6x103 J

d) = 10 JKUniversoS∆ -1 > 0 ⇒ Ciclo irreversível e)

e1) η = )/()( BADB QQWW ++ = 25%

ηCarnot = = 50% )/(1 maxmin TT−η < ηCarnot porque este ciclo de Stirling é irreversível.

e2) Eliminar irreversibilidades.

Realizar transformações isométricas pondo o ar em contacto com uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas temperaturas diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos práticos, utilizar um recuperador de calor que reinjecta na isométrica A o calor cedido na isométrica C.

11-

a) Utilizar a relação (válida para uma transformação isentrópica num gás perfeito)

nas transformações AB e CD.

constante1 =−γTV

b) 1Otto111 −γ−=−=η

RQQ

q

f

c) Otto11Carnot1111111 η=−>−=−=−=−=η −γ−γ RT

TRT

TTT

TT

TT

C

B

C

B

B

A

C

A

q

f

d)

( ) 02

0

2

FFFQUniverso

>−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−=

+−=∆+∆+∆=∆

CB

CBV

B

C

C

BV

A

AD

C

CBV

A

DA

C

BC

TTTTnC

TT

TTnC

TTT

TTTnC

TQ

TQSSSS

⇒ ciclo irreversível

12-

a) ; RCnRTU V 5,25,2 =⇒= 4,15,2

5,3==

+==γ

RC

RCCC

V

V

V

p

b)

T (K) p (Pa) V (cm3) A 293 1,0x105 300 B 673 1,8x106 37,5 C 1023 2,8x106 37,5 D 445 1,5x105 300

8/0 ACB VVVV === AD VV =

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

B

AAB V

Vpp AA

B

A

BB T

VV

ppT = A

C

A

A

CC p

VV

TTp =

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

CCD V

Vpp AA

D

A

DD T

VV

ppT =

Q (J) W (J)

A → B 0 97,3 B → C 89,6 0 C → D 0 − 147,9 D → A − 39 0

)(5,25,2 BCA

AABCBCBC TT

TVpTnRUQ −=∆=∆=

CDBCABDA WQWQ −−−=

c) %561 =−=ηBC

DAQQ

d)

1-minrot 349060x50,6

367x4cil / ciclo 0,5xcil2

1xciclo / cil/

==

=+

==CDAB WW

PWPf

13-

c) 1Diesel )1(11 −γ

γ

−ργ−ρ

−=ηR

~ 59% (ρ = 2,5 ; = 1,4 ; R = 16) γ

14-

a)

patm

V

p

A

B

C

D

b) TA

D

B

C

A

D

B

C RVV

VV

VTVT

VT

VT≡=⇒=

−γ

−γ

−γ

−γ

11

11

12

12

c)

2

1

atm

atm

atm

atm

atm

atm

111

11

)()(111

TTR

VV

VpVp

VVVV

VpVp

VVpVVp

WW

QQ

TB

C

C

A

B

CA

D

B

A

BC

AD

BC

DA

FQ

FF

−=−=−

−−=

−−

−=−=−=η

d)

( ) 01

11)()(

2

2

atm

1

atm

21Universo

>−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−−−=

−=∆+∆=∆

TT

C

B

A

DBCAD

FQFFFQFF

RRnR

VV

VVnRVV

TpVV

Tp

T

Q

TQ

SSS

O ciclo é irreversível.

15- a)

a1) = 20,8 J KRCC pV −= -1 mol-1

= 20,8 J K2/)( RllC vibV += -1 mol-1 para l = 3 + 2 = 5 e = 0 vibl⇒ Estrutura possível: gás diatómico com graus de liberdade vibracionais congelados.

a2) Gás recebe calor em BC; gás cede calor em DA

)( DABCDABCgás TTTTnCQQW p −+−=+= = 58,2 kJ

a3) [ )1/(1ABBA )/(/ ]−γ= TTVV = 15,6

a4) )/ln( DADA TTnCS p=∆ = − 83,71 J K-1 ;

ADAF /TQS −=∆ = 97 J K-1

⇒ FDAUniverso SSS ∆+∆=∆ > 0 ... O 2º Princípio é respeitado.

b)

C

D

CB

DA

C

D

ADp

ADp

BC

DA

BC TT

TTTT

TT

TTnCTTnC

QQ

QW

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=−

−−=−== 1

)/(1)/(11

)()(

1||||1

||||

Braytonη

C

B

D

A

CBDA TT

TT

ppppTp

=⇒⎩⎨⎧

===

;const /)-(1 γγ

)(11 CarnotBrayton ADC

A

C

D TTTT

TT

>=−<−= ηη

16- a) T4 = 1666,5 K b) V1 / V4 = 11,35

V1 / V2 = 3666,5

c) ∆SUniverso = 5,236x102 J K-1 kg-1 d)

d1) P = 5,04x103 W 12 g s=m& -1

d2) A(t) / A0 = exp(-λt) ~ 1 A actividade da amostra não se reduz significativamente.

17-

a) ηε===εq

fT Q

Q

motoraEnergiaútilEnergia

b) εT,rev = 184,5% c) =qQ& 20 kW ; =ambQ& 30 kW

d) 10,1 JK=∆ UniversoS& -1

18-

a) Teq = 325 K b) W = 2400 kJ

c) η = 12,5% ; ηCarnot = 24%

η < ηCarnot, porque a evolução da temperatura das fontes conduz a uma diminuição da capacidade de realização de trabalho.

19- 269 W

PARTE - V

INTRODUÇÃO À FÍSICA ESTATÍSTICA

1- Calcule a razão entre o número de microestados acessíveis às moléculas de água após e antes da fusão, a 0ºC, dum cubo de gelo com 100g [ver problema III-3a)].

2- Considere um sistema de 3 partículas discerníveis, as quais se podem

distribuir entre três níveis de energia, εi = 0, 1, 2 (para i=0, 1, 2). Assuma que o quantum mínimo de energia é de uma unidade.

I. Admita que a temperatura do sistema é suficientemente elevada para que exista uma equiprobabilidade de ocorrência de qualquer um dos seus microestados. a) Calcule o número total de microestados do sistema. b) Considere os seguintes macroestados:

A: "Três partículas no nível de energia ε0" B: "Uma partícula em cada nível de energia εi" b1) Calcule o número de microestados correspondentes aos macroestados A e B. b2) Calcule a probabilidade de ocorrência dos macroestados A e B.

II. Admita agora que o sistema obedece a uma distribuição de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann, com β = 1 / kBT = ln 2 (em unidades de energia). c) Determine a ocupação média de cada nível de energia. d) Calcule a energia média total do sistema (isto é, a energia interna do

sistema).

e) Calcule a energia média, por partícula, do sistema.

3- Considere um sistema isolado de N partículas distinguíveis (N >> 1), as quais se podem distribuir em 2 estados.

a) Escreva a expressão do número total de microestados do sistema Ω. b) Obtenha a expressão da entropia do sistema, S(x), com x = N1 / N a

fracção de partículas que se encontra no estado 1. [Sugestão: Utilize a fórmula de Stirling e expresse S(x) em função de f(x) = − x ln x − (1- x) ln(1- x)].

c) Esboce graficamente a função S(x) / NkB, no intervalo x∈[0,1]. d) Esboce graficamente a função Ω(x), no intervalo x∈[0,1] e obtenha a sua

expressão aproximada em torno do máximo. [Sugestão: Desenvolva f(x) em torno desse máximo].

e) Mostre que a função Ω(N1), quando tomada em torno do seu máximo,

corresponde de facto a uma distribuição normal com centro em N/2 e desvio padrão σ = (1/2) N1/2. Mostre que a largura a meia altura desta gaussiana é (∆N1)1/2 = 2,35 σ.

f) Aplique os resultados anteriores ao estudo do movimento browniano

(movimento incessante e desordenado de partículas em suspensão num fluido, R. Brown, 1827).

Estime o valor das flutuações de energia das partículas brownianas. [Sugestão: Comece por estimar as flutuações da entropia de equilíbrio quando ∆N1 ~ σ].

4- Considere um sistema magnético isolado de N partículas distinguíveis (N >> 1), cada uma delas com momento magnético µ. O sistema, que tem energia total ε encontra-se submetido à acção dum campo magnético exterior Η, pelo que cada partícula se pode encontrar num dos seguintes níveis de energia potencial:

Nível (+) − µΗ < 0 se µ é paralelo a Η Nível (−) + µΗ > 0 se µ é anti-paralelo a Η

a) Escreva a expressão dos números de partículas N+ e N− em cada um

dos níveis de energia, em função de N, u = µΗ e ε. b) Obtenha a expressão da entropia do sistema. Represente graficamente

S / NkB em função de η = ε / (Nu). [Utilize os resultados do problema V-3].

c) Obtenha a expressão de β = 1 / (kBT) (em que T é a temperatura do

sistema) em função de η e represente graficamente esta função. Interprete.

d) Utilize os resultados de c) para obter as expressões de N+ e N− em

função de β. Represente-as graficamente. Identifique a distribuição estatística de equilíbrio que corresponde às expressões obtidas.

e) Mostre que o momento magnético médio do sistema é dado pela expressão

( )utgheeee

uu

uuβµ=

+−

µ=µ β−β

β−β

a qual tem os seguintes limites assimptóticos

1,~

1,~

>>βµµ

<<ββµµ

use

useu

f) Define-se "magnetização de um material" como

µ= NM . Utilize os resultados da alínea e) para representar graficamente a função M = M(βu), e verifique a lei de Curie

∞→µ

= THTk

NMB

,2

5- Considere a distribuição de velocidades de Maxwell

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=Tk

mTk

mFBB

22/3v

21exp

2)v(

relativa a um gás, de massa 40uma, em equilíbrio termodinâmico à temperatura T.

a) Dê o significado físico de F(v)d3v e de f(v)dv = F(v) 4πv2dv. b) Determine os seguintes valores médios, sobre esta distribuição a T =

300K.

b1) Velocidade, vr b2) Módulo da velocidade, v

b3) Velocidade quadrática, 2v b4) Velocidade mais provável, mpv

c) Utilize o resultado b3) para calcular a energia cinética média de

translação dos átomos. Interprete o resultado obtido com base no Princípio de Equipartição da Energia.

d) Esboce o gráfico de f(v) para T1 = 300K e T2 = 600K.

6- Considere um sistema de volume constante, constituído por N partículas, as

quais se podem distribuir entre dois níveis de energia u1=0 e u2=ε. Suponha que o sistema se encontra em equilíbrio à temperatura T e que segue a distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann.

a) Escreva as expressões das ocupações médias )2,1( =iNi de cada nível

de energia do sistema. b) Obtenha a expressão da energia interna do sistema, e esboce o seu

gráfico em função de T. Especifique as distribuições de partículas associadas aos limites assimptóticos T→ 0 e T→ ∞ .

c) Suponha que o sistema se encontra num macroestado de equilíbrio,

correspondente a uma distribuição de N/2 partículas em cada nível de energia. Calcule a entropia desse macroestado. Qual será, neste caso, a probabilidade de ocorrência dum qualquer microestado do sistema?

7- Considere um sistema de volume constante, constituído por N = 6000x1021 partículas distinguíveis, as quais se podem distribuir entre três níveis de energia: u1 = 0, u2 = ε , u3 = 2ε , com ε = 10-20J.

a) O sistema encontra-se inicialmente num macroestado A, correspondente a

N1

A = 5300x1021 partículas no nível 1 de energia N2

A = 400x1021 partículas no nível 2 de energia N3

A = 300x1021 partículas no nível 3 de energia a1) Calcule a energia interna do sistema.

a2) Escreva a expressão do número de microestados ΩA, correspondente ao macroestado A.

b) Admita que o sistema se encontra isolado do exterior (isto é, que a sua energia interna U é constante). Nestas condições, deixa-se o sistema evoluir para o seu macroestado de equilíbrio X, correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann.

b1) Calcule a ocupação média de equilíbrio de cada nível de energia, Ni

X (i=1,2,3) e a temperatura de equilíbrio TX do sistema. b2) Calcule a variação de entropia do sistema na evolução A - X.

c) Admita agora que o sistema deixa de estar isolado. Nestas condições,

eleva-se a temperatura do sistema até maximizar a sua energia interna (mantendo-se as condições de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann). c1) Calcule o valor máximo da energia interna do sistema, Umax, e a ocupação média de cada nível de energia, Ni

max, para U = Umax. c2) Esboce o gráfico de Ni (i=1,2,3) em função de T.

8- Considere um sistema de N = 6x1023 partículas distinguíveis, as quais se podem distribuir em três estados i = 1,2,3.

a) Suponha que o sistema se encontra isolado.

a1) Escreva a expressão do número total de microestados acessíveis ao sistema.

a2) Escreva a expressão geral da entropia do sistema, quando este se encontra num macroestado genérico com

N1 partículas no estado i = 1 N2 partículas no estado i = 2 N3 partículas no estado i = 3

a3) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que corresponde(m) ao seu mínimo de entropia. Calcule esse valor mínimo.

a4) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que corresponde(m) ao seu máximo de entropia. Calcule esse valor máximo.

b) Suponha que os três estados do sistema correspondem de facto a três

níveis de energia, tais que u1 = 0, u2 = ε e u3 = 2ε, com ε = 10−20 J. Nessas condições, admita que o sistema é posto em contacto com uma fonte de calor à temperatura T, evoluindo para um macroestado de equilíbrio correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann.

b1) Calcule a ocupação média de cada nível de energia e a energia interna do sistema, nos seguintes limites:

b1a) Baixas temperaturas, T → 0.

b2b) Altas temperaturas, T → ∞.

b2) Esboce o gráfico de Ni (i=1,2,3) em função de T.

9- O modelo de atmosfera isotérmica admite que, dentro das variações de

altitude consideradas, o ar se comporta como um gás perfeito em equilíbrio térmico à temperatura T, sob a acção de um campo gravítico de aceleração constante g.

a) Escreva a expressão da energia de cada partícula (de massa m) do ar. b) Obtenha a expressão da densidade do ar em função da altitude z.

10- Considere um sistema de N átomos distinguíveis (N >> 1), em equilíbrio térmico à temperatura T, os quais se encontram imersos num campo magnético de intensidade H. Os valores discretos da energia magnética de cada átomo são dados pela expressão

Hmm α−=ε ,

onde é uma constante positiva e é um número inteiro que pode assumir os valores

α m

JJJJJJm ,1,2...,,2,1, −−+−+−−= ,

num total de 12 +J níveis de energia ( J é um inteiro, associado à quantificação do momento angular).

a) Escreva a expressão da ocupação média ),( THN m de cada nível de energia do sistema.

m

b) Mostre que

HTHzTNkTHM B ∂

∂=

),(ln),( ,

onde ),(),( THmNTHM α≡ representa a magnetização do sistema (sendo ),( THm o valor médio de sobre a distribuição de átomos), e m

),( THz é a função de partição para os níveis de energia magnética de um átomo.

c) Admita que o sistema se encontra no limite de muito baixas

temperaturas, caracterizado por 1>>α TKH B . Utilize argumentos físicos para escrever a expressão assimptótica da magnetização do sistema, neste caso limite.

d) Admita que o sistema se encontra no limite de muito altas temperaturas,

caracterizado por 1<<α TKH B . Obtenha a expressão da entropia do sistema neste caso limite, justificando os cálculos que efectuar. [Sugestão: comece por escrever, para este caso particular, a expressão do número total de microestados do sistema.]

11- Considere um plasma (gás ionizado) produzido no interior duma lâmpada fluorescente cilíndrica de raio R = 1cm.

Suponha que os electrões desse plasma se encontram em equilíbrio com uma temperatura Te = 105K e uma densidade n0 = 1019 m-3 no eixo da lâmpada (r = 0), estando sujeitos a uma energia potencial

2

0 )/()( RrUrU =

com U0 = 4,2x10-18 J.

a) Calcule a velocidade quadrática média dos electrões no eixo da lâmpada.

b) Escreva a expressão de equilíbrio da densidade de electrões (ne) em

função de r, e represente-a graficamente. c) Suponha que a temperatura dos electrões se eleva até Te'=106K,

mantendo-se constante o número total de electrões dentro da lâmpada. Estime o novo valor n0' da densidade de equilíbrio dos electrões em r= 0.

12- Considere um gás monoatómico, com massa molar M = 40 g mol-1, que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T = 300K.

a) Indique, justificando, qual é a velocidade média xV dos átomos do gás,

segundo a direcçãoOx .

b) Calcule a velocidade quadrática média 2, xqx VV ≡ dos átomos do gás,

segundo a mesma direcçãoOx .

c) Pretende-se agora estudar o efeito da distribuição de velocidades do gás sobre a sua radiação, emitida segundo a direcção . Um átomo em repouso emitiria radiação a uma frequência bem definida ν

Ox

Ox

0 = 3x1015 Hz. Contudo, a frequência da radiação emitida na direcção , por um átomo com velocidade , é dada pela expressão do efeito Doppler xV

( )cVx+ν=ν 10

onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Em consequência, a radiação observada é caracterizada por uma distribuição em frequência, sendo νν dI )( a fracção de intensidade luminosa no intervalo de frequência entre ν e ν+ν d . Para a radiação observada:

c1) Calcule a frequência média ν e o desvio quadrático médio em

frequência 2)()( ν−ν≡ν∆ q , para a temperatura de equilíbrio T=300K. [Sugestão: utilize os resultados das alíneas a) e b).]

c2) Mostre que

ν⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

νν−ν

−ν=νν dRT

McIdI 20

20

2

0 2)(exp)()(

onde R é a constante dos gases.

c3) Obtenha a expressão do desvio de intensidade luminosa, [ )()()( 0 ν− ]ν≡ν∆ III , no limite de altas temperaturas.

13- O modelo de Einstein (1907) permite obter uma expressão para o calor específico da rede cristalina de um sólido.

O modelo admite que cada um dos N átomos da rede cristalina se encontra ligado a três osciladores harmónicos clássicos independentes (um por cada grau de liberdade), os quais oscilam todos com a mesma frequência angular ω. O sistema de 3N osciladores harmónicos distribui-se segundo uma estatística de Maxwell-Boltzmann segundo um conjunto de níveis quânticos de energia

)...,,2,1,0()( 2

1 ∞=ω+= nnEn h , onde π≡ 2/hh .

a) Mostre que a função de partição para um oscilador, em equilíbrio à

temperatura T, é dada pela expressão

)exp(1)exp(

)( 21

ωβ−−

ωβ−=β

h

hz

onde . TkB/1≡β

[Nota: recorde que se tem ∑∞

=−

=0

11

n

n

rr , para uma série geométrica de

razão 1<r .]

b) Mostre que a energia interna do sólido é dada pela expressão

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ωβ

ω+

ω=β

1)exp(23)(

h

hhNU .

[Sugestão: comece por obter a relação β∂

β∂−=β

)(ln3)( zNU .]

c) Considere a grandeza BE kω≡Θ h , a qual se designa como “temperatura de Einstein”.

c1) Obtenha, em função da razão TE /Θ , a capacidade calorífica a volume constante cV do sólido.

c2) Obtenha e interprete fisicamente os seguintes limites assimptóticos de cV

c2.1) )/( ∞→Θ Tc EV . c2.2) . )0/( →Θ Tc EV

14- Considere um recipiente cúbico de lado L no interior do qual se encontram N iões positivos de carga q, em equilíbrio térmico à temperatura T. O sistema está sujeito à acção dum campo electrostático constante

(ver figura), podendo-se considerar que cada ião tem uma energia potencial electrostática

xeEE rr=

xqExp −=ε )( . Admita que os iões seguem uma estatística clássica de Maxwell-Boltzmann.

E→

xL0

a) Escreva, justificando, a expressão da energia cinética média dos iões em função da sua temperatura.

b) Mostre que o perfil da densidade iónica (número de iões por unidade de

volume), entre Lx ≤≤0 , tem a forma

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

1)/exp(/

)/exp()(

30

0

TkqELTkqEL

LNn

TkqExnxn

B

B

B

c) Obtenha as expressões aproximadas de )(xn nos limites

e . Esboce os respectivos gráficos e interprete. qELTkB >>

qELTkB <<

DADOS E CONSTANTES

kB = 1,38x10-23 J K-1 R = 8,314 J K-1 mol-1

h = 6,626x10-34 J s

c = 3x108 ms-1

g = 9,8 ms-2

me = 9,11x10-31 kg

Fórmula de Stirling )1(ln!ln >>−≈ NNNNN

[ ]∫ −−=−R

aRa

rdrar0

22 )exp(121)exp(

Soluções de questões seleccionadas

1- ( )24

gelo

10x9,8exp=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

Ω

i

f

3-

a) N2=Ω b) )(xfNkS B=

f) TkE B21

≈∆

4-

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

=± uNN m

21

b) ( ) ( ) ( ) ([ ]η+η++η−η−−=η 1ln11ln1

212ln)(

BNkS )

c) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛η+η−

=β11ln

21u

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

β−β

β−

−

β−β

β

+

uu

u

uu

u

eeNeN

eeNeN

5-

b) b1) 0v =

r

b2) 2/18v ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

mTkB = 398,5 ms-1

b3) 2/1

2 3v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mTkB = 432,5 ms-1

b4) 2/1

mp2v ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

mTkB = 353,1 ms-1

c) Tkm Bk 23v

21 2 ==ε = 6,21x10-21 J

6-

a) Tk

eNeN

eNN

B

1

1

1

2

1≡β

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

βε−

βε−

βε−

b) βε+ε

=e

NU1

⎩⎨⎧

==

→∞→β→0

;0)(:)(02

1

NNN

TUT

Distribuição concentrada no nível fundamental

2;

2)(:)0( 21

NNNNTUT ==ε→→β∞→

Distribuição uniforme

c) NsB pNkS212ln ≈≈

7-

a) a1) U = 104 J

a2) !10x300!10x400!10x5300

!10x6000212121

21=Ω

b)

b1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≈

≈

≈

=

213

212

211

10x116N

10x768N

10x5116N

K382

X

X

XXT

b2) = 2,9 JKXAS −∆ -1

c)

c1) 3/NNN;J6x10 max

3max

2max

14

max NU ==== 8-

a) a1) microestados

231063 xT =Ω

a2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Ω

Ω=

!!!!

ln

321 NNNN

kS B

a3) 01ln!0!0!

!ln === BB kN

NkS

Configuração m1N partículas no estado i = 1 0 partículas no estado i = 2 0 partículas no estado i = 3

Configuração m20 partículas no estado i = 1 N partículas no estado i = 2 0 partículas no estado i = 3 Configuração m30 partículas no estado i = 1 0 partículas no estado i = 2 N partículas no estado i = 3

a4) [ ]

3ln)!3/(

!ln 3 BB NkN

NkS ≈=

Configuração M N/3 partículas no estado i = 1 N/3 partículas no estado i = 2 N/3 partículas no estado i = 3

b)

b1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=β++

= β−β−

β−

Tkee

NeN

B

uu

u

i

/11 21

1

b1a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≈=

≈=

∞−

≠

=

01

1

1

01

NeN

NNeN

i

i

∑=

===3

11 0

iii uNuNU

b1b) 3111NNN i =

++= ∑

=

=ε==3

1

J600033

iii

NuNU

9-

a) mgzm +=ε 2v21

b) )exp()0()( mgzznzn β−==

10-

a) ),(

)/exp(

)/exp(

)/exp(),(

THzTkHmN

TkHm

TkHmNTHN B

mB

Bm

α=

α

α=∑

b)

HTHzTNk

Hz

zTNk

TkHmH

TNkz

NmTHM

BB

Bm

Bm

n

∂∂

=∂∂

=

α∂∂

=α= ∑∑),(ln

)/exp(1),(

c) No limite de muito baixas temperaturas, o sistema de átomos encontra-

se todo no nível mais baixo de energia, pelo que

JNJN

NNmm

m

n === ∑ e JNTHM α=→ )0,(

d) No limite de muito altas temperaturas, ocorre uma equidistribuição dos

átomos por todos os 2J+1 níveis de energia do sistema. Assim

( )[ ] 12!12!),(

++=∞→Ω JJN

NTH (átomos distinguíveis)

( )12ln),(ln),( +≈∞→Ω=∞→ JNkTHkTHS BB

12- a) xV = 0 m s-1

(Distribuição isotrópica de velocidades) b) MRTV qx =, = 250 m s-1

(Teorema da equipartição da energia segundo ) Ox

c)

c1) =ν=ν 0 3x1015 Hz =ν

=ν∆MRT

cq0)( 2,5x109 Hz

c2) O resultado obtém-se directamente a partir da distribuição de velocidades de Maxwell para , utilizando a expressão do efeito Doppler.

xV

c3) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

νν−ν

ν≅ν∆ 20

20

2

0 2)()()(

RTMcII

13-

a)

( ) [ ]

)exp(1)exp(

)exp()exp(exp)(

21

021

0

ωβ−−

ωβ−=

=ωβ−ωβ−=β−=β ∑∑∞

=

∞

=

h

h

hh

n

n

nnEz

b)

( )

( )[ ] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ωβ

ω+

ω=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ωβ−−−ωβ−

β∂∂

−=

=β∂

β∂−=ε=β

1exp23exp1ln

213

ln33)( oscilador

h

hhhh NN

zNNU

c)

c1) [ ]2

2

1)/exp()/exp(3)/(

−Θ

Θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

=ΘT

TT

NkTCE

EEBEV

c2.1) 0)/exp(

13)/(2

→Θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

≈∞→ΘTT

NkTCE

EBEV

Todos os osciladores se encontram no estado de energia mais baixo do sistema (congelamento dos graus de liberdade vibracionais, a muito baixas temperaturas).

c2.1) BEV NkTC 3)0/( ≈→Θ

Lei clássica de Dulong e Petit (equipartição da energia por graus de liberdade vibracionais).

14-

a) Distribuição de velocidades de Maxwell a 3D

⇒ TkN Bk23

=ε (Teorema da equipartição da energia)

c) qELTkLNxn B >>≈ ,)( 3

Distribuição uniforme (os iões não "sentem" o efeito do campo)

qELTkLxxnLxxn

B <<⎩⎨⎧

=∞≈≠≈

,,)(,0)(

Distribuição delta de Dirac (os iões só "sentem" o efeito do campo)

n(x)

N/L3

L 0 x

n(x)

L 0 x

PARTE - VI

TRANSPORTE DE ENERGIA

GÁS DE FOTÕES

1- Uma placa infinita é constituída por um material de condutividade térmica 2 W m-1 K-1. A placa tem 10cm de espessura e a sua face mais quente encontra-se a 60°C. Calcule a temperatura da sua face mais fria, sabendo que a potência calorífica por unidade de área que a atravessa é 80 W m-2.

2- Considere um cilindro metálico homogéneo com raio R = 20cm, à temperatura Tint = 500K, o qual se revestiu exteriormente de um isolante de condutividade k = 0,5 W m-1 K-1 e espessura e = 2cm.

a) Obtenha a expressão da resistência térmica de um troço do isolante de

comprimento L. b) Calcule a potência térmica, por unidade de comprimento, que atravessa

o isolante, quando a temperatura exterior do sistema é Text = 300K.

c) Represente graficamente o perfil radial de temperatura no interior do isolante.

3- A figura representa um cilindro metálico muito longo, de raio Rint = 10mm, à

temperatura Tint = 500K, o qual se revestiu exteriormente com um isolante de condutividade k = 0,1 W m-1 K-1 e espessura e = 5mm. O coeficiente de convecção na face exterior do sistema metal + isolante é hext = 5 W m-2 K-1.

Rint = 10mm Rext = Rint + e = 15mm

a) Obtenha a expressão da resistência térmica Rth de um troço de comprimento L do sistema.

b) Calcule a potência térmica por unidade de comprimento, que atravessa

radialmente o sistema, quando a temperatura exterior é Text = 300K. c) Calcule, justificando, a espessura e0 do isolante a partir da qual o fluxo

radial de calor diminui com o aumento de e. [Sugestão: comece por mostrar que a função Rth(e) tem um mínimo].

4- Uma sala é aquecida por forma a ter uma temperatura constante e igual a 22°C. No exterior, a temperatura ambiente é de 12°C. A sala tem uma janela composta por dois vidros (cada um com uma espessura de 4mm), separados por uma caixa de ar de 1cm (janela de vidro duplo).

A condutividade térmica do vidro é 0,8 W m-1 K-1, o coeficiente de convecção na face interior da janela é 8 W m-2 K-1, na sua face exterior é 25 W m-2 K-1 (há vento! - convecção forçada) e na caixa de ar é 7 W m-2 K-1. a) Admita que a janela tem uma área de 1m2 de vidro, desprezando-se a

presença da sua caixilharia.

a1) Calcule a potência térmica que atravessa a janela. a2) Esboce graficamente o perfil de temperatura através do vidro da janela, desde o interior até ao exterior da sala.

b) Pretende-se agora estudar o efeito da caixilharia da janela nas perdas

de potência térmica. Admita que a caixilharia tem uma espessura de 2,5cm, e que a sua presença faz aumentar em 10% a área total da janela (que continua a ter uma superfície de 1m2 de vidro). Considere que a caixilharia é de alumínio, com uma condutividade equivalente − tendo em conta que não é maciço − de 5 W m-1 K-1.

b1) Calcule a potência térmica que atravessa a janela, se se considerar a presença da caixilharia. b2) Esboce graficamente o perfil de temperatura através da caixilharia da janela, desde o interior até ao exterior da sala. Compare com o gráfico obtido em a2), e indique o que poderá suceder na superfície interior da caixilharia.

5- Um tubo cilíndrico de diâmetro D = 2cm, onde passa água quente com um caudal de 0,5 kg s-1 e uma temperatura de 80°C, é utilizado para aquecer uma estufa que se encontra a 40°C. O tubo tem espessura desprezável pelo que a sua área exterior é igual à área interior. Considere um troço de 1m de tubo, em que pode considerar a temperatura da água constante.

a) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no interior

do tubo (regime forçado). b) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no exterior

do tubo (convecção natural).

c) Calcule a potência calorífica cedida pelo tubo à estufa.

d) Confirme as hipóteses que utilizou para resolver as alíneas anteriores. (Ver tabelas abaixo)

Definições:

Número de Reynolds

Número de Prandl

Número de Grashof

Número de Nusselt

Re ≡ 4 (dm/dt) /π µ D Pr ≡ cp µ / k Gr ≡ g ρ2 β ∆T D3 / µ2 Nu ≡ h D / k Convecção natural de ar em tubos cilíndricos horizontais: β = 1/Tar g = 9,8m s-2

Se Gr < 109, h = 1,32 (∆T / D)0,25 (regime laminar) Se Gr > 109, h = 1,24 ∆T0,33 (regime turbulento) Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos horizontais: Se Re < 2300, Nu = 3,657 (regime laminar) Se Re > 2300, Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,4 (regime turbulento) Tabelas:

Propriedades do ar seco à pressão atmosféricaT (K) ρ (kg m-3) Pr µ x105 (kg m-1 s-1) k x102 (W m-1 K-1)100 3,60 0,77 0,69 0,9 150 2,37 0,75 1,03 1,4 200 1,77 0,74 1,33 1,8 250 1,41 0,72 1,49 2,2 300 1,18 0,71 1,98 2,6 350 1,00 0,70 2,08 3,0 400 1,01 0,69 2,29 3,4

Propriedades da água saturada T (°C) ρ (kg m-3) Pr µ/ρ x106 (m2 s-1) k (W.m-1.K-1) cp (kJ kg-1 K-1)

20 1001 7,0 1,01 0,60 4,182 40 995 4,3 0,66 0,63 4,178 60 985 3,0 0,48 0,65 4,184 80 974 2,2 0,36 0,67 4,196 100 961 1,7 0,29 0,68 4,216

6- Considere uma sala em equilíbrio térmico, a qual é aquecida por um permutador de calor onde circula água quente, num regime de escoamento estacionário. O permutador é constituído por um conjunto de 10 tubos cilíndricos, paralelos e verticais, cada um com raio interior rin = 2cm, raio exterior rex = 3cm, e comprimento L = 1m. As superfícies interior e exterior de cada tubo encontram-se às temperaturas Tin = 29°C e Tex = 28,99°C, respectivamente. Admita que a temperatura da água, ao longo de cada tubo, se pode considerar constante.

Sabe-se que a potência térmica trocada por convecção entre o permutador de calor e o ar da sala é 100W. O coeficiente de transferência de energia por convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é hex = 10 W m-2 K-1. O coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no interior de cada tubo é hin = 1000 W m-2 K-1.

a) Calcule a temperatura da sala devido à presença do permutador de calor.

b) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo.

c) Mostre que a resistência térmica (radial) de condução Rcond de cada tubo

cilíndrico é dada por

( )Lk

rrRπ

=2

/ln inexcond

onde k é a condutividade térmica do material de cada tubo. Utilize estes resultados para calcular k. [Sugestão: utilize a lei de Fourier

r raio de cilindro dum lateral área)(

)(

LrAdrdTrkA

dtdQ

−=

e integre-a radialmente.]

7- Uma máquina é construída com base no ciclo descrito no problema IV-2, sofrendo o ar igualmente transformações isotérmicas às temperaturas TQ = 400K e TF = 300K. Na máquina, o calor é trocado com as fontes de calor (nas transformações isotérmicas) através de dois permutadores de placas. Nestes permutadores, o ar está separado da água (fonte quente ou fonte fria) por placas metálicas rectangulares de condutividade k = 20 W m-1 K-1 e espessura l = 2mm. Cada um dos permutadores tem uma área de 1m2, um coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado do ar har = 102

W m-2 K-1 e um coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado da água hágua = 104 W m-2 K-1.

a) Calcule a resistência térmica total R, para a transferência de energia

entre o ar e a água. b) Calcule as temperaturas TFQ e TFF das fontes (água quente e água fria),

admitindo que as potências térmicas trocadas com as fontes quente e fria são QQ& = 2kW e FQ& = 1,5kW, respectivamente.

c) Calcule a variação de entropia por unidade de tempo do Universo devido

ao funcionamento da máquina. Conclua da reversibilidade do ciclo.

d) Se fosse incumbido de melhorar o rendimento desta máquina que alterações sugeriria?

8- Considere uma sala numa

situação térmica estacionária, a qual é aquecida por um sistema de chão radiante, com os ladrilhos do chão assentes sobre um conjunto de tubos horizontais onde circula água quente. Admita que a temperatura da água é constante ao longo de cada tubo (de raio r = 2cm e espessura desprezável).

Os ladrilhos têm uma espessura l = 2cm e uma condutividade térmica k = 2 W m-1 K-1. A temperatura do ar da sala é Tar = 21°C, a temperatura das paredes e do tecto é Tparedes = 17°C e a temperatura da superfície superior dos ladrilhos é Tchão = 27°C. Estas temperaturas mantêm-se constantes durante as trocas de energias entre os vários componentes do sistema. O chão de ladrilhos tem uma emissividade 0,75 e uma área de 20m2. As paredes e o tecto podem ser considerados como corpos negros. O coeficiente de transferência de energia por convecção entre o chão e o ar da sala é h = 10 W m-2 K-1.

a) Calcule a potência , trocada por convecção entre o chão e o ar da sala.

convQ&

b) Calcule a potência , trocada por radiação entre o chão e o conjunto paredes e tecto.

radQ&

c) Calcule a temperatura da superfície inferior dos ladrilhos. d) Estime o caudal mínimo de água quente (em L h-1), que garante uma

variação máxima de 1°C para a sua temperatura, no interior de cada tubo.

e) Explique porque motivo existe uma diferença entre a temperatura do ar

da sala e a temperatura das suas paredes e tecto. 9- Considere uma sala numa

situação térmica estacionária, a qual é aquecida por um permutador de calor onde circula água quente. O permutador de calor é constituído por um conjunto de 10 tubos cilíndricos, paralelos e verticais (ver esquema junto), cada um com raio r = 3cm, comprimento L = 1m e espessura desprezável. Admita que a temperatura da água, ao longo de cada tubo, se pode considerar constante.

A temperatura do ar da sala é Tar = 22°C, a temperatura da sua superfície (paredes, chão e tecto) é Tsup = 17°C (ignora-se a pequena porção de parede por detrás do permutador), e a temperatura da superfície de cada tubo é Ttubo = 29°C. O coeficiente de transferência de energia por convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é hex = 10 W m-2 K-1. O coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no interior de cada tubo é hin = 1000 W m-2 K-1. Considere que, quer o permutador de calor, quer a superfície da sala, são corpos negros.

IN

OUT

1 m

a) Calcule a potência , trocada por convecção entre o permutador de calor e o ar da sala.

convQ&

b) Calcule a potência , trocada por radiação entre o permutador de

calor e a superfície da sala, considerando que a área efectiva radiante do permutador é S = 0,75m

radQ&

2.

c) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo.

10- Considere um forno eléctrico, com uma área aquecida total de 1m2, dentro do qual se pretende assar um frango com uma área exposta de 0,05m2. As trocas de energia entre o forno e o frango são controladas por radiação, podendo-se desprezar a convecção do ar no interior do forno. Suponha que o forno é um corpo negro e que o frango tem emissividade 0,8. A superfície aquecida do forno encontra-se isolada do exterior através de um material de 4cm de espessura e condutividade térmica 0,04 W m-1 K-1. O forno encontra-se numa cozinha cuja temperatura ambiente é Tamb = 27°C, e o coeficiente de convecção médio do lado exterior do forno é 2 W m-2 K-1. Quando o frango está a assar a sua temperatura é Tfrango = 102°C, para uma temperatura do forno Tforno = 250°C.

a) Apresente um esquema do circuito térmico do problema, onde deverá

assinalar as suas diferentes temperaturas. b) Calcule a potência térmica perdida pelo forno para a cozinha.

c) Calcule a temperatura da superfície exterior do forno.

d) Admita que toda a radiação emitida pelo frango chega às paredes do

forno.

d1) Calcule a potência térmica trocada entre o forno e o frango. d2) Calcule a fracção da potência de radiação emitida pelo forno, que incide no frango. [Sugestão: utilize o Teorema da Reciprocidade.]

11- Para armazenar um líquido a certa temperatura

utiliza-se um reservatório com parede dupla. A espessura de cada uma das paredes é 5mm e o espaço entre elas, preenchido com ar, tem uma espessura de 2mm. Admita que o volume do reservatório é suficientemente grande de modo a poder considerar-se que as paredes (de condutividade térmica kparede = 2 W m-1 K-1) têm todas a mesma área de 1m2. Os coeficientes de convecção no interior do líquido e na caixa de ar são, respectivamente, hliq = 10 W m-2 K-1 e har = 5 W m-2 K-1. As paredes interiores (espelhadas) têm todas emissividade nula, enquanto que a parede exterior tem emissividade 0,8.

O reservatório encontra-se no interior duma sala, havendo lugar a trocas de energia térmica por radiação com as paredes da sala e por convecção com o ar da sala.

a) Apresente o esquema do circuito térmico do sistema líquido-reservatório-sala, identificando as suas resistências.

b) Calcule a potência térmica que atravessa o reservatório, sabendo

que a temperatura do líquido é 65ºC e que a temperatura da superfície exterior do reservatório é 30ºC.

reserQ&

c) Calcule a potência trocada por radiação entre a parede exterior do

reservatório e as superfícies da sala (tecto, paredes, …), sabendo que estas se encontram a uma temperatura de 20ºC. Considere que as superfícies da sala se comportam como um corpo negro.

radQ&

d) Calcule o coeficiente de convecção do ar existente em volta do

reservatório, sabendo que a temperatura do ar é 15ºC. 12- A radiação de fundo do Universo foi descoberta por

Penzias e Wilson em 1964, quando tentavam medir os sinais de rádio emitidos por uma galáxia. Essa radiação (semelhante à dum corpo negro à temperatura de 3K), é uma das provas mais importantes da validade do modelo Big Bang do Universo.

a) Calcule o comprimento de onda que corresponde

ao máximo de intensidade da radiação de fundo do Universo.

b) Calcule a potência global por unidade de área, associada à radiação de

fundo do Universo. 13- Equipa-se uma máquina fotográfica com um filme preparado para

reproduzir correctamente as cores de imagens em dias de Sol (TSol ~ 6000K). Caracterize a cor das fotografias obtidas com esse filme, dentro de uma casa iluminada com lâmpadas de tungsténio (TTung ~ 3200K). Indique como deve proceder, se quiser tirar fotografias de melhor qualidade dentro de casa (sem mudar de filme!).

14- Um campista possui uma tenda que tem o tecto interior em plástico

transparente. Numa noite de Verão, num planalto da Serra da Estrela, decidiu não montar o tecto exterior e adormeceu a ver as estrelas. Além disso, como estava uma temperatura agradável de 22ºC, deitou-se em calções. Suponha que o efeito do "céu" (considerado como um corpo negro) na superfície da pele do campista se traduz por uma temperatura equivalente Tcéu = −5ºC (sem atmosfera seria ~3 K!). A área de pele do campista voltada para cima é de 0,9m2 e a emissividade da sua pele é 0,9.

a) Calcule o comprimento de onda correspondente à intensidade máxima

de radiação emitida pelo campista, sabendo que a superfície da sua pele estava a uma temperatura Tcamp = 35ºC.

b) Escreva a expressão da potência calorífica perdida pelo campista, em

função de Tcéu e Tcamp, das emissividades do céu e do campista, e da superfície de pele do campista.

c) Calcule a potência calorífica perdida pelo campista, devido às trocas de

energia por radiação entre este e o céu. d) Admita que o metabolismo de uma pessoa deitada fornece ao corpo

uma potência de 50W. Calcule a temperatura de equilíbrio da pele do campista, se se desprezarem as trocas de energia com o ar ambiente e o solo.

e) O campista acorda a meio da noite (enregelado!) e puxa um cobertor

que tem a mesma emissividade da pele e uma espessura de 2cm. Calcule o valor da condutividade térmica do cobertor que garante, em equilíbrio, que o campista não sente frio. [Sugestão: recorde que o metabolismo do campista fornece 50W e note que a temperatura da superfície exterior do cobertor deve ser igual ao resultado da alínea d)].

15- Pretende-se estudar o transporte de energia por radiação para o sistema Sol-Terra, admitindo que estes dois astros se podem tratar como corpos negros.

Considere que o Sol é uma esfera de raio é RS = 7x108m e temperatura superficial TS = 6000K. Considere que a Terra é uma esfera de raio é RT = 6,4x106m e temperatura superficial TT. Sabe-se que a distância Sol-Terra é d = 1,5x1011m.

a) Calcule a energia dos fotões responsáveis pela intensidade máxima da

radiação emitida pelo Sol, e indique em que banda espectral se situam (UV, visível, IV, ...).

b) Calcule a potência total radiada pelo Sol.

c) Mostre que a fracção de potência radiada pelo Sol que é absorvida pela

Terra é dada por

422

SST

abs TRdRP π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛σ=

d) Admita que a Terra se encontra em equilíbrio térmico de radiação,

havendo uma igualdade entre as potências absorvida e radiada pela Terra. Utilize esta condição de equilíbrio, para calcular a temperatura superficial da Terra TT.

e) Deduza a expressão e calcule o valor da

pressão de radiação exercida pelos fotões emitidos pelo Sol, sabendo que um gás de fotões em equilíbrio à temperatura T tem

uma entropia V3Tc

S 434 σ

= e uma

energia interna TSU . 43

=

16- Considere um campo de radiação em equilíbrio à temperatura T, no interior dum volume V (de paredes totalmente reflectoras).

a) Deduza a termodinâmica desse sistema de fotões.

a1) Mostre que a energia interna deste sistema é dada pela expressão 44 VT

cU σ

=

a2) Mostre que a entropia deste sistema é dada pela expressão

3434 VT

cS σ

=

[Sugestão: utilize a expressão do Primeiro Princípio da Termodinâmica pdVTdSdU −= , e integre-o a seguindo um caminho a volume

constante].

a3) Utilize a expressão geral

SVUp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−=

para mostrar que a pressão do campo de radiação é dada por

VUp

31

=

a3.1) Compare esta expressão com a relação equivalente num gás perfeito.

a3.2) Obtenha a equação de estado dum sistema de fotões à temperatura T.

b) Admita que o sistema se encontra no interior duma esfera de raio R, a

qual se expande de forma isentrópica.

b1) Encontre a relação entre o raio da esfera e a temperatura do campo de radiação no seu interior.

b2) Suponha que a esfera representa o Universo. De acordo com o modelo Big Bang, a radiação deixou de interagir com a matéria (que se tornou praticamente transparente aos fotões) quando a temperatura do Universo atingiu 3000K (700000 anos após o Big Bang). Admitindo que, a partir desse instante, a expansão do Universo se realiza de forma isentrópica, estime de quanto aumentou o raio do Universo até aos dias de hoje (~2x1010 anos após o Big Bang, ver problema VI-12).

17- Considere um recipiente de volume V = 1L (de paredes totalmente reflectoras), no interior do qual existem N = 1023 átomos dum gás perfeito monoatómico, em equilibrio à temperatura T = 1000K com um gás de fotões.

a) Calcular a pressão total no interior do recipiente. b) Calcule a capacidade calorífica a volume constante, cV, do sistema.

Estime a temperatura para a qual o gás de fotões e o gás perfeito contribuem de forma igual para cV.

18- Considere um gás de fotões, o qual se encontra em equilíbrio à

temperatura T = 1000K, no interior de um recipiente cúbico de volume V = 0,001m3.

a) Calcule a potência Prad radiada através da superfície do cubo para o

exterior (admita que o cubo é um corpo negro). b) Admita que o volume do recipiente aumenta até V’ = 4V, o que provoca

uma expansão livre do gás de fotões.

b1) Calcule a temperatura final T’ do gás de fotões, após a expansão.

b2) Sejam λmax e λ’max os comprimentos de onda correspondentes à energia máxima do espectro de radiação, antes e depois da expansão. Calcule a variação relativa ( ) maxmaxmax /' λλ−λ , em consequência da expansão.

19- Considere uma transição óptica de frequência νji = 6x1014Hz , entre dois

níveis de energia Ej e Ei de um átomo. Sabe-se que o tempo médio de vida do nível superior j é de 50ns e que a degenerescência quântica dos níveis é gi = 1 e gj = 3.

a) Calcule a diferença de energia entre os dois níveis i e j. b) Calcule os valores dos coeficientes de Einstein para as transições

radiativas entre os dois níveis. Indique qual dos mecanismos de emissão de radiação é dominante, à temperatura ambiente T = 300K.

20- Considere o campo de radiação de equilíbrio de um gás atómico clássico, à

temperatura ambiente T = 300K.

a) Calcule o comprimento de onda λmax dos fotões responsáveis pelo máximo de energia do campo de radiação.

b) Calcule a energia interna, por unidade de volume, do campo de

radiação. c) Identifique, justificando com cálculos, qual o mecanismo dominante de

emissão (espontânea / estimulada) entre dois níveis de energia i e j > i dos átomos do gás, em equilíbrio com os fotões de comprimento de onda λmax.

21- Considere um varão metálico cilíndrico, termicamente isolado, com secção

S = 100cm2. a) Admita que o varão tem comprimento L = 1m, e que as suas

extremidades x = 0 e x = L são mantidas às temperaturas T1 = 300K e T2 = 280K, respectivamente. a1) Obtenha a lei de variação da temperatura com a posição, T(x). a2) Calcule o valor da condutividade k do material que constitui o varão metálico, sabendo que este é percorrido por uma corrente térmica de intensidade 2400 J min-1.

b) Admita que a extremidade x = 0 do varão (que agora se supõe de comprimento muito grande, L >> S1/2) está sujeita a uma temperatura que varia segundo a lei T(0,t) = T0 + A cos(ωt), com um período anual T = 2π / ω = 365 dias. b1) Mostre que a temperatura ao longo do varão segue uma lei de variação do tipo

T(x,t) = T0 + A exp(−mx) cos[ωt - mx] (onde m é uma constante). Obtenha m em função de ω e da difusividade térmica do material, Dth = k / ρ C (ρ representa a sua massa volúmica e C o seu calor específico mássico). [Sugestão: utilize notação complexa.]

b2) Determinam-se experimentalmente as amplitudes de oscilação da temperatura, em distintas posições do varão, obtendo-se os resultados que se apresentam na tabela seguinte

Posição (m) 0 1 2 3 4 Amplitude (K) 19,5 11,5 6,8 4,0 2,35

b2.1) Estime o valor da difusividade térmica do material do varão, Dth. b2.2) Dá-se o nome de posição de inversão ao valor mínimo x1 da abcissa, para a qual as oscilações de temperatura estão em oposição de fase em relação à condição fronteira T(0,t). Calcule a abcissa x1.

DADOS E CONSTANTES

σ = 5,667x10-8 W m-2 K-4

B = 2,898x10-3 m K kB = 1,38x10-23 J K-1 R = 8,314 J K-1 mol-1

h = 6,626x10-34 J s

c = 3x108 ms-1 Lei de Planck

Forma espectral

1)/exp(8

3

2

−νπν

=ν Tkhvh

cW

B

Forma integral

4

0

4 Tc

dW σ=νν

∞

∫

Lei de Stefan

4TdS

dPrad σ=

Relações entre coeficientes de Einstein

3

38ch

BA

ji

ji νπ=

i

j

ji

ij

gg

BB

=

Corrente de radiação entre dois corpos (1 e 2)

2

1

2

2

1

1

12

42

411

111)(

SS

ee

ee

F

TTSIrad −+

−+

−σ=

Corrente de radiação entre dois corpos (1 e 2) Caso em que o corpo 1 (negro) envolve totalmente o corpo 2

)( 42

4122 TTSeIrad −σ=

Soluções de questões seleccionadas 1- TF = 56ºC 2-

a) Lk

ReRπ+

=2

)/1ln(th

b) Pth / L = 6,6 kW m-1

3-

a) extext

intextconvcondth 2

12

)/ln(LhRLk

RRRRRπ

+π

=+=

b) Pth / L = 102 W m-1

c) intext

0 Rhke −= = 2,5mm

4-

a) 318,010

04,0153,0125,010

janelath =

++=

∆=

RTP = 31,4W

c)

c1) 4,005,025,1

10318,010

''

janelath ++

+=∆

=R

TP = 37,3W

5-

a) D

kNuh =in = 9789,6 W m-2 K-1

b) 25,0

ex 32,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

=DTh = 8,8 W m-2 K-1

c) 3T

th 10x63,18,140

−+=

∆=

RTP = 22W

6-

a) Tsala = 23,68ºC b) Tágua = 29,08ºC

c) k = 64,5 W m-1 K-1 (Note que A(r) = 2πrL )

7-

a) R = Rconv + Rcond = (10-2 + 10-4) + 10-4 ~ 10-2 W-1 K b) TFQ = TQ + R = 420K ; TQQ& FF = TF + R = 285K FQ&

c) S&∆ = 0.5 W K-1 > 0. Ciclo irreversível.

d) Eliminar fontes de reversibilidade nas transformações isotérmicas,

aproximando a temperatura do ar à das fontes. Reduzir a resistência térmica total

⇒ aumentar o coeficiente de convecção do ar. ⇒ aumentar a área dos permutadores.

8-

a) = 1200W convQ& b) = 873W radQ&

c) + = ( k S / l ) (TconvQ& radQ& lad - Tchão) ; Tlad = 28°C

e) As paredes e o tecto da sala não estão termicamente isoladas, trocando

energia térmica com o exterior, através de fenómenos de condução, convecção e radiação. As temperaturas (interior e exterior) das paredes e tecto são assim condições fronteira do problema, fixadas através dessas trocas de energia térmica. A temperatura interior das paredes e tecto é diferente da do ar da sala, existindo um transporte de energia por convecção entre estes dois meios.

9-

a) = 132W convQ& b) = 53W radQ&

c) Tágua = 29,1°C

10-

Rrad

RconvRcond

Tforno

a)

IradTfrango

TambTX

Icozinha

b) =+

−=

hSkSl

TTI 1ambforno

cozinha 149 W

c) =−= cozinhafornoX IkSlTT 101oC

d)

d1) 125 W =−σ= )( 4frango

4fornofrangofrango TTSeIrad

d2) ==≡ fornofrango,forno

frangofrangoforno,

forno emitida

frangoforno, FSS

FII

0,05

11-

b) 1,02,010x5

353th

reserv++

=∆

=−R

TQ& = 114,8 W

c) = 48,0 W radQ&

d) hsala = 4,4 W m-2 K-1

12-

a) = 0,97mm maxλ

b) dS

dPrad = 4,6x10-6 W m-2

14-

a) = 9,4µm maxλ b) )( 4

céu4

campcampcamprad TTAeQ −σ=&

c) = 176W radQ&

d) Tcamp = 8°C

e) kcobertor = 0,04 W K-1 m-1

15-

a) J10x1,4 19

max

max −γ ==

λ=

BcThchE S

λmax ~ 483 nm - Banda do visível

b) W10x5,44 2624 =πσ= SSSol

rad RTP

c) 422

2

2

4 SSTTSol

radincabs TRdR

dRPPP π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛σ=

ππ

==

d) K29021 2 ==⇒= S

ST

Terraradabs T

dRTPP

e)

Pa33,034

4144

343

43

4

31

=σ

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ==

TcV

TSVUp

SVScTSU

S

16-

a)

a1) 4

0

4 VTc

dWVU ∫∞

λσ

=λ=

a2) ( ) ( ) 32 43444 VT

cSdTVT

cTdU

dS VV

σ=⇒

σ==

a3.2) 4

34 T

cp σ

=

b) b1) const=RT

b2) 3

70000010

33000

==RRactual

17-

a) = 1,38x10fotgp ppp += 6 + 2,51x10-4 ~ 1,38x106 Pa b) cV ~ (cV)gp = 2,07 J K-1 ; Teq ~ 8,8x105 K

20 -

a) = 9,7µm maxλ b) U / V = 6,12x10-6 J m-3

c) ( ) 1/exp max −λ=ν

TkhcWB

AB

ji

ji = 143

⇒ Emissão espontânea é mecanismo dominante 21 -

a) a1) xxT 20300)( −= (SI) a2) k = 200 W m-1K-1

b)

b1) ( ) 2/1th2Dm ω=

b2.1) Dth ~ 3,5x10-7 m2 s-1

b2.2) x1 ~ 6m

PARTE - VII

INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA

1- Considere o modelo de Bohr do átomo de hidrogénio. a) Calcule, para o nível fundamental do átomo, o raio orbital (raio de Bohr,

a0) e a energia associada a esse nível. b) Calcule o comprimento de onda mais curto da radiação emitida /

absorvida por um átomo de hidrogénio. Indique em que banda (IV, visível, UV, RX) se situa essa radiação.

c) Considere a transição electrónica genérica ni = n → nf = n – 1. Escreva,

no limite n >> 1, a expressão da frequência dos fotões emitidos nessa transição. Compare a expressão obtida com a da frequência (clássica) de rotação do electrão em torno do núcleo, numa órbita de raio rn.

2- O modelo semi-clássico de Bohr aplica-se aos chamados átomos

hidrogenóides, nos quais se inclui o ião hélio simplesmente ionizado (He+). Considere um ião He+ (número atómico Z = 2), com um electrão a orbitar em torno do núcleo.

a) Calcule a energia do nível fundamental do ião He+. b) Excita-se um ião He+ no nível fundamental, fazendo incidir sobre ele um

feixe de fotões de energia 48 eV. Calcule as frequências dos fotões emitidos nas transições de desexcitação do ião e esquematize essas transições num diagrama de níveis de energia.

c) Considere um feixe de fotões com frequência 2,5x1015 Hz, resultante da

desexcitação do ião He+. Faz-se incidir esse feixe num metal cuja função trabalho é W0 = 5x10-19 J, sendo os electrões arrancados por efeito fotoeléctrico postos a circular num circuito eléctrico. Calcule a diferença de potencial que é necessário aplicar ao circuito para anular a corrente eléctrónica.

,...)3,2,1()eV(5,13)hidrogénio( 2 =−= nn

En

3- Quando fotões de frequência 7x1014 Hz incidem numa superfície metálica,

provocam a emissão de electrões cuja velocidade máxima pode atingir 6x105 m s-1.

a) Calcule a energia dos fotões incidentes.

b) Calcule a tensão de paragem dos electrões emitidos, nas condições do

enunciado.

c) Calcule o valor mínimo da frequência da radiação que, ao incidir neste metal, ainda conduz à emissão de electrões.

4- Numa célula fotoeléctrica que funciona com Césio, a energia mínima necessária para arrancar um electrão ao metal é 2,9x10-19 J (função de trabalho) . A área da célula é 1 cm2.

a) Qual é o valor mínimo da frequência da radiação com que se deve

iluminar o Césio para que se produza uma corrente eléctrica? b) Suponha que dispõe de uma lâmpada incandescente cujo máximo da

energia emitida corresponde à frequência de extracção de um electrão. Qual é a temperatura do filamento?

c) O filamento tem uma área total de 5 mm2 e emite isotropicamente como

um ponto negro. Calcule a potência emitida pela lâmpada que incide na célula em função da distância à lâmpada.

d) Admita que apenas 3% da radiação total que atinge o detector é que

contribui para a extracção dos electrões, sendo a restante energia perdida ou transformada em energia cinética dos electrões extraídos. Se a corrente mínima que deve alimentar o circuito for Imin = 10 mA, qual a distância máxima a que a lâmpada se pode encontrar do detector?

5- Numa experiência de efeito de Compton, os raios X incidentes têm uma

energia de 160,0x10-16 J. a) Calcule a frequência dos fotões X. b) Um electrão, inicialmente em repouso, adquiriu uma energia cinética de

6,4x10-16 J ao chocar com um fotão, que é desviado da sua trajectória inicial. Calcule a frequência do fotão desviado.

c) Calcule, nas condições da alínea anterior, o ângulo de desvio do fotão.

6- Considere uma célula fotoeléctrica de Cádmio, com área de 1 cm2. A

função trabalho do Cádmio é igual a 4,1 eV. Considere também uma lâmpada de UV, cujo espectro de emissão tem uma intensidade máxima para fotões de 5 eV. Admita que a lâmpada emite isotropicamente (e como um corpo negro) a partir duma região com 5 mm2 de área.

a) Calcule o valor mínimo da frequência da radiação que provoca efeito

fotoeléctrico na célula de Cádmio. b) Calcule a temperatura de equilíbrio TUV da lâmpada UV.

c) Os fotões-UV de 5 eV emitidos pela lâmpada incidem na célula de

Cádmio.

c1) Calcule a energia cinética máxima Tmax dos fotoelectrões extraídos à célula.

c2) Calcule, em função da distância lâmpada-célula, a potência emitida pela lâmpada que incide na célula.

d) Considere agora uma colisão de Compton entre um fotão e um electrão

livre em repouso. Determine a frequência do fotão incidente que permite obter um electrão emergente, segundo um ângulo de 60o, com uma energia cinética igual a Tmax.

7- Considere N = 1023 átomos de hidrogénio em equilíbrio térmico à

temperatura T, os quais se distribuem, segundo uma estatística de Maxwell-Boltzmann, pelos diferentes níveis de energia do modelo de Bohr

J1018.2

)...,,2,1(/18

1

21

−×−=

∞==

E

nnEEn

a) Escreva a fórmula geral da ocupação média de cada nível de energia

deste sistema. b) Escreva o valor da energia interna do sistema, no limite de muito baixas

temperaturas. [Sugestão: utilize apenas argumentos físicos.]

c) Considere um feixe de fotões, resultante da transição radiativa entre o

nível de ionização do átomo de hidrogénio e o seu nível fundamental de energia.

c1) Calcule a frequência ν dos fotões do feixe.

c2) Faz-se incidir o feixe de fotões num metal cuja função trabalho é W0 = 5x10-19 J, produzindo-se uma corrente de foto-electrões num circuito eléctrico. Calcule o valor mínimo da diferença de potencial que é necessário aplicar ao circuito, para anular essa corrente.

8- O carácter corpuscular da radiação electromagnética revelou-se na

transição entre os séculos XIX e XX.

a) Considere o “tubo de néon” dum anúncio luminoso. O gás no interior do tubo emite fotões na banda do visível, com comprimentos de onda no amarelo (585,25 nm), vermelho (640,23 nm) e verde (540,25 nm). Calcule a frequência e a energia dos fotões mais energéticos, emitidos por este gás no visível.

b) Considere a emissão de electrões devida ao efeito fotoeléctrico. Quando fotões de frequência 7x1014 Hz incidem numa superfície metálica, provocam a emissão de electrões cuja velocidade máxima pode atingir 6x105 m s-1. Calcule o valor mínimo da frequência da radiação que, ao incidir neste metal, ainda conduz à emissão de fotoelelectrões. [Nota: use expressões não relativistas para o electrão.]

c) Os níveis de energia do átomo de Bohr obedecem à lei

,...)3,2,1(20 =−= n

nEEn

com 13,6 eV. =0E

Considere o fotão emitido por um átomo de hidrogénio (em repouso), quando este realiza uma transição entre os níveis n = 4 e n = 1. Calcule o comprimento de onda do fotão e a velocidade de recuo do átomo, após a transição. [Nota: use expressões não relativistas para o átomo.]

d) O problema da radiação do corpo negro foi um dos grandes desafios que a Física teve de enfrentar, na viragem do século passado. Considere as leis de Rayleigh-Jeans

TkW B48)(λ

π=λλ

e de Planck

1)exp(8)( 4 −λ

λ

λ

π=λλ Tkhc

hcWB

,

para a densidade espectral de energia dum corpo negro.

d1) Esboce graficamente estas leis, para uma dada temperatura T. d2) Apresente as principais diferenças qualitativas entre os modelos físicos que afirmam que a energia média dum oscilador é dada por

TkB=ε ou por

1)exp( −λλ

=εTkhc

hc

B .

Indique, justificando, em que limite de temperatura estas duas expressões são equivalentes.

9- O patinho quântico Fuzzy brinca num tanque com L = 1 m de lado, num mundo em que h = 2π J s. O Fuzzy tem 2 kg de massa.

a) Qual é a incerteza mínima na sua velocidade? b) Assumindo que esta incerteza se mantém por um período longo,

determine a incerteza na sua posição após 5s. 10- Uma fonte de luz é utilizada para determinar a posição dum electrão num

átomo, com a precisão de 0,05 nm. Qual é a incerteza mínima na medida da velocidade desse electrão?

11- Uma partícula de massa m move-se num poço de potencial com

comprimento 2L. A energia potencial é infinita fora do poço (x < −L e x > L), e dentro deste é dada por:

( )222

22)(

xLmLxxU−

−=

h

A partícula encontra-se num estado estacionário, descrito pela função de onda ψ(x) = A(1 − x2/L2) dentro do poço e ψ(x) = 0 fora dele. a) Calcule, a energia da partícula em função de h, m e L. b) Mostre que A = (15/16L)1/2. c) Determine a probabilidade da partícula se encontrar entre −L/3 e L/3.

12- Numa região do espaço, uma partícula com energia nula tem uma função

de onda dada por . 22 /)( LxAxex −=ψ

a) Determine a energia potencial U(x) da partícula. b) Faça um esboço gráfico de U(x).

13- Um electrão com uma energia total de 4,50 eV encontra uma barreira de

potencial com uma energia de 5,00 eV e uma altura de 950 pm. Calcule a probabilidade (dada pelo coeficiente de transmissão) do electrão atravessar esta barreira de potencial.

14- A energia total de uma partícula, que oscila com um movimento harmónico ao longo do eixo dos xx, é dada por

22),(

22 kxm

ppxE x +=

onde px é o momento da partícula e k a constante da mola que representa o movimento oscilatório.

a) Utilize o princípio de incerteza para mostrar que 2

22

82 x

xp

km

pE h+≥ .

b) Mostre que a energia mínima do oscilador harmónico é dada por

2minω

=hE com

mk

=ω .

15- Considere uma partícula que obedece à função de onda de um oscilador

harmónico no estado fundamental

onde ω0 é a frequência angular de oscilação do sistema.

a) Calcule a constante de normalização A. b) Calcule o valor médio da posição x e do momento linear p da partícula.

c) Obtenha a expressão dos desvios padrão em posição (∆x) e em

momento (∆p) da partícula. Recorde que

d) Verifique o Princípio de incerteza de Heisenberg.

16- Considere uma partícula livre, cuja função de onda é

a) Verifique que esta função de onda é solução da equação de Schrödinger

para a partícula. b) Escreva a condição de normalização para a função de onda.

Conseguirá, a partir desta condição, determinar o valor da constante A?

c) Calcule o valor médio do momento linear p e o respectivo desvio padrão ∆p.

d) Utilize o Princípio de incerteza de Heisenberg para calcular o desvio

padrão ∆x.

e) Interprete o resultado de b) a partir dos resultados das alíneas c) e d).

17- Considere uma partícula de massa m que se encontra confinada num fosso de potencial infinito de largura L. Sabe-se que as funções de onda da partícula para 0 < x < L têm a forma

,...)3,2,1()/sin(2)( =π=ψ nLxnLxn

a) Mostre que é solução da equação de Schrödinger e obtenha a expressão dos valores quantificados da energia da partícula.

)(xnψ

,...)2,1(2 2

222=

π= n

mLnEn

h

b) Calcule a incerteza x∆ na posição da partícula, definida pelo desvio

quadrático médio 222)( xxx −=∆

c) Calcule a incerteza p∆ no momento linear da partícula, definida pelo

desvio quadrático médio 222)( ppp −=∆

d) Interprete fisicamente o que sucede a x∆ e p∆ nos limites L→ 0 e L→ ∞.

18- O modelo de Einstein (1907) permite obter uma expressão para o calor

específico da rede cristalina de um sólido. O modelo supõe que cada um dos N átomos da rede cristalina se encontra ligado a três osciladores harmónicos independentes (um por cada grau de liberdade), os quais oscilam a uma mesma frequência ν0 e seguem uma estatística de Maxwell-Boltzmann.

a) Calcule a frequência da radiação que deve incidir na rede cristalina para

que os seus osciladores passem do estado fundamental (n=0) para o primeiro estado excitado (n=1).

b) Considere um oscilador no seu estado fundamental. Calcule os valores

médios da sua energia cinética e da sua energia potencial. (Sugestão: utilize os resultados do problema 15)

c) Mostre que a energia interna do sistema de 3N osciladores é dada pela

expressão

d) Obtenha as expressões assimptóticas de U nos limites de muito baixas e

muito altas temperaturas. Calcule, nesses limites, o calor específico molar a volume constante da rede cristalina. Interprete os resultados obtidos.

19- As técnicas actuais de fabrico de componentes electrónicos por sobreposição de filmes finos permitem obter poços de potencial, justapondo camadas de semicondutores com a mesma estrutura cristalina mas propriedades eléctricas diferentes. Um electrão aí confinado tem o comportamento quântico de uma "partícula na caixa", descrevendo-se a interacção atractiva dos electrões com a estrutura cristalina através da introdução duma massa efectiva meff para o electrão. A possibilidade de fabricar poços com níveis de energia diferentes, e que portanto absorvem a radiação de comprimentos de onda diferentes, levou à utilização destes sistemas ("átomos artificiais") como sensores. Neste problema, suponha que a altura do poço é muito grande comparada com a largura, de modo a podermos considerá-lo um poço com paredes infinitas descrito pelo potencial

⎩⎨⎧

==∞<<><

=axx

axaxxxU

;00;;00

)(

com a = 50x10-10 m. Considere meff = 4x10-31 kg.

a) Resolva a equação de Schrödinger para este sistema, e mostre que a expressão quantificada da sua energia é

2

22

8 amnhE

effn =

b) Acerca dos desvios padrão ∆x e ∆p para o electrão... b1) Calcule o desvio padrão ∆p do momento linear do electrão no nível fundamental. Interprete intuitivamente o resultado obtido. b2) Verifique o Princípio de Incerteza de Heisenberg, sabendo que o desvio padrão na posição do electrão (no nível fundamental) é

c) Calcule a energia que o electrão tem de absorver para passar do nível fundamental para o primeiro nível excitado.

d) Admita que se coloca o sistema em contacto com uma fonte térmica. A

partir de que temperatura TX será de esperar que uma fracção significativa de electrões possa transitar espontaneamente do nível fundamental para o primeiro nível excitado? Discuta a fiabilidade do funcionamento do sensor em função da temperatura do sistema.

e) Calcule a energia média por partícula do gás de electrões, para

temperaturas T >> TX.

20- A molécula de monóxido de azoto (NO) tem uma frequência própria de vibração de 5,7x1013 Hz e um comprimento de ligação (distância média entre os átomos N e O) de 110x10-12 m. A massa atómica do azoto é 14 u.m.a. e a do oxigénio 16 u.m.a. .

a) Os movimentos de vibração dos átomos nas moléculas diatómicas

podem ser descritos, no referencial do centro de massa da molécula, através da oscilação duma partícula de massa µ igual à massa reduzida da molécula.

a1) Calcule a constante da força de interacção entre os dois átomos da molécula de NO. a2) Calcule a energia absorvida pela molécula de NO quando transita do seu estado fundamental (n=0) para o primeiro nível excitado de vibração (n=1).

a3) Calcule a amplitude quadrática média 2x das oscilações da partícula de massa µ no seu estado fundamental. Compare o valor obtido com o comprimento de ligação da molécula de NO.

a4) Calcule o momento linear quadrático médio 2p associado às oscilações da partícula de massa µ no seu estado fundamental. a5) Calcule a temperatura característica de vibração Tv, a partir da qual existirá uma fracção significativa de moléculas que pode efectuar transições entre níveis de vibração.

b) Os movimentos de rotação das moléculas diatómicas podem ser descritos utilizando a expressão da energia cinética clássica de rotação em torno dum eixo que passa pelo centro de massa do sistema. b1) Calcule o momento de inércia da molécula de NO. b2) Escreva a expressão da energia cinética de rotação da molécula de NO, em função do seu momento angular. b3) Calcule os valores possíveis da energia cinética de rotação da molécula de NO, sabendo que o quadrado do momento angular só pode tomar os seguintes valores discretos

b4) Calcule a energia absorvida pela molécula de NO quando transita do seu estado fundamental (l=0) para o primeiro nível excitado de rotação (l=1). b5) Calcule a temperatura característica de rotação TR, a partir da qual existirá uma fracção significativa de moléculas que pode transitar entre os dois primeiros níveis de rotação.

21- Considere um gás ideal, composto por N moléculas (N >> 1) com massa m, em equilíbrio térmico à temperatura T. Para este gás, o estudo de cada grau de liberdade translacional pode partir do problema quântico da partícula numa “caixa” (fosso de potencial infinito).

a) As funções de onda, para os diferentes estados possíveis de translação

duma molécula num fosso de largura L, têm a forma )/sin(2)( LxnLxn π=ψ , com Lx ≤≤0 e ...,3,2,1=n .

a1) Mostre que a expressão dos valores quantificados da energia de

translação duma molécula é . 222 8/ mLhnEn =

a2) Calcule, para o estado fundamental, a incerteza no momento

linear, 22 ppp −=∆ . Obtenha, para esse estado, o valor mínimo da incerteza na posição, x∆ .

b) Considere monóxido de azoto (massa molecular M = 30 u.m.a.) num

fosso com L = 7 m. Estime a sua temperatura característica de translação Ttran, a partir da qual uma fracção significativa de moléculas deste gás pode transitar entre os dois primeiros níveis de energia translacional. Comente e relacione com o que sabe sobre a contribuição dos graus de liberdade de translação para os calores específicos dos gases.

c) Suponha agora que a distribuição das N moléculas pelos diferentes

níveis de energia translacional segue uma estatística de Maxwell-Boltzmann. c1) Escreva, em função de T, a expressão da energia interna do sistema U(T).

c2) A partir de argumentos físicos, indique quais os valores que U(T) deve assumir nos limites T → 0 e T → ∞.

22- Considere um oscilador harmónico quântico de massa m, constante de

força k e frequência própria de oscilação mk=ω0 , cuja energia

potencial é dada por 221)( kxxEp = .

a) Escreva a expressão dos valores quantificados da energia En do sistema.

b) Mostre que é solução da equação de Schrödinger para o estado fundamental, de energia E

)2/exp()( 200 hxmAx ω−=ψ

0, deste oscilador.

c) Mostre que se tem h)(21+=∆∆ npx para o produto das incertezas na

posição e no momento dum oscilador, no nível de energia En.

Recorde-se que 222)( xxx −=∆ e 222)( ppp −=∆ . [Sugestão: recorde que, num oscilador harmónico quântico, se verifica

0== px e 2nnknp EEE == , onde representa a energia

cinética do sistema.] kE

DADOS E CONSTANTES

σ = 5,667x10-8 W m-2 K-4

B = 2,898x10-3 m K kB = 1,38x10-23 J K-1 R = 8,314 J K-1 mol-1

NA = 6,02x1023 mole-1

h = 6,626x10-34 J s

c = 3x108 ms-1 e = 1,60x10-19 C me = 9,11x10-31 Kg 1/(4πε0) = 9x109 N C-2 m2

∫ =πL LdxLxn0

2 2/)/(sin

∫ =πL LdxLxnx0

22 4/)/(sin

∫ =ππL dxLxnLxn0

0)/cos()/sin(

∫ π−=πL nLdxLxnx0

2322 ])2/(16/1[)/(sin

Soluções de questões seleccionadas 3 -

a) = 4,6 x 10γE -19 J

b) e

vmV e2

2max

stop =∆ = 1,0 V

c) minstopmin ν⇒∆−= γ VeEE = 4,5 x 1014 Hz

6 -

a) ==νh

WCd0 9,9x1014 Hz

b) ==λ

=maxmax

UV IhcBBT 11663 K

c) c1) =−= Cdmaxmax WIT 0,9 eV

c2)

(W)10x2,44

2

2

2cel

lamp4

UVlampcellamp,lamprad,celinc,

d

dSSTeFPP

−=

=π

σ==

d)

pγ

p’γ

p’e

θ

ϕ = 600

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

θ−λ=λ−λ≡λ∆

ϕ−θ=

ϕ+θ=

≡=−

γ

γγ

γγ

)cos1('

sin'sin'0

cos'cos'

')'( max

c

e

e

pp

ppp

TTcpp

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

θ−λ=λ∆ϕθ

=

λ+=θ+ϕθ

=λ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λ+λ

γ

)cos1(sinsin''

''1cos)1cot(tan

01'' 2

c

e pp

hcT

hcT

hcT

1''';

)cos1(

1cos)1cot(tan

0' 2

<<λ≈λ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

θ−λ=λ∆−−−−−−

≈θ+ϕθ

≈λ∆−λ

hcT

hcT

hcT

c

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=λ∆

=ϕ≈θ

=ν⇒=λ

−

−

m10x2,1

60

Hz10x3,2m10x3,1

12

0

179

7 -

a)

∑∞

=

β−

β−=

1

n

)exp(

)exp(

nn

n

E

ENN com 21;1

nEE

Tk nB

=≡β

b) No limite de muito baixas temperaturas, as partículas encontram-se todas no nível mais baixo de energia, pelo que:

== 1NEU − 2,18 x 105 J

c)

c1) =−

=ν ∞h

EE 1 3,3 x 1015 s-1

c2) =−−

=∆e

WEV 01min 10,5 V

17 -

a) ,...)2,1(2 2

222=

π= n

mLnEn

h

b)

2/1

2

222

)2(2

121)(

)2(1

612

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π−=∆

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π−==

nLx

nLxLx

c)

Lnp

Lnpp

h

h

π=∆

π==

)(

0 2

2222

d) Descrição partícula: ∞→∆→∆→ )(;0)(0 pxL (localização total no espaço das posições ; deslocalização total no espaço dos momentos) Descrição onda plana: 0)(;)( →∆∞→∆∞→ pxL (deslocalização total no espaço das posições ; localização total no espaço dos momentos)

21 -

a) a1) Substituir na equação de Schrödinger para partícula livre num fosso de potencial infinito.

)(xnψ

a2) 22 )(;0 Lnpp hπ== ; 2/h≥∆∆ px ⇒ )2/( π=∆ LxMIN b) Ttran = ∆E12 / kB = 7,5x10-21 K

O descongelamento dos graus de liberdade de translação ocorre a qualquer temperatura T > Ttran ~ 0 K. A contribuição dos graus de liberdade de translação para os calores específicos (molares) verifica sempre o Princípio de Equipartição da Energia, CV = 3/2 R.

c) c1)

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−

−

=

∑

∑∞

=

∞

=

2

22

1

1

8

)/exp(

)/exp()(

mLhnE

TkE

TkEETU

n

nBn

Bnn

n

c2)

2

21

0 8)(lim

mLhNENTU

T==

→

Todas as partículas no nível fundamental de energia i=1

TkNTU BT 2

1)(lim =∞→

Princípio de equipartição da energia 1 dimensão (∆E << kBT)