Tese (Versao Final)

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Tese (Versao Final)

Citation preview

  • Abrao Jess Capistrano de Souza

    Fundamentos para uma Cosmologia deBranas-Mundo

    Tese apresentada ao Instituto de Fsica daUniversidade de Braslia como parte dos re-quisitos necessrios para obteno do ttulode Doutor em Fsica Terica.

    Orientador:Prof. Dr. Marcos Duarte Maia

    Universidade de BrasliaInstituto de fsica

    Braslia

    5 de novembro de 2009

  • iTESE DE DOUTORAMENTO

    Fundamentos para uma Cosmologia de Branas-Mundo

    Por

    Abrao Jess Capistrano de Souza

    Orientador

    Prof. Dr. Marcos Duarte Maia

  • ii

    Dedico este trabalho em especial Maria V. Kuznetsova,

    minha famlia e aos meus saudosos pais in memorian.

  • iii

    Agradecimentos

    Ao professor Marcos Duarte Maia pela orientao na longa jornada para

    realizao deste trabalho bem como para o meu amadurecimento profissional e pessoal

    pelas inmeras discusses e conselhos.

    Agradeo ao apoio da minha famlia em Belm do Par. s minhas irms: Denise,

    Dbora, Ldia, Mirianilde, Ruth Daisy, Sulamita e Vanise que so o suporte da minha

    vida e que sempre cuidaram de mim. Agradeo Maria V. Kuznetsova por todo amor e

    carinho. minha outra famlia aqui no DF: meu irmo, Joo Capistrano, e famlia, pela

    companhia e amizade. E tambm com muito amor aos meus sobrinhhos: Ana Jlia,

    David Williams, Daniel Wellington, Evelynn, Joo Lucas, Maria Vitria, Oswaldo Neto

    e Valkx Marcelo, que so e sempre sero a alegria da minha vida.

    Um agradecimento aos amigos que cultivamos aqui: Chrystian unstoppable,

    Fbio Moura, Fbio Mendes, Jonathas Hacker Antunes, Jos Antnio Maro, Marcelo

    vio Leineker, Mr. Neo Nanderson Syrlon, Ricardo Silva, Ronni Amorim, Roberto

    Steiner e Pedro Terminator Ivo. E um agradecimento em especial aos meus amigos

    no-fsicos: Adrieen Becker e famlia, Hermesson Medeiros, Aftab Malik, Khoa nga,

    Le Van, Le Mihn e Paulo Roberto Ferreira.

    Ao Instituto de Fsica da Universidade de Braslia e ao Conselho Nacional de De-

    senvolvimento Cientfico e Tecnolgico (CNPq) pela bolsa de estudo que nos permitiu

    a realizao desta pesquisa.

  • iv

    Cosmologists are often in error,

    but never in doubt.

    Lev Landau

    Assim como a arte no consiste apenas em obras de arte,

    mas numa atitude, no esprito artstico,

    a cincia no consiste na acumulao de conhecimento,

    mas na criao de novos modos de percepo.

    John Horgan

  • vResumo

    O principal objetivo desta Tese est em estudar o problema da Energia Escuraem Cosmologia do ponto de vista da proposta das Branas-mundo. Com base nas obser-vaes mais recentes em astrofsica, principalmente nos experimentos WMAP e SNLS,notamos que a Energia Escura um elemento perturbador da geometria do universodescrito pelo modelo padro de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker. Procuramosentender as perturbaes desta gravitao sob a tica de uma geometria que parte domesmo princpio perturbador descrito pelo teorema de imerses de Nash. Quando apli-cado Brana-mundo, ele gera um processo perturbativo e contnuo da geometria douniverso causado por campos de spin-2. O uso de campos de spin-2 considerados comoo campo de interao gravitacional no um fato novo e tm sido explorados desde aprimeira metade do sculo XX com as contribuies de Weyl, Dirac e a formulao La-grangiana de Pauli-Fierz que influenciaram decisivamente estudos subsequentes comoos de Gupta e Salam. Neste sentido, o teorema de Gupta proposto em 1954 estabeleceque campos de spin-2 em um espao-tempo de Minkowski pode ser descrito por umsistema de equaes do tipo Einstein. Em uma abordagem diferente, mostramos queo teorema de Gupta prov uma teoria dinmica de Branas-mundo para a curvaturaextrnseca considerada como um campo de spin-2 e pode ser aplicado como soluo aoproblema da Energia Escura. Assim, a Energia Escura essencialmente interpretadacomo um efeito perturbativo da geometria induzido pela curvatura extrnseca.

  • vi

    Abstract

    The main purpose of this thesis is to study the Dark Energy problem in Cosmol-ogy from the point of view of the Brane world proposal. Based on recent astrophysicalobservations, mainly on WMAP and SNLS experiments, we noted that Dark Energyis a perturbing element on the geometry of the universe described by the Friedmann-Lematre-Robertson-Walker standard model. We try to understand the perturbationsof this gravitation starting from a geometry originated by the same perturbation princi-ple described by Nashs embedding theorem. When applied to Brane world it generatesa perturbative and continuous process of the geometry of the universe caused by spin-2fields. The use of spin-2 fields regarded as the interaction field of gravitation is not anew address and have being exploited since the first half of XX century as the con-tributions from Weyl, Dirac and Pauli-Fierz Lagrangian formulation which imprinteda serious effect on subsequent studies as the works of Gupta and Salam. Proposed in1954, Guptas theorem establishes that spin-2 fields in a Minkowski space-time can bedescribed by an Einstein-type system of field equations. In a different approach, weshow that Guptas theorem provides a dynamic theory for the extrinsic curvature re-garded as a spin-2 field and can be applied as a solution for the Dark Energy problem.Thus, Dark Energy is essentially interpreted as a perturbative effect of the geometryinduced by the extrinsic curvature.

  • vii

    Sumrio

    Lista de Figuras p. x

    Lista de Tabelas p. xii

    Unidades e convenes p. 1

    Introduo p. 2

    1 O problema da Gravitao p. 7

    1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) p. 7

    1.1.1 Problemas em grande distncias . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

    1.1.2 Teoria Newtoniana em pequenas distncias . . . . . . . . . . . p. 14

    1.2 As Branas-mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

    1.2.1 A hiptese de ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

    1.2.2 O modelo Randall-Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

    1.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

    2 A teoria perturbativa de Nash e as Branas-mundo p. 26

    2.1 O problema da imerso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

    2.2 Teoria de imerses de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

    2.2.1 Perturbaes de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

  • Sumrio viii

    2.2.2 Variveis da Imerso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

    2.2.3 Consideraes sobre o teorema de Nash . . . . . . . . . . . . . p. 37

    2.3 Determinao das equaes de movimento para as Branas-mundo . . p. 41

    2.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

    3 A expanso acelerada do universo p. 48

    3.1 O dilema de Einstein e o modelo cosmolgico padro . . . . . . . . . p. 48

    3.1.1 A Constante Cosmolgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

    3.1.2 O modelo padro em Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

    3.2 A reconsiderao de e o universo acelerado . . . . . . . . . . . . . . p. 55

    3.3 Os problemas da Energia Escura, da Constante Cosmolgica e algumas

    propostas de soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

    3.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

    3.3.2 A energia do vcuo como Constante Cosmolgica . . . . . . . p. 58

    3.3.3 Algumas abordagens sobre a Energia Escura . . . . . . . . . . p. 61

    3.3.3.1 Mecanismos de ajuste-fino . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

    3.3.3.2 Outros modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

    3.3.3.3 Modelos de Branas-mundo . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

    3.4 A geometria como um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

    3.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

    4 Equaes para o campo de spin-2 p. 79

    4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79

    4.2 Teorema de Gupta e Branas-mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81

    4.3 Condies de metricidade da geometria g e o campo f . . . . . . . . p. 83

  • Sumrio ix

    4.4 Derivao das equaes de Gupta para a curvatura extrnseca . . . . p. 84

    4.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85

    5 Aplicao das equaes de Gupta ao modelo FLRW p. 87

    5.1 Parmetro de desacelerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

    5.2 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95

    Concluso e Perspectivas p. 96

    Referncias p. 100

    Apndice A -- Simetria Z2 e condio de Israel-Darmois-Lanczos p. 109

    Apndice B -- Derivada de Lie p. 112

    Apndice C -- Rotinas maple 10 p. 115

    C.1 Rotina para clculo das equaes de Gupta . . . . . . . . . . . . . . . p. 115

    C.2 Rotinas para o clculo do parmetro de desacelerao . . . . . . . . . p. 117

    ndice Remissivo p. 119

  • xLista de Figuras

    1 Representao padro do problema das curvas de rotao [50] da galxia

    NGC3198 da velocidade de rotao em km/s em funo do raio (em

    Kpc) em relao ao centro da galxia. Note a discrepncia da ve-

    locidade observada (linha de pontos) e a predio terica Newtoniana

    (linha de tringulos) em regies distantes do centro da galxia. . . . p. 11

    2 Composio do universo jovem e do universo atual de acordo com o

    quinto ano de medidas do WMAP [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

    3 O quinto ano de medidas do WMAP relativo ao espectro de potncia

    da radiao csmica de fundo [4, 5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

    4 Represento de um Orbifold onde se tem duas regies de separao

    vis e hid no contexto do modelo de Horava-Witten, onde o bulk de

    11-dimenses em um contorno de 10-dimenses. . . . . . . . . . . . . p. 22

    5 Representao pictrica do modelo Randall-Sundrum. De acordo com

    o RS-II, a Brana-mundo fsica um contorno que separa os lados (+)

    e (-). Por uso da simetria Z2 os vetores normais A superfcie so

    refletidos como em um espelho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

    6 Disposio dos vetores normais Aa e as coordenanas ortogonais defor-

    madas ZA, na Brana-mundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

    7 Dependendo do valor da densidade de energia, a geometria espacial

    do universo pode ser diferente. Para uma geometria fechada (closed)

    os ngulos internos do tringulo so maiores que 180. Para geome-

    trias aberta (open) e plana (flat) os ngulos internos do tringulo so,

    respectivamente menores e iguais a 180 [90]. . . . . . . . . . . . . . . p. 52

  • Lista de Figuras xi

    8 Evoluo do fator de escala em diferentes cenrios cosmolgicos de

    acordo com os valores da curvatura espacial k e parmetros cosmolgi-

    cos na Relatividade Geral. No entanto, com a descoberta da Energia

    Escura, novos cenrios cosmolgicos so propostos no se limitando a

    apenas trs conforme a figura acima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

    9 Relao distncia-luminosidade e redshift do modelo CDM comparado

    aos dados experimentais em diferentes escalas de redshift [124]. . . . . p. 61

    10 Parmetro de desacelerao em termos do redshift com valor fixo para

    x = 0.7 e para valores de w > 1 para SNIa, w = 1 para ConstanteCosmolgica e w < 1 para o caso phantom. . . . . . . . . . . . . . p. 65

    11 Parmetro de desacelerao q(z) (eixo vertical) em termos do redshift

    (eixo horizontal) para os espao-tempos de Sitter com = +1(figura

    da esquerda) e anti-de Sitter com = 1 (figura da direita) [29], paradiferentes valores de w0. As observaes cosmolgicas [2] indicam que

    o cenrio de expanso acelerada do universo compatvel com espao-

    tempo de Sitter em 5-dimenses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

    12 Parmetro de desacelerao em termos do redshift para diferentes val-

    ores de ext, 0 e 20. Note que o modelo XCDM reproduzido para

    os valores de 0 = 1.55(w0 = 0.6), 2(w0 = 1), 2.75(w0 = 1.5) evalores de 20 que anulam (z) para cada valor de z. . . . . . . . . . . p. 93

    13 Parmetro de desacelerao usando o sinal negativo da exponencial

    exp((z)) em termos do redshift com valores m = 0.24, ext =0.81221 1012, 0 = 6 e 20 = 195. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94

    14 Contorno 2 no espao paramtrico 0 (eixo vertical) e m (eixo hor-

    izontal). Os valores de m variam entre 0.2 0.3 de acordo com osdados observacionais. O nvel de confiana da ordem de 68,3% est

    para valores de 0 = 5.35+0.70.6 e 20 = 0.7 [166]. . . . . . . . . . . . . p. 94

  • xii

    Lista de Tabelas

    1 Valores estimados de algumas escalas de energia [16, 19]. . . . . . . . p. 4

    2 Quantidades fundamentais da escala de Planck, onde 0 a permissivi-

    dade eltrica e k a constante de Bolztmann. . . . . . . . . . . . . . p. 15

    3 Condies de metricidade da geometria g e para o campo f . . . . . p. 84

    4 Valores de z e 20 para o intervalo z [0, 10]. . . . . . . . . . . . . . . p. 93

  • 1Unidades e convenes

    Ao longo deste trabalho, salvo se explicitamente indicado pelo texto, usamos a

    seguinte notao:

    Os ndices com letras gregas indicam a quadrimensionalidade do espao, portanto

    variam de 1 a 4;

    As letras latinas minsculas so usados para indicar as dimenses extras e variam

    4 + 1...n;

    A dimensionalidade do espao ambiente (bulk) representada pelos ndices latinos

    maisculos e varia tal que 4 + 1...D;

    As letras R,G.. indicam quantidades do bulk enquanto que R , R,Q , ... sorelativos Brana-mundo;

    A assinatura usada (+,+,+,).

    respeito das unidades, temos

    Grandezas e constantes valor estimadoenergia 1Gev = 1.6022 1010 J

    temperatura 1Gev = 1.1605 1013 Kmassa 1Gev = 1.7827 1027 kg

    comprimento 1Gev1 = 1.9733 1016 mtempo 1Gev1 = 6.6522 1025 s

    constante gravitacional G = 6, 674 1011m3s2.kg1parsec 1pc = 3.0856 1016m

    massa solar M = 1.989 1030kgParmetro de Hubble h = H0

    100km.s1.Mpc1

    densidade do universo 0 = 1.8789 1026h2.kg.m3

  • 2Introduo

    The eternal mystery of the world is its comprehensibility

    Immanuel Kant

    As primeiras evidncias de uma possvel expanso acelerada do universo foram

    obtidas atravs do telescpio espacial Hubble de supernovas1 do tipo Ia (SNIa) em

    1998 [2]. Os dados sugeriam a existncia de alguma forma de energia, ou matria no

    aglome- rada, que permeia, segundo dados atuais, 72% [35] de todo o universo com

    presso negativa o que gera uma expanso acelerada do mesmo. interpretada como

    uma gravitao repulsiva no mbito da Relatividade Geral . Este efeito foi denominado

    Energia Escura sendo que esta constatao reforada com a concordncia de outros

    250 eventos em supernovas [6] em observaes astronmicas independentes.

    O principal modelo fenomenolgico para se tentar explicar a Energia Escura

    chamado CDM e est baseado em duas componentes que por si mesmas represen-

    tam dois grandes problemas da fsica Contempornea. A componente CDM ou Matria

    Escura fria advm do problema da Matria Escura [7] a qual considerada uma forma

    de matria extica2 cujo efeito local ou astrofsico puramente atrativo. A idia da

    possvel existncia de uma Matria Escura no universo se originou no problema do au-1Embora no haja uma definio exata, denomina-se supernova exploso de uma estrela emitindo

    brilho intenso que (...)deixa de existir como uma entidade estelar [1]. um dos provveis (raros)destinos da evoluo estelar dependendo da massa da estrela que deve ser da ordem estimada cerca de 10massas solares. Em particular, as supernovas do tipo Ia ocorrem quando uma an branca em um sistemabinrio acreta massa e ultrapassa o limite de 1.44 massas solares. Possuem fundamental relevncia nacosmologia experimental sendo o nico tipo que pode ser considerado como vela padronizvel na aferiode distncias cosmolgicas pelo brilho que emitem. Alm disso, as supernovas tambm contribuem demodo significativo para a produo de elementos pesados importantes para a formao de novas estrelas.

    2Matria extica seria um tipo de matria fora do modelo padro da fsica de partculas a qualconstituiria a Matria Escura. Em dados recentes providos pela sonda espacial Wilkinson MicrowaveAnisotropy Probe (WMAP) [4,5] reforou a indicao da influncia (ou provvel existncia) desse tipode matria e isso tem sido considerado uma importante restrio elaborao de teorias gravitacionaisessencialmente barinicas. Note que a matria comum formada essencialmente por brions (quarks)e lptons (p.ex, eltrons).

  • Introduo 3

    mento da velocidade de rotao de regies de nuvens de hidrognio em regies afastadas

    do centro das galxias, particularmente nas galxias espirais o efeito mais evidente [8].

    Em outros trabalhos, sugere-se que o efeito cosmolgico da Matria Escura est vin-

    culado com a formao de grandes estruturas no universo [9, 10], isto , de galxias,

    aglomerados e super-aglomerados de galxias. Assim, a priori, a Energia Escura e

    Matria Escura so elementos de caractersticas gravitacionais opostas o que tem mo-

    tivado vrios trabalhos no intuito de unific-las3. Este cenrio de eventos sugere que

    no incio do universo, aps a Inflao4, a Matria Escura exerce papel cosmolgico

    dominante. Por conseguinte, aps a formao de grandes estruturas (nucleossntese),

    o sentido deste cabo-de-guerra [14] cosmolgico mudou para uma fase acelerada de

    expanso em torno de um redshift aproximado de 0.5.

    A outra componente a Constante Cosmolgica a qual tem sido reconsiderada

    e associada como candidata Energia Escura. Com sinal apropriado, i.e, do ladodireito das equaes de Einstein, a Constante Cosmolgica gera um efeito de repulso

    gravitacional. O espao-tempo de curvatura constante compatvel o espao-tempo de

    de Sitter . No entanto, um outro problema surge5 devido diferena de 123 ordens de

    grandeza entre o valor da densidade de energia do cosmolgico medido experimental-

    mente, i.e, 1047 GeV4 e a estimativa da densidade de energia do vcuo quntico< v > da ordem de 1076 GeV4 [15, 16] pela teoria quntica de Campos.

    Em conjunto com o problema da matria escura, o problema da Constante Cos-

    molgica no pode ser ignorado. Ele representa tambm uma restrio elaborao

    de teorias fsicas para gravitao quntica as quais devem ser capazes de resolver o

    problema de hierarquia das interaes fundamentais [1721] que consiste na diferena3Cabe lembrar que existem modelos de unificao entre Energia e Matria Escuras, como a

    quartessncia [11, 12] que tem como principal candidato o gs de Chaplygin.4Crticas parte, o modelo de Inflao [13] pode ser considerado o grande pilar do modelo cos-

    molgico padro para o big-bang quente resolvendo o problema do horizonte e de velocidades iniciais(flatness) do universo, bem como dispensa a princpio condies iniciais pelas quais o universo foioriginado. Consiste basicamente em um perodo de expanso acelerada no universo primordial. Porconstruo, o chamado campo inflaton seria o responsvel por levar o universo primordial instabili-dade gravitacional o que quebraria a homogeneidade do mesmo formando ento as grandes estruturasno universo.

    5Na verdade, quando comparado com o problema da Energia Escura, o problema da ConstanteCosmolgica bem mais antigo sendo de fato posto no final da dcada de 1960 com os trabalhos deY. Zeldovich [15].

  • Introduo 4

    entre as escalas electrofraca e de Planck (mpl/mEW 1016) baseado nas medidas dasconstantes de acoplamento, conforme mostrado na tabela 1.

    Escalas fundamentais valor estimadoPlanck 1019 GeV

    Grande unificao 1016 GeVFim da Inflao/reaqueimento 1012 GeV

    Eletrofraca 103 GeVNucleossntese 0.1 MeV

    Recombinao/desacoplamento hidrognio-prton 0.35 eVPerodo atual 104 eV

    Tabela 1: Valores estimados de algumas escalas de energia [16, 19].

    A explicao corrente para Energia Escura baseada em modelos sob condies bem

    particulares, sem nos dar informao sobre a fsica fundamental do problema. Assim, o

    presente trabalho de tese essencialmente voltado ao problema da Energia Escura no

    universo do ponto de vista da proposta das Branas-mundo. Para abordar tal problema,

    requer-se a estruturao de uma teoria completa de Branas-mundo, isto , independente

    de modelos6. Desta forma, isto pode possibilitar uma viso mais global de Cosmologia

    onde o problema da expanso acelerada seja resolvido no contexto de uma teoria mais

    completa de gravitao.

    Mas, por que esta opo por Branas-mundo? Os trabalhos em teorias de dimenses

    extras como as Branas-Mundo [2225] atraram um notvel interesse pela ampla pos-

    sibilidade de resultados para explicar a Energia Escura [26, 27]. No entanto, podemos

    fornecer ainda uma justificativa com base nos vnculos que a Energia Escura e a Matria

    Escura (embora no trataremos especificamente aqui) nos impem a partir dos dados

    observacionais.6Fundamentalmente, os modelos so necessrios medida que a teoria no existe sendo construdos

    no sentido de descrever ou fazer a representao de determinado sistema a ser estudado na tentativade extrair informaes para anlise e conceituao do problema. O termo teoria possui um significadomais amplo no sentido de prover explicao e sistematizao mais rigorosa do conhecimento, almde prever novos fenmenos. Uma teoria fsica deve portanto apresentar rigor matemtico, lgica esimplicidade de acordo com o princpio chamado navalha de Occam. A navalha de Occam umprincpio lgico proposto por William de Occam no sculo XIV em que nos diz que entia non suntmultiplicanda praeter necessitatem (as entidades no devem ser multiplicadas alm da necessidade),sendo precursor do que chamamos hoje de mtodo cientfico.

  • Introduo 5

    O primeiro vnculo diz respeito s perturbaes da gravitao pela Matria Es-

    cura para produzir as perturbaes de densidade de energia [28]. O segundo vnculo

    relativo Energia Escura que requer uma alterao na equao de Friedmann na

    Cosmologia atual baseada na Relatividade Geral. Conforme estudos preliminares [29],

    a nossa justificativa em usar a proposta das Branas-mundo reside no fato de que esta

    teoria possui ambos atributos que satisfazem os vnculos citados: perturbao da ge-

    ometria e alterao da equao de Friedmann. Desta forma, mostramos que a imerso

    uma necessidade inerente elaborao de uma teoria gravitacional mais geral pelo

    aparecimento de novos elementos geomtricos. Tal geometria possui como objeto fun-

    damental a curvatura extrnseca representada por um tensor de segunda ordem k .

    Por definio, a curvatura extrnseca ou Segunda forma fundamental de Gauss mede

    a convergncia/divergncia dos vetores normais uma hipersuperfcie, i.e, da projeo

    da derivada covariante do vetor normal hipersuperfcie em questo [30,31].

    Em nossa abordagem, k representa um campo de spin-2 de carter fundamental7

    no espao-tempo de Minkowski. Isto tambm explicita uma incompleteza da geometria

    Riemanniana pela falta de componentes extrnsecas. Conforme veremos, a alterao

    da equao de Friedmann ser obtida atravs da curvatura extrnseca que passa a ter

    um papel fundamental na dinmica gravitacional, que no existe na teoria de Einstein.

    Em adio, veremos tambm que tudo se deduz a partir do princpio Einstein-Hilbert

    multidimensional.

    Este trabalho est disposto em cinco captulos. No primeiro captulo discutimos

    essencialmente uma tentativa de entendimento da gravitao, incluindo uma breve dis-

    cusso acerca de Newton, Planck e a proposta das Branas-mundo. No segundo captulo

    revisamos a teoria de imerses desde as idias bsicas [32] e de como os princpios da

    proposta das Branas-mundo podem ser em geral interpretados como uma consequncia

    desse processo de imerso.

    Os trs ltimos captulos so dirigidos essencialmente ao problema da Energia Es-

    cura. O terceiro captulo voltado reviso da origem desse problema e acerca de

    algumas tentativas propostas como soluo. No quarto captulo apresentamos a pro-7Empregamos os termos carter fundamental no sentido que a curvatura extrnseca k deva tam-

    bm representar um dos principais campos da natureza, i.e, o campo gravitacional.

  • Introduo 6

    posta para uma teoria dinmica para a curvatura extrnseca k baseada no teorema

    de Gupta [33] para o campo de spin-2. Como aplicao, no quinto captulo tomamos o

    modelo FLRW no intuito de resolver o problema da Energia Escura. As consideraes

    finais so feitas no captulo Concluso e Perspectivas.

  • 71 O problema da Gravitao

    Truth in science can best be defined as the working hypothesis best suited

    to open the way to the next better one.K. Lorenz

    Aps o advento da Relatividade Geral em 1916 como a generalizao da teoria gravi-

    tacional Newtoniana, as preocupaes tericas posteriores eram de buscar a unificao

    da gravitao com o eletromagnetismo. Durante tal perodo, eram essas as interaes

    bem conhecidas e consolidadas do ponto de vista terico e experimental, porm sem

    uma unificao efetiva. Dcadas depois, com a descoberta de duas outras interaes,

    i.e, interaes fraca e forte, verificou-se um problema mais complexo ainda: a gravi-

    tao parece no interagir na mesma escala de energia com as demais interaes, sendo

    que a mesma ainda permanece um dilema na fsica contempornea. Neste captulo

    procuramos revisar e explorar alguns aspectos do desenvolvimento e entendimento da

    gravitao acerca de Newton, Planck e da motivao do programa das Branas-mundo.

    1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validadeda teoria Newtoniana)

    O entendimento da gravitao, e consequentemente da Cosmologia, sempre foi um

    problema desde a antiguidade como por exemplo o modelo Aristotlico no qual a Terra

    era o centro do universo, idia que perdurou at a idade mdia. Levando-se em consi-

    derao os trabalhos pioneiros de G. Galilei, T. Brahe, J. Kepler e colaboraes de

    C. Hugyens, E. Halley e R. Hooke [34, 35] uma teoria de gravitao moderna com

    bases puramente fenomenolgicas foi criada com a sntese proposta por I. Newton.

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 8

    Em 1686, Newton publicou o trabalho Princpios matemticos da Filosofia natural

    [36] em que prope as bases para uma teoria mecanicista. Como aplicao desses

    fundamentos, uma lei da gravitao poderia ser obtida partindo de dois pressupostos.

    O primeiro pressuposto acerca da massa inercial (que se ope ao movimento) igual

    massa gravitacional (que causa o movimento), que era uma aproximao sugerida pelos

    trabalhos de Galilei, embora isso no fosse necessariamente verdade de acordo com a

    segunda lei de Newton. O segundo pressuposto o chamado Teorema das Cascas no

    qual se considerava uma partcula tal que toda a massa da mesma estivesse concentrada

    em seu centro.

    A equivalncia entre as massas gravitacional e inercial foi testada por vrios experi-

    mentos tais como da anlise de perodos de pndulos de igual composio por F. Bessel

    em 1830 e pelo uso de balana de toro por R. von Etvs em 1922 [34]. No entanto,

    todos os experimentos indicavam uma equivalncia entre as massas que ainda vlida

    no momento presente, mesmo com questionamentos e proposies de novas partculas e

    fora de interao [37,38]. Uma discusso mais ampla sobre esse tema pode ser encon-

    trada em [39] onde se apresentam projetos atuais de medio das massas gravitacional

    e inercial, e amplitude de validade da teoria de gravitao de Newton.

    Em noto atual, a lei de gravitao Newtoniana pode ser expressa por

    F = GMm

    r2, (1.1)

    onde G a constante gravitacional Newtoniana, inicialmente concebida como uma cons-

    tante de proporcionalidade no intuito de ajustar corretamente a dimensionalidade das

    grandezas fsicas envolvidas. Historicamente, a balana de toro de H. Cavendish

    usada primeiramente por volta de 1797-98 tinha como intuito determinar a densidade

    da Terra, no entanto, indiretamente, poderia se calcular G dada por

    G = gR2TerraMTerra

    = 6, 74 1011m3s2.kg1 ,

    onde g a acelerao da gravidade, RTerra o raio da Terra e MTerra a massa da

    Terra, com um erro menor do que 1% em relao ao valor atual aceito para a constante

    gravitacional que de G = 6, 6741011m3s2.kg1 [39]. Assim, vemos que a constantegravitacional G coerente e testada experimentalmente em 3-dimenses de acordo com

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 9

    a estrutura do espao-tempo de Newton N4 com topologia produto 3 R, onde 3so as sees de simultaneidade que formam uma foleao no espao-tempo isomorfa ao

    eixo dos tempos R. Em termos da Curvatura Riemanniana, podemos escrever a teoriagravitacional Newtoniana como

    R = 4piG . (1.2)

    Como bem sabido, a teoria Newtoniana, assim como a Relatividade Geral, possui

    uma ampla aplicabilidade mas tambm possui seu domnio de validade. O domnio

    da validade da teoria Newtoniana tem sido amplamente estudado em que se verifica

    importantes problemas observacionais em grandes e pequenas distncias [40] dos quais

    faremos um breve comentrio.

    1.1.1 Problemas em grande distncias

    Desde a 1686 com a publicao dos Principia por Newton, a teoria da gravitao

    universal havia sido considerada vlida na descrio no somente do sistema solar mas

    tambm do universo. Dado o sucesso das observaes e descoberta de novos planetas,

    como Netuno em 1846 por J. LeVerrier, pela anlise da rbita perturbada de Saturno,

    sugeria-se que algum outro corpo celeste deveria estar causando uma influncia gravi-

    tacional sobre a rbita de Saturno. No entanto, LeVerrier calculou um ano antes a

    rbita de Mercrio e encontrou um desvio secular de 35 no perilio do planeta, algo

    no previsto pela teoria newtoniana [34]. O problema foi confirmado em 1882 por S.

    Newcomb com o valor de 43 para o desvio do perilio. O problema s foi resolvido com

    o advento da Relatividade Geral em 1916.

    No sculo XX mais problemas vieram. O final da dcada de 1920 data a descoberta

    de alguns problemas de ordem astrofsica, tais como a rotao diferencial da Via-lctea

    apontada por J. Oort [6] em 1927 sugerindo que a velocidade angular na regio central

    da galxia maior do que na regio perifrica da mesma. Em estudos subsequentes,

    Oort notou que nas vizinhanas do centro das galxias as estrelas tambm se moviam

    rapidamente de modo contrrio ao que se esperava pela teoria Newtoniana. Isso sugeria

    que alguma fora gravitacional extra deveria existir nessa regio de forma que mantesse

    as estrelas em rbita presas galxia, como em um carrossel, o que suscitava uma

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 10

    primeira evidncia indireta da Matria Escura.

    Algo semelhante acontecia quando se ampliava a escala de estudo aos agloremados

    de galxias. Em 1933, Zwicky [7] notou que as velocidades das galxias no aglomerado

    COMA eram bem superiores quelas preditas pela teoria gravitacional Newtoniana. A

    velocidade do aglomerado, bem como sua estabilidade, no poderia ser justificada ape-

    nas levando em considerao a gravidade gerada pela massa visvel. Zwicky aferiu uma

    massa cerca de 400 vezes maior do que o esperado considerando o nmero de galxias

    e a luminosidade do aglomerado. Assim, ao fenmeno desta observao denominou-

    se o problema de massa faltante em aglomerados de galxias j que algo deveria ser

    acrescentado massa visvel do aglomerado para ser compatvel com as observaes.

    Surpreendentemente, as questes apontadas por Oort e Zwicky foram quase esqueci-

    das pela comunidade cientfica. Elas somente foram levadas em considerao de fato

    a partir da dcada de 1970 por Rubin, Ford e colaboradores [8, 4144] que mostraram

    evidncias observacionais para o problema das curvas de rotao em galxias as quais

    confirmavam os estudos de Oort em galxias e os estudos de Zwicky em aglomerados.

    Os estudos de curvas de rotao, isto , da velocidade circular como funo do

    raio no plano da rbita da galxia, realizam uma importante contribuio para o nosso

    entendimento do processo de formao de galxias, particularmente s galxias espirais,

    onde os discos galticos so observados [8,44,45]. As medidas de velocidade so baseadas

    na relao de Tully-Fischer 1 na qual a massa da galxia e o comprimento de onda das

    emisses de rdio do gs de hidrognio neutro na linha de 21cm sugerem que a adio

    de uma grande quantidade de massa iria gerar um aumento da taxa de rotao da

    galxia. Esta tcnica de medio pelo uso de hidrognio neutro muito utilizada para

    o estudo das propriedades do meio interestelar composto basicamente de gs e poeira.

    Assim, desde que tais velocidades sejam muito inferiores velocidade da luz, a teoria

    Newtoniana deveria ser aplicvel. No entanto, o problema surge quando se observa que

    regies de nuvens de hidrognio apresentam altas velocidades nas reas limtrofes da

    galxias onde, em contraste com a teoria de Newton, esperaramos uma diminuio das

    velocidades das mesmas. Por exemplo, se considerarmos uma fora gravitacional agindo1Proposta em 1977, Essa relao estabalece que em galxias espirais a luminosidade L tem uma

    relao com a velocidade de rotao v da galxia tal que L v4. Uma relao igual foi proposta umano antes para galxias elpticas que a relao de Faber-Jackson.

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 11

    sobre uma estrela de massa unitria com velocidade tangencial v = r, =constante

    tal que ~F = v2rr e comparando com a fora oriunda de um potencial gravitacional ,

    obtemos a expresso bem conhecida

    v(r) =

    |rr| , (1.3)

    onde = Mr, sendo M a massa visvel da galxia.

    Portanto, para tentar remediar o problema de curvas de rotao deveramos acres-

    centar uma massa adicional de forma a justificar a estabilidade observada das galxias.

    Para tanto, a massa visvel M da galxia passa ser uma funo do distncia tal que

    v =

    M(r)

    r. (1.4)

    Dessa forma, como esta massa adicional no era visvel foi denomindada de Matria

    Escura. Esta mesma situao ocorre em galxias elpticas [4649].

    Na figura 1 podemos visualizar a diferena de velocidade de rotao nas regies

    entre 5 Kpc e nas regies limtrofes de uma galxia tipicamente espiral.

    0 5 10 15 20 25 30

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    velocidadederota

    o(Km/s)

    raio (Kpc)

    Figura 1: Representao padro do problema das curvas de rotao [50] da galxiaNGC3198 da velocidade de rotao em km/s em funo do raio (em Kpc) em relaoao centro da galxia. Note a discrepncia da velocidade observada (linha de pontos) ea predio terica Newtoniana (linha de tringulos) em regies distantes do centro dagalxia.

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 12

    Com base nas recentes medidas do WMAP [4], temos um universo essencialmente

    escuro com radiao trmica da ordem de 2.732K, 23% de Matria Escura no-

    barinica, 72% de Energia Escura e apenas 4.6% de matria comum (visvel). Como

    mostrado na figura 2, temos uma comparao entre as quantidades que compem o

    universo atual em relao ao universo jovem de 380 mil anos aps o Big-Bang.

    Figura 2: Composio do universo jovem e do universo atual de acordo com o quintoano de medidas do WMAP [4].

    Essas medidas sugerem que a Matria Escura fria(no-termalizada) e no-barinica

    sendo que suas partculas constituintes foram formadas no universo primordial porm

    dotadas de velocidade de disperso inferiores velocidade da luz. Portanto, essa

    partculas seriam frias no sentido que kT

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 13

    rados e super-aglomerados. O modelo atual mais bem sucedido para reproduzir essas

    hipteses o CDM no qual a Constante Cosmolgica responsvel pela expanso

    acelerada do universo e a Matria Escura fria, ou Cold dark matter (CDM), seria res-

    ponsvel induo da formao de estruturas. Isto compatvel com o espectro de

    potncia da radiao csmica de fundo, como mostrado pela figura 3. Analisando os

    Multipole moment l10 100 500 1000

    Tem

    pera

    ture

    Flu

    ctua

    tions

    [K

    2 ]

    Angular Size

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    90 2 0.5 0.2

    Figura 3: O quinto ano de medidas do WMAP relativo ao espectro de potncia daradiao csmica de fundo [4, 5].

    picos acsticos, o primeiro pico nos traz informao acerca do perodo de radiao com

    uma queda no 2 pico e uma sensvel queda no 3 pico (em relao ao 2 pico) devido

    formao de estruturas. Este padro muito bem reproduzido por simulaes com

    CDM.

    No caso de uma teoria barinica, tal como a teoria newtoniana e a sua modificao

    MOND ou MOdified Newtonian Dynamics [51], o 3 pico acstico teoricamente seria

    maior do que apresentado na simulao da figura 3. Isso devido presena de matria

    a qual geraria um sinal maior da radiao, logo a adequao da teoria Newtoniana,

    ou do modelo MOND, seria possvel mediante um extremo ajuste fino. Desta forma,

    o espectro de potncia acaba se tornando uma valiosa ferramenta de teste de teorias

    gravitacionais.

    Do ponto de vista fundamental, a Matria Escura fria no-barinica representa um

    grande dilema acerca da validade da teoria Newtoniana em grande escala da ordem

    de galxias e aglomerados. Tambm tem sido associada ao problema verificado das

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 14

    sondas espaciais pionners 10 e 11 lanadas respectivamente em 2 de maro 1972 para

    visitar Jpiter e 5 de abril de 1973 para Saturno. A anomalia das pioneers [16, 52] diz

    respeito influncia de uma inexplicvel acelerao constante dirigida ao sol de valor

    a = (8 1.3) 1010m.s2 fazendo diminuir a velocidade de escape do sistema solardessas sondas. Uma eventual influncia da Matria Escura foi proposta para tentar

    explicar tal comportamento dessas sondas espaciais.

    Com os exemplos mencionados nesta seo, embora reforamos o aspecto de que a

    teoria Newtoniana seja uma teoria fundamental e bem estabelecida, procuramos mostrar

    os limites dessa teoria frente aos novos problemas da fsica e que se estende tambm

    sua generalizao (Relatividade Geral), como podemos notar no problema da Energia

    Escura o qual a presente tese est dirigida. Em termos de uma anlise acerca dos fun-

    damentos de uma teoria fsica de gravitao deparamos com um importante problema

    conceitual do que seja a gravitao.

    1.1.2 Teoria Newtoniana em pequenas distncias

    A hiptese da validade da teoria newtoniana em escala quntica foi introduzida por

    M. Planck em 1899 e publicado no livro The theory of heat radiation [53] em 1913 com

    a proposio das unidades naturais em que as principais constantes fsicas (velocidade

    da luz c, constante gravitacional G, constantes de Planck h e Boltzmann k) so nor-

    malizadas a 1. Dessa forma, podemos expressar as grandezas de forma adimensional.

    No entanto, importante lembrar que toda considerao acerca dessa constante no

    mbito tridimensional. Nesse sentido, Planck afirma que

    ...the units of length and time were derived from the present dimensions and motions

    of our planet, and the units of mass and temperature from the density and the most

    important temperature points of water ...

    Embora os principais textos da Relatividade Especial tenham sido publicados em

    1905, apenas em 1908 temos a proposta de um espao-tempo quadridimensional por H.

    Minkowski [54] o qual notou que o trabalho de Einstein poderia ser entendido sob o

    ponto de vista geomtrico (no-Euclidiano).

  • 1.1 Acerca da Constante Gravitacional (e da validade da teoria Newtoniana) 15

    Desta forma, define-se as principais quantidades que estabelecem o regime de Planck.

    Grandezas dimenso expresso valor estimado

    Comprimento de Planck L Lp =

    ~Gc3

    1033cmMassa de Planck M Mp =

    ~cG

    1019Gev/c2

    Tempo de Planck T tp =

    ~Gc5

    1044sCarga de Planck Q Qp = 2piMp

    G0 =

    4pi0~c 1018C

    Temperatura de Planck Tp =

    ~c5Gk3

    1032K

    Tabela 2: Quantidades fundamentais da escala de Planck, onde 0 a permissividadeeltrica e k a constante de Bolztmann.

    Nesse sentido, Planck coloca que a validade das quantidades definidas na tabela 2

    permanecem vlidas caso seja vlida a lei da gravitao a qual at 1913 era dada pela

    teoria Newtoniana.

    These quantities retain their natural significance as long as the law of gravitation and

    that of the propagation of light in a vacuum and the two principles of thermodynamics

    remain valid; they therefore must be found always the same, when measured by the most

    widely differing intelligences according to the most widely differing methods.

    De acordo com a tabela 2, a constante G aparece em todas as definies das unidades

    naturais, logo, a tridimensionalidade do espao-tempo Newtoniano usada no contexto

    quntico [55], embora toda teoria quntica dos Campos e Termodinmica ainda per-

    maneam intactas com grande aplicao tecnolgica. Por ter sido um perodo muito

    curto (1899-1913) e de profunda mudana nos fundamentos da fsica, a manuteno da

    dimensionalidade de G supostamente tenha sido a grande regra a no ser violada j que

    somente nas dcadas finais do sculo XIX a constante G foi considerada de fato uma

    constante fundamental da natureza com experimentos de balana de toro. Portanto,

    nesta poca no se tinha qualquer indcio de ordem experimental que pudesse contestar

    a validade de G em pequena escala. No entanto, atualmente a situao bem diferente.

    De acordo com Decca [39,40,56] a gravitao newtoniana vlida em distncias da

    ordem de 103cm todavia com indcios de falha na ordem de 104cm. Nesse sentido, a

  • 1.2 As Branas-mundo 16

    validade de G da ordem do comprimento de Planck carece de base experimental assim

    como da unificao das interaes fundamentais da ordem de 1019Gev. Aparentemente,

    essa incoerncia de G afetaria o processo de quantizao da gravidade levando ao

    problema da hierarquia. Na Relatividade Geral, a constante G aparece nas equaes

    de Einstein como forma de recuperar o limite newtoniano da teoria quando o campo

    gravitacional for suficientemente fraco e em velocidades pequenas quando comparadas

    velocidade da luz (v

  • 1.2 As Branas-mundo 17

    damentalmente relacionadas quiralidade ferminica3 na escala eletrofraca, Rubakov

    e Shaposhnikov [60] propuseram um modelo bidimensional onde o espao fsico estaria

    confinado a um poo de potencial imerso em um espao maior. Isto poderia resolver o

    problema da teoria desde que o carter intrnseco da geometria Riemanniana4 pudesse

    ser alterado. Lembramos que para o espao maior onde a variedade est imersa,

    comum tambm usarmos os termos espao ambiente ou ainda bulk. O termo bulk

    ou o todo muito empregado nos muitos modelos de Branas-mundo sendo oriundo da

    influncia dos modelos de Supercordas onde a imerso global. No entanto, de modo

    a sermos mais precisos usaremos o termo espao ambiente, j que a imerso que faze-

    mos neste trabalho do tipo local, isto , d-se na vizinhana de um ponto de uma

    variedade.

    1.2.1 A hiptese de ADD

    As Branas-mundo apresentaram-se de fato como estrutura terica em 1998 com

    os trabalhos de Arkani-Hamed, G. Dvali e G. Dimopolous ou ADD [22] propondo de

    forma sui generis uma soluo ao problema de hierarquia das interaes sem a adoo

    da supersimetria. Como apontado pelo esquema de ADD, a escala de Planck para a

    gravitao forte desprovida de carter experimental, portanto no impede a elaborao

    de uma teoria gravitacional em escala de energia menor, igual s demais interaes, em

    escala Tev, o que implica que as dimenses extras devem ser maiores que o comprimento

    de Planck (Lp 1033cm). Em resumo, a proposta de ADD uma teoria de Branas-mundo contm trs postulados bsicos:

    1. Existe uma variedade maior ou ambiente com dimenso D > 4 que soluo das

    equaes de Einstein;

    2. A Brana-mundo, ou espao-tempo quadridimensional, est imersa no espao am-

    biente;3A quiralidade ferminica relativa caracterstica de no conservao da paridade em frmions,

    i.e, a maioria dos frmions apresentam helicidade para esquerda. O termo foi cunhado por S.Watanabeem 1957 na Physical Review, 106, p.1306.

    4Com o termo carter intrnseco queremos dizer que a geometria Riemanniana leva em consideraosomente as componentes de vetores tangentes da mtrica.

  • 1.2 As Branas-mundo 18

    3. A gravitao descrita pela mtrica da variedade de 4 dimenses imersa oscila no

    espao ambiente e as ondas geradas propagam-se no espao ambiente, mas as

    demais interaes permanecem confinadas Brana-mundo.

    Apesar de chamar ateno ao problema de hierarquia e de uma realidade multidi-

    mensional, a proposta de ADD se resume a uma mistura ad hoc de topologia produto

    com imerso. No entanto, se Brana-mundo est imersa, isso no caracteriza um produto.

    Para se justificar a anlise das dimenses extras adotou-se uma hiptese simplificadora

    de separao de variveis como mostrado pela eq.(1.6), prpria da topologia produto de

    forma a recuperar a gravitao de Einstein. Assim, a imerso na proposta ADD reflete

    apenas a impreciso de linguagem, pois, de fato, no h o uso de equaes de imerso.

    Propomos nesta tese que a imerso deve ser bem estabelecida para a estruturao de

    uma teoria dinmica. Com uma imerso bem definida, mostraremos que os postulados

    de Branas-mundo so na verdade consequncia da imerso. Por exemplo, a idia de

    que a gravitao se propaga nas dimenses extras a prpria hiptese de que o espao

    ambiente de dimenso D = 4 + n definido pelas equaes de Einstein

    RAB 12RGAB = T AB ,

    onde a escala de energia do bulk e T AB o termo de fonte total. Dessa forma,

    o campo gravitacional acessa ao bulk o que contrasta com as interaes de Calibre

    confinadas Brana-mundo, no entanto isso exatamente o que nos informa o teorema

    de Nash, a ser discutido no captulo 2. Portanto, sob esse contexto, propomos que um

    entendimento mais profundo da geometria de imerses prov uma teoria propriamente

    dita de Branas-mundo, sendo uma necessidade inerente ao entendimento da gravitao.

    Embora colocado como mais um postulado pelo ADD, o confinamento das teorias

    de Calibre uma decorrncia da Relatividade Especial na qual a teoria Eletromagntica

    definida em 4 dimenses na formulao covariante

    F = 4piJ , F

    = 0 ,

    onde a derivada quadrimensional, F o tensor de Maxwell dado por A A no qual A o quadri-vetor potencial, e ainda J a densidade de corrente

  • 1.2 As Branas-mundo 19

    quadrimensional.

    A teoria de Maxwell uma teoria de Calibre local, i.e, temos uma transformao

    de coordenadas especfica para cada ponto do espao-tempo onde as transformaes

    de coordenadas arbitrrias no so vlidas do ponto de vista fsico. O mesmo pode se

    repetir para todo campo de Yang-Mills

    D F = 4piJ , D F = 0 ,

    onde agora D a derivada covariante dada por D = + A, e a curvatura 2-forma

    dada por F = Fdx dx = [D, D ] com o dual F = F dx dx = F .O termo J a corrente de Yang-Mills. Alm disso, D F uma 3-forma e J 1-forma. A igualdade expressa pela equao anterior somente vlida em 4 dimenses.

    Assim, toda teoria de Yang-Mills pode ser consistentemente formulada [61,62] e testada

    experimentalmente em 4-dimenses.

    Sem fornecer uma estrutura terica consistente, a proposta ADD procura mostrar

    como o efeito da gravitao se modifica no espao-tempo quadridimensonal (Brana-

    mundo) e com as dimenses extras atravs de hipteses simplificadoras. Para mostrar

    o efeito das dimenses extras no sentido de justificar a fraca intensidade da intera-

    o gravitacional em relao s interaes de calibre, o esquema de ADD props um

    meca- nismo baseado na lei de Gauss (4 + n)-dimensional para relacionar a escala de

    Planck (4 +n)-dimensional Mpl (4+n) e a escala de Planck quadridimensional Mpl. Para

    tanto, ignoram a definio de Brana-mundo como espao imerso adotando uma topolo-

    gia produto M4 T n, onde M4 espao-tempo quadridimensional e T n um toron-dimensional.

    De acordo com a hiptese de ADD, a gravitao nas dimenses extras em uma

    escala fundamental G pode ser escrita pela ao

    Sgrav = 116piG

    d4xdyn

    |g(4+n)|R(4+n) , (1.5)

    onde g(4+n) a mtrica relacionada ao espao (4+n)-dimensional. No entanto, para que

    a eq.(1.5) tenha dimenso apropriada entre as dimenses extras (oriundas da integrao

    do volume-extra) e o acoplamento da gravidade, assume-se que g(4+n) seja adimensional

  • 1.2 As Branas-mundo 20

    tal que[R(4+n)

    ]tenha dimenso [comprimento]2 = [energia]2, assim a escala G possui

    dimenso [energia](2+n), notando que a escala GN(4) possui dimenso [energia](2). De

    modo a obter uma relao entre as escalas GN(4) e G, deve-se assumir que o espao

    ambiente seja plano (flat) cuja mtrica possa ser escrita como

    ds2 = g(x)dxdx abdyadyb , (1.6)

    onde h uma separao explcita entre os elementos de linha da Brana-mundo dada

    pela mtrica quadridimensional g e do bulk com as coordenadas extras ya tal que

    a = 1...n. Isso, de fato, uma condio simplificadora pois em uma imerso no

    existe tal separao de variveis. Logo, de modo que|g(4+n)| = |g(4)| e R(4+n) =

    R(4), e fazendo efetivamente a integrao das dimenses extras, podemos obter a ao

    gravitacional usual

    Sgrav = 116piGN(4)

    d4x|g(4)|R(4) , (1.7)

    desde que GN(4) = GVn , onde Vn o volume das dimenses extras do espao ambiente

    compacto. A partir disso, deduz-se a expresso de compactificao das dimenses extras

    proposto pelo ADD

    M2pl Mn+2pl (4+n)Rn . (1.8)

    Em um trabalho subsequente em 1999, os autores mostraram que somente para

    n = 2, R 0.2mm poderia-se encontrar um efeito em conjunto das interaes unifi-cadas atravs de um experimento apurado em um futuro prximo [22]. Note que o

    modelo ADD iniciava uma nova fase de tratamento do problema de unificao com a

    noo de confinamento das interaes de Calibre e a propagao da interao gravita-

    cional nas dimenses extras. Estas dimenses extras devem ser compactas e de ordem

    menor que o milmetro para poderem estar compatveis com os testes de gravidade a

    curtas distncias. A noo da Brana como contorno, como as D-branas, motivada pelos

    modelos de supercordas, havia sido modificada nesta abordagem.

    1.2.2 O modelo Randall-Sundrum

    Em 1999, L. Randall e R. Sundrum [23] propem um modelo alternativo ao esquema

    de ADD. O mecanismo para resolver o problema de hierarquia propor uma contrao

  • 1.2 As Branas-mundo 21

    exponencial da mtrica ao longo do espao ADS5 onde a gravidade forte em alguma

    outra regio do espao-tempo e rapidamente perde intensidade quando interage no

    espao quadridimensional, sendo estes separados por um raio de compactificao. Assim

    como no ADD, nos modelos Randall-Sundrum (tipos I e II) a imerso trivializada com

    a adoo de hipteses simplificadoras.

    No primeiro modelo conhecido como RS-I tem-se um bulk de curvatura constante em

    um espao ADS5. Inspirado pelo modelo de supercordas de Horava-Witten5, a Brana-

    mundo uma hipersuperfcie de separao do bulk em duas regies vis e hid6 [63]

    limitadas por um contorno de 4 dimenses que define uma regio compacta no bulk.

    Isso consequncia da adoo da simetria Z2 de um espao tipo S1/Z2. Dessa forma,

    considera-se a Brana-mundo como um contorno de separao entre duas regies do bulk

    rotuladas como lados (+)(vis) e ()(hid). Se definirmos um vetor normal A no lado(+) da Brana-mundo, devido a simetria Z2, produzir um vetor normal no lado () damesma, i.e, A A, conforme a figura 4. Em suma, utilizar a simetria Z2 significaque quando um objeto se aproxima da Brana-mundo o mesmo ser refletido como uma

    imagem no espelho.

    Para a compactificao, propem-se o princpio de ao

    S =

    d4x

    dyG{ + 2M3R}+

    d4xgvis(Lvis Vvis) (1.9)

    +

    d4x

    d4xghid(Lhid Vhid) ,

    onde Lvis e Lvis so as lagrangianas da Brana-mundo em vis e hid, respectivamente. Otermo R o escalar de Ricci em 4 dimenses e M a escala de energia Tev.

    Randall e Sundrum consideram um exemplo simples tomando a eq.(1.9) com a

    mtrica

    ds2 = e2(y)dxdx + r2cdy2 ,

    onde o termo e2(y) informa que a mtrica em 4 dimenses conformemente plana.5Este modelo concebido em um bulk de espao-tempo 11-D com supergravidade em 11-D, a dcima

    primeira dimenso compactificada via simetria Z2 orbifold. Dois pontos fixos na simetria orbifolddefinem duas fronteiras em um espao-tempo em 10-D, ou 9-branas, nas quais os grupos de Calibreesto definidos.

    6Os termos vis e hid so abreviaes das palavras inglesas visible e hidden significando respectiva-mente visvel e oculto.

  • 1.2 As Branas-mundo 22

    HID

    VIS

    10-Dim

    Orbifold (11-Dim)

    Figura 4: Represento de um Orbifold onde se tem duas regies de separao vis ehid no contexto do modelo de Horava-Witten, onde o bulk de 11-dimenses em umcontorno de 10-dimenses.

    Com isso, no RS-I obtem-se as equaes de Einstein em 5 dimenses7 as quais so

    62

    r2c=4M3

    ,

    32

    r2c=Vhid(y)

    4M3rc+Vvis(y pi)

    4M3rc,

    onde = ddy

    e que no so equaes dinmicas j que no uma funo do tempo.

    O fator conforme satisfaz a condio de simetria do orbifold Z2 na qual y y

    = rc|y|

    24M3,

    tal que < 0. Devido essa caracterstica, a Brana-mundo no RS-I no possue uma

    dinmica sendo simplesmente um contorno fixo.

    Note que o modelo Randall-Sundrum ao fazer a reduo dimensional para o ADS5pelo orbifold S1/Z2, implica que as funes imersas no sejam regulares. O uso da

    7Apenas como ilustrao, no modelo Randal-Sundrum, as equaes de Einstein em 5-dimenses sodadas por RMN 12RGMN + GMN = 0, onde RMN e R so respectivamente os tensores de Riccie escalar de curvatura em 5-dimenses e GMN a mtrica do bulk pentadimensional. Assume-se aindaque exista uma soluo quadridimensional que satisfaa a invarincia de Poincar.

  • 1.2 As Branas-mundo 23

    simetria Z2 em conjunto com uma condio particular, a condio de Israel-Darmois-

    Lanczos(IDL) [64] caracterizam o modelo RS-II fornecendo uma dinmica Brana-

    mundo, como mostrado pela figura 5. Neste modelo, o contorno hid removido e

    apenas a Brana-mundo fsica (vis) funciona como contorno entre os lados (+) e ()onde, em consequncia da simetria Z2, aplica-se a condio IDL.

    bulk

    Lado (+)

    Lado (-)

    A

    - A

    brana-mundo

    Figura 5: Representao pictrica do modelo Randall-Sundrum. De acordo com o RS-II, a Brana-mundo fsica um contorno que separa os lados (+) e (-). Por uso dasimetria Z2 os vetores normais A superfcie so refletidos como em um espelho.

    No entanto, a condio IDL no uma consequncia das equaes de Einstein,

    mas um novo ansatz adotado (veja apndice A para mais detalhes), como mostrado

    em [25,29] que relaciona a curvatura extrnseca k com a matria T tal que

    k =

    (T 1

    3T g

    ),

    onde se faz uma perturbao intrnseca (neste caso, T perturbado). Esse tipo de

    perturbao intrnseca semelhante ao que se faz na Relatividade Geral. Desta forma

    k ignorado e portanto o modelo fica sem a necessidade de obter uma equao para

    o mesmo. Assim, toda a referncia curvatura extrnseca k reduz-se a uma descrio

    intrnseca, i.e, com T e g . Cabe lembrar que a condio IDL no a nica a

    condio de juno possvel o que um srio problema, pois diferentes condies de

  • 1.3 Resumo 24

    juno levam necessariamente diferentes resultados fsicos [65].

    Como no esquema ADD, nos modelos RS I e II, fala-se em imerso mas no h

    de fato uma demonstrao explcita como ocorre essa imerso o que acarreta restries

    tanto tcnicas (matemticas) quanto fsicas do modelo com a adoo de proposies

    ad hoc. Isto fica claro, por exemplo, no problema da Energia Escura no qual o uso da

    condio IDL leva uma modificao da equao de Friedmann. Ao invs de explicar

    a expanso acelerada, o modelo RS-II reproduz um universo que se contrai por um

    termo que depende do quadrado da densidade de energia (detalhes no captulo 3) de

    um fluido perfeito. Este um importante sintoma de que h a necessidade de pensarmos

    em uma idia mais geral na qual a curvatura extrnseca seja tratada realmente como um

    campo independente e possua de fato equaes dinmicas. No decorrer deste trabalho,

    mostraremos que podemos desenvolver uma estrutura fsico-matemtica para Branas-

    mundo baseada nos teoremas de imerso e que nos fornece uma soluo para o problema

    da Energia Escura.

    1.3 Resumo

    O acoplamento da gravidade de Einstein com os outros campos constitue uma tarefa

    difcil devido falta de entendimento do que a gravitao realmente . O problema

    persiste porque ainda no temos uma teoria efetiva de gravitao quntica. Como

    colocado por Misner [66], a gravidade no se comporta como uma teoria de Calibre, isto

    , tambm existe uma profunda questo qualitativa que faz com que a gravidade seja

    diferente das demais interaes.

    Neste captulo vimos em linhas gerais como o processo do entendimento das intera-

    es fundamentais da natureza se desesenvolveu desde Newton e em particular at

    a proposio das Branas-mundo. Em frente aos limites da teoria Newtoniana e da

    Relatividade Geral sobre o tratamento dos principais problemas em Cosmologia, como

    a Matria Escura e a Energia Escura, as Branas-mundo, propostas em 1998 com o

    esquema ADD, vieram a fornecer um nova opo fsica.

    Originalmente, a motivao das Branas-mundo oriunda do problema da hierarquia

  • 1.3 Resumo 25

    das interaes fundamentais da natureza. Notou-se que a constante gravitacional de

    Newton simplesmente foi levada ao caso quadrimensional por Einstein (na tentativa da

    Relatividade Geral fornecer o limite Newtoniano em condies especficas de movimento

    lento e campo fraco), porm sem qualquer mecanismo de ajuste que pudesse compati-

    bilizar as dimenses de G e da RG. Para remediar essa situao, nas Branas-Mundo

    considera-se o espao-tempo imerso em um espao ambiente maior tal que a hierarquia

    seja eliminada. No entanto, tanto no esquema de ADD quanto no modelo RS-II a

    imerso ignorada, isto , estes modelos no levam em considerao as equaes que

    a definide. Isto d origem um excesso de postulados ou condies adicionais, e isso

    tem refletido em problemas fundamentais, como o problema da Energia Escura. Como

    tentativa de superar estas limitaes, no captulo seguinte mostramos como podemos

    construir uma teoria efetiva de Branas-mundo com base na teoria de imerses, sem

    necessidade de hipteses adicionais.

  • 26

    2 A teoria perturbativa de Nash eas Branas-mundo

    -O que voc acha disso Rahula? qual o propsito de um espelho?

    - Seu propsito refletir, reverendo senhor.

    - Mesmo assim, Rahula, algo deve ser feito com o corpo,

    depois de muito refletir;

    algo deve ser feito com a fala ...com a mente...

    depois de muito refletir.Majjhima-nikaya, O desperto

    Neste captulo ser apresentada uma formulao de Branas-mundo baseada na

    teoria de imerses o que de fato ignorada pelos modelos de ADD e Randall-Sundrum.

    Sero abordados os fundamentos da imerso e do teorema perturbativo de Nash. As

    equaes de Gauss-Codazzi-Ricci so mostradas aqui cuja fundamental importncia

    reside no fato em que poderemos a partir das mesmas fazer uma dinmica da Brana-

    mundo.

    2.1 O problema da imerso

    O desenvolvimento da teoria de Imerses confunde-se com a histria da geometria

    Riemanniana. Antes de 1850, uma superfcie bidimensional era considerada apenas

    como uma superfcie imersa no espao R3. O trabalho de B. Riemman [67] de 1850

    prope que a descrio da forma local da superfcie de uma variedade pode ser feita

  • 2.1 O problema da imerso 27

    com o tensor de Curvatura

    R(U, V )W = 5U 5V W 5V 5U W 5[U,V ]W ,

    o qual depende apenas da mtrica, no entanto, restrita a uma classe de equivalncia de

    variedades, isto , diferentes variedades que possuem o mesmo tensor de Curvatura.

    Neste sentido, no h referncia prvia a um padro de forma ou curvatura. Por

    exemplo, ao tomarmos um plano em 2 dimenses temos que o tensor de curvatura

    R1212 coincide com a curvatura Gaussiana K, conforme o teorema Egregium de Gauss

    K = k1k2, que nula. O mesmo resultado ocorre para um toro, assim para a geo-

    metria Riemanianna um toro essencialmente um plano. Note que, de acordo com a

    geometria diferencial, duas quantidades adicionais, chamadas curvatura Gaussiana e

    curvatura mdia, so necessrias para podermos definir a forma de uma superfcie.

    A curvatura Gaussiana definida em termos de duas quantidades k1 e k2 que so

    as direes mximas e mnimas usadas para medir a variao de um vetor n normal

    superfcie conforme a frmula de Euler [31]

    k(u) = k1 cos + k2 sin .

    No entanto, curvatura Gaussiana, por si mesma, no define a forma local de uma superf-

    cie sendo somente uma quantidade intrnseca geometria. Para tanto, faz-se necessrio

    introduo da curvatura mdia H, que por sua vez, uma quantidade extrnseca, i.e,

    est vinculada com a definio do vetor normal n superfcie, dada por

    H =1

    2(k1 + k2) .

    Por conseguinte, se formos ao

  • 2.1 O problema da imerso 28

    uma melhor conceituao acerca das formas das coisas. A noo intuitiva de formas foi

    perdida no contexto Riemanniano e foi contestada de forma vigorosa principalmente

    pelos filsofos como I. Kant [68] no livro Crtica da Razo Pura em que diz

    the concept of [Euclidean] space is by no means of empirical origin, but is an

    inevitable necessity of thought.1

    A definio da forma local da geometria Riemanniana foi objeto de uma conjectura

    feita por Schlaefli [69,70] em 1873, supondo que uma variedade Riemanniana deveria ser

    consistente com a teoria Gaussiana das superfcies imersas. Em outras palavras, para

    resolver a ambiguidade do tensor de Riemann qualquer variedade deveria ser imersa em

    uma variedade maior, sendo esta ltima a referncia de curvatura. Mas, como fazer

    a imerso de uma variedade? Uma indicao de uma possvel soluo veio com as

    equaes de Gauss-Codazzi-Ricci.

    Com base a suposio de Schlaefli, podemos conceber genericamente uma imerso

    como sendo a aplicao XA : Vn VD em que Vn uma subvariedade Riemanniana aser imersa em VD, que o espao ambiente Riemanniano arbitrrio receber a imerso.

    As componentes XA = fA(x1, x2, ..., xD) associam a cada ponto de Vn um ponto de VDde coordenada XA. Assim, podemos encontrar a primeira equao de imerso

    g = GABXA,XB, ,

    onde os XA, so componentes de vetores tangentes Vn. Alm disso devemos ter Dnvetores normais Vn que satisfazem a equao de ortogonalidade

    GABXA,Bb = 0 .

    Escolhendo os vetores Aa como sendo mutuamente ortogonais e de norma 1,

    GABAa Bb = gab = 1ab .

    As equaes de imerso nos informam basicamente como a variedade imersa e o espao

    ambiente esto relacionados uma vez determinadas as variveis de imerso XA e Aa .1O conceito de espao [Euclidiano] no de forma alguma de origem emprica mas uma necessidade

    do pensamento.(traduo do autor)

  • 2.1 O problema da imerso 29

    A geometria imersa determinada pela soluo destas equaes que definem

    ka XB,Aa,GAB , (2.1)

    Aab Aa,Bb GAB , (2.2)

    onde ka e Aab so respectivamente a curvatura extrnseca (segunda forma funda-

    mental) e o vetor toro (terceira forma fundamental). Para mostrar a existncia da

    soluo devemos calcular as condies de integrabilidade das equaes de imerso. Tais

    condies so fornecidas pelas equaes de Gauss-Codazzi-Ricci2

    RABCDXA,XB,XC,XD, = R 2gabka[kb] ,

    RABCDXA,Ba XC,XD, = 2ka[;] 2gcdA[cdkc] ,

    RABCDAa Bb XC,XD, = 2A[ba;] 2gcdA[cbAd]a 2gcdk[ckd] .

    Basicamente, as equaes de Gauss e Ricci so equaes diferenciais que relacionam

    as componentes tangenciais e normais, respectivamente, curvatura extrnseca. Uma

    outra relao dada pela equao de Codazzi na qual precisamos diferenciar a cur-

    vatura extrnseca considerada um tensor [31]. Em geral, essas equaes nos fornecem

    como os espaos de mtricas g , gab e GAB se relacionam3. Portanto, a soluo do pro-blema da imerso depende da soluo dessas equaes, o que no tarefa fcil devido

    no-linearidade das mesmas. Uma demonstrao detalhada sobre como obter estas

    equaes podem ser encontradas em [70].

    Todavia, a geometria Riemanniana consolidou-se como padro de geometria com

    o advento da RG em 1916, mas a questo da ambiguidade do tensor de Riemann

    ainda era um problema sem soluo. A conjectura de Schlaefli ficou conhecida como o

    Problema Inverso de Riemann, ou seja, o problema de definio da forma local de uma

    superfcie. As equaes de Gauss-Codazzi-Ricci foram inicialmente resolvidas por Janet

    [71], E. Cartan [72] e C. Burstin [73], porm usando sries de potncias convergentes2Nas equaes, os ndices prximos aos colchetes so anti-simtricos onde ressaltamos com a incluso

    da barra vertical ao lado do ndice prximo ao colchete, p.ex:

    2A[|maA]nb = AmaAnb AmaAnb.

    3Uma descrio mais completa ser feita na seo seguinte.

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 30

    (funes analticas). No entanto, devido rpida convergncia das funes, as solues

    mostravam-se como solues particulares do problema da integrao dessas equaes,

    portanto no eram vlidas para qualquer variedade. A generalidade da soluo das

    equaes viria somente dcadas depois com os trabalhos de J. Nash usando um processo

    perturbativo na geometria.

    2.2 Teoria de imerses de variedades

    Com a utilizao de argumentos de diferenciabilidade e regularidade das funes,

    o teorema proposto por Nash [32] em 1954-56 resolve o problema de imerso, mais

    especificamente o trabalho de 1956 onde trata a imerso local entre variedades Rieman-

    nianas. Em 1954, Nash mostrou que uma variedade C1 pode ser imersa em espaos

    euclidianos de 2n dimenses e em 1956, tratou o caso de Ck para 3 k . Eledemonstrou como fazer a imerso local de uma variedade diferencivel mantendo sua

    regularidade, sendo generalizado por R. Greene estendendo o teorema de Nash para

    mtricas no-positivas [74]. Portanto, a dimenso D do espao ambiente para uma

    imerso isomtrica e local de uma variedade Vn depende das funes de imerso. Por

    exemplo, se utilizarmos o teorema de Janet-Cartan-Burstin com funes analticas, o

    espao total ter o nmero de dimenses D n(n + 1)/2. Todavia, ao utilizarmoso teorema de Nash-Greene o nmero de dimenses do espao ambiente cresce para

    D n(n + 3)/2 [70]. A idia central do teorema de Nash4 pode ser resumida daseguinte forma

    Seja uma funo de imerso X tal que a aplicao X : Vn VD seja regulare diferencivel, ento podemos construir a imerso de qualquer variedade Vnem uma variedade VD suficientemente grande por deformao contnua em

    uma direo normal em um ponto da variedade Vn.

    O procedimento de Nash inova em dois aspectos: primeiro por mostrar que no h

    necessidade da hiptese de analiticidade como usado por Janet-Cartan. Segundo, pela4O trabalho sobre imerses dentro de uma abordagem perturbativa foi originalmente proposto em

    um trabalho pstumo por E.P Campbell em 1926, porm usando a analiticidade das funes [75].

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 31

    natureza perturbativa que dinmica, i.e, da possibilidade de obter equaes de movi-

    mento e integr-las, tal como no problema de Cauchy em Mecnica.

    2.2.1 Perturbaes de Nash

    O teorema de Nash consitui-se em um mtodo matemtico autoconsistente,

    tal que quando consideramos os postulados das Branas-mundo, estes se mostram sim-

    plesmente uma consequncia natural do teorema. Adaptando o teorema de Nash

    Brana-mundo, podemos inicialmente fazer uma imerso local e isomtrica com a apli-

    cao XA : Vn VD em que Vn5 uma subvariedade a ser imersa em VD que o espao ambiente arbitrrio a ser feita a imerso. Temos tambm que A = 1, ..., D

    e D = 4 + n, onde n representa o nmero de dimenses extras. As componentes

    XA = fA(x1, x2, ..., xD) associam a cada ponto de Vn um ponto de VD de coordenadaXA.

    Alm das propriedades de regularidade e diferenciabilidade, que tais variedades, por

    construo, devam apresentar, XA deve tambm satisfazer novamente as equaes deimerso

    XA,XB,GAB = g , (2.3)

    XA,Ba GAB = 0 , (2.4)

    Aa Bb GAB = gab , (2.5)

    que representam respectivamente a condio de isometria, ortogonalidade entre X e, e a normalizao dos vetores para gab = aab com a = 1 cujos sinais estorelacionados s possveis assinaturas das dimenses extras. Para a derivada comum

    usaremos a simbologia (, ) e para a derivada covariante (; ).

    A mtrica GAB a mtrica do espao ambiente em que A,B 1, ..., D, enquantoque g, onde , 1, ..., n, a mtrica da subvariedade imersa no-perturbada Vn.Os a, b so as componentes de vetores normais a Vn com mtrica gab do espao interno

    5Neste captulo, fazemos uso dessa notao onde a barra indica que o elemento em questo no sofreuuma perturbao. Nesse contexto, consideramos a variedade Vn como a Brana-mundo no-perturbada.Como veremos, a perturbao dessa variedade imersa nos dar o comportamento dinmico da mesmano espao ambiente.

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 32

    Bn desses vetores, onde a, b n+ 1, ..., D.

    Conforme o teorema de Nash, ao perturbarmos a geometria da variedade no espao

    ambiente, criamos uma nova geometria que deve estar, para nossos fins, mesmo aps

    a perturbao, confinada ao mesmo espao ambiente, i.e, VD e Vn foram tomadas, de

    forma independente, como variedades Riemannianas.

    2.2.2 Variveis da Imerso

    De acordo com o teorema de Nash, a perturbao da geometria imersa feita em

    uma direo normal superfcie da mesma. Nesse sentido, para fazermos a perturbao

    de um objeto geomtrico situado em um ponto p da variedade, devemos medir a

    variao de ao longo deste ponto tal que

    = p + p.

    A medida de ao longo de uma trajetria de p feita com a introduo da derivada

    de Lie 6 definida pelo ponto p na variedade e pelo seu vetor tangente. Sendo assim,

    podemos por exemplo comparar dois tensores ainda que situados em pontos distintos

    em uma mesma curva. Essa comparao feita pelo arraste (drag) dos tensores ao

    longo da curva.

    Adaptando essa idia para o processo de imerso em Branas-mundo, a derivada de

    Lie nos permite fazer a conexo entre as coordenadas do espao ambiente e da Brana-

    mundo. Para entender isso, podemos optar pela seguinte perturbao orientada em

    uma direo normal = na derivada de Lie, assim temos

    ZA = XA + ya (X )Aa

    .

    Podemos calcular os parnteses de Lie(X )A

    a= [, X ]Aa , sendo que expressamos X na

    base vetorial X = Xa xa

    com parmetro xa da curva definida em um ponto qualquer

    na Brana-mundo, e = A xA

    . Assim, temos

    [, X ]Aa = AXa

    xA

    xaXb

    A

    xb

    xA

    6No apndice A, discutimos com mais detalhes a derivada de Lie.

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 33

    como o vetor normal no depende das coordenadas xa, ento A

    xa= 0, restando-nos

    somente

    [, X ]Aa = AaA

    xa= A

    xA= .

    Obtemos ento

    ZA = XA + yaAa , (2.6)

    que nos informa que a perturbao da coordenada de imerso XA feita na direonormal Brana-mundo, ou variedade imersa, conforme o teorema de Nash.

    De forma anloga, obtemos a perturbao do vetor normal A

    A = + ()A = A . (2.7)

    Assim, conclumos que o vetor normal no se altera sob deformaes, isto = .

    O resultado ZA deve definir uma nova geometria Riemanniana de dimenso V4 cujaimerso dada por ZA que portanto deve satisfazer equaes semelhantes s eqs.(2.3),(2.4) e (2.5). Desta forma, podemos ento estabelecer as novas equaes de imerso da

    variedade deformada como

    ZA,ZB,GAB = g , (2.8)

    ZA,Bb GAB = gb , (2.9)

    Aa Bb GAB = gab = aab , (2.10)

    onde g , ga e gab so quantidades perturbadas. Lembrando que o processo perturbativo

    no arbitrrio, ou seja, o espao de imerses deve ser suave (diferencivel).

    Usando as eqs. (2.4) e (2.6), podemos escrever a eq.(2.9) como

    gb = ZA,Bb GAB =(XA, + yaAa,) Bb GAB ,

    = XA, Bb GAB + yaAa,Bb GAB ,

    gb = ZA,Bb GAB = yaAba , (2.11)

    onde Aba, definido pela eq.(2.2), o vetor toro na geometria perturbada. Note que

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 34

    como A = A, ento

    Aba = Aa,

    Bb GAB = Aa,Bb GAB = Aba , (2.12)

    mostrando-nos que o vetor toro no se altera sob deformaes. O esquema abaixo,

    mostrado pela figura 6, exibe a disposio dos vetores normais Aa e as coordenanas

    ortogonais deformadas ZA, na Brana-mundo. O par {ZA,, Aa } a base de imerso daBrana-mundo no espao ambiente.

    ZA,

    Aa

    Bulk

    Brana

    Figura 6: Disposio dos vetores normais Aa e as coordenanas ortogonais deformadasZA, na Brana-mundo.

    Vamos agora, a partir das equaes da imerso, expressar a mtrica g da Brana-

    mundo em termos de quantidades perturbadas. Para tanto tomaremos as eqs. (2.6) e

    (2.8), tal que podemos escrever

    g = ZA,ZB,GAB =(XA, + yaAa,) (XB, + ybBb,)GAB ,

    = XA,XB, GAB + ybXA,Bb,GAB + yaXB, Aa,GAB+yaybAa,

    Bb,GAB .

    Usando a eq.(2.3) e a curvatura extrnseca dada pela eq.(2.1), podemos escrever

    aps uma mudana de ndices

    g = g 2yaka + yaybAa,Bb,GAB . (2.13)

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 35

    No entanto, precisamos saber como definir o termo Aa,Bb,GAB e express-lo em termosde quantidades extrnsecas (curvatura extrnseca e vetor toro). Essa motivao advm

    do teorema de Nash que nos informa que a perturbao da geometria tem influncia de

    elementos extrnsecos a ela. Assim, podemos tomar a seguinte expresso para Aa, como

    uma combinao linear em termos das bases gaussianas {XA, , Aa } que correspondem sequaes de Gauss-Weingerten [30]

    Aa, = AacgcbAb kagXA, , (2.14)

    Note que atravs dessa expresso podemos reproduzir as equaes que definem ka e

    Aac de acordo com as eqs.(2.1) e (2.2). Para verificar isso, podemos contrair a eq.(2.14)

    com a mtrica GAB e a coordenada no-deformada XA,

    Aa, = AacgcbAb kagXA, XB, Aa,GAB = AacgcbXB, Ab GABkagXB,XA,GAB ,

    e de posse das eqs.(2.3) e (2.4), obtemos a expresso para ka dada pela eq.(2.1).

    Para o vetor toro Aac novamente podemos contrair a eq.(2.14) com a mtrica

    GAB porm agora com a componente normal Bd

    Aa, = AacgcbAb kagXA, Bd Aa,GAB = AacgcbAb Bd GAB kagXA, Bc GAB ,

    e de uso das eqs.(2.4) e (2.5), obtemos a expresso para Aad como visto anteriormente

    na eq.(2.2). De acordo com o que fora abordado anteriormente na eq.(2.14), podemos

    desenvolver o termo Aa,Bb,GAB da seguinte forma

    Aa,Bb,GAB =

    (Aacg

    cbAb kagXA,) (Abdg

    deBe kbgXB,GAB),

    = gcbgdeAacAbdAb

    Be GAB gcbgAackbXB,Ab GAB

    gdegAbdkaXA, Be GAB + ggkakbXA,GAB ,

    e usando as eqs.(2.3), (2.4) e (2.5) podemos escrever

    Aa,Bb,GAB = gcdAcaAdb + gkakb . (2.15)

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 36

    Temos dessa forma a expresso para a mtrica perturbada

    g = g 2yaka + yayb[gkakb + g

    cdAcaAdb], (2.16)

    onde g expressa a mtrica da Brana-mundo no-deformada.

    Podemos fazer um desenvolvimento anlogo para a curvatura extrnseca sob o con-

    texto de deformao da variedade imersa. Desta forma, a curvatura extrnseca pertur-

    bada ser

    ka = Aa,ZB,GAB , (2.17)

    e usando a eq.(2.6) podemos fazer

    ka = Aa,(XB, + ybBb,)GAB = Aa,XB, GAB ybAa,Bb,GAB ,

    = ka ybAa,Bb,GAB ,

    e obtemos

    ka = ka yb(gcdAcaAdb + g

    kakb). (2.18)

    importante notar que os clculos feitos at aqui explicitamente nos mostram como

    fazer uma imerso local de acordo com o teorema de Nash e mais ainda, como ficam

    os elementos de curvatura g , k e Aa ao perturbarmos a geometria imersa que se

    apresenta mais completa com tais elementos. Melhor do que postular como no modelo

    de ADD, a imerso agora considerada princpio norteador para a elaborao de uma

    teoria fsica.

    Estendendo a anlise do que mostramos com o uso da derivada de Lie, o processo

    perturbativo de Nash pode ser entendido tambm pela a relao entre a mtrica e a

    curvatura extrnseca, com a propagao da curvatura extrnseca nas dimenses extras

    ya. Para tanto, podemos tomar a derivada da eq.(2.16) em relao ao parmetro per-

    turbativo ya obtendo

    gya

    = 2ka + 2yaba(gcdAcaAdb + g

    kakb),

    e de acordo com a eq.(2.17) podemos escrever

    gya

    = 2ka ,

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 37

    logo,

    ka = 12

    gya

    , (2.19)

    que a relao de York que denota a evoluo da mtrica deformada da Brana-mundo

    sob o parmetro perturbativo ya. O teorema de Nash parte dessa relao como princ-

    pio para mostrar que toda geometria pode ser gerada por perturbaes. A expresso

    anterior pode ser escrita de modo diferencial como

    g = 2kaya , (2.20)

    a qual nos mostra que as perturbaes de Nash de fato podem ser produzidas a partir

    de pequenos incrementos somados mtrica que no caso mais geral uma funo da

    coordenada extra ya , i.e, g = g + g + .... Isso de fato possui um significado

    fundamental, pois mesmo uma variedade com curvatura extrnseca nula, tal como o

    espao plano de Minkowski, possivel se fazer perturbaes infinitesimais na mtrica

    o que ir induzir o aparecimento da curvatura extrnseca. Assim, recuperamos a noo

    de forma local de uma variedade Riemanniana imersa quando comparada ao espao

    dimensionalmente maior a qual foi imersa. Vemos assim que o postulado de Branas-

    mundo sobre a propagao da gravidade nas dimenses extras na verdade a essncia

    do processo perturbativo de Nash com a propagao da curvatura extrnseca da Brana-

    mundo s dimenses extras, interpretada como um campo geomtrico de spin-2, que

    ser discutido em mais detalhes no captulo 4.

    2.2.3 Consideraes sobre o teorema de Nash

    O processo perturbativo de Nash por si s no capaz de fornecer equaes de movi-

    mento da variedade imersa. Para tanto, precisamos das equaes de Gauss-Codazzi-

    Ricci que nos fornecero naturalmente um Escalar de Curvatura tal que possamos es-

    crever o princpio variacional de Einstein-Hilbert.

    Podemos comear fazendo uso da eq.(2.8), tal que

    g = ZA,ZB,GAB gg = gZA,ZB,GAB .

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 38

    Tendo em vista que

    gg = GABGAB gabgab ,

    logo, temos que

    gg = GABGAB gabgab = gZA,ZB,GAB ,

    e de posse da eq.(2.10), temos ento

    GABGAB gabAa Bb GAB = gZA,ZB, ,

    que resulta na relao

    gZA,ZB, = GAB gabAa Bb . (2.21)

    Para assegurarmos de forma completa a imerso com a deformao do background

    da Brana-mundo no mesmo espao ambiente, i.e, garantir que tal deformao continue

    uma subvariedade do espao ambiente, devemos tomar as componentes do tensor de

    Riemann RABCD do espao ambiente definidas em termos das bases de imerso dageometria perturbada {ZA,, Aa } [25, 77, 78] que correspondem s equaes de Gauss-Codazzi-Ricci [30], dadas respectivamente por

    RABCDZA,ZB,ZC,ZD, = R 2gcdk[|ck]d (2.22)

    RABCDZA,Ba ZC,ZD, = 2k[|a;] 2gcdA[|cak|]d (2.23)

    RABCDAa Bb ZC,ZD, = 2A[|ab;] 2gcdA[|caA]db 2gk[|ak]b (2.24)

    as quais representam as condies de integrabilidade da imerso. Esta integrabilidade

    diz respeito possibilidade de adio de hipersuperfcies de espao-tempo que ao serem

    integradas podemos extrair as equaes de movimento. Como j comentamos, com

    uso da analiticidade das funes como proposto por Janet, Burstin e Cartan, possvel

    obter as solues do sistema. Porm, do ponto de vista fsico, essa uma hiptese muito

    forte para o estudo de processos em que a origem e o fim no so bem conhecidos, como

    no caso da Cosmologia. Por outro lado, o teorema de Nash foi o primeiro a resolver

    as equaes de Gauss-Codazzi-Ricci usando apenas a regularidade e diferenciabilidade

    das funes.

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 39

    O prximo passo ser deduzir a equao de Einstein para o espao ambiente partindo

    do princpio de Einstein-Hilbert, via construo de uma lagrangiana. Denotando ento

    as seguintes expresses

    K2 gabkakb , (2.25)

    ha gka , (2.26)

    H2 gabhahb . (2.27)

    Tomemos ento a equao de Gauss contraindo-a com a mtrica g

    gR = 2gcdgk[|ck]d + gRABCDZA,ZB,ZC,ZD, ,

    R = gcd (gkckd kcgkd) + gRABCDZA,ZB,ZC,ZD, ,

    = gcd (gkckd kchd) +RABCDZA,ZB,(gZC,ZD,

    ),

    e usando a eq.(2.21), temos

    R = gcd (gkckd kdhc) +RABCDZA,ZB,

    (GCD gabCa Db ) ,= gcd (gkckd kdhc) + GCDRABCDZA,ZB, ,

    gabRABCDZA,ZB,Ca Db ,

    que resulta em

    R = gcd (gkckd kdhc) +RABZA,ZB, gabRABCDAa ZC,ZB,Db . (2.28)

    Assim, ao tomarmos a eq.(2.28) contrada novamente com uma mtrica g

    gR = ggcdgkckd gkdgcdhc + gRABZA,ZB,

    gabRABCDAa(gZC,ZB,

    )Db ,

    e de uso das eqs.(2.21), (2.25) a (2.28), temos

    R = gcdkckdgcdhchd+RAB(GAB gabAa Bb )gabRABCDAa Db (GBC gcdBc Cd ) ,

    =(K2 H2)+RABGAB gabRABAa Bb gabGBCRABCDAa Db ,

  • 2.2 Teoria de imerses de variedades 40

    +gabgcdRABCDAa Bc Cd Db ,

    em que obtemos uma equao para o Escalar de Curvatura

    R =(K2 H2)+R 2gabRABAa Bb + gadgbcRABCDAa Bb Cc Dd . (2.29)

    O princpio de Einstein-Hilbert para a geometria do espao ambiente

    A =RG dDV .

    Assim, pela eq.(2.29) podemos escrever

    A =RG dDV =

    (R (K2 H2))G dDV + (2.30) (

    2gabRABAa Bb gadgbcRABCDAa Bb Cc Dd)G dDV ,

    e obtemos a ao

    A =AG dDV ,

    onde A a lagrangiana confinada na Brana-mundo. Tomando a variao da aoEinstein-Hilbert do espao ambiente

    A

    GAB = 0 ,

    temos as equaes de Einstein

    RAB 12RGAB = T AB , (2.31)

    onde T AB o tensor energia-momento do espao ambiente e um parmetro associado

    energia de escala do mesmo espao (no necessariamente a constante gravi- tacional

    G). Desta forma, como extenso do processo perturbativo de Nash e de uso das equaes

    de integrabilidade de imerses, mostramos que satisfaz o fundamento do teorema de

    Nash acerca da suavidade. Essa suavidade (diferenciabilidade) da imerso se relaciona

    muito bem com o princpio Einstein-Hilbert. Esse princpio essencialmente nos informa

    que a curvatura do espao ambiente a mais suave possvel, isto , em sua forma

    mais simples, o Escalar de Curvatura R linear. Assim, vemos que o postulado de

    Brana-mundo sobre a adoo da mtrica GAB do espao ambiente como soluo das

  • 2.3 Determinao das equaes de movimento para as Branas-mundo 41

    equaes de Einstein na verdade uma consequncia natural da imerso. importante

    notar que o difeomorfismo e o princpio da Equivalncia da Relatividade Geral no so

    levados ao espao ambiente, sendo confinados na Brana-mundo. Note que a eq.(2.31)

    obedece s identidades contradas de Bianchi o que implica que poderamos adicionar

    uma Constante Cosmolgica ao espao ambiente. No entanto, como a imerso que

    estamos trabalhando do tipo local, a Constante Cosmolgica para o espao ambiente

    nula.

    2.3 Determinao das equaes de movimento para asBranas-mundo

    Como qualquer Brana-mundo se comporta como subvariedade do espao ambi-

    ente, de modo geral podemos usar a eq.(2.31) para encontrar as equaes de movimento.

    De modo a facilitar o clculo, podemos tomar a eq.(2.29) multiplicada por 12g , tal

    que

    12Rg = 1

    2

    (K2 H2) g 1

    2Rg + gabRABAa Bb g ,

    12gg

    adgbcRABCDAa Bb Cc Dd ,

    e ento somando-a com a eq.(2.28) temos

    R 12Rg = g

    cd (gkckd kdhc) +RABZA,ZB, gabRABCDAa ZC,ZB,Db ,

    12

    (K2 H2) g 1

    2Rg + gabRABAa Bb g ,

    12gg

    adgbcRABCDAa Bb Cc Dd ,

    e definindo

    Q gcd (gkckd kdhc) 12

    (K2 H2) g , (2.32)

    W gabRABCDAa ZC,ZB,Db , (2.33)

    W gadgbcRABCDAa Bb Cc Dd . (2.34)

  • 2.3 Determinao das equaes de movimento para as Branas-mundo 42

    W e W foram definidos em analogia ao termo de Hawking-Gibbons-York [76] dado

    pela ao

    A = 18pi

    d3xpiK ,

    ondepi o jacobiano de transformao da mtrica induzida piij no contorno e K

    o trao da curvatura extrnseca. Em Relatividade Geral, este termo necessrio

    quando se considera um contorno sobre a variedade do espao-tempo. No entanto,

    quando tomamos as componentes do tensor de Riemann RABCD do espao ambi-ente temos que alm das equaes de Gauss-Codazzi-Ricci, obtemos as componentes

    RABCDAa ZC,ZB,Db e RABCDAa Bb Cc Dd . Logo, os termos W e W tornam-se redun-dantes e podem ser eliminados das equaes. Note ainda que Q uma quantidade

    conservada no sentido que Q; = 0.7

    Assim, podemos escrever

    R 12Rg = Q +RABZA,ZB,

    1

    2Rg + gabRABAa Bb g ,

    e usando a eq.(2.8) temos

    R 12Rg = Q +RABZA,ZB,

    1

    2RZA,ZB,GAB + gabRABAa Bb g ,

    que resulta em

    R 12Rg = Q +

    (RAB 1

    2RGAB

    )ZA,ZB, + gabRABAa Bb g . (2.35)

    7Para mostrarmos isso, podemos tomar diretamente a derivada covariante da eq.(2.32)

    Q ; = gcd(kc ;k

    d + kck

    d ; kd ;hc kd ;hc ;

    ) 1

    2(K2; H2;

    )g ,

    onde usamos a condio de metricidade g ; = 0. Explicitando todos os termos, temos que

    Q ; = gcd(kc ; k

    d + kc k

    d ; kd ; gkc kd gkc ;

    )1

    2(gcdkc; kd + g

    cdkd kd ; gcd2hch d;)g .

    A manipulao de ndices nos permite o cancelamento de alguns termos e obter

    Q ; = 12gcdg (hchd ; + hchd ; 2hchd ;) ,

    que nos fornece Q; = 0.

  • 2.3 Determinao das equaes de movimento para as Branas-mundo 43

    Tomando as equaes de Einstein para o espao ambiente, e, em analogia com as

    equaes de imerso, propomos as componentes do tensor energia-momento para fontes

    confinadas oriundas de A como

    T = TABZA,ZB, , (2.36)

    T b = TABZA,Bb , (2.37)

    T ab = TAB

    Aa

    Bb . (2.38)

    A definio de confinamento uma questo delicada nos modelos de Branas-mundo.

    Particularmente no modelo RS usa-se que T = T(y), onde T se anula na coor-

    denada extra y = 0, que uma condio de contorno. Do ponto de vista perturbativo

    de Nash, o confinamento deve prevalecer para qualquer Branas-mundo e no apenas

    para y = 0. Propomos ento as relaes de confinamento das interaes de calibre

    vlidas para qualquer Branas-mundo

    T = 8piGT , (2.39)

    T b = 0 , (2.40)

    T ab = 0 . (2.41)

    De fato, como comentado anteriormente, o confinamento decorrncia direta da Rela-

    tividade Especial, onde fundamentalmente as teorias de Calibre so construdas e