TESE DE DOUTORADOSoluções analíti as para o a oplamento de um uido eum dipolo magnéti o massivo em Relatividade Geral.

José Luis Bernardo Diaz Polan oOrientador: Patri io Aníbal Letelier SotomayorCo-Orientadora: Carola Dobrigkeit Chinellato

UNICAMPIFGWCampinas, São Paulo 14 de Maio de 2008

ii

iii

iv

Dedi o meu trabalho aos que ontribuíram de forma direta e indiretana minha formação. Em primeiro lugar aos meus pais Luís Bernardoe Luisa, pelos meus valores; o maior tesouro que deixaram para mim.Para minha amada Beatriz em agrade imento ao seu amor, apoioin ondi ional, por sua pa iên ia e onança, que durante todos estesanos manifestou-me om tanto respeito. Para meus irmãos sempreamados Pedro, Ximena e seu marido Chelo, dedi o o grande esforçoempregado em ada uma das noites de estudo. A toda minha família,por seu arinho. Espe ialmente para meus sogros Gladys e Ri ardopela onança que depositaram em mim.

v

vi

Agrade imentosQuero agrade er sin eramente ao CNPQ que me apoiou e onomi amente para que eupudesse desenvolver minha pesquisa no IFGW. Outro eterno agrade imento a quem tantose sa ri ou nesta aventura, minha amada Betty.Fundamentalmente para Patrí io, um eterno agrade imento por ompartilhar seugrande onhe imento e sua sabedoria numa ex elente orientação. Outro agrade imento,tão grande quanto, para Carola, por tudo o que aprendi dela, porque sempre me ajudouem ada situação que pre isei, muito obrigado mesmo, Carola.Para todos meus amigos do IFGW, om os quais ompartilhei momentos muito agra-dáveis durante minha vida aqui no Brasil. Em espe ial, para meus amigos Maximilianoe Sebastian Ujevi , Felipe, Alex, Julio Gar ia, Walter, Maia, George, Julio, Rogério,Alexandre , Andres Cabrinni, José Chavez, Daniel, Andréa, Augusto, Ri ardo, Pabloe Talita, Carlos e família, Edgar, Diego, Reginaldo, Antonio, Abdala, Frank, Mar elo,Cláudio, Raúl, Maurí io, Alejandro.Um agrade imento espe ial para meus olegas em Iquique, em parti ular para CarlosAn h, Manuel Ol ay, Fredy Veas, Patri io Gonzales, Roberto Aravire, José Ayala,e DanielValle, pelo apoio que eles sempre manifestaram.

vii

viii

ResumoApresentamos duas soluções analíti as das equações de Einstein:A primeira para o aso estáti o no qual um uido arregado está em torno de um orpomassivo om propriedades magnéti as do tipo dipolar. Esta solução se reduz à soluçãode Gutsunaev-Manko [Ts.I. Gutsunaev , V.S. Manko Phys. Lett. 5, 215, 1985 se o uido arregado desapare e. En ontramos que o balanço entre os ampos a oplados é devido àexistên ia de uxos de energia (térmi a e eletromagnéti a) auto- ompensados. A pressãode radiação ompensa os efeitos dinâmi os do uido ao redor do orpo entral. Estuda-mos os uxos de energia no sistema e suas propriedades termodinâmi as. En ontramos oestado termodinâmi o do sistema. Esta solução ontém a solução de S hwarzs hild omo aso parti ular.A segunda solução des reve um dipolo magnéti o massivo e irradiante. Esta solução édependente do tempo e des revemos ada uma das grandezas que parti ipam na solução.Analisamos os uxos de energia do sistema e notamos que a radiação do dipolo diminui om o tempo hegando num estágio nal do tipo dipolo magnéti o massivo no vá uo.Torna-se interessante pensar na possibilidade de observação destes uxos de energiana vizinhança de objetos estrelares ompa tos om propriedades magnéti as extremas.

ix

x

Abstra tWe derive analyti al solutions of the Einstein´s equations for two dierent ases:The rst one, a stati ase, in whi h a harged uid is around a mass with extrememagneti properties of the dipole type. This solution redu es to the Gutsunaev-Mankosolution [Ts.I. Gutsunaev , V.S. Manko Phys. Lett. 5, 215, 1985 in the abs ense of the harged uid. We found that the gravitational equilibrium of the system is a hieved whenthe energy uxs (thermal and ele tromagneti ) are balan ed and the ee tive radiationpressure ompensates the gravitational ee ts in the uid. We study the ows of energyin the system and their thermodynami s properties, we found an analyti al expression forthe thermodynami state of the oupled systems. This solution ontains the S hwarzs hildsolution as a parti ular ase.The se ond solution des ribes a massive magneti dipole emiting radiation de reasing intime. In this ase we also found the thermodynami state of the system.As a on lusion, we believe that our theoreti al model an be applied to ompa t stellarsystems with extreme magneti properties.

xi

xii

ConteúdoResumo ixAbstra t xiIntrodução 11 Solução de S hwarzs hild 71.1 Comentários sobre soluções exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Solução de S hwarzs hild em oordenadas de Weyl . . . . . . . . . . . . . . 102 Dipolo magnéti o massivo em Relatividade Geral 152.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Equações de Einstein-Maxwell para o problema do dipolo magnéti o massivo 162.3 Solução das equações de Einstein-Maxwell para o problema do dipolo mag-néti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Análise da Solução de Gutsunaev e Manko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Fluidos imperfeitos relativistas. 253.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Comentários sobre a Termodinâmi a Relativista . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Termodinâmi a de E kart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29xiii

4 A oplamento de ampos gravito-eletromagnéti os. 374.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Componentes do Tensor de Einstein do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Tensor de Energia-Momento Eletromagnéti o . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Tensor de Energia-Momento para o uido do modelo . . . . . . . . . . . . 414.5 Quadri- orrente no sistema omóvel ao uido. . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Equações de Einstein para o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Resolução das Equações de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.8 Análise da Solução que a opla um ampo eletromágneti o e um uido im-perfeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.8.1 Conexão entre a geometria e a matéria envolvida na solução . . . . 544.8.2 A solução DM+FC em oordenadas esféri as. . . . . . . . . . . . . 554.8.3 Análise assintóti a das omponentes da métri a da solução DM+FC 574.8.4 Análise das omponentes do poten ial eletromagnéti o da soluçãoDM+FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.8.5 Análise da solução em função dos parâmetros elétri o e magnéti o. . 604.9 A termodinâmi a da solução DM+FC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.9.1 Cara terísti as da solução DM +FC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 O dipolo magnéti o irradiante. 735.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Des rição do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Solução da equação de Einstein dependente do tempo para este modelo. . . 766 Con lusões 876.1 Apêndi e: Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Bibliograa 91xiv

IntroduçãoA observação ontinuada de nosso universo e o avanço paulatino das te nologias na ins-trumentação astronmi a, têm permitido a re ompilação de uma vasta quantidade deinformação sobre as ara terísti as intrínse as do e ossistema ósmi o. Com toda estainformação, diversos mistérios foram debelados e outros novos apare eram.No âmbito da astrofísi a, os dados espe tros ópi os forne em a informação su ientepara estimar a omposição quími a dos objetos elestes, e desta forma, ompará-los e lassi á-los. Conhe endo a omposição quími a e tamanho de um astro, temos onse-guido responder diversas questões asso iadas om sua evolução. Por exemplo, omo foiseu nas imento [1, 2, qual será seu tempo de vida, omo será sua morte e ainda extrapolaraté sua situação pós-morte [3. É evidente que estamos perante grandes su essos da iên- ia atual. Não obstante, não podemos esque er as interrogações ainda não resolvidas, porexemplo, om respeito à abundân ia de metais nas estrelas das galáxias e no gás interga-lá ti o dos aglomerados de galáxias [4. A observação mostra que existem menos estrelaspobres em metais do que seria esperado [5, 6. Outro exemplo perturbador refere-se àgrande diferença de omportamento que apresentam as urvas de rotação teóri a e obser-va ional para uma mesma galáxia. As observações mostram que um objeto gravitandoem torno do nú leo de uma galáxia gira om uma velo idade angular que depende do raiode giro, de modo tal que esta velo idade tende a um valor onstante na medida que o raioaumenta [7, 8. A relatividade geral não onsegue expli ar este omportamento, a menosque no modelo seja introduzida uma par ela onsiderável de matéria exóti a, originando1

polêmi as teorias que envolvem a hamada matéria es ura.Por outro lado, as novas des obertas trazem novos desaos, omo por exemplo, osmagnetares [9, as emissões fabulosas de raios gama, enigmáti os sistemas binários om-postos por estrelas de nêutrons e estrelas super-gigantes que não deveriam existir pelolimite teóri o de Eddington [10.Os avanços na instrumentação e no tratamento de dados, têm permitido, através depoderosas té ni as de ltragem, observar objetos ada vez mais distantes, omo, nú leosgalá ti os impossíveis de serem observados no passado. Também temos sido apazesde observar indiretamente os pou os luminosos andidatos a bura os negros, estrelas denêutrons e in lusive planetas extra-galá ti os, veri ando as teorias sobre as lentes gravi-ta ionais [11.No âmbito da Cosmologia, temos avançado bastante no aperfeiçoamento nas mediçõesdo deslo amento para o vermelho de quasares e galáxias distantes [12, 13, 14. Os moder-nos mapas da radiação ósmi a de fundo em mi roondas têm permitido examinar umaboa parte da história do universo [15.Paralelamente às observações, existe um forte desenvolvimento nas teorias e nos mo-delos que tentam veri ar tais observações [16, 17. Para os asos nos quais os amposgravita ionais são muito intensos, a teoria da relatividade geral resulta fundamental. Con-tudo, não é fá il extrair informações desta teoria que sejam diretamente omparáveis om aobservação. Logo, estamos obrigados a aprofundar nossos onhe imentos sobre o ompor-tamento dos sinais emitidos por este tipo de objetos astrofísi os, já que poderiam existiralgumas orreções teóri as relevantes no momento de omparar modelos. Em geral, essestipos de sinais têm sido modelados usando as teorias de uidos relativísti os [18, 19.Desde que Tolman, Oppenheimer e Volko [20, 21 propuseram sua onhe ida soluçãopara uma bola autogravitante de uido perfeito, muitos modelos de estrelas, galáxias eaté universos foram estudados e aprofundados usando esta idéia omo base para des revera matéria e a energia ontida em tais sistemas [22. Não obstante, sabemos que a realidade2

é bastante mais omplexa para a eitar plenamente a des rição deste tipo de modelo. Poresta razão, além do uido perfeito, existem outros modelos que tentam ser um pou o maisrealistas, in luindo algumas perturbações, tanto na métri a de alguma solução onhe ida, omo também no próprio tensor de energia momento [23. O problema que existe om estetipo de modelo mais realista reside na omplexidade matemáti a dos sistemas de equaçõesenvolvidos, ainda mais quando sabemos que tal di uldade depende diretamente da não-linearidade dos ampos a oplados à gravidade (eletromagnéti o, uido, et .). Por estarazão, usualmente é ne essário usar poderosas ferramentas omputa ionais para resolvê-los [24, 25, 26, denindo assim uma linha de pesquisa hamada hidrodinâmi a relativistanuméri a.Alguns exemplos bem-su edidos de a oplamento de ampos físi os são as bem onhe i-das soluções de Kerr [27, Kerr-Newmann [28, Reissner-Nordstrom [29, 30, e as soluçõesde Gutsunaev e Manko [31, 32. Estas soluções modelam objetos ompa tos a oplados om algum ampo físi o, eletromagnéti o, rotação,...et . Outros exemplos interessantesna literatura são o estudo de dois uidos perfeitos a oplados [33 e o uido perfeito a o-plado om um quase-bura o negro [34.A motivação deste trabalho, está orientada a en ontrar modelos astrofísi os um pou omais realistas, no sentido de que seja apaz de one tar, satisfatoriamente, os resultadosteóri os om as observações. Pensando nesta idéia, é de senso omum des rever umobjeto astrofísi o omo se fosse um nú leo massivo mais um uido. Este modelo têm sidoestudado rigorosamente no ontexto da Relatividade Geral, en ontrando sérios problemasna hora de pro urar uma dinâmi a si amente oerente om a observada.Espe i amente, nesta tese usaremos um aminho de aráter fundamental para nosaproximarmos da realidade. Estudaremos o aso estáti o om simetria axial da formamais geral possível, in luindo um ampo eletromagnéti o mais um uido imperfeito. Re-solveremos analiti amente as equações de Einstein para o aso estáti o, no qual o tensor de3

energia momento seja omposto de uma parte eletromagnéti a e outra parte do tipo uidoimperfeito (ou simplestemente uido). Veremos quais são as ondições termodinâmi asne essárias para o su esso deste a oplamento. Mostraremos que a solução representa umuido arregado ao redor de um dipolo magnéti o massivo. Mostraremos também as ara terísti as assintóti as da solução. De fato, quando o uido arregado desapare e, re- uperamos a solução do dipolo magnéti o massivo, no vá uo, onhe ida omo solução deGutsunaev e Manko [31, a qual a eita omo aso parti ular à solução de S hwarzs hild.Além do anterior, apresentamos um estudo do estado termodinâmi o da solução.Na seqüên ia, usaremos o mesmo formalismo para en ontrar uma solução analíti adependente do tempo das equações de Einstein para o aso no qual o orpo entral or-responde a um dipolo magnéti o e o uido é do tipo radiação. Neste aso o uido éanisotrópi o e a emissão de energia ai abruptamente om o tempo. A dependên ia tem-poral da métri a para este modelo é uma função que pode ser res ente ou de res ente(mas não os ilatória) indi ando absorção ou emissão de radiação. Para o aso onde o orreemissão, podemos hamar este modelo omo: solução do dipolo massivo irradiante.A reditamos que estas soluções poderiam ser he adas observa ionalmente, estudando ui-dadosamente os sistemas astrofísi os ompa tos ujo nú leo esteja altamente magnetizado.No apítulo 1 apresentamos um estudo da métri a de Weyl, in luindo a orrespon-dente solução de S hwarzs hild nessas oordenadas, devido ao fato de que as soluçõesdas equações de Einstein que representam objetos astrofísi os ompa tos devem onter asolução de S hwarzs hild omo aso parti ular.No apítulo 2, a oplamos à solução de S hwarzs hild um ampo magnéti o do tipo dipolare mostramos que a solução deste a oplamento oin ide om a onhe ida métri a de Gut-sunaev e Manko [31, a qual representa um dipolo magnéti o massivo no vá uo. Atravésdesta solução faremos um estudo uidadoso da teoria do dipolo magnéti o no ontexto da4

Relatividade Geral.No apítulo 3, apresentamos um breve resumo sobre a termodinâmi a de uidos relati-vistas. Analisamos as vantagens e os defeitos da teoria de E kart e faremos uma breve omparação om a termodinâmi a ausal de Israel.No apítulo 4 apresentamos e resolvemos o problema fundamental desta tese, ou seja,a oplamos o dipolo magnéti o massivo om um uido arregado. Estudamos o omporta-mento assintóti o, tanto da métri a, omo do ampo eletromagnéti o. Além do anterior,estudamos a termodinâmi a do sistema, ou seja one tamos a teoria do apítulo 3 e osresultados do apítulo 4, om a nalidade de en ontrar o estado termodinâmi o do sistemasegundo a nossa solução do modelo.No apítulo 5 apresentamos uma segunda solução analíti a das equações de Einstein. Elaé dependente do tempo e orresponde ao resultado do a oplamento de um dipolo mag-néti o massivo, do tipo Gutsunaev e Manko, e um uido anisotrópi o que ara teriza aradiação emitida pelo dipolo. Ela é hamada de solução do dipolo magnéti o massivoirradiante. En ontramos que as emissões do modelo podem ser omparadas om grandespulsos de energia. Esta radiação, na vizinhança de uma fonte magnéti a extrema, a eitaa possibilidade teóri a de ter ara terísti as vis osas.Finalmente no apítulo 6 apresentamos as on lusões.No nal da tese agregamos um apêndi e om o paper submetido na Physi al Review D eque mostra os resultados prin ipais desta tese de doutorado.

5

6

Capítulo 1Solução de S hwarzs hildTendo omo objetivo en ontrar soluções das equações de Einstein que permitam o a opla-mento de diferentes tipos de ampos (gravitatório, eletromagnéti o, uído...et .), omeça-mos esta tese om um apítulo referente à solução fundamental para objetos astrofísi os ompa tos, a solução de S hwarzs hild es rita em oordenadas axiais, já que ela será olimite assintóti o que usaremos nesta pesquisa para quando onsiderarmos os amposrestantes muitos fra os.1.1 Comentários sobre soluções exatasO omportamento assintóti o de ada uma das soluções das equações de Einstein é vitalna hora de fazer a interpretação físi a da mesma. Por exemplo, a solução de S hwarzs- hild, para grandes distân ias, é equivalente ao modelo gravita ional Newtoniano de umapartí ula massiva. De fato, ela representa o exterior (estáti o e isotrópi o) de um orpoma iço om simetria esféri a, onseguindo responder satisfatoriamente os testes lássi- os aos quais foi submetida a relatividade geral: a pre essão do periélio de Mer úrio, amudança nas linhas espe trais e o desvio de um feixe de luz pela interação om amposgravita ionais intensos. Expli itamente, a métri a de S hwarzs hild es rita em termos do7

elemento de linha ara terísti o em oordenadas esféri as é denida pords2 =

(1 − 2m

r

)−1

dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 −(

1 − 2m

r

)dt2 , (1.1)na qual m é a massa do orpo entral, responsável pela deformação do espaço-tempo ea formação de um horizonte de eventos numa distân ia r = 2m, onhe ido omo raio deS hwarzs hild . Esta solução, é usada omo o limite assintóti o de diversos asos. Porexemplo, um objeto de massa m e arga q está araterizado pela solução tipo eletro-vá uo om simetria esféri a de Reissner-Nordstrom, uja métri a é denida segundo o elementode linha

ds2 =

(1 − 2m

r+

q

r2

)−1

dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 −(

1 − 2m

r+

q

r2

)dt2 . (1.2)Neste ponto não vamos entrar em detalhes té ni os sobre as diferenças geométri as exis-tentes para as diferentes soluções das equações de Einstein. O que faremos será simples-mente omparar as métri as e observar que esta solução de Reissner-Nordstrom se reduzà solução de S hwarzs hild uma vez que a arga é desprezada. Usando um ponto de vistaesquemáti o extremamente simpli ado, podemos dizer queReissner-Nordstrom = S hwarzs hild + arga elétri a.Isto é só de aráter pedagógi o, já que as diferenças entre estes modelos vão além deuma simples arga elétri a a mais. De fato, em geral, mudanças notórias a onte emna geometria do sistema quando agregamos mais um ampo. Para objetos om rotaçãopodemos falar da solução de Kerr, a qual pode ser esquematizada na formaKerr = S hwarzs hild + rotação,que representa um bura o negro em rotação. Neste ponto, é interessante observar quea rotação atua omo um ampo interagindo om a gravidade do bura o negro, de talforma que se anulamos a velo idade angular do bura o negro re uperamos a solução deS hwarzs hild. 8

Da mesma forma outras soluções do tipo eletro-vá uo podem ser esquematizadas seguindoo mesmo ra io ínio; A solução de Kerr-Newmann, por exemplo, representa um bura onegro arregado e em rotação, ou sejaKerr-Newmann = Kerr + arga elétri a.Vemos neste aso que além do ampo de rotação existe um segundo ampo interagindo om a gravidade do bura o negro; o ampo eletromagnéti o.Com respeito a soluções om ampos magnéti os podemos itar a solução de Gutsunaeve Manko que pode ser esquematizada na formaGutsunaev e Manko =S hwarzs hild + momento dipolar magnéti o.A análise desta solução será feita em detalhes no apítulo 2, já que será fundamental para onseguir o nosso objetivo de a oplar um ampo eletromagnéti o e um ampo de uido om a gravidade.A existên ia do dipolo magnéti o impli a a existên ia de um eixo preferen ial, o quemotiva o uso de uma métri a axialmente simétri a. É por esta razão que estudaremosneste apítulo a solução de um orpo massivo no vá uo axial (S hwarzs hild em oorde-nadas de Weyl) e, na seqüên ia, estudaremos a solução de Gutsunaev e Manko [31 quea opla um ampo magnéti o dipolar à solução de S hwarzs hild. Desta forma, teremosuma base sólida para entender o omportamento assintóti o que deve ser satisfeito no apítulo 4, onde estudaremos o a oplamento entre um uido arregado e um objeto om-pa to om propriedades magnéti as.No to ante à notação das derivadas, é importante es lare er alguns detalhes. Ao longodesta tese usaremos a vírgula , ou o símbolo ∂ para representar a derivada par ial, de-pendendo da omplexidade das equações, ou seja T,α = ∂αT . Além disso, denimos a9

derivada ovariante om respeito à oordenada xα omo ∇α e que distinguiremos do ope-rador diferen ial Nabla −→∇ , em duas dimensões, que será usado nesta tese e que denimosnas oordenadas de Weyl-Papapetrou, na forma: −→∇ ≡ ρ ∂ρ + z ∂z .1.2 Solução de S hwarzs hild em oordenadas de WeylEmbora existam diversos métodos para gerar soluções tipo vá uo axisimétri o, a maioriadeles são apli ados usando as oordenadas anni as de Weyl (ver a gura 1.2) devidoà sua propriedade de linearização par ial das equações de Einstein. Neste aso, usando

Figura 1.1: Coordenadas anni as de Weyl ρ, z, ϕ.as oordenadas de Weyl (1, 2, 3, 4) = (ρ, z, ϕ, t), a métri a axialmente simétri a pode seres rita na forma:ds2 =

e2γ

f

[dρ2 + dz2

]+

ρ2

fdϕ2 − fdt2 , (1.3)na qual, f e γ são funções das oordenadas (ρ, z). As equações de Einstein no vá uopodem ser su intamente es ritas na forma:

Rαβ = 0 , (1.4)10

na qual, Rαβ é o tensor de Ri i. Expli itamente usando a métri a (1.3), vemos que asequações de Einstein formam o seguinte sistema de equações diferen iais:γ,ρ =

ρ

4f 2(f 2

,ρ − f 2,z) (1.5)

γ,z =ρ

2f 2f,ρf,z (1.6)

γ,ρρ + γ,zz = − ρ

4f 2(f 2

,ρ + f 2,z) (1.7)

0 =f,ρ

ρf+

f,ρ,ρ + f,z,z

f−

f 2,ρ + f 2

,z

f 2. (1.8)É fá il ver que tanto a ondição de integração γ,ρ,z = γ,z,ρ , omo a substituição diretadas equações (1.5-1.6) na equação (1.7), onduzem à mesma relação:

→

∇ ·[

ρ

f

→

∇f

]= 0 , (1.9)denindo assim a função f(ρ, z). Para evitar onfusões, reiteramos que −→∇ ≡ ρ ∂ρ + z ∂z.Vemos que apesar da não-linearidade das equações de Einstein, hegamos na equação(1.9), a qual pode ser onsiderada do tipo linear se zermos f = eU . Com esta ondiçãoa equação (1.9) assume a forma

D1[U ] =→

∇ ·[ρ→

∇U]

= 0,onde D1 é um operador diferen ial linear e obede e ao prin ípio da superposição. Pode-mos ver que esta última relação orresponde à equação de Lapla e. Por outro lado, é fá ilver que a existên ia da solução do sistema de equações (1.5-1.8) é garantida se f é umasolução bem omportada da equação (1.9). Uma vez onhe ida a função da métri a f , afunção γ é al ulada por integração direta das equações (1.5) e (1.6).A solução tipo vá uo om simetria axial que nos interessa analisar é a solução deS hwarzs hild, a qual pode ser obtida diretamente resolvendo o sistema de equações. Nãoobstante, apresentaremos a solução de S hwarzs hild simplesmente por omparação entrea métri a de Weyl (1.3) e a métri a orrespondente om S hwarzs hild em oordenadas11

esféri as. A metodologia é a seguinte: Primeiro transformamos a métri a de Weyl a oordenadas prolatas elipsoidais e na seqüên ia transformamos as prolatas elipsoidais emesféri as. Este pro edimento e re omendado para este m, já que, simpli a bastante apassagem de oordenadas axiais a esféri as.Seguindo esta linha de ra io ínio, usamos as oordenadas prolatas elipsoidais x e y,denidas segundo a transformaçãoρ = k

√x2 − 1

√1 − y2 z = kxy e k = onstante, (1.10)de forma que podemos rees rever a métri a de Weyl na forma

ds2 =k2

fe2γ(x2 − y2

) [ dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

]+

k2

f

(x2 − 1

) (1 − y2

)dϕ2 − fdt2 . (1.11)Deste modo, se utilizamos uma segunda transformação de oordenadas do tipo prolataselipsoidais a esféri as, então poderíamos omparar as omponentes desta métri a tipoesféri a, om as orrespondentes da métri a de S hwarzs hild. Para este aso, a transfor-mação pode ser es olhida na forma

x = u(r) , y = cos θ, (1.12)onde u(r) deve ser determinado. Usando esta transformação (1.12) na métri a de Weyl,obtemos a métri a de Weyl es rita nas oordenadas esféri as, ou sejads2 =

k2

fe2γ(u2 − cos2 θ

) [(u,r)2dr2

u2 − 1+ dθ2

]+

k2

f

(u2 − 1

)sin2 θdϕ2 − fdt2 . (1.13)Agora, omparando as omponentes desta métri a om as omponentes da métri a deS hwarzs hild

ds2 =

(1 − 2m

r

)−1

dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 −(

1 − 2m

r

)dt2 , (1.14)12

obtemos que as seguintes relações devem ser satisfeitasf = 1 − 2m

r(1.15)

k2 (u2 − 1)

f= r2 (1.16)

k2e2γ (u2 − cos2 θ)

f= r2 (1.17)

k2e2γ (u2 − cos2 θ)

(u2 − 1) f

(du

dr

)2

=

(1 − 2m

r

)−1 , (1.18)as quais, nos permitem armar que podemos transformar a métri a de Weyl na métri ade S hwarzs hild se assumirmos quex =

1

k(r − m) , y = cos θ , (1.19) om k = m. Usando esta transformação, vemos que a solução de S hwarzs hild es ritaem oordenadas de Weyl é

f =x − 1

x + 1, e2γ =

x2 − 1

x2 − y2, (1.20)na qual x > 1 e −1 < y < 1. Podemos omprovar fa ilmente que a solução (1.20)satisfaz as equações (1.5)-(1.8), evidentemente após a orrespondente transformação para oordenadas prolatas elipsoidais. De fato, a equação fundamental de Weyl (1.9) nas oordenadas prolatas elipsoidais pode ser es rita na forma

[1

f

(x2 − 1

)f,x

]

,x

+

[1

f

(1 − y2

)f,y

]

,y

= 0. (1.21)Esta equação foi amplamente estudada, e em geral, para o aso assintoti amente plano seassumem soluções em série de polinmios da formaf(x, y) =

∞∑

n=0

anQn (x) Pn (y) , (1.22)na qual Pn (y) e Qn (x) são os polinmios de Legendre de primeira e segunda espé ie. Umaseparação de variáveis deste tipo nos onduz a duas equações de Legendre, uma para ada13

variável x e y, permitindo assim uma simpli ação muito útil do problema. Mas o asoparti ular que nos interessa éf = (x − 1)σ (x − 1)−σ , (1.23)o qual foi estudado amplamente por Zipoy [35 e Vorhees [36, os quais mostram queo aso σ = 1 orresponde exatamente à solução de S hwarzs hild fora do horizonte deS hwarzs hild .Notemos que a ondição x > 1 impli a ne essariamente que

x =1

m(r − m) > 1 ⇒ r > 2m , (1.24)mostrando que a solução é válida fora do horizonte de eventos.No apítulo seguinte a oplaremos um ampo magnéti o a esta solução estudada por Zi-poy e que reperessenta a solução de S hwarzs hild es rita em oordenadas axiais. Estea oplamento é onhe ido omo solução do dipolo magnéti o massivo no vá uo.

14

Capítulo 2Dipolo magnéti o massivo emRelatividade Geral2.1 IntroduçãoEm relatividade geral são bem onhe idas as soluções que permitem des rever a geometriado espaço-tempo ao redor de um orpo material om e sem propriedades elétri as, destemodo, resulta natural e pertinente nos perguntar sobre o que a onte e para o aso no qual o orpo material possui propriedades magnéti as. Para responder esta questão estudaremosas equações de Einstein-Maxwell para o aso no qual o quadri-poten ial gera um tensorde Maxwell que possui só omponentes asso iadas ao ampo magnéti o.15

2.2 Equações de Einstein-Maxwell para o problema dodipolo magnéti o massivoProblemas do tipo eletro-vá uo no ontexto da Relatividade Geral são resolvidos por meiodas equações de Einstein-MaxwellGαβ = 8π

(EM)

Tαβ , (2.1)na qual, Gαβ é o tensor de Einstein e (EM)

Tαβ é o tensor de energia-momento eletromagnéti oasso iado ao sistema. Novamente usamos as oordenadas de Weyl (1, 2, 3, 4) = (ρ, z, ϕ, t).O tensor eletromagnéti o será al ulado através do quadri-poten ial do ampo eletromag-néti o, es olhido apropriadamente para que se manifestem só ara terísti as magnéti as,em parti ular ara terísti as do tipo dipolo magnéti o. Podemos notar que a hipótesedeste problema indi a a existên ia de um eixo privilegiado: o eixo do dipolo. Em vir-tude desta observação, usaremos uma métri a om simetria axial. Assumimos a forma ara terísti a da métri a (1.3) de Weylds2 = F−1

(e2H

[dρ2 + dz2

]+ ρ2dϕ2

)−Fdt2 , (2.2)onde F e H são funções das também hamadas oordenadas de Weyl-Papapetrou (1, 2) =

(ρ, z). Em geral, dada uma métri a gαβ, o tensor de energia-momento eletromagnéti o édenido segundo a seguinte equação tensorial(EM)

Tαβ =1

4π

[Fατ F τ

β − 1

4gαβFτσ F τσ

], (2.3)na qual, Fαβ é o tensor de Maxwell, e denido segundo

Fαβ = ∂βAα − ∂αAβ , (2.4)onde Aµ é o quadri-poten ial do ampo eletromagnéti o. Para denir o quadri-poten ialAµ de forma que represente um dipolo magnéti o, usamos as ara terísti as do aso aná-logo não relativista, que possui só omponente angular. Desta forma justi amos o fato16

de denir o quadri-poten ial na formaAµ = [0, 0,A, 0] , (2.5)onde A é também função de (ρ, z), e orresponde à omponente φ do quadri-poten ialeletromagnéti o. Neste aso a quarta omponente é a omponente paralela ao tempopróprio. Assim, o tensor de Maxwell é

Fαβ =

0 0 A,ρ 0

0 0 A,z 0

−A,ρ −A,z 0 0

0 0 0 0

. (2.6)Se usarmos a equação de Maxwell

4πJµ = ∇αF µα = 0 , (2.7)que dene a quadri- orrente Jµ, deveríamos al ular expli itamente que todas suas om-ponentes são nulas, devido ao fato de estarmos estudando o aso estáti o e no vá uo. Defato, em virtude da anti-simetria do tensor de Maxwell, a equação (2.7) pode ser rees ritana forma4π

√−gJµ =

(√−ggαλgνµFνλ

),αem que g é o determinante da métri a. Neste aso obtemos que

√−g =

1

F ρe2H.Conseqüentemente, al ulando as omponentes da quadri- orrente, deveríamos omprovarfa ilmente que J1 = J2 = J4 = 0, om tudo, para que todas as omponentes da quadri- orrente sejam nulas é ne essário que a seguinte ondição para J3 seja satisfeita:−→∇ ·

[Fρ

−→∇A]

= J3 = 0. (2.8)Além desta ondição, usando as equações de Einstein-Maxwell (2.1), onde o tensor deenergia-momento eletromagnéti o é dado por (2.3), podemos obter as restantes equações17

diferen iais para o aso do dipolo magnéti o no ontexto da Relatividade Geral. Estasequações podem ser es ritas na formaH,ρ =

ρ

4

F2,ρ −F2

,z

F2+

Fρ

(A2

,ρ −A2,z

), (2.9)

H,z =ρ

2

F,zF,ρ

F2+

2Fρ

A,ρ A,z, (2.10)H,z,z + H,ρ,ρ = −1

4

F2,ρ + F2

,z

F2+

Fρ2

(A2

,ρ + A2,z

), (2.11)

0 =F,ρ

ρF +F,ρ,ρ + F,z,z

F − 1

4

F2,ρ + F2

,z

F2− 2F

ρ2

(A2

,ρ + A2,z

). (2.12)Para resolver este sistema usamos a ondição de integração H,ρ,z = H,z,ρ proveniente dasequações (2.9) e (2.10), que de forma su inta pode ser es rita omo

−→∇ ·( ρ

F−→∇F

)− 2F

ρ

−→∇A · −→∇A = 0, (2.13)a qual é idênti a à equação de Einstein (2.12). Além do anterior, se substituirmos asequações (2.9) e (2.10) na equação (2.11), om mais um pou o de álgebra podemos obtero sistema de equações que dene as funções F e A, es rito na forma:(F

ρA,ρ

)

,ρ

+

(FρA,z

)

,z

= 0, (2.14)(

ρ

FF,ρ − 2FρAA,ρ

)

ρ

+

(ρ

FF,z − 2FρAA,z

)

,z

= 0. (2.15)Neste ponto, é interessante notar que a equação (2.14) é justamente a ondição (2.8), oque veri a que a omponente da quadri- orrente J3 é nula.

18

2.3 Solução das equações de Einstein-Maxwell para oproblema do dipolo magnéti oPara resolver o sistema de equações (2.14-2.15), usamos as oordenadas prolatas elipsoi-daisρ = k

√x2 − 1

√1 − y2 , z = kxy, (2.16)de tal forma que as equações (2.14) e (2.15) podem ser rees ritas na forma

[ F1 − y2

A,x

]

,x

+

[ Fx2 − 1

A,y

]

,y

= 0 (2.17)[x2 − 1

F F,x −2Ak2

F1 − y2

A,x

]

,x

+

[1 − y2

F F,y −2Ak2

Fx2 − 1

A,y

]

,y

= 0. (2.18)Se zermos a substituição F = u(x)G(x, y), então a equação (2.17) pode ser es ritasegundo[(

x2 − 1)(u,x

u+

G,x

G

)− 2A

k2

uG

1 − y2A,x

]

,x

+

[(1 − y2

)uG,y

G− 2A

k2

uG

1 − y2A,x

]

,y

= 0,(2.19)o que nos permite es olher u(x) em forma onveniente. Neste aso, omparando om asolução de S hwarzs hild (1.20), podemos es olher simplesmenteu =

x − 1

x + 1. (2.20)Por outro lado, se denimos a função W = W (x, y) tal que A = k (1 − y2)W , então asequações (2.17) e (2.18) podem ser rees ritas na forma

[x − 1

x + 1GW,x

]

,x

+

[G

(x + 1)2

[(1 − y2

)W],y

]

,y

= 0, (2.21)[(

x2 − 1)(G,x

G− 2 (1 − y2)WGW,x

(x + 1)2

)]

,x

+

[(1 − y2

)(

G,y

G−

2WG [(1 − y2) W ],y

(x + 1)2

)]

,y

= 0.(2.22)19

Para resolver este sistema de equações diferen iais usamos uma função diferen iável, que hamamos Φ(x, y), tal que satisfaça as relaçõesΦ,y =

x − 1

x + 1GW,x, (2.23)

Φ,x = − G

(x + 1)2

[(1 − y2

)W],y

, . (2.24)Deste modo, a existên ia de Φ(x, y) garante que a equação (2.21) seja trivialmente satis-feita e a equação (2.22) passa a ser rees rita em termos de Φ, G e W na forma[x2 − y2

]([

G,x

2G

]

,y

+(x + 1)

G (x − 1)Φ,xΦ,y

)+(1 − y2

)[Φ,x,x − Φ,yy] W = 0. (2.25)Podemos assumir que Φ e W são funções ra ionais, tais que

Φ =N

D, W =

S

M(2.26)onde N, D, S e M são polinmios nas variáveis (x, y), tais que

N(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

ηjmxjym (2.27)S(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

σjmxjym (2.28)D(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

δjmxjym (2.29)M(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

µjmxjym (2.30)onde ηjm, σjm, δjm, e µjm são os oe ientes orrespondentes a ada polinmio e quedevemos determinar segundo as equações (2.23-2.25) e jmax é o grau do polinmio tantopara a variável x omo para y. Notemos que substituindo as relações (2.26) na equação(2.23) obtemos a equaçãoDN,y − ND,y

D2=

x − 1

x + 1

MS,x − SM,x

M2G,20

a qual nos mostra que a função G deve ser também uma função ra ional, ainda mais, onvenientemente da formaG =

(M

D

)2

. (2.31)Desta maneira as equações (2.23) e (2.24) podem ser rees ritas em termos dos polinmiosN, D, S, e M , omo

(x + 1) (DN,y − ND,y) − (x − 1) (MS,x − SM,x) = 0, (2.32)(x + 1)2 (DN,x − ND,x) + M2

[(1 − y2

) S

M

]

,y

= 0, (2.33)onde vemos que este sistema de equações pode ser resolvido por omparação simplesdos polinmios envolvidos, ou seja, o sistema de equações diferen iais (2.17) e (2.18) sereduz a um sistema de equações dos oe ientes dos polinmios M, N, S e D. Além dasequações (2.32) e (2.33) usaremos a equação (2.25) diretamente para denir os oe ientes.Finalmente resolvemos o sistema de equações usando as seguintes ondições:• As funções G e W são pares na variável y: isto impli a simetria de reexão no plano

z = 0 nas oordenadas de Weyl-Papapetrou.• A ondição anterior nos motiva a es olher jmax omo um número natural par.• Se pensamos que esta solução deve onter a solução de S hwarzs hild omo asoparti ular, então deve ser satisfeita a ondição

limx→∞

G(x, y) = 1, (2.34)a qual é válida para a solução de S hwarzs hild.Para jmax = 2 en ontramos que não existe uma solução si amente oerente. Não obs-tante, para jmax = 4 obtemos um grande número (162) de equações simultâneas paradenir os oe ientes dos polinmios envolvidos, segundo as equações (2.32)-(2.25). De-vemos notar que estas equações são ombinações linhares de produtos dos oe ientes,21

e é por esta razão que não apresentamos aqui o sistema de equações e só apresentamosa solução nal, a qual foi obtida usando omputação algébri a (MAPLE). Assim, estasolução é dada pelas seguintes expressões:Φ =

8kα3xy (x − 1)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1), (2.35)

F =x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

)2

, (2.36)A =

4kα3 (1 − y2) [2 (α2 + 1)x3 + (1 − 3α2)x2 + y2 + α2]

(α2 + 1)([x2 − y2 + α2 (x2 − 1)]2 + 4α2x2 (1 − y2)

) . (2.37)Em este ponto é bom es lare er que para jmax > 4 podemos ter outras soluções omestruturas multipolares diferentes. Para al ular a função da métri a H usamos a trans-formação de derivadas em oordenadas prolatas elipsoidais de modo queH,x =

kx√

1 − y2

√x2 − 1

H,ρ + kyH,z (2.38)H,y =

−ky√

x2 − 1√1 − y2

H,ρ + kxH,z , (2.39)em que H,ρ e H,z estão denidas segundo as equações (2.9) e (2.10). A integração podeser feita diretamente e obtemos quee2H =

x2 − 1

x2 − y2

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

)4

(α2 + 1)8(x2 − y2)8. (2.40)Vemos que a solução das equações de Einstein para este aso depende dos parâmetrosreais m e α, asso iados à massa e o momento dipolar magnéti o respeitivamente.Na seção seguinte daremos uma interpretação para estes parâmetros fazendo um estudoassintóti o da solução, a qual é hamada solução de Gutsunaev e Manko [31.

22

2.4 Análise da Solução de Gutsunaev e MankoComo já foi visto anteriormente (1.11), a métri a de Gutsunaev e Manko pode ser es ritaem oordenadas prolatas elipsoidais na formads2 =

k2

F e2H(x2 − y2

) [ dx2

x2 − 1+

dy2

1 − y2

]+

k2

F(x2 − 1

) (1 − y2

)dϕ2 −Fdt2 , (2.41)onde as funções da métri a F e e2H foram denidas segundo as equações (2.36) e (2.40).De forma análoga ao estudo feito no apítulo 1, fazemos uma transformação de oor-denadas do tipo

x =1

k(r − m) , y = cos θ . (2.42)Deste modo a métri a pode ser transformada a oordenadas esféri as e, na seqüen ia, omparada om a métri a de S hwarzs hild. Não obstante, estamos preo upados om o omportamento assintóti o da solução, em outras palavras, queremos analisar a físi a domodelo longe do origem de oordenadas. É por isto que após transformar as funções damétri a F e e2H, deixando-as em função de r e θ, segundo (2.42), é onveniente fazer umaexpansão em serie de potên ias de r−1. Desta forma obtemos que

F = 1 − 2k (1 − 3α2)

(1 + α2) r− 2k (1 − 3α2) (m − k + 3kα2 + mα2)

(1 + α2)2 r2+ O

(r−3) (2.43)e

e2H = 1 − m2 sin2 θ

r2+ O

(r−3). (2.44)É fá il ver que o omportamento assintóti o da métri a é do tipo S hwarzs hild para

k =m (1 + α2)

(1 − 3α2). (2.45)De fato, para grandes distân ias vemos que

F = 1 − 2m

r+ O

(r−3) (2.46)e

e2H = 1 − O(r−2). (2.47)23

Analogamente, expandindo a função poten ial A em termos de r−1, podemos es revê-lana formaA =

8m2α3 sin2 θ

(1 − 3α2)2 r+

12m3α3 sin2 θ

(1 − 3α2)2 r2+ O

(r−3) , (2.48)na qual podemos ver que a forma assintóti a para o poten ial eletromagnéti o é do tipodipolar magnéti o, tal que podemos denir o momento magnéti o µ na forma

µ =8m2α3

(1 − 3α2)2 , (2.49)a qual impli a queA =

µ sin2 θ

r+ O

(r−2) . (2.50)Podemos ver fa ilmente que para α = 0 re uperamos a solução de S hwarzs hild. Devemosnotar que a pesar que a solução de S hwarzs hild tenha um horizonte de eventos, isto nãoimpli a que a solução de Gutsunaev e Manko também tenha um horizonte, esta questãoé bem mais deli ada e pre iza um estudo mais detalhado. De fato, dado que x > 1, entãone essariamente deve-se satisfazer que

x =1

k(r − m) > 1 ⇒ r > m + k , (2.51)na qual k =

m(1+α2)(1−3α2)

, mostrando que a solução é válida parar > 2m

(1 − α2)

(1 − 3α2). (2.52)Podemos notar que existe uma restrição natural para o parâmetro α, de fato podemosgarantir que a solução é válida fora do horizonte sempre que

−1√3

< α <1√3. (2.53)Nos apítulos seguintes nos preo uparemos om o problema de a oplar um uido arregado à solução de Gutsunaev e Manko, e tentaremos obter um modelo um pou o maisrealista que possa ser apli ado em estudos astrofísi os. É por esta razão que estudaremosa teoria dos uidos relativísti os reais. 24

Capítulo 3Fluidos imperfeitos relativistas.3.1 IntroduçãoPara muitos modelos da osmologia ou na astrofísi a, o uido perfeito é um modeloadequado. No entanto, uidos reais possuem um omportamento tal que os pro essosenvolvidos podem se tornar irreversíveis [39. Embora nosso interesse esteja voltado emen ontrar uma solução para o a oplamento entre um ampo eletromagnéti o e um ampode uido, em que o uido e os restantes ampos estejam em equilíbrio, temos que nospreo upar om a possível existên ia de quantidades dissipativas. Por exemplo, a presençado ampo magnéti o pode gerar uma vis o idade inéti a efetiva no uido, tal omo éexpli ado por S. Chandrasekhar no aso de uidos arregados [46. Deste modo vamosdedi ar este apítulo à teoria dos uidos relativistas dissipativos em geral, para depois,apli á-la ao aso parti ular que nos interessa.Neste momento, é pertinente fazer o seguinte omentário. No ano 1940 C. E kartprops uma teoria para des rever o omportamento irreversível de um gás ideal relati-vista [49, usando um tensor de esforços que in lui uxo de alor, e usando um observadorsobre a partí ula do uido. Como veremos neste apítulo, o modelo de E kart apresentaproblemas de ausalidade om respeito aos uxos de energia, pois observadores não iner-25

iais poderiam observar uma a eleração no uxo de alor que independe do gradiente detemperatura, podendo ser a elerados innitamente. Este tema já sofreu inúmeras mo-di ações e adaptações pou o onvin entes. Landau e Lifshitz em 1950, apresentaramuma variante da termodinâmi a de E kart, usando um observador que viaja junto om aradiação. Mas este modelo também apresenta problemas similares de ausalidade e alémdisso os estados de equilíbrio tornam-se instáveis. O maior problema é manter o prin ípiode ausalidade e a segunda lei da termodinâmi a, mas existe uma formulação relativís-ti a devida a Israel e Stewart [50, que onsegue solu ionar este problema de ausalidade.Basi amente este tratamento agrega termos quadráti os nas variáveis dissipativas que ompensam as a elerações no uxo de alor solu ionando este problema ausal. É poresta razão que esta formulação é hamada de termodinâmi a ausal ou de segunda ordem[51.Este apítulo tem omo objetivo estudar de forma geral a termodinâmi a asso iada om o uido que queremos a oplar à solução de Gutsunaev e Manko. Entretanto, omoini ialmente não sabemos quais são as ara terísti as deste uido, assumimos uma formaum pou o mas realista do que o uido perfeito e in orporaremos nele termos asso iadosàs tensões e à dissipação térmi a.

26

3.2 Comentários sobre a Termodinâmi a RelativistaComeçamos es lare endo que numa hipersuper ie do espaço-tempo as leis da termodinâ-mi a são válidas lo almente. Em outras palavras, sempre podemos en ontrar lo almenteuma forma de transformar a métri a original em uma métri a tipo Minkowski. A basedesta transformação é hamada base de tetradas, e ada tensor transformado via estabase de tetradas possui omponentes que são hamadas de omponentes físi as do tensor orrespondente, já que elas são medidas lo almente, onde a relatividade espe ial é válida.Desta forma, assumindo a validade lo al das leis da termodinâmi a em um espaço-tempobem omportado, estudaremos as relações bási as da termodinâmi a que nos permitirãoen ontrar o tensor de energia-momento para um uido relativísti o que envolva quanti-dades dissipativas. Começamos om a equação de Euler, a qual nos diz que a energiainterna E do uido éE = TS − PV + µN , (3.1)na qual, T, S, P, V, µ, N são respe tivamente a temperatura, a entropia, a pressão, o vo-lume, o poten ial quími o e o número de partí ulas, referentes ao uido. Por outro lado,a primeira lei da termodinâmi a pode ser es rita numa forma diferen ial (para transfor-mações innitesimais) na forma

dE = TdS − PdV + µdN , (3.2)a qual dá onta da onservação de energia no sistema. Se ombinarmos as equações (3.1)e (3.2), obtemos a seguinte relação diferen ialV dP = SdT + Ndµ , (3.3)a qual é usada para denir o poten ial quími o relativista. Agora é ne essário res reverestas relações em termos das densidades orrespondentes às variáveis extensivas, dado queo tensor de energia-momento do uido é denido usando a densidade de energia. Por esta27

razão, denimos as densidades de energia, de entropia e de número de partí ulas, tal queε =

E

Vs =

S

Vn =

N

V. (3.4)Como já tínhamos dito, usamos estas quantidades para rees rever as relações (3.1) e (3.3),de modo que

ε = Ts − P + µn , (3.5)dP = sdT + ndµ . (3.6)Se usamos a forma diferen ial de (3.5) e a ompararmos om a equação (3.6), obtemosquedε = Tds + µdn. (3.7)Não obstante, µ pode ser al ulado diretamente da equação (3.5), e desta forma, substi-tuindo o poten ial quími o µ na equação (3.7), temos que

dε = Tds +P

ndn +

ε

ndn − Ts

ndn, . (3.8)Finalmente, se usarmos as identidades

ds = nd( s

n

)+ s

dn

n(3.9)e

dε = nd( ε

n

)+ ε

dn

n, (3.10)então a relação (3.8) é res rita na forma padrão da relação de Gibbs [49, ou seja

Td( s

n

)= d

( ε

n

)+ Pd

(1

n

), (3.11)a qual é usualmente usada na termodinâmi a relativísti a.

28

3.3 Termodinâmi a de E kartSe assumirmos que as quantidades físi as do uido são funções da quadri-posição xα , entãopodemos es rever fa ilmente as equações (3.5) e (3.6) na forma de quadri-gradientes, ousejanµ,α = P,α − sT,α (3.12)eε,α = µn,α + Ts,α . (3.13)Neste ponto podemos fazer uma onexão om o tensor de energia-momento do uido. Defato, a densidade de energia ε é, por denição,

ε = vαvβTαβ, (3.14)na qual vα é a quadri-velo idade do observador, a qual, segundo a termodinâmi a depro essos irreversíveis de E kart, assume-se que é omóvel ao uido, entendendo isto omoparado om respeito do uido. Neste aso, para uma métri a de omponentes gαβ, omassinatura do tipo +++−, se satisfaz que se a quadri-velo idade é do tipo tempo, então,vαvα = −1. Falando um pou o mais sobre a quadri-velo idade vα do uido (e tambémdo observador), podemos agregar que ela é função das oordenadas, e determina em adaponto do espaço-tempo a direção om respeito do eixo lo al asso iado ao tempo próprio.As três direções lo almente ortogonais ao eixo do tempo próprio denem os eixos lo aisdo espaço próprio. Para entender estes on eitos, podemos dizer que a ontração de umtensor genéri o Kα om a quadri-velo idade vα pode ser interpretada omo a projeção dotensor Kα sobre o eixo do tempo próprio. Desta mesma forma, existe também um tensorque projetará o tensor Kα no espaço próprio, o qual é hamado de projetor espa ial edenotado por hαβ . Fa ilmente podemos ver que o projetor espa ial deve ser da forma

hαβ = vαvα + gαβ. (3.15)29

De fato, vemos que a projeção espa ial do projetor temporal é nulo (e vi e-versa), ou sejahαβvα = 0. (3.16)Desta forma, podemos ver que todo tensor de primeira ordem pode ser de omposto emsuas projeções no tempo próprio e no espaço próprio. Para es lare er um pou o mais estade omposição vemos que qualquer tensor de primeira ordem Kα pode ser es rito na forma

Kα = kvα + hβαkβ, (3.17)onde k = Kαvα é a projeção no tempo próprio e kβ = hα

βKα é a omponente projetadano espaço próprio.Lembremos que nossa preo upação está fo ada em denir o tensor de energia-momentopara o uido. Então, dado que este tensor é de segunda ordem e simétri o, podemos fazeruma de omposição geral, para tensores deste tipo, nas suas omponentes próprias. Defato, todo tensor simétri o de segunda ordem W αβ pode ser es rito na formaW αβ = wvαvβ + vαwβ + vβwα + wαβ, (3.18)na qual, w , wα e wαβ são denidos omo

w = vαvβW αβ , (3.19)wα = −hα

γW γβvβ , (3.20)wαβ = hα

γhβδ W

γδ , (3.21)e representam as omponentes próprias do tensor W αβ.Usaremos esta de omposição para analisar o tensor de energia-momento de um uido.Uma primeira aproximação é usar um tensor de energia-momento na formaT αβ = εvαvβ + Phαβ + Ωαβ , (3.22)o qual representa o tensor de energia-momento de um uido perfeito, om densidade deenergia ε, pressão P e mais uma ontribuição Ωαβ , devida às omponentes dissipativas eas tensões. 30

O tensor de tensão Ωαβ satisfaz a de omposiçãoΩαβ = ωvαvβ + vαωβ + vβωα + ωαβ , (3.23)na qual ω , ωα e ωαβ são as respe tivas omponentes próprias do tensor Ωαβ . Podemosver que, segundo o tensor de energia momento (3.22) e o fato de que, por denição, aenergia do uido é

ε = T αβvαvβ, (3.24)deve-se satisfazer queω = vαvβΩαβ = 0. (3.25)Além do anterior o quadri-vetor ωα é denido porωα = −hα

γ Ωγβvβ , (3.26)e representa a projeção espa ial do uxo de energia dissipativo Ωγβvβ. Em outras palavras, orresponde ao vetor uxo de alor, o qual hamaremos de qα. Denimos então o vetoruxo de alor segundo qα = ωα. Finalmente, o tensor espa ial ωαβ é denido segundoωαβ = hα

γhβδ Ωγδ. (3.27)Vemos que tanto qα omo ωαβ são projeções no espaço próprio, e portanto eles são trans-versais às linhas de mundo e satisfazem as ondições

qαvα = ωαβvα = 0. (3.28)Uma forma onveniente de es rever o tensor ωαβ é fazer uma separação da formaωαβ = τhαβ + ταβ , (3.29)de tal maneira que o tensor de energia momento pode ser res rito na forma

T αβ = εvαvβ + (P + τ) hαβ + vαqβ + vβqα + ταβ . (3.30)31

Desta forma, resta determinar a forma explí ita de τ e ταβ , sabendo que são satisfeitasas ondiçõesταβvβ = 0 e ταβ − τβα = 0. (3.31)Na seqüên ia, trabalharemos algebri amente om o tensor de energia momento (3.30).Primeiro o ontraímos om a quadri-velo idade e obtemos

T αβvβ = −εvα − qα. (3.32)Agora, derivando ovariantemente a expressão (3.32) e fazendo uso das leis de onservaçãoda energia ∇αT αβ = 0 e da onservação do uxo de densidade de número de partí ulas∇α (nvα) = 0, temos que

T αβ∇αvβ = −vα∇αε − εθ −∇αqα , (3.33)na qual, a quantidade θ = ∇αvα é denida omo a expansão. A expansão manifesta a onvergên ia ou divergên ia das geodési as no espaço-tempo. Por outro lado, dado quevαvα = −1, então é válido dizer que

vα∇βvα = −vα∇βvα. (3.34)No entanto vemos quevα∇βvα = vα∇β (gαγvγ) = vαgαγ∇βvγ = vγ∇βvγ , (3.35)ou seja, das relações (3.34) e (3.35) podemos provar que

vα∇βvα = vα∇βvα = 0. (3.36)As identidades (3.36) serão usadas para al ular o lado esquerdo da equação (3.33). Defato obtemos queT αβ∇αvβ = (P + τ) θ + vαqβ∇αvβ + ταβ∇αvβ. (3.37)32

Usando a primeira lei da termodinâmi a (3.7) no lado direito da equação (3.33) podemosrees revê-lo na forma−vα∇αε − εθ −∇αqα = −T∇α (svα) + Pθ −∇αqα. (3.38)Comparando os dois lados da igualdade (3.33), ou seja, (3.38) e (3.37), temos queτθ + vαqβ∇αvβ + ταβ∇αvβ = −T∇α (svα) −∇αqα, (3.39)a qual pode ser res rita de maneira onveniente tal que

∇α

(svα +

qα

T

)= −τθ

T− qα

T

(1

T∇αT + vβ∇βvα

)− ταβ

T∇αvβ , (3.40)na qual vemos que o termo svα representa o uxo de densidade de entropia ao longodas linhas de mundo, e o segundo termo qα

T, da mesma natureza, representa o uxo dedensidade de entropia que apare e sempre que há um uxo de alor.Finalmente designamos o vetor uxo de densidade de entropia no uido omo sα.Desta forma, podemos denir a entropia total S por integração sobre uma superfí ie tipoespaço Σ, denida num tempo t0, tal que

S (Σ) =

∫

Σ

sαd3xα. (3.41)A segunda lei da termodinâmi a requer que esta entropia total não diminua no de orrerdo tempo. Então, se S é avaliada sobre uma superfí ie tipo espaço Σ′, denida num tempot0 + ∆t, deve-se satisfazer que

S (Σ′) − S (Σ) =

∫∇αsαd4x ≥ 0, (3.42)na qual temos usado o teorema de Gauss para realizar a integral. Esta ondição, e o fatode que Σ′ está no futuro de Σ, impli a que a seguinte desigualdade deve ser mantida

∇αsα ≥ 0, (3.43)33

e pode ser onsiderada omo ondição su iente para o umprimento da segunda lei datermodinâmi a [52.Na teoria padrão de E kart é denido o uxo de densidade de entropia sα tal quesα = svα + qαT−1 . (3.44)Assim, a equação (3.40) assume a forma

∇α (sα) = −τθ

T− qα

T

(1

T∇αT + vβ∇βvα

)− ταβ

T∇αvβ, (3.45)a qual, deve satisfazer a ondição (3.43). Para isto a onte er, podemos assumir que

τ = −ς∇αvα (3.46)qα = −κhαβ [∇βT + Tvµ∇µvβ ] (3.47)

ταβ = −η⟨∇αvβ

⟩, (3.48)satisfazendo

∇αsα =τ 2

ςT+

qαqα

κT 2+

ταβταβ

2ςT≥ 0, (3.49)sempre que ς, κ e η sejam quantidades positivas e o símbolo 〈 〉 satisfaça a regra

〈Aαβ〉 =1

2hσ

αhδβ

[Aσδ + Aδσ − 2

3hσδh

µγAµγ

], (3.50)para um tensor genéri o Aαβ. Após uma exaustiva onta, podemos veri ar que

∇α

(svα +

qα

T

)= −

τ∇αvα + qα

[T−1∇αT + vβ∇βvα

]+ ταβ 〈∇αvβ〉

, (3.51)o que demonstra que (3.46)-(3.49) satisfazem as ondições ne essárias na segunda leida termodinâmi a. Fisi amente, as quantidades ς, κ e η são a vis o idade dinâmi a, a ondutividade térmi a e a vis o idade inéti a. A formulação des rita até este ponto é onhe ida omo teoria usual para a me âni a de uidos dissipativos [49.A equação (3.47) dene o uxo de alor. Podemos notar que ele depende do gradientede temperatura e também de um termo que em geral depende da a eleração do uido.34

Esta última dependên ia pode trazer onseqüên ias infelizes, pois não temos ondiçõesne essárias para limitar tal a eleração, deixando a possibilidade de não- ausalidade nosuxos [50. Não obstante, o aso de uido em equilíbrio já não possui tais problemas de ausalidade, já que em tal aso o equilíbrio é dado pelas relações:0 = ∇αvα (3.52)0 = hαβ [∇βT + Tvµ∇µvβ ] (3.53)0 =

⟨∇αvβ

⟩, (3.54)nas quais, a quadri-velo idade do uido não depende do tempo. Conseqüentemente, aderivada ovariante da densidade de entropia é nula, ou seja

∇αsα = 0. (3.55)De fato, esta formulação é su iente para nosso objetivo, já que o a oplamento que pro- uramos é do tipo estáti o, e não se apresentam problemas ausais.Não obstante, omo já foi men ionado na introdução deste apítulo, existe uma for-mulação ausal para uidos dissipativos. Esta formulação é devida a Israel e Stewart[51. A proposta de Israel é usar a mesma formulação dada por E kart, mas utilizar umadenição do uxo de densidade de entropia que onsidere termos dissipativos de segundaordem, ou seja, na formasα = svα +

qα

T− 1

2

(b0τ

2 + b1qµqµ + b2τ

µντµν

) vα

T+ a0τ

qα

T+ a1τ

νν

qµ

T, (3.56)na qual, os novos oe ientes termodinâmi os βi (i = 0, 1, 2) modelam os desvios quepoderia sofrer a densidade de entropia om respeito ao valor sn. Analogamente, os oe- ientes termodinâmi os αj (j = 0, 1) modelam as mudanças da orrente de entropia quepoderia o orrer em virtude do a oplamento de possíveis uxos vis osos de alor. Estaseria uma termodinâmi a de segunda ordem.No apítulo seguinte resolveremos as equações de Eisntein para o aso em que tensorde energia-momento é omposto de duas partes, uma parte eletromagnéti a e outra do35

tipo uido imperfeito. Apesar de que modelaremos este a oplamento om uma métri aestáti a, manteremos as quantidades dissipativas, já que a teoria de E kart é válida sópara um uido simples, ou seja na ausên ia de ampos eletromagnéti os. Neste asoum uido em equilíbrio não possui omponentes dissipativas. Mas, ao a oplar ao uidoum ampo eletromagnéti o, este uido poderia apresentar omponentes dissipativas quesejam ompensadas pelas omponentes de tensão do tensor eletromagnéti o, de modo queas equações de Einstein serão as responsáveis por es lare er omo é que se a oplariam ostermos de tensão existentes nos tensores respe tivos.

36

Capítulo 4A oplamento de amposgravito-eletromagnéti os.4.1 IntroduçãoAté agora temos feito uma breve des rição de dois tópi os, ini ialmente des one tados noformalismo da relatividade Geral. Um deles é o problema do dipolo magnéti o massivo.O segundo tópi o é o formalismo geral sobre uidos relativísti os. A pergunta naturalque surge neste momento é sobre qual seria a onexão entre estes dois tópi os previa-mente estudados. A resposta desta questão é o tema fundamental desta tese. De fatoqueremos estudar a possibilidade de a oplar um uido em volta de um orpo entral ompropriedades magnéti as. Com este objetivo em mente é pertinente ter presente a soluçãoanalíti a de Gutsunaev-Manko. Esta solução é estáti a, om simetria axial e ela des reveo espaço-tempo ao redor de uma massa que possui araterísti as de dipolo magnéti o.Em virtude destas araterísti as magnéti as inerentes na solução de Gutsunaev-Manko,usaremos este trabalho omo base de referên ia e tentaremos a oplar um ampo adi io-nal. Evidentemente, este novo ampo poderia alterar a métri a de alguma maneira talque o aráter estáti o do espaço-tempo se per a ou nos mostre ontradições físi as insus-37

tentáveis. É por esta razão que o ampo in orporado é es olhido de tal forma que seja omposto de duas partes, uma eletromagnéti a e outra tipo uido, a m de ompensarou mesmo evitar, se é possível, estruturas em desequilíbrio.Em resumo, estudaremos a métri a que permite a oplar um uido relativísti o om um ampo eletromagnéti o arbitrário em uma métri a axialmente simétri a e independentedo tempo. Além do anterior, tentaremos dar uma interpretação físi a de ada uma das omponentes que permitiriam este a oplamento, tanto geométri as omo termodinâmi as.Os resultados deste modelo serão dis utidos no m do apítulo.Nas seções seguintes apresentamos o formalismo ne essário para estabele er e resolveras equações de Einstein referentes ao modelo.4.2 Componentes do Tensor de Einstein do ModeloEm primeiro lugar al ulamos o tensor de Einstein asso iado om uma métri a axial. Paraisto usamos as oordenadas de Weyl-Papapetrou (x1, x2, x3, x4) = (ρ, z, ϕ, t), e a mesmaforma da métri a de Weyl usada nos apítulos 1 e 2. Para que não existam ambigüidadesreferente a nomen latura, a métri a de nosso modelo é es rita na formads2 = f−1

(e2Λ[dρ2 + dz2

]+ ρ2dϕ2

)− fdt2 , (4.1)onde f, Λ são funções de (ρ, z). Assim as omponentes do tensor de Einstein são:

G12 = −f,zf,ρ

2f 2+

1

ρΛ,z (4.2)

G11 = −1

4

f 2,ρ − f 2

,z

f 2+

1

ρΛ,ρ (4.3)

G22 =1

4

f 2,ρ − f 2

,z

f 2− 1

ρΛ,ρ (4.4)

G33 =ρ2

e2Λ

(1

4

f 2,ρ + f 2

,z

f 2+ Λ,z,z + Λ,ρ,ρ

) (4.5)G44 =

f 2

e2Λ

(f,ρ

ρf+

f,ρ,ρ + f,z,z

f− 5

4

(f 2

,ρ + f 2,z

f 2

)− Λ,z,z − Λ,ρ,ρ

). (4.6)38

No trabalho de Gutsunaev e Manko [31 dene-se o tensor eletromagnéti o tal que ele égerado por um quadri-poten ial Aµ que só possui a omponente A3 = A3(ρ, z). Destaforma, no modelo de Gutsunaev e Manko, o tensor de energia-momento eletromagnéti opossui as mesmas omponentes não nulas que o tensor de Einstein. Agora em nossomodelo, o que faremos será estudar o aso no qual o quadri-poten ial é da forma Aµ =

Aµ(ρ, z), onde ini ialmente todas as omponentes não são nulas. Deste modo obteremosum tensor de energia-momento eletromagnéti o que terá omponentes não ompensadaspelo tensor de Einstein, as quais poderiam ser nulas ou ompensadas pelas omponentesde outro tensor, por exemplo um do tipo uido. A seguir al ulamos as omponentes dotensor de energia-momento eletromagnéti o.4.3 Tensor de Energia-Momento Eletromagnéti oPara al ular o tensor de Energia-Momento total al ulamos primeiramente a parte ele-tromagnéti a através da relação(EM)

Tαβ =1

4π

[Fατ F τ

β − 1

4gαβFτσ F τσ

],onde Fαβ é o Tensor de Maxwell denido segundo a relação

Fαβ = ∂βAα − ∂αAβ , (4.7)e Aµ é o quadri-vetor poten ial. Neste aso denimos Aµ da formaAµ = [U, V, W, φ] (4.8)onde U, V, W, φ são funções de (ρ, z) [47. Expli itamente obtemos que

Fαβ =

0 −V,ρ + U,z −W,ρ −φ,ρ

V,ρ − U,z 0 −W,z −φ,z

W,ρ W,z 0 0

φ,ρ φ,z 0 0

(4.9)

39

A seguir al ulamos as omponentes do tensor eletromagnéti o, o qual pode ser es ritona forma(EM)

Tαβ =1

8π

[2gτγFατ Fβγ −

1

2gαβI

], (4.10)onde I é o es alar denido omo I = Fτσ F τσ. Expli itamente, segundo a equação (4.9),podemos ver que o invariante I é

I =2f

e2Λ

[f

e2Λ(V,ρ − U,z)

2 +f

ρ2

((W,ρ)

2 + (W,z)2)− 1

f

((φ,ρ)

2 + (φ,z)2)]

. (4.11)Este es alar I está asso iado à densidade de energia do ampo eletromagnéti o. Cal u-lando as omponentes do tensor de energia-momento eletromagnéti o (ver 4.10), obtemosque(EM)

T11 =1

8π

[f

e2Λ(V,ρ − U,z)

2 +f

ρ2

((W,ρ)

2 − (W,z)2)− 1

f

((φ,ρ)

2 − (φ,z)2)]

(EM)

T22 =1

8π

[f

e2Λ(V,ρ − U,z)

2 − f

ρ2

((W,ρ)

2 − (W,z)2)

+1

f

((φ,ρ)

2 − (φ,z)2)]

(EM)

T33 =ρ2

8πe2Λ

[−f

e2Λ(V,ρ − U,z)

2 +f

ρ2

((W,ρ)

2 + (W,z)2)

+1

f

((φ,ρ)

2 + (φ,z)2)]

(EM)

T44 =f 2

8πe2Λ

[f

e2Λ(V,ρ − U,z)

2 +f

ρ2

((W,ρ)

2 + (W,z)2)

+1

f

((φ,ρ)

2 + (φ,z)2)]

(EM)

T12 =1

4π

[f

ρ2W,ρ W,z −

1

fφ,ρ φ,z

]

(EM)

T13 =−f

4πe2Λ(V,ρ − U,z) W,z

(EM)

T14 =−f

4πe2Λ(V,ρ − U,z) φ,z

(EM)

T23 =f

4πe2Λ(V,ρ − U,z) W,ρ

(EM)

T24 =f

4πe2Λ(V,ρ − U,z) φ,ρ

(EM)

T34 =f

4πe2Λ[W,ρ φ,ρ + W,z φ,z] .Neste ponto é importante desta ar que o tensor de Einstein possui uma úni a ompo-nente não nula fora da diagonal (G12), de modo que ao omparar este tensor om o tensor40

de energia-momento total do sistema, notamos que o tensor de energia-momento eletro-magnéti o possui varias outras omponentes não nulas fora da diagonal. No entanto,poderíamos exigir um mínimo de duas ondições que anulariam todas essas omponentesnão diagonais. Mas anular a omponente (EM)

T34 nos exige uma ondição extremamenteforte(para o aso φ e W arbitrários), a saber, si amente esta quantidade está asso iada om a irradiação, ou seja, om o módulo do vetor de Poynting. Como já men ionamosanteriormente, a oplaremos mais um tensor do tipo uido não perfeito que possui ompo-nentes asso iadas aos uxos de energia fora da diagonal a m de ompensar a omponente(EM)

T34 .4.4 Tensor de Energia-Momento para o uido do mo-deloUm tensor de energia-momento para o uido que in lua omponentes não diagonais (tal omo o tensor eletromagnéti o) su ientemente geral é aquele que orresponde ao uidonão perfeito (ver apítulo 3), denido segundo [26 na forma:(FNP )

Tαβ = εvαvβ + (p − ςθ)hαβ − 2ησαβ + qαvβ + qβvα , (4.12)onde vα representa a 4-velo idade do uido, ε é a densidade de energia, p é a pressão, θ =

∇αvα é a expansão , qα é o uxo de energia, η e ς são as vis osidades inéti a e dinâmi a(bulk), respe tivamente. Por outro lado, omo já tínhamos denido, hαβ = vαvβ + gαβ é oprojetor espa ial. Também denimos σαβ omo o tensor de tensões de isalhamento, talqueσαβ =

1

2

∇µ(vαhµ

β) + ∇µ(vβhµ

α)− 1

3θhαβ , (4.13)onde ∇µ é a derivada ovariante. Denimos a 4-velo idade omo tipo tempo e usamoso fato de que nosso sistema de referên ia é omóvel ao uido. Então vαvα = −1, o que41

impli a que sua úni a omponente não nula év4 =

√f. (4.14)Esta es olha quanto ao observador é usada na teoria de E kart para uidos relativistas.Deste modo podemos ver fa ilmente que a expansão é nula, θ = 0. Por outro lado, umasimples onta nos mostra que qα é a projeção espa ial do uxo de energia (FNP )

T αβ vβ, o queimpli a que vαqα = 0, ou de outra forma, q4 = 0. Os uxos de alor restantes, (q1, q2, q3),serão mantidos até resolver as equações de Einstein para o aso a oplado.Deste modo, o tensor de energia-momento (FNP )

Tαβ asso iado ao uido pode ser es ritona forma(FNP )

Tαβ = εvαvβ + p (vαvβ + gαβ) − η∇µ(vαhµ

β) + ∇µ(vβhµα)

+ qαvβ + qβvα, (4.15)onde suas omponentes são tais que:[

(FNP )

Tij

]=

1fpe2Λ 0 0

√fq1

0 1fpe2Λ 0

√fq2

0 0 1fρ2p q3

√f

√fq1

√fq2 q3

√f εf

.

Vemos que, para este modelo, as omponentes vis osas não parti ipam no tensor de energiamomento ςθ = 0.4.5 Quadri- orrente no sistema omóvel ao uido.Como já foi omentado, para nosso observador omóvel ao uido, a expansão é nula, o queimpli a que não existe onvergên ia nem divergên ia das geodési as para esta geometria.Deste modo, as partí ulas arregadas no uido pare em estáti as umas em relação asoutras. Então, lo almente não se enxergam uxos de portadores de argas. Com esteargumento, podemos dizer que a quadri- orrente Jµ no sistema omóvel deve ser tal que42

J4 6= 0, e as omponentes restantes (espa iais) são todas nulas. A exigên ia J4 6= 0deve-se ao fato de que queremos uma densidade de arga não nula no sistema. Usando adenição de quadri- orrente4πJµ = ∇αF µα, (4.16)e o fato de que √−g = 1

fρe2Λ, onde g é o determinante da métri a, podemos ver que aequação (4.16) é rees rita na forma

4π√−gJµ =

(√−ggαλgνµFνλ

),α

.Cal ulando expli itamente as omponentes da orrente obtemos as seguintes relações:4π

√−gJ1 = −(ρfe−2Λ (V,ρ − U,z)

),z

= 0 (4.17)4π

√−gJ2 =

(ρfe−2Λ (V,ρ − U,z)

),ρ

= 0 (4.18)4π

√−gJ3 =

(f

ρW,ρ

)

,ρ

+

(f

ρW,z

)

,z

=−→∇ ·

[f

ρ

−→∇W

]= 0 (4.19)

4π√−gJ4 = −

(ρ

fφ,ρ

)

,ρ

−(

ρ

fφ,z

)

,z

= −−→∇ ·[

ρ

f

−→∇φ

]6= 0. (4.20)Das equações (4.17) e (4.18) podemos armar que

ρfe−2Λ (V,ρ − U,z) = κ0 onde κ0 é onstante. (4.21)Por outro lado, da equação (4.20) podemos al ular o es alar densidade de arga dc, omdc = −Jµvµ tal que

dc =

√f 3

4πρe2Λ

−→∇ ·[

ρ

f

−→∇φ

]. (4.22)Na seção seguinte estudamos as equações de Einstein para o aso no qual a oplamos os ampos de uido e eletromagnéti o.4.6 Equações de Einstein para o modeloQueremos a oplar o ampo de uido e o ampo eletromagnéti o. Com este objetivo emmente e para maior simpli idade, assumimos que o a oplamento é do tipo mínimo. Esta43

ondição é su ientemente geral para este aso, já que no tensor de energia total já existemtermos que darão onta de possíveis efeitos dissipativos no sistema a oplado. Desta forma,podemos es rever as equações de Einstein na formaGαβ = 8π

[(EM)

Tαβ +(FNP )

Tαβ

], (4.23)a qual, em forma esquemáti a pode ser apresentada matri ialmente de modo que

G11 G12 0 0

G21 G22 0 0

0 0 G33 0

0 0 0 G44

⇒

(EM)

T11

(EM)

T12

(EM)

T13

(EM)

T14

(EM)

T21

(EM)

T22

(EM)

T23

(EM)

T24

(EM)

T31

(EM)

T32

(EM)

T33

(EM)

T34

(EM)

T41

(EM)

T42

(EM)

T43

(EM)

T44

+

(FNP )

T11 0 0(FNP )

T14

0(FNP )

T22 0(FNP )

T24

0 0(FNP )

T33

(FNP )

T34

(FNP )

T41

(FNP )

T42

(FNP )

T43

(FNP )

T44

.

Comparando estes tensores envolvidos na equação de Einstein, podemos ver que existemalgumas omponentes que devem ser nulas. A saber(EM)

T13 =(EM)

T23 = 0, (4.24)ou seja, expli itamente temos que(V,ρ − U,z) W,z = (V,ρ − U,z) W,ρ = 0 . (4.25)Por outro lado, lembremos que a nulidade das omponentes espa iais da quadri- orrentenos indi a que a ondição (4.21) deve ser mantida, ou sejaρfe−2Λ (V,ρ − U,z) = κ0 = onstante.Comparando as ondições (4.21) e (4.25) e levando em onta que não estamos interessadosno aso W = constante, já que isto impli aria a perda das araterísti as magnéti as quetemos imposto na hipótese do problema original, vemos que só resta assumir que as omponentes U, V do poten ial eletromagnéti o devem ser tais que

V,ρ − U,z = 0, (4.26)44

Para que a equação (4.26) seja satisfeita, podemos es olher duas situações triviais: O aso trivial U = V = cte. ou [U, V ] = [H,ρ, H,z] onde H é uma função arbitraria de lasseC2. Com isto vemos que estaremos estudando uma vasta familia de asos dependendo daes olha da função H . Assumindo a ondição (4.26) omo válida, podemos ver fa ilmenteao omparar as equações de Einstein respe tivas a G11 e G22, que a pressão p é nula(p = 0, neste aso isotrópi o). Pressão nula, em geral, ara teriza uma poeira, mas esteponto pode ser dis utido, devido à presença do ampo eletromagnéti o. De fato, amposeletromagnéti os possuem um vetor de Poynting asso iado, o qual ne essariamente traz onsigo uma pressão de natureza eletromagnéti a. Desta forma, podemos pensar na exis-tên ia de uma pressão efetiva para o sistema a oplado (uido + ampo eletromagnéti o).De fato, a análise termodinâmi a será feito a através de variavéis efetivas. Uma análisemais detalhada sobre este ponto será feita no m deste apítulo.Finalmente, om estas ondições e as equações de Einstein, o sistema de equações pararesolver são

Λ,ρ =ρ

4

(f 2

,ρ − f 2,z

)

f 2+

f

ρ

((W,ρ)

2 − (W,z)2)− ρ

f

((φ,ρ)

2 − (φ,z)2), (4.27)

Λ,z =ρf,zf,ρ

2f 2+

2f

ρW,ρ W,z −

2ρ

fφ,ρ φ,z, (4.28)

∇2Λ = −1

4

−→∇f · −→∇f

f 2+

f

ρ2

−→∇W · −→∇W +1

f

−→∇φ · −→∇φ, (4.29)8πe2Λε =

f

ρ

−→∇ ·[ρ

f

−→∇f

]− 2f 2

ρ2

−→∇W · −→∇W − 2−→∇φ · −→∇φ, (4.30)

q1 = 0, (4.31)q2 = 0, (4.32)q3 =

√f

4πe2Λ

−→∇W · −→∇φ . (4.33)Além destas equações temos mais uma ondição: J3 = 0 , ou seja−→∇ ·

[f

ρ

−→∇W

]= 0 . (4.34)Notemos que se resolvermos o sistema de equações formado pelas relações (4.27),(4.28),(4.29)e (4.34), então serão onhe idas as funções da métri a f , Λ, as omponentes do ampo45

eletromagnéti o W e φ, e ainda mais, nos permitirá onhe er a energia e os uxos deenergia próprios do uido.4.7 Resolução das Equações de Einstein.As equações (4.27),(4.28),(4.29) e (4.34):Λ,ρ =

ρ

4

(f 2

,ρ − f 2,z

)

f 2+

f

ρ

((W,ρ)

2 − (W,z)2)− ρ

f

((φ,ρ)

2 − (φ,z)2)

Λ,z =ρf,zf,ρ

2f 2+

2f

ρW,ρ W,z −

2ρ

fφ,ρ φ,z

Λ,z,z + Λ,ρ,ρ = −1

4

f 2,ρ + f 2

,z

f 2+

f

ρ2

((W,ρ)

2 + (W,z)2)

+1

f

((φ,ρ)

2 + (φ,z)2)

−→∇ ·[f

ρ

−→∇W

]= 0,denem um sistema de equações que pode ser resolvido da seguinte forma: das equações(4.27) e (4.28) obtemos que a ondição de integrabilidade (Λ,ρ,z = Λ,z,ρ) para Λ e podeser es rita onvenientemente na formaf,z

fβ = 2φ,zΩ, (4.35)na qual, β é denida segundo

β =

[1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W − ρ

f

−→∇φ · −→∇φ

], (4.36)e Ω dene-se segundo a relação

Ω =−→∇ ·

(ρ

f

−→∇φ

). (4.37)Além do anterior, se substituirmos (4.27) e (4.28) na equação (4.29), obtemos uma segundarelação que pode ser es rita na forma

f,ρ

fβ = 2φ,ρΩ. (4.38)46

Notemos que as equações (4.35) e (4.38) denem um sistema que para β 6= 0 (ver equação(4.30)) forne e a ondiçãof,ρφ,z = f,zφ,ρ , (4.39)a qual pode ser satisfeita se assumirmos que

φ = φ (f) . (4.40)Substituindo a ondição (4.40) nas equações (4.35) e (4.38) temos queβ = 2fφ,fΩ , (4.41)a qual expli itamente assume a forma

1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W − ρ

f

−→∇φ · −→∇φ = 2fφ,f

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇φ

). (4.42)Não obstante, podemos es rever esta equação de um modo mais onveniente, usando aseguinte identidade

−→∇ ·(

ρ

fφ−→∇φ

)=

ρ

f

−→∇φ · −→∇φ + φ−→∇ ·

(ρ

f

−→∇φ

).De fato, a equação (4.42)assume a forma

1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W −−→∇ ·(

ρ

fφ−→∇φ

)= (2fφ,f − φ)

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇φ

). (4.43)Antes de ontinuar om o desenvolvimento da solução, notemos que seria extremamente onveniente onhe er a forma fun ional do poten ial φ (f). Por esta razão, apresentamos ome anismo desenvolvido para lograr onhe er φ (f). Começamos assumindo uma relaçãogenéri a para a inversa de φ = φ(f). Desta forma es revemos a função f na forma deuma série de potên ias da função φ, tal que

f =

∞∑

n=0

anφn , (4.44)47

na qual os ritérios de onvergên ia devem ser mantidos, e an são oe ientes reais adeterminar. Na seqüên ia usamos a ondição de orrente nula (J3 = 0)−→∇ ·

[f

ρ

−→∇W

]= 0 , (4.45)para en ontrar omo deve ser a forma fun ional de φ que satisfaça tal ondição. Em outraspalavras, substituindo (4.44) na ondição (4.45), obtemos uma série fun ional innita daforma

∞∑

n=0

an−→∇·[φn

ρ

−→∇W

]= a0

−→∇·[1

ρ

−→∇W

]+a1

−→∇·[φ

ρ

−→∇W

]+a2

−→∇·[φ2

ρ

−→∇W

]+.... = 0 . (4.46)Para simpli ar a notação, denimos as quantidades

Bn =−→∇ ·

[φn

ρ

−→∇W

] , n = 0, 1, 2, 3, ... (4.47)de modo que a soma total(4.46) pode ser simplesmente es rita na forma∞∑

n=0

anBn = 0 . (4.48)Por outro lado, da equação (4.47) que dene a Bn, obtemos a seguinte relação de re ursivaBn = 2φBn−1 − φ2Bn−2 . (4.49)Com esta relação não é difí il provar que a soma total(4.46) pode ser expressada em funçãosó de B0 e B1, tal que

∞∑

n=0

anBn = B1

∞∑

n=1

nanφn − B0

∞∑

n=2

(n − 2) anφn . (4.50)Agora, se usarmos novamente a relação de re ursiva, podemos expressar a soma total daseguinte forma:∞∑

n=0

anBn = B1

∞∑

n=1

(an − 2an+2) nφn + B2

∞∑

n=2

(n − 2) anφn−2 , (4.51)48

a qual deve ser nula. Para isto a onte er podemos exigir a ondiçãoan = 2an+2 ∀n ≥ 1 , (4.52)anulando desta forma uma das partes, o que permite expressar a soma total em funçãosó de B2, tal que

∞∑

n=0

anBn =1

2B2φ

2

[a1

∞∑

n=0

2n + 1

2nφ2n + a2

∞∑

n=0

n + 1

2nφ2n+1

] , (4.53)na qual, vemos que a série do lado direito está omposta pela soma de duas funções deparidades diferentes (respeito de φ), o que impli a que a úni a possibilidade não trivialde anular o lado direito da soma total é dada pela ondiçãoB2 = 0 , (4.54)o que impli a que

−→∇ ·[φ2

ρ

−→∇W

]= 0 . (4.55)Finalmente, e por omparação direta om a ondição (4.45), é fá il ver que a formafun ional de φ é

φ = φ0

√f. (4.56)Outro resultado importante é o fato de que podemos garantir a onvergên ia da série

∞∑n=0

anφn, sempre e quando |φ| <√

2. Esta armação pode ser demonstrada usando o ritério de onvergên ia de D'Alembert, ou seja, a onvergên ia é garantida selim

n−→∞

∣∣∣∣an+2φ

n+2

anφn

∣∣∣∣ < 1 . (4.57)Se usarmos este ritério para este aso podemos ver quelim

n−→∞

∣∣∣∣an+2φ

2

an

∣∣∣∣ =1

2

∣∣φ2∣∣ < 1 =⇒ |φ| <

√2 , (4.58)o que demonstra que tanto φ omo f devem ser funções limitadas.Agora que onhe emos a forma fun ional de φ, voltamos à equação (4.43), na qual subs-tituímos a relação (4.56), e vemos que ela a extremamente simpli ada, já que

2fφ,f − φ = 0 . (4.59)49

Finalmente o sistema de equações que dene as funções f e W é1

2

(1 − φ2

0

)−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W = 0, (4.60)−→∇ ·

[f

ρ

−→∇W

]= 0. (4.61)Este sistema de equações é extremamente similar ao sistema já resolvido no apítulo 2, omposto pelas equações (2.14) e (2.15) e que originam a solução do dipolo magnéti omassivo de Gutsunaev-Manko. Esta semelhança nas equações nos motiva pensar na es-treita semelhança que deve existir entre as soluções de Gutsunaev-Manko e a solução denosso problema. Para en ontrar a solução do sistema de equações (4.60) e (4.61) pode-mos usar o mesmo método de resolução usado no apítulo 2, ou seja; es rever as equaçõesem oordenadas prolatas (ver equação (2.16)) , assumir uma forma ra ional para as fun-ções f e W e, nalmente, omparar os polinmios para determinar os oe ientes. Apósum simples, mas exaustivo trabalho, podemos veri ar que a solução está rela ionadadiretamente om a solução de Gutsunaev-Manko, tal que

W (x, y) = A (x, y)√

1 − φ20, (4.62)e

f (x, y) = F (x, y) , (4.63)nas quais, A e F orrespondem às funções solução da métri a de Gutsunaev-Manko, verequações (2.37) e (2.36). De fato, substituindo as relações (4.62) e (4.63) nas equações(4.60) e (4.61) obtemos o seguinte sistema de equações1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇A · −→∇A = 0, (4.64)−→∇ ·

(f

ρ

−→∇A)

= 0, (4.65)que é idênti o ao aso do dipolo de Gutsunaev-Manko (ver (2.14) e (2.15)). Então, onhe endo a solução para f e W , usamos as equações (4.27) e (4.28) que denem Λ50

e obtemos por integração direta queΛ (x, y) = H (x, y)

(1 − φ2

0

), (4.66)onde H está denida omo a função da métri a de Gutsunaev-Manko, segundo a relação(2.40). Em resumo, a solução de Einstein para nosso aso resulta ser um a oplamento deum uido imperfeito arregado ao dipolo magnéti o massivo de Gutsunaev e Manko. Poresta razão, e ademais, para abreviar os omentários futuros, hamaremos esta solução deDM+FC( dipolo magméti o mais uido arregado). Expli itamente, a solução DM+FCresulta ser:

f =x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

)2

, (4.67)φ = φ0

√x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

)

, (4.68)W =

4kα3√

1 − φ20 (1 − y2) [2 (α2 + 1) x3 + (1 − 3α2) x2 + y2 + α2]

(α2 + 1)([x2 − y2 + α2 (x2 − 1)]2 + 4α2x2 (1 − y2)

) , (4.69)e2Λ =

(x2 − 1)

(α2 + 1)8

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

)4

(x2 − y2)9

(1−φ2

0) , (4.70)onde k, α são parâmetros reais e φ0 é também um número real que satisfaz a desigualdade

−1 < φ0 < 1. Por outro lado, para onhe er a densidade de energia ε e o uxo q3podemos res rever as funções f, W e Λ em oordenadas de Weyl-Papapetrou, usando atransformação inversa de (2.16), ou sejax =

1

2k

(√ρ2 + (z + k)2 +

√ρ2 + (z − k)2

) (4.71)y =

1

2k

(√ρ2 + (z + k)2 −

√ρ2 + (z − k)2

). (4.72)Deste modo, usando os resultados obtidos até agora, podemos ver que en oordenadasWeyl-Papapetrou as funções restantes podem ser al uladas por transformação simples,51

de modo de satisfazer as relações:q1 = 0, (4.73)q2 = 0, (4.74)q3 = −φ0

√1 − φ2

0

8πe2Λ

−→∇A · −→∇f, (4.75)ε =

φ20

√f 3

8πρe2Λ

[−→∇ ·

(ρ√f 3

−→∇f

)]

. (4.76)Podemos notar que todas as variáveis do a oplamento estão ompletamente determina-das, pois onhe emos fun ionalmente tanto a métri a, omo o poten ial eletromagnéti o.Agora abe fazer o seguinte omentário: a densidade de energia está denida via (4.76),mas lembremos que não orresponde à energia total do sistema, da mesma forma queo uxo de alor q3, denido via (4.75), não orresponde ao uxo resultante do sistema.Então, omo podemos notar, ainda está faltando a des rição físi a do modelo a oplado.Este ponto é bastante deli ado já que o tratamento de uxos de energia em RelatividadeGeral depende fortemente do observador. Existem diversos trabalhos que tratam destetema de uidos dissipativos, mas sempre existem resultados questionáveis mesmo paraos asos mais simples sem a oplamento. Então, devido à omplexidade do tratamentotermodinâmi o asso iado ao uido imperfeito a oplado ao dipolo magnéti o, deixaremosesta análise para o nal da seção 4.8, pois dependendo dos valores numéri os dos parâ-metros podemos ter, até densidades de energia negativas para o uido embora sempre adensidade de energia total seja positiva. Isto mostra que existem valores não permitidospara os parâmetros.

52

Agora mostramos grá amente o omportamento das funções da métri a f , e2Λ etambém das funções do poten ial eletromagnéti o W e φ. Para isto es olhemos k = 10,m = 0.5, φ0 = 0.5, α = 0.4. Vemos que as funções solução, tanto para a métri a omo

Função f da métrica

1020

30

40

Ρ

-20

-10

0

10

20

z02468

10f

10

1020

30

40

Ρ

Função e2 L da métrica

1020

3040

Ρ

-20

-10

0

10

20

z02468

10e2 L

1017

1020

3040

Ρ

Potencial elétricoF

1020

30

40

Ρ

-20

-10

0

10

20

z02468

10F

10

1020

30

40

Ρ

Potencial magnético W

1020

30

40

Ρ

-20

-10

0

10

20

z02468

10

W

1020

30

40

ΡFigura 4.1: Comportamento das funções asso iadas à solução das equações de Einsteinpara nosso modelo. Vemos a existên ia de dois pólos ara terísti os tanto nas funções damétri a quanto nos poten iais. Este omportamento dipolar das funções será estudadonas seções seguintespara os poten iais apresentam dois pontos singulares (próprios da métri a de Weyl), nosquais as funções res em abruptamente. Vemos também que, se nos afastamos desta re-gião singular, as funções da métri a e os poten iais são bem omportadas, o que mostra53

que existe uma região de válidade do modelo, a qual deve ser en ontrada.Nas seções seguintes estudaremos si amente o que representa este modelo. Para isto, omparararemos esta solução, que a opla um ampo eletromágneti o e um uido imper-feito, om a solução de Gutsunaev e Manko.4.8 Análise da Solução que a opla um ampo eletro-mágneti o e um uido imperfeito.Na seção anterior en ontramos uma solução que a opla um ampo eletromágneti o eum uido imperfeito. Na seqüên ia estudaremos as propriedades físi as desta solução,analisando as araterísti as da métri a e seu omportamento assintóti o.4.8.1 Conexão entre a geometria e a matéria envolvida na soluçãoNeste ponto, estudaremos o es alar de urvatura de Ri i, o qual pode ser es rito na formaR =

2f

ρe2Λ

[1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W − ρ

f

−→∇φ · −→∇φ

]=

2f

ρe2Λβ, (4.77)onde β está denido segundo (4.36). Para uma melhor interpretação deste resultado, edado que onhe emos a forma fun ional de φ, tentaremos es rever esta expressão de umaforma um pou o mais onveniente. Para isto usamos a equação (4.42) e um pou o deálgebra, para ver que o es alar de Ri i pode ser es rito na forma

R =φ2

0

√f 3

ρe2Λ

−→∇ ·(

ρ√f 3

−→∇f

). (4.78)Por outro lado, omparamos o es alar de Ri i om a densidade de arga, denida pelaequação (4.22), e que pode ser rees rita na forma

dc = φ0

√f 3

8πρe2Λ

−→∇ ·[

ρ√f 3

−→∇f

] . (4.79)54

Podemos notar uma estreita relação entre elas e, de fato, podemos dizer queR = 8πφ0dc , (4.80)de modo que o es alar de Ri i é propor ional à densidade de arga do uido, o que podêser usado omo uma equação que vin ula as variáveis termodinâmi as om as eletromag-néti as, já que o es alar R está diretamente rela ionado om o es alar T do tensor deenergia momento.Por outro lado, por omparação direta da expressão da densidade de arga e a equação(4.76) que dene a densidade energia referente só ao uido, vemos que também são pro-por ionais o que nos motiva pensar que os portadores de arga estão no uido, tal omose deve esperar, pela hipótese do modelo.Neste ponto podemos armar que a densidade de arga deve ser propor ional à densidadede partí ulas n = N/V , na qual N é o número de partí ulas dentro de um volume Varbitrário. Desta forma podemos armar que φ0 deve ser propor ional a N . Em resumo,o uido está arregado e é responsável pelo ampo elétri o, o que nos motiva pensar que asfontes magnéti as devem ser originadas por fontes em ontra-rotação respeito das fontesdo ampo elétri o, de modo que lo almente o sistema está estáti o, assim omo a onte e om os dis os de Morgan. Desta forma, podemos hamar, numa primeira aproximação,esta solução de: solução do dipolo magnéti o massivo (DM) em presença de um uido arregado (FC) ou em forma resumida de: DM+FC.4.8.2 A solução DM+FC em oordenadas esféri as.Para demonstrar que esta solução des reve om lareza um dipolo magnéti o massivona presença de um uido imperfeito arregado, vamos analisar o omportamento das omponentes da métri a quando nos afastamos da região singular de nossa solução, querdizer para ρ → ∞ e z → ∞. Para fazer isto, poderíamos usar a solução es rita emqualquer sistema de oordenadas, mas é onveniente usar oordenadas esféri as, já que,55

desta forma podemos ompará-la om a solução de S hwarzs hild, por exemplo. Para isto,usamos a transformação de oordenadas prolatas elipsoidais para oordenadas esféri as(ver apítulo 2):x =

1

k(r − m) , y = cos θ . (4.81)Não é difí il mostrar que as equações (4.67-4.70), que des revem as funções da métri a eos poten iais eletromagnéti os, podem ser rees ritas em oordenadas esféri as, de modoque

f (r, θ) =

(r − m − k

r − m + k

)(C0 (r, θ)

C1 (r, θ)

)2 (4.82)W (r, θ) =

4√

1 − φ20kα3 sin θ2

1 + α2

(C2 (r, θ)

C0 (r, θ)

) (4.83)e2Λ(r,θ) =

[k18 (k2 − (r − m)2)C0 (r, θ)4

(1 + α2)8 (k2 cos θ2 − (m − r)2)9

](1−φ2

0) (4.84)

φ (r, θ) = φ0

√r − m − k

r − m + k

(C0 (r, θ)

C1 (r, θ)

), (4.85)em que usamos as funções auxiliares C0 (r, θ) , C1 (r, θ) e C2 (r, θ) denidas onveniente-mente da seguinte forma:

C0 (r, θ) =

((α2 + 1

) (m − r)2

k2− α2 − cos θ2

)2

+4(m − r)2α2 sin θ2

k2

C1 (r, θ) = C0 (r, θ) +4(m − r)α2 ((m − r) ((m − r) (1 + α2) + 2kα2) + k2 (α2 − cos θ2))

k3

C2 (r, θ) = α2 +(m − r)2 (1 − 3α2)

k2+

2(r − m)3 (1 + α2)

k3+ cos θ2.Analisando estas funções auxiliares notamos que C0 é sempre positiva, o que impli a se-gundo (4.82) que a função f da métri a é nula sempre que r = m + k, deste modo é fá ilver que a função da métri a sofre uma mudança de sinal em r = m+k, tal que f(r, θ) > 0para r > m + k e f(r, θ) < 0 para 0 < r < m + k, mas devemos notar que a solução éválida só para r > m + k, já que x > 1. De fato, na superfí ie r = m + k os eventos são56

do tipo luz e para r > m + k os eventos são de tipo tempo. Em resumo, todo o ante-rior nos permite armar que esta solução em oordenadas esféri as é válida para r > m+k.Em oordenadas de Weyl-Papapetrou o horizonte é tal queρ = 0 e z = k cos θ, (4.86)de modo que podemos dizer que em oordenadas de Weyl o horizonte está representadopor uma barra de tamanho k no eixo z de forma que o ponto meio da barra está na origemde oordenadas (ρ, z) = (0, 0).4.8.3 Análise assintóti a das omponentes da métri a da soluçãoDM+FCPara este análise usamos o aso U = V = 0 para maior simpli idade na análise dospoten iais eletromagnéti os. Expandimos em série de potên ias de r−1 a função f damétri a, es rita em oordenadas esféri as, segundo a equação(4.82), e obtemos que

f = 1 +2k (−1 + 3α2)

(1 + α2) r+

2k (−1 + 3α2) (−k + m + 3kα2 + mα2)

(1 + α2)2 r2+ O(r−3), (4.87)o que nos motiva assumir que o fator de es ala k deve ser tal que

k =m (1 + α2)

(1 − 3α2). (4.88)Deste modo, assim omo nos resultados do apítulo 2, notamos que para grandes distân ias(r ≫ 1), as funções da métri a (4.82) e (4.84) podem ser es ritas na forma

f = 1 − 2m

r+ O

(r−3) (4.89)e

e2Λ = 1 + O(r−2), (4.90)o que nos permite dizer que no limite r → ∞ a métri a do DM+FC é a métri a deS hwarzs hild.Na seção seguinte estudaremos o ampo eletromagnéti o.57

4.8.4 Análise das omponentes do poten ial eletromagnéti o dasolução DM+FCAgora faremos uma análise do omportamento assintóti o do poten ial eletromagnéti oresultante da solução das equações de Einstein:Aµ = [0, 0, W, φ] . (4.91)Devemos esperar um omportamento assintóti o do tipo dipolo magnéti o, pela seme-lhança om a solução de Gutsunaev e Manko, mais uma omponente elétri a do tipo oulombiana se a distribuição de argas estivesse bem lo alizada nas proximidades do orpo entral.Da solução de Gutsunaev e Manko sabemos que α está asso iado ao dipolo magnéti o.Evidentemente, tal asso iação não orresponde exatamente à equação (2.49) devido à pre-sença do ampo elétri o. Esta questão pode ser resolvida ao estudar o omportamento dopoten ial eletromagnéti o a grandes distân ias do nú leo. Para isto, usamos as omponen-tes do quadri-poten ial (W e φ), es ritas em oordenadas esféri as, segundo as relações(4.83) e (4.85). Na seqüên ia, expandimo-as em série de potên ias de 1

r, e obtemos asseguintes relações

W =8√

1 − φ20m

2α3 sin2 θ

(1 − 3α2)2 r+ O

(r−2) , (4.92)

φ = φ0 −φ0m

r+ O

(r−2) . (4.93)Em virtude destas relações, podemos ver que φ0 tem as mesmas unidades que o poten ialelétri o, além do anterior, α e φ0 estão rela ionadas om o momento dipolar magnéti o,tal que podemos deni-lo na forma

µ =8√

1 − φ20m

2α3

(1 − 3α2)2 , (4.94)e que diere de (2.49) por um fator √1 − φ20. Outro omentário pode ser feito anali-sando a expressão do poten ial elétri o (4.93). Neste ponto vemos que a expressão do58

poten ial elétri o, quando nos afastamos do nú leo entral, é do tipo oulombiano, salvouma onstante aditiva φ0. Contudo, sempre estamos interessados em medir diferenças depoten iais. Mesmo assim, se redenirmos a equação (4.8) que dene o poten ial elétri o,de forma que φ∗ = φ−φ0, então, podemos observar que as equações não mudam em nada,já que o tensor de Maxwell depende das derivadas do poten ial e esta onstante aditivanão parti iparia das equações de Einsten. Desta forma, o novo poten ial φ∗ teria o om-portamento oulombiano esperado para grandes distân ias. Por esta razão, redenimosφ, tal que

φ∗ −→ φ − φ0 , (4.95)e on luímos que o omportamento físi o do poten ial é tipo oulombiano, enquanto queas grandezas restantes da solução ontinuam sendo as mesmas. Para evitar onfusões denotação, quando nos referimos ao poten ial redenido, usaremos φ∗, segundo (4.95). Masainda nos resta dar uma interpretação físi a mais ompleta para φ0. Para isto analisamosas equações que denem as omponentes do quadri-poten ial modi ado:W =

8√

1 − φ20m

2α3 sin2 θ

(1 − 3α2)2 r+ O

(r−2) ,

φ∗ = −φ0m

r+ O

(r−2) .Estas equações nos mostram que o es alar φ0 está asso iado à intensidade da arga elétri aresultante apaz de a oplar om os ampos restantes . De fato, vemos que φ0 atua omoparâmetro de equilíbrio entre os ampos eletromagnéti os a oplados, por exemplo; para

0 < φ0 ≪ 1 o ampo elétri o é mais fra o e o ampo magnéti o predomina. O ontrárioa onte e quando 0 ≪ φ0 < 1, e neste aso predomina o ampo elétri o. Continuando om a análise de φ0, podemos ver que existe uma restrição natural para o valor de φ0.De fato, esta quantidade junto ao valor do momento magnéti o devem ser tais que, opoten ial eletromagnéti o seja repulsivo, a m de ompensar o poten ial gravita ional.Estas onsiderações poderiam nos dar alguma informação sobre o número de partí ulas59

arregadas ne essárias para balan ear os ampos eletromagnéti os e gravita ional. Aindamais, também poderia nos mostrar algo sobre a natureza das mesmas partí ulas. Masestes detalhes serão es lare idos nas seções subseqüentes.Na seção seguinte apresentamos um estudo termodinâmi o do sistema que a opla o uido arregado em torno de um dipolo magnéti o massivo.4.8.5 Análise da solução em função dos parâmetros elétri o emagnéti o.Para fazer a análise grá a da solução, devemos analisar os parâmetros α, m, φ0 e k edenir os domínios permitidos para ada um deles.Começamos om o parâmetro de es ala k. Nós vimos que tal parâmetro nos permitees alar a solução de tal forma que seja tipo S hwarzs hild, sempre quek =

m (1 + α2)

(1 − 3α2). (4.96)A eitando esta relação omo válida, então vemos que existem restrições para o parâmetromagnéti o α. Primeiramente, vemos que α 6=

√13, ainda mais, se m > 0 e k > 0, então,é fá il provar que são umpridas as seguintes ondições:

m < k e 0 < α <

√1

3. (4.97)Por outro lado, para que o poten ial W seja uma função real, vimos que o parâmetroelétri o φ0 deve ser tal que

−1 < φ0 < 1 , (4.98)na qual o sinal de φ0 arateriza o tipo de arga, ou seja, se ela é uma arga positiva ounegativa e o módulo de φ0 é propor ional ao número de partí ulas arregadas [ver equação(4.79).60

Com estas ondições satisfeitas podemos fazer uma análise grá a da solução. Deni-mos primeiramente um fator de es ala de massa ν = mk, o qual deve ser tal que 0 < ν < 1.Desta forma, α pode ser es rito na forma

α =

√1 − ν

3 + ν, (4.99)e uja dependên ia om o fator de es ala ν pode ser visualizada na gura (4.2) Notamos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Escala de massa Ν =mk

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Pa

râm

etr

om

ag

né

ticoΑ

Dependência de ΑHΝL

Figura 4.2: Dependên ia do parâmetro α om o fator ν = mk.que o parâmetro magnéti o α al ança um valor máximo igual a√1

3para ν = 0 e um valormínimo igual a 0 para ν = 1. Vamos ompletar esta análise estudando a dependên ia domomento dipolar µ om o parâmetro de es ala de massa ν e o oe iente elétri o φ0. Eissua dependên ia

µ =8√

1 − φ20m

2α3

(1 − 3α2)2 ,a qual é visualizada, usando k = 10.Segundo a gura (4.3), podemos ver que o a oplamento entre os ampos deve ser talque as ara terísti as magnéti as do sistema dependem da quantidade de portadores de argas, tal que, para uma massa m dada o momento magnéti o depende ex lusivamente61

Momento magnéticoΜHΝ,Φ0L

0.20.4

0.60.8

1

Ν

-1

-0.5

0

0.5

1

Φ0

020406080

100

Μ

0.20.4

0.60.8

1

ΝFigura 4.3: Dependên ia do momento magnéti o µ om do fator de es ala ν = mke doparâmetro elétri o φ0 .do fator √1 − φ2

0, deste modo um número grande de portadores de arga deve estar a o-plado a um dipolo magnéti o de baixa intensidade e para um dipolo magnéti o intensoa onte e o ontrário, a quantidade de arga deve ser baixa. Deste modo podemos verque o momento magnéti o é máximo quando φ0 = 0 e mínimo para | φ0 |= 1. Estes re-sultados mostram que podemos dizer que existem asos nos quais predomina laramenteo parâmetro magnéti o, outros onde predomina o parâmetro elétri o e uma vasta regiãode domínio misto. Neste ponto devemos a larar que esta análise dos parâmetros eletro-magnéti os não dá informação sobre a existên ia de algum ampo dominante. De fato,para ada par de valores arbitrários de α e φ0 podemos men ionar que em geral, o ampomagnéti o (−→∇W ) é mais intenso que o elétri o (−→∇φ), om ex eção de quando estamosperto do nú leo, já que nesta região o ampo elétri o ompete e até supera em intensi-dade o ampo magnéti o. Outro fato importante é que para φ0 ≈ 1 e ν ≈ 1 o ampoelétri o é denitivamente mais intenso que o magnéti o, prati amente em todos os pontosdo espaço, denindo laramente um domínio do ampo elétri o nesta região. .62

Es lare ida esta situação, podemos lassi ar a solução do dipolo mais uido arregadoem três regiões:• Domínio do ampo elétri o: φ0 ∼ 1

• Domínio do ampo magnéti o: φ0 ∼ 0

• Domínio misto dos ampos: para os asos restantes.Para visualizar estes domínios podemos gra ar a função f da métri a. Fixaremos ofator de es ala k, de tal forma que k = 10.Para o domínio magnéti o es olhemos ν = 0.1 e φ0 = 0.001, segundo a gura (4.3), oque impli a que α = 0.54 e m = 1. Deste modo, o grá o orrespondente à função f damétri a éf Hr , ΘL

10

20

30

r0

1

2

3

Θ

-4-2024

f

10

20

30

r

f Hr , ΘL > 0

10

20

30

r0

1

2

3

Θ

01234

f

10

20

30

rFigura 4.4: Grá o da função f da métri a em oordenadas esféri as para a região dedomínio magnéti o. Sabemos que estes grá os são válidos para r > m + k. Mostra o omportamento típi o de um dipolo. O segundo grá o representa a parte positiva dafunção f da métri a em oordenadas esféri as, e que oin ide om a região de validade domodelo. 63

Para o domínio elétri o es olhemos ν = 0.9 e φ0 = 0.9, o que impli a que α = 0.574.Esta es olha esta de a ordo om os resultados obtidos na análise feita do momento magné-ti o segundo o grá o da gura (4.3). Desta forma apresentamos o grá o orrespondenteà função f da métri a para este domínio elétri o:f Hr , ΘL

1020

30

40

r0

1

2

3

Θ

-6-4-202

f

1020

30

40

r

f Hr , ΘL > 0

1020

30

40

r0

1

2

3

Θ

00.51

1.52

f

1020

30

40

rFigura 4.5: Grá o da função f da métri a para o domínio elétri o em oordenadasesféri as. Notamos que não existe uma estrutura do tipo dipolar na métri a, o que de fato ara teriza as soluções de domínio elétri o, já que para este domínio f é quase-radial. Osegundo grá o mostra a região na qual f é positiva, oin idindo também om a regiãode vali a e do modelo, neste aso r > m + k = 19.A função da métri a é sempre positiva para r > m + k é res e gradualmente até aunidade. Este omportamento é análogo ao omportamento de distribuições densas dematéria bem lo alizadas.

64

4.9 A termodinâmi a da solução DM+FC.O objetivo para esta seção é en ontrar o estado termodinâmi o do sistema que a oplao dipolo magnéti o massivo e o uido arregado. Para isto, lembremos que o tensor deenergia-momento total é da formaTαβ =

(EM)

Tαβ +(FNP )

Tαβ , (4.100)na qual (EM)

Tαβ e (FNP )

Tαβ são os tensores asso iados ao ampo eletromagnéti o e ao uido,respe tivamente denidos segundo as equações (4.10) e (4.12). Não obstante, omo que-remos estabele er o omportamento do sistema a oplado, nos preo upamos do sistema omo um todo, isto é, faremos um estudo do tensor de energia-momento total (TEMT).Neste ponto, é interessante perguntar-nos se o tensor TEMT pode ser tratado omo umuido. A resposta desta questão não é tão simples, devido a que mesmo tendo algumas ara terísti as similares ao tensor de uido, deve ser onsiderado diferente pela naturezadas fontes que produzem o ampo eletromagnéti o. Não obstante, podemos fazer umaanálise omportamental do TEMT, de ompondo-o nas suas omponentes próprias. Tam-bém devemos lembrar que para o aso estáti o podemos falar de equilíbrio dos amposa oplados, satisfazendo apenas a termodinâmi a de E kart, já que no equilíbrio não temosproblemas ausais. Deste modo, mantendo o mesmo observador de quadri-velo idade vα,tal que, vαvα = −1 , podemos es rever o TEMT em termos de suas omponentes próprias.De fato, para todo tensor T αβ de segunda ordem simétri o vale a de omposiçãoT αβ = ξvαvβ + Qαvβ + Qβvα + λαβ (4.101)onde as quantidades projetadas podem ser al uladas segundo as relações (3.19),(3.20) e(3.21), de modo que

ξ = vαvβT αβ (4.102)Qα = −hα

βT βγvγ (4.103)λαβ = hα

γhβδ T γδ . (4.104)65

Sabemos do apítulo 3 que ξ deve orresponder à densidade de energia do sistema a o-plado, Qα é a projeção espa ial do uxo de energia total e λαβ é o tensor de tensãoasso iado ao a oplamento. Desta forma veri a-se que, segundo (4.102),ξ = vαvβ

(FNP )

Tαβ + vαvβ(EM)

Tαβ = ε + ǫ, (4.105)ou seja, a densidade de energia total é a soma das densidades de energia do uido ε e do ampo eletromagnéti o ǫ. Expli itamente a densidade de energia do sistema a oplado éξ =

f

8πρe2Λ

[−−→∇ ·

(ρ

f

−→∇f

)+ 3

f

ρ

−→∇W · −→∇W + 3ρ

f

−→∇φ · −→∇φ

], (4.106)a qual, pode ser su intamente rees rita na forma

ξ =(1 + φ2

0) fn

16πρe2Λ

−→∇ ·(

ρ

fn

−→∇f

), onde n =

2 + 3φ20

2 (1 + φ20)

. (4.107)P =

(1 − φ20) fm

48πρe2Λ

−→∇ ·(

ρ

fm

−→∇f

), onde m =

2 − 3φ20

2 (1 − φ20)

. (4.108)Gra amos a densidade de energia para ν = 0.1, φ0 = 0.001, m = 1, α = 0.54 e k = 10e obtemos uma distribuição bem lo alizada de energia.Densidade de Energia Total

200

400

600

Ρ

-1000

-500

0

500

1000

z012345

Ξ104

200

400

600

ΡFigura 4.6: Grá o da densidade de energia do sistema a oplado.Continuando om a análise das quantidades físi as no a oplamento, vemos que a equação66

(4.103) dene o uxo espa ial de energia do sistema a oplado, de modo que, al ulandodiretamente do tensor de energia momento total, obtemosQ1 = −h1

1T14v4 = q1, (4.109)

Q2 = −h22T

24v4 = q2, (4.110)Q3 = −h3

3T34v4 =

f

ρ2

(q3 −

1

4π√

fe2Λ

−→∇W · −→∇φ

). (4.111)Por outro lado, todas estas quantidades já foram al uladas via equação de Einstein. Defato, lembremos que o a oplamento é tal que

q1 = 0 (4.112)q2 = 0 (4.113)q3 =

1

4π√

fe2Λ

−→∇W · −→∇φ, (4.114)de modo que se usarmos estes resultados, é fá il ver que o uxo espa ial de energiaasso iado ao sistema a oplado é nuloQ1 = Q2 = Q3 = 0, (4.115)tal omo devemos esperar para o aso de equilíbrio, no qual a derivada ovariante doquadri-vetor uxo de entropia é zero. Ou seja, para o equilíbrio a onte er, o uxo de alore o vetor de Poynting devem ser auto- ompensados. Poder-se-ia pensar num pro essode absorção e emissão ontinuada. Ainda mais, da termodinâmi a de E kart sabemosque o sistema a oplado estará em equilíbrio à luz da Relatividade Geral se possui umatemperatura que satisfaz as relações (3.47), ou seja, neste aso para um uxo resultantenulo a temperatura é tal que

hγβ [∇βT + Tvµ∇µvβ ] = 0. (4.116)67

Deste modo, para γ = 1 temos que∂ρ ln

[T√

f]

= 0, (4.117)para γ = 2 temos que∂z ln

[T√

f]

= 0, (4.118)para γ = 3 temos que∂ϕT = 0. (4.119)Em virtude das equações (4.117)-(4.119), podemos armar que a temperatura do sistemaa oplado não depende de ϕ, e ainda mais, podemos armar que a temperatura do sistemaé

T (ρ, z) =T∞√

f, (4.120)na qual f é a função da métri a al ulada em (4.67) e T∞ é uma onstante de integração.Agora usamos novamente a transformação de oordenadas (2.42),

x =1

k(r − m) , y = cos θ ,para expressar a temperatura em oordenadas esféri as. Na seqüen ia, fazemos umaexpansão da temperatura potên ias de r−1, e obtemos

T = T∞ +mT∞

r+ O(r−3) , (4.121)na qual podemos armar que T∞ representa uma temperatura residual. Em outras pala-vras, T∞ é a temperatura à qual tende o sistema quando r → ∞. Este resultado garanteo equilíbrio termodinâmi o do sistema.Usando os mesmos parâmetros usados no grá o de densidade de energia, gra amos atemperatura do sistema em oordenadas de Weyl.Notamos que a temperatura ai rapidamente ao valor T∞, o que nos permite dizer quepara regiões afastadas da região dipolar a temperatura é prati amente uma onstante, oque favore e nossa apre iação sobre o omportamento tipo poeira do gás envolvido, já que68

Temperatura do Sistema

1

2

3

4

Ρ -20

-10

0

10

20

z

020406080

100

T

1

2

3

4

ΡFigura 4.7: Grá o da temperatura do sistema a oplado.além do fato de que a pressão entre os omponentes do uido é nula, a temperatura dapoeira deve ser muito baixa respeito do entro do sistema, do mesmo modo que a onte epara sistemas om uma taxa pequena de transferên ia de momento linear. Neste aso, esó por simpli idade usamos T∞ = 1.Agora nos preo upamos om a pressão efetiva asso iada ao sistema, a qual hamaremosde Pef . Sabemos que na teoria de E kart a pressão me âni a de um uido relativista estárela ionado ao es alar que resulta da ontração do tensor de tensão (4.104) om o tensorda métri a. Tal relação é da formaPef =

1

3gαβλαβ . (4.122)Esta relação pode ser fa ilmente veri ada omparando o tensor de energia-momento deum uido perfeito perturbado (3.22) e sua forma de omposta em suas partes espa iais etemporais (3.18). Para o aso de ampos a oplados, denimos esta pressão omo a pressãoefetiva do a oplamento. Deste modo temos expli itamente que

Pef =1

3gαβhα

γhβδ T γδ =

1

3hγδT

γδ. (4.123)Mas sabemos que para o tensor de energia-momento do uido (FNP )

T αβ é satisfeita a relaçãohαβ

(FNP )

T αβ = 0. (4.124)69

Então, para este aso, a pressão efetiva do a oplamento pode ser al ulada viaPef =

1

3hγδ

(EM)

T γδ , (4.125)e, omo o tensor eletromagnéti o tem traço nulo, então é fá il ver quePef =

ǫ

3, (4.126)na qual ǫ é a energia eletromagnéti a, ou seja, a pressão efetiva do a oplamento é equiva-lente à pressão de radiação eletromagnéti a e seu grá o é

Pressão Efetiva

200

400

600

Ρ

-1000

-500

0

500

1000

z

012345

P104

200

400

600

ΡFigura 4.8: Grá o da pressão efetiva do sistema a oplado.Finalmente apresentamos o grá o de densidade de arga para os mesmos parâmetros usa-dos nos grá os anteriores. A gura (4.9) manifesta uma lara on entração de matéria.Neste aso k = 10, portanto em oordenadas esféri as soluçã é válida para r > 11. Lem-brando que a densidade de arga é propor ional ao es alar de Ri i, podemos inferir umagrande deformação do espaço-tempo produzida pela alta on entração de partí ulas navizinhança da região de horizonte. Lembremos que nossa solução é exterior ao horizonte.Na seção seguinte ordenaremos os resultados en ontrados até agora.70

Densidade de Carga

200

400

600

Ρ

-1000

-500

0

500

1000

z

012345

dc104

200

400

600

ΡFigura 4.9: Grá o da densidade de arga nas oordenadas de Weyl.4.9.1 Cara terísti as da solução DM +FC.• Os portadores de arga estão no uido, tal que o poten ial elétri o asso iado omeles é do tipo oulombiano.• A solução en ontrada a opla um dipolo magnéti o massivo entral om um uido arregado estáti o na sua vizinhança.• Se o uido arregado desapare e então re uperamos a solução do Dipolo magnéti omassivo de Gutsuaev e Manko.• A solução é válida fora do horizonte de eventos r = m + k, na qual o fator dees ala k depende do parâmetro magnéti o α, tal que k =

m(1+α2)(1−3α2)

. Desta formagarantimos que o omportamento assintóti o da solução tem omo limite à soluçãode S hwarzs hild.• Existe uma absorção e re-emissão balan eada de energia por parte dos portadoresde arga, tal que o momento linear é onservado e o uxo resultante de energia énulo. Em outras palavras, num elemento de volume innitesimal a mesma taxa deenergia que ingressa devido aos ampos sai em forma térmi a.• O sistema a oplado (DM+FC) pode ser tratado omo um sistema termodinâmi o,71

ujas variáveis assumem valores efetivos, os quais são responsáveis pelo equilíbrio.• A pressão efetiva do sistema é do tipo pressão de radiação eletromagnéti a.• Uma possível apli ação poderia ser o estudo de magnetares om sua rosta arre-gada.

72

Capítulo 5O dipolo magnéti o irradiante.5.1 Introdução.A bus a de apli ações da solução estáti a en ontrada no apítulo 4 nos motivou a ontinuar om um estudo aprofundado para o sistema fora do equilíbrio. Tentamos resolver asequações de Einstein para o aso dependente do tempo, om a ondição de que in luísseuma relaxação do sistema de modo que o seu estado nal seria o equilíbrio en ontrado no apítulo 4. A extrema omplexidade do sistema de equações asso iado não permite umdesa oplamento par ial das equações, e ainda mais apare em dois parâmetros no uxo deentropia. Eles garantem a ter eira lei da termodinâmi a, mas sua interpretação físi a nãoé muito lara, e di ulta a análise das ondições físi as ne essárias para en ontrar suasolução. Embora não onseguimos resolver este problema fora do equilíbrio, este estudopermitiu en ontrar uma solução analíti a interessante que in lui o dipolo de Manko e umuido, desta vez sem arga e sem massa, ou seja do tipo de radiação. A seguir fazemosuma breve des rição desta solução. 73

5.2 Des rição do problema.Resolveremos as equações de Einstein para o aso no qual a métri a é axial, dependentedas oordenadas espa iais e do tempo. O tensor de energia-momento representa umuido imperfeito anisotrópi o imerso num ampo magnéti o do tipo dipolar. Esta última ondição pretende impor onexões om as soluções já estudadas nos apítulos anteriores.Assumimos uma generalização da métri a (1.3) de Weylds2 =

a (t)

F(e2H

[dρ2 + dz2

]+ ρ2dϕ2

)− F

a (t)dt2 , (5.1)na qual F e H são funções das oordenadas (ρ, z) e a (t) é uma função temporal a serdeterminada. O tensor de energia-momento eletromagnéti o é denido apropriadamentesegundo o quadri-poten ial

Aµ =[0, 0,

√a (t)A, 0

], (5.2)em que A é também função de (ρ, z).Para denir o tensor de energia-momento do uido, usamos a denição de uma base detetradas (eα

(j)

), a qual exige quegαβeα

(j)eβ(k) = η(j)(k) (5.3)na qual η(j)(k) orresponde à métri a lo al de Minkowski. Podemos es olher a base detetradas na forma:

eα(1) =

[e1(1), e

2(1), e

3(1), e

4(1)

]=

[1√g11

, 0, 0, 0

] (5.4)eα(2) =

[e1(2), e

2(2), e

3(2), e

4(2)

]=

[0,

1√g22

, 0, 0

] (5.5)eα(3) =

[e1(3), e

2(3), e

3(3), e

4(3)

]=

[0, 0,

1√g33

, 0

] (5.6)eα(4) =

[e1(4), e

2(4), e

3(4), e

4(4)

]=

[0, 0, 0,

−1√−g44

] , (5.7)74

Deste modo o tensor de energia-momento para um uido imperfeito anisotrópi o pode seres rito na formaχαβ = εeα

(4)eβ(4) + P

(eα(1)e

β(1) + eα

(2)eβ(2)

)+ P3e

α(3)e

β(3) + Ωαβ , (5.8)na qual Ωαβ representa o tensor de tensão, e que pode ser es rito em termos da base detetradas na forma

Ωαβ =4∑

i,k

χ(i)(k)eα(i)e

α(k). (5.9)Por outro lado sabemos que

gαβ = eα(1)e

β(1) + eα

(2)eβ(2) + eα

(3)eβ(3) − eα

(4)eβ(4), (5.10)e também podemos veri ar que

eα(3)e

β(3) = g33δα

(3)δβ(3). (5.11)Desta forma, denindo a 4-velo idade do uido

uα = eα(4), (5.12)substituímos (5.10-5.12) em (5.8) e obtemos nalmente que o tensor de energia-momentoanisotrópi o pode ser es rito omo

χαβ = εuαuβ + P(gαβ + uαuβ

)+ (P3 − P ) g33δα

(3)δβ(3) + Ωαβ (5.13)na qual Ωαβ oin ide quanto à forma om a expressão (3.29), om a diferença de que agoraa 4-velo idade, a densidade de energia do uido, os uxos e as pressões são dependentestambém do tempo, ou seja

u4 =−√

a (t)√F

ε = ε (ρ, z, t) P = P (ρ, z, t) P3 = P3 (ρ, z, t) qα = qα (ρ, z, t) .Com estas onsiderações obtemos as equações de Einstein asso iadas à métri a (5.1) e ujotensor de energia-momento está omposto pelo tensor de uido χαβ (ver 5.13), mais uma75

ontribuição Παβ dada pelo ampo eletromagnéti o. O tensor eletromagnéti o é al uladovia o poten ial (5.2) da mesma forma omo foi al ulado no apítulo 2, ou seja,Παβ =

1

4π

[Fατ F τ

β − 1

4gαβFτσ F τσ

].5.3 Solução da equação de Einstein dependente do tempopara este modelo.Resolveremos a equação de Einstein para o a oplamento de um uido anisotrópi o imper-feito e um ampo magnéti o. Eis a equação fundamental do modelo:

Gαβ = 8π (χαβ + Παβ) .Com um pou o de álgebra podemos resumir as equações de Einstein para este modelo naseguinte forma:H,ρ =

ρ

4

F2,ρ − F2

,z

F2+

Fρ

(A2

,ρ −A2,z

), (5.14)

H,z =ρ

2

F,zF,ρ

F2+

2Fρ

A,ρ A,z, (5.15)H,z,z + H,ρ,ρ = −1

4

F2,ρ + F2

,z

F2+

Fρ2

(A2

,ρ + A2,z

), (5.16)

0 =F,ρ

ρF +F,ρ,ρ + F,z,z

F − 1

4

F2,ρ + F2

,z

F2− 2F

ρ2

(A2

,ρ + A2,z

) (5.17)ε =

(3ρ2 − FA2) a′(t)2

32πρ2a(t)F (5.18)P =

(−3ζ + 2η)a′(t)

2√

a(t)√F

− (ρ2 + FA2) a′(t)2

32πρ2a(t)F − a′′(t)

8πF (5.19)P3 =

(−3ζ + 2η)a′(t)

2√

a(t)√F

− (ρ2 −FA2) a′(t)2

32πρ2a(t)F − a′′(t)

8πF (5.20)q1 =

a′(t) (ρ2Fρ − 2F2AAρ)

16πρ2√

a(t)F3/2(5.21)

q2 =a′(t) (ρ2Fz − 2F2AAz)

16πρ2√

a(t)F3/2(5.22)

q3 = 0 (5.23)76

Observando as equações (5.14-5.17), podemos notar que elas orrespondem ao mesmosistema resolvido no apítulo 2, referente ao dipolo de Gutsunaev e Manko, o que nospermite assumir que a solução das equações (5.14-5.17) éF =

x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

)2

, (5.24)A =

4kα3 (1 − y2) [2 (α2 + 1) x3 + (1 − 3α2) x2 + y2 + α2]

(α2 + 1)([x2 − y2 + α2 (x2 − 1)]2 + 4α2x2 (1 − y2)

) , (5.25)e2H =

x2 − 1

x2 − y2

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)]

2+ 4α2x2(1 − y2)

)4

(α2 + 1)8(x2 − y2)8, (5.26)as quais estão es ritas nas oordenadas prolatas elipsoidais. Desta forma, para onhe er asquantidades físi as restantes só resta onhe er a dependên ia temporal do sistema. Antesde al ular esta dependên ia temporal, al ularemos a temperatura do sistema. Para isto, al ulamos segundo a equação(3.47), os uxos resultantes de energia Qα do sistema:

Qα = −κhβα [∇βT + Tvµ∇µvβ] . (5.27)Expli itamente temos que

Q1 = −κ

(TFρ

2F + Tρ

) (5.28)Q2 = −κ

(TFz

2F + Tz

) (5.29)Q3 = 0. (5.30)Por outro lado, o uxo resultante Qα é al ulado diretamente omo a omponente espa ialdo 4-uxo de energia, tal que

Q1 = q1 +

√FAa′(t)Aρ

8πρ2√

a(t)=

a′(t)Fρ

16π√

a(t)F 3

2

(5.31)Q2 = q2 +

√FAa′(t)Az

8πρ2√

a(t)=

a′(t)Fz

16π√

a(t)F 3

2

(5.32)Q3 = q3 = 0, (5.33)77

em que os uxos qα orrespondem aos obtidos pelas equações de Einstein. Finalmente, omparando (5.28) om (5.31) e (5.29) om (5.32), obtemos as seguintes equações dife-ren iaisa′(t)Fρ

16π√

a(t)F 3

2

= −κ

(TFρ

2F + Tρ

) (5.34)a′(t)Fz

16π√

a(t)F 3

2

= −κ

(TFz

2F + Tz

). (5.35)Resolvemos este sistema de equações e obtemos que a temperatura do sistema é

T (ρ, z, t) =a′(t)

16πκ√

a(t)

T∞ − lnF√F

. (5.36)Cal ulamos também a energia total ξ do sistema e sua pressão efetiva Pef :ξ (ρ, z, t) =

3ρ2a′(t)2 + 4F3e−2H(A2

ρ + A2z

)

32πρ2a(t)F , (5.37)Pef (ρ, z, t) =

−3ρ2a′(t)2 − 12ρ2a(t)a′′(t) + 4F3e−2H(A2

ρ + A2z

)

96πρ2a(t)F . (5.38)Com estes três últimos resultados temos uma des rição bási a do estado termodinâmi odo sistema. No entanto, falta saber omo é a densidade de partí ulas em ada pontodo espaço. Desta forma podemos nos aproximar do entendimento de qual é a equaçãode estado do sistema e omo é sua dependên ia temporal. Um ex elente aminho parades rever relações entre as variáveis de estado do sistema é a relação existente entre osinvariantes dos tensores de energia-momento e de Einstein:8πgαβχαβ = −3R, (5.39)onde R é o es alar de Ri i. De fato, para onhe er a função dependente do tempo a(t), al ulamos o es alar de Ri i, e obtemos que:

R =3(a′(t)2 + 2a(t)a′′(t))

2a(t)F +F

a(t)ρe2H

(−→∇ ·( ρ

F−→∇F

)− 2F

ρ

−→∇A · −→∇A)

. (5.40)78

Mas, omo já foi visto no apítulo 2, das equações de Einstein (5.14-5.17) obtemos asseguintes ondições−→∇ ·

( ρ

F−→∇F

)− 2F

ρ

−→∇A · −→∇A = 0, (5.41)−→∇ ·

(Fρ

−→∇A)

= 0, (5.42)o que impli a que o es alar de ri i depende da função temporal a(t), tal queR =

3(a′(t)2 + 2a(t)a′′(t))

2a(t)F . (5.43)Por outro lado, al ulando a 4- orrente Jα e vemos queJ1 = 0 (5.44)J2 = 0 (5.45)J3 = −A(a′(t)2 + 2a(t)a′′(t))

16πρ2a(t)3/2+

F4πρa(t)3/2e2H

−→∇ ·(F

ρ

−→∇A) (5.46)

J4 = 0. (5.47)No entanto, a ondição (5.42) nos diz queJ3 = −A(a′(t)2 + 2a(t)a′′(t))

16πρ2a(t)3/2, (5.48)em que podemos observar a estreita relação de dependên ia que existe entre J3 e o es alarde Ri i. Esta observação, e o fato de que a densidade de arga resultante é nula ( já que

J4 = 0), nos motiva a pensar, num primeiro momento, na possibilidade de existên ia de orrentes induzidas, sempre que o es alar de Ri i não fosse nulo, ou seja sempre quea′(t)2 + 2a(t)a′′(t) 6= 0. (5.49)Com esta ondição, variações da urvatura produziram orrentes induzidas. Embora esteresultado seja extremamente interessante, o des onhe imento de ritérios si amente o-erentes que permitam al ular estas variações de urvatura poderia limitar esta solução79

para asos meramente matemáti os. No entanto, a relação (5.39) nos exime de tal preo- upação, já que podemos fa ilmente demonstrar, substituindo as grandezas ε, P e P3 dasequações (5.17-5.20) na relação (5.39), que8πgαβχαβ + 3R =

(9e2Ha(t) − 2F

)(a′(t)2 + 2a(t)a′′(t))

4a(t)F2= 0, (5.50)deste modo a função a deve ser tal que

a′(t)2 + 2a(t)a′′(t) = 0. (5.51)A ondição anterior permite armar que o es alar de Ri i é nulo. Do mesmo modo pode-mos dizer que não existem orrentes induzidas, nem matéria que deforme o espaço. Destaforma é oerente pensar na opção de que o uido existente deve ser do tipo radiação pura,e ainda mais, dado que a métri a é equivalente à métri a de Gutsunaev e Manko, pode-mos armar que existe um orpo entral om ara terísti as de dipolo magnéti o, sendoeste o responsável pela emanação de radiação. Esta armação é onrmada omparandoa pressão efetiva Pef e energia total ξ do sistema. Segundo as equações (5.38) e (5.37)podemos ver quePef (ρ, z, t) =

ξ (ρ, z, t)

3, (5.52)o que impli a que a pressão é do tipo pressão de radiação. Desta forma podemos hamaresta solução omo a solução do dipolo magnéti o irradiante (DM+R).A função temporal é fa ilmente al ulada da equação (5.51), e obtemos que

a(t) = a03

√(3

2(a1t + 1)

)2

. (5.53)Finalmente a des rição matemáti a do modelo é ompleta e são onhe idas todas asgrandezas físi as do modelo. Notemos que a função temporal não é do tipo os ilatória oque nos motiva pensar na não existên ia de ondas gravita ionais.Agora é importante desta ar um omentário sobre as pressões no sistema. Das equações(5.20) e (5.19), que denem as pressões P e P3, vemos que apare em os oe ientes80

vis osos inéti o e dinâmi o. Em ambos os asos o termo −3ζ + 2η está presente, o queadmite lassi ar a solução DM+R em três asos:• Um que não possui termos referentes a pressões vis osas, já que ζ = η = 0. Este aso orresponde ao modelo tradi ional, já que des reve a radiação no ontexto típi o deuma termodinâmi a de primeira ordem.• Outro que também não não possui termos referentes a pressões vis osas, já que podea onte er que ζ = 2η/3. Neste aso as vis osidades efetivas são nulas, ou seja, sãoauto- ompensadas.• E um ter eiro que possui termos referentes a pressões vis osas ζ 6= 2η/3 e η 6= 0.Neste aso a radiação apresentaria esta ara terísti a vis osa de segunda ordem.Deste modo, a solução DM+R depende do tipo de radiação em questão. No entanto, nostrês asos men ionados, as grandezas físi as restantes se omportam de maneira equiva-lente, omo se fossem independentes da vis osidade.Agora resta analisar gra amente esta solução.Notamos que a solução pode admitir emissão para t > −a0

a1

ou absorção para 0 < t < −a0

a1Em primeiro lugar, estudamos o omportamento dos uxos resultantes de energia Qαdurante a emissão. Para isto visualizamos o ampo vetorial de uxo de energia, formadopor [Q1, Q2, 0], no qual usamos os seguintes valores para as onstantes no modelo:a0 = 1002/3 a1 = −10−1 α = 0.54 m = 1 k = 10 T∞ = 1. (5.54)Além do anterior as vis o idades são denidas usando ζ = 1 e η = 1.

81

Com estes valores −a0

a1

= 10. Por isto é onveniente redenir o tempo na format → t − 10, já que neste aso para t > 0 os grá os orrespondem à emissão de radiação:Primeiramente apresentamos o omportamento temporal do valor absoluto da omponenteg44 da métri a: Lembremos que em oordenadas esféri as o horizonte de eventos é uma

Èg44È t = 0.1

510

15

20

Ρ-20

0

20

z02468

10

Èg44È

510

15

20

Ρ

Èg44È t = 0.5

510

15

20

Ρ-20

0

20

z02468

10

Èg44È

510

15

20

Ρ

Èg44È t = 10

510

15

20

Ρ-20

0

20

z02468

10

Èg44È

510

15

20

Ρ

Èg44È t = 100

510

15

20

Ρ-20

0

20

z02468

10

Èg44È

510

15

20

ΡFigura 5.1: Evolução temporal do valor absoluto da omponente g44. Notamos que emquanto o tempo trans orre a função da métri a de res e isomor amente.esfera de raio m + k, neste aso r = 11.82

Por outro lado a temperatura possui o seguinte omportamento:Temperatura t = 0.1

510

15

20

Ρ-20

0

20

z05

101520

T

510

15

20

Ρ

Temperatura t = 0.5

510

15

20

Ρ-20

0

20

z05

101520

T

510

15

20

Ρ

Temperatura t = 10

510

15

20

Ρ-20

0

20

z05

101520

T

510

15

20

Ρ

Temperatura t = 100

510

15

20

Ρ-20

0

20

z05

101520

T

510

15

20

ΡFigura 5.2: Evolução temporal da Temperatura do sistema. Notamos que em quanto otempo trans orre a Temperatura de res e também isomor amente, ou seja, o sistemaestá esfriando.

83

Agora estudaremos o ampo vetorial do uxo de energia. Para uma melhor visualizaçãoutilizamos oordenadas de Weyl. Para t = 0 temos problemas de onvergên ia, mas,usamos t = 0.0001 para estudar o modelo perto da emanação ini ial de energia. Nesteinstante podemos ver, segundo a gura (5.3) que a onte e uma grande emanação deenergia em direção do eixo ρ. Também existem outras duas direções privilegiadas omgrandes uxos.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-1000

-500

0

500

1000

Figura 5.3: Campo vetorial de uxo de energia para t= 0.0001. A região es ura é umaregião de alta densidade de uxo de energia, na qual foi realizada a integração: 0 < ρ < 40e −20 < z < 20. Desta forma vemos que no ini io a emanação ini ial pare e uma grandeexplosão formando um dis o de radiação.

84

No de orrer do tempo a intensidade da radiação de aí, omo é visto na seguinte seqüên- ia:

Figura 5.4: Evolução do ampo vetorial de uxo de energia para tempos pequenos. Estagura mostra que a intensidade de uxo de energia diminui rapidamente no de orrer dotempo.A gura (5.4) mostra que a intensidade do uxo de ai muito rápido. Não é difí ilmostrar que o uxo diminui hiperboli amente respeito do tempo, neste aso, em formapropor ional om t−1. A seguir apresentamos a gura (5.5) que mostra que esta intensi-dade ai para zero para tempos ada vez maiores.85

Figura 5.5: Evolução do ampo vetorial de uxo de energia para tempos grandes.É interessante notar que temos modelado analiti amente um pulso de radiação usandoo formalismo da relatividade geral.A reditamos que este modelo é uma boa representação das grandes emanações de ener-gia que a onte em nos sistemas astrofísi os, tais omo pulsares, galáxias ativas e outras ongurações. Não obstante, este modelo não in lui rotação, desta forma os pulsares nãopoderiam ser estudados usando esta solução, mas, é possível usar a solução en ontradapor Gutsunaev e Manko para o aso om rotação omo referen ia para ata ar tal aso. Emqualquer aso, isto ará para trabalhos futuros. A lasse das galáxias ativas ompreendevários objetos que ompartilham propriedades semelhantes: quasares, blazares, galáxiasSeyfert e radiogaláxias.Uma boa opção é pro urar fontes de raios X para testar o modelo, já que além de seremissões eletromagnéti as de natureza semelhante à luz visível, não deformam o espaço-tempo.Por outro lado, qualquer estrela possui um ampo magnéti o que em geral é fra o,mas quando o nú leo da estrela é omprimido até se tornar uma estrela de nêutrons, oseu ampo magnéti o também sobre ompressão, om isso as linhas de ampo magnéti o am mais densas, dessa forma tornam o ampo magnéti o muito intenso, e por esta razãotambém são andidatos para testar nosso modelo.86

Capítulo 6Con lusõesNesta tese resolvemos as equações de Einstein para uma métri a axial do tipo Weyl, naqual oexistem um uido estáti o e um ampo eletromagnéti o independente do tempo.As ara terísti as prin ipais da solução são as seguintes:

• En ontramos uma solução estáti a das equações de Einstein que a opla um ampode uido e um ampo eletromagnéti o.• A pressão efetiva é do tipo pressão de radiação.• O uxo total de energia é nulo.• A temperatura depende da função f e tende para um valor onstante, garantido oequilíbrio térmi o.• O gradiente de temperatura na direção angular ϕ é nulo.• O es alar de Ri i é propor ional à densidade de arga.• Esta solução ontém à solução do dipolo magnéti o massivo no vá uo. Se despre i-amos o uido arregado, re uperamos a solução de Gutsunaev e Manko.87

• representa o espaço-tempo ao redor de um dipolo magnéti o massivo e interior a umuido arregado tipo poeira.• Poderia ser usada para estudar objetos astrofísi os altamente magnetizados.Agregando alguns omentários nais, podemos dizer que, espe i amente, mostramos quea métri a da solução des reve uma alta on entração de matéria mo entro do sistema om distribuição dipolar, tais que, a grandes distân ias representa um dipolo magnéti omassivo. A ondição de equilíbrio do sistema nos permite onhe er a distribuição espa ialdos portadores de arga ao redor do nú leo, a densidade de energia, a temperatura e apressão de radiação efetiva do sistema a oplado, mas, além do anterior, exige que os uxosde energia devem estar auto- ompensados, omo se lo almente existisse simultaneamenteuma absorção de energia eletromagnéti a e uma remissão de radiação térmi a por partedo uido arregado, o que impli a que o uxo resultante de energia é nulo. Por outrolado, vemos que parte da energia total do sistema é utilizada para manter as partí ulasparadas umas om respeito às outras, omo se o uido fosse um orpo rígido. De fato, estarigidez pode ser asso iada om uma rosta que envolve o orpo entral. É por esta razãoque a solução en ontrada poderia representar objetos astrofísi os do tipo magnetares,ou bura os negros altamente magnetizados em ondição de equilíbrio om uma poeira arregada na sua vizinhança.Uma segunda solução das equações de Einstein é des rita nesta tese. Ela é analíti a,dependente do tempo e é o resultado do a oplamento de um dipolo magnéti o massivodo tipo Gutsunaev e Manko om um uido imperfeito que ara teriza a radiação emitidapelo dipolo. Ela é hamada solução do dipolo magnéti o massivo radiante. En ontramosque o omportamento da radiação na vizinhança de fontes extremas é omparável omum uido imperfeito e anisotrópi o. Esta solução admite três asos que dependem do tipode radiação em questão:• Um que não possui termos referentes a pressões vis osas, já que ζ = 2η/3 .88

• Outro que também não possui termos referentes a pressões vis osas, já que ζ = η =

0.• E um ter eiro que possui termos referentes a pressões vis osas ζ 6= 2η/3 e η 6= 0.No entanto, nos três asos men ionados, as grandezas físi as restantes omportam-sede maneira equivalente. O espaço-tempo não é plano e independe da natureza vis osado uido. Este modelo poderia des rever um pulsar visto por um observador rotando omóvel om o pulsar num mar o de referen ia lo almente ortogonal, ou modelos maissimples omo estrelas altamente magnetizadas emitindo radiação. Esta solução pode serajustada a diversos sistemas astrofísi os dependendo da densidade ini ial do sistema, eseus uxos de energia asso iados. Esta solução é o ponto de partida para futuros trabalhosque pretendem estudar objetos astrofísi os reais om um enfoque físi o pertinente.6.1 Apêndi e: PaperNas páginas nais, após da bibliograa, apresentamos o paper asso iado om os resultadosfundamentais desta tese de doutorado. O título é Stati harged uid around a massivemagneti dipole, e foi submetido na Physi al Review D.

89

90

Bibliograa[1 V. Bromm, P.S. Coppi, R.B. Larson Astrophys. J. 42 79 (1999)[2 J.C. Brandt , S.R. Heap, F.M. Walter , R.J. Weymann Astron. J 121 2173 (2001)[3 C.R. O'dell, V.W. Be kwith S ien e 276 1355 (1997)[4 R. Zinn Astrophys. J. 225 790 (1978)[5 R. Zinn Astrophys. J. 241 602 (1980)[6 R.E. White, Astrophys. J. 367 69 (2001)[7 S. Sta y, M Gaugh, Astrophys. J. 632 859 (2005)[8 E. Hayashi, J.F. Navarro, C. Power, A. Jenkins, A.S. Frenk, S.D.M. White, V. Sprin-gel, J. Stadel, T.R. Quinn , Mon. Not. R. Astron. So . 355 3 (2004)[9 R. Dun an, C. Thompson Astrophys. J. 392 9 (1992)[10 C. Kouveliotou, S. Dieters, T. Strohmayer , J. Van Paradijs, G.J. Fishman, C.A.Meegan, K. Hurley, J.Kommers, I. Smith, D. Frail, T. Murakami, Nature 393 295(1988)[11 J. Hu hra, M. Gorenstein, S. Kent, I. Shapiro, G. Smith, E. Horine, R. Perley, Astron.J. , 90 691 (1985)[12 R. Rosenfeld, Phys. Rev. D 75 8 (2007)91

[13 T. Chiba, Phys. Rev. D 75 10 (2007)[14 G. Barenboim, O. Mena, C. Quigg, J. Cosmol.Astropart. P. 4 8 (2006)[15 Wayne H, White M, Astron. J. 471 30 (1996).[16 J. Kova , Nature 420 772 (2002).[17 L.M. Krauss, K. Jones-Smith, Hutere Dr, New J. Phys. 5 141 (2007)[18 E. Balbinski, Mon. Not. R. Astron. So . 209 145 (1984)[19 A. Diez-Tejedor, A. Feinstein, Jour. Mod. Phys. D 14 1561 (2005)[20 R.C. Tolman, Phys. Rev. D 55 364 (1939)[21 J.R. Oppenheimer, G.M. Volko, Phys. Rev. D 55 374 (1939)[22 N.O. Santos, R.S. Dias , A. Banerjee, Jour. Math. Phys. 26 878 (1985)[23 V.F. Mukhanovb, H.A. Feldman , R.H. Brandenbergera, Phys. Rep. 215 203 (1992)[24 B. Brügmann, W. Ti hy, N. Jansen, Phys. Rev. Lett. 92 211101 (2004)[25 M. Al ubierre, G. Allen, C.Bona, D. Fiske, T. Goodale, F.S. Guzman, I. Hawke,S.H. Hawley, S. Husa, M. Koppitz, C. Le hner, D. Pollney, D. Rideout, M. Salgado,E. S hnetter, E. Seidel, S. Hisa-aki, B. Szilagyi, D. Shoemaker, R. Takahashi, J.Wini our, Classi al Quant.Grav. 21 589 (2004)[26 J.A. Font, Living Rew.in Rel. 1 1 (2003)[27 R.P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11 237 (1962)[28 E.T. Newman, E. Cou h, K. Chinnapared, A. Exton, A. Prakash, R. Torren e, J.Math. Phys. 6 918 (1965)[29 H. Reissner, Ann. Phys. Berlin 50 106 (1916)92

[30 G. Nordström, Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetens hap. 26 1201 (1918)[31 Ts.I. Gutsunaev, V.S. Manko, Phys. Lett. 5 215 (1985)[32 Ts.I. Gutsunaev, V.S. Manko, Phys. Rev. D 6 2140 (1989)[33 P.S. Letelier, Phys. Rev. D 22 807 (1980)[34 J.P.S. Lemos, E.J. Weinberg, Phys. Rewiew D 69 104004 (2004)[35 D.M. Zipoy, J. Math. Phys. 7 1137 (1966)[36 B.H. Voorhees, Phys. Rev D 2 2119 (1970)[37 W.B. Bonnor, Phys. Lett.A 284 81 (2001)[38 W.B. Bonnor, Class.Quant.Grav. 18 2853 (2001)[39 A.A. Coley, B.O.J. Tupper, Astrophys. J. 288 418 (1985)[40 C.A. Kolassis, N.O. Santos, D. Tsoubelis, Class.Quant.Grav. 5 1329 (1988)[41 R. Silva, J.A.S. Lima, M.O. Calvão Gen.Rel.Grav. 32 (865)[42 J. So orro, V.M. Villanueva, L.O. Pimentel, Int.J.Mod.Phys. A11 5495 (1996)[43 R. Maartens, astro-ph/9609119 (1996)[44 B. Boisseau, P.S. Letelier, Gen. Rel. Grav. 34 1077 (2002)[45 S. Chandrasekhar, The Matemati al Theory of Bla k Holes ( Oxford University Press,1983).[46 S. Chandrasekhar, Hydrodynami and Hydromagneti Stability( Oxford UniversityPress, 1961).[47 R.M. Wald, General Relativity(University of Chi ago Press, 1984).93

[48 J. Font, Numeri al Hydrodynami s in General Relativity (The University of Chi agoPress,1984).[49 C. E kart, Phys. Rewiew 58 919 (1940)[50 W. Israel, Ann. Phys. 100 310 (1976)[51 W. Israel, J.M. Stewart, Ann. Phys. 118 341 (1979)[52 W.A. His o k, L. Lindblom, Ann. Physi s 151 466 (1983)

94

Static charged fluid around a massive magnetic dipole

Jose D. Polanco∗

Instituto de Fısica ‘Gleb Wataghin’, Universidade Estadual de Campinas, 13083-970, Campinas, Sao Paulo, Brasil

Patricio S. Letelier†

Departamento de Matematica Aplicada, Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica,

Universidade Estadual de Campinas, 13081-970, Campinas, Sao Paulo, Brasil

Maximiliano Ujevic‡

Centro de Ciencias Naturais e Humanas, Universidade Federal do ABC, 09210-170, Santo Andre, Sao Paulo, Brasil

An analytical solution of Einstein-Maxwell equations with a static fluid as a source is presented.The spacetime is represented by the axially symmetric Weyl metric and the energy-momentum tensordescribes a coupling of a fluid with an electromagnetic field. When appropriate limits are performedwe recover the well-known solutions of Gutsunaev-Manko and Schwarzschild. Also, using Eckart’sthermodynamics, we calculated the temperature, the mechanical pressure, the charge density andthe energy density of the system. The analysis of thermodynamic quantities suggests that thesolution can be used to represent a magnetized compact stellar object surrounded by a chargedfluid.

PACS numbers: 04.40 Nr, 04.40.Dg, 04.40.-b, 04.20.Jb

I. INTRODUCTION

The study of magnetic fields in astrophysical objectssuch as white dwarfs, neutron stars, pulsars and blackholes, has grown sharply in recent years [1–5]. In fact,several observations show that there are various scenarioswhere the magnetic fields and general relativity can notbe neglected . One of them is the presence of strong mag-netic fields in active galactic nuclei [6–9]. These nuclei areknown to produce more radiation than the rest of the en-tire galaxy and directly affect its structure and evolution.Another scenario is the production of relativistic colli-mated jets in the inner regions of accretion discs, whichcan be explained considering magneto-centrifugal mecha-nisms [10–15]. Also, magnetic fields are important in un-derstanding the interplay between magnetic and thermalprocesses for strongly magnetic neutron stars [4, 16, 17].At least 10% of all neutron stars are born as magnetars,with magnetic fields above 1014 G [18–20]. Analyticalmodels that describe these astrophysical objects are of-ten associated with solutions of Einstein’s equations [21–26]. In the context of relativistic hydrostatic models, theTolman-Oppenheimer-Volkov [27, 28] equations describethe internal structure of general relativistic static perfectfluid spheres, e.g. neutron stars. In the search for morerealistic models for compact stellar systems, the energy-momentum tensor, the source of Einstein’s equations, ismodified by introducing more complex terms that take

∗e-mail: pepediaz@ifi.unicamp.br; Present address: Departa-mento de Ciencias Fısicas y Matematicas, Universidad Arturo Prat,Casilla 121, Iquique, Chile†e-mail: letelier@ime.unicamp.br‡e-mail: mujevic@ufabc.edu.br

into account additional physical properties as, for ex-ample, electromagnetic fields. In the case of relativisticmagneto-hydrodynamics the reduction of this non-linearsystem leads often to simple models with limited appli-cability. For this reason, they are frequently supersededby numerical models [29–31]. Despite of this complexity,sometimes we can have useful analytical solutions, e.g.,the Gutsunaev-Manko solution that describes the gravi-tational field of one static massive magnetic dipole [32].The aim of this work is to construct an analytical solu-tion to the Einstein-Maxwell field equations coupled witha fluid in order to represent a static configuration thatcan be used to characterize the gravitational field of amagnetized astrophysical object surrounded by a chargedfluid.

The article is organized as follows. In Sec. IIwe present the Einstein equations and the energy-momentum tensor to be considered. In Sec. III, we ex-hibit the solution of the Einstein equations. In Sec. IVwe study the thermodynamical properties of the system.Finally, in Sec. V, we summarize our results.

II. COUPLING OF FIELDS

The spacetime for our model is represented by the Weylmetric,

ds2 = f−1(e2Λ

[dρ2 + dz2

]+ ρ2dϕ2

)− fdt2, (1)

where f = f(ρ, z) and Λ = Λ(ρ, z). The coordinate rangeare the usual for axial symmetry. Our conventions are:G = c = 1, metric signature +2, partial and covariantderivatives with respect to the coordinate xµ denotedby , µ and ; µ, respectively. Greek indices run from 1

2

to 4, with (1, 2, 3, 4) = (ρ, z, ϕ, t), and Latin indices runfrom 1 to 3. The aim mof this work is to solve Einstein’sequations with an energy-momentum tensor representingthe coupling between a fluid and an electromagnetic field.Thus, in our model, the energy-momentum tensor is thesum of the electromagnetic energy-momentum tensor anda fluid energy-momentum tensor. The electromagneticenergy-momentum tensor considered is

(EM)

Tαβ =1

4π

[FαµF µ

β − 1

4gαβFµνFµν

], (2)

where Fαβ is the electromagnetic field tensor defined asFαβ = Aα;β − Aβ;α, and Aµ is the four-potential Aµ =(U, V, W, Φ), where the functions U, V, W, Φ depend onlyon the coordinates (ρ, z). The energy-momentum tensorof the fluid is

(F )

Tαβ = εvαvβ + (p − ςθ)hαβ + ταβ , (3)

where vα represents the 4-velocity of the fluid, ε is thefluid energy density, p is the fluid pressure, ς is the bulkeffective viscosity, θ = vα

;α is the expansion, ταβ is thestress tensor defined as ταβ = −2ησαβ + qαvβ + qβvα, qα

is the heat flux, η is the shear viscosity, hαβ = vαvβ +gαβ

is the spatial projection tensor and σαβ is the symmetrictrace-free spatial shear tensor given by

σαβ =1

2

(vαhµ

β);µ + (vβhµα);µ

− 1

3θhαβ . (4)

The Einstein’s equations for the system fluid plus elec-tromagnetic field are

Gαβ = 8π

[(EM)

Tαβ +(F )

Tαβ

]. (5)

In the next section we solve Eq. (5), with(EM)

Tαβ and(F )

Tαβ

given by (2) and (3) respectively.

III. A SOLUTION TO THE EINSTEIN’SEQUATIONS

To solve the Einstein equations we use a referenceframe co-moving with the fluid. In this reference frame,the four-velocity of the fluid is vα =

[0, 0, 0, v4 =

√f].

Note also that θ = vα;α = 0 in this frame, i.e. the ex-

pansion of the fluid is null and there is no divergence orconvergence of the fluid world lines. For this reason aco-moving observer does not see an effective spatial elec-tric current. Therefore, in our co-moving frame we havethat the electric current is null, J i = 0. The conditionJ1 = J2 = 0, together with Maxwell equations,

4πJµ = ∇αFµα, (6)

leads to

ρfe−2Λ (V,ρ − U,z) = κ0, (7)

where κ0 is a constant, whereas the condition J3 = 0 canbe expressed by

−→∇ ·[f

ρ

−→∇W

]= 0, (8)

where−→∇ ≡ ρ ∂

∂ρ+z ∂

∂z. Also, with the help of J4 obtained

from (6), we can write the charge density of the systemdc = −Jµvµ as

dc =f3

4πρe2Λ

−→∇ ·[

ρ

f

−→∇Φ

]. (9)

Another simple equation can be obtained from the com-ponents 1,3 and 2,3 of Einstein’s equations. Bothcomponents are equal to zero and can be written as

(V,ρ − U,z)W,z = (V,ρ − U,z)W,ρ = 0. (10)

One possible way to satisfy Eq. (10) is to set the mag-netic potential W = constant. With this condition Eqs.(8) and (10) are satisfied, but this leads to a physicalmodel with tensions instead of pressures, and moreoverthese tensions are independent of the coordinate z. So,we discarded this solution. Another possibility is to setthe magnetic potential W 6= constant. With this lastcondition Eqs. (10) are satisfied when

V,ρ − U,z = 0. (11)

Therefore, the constant κ0 in (7) is equal to zero. Now, ifwe add Einstein’s equations 1,1 and 2,2 we find thatthe fluid pressure is equal to

p = − f2

4πe4Λ(V,ρ − U,z) , (12)

from which we obtain, using Eq. (11), that it is equalto zero. From these considerations, the Einstein equa-tions reduce to two parts, one integrable system for thefunctions f , W , Φ and Λ given by

3

Λ,ρ =ρ

4

(f2

,ρ − f2,z

)

f2+

f

ρ

(W 2

,ρ − W 2,z

)

− ρ

f

(Φ2

,ρ − Φ2,z

), (13)

Λ,z =ρf,zf,ρ

2f2+

2f

ρW,ρ W,z − 2ρ

fΦ,ρ Φ,z, (14)

Λ,z,z + Λ,ρ,ρ = −1

4

f2,ρ + f2

,z

f2+

f

ρ2

(W 2

,ρ + W 2,z

)

+1

f

(Φ2

,ρ + Φ2,z

), (15)

0 =−→∇ ·

[f

ρ

−→∇W

], (16)

and another system of equations for the fluid density en-ergy and flux radiation, which can be written as

ε =f

4πρe2Λβ, (17)

q1 = 0, (18)

q2 = 0, (19)

q3 = −√

f

4πe2Λ

[−→∇W · −→∇Φ], (20)

where β is defined by

β =1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W − ρ

f

−→∇Φ · −→∇Φ. (21)

In the next subsection we find a solution for f , W , Φ andΛ.

A. Solution to the integrable system

In order to solve the system of equations (13-16), wefirst use Eqs. (13) and (14) to find the integrability con-dition Λ,ρ,z = Λ,z,ρ. This condition can be written as

f,z

fβ = 2Φ,z

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇Φ

). (22)

Furthermore, if we replace Eqs. (13) and (14) into (15)we obtain that

f,ρ

fβ = 2Φ,ρ

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇Φ

). (23)

Assuming that the fluid energy density (ε) and chargedensity of the system (dc) are different from zero, which

implies from Eqs. (9) and (17) that β and−→∇ ·

(ρf

−→∇Φ)

are also different from zero, we find from Eqs. (22) and(23) that

f,ρΦ,z = f,zΦ,ρ , (24)which is satisfied when Φ = Φ (f). Using this last condi-tion, we can rewrite equation (22) as

(2fΦ,f − Φ)−→∇ ·

(ρ

f

−→∇Φ

)=

1

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)

−f

ρ

−→∇W · −→∇W −−→∇ ·(

ρ

fΦ−→∇Φ

). (25)

The explicit functional form of Φ(f) is obtained in Ap-pendix A, replacing the function f by a power series ofΦ in order to satisfy Eq. (16). The result is Φ = Φ0

√f ,

where Φ0 is a constant. Now, substituting the functionalform of Φ into Eq. (25) we obtain

1 − Φ20

2

−→∇ ·(

ρ

f

−→∇f

)− f

ρ

−→∇W · −→∇W = 0, (26)

which has the same form of the Gutsunaev-Manko’s equa-tion for the massive magnetic dipole in vacuum if we de-fine W =

√1 − Φ2

0A, where A is the electromagnetic po-tential considered by Gutsunaev and Manko [32]. The so-lution of Eqs. (16) and (26) written in prolate ellipsoidalcoordinates x = (r+ + r−)/2k and y = (r+ − r−)/2k,

where r± =√

ρ2 + (z ± k)2 and k is a real constant, isstudied in the Appendix B. With this solution, the func-tions f , Φ, W and Λ can be written in terms of only oneparameter α as

4

f =x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)

]2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

)2

, (27)

Φ = Φ0

√x − 1

x + 1

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)

]2+ 4α2x2(1 − y2)

[x2 − y2 + α2(x − 1)2]2 − 4α2y2(x2 − 1)

), (28)

W =4kα3

√1 − Φ2

0

(1 − y2

) [2(α2 + 1

)x3 +

(1 − 3α2

)x2 + y2 + α2

]

(α2 + 1)([x2 − y2 + α2 (x2 − 1)]2 + 4α2x2 (1 − y2)

) , (29)

e2Λ =

(x2 − 1

)

(α2 + 1)8

([x2 − y2 + α2(x2 − 1)

]2+ 4α2x2(1 − y2)

)4

(x2 − y2)9

(1−Φ2

0)

. (30)

In the next subsection we relate the parameter α withthe magnetic dipole of the system.

B. Asymptotic solution

Let us study the behavior of the metric and the elec-tromagnetic fields far from the source. In this case, itis appropriate to write the functions f , Φ, W and Λin spherical coordinates and expand them in power se-ries in r−1. The spherical coordinates are related tothe prolate spherical coordinates through the expressionsx = 1/k(r − m) and y = cos θ, where m is a real param-eter. The function f far from the source takes the form

f = 1 +2k(−1 + 3α2)

(1 + α2)r

+2k(−1 + 3α2)(−k + m + 3kα2 + mα2)

(1 + α2)2r2+ O(r−3).

(31)

Now, we imposed to the function f to have aSchwarzschild form far from the source, we find

k =m(1 + α2)

1 − 3α2. (32)

Note that with this form of k, the third term in Eq.(31) is equal to zero, so finally we obtain that f = 1 −2m/r + O(r−3). The function e2Λ goes as e2Λ = 1 +O(r−2). Therefore, far from the source we obtain theSchwarzschild metric. Hence m represents the mass ofour system.

Now, we analyze the asymptotic behavior of the elec-tromagnetic potential, Aµ = [0, 0, W, Φ]. For this pur-pose, we use the components of the four-potential (W, Φ)written in spherical coordinates. Expanding Eqs. (28)

and (29) in series of r−1 we obtain that

W =8√

1 − Φ20m

2α3 sin2 θ

(1 − 3α2)2r+ O(r−2), (33)

Φ = Φ0 −Φ0m

r+ O(r−2). (34)

Comparing Eq. (33) with the classical magnetic poten-tial, we note that the magnetic dipole moment is equalto

µ =8√

1 − Φ20m

2α3

(1 − 3α2)2, (35)

which differs from the Gutsunaev-Manko magnetic dipoleby a factor of

√1 − Φ2

0. From Eq. (35) we can relate theparameter α with the magnetic dipole moment. Notethat the parameter Φ0 can take values between -1 and1. Therefore, from Eqs. (33) and (34), we see that forvalues of |Φ0| near zero, the magnetic potential W andthe electric potential Φ far from the source attained theirhigher and lower values respectively. For values of |Φ0|near one, we have the opposite behavior. Note that thefluid total charge is mΦ0.

IV. THERMODYNAMIC PROPERTIES

A thermodynamic analysis of the system can be madeperforming a decomposition of the energy-momentum

tensor Tαβ =(EM)

Tαβ +(F )

Tαβ in its proper components asmade by Eckart [33]. Note that for static system Eckart’sthermodynamics does not present causality problems.Following Eckart, we can write the energy-momentumtensor in its proper components as

T αβ = ξvαvβ + Qαvβ + Qβvα + λαβ , (36)

5

Temperature Field

1020

3040

50Ρ -20

-100

1020

z02468

10T

1020

3040Ρ

Pressure

100200

300400

500Ρ -200

-1000

100200

z012345P

102

100200

300400Ρ

Charge Density

100200

300400

500Ρ -200

-1000

100200

z012345dc

102

100200

300400

500Ρ

Energy Density

100200

300400

500Ρ -200

-1000

100200

z012345Ξ

102

100200

300400

500Ρ

FIG. 1: Profiles of the temperature, the mechanical pressure, the charge density and the energy density of the system. Thevalues of the parameters are T∞ = 1, m = 1, α = 0.54 and Φ0 = 0.5.

with ξ, Qα, λαβ are given by

ξ = vαvβT αβ, (37)

Qα = −hαβT βγvγ , (38)

λαβ = hαγ hβ

δ T γδ. (39)

where ξ is the energy density of the system, Qα is theenergy flux of the system and λαβ is the stress tensor ofthe system. Calculating explicitly the components of theenergy flux of the system, with the help of Eqs. (18) and(20), we found that Q1 = Q2 = Q3 = 0 which means thatthe system is in an equilibrium configuration. In this casethe temperature of the system obeys the relation [33–35],

hαβ [∇βT + Tvµ∇µvβ ] = 0. (40)

For α = 1, 2, 3 we have that

∂ρ ln[T√

f]

= 0, (41)

∂z ln[T√

f]

= 0, (42)

∂ϕT = 0. (43)

Using the above equations we state that the temperatureof the system is equal to

T (ρ, z) =T∞√

f, (44)

where T∞ is the temperature at infinity.The mechanical pressure of the system (P ) is given in

Eckart’s thermodynamics by the expression

P =1

3gαβλαβ =

1

3gαβhα

γ hβδ T γδ

=(1 − Φ2

0)fN

48πρe2Λ

−→∇ ·(

ρ

fN

−→∇f

), (45)

where N = (2 − 3Φ20)/(2 − 2Φ2

0). The energy density ofthe system (37) can be written as

ξ =

(1 + Φ2

0

)fM

16πρe2Λ

−→∇ ·(

ρ

fM

−→∇f

), (46)

where M = (2 + 3Φ20)/(2 + 2Φ2

0).

6

In Fig. 1 we present a graph of the temperature, themechanical pressure, the charge density and the energydensity of the system. Note that all variables decayrapidly to their asymptotic values, which suggest that wecan treat our system as a compact stellar object. Whilevarying the values of the parameters Φ0, α and m wefound that we can obtain models which are less or morecompact. For higher values of Φ0 we obtain the morecompact objects.

V. CONCLUSIONS

In this work we found an analytical axially symmet-ric static solution of Einstein’s equations with a energy-momentum tensor which couples an electromagnetic fieldand a fluid field. Far from the source, our metric is con-sistent with the Schwarzschild solution. Moreover, if welet Φ0 = 0 we recover the Gutsunaev-Manko solution.The thermodynamic variables studied in our model sug-gest that we can treat our model as a compact stellar ob-ject, and these variables also may allow a direct compari-son with observations. The solution represents a chargedfluid around a massive magnetic dipole that may be use-ful to model a magnetar within a fluid.

VI. ACKNOWLEDGMENT

J.D.P. thanks CNPQ for financial support and C. Do-brigkeit for valuable suggestions; P.S.L. thank FAPESPand CNPq for financial support.

APPENDIX A: FUNCTIONAL FORM OF Φ(f)

To find the functional form of Φ first we write thefunction f as a power series of Φ

f =

∞∑

n=0

anΦn, (47)

where an are real coefficients. Replacing (47) in (16), weobtain

∞∑

n=0

an

−→∇ ·[Φn

ρ

−→∇W

]= a0

−→∇ ·[1

ρ

−→∇W

]

+a1−→∇ ·

[Φ

ρ

−→∇W

]+ · · · = 0. (48)

To simplify the notation we define the quantities Bn

as

Bn =−→∇ ·

[Φn

ρ

−→∇W

], (49)

with n = 0, 1, 2, 3, . . . ,∞, which satisfy the recurrencerelation

Bn = 2ΦBn−1 − Φ2Bn−2. (50)

With the help of Eq. (50) we can cast Eq. (48) intothe form

∞∑

n=0

anBn = B1

∞∑

n=1

(an − 2an+2)nΦn

+B2

∞∑

n=2

(n − 2)anΦn−2 = 0. (51)

To obtain one condition from Eq. (51) to help us tofind the functional form Φ(f), we demand that an =2an+2 for all n ≥ 1. This allows us to write the aboveseries only in terms of B2, say

∞∑

n=0

anBn =1

2B2Φ

2

[a1

∞∑

n=0

2n + 1

2nΦ2n

+a2

∞∑

n=0

n + 1

2nΦ2n+1

]= 0. (52)

The above equation is satisfied if we set B2 = 0, so

B2 =−→∇ ·

[Φ2

ρ

−→∇W

]= 0. (53)

Finally, by direct comparison between Eq. (53) andEq. (16) we obtain that the functional form of Φ isΦ = Φ0

√f , where Φ0 is a constant. Note that by

D’Alembert criterion the series of Eq. (47) converges

when |Φ| <√

2.

APPENDIX B: SOLUTION OF EQS. (8) AND (26)

Using the prolate ellipsoidal coordinates defined as

ρ = k√

x2 − 1√

1 − y2, z = kxy, (54)

where k is a real parameter, we can write Eqs. (16) and(26) in the form

(f

1 − y2W,x

)

,x

+

(f

x2 − 1W,y

)

,y

= 0, (55)

(x2 − 1

ff,x − 2

(1 − Φ2

0

)

k2

Wf

1 − y2W,x

)

,x

+

(1 − y2

ff,y − 2

(1 − Φ2

0

)

k2

Wf

x2 − 1W,y

)

,y

= 0.(56)

Now, we define the auxiliar functions H and G, so that

H =

√1−Φ2

0

k(1−y2)W and G = x+1x−1f . With these definitions,

Eq. (55) is trivially satisfied by a function I(x, y) if

I,y =x − 1

x + 1GH,x, (57)

I,x = − G

(x + 1)2[(1 − y2)H ],y. (58)

7

So, Eq. (56) can be written in terms of G, H and I, say

(I,yy − I,xx)H =

x2 − y2

1 − y2

([G,x

2G

]

,y

+(x + 1) I,xI,y

G (x − 1)

). (59)

The next step is to assume that G, H and I are functionsof the form

I =N

D, H =

S

Mand G =

M2

D2, (60)

where N, D, S and M are polynomials in x and y of theform,

N(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

ηjmxjym (61)

S(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

σjmxjym (62)

D(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

δjmxjym (63)

M(x, y) =

jmax∑

j=0

jmax−j∑

m=0

µjmxjym (64)

with ηjm, σjm, δjm, µjm being unknown coefficients tobe determined. Substituting the relations (60) into Eqs.

(57) and (58) we obtain the set of equations

(x + 1)(DN,y − ND,y) − (x − 1)(MS,x − SM,x) = 0,

(x + 1)2(DN,x − ND,x) + M2

[(1 − y2)

S

M

]

,y

= 0.

(65)

The system of Eqs (65), together with Eq. (59) can besolved in a tedious direct comparison of the coefficientsof the polynomials involved. The solution depends onthe number of coefficients for each polynomial, i.e. thevalue of jmax. Furthermore, we impose that the solutionobtained be symmetric on the plane z = 0 and also thathas the Schwarzschild solution as a particular case. Thefirst physical solution is obtained when jmax = 4. In thiscase the coefficients can be written in terms of only oneparameter, α. The solution is

N = 8α3xy (x − 1) ,

D =[x2 − y2 + α2(x − 1)2

]2 − 4α2y2(x2 − 1),

M =[x2 − y2 + α2(x2 − 1)

]2+ 4α2x2(1 − y2),

S = 4α3

[2x3 +

(1 − 3α2

)

(α2 + 1)x2 +

y2 + α2

(α2 + 1)

]. (66)

Using the solution (66), the functions f , Φ and W areknown. The function Λ is calculated integrating Eqs.(13) and (14).

[1] A. Akmal, V.R. Pandharipande and D.G. Ravenhall,Phys. Rev. C 58, 1804 (1998).

[2] K. Fukushima and H.J. Warringa, Phys. Rev. Lett. 100,032007 (2008).

[3] H. Sotani, A. Colaiuda and K.D. Kokkotas, MNRAS,Online Early doi:10.1111/j.1365-2966.2008.12977.x

[4] D.N. Aguilera, J.A. Pons and J.A. Miralles, ApJ 673,L167 (2008).

[5] K.E. Kunze, Phys. Rev. D 77, 023530 (2008).[6] A.P. Lobanov, A&A 330, 79 (1998).[7] F.A. Aharonian, MNRAS 332, 215 (2002).[8] A.F. Zakharov et al, MNRAS 342, 1325 (2003).[9] J.S. Greaves et al, Nature 404, 732 (2000).

[10] Y.T. Liu, S.L. Shapiro and B.C. Stephens, Phys. Rev. D76, 084017 (2007).

[11] S. Akiyama et al, ApJ 584, 954 (2003).[12] W.H.T. Vlemmings, P.J. Diamond and H. Imai, Nature

440, 58 (2006).[13] D.L. Meier, S. Koide and Y.Uchida, Science 291, 84

(2001).[14] G.V. Ustyugova et al, ApJ 516, 221 (1999).[15] R. Krasnopolsky, Z.Y. Li and R.D. Blandford, ApJ 595,

631 (2003).[16] P. Hennebelle and S. Fromang, A&A 477, 9 (2008).[17] Z. Medin and D. Lai, MNRAS 382, 1833 (2007).[18] X.D. Li and E.P.J. van den Heuvel, ApJ 513, L45 (1999).[19] G.G. Pavlov and V.G. Bezchastnov, ApJ 635, L61

(2005).[20] A.I. Ibrahim, J.H. Swank and W. Parke, ApJ 584, L17

(2003).[21] K. Schwarzschild, Sitzungsberichte der Kniglich Preussis-

chen Akademie der Wissenschaften 1, 189 (1916).[22] K. Schwarzschild, Sitzungsberichte der Kniglich Preussis-

chen Akademie der Wissenschaften 1, 424 (1916).[23] R.P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).[24] E.T. Newman et al, J. Math. Phys. 6, 918 (1965).[25] H. Reissner, Ann. Phys. Berlin 50, 106 (1916).[26] G. Nordstrom, Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Weten-

schap. 20, 1231 (1918).[27] R.C. Tolman, Phys. Rev. 55, 364 (1939).[28] J.R. Oppenheimer and G.M. Volkoff, Phys. Rev. 55, 374

(1939).[29] B. Brugmann, W. Tichy and N. Jansen, Phys. Rev. Lett.

92, 211101 (2004).[30] M. Alcubierre et al, Classical Quantum Gravity 21, 589

(2004).[31] J.A. Font, Living Rev. Relativity 4, 1 (2003).[32] Ts.I. Gutsunaev , V.S. Manko, Phys. Lett. A 123, 215

(1987).[33] C. Eckart, Phys. Rev. 58, 919 (1940).[34] W. Israel and J.M. Stewart, Ann. Physics 118, 341

(1979).[35] W.A. Hiscock and L. Lindblom, Ann. Physics 151, 466

(1983).