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AHÁLISE LiftITE DE LAJES VIA PRÓGRAPffiÇÃO LINEAR , ,
&TRAVES DO ME'fODO DOS ELEMENTOS FINITOS
, Luis Fernando Nunes ftello
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
, -PROGRAMAS DE POS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS
( M, Se. ) EM ENGENHARIA CIVIL.
A.provada por,
( Co-orientador )
Prof. Fernando Luiz Lobo Barboza Carneiiro
Rio de Janeiro, RJ BRASIL
DEZEMBRO DE 1987
ii
, MELLO, LUIS FERNANDO NUNES,
, , Atraves do l'letodo dos Elementos Finitos ( Rio de
Janeiro), 198?.
xi, 262 p., 29,? cm ( COPPE/UFRJ, PI.Se., Enge
nharia Civi 1 1 198? )
Tese Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE.
, 2. Analise Limite de Lajes
3. Teoria das Linhas de Ruptura
I. COPPE/UFRJ II. Titulo (s~rie).
iii
E,ste ,
trabalho e dedicado a todos aqueles que
possuem um ideal e que lutam por aqui lo em que ,
a.creditam, porque se os ob9ta.oulos sao muito9, o
prazer da chegada~ bem maior.
iv
AGRADECIIIEHTOS
A Deus pela oportunidade de ser e oonstruir,
sonhar e realizar, aprender e evoluir.
. ' A minha familia pelo .carinho, pela compreen-
"' sao, pelo incentivo, pela oonf iança, pela pac iencia e por
todas aquelas outras coisas que nos dão força e vontade de
ir sempre em frente.
Aos amigos, de hoje, de ontem e de sempre,
pela • I\ • ,
conv1venc1a agradavel, ,
pelas criticas oportunas, pela
ajuda constante e, principalmente, pela amizade.
' Aos orientadores pela oonfianç,a, pelas oriti-
"' oas sempre benvindas e pela paoienoia de ensinar.
Aos professores da COPPE pela camaradagem e
' pelos ensinamentos recebidos e aos funcionarias por toda a
ajuda e atenção dispensadas.
Ao pessoal do NCE pela boa vontade e por to-
. -dos os recursos colocados a disposi9ao1 em especial a Luoia ,
Bruno pela gentileza e pela presteza em solucionar os inume-
ros problemas que surgiram no decorrer desse trabalho.
Ao CNPq pelo apoio financeiro recebido, sem o
qual a realização desse trabalho teria sido impossiuel.
V
' Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos
' -requisitos necessarios para obten9ao do grau de
A
l'lestre em Ciencias ( l'I,. Se. )
ANÁLISE Lil'IITE DE LAJES VIA PROGRAl'IAÇÃO LINEAR
' ' ATRAVES DO l'IETODO DOS ELEl'IENTOS FINITOS
Orientador,
Programa:
' Luis Fernando Nunes l'lello
Dezembro de 198?
Luiz Eloy Vaz
Engenharia Civil
Com base na Teoria das Linhas de Ruptura (
Johansen, 1932 ) formulou-se um elemento finito nao-conven-
' cional para a analise de lajes cuja lei constitutiva fica
definida atrav~s de uma curva momento versus rota9âo na se-
' 9ao tran5ver5al a linha de ruptura. Assim, apena5 com o
' ' ' deslocamento perpendicular a superfioie media da laje em ca-
da um dos quatro pontos nodais, o elemento mostra-se exce
lente para representar e encontrar a oonfigura9ão e o fator
de colapso a partir de uma discretiza9ão criteriosa e racio-
' nal, podendo ser usado tanto na analise limite via programa-
' ' 9ao linear quanto na analise elasto-plastica, considerando-
se cargas crescendo proporcionalmente
ou independentemente umas das outras
Adapta9ão da Estrutura ).
( ' Colapso Estatico )
( Comportamento de
vi
8bstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partia!
fulfillment of the requirements for the degree oE
Master of Science ( n. Se. )
LIMIT 8N8LYSIS OF SL8BS BY LINEAR PROGRAMMING
THROUGH THE FINITE ELEMENT nETHOD
' Luis Fernando Nunes Plello
Deoember, 19 B7
Chairman1 Luiz Eloy Vaz
Department1 Civil Engineering
Based upon the Yield-Line Theory ( Johansen, 1932
) a non-oonventional Einite element is formulated for the
analysis of slabs whose oonstitutive law is defined through
a moment-rotat ion curve at the sect ion transversal to the
yield-line. Thus only with the displacement perpendicular
to the slab medium surface at each one of the Eour nodal
points I the element shows to be eKcellent to represent and
Eind the oonfiguration and the Eaotor oE oollapse beginning
Erom a oritil!!riou5 and rational discretization. It oan be
used in the limit analysis by linear programming or in the
elastic-plastic analysis, considering forces increasing
proportionally ( Static Collapse ) or independently Erom
eaoh other ( Shakedown 8nalysis ).
vii
I
IDDICE
I Introda9ão ...................................... 1
I
II A Analise Liaite
III
' ' .1 - Os Princípios Extremos para ftateriais Rigidc-
' p 1 a 5 t i CD 5 • • • • •••••••• • • • • • • •••••••••• • • • • • • 4
.1 - O Teorema do Limite Inferior ..........
.2 - O Teorema do Limite Superior
.3 - O Teorema da Unicidade, Limites
Coincidentes ..........................
5
6
7
' .2 - A Anali5e Limite em Laje5 •••••••••••••••••• 9
Os Fundaaentos da Teoria das Linhas de Raptara .. 15
.1 - Ductilidade, um Requisito Importante •...•.• 17
.2 - CondiçÕes de Formaçio da Configuraçio de
Colapsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
' .3 - ftomentos Resistentes, o Criterio de
Escoamento ( Ruptura ) de Johansen ....... 23
.4 - n~todos para a Determinaçio da Carga de
Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
.1 - Trabalhos Virtuais •••..•..•.. ••••••••• 31
.2 - Equações de Equilibrio •••..••..•.•••.• 33
.5 - Configura9Ões de Colapso Aproximadas, o
' netodo da Tentativa-e-erro
.6 - A Comprovaçio Experimental
35
38
viii
, IV O Rodeio Teorico Proposto
V
.1 - A Concepção do Elemento-Charneira: o
.2 -
CHARPLAS
A Formulayio do Elemento ••••••• ..... .
40
42
.1 - O Sistema Looal de Coordenadas
Genera 1 i zada 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 42
.2 - A Equação de Compatibilidade .•..•••••• 43
• 3 - A Equação de ,
Equilíbrio .............. . 50
.4 - A Matriz de Rigidez Tangente •••. •••••• 52
.5 - As Forças Nodais Equivalentes ..••••••• 58
.1 - Força Concentrada em Ponto Interno 60 ,
• 2 - Força Uniformemente Di,.tribuida • • 60
. 3 - Momento ao Longo do Lado • . . • . . • • . 62 ,
.4 - Momento Uniformemente Distribuído 62 ,
.5 - Força Linearmemente Distribuída 65
.6 - Força Uniforme e Parcialmemente ,
Di5tribuida •••..••••..•. ,
.6 - As Forças Elastioas Interna"
67
68
.3 - O Sistema Global de Coordenadas
Genera 1 i zadas . • . • • . . . . • • . • • • • . . • . . • . . • . . 69 , ,
.4 - O Elemento-Rotula Elasto-Plastico: o ROTPLAS 73
, Analise Liaite ••••••
.1 - O Problema das Cargas Proporcionais
.1 - Formulação
.2 - A Dualidade e a Aproximação do
77
79
79
Mecanismo . . . • . . . . . . • . . . • . . . . • • • . . • . . • • • 82
iK
,3 - M~todo de Solu9ão1 o Algoritmo de
Livesley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
.1 - Os Esforços Internos e o Fator de
Colap5o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
,2 - A Contigura9ão de Colapso,,,, ••.•• 97
.2 - O Problema das Cargas Independentes
- ' .1 - O Teorema da Adapta9ao da Estrutura as
Cargas .... . ............... . .................
101
107
114
' -.3 - Metodo de Solu9ao: o Algoritmo Simplex . 116
I I -
VI A Analise Elasto-Plastioa aoao Op9ao
A
os Problemas de Canvergencia 118
.2 - O M~canismo de Calap5o ..................... 124
- ' Redu9ao do Numero
Total de Graus de Liberdade.............. 126
VII A I1:pleaenta9ão Co,:putaaional do Rodela.•••••••• 130
' .1 - O Pre-Processador ........................ • 2 - O Proct!55ador .............•........
' ,3 - O Pos-Processador ..........................
VIII - Aplica9Ões ...................................... '
131
133
134
147
.1 - Problemas de Colapso Estatico •• , ••• , ••••••• 148
,1 - Exemplo 1: Laje Quadrada Simplesmente
Apoiada, Carregada no Centro • • • . • . • . . 148
.2 Exemplo 2: Laje Quadrada Simplesmente
Apoiada, Carregada Uniformemente •..•. 155
.3 - Exemplo 3: Laje Retangular Simplesmente
Apoiada, Carregada no Centro , •.••.... 160
X
.4 - Exemplo 4, Laje Retangular Simplesmente
Apoiada com Furo Retangular, Carregada
Unii'ormemente .........•...........•.. 172
h
.5 - Exemplo 51 Laje Retangular com Tres
Lados Adjaoentes Engastados e o Outro
Livre, Carregada Unii'ormemente •.••••• 174
.6 - Exemplo 61 Laje Quadrada Apoiada num
Lado e numa Coluna, Carregada
Uniformemente . •• • •• • •. • .• • . . • • . • • • • 176
.7 Exemplo 71 Laje Circular Engastada,
Carregada Uniformemente •..•.••••••••• 185
.8 - Exemplo 81 Laje Quadrada Simplesmente
Apoiada, com Momentos Resistentes
, , -Ultimos Diferentes em Varias Se9oes,
Carregada Uniformemente .............. 189
.9 - Exemplo 9: Laje Circular Apoiada em
Oito Colunas Dispostas Circularmente,
Carregada Uniformemente •..•...•.•.••• 192
.10 - Exemplo 101 Laje Retangular Apoiada
num do5 Lados e em Duas Colunas,
Carregada Unii'ormemente
.2 - Problemas de Adapta9ão da Estrutura
.1 - Exemplo 1: Viga Continua de Dois vãos
Iguai5 1 Carregada no Centro de Cada
-
196
198
Vao •••••••••••••••••••••••••••••••• 199 ,
.2 - Exemplo 2: Laje Retangular Continua
de Dois vãos Iguais, Carregada no
Centro de Cada vão •••••.••.....•..•.. 201
xi
' .3 - Exemplo 31 Laje Retangular Continua
de Dois vãos Iguais, Carregada
Uniformemente em Cada vão , , , •...••••• 207
' .4 - EKemplo 41 Laje Retangular Continua
de Dois vãos Desiguais, Carregada
Unitornemente ........................ 212
IX Conolu5Ões, Discussões, BeooDE!ndaçÕes e Sugestões
para llovos Es todas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 21
A APEIIDICE A . . . . . . • . . . • • . . . . . . . • • . • • . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . 230
A
Curva AproKimada Momento Versus Curvatura para Seç;es
Retangulares de Concreto armado com Armadura Dupla.
APEIIDICE B .... • • • • • • • • • • ........ • • • • • • • • .. .
Prova da Derivação do Modo de Colapso,
A
241
APEIIDICE C . . . . . • . • • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . • • . . . . . • 2 44
Procedimentos e Algoritmos Utilizados na Implementa
ção do Programa CHAPLIN para Determinação de Cargas e
Configuraç;es de Colapso em Lajes,
A I
BEFEBEHCIAS BIBLIOGBAFICAS ............................. 256
1
CAPÍTULO I
IDTBODUÇÃO
' ' O principal objetivo da analise estrutural e ga-
' ' rantir a seguran9a da estrutura contra a ruina atraves de um
fator adequado, mantendo, entretanto, a sua funcionalidade
para cargas em serviço.
' ' Apesar do uso generalizado, a analise elastica oo-
_, base para o projeto estrutural tem as suas limitações. A
' - -'IINlior delas e nao fornecer uma indioa9ao precisa do fator de
segurança ~ ruptura, justamente porque I nessa cond i9ão I os
aateriais pod•m comportar-se plastioamente, violando assim a
' ' hipotese de comportamento elastio.o. Uma das op9Ões para so-
' ' ' lucionar esse impasse e a analise elasto-plastioa1 contudo,
a descri9Ão das propriedades do material não-linear•• ter-
' ' -aos matematioos aplicaveis, freqüentemente nao possui preci-
sao suficiente para justificar o enorme esfor90 coaputacio-
' nal geralDll!nte envolvido nesse procedimento. Isso e espeoi-
almente verdade para muitas estruturas de concreto armado.
No caso particular das lajes, a Teoria das Linhas
de Ruptura aparece oomo alternativa. Apesar de não fornecer
qualquer informação do comportamento em serviço, ' e sempre
possivel a obten9ão de um valor realistioo da carga de rup
tura para muitas situações de carregamentos e geometrias.
Al~m disso, a relativa facilidade de aplioa9ão em casos não
2
muito complexos e a comprovaçao experimental de muitas das
soluções previstas fazem com que se destaque entre os outros ,
metodos de mesma filosofia.
, , Todavia, como em quase todos os metades analíticos
em engenharia, a aplicação pr~tioa efetiva dessa teoria fica
limitada a lajes de espessura constante, geometria simples,
distribuição de armadura uniforme e submetidas a oarregamen-
' , -tos tambem nao muito complexos. Apesar do elevado numero de
' soluções eHistentes para o uso pratico, como, por exemplo,
as muito bem desenvolvidas por VAN LANGENDOCK [01), a utili-
' zaçao em problemas reais e, portanto, mais oompleKos, e de-
' morada, dispendiosa e, por vezes, muito trabalhosa devido a
' variedade de passiveis mecanismos de ruptura que precisam
ser investigados.
A intenção do presente ' trabalho e, t!nt ão, mostrar , ,
um me todo para tentar superar alguns desses obstaoulos.
Atrav~s da formulação de um elemento baseado no ,
l'letodo dos
Elementos Finitos, com enfoque pelo l'lodelo de Deslocamen-
' tos, mostra-se ser possível encontrar o Eator de colapso e o ,
correspondente mecanismo de ruptura diretamente via analise
' limite, sem que haja a necessidade de conhecer a historia ,
Pelas oaraoteristioas do elemento proposto
e a consideração de materiais perfeitamente pl~stioos, pode
se formular o problema em termos dos teoremas dos limites
interior e superior, chegando-se naturalmente a um problema
de Programação ,
Pia tema ti ca, tão " em evidencia atualmente pela
potencialidade de atiliza9ão no dimensionamento e na otimi-
zação estrutural. O problema de programa9ao linear (PL) ' e,
3
~nt;o, I
tormulado para a analise de oargas variando proporei-
onalmente e aleatoriamente entre dois limites, respectiva-
I
111ente, colapso estatico e colapso incremental. I
Alem de al-
goritmos eticientes para a solu9ão do problema de programa-
9Ão linear, apresenta-se, I
tambem, as bases do programa com-
I -putacional desenvolvido pelo autor para analise e avalia9ao
do modelo proposto.
4
• 11r==================---==-====n I
CAPITULO II
I
A AHALISE LIIIITE
' ' II.1 - Os Principies Extremos para Materiais Rígido-
' Plasticos
' ' ' Um material rigido-plastico perfeito e definido
- ' -como aquele para o qual nao ha detorma9ao alguma quando as
tensões estão abaixo de certo limite, o ponto de escoamento,
Nesse ponto, grandes deforma9Ões podem ocorrer sem que haja
qualquer mudan9a nas ten5Ões, Apesar de nio existirem cor-
' ' pos de comportamento rigido-plastico perfeito, o modelo pode
ser usado sempre que as deforma9Ões
' maiores que as elasticas.
' plasticas forem muito
Quando as cargas sao aumentadas monotonioamente
' - ' ate o ponto em que a estrutura nao consiga mais suporta-las,
' o corpo e dito haver atingido o colapso. A carga correspon-
' dente e chamada carga de oo I apso, oarqa de ruptura, oarqa
' ui tinta ou 011.pao idade de aarqa, entre outros. O estado de
detorma9ão do corpo nesse instante~ conhecido como mecanis
mo d~ aalapso, mecanismo d#!! ruptura, aanFiguraçãa de ruptura
ou conFiquração de colapso, entre outros, A teoria para a
determinação da carga de colapso I ' em corpos rigido-plasticos , , , e denominada analise limite e utiliza os princípios extremos
formulados primeiramente por GVOZDEV [02) em 1938 e indepen-
dentemente por DRUCKER et alia [03) em 1952, ' Tratar-se-a
5
aqui somente dos seus enunciados e interpreta9Ões; a sua de-
monstra9;0 completa pode ser obtida, por eHemplo 1 em
KACHAKOV [ O 4] .
11.1.1 - O Teorema do Limite Inferior
'"Se a carga atuante tem uma magnitude que permite
encontrar um oampo de tensão correspondente a ten-,
soes dentro ou sobre a superfioie de colapso, sa-
' tisfazendo as oondi9Ões ,
de equi l ibr io ' e as oondi-
9;es est~tioas do contorno, então essa carga; me-
' nor ou igual a carga de colapso da estrutura."
Um campo de tensão desse ,
tipo e denominado sequro
, , , ou estaticamente admissível. E possível, claro, supor oam-
pos de tensão em equilÍbrio com a carga, mas em regioes aoi-,
ma do ponto de escoamento; entretanto, somente se for possí-
vel encontrar um que corresponda a tensões, em qualquer pen-
' to, abaiHo ou coincidentes com o ponto de escoame.nto e que ,
essa carga sera um limite interior da carga de colapso.
Der inindo-5e o carregamento eKterno ap l ioada por
" um parametro estritamente positivo X de modo que as compo-
nentes individuais das cargas lhe sejam proporcionais, tem
se o que se chama carreqamento proporciona/ ou, simplesmen-
te, carqas proporcionais, O colapso provocado por esse tipo
' , de carregamento e conhecido como colapso estatioo. O teore-
ma pode então ser utilizado para encontrar valores de carga
' menores ou iguais a carga de colapso correspondente ao fator
6
de proporcionalidade X, conhecido como Fator de aolap6o ou e
' Fator d• ruptura, dai o nome Teorema do Limite Inferior.
Então, para todos os carregamentos~ para os quais
' um campo de tens;a seguro e esta t ioamente admiss ive l pode
ser encontrado,
(II.01)
sendo a igualdade verificada quando surge a oonfigura9ão de
' colapso. Tudo isso tambem se aplica quando parte do carre-
' gamento e proporcional a X e o restante, por exemplo, peso
' ' proprio, e constante.
11.1.2 - O Teorema do Limite Superior
.. Cons ideranda-sa um campo de de5 looamento geome-
' trioallll!nte passivei, uma carga que realize traba-
' lho externo maior do que o trabalho interno pias-
' tico necessario para deformar o corpo sob um campo
- ' de deforma9ao compatível com esse campo de deslo-
' ' camento sera maior ou igua 1 a carga de colapso."
Atrav~s da mesma defini9ão de carregamento propor
cional, esse teore- pode ser usado para encontrar valores
' de carga que sao maiores ou iguais a carga de colapso, isto
' e, se valores de X forem determinados de modo que o trabalho
' A rea 1 i zado seja igual a resistencia contra o campo de deslo-
oamento, então, mesmo o menor incremento des5e carregamento
7
, , nao podera ser suportado pelo oorpo, Dai pode ser visto que
, ' a carga encontrada e maior ou igual a carga de colapso, ou
seja,
(II.02)
sendo a igualdade verificada quando o mecanismo corresponde
ao do colapso.
Deve-se ainda notar que as tensões oorrespondentes
- , ao oampo de deforma9ao geometricamente possivel nao necessi-
tam satisfazer ~s condi9Ões de equilibrio,
, Pode-se oonoluir 1
deforma9ão geometricamente
então que, se varias aampos de ,
passiveis sao considerados, a
equa9ão do trabalho pode ser utilizada para encontrar valo-
' res da capacidade de carga que sao maiores ou iguais a ver-,
dadeira1 dai o nome Teorema do Limite Superior,
II.1.3 - O Teorema da Unicidade, Limites Coincidentes
, De acordo com os dois teoremas da analise limite
, , para corpos rig ido-plast icos e carregamento proporcional 1
pode ser encontrada uma carga de forma que,
CONDIÇÃO 11 Exista um campo de tensão estatica-
, ' -mente admissível correspondente as tensoes dentro ,
ou sobre a superficie de colapso.
8
' CONDIÇÃO 21 correspondentes as
tensões de acordo com a oondi9ão de escoamento (
ruptura ) podem ser obtidas a partir de um campo
' de deslocamento geometrioa1Nnte possível,
' ' Isso e verdade porque carregamentos satisfazendo a
' sao menores ou iguais a carga de colapso, e car-
regamentos satisfazendo~ condição 2 são maiores ou iguais~
carga de colapso, Quando ambas as condi9Ões sao satisfeitas
' ' siaultaneamente, a carga encontrada e igual a carga de co-
lapso, que~ assim determinada de maneira ' unica.
Nem sempre o corpo todo "participa" do colapso.
Freqüentemente ocorre que apenas ' parte esta deformada nesse
' instante1 o restante do aes111C 1 permanecendo rígido, impede
que as tensões ' sejam determinadas de modo unioo1 sabe-se
' apenas que correspondem a pontos dentro ou sobre a superfi-
' ' oie de colapso. Tambem ocorre de varias campos de deforma-
' ' 9ao geometricamente passiveis levarem a mesma capacidade de
' carga. Contudo, pode ser mostrado que, quando se esta tra-
balhando .com dois desses campos de deformação oorresponden-
tes ao mesmo carregamento externa, as tensões sao A
identioas
nas partes da carpo ande 1 nas dois casos, ocorrem deforma-
9oes não-nulas; ' isto e 1 nem o mecanismo de ruptura, nem o
campo de tensão~ determinado de maneira ~nica paratÍm corpo
' ' rigido-plastico; apenas a carga de colapso.
Em resu11to I l imi te5 inferiores e superiores para
carregamentos proporcionais podem ser encontrados pelos teo-
9
' remas desenvolvidos. Um limite superior e encontrado oonsi-
' derando-se um mecanismo de colapso geometricamente possível
e resolvendo-se a equa9ao do trabalho. Um limite inferior
pode ser obtido da oonsidera9ão de um campo de tensão esta
ticamente admissivel correspondendo a tensões dentro ou se-
' bre a superfície de colapso.
Uma solu9ão exata requer a oonstru9ão de um campo
de ' estaticamente admissível correspondendo a tensões
' dentro ou sobre a superfioie de colapso no corpo todo, bem
como a verifica9ão de que um campo de deforma9ão geometrioa-
' ' -mente possível, satisfazendo as equa9oes constitutivas, cor-
responde a esse campo de tensão. Esse tipo de solu9ão, en-
' ' tretanto, e apenas de interesse aatematioo, nao representan-
' do ganho algum para a engenharia pratica.
' II. 2 - A Analise Limite em Lajes
' ' A analise limite reconhece que, devido a plastici-
dade, a redistribui9ão de esfor9os pode ocorrer antes que a
carga de ruptura seja atingida. ' Por exemplo, em se9oes ti-
picas de concreto armado, uma vez alcan9ado o escoamento do
' - -a90 tracionado, ou seja, o inicio de plastifioa9ao da se9ao,
o au,nento da curvatura provoca pouca mudan9a nos momentos.
Assim, quando determinadas regioes atingem o momento de
' tendem a manter a capacidade resistente pro-
,. ' -xima da resistenaia a flexao, mes111D aam um aulM!nto adicional
de ourvatura1 com o aumento da carga, o escoamento da arma-
dura propaga-se para as outras se9oes da laje. ' A analise
10
limite computa, então, a carga ~ltima e a distribui9ão dos
momentos e esforços cortantes na oonfigura9ão de colapso su-,
pondo que as se9oes da laje sejam suficientemente ducteis
para permitir a requerida redistribui9ão de momentos fleto-
res. Para isso, pode ser usado o teorema do limite inferior ,
ou do limite superior ja apresentados.
O teorema do limite inferior requer uma distribui-
9ao de momentos na laje tal que,
1. As condi9Ões de ,
equilibrio sejam satisfeitas
em todos os pontos1
2. O orit~rio de escoamento ( ruptura ), detinin-,. ,
do a resistenoia ultima das se9oes da laje, nao
seja eKoedido em lugar algum1
3. As oondi9Ões de contorno em esfor9os sejam
respeitadas.
, A partir das equa9oes de equilibrio e da distribu-
i9ao de momentos considerada, o teorema do limite inferior ,
fornece uma carga de colapso cujo valor e o correto ou abai-,
ao dele, ou seja, a capacidade de carga nunca e superestima-
da.
O teorema do limite superior considera um mecanis
mo de colapso para a laje tal que,
11
1. Os momentos nas regioes de plastifioaç,io nao
' sejam maiores que os momentos resistentes ultimas
das sec;,Ões;
2, O meoani smo de oo lapso seja geometr ioamente
' compativel,
' ' O mecanismo de colapso e composto de partes rígi-
das da laje separadas por regiÕes de plastificaç,io, sendo a
' carga de ruptura calculada atraves desse mecanismo arbitra-
do, Entretanto, ' essas partes rigidas nao são examinadas pa-
' ra garantir que os moffll!ntas ai naa excedem os momentos re-
' sistentes ultimas daquelas seç,oes, o que certamente aconte-
' cera se for arbitrado um mecanismo outro que o correto. Pa-
ra uma dada laje, o teorema do limite superior fornece uma
' . carga de colapso que e a correta ou_ma~s alta que estai oon-
' tudo, se todos os passiveis mecanismos de colapso forem eKa-
' minados, o que fornecer a carga de ruptura mais baiKa sera o
correto. É evidente que se o mecanismo correto nao Eor usa-
' do, a carga de colapso estara sendo superestimada,
' A diferenç,a entre os dois metadas pode ser ilu5-
trada para o oaso simples de uma laje retangular armada numa
direç,io, ' carregada uniEormeml!!nte na superf' ioie e engastada
somente em dois dos lados opostos, conforme a figura
(II.Oi.a}. ' Os momentos resistente5 ultimas por unidade de
largura da laje ,.;o m' (negativo} em (positivo), r r
Para um
' limite inferior, o diagrama elastico da figura (II,01.b) pc-
de ser escolhido, Essa distribuiç,io de momentos~ uma solu-
- , , .... ... 9ao po5sivel porque os momentos resistentes ultimas nao sao
12
(a) @ r @
(9 1---·-
1
~·rnr ma =m'r
(b)
(e) @ ~r @
, 11l1611l1111111114 @
(d)
Fi~ li. 0 1 _ Exemplo Elucidativo da Aplicação dos
Teoremas dos Imites Inferior e Superior
13
excedidos em lugar algum da laje e as condições de ' equili-
' brio sao atendidas. Como f ioa evidente pela estat ioa, a
oarga de colapso por unidade de largura (q ) calculada para r
' esse diagrama esta muito baixa porque os momentos resisten-
' ' tes ultimes nao sao atingidos em todas as se9oes criticas,
antes que a carga de ruptura seja calculada, e diagrama pre
cisa ser modificado para que isso aconteça, Alternativamen
te, para um limite superior, pode ser escolhido o mecanismo
' de colapse da figura (II.OI.e). E evidente que a carga de
' ' colapse prevista per esse mecanismo possivel e incorreta e
fornece um valar muito alto, oomo pode 9er visto no diagrama
de momentos limites da figura (II.OI.d), no qual e memento
' ' resistente u 1 ti me pos i ti vc e excedi<!o. Esse exemple pede
parecer trivial porque a sclu9ãc correta pede ser obtida
simplesmente per inspeçao, viste que o mecanismo de colapse
e a carga de ruptura corretos ocorrem quando as regioes de
plastifica9ão se formam nos apoios e no meio de vao1 entre-
- ' tanto, as solu9ces da analise limite em lajes com geometria
' ' e cond i9cies de contorno mais complexas e bem mais dificil e
' - -nem sempre e tac evidente se a solu9ao correta foi obtida.
A aproxima9ao do limite interior mai5 aomumente
' ' ' usada e o tt~todo da Faixa d~ Rill~rborq[OS,06], que obtem a
distribuição de momentos e esfor9os cortantes substituindo a
laje por faixas em duas direç,Ões que repartem a carga. A
' ' aç,ao da faixa e um procedimento valido porque se o carrega-
mento~ suportado inteiramente por flexão, satisfazendo des
sa maneira os requisitos da est~tioa, nenhuma consideraç,ão
' necessaria. ' Ja foi mestrado em mui-
tos trabalhos que aproximaç,oes alternativas para o limite
14
inferior incluindo tor9ão sao difíceis de se obter em muitos
casos.
, O teorema do limite superior para lajes e repre-
sentado pela Teoria das Linhas de Ruptura, sendo adotada no
presente t~abalho porque, ' aliada a simplioidade, a sua oom-,
prova9ao experimental mostra ser possivel obter um valor re-,
alistioo para a carga de ruptura para muitos casos; inclusi-,
ve 1 a analise pela Teoria das Linhas de Ruptura com configu-
ra9~es simples parece ser a avalia9ão mais pr~xima da ruína
real do que uma solu9ão do tipo limite inferior.
15
I
CAPITULO III
OS FUJIDAIIERTOS DA TEORIA DAS LIHBAS DE BUPTOBA
• I Apesar de Ja haver sido introduzida por INGERSLEY
[07] em 1923 e generalizada por JOHANSEN [08] em 1932, ' ate
cerca de 1950, a Teoria das Linhas de Ruptura permaneceu sob
' unta certa descont ianç,a, parecia ser sempre possivel desco-
brir. um novo mecanismo, ligeiramente mais compl ioado que o
' anterior, cuja carga ultima apresentava-se pouco abaixo da
' anteriormente encontrada. Parte desse problema so foi re-
solvida quando PRAGER & HODGE [09] formulando de maneira ri-
' gorosa os teorentas da analise limite, mostraram que a carga
' ' ultima mais baixa seria determinada se fosse possivel en-
centrar um limite inferior coincidente 00111 outro limite su-
perior. ' Dai em diante, parecia que a Teoria das Linhas de
Ruptura havia sido posta, pela primeira vez, sobre fundamen-
' tos solidas. ' Tudo o que restava fazer era acumular uma se-
rie de limites inferiores e superiores coincidentes para se
' ' conhecer a carga ultima de varias casos. Entretanto, apesar
de um esforç,o generalizado, muito poucas soluç,Ões desse tipo
puderam ser obtidas. A principal dificuldade com os limites
inferiores era que as linhas de ruptura positivas e negati-
' ,. ' vas so podiam encontrar-se em angulos retos, Ja que se uti-
lizava o conceito de momentos principais. Isso, juntamente
com a presenç,a de descontinuidades dos campos de tensão en-
tre duas regiÕes adjacentes, ' tornava o problema matematicc
' quase insuperavel. Dessa lorma, viu-se a neoessidade pre-
16
mente de 5e abandonar qualquer e5peran9a de encontrar 5olu-
' 9oe5 ooincidente5. E5queoendo-5e por completo a ideia de
' momento5 principai5, chegou-5e a um oriterio de e5coamento (
' ruptura } que oon5idera 5omente o valor do momento normal a
linha de ruptura, f ioando a determina9ão da carga ' ultima
vinculada 5omente ~ oon5idera9ão da fleKão. Por con5eguin-
" te, pode-se definir diretamente es5e momento normal apenas
" ' -com referencia as tensoes normais no a90 e no oonoreto 1 nao
' " sofrendo a expressao para o seu calculo qualquer interEeren-
eia das outros componentes de tensão. Felizmente, essa hi-
' ' potese simples e oon9 iderada conservadora quando comparada
com 05 re5ultado5 eKperimentai5.
' A Teoria da5 Linha5 de Ruptura e e5pecialmente
' aplicavel a lajes uniformemente armadas; como geralmente a
' sera este
o caso aqui analisado. A ~reada 5e9ão armada por unidade
' ' de largura e oon5iderada oon5tante atrave5 de toda a laje,
podendo 5er diferente para armadura5 na5 dua5 dire9Õe5 e/ou
diferente para armadura5 inferiore5 e superiores. Assim, o
' momento resistente ultimo por unidade de largura ' tera (mr)
um valor constante ao longo de qualquer linha reta no plano
' ' da placa, A anali5e, atreves da Teoria das Linhas de Ruptu-
ra, de lajes com armadura não-uniformemente distribuÍda tam-
' ' ' bem e possível, ma5 eKi5tem alguns problema5 que impedem a
generaliza9ão do proce5so ' ao nivel que ' e5ta para a arma9ao
' uniformemente di5tribuida.
17
111.1 - Duotilidade1 um Requisito Importante
" ' -lapso depende tanto da resistenoia a E lexao das se9oes da
laje quanto do carregamento e das oondi9Ões de contorno.
Para Eormar a oonfigura9ão de oolapso, uma significativa re-
distribui9ão de momentos f letores pode ' . ser neoessar1a 1 im-
' plicando que essas se9oes sejam suficientemente ducteis para
- I - I permitir a rota9ao plastioa das se9oes criticas enquanto a
plastifioa9ão se desenvolve no resto da laje. Essa duotili-
' dade disponivel depende, basicamente, da forma da curva mo-
mente versus curvatura da se9ao. A figura (A.02) ilustra
' ' uma curva momento versus curvatura tipioa. A relação e
' aproximadamente trilinear com um trecho inicial ate a pri-
' meira Eissura do ooncreto tracionado, um segundo trecho ate
o escoamento do a90 tracionado e, finalmente, um trecho onde
' ' e momento resistente permanece bem proximo ao valor ultimo
at~ que o concreto atinja a sua deEorma9ão limite.
' Uma medida da ductilidade da se9ao e o Fator de
duotilidade da curvatura, definido como a razão entre a cur
vatura quando ocorre o esmagamento do concreto e a curvatura
quando o a90 tracionado escoa; entretanto, nenhum procedi-
' ' mente analítico simples foi ate agora imaginado para permi-
' tiro calculo do fator de ductilidade da curvatura para la-
jes.
A presen9a de a90 .ao111primida nas se9oes pode au-
' mentar a duotilidade disponivel. Contudo, testes evidencia-
ram que, para a maior parte das laJes, as taxas de a90 tra-
18
oionado !lerao !luf ioientemente baiKa!I para ª""egurar que ª" - , 5e9oe!I !lejam razoavelmente duotei!I.
h ' -O aumento de re!li!ltenoia a fleKao devido ao endu-
recimento (strain hardeninq) , ,
do aço, alem de !ler dificil de
se incluir na formulação, - , ainda nao e oon!liderado pelo fato
de nao !ler definida na!I e!lpeoifica9Õe,. a deformação na qual
e!l!le endureg_imento se inicia.
Sendo a!l!lim, a Teoria da!I Linha" de Ruptura con!li-, ,
dera que ha sempre ductilidade suficiente na!I !leçoe!I criti-
ºª" para permitir que a laje possa formar a !lua configura9ão ,
de cc lap!lo com os momento" re" i!ltente!I ul t imo!I mant ido!I em
toda"ª" regiÕe,. de pla!ltifioa9ão.
III. 2 -
Considere-5e uma laje de oonoreto armado sendo
, progre!l!livamente carregada ate a ruptura. Para carga" bai-
Ka!I, ante" da fis!lur·aç,ão do concreto tracionado, a di!ltri-
buição do!I momento" ,
f letore!I e!lta de acordo com a Teor ia
Depoi!I da fi!l!IUraç,ão, e""ª distri-,
Ela!ltica para Placa!I.
- , ' -buiçao muda devido ao decrescimo da rigidez a fleKao da!I re-
gioes fis!luradas. Continuando-se a carregar, eventualmente
ocorre o e!looamento do a90 tracionado na(") 5e9ão ( Õe,.) de ,
momento f letor maKimo e a laje sofre uma grande mudança de ,
perl!l'Nlneoendo ai os
,mmentos praticamente constante" e iguais ao momento resis-,
tente ultimo. ' A partir des!le ponto, a medida que a carga na
19
' laje e aumentada, pode haver uma grande redistribuiç:iÍo de
momento!! fletore!I, !!urgindo regioe!I de inten!la fi!l!lura9ão
' nas quai!I o aç:o traoionado ja e!looou 1 e que propagam-!le por
' ' toda a laje ate que !le formem em numero suficiente para di-
' vidi-la em !legmento!I que componham um mecanismo de ruptura;
nesse e!ltado, então, a laje não mai!I suporta qualquer aumen
to de carga.
Ape!lar do escoamento do a90 tracionado oome9ar
primeiramente na !leç:ao onde o momento atuante atinge o mo
mento resistente ~!timo, a plastitioa9;0 de!lenvolvida pelo
aumento crescente das oarga!I tem a(s) !lua(!!) dire9ão(Õe!1)
guiada(s) pela disposi9ão da(s) armadura(!!), pela!! oondi9Ões
de contorno e pelo tipo de carregamento.
' Para os objetivo!! de anali!le 1 a regiao plastifica-
da e de intensa fis!lura9ão ~ idealizada por uma !limples li
nha no seu centro, conhecida como linha de ruptura ou ohar-
' ' neira plastioa 1 sendo este o unioo ponto de descontinuidade
- ' considerado entre dua!I regioes rígidas adjacente!!. As lajes
deformadas dessa maneira podem ser vistas como uma ' serie de
' planos inclinadas interconeotados formando uma superf ioie
' poliedrioa. A partir da interseo9ão desses planos !legue-!le
a conclusão de que as linhas de ruptura podem ser considera-
das como segmentos de reta I exceto para regioes totalmente
' ' ' plastificadas, como e o caso de uma superfície esferica ou
h - -conica sob a aç:ao de flexao pura; na verdade, serao o limite
' ' de superfícies poliedrioas.
20
Para qul! a oont igura9ão dl! colapso SI! torwtl!, l!n-
tão, I I I
e neoessario que as regioes rígidas que se encontram
tl!nham as llll!smas dl!f ll!H;;l!s vl!rtioais, nao sl!ndo oonsidl!ra-
I
dos, por hipotl!sl! da Tl!oria das Linhas dl! Ruptura, as tor9as
normais'" os moviml!ntos horizontais oorrl!spondentes no oon-
I
torno dl!ssas rl!giol!s. Dl!sdl! qul! apl!nas supl!rf ioil!s planas
I
se encontram nesse mecanismo idealizado, as uniaas detorma-
9oes que devem ser estudadas sio aquelas devidas ~s rota9;;es
' nor111ais as linhas dl! ruptura; '"ainda mais, sl!ndo l!ssas ro-
ta9;;,.s resistidas apl!nas por moml!ntos normais, o oomp ll!HO
relacionamento entre os moml!ntos, as torças'" as dl!forma9;;es
fica vinculado apl!nas ~ avaliação dl!SSl!S mowtl!ntos normais I!
das suas rl!spl!otivas rota9;;es.
I I
Quando o mecanismo dl! ruina ja SI! dl!sl!nvolvl!u, as
I
plast ioas ao longo das linhas dl! ruptura sao
I
IIIU i to maiores do qul! as deforma9;;es l!lastioas dos sl!gmentos
I I
de laje entre as charneiras e, portanto, e razoavel nao oon-
I
sidera-las em presen9a das primeiras. Dessa Eorma, oom ob-
I
adota-se o matl!rial como rigido-
I
plastioo.
··" Como oonsl!qul!noia de tudo o que foi discutido, po-
dl!-SI! concluir qul!1
1. Para poder fazer parte de uma oontigura9ão de
colapso, as linhas dl! ruptura devem sl!r segmentos
de reta formando l!ixos dl! rot~9ão para os movimen
tos dos segmentos de laje, tomando o conjunto o
I I
aspecto de uma superticie poliedrioa1 o limitl!
21
, ' ' destas superEicies poliedricas sao as superEicies
A ' conicas ou esfericas;
2, Os apoios da laje vao agir coMO eixos de rota-
9ao. Se um lado estiver engastado, uma linha de
ruptura pode Eormar-se ao longo do mesma,
de rota9ão passam sobre colunas;
Eixos
3, Por compatibilidade de deEorma9ão, uma linha
de ruptura deve passar pela intersec9ão dos eixos
de rotação dos segmentos de laje adjacentes,
Na Eigura (III,01) podem ser vistas algumas conEi-
' gura9oes de colapso passiveis, Note-se a relação de depen-
d;ncia entre o mecanismo de ruptura e as condiçÕes de con-
torno.
/} /;/
/1
\"-\\ . "'-\\ "
\ \ " \\
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\ \ \ '
ffl17777:rTT17r""~
\:' "-\_\ ·, \ \ "-· \ \ \ \ \
\ 1
22
---~ k~=~-----·-
Figura 111. 01- Exemplos de Configurações de Colapso
23
' 111.3 - l'lomentos Resistentes: o Criterio de Escoamento
( Ruptura ) de Johansen
No oaso comum de lajes armadas com barras dispos
tas ortogonalmente nas dire9Ões X e!, os momentos resisten
tes ~ltimos por unidade de largura das duas dire9Ões serão,
' geralmente, diferentes para areas de a90 e recobrimento dis-
' tintos. Se a laje for armada em varias os momen-
' tos resistentes ultimas em cada uma delas podem ser projeta-
No caso geral de uma linha de rup-
- - ' tura que nao seja ortogonal a nenhuma dessas duas dire9oes e
' ' necessario determinar o momento resistente ultimo por unida-
' de de largura ao longo da mesma, inclusive porque, alem dos
w,mentos de flexão, existirão momentos torsores. Para lajes
armadas nas duas faces, considera-se cada uma em separado,
obtendo-se, desse modo, um par de momentos, positivo e nega-
tiva. Então, 05 momentos resistentes ' ultimas de flexão e
tor9ão atuando numa linha de ruptura qualquer podem ser ob-
' ' tidos atraves do Criterio de Esooamento de Johansen 1 que de-
A ' fine a resistencia ultima de um dado elemento de laje subme-
' tido a um campo de momentos generico. Assim 1 no caso de ar-
madura nas dire9Ões X e !, relaciona-se os momentos resis-
' tentes ultimas por_unidade de largura ( m em ) do ele-rx ry
mento de laje aos momentos aplicados por unidade de largura
( 111111 llly e m11
y ) devidos ao carregamento externo quando o
elemento escoa.
Considerando-se que o a90 nas duas dire9Ões atra-
vessando a linha de ruptura atinja o escoamento I o momento
' resistente ultimo por unidade de largura numa linha de rup-
.,
24
h ' tura que faz um angulo qualquer com a armaçao e suposto como
' devido as componentes dos momentos ' resistentes ultimes nas
a figura (III.02) mostra um elemento
' de laje submetido a momentos genericos com uma linha de rup-
tura na direção! que forma um ingulo a com o eixo Y. a li-
' ' nha de ruptura real e substituída por uma .. escalonada .. , que
' oonsi ste numa serie de pequenos degraus ortogonais a o ada
Na mesma r igura tem-se um pe-
queno elemento triangular abc dessa mesma linha de ruptura
' momentos resistentes ultimes. O momento re-
sistente ~!timo normal, agindo na dire9âo ~ ao longo da li-
' nha de ruptura, e encontrada atrav;s da consideração do
' -equilibrio do elemento tomando-se momentos em rela9ao a ab,
m ab • m ac oos a+ m bc sena rn rx ry (III.01)
2 2 m = m cos a + m sen a rn rx ry
( ) 2 = m + m - m cos a
rx rx ry (III.01')
' ' E evidente que, no caso geral, o equilibrio do
h
elemento requer a existencia de um momento resistente torsi-
anal (mrt) ao longo da linha de ruptura; ' esse momento e en-
' -centrado tomando-se momentos tambem segundo a direçao ab,
Se
m rx
m rx
ac sena - m bc aos a ry
m ) cosa sena ry
m • m rx ry' então,
(III.02)
(III.02')
(III.01) e
(III.02), m = m rn rx Assim, para esse caso,
25
(a)
X 7 ,
)
1
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1 t' K<>< / "...."' 1 ,,,--,
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(b) /
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1 \
a.b = 1 \ 1
bc. ~ ,AW o<. \ cCl = em o<'..
Figura l 11 . 02- Consideração de uma li"lha de Ruptura num Elemen
to de laje Submetido a um Ccmpo de Momentos Genérico
26
' os momentos resistentes ultimas normais por unidade de lar-
gura sao iguais em todas as dire9Ões e o momento torsor por
' unidade de largura ao longo da linha de ruptura e nulo. Es-
' ' se tipo de laje e dita isotropioa ou armada isotropioamente.
' ' Quando "'r~ ~ "'ry' e evidente que o momento resistente ultimo
por unidade de largura depende da dire9ão da linha de ruptu-
ra, existindo um momento torsor ao longo da mesma. Essa la-
' ' je e dita ortotropioa ou armada ortotropioamente.
Devido ;. simplicidade, muitas das solu9Ões para
" ' lajes tem sido obtidas para o caso de arma9ao isotropica;
' entretanto, para a maioria das lajes, o uso da ortotropia e
' desejavel em termos de economia porque possibilita seguir
mais proKimamente a distribui9ão de momentos da Teoria El~s-
tioa para Plaoas.
volveu um teorema
Sendo assi111, JOHANSEN [oe]
que permite a obten9ão de
' tambe111 desen-
so l u9Õe s para
lajes ortotr.;pioas baseadas em solu9Ões de lajes ' isotropi-
aas, o T~ar~•• da AFinidad~, mostrando que, alterando-se os
' 00111primentos dos lados e o oarregamento da laje ortotropioa
por propor9Ões que dependem da rela9ão entre os momentos re
sistentes ~ltimos por unidade de largura nas duas dire9Ões,
' ' pode-se transforma-la numa laje isotropica equivalente e,
' ' dessa forma, soluoiona-la com os criterios de isotropia de-
senvolvidos.
' Esse oriterio de esooamento supoe ainda que o ele-
" ' mento alcan9a a sua resistenoia ultima quando o momento nor-
mal (m) devido aos momentos das cargas aplicadas ( m, m e n K y
mKY ) torna-se igual ao momento resistente
(mrn), ou seja, requer que, para o elemento,
' ultimo normal
2 m cos a + m
K y
'
27
2 sen a + m xy m rn
(III.03)
Exi5te uma 5erie de a5peoto5 no que diz re5peito
' ' -as hipote5es feitas ou envolvidas na deduçao das expressoes
' do5 momento5 normal e tor5or, que tem oau5ado oontrover5ia e
levado a inve5tiga9Õe5 na tentativa de encontrar expre55Õe5
,...lhore5. Um dele5 ~ que es5a dedu9ão 5upÕe que 05 momento5
re5i5tente5 ~ltimo5 ( mrx e mry ) atuando na5 dire9Õe5 da5
armaduras não sao acompanhados por qualquer momento torsio-
nal; ficam a5sim 5endo momento5 principai5 1 nao existindo,
•• A
como con5equencia, lados bc e ao do elemento.
Essa hip.;tese bastante intuitiva leva a simplif'icaçÕes na
dedução da equa9ao1 te5te5 posteriores indicaram que es5as
A ' tor9Õe5 1 quando existem, tem efeito irrelevante no oriterio
' de e5ooamento. tambem 1 a presença de um
momento torsional {mrt) ao longo da linha de ruptura geral
mente não considerado, visto o orit~rio e5tar baseado apena5
na momento normal.
Um outro ponto~ que a adição dos componentes m rx
em para encontrar m ao inv~s da determina9ão direta dos ry rn
componentes das forças nas barras na direção~. leva a pe-
queno5 erro5 no bra90 de alavanca interno do5 momento5 re-
A ' ' 5i5tentes ultimas; entretanto, essa diferença e muito peque-
' na para a maioria das lajes que aparecem na pratica.
' A Outro aspeoto e utilizar-se a resi5tenoia uniaHial
de oompres5ão do concreto no o~loulo dos momento5 apesar de
grande parte do concreto comprimido da laje estar, na reali-
28
dade, num estado de oompressao biaxial. Por exemplo, onde
os 1M>mentos principais são ambos positivos ou ambos negati-
- I vos, o efeito da oompressao biaxial e pequeno e praticamente
I I
oompensa o tambem pequeno erro no oa loulo do bra90 de ala-
I I -
vanoa interno. O oaso fica mais serio quando ha traçao numa
dire9ão e compressão na outra, pois I
ja foi mostrado que a
,. ' resistenoia a aompressao do concreto pode sofrer uma signi-
ficativa redução; contudo, uma vez fissurado o concreto, as
tra9~es transversais são aliviadas e não se nota mais dimi-~
I
nuiçoes relevantes no momento resistente ultimo normal.
I A
Aspecto interessante e o fenomeno conhecido como
' Observou-se que, devido a largura
I
finita da fissura do oonoreta, a armadura que esta inclinada
em rela9ão;, linha de ruptura pode ser '"arrastada'" perpendi-
' oularmente a fissura e mudar de d ire9ão, conforme mostra a
figura (III. 03} • Dessa 111aneira 1 haveria uma mudan9a no va-
I
ler do momento resistente ultimo na linha de ruptura1 oontu-
I
da, os inumeros testes realizados parecem indicar que esse
I A
efeito pode ser negligenciado nos oalculos de resistencia.
I I
Convem ainda notar que esse oriterio de escoamento
I
somente pode ser utilizado quando nao ha efeitos de membrana
I I
na laje, pois e bem sabido que e momento resistente ultimo
pode aumentar significativamente na presença de esforços de
de tra9ão axial.
29
1 A~y c~----,b
y (a) Sem Desvio
l~~y 1 -.~ ~--,<._
1 Y--~
O.. -..,~" = '!'ri l'l( Co5o(. + -mry~-<..
/ I
(b) Com Desvio Total
Fi~ra 111 . 03- Desvio das Barras das Arma duras
nas Fissuras
30
' ' Em resumo, apesar de oonsideraveis criticas e con-
' ' troversias, o momento resistente ultimo normal utilizado pe-
lo crit;rio de escoamento ( ruptura ) de Johansen nio parece
" requerer melhorias. O peso das evidencias experimentais in-
' dica que a equa9ao e sutioientemente precisa para o uso ge-
ral quando as Eor9a,o no plano da laje nio sio s igni E icat i-
vas.
111. 4 - n:todos para a Determina9io da Carga de Colapso
' O primeiro passo em qualquer atraves da
Teoria das Linhas de Ruptura; arbitrar uma contigura9io de
' oolap,oo usando as regras ja estabelecidas.
em geral 1 conter.;_ dimensões desconhecidas que localizam as
posi9Ões das linhas de ruptura, podendo eaistir mais de uma
' Eami lia de linhas de ruptura para uma laje em part ioular.
Deve-se, portanto, estar seguro da possibilidade de repre-
' todos os passiveis mecanismos, visto ser o cor-
reto aquele que Eornecer a menor carga de ruptura; pois caso
tal te alguma conr igura9ic,
carga de colapso obtida.
' nao se podera ter conr ian9a na
A carga ~ltima pode ser encontrada da contigura9ão
' de colapso usando o Principia das Trabalhas Virtuais ou as
N ' Equa9aes de Equilíbrio. Cada uma dessas aproaima9Ões tem as
suas vantagens e desvantagens para algumas situa9Ões. Em
' ' geral, e mais simples utilizar o Principio dos Trabalhos
Virtuais, embora haja alguma diticuldade de manipula9io al-
' ' gebrica; entretanto, atualmente esta bastante claro que o
31
H~todo das Equações de Equilibrio nada mais~ do que uma ou-
' tra Eorma de se apresentar o Principio dos Trabalhos Virtu-
ais.
III.4.1 - Trabalhos Virtuais
I I I
''Se a um corpo rigido em equilibrio estatico sob a
I
açao de um sistema de Eorças e d:i.do um pequeno
I
deslocamento virtual, o somatorio do trabalho vir-
I
tual realizado pelas Eor9a5 e nulo."
I Para aplicar o Principio do5 Trabalho,. Virtuai5 1
I -cada uma da5 partes rigida5 da conEigura9ao de colapso arbi-
I
trada pode 5er vista como um corpo rigido porque as deEorma-
çÕes da laje, com conseqüente deEleHâo, ocorrem somente nas
I
linha5 de ruptura. Estando os segmentos de laje em equili-
brio sob o carregamento externa, 05 momentos de e
tor9âo e o esEorço cortante ao longo das linhas de ruptura,
escolhe-se um ponto conveniente para ser dado um deslocamen-
to virtual na dire9âo da carga. Então, os deslocamentos de
todos os outros pontos e as rota9Ões dos segmentos de laje
' ª" linhas de ruptura sao oaloulados em Eun9;;:o
- I desse deslocamento virtual dado e das dimensoes geometricas.
I
O trabalho sera realizado pelo carregamento eHterno ( t raba-
lha externo), e pelos esEorços internos ao longo das linhas
de ruptura (trabalho interno). Por eHemplo, o trabalho rea-
I I
lizado por uma carga uniEormemente distribuída na superEioie
' por unidade de area (qr) pode ser obtido considerando-se o
trabalho de todos os segmentos:
32
( 11 I. 04)
I
onde Qr e a carga total num segmento da laje e~ o desloca-I
mento do seu centroide. As reações nos apoios não contribu-
em j~ que estes não sofrem deslocamento. O trabalho interno
realizado pelos momentos torsionais e os esforços cortantes I I I
e nulo quando se faz o somatorio sobre.toda a laje, ja que,
sendo as ações em cada lado da linha de ruptura iguais e
opostas, para qualquer deslocamento da configuração de co
lapso, não existe movimento relativo entre os lados da linha
de ruptura correspondendo aos momentos torsionais e aos es-
forças cortantes. Entretanto, desde que existe rotação re-
lativa entre os dois lados da linha de ruptura, existe movi-
mento relativo correspondendo aos momentos fletores. Assim,
o trabalho interno total realizado ao longo de todas as li-I
nhas de ruptura e devido exclusivamente aos momentos flete-
I
res ultimes e dado por
-m rn .,. e (111.05)
I
onde! e o comprimento da linha de ruptura e~ a rotação re-
lativa sobre a linha de ruptura entre dois segmentos adja-I
centes. O sinal e negativo porque os momentos fletores es-
tarão agindo na direção do carregamento.
do trabalho virtual pode ser escrita como
m rn .,. e = o
-Assim, a equaçao
(111.06)
33
Quando aplicado a uma laje em particular, o deslo-·
camento virtual cancela-se na equaçao e a carga e dada em
' termos das dimensões da laje e dos momentos resistentes ul-
timos. Nos oasos onde a configuração de colapso
ser desenhada sem se conhecer as dimensões que localizam as
' pcsiçces das linhas de ruptura, deve-se inclui-las na equa-
ção de trabalhe virtual, ficando a equaçac tamb~m em função
' Desde que esta sendo usada uma aproxima-
9ao pelo limite superior, os valore5 requeridos s;o aqueles
que minimizam e trabalhe virtual Q e pedem ser encontrados r
resolvendo-se e sistema de equaçoes gerado pela derivação da
eHpressãc do trabalhe virtual em relação a cada uma das di-
mensces desconhecidas, Substituindo-se esses valeres na
' ' ' equa9ao da oarga ultima, obtem-se a oarga de ruptura minima.
III.4.2 - Equa9Ões de EquilÍhrio
' ' Nesse metada e considerado, individualmente, o
equilibric de cada segmente da configuração de colapso sob a
ação de momentos E letores I momentos tcrsores I estcrçcs cor-
tantes e torças eKternas. Geralmente, as equa9oes de equi-
' ' lihrio sao escritas em numero sur iciente tomando-se O!i mo-
ao serem re
solvidas simultaneamente permitem a elimina9ãa das dimensões
desconhecidas e e encontro da carga de ruptura, Nenhum pro-
- ' ' cesso de deriva9ao e necessario e na maior parte dos ca5os a
manipulação alg~brica requerida para obter a solução~ menor
' do que pele Metcdo dos Trabalhes Virtuais,
34
Pelo tato dos segmentos serem considerados separa
damente, numa solu9ão atrav~s das Equa9Ões de Equilibrio to
das as a9Ões na linha de ruptura preoisam ser conheoidas an-
tes que a solu9ão possa ser obtida, A expressão para o mo-
' lllento torsional nas linhas de ruptura, dado pelo Criterio de
Escoamento ( Ruptura ) de Johansen, ' esta representada pela
equa9ao (III.02), ' -Ja a dedu9ao dos estor9os cortantes atu-
' ' antes nas linhas de ruptura e o aspecto mais diticil na Teo-
' ria das Linhas de Ruptura e tem causado oontroversias. Um
' tratamento matematico rigoroso mostrou que alguns dos teore-
- " mas originais de Johansen para a sua determin~9ao tem algu-
mas limita9Ões; contudo, quando conhecidas permitem a sua
' Em se considerando o equilíbrio
das partes como um todo, basicamente, esses teoremas propoem
001110 representar ·esses estor9os ao longo da 1 inha de ruptura
por duas Eor9as conoentradas, de efeito estatioamante equi
valente, atuando nos pontos terminais da linha de ruptura,
' Em resumo, para resolver uma laje via l'letcdo das
Equa9Ões de Equilibrio, pode-se seguir o seguinte processo,
1, Arbitra-se uma conEigura9ão de colapso;
2. Calcula-se os valores das Eor9as nodais neces-
' sarias1
' 3. Esoreve-se as equa9oes de equilibrio tomando-
se moffll!ntos em re la9ão a eixos de rotaç,ão e, se
preciso, achando as for9as verticais em cada seg-
' ' -menta de laje, O numero necessario de equa9oes de
III. 5 -
35
' ' ' equilibrio e uma unidade a mais do que o numero de
dimensões desconhecidas requeridas para definir a
posi9ao das 1 inhas de ruptura na conf igura9ão de
colapso. Ao tomar os momentos para as equa9oes de
' ' equilibrio e melhor considerar a linha de ruptura
001110 sendo "escalonada" nas d ire9Ões da arma9ao 1
' pois assim, oontarml! ja foi visto, os momentos
torsionais nao precisam ser considerados porque
' 4. Soluciona-se o sistema de equa9oes de equili-
brio para determinar as dimensões desconhecidas e
' ' dai encontrar a carga ultima.
Configura9~es de Colapso Apronimadas1 ' o l'letodo da
Tentativa-e-erro
É evidente que em casos onde uma ou mais dimensões
desconhecidas precisam ser determinadas para bem definir a
ccnfigura9ão de colapso, ' a quantidade de esfor90 algebrico
' neoessario para alcan9ar a solu9ão pode ser significativa.
' No metodo do trabalho virtual isso significa resolver simul-
taneamente as equa9oes obtidas pela diferencia9ão da expres
sao da carga ~ltima com respeito a cada uma dessas dimensões
' ' -por vez. Ho metodo do equilíbrio o sistema de equa9oes de
equilibrio tem que ser resolvido para encontrar as dimensões
desconhecidas. Em muitos casos, as equa9oes a serem resol-
vidas nao sao lineares. Um aspecto infeliz da Teoria das
Linhas de Ruptura~ esse, porque, sendo uma apr0Kima9io pelo
3?
para a configuração de colapso oo~rre5pondente, obtendo-se
, ' a55im uma otima aproximaçao para a carga ultima. Dessa ma-
' ' neira, o metodo utiliza a5 equaçoe5 de equilibrio para de-
terminar boa5 aproximaçoe5 para a5 po5i9oe5 da,o linha5 de
' ,
obtem uma aproximaçao bem proxima da carga
' ' ultima atrave5 da equa9ao do trabalho virtual. A partir
I I I I
dai, monta-,oe toda uma ,oerie de formula5 aplioavei,o a oada
ca5o de carga e geometria de laje, re5ultando, ao final,
5empre na ,ooluç;o de equa9Ões ou ,oi5tema,o de equaçÕe,., line-
- ' ' ares ou nao. Colfto nio raro a soluçao exata e dificil, 5enao
' ' impossivel 1 e comum, a favor da segurança, tomar-se aqui uma
- ' -adaptaçao do Principio da Superposiçao de EFeitos, facilmen-
te demonstrado e cujo enunciado diz que a soma dos momentos
, ' ' ultimas para uma serie de oarreqamentos e maior ou iqual ao
' momento ultimo produzido quando todas as carqas atuam simul-
taneamente, pre,o,oupondo-,oe 1 naturalmente, que todo5 05 mo
mento" ,oejam de mesmo ,oinal.
' Como em geral oalcula-5e a 5eguran9a a ruptura, a
Teoria da5 Linha5 de Ruptura fornece bons valores para os
' , momentos resistentes ultimo,o e dai o valor do coeficiente de
, 5egurança. A Teoria Ela5tica fornece 5eguran9a esagerada,
,.. , , , sendo, portanto, anti-economica, porque soe valida ante5 da
, ao surgirem as fissuras, havera uma redistribui-
- , 9ao de esforços e a situa9ao aprosima-,oe da,o hipote,oes fei-
ta,o na Teoria da,o Linhas de Ruptura. Todavia, embora e55a
teoria po5s ibi 1 ite a determinaç;o correta dos esforços que
servirao de base ao d imens ionaffl!!nto, ' naa fornece port!m 1
qualquer intormaç,ão quanto ' ª" deforma9Ões sob a a9ao das
carga 5 de servi 90. Para essa veritioaç,ão, deve-se lan9ar
36
limite superior, o fracasso no uso dos valores corretos des-,
sas dimensões na equa9ao de carga significa uma carga ultima
para a laje superestimada, levando a uma situa9io contra a
seguran9a, Isso pareceria desencorajar o uso de configura-
9oes de ruptura aproximadas, felizmente, entretanto, pode ,
ser mostrado que utilizando-se o metodo do trabalho virtual,
uma oonfigura9ão de colapso que difira apenas levemente da
conf igura9ão oorre ta ,
dara uma ,
estimativa prox ima do ualor ,
real para a oarga ultima. Dessa maneira, aproxima9oes razo-, aveis ' -com respeito a oonfigura9ao de oolapso podem ser uti-
, lizadas para simplificar as equa9oes de oarga ultima em mui-
tos ca,sos. A preoisao na maior parte dos oasos de engenha-
' ria e bastante boa.
Em algumas situa9Ões, entretanto, ' fioa difioil de-
cidir por uma posi9ao aproximada para as linhas de ruptura
que forne9a preoisao suficiente. Então, com o objetivo de
evitar a pesada ~lgebra envolvida na solu9ão exata, adota-se
um prooedi~nto de tentativa-e-erro. Numa solu9ão de tenta-
- , ' tiva-e-erro, uma configura9aa de colapso pravavel e oonside-
rada1 a partir dai, utiliza-se as equa9Ões de equilibrio pa-, ,
ra calcular a carga ultima suportada por oada segmento rigi-
do dessa oonEigura9;0 de ruptura. ,
Se as cargas ultimas as-,
sim encontradas nao estiverem proximas, pois somente serao
iguais se o mecanismo considerado for o correto, a oanfigu-,
' ra9ao de colapso e alterada, Repetindo-se o processo ate
,.. ' que haja melhor concordancia entre as oargas ultimas; uma
inspe9ao indicar~ a mane ira de a 1 ter ar a conE' igura9ãa de
ruptura de modo a melhorar os resultados. Quando se ohegar
ao ponto desejado, escreve-se a equa9ão do trabalho virtual
38
, mao de m~todos para determinação de
tico.
flechas em regime elas-
III.6 - A Comprovação Experimental
' ' Parece obvio que a validade das hipoteses feitas
na Teoria das Linhas de Ruptura devesse ser verificada atra-
' ' ves de testes experimentais antes que o metodo fosse usado
' com confiabilidade em analise e projeto. Era particularmen-
' te importante que o metodo devesse dar uma estimativa segura
' ' da oarga ultima da laje e que lajes projetadas pelo metodo
se comportassem satisfatoriamente quando sob a a9;0 das oar-
' gas de servi90. Com esse intuito, um grande numero de tes-
tes foram realizados desde a proposi9;0 da teoria.
JOHANSEN[08] oonoluiu que a ' serie de testes aandu-
zidos pela Deutsoher Russohuss FÜr Eisenbeton fornece ampla
A evidencia da real natureza das linhas de ruptura e da vali-
da de da teor ia. As diferenças entre a teoria e os testes
foram pequenas e principalmente para o lado conservador.
O testes do IB.RBR { Inst i tute oF llppl ied B.esearoh
on B.einForoed Conorete} [10] concluiram que a configura9;0
de ruptura de uma laje pede ser prevista cem precisac utili-
zando-se a Teoria das Linhas de Ruptura. Os tipos de a90
' utilizados e as comparaçoes das cargas ultimas mostraram
' ' que a teoria e aplicavel a a9os com patamar de escoamento
curte ou mesmo com tensão de escoamento não muito bem defi-
nida.
39
Testes realizados por JAEGER [11] 1 pelo TBO lnsti
tute For Buildinq ttateria!s and Struotures [12] 1 por TAYLOR
[13 1 14] e por PARK [15] 111Dstraram que a Teoria das Linhas de
' Ruptura fornece uma estimativa segura da carga ultimas ova-
lor medido nos testes mostrou-se aoima do previsto pela teo-
A ' ria, Esse "ganho" de resistencia foi atribuidc ao endureci-
111ento (strain hardeninq) da arma9ão e ao efeito de membrana
desenvolvido ao nivel das grandes deforma9Ões, Em servi901
as lajes comportaram-se satisfatoriamente1 entretanto,
JAEGER [11] faz a ressalva de que uma disposi9ão da armadura
' de maneira nao consistente oom a Teoria Elastica deve ser
evitada porque pode levar a uma fissura9ão generalizada
quando em servi90.
40
, CAPITULO IV
, O IIODELO TEORICO PROPOSTO
IV.1 - A Conoep9;0 do Elemento-Charneira, o CHARPLAS
Apesar de ser bastante intuitiva e fornecer bons
resultados, a Teoria das Linhas de Ruptura nao raramente
causa certos transtornos ao recair na solução de sistemas de
equaçoes nio-lineares. ' Alem disso, sendo uma aproximaçao
' ' para o limite superior, e necessario analisar-se todos os
' aeaanismas de colapsa passiveis de modo a nao super~stimar a
' ' carga ultima, nao sendo difioil num me!lmo problema enfren-
tar-se mais de uma ve~ a solu9;0 de oomplioados sistemas de
I -equa9oes. Outro fator de dificuldade e a utiliza9ao de ma-
- A - I teriais nao-homogeneos, por exemplo, arma9ao variavel, o que
leva a uma maior oomplica9;0 tanto da!I equa9oes quanto da
pr~pria definiç;o do problema.
, Ja foram fl!ita!I antl!riormentl! alguma" t .. ntativa5
no sentido de automatizar todo esse procedimento, mas sempre
I
f ioa-se 1 imita do a uma serie de geometrias e carregamentos ,
espeaifiaos e naa muito complexos. Em Vi5ta di5so 1 a utili-
ma9ão da Teoria das Linha" de Ruptura na forma em que se en-
, - , contra e5ta para a formula9ao que sera aqui apresentada as-
I I
sim como a Teoria da Elasticidade para os metadas numericos
de solução, tipo Elementos Finitos, Diferen9as Finitas ou
Elemento" de Contorno.
41
, Embora ja exista uma serie d,. .. 1emento,i E inito,i
' ' ' ad,.quado,i a anali,i,. .. 1a,it~-pla,itioa d,. placa,i, o ,.,.u u,io pa-
' ra d .. t .. rminar a carga d,. colap,io,. pouco .. ricient .. s .. campa-
, ' rado com a analise limitei o tempo computacional envolvido e
' , ba,itant .... 1 .. vado,. d,.vido, principalml!nt .. , a,i inum,.ra,i it .. -
raç:oes para a soluç:ão do si,it .. ma de equaç:oes não-linear'""·
I I , I
O probl,.ma mai,i ,.,.rio ,. qu,. a anali,i,. ,.la,ito-pla,itioa via
' ,.l,.ml!nto,i Einito,i "º r,.produz a carga d,. ruptura quando 1 .. -
, ' -vada ate o colapso partindo-se do regime ela,itico e nao d,. , ,
forma direta como,.,. con,i,.gu,. com o u,io da,i t .. cnica,i d,. ana-
li,i,. l imit ...
, a id,.ia do .. 1 .. m .. nto-charn,.ira (CBRRPLRS) introdu-
zido por YAZ[23] ' .. ' aom base na disoretiza9ia fornecida pe-
los el,.mentos E initos ( !!odeio de Deslocamentos ) , possibi-
, litar a busca automatioa do meoanismO de ruptura oom uma de-
' superEioie ' de colapso a nivel dos esfor-
' ' ç:os seccionai!!. O el,.mento tamb,.m pod,. ,.,.r u,iado na anali,i,.
' ' .. 1asto-pla,it ica, apr'""'"ntando a vantag .. m do p,.qu .. no nuffll!ro
d,. grau,i d,. lib,.rdad,. ,.m r,.la9;0 ao,i·,.1,.ffll!nto,i Einito,i oon-
' ' Neste item serao apresentadas as equa9oes basioas
do elemento utilizadas, posteriormente, na Eormulaç:ão do
probl,.ma d,. an.;_li,i,. limit .. , da adapta9;0 da ,.,.trutura e da
' ' anali,i,. ela,ito-pla,itica.
, , A ideia fundamental do modelo e, considerando-se o
, el,.ml!nto ab,iolutam .. nt .. rígido, conc .. ntrar as propri,.dad,.,. d,.
42
' flexão em uma mola elasto-plastioa com comportamento defini-
do por uma simples curva momento versus rota9ão. Uma boa
analogia para o elellH!!nto seria uma dobradiça, Cada elemento
' e, ent;o, ' o minima essencial para representar as praprieda-
' des elasto-plasticas da estrutura na sua regiao; em outras
palavras, est~ se considerando que a oonfigura9ão de colapso
' pode ser representada pelos elellH!!ntos, isto e, cada mola
' elasto-plastica representa, potencialmente, uma charneira
pl~stioa, embora isto não signifique que todas as molas ter-
' nar-se-ao charneiras plast icas, todavia, que
' passiveis configura9Ões de colapso estejam inoluidas na ma-
lha feita para tentar representar o colapso da estrutura.
IV.2.1 - O Sistema Local de Coordenadas Generalizadas
O esquema do elemento-charneira encontra-se na ti-
gura (IV,01), O elemento possui quatro graus de liberdade,
correspondendo aos deslocamentos na dire9ão z ( ou Z ) dos
A '
quatro pontos nodais. Com referencia sempre ao plano medio
da laje, os n~s ! (n~ inicial) e~ (n~ Final) definem adi-
0 eixo z tem dire9ão perpendicular ao eixo
x e sentido dado atrav~s da rorma9ão de um triedro direto de
' ' maneira que o no~ tenha coordenada~ positiva e o no!, co-
ordenada~ negativa. As propriedades de flexão na dire9ão ~
' ' -da regiao formada pelos nos 1234, como ja foi dito, estao
' concentradas na mola elasto-plastioa ao longo da reta que
43
' une os nos !. e ~. que nada mais: do que a representa9ão da
' linha de ruptura ou oharneira plastica; assim, nada mais na-
' ' tural do que referenoiar o elemento atraves dos nos inicial
e final. O oomportamento dessa mola f ioa definido por uma
curva relacionando o momento e a rota9ão na mesma. Os tri-
A ' -angulos formados pelos nos 123 e 214 sao considerado absolu-
' ' tamente rigidos e interligados atraves da oharneira.
IV.2.2 - A Equapão de Compatibilidade
De acordo com as defini9Ões ' ja feitas, o objetivo
~ determinar a rela9ão entre a rota9ão da charneira e os
. ' ' deslooamentos nodais. O prooedimento para tal e analogo a
determina9ão das fun9Ões de forma de um elemento finito
qualquer, desde que se considere a rota9ão como o "desloca-
' . menta"' na interior do elemento e adote-se as hipoteses basi-
oas da Teoria das Linhas de Ruptura no que diz respeito a
Considere-se o vetor de deslocamentos nodais do
elemento,
u 1
u 2 (IV.01) u =
u 3
u ~
y
r< 1 '
©i 1
1 1
1 1---" ' ' '
:(D 1
1 ,j __ - -
X
J_ 2
Figura IV. 01 - Esquema do Elemento-Charneira Elasto-Plástico
45
, onde u. representa o deslocamento do no • i na direção z. a
rotação total da oharneira ! pode ser determinada pela con
tribui9ão de oada paroela de rota9ão ~~- provooada por cada • deslocamento nodal!, ou seja,
(IV.02.a)
Seja cada uma dessas paroelas de rota9ão direta-,
mente proporcional ao deslooamento nodal ui, isto e,
= ii. u. • •
Esorevendo-se matricialmente,
,
(IV.02.b)
(IV.02.c)
a equa9ao (IV.02.o) e a equa9ao de compatibilidade de deslo-
oamentos, que relaciona a rotação na charneira oom os d~slo-
oamentos nodais atrav~s do vetor ii. A oonven9ao de sinais
' adotada e a mesma dos momentos Eletores, qual seja, positiva
quando as fibras interiores sao tracionadas e negativa em
' caso contrario.
Seja agora calcular a rotação~~. 1
Seguindo-se a
definição, produz-se um deslocamento mantendo-se todos
os outros nulos; assim, pela tigura (IV.02.a):
u 1
= u
1
e cotg a ·~ {IV.03.a)
©
------ -
------
Figura IV02.b-Configuraçõo para
Figura IV. 02.a - Configuração para
ü1; ,J, Üz= ,J, D:,= é, D4 • i
6
e
tg .4'Ph = 1
u 1
eh l
=
47
u l cotg a
1 3 (IV.03.b)
A
sendo! o 00111primento da charneira. No amhito do5 pequeno5
A
de5loaamenta5 1 pade-5e aproximar a tangente da angula pela
' A propria angula, ou 5eja,
Donde
se
tg .,. ;: .,. (IV.03.c)
.49' = .4'1'ª + .4'Pb l l l
u [ cotg ] l + cotg = a a
e l 3 1 ~
= ii u (IV.03.d) l l
Analogamente, pela figura (IV.02.h), para .4P tem-2
.49' = 2
= il 2
u 2
e u
2
[ cotg a + cotg 23
Pela geometria da Eigura (IV.02.c),
(IV.04)
(IV.05.a)
Assim, determina-se .49' • 3.
48
©
© ®
Figura IV. 02. e - Configuração para
ü1=.S, ü2 =.S, 0:,,.s, ü4 =.S
Figura N. 02. d - Configuração para
ü1= 1.1, ü
2= .S, ü3 =eJ, ü4;é
0
®
49
u l.i'I' 3
= 3 h
3
u [ cotg ] 3 cotg = a + a
~ 1 3 23
= ii u (IV.05.b) 3 3
De maneira an~loga, tem-se~~ pela figura (IV.02.d): ..
o vetor !! '
ii
= u ..
[ cotg a + cotg l >I
= ii u ....
, então, sera dado
cotg a
1 cotg a
= ~ - cotg a
- cotg a
por
+ cotg a 1 3 1 ..
+ cotg a 23 2 ..
- cotg a 1 3 23
- cotg a 1 .. 2 ..
(IV.06)
(IV.07)
ond"' ii. pode ser definido como sendo a rotação devida ao i
deslocamento unit~rio Ü. do n~ i_, ou seja, ii ~ o vetor de i
interpolação do elemento.
Uma nota importante dava sar r .. ita. Apasar de s .. r
' ' formulado com quatro nos, a semelhança dos elementos finitos
' isoparam .. tricos, o elemento-charnaira poda dag .. nerar-se, ou
seja, um dos n~s, ~ ou i, pode não existir, ficando o ele
mento com apenas tr;s graus de liberdade; nesse caso, toda a
formulação continua sendo v~lida, fazendo-se a = a = 90 8
1 3 2 3
se ,
o no 3 não existir = 908
caso o ' no 4 nao
exista. As situações em que isto acontece serao vistas mais
50
adiante.
A primeira vista, pode parecer paradoxal, ou mesmo
completamente errado, considerar-se pequenos deslocamentos
, , ' na analise plastioa limitei entretanto, tal tato e explicado
por estar se tomando o elemento exatamente no instante da
ruptura. Em outras palavras, quando se chega ao limiar da
contigura9ão de colapso, qualquer acr~soimo de deslocamento,
' ' infinitesimal que seja, provocara a ruina, levando os deslo-
' ' camentos ao "infinito"', a semelhan9a do que acontece nas ro-
' tulas plastioas.
IV.2.3 - A Equa9ão de Equilibrio
O objetivo agora ~ determinar a rela9ão entre as
tor9as externas aplicadas e o momento total resistente da
charneira de modo a equilibrar o elemento. Seja o grupo de
externas f. i
apl ioadas na dire9ão dos deslocamentos
nodais representado por
f 1
f f
·2 = - f
3
f ~
Essas torças tentarão detor~-lo
(IV.OS)
' ' e ele resistira atraves
1110mento total resistente M na mola, dado por
M • m C (IV,09)
do
51
, onde me o momento resistente da se9ao transversal da laje
por unidade de largura. Para formular o problema, utiliza-
, se a Principia das Trabalhas Virtuais que, para um desloca-
, ... nta virtual nas nos do elemento, afirma que a primeira va-
, ' ria9aa da trabalha externa-realizada e igual a primeira va-
ria9aa da energia interna de defarma9ão. Assim, seja ades-
laaamento virtual 6Ü provocando uma rcta9ão virtual 6'P. A
primeira varia9aa da trabalha realizada pelas far9as aplica-,
das e dada par
A primeira varia9ao da energia de detorma.9;0
te,
'
' e,
(IV.10.a)
simplesmen-
Aplicando-se a Principia das Trabalhas Virtuais, tem-se
(IV.10.c)
Levando-se a equaçao (IV.02.c) na equaçaa (IV.10.c), obt~m-
se
(IV.10.d)
Coma o deslocamento virtual pode ser qualquer, desde que
' ' compatível com a hipotese de pequenos deslocamentos, para
que a igualdade (IV.10.d) se verifique~ neaess~rio que
52
E=Hl'I (IV,11) -, , , e a equa9ao de equilíbrio ao nível do ele-
mento e, juntamente oom a equa9ao ( IV, 02. o) 1 repre,senta o
, " , Prinoipio da Contra-gradienoia, tambem oonheoido oomo Duali-
, , dade Estatioo-cinematioa.
Uma outra forma de ,se chegar a e,s,se,s me,smo,s re,sul-, ,
tado,s seria aplidar diretamente o,s prinoipio,s de equilíbrio
num elemento-charneira (por exemplo, El'I = O, 1 2
El'I = O, 23
EF = O), y
IV.2.4 - A Matriz de Rigidez Tangente
, , -A matriz de rigidez e indispensavel na tormula9ao
, , , de uma analise elastioa ou elasto-plastioa, onde se de,seja
, sobre os deslocamentos nodais ou sobre a histo-
Sendo a,s,sim, ape,sar de,s,se modelo ,ser ,
dirigido a uma analise limite onde somente a oarga e a oon-
Eigura9ão de colap,so ,são de intere,s,se 1
, tambem pode ,ser u,sado
, , na analise elasto-plastioa desde que se oonhe9a a eKpressao
, , da sua matriz de rigidez. Entretanto, para isso e neaessa-
ria a deE ini9ão do comportamento do material no,s regime,s
' , elastioo e plastico devido a dois motivos principais:
- I I I
• A Eormula9ao de anali,se ela,sto-pla,stioa e feita
via Eormula9io incremental onde as informa9~es no
in,stante atual dependem do(s) in,stante(,s) anteri
53
or(es)1 ' sendo assim, e muito importante uma varia-
9ao suave da rigidez, principalmente devido aos
oonhecidos problemas de instabilidade dos algorit-
mos;
' • Para que seja possível alcan9ar o ponto de oo-
' ' . lapso e necessario que o modelo inioie do regime
' elastioo1 as linhas de ruptura formar-se-ia ' a me-
dida que o regime pl,;stico ( e de ruptura ) Eor
sendo atingido,
Para poder encontrar a matriz de rigidez tangente
do elemento-charneira, ; necess~rio definir melhor a rela9ão
entre o momento atuante e a rota9ão na linha de ruptura,
curvatura numa se9ao qualquer, tendo em vista que, normal
mente, as propriedades das se9oes transversais serem dadas
A
em termas desses parametros.
Seja a regiao triangular da laje oonEorme a Eigura
(IV,03). ' Se o material tiver comportamento linear-elastioo
= = e u e u. forem, respectivamente, os deslocamentos das f i-s i
bras superiores e inEeriores da se9ão t2, as deEorma9;es es-
' peciEicas das respectivas Eibras na regiao triangular cujas
propriedades estão concentradas na linha de ruptura t2 podem
ser aproximadas por
E = s
= u s
ii (IV, 12,a)
CD / I
!
I I
!
--· -- /1
/ I
-
I
/ :® / 1
I
I /
I
1 1 1
1 --r
I I
!
A.Li,
/~ ,------.. .ü:s
l
Figura IV. 03 _ Relação entre a Curvaturn e a Rotação na Seção da Charneira
onde
ii = s 4!
= u. 1
ii
= 4! h
2
1
4!
55
= h
2
(IV.12.b)
(IV.12.c)
A curvatura aproximada da se9ao ser~ dada, então, por
= = " - " . u - u. 1 .,. s 1 s 1
= = d d ii
2 'I' (IV.13) = 11
' rotação ' t1. onde 'I' e a e d a altura ut11 da seçao Tomando-
' se um elemento-charneira completo, ter-se-a:
'I' = .,. { } (IV.14)
onde h eh sao, respectivamente, as alturas dos triângulos 3 ~
123 e 214, tomando-se como base a linha de ruptura 11.
Em acordo com todas essas considerações, definiu-
se uma aproK imaçao para a curva momento versus curvatura
conforme sugerido por BIGNON [ 16], que pode ser vista no
h
Apendice A. Com a relação dada por (IV. 14), transforma-se
essa curva numa curva momento versus rotação para cada ele-
manto-charneira. Como essa relação~ linear, essa transtor-
- ' maçao nada mais e do que uma "'mudança de escala"'. Numa for-
mulação incremental considera-se, por aproximaçao, que ava-
- ' riaçao da rigidez e linear em cada passo. Dessa forma, para
56
cada trecho da ourva pode se relacionar o momento e a rota-
- - , , 9ao da se9ao atraves de um coericiente que sera chamado ooe-
Fioiente de riqidez tanqente (TH), derinido pela tangente~
curva no ponto em oonsidera9ia,
onde
' isto e,
(IV.15.a)
(IV.15.b)
Pr~-multiplicando-se a equação (IV.15.a) pelo ve
tor de interpolação do elemento, tem-se:
( IV.16.a)
Usando agora a relação (IV.02.c) na equação (IV.16.a) e ob
servando-se a equação (IV.11), chega-se a
f = R M = R TK RT u - - - - - (IV.16.b)
que pode ser reescrita como
(IV.16.c)
onde
(IV.16.d)
57
, e a matriz de rigidez tangente do elemento-charneira elasto-
' plastico,
Ao considerar-se eixos de simetria da estrutura de
' mede a reduzir o numere total de graus de liberdade aparece-
r~ o problema das charneiras que estar;o sobre esses eixos.
' -Para esses elementos parece claro que, pela prcpria condi9ac
A I
de simetria, cada triangulc, â123 e 6214, respondera per me-
tade da rigidez de elemente, bastando, entio, considerar-se
metade de ccef iciente de rigidez tangente para essas char-
' neiras. Alem disse, sendo os deslocamentos u eu iguais, 3 ~
pela equação (IV,02):
~ - H ü + H ü + ( H + H )ü li 22 3 li 3
(IV.17,a)
onde
a - a: 1 li 1 3
(IV,17,b)
e
a = a 2 li 2 3
(IV.17,c)
' ' Assim, e perfeitamente possível utilizar-se toda a
formulação anterior introduzindo-se as modif icaçÕes dadas
pelas equações (IV.17).
58
IV.2.5 - As Forças Nodais Equivalentes
Da mesma maneira que qualquer outro tipo de el@-
, mento finito convencional, as for9as aplicadas fora dos nos
do elemento-charneira podem ser tranEormadas em Eor9as no-,
dais de efeito equivalente, isto e, realizando o mesmo tra-
- , , balho. Isso nao soe fundamental para que se possa utilizar
, , o Ketodo dos Elementos Finitos como tambem conduz a uma ra-
oilidade muito maior da presori9ao de esEor9os aplicados.
Serio vistos aqui apenas alguns dos tipos de carga mais usu-,
ais; muitos outros podem ser criados respeitando-se as hipo-
teses adotadas. ,
Nos oaloulos que se seguem, para se evitar ,
desnecessarias e simpl iE ioar 05 procedimentos,
considerar-se-:o as cargas atuando em elementos-charneira ,
degenerados, cu sejam, apenas com os nos !_, ,i_ e k. Como
.. " consequencia direta desse rate, os vetores aqui utilizados
serac:
(IV.18.a)
(IV.18.b)
(IV.18.o)
59
' Antes dos calculos prcpriam.,nt" ditos, cab" aqui
ainda uma oonsidera.9;0. ' ' Como o "lem.,nto "• per hipotese,
' absolutafflO!nt" rigido, a varia9ao dos deslocamentos s"gundo
' cs lados" linear1 dess" modo, para interpolar o d"slocafflO!n-
' ' to d" um ponto (X,Y) no interior do âijk, "pcssivel a uti-
liza9;0 da mesma fun9ic de forma do elemO!nto finito triangu-
' lar TRltt3, isto"•
~(X,Y) • ( A X+ B Y + C )Tu=! u (IV.19.a)
onde
1
A.
l 1
Y. - yk
l 1 J
A 1 A. 1
yk - Y. (IV.19.b) = 26 = 26 J 1
Ak Y. - y. 1 J
1
B.
l 1
xk - X.
l 1 J
ª 1 B. 1 X. - xk (IV.19.c) = 26 = 26 J 1
Bk XJ - X. 1
1
e.
l l XjYk - XkYj
l 1
e 1 e. 1 XkY i - XiYk (IV. 19. d) = 25 = 2S J
ck X.V. - X.Y. 1 J J 1
s 1 A.X. + A .X. + AkXk 1 (IV.19.e) = -2- 1 1 J J
, onde X e y sao as coordenadas cartesianas de no n e s a
n n ' A A , area do triangulo formado peles tres nos.
60
IV.2.5.1 - For9a Concentrada em Ponto Interno
Seja up o deslocamento do ponto ( K, V) provocado
pela força externa P como mostrado na figura (IV.04). Apli-
A
oando-se a equivalencia de trabalho realizado juntamente com
(IV.20.a)
Para que a igualdade (IV.20.a) seja satisfeita,
f. HT P (IV.20.b)
' IV.2.5.2 - For9a Uniformemente Distribuída
A
Seja o triangulo carregado com a força de volume~
da E igura (IV.os). O valor das Eor9as nodais equivalentes
pode ser dado pelo trabalho realizado em todo o volume do
A
triangulo1
f J HT q dV = V
(IV.21.a)
onde ~ representa o volume do elemento. Sendo constante a
A
espessura t do triangulo, pode-se reescrever a equaçao
( IV. 21.a) como a ' integral de superfície
(IV.21.b)
(0 J
h
61
CD
f' l p l o (x,'i) ®
l }k
Figura IV 04- Forca concentrada
Figura IV. 05-Forca Uniformemente Distribuída
Figura IV. 06- Momento Concentrado num lado
62
Efetuando-se essa integral oom a ajuda das coordenadas tri-,
angulares, obtem-se,
'f = tqS
3 1 : 1 (IV.21.c)
Se a carga for apenas na superfície, basta tomar a
' -espessura unitaria nas equaçoes (IV.21.b,c).
IV.2.5.3 - l'lomento ao Longo do Lado
Para o momento total ijft ao longo do lado U se
gundo a figura (IV.06), a equação (IV.11) fornece a relação
com as forças nodais. Assim, tem-se
(IV.22)
IV.2.5.4 - l'lomento Uniformemente DistribuÍdo
Sejam os momentos m em K y
' uniformemente distribui-
dos segundo as direções X e Y como mostrado na figura
(IV.07.a). Projetando-se esses momentos segundo as direções
dos lados !.J. e ik do elemento, pela figura (IV.07.b) obtém~
se:
ilt
{
m
ij m
} = [
cos /Jik
sen /Jik
cos
sen
(IV.23.a)
63
CD ( a )
i.*f t(K
ff L&
J 1-=--~ ®
( b)
Fi oura IV. 07 - Momentos Uniformemente .Distribuídos na Superfície
64
- " onde Pij e pik sao, respectivamente, os angulos formados pe-
los lados !...J. e ik com o eixo X. As rotações desses mesmos
lados provocadas por esses momentos são dadas por
(IY.23.b)
(IY.23.c)
onde
[ -cotg ªik l i jii 1 cotg (IY,23,d) = e-:-:- ªjk
lJ cotg ªik - cotg ªJk
[ cotg a ..
l ikii 1 lJ =
eik - cotg a .. - cotg ªjk (IY.23.e) - lJ
cotg ªjk
sendo comprimentos dos lados !...J. e ~· Pela
" equivalencia de trabalho realizado:
(IY.24.a)
, Efetuando-se a integral de superfície e utilizando-se as
equações (IY.23), tem-se:
(IY.24.b)
Para que a igualdade se verifique:
65
(111.24.c)
I
IV.2.5.5 - Força Linearmente Distribuida
I
Seja a for9a uniformellll!nte distribuida 2_ aplicada
segundo a dire9ão da reta aK + bY + o - O desde o ponto!
I
ate o ponto ~ conforme a figura (IV. 08. a). Uma for9a con-
centrada infinitesimal dP apl ioada no ponto de coordenadas
(K,Y) fornece, pela equa9ão (IV.20.b), a seguinte contribui-
9ão ao vetor de forças nodais:
(IV.25.a)
I
Considerando-se que a f or9a 1 inearmente d i str ibuida seja o
somat~rio de uma suces5;o de resultantes infinitesimais dP
em segllll!ntos infinitesimais ds da reta, fazendo-se o ponto
(K,Y) percorrer a reta t2, tem-se, pela figura (111.08.b),
dP = p ds (IV.25.b)
l ta dy se a.,- O
ds = (IV.25.c)
fb dx se b .,- O
ond ..
t .. J 1 + ( -b ]2 = a
ou (IV.25.d)
tb J 1 + ( -a ]2 = ti
66
~X-t bY+c-o
dP
P a.X + b Y -r e = o
(a)
(b)
Figuro IV. 08 - Força Linearmente Distribuída
j® fk
Fi~ro IV 09- Forca Uniforme e Parcialmente Distribuída
67
, , -A for9a total em cada no sera, entao,
df - (IV.25.e)
•
Levando-se a equa9ão (IV.25.o) na equa9ão (IY.25.a) e depois
na equa9ão (IY.25.e), ap~s integrar-se, tem-se:
[ ( y2 ] aB - bA) ~2- + ( aS - c~) Y
y 2
y 1
ou (IV.25.f)
[ ( x2 I bA - aB) ~2- + ( bC - cB) X
caso a~ O ou b ~ O, respectivamente.
IV.2.5.6 - Força Uniforme e Parcialmente Distribuida
,
H 2
X 1
Seja uma força uniformemente distribuida ~ na
região hachurada s* da figura (IV.09).
(IV.21.b),
Resolvendo-se a integral, obt~m-se:
-Pela equaçao
(IV.26.a)
68
(IV.26,b)
onde
XCG 1 J X dS* (IV.26.c) = s* s*
e
YCG 1 J v ds* (IV,26.d) = s* s*
, sao as coordenadas cartesianas do centroide da regiao carre-
* gada S.
IV.2.6 - ' . As Forcas Elast1cas Internas
Seja um elemento-charneira em equilibrio conforme
atesta a equaçao (IV.11). Defina-se um caeFiciente de riqi-
dez secante (s«) como sendo, em cada instante, a razão entre
o momento atuante na charneira e a correspondente rotação:
s K 1,,
o (IV.27)
' ' Dessa torma, procedendo-se de maneira analoga aquela utili-
zada para a determinação da matriz de rigidez tangente, ob-, ,
tem-se a chamada matriz de rigidez secante, isto e, a res-
I - A ponsavel pela "rigidez de resistencia interna" do elemento,
dada por:
(IV,28)
69
, Com isso, pode-se escrever que as Eor9as elasticas internas
sao oalouladas com
(IV,29,a)
Levando-se a equa9ao (IV.28) na equa9ao (IV,29.a) e obser
vando-se a equa9ão (IV.2.o), chega-se a
(IV.29.b)
onde nota-9e, imediatamente, a identidade com a equa9ao
(IV.11). Pode-se, então, ver claramente que realmente o
I I A
unice responsavel pela resistenoia interna do elemento-char-,
neira num dado instante e o momento atuante na mola nesse
instante.
IV.3 - O Sistema Global de Coordenadas Generalizadas
O sistema global de coordenadas fica definido da
seguinte maneirai as eixos X e V sao as mesmos utilizados
como referencial para a deE ini9ão geom~trica do modelo es-, ,
trutural1 o eixo Z e obtido atraves do triedro direto oom os
outras dois eixos.
A
R inoidenoia nodal dos elementos para o modelo da
r igura (IV.10.a) , e dada conforme indicado na r igura
(IV.10.b). ,
O primeiro e segundo nos fornecidos definem o
sentido do eixo x. Tendo os eixos Z e z a mesma dire9ão e
70
, sentido, o terceiro no deve ser o de ooordenada ~ positiva,
, , ja que, atraves do triedro direto, K e z definem o sentido
, , de ?:• Finalmente, o quarto no e o de coordenada?: negativa.
Casa não exista o ,
no ,
3 ou o no !, por exemplo, em elemento,i
no contorno ou quando se considera eixos de simetria, este
A
nao deve aparecer na li,ita de inoidenoia,i I em outra,i pala-
, vras, os nos 3 e 4 devem sempre ser dados na sua posi9ao
carreta, embora um, e apenas um deles possa nao eKistir.
Ape,iar de parecer confu,io, o fornecimento da,i in-
A I
cidencias pode ,ier totalmente automatizado, i,ito e, dado,o
A A somente os triangulos, as incidencias podem ser geradas au-
tomaticamente.
a formaç,ãc das equaç,oe,i , ,
ja der inida,o a nivel do
, elemento ,iegue o me,imo proce,o,oo de montagem do l'letodo do,o
, Elementos Finitos ao nível das coordenadas globais generali-
,. zadas1 cada parcela a nivel da sistema local de coordenadas
generalizada,o c~ntribui paraª" equaç,oe,o globai,o na po,oiç,ão
A
devida, bastando para isso que se ta9a a oorrespondenoia de
numeraç,ao entre º" grau,o de liberdade local e global, ccn-
forme mc,otram ª" figura,o (IV.10.c,d,e). Procedendo-se as-
sim, pode-se reescrever as principais equa9oes do elemento
come equaç,~e,o globais.
Para um modelo com~ grau,o de liberdade e e ele-
mentas, escreve-se as seguintes equa9oes de compatibilidade ,
e equilibrio:
(IV.30)
(b) lncidãncio
Nodal
© (e) Sistema Global
4 2 3 - - -
1 K11 K14 K1z - - -
2 1'141 K14 i'l12 - - -
3 l'i21 ~ Kz2 -
4 ~ K'I k_,2
' K ,..,
' NO 1
NÓ2 ' N03
' N04
0)
4 5 -K1, -K'+, -~
li,,
1
2
3
-
@
71
(a) Malha
1 1 2 2 3 3 4
3 4 ' 5 -4 5 5
4 - -1 3 1 4 -2 3 5 - ' 2 3
@
CD
Y/lx ® i!
® (d) Sistema Local
(e) Contribuição à Rigidez Global
Figt.ra IV. 10 - Exemplo de
Relação entre os Sistemas
Local e Global
onde
72
f zH l'I (IV.31) -gx1 -gxe -ex1
(IV.32)
' ~ e um vetor-coluna com e linhas, onde cada co-
efioiente ~- representa a rota9ão da oharneiJ.
ra i • _,
' ' H e a matriz de equilibrio global da estrutura,
com~ linhas e~ colunas. Cada coluna i cor-
responde ao vetor de interpolaç:ão ii do ele-
menta-charneira i cujos coeEicientes sao dis
postos na numera9ao dos graus de liberdade
globais assooiada aos graus de liberdade lo-
ªª i 51
' u e um vetor-coluna com~ linhas, onde cada co-
r
ei! iciente u. representa o deslocamento em Z l
do grau de liberdade i;
' tem as mesmas oaracteristicas de ~· mas cada
' coeficiente r . oorresponde a for9a externa J.
total atuando na direç:ão z do grau de liber-
dade il
' ~ tem as mesmas oaracteristicas de!, mas cada
coeficiente M. representa o momil!!nto atuante l
IV.4 -
73
na charneira!_;
I
e a matriz de rigidez tangente glcb~l da es-
trutura, cem~ linhas e~ colunas. Cada coe-
ficiente T ' K. . corresponde a força que surge 1J
na direção Z de grau de liberdade i para um
deslocamento unit~rio na direção Z do grau de
liberdade ,i, mantende-se nulos todos os ou
tros deslocamentos.
I I
O Elemento-Rotula Elasto-plastico, o ROTPLAS
I ' -De maneira analoga a formulaçao do elemento-char-
neira, pode-se desenvolver um elemento unidimensional colo-
' ' cando-se uma rotula elasto-plastica onde existe a charneira.
Seja o elemento da figura (IV.11.a). Da mesma Eorma que o
I I
elemento-charneira, essa rotula tamhem tem as suas caraate-
I A I
ristioas mecanioas definida!! atreves de uma curva momento
versus rotação, sendo absolutamente rigidos os trechos 12 e
13. I IV I I I
O nó 1 define a posiçao da rotula, enquanto o no! da a
direção e o sentido do eixo~, que vai de 1 para! ao longo
I I -do eixo geometrico do elemento; o no 3 tica, entaa, no sen-
tido negativo do eixo x. O eixo z tem a mesma direção e
' sentido de !, enquanto ~ e perpendicular a K e ~, formando
com estes um triedro direto.
Considerando-se pequenos deslocamentos, a rotação
' relativa da rotula pode ser escrita come
74
® © ® o
(a) For1T1Jlação ~X )
A~2 4f1 \
1, - -
i -1 4~ • Af~+Af. 1
1 ·-1 1
+-'" t- t,z
1P (b) Estrutura
i,S. l.)
l p
(e) Malha
(D ~ ® ® 9 L;$ ~ ~
1 Q
( d) Mecanismo
© ®
l p~
. -J ..,r @ --
Figura rv. n _ Elemento -rótula Elasto-plástico
75
u - u 'I' - tg 'I' =
1 3 +
e 1 3
Reescrevendo a equa9ac (IV.33.a)
( IV • O 2 • e ) , tem- se
1
e
l 1 3
'I' 1 1
= + e e
1 3 1 2
1
e 1 2
' '
u - u 1 2 (IV.33.a) e
1 2
' ' de forma analcga a equa9ac
l u
1
(IV.33.b) u 2
u 3
ande e passive! identificar imediatamente e vetor de inter-
pclação e o vetor de deslocamentos nodais. as expressoes
' para as equaçoes de equilibrio (IV,11), para as equaçces
constitutivas (IV,1::1), para a matriz de rigidez tangente
(IV,16) ,
e para as forças elasticas internas (IV,27,28 0 2~) ,
permanecem validas para esses novos vetores definidos por
(IV,33,b), A
desde que se considere o elemento com apenas tres
graus de liberdade. Poder-se-ia deduzir expressões para as
forças nodais equivalentes neste novo elemento de modo tam-, , , ,
bem analogo ao CHARPLAS, entretanto, o objetivo deste item e
apenas mostrar as possibilidades desse tipo de formulação, ,
alem do fato do presente trabalho voltar-se especificamente
para o estudo de lajes. Limitou-se aqui, então, ' as forças ,
nodais no elemento-rotula.
, , Da mesma forma que no elemento-charneira, e possi-
, vel ter-se um elemento-rotula degenerado caso nao exista o
, , -no 2 ou o no :!_; sltuaçao esta de procedimento mais uma vez
, totalmente analogo ao do CHARPLAS,
76
A montagem dos vetores e matrizes no sistema glo-, ,
balde coordenadas generalizadas e feita da maneira jades-
crita.
Justifica-se aqui a apresenta9ão desse tipo de
elemento pela sua utilidade na representa9ão de lajes apoia
das sobre vigas, lajes nervuradas e tabuleiros de pontes,
al;m de, entre outras, na determina9ãa do colapso de estru-
turas formadas por elementos reticulados, como nas figuras
{IV.11.b,c,d)
77
, CAPITULO V
A PBOGRAIIAÇÃO IIATEIIÁTICA NA ANÁLISE LIKITE
Programap;o ttat~m~tioa ~ a . " . a~eno1a e arte da oti-
mizaçao de fun9Õe,s oom re,stri9ão, geralmente, inequa9oe,s.
' Foi previ,sta por FOURIER em 1823 juntamente com a anali,se
' limite, mas passou-se mais de um seoulo antes que e,ssas
' ideias fo,ssem completamente desenvolvidas, somente durante a
' Segunda Grande Guerra e que de,senvolvimento,s ,signifioativo,s
tiveram lugar na Programação nate~tioa (Pn) e na Plastioi-
dade em Engenharia. No,s anos '50 º" doi,s a,s,sunto,s flore,soe-
ram e a ooneo9ao entre eles f ioou finalmente reconhecida
quando ª" dua,s no9Ões essenciais da ' analise limite, os teo-
remas do limite superior e inferior, foram generalizados e
definido,s de forma rigorosa, mo,strando um caminho direto pa-
Um tipo particular de Programa9ão ' ' natematioa e a
Programação Linear (PL) que vi,ia 1 fundamentalmente, enoon-
trar a melhor ,solu9ão para problema,s que " tem ,seu5 modelo!!-
representados por sistemas de equaç,oes e inequa9oes 1 inea-
' res. A sua grande aplicabilidade e simplicidade devem-se a
' -linearidade do modelo e e tao importante que muito,s proble-
ma,s de Programa9ão ' natematioa mais complexa, por eKemp lo 1
Programa9ão ' Quadratioa, sao resolvidos lineari~ando-se a
modelo por trechos e aplicando-se a Programa9io Linear a oa-
da um.
78
' ou minimiza9ao de um funcional linear de variaveis (Função-
objetiva) respeitando-se um sistema linear de igualdades ou
desigualdades (restriçÕes). Essas restriçÕes determinam um
semi-espa90 ao qual d~-se o nome de aanjunta de soluções vi-
' ave-i.s. A melhor das ' viaveis 1 ' isto e, aquela que
maximiza ou minimiza a fun9ão-objetivo, denomina-se 6alu9ãa
' ' ' otima; esse tipo de problema e dito estatioa porque as oon-
di9Ões estabelecidas para o modelo são invariantes no tempo,
' ' -isto e, permanecem as mesmas ate o final da solu9ao do pro-
blema.
' Dois passos sao fundamentalmente necessarios para
a resolução de um problema de Programação Linear. O priffl<!i-
' ' roe a modelagem1 no caso da analise limite de problemas bi-
cu tridim<!nsionais, a modelagem requer a disoretização atra-
' ves de modelos de Diferenças Finitas ou Elementos Finitos.
Segue-se-lhe o ~todo de solução do modelo; sendo o Simplex
' o metodo mais utilizado.
As rela9Ões derivadas dos ' teoremas da analise li-
mite ocorrem naturalmente como equações lineares e, onde nao
existe interação não-linear entre as tensões resultantes, as
condições de escoamento ( ou ruptura ) aparecem como inequa-
9aes lineares, caracterizando assim esse tipo de problema
como de Programa9ão Matemaitioa Linear.
79
V.1 - O Problema das Cargas Proporcionais
V.1.1 - Formula9ão
ra,
Esse problema pode ser colocado da seguinte manei-
Dada uma estrutura sob a a9ao de cargas proporcio-
nais 1 i~to .;, que mant~m entre !Si uma rela9ão
constante, por qual fator >. deve se multiplicar r
essas cargas de modo a levar a estrutura ao ponto
de colapso?
' ' No case de uma estrutura iscstatica e problema e
' - ' 'crivial, ja que as equa9ces de equilibrio podem ser resolvi-
das explicitamente em fun9ãc de M, multiplicando-se os es
fcr9cs pele fator de colapse, multiplica-se cada componente
de~ pelo mesmo fator, sendo e fator de ruptura simplesmente
o valer de~ correspondente ao aparecimento de primeiro es
coamento.
' Numa estrutura hiperestastica, entretanto, e fator
' de colapse sera consideravelmente maior de que o correspcn-
' ' ' dente ao inicie de escoamento devido a ja discutida redis-
tribui9ão de esforços. Pele Teorema do Limite Interior, se
um conjunto de estor9cs internos~ puder ser encontrado sa-
' - ' tistazendo as equa9oes de equilibric
(V.01.a)
80
sendo e respectivamente, 05
r . , m1n1mo e maximo das linhas de ruptura, .,
, ,
tnoml!ntos
entio,
(V.01.b)
(V.Oi.o)
(V.01.d)
re-sistente'!I
>i..:>i.. r As-
sim, o ratar de colapso>,. e o valor maximo de À para o qual r
' (V.01.a) atendendo as equaçoes
(V.01.b,o,d). Esse problema foi definido e resolvido pela
primeira vez por CHARLES & LEMKE [1?] em 1954.
Reescrevendo-se as equa9oe-s (V.01) sob a forma da
Maximizar
A = { 1 O } { : }
submetido a
[ : -H -
I
-I
(V.02.a)
(V.02.b)
81
É comum cclccar-se o problema na forma padrão
, -considerando-se somente variaveis naa-negativas; reescreve-
se, então,~ como
Assim,
11 • O se 11 ~ O
e
se 11 { O
-Levando-se agora a equa9ao
(V. 02) 1
, obtem-se e problema
l'laKimizar
/1. = { 1
submet ide a
E -H -O I
O -1 - -
o l >.
1 o } 11+
11
(V.03.a)
(V,03.b)
{V.03.c)
(V,03) -na equa9ao
(V.02' .a)
{V.02' .b)
, -que esta na forma padrao e pode ser resolvido pelos algorit-
mos de Programação Linear.
82
V.1.2 - A Dualidade e a Apr0Kima9ão do Mecanismo
, Uma pergunta que pode surgir e, por que utilizar a
apr0Kima9ão pelo limite inferior?
limite superior tamb~m levaria a um problema de Programa9ão ,
Linear que e o dual do formuladoJ entretanto, vale ressaltar
que apesar de utilizar-se aqui o Teorema do Limite Inferior,
a 9olu9âo obtida 5er~ sempre um limite 9Uperior para a carga
de colapso, isto porque a definição da matriz de equilibrio
(!)~feita a partir da oontra-gradi;noia de um vetor de in
terpolação (~),
Para a formulação pelo limite superior parte-se de
um conjunto de deslocamentos e deformações ,
compatíveis
' ,
isto e 1 satisfazendo a equa9ao (IV,30), Para obter uma
eKpressao para o trabalho realizado na deformação pl~stica,
nas equa9Ões (V.03)1
.,, - .,,+ - .,,
De maneira que
.,, z .,,+ -e
.,, - <p
Assim, desde que
<p = o
y,+ • D - -
, modo analogo
se 'P i, D
se 'I' ,i; O
ao dos momentos
(V,04,a)
(V,04.b)
(V.04.o)
83
• . 1 ,se 'I' > O - (V.05)
se 'I' < O - -o trabalho realizado na deformação pl~stica pode ser escrito
como
(V.06.a)
, O trabalho realizado pelas forças externas sera
(V.06.b)
-As expressoes para a deter-
minação de Àr podem ser colocadas na forma padrão da Progra-
mação Linear. Desde que a deformação pode ter uma magnitude , ,
arbitraria, considere-se que o trabalho plastico seja igual ,
a ~. isto e,
Escrevendo-se , -tambem a equaçao (IV.30)
- , -quaçoes, À sera a soluçao do problema r
Minimizar À
submetido a
e
o -I
-I -
D
-I
I -
(V.O?)
como um par de ine-
(V.OS.a)
(V.OS.b)
(V.OS.e)
84
' Desde que o valor 111ini1110 de li. obviamente ocorre
' quando a primeira inequa9aa e satisfeita como igualdade, po-
de-se reescrever o problêma oomo
Minimizar
! u
l à = l,. = { o s 11T IMT } ,.+ (V.09.a) -r -r
'I'
submetido a
• fT o o
-HT I -I
HT -I I l ! :· J: 1 : l (V.09.b)
O Principio da Dualidade, que tem Íntima relação
com os teoremas limites da Plasticidade, diz que os dois
problemas de Programação Linear
Maximizar J\ T = c u
(V.10.a) submetido a .Q u ~ b e u ~ o - - - -
e
Minimizar à = bT V
AT (V.10.b)
submetido a V ~ c e V ~ o
-sao duais. Se um tem uma solução finita, o outro tamb~m te-
' -ra soluçao finita e
Máximo A= nÍnimo A (v.10.c)
Se as igualdades da equaçao (V.02'.b) forem subs-
85
, - , tituida5 por pare5 de inequa9oe5 1 obter-5e-a1
Maximizar
l >,.
1 A = { 1 o o } n* (V.11.a)
l'I
submetido a
E -H H o - -
l 1
->,.
-E H -H o - n* - (V.11.b) ~ o 1 -1 si'! - l'I - -r
- zl'I o -1 1 - - -r
que corresponde ao problema posto pela equação (V.10.a). É
intuitivo suspeitar que o dual desse problema, que tem >.r
' . , - , como minimo, e de fato a formulaçao atraves do mecanismo do ,
problema de colapso plastico. Escrevendo-se o dual de
(V.11) atrav~s da observação de (V.10.b), tem-se
l'linimizar
+ u
{ } u
J\ SftT ZftT -= o o -r -r .,,+
(V.12.a)
-.,, -submetido a
+ u
[ ET -E T o o
l l 1
l - u -HT HT -1 -1 li' o
.,,+ -HT -HT -1 I o - .,, -
(V.12.b)
86
Definindo-se
+ u ZI: u - u - (V.13)
e utilizando-se a equa9ao (V.04.a), tem-se o problema (V.12)
reescrito como
Minimizar
à - Sl'IT ,.+ + II'! T I" (V.14.a) -r -r
submetido a
fT u i, 1 (V.14.b)
e
HT u - = I" (V.14.c)
I a equa9ao (V.14.o) e a mesma equa9ao (IV.30) e re-
presenta a equa9ão de compatibilidade.
simplesmente uma expressao para o trabalho realizado nas
oharneiras pl.;stiaas e a equa9ão (V.14.b) ~ uma oondi9âo .. de
escala• sobre o trabalho eKternc. Escrevendo-se >- para ~.
reescreve-se e problema na forma
l'linimizar >-
(V.14.d)
onde~ e! estão relacionados pelas equa9oes de ccmpatibili-
dade (V.14.c). Claramente a solu9ãc r inal ' satisfara a ex-
pressao (V.14.d) como igualdade; assim, pede-se descrever o
prable11111 como
87
Minimizar X de forma que o trabalho realizado pe
las cargas aplicadas Xf seja igual ao trabalho
' plastico realizado na estrutura para um sistema de
- ' deformaçoes compatíveis.
Essa afirmação do problema ' e precisa mente a apro-
' ximaçao do mecanismo da Teoria Plastica Elementar. Note-se
que para uma deformação Y'. em particular, J.
y,: = Y'. y,--: = o se Y' > o (V.15.b) J. J. J.
e
.,.--: z -Y'. y,: = o se Y' < o (V.15.c) J. J. J.
' dai haver-se multiplicado pelo momento resistente apropriado
conforme a deformação tosse positiva ou negativa para se ob
ter a equa9ão (V.12.a).
' Como ja foi dito,
' ' Linear, a aproximaçao sera por equilibrio ou mecanismo em
função da tormulação da matriz de equilibrio. No oaso, sen-
do! uma matriz de interpolação de deslocamentos, tem-se uma
aproximaçao por mecanismo; a simples transposição dessa ma-
' triz ' leva a equilibrio correspondente. Do
' ponto de vista computacional, se for utilizado o metada
Simplex, ~ mais eficiente aplicar a formulação pelo mecanis-
. ' ' mo, Jª que, normalmente, conduz a um menor numero de restri-
9oes1 mesmo assim, a escolha fica muito dependente do algo-
ritmo e da implementação feita. Contudo, coma seria espera-
' do 1 qualquer que seja a aproximaçao adotada obtem-se o mesmo
88
valor para o ratar de colapso.
A primeira vista parece que a rormula9ão de equi
librio (V.02) rorneoe a distribui9ão interna de ror9as e os
momentos no colapsa, mas naa o mecanismo em si. Entretanto,
a solu9ão do problema (V.02) pelo ~todo Simplex padrão ror-, ,
nece como produto intermediaria os valores das variaveis do
problema dual que derinem o mecanismo de {
ruJ. na, ou sejam, ~· + -f' ef'. De maneira semelhante, a distribui9io da,s tor9as
internas e os momentos podem ser obtidos da solu9ão do pro-
blema (V.09).
V.1.3 - M~todo de S0lu9ão1 o Algoritmo de Livesley
Para um problema de~ graus de liberdade e e ele-,
mentas-charneira, o numero de ooefioientes da matriz a 5er
, , utilizada na solu9ão viá me todo Simplex e de 1 pelo menos,
(2e+g) (2e+1) 1
, alem dos (2e .. 1) ooerioientes utilizados por
" , , cada um dos tres vetores tambem necessarios, oontorme pode
ser visto pela equaç,ao (V.02')1 i5so 5e eKplioa pelo rato
desse in,;todo não trabalhar com n~meros negativos. Desneces-
, . sar~o dizer o quanto isto representa em termos de aumento na
' quantidade de armazenamento requerido a problema
.. " e, coma consequencia direta, no tempo de processamento;
agravando-se ainda mais a situaçaãa quando se observa que a
, maioria dos coetioientes e nula.
O alqoritmo de Livf!!slf!!y
sentado e utilizado parte das
[18] que ,
sera aqui apre-
, , , ideias basices do metada
89
Simplex, cem a grande vantagem de evitar a cclcca9ão do pro
blema na forma padrão.
V.1.3.1 - Os EsEor9os Internos e o Fator de Colapso
Seja, então, resolver o problema de Programa9ão
' Linear oomo esta formulado nas equa9oes (V.01). ' Se o numero
' de graus de liberdade for maior do que o numero de cbarnei-
ras ( g > e ) 1 ' a estrutura nao suportara um conjunto arbi-
I I I I I
traria de cargas, isto e 1 ja e um mecanismo, e a unica 5alu-
' 9ao e a trivial
>,. - o r M = O (V.16)
' ' Se o numero de graus de liberdade for igual ao numero de
charneiras ( ' g • e ), a estrutura e estaticamente determina-
da 1 podendo-se resolver a equa9ao (V.Oi.a} reescrita cerno
E• H v (V.1?.a)
onde
M V = (V.1?.b)
e encontrar >,.r através das restrições (V.01.b) reescritas em
Função de~:
' >,. V L .. PI - ~ -r
(V.1?.c)
90
O intere!ise recai, então, ' sobre o caso onde o numero de
graus de ' ' liberdade e ffll!nor que o numero de charneiras
( g < e ).
' Um procedimento fundamental que ocorre em varias
' etapas do algoritmo de Livesley e conhecido como Prooesso
Padrão de Redu9ão de Gauss-Jordan e consiste, para uma de
terminada equaçao i do sistema a ser operado (equa9ão pivo
ta!), transformar a coluna ida matriz dos coeficientes numa
' ' coluna nula, exceto por um unice coeficiente unitario na po-
sição i,i_ (ooluna reduzida).
Dividir a equa9ao i pelo coeficiente
' ' H .. (pivot) de modo a torna-lo unitario; iJ
' EKceto para apropria equaçao l, sub-
trair de cada equa9ao k a equa9ao !_ multiplicada
pele coeficiente Hkjl dessa forma, anula-5e todos
os outros coeficientes da coluna~, a menos do co-
' eficiente Hij que tornou-se unitario no passo an-
terior.
Então, no escopo do presente trabalho, a termo re
du9ão de uma coluna ser~ utilizado com o sentido de se apli-
' caro Processo Padrão de Redu9ãc de
coluna.
Gauss-Jordan a referida
O algoritmo de Livesley pede ser sintetizado nos
quatro passos principais mostrado5 a seguir.
91
Primeira Passai
Reduzir a equaçao {V.OI.a} a uma outra equivalen
te. Para cada uma das~ equa9oes do sistema, procura-se na
matriz dos coeficientes H a coluna J do coeficiente não-nulo ,
de maior modulei embora isso não seja estritamente ,
neoe,s,sa-
rio, ajuda a manter o sistema bem condicionado. Em seguida
ap 1 ica-se o Processo Padrão de Redu9ão de ' Gauss-Jordan a
equa9ao i, coluna J•
' Ao final, ter-se-a um novo vetor de termos inde-
pendentes e uma nova matriz de ooef ioientes onde ~ colunas
estão reduzidas. ,
O sistema assim obtido tera a forma,
o ? 1 ? ? o ? ? o
1 ? o ? ? o ? ? o
o ? o ? ? o ? ? 1 >,. *f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o ? o ? ? o ? ? o
o ? o ? ? 1 ? ? o
o ? o ? ? o ? ? o
*H l'I (V.18)
onde
' ? representa um coeficiente qualquer, que nao e
obrigatoriamente~ ou !I
representa uma suaessao de outros coe E icien-,
tes tambem de valor qualquer.
92
, Observe-se que para o caso de estruturas isostati-
oas ( g = e ) esse procedimento inicial fornece a solução ,
das equa9oes de equilibrio.
Segundo Passo:
, Dividir os elementos de nem dois tipos de varia-
, - , veis, basicas e nao-basioas, sequndo a terminaloqia da Pro-
, , qramaçao Linear. Em termos simples, variav~is basioas sao
aquelas que ainda nao atingiram nenhum dos dois limites im
postos pela equação (V.01.b), podendo-se alterar os seus va
lores por uma quantidade finita sem que as restri9Ões sejam
violadas; correspondem ~s colunas reduzidas de*~ e, eviden-, , ,
temente, serao o unico tipo de variavel que podera ser alte-
rado pelo algoritmo. As vari~veis não-basioas sao aquelas ,
que, exceto num estagio inicial, quando podem ser nulas, es-
tio num dos limites da equação (V.01.b); ,.
tem valor constante
' e correspondem as colunas de *H
Entio, ao se reduzir a equa9ao
, sem um arranjo espeoiEioo.
(V.01.a) ' a forma da , ,
equa9ao
(V.18), efetivamente escolheu-se !l. variaveis basicas e !..=.!l.
, - , , , , variaveis nac-basioas. Em termos físicos, variaveis basicas
' correspondem as charneiras que ainda nao atingiram o escoa-
, - , ' , menta e as variaveis nao-hasicas as charneiras ja com defor-
, , , ma9oes plastioas. Note-se que apos esse passo cada variavel
, bas ica somente aparece em uma equa9ao e que cada equaç,ao
, , , contem somente uma variavel basica.
Tome-se, inicialmente, as oondi9Ões (V.16).
93
Teraeira Passo 1
' ' Incrementar~ alterando-se apenas as variaveis ba-
' siaas ate que uma delas atinja um das limites. I111agine-se
que nu111 est.;gio particular tenha-se um valor >. 0 para fator
' ' o de colapso e~ variaveis basicas Mi' satisfazendo a
(V.19)
I I I \,
onde o indioe i' referencia a variavl!l basica associada a
equaçao i. Considere-se agora o efeito de um aumento ÕÀ no
' ' ' fator de carga. Desde que cada variavel basioa esta estri-
tamente entre os limites impostos pela restrição, a equaçao
(V.18) pode continuar sendo utilizada, mantendo-se constan-
I - I I tes todas as variaveis nao-basicas e deixando-se as varia-
' veis basioas variarem. Devido~ forma de*!, para a equa9ao
i, tem-sei
Assim, se
negativo.
*f. l
Se
' e positivo,
* ' f. e nulo, l
aumenta,
o valor de Mi,
(v.20)
diminuindo se
- '
*f. l
' e
nao e alterado com
a mudança em À. Então, os limites de Mi, implicam
1 *f. 1 1
(V.21.a)
94
onde
l s *r. o PI i • se >
l
Mi' = (V.21.b) X *r. o - 11i ' se <
1
O menor valor de 6>.. dentre todas as equaçoes determina o
I
maior aumento possivel de~- Seja 6>..k esse valor correspon-
' dendo a equaçao k. Então, tem-se
>,. 1
.. , .. , 'ª *r . nÍ, : "i' + UAk l
(V.22.a)
(V.22.b)
• I • I
tomados somente sobre as var1ave1s basicas. Assim,
l ~'i,_. se *r > o
k ~. = (V. 23)
-xi\' se *r < o k
I I
e todas as outras variaveis basicas ainda dentro dos seu'!S
limites. I - I As variaveis nao-basicas permanecem com os valores
inalterados.
Qaar1:o Passai
I I
Trocar a variavel basioa que atingiu um dos limi-
tes no passo anterior por outra não-b~sioa {no oaso, na es-
I I ·
f:aqio., inicial} de moda a ser passivei um nava incremento da
J'a tor de oarga. Pareoe evidente que para poder fazer qual-I I
quer outro incremento no fator de carga e neoessario enoon-
95
, , , trar uma outra variavel para tomar o lugar da variavel basi-
cada <!quaçio ~, - , qu<! agora tornou-si! nao-basica. ,
No <!stagio
atual, a equa9io k tem a forma
*H K~ kj J
(V.24)
onde 1 ~ um Índice que representa cada uma e todas as variá-
- , ' veis nao-basicas, quer estejam no estagio inicial ou num dos
limites das condições de restrição. Observe-se que, exceto 1 , , ,.,
por Kk'' todas as variaveis basicas tem coeficientes nulos
nessa equaçao.
Cada variável não-básica K~ tem que estar em um J
Estágio 1:
. ' E o estagio inicial. Ambas as variaçoes, po-
• §itiva ou negativa, sao, em geral, possiueis; ,
uma delas certamente incrementara~ desde que
* Hkj seja diferente de zero;
Estágio 2:
,
Apenas o aumento de M~ ~ J
' possível; >,. aumenta-
, * * ra desde que Hkj tenha o mesmo sinal de fk
e seja diferente de zero;
Estagio 3: .. 1_ S .-. = M. J J
Apenas a diminuição de l'I~ ; possível; J
>,. au-
• * mentara desde que Hkj tenha sinal oposto ao
de *fk e seja diferente de zero.
Precisa-se, então,
96
l de um M. que possa ser variado J
' de torma tal que um novo incremento de À seja possível. ,
Existindo uma possibilidade de escolha, pareoe razoavel que
esta seja teita de maneira a produzir a maior taxa de aumen-
' - ' to em À. Assim, dentre todas as variaveis nao-basicas, de-
, = termina-se o índice ..i_ que maximiza a valor de z j' definido
por
1 *ek j 1 se l'I~ ~ o J
= * sinal(*fk) l'I~ _IM. z. = Hkj se = J J J
-*~j sinal(*fk) se l'I ~ = si'! . J J
(11.25)
Seja n o ind ice desse valor. Se então,
J , ' escolhe-se l'ln como nova variavel basica. Conseqüentemente,
a aplicação do Processo Padrão de Redução de Gauss-Jordan à ,
equação !t, coluna !!., reduz esta ultima a uma coluna de ze-
' ros, exceto por um coeficiente unitario na linha k. Dessa
outras forma, elimina-se os coeficientes de 1'11
n em todas
equações e gera-se uma coluna de coeficientes para
as
l
!\'. Es-
tando agora as equações novamente numa forma correspondente
ao Primeiro Passo, retorna-se ao Terceiro Passo do alqoritmo
para novo incremento de ~. Nesse novo incremento, claro, a
I - I } I
nova variavel nao-basica l'lk' permanece no limite ja alcança-
do.
= , I Se zn, O nao e mais possivel incremento algum em
~ e a solução foi alcançada. Uma dificuldade aparece se zn
' e positivo mas muito pequeno devido aos problemas de arre-
97
dondamento e truncamento 1 pois isso implica que seja
muito pequeno e assim, a aplicação do Processo Padrão de Re
du9io de Gauss-Jordan multiplica os coeficientes de *H por
' um numera muito grande. E,s5e mal condicionamento ocorre
' quando parte de uma estrutura ainda esta estaticamente inde-
terminada no instante do colapso.
evita da comparando-se z oom uma n
Essa dificuldade pode ser
" toleranoia1 por eKemp 1 a 1
1-5 ' ' 10 onde se o numero de algarismos significativos com que
' ' ' ' se esta trabalhando. E95a caraoteri-stioa da anali5e e me-
lhor compreendida em termos da interpreta9io da oonfigura9io
de colapso. ' * ' Sera mostrado que a linha~ de ~ e equivalente
' as as,sociadas ao mecani9mo de oolap5o.
fioiente nessa linha que se apresente muito pequeno, da or
dem do arredondamento utilizado, corresponde a um ponto onde
o momento aloan9ou um valor limite, mas para o qual nenhuma
- ' deforma9ao plastica significativa ocorreu durante o colapso.
V.1.3.2 - A Configura9io de Colapso
Para determinar a configura9io de colapso~ preci
so encontrar, para um campa de deslocamento não-nulo (~), o
correspondente campo de deformaçio (!) ' satisfazendo a equa-
- ( ' çao de compatibilidade IV.30) e as
'I' . > o se l'I . - 51'1 • (V.26.a) J J J
'I' . < o se l'I . E _zl'I. (V.26.b) J J J
'I' . - o se - Il'I . < l'I . < 51'1 . (V.26.o) J J J J
98
sendo arbitr~ria a magnitude das deEormaç;es, Esses campos
podem ser determinados por uma simples extensão do procedi-
I
mento descri to no item anterior. Reescreva-se a equa9ao
(V.01.a) na seguinte Eorma
À f • À I E • H M (V,27,a)
' onde I e a matriz identidade de ordem adequada, Ao se apli-
oar o Processo Padrão de Redu9ão de Gauss-Jordan a f e a~,
' opera-se tambem as linhas de
a equação (V,18), obt~m-se
I ' -'
À *r • À *1 E = *H M
" '
' ao inve5 de obter-se
(V,27,b)
identica a obtida na equaçao (V.18).
Isso nao requer qualquer esfor90 extra visto que cada ooluna
* I de ! e simplesmente o conjunto de multiplicadores calcula-
das na Opera9io 2 do processo de Gauss-Jordan divididos pelo
ooetioiente pivotal apropriado.
Com essa extensão, o procedimento segue exatamente
' coma antes. Quando o valor maximo de À foi obtido, a equa-
çao pivotal, ou seja, a equação da
' alterada tera a Eorma
' ultima ' variavel ' basica
(V,27,c)
onde *IT -k e sao as linhas pivotais finais de *1 e
Comparando-se a equaçao (V.27.c) com a equaçao do trabalho
virtual para o mecanismo de aolapso1
nota-,.., qu.,
e
U m *1 -k
V'= *H - -k
99
(V.28)
(V.29.a)
(V.29.b)
' ' Então, tudo o que e neoe5sario fazer para obter
o mecani,imo de colapso~ multiplicar as linhas *!k e *~k pe
lo sinal de *r de modo a fazer o trabalho da estrutura pok
sitivo e usar um fator de escala para os deslocamentos e pa-
' ja que as magnitudes dos mesmos
' sao arbitrarias. No oaso, o fator de escala utilizado foi
' tal que torna o trabalha eHterno realizado unitario, ou 9e-
' -ja, at.,nde a equa9ao (V.07),
(V.30.a)
Pela equa9ao (V.28),
= 1 (V.30.b)
Assim, os deslocamentos e as deformações ' plasticas finais
-serao divididas pelos respectivos fatores de escala, quais
sejam, tu e ty,•
100
Essa 1 inhas dl! *1 .. *H como a
' ' ' forma do 111Ddo dl! colapso ,. valida l!m qualqul!r estagio dos
' ' -calcules, indl!pl!ndl!ntl!ml!ntl! dl! Sl!r possivl!l ou nao um postl!-
' rior incrl!ml!nto do fator de carga. Em valorl!s intl!rml!dia-
rios dl! ~. l!ntrl!tanto, podl! sl!r observado qul! o 111Ddc tl!m dl!-
- - , - , torma9oes nao-nulas associadas a variaveis nao-basicas ainda
' ' no Sl!U l!stagio inicial, ou sl!ja, com valor nulo, o qul! I! fi-
sicaffll!ntl! incorrl!to. De fato, o procedimento COIIID um todo
podl! sl!r intl!rprl!tado mais no sl!ntido dl! "ffll!canismo'" do qul!
, ' de '"l!quilibrio", imaginando-se charneiras ficticias inicial-
mente nesses pontos. Essas charneiras são gradualml!nte ri!-
' movidas durante a analise, podendo permanecer algumas, embo-
ra com rotação nula, se parti! da estrutura estiver estatica
nente indl!tl!rminada no colapso.
' , Essl! procl!diffll!nto apresl!ntado ja possui oonsidl!ra-
Linear I l!Spl!cia lml!ntl! em tl!rmos dl! quantidadl! dl! armazl!na-
' IIN!nto neoe5sario. Entrl!tanto, uma economia ainda podl! Sl!r
alcançada evitando-se o armazl!namento das colunas rl!duzidas
de *H. Na transformação prl!liminar da l!quaçao (Y.27.a) na -l!qua9ao (Y.27.b) cada aplicação do Procl!sso Padrão dl! Rl!du
ção de Gauss-Jordan reduz uma das colunas cheias de *H e ge-
' ra uma coluna cheia corrl!spondl!ntl! em !I assim, o numl!ro de ,
colunas que requerem um armazenalltt!nto completo e e. Na si!-
gunda fase, a aplicação do processo reduz a coluna da vari~-,
vel que se torna basioa e gera uma nova coluna cheia para a
' ' , variavel que era basioa na fase anterior e que agora e nao-,
basica. Dl!sta forma, o total dl! colunas qul! prl!cisam sl!r
, ' completamente armazenadas e tamhem e. Isso sugere a possi-
101
bilidade de um sistema usando apenas uma matriz de ~ linhas ,
e e colunas com um esquema apto a identificar as variaveis
associadas com as colunas. Um programa FORTRAN ut i 1 i zando
esse m;todo aqui descrito pode ser encontrado em [19].
V.2 - O Problema das Cargas Independentes
, Em todos os problemas tratados ate agora, uma vez
, selecionado o carregamento mais desfavoravel, as cargas que
contribuiam individualmente para essa configura9ão não podi-
am ser consideradas atuando independentemente uma,s da-s ou-
, tras mas, pelo contrario, eram dadas em termos de um simples
" parametro de proporcionalidade X. Em outras palavras, uma
vez fiKada(s) a(s) posição(Ões) critioa(s) da(s) carga{s), , ,
para os propos i tos da analise, o problema era tratado como ,
colapso estatico, ou seja, todas as oarga5 eram imaginadas ,
crescendo lenta e proporcionalmente ate que acorresse oco-
lapso pela formação de um mecanismo de ruptura.
, ' Neste item tratar-se-a de carregamentos onde os
' " varios componentes tem a possibilidade de agir aleatoria e
independentemente entre limites dados1 esses limites podem,
' ' simplesmente, corresponder aos valores maximo e mínimo de
' cada carga em particular. Assim, ao inves de se ·trabalhar
com valores de cargas, utiliza-5e intervalo5 de valores. E
mais, o valor de uma certa carga em particular em dado ins-
' tante 5era 1 em geral, independente dos valore5 de toda5 as
outra5 oarga5 1 embora 5empre dentro do5 seu5 limite ...
102
Ne5sa oonsidera9ão de oarregamento aleat~rio e re-
petido existem dois efeitos principais a serem levados em
conta. O primeiro relaciona-se aom a pla5tioidade alternada
' ' e e faoil de analisar. Pode ocorrer que sob a a9ao de uma
oerta oombina9ão de esfor9os variando independentemente, de
senvolvam-se linhas de ruptura, parcial ou totalmente, numa
certa região da laje. Mais tarde 1 uma oombina9ão diferente
de esfor9os pode produzir plastifica9ão na mesma regiao mas
com momentos atuando no sentido oposto. Essa flexão alter-
nada na região pode não ser muito prejudicial se o n;mero de
' repeti9Ões for relativamente pequeno, sendo possível prever
um intervalo de valores para a(s) carga(s) de modo que isso
" ' nao ocorra. O fenomeno e, em qualquer oaso, geralmente me-
' ' nos oritioo do que aquele de colapso incremental, que e o
segundo efeito a ser considerado •
Se conforme . ' Jª foi descrito,
de cargas variando independentemente causar a rorma9ão de
linhas de ruptura numa dada se9ao, então, uma pequena rota-
- ' -9ao tera lugar na posi9ao da linha de ruptura.
ser~ pequena porque poucas linhas de ruptura não produzirão
um mecanismo de 00Iapso1 qualquer deforma9ão
'
' plastioa ' sera
redistribuída para aquelas outras partes da laje que ainda
' permanecem no regime elastioo. Sob uma combina9ão diferente
' ' e possível que outra(s) linha(s) de ruptura se Eorme(m) em
' diferentes regioes e, novamente, pequenos aorescimos de ro-
ta9ão podem ocorrer e ' serem redistribuídas. Uma terceira
- ' -combinaçao de cargas pode levar a Eormaçao de ainda outra(s)
linha(s) de ruptura e assim por diante. Note-se, conforme
' ' ficara mais claro adiante, que nao se esta mais tratando de
103
' ' materiais rigido-plasticos e sim de um caso mais geral, ou
' sejam, materiais elasto-plastioos deEinidos por curvas mo-
mento versus rotação de modo que essas pequenas rotações
' elasticas descritas possam acorrer.
Pode ser que o colapso nao ocorra sob a açao de
qualquer dessas combina9Ões de carga porque o ' numero de li-
' nhas de ruptura envolvida5 e muito pequeno para tormar um
mecanismo oompleto1 entretanto, se todas as linhas de ruptu
ra Eormadas sob a ação de cada uma dessas combinações diEe-
rentes ocorressem simultaneamente, talvez correspondessem a
uma oonEiguração de colapso. Se isso acontecesse e os limi-
' tes impostos as cargas o permitissem, um modo de colapso in-
' oremental seria possível.
' Por, outro lado, para valores menores das cargas e
possÍvel que alguma deEorma9;0 pl~stioa ooorra nos primeiros
poucos ciclos de repeti9ão do carregamento,
' '
' ' mas tambem e
possível que a partir dai todas as mudan9as posteriores do
' carregamento sejam resistidas de maneira puramente ela5tioa
' pela estrutura, signiEicando que as deforma9Ões plastioas
cessaram de desenvolver-se. Quando isso acontece, diz-5e
variada das cargas.
{shakedown /imit) , e o
O aqui denominado I imite de adaptação
limite entre a adapta9io da estrutura
ao carregamento e o colapso incremental ou a plasticidade
, , alternada. E ainda conveniente reter a ideia de um lator
limite de adaptação X aplicado não aos valores das cargas, a
mas aos intervalos entre os quais essas cargas podem variar, ,
de maneira a atribuir um valor numerioo a esse limite.
104
Com o intuito de melhor eKplicar os conoeitos in-
traduzidos, considere-se a viga bi-engastada da figura
(V.Oi.a) cujo material tem a rela9;0 momento versus curvatu-
' ra do tipo elasto-perf'eitamente plastica, submetida a uma
força concentrada P que varia segundo os limites
0 , P, Pmax (V.31)
Pode ser visto claramente que nenhuma plastifica9ão ' ocorrera
' enquanto o momento maKimo M for menor do que o momento de c
plastificação MP da seçao transversal da viga, ou seja, en
quanto
(V.32)
Entratanto, admita-sa qua saja aplicado um v.alor
= 2.70 M /li.• p '
então, os momentos el.ist ices hipot~ticos
da viga sob a açao dessa carga serac conforme mostrado na
f'igur.a (V.01.b). Hota-sa qua o ponta ~ Aparace com um mo-
' menta aparentemente impossível ( 1.2 M ); p
contudo, na pri-
meira aplicação da carga total uma r~tula formar-se-ia a eK
tremidade ç_ e a distribuição dos momentos Eletores seria a
da r i g ur a ( V . O l. c ) . Com um· posterior descarregamento, nao
' existe nada que impeça a resposta de sar complat.amente alas-
' ' , tica; a medida que a carga decresce do valor maximo ate ze-
ro, o momento fletor em C decresce de M a -0.20 M. - p p
Então,
a remoção total da carga eKterna aplicada deiKar~ um conjun
to da mamantes flatoras auto-aquilibr.ados na viga cuj.as mag-
105
(a) l p 1\ .. .Mt ( @ ©~) me=+ 1 q
®1 .1 2 .e t 1.2 tr\p
( b) o.~fl\p
(e) 0.1 lllp
(d) Oiltrlp
o.•"lr
0.1 lllp 0.2 /1\p
(e)
Figura V. 01 _ Exemplo de Processo de Plastificação
106
nitudes podem ser vistas na figura (V,01,d} e sao simples
mente a diferença entre os diagramas de momentos das figuras
(V,01.c,b), Esses momentos residuais introduzidos pela de-
- ' -formaçao plastica no primeiro carregamento farao oom que um
carregamento po,steriar ~U!ja re,si"Stido elasticamente1 o mo-
' ' menta negativo favoravel de -0.20 M permitira a superposi-p
' çao de uma resposta elastica no extremo C de magnitude
1.20 M antes que o novo e,sooamento 5e inicie. p
ga adaptou-se ap~s uma simples aplicação de carga. Ha rea-
lidade, neste exemplo, a carga de colapso e a carga para o
limite de adaptação da estrutura são as mesmas. Desde que
os momentos residuais da figura (V.01,d) estão em equilibrio
sob a açao de forças externas nulas, qualquer mecanismo 'I'
oomo o da figura (V.Oi.e) fornecer.; a relação de trabalho
virtual
m. 1
(V.33)
sendo m. o mom&nto residual no ponto i e 'I'. a respectiva de-1 1
formação.
Conclusão: quando ao estender-se os limites deva-
riaçao das cargas do fator À não for mais ' possivel obter um
' recarregamento elastico e, ,
a plast if icação ao inves disso,
continuar indefinidamente, ter-se-~ atingido o limite de
adaptação da estrutura e ocorrer~ o chamado colapso increme
ntal.
107
v.2.1 - O Teorema da Adaptação da Estrutura Cargas
O Teorema da Adaptaç,ão da Estrutura (Shak.edo•m
Theor~m) pode ser estabelecido para materiais que tenham uma
curva momento versus curvatura ( ou rota9io ) mais geral do
' ' que a de um material somente elastico ou perfeitamente plas-
tioo. Essa curva pode ser, por eKemplo 1 do tipo apresentado
na figura (V.02). ' - ' A sua unica restriç,ao e que o comporta-
mento do material seja o mesmo para qualquer sentido de
aplioaç,ão do momento fletor. Dessa torma, o priffll!iro escoa-
mento ocorre para um momento M e o momento de plastiEicaç,ão y
completo tem o valor M em qualquer dos dois sentidos de p
' curvatura; o intervalo linear elastico, assim, estende-se
para um total de 2M 1 y nao
'
sendo afetada por
qualquer deEormaç,ão plastica pare ia l que venha a ocorrer.
' Então, se um momento correspondendo ao valor no ponto B e
' ap l ioado a se9ao transver5a 1 seguido de descarregamento, o
' -comportamento sera linear para uma diminui9ao total de 2M y
adaptaç,ão
As ' neoessaria5 para
podem ser escritas em termos da
a h
ooorrencia
'
da
elastioa
convencional e dos moffll!ntos resistentes que possam existir.
- ' ' A soluç,ao elastica e ' necessaria porque o valor de h proou-a
rado pressupoe que a resposta da estrutura seja inteiramente
' ' elastioa. Por outro lado, plastioas
podem ocorrer, momentos residuais aparecerao, afetando ova
lor total do momento fletor em qualquer se9ão transversal.
M
"'r 8
I /
Ny / /
/ /
/ / 2My
/ /
_j_ __ /
/ o / Q)
I /
/ ;-
/ /
/ - My
/ ,,,
-==:---:::-_-_ ---___ ..... __ =---- - -Mp
Figura V. 02- Aspecto de Lrna ClJ"W Típica Momento versus CtJVatura
109
Usando os valores de trabalho das oargas, o valor
' Mi do momento fletor elastico pode ser calculado para cada
' se9ao critica i da estrutura, Como as cargas individuais
variam entre valores m~ximas e mÍnimos prescritos, o momento
' M. variara, podendo-se avaliar o maior e o menor valor, res-1
pectivamente, Um fator de carga~ aplicado ao
intervalo de varia9âo das cargas aumentar~ esses valores pa-
maK min ra Ãl'I. e XI'!. . Esses valores fatorados dos momentos fle-1 1
' tores elasticos sao aqueles que ocorreriam se a estrutura
' permanecesse indeformada, mas eKistira, em geral, um momento
residual m. na se9ao que deve ser adicionado aos valores 1
' elasticos para dar o momento fletor total. Assim, as condi-
9oes neoess~rias e suEicientes para que ocorra a adapta9ão
sao
>.M~x + m. ,i 1 1
(11,34,a)
>.M~in + m. ;;, 1 1
(11.34.b)
' e, para prevenir um possivel perigo de plasticidade alterna-
' ' da, e suficiente e neoessario estabelecer
>.( l'l~in ) 1
~ 21'1 y (11,34.c)
O Teorema da Adapta9ão diz que qualqu.,r conjunta
d., momentos residuais m. 1
' sat is Fazenda as inequaçaes
(11,34.a,b) para um Fator~. ocasionar~ a adaptação da estru-
' ' tura as cargas solicitantes nesse Fator d., carga, isto.,, as
h
inequa9oe$ {V.34.a,b) oantralam o renameno do oolap5o inore-
m .. nta l,
110
A desigualdade (V.34.c) ' nao e, normalmente 1 de im-
" ' portanoia critica em projetos de lajes ou estruturas reticu-
ladas, apesar disto nio ser necessariamente verdadeiro para
problemas que envolvam sistemas de tensões mais gerais. Por
' - ' exemplo, o projeto plastioo de vasos de pressao e governado
por plasticidade alternada porque fatores de oonoentra9;0 de
tensões de ordem 3 nio s;o muito incomuns, assim, com um ta-
tor de oolapso de~. por exemplo, o primeiro escoamento pode
ocorrer muito antes que os valores de servi90 das cargas se-
jam aplicados. Para estruturas reticuladas usuais, projeta-
' das para um E'ator de oarga de 1. 5 ou ~. entretanto I nao e
' ' provavel que o escoamento va ocorrer para um valor do fator
' de oarga menor que!, a menos de acidentes devidos a insta-
la9io de apoios ou outras imperfei9Ões.
' carga desse tipo de estrutura nao causara escoamento na di-
re9ao oposta, contudo isso pode ocorrer num vaso de pressão.
Para estabelecer o teorema considere-se uma peque-
na mudança nos valores das cargas aplicadas. Se os momentos
A
residuais em qualquer seçao tem valor m. num dado 1
instante,
entio a variaçio das cargas aplicadas pode causar algum es-
coamento, alterando o valar do momento re-s idual para
1>m .• 1
Durante esse processo, a mudança de curvatura
' '
m. 1
6ffl. 1
EI
..
em cada parte da estrutura que permanece elastica sera com-
patível com quaisquer rotações l>'f'k que possam ocorrer nas
' seçoes em escoamento k. Assim, desde que mi e, ele mesmo,
um conjunto de momentos Eletores em equilibrio sob a açio de
cargas externas nulas, a equaçao do trabalho virtual fornece
m. 1
t>m. 1
EI
111
(V.35.a)
onde a integração estende-se sobre todas as partes da estru-
' tura que permanecem em regi me elast ico durante as pequenas
' mudanças do carregamento aplicado e o somatorio inclui todas
as rotações das linhas de ruptura que ocorrem.
' Um conJunto de momentos residuais satisfazendo as
inequações (V.34.b) ser~ indicado por m .• 1
Uma segunda apli-
- -caçao da equaçao do trabalho virtual fornece
EI
- ' Combinando-se as equaçoes (V.35.a,b) obtem-se
m. - iii. ) 1 1
5m. 1
EI
(V.35.b)
(V.35.c)
Suponha-se que numa seçao particular~ onde o es-
caamanto tanha ocorrido, e ualor atual da ff1ic ~aja tal qua
(V.36)
A desigualdada (V.34.a) fornaca
(11.37.a)
' isto e,
112
onde em (V.3?.b) a possibilidade de igualdade nao mais exis-
' te. A5sim, desde que, por hipotese, o e5ooamento e-stej·a
ocorrendo na seç,ao, o momento de plastifioaç,ão e o valor
correspondente da rotação na linha de ruptura t;m de ser ne
gativos.
(V.39)
De maneira an~loga, fazendo-se a hip~tese de
conclui-se que 69'k > O. t!ntão não se
tem intormaç,ão alguma para o sinal de õ9'k; mas em todos os
casos,
Portanto, da equaç,ao (V.35.o),
m. - iii. ) 1 1
om. --
1-dS ,i; O
EI
agora, sendo a quantidade
( m. - iii. ) 2
1 1 dS 2EI
(V.39)
(V.40)
(V.41)
positiva-definida, como o carregamento muda, a desigualdade
· 113
(V.40) estabelece que 6U { O. Assim, o valor de U diminui
- ' se qualquer deformaçao plastioa estiver ocorrendo e permane-
' ce constante em caso contrario. O valor de U deve fiKar-se
num valor positivo-definido ou ser nulo quando m. - iii. i i
em
toda a estrutura. Em qualquer dos casos, os valores de m. i
tornam-se constantes e, conseqüentemente, a adaptação da es-
trutura ocorre.
A partir desse esboço de prova do Teorema da Adap
tação ser~ evidente que a presença de um conjunto inicial de
' tera qualquer efeito no comportamento
' final da estrutura, eKatamente como no caso do colapso esta-
' tico. Uma estrutura que e inicialmente imperfeita ou que
sofre subseqüentes - ' acomoda9oes estara sujeita a um conjunto
de momentos residuais que podem bem causar a forma9âo de li
nhas de ruptura numa ordem diferente daquela prevista pela
teoria simples1 entretanto, uma configuração inicial de mo-
' mentas residuais sera '"eliminada .. pelo e9ooamento posterior
e o fator limite de adaptação~ a
' ' tera um valor unioo.
É interessante anotar que os teoremas-limite para
cargas proporcionais sao um caso muito particular do Teorema
da Adaptação da Estrutura quando os limites prescritos para
todas as cargas coincidem.
v.2.2 -
114
Formulação
Pode-se colocar o problema do sequinte modo:
Por que fator À deve-se multiplicar os limites de a
variaçao das cargas de maneira a produzir um co-
lapso incremental?
A resposta a essa questão j~ foi dada pelo Teorema
da Adaptação da Estrutura, que diz que a estrutura adaptar
se-~ a uma dada variação de cargas se um conjunto de esFor-
ços
que
internos auto-equilibrados puder ser encontrado de Forma
a ~strutura r~sista is cargas de maneira puramente el~s-
tioa.
(V.OI.a) ' esta claro que qualquer con-
junto de esforços internos que satisfaça a
H M = O (V.42)
' sera auto-equilibrado. Analisando-se elasticamente a estru-
- ' ' tura sob a a9ao das varias cargas aplicadas atraves da equa-
' çao (IV.32), pode-se obter os valores dos momentos maximos e
' minimos em cada linha de ruptura, respectivamente, e
Havendo um estado de tensão inicial não-nulo Mos mo
lll!!ntos m~ximos e mÍnimos serao, respectivamente, nmax + n e
A estrutura, então, ' ' adaptar-se-a as cargas apli-
oadas se for enoontrado ~satisfazendo~ equa9ão (V.42), tal
que
(V.43.a)
11S
(Y.43.b)
' ' Em 5e tratando de uma anali5e ela5tica 1 multipli-
' car cada carga por~ equivale a multiplicar 05 valore5 maKi-
' ' mo e mínimo do5 momento5 pelo me5mo fator; a55im 1 o calculo
do fator limite leva ao problema
l'faKimizar >.
submetido a
H M • O (Y.44.a)
(Y.44.b)
(Y.44.o)
• que pode 5er pa5ta na forma matricial da Programa9ãa Linear•
Maximizar
A = { l ~ } { : } (Y.4S.a)
submetido a
_; l 1; l: 1 :;, l -r
(Y.4S.b)
' ' -que e muito similar a eKpressao (Y.02).
116
Como antes, pode-se escrever as expressoes (11.45)
' não-negativas 1 ' isto e, considerando-se todas as variaveis
utilizando-se as expressões (11.03), obtendo-se a equação na
forma padrão,
Maximizar
! >,.
l li = { 1 o o } M+ (V.46.a)
M
submetido a
I -I - - ! :: l : ! ::: l -H H - --I I - -
(V.46.b)
V.2.3 - !'!~todo de Solução: o Algoritmo Simplex
Uma das caracteristicas principais do algoritmo de
' ' Livesley ja descrito e fazer o incremento do fator de colap-
' - ' so atraves da equaçao de equi 1 ibr io (V. 01. a). No problema
desenvolvido para a adaptação da estrutura, o fator do limi
te de adaptação aparece nas condições de restrição e nao na
- ' equaçao de equilíbrio, visto tratar-se de esforços internos
auto-equilibrados, ou seja, sao nulas as forças externas
' aplicadas. Dessa forma, considera-se que talvez seja possi-
ve 1 modificar-se o algoritmo de Livesley para ' utiliza-lo
' tambem nesse tipo de problema; contudo, no presente trabalho
' optou-se por um algoritmo ja bem conhecido: o Rlqoritmo
Simplex.
117
o conjunto de soluções ,
viaveis de um Como se sabe,
problema de Programação ,
Linear e convexa, ,
isto e, toda in-
terpola9ão linear de qualquer par de pontos do conjunto tam-, ,
bem pertencera ao conjunto. Se o problema admitir sol u9ão
' , ' otima 1 esta sera atingida para, pelo menos, um vertice do
' ,
oonjunto de viaveis de!lse problema1 oada vertioe
I ,v I I
nada mais e do que uma soluçao basica possível. Ora, admi-
tindo-se, claro, que o problema tenha solu9ão, se entre as
' , basicas viaveis se encontra uma que ' ,
e otima, nada
mais ' logico do que procurar a , otima gerando-se as
prime iras.
' ' Partindo de uma basica viavel inicial, D
, Simplex nada mais e do que um algoritmo capaz de gerar solu-
- I I I 9ae5 basioas viaveis cada vez melhore!I ate chegar a uma que
- I - I nao pode mais ser melhorada1 e a solu9ao otima.
' Os principais passos seguidos pelo algoritmo ja
foram descritos quando da apresentação do algoritmo de
' Livesley, pois como foi dito este ultimo baseia-se nas mes-
' mas ideias fundamentais do algoritmo Simplex. A grande res-
trição que se faz a esse algoritmo ' e que, sendo ' um metodo
para resolver qualquer problema de Programação Linear, ganha
generalidade, mas perde no que diz respeito a exigir a apre
sentação do problema numa forma padrão, somente trabalhando
' -com variaveis nao-negativas, o que acarreta um aumento con-,
sideravel na quantidade de armazenamento e tempo de preces-
' sarnento necessarios. Maiores informações a respeito desse
algoritmo podem ser obtida.s em [20].
118
I
CAPITULO VI
I I -A AHALISE ELASTO-PLASTICA CORO OPÇAO
VI.1 - Formula9ão1 os Problemas de Converg~ncia
Com a rormula9ão apresentada ' ' e possivel ainda ob-
' ' ter o colapso via analise elasto-plast ica uma vez que sao
conhecidas as expressoes da matriz de rigidez (IV,16,d), das
' leis constitutivas (IV.15.a) e das ror9as elasticas internas
(IV,29,b)1 ' ' ma5 para e-sse tipo de analise sao neoe,ssarios
O ponto de partida para a 5olu9;;'.o do problema
' , ela5to-pla5ticc 5era a equa9ac (IV,32), Considerando-se o
' comportamento do material no caso mais geral tem-se uma ana-
- ' ' lise naa-linear tisica que requer um metada iterativo de so-
lu9ãc. ' O metodo utilizado foi uma da" varia9;es do ' l'letodo
' de Hewton-Raph5cn 1 denonimado ttetodo Seoante de lfe01ton-
Raphson ttoditioado (ttSB}, descrito em (21,22], ' Nesse metodo
' equilibra-se as ror9as eKternas oom as tor9as elastioas in-
terna" ao final de cada itera9ão, acrescentando-se cada in-
' cremento de deslocamento calculado ao deslocamento total ja
' existente ate que a estrutura chegue ao colapso. a determi-
na9ão desse ponto ' ' e sempre problematica pelo rate da matriz
de rigidez tangente aproximar-se da singularidade quando o
problema se aproxima do colapso. Isso provoca ditiouldades
' numerioas, mesmo quando se usa um controle de deslocamentos,
119
porqut!! impt!!dt!! qut!! a carga dt!! cclap,oo rt!!al !Ot!!ja obtida. Uma
, prifflt!!ira tt!!ntativa no !Ot!!ntido dt!! achar um critt!!rio dt!! con-
" , , Vt!!rgt!!ncia confiavt!!l "'com pouca in,otabilidade esta descrita
per 11AZ[23].
Por analogia cem a curva de,olccamento versus força
para um ,oi,ott!!ma conservativo dt!! um grau dt!! liberdadt!! aprt!!
sentada na figura (111.01), o incrt!!mt!!nto dt!! t!!nt!!rgia dt!! dt!!for-
maç;o total na itt!!ra9;0 ,
k !Ot!!ra dado
figura, ou 5eja,
1 = -2-
, pt!!la art!!a hachurada da
u - u -k -k-1 ] (11I.01.a)
onde Ek e ~k representam, respectivamente, as forças el~sti
cas internas e os deslocamentos nodais na iteração k. O
trabalhe potencial das forças externas nessa iteração~
(11I.01.b)
Dessa forma, a energia de deformação total na iteração k e
dada pela soma dos incrementas at~ a referida etapa,. isto ~.
k
j=l (11I.01.c)
a energia potencial total para um sistema conser-
vativo pode s·er dada por •·
n = u + wr (111.02)
f
___ ?Ol..U_l:-Ão _ _ _ _ _ ______ _ ------------------ ---
M.k-1 ~
---...1 ~A·:~
Figura VI . 01 - Curva Deslocamento versus Forca para 1 grau de liberdade
N o
121
' Para materiai5 de comportamento perfeitamente ductil 1 a ex-
pre5s;o (YI.02) pode ser colocada na forma gr~fica da figura
(YI.02). ' ' O Principio da Energia Potencial Total ftinima es-
' tabelece que dentre tcdo5 º" campos de deslccamentc po55i-
veis (~), existe um, ' -correspondente a configura9ac de equi-
' librio de 5i5tema ccn5ervativo 1 que torna e""ª energia po-
' ' -tencial um minimc1 e o ponto (nmin'Üeq) da figura (YI.02) 1
= ' onde u = llull. Calculando-se esse ponto de equilibrio para
cada f variàndo de zero a um valor limite (f) para o com--r
' ' ' portamente elasto-plastico do material, obtem-se o grafico
da figura (YI.03) 1 ' anal ego ao da figura (YI.02). Quando
ooorre o colap5o todo incremento do trabalho potencial da5
' carga" externa" "e tran5forma em trabalho interno plastico,
n;o havendo incremento da energia potencial total; ne55e ca-
Assim,
dn
dÜ = o
, , , , li e maximo der= o e e minimo der= r .
-r
A
(YI.03)
O crit.irio de convergencia inicialmente adotado
seria baseado nestas conclusões. Calculando-se !!. para cada
itera9io, o colapso seria atingido quando
e
6n
6Ü < TOL
> o
(VI.011.a)
(YI.011.b)
122
u
Fi~raVl.02_ Energia Potencial Total versus Norma dos Deslocamentos
a .o ~
F9JraVI. 03_Condição de Equilíbrio para cada Valor da Força Aplicado
123
' " " onde TOL e um parametro de toleranoia especificado. Contu-
' do 1 apesar de parecer simples, mesmo depois de varias tenta-
tivas não foi possivel estabelecer um valor de TOL que tosse
' completamente independente das características particulares
do problema analisado. Em pesquisas posteriores utilizou-se
' ' outro ariterio; considerando-se na rase plastica uma pequena
rigidez tangente de maneira a permitir que a estrutura con
tinuasse a se deformar, o oolapso seria atingido quando
> TOL (VI.OS.a)
' A onde agora TOL e um parametro independente do problema em
questão. Entretanto, a consideração dessa rigidez tangente
' ' fictícia na fase plastica por vezes levava a uma carga de
' colapso maior do que a obtida pela analise limite via Pro-
gramação Linear pelo fato de permitir-se que a estrutura pu
desse ter uma rigidez maior do que na realidade teria. O
' criterio realmente adotado foi o que pareceu mais intuitivo:
sempre que a estrutura ultrapassa a carga de colapso, fato
esse detectado quando ' " ha d i vergencia no ' 11etodo de Newton-
' ' Raphson l1odificado, o incremento de carga e diminuído numa
.. " sequencia tal que, quando a diferença entre as cargas obti-
das em duas iterações convergentes sucessivas estiver abaiKo
A
de determinada tolerancia especificada considera-se que o
' colapso foi atingido. Esse criterio apresenta bons resulta-
dos e uma precisão bastante boa.
124
VI.2 - O Mecani5mo de Colap5o
, , O grande problema desse tipo de analise e a pos5i-
, bilidade de varia5 charneiras se pla5tificarem na configura-
9ao de colap5o sem que toda5 Ea9am realmente parte do meca-, , ,
ni51DD de ruina. A maneira de diferencia-la5 e ba5tante tra-
balhosa em termos computacionais e baseia-se na considera9ão
da estabilização das rota9Ões.
, ' Apo5 alguma5 anali5es, ob5ervou-5e que ao atingir
o valor de plastifica9ão m~ximo algumas charneiras tinham a
sua rota9ão estacionada, ou 5eja, o seu valor não mudava de
maneira significativa, enquanto outras continuavam com aro-
ta9ão cre5cente. Fazendo-se um gr~fico carga versus rotação
na charneira, pode-se representar esse5 dois tipos como nas
figura5 (VI.04.a,b). A5 charneira5 que se e5tabilizam (ina-
tivas) nao farão parte da conf igura9ão de colap5o; 5omente
as que continuam a detormar-se (ativa5) constituiria o meoa-,
nismo final de ruptura, conforme intuitivamente e de se es-
' ' perar considerando-se apropria ideia do proce55o de pla5ti-
ficação.
Todo esse procedimento, entretanto, apesar da sim-
, ' plioidade, e bastante difioil de se implementar de uma forma
' A automatizada1 por eaemplo 1 qual sera a toleranoia especifi-
cada para considerar que as rotaçÕe5 se estabilizaram? Nos
A
estudos realizados, notou-se que essa tolerancia pode variar
muito de problema para problema.
125
l<...._ ___________________ p
( a ) Charneiras Inativas: estabilizados
p
( b ) Charneiras Ativas : deformando-se
Figura Vl.04- Esquema da Estabilização das Rotações
126
a conclusão de tudo , ,
isso e que a analise elasto-
, , -plast ica aparece como uma op9ao passive! para obten9ao de
cargas de colapso, contudo, levando-se em conta os problemas
- , que aparecem, considera-se a sua utiliza9ao na analise limi-,
te somente quando se deseja conhecer a historia das deforma-
- , 9oes ate o colapso.
VI.3 - Condensa9ão ,
Cinematioa, ,
Numero Total de
Graus de Liberdade
, Conforme ja foi dito anteriormente, algumas char-
neiras se estabilizam enquanto outras continuam no processo
de deformação progressiva. ,
Ja que aquelas que se estabili-
zam nao farão parte da configuração de colapso, seria bom ,
que pudessem ser eliminadas da analise, reduzindo-se, assim, ,
o numero total de elementos e o numero total de graus de li-
berdade.
Seja a equa9ao (IV.30). ,
Num dado instante da ana-
lise tem-se i charneiras estabilizadas, ,
isto e, inativas.
Escolhe-se, ent;o, i valores de deslocaffll!ntos (~) entre os r
valores relacionados com as rotaç~es das charneiras inativas
e rearranja-se a equa9ao (IV.30)1
1 !: ] · [ T
H~ o H .. -11 -1v
T H'. H'. H ..
-Jl -JV -JW
(VI.06)
12?
ond,.
V • r - Í
w - g - i
j 11: e - i
~- r,.pr,.s,.nta as i oharn,.iras .. stabilizadas. -J.
Pode-se considerar qu,. as charn,.iras estabilizadas
' ' -formam pain,.is rígidos tomando-s,. ~- ~ O; assim, -1 -
' Com a ,.qua9ao (VI.O?) pod,.-s,. tamb,.m escr,.ver
ond,.
u • B u. -e -J
l u. - J.
u = u -e -v
u -w
J -B = I
o -
l u -v u. = -J u -w
1
o
l -o
I -
l
(VI.O?)
(VI.OS.a)
(VI.08.b)
(VI.08.c)
(VI.OS.d)
128
' Aplicando-se c Principio dos Trabalhos Virtuais,
T T u E=u.E. -e -J -J
Levando-se a equa9ao (VI.OS.a) na equa9ao acima,
T u. -J
T ª u. r.
-J -J
Para que a igualdade sempre se verifique,
(VI.09.a)
(VI.09.b)
(VI.09.c)
As equa9oes (VI.OS.a) e (VI.09.o) representam o
' h Principio da Contra-gradiencia. Seja agora a equa9ao
(IV.32) tamb~m rearranjada oonEorme (VI.06)1
E _., u _,. (VI. 10)
Pr~-multiplicando-se (VI.10.a) por BT e levando-se em conta
as rela9Ões
E. -J
onde
(VI.09.c) e (VI.OS.a),
T • K. u.
-J -J
B
tem-se
(VI.11.a)
(VI.11.b)
' Com isso, Eoi visto ser realmente possivel uma
- ' ' oondensa9aa ainematioa no desenvolver da analise. A grande
, , - -vantagem desta teonica esta na redu9ao ·gradativa da dimensao
129
' do problema e, oonseqÜentemente 1 tambem do tempo de preces-
sarnento total para a solu9ão; restando, ao final, somente as
' charneiras plastioas que fazem parte do mecanismo de colap-
so, ou sejam, as charneiras realmente rompidas,
' Note-se que para o sucesso dessa tecnica de con-
' e neoessario que a5 charneiras que se estabilizam
' sejam detectadas corretamente; caso contrario, poder-se-ia
eliminar charneiras que fariam parte da configura9ão de co-
lapso, modificando-se assim a solu9ão real final, Veja-se
aqui, novamente, o import;ncia da especifica9ão precisa de
uma tolerincia para a sele9;0 de charneiras estabilizadas,
130
I
CAPITULO VII
A IIIPLEIIEHTAÇÃO COIIPUTACIOHAL DO IIODELO
Tendo em vista a veriEioa9ão de toda a Eormula9ão
apresentada, elaborou-se um procedimento computacional para
I
o modelo proposto. O programa esta oodiEioado em linguagem
de programa9ão PASCAL por esta apresentar-se como a melhor
opçao em termos de portabilidade, legibilidade, facilidade
de programação, documentação, estruturação e manutenção. Na
versão atual, A I I I
tres tipos de analise estatica sao passiveis:
I
• Analise Limite Via Programação Linear
( Algoritmo de Livesley )1
• An~lise de Adapta9ão Estrutural Via Programa9ão
Linear ( M~todo Simplex )1
I I I
• Analise Elasto-plastica Via Metodo Incremental
Iterativo ( M~todo de Newton-Raphson Modificado).
Existe todo um sistema para detec9ão e aviso de
I
passiveis erros, tanto na geraçao de dados quanto na obten-
9ão de resultados.
131
A
Basicamente pode-se dividir o programa em tres
' ' blocos principais: o PRE-PROCESSADOR, o PROCESSADOR e o POS-
' ' PROCESSADOR, descritos nos proKimos itens, Alguns dos algo-
' ritmos e procedimentos utilizados encontram-se tambem des-
A
oritos no Apendioe C,
' VII.1 - O PRE-PROCESSADOR
' ' E o responsavel pela entrada e gera9ao de todos os
' ' dados necessarios ao tipo de analise pretendido: ao sair-se
' ' ' do PRE-PROCESSADOR, todos os dados necessarios para analise
' prontos e disponíveis, desde que nio tenha havido al-
gum erro grave nos comandos de entrada de dados.
Constitui-se de um interpretador em linguagem cri-
' entada, de modo a facilitar o contacto entre o usuario e o
' ' programa, e de varias geradores de malhas, nas, elementos,
materiais, grupos de materiais e curvas moffll!nto versus cur-
' ' vatura. Assim, entre outras coisas, e possível:
• Gerar malhas quadrangulares sendo dados os qua-
I I I -
tro nos dos vertices e o numero de divisoes dos
lados;
' • Gerar ma lhas circulares sendo dados o no cen-
' tral, o primeiro no da malha propriamente dita, o
A ' ' angulo entre os raios do primeiro e do ultimo no e
o n~mero de divisÕes desse ;ngulo;
132
• ,
Gerar nos sobre uma reta eqÜidistantemente sen-
, , ' do dados o no inicial, o no final e os numeres dos.
, nos que devem ser gerados;
• Obter o n~ da intersecção entre duas retas de-,
finidas por dois nos incidentes cada;
A
• Gerar incidencias ,sendo dados o tipo de inci-
A
denoia ( zig-zag ou leque )1
• Fazer a consideraçio de simetrias sendo dados
apenas os eixos de simetria~ e/ou!;
• Gerar a curva momento versus curvatura sendo
, dadas as caracteristicas do aço e do concreto e as
armaduras com as dire9Ões e os reoohri~ntos res-
pectivos;
, • Gerar todos as eleffll!ntos-oharneira passiveis
sendo dados tr;s n~s não-cal ineares. O programa , A
se encarrega de verificar a pre-existencia de
charneiras e faz as alterações que se mostrarem
, A
necessarias nas incidencias;
• Calcular coordenadas de ,
um no em funçio de ou-,
tro ja definido;
, • Planter ou alterar dados para uma analise poste-
, A
rior sem que seja neoessario torneoe-los novamen-
te;
133
• Gerar e especificar grupos de charneiras.
• Controlar a impressao seletiva de dados e re
sultados;
• Comandar a depura9ão discriminada da an~lise em
processo;
A A • Espeficicar tolerancias de convergencia;
• Checar dados e carregamentos sem que seja efe-
' tuada a analise, contando, inclusive, com a plota-
gem da malha fornecida ou criada com a diferencia-
9ao entre elementos completos e degenerados;
• A partir das restri9Ões nodais, determinar au-
tomatioa e rapidamente os elementos que estão ati
vos, os que fazem parte do contorno ou estio sobre
eiHos de sifflt!tria.
9II.2 - O PROCESSADOR
' Representa o cora9ao do programa, isto e, nele
' ' processa-se toda a analise numerica do problema. Constitui-
se de um interpretador de cargas, de um analisador elasto-
' plastioo e de um analisador limite.
134
O interpretador de oargas considera a entrada das
' cargas aplicadas, tambem em linguagem orientada; podem ser
especificadas forç,as nodais, forç,as concentradas e forç,as
' ' ' uniformemente distribuídas na superf ioie, alem de momentos
' . -fletores conforme descritos no item referente a deduç,ao das
' forç,as nodais equivalentes. Os analisadores, elasto-plasti-
' ' ' oo e limite, processam as analises elastioa ou elasto-plas-
tioa e a an~lise limite via Programaç,ão Linear, respectiva-
mente. Os algoritmos utilizados sao os apresentados neste
trabalho, obviamente. são geradas informaç,Íies quanto aos
• deslocamentos nodais, as rotaç,Íies e aos momentos nas ohar-
' ' neiras; para o caso de analise elasto-plastioa tem-se ainda
' VII.3 - O POS-PROCESSADOR
' ' ' Opera a saída grafioa da analise. Para cada oar-
regamente, pode ser pedida a plotagem da oonfiguraç,ão inici
al, ou seja, da malha propriamente dita, da oonfiguraç,ão fi-
' ' nal e, no caso da analise elasto-plastioa, das ourva5 nor-
ma-<fo9_c:feslocamentos ver5us energia_potencial_total e nor-
ma_dos....deslocamentos versus norma....das_forç,as--externas. As
- , , -opç,oes de saída grafioa permitem a impressao em qualquer ta-
manho e ingulo de projeç,ão, ou sejam, perspectivas e/ou vis
tas, inclusive legendas com texto explicativo.
As figuras (VII.01,02,03} mostram o aspecto de
A ' tres analises pedidas ao programa. A figura (VII.04} mostra
um esquema simplificado do tipo .. Railroad Diagram" com todas
' as opç,oes disponivei!5 na versao atual do programa.
135
$IDENTIFICACA0 #1 FIGURA VIII.01.A l'IALHA A #2 LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA NOS 4 LADOS $DEPURACA0 $ANALISE LIMITE CARGAS PROPORCIONAIS tGEOMETRIA -
NO 1 X 0.0 Y 0.0 FIXO N 2 X 1.0 Y 0.0 F NO 3 X 0.5 Y 0.5 LIVR NO 4 X 0.0 Y 1.0 FIX N 5 X 1.0 Y 1.0 FI TRIANGULO 1 2 3 G 1 T 2 5 3 G 1 TRIANG 3 5 4 G 1 TRI 4 1 3 G 1
$TOPOLOGIA MATERIAL 1 FATOR
Aco 1.0
FYK 500000.0 / 1.15 TIPO A E 210000000.0 ALONGAMENTO 0.0100 ENCURTAMENTO -0.0035
CONCRETO FCK 15000.0 / 1.40 E 21000000.0 ALONGAMENTO 0.0 ENCURTAMENTO -0.0035
GRUPO 1 MATERIAL 1 ESPESSURA 0.11 DIRECAO 1 ANG 90.0 INF as 0.001 R 0.01
SUP as 0.001 R 0.01 DIRECAO 2 ANG 0.0 INF as 0.001 R 0.01
SUP as 0.001 R 0.01 $HISTORICO FINAL 300.0 INCREM 50.0 $FUNCOES FUNCAO 1 T 0.0 FT 0.0 T 1.0E+4 FT 1.0E+4 $CARREGAMENTO # 1 FORCA CONCENTRADA CENTRAL # 2 FATOR DE COLAPSO: TEORICO = 305.19 NUMERICO = IMPRESSAO TOTAL FORCA CONCENTRADA 1.0 VARIACAO 1 NO 3 $PLOTAR CONFIG FINAL GRAFIC FORCA-EXTERNA GRAFIC
ENERGIA-POTENCIAL $FIM
Figura VII.O! - EKemplo 1 de Arquivo de Dados
136
$IDEHTIFICACAO #1 FIGURA VIII.06.D HALHA A ( 10 X 10 ) #2 LAJE QUADRADA APOIADA NUH LADO E EH 1 COLUNA $ANALISE LIMITE CARGAS PROPORCIONAIS $GEOMETRIA -
MALHA RETANGULAR NO 1 X 0.0 Y 0.0 COLUNA NO 2 X 12.0 Y 0.0 NO 4 X 12.0 Y 12.0 NO 3 X 0.0 Y 12.0
RET 1 2 LIVRE DIVISOES 10 RE 2 4 LIVR R 3 4 FIX RETA 3 1 LI D 10 INC 2 PRIMEIRO 1 GRUPO 1
$TOPOLOGIA GRUPO 1 MATERIAL 0 ESPESSURA 0.11
DIRECAO 1 ANG 9·0.0 INF AS 0.001 R 0.01 SUP AS 0.001 R 0.01
DIRECAO 2 ANG 0.0 INF AS 0.001 R 0.01 SUP AS 0.001 R 0.01
$HISTORICO FINAL 100.0 INCREM 10.0 $FUNCOES FUNCAO 1 T 0.0 FT 0.0 T 1.0E+4 FT 1.0E+4 $CARREGAMENTO # 1 FORCA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NA SUPERFICIE # 2 FATOR DE COLAPSO, TEORICO = 1.3? NUHERICO = FORCA SUPERFICIE 1.00 VARIACAO 1 T 0 0 0 $PLOTAR CONFIO FINAL GRAFIC FORCA-EXTERNA GRAFIC
ENERGIA-POTENCIAL $FIM
Figura VII.02 - Exemplo 2 de Arquivo de Dados
137
$IDEHTIFICACA0 #1 FIGURA VIII.09.A l'IALHA A #2 LAJE CIRCULAR APOIADA EH 8 COLUNAS $ANALISE LIMITE CQRGQS PROPORCIONAIS $GEOMETRIA -
SIMETRIA NOS EIXOS X Y - -NO 1 X 0.0 Y 0.0 LIVRE NO 2 X 4.0 Y 0.0 COLUNA NO 5 X 5.0 Y 0.0 LIVRE MQLHQ CIRCULAR CENTRO 1 INICIO 2 QNGULO 90.0 DIVISOES 2
SOMENTE NOS GRUPO 1 MALHA CIRCULAR CENTRO 1 INICIO 5 QNGULO 90.0 DIVISOES 4
SOMENTE NOS GRUPO 1 NO 10 INTERSECAO 3 5 COM 2 7 LIVRE NO 11 INTERSECQO 3 9 COM 4 7 LIVRE INCIDENCIA GRUPO 1 LEQUE 1 2 10 3 11 4 IHCIDENCIQ GRUPO 1 LEQUE 11 4 9 8 7 3 INCIDENCIQ GRUPO 1 LEQUE 10 3 7 6 5 2
$TOPOLOGIA GRUPO 1 MATERIAL 0 ESPESSURA 0.11
DIRECQO 1 QNG 90.0 INF as 0.001 R 0.01 SUP as 0.001 R 0.01
DIRECQO 2 QNG 0.0 INF as 0.001 R 0.01 SUP AS 0.001 R 0.01
$HISTORICO FINAL 100.0 INCREM 10.0 $FUNCOES FUNCAO 1 T 0.0 FT 0.0 T 1.0E+4 FT 1.0E+4 $CARREGAMENTO # 1 FORCA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NQ SUPERFICIE # 2 FATOR DE COLAPSO: TEORICO = 19.78 NUMERICO = FORCA SUPERFICIE 1.00 VARIACAO 1 T 0 0 0 $PLOTAR CONFIG FINAL GRQFIC FORCA-EXTERNA GRAFIC
ENERGIA-POTENCIAL $FIM
Figura VII.03 - Exemplo 3 de Arquivo de Dados
138
(T01) TEXTO COM 70 CARACTERES
0 ( < I01>
0 ( < I02) <= NMAXNOS
0 ( < I03> <= NMAXGRP
0 ( < I04)
0 =< (I05) <= NMAXMAT
0 ( (106) <= NMAXFUN
<R01> : NUMERO REAL QUALQUER
0.0 < <R02)
OPCOES DO INTERPRETADOR:
1(--(-5)----------+ 1 1
$1DENTIFICACAO --- # (I01> (T01> --------------------------1
1(---------------------------------------------+ 1
$ANALISE ESTATICA <LINEARIDADE> -------------------1 1 1 1- DINAMICA --- (LINEARIDADE> --- <ALGORITMO> -1 1 1 1- LIMITE CARGAS PROPORCIONAIS ------------1 1 1 1 1- SHAKEDOWN --- <LINEARIDADE> -----1 1 1 1- CHECAR DADOS -------------------------------1
<LINEARIDADE>
LINEAR -----------------------------------------------1 1 1 1- NAO LINEAR FISICA -----1
<ALGORITMO>
ALGORITMO
1 1 - GEOMETRICA - 1
NEWMRRK ------------------------------------1 1
1- DIFERENCA CENTRAL -1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN
$GEOIIETRIA
<NO>
139
1(-----------------------+ 1 1
<NO> <RESTRICAO> ---------------------------1 1 1 1- NO <I02) <RESTRICAO> -1 1 1 1- <CHARNEIRA> ----------1 1 1 1- <TRIANGULO> ----------1 1 1 1- <NOS SOBRE RETA> -----1 1 1 1- <INCIDENCIAS> --------1 1 1 1- <EIXOS DE SIMETRIA> --1 1 1 -1 li 1-
1
<MALHA> --------------1 1
ESPELHAR -------------1 1
OK -------------------1
1(---------------+ 1 1
NO {102> X {801> ------------------------------------1 1 1 1- Y (801) ______ ,
1 1 1- = <I02) ------1 1 1 1- <INTERSECAO> -1
<RESTRICAO>
LIVRE ------------------------------------------------1 1
1- APOIO ---1 1 1 1- COLUNA --1 1 1 1- ENGASTE -1
<IHTERSECAO>
IHTERSECAO (102> (102) COM (102) {102) -------------------1
<TRIANOULO>
TRIAHOULO <102) (102) (102> ------------------------------1 1 1 1- GRUPO <I03> -1
Figura Vll.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
140
(CHARNEIRA)
CHARNEIRA (I02) --------------- {102) --------------------1 1 1- + (104) -1
1 1- - (104) -1
1 1 1- + {104) -1 1 1 1- - (104} -1
--------------- GRUPO (103) --------------------1 1
1- * {104) -1
<INCIDENCIAS) l<--(+3)--+ 1 1
INCIDENCIA --- GRUPO (103) ZIGZAG ----- <102) --------1 1 1 1- LEQUE --1
<MALHA>
1(---------------~ 1 1
HALHA (RETANGULAR> -----------------------------------1 1 1 1- <CIRCULAR> ---1
<RETANGULAR>
1(----------------------------+ 1 1
l<--(=4)--+ 1 1 1 1 1
RETANGULAR----- <NO> ------------------------------------1
<LADO)
1 1 l<--(=4)--+ 1
1 1 1 1 1--- <LADO> ------------------1 1 1 1- <DIAGONAIS> ---------------1 1 1 1- GRUPO {103) ---------------!
1 1- SOMENTE NOS-----------!
1 1 1- INCIDENCIAS -1
RETA (102) (102) <RESTRICAO> -----------------------------1 1 1 1- DIVISOES <104> --1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
141
<DIAGONAIS)
INCIDENCIA DAS DIAGONAIS <I04) ---------------------------1 1 1 <----+ 1 1 1 1 1 1- FIKA EH K ---1
1 1 1- Y -1
<CIRCULAR>
1(--------------------------1 1 1
CIRCULAR CENTRO <102) --------------------------------1 1
- INICIO (I02) ------------1 1
- ANGULO K <R01) ----------1 1
- ARCTG (R01) -------------1 1 1 1- / < R01 > - 1
1 - DIVISOES (I04) ----------1
1 - SOMENTE NOS ---------1
1 1 1- INCIDENCIAS -1
1
1- GRUPO <I03> -------------1
<NOS SOBRE RETA> 1(--(-50)-+ 1 1
RETA <I02) (I02) NOS --- (I02) ---------------------------1
<EIKOS DE SIMETRIA>
l<--(-2)--+ 1 1
SIMETRIA NO EIXO X -----------------------------------1 1 1 1- Y -----1
1(--(-10)-----------------------+ 1 1 1 l(--(+4)-----+ 1 1 1 1 1
$FDNCOES FUNCAO <I06> T <R01) -------------------1 1 1 1- FT <R01> -1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
142
1(-------------+ 1 1
$TOPOLOGIA <MATERIAL> ---------------------------------1 1
1- <GRUPO> ----1
<MATERIAL> l(--(=2)-------+ 1 1
MATERIAL <I05> --- FATOR SEGURANCA <R02) <ACO> -------1
<ACO>
ACO
1 <-------------+ 1 1
FYK <R02) ------1 1 1 1- / <R02> ----1 l-i 1 1 1- TIPO A -1 l-i 1 1 1 1- B -!
1 (102) ----1
1 1- =
1 1 1 - < CONCRETO> - 1
E <R02) ------------------------! 1
ALONGAMENTO MAXIMO (R01) --1 1
ENCURTAMENTO l'IAXIMO (R01) -1
<CONCRETO>
CONCRETO
< GRUPO>
1(-------------+ 1 1
FCK CR02) ------1 1 1- / CR02> ----1 l-i 1 1 1 - = < 102 > - - - - 1 1 -
E <R02> -------------------1 1
ALONGAMENTO MAXIMO <R01) --1 1
ENCURTAMENTO MAXIMO CR01) -1
1(-------------------------+ l<--(=2)------+ 1 1 1 1
GRUPO < I03) MATERIAL {105> ------------- <DIRECAO> ---1 1 1 1- ESPESSURA <R02> --------1
<DIRECAO) l{--(=2)-------------------+ 1 1
DIRECAO (104) ANGULOX <R01) INFERIOR <ARMACAO> ---1 1 1- SUPERIOR -1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
143
<ARMACAO)
1(---------------------+ 1 1
ARMADURA <R02) ---------------------------------------1 1 1 1- RECOBRIMENTO <R02> -1 1 1 1- MP <R01) -----------1
$BISTORIC0
$ITERAC0ES
1(-------------------+ 1 1
INCREMENTO <R02) ---------------------------1 1 1 1- FINAL <R02) ------1
1(----------------------------------------+ 1 1
CORRECOES <I04> ----------------------------1 1 1 1- TENTATIVAS DE CONVERGENCIA <I04> ------1 1 - - 1 1 1 1- TOLERANCIA
1(-----------------------+ 1 1 1 1
FORCA RESIDUAL <R02) ---1 1
1- DESLOCAMENTO <R02) ---1 1 1 1- CARGA CRITICA <R02) --1 1 1 1- ZERO <R02) -----------1
1(------------------------+ 1 1 1 1(------------+ 1 1 1 1 1
$IIIPRESSA0 ------------- NOS ------------------------------1 1 1 1- SIM -1 - ELEMENTOS -1 1 1- NAO -1 - MATERIAIS -
- GRUPOS----
- FUNCOES ---
-DADOS-----
- CURVAS----
$Lit1PAR_IIEIIORIA -------------------------------------------1
Figura VII.04 - Entrada da Dado& do CHAPLIN (continuação)
144
$STOP -----------------------------------------------------1
l<--(-~J----------+ !(---------------+ 1 1 1 1
$CARBEGAIIEJITO --- # <I01> <T01> ----- <FORCA> ------------1 1 1
<FORCA>
1(----------------+ 1 1
1- <MOMENTO> ----1 1 1 1- <IMPRIMIR> ---1 1 1 1- NAO EXECUTAR -1 1 1 1- GRAVAR -------1
FORCA <CONCENTRADA> ----------------------------------1 1 1 1- <SUPERFICIE> --1
(CONCENTRADA>
CONCENTRADA <R01>
<CAROA NODAL>
1(-----------------------------------+ 1 1 l<--(=2)----+
1 .. PONTO DE APLICACAO X CR01>
1 1 1 1 1- Y <R01} -1 1 1- <CARGA NODAL> --------------------1 1- <CARGA EM CHARNEIRA> -------------1 1- <CARGA EM TRIANGULO> -------------
- 1
---------------------- NO <I02) --------------------------1 1 1 1- VARIACAO <I06) -1
<CARGA EM CHARNEIRA>
---------------------- CHARNEIRA {!02) CI02} -------------! 1 1 1- VARIACAO {I06> -1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
145
<CARGA EH TRIANGULO>
---------------------- TRIANGULO (I02> <I02) (I02> -------1 1 1 1- VARIACAO <I06> -1
<SUPERFICIE> 1(-----------------------+ 1 1
SUPERFICIE <R01> <CARGA EH TRIANGULO> ----------------1
<HOHENTO> 1(-----------------------+ 1 1
MOMENTO (R01> <CARGA EH CHARNEIRA> -------------------1
< IHPRIHIR>
1(-----------------------------------+ 1 1
IHPRIHIR <ETAPAS> ------------------------------------1 1 1
1 1(-----------------------+ 1 1 1 1 1 1----------- TOTAL ------------------1 1 1 1 1 1- SIH -1 1- CORRECAO -------------1 1 1 1 1 1- NAO -1 1- HISTORICO ------------1
<ESFORCOS IMPRESSOS)
1 1 1- ENERGIAS -------------1 1 1 1- RESPOSTA -------------1 1 1 1- <ESFORCOS IMPRESSOS> -1
1(---------------------+ 1 1
ESFORCOS -------------------------------------------------1 1 1 1 1 1- SIM -1 1- ATIVOS ---1 1 1 1 1 1- NAO -1 1- INATIVOS -1
1 1 1- EL -------1 1 1 1 - PL -------1 1 1 1 - RU -------1 ,,
Figura VII.04 - Entrada da Dado5 do CHAPLIN (continuação)
146
( li:T.11.PAS > 1(--------------------------+ 1 1
ANTES DA RUPTURA REGIHELASTICO --------1 1 1 1
1- DEPOIS DA RUPTURA-1 1 1- SIH 1
1 1 -1 1- ESCOANDO ------1
$PLOTAR
1- NAO 1 1 1
ROMPENDO ------1 -1 1-1 1 1- ROMPIDA -------1
1(--------------------------------------+ 1 1
MALHA -----------------------------------------1 1 1- CONFIGURACAO 1 1 1 1- GRAFICO
1
1 INICIAL ------------1
1 1 1 1- FINAL ---1 1
1 FORCAS EXTERNAS ---------1
• 1- ENERGIA POTENCIAL TOTAL -1
$DEPURAR --------------------------------------------------1
$FIM ------------------------------------------------------1
Figura VII.04 - Entrada de Dados do CHAPLIN (continuação)
147
, CAPITULO VIII
APLICAÇÕES
Foram analisados alguns das exemplos encontrados
nas diver5a5 refer;ncias cuja solução se conhece ou estima
se. Muitas observaç~es interessantes puderam ser feitas en-
' ' tre as respostas analítica e a obtida pelo modelo numerico
proposto. Hão se analisou um problema estrutural mais com-
' pleKo 1 principalmente, devido a implementação atual do pro-
' grama computacional tornar grande a quantidade de memoria
requerida e demorado o tempo de solução de problemas de
grande porte; mesmo assim, acredita-se que nenhuma particu
laridade importante deiKou de ser investigada, conforme se
' pode ver pela analise dos resultados,
" Como muitas das referencias utilizam-se de outros
sistemas de unidades que não.o adotado no Brasil (SI), para
- ' facilitar uma imediata identifioa9ao dos resultados analiti-
- , ' aos e a utiliza9ao dos valores geometrioos e topologioos das
, mesmas ~em a necessaria conversaa, optou-se por valores adi-
mensionais coerentes entre si1 evitou-se assim que o presen-
' te trabalho contivesse varias sistemas de unidades ao longo
do mesma.
148
, VIII.1 - Problemas de Colapsa Estatiaa
VIII.1.1 Exempla 11 Laje Quadrada Simplesmente Apoiada,
Carregada na Centra
A
Belerenaia1
[01], Volume I, pp 90-93, Exempla 32.a
I
Caraoteristioas1
• dimensões da laje: 1.0 X 1.0
• momentos resistentes: { :: : r
• força concentrada aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Malha Analitica Numérica
A 305.19
B 305. 19
c 305. 19 457.78
D 406.92
E 381.48
Comentá.rias:
38.1:!
-38.15
p = 1. o
Neste exempla p~de-se verificar que a modela
proposta reproduz perfeitamente a configuração de ,
colapsa analitica quando a malha permite a sua
formação, figuras (VIII.01.a,b). Entretanto, se a
malha não a pode representar, um mecanismo de rup-
149
' ' -tura aproximado e procurado atraves da Eormaçao de
' ' painei5 rigido5 1 Eigura5 (VIII.01.o,d,e}. Melho-
re5 resultados sao obtidos quando se coloca char-
' neiras nas dire9~es de provavei5 linha"' de ruptu-
' ra, o que nao parece ser muito problematico uma
' vez que a maior parte dos passiveis mecanismos de
A
colapso tem a sua Eorma mais ou menos bem conheci-
' da. Assim, o refinamento da malha e5ta muito mai5
' -ligado a dispo5i9ao do5 elemento5-oharneira do que
' a 5ua quantidade; em outra"' palavra,., ne5te exem-
plo, obteve-se o mesmo resultado tanto com 8 quan-
' to oom 56 oharneira5. E preoi5o deixar olaro que , ,
um grande numero de eleffll!ntos aproximar-se-abas-
tante bem da oonf igura9io ,
analítica de ruptura,
, - , contudo, o que se de,.eJa frisar e que isto nao e
, necessario 1 me5mo porque mecanismos de colapso
ba5tante diferente"' podem ter 5eu5 fatore"' de oo
lap5o mui to pr.;H i mo5 no 5ent ido de ap 1 ioa9io na
Engenharia.
150
X
z
FIGURA VIll-01.R MALHR A LAJE QUADRADA SlM~LES~ENTE APOIADA NOS~ LADOS
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEORICO = 305-19 NUMER!CO = 305-19
151
X
FIGURA VIII.Ql.B MALHA B LAJE QUADRADA SIMrLES~ENTE APOIADA NJS ~ LADOS
FORCA CONCENTRADA CENTRAI. FATOR OE COLAPSO: T~ORICO • 305- 19 NUMERICO • 3C5-l9
152
X
FIGURA Vlll-Dl-t MALHA C LAJE QUADRADA SIMPLES~ENTE RPOIRDR NOS I LADOS
FORCA CONCENTRADA CE,TRAt FATOR DE COLAPSO: T[QRICO = 3QS.19 NUMERICO = ij57.79
153
X
F!GwRA v111.01.o MALHg D LAJE QüADRRCR SIM~LESMENTE APO:ADR NQS ~ LADOS
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FfiTOR DE COLAPSO: TEORICC • 1~5-19 ~UMERICO • 40E.J2
15~
X
/
CJ P.PC!C
FIGURA Vl!!.O!.E MALHA E LAJE QUADRMDR SIMPLESMENTE APOIADA NOS q LADOS
FORCA CONCENTRRDR CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEOR!CO • 3C5,l9 NUMER!CO • 3~1-48
VIII.1.2
155
Exemplo 2: Laje Quadrada Simplesmente Apoiada,
Carregada UniEormemente
A
Referenoias1
' Item 12.6 [24], pp 15, pp 393-398,
[25], pp 316-319, Exemplo 7.10
' Caraot~ristiaa91
• dimensões da laje: 10.0 X 10.0
• momentos resistentes: { m = r
m' = r
' • Eorça de superfície aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Analitico
Contig 1 Contig 2 Contig 3
7.86 7. 18 7.12
Malha Numérico
A 7.86
B 7.19
e 7.13
Coment~rios:
32.73
o.oo
q = 1. o
Mostra-se aqui que a solução melhora na medi
da em que a malha se aproxima da conEiguração '"re-
1 .. a . As malhas~. B a~. Eiguras (VIII.02.a,b,c),
' tentam representar os possíveis mecanismos de co-
lapso (Configurações 1, 2 e 3) que na realidade
156
foram soluções testadas pelos estudiosos da Teoria
das Linhas de Ruptura ao longo do tempo; atualmen-, ,
te ja se sabe, atraves de estudos com tunoionais 1
que a solução correta para esse problema tem forma
semelhante ~ da Cont iguração :!_, com a di terença
que os leques circulares dispõem-se segundo um hi-
' perbole, cujo resultado fornece À s ?,00 para tar
A
tor de colapso. Contudo, nessas tres malhas tes-
' tadas, os resultados analíticos sao reproduzidos
com precisao; a pequena diferença na malha~ pode
ser explicada pelo fato de não se estar represen
tando oom perfeição o aspeoto circular da configu-
' raçac de colapso; tato este que podera ser melhor
vi5to num exemplo mais adiante. O que se deseja
' ' ressaltar e que conforme os objetives da analise,
pede-se optar por uma ou outra malha sem que haja
perda significativa de preoisao nos re5ultados.
157
X
z
f!G"RR Vl!!.02-G MALHAR 1.RJE Q~RORRDR SIMPLESMENTE RPOIROR N~S ~ LR003
FORCA UNIFORMEMENTE ClS'RIBU!DR NA SUPERF!CIE FATOR DE COLAPSO: TEOR!CO = 7.86 NêME~!CO = 7.86
i58
X
z
F!Gt,RR Vlll-02 B - MAl.HA B LAJE QUílDRRDA SIMPLESMENTE RPDlRDR NGS ~ LADOS
FORCA UNIFORMEMENTE DtSTRIBUlDR NA SUPERF!C!E fílTQR OE CQLAPSO: TEOR!CO = 7.13 NcMER!CO = 7-l9
i59
X
z
F I GURR V II [. 02. l M Ai HR LAJE QUADRADA SIMPLES~ENTE APOIADA ND5 ~ LADOS
FORCA UNIFORMEMENTE D!S•R!BU!DR NA SUPERF!C!E FATOR éE COLAPSO: TEORICO = 7.12 N"MERICO = 7.13
160
VI I I • 1 • 3 - =Ec:;x:.:e:..m=p-'lc.coc...-..cc3...c•_....ccLcca'-'J'-'. e'--"'R"'e'-t:..a=n"'g'-'u=l-"a""r_S=i-"mp....._l:..e"""""'-m:..e_n_t_e
Apoiada 1 Carregada no Centro
A
Referencia,
(01], Volume 1 1 pp 114-117, Exemplo 34.h ·
' Caraoteristicas,
• dimensões da laje, 6.0 K 10.0
• momentos resistentest
Contig m m' Limite r r
1 10.00 -30.00
2 20.00 -20.00
3 30.00 -10.00
• for9a concentrada aplicada, P = 1.0
Resultados Para o Fator de Colapso•
Anal it ico l'falha
Contig 1 Contig 2 Contig
A
B 90.68 181. 32 236.80
c
Numérica l'falha
Contig 1 Config 2 Contig
A 90.67 181.33 236.91
B 90.67 181. 33 272.00
c 114.67 229.33 262.67
3
3
161
' Comentarias•
h
Neste exemplo estudou-se um caso em que tres
oonf igura9Õl!s de colapso podiam SI! formar dl!pl!n
dl!ndo da rl!la9ão l!ntrl! os moml!ntos resistl!ntl!s ~1-
times positivos e nl!gativos. A malha !, figuras
(11III.03.a 1 b 1 c), pl!rmitiu a rl!prl!sl!nta9ão l!xata
das oonEigura9Õl!s de ruptura I
po55ivei5 para oada
' a unica pl!qUl!na diEerl!n9a na
ConEigura9ão 3 pode I
ser atribuída ao Eato de nao
I
9e repre5entar perfeitamente o caracter circular
da conE iguraçio de colapso verdade ira I ou seja 1
' auffll!ntando-se o numero de ell!ffll!ntos Eormadorl!s dos
setores circulares, o rl!sultado aproximar-se-ia
cada vez mais da conEiguraçio ' analítica exata,
I
contudo, a nl!Dl!ssidadl! pratica nao o justifica.
A malha !!, figuras (11III.03.d,e,E), ' contem
- ' apl!nas uma das configuraçoes possíveis (Configura-
' -corrl!spandl!ntl! saml!ntl! a rl!la9aa dl! idl!n-
I
tidade entre 05 momento5 re5istentes ultimas posi-
tivas I! negativas.
A malha~. figuras (11III.03 1 g 1 h 1 i), nao can-
t~m qualqul!r das conEigura9Õl!s ' dl! ruptura possi-
veis.
I
O qul! si! pode aono l u ir dos ri! sul ta dos I! qul!
quando o mecanismo de colapso não est~ presente na
I ' malha, formam-se paineis rígidas que tendem are-
I
prl!sl!ntar da melhor maneira possível a configura-
162
9ao de colapso do problema. ftuitas vezes, podem
' fornecer uma ideia de como melhorar a malha e,
conseqüentemente, os resultados, embora isto nem
sempre ocorra. " Novamente pode ser vis to que a
dispcsiçio dos elementos~ bem mais importante que
a sua quantidade e que a forma dos mesmos, mais ou
" menos distorcida, nao tem aparentemente importan-
' eia relevante nos resultados, ao contrario dos
el~mentos finitos convencionais.
í63
X
z
F!GuRR Vlll-01-q Mql_Hq A C M ~ lO LAJE RETANG~LA~ Sl"ºLESMENTE RPQlqílR
FORCA CON:ENIRROR CENTRAL FRTQR DE COLAPSO: TcOR!CG ~ 9Q.E8 N~MER!CG 90-67
16~
X
z
F!GuRA Vlll-03-B MALHA A ( M •,O. M- -20 J LAJE RETANGuLAR S!MPLES~ENTE APOIADA
FORCA CONtENTRRDR CENTRAL. FRTDR OE COLAPSO: TEOR!CO • 131-32 ~UMER!CO - 131-33
165
X
FIGURA VIII-D3-C MALHA AC M • 3U, M- -10 LAJE RETAN~uLAR SIMPLESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEOR!CO • 236.80 NUMERICO 236.31
i66
X
z
FIGURA Vlll-03-D - MALHA B ( M = 10. M- -30 l LAJE RETAN~ULAR S!MPLES~ENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEOR!CO = 90.68 NUMER!CO 90-67
{!] APC'H'l
167
X
z (!} APCIC
FIGURA VI!!.03.l MALHA B ( M = 20. M- ·20 J LAJE RETANGULAR SIM~LESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FRTOR DE COLAPSO: TEOR!CO = lS!.32 NUMER!CO lSl.33
168
X
z
FIGURA Vlll-03.f MALHA BC M • 30, M- -10 J LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEORICO • 23€-SO NUNERICO • 272.00
169
X
z
FIGURA Vlll-03,C - MALHA C [ M • 10. M- ··30 J LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FqTOR DE COLAPSO: TEOR!CO • 90.63 NUMER!CO 111.67
C!l Af'~HI
170
X
z
FIGURA Vlll.03-H - MRLHR C C M = 20, M- - -20 J LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR DE COLAPSO: TEOR!CO = 191-32 NUMERICO 229-33
~ RPCIO
1 71
X
z l!I ~PClC
FIGURA Vl ll-03- i MALHA C ( M = 3C , M- ·10 J LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA
FORCA CONCENTRADA CENTRAL FATOR CE COLAPSO: TEOR!CO = 236-BO NUMER!CO 262.&7
VIIJ.1.4
172
EKemplo 41 Laje Retangular Simple5mente Apoiada
com Furo Retangular, Carregada Uniformemente
A
llo!ferencia,
[24], pp 130-134, Ítem 4.6, Solução 4.4
, Caracteri5tica51
•
•
dimen5Õe5 da laje:
dimensões do furo,
20.0 K 40.0
10.0 K 18.0
• momentos resistentes: { :~ : r
' • torça de superfície aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Analítico Numérico
1. 4S 1.4S
Co1DEm t.ir ios:
38.1S
-38.lS
q = 1. o
Com açta malha, figura (VIII.04), moçtra-ça a
habilidade do modelo para tratar com descontinui-,
dades, no caso, o furo e com possíveis configura-
çÕes de colapso muito pr~Kimas. Tanto no valor do
fator de colapso quanto no mecanismo de ruptura,
os resultados estão perfeitamente de acordo.
FIGURA '.'III-O'!
173
y f-----,<------,,,_---4 ..
z
LAJE RETAN&GLAR ~POIADR COM FURO CENTRA!.
FORCA UNIFOR~EMENTE DISTRIBUIDR NA SUPERFICIE fATOR aE COLAPSO: TEORICO ~ 1-~5 NUMERICO l.ijS
X
VIII.1.5
174
A
Exemplo 51 Laje Retangular com Tres Lados
Adjacentes Engastados e Outro Livre, Carregada
Uniformemente
A
Referencia:
[25], pp 329-331, , Item 7.9.3
, Caracteristicas1
• 5.0 H 20.0
• momentos resistentes: {
mr =
, m' = r
• força de superfície aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Analítico Numérico
9.16 9.16
Coment~rios:
38. 15
-38.15
q = 1. o
Hasta malha, figura (VIII.OS), rapresantou-sa
tamb~m v~rias configurações de ruptura possíveis,
contudo, mais uma vez o modela identificou a con
figuração e o fator de colapso corretos.
F!GURR Vll!.üS LAJE ~ETANGuLAR
175
GP.STAOA ,. l. l VRE
FORCA N!FOR~EMENT ISTR!BU,~A NA UPEºF!CIE
X
FATOR E COLAPSO: r OR!CO • -16 NUMER!CO 9. 16
VIII.1.fi
176
Exemplo 61 Laje Quadrada Apoiada num Lado e
numa Coluna, Carregada Uniformemente
A
Referencia,
[24], pp 202-20?, Ítem 6.4 1 Solução 6.1
, Caraoteristioas1
• dimensões da laje, 12.0 X 12.0
38. 15 • momentos resistentes:
-38.15
' • força de superficie aplicada: q = 1. o
Resultados Para o Fator de Colapso:
l'lalha Analítico Numérico
A 1. 12
B 1. 07
c 1. 07
D 1.37 1. 06
E 1. 38
F 1. 39
G 1. 06
, Comentarias:
A Eim da verificar mais uma VQZ a habilidade
da modalo em reprasantar ou indicar o macanismo de
colapso quando este nao se encontra presente, ana
lisou-se a malha~. figura (VIII.06.a}, obtendo-se
um fator de colapso abaixo do previsto na refer;n-
eia. em relação ' a malha Com pequenas uariaçoes
177
inio ial, criou-se as malhas !!,, C e º-• figuras ,
(VIII.06.b,c,d), obtendo-se esta ultima como oca-,
so mais desE'avoravel. Somente duas eKpl ioa9Ões
. t . h seriam poss1ve1s1 ou o modelo nao pode representar
corretamente o problema ou a salu9;0 analÍtioa es
taria carreta para a oonE igura9;0 arbitrada mas
' esta nao seria o caso critico.
Como o modelo comportou-se muito bem para os
outros eHemplos, o primeiro passo foi investigar a
' segunda hipotese. Criou-se para is5o a malha ~.
figura (VIII.06.e), contendo a oonfigura9ão anali-
" tioa da reEerenoia e obteve-se o mesmo resultado
' previsto por esta, conrirmando-5e e5tar esta ulti-
ma calculada corretamente. Ainda na tentativa de
verificar se o modelo conseguiria indicar uma oon
rigura9ão de ruptura pr~Kima daquela analiticamen-
te .. correta'", analisou-se
(VIII.06.r), onde mecani5mc5
'
a malha !::_, figura
' semelhantes ao anali-
tico, mas nao o analítico em si, estavam presen-
tes, o resultado foi a repre-sentaç,;o pelo modelo
' ' de um mecanismo bastante proKimo do previsto. Ja
' com a quase certeza da veracidade da 5egunda hipc-
te5e1 anali5ou-se a malha §., figura (VIII.06.g),
' onde e5tavam pre5entes a oonf igura9;0 analítica
tida como correta e a obtida pelo modelo a fim de
' que este determinasse qual o caso realmente criti-
co; o resultado obtido roí que o caso mais desravo
' ' ' ravel para o problema esta muito mais proximo da-
" quele apontado pele modelo que daquele da rereren-
eia.
187
X
FIG~RR VII l-CJ7. A LAJE C[RCU AR ENGASTADA
ORCA UNIFORMEMENTt CtSTR[BUlDR NA SUPERF!ClE FATOR ~E COLAPSO: 'cOR!CO ~ i8.3, ~UMER!CO B-39
188
X
FIGuRR Vlll-07-B LAJE C[RCULAR E.NGAS~AOA
FORCA CONCENTRADA CENTRSL FATOR DE OLAPSO: , ORICO ~73-39 NLlMEAICO
178
X
z
F1 GlJRR V l l l . 06. R ílL H~ ~ LílJE QUADRADA APOIADA NUM LADO E E~ 1 COLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE DlSTRIBUIDR NA SUPERF!t!E FRTDR DE COLAPSO: TEORICO • 1.37 N~MEA!CO = 1.12
!!l Are:c ':!l CC'LUNA
179
X
z
FIGURA Vlll,OE,B MALHA B LAJE QUADASDA APOJADR N~M ~ADO E EM 1 COLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE D!STRlBU!DR NA SUPEAF!C!E FA·OR DE COLAPSO: TEOR!CO • 1,37 N~MER!CD 1,07
~ AP1'IC' l:!J CC'LlíNA
180
X
z
F!GURR Vl!I.06.[ MALHA C LAJE QUADRRDR APOIADA N~M LADO E EM 1 COLUNA
FORCA UN!FORMEME~TE DISTRIBUIDR NA SUPERFIC!E FATOR DE COLAPSO: TEORICO • 1.37 N~MERICO 1-07
C!l qpe:r (!) CCLGNA
181
X
z
F !GURA V 111. 06. D MALHA O LAJE QURORROR RFOIROA NUM LADO E EM l COLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE ~LSTR[BU!DA NA SUFERFIC!E FATOR ~E COLRFSO: TEOR[CO • \.37 NUMER!CO 1.06
l!l !"lrc:c C!l CClliNA
182
X
z
F l GURA V! li, (16. E HRI.HR E LAJE QUADRADA APOIADA N~H LADO E EM l CDLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE OISTRIBUIDR NA SUPERFIC!E FATOR DE COLAPSO: TEORICO • 1,37 N~HER!CO 1-33
l!I APe!e ~ C.:!LUNA
183
X
z
FIGURA VI!I.06.F - MALHA F LAJE QUADRADA APOIADA NUM LADO E EM I COLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE DlSTRlBU!DR NA SUPERF!C!E FATOR ~E COLAPSO: TEQR!CO • 1-37 N~MER!CO 1-39
I!] Rrt:!E' 2) CCLUNA
184
X
z
FIGURA Vl[!.06.G MALH~ G LAJE QUADRADA APOIADA NUM LADO E éM I COLUNA
FORCA UNIFORMEMENTE D!5TR1BU!DR NA SUPERF!C!E FATOR DE COLAPSO: TEORICO • 1-37 NUMER[CO 1-06
(!] F.f'::: 10' '!I CCLUNA
VIII.1.7
185
Exl!mplo 71 Lajl! Circular Engastada,
Carregada Uniformemente
A
RI! E l!reno ia:
[24], pp 265-267, Ítem 9.2, Solução 9.1
, Caraateristioa51
A
• diametro da laje, 10.0
• momentos resistentes: 38.15
-38.15
• força concentrada aplicada: P = 1.0
' • força de superficie aplicada: q = 1.0
Resultados Para o Fator de Colapso:
Para P E O.O e q • 1.0,
Anal it ico Numérico
18.31 18.39
Para P = 1.0 e q = O.O:
Anal it ico Numérico
479.39 480.07
, Comentarias:
Hais uma vez o modelo proposto representa
muito bem tanto o fator quanto o mecanismo de co-
' lapso quando este ultimo se encontra presente na
ma lha, figura (VIII . 07. a, b). ' As diferenças mini-
' ' mas entre os valores analiticos e numericos deve-
' se simplesmente ao numero de elementos utilizados
' para discretizar a laJe circular, que a pratica
186
' torna desnecessario melhorar. Note-se neste exem-
plo a solução de um problema de colapso com apenas
1 grau de liberdade!
VIII.1.8
189
Exemplo 81 Laje Quadrada Simplesmente Apoiada,
' com Momentos Resistentes Ultimas Diferentes em
V~rias SeçÕes 1 Carregada Uniformemente
A
Referencia:
[25], pp 426-427
I
Caracteristicas:
• dimensões da laje: e.o x e.o
• dimensões da regiao com armadura
reforçada: 6.0 X 6.0
• mo1N!nto5 resistente5 na regiao com
armadura reforçada:
• momentos resistentes
{ :: : r
76.30
-76.30
no resto da
{ mr = 38.15
m' = -38.15 r
laje:
• força de f ' . super 1c1e aplicada: q = 1. o
Resultados Para o Fator de Colapso:
Analítico Numérico
25.04 25.04
I
Coml!!ntarios:
Este exemplo, figura (VIII.08) 1 visa mostrar
lajes armadas não-uniformemente seguindo, aproxi-
' madamente, a Eorma do diagrama elastioo de momen-
tos f letores de maneira a encontrar uma solução
190
' ' otima tambem em termos de peso estrutural. Colo-
cando-se a armadura inferior em bandas, aproveita-
' 5e os materiais ao maximo. Casos como este ou
mesmo bem mais complexos, podem ser resolvidos com
facilidade pelo elemento proposto, conforme pode
ser visto nesse exemplo.
z
191
X
FI~URR VIII.08 MI• 31.15 M2 • ,6.JC LAJE QUADRADA 5I"~LES~ENT APOIADA
~ORCA UNIFORMEMENTE DI5'RIBU1DA NA SUPERFICIE FATOR DE COLAPSO: TEDRICO = 25-0~ NUMERICO
VIII.1.9
192
Exemplo 9: Laje Circular apoiada em Oito
Colunas Dispostas Circularmente, Carregada
Uniformemente
A
Referencia:
[25], pp 358-360, , Item ?.13.1
I
Caracteristicas,
A
• diametro da laje, 10.0
A
• distancia radial de cada coluna ao centro
da laje: 4.0
• momentos resistentes:
, • força de superficie aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Malha analitico Numérico
a 19. 23 19.78
B 19.64
Coment.irios:
38. 15
-38.15
q = 1. o
Este exemplo representa uma laje cogumelo. a ,
diferença hasica entre as malhas a e !!, figuras
(11III.09.a,h}, no n~mero ds el&mantos utili-
zados. Pode-se ver que os resultados mais uma vez
sao mui to bons e que o aumento da quantidade de
elementos nao acrescenta qualquer ganho em termos
pr.iticos pela diminuta diferença entre os fatores
de colapso e nenhuma diferença na configuração de
193
' ruptura. Conforme ja se havia mencionado anteri-
ormente, quanto melhor se discretiza o mecanismo
' circular mais se aproximam os resultados analitico
' e numerioo. No caso em questão, quando se disore-
' tiza a laje circular com um numero pequeno de la-
' dos, na realidade esta se representando uma laje
poligonal e nio circular como se deseja, ' dai adi-
ferença nos valores, diferença esta que, teorica
mente, não poderia existir.
19~
FIGURA Vl[l.09-A MALHA A LAJE CIRCULAR RPOIRDR EM 8 COLUNAS
FORCA UNlFORMEMENTl DlSTRlBUIDR NA SUPERFIClE FRTOR OE COLAPSL: 'EDR[CO = l3-78 NUMERICO
X
l9-23
195
FIGURA VllI-D9-B MALHA B LAJE CIRCULAR APOIADA t, S COL~NAS
FORCA UNIFORMEMENTE DlSTRlBUiOR NA ,UPERFIC!E rRTOR DE COLAPSO: TEOR!CO: .9.78 NUMER[CO
X
l9-6~
VIII.1.10
196
Exemplo 101 Laje Retangular Apoiada num dos
Lados e em Duas Colunas, Carregada Uniformemente
A eer .. renc ia, ,
[25], pp 3?3-380, Item ?.16, Exemplo ?.16
, Caraateristioa!II
• dimensões da laje: 12.0 H 18.0
• momentos resistentes:
, • força de superficie aplicada:
Resultados Para o Fator de Colapso:
Analítico Numérico
68?.46 68?.46
Coment.irios:
5898.00
-5898.00
q = 1. o
H<>tõta malha, figura (11111.10), pr<>t<>nd<>U-tõ<>
' mostrar um procedimento pratico, ou seja, tendo-se ,
uma laje, qual sera o seu fator de colapso e o
correspondente mecanismo de ruptura? Primeiramen
te verifica-se o maior n.imero de conf iguraçÕes de
ruptura passiveis; cria-se, entio, uma malha com
todas alas a procass..a.-se o modelo. O resultado
que se obt~m ~ a seleçio da configuraçio de colap
so mais desfavor~vel dentre os mecanismos codifi-
cados, conforme se pode ver neste exemplo. Ore
sultado obtido conf<>ra p<>rf<>itam<>nta com o dar<>-
A
ferencia.
197
X
FIGURA VIII. !O LAJE RETANGULAR APOIADA N· M LADO E EM 2 COLUNAS
FORCA UNIFORMEMENTE D!STRIBUIDR NA SUPERF!C!E FGTOR DE COLAPSO: TEORICO = 637-~6 NLMERICO = 637.%
198
VIII.2 - Problemas de Adaptação da Estrutura
' Nos exemplos que se seguem, devido a necessidade
' ' ' de uma analise elastioa conforme se pode ver pelo tento teo-
" rioo, os parametros adotados, em unidades SI, foram os se-
guintes,
Para os materiais•
e o H e R E T o
E ck - 15000.0 Pa
., = l. 40 e
E = 21000000.0 Pa e
E ct = 0.00013
E = -0.0035 CC
Para as armaduras1
Na direção K
Na direção Y
l As =- 0.001
A' 0.001 5
l A5 == 0.001
A' 0.001 s
A Ç O (tipo A)
r yk .,
s
E s
E st
E se
2 m
2 m
2 m
2 m
-=
=
=
=
D
e'
e
e'
500000,0 Pa
1.15
210000000.0 Pa
0.01
-0.0035
- 0.01 m
= 0.01 m
= 0.01 m
= 0,01 m
199
VIII. 2. 1 - =E"'x"-e=m"'p'-"'l-=o'-1::...;;:_-'V-'i"g._a=---'C"-o=n'-t"""Í."'n"u""acc_...cdc..e~-D-o_i_s'-V"'-"ã"o'-s~--'I'-g~u-a_1_· _s~,~
Carregada no Centro de Cada vão
A
Rt!lt!rt!noia,
[15], pp 135-138 1 ' Item 6.2
' Características:
• comprimento de cada vao: 1. o
• momentos resistentes: { :: : r
10.00
-10.00
• variaçao das cargas concentradas aplicadas
em cada vao: O,E;P1,10.0
Resultados:
Para o Fator dt! Colapso:
Analítico Numérico
6.00 6.00
Para o Fator Limite de Adaptação:
Analítico Numérico
5.05 5.05
' Comentarias:
Conforme se poderia esperar da formulação, o
' ' elemento-rotula elasto-plastica reproduz exatamen-
' te os resultados analitioos como mostrado na figu-
ra (VIII.11).
200
l F~TGR ~E CCLAPSO: T~QRI(O ~ G,OC N~MERlCO ~ G.QC
1
FATOR DE COLAPSO: TEORICO G,DC N~MERICO • 6,DO
l FATOR DE COLAPSO: TEORICO 6,00 N~MERICO 6 00
l FSTGR QE ADA~TACAO: TEORICO - 5.05 NUMERICO 5-85
FIGUílq VIII 11 VIGA CONTIN~A CQM ~019 VR05 iDfNT1(05 rrLAPSO ESTATlCO E (QMºVR!AME~TO OE RCRPTACAO FORCAS CON~ENTRSDRS (.t-NTRSIS
201
' VIII. 2.2 - EKemplo 2: Laje Retangular Continua de Dois
vãos Iguais, Carregada no Centro de Cada vão
, Caraoteristiaas1
• dimens~es da laje, 1.0 K 2.0
• mofflQntos resistentes: 10.00
-10.00
• variaçao das cargas concentradas aplicadas
em cada vao: O' P' 10.0
Resultados:
Para o Fator de Colapso•
Numérico
6.00
Para o Fator Liaite de Adaptação:
Numérico
:! • 2 2
, Comentarias,
' Os resultados para o colapso estatico sao
perfeitaffll!nte repr·oduzidos; entretanto, o Eator
limite de adaptação est~ um pouco acima do corres-
' pondente ao caso da viga continua vista no eHemplo
anterior, figuras (VIII.12.a,b,c,d}. A e Kp l icação
' A que se pode dar e que a eKistencia de elementos-
' charneira nas diagonais provoca, durante a analise ,
elastica, um campo de deslocamentos ligeiramente
' diferente daquele da viga continua pela presença
202
das deEormaçÕes el~sticas. Assim, sendo os momen-
' tos resistentes ultimos os mesmos nos dois casos e
' ' os momentos maximos e minimos ligeiramente menores
na laje, o Eator limite de adaptaçio da laje tem
que ser um pouco maior que o da viga de modo a
••compensar"' esse efeito.
da mais interessante quando se faz uma malha que
introduza eEeitos de torção, ' ja que a Teoria das
Linhas de Ruptura, utilizada como base para a for
mulação do elemento não considera momentos torsio-
- ' nais. Isto nao acontece na analise limite porque
aÍ nao se consideram as deforma9Ões ' elasticas,
sendo o resultado o mesmo para qualquer malha que
se tome. Dessa maneira, apesar de corretos, nao
de pode Eazer uma total analogia desses dois exem
plos entre si.
z
203
X
FIGlJRR Vlll-12-P. LAJE RETANGlJLAR COM DOIS VAOS lDENTICOS CQLAPSO ESTATICO [ CARGAS PROPORCIONAIS J
FORCAS CCN~ENTRADAS ~Q ·1AO 1 FATOR DE COLAPSO: NUMERICO • 6-DC
[!] Ar:~c
20..J
X
f--------------~--y
z FIGuRA Vlll-12-B LAJE RETANGULAR COM DOIS VAOS lDENTICOS COLAPSO ESTATICO ( CARGAS PROPORCIONAIS J
FORCAS CONCENTRADRS NC VAO 2 fATOR OE COLAPSO: NLlMERICO ~ 6.00
[!] AP!'.'!C
205
X
~------------...L:.......-Y
z FIGURA VI l l, 12, C LAJE RETANGULAR COM 90lS VAOS iDENTICOS COLAPSO ESTATICO C CARGAS PROPORC [ONAIS J
FORCAS CONCENTRRDAS ~os VAOS i E 2 FATOR OE COLAPSO: ~UMERICO • 6.0C
[!) F.PClC
z
206
F!GLJRR Vl!!.12.D LAJE RETANGULAR COM ~OIS YAOS lDENT!COS COMPORTAMENTO DE ADAPTACAO DA ESTRUTURA
FORCAS CON~ENTRRDAS NC5 YAOS
X
FATOR LIMITE DE ADAPTACAO: NUMER!CO = 5-22
t!l F;Pf'IC
207
' VIII.2.3 - =E~K~e::..::m~p~l~º=--~3:..:.=~~L==a~J~·e=-;R~e::....::t;a~n~g.i....:u~l~a~r~C=-=o~n~t~i;n~u=a=-~d~e=--;D~o~i~s~
vãos Iguais, Carregada Uniformemente em Cada vão
I
Caraateri5tioas1
• 1.0 K 2.0
• momentos resistentes: {
mr =
m• = r
'
10.00
-10.00
• variaçao das cargas de superfície
aplicadas em cada vão: O~q(lO.O
Resultados:
Para o Fator de Colapsos
Numérico
12.00
Para o Fator Limite de Adaptação:
Numérico
10.60
, Coaentarios1
' ' Os comentarias para esse eKemplo sao analogos
ao do exemplo anterior, apenas com a diEeren9a do
tipo de carga aplicada, figuras (VIII.12.e,E,g,h).
Note-se em ambos os eKemplos que eKiste uma diEe-
' ' ren9a razoavel entre os fatores de colapso estati-
co e o limite de adaptação; isto significa que Ei-
car-se-ia contra a segurança se se considerasse ,
apena5 a possibilidade do colapso estatico.
z
208
X
y
FIGURA V
209
X
y (-------------~-
z FIGUR~ VI l 1. [2. f LAJE RETANGULAR COM DOIS VAOS lDENTlCOS COLAPSO ESTAT[CO ( CARGAS PROPORCIONAIS
FORCA UNIFORMEMENTE O!STRIBU!OR NA SUPEAFIC!E DO VAO 2 FATOR DE COLAPSO: NUMEAICO • 12.oc
[!] RPCifl'
z
210
y
F l GURA V l ll . 12. G LAJE RETANGULAR COM DOIS VAOS lDENTICOS COLAPSO ESTATICO ( CARGAS PROPORCIONAIS
X
[!) GPCIC
FORCA UNIFORMEMENTE OISTRIBU!DA NA SUPERFICIE DOS VAOS i E 2 FATOR DE COLAPSO: NUMERICO • 12-DO
211
X
y --------------~--
z FIGURA V!l!.12.~ LAJE RETANGULAR COM DOIS VAOS lDENTICOS COMPORTAMENTO DE ADAPTACAO DA ES•RUTURR
FORCAS UNIFORMEMENTE D!S•RIBUIDAS NOS VAOS FATOR LIMITE DE ADAPTACAO: NUMERICO = 10-60
212
, 9III.2.4 - =E~K~e::...;;m~p'-=-l~o'-4.=....,1~-=La=.,J~·e=--~R~e=-..:t~a~n=-g~u~l~a~r~~C~o~ncc..ct~i~n~u=-=a:.....d=-=e'--'D=-=o~i~s~
vãos Desiguais, Carregada Uniformemente
I
Características:
• dimens~es da laje, 1.0 K 3.0
• momentos resistentes, {
mr =
mª = r ,
10.00
-10.00
• variaçao das cargas de superfície
aplicadas em cada vao, O l> q t 10.0
Resultados:
Para o Fator de Colapso,
Numérico
3 ·-ºº
Para o Fator Limite de Adaptação:
Numérico
4.07
I
co...,ntarios: , ,
A finalidade desse ultimo eKemplo e apenas a
de melhor mostrar conK> proce55ar um exemplo de
an~lise de adaptação da estrutura ~s cargas apli-,
cadas, ja que neste caso particular, o colapso es-, , ,
tatioo e mesmo o mais critico, figuras (VIII.13.a,
b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1 h).
z
213
y
F!GlJRA VI 11- 13- A LAJE RETANGuLAR COM DCTJS VAOS DESIGUAIS COLAPSO ESTAT!CO ( CARGAS PROPORC[ONAlS
X
FORCA UNIFORMEMENTE DlSTR!BUIDA NA SUPERFICIE 00 VAO FATOR DE COLAPSO: NUMERICO = l2-00
y ----------~--
z F i GGRA VI l L 13. B LAJE RE ANGULAR COM ~cr;s VAOS DESIGUAIS
OLAPSO ESTATICO [ AAGAS PROPORC[ONA!S
X
FORCA UNIFOR~E~ENTl OISTRIBUIDA NA SUPERFICIE ao JAO 2 FATOR OE .OLAPSO: NUMER!CO • .QC
215
f---------~~~y
z F!GuAA VI ll-13.C LAJE RETANGULAR COM D~1S VAOS DESlGGAIS COLAPSO ESTAT!CO ( CAAGRS ~ROPOAC!ONA!S
X
FORCR UNIFORMEMENTE DIS:RlBUIDA NA SUPERF!ClE 00 VAO 3 FATOR DE COLAPSO: NUMERICO • S.QC
216
X
y (---------~--
z FIGURA V! II. l3. D LAJE RETANGULAR COM oo;s VAOS OESlGUAIS COLAPSO ESTATICO ( CARGAS PROPORCIONAIS
FORCA UNIFORMEMENTE D!STRIBUIDA NA SUPERF!CIE DOS VAOS i E 2 FATOR DE COLAPSO: NUMERICO = 6.00
217
X
y f----------~-
z FIGURA VI l!.13,f. LAJE RETANGüLAR COM or;s VAOS DES!GüAIS COLAPSO ESTATICO ( CARGAS PAOPOAClONAIS J
FORCA UNIFORMEMENTE DISTAIBU1DA NA SUPEAF!CIE 005 VAOS 2 E 3 FATOR DE COLAPSO: N~MEA!CO • 3 20
z
218
FIGURA VI!l. 13.f LAJE RETANGULAR COM Q01S VAOS DES[GUA!S COLAPSO [STAT!CO ( CARGAS PROPORC!ONA!S
X
FORCA UNIFORMEMENTE OlSTAIBUIOA NA SUPEAF!ClE DOS VAOS l E 3 FRTDR OE COLAPSO: NLlMERlCO = 5-0C
219
X
y f----------~--
z FIGURA Vl!I.13.C LAJE RETANGULAR COM D~IS YAOS DESIGUAIS COLAPSO ES:ATICO [ CARGAS PROPORCIONAIS J
FORCA UNIFOR~EMENTE OISTR!BUIOfi NA SUPERF!C!E DOS DOIS VAOS FATDA DE COLAPSO: NUMER!CO • 3 CD
z
220
F!GüRR Vll!. [3.H LAJE RETANGüLAR COM DOIS VAOS DES1GUAIS COM~ORTAMENTO DR ADAPTACAO DR ESTRUTURA
FORCAS UN!FflR~EMENTE O!STR!BUIDRS ~os VAOS FATOR LIMITE OE ADRPTACRQ: NUMERICO • ij.07
X
221
, CAPITULO IX
CONCLUSÕES, DISCUSSÕES, RECOIIEHDAÇÕES E
SUGESTÕES PARA NOVOS ESTUDOS
Ao longo de todo e55e trabalho a5 prinoipai5 oa
raoteri5tica5 e re5tri9Õe5 do modelo propo5to foram mo5tra-
das e discut idasJ contudo, algun5 pontos merecem um maior
de5taque. ,
O numero reduzido de grau5 de liberdade por ponto
nodal e a defini9;0 simples do orit~rio de escoamento ( rup
tura ) podem diminuir significativamente o esEor90 computa
cional comparativamente com elementos finitos convencionais
para a flex;o de plaoa5 e adequado5 ' , , a anali5e ela5to-pla5ti-
ca, FACCI0LI[29], DA--FONSECA[30], de5de que 5e defina a ma-
lha de maneira criteriosa e racional, espeoialmente levando-
5e em conta que a dire9;0 da5 linha5 de ruptura influencia ,
muito mais a qualidade da resposta do que o numero de ele-
mento5 ou ponto5 nodai5 utilizado5 na modelagem.
, , Ao contrario da apr0Kima9ao atraves do funcional,
CHAN[31], o modelo propo5to parte da formula9;0 da5 matrize5 ,
de rigidez a nivel de elementos, tornando-5e
tran5parente e totalmente oonsi5tente com a metodologia tra-,
dioional do5 elementos finitos; alem do fato de toda5 ava-
, , riaveis terem um significado fisioo simples.
222
' A devido a forma de recorrencia, nao sao montadas as matrizes
' de rigidez ao nivel do5 elementos, e ainda mais, somente sao
oalculadas as oontrihui9Ões efetivas ' a matriz de rigidez a
' nivel da estrutura oomo um todo.
Quando a malha nac ccnt~m a configuração de colap-
so correta, o modelo cria mecanismos simples, sob a forma de
' paine i9,
A
neiras rompidas e/cu plastificadas a tendencia para a ccnEi-
guraçac de ruptura I dessa Eorma, dentre das pcss ib i 1 idades
' ' da malha, pede-se ter uma boa ideia de cerno melhora-la de
maneira a aproximar-se cada vez mais do mecanismo de colapso
correto. Entretanto, quando a configuração de colapse obti-
' ' ' da pele modele nac esta prcKima da analitica, a diferença
' ' entre o fator de colapse fornecido e o teorice nem sempre e
' pequena em termos de engenharia pratica.
'
' De5sa maneira, e
importante que se tenha a priori uma ideia do mecanismo de
rupturá, ' embora isto nao seja indispensavel, ' ' pois e possível
a atualização continua da malha de modo a convergir para uma
' e5timativa mai5 real de fator de colapse atraves de, por
um processo conhecido como rarmula9âa ' hi~rarquioa,
A
que propce e refinamento da malha cu do polincmic caraote-
' ' [ ri5ticc ba5eado na anali5e de erre,., RIBEIRO 32],
Apesar de mencionado nc pre5ente trabalhe, a in
Elu;ncia da relação memento versu5 curvatura dada para a lei
' con5titutiva nao e 5ignificativa para a defini9;0 da oonfi-
' gura9ao e do fator de colapso quando de uma anali5e elasto-
' plastica, Ainda como vantagem do elemento-charneira existe
223
' ' das características do material a traves de
uma curva escalar que pode ser fornecida para cada elemento
' -ou para um grupo de elementos, tornando a analise nao-linear
e, ev idente~nte, computacionalmente mais
' ' -simples
eficiente, Esse Eato e bastante util na formulaç:ao da
' A ' analise dinamica, quando o comportamento histeretico pode
ser facilmente introduzido.
' ' A analise de lajes com espessura variavel ou com
armaduras não-uniformes pode ser feita com a mesma Eacilida-
' de que se estuda a maioria dos casos analíticos apresentados ,
pela Teoria das Linhas de Ruptura, Desneoessario enfatizar
a oportunidade da aplica,;:io direta do modelo a esses mesmos
' ' -casos analitioos atraves da simples discretizaç:ao da laje,
Um estudo interessante pode ser feito em problemas
não-lineares associados ' , a analise de colapso ,
plastico. A
equaç:ao (11. 01) refere-se ao estado inicial indeformado da
' , estrutura, como em qual quer ana 1 i se linear e 1 a5 t ica comum.
Segue-se que o mecanismo de colapso associado ao fator À c
deve ser estritamente visto como um deslocamento infinitesi-
mal real a partir do estado inicial. Os vetores 6~ e 6~ que
' definem esse deslocamento satisfazem as equaç:oes de compati-
bilidade (I11.30),
,
' isto e,
(IK.01)
onde H e a mesma matriz calculada para a geometria indefor-
mada da estrutura, Se um deslocamento finito real ocorre,
l!ntão a geometria muda e, assim, ' as equaç:oes de equilíbrio
224
(IV.31) nao sao mais estritamente verdadeiras. Entretanto,
se H for alterada de forma a relacionar-se com a geometria
deformada, então uma nova solu9ão de (V.01) pode ser obtida
fornecendo o valor de~ associado ao estado deformado. Pe-c
la repeti9ão desse processo pode-se tra9ar um quadro comple-
to de oomo o fator de ruptura varia enquanto a estrutura
rompe. O interesse desse caso relaciona-se ao tato do meoa-
' nismo de colapso algumas vezes mudar a medida que as defor-
ma9~es da estrutura aumentam.
Uma extensão imediata da formula9ão aqui apresen
tada pode ser feita ao problema da otimiza9io estrutural.
- , , Em geral, a determina9ao do projeto estrutural otimo e com-
plexa e ultimamente tem sido objeto de muitas pesquisas. A
colooa9ão de certos problemas de projeto pl~stico sob a for-, ,
ma de programa9ao linear envolve um numero de hipoteses de
lineariza9ão que devem ser mantidas em ffll!nte quando do aces-
' so as
grama9ao
, numerioas.
linear; tão mais ,
Entretanto, um problema de pro-,
facil de resolver do que um nao-
linear que um otimo aproximado baseado na teoria linearizada
pode ser "'melhor", no sentido de custos globais, do que uma
solução mais .. exata"".
, O problema que se considera normalmente e aquele
, , de escolher características geometricas de uma
dada estrutura de modo a ter um oerto fator de colapso sob ,
determinado carrregamento E ixado ou variavel. Em geral,
existirão ,
varias projetos atendendo a es-se ,
criterio. Para
se encontrar uma solu9io ~nica impoem-se a condição de que o , ,
projeto deva ser, de algum modo, o melhor. O oriterio pra-
225
tice adotado pelo engenheiro para selecionar o "melhor" pro
j .. to s .. ria, normalmente, o custo; contudo, os custos reais
sao, freqüentemente, fun9~es não-lineares e descontinuas das
' variaveis de projeto. E5colhe-'5e 1 então, o peso da estrutu-
EKplicitando-o em
' fun9ão das oaractt!ri'5tioa5 que '5e quer otimizar pode-5e 1
- ' juntamente com as considera9oes do projeto plastico, colocar
o problema sob a forma de programa9ão linear e, resolvendo-
' o, encontrar-se o projeto otimo.
Seja, por eKemplo, escolher uma se9ac transversal ,
de um ou mais elementos de portice plano ou treli9a de uma
dada estrutura submetida a um esfor90 constante.
rando-se o peso linear do membro l dado por,
w. :s e. a. l. 1 1
onde
a. - pi A. 1 1
' e sendo pi o pe5o espeoitioo do material 1
' -A. a area da se9ao l.
-e. o comprimento do l.
o peso total da estrutura
w. 1
' sera
transversal e
elemento,
Conside-
(IX.02}
(IX.03}
(IX.04}
226
Tomando-se, agora, por aproxima9ao 1 o momento re-
5istente ~!timo em cada elemento como Eun9ão
metro a. apropriado, pode-se escrever: l
" linear do para-
(IK,05.a)
(IK.05,b)
onde s~ e 1~ relacionam o peso linear dos elementos aos res-
, pectivos momentos resistentes ultimas. Assim, o problema de
pragrama9âo linear a re5olver ~.
Minimizar
W = { Q eT } {:} (IK.06.a)
submetido a
H o -! I~
-I s~ -
=
( ! l (IX.06.b)
Para considerar-se o caso de carqas variando entre
certos limites, toma-se f como sendo uma combinação linear ,
de certos sistemas basices de carregamento ( f . ) ' -· mantendo-
se, contudo, as restrições impostas pela linearidade:
f = /Jl. f. - -1
Combinando-se , .
varias
se a
cargas f. -•
(IX.O?)
segundo uma matriz f, chega-
22?
E = F fl (IK.08)
Imaginando-se que os multiplicadores p. estejam restringidos 1
por algum sistema de restriçÕes lineares
R fl t E (IK.09)
o problema a ~olucionar ;, entio,
l'linimizar
O}l :ª1 W = { 0 eT !:
submetido a
H O -F = - - -I
1B O - - -
o o R '
o -o -o
E -
(IK.10.a)
(IK.10.b)
Essa aproximação produz um projeto que não romper~
sob qualquer carqa atuando isoladamente entre os limites
prescritos • Entretanto, nao garante o mesmo para uma se-
•• A • quencia qualquer de cargas atuando dentro desses limites.
, , Esse tipo de projeto teria que ser Eeito atraves da analise
do comportamento de adaptação da estrutura às cargas, ,
tambem
. ' Jª visto neste trabalho.
Em adição às hip~teses de linearização mencionadas
~
anteriormente considerou-se que os parametros de projeto (~)
pudessem variar continuamente. Isso claramente limita a
228
utilidade da aproKimaçao quando se considera as estruturas,
A
tendo em vista, por exemplo, que as seçoes de aço vem sempre
padronizadas. Essa limitação pode ser superada pela t;cnica
conhecida como proqrarna9ao inteira, ma5 a "Sua complexidade
' torna-a de valor pratico duvidoso.
Como sugest~es para futuras pesquisas, aparecem,
• o estudo de um controle de ductilidade da seçao
' ' que, conforme ja foi enfatizado, e suposto ser atendido;
• a introdução na formulação dos efeitos de mem-
brana que aparecem nas grandes deforma9~es, permitindo assim
a considera9ão de esfor9os axiais e a generalização do mede-
' ' lo tambem para a analise de cascas;
•
dos elementos e a curvatura da laje, visto ser esta funda-
mental para que se p055a corrigir 05 de5looamentos nodai5 e
' A
assim implementar a analise dinamica;
• a verifioa9âo da possibilidade de utilizar-5e o
modelo no estudo da flambagem de placas;
• a da metodologia a elementos finitos
sofisticados e equaçoes de restrição generalizadas
atrav;s da construção de superficies de colapso dos momentos
mx' m em com a vantagem de poder levar em conta os efei-y xy
tos de torção;
229
• o estudo da possibilidade da inclusão do Modelo
de Subcamadas[33] nesse tipo de formulação de modo a poder
, , se considerar materiais rigido-plasticos com endurecimento
na Programação Linear;
• a formulação de um elemento finito adequado ao
" estudo de problemas da Mecanica dos Solos, por exemplo, fun-,
atraves do enfoque dado nesse trabalhei
Como se pode ver, apesar das inoursoes no campo da
, analise limite via programaçao linear serem bastante recen-
tes, a vastidão de possibilidades indica um futuro premis-
sor. Evidentemente existem problemas que precisam ser me-
lhor estudados e, conseqüentemente, solucionados, especial-
' -mente no que se retere as opera9oes matriciais nos algorit-
fflDS de programa9ao 1 inearJ contudo, com o desenvolvimento
, , rapido e continuo da tecnologia de hardware e software com-
putacional, veja-se 05 prooe5sadores vetoriais, e-ste fator
nao parece ser de forma alguma restritivo. Mesmo assim,
, grande numero de pesquisadores tem se dedicado a esse estudo
" ,
ultimamente e excelentes resultados tem sido obtidos. E um
novo horizonte que se abre em termos de um melhor, mais ra-
" , clona! e mais economico criterio de dimensionamento dases-
truturas e que est~ a um passo da tão almejada otimização
estrutural.
230
A
APEKDICE A
CURVA APBOXIIIADA KOIIEKTO VERSUS CUBVATUBA PARA SEÇÕES
BETAKGULABES DE COKCBETO ABKADO COR ABIIADUBA DUPLA
Seja a se9ao tran,sver,sal retangular de concreto
armado com armadura dupla da figura (A.01) ' submetida a Ele-
, xao pura. O objetivo e substituir a curva real por uma cur-
va aproximada que bem defina a relaçio entre o momento fle-
tor atuante e a curvatura da se9ao. Segundo e,s tudo" de
' BIGHOH [16], a curva que melhor 5e apresentou e compo,sta de
" tre,s trechos lineare,s que representam fases di,stintas por
que passa a se9ao e, conseqüentemente, as tensões durante a
a9;0 gradativa do aumento de carga, oontorme pode ser visto
na figura (A.02). Conhecendo-se, entio, " os tres pontos que
definem o limite de cada trecho e sabendo-,se que, inioial
~nte, a se9io encontra-se totalmente descarregada, tem-se a
curva aproximada perfeitamente definida.
t t
t T
li JS r.i. Pt' Pll&Nfft
e.' A~
'I
e" -v.I 1----
--- ~- -~-
As ('. r
.. . . 1---- GáAs -------~---------
Figura A.01_ Seção Transversal Retangular de Coocreto Armado com ArmaciJra Dupla
232
M
Mr ® F~ A.0'2_ Relação
"'r
/ ®
Pla11ento x Qrvatura 1
(Aproximado) MF ·-0
I ~ t, ?-,. f
TipoA
-s.,
E.y 40.0 l(f.,) "l
(a) Aço
lipa B
fitl -------_.-,---------, 111f,,I
(b)Conaeto
o:,t.y t~ ' t(·/ .. ) ,o.o
Figll'a A. 03 _ Ctnas Tensoo x Defoonação Segnto as Normas Brasileiras
233
A.1 - " Os Tres Pontos que Definem a Curva
A.1.1 - O Ponto F1 a Primeira Fissura do Concreto
Tracionado
No inÍcio do carregamento, quando a solioita9io
' ' externa e pequena, mantem-se intacta a zona tracionada do
- ' concreto, podendo, assim, ser levada em consideraçao no cal-
" culo da resistencia final. ' ' Desde o inicio ate o ponto limi-
te E_, quando ocorrem as prime iras f i ssuraçÕes do concreto,
" valem a5 leis gerais da Resistenoia do5 Materiais, inclu5ive
a Lei da Romoqeinizaç;o. Nessa fase, a profundidade da li-
nha neutra pode ser determinada pela condiç;;;o de passagem
pelo centro de gravidade da seçao homogeneizada, conforme
' atesta o Teorema dos ttomentos Estatioos, garantindo ser nulo
o momento estiitico em relação ' a posiçac da linha neutra.
maduras por seçÕes de concreto equivalentes da forma
onde
A = a A se e s
A 1 -= a A 1
se e s
a = e
'
E s
E e
(A.Oi.a)
(A.01.b)
(A.Oi.e)
sendo E o modulo de elasticidade longitudinal do aço e E o s e
234
, modulo de elasticidade longitudinal na origem do diagrama
tensio-deformaçio de um ensaio de compressao no concreto ar
mado, majorado eventualmente para incluir os efeitos da ve-
locidade de deformação. Assim, a profundidade da linha neu-
, tra e dada por
onde
s.ando
t y = y. + -2-
A [ se
Yo =
A = b t e
t -2-
a e
(A.02.a)
] - a· [ t - e• ] - e -2-se
+ a + a• se se
(A.02.b)
(A.02.e)
Das.s.a torma, poda-s.11ai dafinir a rigidQ2 nassa tracho como
' , sendo igual a rigidez elastica da seçac homogeneizada, cu
seja,
(A.03.a)
cndR
I I A 2 A ( = o+ He Yo + Hse t - e - y ) 2
( )2
+ A' y - e' se
(A.03.b)
.,
I = o b t 3
12
235
(A.03.c)
A curvatura de fissuração é calculada considerando
A
se a sua correspondencia ao estado no qual o bordo traciona-,
do do concreto alcança o alongamento maximo permitido Ect:
'/'F = "ct
y
O momento de fissuração correspondente
= e 1
(ll..04.a)
, e, então, dado por
(ll..04.b)
Note-se que, caso se considere o concreto nao re-
sistindo a qualquer tipo de esforço de tração, ,
isto e, sendo
, ' nulo o alongamento maximo permitido, o ponto F coincidira
com o estado inicial da seção, ou seJa, com a origem da cur-
va.
A.1.2 - O Ponto P: o Escoamento do Aço Tracionado
Com o aumento crescente da solicitação, chega-se a
um nível de tensões tal que a armadura tracionada começa a ,
entrar em escoamento; este primeiro escoamento e o que defi-
ne o ponto P. Esse ponto pode ser determinado de forma ite-
rativa com o seguinte procedimento:
Passo 11 Fixa-5~
'
236
~-Eea=E, s y s y
corresponden-
tes ao inicio do escoamento do aço e a = -O. 85 c
Passo 2, Seja a iteração i, Inicialmente arbitra
~~ um valor para ~cl
Passo 3,
neutra e
Calculando-se a profundidade ~ da linha
a deformação da armadura comprimida E• s
tem-se, atrav,;s do diagrama tensão-deformação do
aço, a tensão atuante na armadura comprimida a•• s'
Passo 41 Caloula-se o valor do esforço normal re-
duzido atuante, dado por
N 1 [ A A' a' A' ] = a + + a
A s s s s c c a c c
(A.05)
' ' -onde A' e a area de concreto comprimido na seçao. c
A
Passo 5: Se INI estiver fora de uma tolerancia
especificada, então corrige-se a deformação do
concreto comprimido com
i+l E
c i-1
= E e [
i i-1 E - E c c
(A.06)
e retorna-se ao Passo 3. Caso contrário, chegou-
se ao ponto de plastificação da armadura traciona-
da qua corraçponda ao esforço normal nulo.
237
O momento de plastificação ~ pode ser, então,
calculado com
onde
~ = a• c
+ A'a' S S
t -2- - a'
c
[ t _
0,
-2 ]
a s
t -2- - c ]
(A,07.a)
a' ~ a profundidade do ponto de aplicação da rec
, sultante da area de concreto comprimido na
,se9ao.
, a curvatura correspondente e calculada com
'/'p = E
c y (A.07.b)
A.1.3 - O Ponto R: a Deformação Última no Concreto
Comprimido
Define-se esse ponto como aquale am qua a concreto ,
sofreu esmagamento, isto e, atingiu o encurtamento maximo
p .. rmit ido ( s; ) ao ma~mo tempo .. m qua o •90 atingiu o ~au CC
alongamento m.iximo (Est). ,
Assim, a curvatura e dada por
.,. = r
1~cc 1 + 1~st 1
t - c (a.oe.a)
e a mo~nto de ruptura
238
M oaloulodo r
, atraves da equaç,ao
(A.07.a) - ' -com as tensoes correspondentes as deformaçoes desse
estado.
Os procedimentos e consideraç~es descritos no item
anterior sao v~lidos para quaisquer diagramas tensio-defor-
- ' maçao oompativeis adotados para o aço e para o concreto. No
presente trabalho, adotou-se os diagramas preconizados pelas
normas brasileiras, que podem ser vistos na figura (A.03}.
Assim, para o aço do tipo A,
onda
. 1
E = y
E s
se
se
1 E 1 < s
1 E 1 ~ s
1 E 1 y
IE I y
Para o aço do tipo B, tem-se
E E se IE s s s
f [ 2!!_ = J -2 o = E + Ey + 4500 s 10 y
se 0,7
f yd se 1 E s
(A.09.a}
(A.09.b}
1 < 0,7 IE 1 s
] E - 49 s
1 E 1 " IE 1 " IE'' y s y
1 > 1 E' 1 y
(A.10.a)
239
onde
~· • ~ + 0,002 s y (A.10.b)
= E •? - 225 E s y (A.10.c)
' Para o concreto, considerou-se o diagrama parabcla
" retangulc conforme a figura (A.03.b). ' Assim, a area d~ con-
ereto comprimido e a profundidade do ponto de aplicaçia da
' esforço resultante dessa area pedem ser expressos, respecti-
vamente, por
A' • k y b e 1 (A.11.a)
a' = k y e 2
(A.11.b)
ande
= ( = ) E 6 + E e e o IE 1 2 se ' ' 12 e
k = 1
1 2 2 IE 1 3,5 + se < < = e 3 E e
(A.12)
onde
k 2
B
4 ( 6
=
1 2+
= 1000 E c
= + E
+
= E c
Nas expressoes
e = E
(
240
o li 1 2 se ' ' ) e e
= E + 1 e 2 li 1 3,5 se < < = ) e
3 E + 2 c
(8.13)
(8.14)
(A.09,10,12,13,14) as ' incognitas
devem ser utilizadas com seus valores decimais reais, isto
inclui, evidentemente, o sinal.
241
A
APERDICE B
PROVA DA DERIVAÇÃO DO RODO DE COLAPSO
O Algoritmo de Livesley converte o conjunto de
' equa9oes de equilibrio
À r = À I r = H M (B.01.a)
' numa serie de equa9oes da forma
X *r • X *1 r m *H M (B.01.b)
(B.01.b) ' ' e o resultado de uma serie de
aplica9Ões do Prooesso Padrão de Redução de Gauss-Jordan ' as
linhas de I e H. As equa9oes de compatibilidade correspon-
dentes transformam-se de
(B.02.a)
(B.02.b)
para
(B.03.a)
'I' • *HT *u (B.03.b)
242
onde*~ pode ser visto como um vetor de deslocamentos gene
ralizados que correspondem a*! no sentido de trabalho. Se
a equa9ao (B.03.b} for olhada ao final do Terceiro Passo do
' algoritmo, tera a forma:
linha k' -t
onde
Dásica ? o 1 o o o o básica ? o o 1 o o o ?
não-básica ? ? ? ? ? ? ? ? básica ? 1 o o o o o *
não-básica ? ? ? ? ? ? ? uk
=
não-básica ? ? ? ? ? ? ? ?
não-básica ? ? ? ? ? ? ? ?
básica 'I' k • o o o 1 o o ?
.......... . ............... t coluna k
(8.04)
?
k'
indica um coeficiente qualquer que
obrigatoriamente O ou 1
' '
' nao e
identifica a variavel basica que atingiu um
dos seus ·limites
sendo a coluna k' id;ntica ~ linha pivotal de*~. Desde que
' ' o momento basico Mk' atingiu um dos seus limites, a variavel
de deformações correspondente 'l'k' pode não ser nula; entre
tanto, todos os outros momentos b.isicos estão estritamente
dentro dos respectivos limites; conseqüentemente, as defor-
" maçoes correspondentes tem que ser nulas. Como, pela equa-
ção (8.04), cada vari.ivel b.isica 'I'., ~ igual ao seu deslocai
mento * ui associado, segue-se que todos os " tem de ser
iguais a zero,
na-se
243
* exceto por uk.
e a equa9ao (B.03) leva a
Assim, a equa9ao (B.04) tor-
(B.05)
(8.06)
sendo esse o resultado que se desejava provar. o mul-
' tiplicador arbitraria que determina a quantidade de deforma-
9io da estrutura como um todo.
..
244
A
APERDICE C
PROCEDIIIENTOS E ALGORITIIOS UTILIZADOS NA IIIPLEIIERTAÇÃO
DO PROGBAIIA CBSPLia PARA DETEBRINAÇÃO DE
CARGAS E CONFIGURAÇÕES DE COLAPSO ER LAJES
Antes e durante a implementa9ão do programa compu
tacional CH8PL1B (CH8rneiras tl~stioas via Programação Line-
' ar}, com o modelo proposto foram necessarios estudos e adap-
ta9Ões de procedimentos que o tornassem eficiente e facili-
' ta5se o contacto com o usuario. Alguns desses procedimen-
to5, obviamente, os mais relevantes, encontram-se neste
A
apendice expostos sob a forma de problemas seguindo-se-lhes
' A C.1 - Obter Todas as Possíveis Charneiras a Partir dos Tres
' A Nos de um Triangulo
' O objetivo aqui e o de evitar que se tenha que
analisar todas as interfaces da malha de elementos de modo a
fornecer corretamente os quatro (tr;s) n~s de cada elemento.
Com o procedimento aqui descri to, a compatibilidade de en
trada de dados com programas de elementos finitos convencia-
' ' nais ja existentes e completa. Dados, então, A ' tres nos for-
A
mando um triangulo:
245
A
Passo 1: Ordena-se crescentemente esses tres
' nos;
' Pa,s,so 2: charneira5 pa55ivei5 de 5erem gera-
A A
da,s "ªº exatament" º" tr"" lado5 do triangulo1
•• A I
des~a forma, analisa-se as sequencias de nos
' ' ' no 1 no 2 no 3
' ' ' no 2 no 3 no 1
' ' ' no 1 no 3 no 2
' Note-se que assim, os dois primeiros nos de cada
seqüência estarão sempre em ordem crescente;
•• A
Passo 3: Para cada uma das sequencias verifica-se
' na tabela de elementos formados se ja existe a
' charneira que tenha como nos inicial e final os
I 40 A ' dois primeiros nos da sequencia. Se ja existir,
então o I •• A I I
terceiro no da sequencia sera o quarto no
da charneira; senao, gera-se a charneira com os
A I •• A
tres nos da sequencia.
Duas observações adie tonais devem ser feitas. .A.
' primeira e que os elementos gerados ficam em ordem crescente
de modo a facilitar a busca; no caso do programa em questão,
' ' A utiliza-se uma arvore binaria pela ef'iciencia e rapidez de
' armazenamento e procura. .A. segunda e que esse procedimento
permite que muitos erros possam ser detectados; por exemplo,
' se ao se tentar colocar o quarto no em uma charneira, este
' Ja existir, pode-se enviar uma mensagem de duplicidade, ou
A
mesmo erro, nas incidencias.
246
C.2 - Colocar os N~s 3 e 4 nas Posi9Ões Corretas a Partir
" da Inoidenoia do Elemento
, , Conforffll!! ja foi visto anteriorffll!!nte, o no 3 do
, eleffll!!nto-oharneira deve fioar no sentido de~, isto e, a sua
coordenada~ deve ser positiva. Como seria absurdo exigir-
se que no instante na deEini9ão das A
inoidencias nodais do
, eleffll!!nto esse criterio fosse respeitado, criou-se um proce-
' dimento de modo que os nos~ e! pudessem ser dados em qual-
' , quer sentido; o proprio programa se encarrega de coloca-los
nas posições corretas.
, O algoritmo para tal e muito simples. Seja a fi-
gura (C.01). , ' Os vetores que vao do no inicial ao no final
' ' da charneira (12) e do no inicial ao no fornecido como sendo
o n~ ~ (13) são dados por
~ -+ -+ 1~ - -A i + B J
l 2 1 2
e
13 • -A 1 3
1+B -+J 1 3
onde
A. = V. - Y. ij 1 J
B. = X. - X. ij J 1
•
(C.01.a)
(C.01.b)
(C.01.c)
(C.01.d)
247
©
X
©
F lglJ'(J e. 01 _ Identificação dos Nós 3 e 4
(b)
® (a)
© ..., .. =-~ 'Í B .
"1
Figura C. 02 _ Ã~los Entre os lados e a Charneira
248
Utilizando-se o produto vetorial, gera-se um ter
ceiro vetor perpendicular a ambos e formando com estes um
triedro direto,
-,t -i it 1 J
12 • 13 = -a B o = .6 it (C,02,a) l 2 l 2
-a B o l. l.
onde
.6 = a B - a B 13 12 12 13
(C,02.b)
As5im, 5e esse vetor gerado tem o me5mo sentido de
! { ou !. ) ' ,
isto e, se .6 > O, entio o n~ ,
3 realmente esta no
, sentido de~ positivo, senao, os nos 3 e 4 estio em posiçÕes
invertidas e devem ser trocados.
A
C.3 - Determinar os Angulos entre os Lados do Elemento e
a Charneira
Seja a figura (C.02.a). Pela trigonometria, a co-
tangente do menor ;ngulo entre duas retas T,/ e "Jit pode ser
dada por
cotg ªik = 1 + mij mjk
mij - mjk
(C.03.a)
249
onde
A .. m .. =
lJ (C.03.h) lJ B ..
lJ
mjk = - Ajk (e. 03.c)
Bjk
A .. = Y. - Y. (C.03.d) lJ l J
B .. = X. - X. (C.03.e) lJ J l
Ajk = Y. - yk (C.03.f) J
Bjk = xk - X. (C.03.g) J
Substituindo-se as expressoes (C.03.h,c) na ex
pressão (C.03.a), chega-se a
B. Bjk ... A .. Ajk cotg ªik =
lj lJ = cotg ªki B .. Ajk ... A .. Bjk lJ lJ
(C.04)
Aplicando-se a equação (C.04) ao elemento-charneira da figu
ra (C.02.h), tem-se as expressões para as cotangentes dos
lados com a charneira propriamente dita:
B B + A A cotg 1 2 •• 12 23 (e.os.a) a = 1 3 B A - A B 1 2 23 1 2 23
B B + A A cotg • 1 1. • 1 1 2
a = 23 B A A B -3 1 1 2 3 1 1 2
8 12 B3 1 + 8 12 Jl.31 = (C.05.b)
B A - A B 12 3 1 1 2 3 1
250
B B + A A cotg •2 2 1 •2 2 1 a = 1. B A A B -
•2 2 1 •2 2 1
B B + A A 1 2 •2 1 2 3 1 (C.05.c) =
B A - a B 12 •2 1 2 •2
B B + a a cotg
2 1 1• 2 1 l • a = 2• B a a B -
2 l l. 2 l l •
B B + A A l 2 l • l 2 l. (C.05.d) =
B A - A B l 2 l • l 2 l.
C.4 - Determinar um Po55Ível Ponto de Inter5ec9ão entre
Duas Retas
Sejam a5 reta5 T2 e 34 interoeptando-5e no ponto~
aontorme a t igura
parametrizada
l : : ond<>
X l
y l
(e. 03) •
+ B t l 2
- A t l 2
A reta "f2 enoontra-5e na forma
(C.06.a)
(C.06.b)
Hot<>-,;<> qu<>, no ponto !., t = O e, no ponto r, t = 1.
equaçao geral da reta 34 ~ dada por
y
2!51
® A,~ X .. i,,., y + C3~ = o
f
X
{
'(; )(1 t B12.t
y: y1 -A 12 t
Figura C.03_ Ponto de Intersecção Entre Duas Retas
y
©
X
Figura C.04 _
Localização de um Ponto em
Relação a lln Triãlgulo
F~ C.05_Decomposiçõo de Momentos na Direção da Charneira
252
A K + B Y + e • O 3~ 3.. 31i
(e.o?)
Substituindo-se a equa9ao (e.06.a) na equa9ao (e.o?) e cole-
A
aando-5e tem evidencia, tem-se
A K + B Y + e t =
3.. l 3.. 1 3 .. (C.08) A B - B A
311 12 311 12
Então, se o valor de t ' atender a inequaçao
(e.06.b), o ponto de intersecção r pode ser calculado levan
do-se esse valor na equação (C.06.a); caso contrário, o pon
to de intersecção está fora do segmento de reta I1, nao sen-
' ' do, portanto, valido para os propositos desejados. Note-se,
ainda, que o denominador nulo na equaçao (e.oe) significa
que as retas são paralelas ou coincidentes, não havendo en
tão intersecção ou infinitas intersecções.
e.~ - Localizar um Ponto P em Relação a um Tri~ngulo Dado
' Quando se deseja um refinamento automatico da ma-
lha, tendo-se definido os carregamentos em relação aos eixos
A
de referencia globais pode-se deixar por conta do algoritmo
a localização do ponto de aplicação da carga e a considera
ção da sua contribuição para os esforços nos elementos. Um
possível procedimento para a localização do ponto !'._, sendo
A
dadas as suas coordenadas e os pontos que definem o triangu-
lo, figura (e.04) 1 está descrito a seguir.
253
Suponha-5e, inicialmente, apenas para efeito de
vi5ualiza9ão, que o ponto~ encontra-se dentro do tri;ngulo.
A I A I
Unindo-o aos tres vertices, detine-5e tre5 areas cujos valo-
res podem ser calculados com
Se s
então
senaa
s 1 ( A XP B yp e l (e.os.a) = -2- + + l 23 23 23
s 1 ( A XP B yp e l (C.08.b) = -2- + + 2 3 l 3 l 3 l
s 1 ( A XP B yp e l (C.08.c) = -2- + + 3 l 2 l 2 l 2
Assim1
l < o ou s < o ou s < o
2 3 ,
" p esta fora do triangulo
se s > o e s > o e s > o l 2 3
então ,
" p esta estritamente dentro do triangulo
,senao se s - o l
então se s = o 2
então P coincide com o n~ 3
senao se s = o 3
então P coincide com o n~ 2
senao P est~ sobre o lado 23
s - o 2
então se s
então
senao
3
, 5enao p e5ta
p
p
= o ,
coincide com o no l ,
t1 esta sobre o lado
sobre o lado t1
254
C.6 - Contribuição do Momento numa Direção Qualquer
ao Momento na Direção de uma Charneira
duras fossem ortogonais e seguindo a disposi9ão dos eixos!
e !I entretanto, em muitos casos, existem outras armaduras
que podem nio seguir essa determina9io mas cuja A
influencia
pode ser relevante para o momento resistente da charneira.
' ' -O objetivo deste item e calcular a contribuiç,ao desses mo-
mentas. Seja, então, a figura (C.05). Decompondo-se o mo-
menta *m atuante numa direç,ão {! segundo as direç,Ões ! e !,
tem-se
* m • m aos /J K
(C.09.a)
* m • m sen /J y (C.09.b)
Pela equaç,ao (III.01') pode-se escrever
m = ( *m cos p) cos 2 a + ( *m sen p ) n
2 sen a:
(c.10)
' Apos ser trabalhada, a equaç,ao (C.10) pode ser reescrita co-
mo
m = *m [ sen p + ( cos p - sen p) cos 2 a] n
(c.10•)
255
Sendo e5ta a oontribui9io na dire9io da charneira, Multi-
plicando-se esse momento pelo comprimento da charneira, tem-
5e o momento resistente total.
256
A #
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