JOSÉ EDUARDO SANTOS OLIVEIRA

MÉTODO DA FRONTEIRA IMERSA APLICADO À MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE

ESCOAMENTOS TURBULENTOS SOBRE GEOMETRIAS MÓVEIS E DEFORMÁVEIS

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para a obtenção do título de DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA. Área de Concentração: Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos. Orientador: Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto Co-orientadora: Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva

UBERLÂNDIA - MG 2006

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação O48p

Oliveira, José Eduardo Santos, 1978- Método da fronteira imersa aplicado à modelagem matemática e si-mulação numérica de escoamentos turbulentos sobre geometrias móveis e deformáveis / José Eduardo Santos Oliveira. - Uberlândia, 2006. 164f. : il. Orientador: Aristeu da Silveira Neto. Tese (doutorado) – Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Inclui bibliografia. 1. Mecânica dos fluidos - Teses. 2. Turbulência - Teses. 3. Otimização - Teses. 4. Dinâmica dos fluidos - Teses. I. Silveira Neto, Aristeu da. II. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em En-genharia Mecânica. III. Título. CDU: 532

À minha família...

i

Agradecimentos

A meus pais Sebastião e Iolanda, minha tia Terezinha e meu irmão Sebastião Carlos,

pelo carinho, compreensão, ajuda e apoio incondicional, em todas as minhas decisões, mesmo

aquelas mais difíceis. Vocês são muito importantes para mim e tenho um grande orgulho por

todos.

Gostaria também de dedicar os mais sinceros agradecimentos aos meus orientadores o

professor Aristeu e a Ana Lúcia, primeiramente pelo caráter, dedicação e competência acima da

média. Pessoas que considero exemplares, e acima de tudo grandes amigos, aos quais deposito

minha total confiança.

Aos colegas do LTCM e da FEMEC, que contribuíram com importantes sugestões e dis-

cussões proveitosas, proporcionando um ambiente agradável. E principalmente aqueles, que

mais do que colegas, se tornaram verdadeiros amigos.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) por financiar

este trabalho e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (POSMEC/UFU) pelo

suporte.

iii

Índice

Índice. .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . iii

Lista de Figuras . .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . vi

Lista de Tabelas . .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . xi

Nomenclatura .. .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. xii

Resumo .. ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... . xvii

Abstract . ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... ..xix

1 Introdução ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 1

2 Revisão bibliográfica ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 5

2.1 Métodos de Fronteira Imersa ...... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 5

2.2 Otimização de forma ...... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 9

2.3 Escoamentos sobre cilindros a altos números de Reynolds ...... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 14

2.4 Problemas com fronteira móvel.... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 21

3 Modelo Matemático .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 31

3.1 Método da fronteira imersa.... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 31

3.1.1 Modelo matemático para o fluido ..... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 32

3.1.2 Modelo matemático para a interface sólido-fluido ..... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 33

3.2 Função indicadora .... ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 35

3.3 Modelagem da turbulência .... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 35

3.3.1 Metodologias de simulação.... ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 37

3.3.2 Modelos de turbulência..... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 43

4 Metodologia Numérica . .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 51

4.1 Discretização do domínio euleriano...... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 51

4.1.1 Acoplamento pressão-velocidade .... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 51

4.1.2 Discretização temporal ..... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. 53

iv

4.1.3 Discretização espacial das equações .... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 53

4.1.4 Discretização do modelo de Spalart-Allmaras ...... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 56

4.1.5 Discretização para a função indicadora.... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 58

4.2 Discretização do domínio lagrangiano.... ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 59

5 Resultados e Discussão – Simulações sem Modelagem da Turbulência ... .. ... .. .. ... .. . 67

5.1 Interfaces móveis: cilindro de diâmetro variável no tempo .... ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 68

5.1.1 Escoamento sobre um cilindro com diâmetro crescente ...... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 69

5.1.2 Influência da velocidade de movimentação .... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 71

5.1.3 Movimentação intermitente .... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 77

5.1.4 Movimentação cíclica ...... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 78

5.2 Método inverso aplicado a otimização de forma ....... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 80

5.2.1 Definição do problema..... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 80

5.2.2 Descrição do otimizador – Simulated Annealing ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 83

5.2.3 Resultados ...... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 86

5.3 Porque modelar a turbulência ?..... ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 93

6 Resultados e Discussão – Simulações com Modelagem da Turbulência ... .. ... .. .. ... .. . 97

6.1 Simulações de escoamentos sobre cilindros circulares para altos números deReynolds.... ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. . 98

6.1.1 Refinamento de malha .... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 100

6.1.2 Resultados para os coeficientes das forças.... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 101

6.1.3 Freqüência de desprendimento de vórtices .... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 104

6.1.4 Ângulo de separação da camada limite ..... ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 105

6.1.5 Distribuição de pressão ..... ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 108

6.1.6 Visualização do escoamento .... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 112

6.2 Escoamentos sobre aerofólios.... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 122

6.2.1 Aerofólio estacionário...... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 124

6.2.2 Aerofólio móvel – oscilação harmônica .... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 126

6.2.3 Aerofólio móvel – altas freqüências de oscilação .... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... . 146

v

7 Conclusões e Perspectivas. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 151

8 Bibliografia .. .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 155

vi

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Problema que motivou o desenvolvimento do método de fronteira imersa. . . . . . 5

Figura 2.2 - Algorítimo de otimização de forma através de métodos clássicos demovimentação da interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2.3 - Esteira de von Kármán com mais de 300 Km comprimento formada sobre ovulcão Beerenberg na ilha Jan Mayen território da Noruega, MISR/NASA. . . . . . . . . . 15

Figura 2.4 - Variação das componentes da força de arrasto em função do número deReynolds e padrões do escoamento, para um cilindro circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Figura 2.5 - Acidente de helicóptero pela falha em uma das pás do rotor devido a esforçoscíclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 2.6 - Histerese na força de sustentação e eventos característicos do escoamentopara um aerofólio em movimento oscilatório, reproduzido de Carr et al. (1977). . . . . . 23

Figura 3.1 - Representação das malhas euleriana e lagragiana para um corpo imerso degeometria arbitrária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 3.2 - Volume de controle em um ponto lagrangiano qualquer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 3.3 - Processo de distribuição da força lagrangiana para os pontos eulerianos. . . . . . 34

Figura 3.4 - Escoamento turbulento, esteira formada atrás de um avião (Fonte :www.nasa.gov). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 3.5 - Esboços de Leonardo da Vinci representando o escoamento da água sobreobstáculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 4.6 - Esquema da malha deslocada utilizado na discretização das equações. . . . . . . 54

Figura 4.7 - Malha não-uniforme e distâncias associadas a face e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 4.8 - Função distribuição Dij aplicada em uma malha bidimensional (N = 2). . . . . . . 60

Figura 4.9 - Pontos auxiliares utilizados no esquema de interpolação para cálculo dasforças lagrangianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 4.10 - Esquema de interpolação da componente horizontal da velocidade para oponto auxiliar 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 4.11 - Esquema de interpolação da componente vertical da velocidade para o pontoauxiliar 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 4.12 - Esquema de interpolação da pressão para o ponto auxiliar 3. . . . . . . . . . . . . . . 64

vii

Figura 4.13 - Determinação da pressão sobre o ponto da interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 5.1 - Esquema ilustrativo do domínio de cálculo e malhas euleriana e lagrangianana região próxima ao cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 5.2 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para oescoamento em torno de um cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 5.3 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds paravárias velocidades de crescimento do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 5.4 - Comprimento da bolha de recirculação formada à jusante do cilindro. . . . . . . . . 73

Figura 5.5 - Comparação das linhas de corrente ao final da movimentação (em preto) comas linhas de corrente para a situação estática (em cinza). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 5.6 - Distribuição do coeficiente de pressão para várias velocidades de crescimentodo cilindro ao final da simulação, ReD = 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 5.7 - Evolução temporal do campo de vorticidade durante o crescimento do cilindropara Vmov = 0, 025[m/s]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 5.8 - Evolução do campo de pressão durante o crescimento do cilindro paraVmov = 0, 025[m/s]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 5.9 - Evolução temporal das linhas de corrente durante o crescimento do cilindropara Vmov = 0, 025[m/s]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 5.10 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para umcrescimento intermitente do cilindro a Vmov = 0, 025 [m/s]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 5.11 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds parauma movimentação cíclica a Vmov = 0, 0125 [m/s]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 5.12 - Distribuição do coeficiente de pressão: (a) cilindro e (b) elipse. . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 5.13 - Pontos de controle utilizados para a definição da geometria. . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 5.14 - Parametrização dos pontos de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 5.15 - Espaço de projeto definido pelas restrições laterais inferior (rinf ) e superior(rsup) ; - - - - - projeto inicial e ——– projeto ótimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura 5.16 - Critério de convergência da função objetivo (IB/VPM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Figura 5.17 - Esquema de funcionamento do Simulated Annealing; distribuição daenergia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 5.18 - Histórico da função objetivo, obtido com a implementação padrão do SimulatedAnnealing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Figura 5.19 - Histórico da função objetivo, obtido com código ASA (Ingber, 1993). . . . . . . . . . 88

viii

Figura 5.20 - Projeto ótimo obtido com o Simulated Annealing padrão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Figura 5.21 - Projeto ótimo obtido com o código ASA (Ingber, 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Figura 5.22 - Histórico dos projetos obtidos com o Simulated Anneling padrão. . . . . . . . . . . . 91

Figura 5.23 - Evolução temporal do coeficiente de sustentação, aerofólio NACA0012 a ReD = 104 e ângulo de ataque α = 8o : —– URANS/S-A e - - - -LES/Smagorinsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura 5.24 - Evolução temporal de linhas de corrente e campo de viscosidade efetivacalculados com modelo de Smagorinsky e S-A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 5.25 - Detalhe do escoamento sobre o aerofólio na região do bordo de ataque: (a)Smagorinsky/LES e (b) URANS/S-A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Figura 6.1 - Malha utilizada na discretização do domínio para simulações do cilindroestacionário, destaque para a região do cilindro modelado com o método da fronteiraimersa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 6.2 - Esquema do domínio de cálculo e posicionamento do cilindro. . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 6.3 - Evolução temporal do coeficiente de arrasto: (a) URANS e (b) LES. . . . . . . . . 100

Figura 6.4 - Evolução temporal dos coeficientes de força para ReD = 104: (a) coeficiente de

arrasto e (b) coeficiente de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Figura 6.5 - Coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para um cilindrocircular estacionário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Figura 6.6 - Definição do ângulo de separação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Figura 6.7 - Determinação do ponto de separação através do campo médio de velocidade,ReD = 10

4, para a metodologia LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Figura 6.8 - Distrituição do coeficiente de pressão médio ao longo do cilindro: (a)comparação com resultados experimentais e (b) efeito do refinamento de malha paraLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Figura 6.9 - Distribuição do coeficiente de pressão instantâneo sobre o cilindro,comparados com as medições de Cantwell e Coles (1983): (a) LES e (b)DES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Figura 6.10 - Campo instantâneo de viscosidade efetiva para ReD = 104: (a) LES, (b) DES e

(c) URANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Figura 6.11 - Campo instantâneo de vorticidade (−190 ≤ ωz ≤ 190) para ReD = 104 : (a)

LES, (b) DES e (c) URANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Figura 6.12 - Iso-contornos de pressão para escoamento a ReD = 104: (a) LES, (b) DES e

(c) URANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ix

Figura 6.13 - Linhas de correntes e vetores de velocidade instantâneos para ReD = 104: (a)

LES, (b) DES e (c) URANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Figura 6.14 - Estruturas transientes do escoamento: (a) visualização experimentaltirada de Schlichting (1979) e (b) resultados numéricos obtidos com LES paraReD = 10

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Figura 6.15 - Campo médio do módulo da velocidade para ReD = 104: (a) URANS, (b) DES

e (c) LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Figura 6.16 - Campo médio do módulo da velocidade para ReD = 106, tirado de Catalano et

al. (2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Figura 6.17 - Perfils médios da componente u da velocidade sobre a esteira: secção I emx/D = 0, 50, secção II em x/D = 0, 75 e secção III em x/D = 3, 0. . . . . . . . . . . . . . . 119

Figura 6.18 - Instantes iniciais das simulações para: (a) LES (b) DES e (c) URANS. . . . . . . 121

Figura 6.19 - Malha computacional utilizada nas simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Figura 6.20 - Esquema do dimínio de cálculo e posição do aerofólio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Figura 6.21 - Coeficientes de (a) sustentação e (b) arrasto em função do ângulo de ataquepara um aerofólio estático a ReD = 10

4 ; —o—o— presente trabalho, —o—o— Akbarie Prince (2003) e - - - - XFOIL (Drela, 1989). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Figura 6.22 - Evolução temporal do coeficiente de (a) sustentação e (b) arrasto durante seisciclos oscilatórios ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Figura 6.23 - Histerese nos coeficientes de sustentação e arrasto para aerofólios emmovimento oscilatório ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e freqüências reduzidas : (a)κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e (c) κ = 0, 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Figura 6.24 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação elinhas de corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Figura 6.25 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação elinhas de corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Figura 6.26 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação elinhas de corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Figura 6.27 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fasesdurante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 15. . . . . . 134

Figura 6.28 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fasesdurante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 25. . . . . . 135

Figura 6.29 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fasesdurante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50. . . . . . 137

Figura 6.30 - Comparação do ciclo de histerese nos coeficientes normal e de arrasto para

x

Rec = 104 : —– presente trabalho e – – – resultados numéricos de Akbari e Prince

(2003) ; (a) κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e (c) κ = 0, 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Figura 6.31 - Comparação do ciclo de histerese para o coeficientes de sustentação. —–presente trabalho (Rec = 104) (a) κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e (c) κ = 0, 50.e –o–o–experimental de Panda e Zaman (1994) (Rec = 4, 4× 104): (a) κ = 0, 16 (b) κ = 0, 20 e(c) κ = 0, 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Figura 6.32 - Evolução temporal do coeficiente de pressão durante o último ciclo deoscilação a Rec = 10

4 e κ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Figura 6.33 - Efeito do número de Reynolds na histerese dos coeficiente de sustentação earrasto para aerofólios em movimento oscilatório ; κ = 0, 25, α = 15o, ∆α = 10o enúmeros de Reynolds: (a) Rec = 103, (b) Rec = 5× 103 e (c) Rec = 104. . . . . . . . . . . 143

Figura 6.34 - Visualização do escoamento em túnel de fumaça do escoamento aRec = 4, 4 × 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 20 tirado de Panda e Zaman (1994) ;linhas de corrente, simulação do presente trabalho para Rec = 10

4, α = 15o,∆α = 10oe κ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Figura 6.35 - Aerofólio em movimento oscilatório para altas freqüências, —— coeficiente dearrasto, – – – ângulo de ataque ; Rec = 104, κ = 15, ∆α = 5o e ângulo de ataquemédio: (a) α = 15o, (b) α = 10o e (c) α = 5o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Figura 6.36 - Movimento combinado de oscilação angular e translação vertical, conhecidocomo flapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Figura 6.37 - Coeficientes de arrasto e sustentação para um aerofólio em flapping ;Rec = 104, κ = 5, ∆α = 10o, ∆h = 0, 4c e ψ = 90o : evolução temporal do (a)coeficiente de arrasto e (b) coeficiente de sustentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

xi

Lista de Tabelas

Tabela 5.1 - Comprimento da bolha de recirculação, Lw, para ReD = 40 utilizando váriasvelocidades de movimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Tabela 5.2 - Projeto ótimo obtido com os algoritimos de otimização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Tabela 6.1 - Número de pontos da malha euleriana utilizada nas simulações . . . . . . . . . . . 101

Tabela 6.2 - Coeficiente de arrasto médio obtido nas simulações e resultadosexperimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Tabela 6.3 - Número de Strouhal obtido nas simulações e resultados experimentais. . . . . . 105

Tabela 6.4 - Valor do ângulo de separação do escoamento sobre o cilindro. . . . . . . . . . . . . 106

Tabela 6.5 - Casos simulados para aerofólios em movimento oscilatório dearfagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Tabela 6.6 - Casos simulados para aerofólios oscilantes a altas freqüências. . . . . . . . . . . . 146

xii

Nomenclatura

Letras Latinas

A termo advectivo

c corda do aerofólio

CD coeficiente de arrasto

CL coeficiente de sutentação

Cn coeficiente normal de força

Cp coeficiente de pressão

CS constante de Smagorinsky

ds comprimento entre os pontos lagrangianos

D diâmetro do cilindro, termo difusivo

Dij função distribuição

E energia

f vetor força euleriana, freqüência

F vetor força lagrangiana

Fobj função objetivo

k energia cinética turbulenta

h posição vertical no movimento do tipo flapping

G gradiente da função indicadora

I função indicadora

escala de comprimento

Lw comprimento da bolha de recirculação

n vetor normal

N espaço de projeto, número de dimensões

p pressão

P probabilidade

q polinômio de Lagrange

r raio

Re número de Reynolds

Sij tensor deformação

xiii

s solução

St número de Strouhal

t tempo

T temperatura

u componente horizontal da velocidade

U∞ velocidade da corrente livre

v componente vertical da velocidade

Vmov velocidade de movimentação da fronteira

x coordenada cartesiana horizontal

x vetor posição euleriano

Xk vetor posição lagrangiano

y coordenada cartesiana vertical

Símbolos Gregos

α ângulo de ataque

δ função delta de Dirac

∆ tamanho da malha

φ variável genérica

Γ interface lagrangiana

κ freqüência reduziada

ν viscosidade cinemática

θ ângulo

ρ massa específica

τ ij tensor sub-malha de Reynolds

ω vorticidade

Ω coordenada cartesiana vertical

ψ ângulo de defasagem

Operadores

∆ variação

∂ derivada parcial

xiv

∇ nablaRintegralPsomatórioYprodutório

— interpolação

Índices

0 inicial

i, j pontos eulerianos

k pontos lagrangianos

fk fluido próximo a interface lagrangiana

sep separação

t variável turbulenta

n norte

s sul

e leste

w oeste

Superíndices

∗ grandeza adimensional, variável estimada0 variável aproximadae variável auxiliar

n iteração

Siglas

CFD Computational Fluid Dynamics

DES Detached Eddy Simulation

DNS Direct Numerical Simulation

IB Immersed Boundary

LES Large Eddy Simulation

xv

LEV Leading-Edge Vortex

RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes

TEV Trainling-Edge Vortex

URANS Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes

VPM Virtual Physical Model

xvii

Oliveira, J. E. S., 2006, "Método de Fronteira Imersa Aplicado à Modelagem Matemática e Simu-

lação Numérica de Escoamentos Turbulentos sobre Geometrias Móveis e Deformáveis", Tese de

Doutorado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG, Brasil.

Resumo

A modelagem matemática de escoamentos turbulentos sobre geometrias complexas móveis pos-

sui uma extensa área de aplicações práticas e por isso ocupa lugar de destaque nas pesquisas

recentes em engenharia. Uma linha proposta para o tratamento numérico deste tipo de pro-

blemas são os métodos de fronteira imersa. Esta metodologia, ainda em desenvolvimento, tem

por base a separação do problema em dois domínios distintos, um domínio fixo euleriano utili-

zado para discretizar as equações do fluido e outro lagrangiano usado para representação da

interface fluido-sólido. Como os domínios são geometricamente independentes, não existem res-

trições quanto à movimentação ou deformação de corpos imersos no escoamento. O presente

trabalho apresenta uma extensão do Modelo Físico Virtual, uma metodologia de fronteira imersa

desenvolvida no LTCM/UFU, para a simulação de escoamentos a altos números de Reynolds

sobre geometrias móveis ou deformáveis. O modelo foi utilizado na simulação de escoamentos

laminares sobre corpos deformáveis, aplicados a problemas de otimização de forma. Foram tam-

bém simulados aerofólios NACA 0012 móveis imersos em escoamentos turbulentos. Um estudo

comparativo de três diferentes metodologias de modelagem da turbulência em conjunto com o

método de fronteira imersa foi também realizado. São apresentados resultados dos coeficientes

de arrasto, de sustentação e de pressão, assim como o número de Strouhal e resultados quali-

tativos dos campos de visualização da dinâmica para cada escoamento estudado. Comparações

foram feitas com resultados numéricos e experimentais disponíveis na literatura, e demonstraram

uma boa coerência física.

Palavras Chave : Métodos de Fronteira Imersa, Modelo Físico Virtual, Modelagem da Turbulência,

Fronteiras Móveis, Otimização.

xix

Oliveira, J. E. S., 2006, "Immersed Boundary Method Applied to Mathematical Modeling and Nu-

merical Simulation of Turbulent Flow over Moving and Deformable Boundaries", Doctor Thesis,

Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG, Brazil.

Abstract

The mathematical modeling of turbulent flows around complex moving geometries has always

been an extensive area of practical applications and therefore takes place in the recent engi-

neering research. A possible numerical method proposed to handle these problems is the so

called Immersed Boundary Methods. This methodology is still under development and consists

in separating the problem in two domains, a fixed Eulerian domain used to discretize the fluid

equations and a Lagragian domain used to represent the solid/fluid interface. Since there is no

geometric dependence between these two meshes, the immersed boundary method can easily

handle moving or deformable bodies immersed in the fluid flow. This work presents an extension

of the Virtual Physical Model, an immersed boundary methodology developed at the LTCM/UFU,

to simulate fluid flows at high Reynolds numbers around moving or deformable bodies. The model

was used in the simulation of immersed deformable bodies in laminar flows and was applied in

shape optimization problems. Simulations of the turbulent flow past a pitching NACA 0012 airfoil

was also presented. A brief comparative studied of three turbulence methodologies implemented

with immersed boundary methods is also presented in this work. The results were compared with

the experimental and numerical results available from literature, and a good physical coherence

was obtained.

Key Words : Immersed Boundary Methods, Virtual Physical Model, Turbulence Modeling, Moving

Boundaries, Optimization.

Capítulo I

Introdução

Grande parte das pesquisas em dinâmica dos fluidos envolve escoamentos sobre geo-

metrias complexas, principalmente em aplicações voltadas à aeronáutica. Um exemplo disto é

a predição das forças aerodinâmicas no escoamento sobre aeronaves e automóveis, ou mesmo

sobre um simples aerofólio. Devido à complexidade do fenômeno, por muito tempo, as pesquisas

nesta área ficaram limitadas a análises de experimentos em túneis de vento e testes de campo.

Pesquisas experimentais nesta área são muito caras financeiramente, mesmo para os países

desenvolvidos. Este fato motivou o surgimento de agências internacionais com o objetivo de unir

esforços de diversos países em pesquisas realizadas nesta área. Um exemplo disto é o grupo

AGARD (Advisory Group for Aerospace Research and Development), criado em janeiro de 1952

e chefiado inicialmente por Theodore von Kármán. A função do AGARD era promover e melho-

rar a troca de informações relacionadas à pesquisa aeroespacial em desenvolvimento nos países

membros da OTAN (Organização do Tratado do Atlântico Norte). Pesquisas na área aeroespacial,

em sua grande maioria são de caráter confidencial, e portanto, de acesso restrito aos países em

desenvolvimento. Esta restrição pode ser devida aos custos proibitivos dos experimentos, à falta

de cooperação internacional ou ao fato das pesquisas nesta área sempre estarem associadas

ao desenvolvimento militar.

Nas últimas décadas, o desenvolvimento de novas técnicas de simulação numérica tem

permitido que países com menos recursos também desenvolvam pesquisas nesta área, uma vez

que o custo de simulações numéricas é substancialmente menor do que as pesquisas experi-

mentais desenvolvidas na área aeroespacial. Na área de Dinâmica dos Fluidos Computacional

(CFD - Computational Fluid Dynamics) os estudos estão concentrados principalmente em ge-

ração de malha, solvers e na turbulência. Sabe-se que o tratamento de geometrias complexas

ainda representa um grande desafio em CFD, e este desafio torna-se cada vez mais instigante

quando o problema envolve fronteiras móveis, onde a movimentação do corpo, invariavelmente,

perturba a dinâmica do escoamento.

2

Existem na literatura muitas abordagens para se tratar este tipo de problema, mas ne-

nhuma delas é definitiva e muito ainda deve ser feito nesta área. Por envolver essencialmente

geometrias complexas que podem ser móveis e/ou deformáveis, os métodos clássicos de simu-

lação usados apresentam alguns inconvenientes e dificilmente são empregados com eficiência

a todos os casos. Basicamente duas metodologias vêm sendo empregadas na simulação desse

tipo de problema. Uma faz uso de malhas não estruturadas, para descrever geometrias com-

plexas e utiliza técnicas de remalhagem nos casos de corpos deformáveis. Tem-se, alternativa-

mente, os métodos baseados no conceito de Fronteira Imersa. Esta última apresenta algumas

vantagens, podendo-se citar : a possibilidade de simular geometrias complexas em malhas car-

tesianas; a não necessidade de reconstrução da malha usada para discretizar o fluido, a cada

passo de tempo, processo este bastante caro computacionalmente.

Diante das dificuldades em simular escoamentos com a presença de corpos móveis e

deformáveis, o presente trabalho emprega o método de Fronteira Imersa em simulações de es-

coamentos bidimensionais com fronteiras móveis visando uma melhor análise da metodologia e

também o uso do método como ferramenta permitindo assim um melhor entendimento da dinâ-

mica dos escoamentos nos problemas estudados. Tem-se como objetivo a extensão do Modelo

Físico Virtual, proposto por Lima e Silva (2002) que desenvolveu e utilizou o método para simular

escoamentos sobre corpos estacionários, aplicando-o à simulação de escoamentos turbulentos

sobre interfaces móveis.

A redação da tese foi dividida em sete capítulos, sendo no capítulo inicial apresentadas as

motivações que levaram ao desenvolvimento do presente trabalho. No Capítulo II é apresentado

um levantamento bibliográfico acerca dos temas relevantes ao desenvolvimento do trabalho. Fo-

ram abordados temas ligados ao método de fronteira imersa, otimização de forma, escoamentos

a altos números de Reynolds sobre cilindros estacionários e problemas de fronteiras móveis com

ênfase em aerofólios em movimento de arfagem. A modelagem matemática das equações do

fluido e da interface, bem como fundamentos do tratamento matemático utilizado para a mode-

lagem da turbulência são apresentados no Capítulo III. O Capítulo IV apresenta uma descrição

dos métodos numéricos e a discretização das equações utilizadas na resolução numérica das

equações. Optou-se, na apresentação dos resultados, por uma separação em dois capítulos. Os

resultados das simulações de escoamentos sem modelagem da turbulência são apresentados

3

no Capítulo V e os resultados das simulações com modelagem da turbulência são apresentados

no Capítulo VI. Por fim, são apresentadas no Capítulo VII, as considerações finais e propostas

para desdobramentos futuros.

Capítulo II

Revisão bibliográfica

2.1 Métodos de Fronteira Imersa

O método de fronteira imersa (Immersed Boundary Method – IB) surgiu como uma alter-

nativa eficiente aos métodos cujas malhas se ajustam às fronteiras (body-fitted) para tratamento

de problemas envolvendo geometrias complexas, móveis e deformáveis. No método de fronteira

imersa o corpo é representado por um campo de forças que, de alguma forma, é inserido às

equações do fluido, fazendo com que o corpo seja modelado indiretamente. O método foi de-

senvolvido por Peskin (1972) cuja motivação era simular o escoamento de sangue em válvulas

cardíacas (Fig. 2.1).

Figura 2.1 - Problema que motivou o desenvolvimento do método de fronteira imersa.

6

Os métodos que usam malhas que se ajustam ao corpo conseguem ter uma maior versa-

tilidade no controle da resolução da malha nas regiões de parede, característica sempre desejada

quando escoamentos a altos Reynolds estão envolvidos. Em compensação, os métodos de fron-

teira imersa, ganham em simplicidade no procedimento de geração de malha e sobretudo em

escoamentos sobre fronteiras móveis, pois se evita a reconstrução da malha a cada passo de

tempo. O método de fronteira imersa, devido a sua conceitual simplicidade para lidar com proble-

mas de interfaces complexas e móveis, torna-se atrativo, especialmente em casos que envolvem

grandes deslocamentos.

Um dos pontos chave dos métodos IB é a imposição indireta, o que é feito com um

campo de força inserido como termo fonte, de uma condição de contorno na interface imersa,

de modo que o escoamento sinta a presença física do corpo e ocorra o desenvolvimento de um

escoamento coerente. Este é também um ponto que distingue as várias versões dos métodos

de IB, como destacado por Mittal e Iaccarino (2005), que propõem uma classificação para os

métodos IB segundo o tipo de modelo de força empregado. Segundo Mittal e Iaccarino (2005) os

métodos IB são divididos em:

• Métodos de força contínua : O termo de força é incorporado na forma contínua das

equações de Navier-Stokes, antes da discretização das equações. Aqui se pode ainda separar

em outras classes segundo o tipo de modelagem.

Fronteiras elásticas : Está é a linha de modelagem do trabalho original de Peskin

(1972) e também em Peskin (1977). O fluido é representado pelas equações de Navier-Stokes

que são resolvidas sobre todo o domínio e a fronteira do corpo é modelada através de um

conjunto de pontos lagrangianos que estão unidos entre si por uma força elástica. A fronteira

reage à força exercida pelo fluido de acordo com a taxa de deformação da fronteira. A força é

baseada na Lei de Hooke e é inserida apenas nas posições da fronteira, através de uma função

do tipo delta de Dirac, como termo fonte nas equações de Navier-Stokes. A mesma formulação

foi utilizada por Unverdi e Tryggvason (1992) para a simulação de escoamentos bifásicos, onde

a força elástica foi substituída por uma força de tensão superficial entre os fluidos. O método

foi aplicado para simulações do movimento de bolhas em escoamentos. Para localizar dinami-

camente as regiões ocupadas por cada fluido, no tempo e no espaço, foi utilizado um método

de acompanhamento de interfaces do tipo front-tracking proposto pelos autores. Beyer (1992)

7

apresenta uma formulação modificada do método de Peskin, que foi utilizada para simular o

comportamento bio-mecânico de um canal auricular. Fauci e McDonald (1994) incluíram na for-

mulação forças hidrodinâmicas de interação entre membranas elásticas e corpos rígidos, com

o objetivo de simular a movimentação de animais aquáticos. Foram realizadas simulações bidi-

mensionais, que conseguiram capturar padrões observados experimentalmente. Estes métodos

IB, classificados aqui como fronteiras elásticas, podem ser utilizados também para a simulação

de corpos rígidos, como mostrado por Lai e Peskin (2000). Estes autores apresentaram uma

formulação com precisão de segunda ordem para o método original de Peskin. Foram simu-

lados escoamentos sobre cilindros rígidos estacionários. Zhu e Peskin (2003) apresentaram a

simulação do escoamento sobre um filamento flexível, problema bastante complexo de interação

fluido-estrutura.

Fronterias rígidas : Um dos trabalhos clássicos nesta linha foi desenvolvido por

Goldstein et al. (1993), que propuseram um modelo para determinação da densidade de força na

fronteira denominado force feedback method. Neste modelo são utilizadas constantes ad-hoc na

formulação da força e assim busca-se encontrar uma força que ajuste a velocidade do fluido na

fronteira à velocidade do corpo. Glowinski et al. (1994) propuseram um método que consiste em

preencher os corpos rígidos pelo fluido que o circunda, impondo no fluido uma rigidez. Para a

movimentação faz-se o uso de Multiplicadores de Lagrange Distribuidos (Distributed Lagrangian

Multipliers - DLM) para relaxar a restrição de rigidez. Este método tem sido bastante utilizado

em sistemas particulados. Angot et al. (1999) e também Khadra et al. (2000) desenvolveram um

método onde se propõe que todo o escoamento ocorra em um meio poroso sendo, portanto,

governado pelas equações de Navier-Stokes/Brinkman que levam em conta um termo de força

adicional relacionado à impermeabilidade do meio. Este método foi utilizado na simulação de

cilindros estacionários.

• Métodos de força discreta : O termo de força é introduzido após a discretização das

equações, o que pode ser feito de duas maneiras, como mostrado nos ítens abaixo.

Imposição indireta da condição de contorno: A imposição da condição de contorno

é feita de maneira indireta, ou seja, deve-se obter uma força que, quando inserida nas equações

de Navier-Stokes, leve à obtenção da condição de contorno especificada para a fronteira. Na

classe de métodos apresentados anteriormente, esta imposição é feita usando modelos simpli-

ficados de força para frenar o fluido, pois as equações de Navier-Stokes não podem ser inte-

gradas analiticamente. Uma alternativa a este problema foi apresentada por Mohd-Yosuf (1997)

8

que propôs uma formulação discreta no tempo para o método de fronteira imersa. O método

foi denominado direct force method. Nele o termo de força lagrangiano é calculado a partir da

solução numérica do escoamento. Inicialmente resolvem-se numericamente somente as equa-

ções de Navier-Stokes (sem a presença do modelo IB) e então calcula-se o termo de força com

base nas equações de movimento, utilizando para isto o campo estimado na solução numérica.

O termo de força é calculado pela diferença entre o campo estimado e a condição de contorno

que se deseja na fronteira. No próximo instante de tempo, o termo de força calculado é inserido

como termo fonte nas equações discretizadas de Navier-Stokes. A principal vantagem é que o

termo de força é calculado de maneira automática, sem o uso de constantes que precisam ser

ajustadas pelo usuário, para cada tipo de problema. Verzicco et al. (2000) apresentaram a ex-

tensão do método proposto por Mohd-Yosuf para problemas com fronteiras móveis. Foi simulado

o escoamento em uma câmara de combustão, onde a movimentação do pistão e do cilindro foi

imposta através de uma equação de movimento harmônico. Os resultados foram comparados

a medições experimentais e apresentaram um bom ajuste. Além das forças de quantidade de

movimento, Kim et al. (2001) incluíram termos fonte e sumidouro de massa às equações do mo-

delo de Mohd-Yusof, conseguindo assim impor a condição de não-deslizamento para a fronteira

e também a equação da continuidade nas células Eulerianas da interface. Funções de interpo-

lação de segunda ordem lineares e bilineares foram utilizadas para a velocidade. A metodologia

apresentou melhores resultados para problemas a números de Reynolds mais elevados do que

os obtidos sem a modelagem dos termos de massa.

Imposição direta da condição de contorno : a imposição da condição de contorno

na interface é feita de maneira direta com o uso de células fantasma (ghost cells), que são de-

finidas como sendo as células no sólido que possuem como vizinhos ao menos uma célula na

região de fluido. O método consiste em impor a condição de contorno desejada na interface que,

via de regra, não coincide com os pontos da malha. Isto é feito através de uma função que ex-

trapola o valor necessário para a célula fantasma, localizada dentro do corpo. Majumdar et al.

(2001) apresentam três diferentes esquemas de interpolação que foram utilizados em um có-

digo de diferenças finitas e validados para casos bidimensionais a baixos números de Reynolds.

Nesta mesma linha de desenvolvimento, Tseng e Ferziger (2003) apresentaram uma formulação

de fronteira imersa com células fantasma de segunda ordem de precisão. A precisão do método

foi validada na simulação de escoamentos sobre cilindros e escoamentos turbulentos sobre um

canal ondulado. Códigos baseados em volumes finitos permitem a conservação local da quanti-

9

dade de movimento e da continuidade. Aproveitando esta característica, Udaykumar et al. (1996)

e Ye et al. (1999) usaram uma formulação denominada cut-cell, que considera apenas a parcela

da célula que contém fluido e portanto originando novos volumes de controle sobre a interface.

Os fluxos, a estimativa de massa e os gradientes de pressão necessários para a discretização

por volumes finitos devem ser reavaliados nestes novos volumes. Funções de interpolação são

utilizadas para o cálculo apropriado das variáveis e dos fluxos.

O modelo de força utilizado no presente trabalho, denominado Modelo Físico Virtual (Vir-

tual Physical Model – VPM), proposto por Lima e Silva et al. (2003), é um modelo de força discreta

com imposição indireta da condição de contorno. A força sobre a interface é calculada dinamica-

mente através das equações de conservação da quantidade de movimento sobre uma partícula

de fluido na interface. A força calculada é inserida como termo fonte nas equações de Navier-

Stokes. Assim impõe-se, de maneira indireta, a condição de contorno desejada sobre a fronteira.

O método tem a capacidade de se auto-ajustar ao escoamento uma vez que a força necessária

para frenar as partículas de fluido próximas a interface é calculada de maneira automática, sem

a necessidade do uso de constantes ad-hoc. Este método vem apresentando bons resultados na

simulação de diferentes casos. Oliveira et al. (2004) utilizaram a metodologia na simulação de

escoamentos sobre um cilindro de diâmetro variável no tempo. Arruda (2004), interessado em

estudar um dispositivo de bombeamento sanguíneo, simulou o escoamento em uma geometria

simplificada de um canal com uma cavidade com fundo móvel. Escoamentos complexos sobre

múltiplos corpos foram estudados por Lima e Silva et al. (2004). Oliveira et al. (2005) estudaram

escoamentos sobre aerofólios em movimento oscilatório de arfagem. Problemas envolvendo in-

teração fluido estrutura a baixos números de Reynolds foram abordados por Vilaça et al. (2005)

que estudaram partículas em queda livre e Remigio (2005) aplicou o IB/VPM no estudo da mo-

vimentação, induzida pelo escoamento, de válvulas cardíacas. Campregher (2005) estendeu a

metodologia para problemas tridimensionais, visando também o estudo de problemas de inte-

ração fluido estrutura. Oliveira et al. (2005) mostraram que a metodologia é apropriada para o

estudo de problemas a altos números de Reynolds.

2.2 Otimização de forma

Metodologias sobre o projeto ótimo de formas têm sido objetivo constante de muitos es-

10

tudos ao longo dos anos. Os primeiros trabalhos nessa área são datados de 1920, no estudo

de perfis de aletas que maximizassem a transferência de calor (Fabbri, 1997). Nessa época os

trabalhos na área tinham uma aplicação bastante limitada, principalmente devido a falta de recur-

sos computacionais. Com o desenvolvimento e aperfeiçoamento de códigos para CFD o assunto

passou a ser melhor explorado. Um grande esforço vem sendo feito desde 1970 na tentativa de

empregar CFD como ferramenta para o projeto ótimo de formas, principalmente no que se refere

à otimização aerodinâmica (Nadarajah e Jameson, 1999).

Entretanto, na última década, o avanço tanto no campo de CFD quanto com relação aos

recursos computacionais se acentuaram bastante, e também o uso dessas tecnologias acopla-

das a métodos de otimização aplicados ao projeto de formas. Em geral, problemas de projeto de

forma podem ser divididos em duas classes, com base na formulação do problema e na metodo-

logia empregada: (i) otimização e (ii) problema inverso.

Na metodologia de otimização, o problema de projeto de forma é posto como um pro-

blema de minimização de uma função objetivo sujeita a restrições que podem ser, por exemplo,

restrições geométricas e/ou condições do escoamento. Um dos primeiros trabalhos usando essa

abordagem foi desenvolvido em 1974 (Soemarwoto, 1997). Segundo Choi et al. (2000) essa

abordagem possui alguns inconvenientes, por exemplo, quando existe a presença de mínimos

locais. Quando o problema de otimização envolve uma grande quantidade de variáveis de pro-

jeto, a obtenção da direção e do tamanho do passo que o otimizador deve usar torna-se uma

tarefa bastante complicada. Isso porque os coeficientes de sensibilidade, necessários à otimiza-

ção, são afetados pelas variáveis de projeto. Como vantagens, Soemarwoto (1997) cita que esse

método é bastante abrangente, sendo capaz de trabalhar com uma grande classe de problemas

de projeto, inclusive aqueles que são classificados como problema inverso.

Os métodos de otimização aerodinâmica, por sua vez, podem ser divididos em duas ca-

tegorias, com respeito ao otimizador utilizado: (i) métodos globais e (ii) métodos locais. Métodos

globais são bastante apropriados para os casos de projeto onde se têm muitos mínimos locais,

pois são capazes de escapar dos mínimos locais através de estratégias não convencionais de

busca. São baseados em algoritmos evolutivos como os algoritmos genéticos (GA) e, por isso,

possuem um elevado custo computacional, pois tais métodos avaliam muitas vezes a função

objetivo. Mesmo assim, vêm sendo usados com sucesso por alguns pesquisadores, devido à sua

robustez e flexibilidade em tratar problemas de caráter multi-objetivo (Wang et al., 2002).

Fabbri (1997) utilizou algoritmos genéticos na otimização de perfis de aletas, visando

11

maximizar o fluxo de calor dissipado. Partia-se inicialmente de uma aleta de perfil retangular e

então se utilizava algoritmos genéticos para gerar um novo perfil. Como restrições de projeto

fixou-se que as novas aletas deveriam ter o mesmo comprimento e volume do perfil original,

permitindo-se alterações apenas em sua forma. Obteve-se um ganho na eficiência quase duas

vezes superior ao do perfil original. O método se mostrou bastante robusto na resolução desse

tipo de problema. Entretanto, a utilização de métodos globais em projetos aerodinâmicos é bas-

tante recente. Sasaki et al. (2000), por exemplo, apresentam um trabalho de otimização multi-

objetivo de uma asa, usando algoritmos genéticos. Os objetivos são minimizar o coeficiente de

arrasto, em velocidade de cruzeiro, e o momento de flexão da asa, tendo como restrições um

limite mínimo para o coeficiente de sustentação. No total existem 66 variáveis de projeto. O re-

sultado obtido foi considerado satisfatório, porém não existe nenhum comentário acerca do custo

computacional. Giannakoglou (2002) faz uma análise do recente uso dos métodos evolucionários

em problemas de otimização de formas aerodinâmicas. O autor ressalta essencialmente o pro-

blema de otimização apresentando vantagens e desvantagens do método, sem abordar a parte

de CFD. Como fatores positivos são citadas a robustez do método e sua capacidade de escapar

dos ótimos locais, facilidade do acoplamento a códigos de CFD. Destaca-se a capacidade de se

tratar tanto problemas com um único objetivo como multi-objetivo e a facilidade de ser paraleli-

zado computacionalmente. O alto custo computacional também é citado no decorrer do artigo e

são apresentadas técnicas capazes de reduzir o custo computacional.

Os métodos locais, por sua vez já são extensivamente utilizados em projetos aerodinâmi-

cos desde o início da década de 1980. Eles são baseados em métodos clássicos de otimização,

onde se faz necessária a avaliação da sensibilidade da função objetivo com respeito a cada

variável de projeto (Reuther et al., 1999). A maneira mais fácil de se obter as sensibilidades é

através do cálculo dos gradientes pelo método das diferenças finitas. Nesse tipo de abordagem o

gradiente é obtido perturbando cada variável de projeto com um passo finito e então avaliando a

função objetivo que é geralmente obtida através de um código CFD. O problema é que a avalia-

ção da função objetivo é relativamente cara e quando se tem um grande número de variáveis de

projeto o procedimento é inviável computacionalmente. Muito esforço foi e vem sendo gasto na

tarefa de se obter um método mais eficiente para o cálculo das sensibilidades. Um dos métodos

que mais se destaca é baseado na formulação adjunta, a qual cresceu muito em popularidade na

última década e foi rapidamente utilizada em projetos aerodinâmicos (Nielsen e Anderson, 1998).

A formulação adjunta tem origem na teoria matemática para o controle de sistemas governados

12

por equações diferenciais parciais, como a apresentada por Lions (1971). Nessa abordagem o

custo computacional da análise de sensibilidade é independente do número de parâmetros e

variáveis de projeto, sendo que o custo é relativo ao cálculo das equações adjuntas, o qual tem

um custo fixo em torno de 2 a 5 vezes mais elevado do que a análise de uma variável com um

código CFD, o que torna o método extremamente atrativo para problemas com muitas variáveis.

Existem muitos estudos nessa linha, o que permitiu um bom desenvolvimento do método, sendo

atualmente empregado de maneira bastante ampla: malhas não-estruturadas (Anderson e Ven-

katakrishnan, 1998), multi-bloco e paralelismo (Reuther et al., 1999; Kim et al., 2000), etc. Existem

também outros métodos propostos como uma alternativa a formulação adjunta, por exemplo, o

one-shot (Held e Dervieux, 2002) e a otimização progressiva (Dadone e Grossman, 2000).

O uso de métodos inversos na otimização de formas é relativamente antigo, um dos

trabalhos pioneiros data de 1945 publicado por Lighthill, A New Method of Two Dimensional Ae-

rodynamic Design. Os métodos inversos de otimização podem ser resumidos na tarefa de se

obter uma determinada geometria que satisfaça algum tipo de especificação do projetista como,

por exemplo, uma distribuição especifica de pressão numa determinada condição de vôo ou uma

distribuição uniforme de temperatura. O processo de projeto inicia com uma geometria inicial e

resolve-se, então, o problema direto para essa configuração inicial, seguido de uma análise que

avalia o efeito da mudança de cada parâmetro geométrico na resposta do problema (Kocabicak

e Eyi, 2000). A tarefa do otimizador é decidir quais variações devem ser feitas nas variáveis de

projeto de maneira a minimizar a função objetivo, que é geralmente uma função erro quadrático

entre a resposta desejada e a obtida.

Os métodos de problema inverso possuem algumas desvantagens, como impor uma

condição impossível fisicamente, o que implicaria no problema não convergir, uma vez que não

existe um perfil que o satisfaça. Além disso, mesmo que a condição imposta seja realística ela

pode não ser a solução ótima (Choi et al., 2000). Mesmo assim, os métodos inversos podem ser

altamente eficientes. Um exemplo disto é o método CDISC (Constrained Direct Iterative Surface

Curvature) desenvolvido pelo Langley Research Center da NASA. Este método é bastante ro-

busto sendo válido para regimes subsônicos, transônicos e supersônicos, e tem sido aplicado no

aperfeiçoamento da performance em cruzeiro, de perfis aerodinâmicos (Milholen, 2000). Métodos

inversos também começaram a ser utilizados no projeto de sistemas aerodinâmicos complexos

como sistemas de múltiplos aerofólios e junções de perfis tridimensionais, como mostrado por

Gopalarathnam e Selig (2000). Outra classe interessante de aplicação está ligada a problemas

13

térmicos. Cheng e Chang (2003) apresentam a otimização de forma para problemas de transfe-

rência de calor por convecção. O objetivo é obter um perfil que leve à obtenção de uma super-

fície externa isotérmica de acordo com as condições do escoamento. O problema está sujeito a

condições de condução no interior do perfil e convecção na superfície. Além das propriedades

dos materiais e características do escoamento o problema é função essencialmente da forma do

perfil. Sendo assim, métodos inversos são bastante apropriados para a solução destes casos. Foi

utilizado um sistema de coordenadas curvilíneas de maneira que se pudesse obter um melhor

ajuste entre a malha e a superfície do perfil. O domínio de solução é constituído por uma região

sólida e outra fluida. Por esta razão foi necessário o uso de duas sub-malhas independentes,

uma para cada região. Utilizando o método do gradiente conjugado obteve-se perfis satisfatórios

para cada condição de projeto, com erros sempre inferiores a 0,5 % entre o perfil desejado e o

obtido.

Comum a maioria dos métodos de otimização de forma, independentemente da aborda-

gem empregada, é o procedimento global do algoritmo. Este, em geral, segue as etapas apre-

sentadas no fluxograma da Fig. (2.2). Assim, a cada passo do otimizador, além de resolver o

problema CFD, deve-se remalhar todo o domínio, o que envolve um custo computacional extra, a

um problema que já é tradicionalmente caro computacionalmente.

Figura 2.2 - Algorítimo de otimização de forma através de métodos clássicos de movimentaçãoda interface.

Nesse sentido, vê-se uma grande potencialidade de aplicação do método IB/VPM como

14

ferramenta CFD, e assim incorporar as potencialidades deste método no aperfeiçoamento das

metodologias de otimização de forma. Em especial, destaca-se a possibilidade de se fazer a

otmização de forma dinâmica, modificando a geometria sem a necessidade de remalhagem. Com

uma única simulação, pode-se levar a geometria de uma condição inicial qualquer à geometria

otimizada final.

2.3 Escoamentos sobre cilindros a altos números de Reynolds

O método da fronteira imersa tem sido usado com sucesso na simulação de diversos

tipos de problemas envolvendo: corpos rígidos, fronteiras móveis, membranas elásticas, entre

outros. Um bom resumo sobre o estado de arte do método de fronteira imersa e sua utilização

foi publicado por Peskin (2002) e também Mittal e Iaccarino (2005). Sem dúvida, muito já foi feito

com esta promissora metodologia. Entretanto, o método precisa ainda de desenvolvimentos de

maneira a se tornar uma metodologia fechada e confiável. Um dos pontos apontado por Moin

(2002) foi com relação à precisão do cálculo a altos números de Reynolds com o método de

fronteira imersa.

Este problema não está ligado em si ao método de fronteira imersa. O fato é que os mé-

todos clássicos, devido ao maior histórico de desenvolvimento, possuem mais e melhores alter-

nativas para se tratar este tipo de problema. O método de fronteira imersa é uma boa alternativa

para modelar problemas de geometrias complexas em malhas cartesianas. Entretanto, deve-se

ressaltar que com uma malha cartesiana são necessários muitos pontos na região interna do

corpo, que devem ser resolvidos computacionalmente. Métodos em que a malha se ajusta à geo-

metria do corpo (body-fitted) são muito competitivos, pois refina-se a malha somente na região

de interesse e, neste sentido, a combinação de malhas adaptativas (AMR) com fronteira imersa

pode ser uma boa alternativa.

Em outra direção, trabalha-se com modelagem de turbulência e modelos específicos para

tratamento de paredes, o que permite o uso de malhas menos refinadas junto à parede. Na litera-

tura, encontram-se trabalhos que buscam o desenvolvimento do método neste sentido. Tessicini

et al. (2002) estudaram a aplicação de leis de parede em conjunto com a metodologia de fron-

teira imersa para uma metodologia do tipo LES. Foram analisados os efeitos sobre a dinâmica do

escoamento. Foi utilizado como caso teste o escoamento sobre o bordo de fuga assimétrico de

15

um aerofólio a 25o de ângulo de incidência a um número de Reynolds de ReD = 1, 02×105. Perfis

médios de velocidade foram extraídos próximos à parede em diversas seções ao longo do bordo

de fuga do aerofólio. Os resultados foram comparados a medições experimentais e simulações

numéricas que utilizaram leis de parede junto com métodos clássicos de malha não-estruturada.

Chegando-se a bom ajuste com dados de referência.

Figura 2.3 - Esteira de von Kármán com mais de 300 Km comprimento formada sobre o vulcãoBeerenberg na ilha Jan Mayen território da Noruega, MISR/NASA.

Kalitzin e Iaccarino (2003) apresentaram um estudo do uso do método de fronteira imersa

com modelagem da turbulência através das equações médias para escoamentos a altos números

de Reynolds em malhas cartesianas. Para a fronteira imersa foram testados dois tipos diferentes

de interpolação junto à parede. Escoamentos sobre placas planas foram apresentados para dois

casos : um a número de Reynolds Re = 103, onde a malha não está alinhada com o corpo

e um outro caso a Re = 106 no qual a placa está alinhada com a malha. Resultados obtidos

para o coeficiente de atrito foram comparados a resultados de métodos clássicos de body-fitted.

Os resultados obtidos com uso de interpolação linear para o caso a Re = 106 mostraram-se

incorretos. Os resultados do trabalho apontam para a necessidade de estudo na implementação

do método de fronteira imersa usando refinamento local de malha.

Muitos casos são encontrados na literatura envolvendo escoamentos a altos números

de Reynolds, que podem ser utilizados como teste para validação de novas técnicas em CFD.

Escoamentos sobre cilindros é um problema considerado padrão na avaliação da precisão e

performance de códigos e métodos em CFD, pelo fato de ser um escoamento bastante complexo

16

e que apresenta características encontradas em muitos problemas práticos (Fig. 2.3). Além de

ser um caso muito bem documentado, através de experimentos e simulações numéricas, para

uma ampla faixa do número de Reynolds, conhece-se bem a física do problema.

Este tipo de escoamento já foi bastante estudado. Uma boa referencia é o livro de Zdrav-

kovich (1997) que apresenta um resumo bastante detalhado de vários trabalhos experimentais de

escoamentos sobre cilindros. Escoamentos sobre cilindros dependem do número de Reynolds e

apresentam comportamentos bastante típicos com regimes bem definidos (ver Fig. 2.4).

Figura 2.4 - Variação das componentes da força de arrasto em função do número de Reynoldse padrões do escoamento, para um cilindro circular.

Para números de Reynolds bastante baixos ReD < 1, o escoamento assemelha-se a um

escoamento potencial, não havendo separação e o arrasto é devido somente aos efeitos visco-

sos. Com o aumento do número de Reynolds o coeficiente de arrasto cai. Para o escoamento na

faixa do número de Reynolds de 2 < ReD < 40, o escoamento já apresenta um padrão diferente,

17

separando-se do cilindro, e ocorre o surgimento de uma bolha de recirculação atrás do mesmo,

a qual é composta por um par de vórtices simétricos e contra-rotativos que permanecem juntos

ao cilindro. Neste regime, a força de arrasto é composta por uma parcela de força de pressão

e outra de força viscosa, sendo estas componentes equivalentes em ordem de grandeza. Com

o aumento do número de Reynolds, 40 < ReD < 45, o comprimento da bolha de recirculação

também aumenta e ela se torna muito alongada, começando a se desestabilizar, quando então

vórtices se desprendem do cilindro.O escoamento sofre uma completa mudança de comporta-

mento e não existe mais uma situação de regime permanente. Para ReD ≥ 47, vórtices alterna-

dos começam a se formar e se desprendem nos lados do cilindro de maneira sucessiva. Estes

vórtices apresentam um comportamento periódico e à medida que se desprendem são trans-

portados pelo escoamento a jusante do cilindro, dando origem a uma esteira turbilhonar. Esta

esteira de vórtices é conhecida na literatura como esteira de von Kármán, que é caracterizada

pela presença de duas colunas de vórtices de sentidos de rotação contrários, que apresentam

uma freqüência característica de desprendimento em função do número de Reynolds. Nesta re-

gião, a componente de pressão representa aproximadamente 90% do arrasto. Para ReD ' 200

as estruturas da esteira de von Kármán iniciam a transição e logo entra no regime turbulento

e a chamada esteira de von Kármán desaparece. Para escoamentos até ReD ≈ 105 a camada

limite sobre o cilindro é laminar e a separação do escoamento ocorre a um ângulo de 80o ou

90o, e a componente viscosa do arrasto é de magnitude desprezível. Por fim, um outro regime

de escoamento se caracteriza acima deste valor do número de Reynolds, quando a camada li-

mite sobre o cilindro torna-se turbulenta a montante do ponto de separação, o qual passa para

aproximadamente 120o, fazendo com que ocorra uma queda brusca no coeficiente de arrasto.

Simulações numéricas para altos números de Reynolds são altamente dependentes da

modelagem da turbulência. Neste sentido, o estudo de metodologias de modelagem da turbulên-

cia e da influência sobre os resultados numéricos permanece um assunto de grande interesse

prático. Como se pode constatar, recentes trabalhos da literatura, focam no desenvolvimento

de novas metodologias de modelagem da turbulência e utilizam como ‘benchmark ’ escoamento

sobre cilindros.

Travin et al. (1999) estudaram escoamentos sobre cilindros circulares para números de

Reynolds até 3 × 106. O escoamento é calculado considerando separação laminar do escoa-

mento para as simulações a Reynolds ReD = 5 × 104 e 1, 4 × 105 e com separação turbulenta

para Reynolds ReD = 1, 4× 105 e 3, 0× 106. Foi utilizado um código tridimensional em coordena-

18

das cilíndricas, sendo a malha bastante refinada junto ao cilindro e na região da esteira. Mesmo

assim, a malha é ainda muito distante do necessário para se realizar uma simulação numérica

direta. A separação do escoamento é controlada pelos modelos de turbulência utilizados. Foram

testadas três metodologias de modelagem da turbulência : simulação de grandes escalas, me-

todologia híbrida e equações médias de Reynolds. Resultados de força de arrasto, freqüência

de desprendimento de vórtices, distribuição de pressão e coeficiente de atrito apresentaram um

ajuste muito bom aos dados experimentais e de outros trabalhos numéricos. Entretanto, foram

verificadas diferenças significativas entre as simulações, em especial os casos com separação

laminar. As causas destas diferenças são discutidas no trabalho, bem como a influência no re-

sultado dos modelos de turbulência, do refinamento da malha e do número de Reynolds. O com-

portamento turbulento do escoamento foi reproduzido de maneira satisfatória com simulação de

grandes escalas e também com a metodologia híbrida, que de maneira geral, forneceram resul-

tados superiores aos da modelagem utilizando as equações médias de Reynolds. Com respeito

à transição (crise de arrasto) os autores admitem que ainda permanecem grandes desafios para

a correta predição. As simulações foram planejadas de maneira a evitar a região da crise, e o

estudo da transição é plano de desenvolvimentos futuros.

Breuer (2000) estudou numericamente escoamentos a altos números de Reynolds (ReD =

1, 4 × 106) sobre um cilindro circular utilizando simulação de grandes escalas com um modelo

sub-malha dinâmico e também com o modelo clássico de Smagorinsky. O autor propõe avaliar a

possibilidade de aplicação desta metodologia de modelagem da turbulência em problemas prá-

ticos a altos números de Reynolds e também investigar a influência do modelo sub-malha e da

resolução da malha nos resultados. Com as simulações, o autor obteve informações médias e

instantâneas do escoamento como: tensores de Reynolds, coeficiente de arrasto, comprimento

de recirculação e número de Strouhal. Os resultados foram comparados com medições expe-

rimentais. O trabalho mostra que o modelo dinâmico apresentou um bom comportamento para

escoamentos complexos a altos números de Reynolds. Entretanto, a esperada superioridade do

modelo dinâmico frente ao modelo de Smagorinsky não foi verificada, exceto pelo fato do modelo

dinâmico não requerer ajuste da constante. Em geral, os resultados obtidos com apresentaram

um bom ajuste com relação aos dados experimentais, especialmente na região próxima à esteira.

O autor conclui que a simulação de grandes escalas está se tornando a cada dia uma metodolo-

gia muito atrativa para escoamentos separados a moderados e altos números de Reynolds.

O escoamento no regime turbulento sobre um cilindro circular foi estudado por Sampaio

19

e Coutinho (2000), que utilizaram o método de elementos finitos para a discretização bidimensio-

nal das equações de Navier-Stokes. Foi utilizado o conceito de simulação de grandes escalas,

porém sem o uso de modelos explícitos para a modelagem sub-malha, as escalas não resolvidas

do escoamento são tratadas implicitamente pelo método computacional que usa uma formulação

estabilizada de Petrov-Galerkin. Foram simulados escoamentos na faixa de números de Reynolds

de 104 ≤ ReD ≤ 106, os resultados obtidos para coeficientes de força e freqüência adimensional

de desprendimento de vórtices foram comparados a resultados experimentais disponíveis na li-

teratura. Os resultados obtidos apresentaram uma boa concordância até o número de Reynolds

crítico ReD = 3× 105, que caracteriza o início da crise de arrasto. Acima do número de Reynolds

crítico não se conseguiu um bom ajuste. O autor ressalta que somente com um modelo tridimen-

sional e malhas bastante refinadas na região da camada limite se conseguiria prever a crise do

arrasto.

A viabilidade de aplicação e acuracidade da metodologia de simulação de grandes esca-

las com leis de parede para escoamentos turbulentos a altos números de Reynolds foi estudada

por Catalano et al. (2003) que simularam escoamentos sobre um cilindro circular no regime su-

percrítico. Foi implementado um modelo simples de lei de parede de maneira a proporcionar

condições de contorno apropriadas para metodologia de modelagem da turbulência junto à pa-

rede e assim evitando a necessidade de um elevado refinamento da malha nesta região. Foram

simulados escoamentos para ReD = 5×105 e 106. Já na região supercrítica, após ocorrer a crise

no arrasto, os testes foram concentrados propositalmente nesta região do escoamento a fim de

avaliar o modelo de parede implementado. Resultados dos coeficientes de força e distribuição de

pressão sobre o cilindro foram comparados com os resultados experimentais e numéricos que

utilizaram modelos do tipo equações médias de Reynolds. Resultados de simulação de grandes

escalas com lei de parede mostraram-se superiores aos modelos com equações médias de Rey-

nolds. Foi possível capturar corretamente o atraso do ponto de separação e a conseqüente redu-

ção do coeficiente de arrasto de maneira consistente com os dados experimentais. Os resultados

para a distribuição de pressão média ao longo do cilindro também foram preditos com razoável

acuracidade. Porém, a tendência de recuperação do arrasto para a região após a crise não foi

capturada e o erro com relação às medições experimentais aumentou com o aumento do número

de Reynolds.

Vatsa e Singer (2003) avaliaram a implementação do modelo de turbulência de Spallart-

Allmaras com as formulação tradicional e também usando metodologia híbrida. O modelo foi

20

implementado em um código para a solução das equações de Navier-Stokes, com uma dis-

cretização de segunda ordem, desenvolvido no NASA Langley Research Center. Para a vali-

dação do modelo de turbulência dois casos foram simulados a elevados números de Reynolds,

ReD = 5×104 e 1, 4×105, que foram escolhidos devido à natureza do escoamento com separação.

Também foram considerados dois tipos de separação, laminar e turbulenta. São apresentados re-

sultados de cálculos bi- e tridimensionais, que foram comparados com resultados experimentais

de coeficiente de arrasto e distribuição de pressão, apresentando um bom ajuste.

Simulações de escoamentos sobre cilindros circulares estacionários em malhas carte-

sianas utilizando o conceito de fronteira imersa são relativamente comuns na literatura, sendo

utilizadas para a validação ou mesmo ajudando no desenvolvimento de novos métodos. Saiki e

Biringen (1996) utilizaram o método de fronteira imersa com modelo de Goldstein para simulação

de cilindros estacionários e móveis imersos no escoamento para baixos números de Reynolds

(até ReD = 400), onde um bom ajuste com os dados experimentais foi conseguido. Lai e Pes-

kin (2000) também simularam escoamentos sobre cilindros para testar um método de fronteira

imersa de segunda ordem. Foram simulados escoamentos até ReD = 200 obtendo-se uma pre-

cisão superior à conseguida com a formulação tradicional do método que usa um esquema de

primeira ordem. Uma versão do método de fronteira imersa desenvolvido por Kim et al. (2000)

foi usada na simulação de escoamentos sobre cilindros estacionários para número de Reynolds

até ReD = 100. O método de fronteira imersa com células fantasmas de Tseng e Ferziger (2003)

também foi validado para escoamentos bidimensionais sobre cilindros a ReD = 100, antes de

ser aplicado para a simulação do escoamento sobre uma superfície ondulada. Lima e Silva et al.

(2003) com o objetivo de validar o método IB/VPM simulou com sucesso escoamentos sobre ci-

lindros estacionários até número de Reynolds ReD = 300 obtendo um bom ajuste com os dados

experimentais e numéricos. Su et al. (2004) apresentam uma formulação simplificada do método

de fronteira imersa para escoamentos sobre corpos rígidos. Linnick e Fasel (2005) desenvolve-

ram um método de fronteira imersa de alta ordem para a formulação vorticidade-função corrente

das equações de Navier-Stokes. O método foi usado na simulação de escoamentos sobre cilin-

dros até ReD = 200.

21

2.4 Problemas com fronteira móvel

Escoamentos sobre corpos imersos sempre foram objeto de estudos de cientistas e en-

genheiros. Devido à natureza complexa do fenômeno, um grande esforço de pesquisa tem sido

dedicado nas últimas décadas, principalmente em aerodinâmica, onde o cálculo das forças que

o escoamento exerce sobre uma determinada estrutura é de crucial importância. O assunto en-

volve o estudo de muitos fenômenos em mecânica dos fluidos que interagem simultaneamente.

Destaca-se um dos casos mais clássicos em aerodinâmica, o escoamento sobre um aerofólio ;

neste exemplo podem-se citar as seguintes características envolvidas: geometrias complexas,

camada limite, escoamento cisalhante, transição e turbulência. Todas estas características por si

só já garantem a complexidade do assunto e aliado a isto em muitas situações práticas os corpos

imersos no escoamento podem estar se movendo ou deformando, o que invariavelmente pertur-

bam a dinâmica do escoamento, introduzindo efeitos transientes importantes que não podem ser

ignorados. Fenômenos com estas características são bastante comuns de serem encontrados

em diversas situações práticas.

Um dos mais clássicos exemplos de problemas envolvendo fronteiras móveis é certa-

mente o chamado fenômeno de estol dinâmico (dynamic stall) que é estudado desde a década

de 70. Sua importância advém de que este fenômeno tem muitas implicações práticas, podendo

citar, escoamentos sobre rotores de helicópteros, turbomáquinas, manobras de aeronaves e mais

recentemente estudos em bio-fluidodinâmica e micro-aviões (MAVs – Micro-air Vehicles). A im-

portância prática do fenômeno pode ser averigüada pelo relevante número de trabalhos encon-

trados na literatura, como pode ser constatado através dos resumos de McCroskey (1981), Carr

(1988), Carr e Chandrasekhara (1996), Ekaterinaris e Platzer (1997) e Mittal (2004) que propor-

cionam uma descrição do estado de arte das pesquisas sobre o tema.

O estol dinâmico é um termo utilizado para descrever o processo transiente no qual a

força de sustentação cai repentinamente enquanto o ângulo de ataque de um aerofólio aumenta.

O fenômeno se diferencia da situação de estol comum que ocorre em aerofólios estáticos. Pelo

fato do aerofólio estar em movimento o estol pode ser postergado para ângulos de ataque su-

periores ao da situação estática. Como observado por Srinivasans et al. (1995), uma importante

diferença entre as estruturas do escoamento geradas por uma situação estática de estol e uma

situação dinâmica é a histerese que ocorre nos coeficientes de força devido à separação do es-

coamento. As cargas devidas às forças aerodinâmicas tendem a ser mais severas do que as

22

Figura 2.5 - Acidente de helicóptero pela falha em uma das pás do rotor devido a esforços cícli-cos.

da situação estática podendo, por conseguinte, causar graves falhas nos equipamentos, caso

não estejam dimensionados para esta situação. Além disso, os eventos do estol dinâmico pos-

suem uma forte dependência temporal com relação à movimentação do aerofólio, de forma que

se torna quase impossível obter resultados realísticos quando se despreza a movimentação do

corpo e sua interação com o escoamento. Por estes motivos o escoamento associado ao fenô-

meno de estol dinâmico é bem mais difícil de ser analisado do que a situação estática, porque

no caso dinâmico existe um número muito maior de parâmetros. Os mais importantes são: forma

do aerofólio, número de Mach, velocidade de movimentação, amplitude do movimento, tipo de

movimento (rampa ou oscilatório), número de Reynolds e efeitos tridimensionais.

O fenômeno de estol dinâmico despertou primeiramente o interesse da indústria de he-

licópteros, onde se observavam grandes oscilações torsionais nas pás dos rotores. Estas os-

cilações foram atribuídas às cargas provocadas pelos ciclos de estol das pás do rotor (Akbari

e Prince, 2003). O maior desafio neste campo é a acurada predição, entendimento e possível

controle deste fenômeno que pode ser catastrófico, sendo um problema de elevada complexi-

dade física e, conseqüentemente, difícil de ser resolvido. O estol dinâmico era um ponto chave

no desenvolvimento da tecnologia de helicópteros, como observado por Crimi (1973). As cargas

dinâmicas causadas pelo estol dinâmico eram o principal fator limitante da velocidade e carga

dos helicópteros. Este fato de certa forma forçou as indústrias a estudar e desenvolver técnicas

para estudar o estol dinâmico e assim melhorar o projeto dos helicópteros. Métodos empíricos e

semi-empíricos foram usados para predição das cargas aerodinâmicas.

Mesmo experimentos não são de fácil execução em campo; o que se fazia experimental-

mente era estudar o fenômeno separado em uma configuração simplificada. O fenômeno de estol

dinâmico pode ser estudado, por exemplo, considerando um aerofólio em movimento de arfagem

23

acima do ângulo de estol estático (Barakos e Drikakis, 1999) em túnel de vento, podendo-se

assim isolar e controlar os principais parâmetros que influenciam no fenômeno. Muito do conhe-

cimento que se tem sobre este fenômeno foi conseguido através de estudos experimentais de

aerofólios em movimento oscilatório de arfagem (Carr et al. 1977, McAlister et al. 1978, McCros-

key 1982, Panda e Zaman 1994, Lee e Gerontakos 2004). Um dos trabalhos pioneiros nesta

área foi realizado por Carr et al. (1977), que conduziram experimentos combinando visualização

do escoamento e medições das forças aerodinâmicas. Foi observada a existência de eventos

característicos do escoamento que estão intimamente associados com o comportamento das

forças aerodinâmicas, sendo o desprendimento de vórtices o fenômeno mais influente pois afeta

diretamente a distribuição de pressão na superfície do aerofólio.

A seqüência de eventos associados ao estol dinâmico é representada no diagrama da

Fig. 2.6, onde destacam-se as principais características do escoamento e a sua influência na

força de sustentação.

Figura 2.6 - Histerese na força de sustentação e eventos característicos do escoamento paraum aerofólio em movimento oscilatório, reproduzido de Carr et al. (1977).

Primeiramente, o aerofólio inicia o movimento ascendente de arfagem (cabrar ). O ângulo

de estol estático (ponto A) é alcançado sem que ocorra mudança no escoamento. A força de

sustentação continua aumentando com o aumento do ângulo de ataque, iniciando-se o apareci-

24

mento de escoamento reverso junto ao extradorso do aerofólio (ponto B). Um vórtice começa a

se desenvolver sobre o bordo de ataque do aerofólio (ponto C) e então ele é advectado em di-

reção ao bordo do fuga (C-D) causando um forte aumento do coeficiente de sustentação, devido

à sucção induzida pela passagem do vórtice próximo ao extradorso. A magnitude do aumento

da sustentação depende essencialmente da energia do vórtice e de sua proximidade à superfí-

cie do aerofólio. Após o desprendimento do vórtice junto ao bordo de fuga, o escoamento está

completamente separado do aerofólio. Os efeitos combinados do estol e início do movimento

descendente (picar ) do aerofólio fazem com que o aerofólio experimente uma queda brusca no

coeficiente de sustentação (D-E). O escoamento sobre o aerofólio está completamente separado

(ponto E), neste ponto o escoamento é topologicamente bastante similar aos escoamentos ob-

servados em situações estáticas de estol. O escoamento permanece separado durante quase

todo o movimento de descida e o coeficiente de sustentação decresce com a diminuição do

ângulo de ataque.

Finalmente, quando o aerofólio alcança ângulos de ataque suficientemente baixos, per-

mitindo o recolamento da camada limite junto à superfície superior do aerofólio, junto ao bordo de

ataque (ponto F), tem-se um aumento do coeficiente de sustentação, que retorna aos valores an-

teriores ao estol. Toda esta seqüência de eventos causa uma grande histerese nos coeficientes

de forças aerodinâmicas entre o movimento ascendente e descendente do aerofólio. A magni-

tude da histerese e forma do ciclo variam de maneira altamente não-linear com a amplitude de

oscilação, ângulo de ataque médio e freqüência de oscilação.

Estudos computacionais podem proporcionar um melhor entendimento sobre o compor-

tamento físico do escoamento que seria difícil de ser estudado com os métodos semi-empíricos.

Em especial nas últimas duas décadas, o rápido progresso dos métodos computacionais e da ca-

pacidade de processamento tem permitido a solução numérica das equações de Navier-Stokes

em muitos problemas práticos de engenharia. Como destacado por Ekaterinaris e Platzer (1997)

a solução transiente das equações completas de Navier-Stokes são usadas nos dias de hoje

para melhorar o conhecimento sobre muitos aspectos do comportamento físico dos escoamen-

tos, como por exemplo, efeitos de atraso, separação da camada limite, transiente de escoamentos

livre e cargas variáveis no tempo.

Até então, a maioria dos trabalhos de interesse prático sobre aerofólios em movimento,

encontrados na literatura, enfoca os escoamentos para aplicações aerodinâmicas e conseqüen-

temente escoamentos a altos números de Reynolds (ReD ≥ 106) que em geral levam em conside-

25

ração efeitos de compressibilidade. O estudo de escoamentos incompressíveis e a baixo número

de Reynolds foi por muito tempo considerado apenas de interesse teórico (Ekaterinaris e Platzer,

1997) e poucos trabalhos podem ser encontrado na literatura.

Somente mais recentemente, estudos em bio-fluidodinâmica sobre características pro-

pulsivas de barbatanas de peixes e interesses sobre os mecanismos que permitem o vôo de

insetos (Mittal, 2004; Triantafyllou et al., 2000) a interação entre o escoamento e asas articuladas

de micro-dispositivos alados (MAVs), focando a geração de propulsão (Ho e Tay, 1998; Jones e

Platzer, 2002), veículos movidos por potência humana (Lissaman, 1983), têm feito com que se au-

mente o interesse em aerofólios móveis operando em regimes de baixos números de Reynolds.

Devido a histórica falta de medições experimentais, o comportamento das forças aerodinâmicas

para estas condições de escoamento é ainda pouco compreendido. Por esta razão o estudo de

aerofólios móveis a baixos números de Reynolds continua sendo um assunto relevante como se

pode verificar em recentes pesquisas experimentais e numéricas.

Panda e Zaman (1994) conduziram experimentos de escoamentos sobre um aerofólio

NACA 0012 em movimento oscilatório periódico, para várias freqüências de oscilação, a baixos

números de Reynolds, Rec = 2, 2 × 104 e 4, 4 × 104. Foi imposto um movimento senoidal em

torno do eixo que passa pelo quarto de corda do aerofólio (x/c = 0, 25), com ângulos de ataque

variando entre 5o e 25o. Durante os experimentos foram realizadas medições do campo de vor-

ticidade na esteira e também armazenado o histórico da visualização do escoamento que foi

feito com a injeção de fumaça. Estes últimos dados foram usados para estimar o coeficiente

de sustentação. O foco do trabalho é apresentar uma nova técnica para determinação indireta

da força de sustentação através apenas da análise do escoamento na região da esteira, sem a

necessidade da medição direta das forças ou campos de pressão estática. O método torna-se

atrativo uma vez que a determinação direta das forças sobre aerofólios móveis a baixos números

de Reynolds não é uma tarefa muito fácil de ser executa. Os resultados obtidos com a nova téc-

nica mostraram um bom ajuste com relação aos dados da literatura, apesar da aproximação de

bi-dimensionalidade utilizada para aplicação do método. Na análise realizada fica bastante evi-

dente a influência das grandes estruturas do escoamento na histerese da força de sustentação.

Foram identificadas estruturas bastantes influentes originadas do bordo de ataque (chamadas

de DSV) e do bordo de fuga (TEV). Os efeitos causados pela interação combinada destas duas

estruturas são pouco relatados na literatura.

Lee et al. (1999) demonstraram o uso da técnica de visualização PIV (Particle Image

26

Velocimetry) na visualização de um escoamento sobre um aerofólio NACA 0018 em movimento

de arfagem imerso em um túnel de água com escoamento a número de Reynolds Rec = 1, 1 ×104. A variação do ângulo de ataque foi de 0o a 45o, executada com um motor de passo. São

apresentadas visualizações instantâneas de vetores de velocidade e campos de vorticidade do

escoamento obtidos com a técnica PIV. Os autores destacam a importância da visualização das

estruturas transientes na caracterização dos eventos que levam ao estol dinâmico.

As características transientes de um escoamento a número de Reynolds Rec = 1, 35×105,sobre um aerofólio oscilante foram estudadas experimentalmente por Lee e Gerontakos (2004).

O objetivo principal do trabalho é proporcionar uma investigação detalhada do comportamento

transiente da camada limite desenvolvida sobre um aerofólio NACA 0012 em movimento oscilató-

rio senoidal nos regimes pré-, pós- e durante a condição de estol. As medições foram realizadas

na superfície do aerofólio, utilizando sensores de fio-quente e medidores de pressão finamente

espaçados ao longo de toda a superfície. Sensores de fio quente foram também posicionados na

região da esteira. Para a visualização do escoamento foi utilizada a técnica de injeção de fumaça.

A análise dos dados dos sensores combinada com visualização proporcionou a identificação e

caracterização dos mecanismos responsáveis pela formação e transporte de vórtices no bordo

de ataque, principal mecanismo responsável pelo fenômeno do estol dinâmico. Medições realiza-

das com fio-quente confirmaram a correlação dos eventos do escoamento com o comportamento

transiente dos coeficientes de força. As forças aerodinâmicas instantâneas sobre o aerofólio fo-

ram determinadas diretamente pela integração numérica dos dados obtidos para a distribuição

de pressão sobre o aerofólio. Atenção especial foi dedicada ao comportamento espacial-temporal

dos pontos de transição, separação, recolamento e relaminarização da camada limite para várias

freqüências de oscilação. Estes resultados foram comparados com valores de medições estáti-

cas. De maneira geral, os autores destacam a não-linearidade dos eventos relacionados ao estol

dinâmico e o aumento de magnitude das forças com relação à situação de estol com aerofólios

estáticos.

Jung e Park (2005) estudaram experimentalmente a freqüência característica dos vórtices

de Karmam produzidos na região da esteira pelo escoamento sobre um aerofólio em movimento

oscilante. O principal objetivo do trabalho é descobrir como está relacionada a freqüência de

desprendimento dos vórtices com o movimento oscilatório do aerofólio em baixas freqüências de

oscilação. A natureza oscilatória da camada limite sobre o aerofólio é também examinada, uma

vez que os vórtices da esteira são diretamente influenciados pelo comportamento da camada

27

limite e vice-versa. Foram utilizadas anemometria de fio-quente e visualização por meio de in-

jeção de fumaça no escoamento. A freqüência de desprendimento de vórtices foi determinada

através do método autoregressivo. Foram realizados experimentos com aerofólios estáticos e em

movimento e foi imposto um movimento harmônico em torno do eixo que passa pelo quarto de

corda de um aerofólio NACA 0012. Foram ensaiadas quatro freqüências de oscilação; o ângulo

médio de incidência foi definido em 0o com uma pequena amplitude de oscilação de 3o. Foi ob-

servada uma grande diferença entre a freqüência de desprendimento de vórtices medida para

aerofólio oscilante com relação ao caso de aerofólio estático, constatando-se assim que o estado

da camada limite tem grande influência sobre as características do desprendimento de vórtices.

Diferenças significativas foram observadas em relação ao caso estático, sendo que a faixa de

variação da freqüência de emissão de vórtices torna-se menor para aerofólios oscilantes. Essa

tendência de redução da faixa de freqüência de desprendimento de vórtices é intensificada com

o aumento da freqüência de oscilação do aerofólio, o que evidencia a importância da análise

transiente do fenômeno.

Este tipo de problema, envolvendo escoamentos transientes, onde as geometrias mudam

em função do tempo, são difíceis de serem simulados numericamente. Entretanto nos últimos

anos, o avanço dos recursos computacionais tem permitido o estudo numérico de problemas

que envolvem fronteiras móveis. A maioria dos trabalhos numéricos faz uso de malhas não es-

truturadas e procedimentos de re-malhagem a cada passo de tempo para a movimentação da

geometria. Casos testes com esta metodologia são reportados na literatura, como por exem-

plo o trabalho de Rosenfeld e Kwak (1989) que empregaram um método de simulação baseado

em malhas não estruturadas para simular um caso de escoamento sobre um canal de paredes

móveis estudado experimentalmente por Pedley e Stephanoff (1985). Os resultados obtidos re-

produziram bem os dados experimentais e o modelo foi considerado satisfatório. Os autores

destacam o elevado custo do processo de regeneração da malha, apresentando soluções para

problemas que envolvem apenas pequenos deslocamentos.

Okong’o e Knight (1998) resolveram numericamente as equações de Navier-Stokes para

escoamentos compressíveis usando malhas não-estruturadas e um esquema de integração tem-

poral implícito de primeira ordem. O trabalho investiga o efeito do número de Reynolds nos pri-

meiros instantes da separação do escoamento no bordo de ataque de um aerofólio NACA 0012,

em movimento de arfagem ascendente. O aerofólio sai da posição inicial de ângulo de ataque 0o

e segue um movimento em rampa a uma velocidade adimensional de 0, 2 até a posição final de

28

ângulo de ataque 23o. Foram avaliados escoamentos a números de Reynolds Rec = 104 e 2×104

para número de Mach 0, 2. Foi utilizada uma malha refinada junto à superfície do aerofólio, com

180 pontos para definir a superfície do aerofólio. A malha não estruturada se ajusta ao aerofólio

e se move à medida que o aerofólio rotaciona. A evolução do coeficiente de sustentação com

o ângulo de ataque mostra que, para esta velocidade de movimentação, o estol não ocorre até

o ângulo de ataque 23o. Pequenas oscilações podem ser vistas na força de sustentação devido

ao início incipiente das recirculações sobre o bordo de ataque. Foi verificado que o aumento do

número de Reynolds acelera o aparecimento de regiões de recirculações primárias, que se mo-

vem cada vez mais em direção ao bordo de ataque do aerofólio. Os resultados mostraram uma

boa concordância e as observações estão de acordo com resultados prévios de outros trabalhos

numéricos.

Sørensen e Nygreen (2001) usaram um método numérico baseado na formulação vorti-

cidade função corrente para as equações de Navier-Stokes, para investigar escoamentos turbu-

lentos sobre aerofólios. As equações são resolvidas em uma malha não-ortogonal usando uma

técnica combinada diferenças/volumes finitos. Estudos comparativos foram realizados com três

diferentes modelos de turbulência do tipo URANS, o modelo algébrico de Baldwin-Lomax e os

modelos a uma equação de Baldwin-Barth e Spalart-Allmaras. Para avaliar a performance dos

modelos de turbulência, foram simulados dois casos de escoamentos sobre aerofólios a elevados

ângulos de ataque. Simulações sobre um aerofólio Aérospatiale-A em situações estáticas, em ân-

gulos de incidência superiores a 40o foram realizadas. Os resultados mostraram que os modelos

a uma equação proporcionam melhores resultados para escoamentos com separação. O outro

caso simulado foi para escoamento sobre um aerofólio NACA 0015 oscilante. Novamente, os

resultados obtidos com os modelos a uma equação foram superiores e proporcionaram um bom

ajuste para os coeficientes de força. Durante o movimento descendente do aerofólio foi verificado

um bom ajuste qualitativo, porém, com elevado desvio em magnitude com relação aos valores

medidos. Os autores atribuíram isso ao fato de que, durante todo o movimento de descida, o

escoamento é altamente separado e os efeitos tridimensionais são dominantes.

O escoamento transiente incompressível sobre um aerofólio NACA 0012 oscilante foi ob-

jeto de um estudo desenvolvido por Akbari e Prince (2003). Foi utilizada a formulação vorticidade-

função corrente para resolver as equações de Navier-Stokes em um espaço bidimensional. A

malha é não-estruturada fixa e se ajusta ao aerofólio. Foram investigados os efeitos de diversos

parâmetros que são apontados como sendo influentes neste tipo de problema: freqüência, ângulo

29

de ataque médio, posição do eixo de giro e número de Reynolds. São apresentadas simulações

para três freqüências de oscilação do aerofólio e números de Reynolds ReD = 3× 103 e 104. Foi

observado que o movimento oscilatório do aerofólio provoca um atraso no ângulo de separação

que é deslocado para maiores incidências quando comparado com a situação estática, fazendo

com que a força normal aumente em magnitude além do ângulo de estol estático. O processo

de descolamento inicia-se a partir do bordo de ataque com a formação e transporte de um vór-

tice pela superfície superior do aerofólio. Também é observada a formação de vórtices no bordo

de fuga. Os autores indicam a freqüência com sendo o parâmetro de maior influência sobre os

coeficientes de força. Quanto maior a freqüência maior é o atraso no ângulo de separação. Já

a posição do centro de giro e o número de Reynolds, ao menos para esta faixa, mostraram-se

como parâmetros pouco influentes no escoamento em termos de influência na separação do

escoamento, tempo de formação e desprendimento de vórtices, bem como influência sobre os

coeficientes de força. Os resultados obtidos mostraram uma boa concordância qualitativa.

Muitos dos trabalhos numéricos disponíveis na literatura sobre aerofólios em movimento

oscilatório, que envolvem grandes amplitudes de oscilação, utilizam malhas que se ajustam a

geometria do corpo (formulação ALE – Abitrary Lagrangian Eulerian). Portanto, como é necessa-

rio que a malha usada no domínio de cálculo seja reconstruida à medida que o corpo se move,

esta metodologia é bastante apropriada para o tratamento de problemas onde o cálculo preciso

da camada limite é importante. Porém, a movimentação da malha, a reavaliação dos parâmetros

geométricos e o procedimento de remalhagem aumentam consideravelmente o custo computa-

cional. Além disso, como observado por Okong’o e Knight (1998), cuidados especiais devem ser

tomados de maneira que o movimento da malha não introduza nenhuma alteração indesejada

no escoamento. De maneira alternativa, tem-se os métodos em que o corpo é inserido no es-

coamento via imposição de condição de contorno em posições específicas do domínio, como

os métodos baseados no conceito de fronteira imersa, de forma que não existe necessidade da

malha se ajustar ao corpo. Entretanto, por se tratar de uma metodologia que ganhou popularidade

apenas na última década, apresenta ainda dificuldades, como limitações a pequenos passos de

tempo e tratamento da camada limite. Mesmo assim de maneira geral, como observado por Yu

(2005), para problemas de interfaces móveis, esta última classe de métodos é mais simples e

eficiente do que os métodos ALE que utilizam malhas que se ajustam ao corpo.

Capítulo III

Modelo Matemático

3.1 Método da fronteira imersa

O método da fronteira imersa foi desenvolvido por Peskin (1977) para a modelagem de

problemas envolvendo geometrias complexas móveis. Ao invés de representar o corpo imerso

no escoamento via imposição de condições de contorno, o que exige invariavelmente o uso de

malhas que se adaptem à geometria, Peskin propôs usar uma malha euleriana regular em todo o

domínio e, para representar a interface do corpo imerso, ele propôs utilizar uma segunda malha,

dita lagrangiana. Como mostrado na Fig. (3.1), as malhas são geometricamente independentes,

não existindo assim dificuldades em representar geometrias complexas ou mesmo móveis e de-

formáveis.

Figura 3.1 - Representação das malhas euleriana e lagragiana para um corpo imerso de geo-metria arbitrária.

32

A malha euleriana é fixa, sendo tratada como se estivesse ocupada somente por fluido.

O escoamento é então modelado e resolvido pelas equações de Navier-Stokes em todos os

pontos da malha, mesmo para aqueles pontos, que a princípio, fazem parte do corpo sólido. As

informações sobre a interface fluido/sólido no domínio de cálculo são passadas à malha euleriana

via adição de um termo fonte de força nas equações de Navier-Stokes. Este termo de força é

calculado sobre os pontos da malha lagrangiana e, então, distribuído apenas sobre os pontos

eulerianos vizinhos à interface. O termo fonte é responsável pela comunicação das informações

entre as malhas, fazendo com que o fluido (malha euleriana) sinta a presença do corpo imerso

(malha lagrangiana) forçando assim o aparecimento de escoamentos coerentes em torno do

corpo.

3.1.1 Modelo matemático para o fluido

As equações de Navier-Stokes são resolvidas em todo o domínio de cálculo. Estas equa-

ções podem ser escritas na forma tensorial para escoamentos isotérmicos e incompressíveis,

como:

∂ (ui)

∂t+

∂

∂xj(uiuj) = −

1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj

∙ν

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶¸+ fi, (3.1)

∂ui∂xi

= 0, (3.2)

onde ρ e ν são respectivamente a massa específica e a viscosidade cinemática, propriedades

que caracterizam o fluido. As características do escoamento são representadas por: p, o campo

de pressão, ui as componentes do vetor velocidade e fi as componentes do campo de força que

atua sobre o escoamento.

Nota-se que o termo euleriano de força fi, responsável por fazer o escoamento sentir

a presença da interface sólida, deve existir apenas nos pontos eulerianos coincidentes com a

interface. Para todos os demais pontos eulerianos do domínio o termo fi deve ser nulo. A repre-

sentação matemática desse comportamento singular do campo de forças é feita com o auxílio da

33

função Delta de Dirac (δ), Eq. (3.3):

f (x, t) =

ZΓ

F (xk, t) δ (x− xk) dxk, (3.3)

onde F (xk, t) é a força lagrangiana, calculada sobre os pontos da interface. O índice k denota

uma variável lagrangiana

3.1.2 Modelo matemático para a interface sólido-fluido

O cálculo da densidade de força lagrangiana é feito utilizando-se o Modelo Físico Virtual

(Virtual Physical Model - VPM) proposto por Lima e Silva et al. (2003), como alternativa aos

modelos que fazem uso de constantes ad-hoc para avaliação da força lagrangiana. Esse modelo

avalia dinamicamente a força que o fluido exerce sobre a superfície sólida imersa no escoamento.

A força lagrangiana F (xk, t) é avaliada através de um balanço de quantidade de movimento sobre

uma partícula de fluido que se encontra junto à interface sólido-fluido, levando em consideração

todos os termos da equação de Navier-Stokes. Desta forma pode-se expressar a densidade de

força lagrangiana por:

Fi (xk, t) = Fa (xk, t) + Fi (xk, t) + Fv (xk, t) + Fp (xk, t) . (3.4)

Os termos do lado direito da Eq. (3.4) são aqui respectivamente denominados por: força

de aceleração, força inercial, força viscosa e força de pressão, os quais são definidos pelas

equações de (3.5) a (3.8), escritas aqui na forma tesorial:

Fa = ρ∂ (uk i)

∂t, (3.5)

Fi = ρ∂

∂xk j(uk iuk j) , (3.6)

Fv = −∂

∂xj

∙νef

µ∂uk i

∂xk j+

∂uk j

∂xk i

¶¸, (3.7)

Fp =∂ (pk j)

∂xk j. (3.8)

34

Como se pode ver não existem constantes a serem ajustadas no VPM. É um modelo de

base puramente física, pois a determinação da força lagrangiana é feita apenas utilizando um ba-

lanço de quantidade de movimento nos volumes de controle centrados nos pontos lagrangianos

da interface, como ilustra o esquema da Fig. (3.2).

Figura 3.2 - Volume de controle em um ponto lagrangiano qualquer.

Figura 3.3 - Processo de distribuição da força lagrangiana para os pontos eulerianos.

Uma vez calculada a força necessária para impor a condição de contorno desejada sobre

a interface, deve-se acoplar o domínio lagrangiano com o euleriano, fazendo com que a força da

35

interface seja conhecida em pontos apropriados da malha euleriana, como ilustrado na Fig. 3.3.

Como já visto, este processo é representado matematicamente pela Eq. (3.3).

3.2 Função indicadora

Como foi visto, são utilizados somente pontos externos à interface no procedimento de

interpolação da pressão. Desta forma, é necessário identificar com precisão os pontos eulerianos

internos ou externos à interface, sobretudo em problemas envolvendo interfaces móveis onde se

deve fazer essa avaliação a todo o instante de tempo. Uma possível maneira de identificar estes

pontos é com o uso da função indicadora, proposta por Unverdi e Tryggvason (1992); que é um

método de captura (tracking) da interface bastante robusto. A função indicadora, I(x, t), é definida

por:

∇I(x, t) = G(x, t), (3.9)

onde o termo fonte da Eq. (3.9) é dado pela função G(x, t) definida como:

G(x, t) =Xk

Dij(x− xk)n(xk)∆s(xk), (3.10)

sendo Dij a função distribuição, n é o vetor normal à interface e ∆s a distância entre os pontos

lagrangianos.

Aplicando o operador divergente na Eq. (3.9) obtém-se:

∇2I(x, t) = ∇ ·G(x, t). (3.11)

O termo fonte G(x, t) pode ser calculado, resolvendo a equação de Poisson, Eq. (3.11),

obtendo-se a solução da função indicadora I(x, t) em todos os pontos eulerianos do domínio. A

função indicadora atribui valor unitário para os pontos internos à interface, zero para os pontos

externos e sobre a interface proporciona uma transição suave entre os dois valores.

3.3 Modelagem da turbulência

A turbulência é um assunto que sem dúvida alguma intriga os pesquisadores ao longo

36

de muitos anos, seja pela beleza e complexidade do fenômeno ou pelo grande desafio de se ter

em mãos o poder de controlá-la. A grande maioria dos escoamentos na natureza ou mesmo nos

problemas de engenharia são, via de regra, turbulentos e portanto requerem um tratamento dife-

renciado devido à complexidade do fenômeno. A turbulência apresenta algumas características

peculiares, sendo as mais importantes destacadas por Silveira-Neto (2003): fenômeno altamente

instável, multiplicidade de escalas, presença de estruturas tridimensionais coerentes. Todas es-

tas propriedades citadas são importantes e interferem de maneira signficativa na dinâmica do

escoamento. Os efeitos reais da turbulência podem ser ou não desejáveis em um escoamento,

dependendo do processo no qual ele está inserido. Por exemplo, turbulência intensa seria interes-

sante em um processo onde se deseja reagir dois fluidos em um processo químico ou então

quando se deseja intensificar um processo de transferência de calor. Por outro lado, o aumento

do nível de turbulência resulta no aumento das forças de atrito, sendo necessário aumentar, por

exemplo, a potência para se bombear o fluido.

Figura 3.4 - Escoamento turbulento, esteira formada atrás de um avião (Fonte: www.nasa.gov).

Posto isto, é fundamental que os engenheiros busquem compreender e predizer com um

bom nível de precisão os efeitos causados pela turbulência, de maneira a se conseguir desenvol-

ver projetos cada vez mais eficientes. Compreender bem a turbulência é fundamental para que,

37

em alguns casos, seja possível controlá-la, pelo menos em parte (Ferziger e Peric, 2002). É extre-

mamente difícil falar em controle da turbulência, uma vez que o regime turbulento é predominante

nos escoamentos em geral. Isto se deve ao fato que mesmo quando pequenas perturbações são

injetadas em um escoamento elas são naturalmente amplificadas, gerando-se instabilidades que

os conduzem à transição. A turbulência e a transição à turbulência são assuntos científicos que

se colocam entre os mais seriamente pesquisados no último século. No passado, a principal

forma de estudo de escoamentos turbulentos era através de uma abordagem totalmente expe-

rimental, através de correlações e diagramas empíricos. Entretanto, os métodos numéricos vêm

ganhando cada vez mais destaque, sendo que hoje em dia a maior parte das pesquisas em tur-

bulência dos fluidos, encontradas na literatura, estão ligadas a algum tipo de simulação numérica.

Não é demais falar, na atualidade, em experimentos numéricos.

3.3.1 Metodologias de simulação

Dentro do campo de metodologias numéricas para a predição da turbulência, pode-se

contar com diferentes tipos de abordagens para este problema. Cada uma delas pode ser mais

ou menos adequada para o tratamento de determinado tipo de problema já que não existe uma

abordagem definitiva para o problema da turbulência. Cabe então conhecer os diversos tipos de

estratégias de modelagem para que se possa tratar o problema, tendo conhecimento das poten-

cialidades e limitações de cada uma delas. Conhecer o problema a ser trabalhado e sobretudo

ter conhecimento do tipo de resposta que se deseja são fundamentais ao se escolher uma de-

terminada estratégia de modelagem da turbulência. Aqui é apresentada uma breve introdução

sobre as mais relevantes estratégias de modelagem matemática da turbulência encontradas na

literatura.

Simulação Numérica Direta

Nos últimos anos têm-se presenciado um grande avanço no desenvolvimento de com-

putadores tanto em velocidade de processamento, quanto em capacidade de armazenamento,

o que, aliado ao contínuo desenvolvimento dos algoritmos numéricos, vem propiciando o uso

cada vez mais intenso de CFD nas mais diversas áreas da engenharia, sobretudo como ferra-

menta de projeto e análise de escoamentos em veículos aeroespaciais. Mesmo com todo este

progresso, resta ainda lidar com a dificuldade de simular com precisão escoamentos turbulentos

em aplicações práticas, utilizando CFD.

38

Como é sabido, escoamentos são descritos por equações diferenciais parciais altamente

não-lineares, que modelam a conservação da massa, balanço de quantidade de movimento e

conservação da energia. Essas equações são a base para CFD. A turbulência é caracterizada

por efeitos transientes de altas freqüências e pequenas amplitudes, aparentemente de caráter

caótico e aleatório. O caráter aleátorio das estruturas provavelmente está associado às não li-

nearidades deste fenômeno. Outra característica bastante peculiar da turbulência está associada

à multiplicidade de escalas das estruturas turbulentas. As maiores e mais coerentes são da or-

dem de grandeza da geometria do problema envolvido, porém estas são compostas por menores

estruturas que, por sua vez, são compostas por estruturas ainda menores e assim sucessiva-

mente. Esta multiplicidade de escalas é contínua e vai até a menor escala de comprimento do

escoamento, conhecida como escala de Komolgorov. Neste ponto, estas estruturas são dissipa-

das por efeitos viscosos. Entretanto, devido à limitação dos recursos computacionais, é frequente

o uso de equações médias para a modelagem da maioria dos problemas práticos. Com isso, as

altas freqüências não são capturadas e conseqüentemente a turbulência não é diretamente cal-

culada, sendo necessário o uso de modelos para contabilizar o seu efeito, como será abordado

mais adiante.

Na verdade não é necessário modelar a turbulência, desde que se utilize malhas compu-

tacionais altamente refinadas, o que permitiria calcular diretamente também as pequenas esca-

las associadas à turbulência. Esse procedimento é conhecido como Simulação Numérica Direta

(DNS - Direct Numerical Simulation) e exige alta resolução temporal e espacial para a simulação

de escoamentos relativamente simples. Estima-se que o número de graus de liberdade de um

escoamento turbulento é proporcional a Re9/4, o que implica dizer que para se realizar DNS é

nessessário resolver simultaneamente um sistema de equações da mesma ordem de grandeza,

resultando obviamente em um custo computacional extremamente elevado. Por esta razão, pes-

quisas no campo de DNS, em geral, são restritas a configurações geométricas bastante simples

e a escoamentos a baixos números de Reynolds. Em geral esta metodologia permite gerar ban-

cos de dados para a validação de códigos computacionais para os quais se utiliza modelagem

para a turbulência (Coleman e Ferziger, 1996; Le et al., 1997; Gushchin et al., 2002).

Equações Médias de Reynolds Transientes

Normalmente, para algumas aplicações de engenharia se está interessado em conhecer

somente algumas poucas propriedades quantitativas de um escoamento turbulento, como por

39

exemplo, a distribuição média de forças sobre um corpo, o grau de mistura entre dois fluidos ou

a quantidade de uma substância que sofreu uma reação química (Ferziger e Peric, 2002). Seria

então bastante apropriado o uso de uma metodologia que fornecesse respostas compatíveis com

este nível de detalhamento, ao invés de se obter respostas muito realísticas que precisem de um

tratamento estatístico dos resultados para se obter a resposta desejada.

Um conceito de modelagem da turbulência existente que atende estes requisitos são os

conhecidos modelos baseados nas Equações Médias de Reynolds (Reynolds Averaged Navier-

Stokes Equations – RANS). Com esta formulação, todas as instabilidades físicas são filtradas

por um processo de média. Desta forma, modelos do tipo RANS devem ser considerados como

aproximações de engenharia e não têm a finalidade de representar com exatidão toda a com-

plexidade física dos escoamentos. Por este motivo, modelos de turbulência do tipo RANS são

considerados os mais práticos e usuais modelos de turbulência existentes, em consonância com

os atuais recursos computacionais (Kapadia e Roy, 2003).

A origem do conceito de modelagem data do final do século XIX com os trabalhos sobre

turbulência publicados por Osborne Reynolds. A importância de seu estudo está ligada principal-

mente ao enfoque matemático para o tratamento dos escoamentos turbulentos. Em seu trabalho,

Reynolds observou que um escoamento turbulento apresentava flutuações temporais das pro-

priedades associadas ao escoamento, propondo a separação das flutuações baseando-se em

um processo de média temporal. Isto deu origem a um conjunto de equações médias e este

processo de decomposição ficou conhecido como Média de Reynolds (Wilcox, 1998).

O procedimento matemático empregado por Reynolds no tratamento das equações de

Navier-Stokes para escoamentos turbulentos exerceu uma forte influência nos trabalhos futuros

sobre este tema. Um exemplo que ilustra este fato é que, mesmo após a incorporação de termos

transientes às equações de Reynolds, a nomenclatura, apesar de inconsistente, permaneceu.

Posteriormente passou-se a utilizar o termo Equações Médias de Reynolds Transientes (Uns-

teady Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations – URANS), como foi discutido por Silveira-

Neto et al. (2002).

Encontram-se na literatura muitas propostas de modelos do tipo URANS, inclusive com o

surgimento de um grande número de modelos completamente novos ou mesmo novas versões.

Em geral, estes modelos são formulados usando desde apenas relações algébricas até com-

plexos sistemas de equações diferenciais parciais (EDP). Desta forma, uma das maneiras en-

contradas para a classificação dos modelos do tipo URANS é em termos do número de EDP’s

40

adcionais que devem ser resolvidas. Entretanto o desenvolvimento de novos modelos URANS

não está somente restrito a formulações diferenciais; existem também pesquisas no desenvol-

vimento de métodos de formulação integral para a camada limite (Spalart, 2000). Toda esta di-

versidade de modelos demostra que apesar de suas limitações, para alguns tipos de problemas,

a modelagem URANS ainda permanece como padrão de modelagem da turbulência, principal-

mente em aplicações industriais.

Simulação de Grandes Escalas

A Simulação de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation) é uma metodologia inter-

mediária a DNS e URANS, baseada no processo de filtragem das equações de Navier-Stokes. As

maiores estruturas turbulentas são resolvidade diretamente pelas equações governantes filtradas

até uma certa escala de corte, determinada pelo tamanho da malha empregada no processo de

discretização. Desta forma o escoamento é dividido em escalas resolvidas (grandes escalas) e

não-resolvidas (escalas submalha).

Figura 3.5 - Esboços de Leonardo da Vinci representando o escoamento da água sobre obstá-culos.

41

"Nota il moto del livello dell’acqua, il quale fa a uso de’ capelli, che ànno due moti, de’

quali l’uno attende al peso del vello, l’altro al liniamento delle volte; così l’acqua à le sue volte

revertiginose, delle quali una parte attende al impeto del corso principale, l’altra attende al moto

incidente e riflesso." Leonardo da Vinci, 1510.

Essa frase de Leonardo da Vinci, talvez expresse a primeira tentativa de separação de es-

calas aplicada a escoamentos, podendo ser traduzida da seguinte forma: "Observe o movimento

da superfície da água, o qual lembra uma mecha de cabelo e possui dois movimentos: um devido

ao seu próprio peso e outro devido às ondulações de cada fio; da mesma forma a água apresenta

escalas de movimentos, uma parte devida à corrente principal e outro movimento aleatório e re-

verso". Fica clara a intenção de Leonardo da Vinci em decompor o movimento da água em duas

escalas, uma que concentra o movimento principal do escoamento e outra de caráter imprevisível

como flutuações do comportamento principal. Como já visto, é nesta premissa que se baseia a

Simulação de Grandes Escalas.

Separadas as escalas, resta modelar o processo de tranferência de energia cinética tur-

bulenta entre as escalas resolvidas e não-resolvidas do escoamento. Como as grandes esca-

las já foram apropriadamente resolvidas, modela-se apenas as escalas submalha. Esta é uma

hipótese bem coerente, visto que as menores estruturas são mais homogêneas e isotrópicas

(Silveira-Neto, 2003). Sendo assim, possuem um comportamento mais independente do tipo de

escoamento envolvido, o que facilita a modelagem pois permite o uso de modelos mais univer-

sais. Por outro lado, as grandes escalas são fortemente dependentes da geometria e caracterís-

ticas particulares de cada problema, o que dificulta o desenvolvimento de modelos globais para

essas escalas da turbulência.

Do ponto de vista de aplicações em engenharia, LES juntamente com DNS mostram

resultados bastante promisores na predição de escoamentos complexos onde os tradicionais

modelos do tipo RANS não conseguem fornecer bons resultados, como por exemplo: estruturas

de escoamentos tridimensionais, relaminarização e transição de camada limite e escoamentos

separados (Piomelli et al., 2003). Com estas metodologias é possível a visualização de estru-

turas turbilhonares características do escoamento, importantes para a análise física de muitos

problemas de engenharia. Entretanto, como já foi dito, devido ao elevado custo computacional, o

campo de aplicação da metodologia DNS ainda é restrito a escoamentos a números de Reynolds

relativamente baixos, ao passo que LES hoje em dia já permite obter resultados em aplicações

práticas como mostrado na literatura por diversos autores. Souza (2003) utilizou a metodologia

42

LES para o estudo do escoamento em um hidrociclone. Foram extraídos perfis médios no tempo

que apresentaram uma boa concordância com os dados experimentais. Os resultados numéricos,

para os números de Reynolds investigados evidenciaram também as principais características fí-

sicas, bem como as instabilidades do escoamento. Padilla (2004) também utilizou a metodologia

LES na simulação e análise do processo de transição à turbulência de escoamentos complexos

com transferência de calor sobre corpos rotativos. Foi verificada uma ótima concordância na

comparação com resultados numéricos e experimentais encontrados na literatura. Estes exem-

plos mostram que LES começa a ser utilizada com eficiência na solução de problemas práticos,

com a vantagem de, em alguns casos, fornecer resultados até então inacessíveis com os méto-

dos clássicos de modelagem da turbulência.

Simulação Híbrida para a Turbulência

Apesar de todos os avanços conseguidos, hoje em dia muitos autores acreditam que di-

ficilmente LES poderá ser aplicada com eficiência nas próximas décadas em aplicações práticas

de escoamento aerodinâmicos. Isto devido à presença de regiões de camada limite extrema-

mente finas, onde a espessura da camada limite é da ordem de 0,1% da corda do aerofólio,

características deste tipo de escoamento. Isso exigiria um refinamento de malha bastante ele-

vado nesta região para que se pudesse aplicar LES, o que tornaria esta metodologia inviável. A

metodologia LES nesta região trabalha com a chamada QDNS (Quasi-Direct Numerical Simula-

tion) uma vez que a resolução da malha é bem próxima de uma DNS (Spalart, 2000).

Por sua vez, modelos do tipo URANS conseguem fornecer resultados bastante preci-

sos mesmo com um baixo refinamento de malha sobre as regiões de camada limite, quando

comparado com o refinamento exigido por LES. Porém modelos do tipo URANS apresentam difi-

culdades de simular de maneira realística as regiões de escoamento livre. Buscando suprir estas

limitações, Spalart et al. (1997) propuseram um conceito de modelagem híbrida para a turbulên-

cia, conhecida como DES (Detached Eddy Simulation). É importante destacar que este conceito

não está ligado a nenhum modelo de turbulência específico.

A principal idéia da metodologia híbrida DES é combinar as melhores caracteristicas

das modelagens URANS e LES em um único modelo de turbulência. Desta forma é utilizada

uma modelagem do tipo URANS para as regiões perto das paredes, onde este tipo de modelos

mostra bons resultados. Para regiões longe das paredes, é utilizada a metodologia LES, uma

vez que este tipo de modelagem possui melhores características para simular fenômenos físicos

43

complexos, como separação de escoamentos.

3.3.2 Modelos de turbulência

Como já foi observado, uma alternativa viável à metodologia DNS para o tratamento de

escoamentos turbulentos é a separação de escalas, uma vez que as metodologias associadas a

esse processo apresentam uma menor exigência no refinamento da malha. Isso permite a resolu-

ção de escoamentos a maiores números de Reynolds do que DNS, com os recursos computacio-

nais atualmente disponíveis. A separação de escalas pode ser feita com o uso da decomposição

de Reynols ou através de um processo geral de filtragem como o proposto por Germano (1986).

A seguir apresenta-se o processo de filtragem para as equações de Navier-Stokes.

Equações Globais Filtradas para a Turbulência

Parte-se das equações governantes, Eq. (3.1) e (3.2), as quais podem ser reescritas na

forma filtrada. O operador (−), aplicado às variáveis, denota que elas foram filtradas:

∂ui∂t

+∂

∂xj(uiuj) = −

1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj

∙ν

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶¸+ fi, (3.12)

∂ui∂xi

= 0. (3.13)

Observa-se que a equação filtrada, Eq. (3.12), se apresenta como uma equação de trans-

porte para as variáveis filtradas (ui). No entanto, o termo de transporte advectivo aparece como

um produto filtrado (uiuj) ao invés do produto das variáveis dependentes filtradas. Sendo assim

busca-se uma forma de reescrever essa equação de maneira a obter o produto (ui uj), o que é

feito definindo-se o tensor global da turbulência, como τ ij = uiuj−ui uj . Note que essa definição

leva ao aparecimento de um novo termo, o tensor τ ij . Detalhes adicionais de como essa equa-

ção foi obtida podem ser encontrados em Silveira-Neto et al. (2002). A expressão obtida após a

substituição das variáveis decompostas é dada por:

∂ui∂t

+∂

∂xj(ui uj) = −

1

ρ

∂p

∂xi+

∂

∂xj

∙ν

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶− τ ij

¸+ fi, (3.14)

Com isto, para que se possa resolver as equações filtradas, deve-se modelar o tensor

τ ij . Este é o dito problema de fechamento da turbulência, que nas últimas décadas foi bastante

44

explorado, tendo sido propostos muitos métodos paliativos para solucionar este problema. Em

geral estes métodos podem ser divididos em duas classes: aqueles baseados na hipótese de

Boussinesq e aqueles baseados em equações algébricas. Neste trabalho serão apresentadas

apenas formulações baseadas no conceito de viscosidade turbulenta, ou seja, modelos derivados

da hipótese de Boussinesq.

Hipótese de Boussinesq

Uma proposta de modelagem do tensor de Reynolds foi formulada por Boussinesq. O mo-

delo supõe que as tensões turbulentas de Reynolds sejam proporcionais às taxas de deformação

gerada pelo campo de velocidades filtrado e a energia cinética turbulenta (k):

τ ij = −νtµ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶+2

3kδij , (3.15)

onde:

k ≡ 12

³u0ju

0j

´=1

2

³u02 + v02 + w02

´. (3.16)

O termo νt da Eq. (3.15) é denominado de viscosidade turbulenta, que age como um coe-

ficiente de proporcionalidade para a taxa de deformação. A viscosidade turbulenta é uma função

do escoamento e deve ser calculada por algum modelo. Normalmente a viscosidade turbulenta

é maior que a viscosidade molecular do fluido dependendo da região e do tipo do escoamento

envolvido.

Substituindo o modelo de Boussinesq, Eq. (3.15), na Eq. (3.14) consegue-se resolver

o problema de fechamento usando a hipótese de viscosidade turbulenta. Veja que no lugar do

termo de pressão original surge uma pressão modificada (p∗), dando origem à equação:

∂ui∂t

+∂

∂xj(uiuj) = −

1

ρ

∂p∗

∂xi+

∂

∂xj

∙(ν + νt)

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶¸+ fi. (3.17)

O termo envolvendo a energia cinética turbulenta, durante a substituição, resulta em um

gradiente de energia cinética turbulenta que é incorporado ao termo de pressão estática, origi-

nando a equação para a pressão modificada dada por: p∗ = p+ 23ρk.

Como já foi dito, é agora necessário um modelo que permita avaliar a viscosidade tur-

bulenta. Existe na literatura numerosos modelos que se prestam a esta finalidade, podendo

esses modelos ser classificados em dois grandes grupos: dependentes ou não-dependentes do

45

conceito de viscosidade turbulenta (Hipótese de Boussinesq). Cada grupo possui sub-classifica-

ções mais detalhadas, em geral, baseadas no número de equações de transporte adicionais que

devem ser resolvidas para o cálculo da viscosidade turbulenta ou para uma solução alternativa

para o problema de fechamento.

No presente trabalho serão utilizados dois modelos baseados na Hipótese de Boussi-

nesq. Um modelo a zero equações de transporte, o modelo sub-malha de Smagorinsky, utilizado

para a Simulação de Grandes Escalas e o outro a uma equação de transporte, o modelo de

Spalart-Allmaras, utilizado dentro do conceito de Equações Médias de Reynolds Transientes e

Modelagem Híbrida. A seguir é apresentada uma descrição mais detalhada destes modelos.

Modelo Sub-malha de Smagorinsky

O modelo sub-malha escolhido para LES foi proposto por Smagorinsky (1963), tendo sido

o primeiro modelo com o objetivo de se calcular a viscosidade turbulenta modelando o tensor

de Reynolds sub-malha. É um modelo de implementação bastante simples, porém é bastante

exigente quanto ao refinamento da malha, uma vez que ele se presta à modelagem apenas das

menores escalas da turbulência.

Trata-se de um modelo sub-malha algébrico, baseado na hipótese de equilíbrio local para

as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à

taxa de dissipação da energia turbulenta. A viscosidade turbulenta é calculada em função da

taxa de deformação (Sij) e da escala de comprimento ( ):

νt = (Cs )2q2SijSij , (3.18)

onde =√∆x∆y é o comprimento característico da escala sub-malha, função da malha de

discretização. Cs é a constante de Smagorinsky, relacionada à transferência de energia das

grandes para as pequenas escalas. Por fim, a taxa de deformação Sij é calculada com base

no campo de velocidade filtrado:

Sij =1

2

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶.

Quanto à constante de Smagorinsky (Cs), neste trabalho foi utilizado o valor analítico

de 0, 18, sendo no entanto, consenso que esta constante possa ser ajustada para cada tipo de

escoamento ou código computacional utilizado.

46

Apesar de ser um modelo simples, o modelo de Smagorinsky possui pontos interessantes

que justificam a sua utilização. Dentre eles pode-se citar:

• Modelo de fácil implementação computacional;

• Apesar da necessidade do ajuste de uma constante, o modelo ainda assim guarda um

caráter mais universal quanto à modelagem da turbulência;

• O processo de transferência da energia cinética turbulenta entre as diferentes escalas

é bem modelado, para escoamentos completamente turbulentos.

Como desvantagens pode-se citar:

• Necessidade de ajuste da constante Cs para cada tipo de programa computacional;

• Não consegue modelar efeitos do tipo "backscatter" (transferência de energia das me-

nores para as maiores escalas);

• Apresenta deficiência no cálculo da viscosidade junto às paredes, necessitando do uso

de um ajuste artificial através de funções de amortecimento.

Esta última deficiência em particular é preponderante quanto ao uso com sucesso desse

modelo de turbulência em conjunto com o Método de Fronteira Imersa.

Modelo de Spalart-Allmaras (formulação URANS)

Spalart e Allmaras (1994) propuseram um novo modelo baseado no conceito de URANS a

uma equação de transporte. A motivação veio de aplicações voltadas à aerodinâmica que busca-

vam uma alternativa para melhorar a eficiência dos modelos algébricos em situações complexas

de escoamentos e também como uma alternativa mais simples aos modelos do tipo k−ε bastante

utilizados. Por resolver uma única equação de transporte para a viscosidade turbulenta, esse mo-

delo é computacionalmente mais leve do que os da família k−ε (modelos a duas equações), com

a vantagem de também ser menos exigente com relação ao refinamento de malha. Trata-se de

um modelo com possibilidades modestas, não tendo o objetivo de se tornar um modelo geral de

turbulência, ficando sua aplicação direcionada a escoamentos aerodinâmicos. Entretanto vem

obtendo bons resultados sendo hoje um modelo mais robusto do que os da família k − ε para

esse tipo de escoamento.

O modelo de Spalart-Allmaras (S-A), na sua formulação, foi desenvolvido e teve seus

coeficientes calibrados usando principalmente considerações empíricas de diferentes tipos de

escoamentos, análise dimensional e aplicando o princípio de invariância de Galileu para a vis-

cosidade turbulenta. O modelo S-A usa uma variável auxiliar de trabalho ν dada pela seguinte

47

equação de transporte:

∂ν

∂t+

∂

∂xj(uj ν) = cb1 (1− ft2) Sν +

1

σ

∙∂

∂xj

µ(ν + ν)

∂ν

∂xj

¶+ cb2

∂ν

∂xj

∂ν

∂xj

¸(3.19)

−hcwfw−

cb1κ2

ft2

i ∙ ν

dw

¸2+ft1∆U

2,

onde os termos do lado direito da equação representam respectivamente: a produção de viscosi-

dade turbulenta, as difusões molecular e turbulenta de ν, a dissipação de ν, destruição de ν que

reduz a viscosidade turbulenta junto à parede e finalmente os termos que modelam efeitos de

transição para turbulência, indicados pelo subscrito t.

Define-se a viscosidade turbulenta νt em termos da variável auxiliar ν e de uma função

de amortecimento para as regiões parietais, fv1, como se segue:

νt = ν fv1 , fv1 =χ3

χ3 + c3v1e χ =

ν

ν. (3.20)

Já para as regiões distantes das paredes a função fν1 não exerce nenhuma influência no

cálculo da viscosidade turbulenta, sendo unitária e portanto fazendo com que νt = ν.

O termo de produção da equação de transporte, Eq. (3.19), também precisa de uma

correção junto à parede, o que é feito substituindo-se o parâmetro S por uma variável modifi-

cada S que também sofre influência de uma função de amortecimento fν2, definida de maneira

semelhante a fν1. Assim, S e fν2 são dados por:

S = S +ν

(κdw)2 fv2 e fv2 = 1−

χ

1 + χfv1. (3.21)

onde dw é a distância até a parede mais próxima e S é o modulo da taxa de deformação calculada

com as variáveis do campo filtrado:

S =q2SijSij . (3.22)

O termo de destruição originalmente formulado apresenta problemas, uma vez que ele

decresce muito lentamente em certas regiões da camada limite. Para corrigir essa deficiência

foi definida uma função adimimensional fw, calibrando o termo de destruição. A função fw é

definida com valor unitário para a região da camada limite logarítmica, intensificando o termo

de destruição à medida que se aproxima da parede e tendendo a zero para as regiões mais

48

distantes da parede, ficando definida como:

fw = g

µ1 + c6w3g6 + c6w3

¶1/6, g = r + cw2

¡r6 − r

¢e r ≡ ν

Sκ2d2w. (3.23)

Como foi observado anteriormente os termos indicados pelo subscrito (t – trip) estão

relacionados ao início da transição do regime laminar para o turbulento ainda dentro da camada

limite. A influência destes termos permite o controle da transição em dois diferentes aspectos:

mantendo o escoamento laminar nas regiões desejadas ou dando início a região de transição.

O controle é feito com a adição de um termo fonte controlado pela função ft1 e uma redução no

termo de produção de viscosidade turbulenta controlada pela função ft2, definidas da seguinte

forma:

ft1 = ct1gt exp

µ−ct2

ω2t∆U2

£d2w + g2t d

2t

¤¶, (3.24)

ft2 = ct3 exp¡−ct4χ2

¢, (3.25)

onde dt é a distância até o ponto de início da transição, ωt é a vorticidade no ponto de transi-

ção da camada limite e ∆U a norma da diferença da velocidade entre o escoamento e o ponto

de transição. A função gt da Eq. (3.24) é definida como min [0, 1;∆U/ (ωt∆xt)], onde ∆xt é o

tamanho da malha ao longo da parede na região de transição.

As demais constantes do modelo são:

cw1 =cb1κ2 +

(1+cb2)σ , cw2 = 0, 3, cw3 = 2,

κ = 0, 41, cv1 = 7, 1, σ = 2/3, cb1 = 0, 1355, cb2 = 0, 622,

ct1 = 1, ct2 = 2, ct3 = 1, 2 e ct4 = 0, 5.

(3.26)

Neste trabalho os termos relacionados a transição a turbulência foram desprezados, re-

sultando na equação simplificada:

∂ν

∂t+

∂

∂xj(uj ν)=cb1Sν − cwfw

∙ν

dw

¸2+1

σ

∙∂

∂xj

µ(ν + ν)

∂ν

∂xj

¶+ cb2

∂ν

∂xj

∂ν

∂xj

¸. (3.27)

Modelo de Spalart-Allmaras (formulação DES)

Como já foi dito, o modelo S-A, apresentado anteriormente, foi originalmente desenvolvido

dentro da filosofia de modelagem URANS. Entretanto, Spalart et al. (1997) propuseram um novo

49

conceito de metodologia de simulação da turbulência, uma metodologia híbrida (URANS/LES),

usando como base o modelo de turbulência S-A. Na formulação original do modelo S-A é utilizada

a distância do ponto de interesse até a parede mais próxima (dw) como principal variável na

calibração da zona de influência do modelo. A formulação DES é obtida substituindo dw por uma

nova variável d, definida como:

d = min (dw, CDES ∆) onde ∆ =max (∆x,∆y) . (3.28)

Assim, d age como um novo comprimento de escala para o modelo S-A. Dessa forma, na

região da camada limite (d < ∆CDES) o modelo é usado no modo URANS, igual à modelagem

original d = dw. Para as regiões distantes das paredes (dw > ∆CDES) o comprimento de escala

torna-se dependente do tamanho da malha (d = ∆CDES). Quando os termos de produção e

destruição estão balanceados o modelo S-A age de maneira similar a um modelo sub-malha

algébrico, ou seja, v ∝ S∆2, permitindo que a energia cinética turbulenta das grandes escalas

seja distribuída para as pequenas escalas, onde a energia é dissipada. Na formulação DES o

modelo S-A apresenta uma constante adicional CDES que foi ajustada por Shur et al. (1999) para

turbulência homogênea, igual a 0, 65. Nesse trabalho foi usado esse valor para a constante CDES

para todas as simulações.

Capítulo IV

Metodologia Numérica

4.1 Discretização do domínio euleriano

4.1.1 Acoplamento pressão-velocidade

A solução das Eq. (3.1) e (3.2) foi feita de forma segregada, o que leva à necessidade de

tratar o acoplamento pressão-velocidade. Foi escolhido o método dos passos fracionados, pro-

posto inicialmente por Chorin (1968). Esse método possui muitas variações, sendo aqui aplicada

a proposta por Armfield e Street (1999). O método é empregado de forma não iterativa sendo,

inicialmente resolvidas as equações de quantidade de movimento usando os campos do tempo

precedente, o que conduz a uma estimativa para o campo de velocidades, que em geral, não

satisfaz a equação da continuidade. O divergente dessa estimativa para a velocidade é utilizado

como termo fonte para a solução de uma equação de Poisson para a correção de pressão, que

finalmente é utilizada para atualizar o campo de velocidades, garantindo assim a conservação

da massa para a velocidade corrigida. Apenas uma iteração, em cada passo de tempo, é ne-

cessária para que os campos de velocidades obtidos satisfaçam à continuidade. O campo de

pressão é então atualizado e pode-se então avançar para o próximo passo de tempo. É ilustrada

a aplicação do método dos passos fracionados (com evolução no tempo pelo método de Euler).

A equação de Navier-Stokes para a velocidade na iteração atual (n + 1) é escrita na

seguinte forma:

un+1i − uni∆t

+

∙∂

∂xj

¡uni u

nj

¢¸= −1

ρ

∂pn+1

∂xi+

∂

∂xj

∙(ν + νt)

µ∂uni∂xj

+∂unj∂xi

¶¸+ fni . (4.1)

No método dos passos fracionados utiliza-se os campos de velocidade, pressão e força

do tempo anterior (n) para calcular, no passo preditor, uma estimativa para a velocidade no tempo

atual (un+1i ), dada pela seguinte equação:

un+1i − uni∆t

+

∙∂

∂xj

¡uni u

nj

¢¸= −1

ρ

∂pn

∂xi+

∂

∂xj

∙(ν + νt)

µ∂uni∂xj

+∂unj∂xi

¶¸+ fni . (4.2)

52

Subtraindo a Eq. (4.1) da Eq. (4.2), tem-se:

un+1i − un+1i

∆t=1

ρ

∂

∂xi

¡pn+1 − pn

¢. (4.3)

Aplicando o operador divergente na Eq. (4.3):

1

∆t

∙∂un+1i

∂xi− ∂un+1i

∂xi

¸=1

ρ

∂

∂xi

µ∂p0 n+1

∂xi

¶. (4.4)

onde p0 n+1 é a correção de pressão dada por:

p0 n+1 = pn+1 − pn. (4.5)

Sabe-se que o campo final de velocidade deve satisfazer a equação da continuidade. O

segundo termo do lado esquerdo da Eq. (4.4) será igual a zero, o que leva a seguinte equação:

1

∆t

∂un+1i

∂xi=1

ρ

∂2p0 n+1

∂xj∂xj. (4.6)

Tem-se então, uma equação de Poisson para correção da pressão (p0). Note que o termo

fonte é função da velocidade estimada, a qual é conhecida do passo preditor (Eq. 4.2). Pode-se

então resolver a Eq. (4.6) obtendo a correção da pressão.

Com o campo de correção da pressão calculado, retorna-se à Eq. (4.3) obtendo-se então,

a equação corrigida para a velocidade na iteração atual (passo corretor):

un+1i = un+1i − ∆tρ

∂p0 n+1

∂xi. (4.7)

O método dos passos fracionados pode ser resumido na seguinte sequência de cálculo:

Algoritmo −Metodo dos Passos Fracionados

Estimar o campo de velocidades, Eq. (4.2);

Como campo estimado, resolver o sistema linear para a correçao de pressao, Eq. (4.6);

Corrigir o campo de velocidades, Eq. (4.7), e o campo de pressao, Eq. (4.5);

V erificar a conservaçao da massa dentro da tolerancia especificada;

Avançar para o proximo passo de tempo.

53

4.1.2 Discretização temporal

Runge-Kutta 2a ordem

O avanço no tempo para as equações de movimento é feito pelo método de Runge-Kutta

de 2a ordem o qual consiste de um passo pretidor que avalia o campo em um instante de tempo

intermediário, como mostrado aqui para a componente x da velocidade:

un+1/2i,j = uni,j +

∆t

2

∙−Ax

ni,j +Dx

ni,j −

1

ρPx

ni,j + fx

ni,j

¸, (4.8)

onde: A representa o termo advectivo, D o termo difusivo, P o gradiente de correção de pressão

e f o campo de força.

O avanço para o tempo atual é feito pelo passo corretor, para o cálculo dos termos ad-

vectivo e difusivo utilizando-se o campo de velocidade estimado no passo preditor (un+1/2i,j ).

un+1i,j = uni,j +∆t

∙−Ax

n+1/2i,j +Dx

n+1/2i,j − 1

ρPx

n+1/2i,j + fx

n+1/2i,j

¸. (4.9)

Adams-Bashforth de 2a ordem

Este método foi utilizado para o avanço temporal da equação de transporte (Eq. 3.27) do

modelo de turbulência de Spalart-Allmaras. Com o método de Adams-Bashforth, para se obter a

informação no instante de tempo atual (n+ 1) é necessário conhecer informações dos instantes

(n) e (n−1). A discretização pelo método de Adams-Bashforth para o avanço temporal da variável

auxiliar ν é dada pela Eq. (4.10):

νn+1i,j = νni,j +∆t

∙3

2

¡−A n

i,j +D ni,j

¢− 12

³−A n−1

i,j +D n−1i,j

´¸+∆t

¡Prod n

i,j −Dest ni,j¢, (4.10)

onde: A representa o termo advectivo, D os termos difusivos conservativo e não-conservativo,

Prod o termo de produção e Dest o termo de destruição de viscosidade trubulenta.

4.1.3 Discretização espacial das equações

Discretização das equações de Navier-Stokes

Apresenta-se a seguir a discretização espacial dos termos das equações filtradas de

Navier-Stokes, Eq. (4.2). Foi utilizado um arranjo deslocado para a malha euleriana, velocidades

54

e forças nas faces da célula e demais propriedades no centro, como ilustrado na Fig. (4.6).

Figura 4.6 - Esquema da malha deslocada utilizado na discretização das equações.

Para a discretização espacial foi utilizado um esquema de 2a ordem, método das diferen-

ças finitas centradas. Seguem abaixo as equações discretizadas para a componente x de cada

um dos termos da equação de Navier-Stokes:

• Gradiente da correção de pressão

∂p0

∂x=

p0i,j − p0i,j−1∆xmj

(4.11)

• Termo advectivo

∂

∂xj(uiuj) =

1

∆xj[(uP uP )− (uW uW )] +

1

∆yi[(unwvnw)− (uswvsw)] , (4.12)

As velocidades denotadas pelo operador (−) devem ser interpoladas, sendo funções das

velocidades nas faces da malha (já que é utilizado o esquema deslocado) dadas por:

uP = f(ui,j+1, ui,j) uW = f(ui,j , ui,j−1)

unw = f(ui,j , ui+1,j) usw = f(ui,j , ui−1,j) (4.13)

vnw = f(vi+1,j , vi+1,j−1) vsw = f(vi,j , vi,j−1)

55

• Termo difusivo

∂

∂xj

∙νef

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶¸=

1

∆xj

µ2νef i,j

ui,j+1 − ui,j∆xj

− 2νef i,j−1ui,j − ui,j−1∆xj

¶(4.14)

+1

∆yi

∙νef N

µui+1,j − ui,j∆ymi+1

+vi+1,j − vi+1,j−1

∆xmj

¶− νef S

µui,j − ui−1,j∆ymi

+vi,j − vi,j−1∆xmj

¶¸A viscosidade efetiva que deve ser interpolada nas faces é função da viscosidade nas

células vizinhas:

νef N = f(νef i,j , νef i,j−1, νef i+1,j ,ef i+1,j−1 ),

(4.15)νef S = f(νef i,j , νef i,j−1, νef i−1,j , νef i−1,j−1).

Discretização da equação para a correção de pressão

A equação (4.6) para a correção de pressão para um problema bidimensional é escrita

como:

∂2p0

∂x2+

∂2p0

∂y2=

ρ

∆t

∙∂u

∂x+

∂v

∂y

¸. (4.16)

A discretização da equação (4.16) é apresentada abaixo, todos os termos da equação

para a correção de pressão estão no mesmo instante de tempo (n + 1). Sendo assim, todas as

equações estão acopladas dando origem a um sistema linear, que pode ser representado por:

p0i,j−1 − 2p0i,j + p0i,j+1∆xm2

j

+p0i−1,j − 2p0i,j + p0i+1,j

∆ym2i

=ρi,j∆t

∙ui,j+1 − ui,j∆xj

+vi+1,j − vi,j∆yi

¸. (4.17)

Para a resolução do sistema linear acima é utilizado o método MSI (Modified Strongly

Implicit Procedure) proposto por Schneider e Zedan (1981).

Interpolação das propriedades para malhas não-uniforme

Com o uso de malha não-uniforme as propriedades sobre as faces devem agora ser

interpoladas de maneira pertinente. Foi utilizado o esquema de interpolação conforme sugerido

por Patankar (1980).

56

Figura 4.7 - Malha não-uniforme e distâncias associadas a face e.

Para a interpolação das velocidades e da densidade sobre a face, utiliza-se uma aproxi-

mação linear entre os pontos da seguinte forma:

φe = feφP + (1− fe)φE , (4.18)

onde o fator de interpolação fe é a razão entre as distâncias mostrada na Fig. (4.7), dada por:

fe =(δx)+e(δx)e

(4.19)

Para a viscosidade, utiliza-se:

φe =

µ1− feφP

+feφE

¶−1(4.20)

4.1.4 Discretização do modelo de Spalart-Allmaras

A discretização espacial da equação de transporte para a viscosidade turbulenta do mo-

delo de Spalart-Allmaras, Eq. (3.27), é apresentada abaixo. Foi utilizado o mesmo método de

discretização espacial empregrado na discretização da equação de Navier-Stokes.

• Termo advectivo

∂

∂xj(νuj) =

1

∆xj

¡ui,j+1νe − ui,j νw

¢+

1

∆yi

¡vi+1,j νn − vi,j νs

¢(4.21)

A variável auxiliar (ν) está localizada no centro da malha. Assim, para calcular os valores

57

sobre as faces deve-se interpolar com valores dos pontos vizinhos:

νe = f (νi,j+1, νi,j) νw = f (νi,j , νi,j−1) ,

(4.22)νn = f (νi+1,j , νi,j) νs = f (νi,j , νi−1,j) .

• Termo de produção

O termo de produção de viscosidade turbulenta do modelo de Spalart-Allmaras é propor-

cional à norma do tensor das taxas de deformação:

S ≡p2SijSij (4.23)

A discretização é apresentada abaixo:

SijSij = S211 + 2S212 + S222 (4.24)

S11 =

µ∂u

∂x

¶=

µui,j+1 − ui,j∆xj

¶(4.25)

S22 =∂v

∂y=

µvi+1,j − vi,j∆yi

¶(4.26)

S12 =1

2

µ∂u

∂y+

∂v

∂x

¶=1

2

∙µuN − uS∆yi

¶+

µvE − vW∆xj

¶¸(4.27)

onde as velocidades interpoladas são funções das seguintes variáveis:

uN = f(ui,j , ui,j+1, ui+1,j , ui+1j+1) uS = f(ui,j , ui,j+1, ui−1,j , ui−1j+1),

(4.28)

vE = f(vi,j , vi+1,j , vi,j+1, vi+1j+1) vW = f(vi,j , vi+1,j , vi,j−1, vi+1j−1).

58

• Termo difusivo (conservativo)

O termo difusivo conservativo para um escoamento isotérmico e incompressível pode ser

reescrito da seguinte forma:"(ν + ν)

∂2ν

∂xj∂xj+

µ∂ν

∂xj

¶2#= (νi,j + νi,j)

"νi,j+1 − 2νi,j + νi,j−1

∆xm2j

+νi+1,j − 2νi,j + νi−1,j

∆ym2i

#(4.29)

+

µνi,j+1 − νi,j−1∆xmj +∆xmj+1

¶µνi,j+1 − νi,j−1∆xmj +∆xmj+1

¶+

µνi+1,j − νi−1,j∆ymi +∆ymi+1

¶µνi+1,j − νi−1,j∆ymi +∆ymi+1

¶

• Termo difusivo (não-conservativo)

∂ν

∂xj

∂ν

∂xj=

µνi,j+1 − νi,j∆xmj

¶µνi,j+1 − νi,j∆xmj

¶+

µνi+1,j − νi,j∆ymi

¶µνi+1,j − νi,j∆ymi

¶(4.30)

4.1.5 Discretização para a função indicadora

Assim como para a pressão, a função indicadora e as variáveis Gx e Gy estão localizadas

no centro da malha euleriana. A Eq. (3.11) para caso bidimensional pode ser rescrita como:

∂2I

∂x2+

∂2I

∂y2=

∂Gx

∂x+

∂Gy

∂y(4.31)

Para a discretização da função indicadora também foi utilizado o esquema de diferenças

centradas, sendo os termos da Eq. (4.31), discretizados dados por:

∂2I

∂x2=

Ii,j+1 − 2Ii,j + Ii,j−1∆xm2

j

(4.32)

∂2I

∂y2=

Ii+1,j − 2Ii,j + Ii−1,j∆ym2

i

(4.33)

∂Gx

∂x=(Gxi,j+1 +Gxi,j)− (Gxi,j−1 +Gxi,j)

2∆xj(4.34)

∂Gy

∂y=(Gyi,j +Gyi+1,j)− (Gyi−1,j +Gyi,j)

2∆yi(4.35)

59

Substituindo as Eqs. de (4.32) à (4.35) na Eq. (4.31), obtém-se:

Ii,j+1 − 2Ii,j + Ii,j−1∆xm2

j

+Ii+1,j − 2Ii,j + Ii−1,j

∆ym2i

=

(4.36)(Gxi,j+1 +Gxi,j)− (Gxi,j−1 +Gxi,j)

2∆xj+(Gyi,j +Gyi+1,j)− (Gyi−1,j +Gyi,j)

2∆yi

Para a solução do sistema linear representado pela Eq. (4.36) também é utilizado o MSI.

4.2 Discretização do domínio lagrangiano

A Eq. (3.3) é responsavel pelo acoplamento entre os domínios lagrangiano e euleriano.

Como já foi visto o termo de força lagrangiano é avaliado a partir da solução das equações de

Navier-Stokes, que é obtida numericamente. Deve-se portanto obter uma forma discreta para o

termo fonte de força euleriano fi, que é escrita como:

f (x, t) =Xk

Dij (x− xk)F (xk, t)∆s2 (xk) , (4.37)

onde ∆s2(xk) é o volume de controle por unidade de profundidade, centrado em cada ponto

lagrangiano. Esta equação é válida para escoamentos bidimensionais.

Como as malhas dos dois domínios são geometricamente independentes, nem sempre

é possível que os pontos lagrangianos coincidam exatamente com os pontos eulerianos. Isso

faz com que a implementação computacional da função Delta de Dirac seja inapropriada, uma

vez que poderá levar à formação de um campo de forças descontínuo sobre a interface. Para

contornar esse problema, deve-se substituir a função δ por uma aproximação também discreta

que permite uma distribuição suave da força lagrangiana nos pontos da malha euleriana. Foi

utilizada uma função distribuição Dij , proposta por Juric e Tryggvason (1996), definida pelas

seguintes equações:

Dij (xk) =NY

m=1

f [(xk − xi)/∆]

∆, (4.38)

f (r) =

⎧⎨⎩ f1 (r) se krk < 112 − f1 (2− krk) se 1 < krk < 20 se krk > 2

, (4.39)

60

f1 (r) =3− 2 krk+

q1 + 4 krk− 4 krk2

8, (4.40)

onde r é o raio de influência da função distribuição, podendo ser (xk − xi) /∆ ou (yk − yi) /∆,

dependendo da direção para a qual a propriedade é distribuída, sendo ∆ o tamanho da malha

euleriana.

A função Dij age como uma função peso tendo um comportamento semelhante a uma

função Gaussiana. Desta forma a função distribuição guarda a propriedade de integral unitária

no intervalo [−∞,+∞]. Esta propriedade garante a conservação da quantidade distribuída. Na

Fig. (4.8) pode-se observar como é feita a distribuição dos pesos pela função Dij , onde apenas

os pontos dentro de uma faixa de 2∆ do ponto de interesse contribuem para o processo de

distribuição.

Figura 4.8 - Função distribuição Dij aplicada em uma malha bidimensional (N = 2).

Para o cálculo de cada uma das parcelas da densidade de força lagrangiana, Eq. (3.4),

é necessário conhecer, a priori, os campos de velocidade e pressão do escoamento. Como se

sabe, esses campos são calculados na malha euleriana, devendo-se então obtê-los sobre os

pontos lagrangianos os quais, em geral, não são coincidentes com os pontos da malha euleriana.

Sendo assim os campos de velocidade e pressão são interpolados em pontos auxiliares próximos

à interface.

61

Figura 4.9 - Pontos auxiliares utilizados no esquema de interpolação para cálculo das forçaslagrangianas.

A Fig. (4.9) ilustra como são definidos os pontos auxiliares utilizados no esquema de

interpolação da velocidade para o cálculo das derivadas que compõem os termos de força da

Eq. (3.4). Tendo como base um ponto lagrangiano qualquer (xk), adota-se mais dois pontos

distantes de ∆ e 2∆ em direções paralelas da malha euleriana; na direção X os pontos 1 e 2, e

na direção Y os pontos 3 e 4. Pontos extras A, B, C e D são necessários para calcular os termos

cruzados da componente viscosa (Fv) da força lagrangiana.

Os campos de velocidade são transportados da malha euleriana para os pontos auxi-

liares pela função Dij , centrada em cada ponto auxiliar. Para interpolação das velocidades são

utilizados pontos internos e externos a interface. Isso porque o escoamento interno é também

resolvido pelas equações de Navier-Stokes, sendo portanto, fisicamente coerente. Em geral, o

escoamento interno induzido apresenta sentido contrário ao escoamento externo. Desta forma, o

uso dos pontos internos, ajuda a recuperar a condição de não-deslizamento, atuando de maneira

semelhante a uma malha virtual.

Na Fig. 4.10 e Fig. 4.11 é ilustrado o esquema de interpolação das componentes horizon-

tal e vertical da velocidade, sobre o ponto auxiliar 3. É definida, computacionalmente, uma caixa,

representada aqui pela linha pontilhada. Avalia-se então, para cada um destes pontos, os pesos

da função distribuição (Eq. 4.38) centrada no ponto auxiliar 3. Esse procedimento reduz o custo

computacional evitando que seja avaliada a função distribuição para todos os pontos da malha

62

euleriana. Observa-se que a influência de cada ponto sobre a velocidade interpolada no ponto

auxiliar é determinada pelo peso atribuído àquela componente, pela função distribuição.

Figura 4.10 - Esquema de interpolação da componente horizontal da velocidade para o pontoauxiliar 3.

Figura 4.11 - Esquema de interpolação da componente vertical da velocidade para o ponto auxi-liar 3.

63

Uma vez interpoladas as velocidades para todos os pontos auxiliares, pode-se então cal-

cular as componentes da força lagrangiana F (xk, t). Para isso é necessário calcular as derivadas

da velocidade para os pontos auxiliares, o que é feito utilizando-se uma aproximação por poli-

nômios de Lagrange de sergunda ordem (m = 2). São necessários m + 1 pontos e a função de

interpolação (φ) é dada pela combinação linear dos polinômios de Lagrange (qi):

φ (x) =mXi=0

φiqi (x) , (4.41)

onde:

qi (x) =mY

j=0, j 6=i

x− xjxi − xj

(4.42)

Assim na direção X para os pontos k, 1 e 2 da Fig. 4.9, tem-se a seguinte função de

interpolação para uma propriedade qualquer (φ):

φ =(xi − x1) (xi − x2)

(xk − x1) (xk − x2)φk +

(xi − xk) (xi − x2)

(x1 − xk) (x1 − x2)φ1 +

(xi − xk) (xi − x1)

(x2 − xk) (x2 − x1)φ2 (4.43)

A primeira e segunda derivadas na direção X são dadas por:

∂φ

∂x=(xi − x1) + (xi − x2)

(xk − x1) (xk − x2)φk +

(xi − xk) + (xi − x2)

(x1 − xk) (x1 − x2)φ1 +

(xi − xk) + (xi − x1)

(x2 − xk) (x2 − x1)φ2, (4.44)

∂2φ

∂x2=

2φk(xk − x1) (xk − x2)

+2φ1

(x1 − xk) (x1 − x2)+

2φ2(x2 − xk) (x2 − x1)

. (4.45)

Analogamente para a direção Y , tem-se:

∂φ

∂y=(yi − y3) + (yi − y4)

(yk − y3) (yk − y4)φk +

(yi − yk) + (yi − y4)

(y3 − yk) (y3 − y4)φ3 +

(yi − yk) + (yi − y3)

(y4 − yk) (y4 − y3)φ4, (4.46)

∂2φ

∂y2=

2φk(yk − y3) (yk − y4)

+2φ3

(y3 − yk) (y3 − y4)+

2φ4(y4 − yk) (y4 − y3)

. (4.47)

Para a interpolação do campo de pressão, utilizam-se valores apenas dos pontos exter-

nos à interface, o que é feito com o auxílio de uma função indicadora que identifica quais os

pontos da malha euleriana pertencem ao corpo imerso no escoamento como, por exemplo, a

função proposta por Unverdi e Tryggvason (1992). Entretanto, este procedimento causa um in-

conveniente, pois exclui os pontos que já haviam sido escolhidos pela função distribuição e isto

64

interfere na ponderação dos pesos, resultanto em um fator final menor que 1. Dessa forma a pro-

priedade avaliada sobre o ponto auxiliar estará eventualmente sub-avaliada. Uma alternativa a

este problema é recalcular os pesos da função distribuição após excluir os pontos internos. Este

é o procedimento utilizado atualmente e vêm apresentando bons resultados, em problemas com

interfaces móveis.

Figura 4.12 - Esquema de interpolação da pressão para o ponto auxiliar 3.

Observe que estão sendo usados apenas quatro pontos auxiliares para a pressão, o

ponto k (que para as velocidades estava localizado sobre a interface) é tomado a uma distância

h da interface na direção normal, como ilustrado pela Fig. (4.13). A pressão nesse ponto é deter-

minada da mesma forma que os demais pontos auxiliares (excluindo os pontos internos) o ponto

na direção normal é usado apenas para o cálculo da pressão na superfície do corpo imerso.

As derivadas para a força de pressão são calculadas utilizando diferenças centradas com

os demais pontos auxiliares (dois pontos em cada direção):

∂p

∂x=

p2 − p1x2 − x1

e∂p

∂y=

p4 − p3y4 − y3

. (4.48)

Resta ainda a modelagem do termo de força de aceleração. Esse é o termo de maior

influência no cálculo da força lagrangiana total, sendo aproximado pela seguinte expressão:

∂uk i

∂t=

uk i − ufk i

∆t, (4.49)

65

onde uk i é a velocidade de movimentação da interface e ufk i é a velocidade do fluido nos

pontos que coincidem com a interface. Esta parcela de força pode ser interpretada como uma

forçagem que garante que a velocidade de uma partícula de fluido junto ao corpo tenha a mesma

velocidade da interface.

Figura 4.13 - Determinação da pressão sobre o ponto da interface.

Capítulo V

Resultados e DiscussãoSimulações sem Modelagem da Turbulência

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos com o método IB/VPM aplicados

à simulação de corpos deformáveis, a baixos números de Reynolds. A primeira seção destaca

resultados de simulações de escoamentos sobre fronteiras móveis. Foram simulados escoamen-

tos sobre um corpo rombudo de geometria variável no tempo. Partindo-se inicialmente de um

escoamento em regime permanente é imposta uma lei de deformação ao corpo. Os resultados

são comparados a resultados em regime permanente, experimentais e numéricos encontrados

na literatura, de maneira que se pudesse isolar e avaliar os efeitos transientes causados pela

variação da velocidade de movimentação da fronteira no escoamento e sobre os coeficientes

de pressão e arrasto. O modelo apresentou uma boa coerência física e concordância com os

resultados de referência. Esta etapa gerou importantes considerações que foram acrescentadas

à formulação do VPM de maneira que se pudesse adequar o método para simulação de casos

com geometrias móveis.

Os resultados obtidos na etapa anterior foram promisores, o que motivou o uso do mé-

todo em problemas de otimização de forma, apresentados na segunda seção deste capítulo.

Este caso de aplicação difere do anterior, uma vez que a alteração da geometria é agora feita

pelo otimizador. Sendo assim, não segue nenhuma lei de movimentação, o que pode levar a geo-

metrias não factíveis e portanto, constitui um problema mais complicado do que o caso anterior.

Um caso de problema inverso foi testado, para um dado escoamento sobre um corpo qualquer

busca-se encontrar a geometria do corpo que satisfaça uma condição prescrita. Foi utilizado um

algoritmo de otimização estocástico, conhecido como Simulated Annealing. Por fim, são apre-

sentadas neste capítulo as motivações que levaram ao estudo e implementação de modelos de

turbulência no âmbito de fronteira imersa para simulações a altos números de Reynolds.

68

5.1 Interfaces móveis: cilindro de diâmetro variável no tempo

O método IB/VPM vem sendo utilizado com sucesso na simulação de escoamentos sobre

corpos imersos estacionários, como apresentado por Lima e Silva et al. (2003). Esta etapa do tra-

balho descreve a primeira aplicação do método na simulação de problemas com fronteira móvel,

publicado por Oliveira et al. (2004), que apresentou resultados da simulação de um escoamento

laminar sobre um cilindro de diâmetro variável no tempo. A escolha por este problema de fato se

deve à dificuldade em se conseguir experimentos para superfícies móveis que possam ser utili-

zados na validação dos desenvolvimentos numéricos. Um caso experimental de fronteira móvel

que é referenciado por Udaykumar et al. (2001) e Zhao e Forhad (2003) como sendo bastante

utilizado na validação de problemas de fronteira móvel, foi apresentado por Pedley e Stephanoff

(1985). Trata-se de um escoamento no interior de um canal para o qual tem-se inicialmente um

escoamento de Poiseuille que é modificado pela oscilação harmônica de uma seção da parede

do canal, levando ao aparecimento de um trem de ondas que se propagam pelo escoamento.

Entretanto este caso teste não foi considerado apropriado para o presente trabalho uma vez que

o foco é o estudo de escoamentos sobre corpos rombudos. Escoamentos sobre cilindros pos-

suem uma extensa documentação, sendo possível conduzir experimentos numéricos transientes

de modo a reproduzir situações clássicas de cilindros rígidos disponíveis na literatura, como se

pretende mostrar no decorrer desta seção.

Na Fig. 5.1 mostra-se o domínio de cálculo e as características da malha utilizada nas

simulações desta seção para escoamentos sobre cilindros de diâmetro variável no tempo. Testes

de independência de malha e influência do domínio foram realizados por Lima e Silva et al.

(2003), os quais foram utilizados como referência para as simulações aqui apresentadas. A confi-

guração inicial escolhida foi um escoamento sobre um cilindro imerso de diâmetro D0. Utilizou-se

um domínio de 15D0 de largura por 30D0 de comprimento, discretizado por uma malha cartesiana

uniforme de 250 × 500 pontos. O corpo imerso foi representado por uma malha lagrangiana de

104 pontos, com o centro do corpo posicionado a 16, 5D0 da entrada e no plano central do domí-

nio. Como condições de contorno foram impostas condições de Neumann para a velocidade nas

laterais e saída do domínio, enquanto na entrada do domínio foi imposto um perfil uniforme de

velocidades. Para a correção de pressão foi imposta derivada nula na entrada e correção de

69

pressão nula nas demais faces do domínio de cálculo.

Figura 5.1 - Esquema ilustrativo do domínio de cálculo e malhas euleriana e lagrangiana naregião próxima ao cilindro.

5.1.1 Escoamento sobre um cilindro com diâmetro crescente

Uma lei de deformação linear para o diâmetro do cilindro foi definida, através de uma

rotina que recalcula as novas coordenadas dos pontos lagrangianos a cada iteração no tempo.

Note que é necessário calcular apenas as posições dos pontos lagrangianos, sendo que a malha

euleriana permanece inalterada.

O primeiro caso simulado foi o aumento progressivo de um cilindro de diâmetro D(t),

imerso em um escoamento, para número de Reynolds ReD = 20. Inicialmente, espera-se que o

escoamento se estabeleça sobre um cilindro de diâmetro inicial D0. Após o escoamento comple-

tamente estabelecido, inicia-se a variação do diâmetro do cilindro, até se atingir um diâmetro de

2D0, configuração que caracteriza um escoamento a ReD = 40. As simulações foram mantidas

propositalmente abaixo do número de Reynolds crítico, sabendo-se que a transição desse es-

coamento para o regime instável ocorre para ReD ' 47. A variação do diâmetro com o tempo é

70

dada por:

D (t) = D0 + Vmov t, (5.1)

onde Vmov é a velocidade de movimentação e t representa o tempo.

Como não existem dados na literatura para esse tipo de escoamento (sobre um cilindro

de diâmetro variável) adotou-se, propositalmente, uma velocidade de movimentação da fronteira

muito baixa, de maneira que se conseguisse reproduzir numa simulação transiente, um conjunto

de eventos semelhantes a um conjunto de resultados estáticos. Essa situação foi denominada de

quasi-estática. Este caso permite uma boa avaliação quantitativa dos resultados obtidos com os

dados existentes na literatura, para escoamentos a diferentes Reynolds (20 − 40) em situações

estáticas.

Uma maneira clássica da apresentação desses resultados é um gráfico do coeficiente de

arrasto (CD) em função do número de Reynolds, sendo, inclusive, encontradas na literatura cor-

relações empíricas que fornecem o CD em função de ReD, para uma larga faixa de escoamentos

sobre cilindros. O coeficiente de arrasto é dado por:

CD =FD

(1/2) ρU2∞D, (5.2)

onde FD é a força de arrasto, definida como sendo a componente da força sobre o corpo na

direção do escoamento, a qual pode ser calculada usando tanto a força euleriana fy quanto a

força lagrangiana Fy:

FD = −ZΓfydx = −

Z L

0Fyds, (5.3)

onde Γ é um círculo externo ao cilindro e L é o perímetro do cilindro.

Foram feitos testes preliminares, sendo imposta uma velocidade constante de cresci-

mento do cilindro igual a 0, 001 [m/s]. Os resultados da simulação são apresentados no gráfico

da Fig. 5.2, que mostra o coeficiente de arrasto no cilindro para vários valores do número de Rey-

nolds. Pode-se constatar que a curva correspondente a Vmov = 0, 001 [m/s] ajustou-se bem aos

resultados numéricos de situações estáticas simuladas por Lima e Silva (2002). Isto demonstra

que o cálculo dinâmico de CD reproduz os dados das simulações estáticas.

71

Figura 5.2 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para o es-coamento em torno de um cilindro.

Na Fig. 5.2 também são apresentados resultados experimentais obtidos por Triton (1959)

e uma correlação empírica, Eq. 5.4, obtida por Sucker e Brauer (White, 1991):

CD ≈ 1, 18 +6, 8

Re0,89D

+1, 96

Re0,5D− 0, 0004 ReD1 + 3, 64× 10−7 Re2D

. (5.4)

Como se pode observar a curva simulada se ajusta bem aos pontos do gráfico, sendo

obtido um erro médio de aproximadamente 7% com relação aos valores experimentais. Esse erro

para o coeficiente de arrasto é considerado aceitável, aproximadamente igual ao erro médio para

a correlação empírica que é de 6%. É importante enfatizar que a curva relativa à simulação do

presente trabalho foi inteiramente obtida numa única simulação transiente, sendo a variação de

ReD devida à variação do diâmetro D(t).

5.1.2 Influência da velocidade de movimentação

Propôs-se, nesta seção, avaliar a influência da velocidade de crescimento do cilindro

sobre o escoamento. Para isso, foram simulados escoamentos para três valores de Vmov, além

do caso anterior quasi-estático, que serviu de referência na comparação dos resultados. Foram

verificados efeitos sobre o coeficiente de arrasto, sobre o comprimento da bolha de recirculação

e sobre o coeficiente de pressão, os quais são mostrados a seguir.

72

Coeficiente de arrasto

A Fig. 5.3 apresenta o coeficiente de arrasto em função de ReD para diferentes velo-

cidades de crescimento do cilindro. A curva quasi-estático, como já foi mostrado, se refere a

Vmov = 0, 001 [m/s]. Nesse gráfico observa-se a influência de Vmov sobre o coeficiente de arrasto.

Verifica-se que um aumento de Vmov desloca a curva do coeficiente de arrasto para cima. Esta

elevação dos valores de CD para um mesmo valor de ReD, quando se aumenta Vmov, acontece

por razões puramente físicas. O que está sendo simulado é um regime transiente, com bolhas

de recirculação que não correspondem ao estado estacionário para o mesmo valor de ReD.

Figura 5.3 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para váriasvelocidades de crescimento do cilindro.

O deslocamento da curva se deve ao comportamento do CD logo nos primeiros instantes

da simulação, quando se verifica um aumento do coeficiente de arrasto à medida que se aumenta

o diâmetro do cilindro. Esse aumento inicial contraria a tendência observada experimentalmente

nos resultados estáticos. Após um curto período de crescimento, o valor do CD volta a cair com o

aumento do número de Reynolds. A tendência inicial de aumento do CD torna-se mais relevante

com o aumento da velocidade de crescimento, Vmov.

Fisicamente, no momento que se inicia o aumento do diâmetro do cilindro, a força que o

escoamento exerce sobre o cilindro deve ser ligeiramente maior do que uma situação estática.

Isto porque a movimentação relativa do cilindro em relação ao escoamento leva ao aparecimento

73

de uma força de aceleração sobre as partículas do fluido. Esta força é, obviamente, diretamente

proporcional à velocidade de movimentação do cilindro, o que explica o aumento inicial do CD no

início da simulação.

Comprimento da bolha de recirculação

Através de observações experimentais é possível constatar que para escoamentos sobre

um cilindro existe a formação de duas bolhas de recirculação. Sabe-se também que para escoa-

mentos abaixo do Reynolds crítico estas bolhas se mantêm simétricas e estáveis, o que também

é verificado pela teoria da estabilidade linear. O comprimento da bolha (LW ) é definido como a

distância entre os dois pontos de estagnação à jusante do cilindro, como ilustrado na Fig. 5.4.

Figura 5.4 - Comprimento da bolha de recirculação formada à jusante do cilindro.

Foi também verificado o efeito da velocidade de movimentação da interface sobre o com-

primento das bolhas de recirculação atrás do cilindro. Para isto, determinou-se o comprimento

das bolhas de recirculação imediatamente após o cilindro atingir o diâmetro 2D0, ou seja, escoa-

mento a ReD = 40. A determinação de LW foi feita para cada um dos diferentes valores de Vmov.

O resultado é apresentado na Tab. 5.1. O comprimento da bolha de recirculação para o caso

quasi-estático foi de LW = 2, 54 o que corresponde ao valor obtido por Lima e Silva et al. (2003).

Para as demais simulações observa-se que o comprimento da bolha decresce com o aumento da

velocidade de crescimento do cilindro, chegando a uma diferença de 37% no comprimento para

a maior velocidade de crescimento (Vmov = 0, 025 [m/s]).

Na Fig. 5.5 são apresentados os resultados da visualização de linhas de corrente para

um escoamento a ReD = 40, ao final do regime transiente de movimentação Vmov = 0, 025 [m/s]

(linhas pretas) e resultados de um escoamento sobre um cilindro estacionário (linhas cinzas).

74

Tabela 5.1 - Comprimento da bolha de recirculação, Lw, para ReD = 40 utilizando várias veloci-dades de movimentação

Vmov [m/s] LW /2D0

0,001(Quasi-Estático) 2,540,00650 2,220,01250 1,950,02500 1,60

Lima e Silva et al. (2003) 2,54

É bastante evidente a diferença geométrica entre as linhas de corrente, comparando as

duas situações. Observe que o resultado correspondente à situação transiente apresenta uma

redução no tamanho da bolha de recirculação com o aumento de Vmov, o que era esperado

do ponto de vista físico, uma vez que o aumento do diâmetro do cilindro exerce um efeito de

compressão sobre a bolha de recirculação, reduzindo o seu comprimento. Quando o cilindro per-

manece com diâmetro constante o regime estacionário é atingido e o valor estático é recuperado.

Neste momento as linhas de corrente correspondentes às duas situações coincidem.

Figura 5.5 - Comparação das linhas de corrente ao final da movimentação (em preto) com aslinhas de corrente para a situação estática (em cinza).

Coeficiente de pressão

O coeficiente de pressão na superfície do cilindro é definido como sendo a diferença de

75

pressão entre a superfície do cilindro e a pressão da corrente livre:

Cp =pk − p∞(1/2) ρU2∞

, (5.5)

onde pk é a pressão sobre um ponto lagrangiano k na superfície do cilindro.

O gráfico da Fig. 5.6 apresenta o coeficiente de pressão na superfície do cilindro em

função do ângulo, para os diferentes valores de Vmov e resultados estáticos obtidos por Dennis

e Chang (1970). O Cp foi determinado imediatamente após o cilindro atingir a sua configuração

final, diâmetro 2D0. O coeficiente de pressão apresentou ligeiro decréscimo no seu valor ao se

aumentar Vmov, para quase todos os pontos na superfície do cilindro 30o ≤ θ ≤ 180o. Somente

na região próxima do ponto de estagnação frontal, 0o ≤ θ ≤ 10o, ocorreu o inverso, onde foi

verificado um aumento no valor do Cp. Isso ocorre porque na região à montante, o crescimento

do cilindro tende a comprimir o fluido aumentando a pressão em pk. À jusante o efeito é contrário.

Figura 5.6 - Distribuição do coeficiente de pressão para várias velocidades de crescimento docilindro ao final da simulação, ReD = 40.

Visualização do escoamento

Nas Figs. 5.7 e 5.8 tem-se, respectivamente, a evolução temporal dos campos de vorti-

cidade e de pressão do escoamento sobre o cilindro de diâmetro variável, para uma velocidade

76

de crescimento do cilindro de 0, 025 [m/s]. A situação inicial ReD = 20 é atribuída no tempo 0 s.

São então apresentadas visualizações dos campos para vários instantes das simulações, que se

referem aos tempos físicos do escoamento para: 0, 1, 3 e 4 segundos.

Figura 5.7 - Evolução temporal do campo de vorticidade durante o crescimento do cilindro paraVmov = 0, 025[m/s].

Figura 5.8 - Evolução do campo de pressão durante o crescimento do cilindro paraVmov = 0, 025[m/s].

Para esta mesma velocidade de movimentação é apresentada, na Fig. 5.9, a visualiza-

77

ção das linhas de corrente do escoamento sobre o cilindro em crescimento. O escoamento se

desenvolve no sentido ascendente das figuras, com formação de recirculações horárias (bolha

da esquerda) e anti-horárias (bolha da direita).

Figura 5.9 - Evolução temporal das linhas de corrente durante o crescimento do cilindro paraVmov = 0, 025[m/s].

Qualitativamente observa-se uma boa coerência dos resultados obtidos na simulação,

sendo que ao seu final, as recirculações são perfeitamente simétricas, como já era esperado,

visto que todo o processo se dá dentro do regime laminar estável. As linhas de corrente acom-

panharam bem a alteração da geometria do corpo ficando sempre externas ao cilindro, mesmo

durante a alteração do diâmetro, mostrando que as partículas de fluido não cruzam a superfície

do cilindro. Isto mostra uma boa performance da metodologia para escoamentos sobre geome-

trias deformáveis.

5.1.3 Movimentação intermitente

Outro caso simulado foi a simulação do crescimento intermitente do cilindro. Partindo

da condição inicial ReD = 20, inicia-se o crescimento do cilindro a uma velocidade constante

Vmov = 0, 025 até a condição de ReD = 25 (ou diâmetro de 1, 25D0). Neste ponto a movimentação

da fronteira é interrompida (Vmov = 0), sendo que a simulação continua. Espera-se novamente o

estabelecimento do regime permanente, só então se inicia novamente o crescimento do cilindro

78

com a mesma velocidade de movimentação. Segue-se nessa seqüência, com pontos de parada

em ReD = 25, 30, 35 e 40. O resultado desta simulação é apresentado no gráfico da Fig. 5.10, de

CD em função de ReD.

Figura 5.10 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para umcrescimento intermitente do cilindro a Vmov = 0, 025 [m/s].

O objetivo dessa simulação é verificar se ao cessar o crescimento do cilindro, seria possí-

vel recuperar o estado de regime permanente, deixando o escoamento se desenvolver normal-

mente. Como se observa na Fig. 5.10, em todos os pontos de parada do crescimento, foi possível

atingir a condição estática, o que é mostrado pela queda brusca da curva de CD em direção a

curva quasi-estática.

5.1.4 Movimentação cíclica

Nesta simulação é imposto um movimento de crescimento do cilindro de D0 para 2D0(Vmov = 0, 0125 [m/s]) e um posterior decrescimento de 2D0 para D0 (Vmov = −0, 0125 [m/s]).

Entre os pontos de inversão de movimento na simulação, aguarda-se o estabelecimento do re-

gime permanente. O gráfico do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para

essa simulação é apresentado na Fig. 5.11. Observa-se o efeito de histerese, sendo as curvas

de CD distintas nas fases de crescimento e decrescimento do diâmetro do cilindro.

79

Figura 5.11 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para umamovimentação cíclica a Vmov = 0, 0125 [m/s].

Os resultados obtidos nas simulações foram considerados consistentes. Foi observada

uma boa coerência física nos resultados. Para se comparar quantitativamente os dados, foi pro-

posta a simulação de uma situação quasi-estática, ou seja, foi imposta uma velocidade de mo-

vimentação da fronteira bastante baixa de modo que se pudesse reproduzir em uma simulação

transiente um conjunto de eventos estáticos. Isto foi conseguido impondo a velocidade de mo-

vimentação da fronteira como 0, 10% da velocidade do fluido na entrada do domínio. Como se

pôde observar a curva quasi-estática para o coeficiente de arrasto concorda com um bom nível

de precisão com os resultados experimentais em regime permanente, encontrados na literatura.

Também foram feitas simulações para mais três diferentes velocidades de movimentação da in-

terface, a fim de avaliar a influência da velocidade no escoamento sobre o cilindro. Com isto

foram verificados os efeitos físicos relevantes sobre o coeficiente de arrasto, comprimento da

bolha de recirculação e coeficiente de pressão na superfície do cilindro. Apesar de não se ter en-

contrado nenhuma referência que descreva esses efeitos, os resultados obtidos são fisicamente

coerentes.

Também é interessante observar a capacidade do método em recuperar o estado estático

ao se interromper a movimentação da interface. Esta capacidade é importante sobretudo em

aplicações voltadas à otimização, na qual a geometria do corpo sofre alterações impostas pelo

otimizador, sendo necessário o código CFD conseguir recuperar o estado físico real para aquela

80

nova situação. Nesse sentido, pode-se observar nas Fig 5.10 e Fig. 5.11 esta característica.

5.2 Método inverso aplicado a otimização de forma

O objetivo desta seção é avaliar a potencialidade do método IB/VPM em problemas de

otimização de forma utilizando o método inverso.

5.2.1 Definição do problema

O problema a ser abordado consiste em determinar a forma ótima de um corpo rom-

budo qualquer, imerso em um dado escoamento de maneira que se obtenha uma distribuição de

pressão prescrita. O caso teste foi especificado da seguinte maneira: partindo de uma geometria

inicial definida como um cilindro circular de diâmetro D = 0, 2, imerso em um escoamento a um

número de Reynolds ReD = 20, deseja-se obter a geometria correspondente para uma dada

distribuição de pressão. Foi definida como condição desejada a distribuição de pressão sobre

uma elipse, com semi-eixos de comprimento 2D em X e D na direção Y . A Fig. 5.12 mostra as

distribuições de pressão inicial, para o cilindro, e final para a elipse.

Figura 5.12 - Distribuição do coeficiente de pressão: (a) cilindro e (b) elipse.

Assim, espera-se que o otimizador seja capaz de alterar a geometria de modo a obter a

81

forma da elipse, caso a solução seja única. As distribuições do coeficiente de pressão sobre o

cilindro circular (projeto inicial) e sobre o cilindro elíptico (projeto final) são apresentadas na Fig.

5.12(a) e Fig. 5.12(b), respectivamente.

A função objetivo foi definida como sendo o erro RMS entre a variável de referência φref

e a variável observada φ:

Fobj =

vuut nXi=1

³φrefi − φi

´2, (5.6)

onde n é o número de pontos lagrangianos usados para definir o corpo imerso. Foram utilizados

um total de 300 pontos. A variável de referência φref correspondente ao projeto desejado e φ à

variável observada, ou seja, o projeto atual escolhido pelo otimizador. No presente trabalho, a

função objetivo foi definida em função do coeficiente de pressão (Cp) e da coordenada horizontal

dos pontos lagragianos (xk), ficando assim definida:

Fobj =

vuut nXi=1

∙³Cpelipsei −Cpi

´2+³xelipsek i − xk i

´2¸. (5.7)

A princípio, com 300 pontos lagrangianos definindo a geometria do corpo, em um es-

paço bi-dimensional, tem-se 600 variáveis de projeto. Este número excessivo de variáveis de

projeto é desnecessário e implica em um alto custo computacional para o otimizador. Optou-se

por construir a geometria utilizando splines e pontos de controle, com isso consegue-se uma

boa redução do número de variáveis de projeto e também garante-se que o otimizador escolha

projetos mais factíveis. Admite-se, ainda, que a geometria possui simetria com respeito ao plano

X, como ilustrado na Fig. 5.13. Foram definidos 12 pontos de controle para representar o corpo

imerso. Com a hipótese de simetria estes pontos de controle se reduzem a apenas 7 pontos, uma

vez que pontos de controle que definem a parte simétrica da geometria são apenas espelhados.

82

Figura 5.13 - Pontos de controle utilizados para a definição da geometria.

Cada ponto de controle foi parametrizado, através de um vetor ri que une o centro da

geometria até cada um dos pontos de controle PCi, como ilustrado na Fig. 5.14. O vetor tem

direção fixa aceitando apenas variações de comprimento. Com isso, reduz-se o número de va-

riáveis de projeto. Ao invés de um par coordenado para cada ponto de controle, tem-se agora,

como variável, somente o comprimento de cada vetor. Assim, o número de variáveis de projeto é

igual ao número de pontos de controle utilizados para a definição da geometria.

Figura 5.14 - Parametrização dos pontos de controle.

Escolhidas as variáveis de projeto, definem-se agora as restrições laterais para o pro-

blema. O projeto inicial, como já mencionado, é um cilindro circular. Assim, o valor inicial para

as 7 variáveis de projeto é de ri = 0, 1. Todas as variáveis estão sujeitas às mesmas restrições.

83

Definiu-se a restrição lateral inferior como rinf = 0, 05 e restrição lateral superior para rsup = 0, 25.

Na Fig. (5.15) é mostrado um esquema ilustrativo do espaço de projeto.

Figura 5.15 - Espaço de projeto definido pelas restrições laterais inferior (rinf ) e superior (rsup) ;- - - - - projeto inicial e ——– projeto ótimo.

Após cada novo projeto escolhido pelo otimizador, é necessário obter a solução do escoa-

mento para somente então avaliar a função objetivo. Foi estabelecido um critério de convergência

para o código CFD, ou seja, quando a variação do coeficiente de arrasto sobre o corpo, avaliado

a cada 1tU/D, for inferior a 1%, considera-se que o regime permamente foi estabelecido e avalia-

se a função objetivo. Este critério foi definido com base na evolução temporal do coeficiente de

arrasto para o escoamento sobre a elipse, Fig. (5.16).

Como já foi visto anteriormente, nos testes da Fig. (5.10), o método IB/VPM permite recu-

perar a solução de um problema estático quando se interrompe a movimentação da geometria.

Esta característica é bastante desejada em problemas de otimização, uma vez que pode-se apro-

veitar a solução do projeto anterior para uma convergência mais rápida, sem a necessidade de

calcular todo o escoamento a cada chamada da função objetivo. Com isso o custo computacional

a cada chamada da função objetivo é inferior a 10% do custo necessário para resolver um novo

projeto desde o início. Além disso, não existe a necessidade de reconstruir a malha usada para

discretizar as equações do fluido, processo que pode ser computacionalmente custoso caso o

otmizador escolha configurações inviáveis.

5.2.2 Descrição do otimizador – Simulated Annealing

O Simulated Annealing é um método estocástico, ou seja, a escolha das variáveis de

84

Figura 5.16 - Critério de convergência da função objetivo (IB/VPM).

projeto depende de acontecimentos probabilísticos e o ótimo global é alcançado pela conver-

gência assintótica de probabilidade. Esse método foi proposto por Kirkpatrick et al. (1983) e faz

analogia com o procedimento de recozimento de metais. Esse processo é caracterizado pelo

aquecimento do metal a uma dada temperatura seguido por um resfriamento suficientemente

lento. Com isso os átomos assumem posições na estrutura cristalina de forma a atingir um nível

mínimo de energia.

Esta técnica começa sua busca a partir de uma solução inicial qualquer, e para uma dada

temperatura T o algoritmo perturba randomicamente a solução inicial s gerando uma solução

vizinha qualquer s0 dentro do espaço de projeto N (s). Quanto maior o valor de T0 maior pode

ser a perturbação. Calcula-se a variação de energia do sistema ∆E e se ∆E < 0, quer dizer

que a função foi minimizada e essa nova configuração dos átomos é aceita como a nova solução

s← s0. Se o nível de energia do sistema aumentou ∆E > 0 a nova configuração de átomos pode

ser rejeitada ou também aceita, dependendo da seguinte função probabilística:

P = e−∆E/k T , (5.8)

onde k é a constante de Bolztmann (ver Fig 5.17).

Se a temperatura T é alta, P é próximo do valor unitário o que aumenta a probabili-

dade de aceitar uma solução de maior energia. Ao passo que se T é baixo faz com que P esteja

próximo de zero, reduzindo assim a probabilidade de se adotar uma solução de pior custo. Inicial-

mente o sistema sai de uma temperatura inicial elevada T0 e após um número fixo de iterações

85

(iterSAmax) a temperatura é então reduzida através de alguma lei de resfriamento (T ← α×T ).

O número fixo de iterações em cada temperatura é necessário para que o sistema possa atingir

o equilíbrio térmico nesta temperatura.

Tem-se assim uma maior probabilidade de se fugir dos mínimos locais logo nas primeiras

iterações. À medida que T se aproxima de zero o algoritmo se comporta como um método de

descida e diminui a probabilidade de se aceitar movimentos de piora. O algoritmo do Simulated

Annealing básico é apresentado abaixo:

Algoritmo − Simulated Annealing

s∗ ← s;

iterT ← 0;

T ← T0;

enquanto (T > 0) faça

enquanto (iterT < iterSAmax) faça

iterT ← iterT + 1;

s0 ← rand () com s0 ∈ N (s) ;

∆ = f (s0)− f (s) ;

se (∆ < 0)

então

s← s0;

se (f (s∗) < f (s0)) então s∗ ← s0;

senão

x← rand () com x ∈ [0, 1];se¡x < e−∆/k T

¢então s← s0;

fim-se ;

fim-enquanto ;

T ← α× T ;

iterT ← 0;

fim-enquanto ;

s← s∗;

Retorne s ;

86

Figura 5.17 - Esquema de funcionamento do Simulated Annealing; distribuição da energia.

O Simulated Annealing é vantajoso pois não requer o uso de derivadas da função obje-

tivo e por isso não é afetado por descontinuidades ou não-linearidades da função. É um método

relativamente robusto que consegue obter boas soluções mesmo para problemas de otimização

de difícil solução. A obtenção do mínimo global depende principalmente do critério de resfria-

mento que, se suficientemente lento, conduz ao mínimo global. Entretanto, isso implica em um

tempo de processamento elevado, que aumenta exponencialmente com o aumento do número

de variáveis de projeto. Existem alternativas para melhorar o desempenho deste algoritmo, como

a proposta de Ingber (1989) denominada VFR (Very Fast Re-annealing) que teve o código distri-

buído livremente pela internet e recebeu inúmeras contribuições de voluntários, o que ajudou no

desenvolvimento e aperfeiçoamento do código. Hoje o código é conhecido como ASA – Adaptive

Simulated Annealing (Ingber, 1993) e ainda é mantido por Ingber e está na versão 26.7. Detalhes

da formulação matemática do método podem ser encontrados em Ingber (1996).

5.2.3 Resultados

Foram testados no presente trabalho o otimizador ASA e também uma implementação

padrão do Simulated Annealing, acoplados ao código IB/VPM. Na Fig. 5.18 é apresentado o

resultado da avaliação da função objetivo, Eq. (5.7), para os vários projetos escolhidos pelo

otimizador. Foram necessárias cerca de 5000 avaliações da função objetivo até se conseguir

o projeto ótimo, que consiste em minimizar o erro RMS entre o projeto atual e a condição de

distribuição de pressão prescrita, sendo o erro mínimo obtido de 2, 72.

87

Figura 5.18 - Histórico da função objetivo, obtido com a implementação padrão do SimulatedAnnealing.

Inicia-se o Simulated Annealing com uma elevada temperatura inicial. Em conseqüência

disto, é alta a probabilidade do algoritmo aceitar uma solução de pior custo. Por esta razão nas

primeiras iterações observa-se um grande espalhamento dos pontos na Fig. 5.18, o que significa

que o otimizador testa de maneira aleatória combinações das variáveis em todo o espaço de

projeto. Soluções que se distanciam do ótimo são freqüentemente aceitas como projeto, como

se pode ver pelos elevados valores da função objetivo. Com o decréscimo da temperatura inicial,

devido à lei de resfriamento imposta, a probabilidade de se aceitar piores soluções também se

reduz e como se pode observar a partir da iteração 1500, as escolhas do otimizador se concen-

tram mais próximas dos valores ótimos. Acima da iteração de número 3000, a função objetivo já

convergiu para um valor muito próximo do ótimo, mesmo assim o otimizador, continua fazendo

pequenas alterações nas variáveis de projeto. No entanto, não se consegue nenhuma melhora

significativa do valor ótimo e com isto, são gastas aproximadamente 2000 chamadas da função

objetivo. Isto representa um custo computacional de 40% de todo o processo de otimização.

88

Figura 5.19 - Histórico da função objetivo, obtido com código ASA (Ingber, 1993).

Na Fig. 5.19, é mostrado o histórico de avaliações da função objetivo com o otimizador

ASA. Foram gastas pouco mais de 2500 iterações para se concluir o procedimento de otimização.

O procedimento de escolha dos projetos é diferente da implementação padrão do Simulated

Annealing. Observe que o espalhamento dos pontos é menor e ocorre durante toda a otimização.

A convergência foi conseguida com um número significativamente menor de iterações, porém

o erro RMS mínimo obtido como o ASA foi de 2, 82, um pouco maior que o valor minimizado

com a implementação padrão do Simulated Annealing. Aparentemente o ASA convergiu para um

mínimo local e em conseqüência disto não se conseguiu atingir a geometria desejada.

O projeto ótimo obtido com cada um dos algoritmos de otimização é mostrado na Fig.

5.20 para o Simulated Annealing padrão e na Fig. 5.21 para o ASA. As linhas em cinza, mostram

a geometria desejada e a distribuição de pressão prescrita e as linhas em preto mostram os

resultados obtidos ao final do procedimento de otimização. O resultado obtido com o Simulated

Annealing foi bem próximo do coeficiente de pressão prescrito e conseqüentemente levou à

obtenção de uma forma bastante próxima da elipse.

89

Figura 5.20 - Projeto ótimo obtido com o Simulated Annealing padrão.

Com o ASA não se conseguiu atingir o projeto desejado, pois a geometria final obtida

difere bastante da geometria desejada. Entre todas as soluções testadas está foi a que levou

a um menor valor da função objetivo. Entretanto, não atendeu as condições prescritas. Assim,

pode-se dizer que o otimizador convergiu para um mínimo local. Entretanto, cabe aqui ressaltar,

que o ASA não foi devidamente explorado. Trata-se um uma rotina bastante completa que conta

com mais de 300 opções para ajuste do otimizador. Neste teste, limitou-se a utilizar o ASA com as

opções padrão e como com o Simulated Annealing já se havia conseguido atingir razoavelmente

bem a distribuição de pressão prescrita, não se investiu maiores esforços em se obter uma melhor

configuração dos parâmetros do ASA.

90

Figura 5.21 - Projeto ótimo obtido com o código ASA (Ingber, 1993).

O resultado obtido ao final do procedimento de otimização para cada uma das variáveis

de projeto é apresentado na Tab. (5.2).

Tabela 5.2 - Projeto ótimo obtido com os algoritimos de otimização.

Variáveis de projeto Projeto ótimo SA Projeto ótimo ASA Projeto desejador1 0,205 0,190 0,20r2 0,162 0,161 0,15r3 0,121 0,141 0,11r4 0,107 0,137 0,10r5 0,114 0,164 0,11r6 0,146 0,249 0,15r7 0,194 0,190 0,20

Função Objetivo 2,72 2,84 ——–

91

Com os resultados pôde-se constatar que a função objetivo definida é pouco sensível a

mudanças nas variáveis de projeto. Observe que existe uma grande diferença nos valores das

variáveis para os dois projetos obtidos, no entanto a variação na função objetivo foi de apenas

4%, o que dificulta o papel do otimizador.

Figura 5.22 - Histórico dos projetos obtidos com o Simulated Anneling padrão.

92

Na Fig. 5.22 são mostradas as geometrias e distribuições do coeficiente de pressão, obti-

dos para vários projetos testados ao longo do procedimento de otimização, com a implemantação

padrão do Simulated Annealing. Os projetos nos quadros de (a) a (l) são representados pelos

pontos em cinza destacados na Fig. 5.18. Fazendo analogia ao processo de recozimento, como

colocado anteriormente, no início do procedimento de otimização tem-se uma elevada tempera-

tura e portanto, é alta a energia cinética dos átomos, os quais são representados pelas variáveis

de projeto. Desta forma uma elevada temperatura inicial implica elevadas variações das variáveis

de projeto. Por isso, tem-se uma elevada diversidade de soluções por todo o espaço de projeto

logo no início do algoritmo. Na seqüência (a-d) na Fig. 5.22, observa-se a grande diversidade de

formas, as quais estão ainda muito distantes da condição prescrita.

Uma das vantagens dos métodos de IB, quando aplicados a problemas de otimização,

pode ser evidenciada na Fig. 5.22(b). Observe que eventualmente o otimizador pode escolher

uma geometria infactível, uma vez que seria impossível gerar uma malha que se ajustasse a este

corpo. Neste sentido, além do custo de remalhagem do domínio, deve-se previamente checar de

alguma forma a coerência da geometria. Com o método IB, não existe a necessidade de testar se

a geometria é factível ou não. O escoamento é simplesmente resolvido e mesmo que se obtenha

como solução um escoamento fisicamente inconsistente, essa solução será automaticamente

descartada pelo otimizador, uma vez que não implica em melhora da função custo.

Com o avanço do algoritmo, os projetos vão tendendo de maneira assintótica, seguindo

a lei de resfriamento, ao projeto ótimo. Na seqüência (e-h) os valores da função objetivo já são

bem menos dispersos, mantendo-se concentrada em uma região que o otimizador julga estar

localizado o projeto ótimo. As variações já seguem um certo padrão, como se vê nas formas

bem semelhantes escolhidas pelo Simulated Annealing nesta etapa. Para escapar dos prováveis

mínimos locais, eventualmente, o algoritmo aceita soluções de pior custo, como se pode ver na

Fig. 5.22(g).

Por fim, quando a temperatura inicial já é suficientemente baixa, acima da iteração de

número 2500, as alterações nas variáveis de projeto são bastante pequenas, como pode ser ob-

servado na seqüência das Fig. 5.22(i-l). Se o processo de resfriamento foi suficientemente lento,

é bastante provável que o otimizador consiga encontrar o mínimo global e haja convergência

do algoritmo para um valor ótimo. Isso foi conseguido com relativo sucesso, ao final das itera-

ções onde a função objetivo foi minimizada para o valor de 2, 72 e a geometria ótima estava bem

próxima da geometria desejada.

93

Estes testes serviram para validar a metodologia IB em problemas de otimização de

forma. Os resultados apesar de preliminares, foram muito satisfatórios e comprovaram a po-

tencialidade do método frente a diferentes aplicações.

5.3 Porque modelar a turbulência ?

Como foi visto anteriormente, à medida que se aumenta o número de Reynolds tem-se

a necessidade do uso de malhas cada vez mais finas, o que dependendo do problema, pode

conduzir a um custo computacional muitas das vezes proibitivo. Uma alternativa é o uso de

aproximações como a modelagem da turbulência. Entretanto, modelar a turbulência é um pro-

blema complexo e que ainda não se tem uma formulação única. Desta forma, é comum encon-

trar formulações que funcionem bem para determinada classe de problemas, mas não consigam

fornecer resultados consistentes para outros tipos de escoamentos.

Figura 5.23 - Evolução temporal do coeficiente de sustentação, aerofólio NACA 0012 aReD = 10

4 e ângulo de ataque α = 8o: —– URANS/S-A e - - - - LES/Smagorinsky.

A motivação em se testar outros modelos de turbulência veio da necessidade de se ob-

ter um cálculo mais consistente para a viscosidade efetiva nas regiões parietais. O modelo de

Smagorinsky, até então utilizado, apresenta uma deficiência pois ele não é capaz de amortecer

a viscosidade efetiva junto às paredes. Este comportamento não é fisicamente consistente. Re-

sultados preliminares de simulações sobre aerofólios mostram que o modelo de Smagorinsky

conduz a um descolamento prematuro da camada limite mesmo para baixos ângulos de ataque.

Isso pode ser constatado na Fig. 5.23 onde é apresentado o histórico do coeficiente de sustenta-

94

ção da simulação de um escoamento a número de Reynolds 104 sobre um aerofólio NACA 0012

para um ângulo de ataque de 8o.

Referências na literatura indicam que, para este ângulo de ataque, este escoamento não

deveria se descolar do aerofólio. Resultados da simulação com o modelo de Smagorinsky são

apresentados na Fig. 5.23, onde observa-se que inicialmente o coeficiente de sustentação au-

menta até alcançar um valor próximo de CL = 0, 3 quando em A a sustentação cai rapida-

mente até C, quando então passa a oscilar, indicando desprendimentos sucessivos de vórtices.

Na mesma figura são mostrados também resultados de simulações com o modelo de Spalart-

Almaras. Este modelo proporciona um tratamento mais adequado da viscosidade turbulenta nas

regiões parietais sendo mais apropriado para escoamentos aerodinâmicos. Inicialmente o co-

eficiente de sustentação previsto com o modelo S-A assemelha-se ao predito pelo modelo de

Smagorinsky. A diferença ocorre a partir do ponto A. Observe que o coeficiente de sustentação

alcança um valor de aproximadamente CL = 0, 29 e se mantém constante ao longo de toda a

simulação sem apresentar nenhum tipo de oscilação.

Figura 5.24 - Evolução temporal de linhas de corrente e campo de viscosidade efetiva calcula-dos com modelo de Smagorinsky e S-A.

Na Fig. 5.24 são apresentados os campos de viscosidade efetiva e visualização das lin-

has de corrente para os pontos em destaque na Fig. 5.23. Comparando os quadros da Fig 5.24(a)

observa-se que o modelo de Smagorinsky apresenta um menor nível de viscosidade turbulenta.

O valor máximo da viscosidade efetiva é de 5 vezes a viscosidade molecular contra um valor

máximo de 20 vezes para o modelo S-A. Entretanto a viscosidade calculada pelo modelo de

Smagorinsky concentra-se principalmente junto ao bordo de ataque do aerofólio, o que leva as

95

linhas de corrente a se afastarem do aerofólio, como pode ser observado na Fig 5.24(b). Junto

ao bordo de fuga já é possível visualizar uma bolha de recirculação e com isso a presença de

escoamento reverso na superfície superior do aerofólio. A bolha cresce continuamente e em Fig

5.24(c) se desprende levando a camada limite sobre o aerofólio ao completo descolamento e o

coeficiente de sustentação alcança o valor mínimo (ponto C da Fig. 5.23).

O comportamento do modelo S-A é bastante diferente, a viscosidade máxima é calculada

na região da esteira. Enquanto que sobre o aerofólio, a viscosidade turbulenta é próxima de

zero e o escoamento permanece junto ao aerofólio. Este modelo de turbulência reproduz me-

lhor o comportamento físico do escoamento junto ao aerofólio e conseqüentemente leva a uma

predição mais acurada do coeficiente de sustentação.

Na Fig. 5.25(a) é mostrado em detalhe o escoamento sobre o aerofólio. Observe como a

viscosidade turbulenta junto à parede do aerofólio age como um obstáculo às linhas de corrente

ajudando a promover o descolamento da camada limite. O mesmo não acontece com o modelo

S-A, Fig. 5.25(b) onde, as linhas de corrente se desviam do aerofólio mas permanecem coladas

junto a superficie superior, sem descolamento da camada limite.

Figura 5.25 - Detalhe do escoamento sobre o aerofólio na região do bordo de ataque: (a) Sma-gorinsky/LES e (b) URANS/S-A.

Estes são apenas resultados preliminares; um estudo mais detalhado destes modelos de

turbulência no âmbito do método IB/VPM é apresentado na primeira seção do próximo capítulo.

Capítulo VI

Resultados e DiscussãoSimulações com Modelagem da Turbulência

Este capítulo é dividido em duas partes. Na primeira são apresentados resultados da

extensão do método IB/VPM para simulação de escoamentos a altos Reynolds. Esta etapa en-

volve essencialmente a implementação dos termos cruzados para força viscosa do modelo VPM

e a modelagem da turbulência. Foram utilizadas três diferentes metodologias de modelagem da

turbulência: Equações Médias de Reynolds Transiente (URANS – Unsteady Reynolds Averaged

Navier-Stokes Equations), Modelagem Híbrida da Turbulência (DES – Detached Eddy Simula-

tion) e Simulações de Grandes Escalas (LES – Large Eddy Simulation). Para o cálculo da visco-

sidade turbulenta, foi utilizado o modelo sub-malha de Smagorinsky para a metodologia LES e o

modelo de Spalart-Almaras (S-A) para URANS e DES. As metodologias LES e DES são usadas

numa aproximação bidimensional. Para a validação das metodologias em conjunto com o método

IB/VPM foram realizadas simulações de escoamentos sobre cilindros circulares estacionários. Os

resultados obtidos com o método foram comparados com resultados numéricos e experimentais

de outros autores.

Na segunda parte, destaca-se a aplicação do método IB/VPM para problemas práticos

de fronteiras móveis. Foram simulados escoamentos a números de Reynolds moderados (até

Rec = 104) sobre aerofólios em movimento oscilatório de arfagem para elevadas amplitudes e

também alguns resultados preliminares para altas freqüências de oscilação. Foi realizada uma

detalhada investigação do efeito dos principais parâmetros sobre a dinâmica do escoamento,

demonstrando assim a potencialidade do método IB/VPM para problemas desta natureza. Resul-

tados dos coeficientes de forças aerodinâmicas e visualização do escoamento foram comparados

a resultados numéricos e experimentais.

98

6.1 Simulações de escoamentos sobre cilindros circulares para altosnúmeros de Reynolds

Nesta seção são apresentados resultados de simulações a altos Reynolds para escoa-

mentos bidimensionais sobre cilindros circulares. Foram implementados junto com o método de

fronteira imersa três diferentes modelos de turbulência: modelo de Spalart-Allmaras em sua for-

mulação URANS, Spalart-Allmaras para formulação DES e o modelo sub-malha de Smagorinsky

dentro do conceito de LES. No texto, daqui em diante, para simplificar a notação, os modelos e

tipos de modelagem serão referenciados como: URANS, DES e LES.

Pretende-se com isto avaliar a capacidade de aplicação do método IB/VPM para escoa-

mentos a altos números de Reynolds. Foi então escolhido como caso teste, a simulação de

escoamentos sobre um cilindro circular estacionário, por se tratar de um caso clássico na litera-

tura. Este escoamento é muito bem documentado e existe uma abundante literatura acerca do

assunto obtida através de experimentos e também de simulações numéricas. Além da grande

quantidade de dados quantitativos, disponíveis para uma ampla faixa de Reynolds, conhece-se

bem a fenomenologia do escoamento.

Figura 6.1 - Malha utilizada na discretização do domínio para simulações do cilindro estacioná-rio, destaque para a região do cilindro modelado com o método da fronteira imersa.

99

Todas as simulações foram conduzidas em uma malha cartesiana não-uniforme, mo-

strada na Fig. 6.1. O domínio de cálculo tem um comprimento de 50D e uma altura de 25D.

A malha utilizada possui três regiões distintas em cada direção, com um maior refinamento sobre

a região de interesse onde está situado o cilindro, mostrado em destaque na Fig. 6.2. Nesta

região é utilizada uma malha uniforme definida em uma caixa quadrada de lado 2D, centrada

sobre o cilindro. Para as demais regiões é utilizada uma malha não-uniforme com um fator de

expansão constante. A primeira seção da malha, na direção x, se estende até a posição 15, 5D

e foram usados 80 pontos ; a ultima seção tem 32, 5D de comprimento discretizado com 140 pon-

tos. Na direção y, devido à simetria do domínio, as seções de malha uniforme nesta direção são

idênticas e possuem 11, 5D de altura com 96 pontos cada.

Um cilindro de diâmetro característico D utilizado nas simulações foi posicionado a 16, 5D

da face esquerda do domínio e centrado verticalmente em 12, 5D, como mostrado na Fig. 6.2.

Foi imposto um perfil uniforme de velocidade u = U∞ na entrada do domínio, de maneira que

o escoamento se desenvolve da esquerda para a direita. Como demais condições de contorno

foram impostas, nas outras faces, condições de Neumann para a velocidade. Para a correção de

pressão (p0) foi imposta derivada nula na entrada do domínio e zero para as demais faces.

Figura 6.2 - Esquema do domínio de cálculo e posicionamento do cilindro.

100

6.1.1 Refinamento de malha

Para garantir a independência da solução com relação à malha e também para a escolha

da malha mais apropriada a ser utilizada nas demais simulações de acordo com a modelagem de

turbulência empregada, foi realizado um estudo de refinamento de malha. A malha foi definida em

termos da quantidade de pontos usados por diâmetro do cilindro imerso. Os principais resultados

são mostrados na Fig. 6.3.

Figura 6.3 - Evolução temporal do coeficiente de arrasto: (a) URANS e (b) LES.

Como já é sabido, a malha exerce um papel crucial com respeito à modelagem da turbu-

lência, agindo como um filtro espacial, determinando assim o tamanho das estruturas que serão

calculadas ou modeladas. Surge daí a necessidade de realizar os testes de independência de

malha para cada uma das metodologias. Na Fig. 6.3(a) é mostrada a evolução temporal do coe-

ficiente de arrasto obtido com a metodologia URANS para o caso a ReD = 5 × 105. Usando a

malha de 20 pontos por diâmetro obteve-se um coeficiente de arrasto médio CD = 0, 8751 contra

um CD = 0, 8625 para a simulação utilizando 40 pontos por diâmetro. O coeficiente de arrasto

obtido com ambas as malhas foram em média bem próximos, com uma diferença de 1, 4%, tendo

assim sido verificada a independência do resultado quanto a malha.

Para LES foram realizadas simulações a ReD = 104 e a diferença encontrada no coe-

ficiente de arrasto médio foi de aproximadamente 5% entre as duas malhas (20 pontos/D e 40

pontos/D). Houve assim, a necessidade de realizar outro teste com uma malha de 30 pontos/D,

onde foi obtida uma diferença de 0, 2% no coeficiente de arrasto médio em relação à malha de

40 pontos/D. Os resultados para os quais se conseguiu independência são apresentados na Fig.

101

6.3(b). Como já era esperado, o teste de independência de malha mostra que modelos do tipo

URANS são em geral menos sensíveis com relação ao refinamento de malha.

Baseado neste estudo definiu-se a malha euleriana, Tab. 6.1, que foi utilizada nas demais

simulações, apresentadas nesta seção. Não foi realizado nenhum teste de independência de

malha para a metodologia DES, pois optou-se por utilizar a mesma malha escolhida para LES.

Como foi verificado, o modelo S-A é menos restritivo em relação ao refinamento de malha e

conseqüentemente essa malha é suficientemente refinada para a metodologia DES.

Tabela 6.1 - Número de pontos da malha euleriana utilizada nas simulações

Modelo de turbulência Número de pontos da malha Resolução sobre o cilindroURANS 203 × 169 20 pontos/D

DES 274 × 252 30 pontos/DLES 274 × 252 30 pontos/D

Definidas as malhas apresenta-se a seguir a validação das simulações. Foram calculados

os principais parâmetros que caracterizam o escoamento sobre cilindros: coeficiente de arrasto,

número de Sthrouhal, distribuição do coeficiente de pressão, ponto de descolamento, perfis de

velocidade e flutuação de pressão. Estes resultados foram comparados com trabalhos numéricos

e experimentais disponíveis na literatura. Foi também analisada a influência das metodologias de

modelagem da turbulência sobre os resultados obtidos.

6.1.2 Resultados para os coeficientes das forças

Foram realizadas simulações de 5 casos na faixa de Reynolds, 104 ≤ ReD ≤ 106, para

cada uma das três metodologias de modelagem da turbulência aqui apresentadas, totalizando 15

casos. Na Fig. 6.4 é apresentado o histórico temporal dos coeficientes de arrasto e sustentação

para o caso a Reynolds ReD = 104. As simulações foram realizadas durante 180 tU/D unidades

de tempo adimensional que foi suficiente para obter uma boa estatística do escoamento. Foi

utilizado um passo de tempo fixo de 0, 001 tU/D. É interessante destacar as características das

modelagens da turbulência, verificadas sobre o coeficiente de sustentação. Observou-se que

os resultados para LES possuem uma elevada amplitude de oscilação se comparados com os

resultados obtidos com URANS e DES. Apesar disto o coeficiente de sustentação médio foi

aproximadamente o mesmo para todas as modelagens, oscilando em torno de zero.

102

Figura 6.4 - Evolução temporal dos coeficientes de força para ReD = 104 : (a) coeficiente dearrasto e (b) coeficiente de sustentação

Valores médios para o coeficiente de arrasto foram calculados para cada simulação, du-

rante os últimos 80 tU/D, quando se observa um regime estatisticamente bem definido. Os

resultados são mostrados na Tab. 6.2, onde também são apresentados valores de referência

encontrados na literatura.

Tabela 6.2 - Coeficiente de arrasto médio obtido nas simulações e resultados experimentais.

Coeficiente de arrasto médio (CD)

Número de Reynolds Presente trabalho Sucker e Brauer(White 1991)

Wieselsberger(Schlichting 1979)

URANS DES LES Eq. (5.4) Dados Exp.1× 104 0, 8782 0, 9840 1, 2203 1, 091 1, 1395× 104 0, 8958 0, 9332 1, 1903 1, 166 1, 2092× 105 0, 8746 0, 9422 1, 1900 1, 178 1, 1385× 105 0, 8751 0, 9394 1, 2184 —— 0, 2951× 106 0, 8787 0, 9434 1, 2082 —— 0, 350

Os resultados das simulações são comparados a uma correlação empírica clássica pro-

posta por Sucker e Brauer em 1975 (White, 1991), dada pela Eq. (5.4). Esta correlação é valida

para números de Reynolds na faixa de 10−4 ≤ ReD ≤ 2 × 105. Acima desta faixa esta correla-

ção não é mais válida, devido a chamada crise na força de arrasto, como será comentado mais

adiante. Portanto, acima de ReD = 2 × 105 foram utilizados dados medidos experimentalmente

por Wieselsberger apresentados em Schlichting (1979).

O comportamento do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds é mos-

103

trado na Fig. 6.5. Os resultados das simulações do presente trabalho foram comparados com me-

dições de Wieselsberger. Os círculos são os resultados das simulações realizadas com o IB/VPM

para baixos Reynolds e, portanto sem a necessidade de uso de modelagem da turbulência. Estes

resultados estão aqui apresentados apenas em caráter qualitativo, ilustrando e acuracidade dos

resultados da metodologia para um ampla faixa do número de Reynolds (100 ≤ ReD ≤ 105). Ini-

cialmente o coeficiente de arrasto diminui com o aumento do número de Reynolds até atingir um

patamar aproximadamente constante em torno de CD = 1, 1 entre 103 ≤ ReD ≤ 2 × 105, ainda

no regime sub-crítico. Para este regime as simulações forneceram resultados satisfatórios, como

se pode verificar na Fig. 6.5. Os resultados de LES apresentaram um bom ajuste com os resulta-

dos experimentais, já os resultados do coeficiente de arrasto médio obtidos com DES e URANS

ficaram bastante próximos entre si. Entretanto, ambas metodologias tenderam a subestimar os

coeficientes de força.

Figura 6.5 - Coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para um cilindro circularestacionário.

Para o regime supercrítico (ReD ' 2×105) ocorre um fenômeno comumente referenciado

na literatura como drag crisis, que é uma queda brusca no coeficiente de arrasto, como obser-

vado nos dados de Wieselsberger (Fig. 6.5). A origem física da crise no arrasto é a transição

do regime laminar para o turbulento da camada limite junto ao cilindro à montante do ponto de

104

descolamento. A presença de estruturas turbulentas no interior da camada limite faz com que a

camada limite ganhe mais energia. Com uma camada limite mais energizada o ponto de desco-

lamento é postergado, suportando maiores gradientes de pressão adversos. Com uma pressão

mais elevada à jusante do cilindro, tem-se um menor gradiente de pressão e conseqüentemente

a parcela do arrasto devido à força de pressão cai nesta faixa do número de Reynolds. Uma

vez que o efeito de pressão é predominante na composição do arrasto, o valor de CD também é

reduzido nesta região do número de ReD.

Para todos os casos simulados acima do regime supercrítico (ReD = 5 × 105 e 106)

não se obteve um bom ajuste com os dados experimentais com nenhuma das metodologias de

modelagem da turbulência, o que já era esperado. Cabe aqui destacar que a predição da crise

nos coeficientes está associada ao cálculo preciso da camada limite junto ao cilindro. Sabe-se

que os efeitos tridimensionais do escoamento desempenham um papel crucial na transição da

camada limite para o regime turbulento. Desta forma acredita-se que não é possível simular a

crise de arrasto com um código 2D sem algum tratamento especial para o cálculo da camada

limite. A predição de resultados na região supercrítica é uma tarefa complicada mesmo para um

código tridimensional, como mostrado por Wang et al. (2001) e também por Catalano et al. (2003),

que usaram LES aliado à modelagem de parede. Estes tópicos não foram aqui explorados, pois

fogem ao objetivo do trabalho.

6.1.3 Freqüência de desprendimento de vórtices

O número de Strouhal (St), que representa a freqüência adimensional de desprendimento

de vórtices, é mostrado na Tab. 6.3, onde também são apresentados resultados obtidos com uma

correlação dada pela Eq. (6.1):

St ≈ 0, 212µ1− 12, 7

ReD

¶. (6.1)

Esta correlação foi proposta por Roshko (1967), elaborada a partir de seus estudos ex-

perimentais. Para esta faixa de Reynolds acima de ReD > 104 a freqüência de desprendimento

de vórtices é aproximadamente constante, mantendo-se em torno de 0, 21. As simulações aqui

apresentadas são transientes e permitem evidenciar a esteira de estruturas turbilhonares. A de-

terminação da freqüência de formação das estruturas foi feita analisando o sinal do coeficiente

de sustentação.

105

Tabela 6.3 - Número de Strouhal obtido nas simulações e resultados experimentais.

Número de Strouhal (St)Número de Reynolds Presente trabalho Roshko (1967)

URANS DES LES Eq. (6.1)1× 104 0, 1877 0, 2125 0, 2507 0, 21175× 104 0, 1752 0, 2125 0, 2569 0, 21192× 105 0, 1877 0, 2125 0, 2451 0, 21205× 105 0, 1877 0, 2125 0, 2463 0,21201× 106 0, 1857 0, 2125 0, 2403 ——

Resultados para o St obtidos com DES apresentaram um ajuste muito bom com relação

aos resultados experimentais. Foram verificadas significativas diferenças entre os resultados ob-

tidos por cada uma das metodologias de modelagem da turbulência. Estas diferenças eram espe-

radas e estão associadas às características das próprias metodologias. Diferenças semelhantes

foram reportadas também por outros autores como Breuer (2000) e Catalano et al. (2003).

A metodologia URANS não é adequada para analisar o comportamento transiente de es-

coamentos, devido ao alto nível de viscosidade turbulenta produzida pelos modelos desta classe

de métodos. Modelos do tipo URANS são mais adequados ao estudo do comportamento médio

do escoamento e portanto capturam menos informações associadas a fenômenos físicos tran-

sientes, como é o caso do número de Strouhal. De fato, como se pode observar na Tab. 6.3, o

número de Strouhal está sub-predito pela metodologia URANS quando comparado com os da-

dos experimentais. Por outro, lado a metodologia LES tem como característica resolver a maior

quantidade possível de escalas modelando somente as menores escalas. Como conseqüência

esta classe de modelos se caracteriza pelo cálculo de menores níveis de viscosidade turbulenta

nas regiões de escoamento livre (como será discutido a seguir), quando comparados a modelos

do tipo URANS. Por esta razão, a freqüência de desprendimento de vórtices é maior quando

calculada com LES que com URANS. Entretanto, o número de Strouhal obtido com LES está

superpredito em relação aos resultados experimentais. A metodologia DES, por sua vez, apre-

sentou resultados intermediários entre LES e URANS e obteve-se um bom ajuste aos resultados

de referência.

6.1.4 Ângulo de separação da camada limite

O ângulo de separação (θsep) é definido como a medida angular do ponto de estagnação

na frente do cilindro até o ponto onde o escoamento se separa da superfície do cilindro, como

106

ilustrado na Fig. 6.6.

Figura 6.6 - Definição do ângulo de separação.

A localização do ponto de separação em um escoamento instável não é fixa, ou seja,

a posição do ponto de descolamento oscila no tempo em torno de um valor médio, sendo for-

temente influenciado pela freqüência de desprendimento de vórtices. Para determinar o ângulo

de separação, sondas numéricas foram posicionadas ao longo de toda a superfície do cilindro.

Através da análise do campo médio de velocidades, considerou-se como a posição do ponto de

separação do escoamento o primeiro ponto sobre a superfície do cilindro onde fosse identificada

a presença de escoamento reverso. Os resultados obtidos desta análise estão apresentados na

Tab. 6.4.

Tabela 6.4 - Valor do ângulo de separação do escoamento sobre o cilindro.

Ângulo de separação (θ [o])Número de Reynolds Presente trabalho

URANS DES LES1× 104 88, 8 88, 1 91,75× 104 95, 4 92, 0 95,82× 105 95, 8 95, 8 95,15× 105 96, 0 93, 1 96,71× 106 96, 7 94, 5 94,4

A determinação do ponto de separação do escoamento, mesmo experimentalmente, é

uma tarefa de difícil execução devido à espessura da camada limite, como relatado em trabalhos

da literatura. Ballengee e Chen (Zdravkovich, 1997) determinaram experimentalmente o ponto

de separação para escoamentos sobre cilindros na faixa de Reynolds 104 ≤ ReD ≤ 4, 5 × 104.O maior valor obtido para o ângulo de separação foi de θsep = 91o, para o escoamento a um

107

número de Reynolds de ReD = 104. Este valor de θsep é bastante próximo aos obtidos pelas

simulações no presente trabalho. Ainda com respeito aos resultados de Ballengee e Chen, os

autores identificaram nos experimentos uma tendência geral de decréscimo do ângulo de desco-

lamento com o aumento do número de Reynolds. O valor medido para o ângulo de separação foi

de θsep = 82o para ReD = 4, 5× 104. Entretanto, este comportamento não é predominante, tendo

sido observado em algumas medições, aumento do ângulo de separação com o aumento do

Reynolds. Os resultados numéricos do presente trabalho, para esta faixa do número de Reynolds

mostraram uma tendência de aumento de θsep com ReD, portanto, contrária aquela observada

nos experimentos de Ballengee e Chen.

Figura 6.7 - Determinação do ponto de separação através do campo médio de velocidade,ReD = 10

4, para a metodologia LES.

O ângulo de separação também foi calculado numericamente por Breuer (2000), que

utilizou um código 3D para resolver as equações de Navier-Stokes em uma malha cilíndrica,

utilizando a metodologia LES. O autor obteve um ângulo de descolamento de θsep = 95o para um

escoamento a número de Reynolds igual a ReD = 1, 4× 105. Outro trabalho numérico conduzido

por Travin et al. (1999), avaliou estratégias de modelagem da turbulência (LES, DES e URANS)

no cálculo de escoamentos sobre cilindros, com ênfase na predição do ponto de separação do

escoamento. Simulações 2D e 3D, utilizando malhas cilíndricas, foram realizadas. Para o caso

a um número de Reynolds ReD = 1, 4 × 105, os autores obtiveram valores na faixa de 91o ≤θsep ≤ 99o, dependendo da estratégia de modelagem adotada. Estes dois trabalhos numéricos

108

obtiveram resultados semelhantes, entretanto medições experimentais realizadas por Achenbach

(1969) e também por Son e Hanratty (1969), no regime sub-crítico para número de Reynolds

igual a ReD = 105, estimam o ponto de descolamento em torno de θsep = 78o. Achenbach

também realizou medições para regiões pouco antes da transição para o regime crítico (para

ReD = 2, 6 × 105). Observou-se que a camada limite junto ao cilindro ainda apresentava um

comportamento laminar, com a separação do escoamento ocorrendo próxima ao ângulo θsep =

94o.

O objetivo desta discussão é mostrar a dificuldade na determinação do ponto de desco-

lamento do escoamento. Na literatura observa-se grande discrepância nos valores preditos por

métodos numéricos e experimentais para a posição do ponto de descolamento do escoamento.

Do mesmo modo que pode haver imprecisão nas simulações devida a erros ou aproximações

numéricas, trabalhos experimentais também estão sujeitos a imprecisões de medição devido a

complexidade dos fenômenos. Toda esta complexidade indica uma alta não-linearidade na rela-

ção entre a posição do ponto de separação do escoamento com o número de Reynolds, conforme

observado por Breuer (2000).

6.1.5 Distribuição de pressão

O coeficiente de pressão em função do ângulo θ (ver Fig. 6.6), para a simulação do

escoamento a um número de Reynolds igual a ReD = 2, 0 × 105 é apresentado na Fig. 6.8(a).

As distribuições do coeficiente de pressão foram calculadas a partir do campo médio para cada

uma das metodologias de modelagem da turbulência. Os resultados são comparados a medições

experimentais realizadas por Cantwell e Coles (1983), para ReD = 1, 4× 105 e também de Farell

e Blessmann (1983), para ReD = 2, 3× 105.Os resultados do coeficiente de pressão, calculados com DES, mostraram uma concor-

dância razoável com as medições de Farell e Blessmann (1983), exceto para a região entre

70o ≤ θ ≤ 110o. Já para as metodologias LES e URANS, foram observadas diferenças bastante

significativas na distribuição de pressão, principalmente na região posterior do cilindro.

Observando os resultados da Fig. 6.8(a) é possível evidenciar a forte relação entre o

arrasto e a distribuição de pressão para esta faixa de Reynolds. Como se sabe a força de arrasto

total exercida pelo escoamento sobre o cilindro é produzida essencialmente por efeitos de origem

viscosa (CD f ) e por força de pressão devido à assimetria da distribuição de pressão ao longo da

109

Figura 6.8 - Distrituição do coeficiente de pressão médio ao longo do cilindro: (a) comparaçãocom resultados experimentais e (b) efeito do refinamento de malha para LES.

superfície do cilindro (CD p). Assim, o coeficiente de arrasto total é dado por:

CD = CD f + CD p (6.2)

Entretanto as forças devidas aos efeitos viscosos tornam-se desprezíveis a partir de Rey-

nolds maiores que 103, como mostrado por Zdravkovich (1997). Desta forma espera-se que a

força de arrasto seja maior para maiores gradientes de pressão no cilindro. Podemos assim,

relacionar a força de arrasto com o coeficiente de pressão na base do cilindro (Cpb). O maior

gradiente de pressão entre a parte frontal e a base do cilindro foi verificado com LES, e como

se pode verificar nos resultados para o arrasto apresentados na Tab. 6.2, LES apresenta o maior

coeficiente de arrasto em relação as outras metodologias.

Ainda com relação a Fig. 6.8(a), em todas as simulações realizadas foi observada uma

pobre concordância com relação aos dados experimentais na região entre 700 ≤ θ ≤ 110o, onde

o coeficiente de pressão alcança o seu valor mínimo. Esta é uma região bastante crítica para a

camada limite. A partir do ponto de inflexão na distribuição de pressão, a camada limite passa

a sofrer ação de gradientes adversos de pressão e de acordo com a literatura esta é a prová-

vel localização do ponto de separação do escoamento (Zdravkovich, 1997). Todos os resultados

numéricos, independentemente da modelagem de turbulência utilizada, apresentaram fortes os-

cilações que não são verificadas nas medições experimentais. As oscilações são claramente

de origem numérica. O teste mostrado na Fig. 6.8(b), com o uso de uma malha mais refinada

sobre o cilindro, foi realizado com LES. Observou-se que as oscilações no coeficiente de pressão

110

desaparecem. De fato, muitos trabalhos na literatura alertam para necessidade do uso de uma

alta resolução de malha junto ao cilindro. A necessidade do uso de uma malha uniforme sobre

o cilindro faz com que o custo da simulação seja muito elevado com esta resolução de malha

(100 pontos/D). Além disso, não foi verificado nenhum grande impacto ao se avaliar parâmetros

globais do escoamento como o coeficiente de arrasto e número de Strouhal.

Fenômenos complexos que ocorrem nesta região, como elevados gradientes de veloci-

dade e escoamento reverso junto à parede, sem a resolução de malha adequada geram descon-

tinuidades no campo de força euleriano, calculado pelo VPM. Estas descontinuidades são trans-

mitidas ao campo de pressão, gerando oscilações numéricas no coeficiente de pressão. Trata-se

de um processo não-linear que acredita-se estar relacionado à baixa resolução de malha nesta

região, para elevados números de Reynolds. Note que em simulações de escoamento sobre cilin-

dros a baixos números de Reynolds, apresentadas anteriormente (Fig. 5.6) e também por Lima e

Silva et al. (2003), usando o método IB/VPM não se verificou a presença deste tipo de oscilação.

Isto leva a concluir que o ideal seria o uso de uma malha refinada localmente para se conseguir

uma descrição mais realística para a distribuição de pressão, o que pode ser feito com malha

adaptativa.

Cantwell e Coles (1983) mediram experimentalmente o coeficiente de pressão médio e

também as flutuações no coeficiente de pressão. A faixa de flutuação e o coeficiente médio obti-

dos por estes autores são apresentados na Fig. 6.9. As medições destes autores foram usadas

como referência para uma comparação qualitativa com os resultados instantâneos do coeficiente

de pressão obtidos no presente trabalho, para ReD = 2 × 105. As flutuações numéricas obtidas

com LES são mostradas na Fig. 6.9(a) e os resultados usando DES na Fig. 6.9(b).

Deve-se ressaltar que esta é apenas uma comparação qualitativa, uma vez que os re-

sultados são para números de Reynolds diferentes. Observa-se que as flutuações do coeficiente

de pressão calculadas com LES apresentam maiores amplitudes do que para DES, mas sempre

dentro da faixa de oscilação verificada por Cantwell e Coles (1983). Estes resultados eviden-

ciam que LES consegue representar melhor o efeito transiente do que as outras metodologias

de modelagem de turbulência. Mesmo assim, a amplitude das flutuações numéricas foi menor

do que aquelas medidas experimentalmente, provavelmente por causa da hipótese de bidimen-

sionalidade adotada. Já a metodologia DES quase não apresentou flutuações. A distribuição de

pressão oscilou com pequenas amplitudes e comportamento bastante previsível e próximo do

valor médio, não conseguindo reproduzir bem o comportamento físico do escoamento. Para o

111

Figura 6.9 - Distribuição do coeficiente de pressão instantâneo sobre o cilindro, comparadoscom as medições de Cantwell e Coles (1983): (a) LES e (b) DES.

112

coeficiente de pressão, o comportamento das flutuações deve ser bastante semelhante entre

DES e URANS, pois o coeficiente de pressão é avaliado próximo à superfície do cilindro onde as

metodologias são semelhantes.

6.1.6 Visualização do escoamento

As análises adicionais apresentadas aqui serão focadas no caso para ReD = 104, sendo

apresentados os resultados da visualização dos campos instantâneos do escoamento com ên-

fase nas diferenças causadas pelas metodologias de modelagem da turbulência.

A principal diferença está associada com o cálculo, como pode ser evidenciado na Fig.

6.10, que apresenta o campo instantâneo de viscosidade turbulenta para cada uma das metodo-

logias usadas no presente trabalho.

A viscosidade efetiva perto da parede, calculada pelo modelo URANS, apresenta a mesma

magnitude da viscosidade molecular. Já atrás do cilindro, na região da esteira, a viscosidade efe-

tiva assume elevados valores, o que é típico de URANS. Este campo de viscosidade inibe quase

que totalmente o transporte das estruturas que se desprendem do cilindro, como pode se obser-

var na visualização do campo instantâneo de vorticidade da Fig. 6.11(c).

Diferentemente dos modelos do tipo URANS, a viscosidade efetiva calculada pela mode-

lagem LES é menos intensa na região da esteira, o que permite um cálculo mais preciso das

grandes estruturas e conseqüentemente consegue-se capturar melhor os fenômenos físicos. Na

Fig. 6.11(a), é possível observar uma grande quantidade de estruturas que são transportadas

junto com o escoamento. Uma particularidade do modelo de Smagorinsky é que ele apresenta

elevados valores para a viscosidade turbulenta nas regiões próximas às paredes. Esta é uma

deficiência do modelo, que não amortece a viscosidade turbulenta próxima às regiões parietais.

Este comportamento não é fisicamente consistente, pois como se sabe, regiões de camada limite

apresentam velocidades relativamente baixas, apresentando escoamentos laminares e portanto

não deveria apresentar alta viscosidade turbulenta.

A metodologia DES, por sua vez, mostra um comportamento intermediário entre LES e

URANS. A viscosidade efetiva calculada na região da esteira pelo modelo S-A, no modo DES

Fig. 6.11(b), é menos intensa que a obtida com a formulação tradicional do modelo S-A (modo

URANS). Como conseqüência, no modo DES, as estruturas se desprendem e são transportadas

pelo escoamento atrás do cilindro, apresentando uma predição mais acurada dos efeitos tran-

sientes do escoamento do que quando se utiliza o modelo no modo URANS. Mesmo assim DES

113

ainda é mais viscoso do que LES na região da esteira, já na para regiões próximas à parede DES

assume um comportamento similar a URANS, com baixo nível de viscosidade turbulenta.

Figura 6.10 - Campo instantâneo de viscosidade efetiva para ReD = 104: (a) LES, (b) DES e (c)

URANS.

114

Figura 6.11 - Campo instantâneo de vorticidade (−190 ≤ ωz ≤ 190) para ReD = 104 : (a) LES,(b) DES e (c) URANS.

115

Figura 6.12 - Iso-contornos de pressão para escoamento a ReD = 104 : (a) LES, (b) DES e (c)URANS.

A Figura 6.12 mostra uma comparação qualitativa entre os resultados obtidos com as

116

três metodologias de modelagem da turbulência. Os campos de pressão são mostrados para

LES (Fig. 6.12-a), DES (Fig. 6.12-b) e URANS (Fig. 6.12-c). A escala de tons dos isovalores de

pressão é a mesma para todas as metodologias (−1, 2 ≤ p ≤ 0, 8).

Figura 6.13 - Linhas de correntes e vetores de velocidade instantâneos para ReD = 104 : (a)LES, (b) DES e (c) URANS.

A visualização das linhas de corrente e dos vetores de velocidade instantâneos do escoa-

mento é mostrada na Fig. 6.13. Observam-se claramente as linhas de corrente se desviando do

corpo, que é imerso virtualmente no escoamento pelo campo de força. Uma bolha de recirculação

117

transiente é observada nas simulações. Aqui é interessante destacar a influência dos diferentes

tipos de modelagem, observando que as oscilações induzidas na esteira pelos vórtices são bem

mais suaves para URANS. Para DES e LES os escoamentos são mais instáveis apresentando

uma maior amplitude e freqüência.

A Figura 6.14(a) mostra a visualização experimental do escoamento sobre um cilindro

para alto número de Reynolds, reproduzida de Schlichting (1979). Pode-se observar a separação

da camada limite sobre o cilindro em aproximadamente θ ≈ 90o e a formação de estruturas assi-

métricas transientes atrás do cilindro. Uma visualização de linhas de corrente obtida na simulação

do presente trabalho é também mostrada na Fig. 6.14(b).

Figura 6.14 - Estruturas transientes do escoamento : (a) visualização experimental tirada deSchlichting (1979) e (b) resultados numéricos obtidos com LES para ReD = 10

4.

A visualização das linhas de corrente instantâneas do escoamento que é apresentada

na Fig. 6.14(b), foi obtida com a metodologia LES usando o modelo submalha de Smagorinsky.

As estruturas preditas pela simulação numérica são bem próximas das visualizadas experimen-

talmente. Observa-se a presença de um grande vórtice principal na parte superior à jusante do

cilindro e um vórtice contra-rotativo menor junto ao cilindro na parte inferior. Também na região

entre o cilindro e o vórtice principal, que está se desprendendo, são observadas recirculações

secundárias. Um ponto de confluência formado atrás do cilindro, resultado do encontro das linhas

de corrente também pode ser observado nas Fig. 6.14(a) e Fig. 6.14(b). O tamanho das estrutu-

ras preditas numericamente pela metodologia LES é da mesma ordem de tamanho das que são

visualizadas experimentalmente. Observando a Fig. 6.13 percebe-se que as estruturas atrás do

118

cilindro calculadas com URANS são excessivamente alongadas, de comprimento de aproxima-

damente duas vezes o diâmetro do cilindro, comprovando assim que LES é mais adequada para

predição de estruturas físicas e comportamento transiente do escoamento.

Os resultados para o campo médio do módulo da velocidade (0, 0 ≤ ||V ||/U∞ ≤ 1, 3)

são apresentados na Fig. 6.15, para as três estratégias de modelagem. Pode-se observar nos

campos médios diferenças bastante significativas, as quais estão associadas às próprias carac-

terísticas do tipo de modelagem utilizada.

Figura 6.15 - Campo médio do módulo da velocidade para ReD = 104 : (a) URANS, (b) DES e(c) LES.

Figura 6.16 - Campo médio do módulo da velocidade para ReD = 106, tirado de Catalano et al.

(2003).

Resultados das simulações realizadas por Catalano et al. (2003) são mostrados na Fig.

6.16. Observa-se que os resultados do presente trabalho apresentaram um comportamento qua-

litativamente semelhante ao obtido nas simulações realizadas por esses autores, que utilizaram

um código com malha não-estruturada e tratamento do contorno do cilindro com lei de parede.

Perfis médios da componente horizontal da velocidade foram extraídos ao longo do eixo

119

vertical na região da esteira, Fig. 6.17, em três secções distintas. O déficit de velocidade na

secção I (x/D = 0, 50) da esteira é bastante similar para todos os modelos. Na posição central da

bolha de recirculação (y/D = 0, 0) a componente horizontal da velocidade é aproximadamente

zero. Nesta secção a esteira já é menor que o diâmetro do cilindro e a recuperação do perfil

de velocidade unitário ocorre próximo a y/D = 0, 50. A natureza dissipativa do modelo S-A é

evidenciada observando as secções II (x/D = 0, 75) e III (x/D = 3, 0), onde o déficit no perfil de

velocidade é bem menor com LES que com URANS e DES.

Figura 6.17 - Perfils médios da componente u da velocidade sobre a esteira : secção I emx/D = 0, 50, secção II em x/D = 0, 75 e secção III em x/D = 3, 0.

A evolução temporal, nos instantes iniciais do escoamento sobre o cilindro, pode ser

acompanhada na Fig. 6.18. Inicialmente no instante tU/D = 5 tem-se o desenvolvimento de uma

bolha de recirculação estacionária de comprimento aproximadamente igual a 1, 5D. As diferenças

entre as modelagens da turbulência começam a aparecer a partir do tempo tU/D = 10.

A transição para o regime instável ocorre mais rápido com o modelo S-A. No segundo

quadro das Fig. 6.18(b) e 6.18(c) a bolha de recirculação atrás do cilindro já está bastante alon-

gada e começa a se desestabilizar, dando início ao desprendimento de vórtices coerentes já a

partir de tU/D = 15. A transição para o regime instável é bem mais demorada para a simulação

LES, Fig. 6.18(a). No segundo quadro tU/D = 10, a bolha de recirculação permanece ainda

120

bastante estável e continua crescendo até o instante tU/D = 15, quando alcança um compri-

mento de 3, 0D. Em tU/D = 25 já se observa uma assimetria na bolha de recirculação, com o

desprendimento de vórtices ocorrendo para tU/D = 35. Somente em tU/D = 50 observa-se o

estabelecimento de um padrão coerente de formação de vórtices.

Do início deste capítulo até o momento, foi realizado um breve estudo comparativo entre

as diferentes metodologias de modelagem da turbulência implementadas com o método IB/VPM.

Os resultados foram comparados com dados numéricos e experimentais de outros autores dis-

poníveis na literatura. Os principais parâmetros que caracterizam o escoamento sobre o cilindro

como, número de Strouhal, coeficiente de arrasto e distribuição de pressão foram preditos com

boa precisão até a crise do arrasto. As simulações no regime supercrítico apresentaram resulta-

dos imprecisos, entretanto, acredita-se que simulações 2D sem modelos específicos para mode-

lagem da camada limite são incapazes de fornecer resultados realísticos. Como foi mostrado, a

determinação do ponto de separação do escoamento é uma difícil tarefa, devido a fina espessura

da camada limite. Deve-se enfatizar que os resultados obtidos para o ponto de separação são

somente qualitativos e apenas fornecem uma estimativa da localização.

O principal objetivo desta parte do trabalho foi mostrar que o método IB/VPM é apropriado

para a simulação de escoamentos a altos números de Reynolds. A palavra ‘apropriado’ é usada

no sentido de que nenhuma dificuldade de implementação foi introduzida pelo uso de fronteira

imersa. Portanto, como se tentou deixar claro ao longo do texto, os problemas verificados são

os mesmos acometidos pelas metodologias tradicionais. Neste sentido, nenhuma contribuição é

feita. Nos resultados apresentados teve-se como foco a extensão e validação do método para

altos Reynolds, desenvolvimento natural do trabalho de Lima e Silva et al. (2003). Cabe aqui res-

saltar que não se pretende usar o método IB/VPM para competir com as metodologias clássicas

em problemas estacionários. Para estes problemas os métodos clássicos apresentam implemen-

tações superiores ou mesmo que ainda não foram testadas no âmbito de fronteira imersa como,

malha adaptativa, leis de parede e esquemas de alta ordem. De maneira geral, os resultados

das simulações mostraram uma boa acuracidade, considerando que foi utilizado um código 2D.

Os resultados são promissores, o que estimulou o estudo de problemas envolvendo geometrias

móveis, como será apresentado a seguir.

121

Figura 6.18 - Instantes iniciais das simulações para: (a) LES (b) DES e (c) URANS.

122

6.2 Escoamentos sobre aerofólios

Com o objetivo de avaliar a metodologia IB/VPM para problemas de aeronáutica, foram

realizadas simulações de escoamentos com um perfil NACA 0012. Estas simulações foram reali-

zadas utilizando o modelo de turbulência de Spalart-Allmaras, modo URANS. O domínio de cál-

culo utilizado nas simulações tem um comprimento de 10c por uma altura de 8c, onde c é a corda

do aerofólio. Essas dimensões foram escolhidas de modo a minimizar os efeitos do contorno no

desenvolvimento do escoamento. Um estudo de refinamento de malha também foi realizado para

verificar a independência dos resultados e a partir daí foi definida a malha utilizada. Todas as

simulações foram realizadas em uma malha não-uniforme com 278× 198 pontos distribuídos em

três regiões distintas para cada direção, como pode ser visualizado na Fig. 6.19.

Figura 6.19 - Malha computacional utilizada nas simulações.

Na direção x a primeira seção tem 50 pontos e se estende até a posição 2, 7c. A última

seção tem 5, 8c de comprimento com 120 pontos. Na direção y as duas regiões de malha não-

uniforme são idênticas e de comprimento 3, 83c, discretizado com 84 pontos em cada seção. O

aerofólio foi posicionado dentro de uma caixa retangular de malha uniforme, de dimensões 1, 5c

123

de comprimento por 0, 36c de altura, ver Fig. 6.20.

Figura 6.20 - Esquema do dimínio de cálculo e posição do aerofólio.

O aerofólio foi posicionado a 3, 3c da fronteira esquerda e centrado verticalmente em 4c.

Um perfil de velocidade uniforme u = U∞ é imposto na entrada do domínio, de maneira que o

escoamento ocorra da esquerda para a direita (Fig. 6.20). Condições de contorno de Neumann

foram impostas para a velocidade em todas as outras faces do domínio. Para a correção de

pressão, foi imposta derivada nula na entrada do domínio e zero nas demais faces.

Deve se destacar que mesmo com a movimentação do aerofólio, a malha euleriana per-

manece fixa e inalterada. Somente a malha lagrangiana é transportada dinamicamente, variando

o ângulo de ataque em função do tempo. A variação do ângulo de ataque em função do tempo

para a movimentação oscilatória harmônica em torno de um eixo posicionado no quarto de corda

do aerofólio é dado pela seguinte equação:

α (t) = α+∆α sin (Ω t) , (6.3)

onde α é o ângulo de ataque médio e ∆α é a amplitude de oscilação do movimento de arfagem.

124

A velocidade angular do movimento é dada por Ω = 2π f e a freqüência de oscilação é represen-

tada pela variável f . Usualmente f é escrita em termos da freqüência reduzida κ, definida como

:

κ =π f c

U∞. (6.4)

Com o objetivo de avaliar a acuracidade da metodologia IB/VPM, diversos casos foram

simulados para escoamentos em torno de um perfil de aerofólio NACA 0012 móvel. As simula-

ções estão aqui divididas nas seguintes seções: aerofólio estacionário, movimento harmônico

de arfagem a baixas e altas freqüências reduzidas. Os resultados proporcionam informações

quantitativas e qualitativas sobre o escoamento, as quais são usadas para validar o método para

escoamento em torno de aerofólios móveis a baixos números de Reynolds.

6.2.1 Aerofólio estacionário

Antes de se prosseguir com as simulações para aerofólios móveis, foram realizadas si-

mulações para o aerofólio estático para diferentes ângulos de ataque na faixa de 0o ≤ α ≤ 24o,para número de Reynolds ReD = 104. Os resultados médios para os coeficientes de força de sus-

tentação e arrasto obtidos com o método IB/VPM em função do ângulo de ataque são mostrados

na Fig. 6.21.

Figura 6.21 - Coeficientes de (a) sustentação e (b) arrasto em função do ângulo de ataque paraum aerofólio estático a ReD = 10

4 ; —o—o— presente trabalho, —o—o— Akbari e Prince (2003)e - - - - XFOIL (Drela, 1989).

125

Para o caso simulado não foi encontrada na literatura nenhuma referência experimen-

tal, uma vez que resultados de ensaios experimentais para números de Reynolds relativamente

baixos são bastante raros. Felizmente nos últimos anos, devido principalmente ao advento de

novas tecnologias e possibilidade prática de aplicação, tem-se retomando o interesse por este

tipo de escoamentos. Um exemplo disto é o projeto de pesquisa LSATs (Low-Speed Airfoil Tests)

da Universidade de Illinois (UIUC, 2005) iniciado em 1993, que é uma tentativa de organizar e

disponibilizar dados experimentais para aerofólios a baixos números de Reynolds. Na falta de

resultados experimentais são apresentados na Fig. 6.21, para fim de comparação, resultados

numéricos de Akbari e Prince (2003) e também resultados obtidos com o XFOIL (Drela, 1989)

um código de domínio público (GNU) para projeto e análise de aerofólios.

Para o coeficiente de sustentação, Fig. 6.21(a), foi verificado um bom ajuste com resulta-

dos de Akbari e Prince (2003) até o ângulo de ataque α ≈ 10o. A partir deste ponto os resultados

do coeficiente de sustentação se distanciam, sendo menores que os de Akbari e Prince (2003).

O coeficiente de sustentação máximo obtido no presente trabalho foi de CL max = 0, 53 contra

CL max = 0, 77 obtido pelos outros autores. Os ângulos de estolagem ficaram bastante próximos,

α ≈ 16o com a metodologia IB/VPM e α ≈ 15o no trabalho usado como referência. Os resultados

da simulação realizados com o XFOIL também são apresentados. Um bom ajuste é conseguido

até a posição próxima ao ângulo de estolagem. Na Figura 6.21(b) são mostrados resultados para

o coeficiente de arrasto. Uma tendência de aumento do arrasto para maiores ângulos de incidên-

cia é verificada em todas as simulações. O comportamento do CD obtido no presente trabalho

é semelhante aos resultados fornecidos pelo XFOIL, enquanto que as simulações de Akbari e

Prince (2003) apresentaram um coeficiente de arrasto bastante pequeno do início até α ≈ 8o,

seguido por um considerável aumento do arrasto para maiores ângulos de ataque.

De forma geral, os resultados obtidos no presente trabalho para situações estáticas apre-

sentaram comportamentos bastante semelhantes aos resultados de Akbari e Prince (2003), po-

rém, em relação à magnitude obteve-se uma pobre concordância. Cabe aqui destacar que os

resultados do XFOIL devem ser usados com cautela, principalmente em ângulos de ataque ele-

vados. Entretanto para baixos ângulos de ataque o código é bastante preciso em relação a re-

sultados experimentais, como pode ser verificado em muitos casos na literatura, e portanto pode

ser considerado uma boa ferramenta para estudos iniciais. Uma comparação com dados expe-

rimentais seria, sem dúvida, o ideal para avaliar a acuracidade do método IB/VPM. Frente à

impossibilidade de obtenção dos mesmos, dá-se por satisfeito uma vez que o comportamento

126

(tendência e ângulo de estol) obtidos foi bastante semelhante quando comparado com dados da

literatura.

6.2.2 Aerofólio móvel – oscilação harmônica

Um resumo dos casos simulados para aerofólios oscilantes é apresentado na Tab. 6.5.

Os experimentos foram planejados de maneira a avaliar os efeitos do número de Reynolds e da

freqüência reduzida no escoamento.

Tabela 6.5 - Casos simulados para aerofólios em movimento oscilatório de arfagem.

Caso κ α ∆α RecO1 0.25 15o 10o 1× 103O2 0.25 15o 10o 5× 103O3 0.25 15o 10o 1× 104O4 0.15 15o 10o 1× 104O5 0.50 15o 10o 1× 104

Figura 6.22 - Evolução temporal do coeficiente de (a) sustentação e (b) arrasto durante seisciclos oscilatórios ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50.

O tempo de simulação variou de acordo com a freqüência de oscilação. Foi estabelecido

que o aerofólio executasse 6 ciclos oscilatórios completos de arfagem durante cada simulação.

Na Fig. 6.22 é mostrada a evolução temporal dos coeficientes de força aerodinâmica para o caso

127

O5. A tonalidade das linhas variam com a escala de tempo.

Os ciclos consecutivos são bastante semelhantes, exceto para o primeiro ciclo que apre-

senta um comportamento ligeiramente diferente, tendo influência do resultado em regime perma-

nente para α = 5o, usado como condição inicial na simulação. Para a apresentação dos próximos

resultados sobre o aerofólio oscilante foi realizada uma média entre os três últimos ciclos de os-

cilação, o que eliminou o efeito da condição inicial nos resultados.

Efeito da freqüência reduzida

Na Fig. 6.23 são mostrados os coeficientes de sustentação e arrasto para simulações a

Reynolds Rec = 104, um ângulo médio de incidência igual a α = 15o, uma amplitude de oscilação

de ∆α = 10o e com o movimento oscilatório sendo executado no quarto de corda do aerofólio

(x/c = 0, 25). Foram simuladas três diferentes freqüências reduzidas: Fig. 6.23(a) caso O4 com

κ = 0, 15, Fig. 6.23(b) caso O3 com κ = 0, 25 e Fig. 6.23(c) caso O5 com κ = 0, 50. O movimento

oscilatório imposto provoca uma histerese nos coeficientes de força, ou seja, as forças aerodinâ-

micas possuem magnitudes diferentes, dependendo se o aerofólio está em movimento de subida

(cabrar ) ou descida (picar ). Este comportamento é atribuído às diferenças existentes entre os

escoamentos que ocorrem sobre o aerofólio, já que a sua movimentação afeta significativamente

a dinâmica de formação e desprendimento dos vórtices e, principalmente, o descolamento e re-

colamento da camada limite. Note que o efeito de histerese é observado em todas as simulações

da Fig. 6.23, independente da freqüência reduzida. Entretanto, o comportamento é fortemente

dependente da magnitude de κ. Nas Fig. 6.23(a) e Fig. 6.23(b) observando o coeficiente de sus-

tentação, verifica-se que a histerese ocorre porque a força de sustentação durante o movimento

ascendente do aerofólio é maior do que durante o movimento descendente, provocando um ciclo

de histerese no sentido horário. Já para freqüência reduzida k = 0, 50, Fig. 6.23(c), o ciclo de

histerese ocorre no sentido anti-horário com a força de sustentação maior durante o decréscimo

do ângulo de ataque. Sendo assim, os eventos que levam ao surgimento da histerese na força

são essencialmente diferentes e dependem da freqüência reduzida, como será mostrado mais

adiante.

Outro efeito que está fortemente relacionado à freqüência reduzida é o atraso ou total

supressão do estol durante o movimento de subida, como se pode observar na Fig. 6.23. O

estol foi atrasado, em relação à situação estática que ocorre em α ≈ 15o, para α ≈ 21o, isso

para a menor das freqüências reduzidas simuladas que foi κ = 0, 15, caso O4. Para as maiores

128

freqüências reduzidas, caso O3, κ = 0, 25 o estol ocorre bem próximo do ângulo máximo de

incidência, α = 25o, já para o caso O5, κ = 0, 50, não ocorre descolamento durante o movimento

de subida e, em conseqüência, o estol é totalmente inibido. Pode-se então concluir que com

aumento da freqüência reduzida o estol é postergado para maiores valores do ângulo de ataque

α. Aumentando ainda mais a freqüência reduzida κ, suprime-se completamente o estol durante

a subida.

Figura 6.23 - Histerese nos coeficientes de sustentação e arrasto para aerofólios em movimentooscilatório ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e freqüências reduzidas : (a) κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e(c) κ = 0, 50.

Como se pode verificar, para um aerofólio oscilando em grandes amplitudes, acima do

seu ângulo de ataque estático, apresenta uma grande histerese nos coeficientes aerodinâmi-

cos durante os ciclos. Conseqüência do aumento da complexidade dos eventos transientes na

camada limite, o principal e mais influente dos eventos é, sem duvida, o crescimento e des-

prendimento do vórtice de bordo de ataque (comumente conhecido na literatura como LEV do

inglês Leading-Edge Vortex). A freqüência reduzida tem grande influência sobre o transiente da

camada limite e conseqüentemente afeta o tempo dos eventos que provocam o estol dinâmico,

provocando diferenças nos ciclos de histerese. Uma análise detalhada dos principais eventos

do escoamento que afetam o comportamento da força de sustentação para cada freqüência re-

duzida é apresentada nas Fig. 6.24, 6.25 e 6.26. Foram escolhidos pontos representativos dos

129

principais eventos do escoamento. Nas figuras é também apresentada a visualização do escoa-

mento por linhas de corrente do respectivo ponto, para o ultimo ciclo oscilatório. Pode-se assim,

identificar e associar o efeito da estrutura característica do escoamento sobre o comportamento

da força de sustentação.

Figura 6.24 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação e linhasde corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 15.

Na Fig. 6.24 estão representados os principais eventos durante o ciclo de histerese para

130

a força de sustentação relativos a freqüência reduzida κ = 0, 15, caso O4. Inicia-se um novo

ciclo a partir da posição de αmin = 5o, ponto A, neste instante o escoamento está totalmente

colado ao aerofólio. O coeficiente de sustentação aumenta com o aumento do ângulo de incidên-

cia, alcançando o ponto B, superando o ponto de estolagem estática. Já é possível visualizar a

formação de uma bolha junto ao bordo de fuga do aerofólio, indicando o aparecimento de es-

coamento reverso no extradorso do aerofólio. No ponto C, o coeficiente de sustentação alcança

o valor máximo e o escoamento reverso já está sobre quase toda a superfície do aerofólio. Em

seguida ocorre o estol em α ≈ 21o. No ponto D o coeficiente de sustentação alcança o menor

valor durante o movimento de subida. O escoamento já está totalmente descolado e inicia-se o

crescimento de um novo LEV que provoca um aumento súbito da sustentação no final do mo-

vimento de subida, ponto E. O LEV é transportado em direção ao bordo de fuga, causando

redução do coeficiente de sustentação, trecho E − F . Como durante o movimento de descida o

escoamento já está descolado o coeficiente de sustentação é menor do que durante a subida,

apresentando o efeito de histerese. As oscilações de grande amplitude, durante o movimento de

descida, são devidos a formação e desprendimento dos LEV. Finalmente ao final do ciclo, ponto

H, o escoamento volta a recolar junto a parte superior do aerofólio.

Os eventos para a simulação na freqüência reduzida κ = 0, 25 estão representados no

diagrama da Fig. 6.25. Observa-se que existem diferenças relevantes entre o ciclo de histerese

com respeito a freqüência κ = 0, 15, as quais estão associadas às diferenças entre o tempo de

formação das estruturas e seu deslocamento sobre o aerofólio. O estol ocorre agora próximo ao

ângulo de incidência máximo α ≈ 25o, ponto D, onde o coeficiente de sustentação alcança tam-

bém o máximo valor. O completo descolamento do escoamento é postergado para o ponto E, já

durante o movimento de descida, cabe aqui resaltar que o crescimento do primeiro LEV come-

çou ainda durante o movimento de subida (ponto D). As oscilações no coeficiente de sustentação

indicam a formação e desprendimento de pelo menos 3 LEV durante decréscimo do ângulo de

ataque e pelo menos 5 LEV verificados durante o movimento descentende para a simulação O4

(Fig. 6.24). O segundo LEV é bem visualizado pelas linhas de corrente, ponto G. O recolamento

ocorre no ponto H para ângulo de ataque α ≈ 7o.

131

Figura 6.25 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação e linhasde corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 25.

O ciclo de histerese obtido na simulação para o caso O5 apresenta diferenças consi-

deráveis com relação às outras simulações. Como já foi observado anteriormente os ciclos de

histerese ocorreram no sentido anti-horário. Como se sabe a formação do vórtice no bordo de

ataque é o principal responsável pelo aumento no coeficiente de sustentação, devido à sucção

que ele induz na superfície superior do aerofólio. Note que esta freqüência de oscilação do ae-

132

rofólio é bastante elevada e acaba por inibir a formação de vórtices durante o movimento de

subida do aerofólio e a formação do primeiro vórtice ocorre somente no final da subida (ponto D)

de forma bem incipiente.

Figura 6.26 - Eventos característicos do estol dinâmico no coeficiente de sustentação e linhasde corrente ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50.

No ponto E, o LEV já se encontra desenvolvido quando então começa a ser advectado

ao longo do aerofólio, provocando aumento na força de sustentação durante a movimentação de

descida. O descolamento total do escoamento ocorre no ponto G, já com o ângulo de ataque em

α ≈ 15o. Como a movimentação do aerofólio é bastante rápida, não ocorre o desenvolvimento de

133

nenhum outro LEV e todo ciclo de oscilação é completado com o desprendimento de apenas um

vórtice. Observe que não há tempo para o escoamento se recuperar do descolamento. Como se

pode ver, as linhas de corrente próximas ao bordo de ataque, ponto H, não estão alinhadas com

a superfície do aerofólio, apresentando instabilidades que caracterizam a presença de estruturas

no escoamento. O coeficiente de sustentação alcança valores negativos para valores bem próxi-

mos do ângulo de ataque mínimo αmin = 5o, ainda durante o movimento de descida. Como não

ocorre o recolamento, o aumento do coeficiente de sustentação, do ponto H para A, se deve ao

início do movimento de subida do próximo ciclo.

Gráficos do desenvolvimento do campo de vorticidade para o escoamento em torno do

aerofólio, em vários ângulos de ataque são mostrados para os casos até agora analisados: caso

O4 na Fig. 6.27, caso O3 Fig. 6.28 e, finalmente o caso O5 é mostrado na Fig. 6.29. Todos

os campos foram obtidos durante o último ciclo de oscilação. Foi utilizada a mesma escala de

valores em todos os gráficos (−50 ≤ ωz ≤ 50). As áreas claras representam valores negativos

e as escuras valores positivos da vorticidade. Os 15 instantes foram escolhidos de acordo com

o ângulo de incidência, diferente das figuras anteriores onde a escolha dos pontos priorizavam

os eventos mais relevantes do escoamento. Com isto, nesta seqüência de figuras pretende-se

evidenciar o desenvolvimento temporal do escoamento sobre o aerofólio. Avalia-se, assim, a

influência da freqüência reduzida no efeito de atraso de tempo (time-lag) das estruturas.

O escoamento permanece junto ao aerofólio durante grande parte do movimento de su-

bida superando o ângulo de descolamento estático, Fig. 6.27(a-e). Na seqüência, Fig. 6.27(f-h),

já é possível observar o crescimento e transporte do primeiro LEV no extradorso do aerofólio,

sendo que em (h) o escoamento já está completamente descolado. Foi identificado anterior-

mente na Fig. 6.24, ponto E, que próximo do ângulo de ataque máximo temos um overshot do

coeficiente de sustentação. Observe que este evento coincide com a formação de um grande

e energizado vórtice no bordo de fuga do aerofólio (do inglês Trainling-Edge Vortex, TEV), Fig.

6.27(h). O LEV que se desprendeu colide com o TEV arrastando quantidade de movimento para

o extradorso do aerofólio, o que provoca o aumento repentino do coeficiente de sustentação,

mesmo com o escoamento completamente descolado. Durante toda a descida, Fig. 6.27(i-n), o

escoamento encontra-se completamente separado, apresentando a formação e desprendimento

de vários LEV, bastante energizados, que se estendem do bordo de ataque até aproximadamente

um quarto de corda aerofólio. O escoamento volta a se recolar completamente à superfície do

aerofólio na Fig. 6.27(o), já no final do ciclo.

134

Figura 6.27 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fases du-rante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 15.

135

Figura 6.28 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fases du-rante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 25.

136

Para a freqüência de κ = 0, 25, o primeiro indício da formação do LEV é adiado para o

instante mostrado no quadro (g) da Fig. 6.28, com o descolamento completo ocorrendo em Fig.

6.28(i). Para a caso anterior, freqüência reduzida κ = 0, 15, o completo descolamento ocorreu

para α = 25o, Fig. 6.27(h). Eventos bastante semelhantes à simulação anterior ocorrem também

para este caso, como por exemplo, a colisão de vórtices, efeito este bem evidenciado na Fig.

6.28(i), que precede a primeira forte oscilação na força de sustentação durante o movimento de

descida. O escoamento segue semelhante à situação anterior, porém com o desprendimento de

uma quantidade menor de LEV. Ressalta-se aqui as principais diferenças entre as duas simu-

lações, o que leva a diferentes ciclos de histerese na força de sustentação. Tem-se a posição

(ângulo de incidência do aerofólio) em que as estruturas são formadas e o número de estrutu-

ras desprendidas durante o ciclo. Também para este caso, na Fig. 6.28(o), o escoamento já se

apresenta completamente recolado à superfície do aerofólio.

Finalmente na Fig. 6.29, são mostrados os instantes da simulação para a freqüência

κ = 0, 50. Inicia-se o movimento de subida ao final do último ciclo oscilatório, Fig. 6.29(a), e o es-

coamento ainda não se recuperou do descolamento ocorrido durante o ciclo anterior. Progressi-

vamente, à medida que se aumenta o ângulo de incidência, o escoamento volta a se recolar junto

à superfície do aerofólio. Como a movimentação já é bastante rápida, o recolamento deve-se mais

ao próprio movimento de subida do aerofólio que força o recolamento do que a recuperação do

escoamento. Observe que ao chegar em α = 10, 7o, Fig. 6.29(c), o comprimento de recolamento

alcança a posição média do aerofólio. O escoamento está completamente recolado ao aerofólio

somente no instante da Fig. 6.29(f), para um ângulo de ataque bastante elevado, α = 19, 3o. De

forma ainda bastante incipiente, no final do movimento de subida, Fig. 6.29(h), identifica-se a

formação do primeiro LEV. Na Fig. 6.29(i) é possível identificá-lo com uma melhor definição, pois

o LEV já está bastante coerente, alcançando já a posição média da corda do aerofólio. Nesta

freqüência de oscilação tem-se tempo para o desprendimento de apenas um grande LEV que

ocorre na seqüência, Fig. 6.29(j-l) o vórtice está sendo advectado pelo escoamento sobre o ex-

tradorso do aerofólio, provocando o aumento do coeficiente de sustentação. Observe que nos

instantes de (k-n) da Fig. 6.29, existe o desprendimento de pequenos vórtices seqüenciados,

conhecidos como instabilidades de Kelvin-Helmholtz, que se formam no escoamento separado

a partir do bordo de ataque. Como estas estruturas não interagem com a superfície do aerofólio

elas não provocam oscilações nas forças aerodinâmicas.

137

Figura 6.29 - Campos de vorticidade instantâneos (−50 ≤ ωz ≤ 50) para diferentes fases du-rante o último ciclo de oscilação ; Rec = 104, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 50.

138

Observe que ao final do ciclo, Fig. 6.29(o), o escoamento ainda permanece quase total-

mente separado. Observe ainda que, para esta simulação o coeficiente de sustentação alcança

valores negativos ao final do ciclo (Fig. 6.26, ponto H), porque o escoamento separado em baixos

ângulos de ataque induz um aumento da pressão na parte superior do aerofólio. Como não há

recolamento não se tem recuperação do coeficiente de sustentação ao final do ciclo, permane-

cendo assim com valores negativos.

Comparações com resultados numéricos (Fig. 6.30) e experimentais (Fig. 6.31) de outros

autores são mostradas a seguir. Os resultados numéricos foram obtidos por Akbari e Prince

(2003), que utilizaram formulação vorticidade-função corrente para resolver as equações de

Navier-Stokes para um escoamento incompressível. A malha computacional é fixa ao corpo

imerso e se move juntamente com o aerofólio à medida em que ele oscila no tempo. Para efeito

de comparação com os resultados dos autores são apresentados o coeficientes normal (CN ) e o

de arrasto (CD).

Figura 6.30 - Comparação do ciclo de histerese nos coeficientes normal e de arrasto paraRec = 104 : —– presente trabalho e – – – resultados numéricos de Akbari e Prince (2003) ;(a) κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e (c) κ = 0, 50.

O caso O4, para uma freqüência reduzida κ = 0, 15, é apresentado na Fig. 6.30(a). Para

esta simulação os resultados obtidos foram bastante similares em comportamento e magnitude.

139

Durante o movimento ascendente do aerofólio é observado um desvio sistemático da ordem de

5% com relação aos resultados da referência (Akbari e Prince, 2003). Observe que o estol é

previsto na mesma posição para ambas as simulações. De forma geral os eventos são bastante

similares, inclusive o overshot do coeficiente normal que ocorre próximo ao ângulo máximo de

incidência. O número de oscilações de grande amplitude, devido ao desprendimento de grandes

LEV, ao longo do ciclo de histerese, é o mesmo. Somente ao final do movimento de descida

que se observa diferença na posição onde os dois últimos vórtices se desprendem. No pre-

sente trabalho os vórtices se desprendem próximo a α = 15o e a α = 10o contra α = 12o e

α = 7, 5o nos resultados obtidos pelos autores. A histerese verificada por Akbari e Prince (2003)

é bem maior do que a observada em nossas simulações. Durante todo o movimento de descida

o coeficiente normal calculado no presente trabalho apresentou valores aproximadamente 20%

maiores. Também para o coeficiente de arrasto as diferenças são bastante significativas, sendo

o valor calculado sempre superior aos resultados da referência. Próximo ao ângulo de ataque

α ≈ 16o ocorre uma inversão no ciclo, ou seja, nesta posição a força de arrasto calculada durante

o movimento descendente passa a superar os valores calculados durante o movimento ascen-

dente. Evento semelhante foi observado no resultado usado como referência, porém com menor

intensidade de modo que os resultados do arrasto durante a subida passaram a coincidir com os

valores calculados durante a descida.

Na Fig. 6.30(b), para o caso O3 com freqüência reduzida κ = 0, 25, observou-se também

um comportamento bastante semelhante. As maiores diferenças também ocorrem ao final do

movimento descendente. Os resultados se assemelham em magnitude durante grande parte da

subida, mas a diferença se acentua a partir do ângulo de ataque α ≈ 20o. O aumento do coefi-

ciente normal induzido pelo LEV é maior em nossa simulação, chegando a um valor de CN = 2, 1

contra um CN = 1, 6 da referência. Comparações para o caso O5 são mostradas na Fig. 6.30(c).

De todas as simulações realizadas, as maiores diferenças foram observadas para esta freqüên-

cia. A característica mais marcante para esta freqüência reduzida é sem dúvida a inversão do

ciclo de histerese, que passa a ocorrer no sentido anti-horário. Segundo as simulações de Akbari

e Prince (2003), a evolução do coeficiente normal com o aumento do ângulo de ataque segue no

sentido horário, não tendo sido observada nenhuma inversão com relação as simulações para

a freqüências reduzidas mais baixas. Comparando os resultados para esta freqüência reduzida,

κ = 0, 50, observa-se que as simulações não guardam nenhum tipo de semelhança no com-

portamento, tanto para a força normal quanto para o arrasto. Além disso, os valores também

140

apresentam grande diferença em magnitude.

Não é uma tarefa fácil encontrar resultados experimentais de aerofólios móveis a baixos

números de Reynolds, como pode ser constatado no artigo de Ekaterinaris e Platzer (1997).

No passado, a maioria dos escoamentos sobre aerofólios, em que se estudava o fenômeno de

estol dinâmico e se tinha realmente algum interesse prático, eram destinados a aplicações em

aeronáutica e ocorriam na faixa de 0, 5× 106 ≤ ReD ≤ 4, 0× 106. Talvez por esta razão a maioria

dos dados experimentais disponíveis na literatura cobrem esta faixa do número de Reynolds.

Como já foi comentado, mais recentemente devido à possibilidade de aplicações práticas em

outras áreas, surgiu o interesse em se estudar aerofólios em movimento de arfagem para baixos

Reynolds (Rec ≤ 105).Resultados experimentais obtidos por Panda e Zaman (1994) são apresentados na Fig.

6.31. Os autores ressaltam a dificuldade na medição direta das forças aerodinâmicas ou do

campo de pressão estática, principalmente em regime transiente e para baixas velocidades.

Como alternativa é proposta a determinação indireta da força de sustentação através da análise

do campo de vorticidade na esteira. Uma comparação qualitativa foi realizada com resultados da

literatura para Reynolds mais elevados, apresentando uma boa concordância. Os experimentos

de Panda e Zaman (1994) foram realizados para baixos números de Reynolds Rec = 2, 2 × 104

e 4, 4× 104, tendo sido a única referência experimental encontrada próxima a faixa de Reynolds

simulado no presente trabalho (Rec = 104). Por isso, a comparação com estes resultados é apre-

sentada.

Figura 6.31 - Comparação do ciclo de histerese para o coeficientes de sustentação. —– pre-sente trabalho (Rec = 104) (a) κ = 0, 15 (b) κ = 0, 25 e (c) κ = 0, 50.e –o–o– experimental dePanda e Zaman (1994) (Rec = 4, 4× 104): (a) κ = 0, 16 (b) κ = 0, 20 e (c) κ = 0, 40.

Os resultados do presente trabalho, já apresentados anteriormente na Fig. 6.23 para as

141

simulações O4, O3 e O5, são comparados com o resultados de Panda e Zaman (1994) para as

freqüências reduzidas κ = 0, 16, κ = 0, 20 e κ = 0, 40. Ressalta-se aqui o caráter apenas qualita-

tivo da comparação, devido as diferenças no número de Reynolds e nas freqüências reduzidas.

Mesmo assim é possível observar semelhanças no comportamento dos ciclos de histerese na

força de sustentação.

O fato mais relevante é observado na Fig. 6.31(c) onde os autores observaram um se-

gundo loop de sentido anti-horário para os ângulos de incidência mais elevados. Os resultados

de Akbari e Prince (2003) apresentados anteriormente na Fig. 6.30 para a freqüência reduzida

κ = 0, 50, não apresentaram este comportamento, sendo esta a diferença mais relevante com

relação aos resultados do presente trabalho. Entretanto, evidências experimentais de Panda e

Zaman (1994) mostram que, já para a freqüência reduzida κ = 0, 40, verifica-se uma inversão do

ciclo de histerese com relação aos resultados para as menores freqüências reduzidas. Ainda em

consonância com o presente trabalho, nos experimentos também foram observadas oscilações

da força de sustentação durante o movimento de descida. Os autores acreditam que estas os-

cilações são físicas e as atribuem ao desprendimento e transporte de sucessivos vórtices após

o desprendimento do chamado DSV1 (Dynamic Stall Vórtice). Outra semelhança é o pequeno

loop anti-horário com recuperação da força de sustentação que ocorre próximo ao ângulo de

ataque máximo α = 25o, presente na Fig. 6.31(a), no final do movimento de subida devido ao

desprendimento de um TEV.

Distribuição de pressão na superfície

Ao longo de uma oscilação do aerofólio a dinâmica do escoamento e o comportamento da

camada limite afetam significativamente a distribuição de pressão na superfície do aerofólio. Na

Fig. 6.32 é mostrada a evolução temporal do coeficiente de pressão para o último ciclo oscilatório

da simulação O3. As curvas em cinza correspondem ao inicio e final dos movimentos de subida e

de descida e estão destacadas na parte inferior da Fig. 6.32. O comportamento cíclico é bastante

evidente nas curvas de distribuição de pressão em torno do aerofólio. À medida que o tempo

aumenta durante o movimento de subida, tem-se o aumento da área entre as curvas de pressão,

que está diretamente relacionada ao aumento da força de sustentação. No início do movimento

de descida observa-se grande alteração do campo de pressão junto ao bordo de fuga devido à

1 no presente trabalho preferiu-se convencionar a nomenclatura LEV. O termo DSV seria então interpretado comosendo o primeiro LEV que se desprende provocando o estol.

142

formação e desprendimento de um TEV. Ao final da descida a distribuição de pressão volta a

apresentar uma distribuição típica, ou seja, sem a influência de eventos que caracterizam o estol

dinâmico.

Figura 6.32 - Evolução temporal do coeficiente de pressão durante o último ciclo de oscilação aRec = 10

4 e κ = 0, 25.

Efeito do número de Reynolds

Sabe-se que efeitos de compressibilidade passam a ser relevantes na maioria das situa-

ções experimentais para altos Reynolds e o como no presente trabalho utiliza-se uma formulação

para escoamentos incompressíveis, não se espera que o código numérico forneça resultados

confiáveis para situações experimentais a número de Reynolds muito acima de 104 disponíveis

na literatura. Além disto, existe o fato de que o método de fronteira imersa ainda não é uma me-

todologia fechada para problemas a altos Reynolds, como observado por Moin (2002), podendo

assim introduzir efeitos numéricos indesejáveis nos resultados.

A fim de avaliar a influência do número de Reynolds nos ciclos de histerese, algumas

simulações foram realizadas. Os casos O1 para Rec = 103, O2 para Rec = 5 × 103 e O3 para

Rec = 104, descritos na Tab. 6.5, são apresentados nas Fig. 6.33(a-c), respectivamente. Com-

143

parando os resultados das simulações, não se observam diferenças significativas entre os casos

simulados. Nesta faixa, o número de Reynolds não se mostrou muito influente como a freqüência

reduzida. As magnitudes dos valores das forças aerodinâmicas são bastante semelhantes para

as simulações O2 e O3. A maior diferença foi observada para o caso O1, que apresentou valores

um pouco menores para as forças aerodinâmicas, com um coeficiente de sustentação máximo

CL ≈ 1, 5 contra CL ≈ 1, 9 para os casos O2 e O3. Mesmo os eventos que caracterizam o ciclo

de histerese não sofreram muita influência da alteração do número de Reynolds. Os resultados

apontam o mesmo número de oscilações durante o movimento descendente. A localização das

oscilações é praticamente a mesma, o que indica que não houve alterações na dinâmica de

desprendimento de vórtices.

Figura 6.33 - Efeito do número de Reynolds na histerese dos coeficiente de sustentação e ar-rasto para aerofólios em movimento oscilatório ; κ = 0, 25, α = 15o, ∆α = 10o e números deReynolds: (a) Rec = 103, (b) Rec = 5× 103 e (c) Rec = 104.

Apesar dos resultados obtidos serem bastante semelhantes, pode-se entretanto, identi-

ficar pequenas influências da variação do número de Reynolds nos resultados. As oscilações

que ocorrem durante o movimento de descida possuem uma maior amplitude para menores Rec,

como se pode observar na Fig. 6.33(a). De fato, o escoamento é mais organizado para menores

números de Reynolds e isto permite a formação de vórtices mais coerentes. Observou-se tam-

bém o aumento da histerese com o aumento do número de Reynolds. Outro fato interessante

144

observado foi o aparecimento de oscilações de pequena amplitude nos coeficientes de força ae-

rodinâmica. Observe que na Fig. 6.33(a), para Rec = 103, a curva é suave durante o movimento

de subida, já com o aumento do número de Reynolds, Fig. 6.33(b) e Fig. 6.33(c), observa-se o

aparecimento de pequenas oscilações. A principio, não se sabe se são de origem física ou devido

a oscilações numéricas introduzidas pelo método.

Visualização do escoamento

É apresentada na Fig. 6.34 uma seqüência de imagens em várias fases do ciclo osci-

latório, no experimento realizado por Panda e Zaman (1994). Para κ = 0, 20 e Rec = 4, 4 × 104,foi utilizada a técnica de injeção de fumaça para visualização do escoamento fotografado com

uma câmera de 35mm. O escoamento ocorre da esquerda para a direita e os quadros de (a)

a (f) mostram fases do movimento de subida e de (g) a (i) fases durante a descida. Na mesma

figura, abaixo de cada imagem experimental é apresentado um gráfico de linhas de corrente para

o mesmo ângulo de incidência, extraídos dos resultados da simulação do presente trabalho, para

κ = 0, 25 e Rec = 104.

Ressalta-se o caráter qualitativo da comparação apresentada. Já durante os primeiros

instantes foi possível observar significantes diferenças. O escoamento apresentado na fotogra-

fia do instante (a), para o ângulo de ataque mínimo αmin = 5o, está ainda bastante descolado

do aerofólio por influência do ciclo anterior; as linhas de corrente da simulação indicam um es-

coamento bem mais junto ao aerofólio. As semelhanças começam a aparecer no quadro (d). É

bem visível a presença do LEV na superfície do aerofólio, sendo a localização e tamanho da

estrutura bem semelhantes, estendendo a partir de aproximadamente um quarto da corda até o

bordo de fuga. No quadro (e) observa-se o LEV sendo advectado junto com o escoamento. A

separação do escoamento é mais evidente, porém o estol ainda não ocorreu devido à sucção

induzida pelo LEV. Em (f) fica bem evidente na fotografia e também na simulação a interação do

LEV com o TEV dando origem a uma grande estrutura (chamada de ‘cogumelo’ pelos autores).

Durante o movimento de descida (g-i) esta estrutura aumenta de tamanho, sendo também trans-

portada pelo escoamento. A passagem da estrutura e o início do movimento de descida mantém

o escoamento separado. Ondulações das linhas de corrente no extradorso do aerofólio, instantes

(h) e (i), visualizadas pela técnica de injeção de fumaça, indicam o desprendimento de menores

LEV. Estes vórtices são melhores visualizados pelas respectivas figuras de linha de corrente da

simulação.

145

Figura 6.34 - Visualização do escoamento em túnel de fumaça do escoamento a Rec = 4, 4×104,α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 20 tirado de Panda e Zaman (1994) ; linhas de corrente, simulação dopresente trabalho para Rec = 10

4, α = 15o, ∆α = 10o e κ = 0, 25.

146

Segundo Panda e Zaman (1994), a literatura sobre aerofólios em movimento oscilatório

relata com bastante detalhe o LEV e a sua influência. O LEV é apontado como sendo a razão

para o aumento verificado no coeficiente de sustentação. Entretanto a interação com o TEV e a

estrutura em forma de ‘cogumelo’ quase não é citada pela literatura, tendo sido observada por

poucos trabalhos experimentais. A interação do LEV com o TEV foi também verificada e descrita

no presente trabalho, em seções anteriores durante a análise das Figs. 6.27 e 6.28.

6.2.3 Aerofólio móvel – altas freqüências de oscilação

Serão também apresentadas algumas simulações de aerofólios para altas freqüências de

oscilação. A motivação vem de recentes estudos em bioengenharia. Movimentos oscilatórios a

altas freqüências e pequenas amplitudes são particularmente interessantes no estudo de vôo de

insetos. Devido ainda às pequenas dimensões envolvidas, o escoamento ocorre para números

de Reynolds moderados. Todas estas características fazem deste assunto uma possibilidade de

aplicação bastante adequada ao atual estágio do método IB/VPM. O presente trabalho não foca

o estudo de aerofólios oscilantes a alta freqüência. O objetivo desta seção é apenas mostrar a

potencialidade do método, encorajando futuros desenvolvimentos neste campo de estudo. Foram

realizados três experimentos a uma freqüência reduzida κ = 15, variando-se o ângulo de ataque

médio conforme mostrado na Tab. 6.6.

Tabela 6.6 - Casos simulados para aerofólios oscilantes a altas freqüências.

Case κ α ∆α RecH1 15 15o 5o 1× 104H2 15 10o 5o 1× 104H3 15 5o 5o 1× 104

Os resultados das simulações são apresentados na Fig. 6.35, que mostra os coeficientes

de sustentação e arrasto em função do ângulo de ataque para o último ciclo de arfagem.

147

Figura 6.35 - Aerofólio em movimento oscilatório para altas freqüências, —— coeficiente de ar-rasto, – – – ângulo de ataque ; Rec = 104, κ = 15,∆α = 5o e ângulo de ataque médio: (a) α = 15o,(b) α = 10o e (c) α = 5o.

É interessante observar o aparecimento de uma região onde se tem valor negativo para

o coeficiente de arrasto. A porção negativa aumentou com a diminuição do ângulo de incidência

médio. A obtenção de coeficiente de arrasto negativo pode significar geração de propulsão. Esta

situação não é muito comum para aerofólios oscilantes. Entretanto, estudos de Garrick (1937)

noticiam que para freqüências acima da crítica, aerofólios puramente oscilantes podem gerar

propulsão. Não foi observada geração de propulsão, mas se pode notar uma queda bastante

significativa no arrasto global.

Mesmo que se venha obter propulsão para aerofólios puramente oscilantes, a força de

propulsão gerada é muito pequena e a relação entre potência propulsiva e potência gasta para

gerar o movimento é baixa para se objetivar algum tipo de aplicação prática. Estudos de gera-

ção de propulsão com aerofólios focam mais em movimentos combinados como flapping, pois

proporcionam geração de maiores forças de propulsão. O flapping combina um movimento de

translação vertical, Eq. (6.5), com um movimento de oscilação angular em torno do eixo de giro

dado pela Eq. (6.6):

h (t) = h+∆h sin (Ω t) , (6.5)

148

onde h é a posição do eixo de giro do aerofólio em função do tempo t, h é a posição média do

eixo e ∆h amplitude do movimento definida em termos da corda do aerofólio.

O movimento oscilatório é dado por:

α (t) = α+∆α sin (Ω t+ ψ) . (6.6)

O caso mais comum de flapping é que os movimentos de translação e oscilação estão

fora de fase, como mostrado na Fig. 6.36, para uma defasagem de ψ = 90o.

Figura 6.36 - Movimento combinado de oscilação angular e translação vertical, conhecido comoflapping.

Um caso teste de movimentação em flapping é mostrado na Fig. 6.37. São apresentados

resultados de coeficiente de arrasto e sustentação, durante os 2 últimos ciclos, como ilustrado na

Fig. 6.36.

Observa-se que durante a maior parte do tempo de simulação o coeficiente de arrasto for-

nece valores negativos caracterizando a geração de propulsão, com um coeficiente de propulsão

médio calculado de CT = 0, 09. O histórico do coeficiente de sustentação é apresentado na Fig.

6.37(b), o valor médio obtido foi de CL = 1, 15. Esta simulação é apenas de caráter qualitativo e

não se tem a intenção, neste trabalho, de estudar este tipo de movimento que é mais complexo

e com um maior número de parâmetros do que o caso oscilatório comum.

149

Figura 6.37 - Coeficientes de arrasto e sustentação para um aerofólio em flapping ; Rec = 104,κ = 5, ∆α = 10o, ∆h = 0, 4c e ψ = 90o : evolução temporal do (a) coeficiente de arrasto e (b)coeficiente de sustentação.

Capítulo VII

Conclusões e Perspectivas

Neste trabalho buscou-se dar continuidade ao desenvolvimento do método de Fronteira

Imersa junto com o Modelo Físico Virtual (IB/VPM), para modelagem e simulação de escoa-

mentos turbulentos em problemas de fronteiras móveis. Neste sentido, diversas atividades foram

desenvolvidas ao longo do trabalho.

Foram realizadas simulações de escoamentos sobre um corpo deformável, um cilindro

de diâmetro variável no tempo. A variação foi modelada utilizando-se uma lei de deformação

imposta aos pontos da malha lagrangiana que representam o cilindro. Inicialmente buscou-se

reproduzir, de maneira dinâmica, uma seqüência de eventos estáticos. Para isto, foi imposta uma

velocidade de crescimento do cilindro bastante baixa, cerca de 0, 10% da velocidade do fluido

na entrada do domínio. Constatou-se que as simulações reproduziram, com uma boa precisão,

resultados experimentais e numéricos, em regime permanente, encontrados na literatura. Isto

demonstra a independência dos resultados nesta velocidade de crescimento, o que caracteriza

bem a situação quasi-estática.

Avaliou-se também o efeito da velocidade de movimentação da fronteira sobre o escoa-

mento, foram realizadas simulações em diferentes velocidades. Efeitos físicos relevantes sobre o

coeficiente de arrasto, comprimento da bolha de recirculação e coeficiente de pressão na super-

fície do cilindro foram verificados. Apesar de não se ter encontrado nenhuma referência bibliográ-

fica que descreva esses efeitos, os resultados obtidos são fisicamente coerentes. Nos testes de

movimentação intermitente e cíclica, também foi verificada a recuperação do estado de regime

permanente. A movimentação da interface era interrompida e verificou-se que o escoamento se

desenvolvia de maneira coerente em direção ao regime permanente.

Este último teste motivou a aplicação do método em problemas de otimização. O método

de fronteira imersa foi então aplicado a um exercício de otimização de forma, que consistia na

solução de um problema inverso. Partindo-se de uma geometria inicial qualquer, buscou-se obter

a geometria relativa a uma determinada condição de pressão prescrita. O código CFD imple-

mentado com a metodologia IB/VPM, que possibilita a resolução dinâmica do problema direto, foi

152

acoplado a um otimizador, este destinado à resolução do problema inverso. Com este exercício

verificou-se a potencialidade do método aplicado à solução deste tipo de problemas, sobre os

seguintes aspectos principais: facilidade em se testar novas e diferentes geometrias, o que não

requer nenhum tipo de teste para verificar a viabilidade de geração de malha; eficiência no pro-

cessamento, uma vez que a solução do projeto anterior serve de partida para a solução do novo

projeto fazendo com que a sua solução seja inferior a 10% do custo de uma simulação completa.

É importante destacar que a metodologia de fronteira imersa possibilita recuperar o escoamento

sobre a nova geometria, não importando quão complexa ela seja. A recuperação do escoamento

sobre essa nova geometria parte da geometria anterior e não importa quão diferentes elas sejam

entre si. O novo escoamento é sempre recuperado. Este exercício ilustra a robustez da metodo-

logia e a grande comodidade em utilizá-la, uma vez que ele não requer remalhagem e mobilidade

da malha.

Outra contribuição do trabalho foi mostrar que o método IB/VPM é apropriado para a si-

mulação de escoamentos a altos números de Reynolds. Esta é uma extensão natural do trabalho

de Lima e Silva (2002). Um estudo comparativo entre diferentes metodologias de modelagem da

turbulência é apresentado no âmbito de fronteira imersa. Os resultados simulados foram compa-

rados com resultados numéricos e experimentais de outros autores da literatura. Os resultados

obtidos foram considerados relativamente bons, considerando que são simplificações bidimensio-

nais. Os principais parâmetros do escoamento sobre o cilindro: número de Strouhal, coeficiente

de arrasto e pressão, foram preditos com boa acuracidade para regiões até a crise do arrasto.

Simulações acima do regime supercrítico apresentaram pobres resultados. Entretanto, acredita-

se que uma simulação 2D, sem tratamento artificial da condição de parede, não possa fornecer

resultados realísticos para regiões acima do Reynolds crítico. Como observado na literatura, a

simulação, mesmo com códigos 3D, ainda apresenta grandes desafios para caracterizar a crise.

A predição do ponto de descolamento é uma tarefa de difícil execução, devido à fina

espessura da camada limite sobre o cilindro. Deve-se, portanto, enfatizar que os resultados aqui

apresentados da predição do ponto de descolamento são apenas de caráter qualitativo. O desco-

lamento do escoamento sobre o cilindro se deve mais à geometria do cilindro, do que aos efeitos

numéricos causados pela modelagem da turbulência, como se pôde verificar nos resultados de

coeficiente de arrasto que foram semelhantes para todas as metodologias, e mesmo o modelo de

153

Smagorinsky apresentou resultados mais próximos das referências experimentais. Entretanto, o

mesmo não ocorre em geometrias mais complexas. Em simulações preliminares do escoamento

sobre um aerofólio NACA 0012 os modelos de turbulência desempenham um importante papel

na obtenção dos resultados para coeficiente de sustentação. Foi verificado que a elevada visco-

sidade junto à parede calculada pelo modelo de Smagorinsky provocou descolamento prematuro

do escoamento, o que levou a subestimar o coeficiente de sustentação. Foi mostrado que mode-

los de turbulência adequados levam a um comportamento físico mais coerente.

Simulações de escoamentos a Reynolds moderados sobre aerofólios em movimento fo-

ram realizadas com o modelo de turbulência de Spalart-Allmaras, com o objetivo de se investigar

as características e os mecanismo que dão origem ao estol dinâmico, fenômeno típico que ocorre

neste tipo de escoamento. Com isto pôde-se também avaliar a aplicação do método IB/VPM em

aplicações práticas em aeronáutica. Os resultados mostraram-se consistentes e com indicativos

de uma razoável precisão. Foi simulado o escoamento sobre um aerofólio NACA 0012 em mo-

vimentos oscilatórios de arfagem em grandes amplitudes de movimentação, testes preliminares

também foram executados em altas freqüências e em movimentos combinados visando a ge-

ração de propulsão. A fenomenologia do estol dinâmico foi estudada e associada a eventos do

escoamento, as observações estão em relativa concordância com os poucos trabalhos numéri-

cos e experimentais disponíveis na literatura. Foi também investigada a influência da freqüência

reduzida e do número de Reynolds no ciclo de histerese do coeficiente de sustentação. Frente

aos resultados obtidos, a metodologia mostrou-se apropriada na investigação deste tipo de pro-

blema.

De maneira geral, o método IB/VPM mostrou-se adequado à simulação de escoamen-

tos turbulentos sobre corpos complexos, estacionários, em movimento ou em deformação. A

versatilidade e potencialidade do método aplicado a problemas de otimização de forma foram

demonstradas, onde se destacam importantes características do método frente às metodologias

clássicas. O método mostrou uma boa precisão na simulação de escoamentos numa ampla faixa

do número de Reynolds. No entanto, é importante observar pontos da metodologia que preci-

sam de mais desenvolvimento. O método tem sua formulação fragilizada devido a limitações do

passo de tempo e também da ordem de precisão. Mesmo que o código usado para resolver

as equações do fluido seja capaz de suportar maiores passos de tempo e possa fornecer uma

maior ordem de precisão, a implementação do IB junto com o VPM impõe limitações no passo

de tempo, que deve ser mantido na ordem de 10−3 unidades de tempo adimensional (tU/L). De-

154

pendendo do problema envolvido, pode inclusive, ser mais restritivo como no caso de geometrias

esbeltas, como o aerofólio NACA 0012, que exigiu um passo de tempo 10 vezes menor para sa-

tisfazer a condição de não-deslizamento na fronteira. A aproximação de primeira ordem do termo

de aceleração e o caráter explícito na formulação na força lagrangiana devem ser revistos. Estes

pontos apontam para futuros desenvolvimentos que podem ser explorados em continuação do

presente trabalho. Algumas perpectivas são descritas a seguir.

• Aumento da ordem de precisão do método, que é de primeira ordem, devido a atual

aproximação do termo de aceleração.

• Teste de uma formulação mais adequada para o termo de aceleração, separando os

efeitos físicos da imposição numérica da condição de não deslizamento, o que poderia ser feito

da seguinte maneira, considerada mais adequada para o termo de aceleração:

∂uj∂t

=

µ∂uj∂t

¶f ısico

+

µ∂uj∂t

¶forçante

=unj − un−1j

∆t+

uk j − ufk j

∆t

• Implicitar o termo forçante para problemas onde ele é imposto.

• Uso de malhas adaptativas, o que permitiria uma resolução de malha mais adequada

junto a parede e o uso de malhas grosseiras no interior do corpo.

Com o atual estado do método IB/VPM é possível dar continuidade às sequintes linhas:

• Estudo mais aprofundado de problemas de otimização, testar o uso de otimizadores

baseados em gradientes que, se adequados, podem reduzir o número de avaliações da função

objetivo.

• Estender o estudo de otimização de forma em regime instável, com o uso de modelos

URANS.

• Estudo da simulação de escoamentos sobre materiais inteligentes, que podem ser utili-

zados no controle ativo de escoamentos.

• Problemas envolvendo estudo do escoamento sobre corpos sujeitos a grandes deslo-

camentos.

• Investigar o mecanismo de propulsão de insetos, animais aquáticos e micro-dispositivos

(MAV).

• Estender as aplicações a sistemas de bombeamento, tais como, compressores alterna-

tivos, corações mecânicos, entre outros.

Capítulo VIII

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