Teste 1 - ULisboa · Teste 3 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, esc olhe a única opção correta. 1. Seja = um número real maior do

Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /out./2018

Avaliação_________________________________________ Professor _________________________________

Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12 1

Teste 1

Grupo I

Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção

correta.

1. Quatro raparigas e cinco rapazes vão dispor-se lado a lado para tirar uma fotografia.

De quantas maneiras o podem fazer, de tal modo que os três jovens do meio sejam todos

rapazes?

(A) 4320 (B) 7200 (C) 43 200 (D) 72 000

2. 𝐴1000 9999!

+ 𝐶1001000 é igual a:

(A) 𝐶1011000 (B) 𝐶1011001 (C) 𝐶9001001 (D) 𝐶9011001

3. Considera a linha do triângulo de Pascal que tem vinte elementos.

Qual é a soma dos primeiros dez elementos dessa linha?

(A) 29 (B) 210 (C) 218 (D) 219

4. Um dos termos do desenvolvimento de (𝑥 + 2)8 é um monómio da forma 𝑎𝑥5 .

Qual é o valor de 𝑎 ?

(A) 56 (B) 112 (C) 336 (D) 448

5. Seja 𝐴 = {1, 2, 3} e seja 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Quantas funções injetivas de 𝐴 em 𝐵

existem em que a imagem de 1 é diferente de 1 e a imagem de 2 é diferente de 2?

(A) 299 (B) 399 (C) 499 (D) 599

Grupo II

Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares,

explica os raciocínios e justifica as conclusões.

1. Seja 𝐴 o conjunto de todos os números naturais com seis algarismos que se podem formar

com os algarismos de 1 a 9, inclusive.

a) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm os algarismos todos diferentes?

b) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos 8?

c) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos iguais, sendo os

restantes algarismos todos diferentes?

2 Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12

2. Na figura está representado um octaedro regular [𝐴𝐵𝐶𝐴𝐴𝐴] .

Apresenta os resultados das seguintes alíneas na forma de

fração irredutível.

a) Escolhendo ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a

probabilidade de a reta por eles definida não estar contida

no plano 𝐴𝐵𝐶 ?

b) Escolhendo ao acaso três vértices do octaedro, qual é a

probabilidade de o plano por eles definido ser

perpendicular ao plano 𝐴𝐵𝐶 ?

c) O António e o Sérgio pensaram, cada um deles, numa das letras que representam os

vértices do octaedro.

Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha pensado numa vogal?

3. Seja Ω o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ Ω e 𝐵 ⊂ Ω) . Sabe-se que 𝑃(𝐴) =712 e que 𝑃(𝐵) =

12 . a) Justifica que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 não são incompatíveis.

b) Determina 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) , admitindo que 𝑃(𝐵 | 𝐴) =13 . Apresenta o resultado na forma de

fração irredutível.

4. Num encontro desportivo, participam atletas de vários países, entre os quais Portugal. Sabe-se

que:

• 90% dos atletas participantes no encontro são portugueses ou do sexo masculino;

• metade dos atletas estrangeiros são do sexo feminino.

Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, qual é a probabilidade de ser estrangeiro?

Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

5. Algumas cartas do naipe de espadas e algumas cartas do naipe de copas foram introduzidas

num saco. Ao acaso, extraem-se duas cartas do saco, uma após a outra, não repondo a

primeira carta extraída.

Considera os seguintes acontecimentos: 𝐴 : «a primeira carta extraída é de espadas»; 𝐵 : «a segunda carta extraída é de espadas».

Sabe-se que 𝑃(𝐴) =38 e que 𝑃(𝐵 | 𝐴) =

13 .

Repõem-se as duas cartas extraídas no saco. Em seguida, tiram-se, sucessivamente e ao acaso,

as cartas do saco e dispõem-se numa mesa, umas ao lado das outras, pela ordem de saída.

Qual é a probabilidade de as cartas de pelo menos um dos naipes ficarem juntas? Apresenta a

tua resposta arredondada às milésimas.

FIM

Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /nov./2018



Teste 2

Grupo I


correta.

1. Seja (𝑢𝑛) a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = ∑ 𝑘𝑛𝑘=1 . Qual é o valor de lim 𝑛2𝑢𝑛 ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) +∞

2. Seja 𝑓 uma função diferenciável no intervalo [−3, 0] tal que:

• 𝑓(0) = 2

• ∀𝑥 ∈ [−3, 0], 𝑓′(𝑥) ∈ [−5, −2] O teorema de Lagrange, aplicado à função 𝑓 em [−3, 0] , permite concluir que 𝑓(−3) não

pode ser igual a:

(A) 7 (B) 9 (C) 14 (D) 16

3. Considera os vértices de um hexágono regular. Escolhem-se ao acaso dois desses vértices. Qual é

a probabilidade de a reta definida por esses vértices passar no centro do hexágono?

(A) 12 (B)

13 (C) 14 (D)

15

4. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o maior elemento é 𝐶3𝑛 . Quantos números

naturais, múltiplos de 10, é possível escrever colocando, lado a lado, todos os algarismos dos

elementos dessa linha?

(A) 1260 (B) 3780 (C) 163 296 (D) 362 880

5. Quatro rapazes e quatro raparigas entram numa carruagem de comboio onde existem seis

lugares sentados ainda não ocupados. De quantas maneiras podem ocupar esses seis lugares

supondo que fica uma rapariga e um rapaz em pé?

(A) 576 (B) 1440 (C) 11 520 (D) 20 160

Grupo II



1. Considera a sucessão (𝑣𝑛) definida por 𝑣𝑛 = ∑ 1−2√𝑛𝑛+𝑘𝑛𝑘=1 e seja (𝑢𝑛) uma sucessão tal que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 ≤ 1 .

Justifica que a sucessão (𝑢𝑛) não é convergente.

2. Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 .

a) Considere a função ℎ definida por ℎ(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥) . Estuda a função ℎ quanto à

monotonia e quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico. Na tua resposta,

apresenta:

• os intervalos em que a função é crescente e os intervalos em que é decrescente;

• os extremos relativos, caso existam;


• os intervalos em que a concavidade do gráfico está voltada para cima, os intervalos em

que a concavidade do gráfico está voltada para baixo e as coordenadas dos pontos de

inflexão que eventualmente existam.

b) Considera a função 𝑔 , de domínio ℝ ∖ [−1, 0] , definida por:

𝑔(𝑥) = { 𝑓(𝑥)+ 2𝑥2− 1 se 𝑥 < −12𝑥√𝑥2+ 1 − 1 se 𝑥 > 0

Mostra que existem exatamente três assíntotas ao gráfico da função 𝑔 : uma assíntota

vertical, uma assíntota oblíqua e uma assíntota horizontal.

3. Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções diferenciáveis em ℝ . Sabe-se que:

• a reta de equação 𝑦 = 3𝑥 + 5 é tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abcissa −1;

• ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑓3(𝑥)𝑥2+ 1 .

Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função 𝑔 no ponto de abcissa −1.

4. Seja 𝑓 uma função de domínio ℝ , duas vezes diferenciável. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais,

com 𝑎 < 𝑏 . Sabe-se que:

• 𝑓′(𝑎) × 𝑓′(𝑏) < 0

• ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[, 𝑓′′(𝑥) > 0

Justifica que a função 𝑓 atinge um e um só extremo no intervalo ]𝑎, 𝑏[ e indica se é máximo

ou é mínimo.

5. Considera o seguinte jogo que consiste no lançamento simultâneo de dois dados cúbicos,

equilibrados, com as faces numeradas de 1 a 6, sendo um dado verde e outro branco.

A pontuação obtida num lançamento é a soma dos pontos das faces que ficam voltadas para

cima.

O jogo vai ser disputado pela Maria e pelo António. Suponhamos que a Maria é a primeira a

lançar os dados. Caso queiram, poderão repetir o lançamento dos dois dados, mas a

pontuação obtida no segundo lançamento substitui a obtida no primeiro. Vence quem obtiver

a maior pontuação. Se as pontuações obtidas foram iguais, é declarado empate.

Apresenta as respostas aos itens seguintes na forma de fração irredutível.

a) Admite que a Maria faz o segundo lançamento se e só se obtiver menos de 7 pontos no

primeiro lançamento. Qual é a probabilidade de a Maria obter 7 pontos na sua jogada?

b) Admite que a Maria faz apenas um lançamento dos dados. Qual é a probabilidade de obter

7 pontos se o número da face voltada para cima no dado verde for superior ao número da

face voltada para cima no dado branco?

c) A estratégia do António é fazer o segundo lançamento se e só se a pontuação que obtém

no primeiro lançamento não for superior à obtida pela Maria na sua jogada.

Admite que a Maria obteve 3 pontos na sua jogada. Qual é a probabilidade de o António

perder o jogo?

FIM

Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /jan./2019



Teste 3

Grupo I


correta.

1. Seja 𝑎 um número real maior do que 1.

Seja 𝑏 = log𝑎(18) e seja 𝑐 = log𝑎(2) .

Qual é o valor de 𝑎𝑏−𝑐2 ?

(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

2. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais maiores do que 1 tais que log𝑏(𝑎) = 4 .

Qual é o valor de log𝑎(𝑎𝑏2) ?

(A) 1 2 (B)

3 4 (C) 5 4 (D)

3 2

3. Para um certo número real 𝑘 , tem-se lim �1 +𝑘4𝑛�𝑛+1 = √𝑒 .

Qual é o valor de 𝑘 ?

(A) 3 2 (B) 2 (C)

5 2 (D) 3

4. Qual é o valor de lim𝑥→0 𝑒𝑥−1(𝑒𝑥−1)𝑥2−𝑥 ?

(A) −𝑒 (B) − 1 𝑒 (C) 1 𝑒 (D) 𝑒

5. O código de um cofre é uma sequência de cinco algarismos diferentes de 0.

O João não sabe o código, mas sabe que este contém dois algarismos ímpares diferentes e três

algarismos pares, dos quais dois são iguais.

O João vai tentar abrir o cofre.

Qual é a probabilidade (valor arredondado às centésimas de milésimas) de o João o conseguir,

com uma única tentativa?

(A) 0,000 12 (B) 0,000 13 (C) 0,000 14 (D) 0,000 15

Grupo II



1. Como sabes, 1910 foi o ano da implantação da República em Portugal.

Admite que a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, 𝑡 anos após o

início de 1910, é dada aproximadamente por:

𝑝(𝑡) =11,742

1 + 1,06𝑒−0,022𝑡 (𝑡 ≥ 0)

a) De acordo com este modelo, em que ano é que a população de Portugal Continental atingiu

dez milhões de habitantes?


b) Desde o instante 𝑡 = 0 até um certo instante 𝑡 = 𝑎 , a população de Portugal Continental

aumentou, em média, 50 000 habitantes por ano. Determina, recorrendo às capacidades

gráficas da calculadora, o valor de 𝑎 .

Na tua resposta:

• equaciona o problema;

• reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora

que te permite(m) resolver a equação;

• apresenta o valor de 𝑎 arredondado às unidades.

2. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ definida por: 𝑓(𝑥) = �2𝑒𝑥−1 − 𝑥 + 3 se 𝑥 ≤ 1 ln(4𝑥−3) 𝑥−1 se 𝑥 > 1

a) Justifica que a função 𝑓 é contínua.

b) Estuda a função 𝑓 quanto às assíntotas ao seu gráfico.

c) Estuda, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, a restrição da

função 𝑓 ao intervalo ]−∞, 1] .

3. Para cada número real 𝑘 , seja 𝑔 a função de domínio �− 1 2 , +∞� definida por:

𝑔(𝑥) = 𝑘 + 𝑥 + 2

2ln(2𝑥 + 1) − ln(5)

a) Determina o conjunto dos valores de 𝑘 para os quais o teorema de Bolzano-Cauchy, aplicado

no intervalo [0, 2] , garante a existência de pelo menos um zero da função 𝑔 em ]0, 2[ .

b) Considera 𝑘 = 0 . Estuda a função 𝑔 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e

quanto à existência de pontos de inflexão.

4. Seja 𝐸 o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ 𝐸 e 𝐵 ⊂ 𝐸).

Sabe-se que 𝑃(𝐵) ≠ 1 e que 𝐴 e 𝐵 são acontecimentos equiprováveis.

Prova que 𝑃�𝐴|𝐵� − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐵|𝐴) .

5. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ+ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑝 log𝑞(𝑥)

(𝑝 designa um número real positivo e 𝑞 designa um número real maior do que 1).

Seja 𝑎 um número real positivo. Seja 𝐴 o ponto do gráfico de 𝑓 cuja abcissa é 𝑎 e seja 𝑟 a

reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝐴 .

Sejam 𝐵 e 𝐶 os pontos de interseção da reta 𝑟 com os eixos das ordenadas e das abcissas,

respetivamente. Sabe-se que o ponto 𝐵 tem ordenada positiva.

Seja 𝐷 o ponto de coordenadas (𝑎, 0) .

Determina o valor de 𝑎 , sabendo que o triângulo [𝐴𝐶𝐷] é isósceles e que o triângulo [𝐵𝐶𝐷]

é retângulo.

FIM

Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /mar./2019



Teste 4

Grupo I


correta.

1. Na figura está representada parte de uma parábola cujo vértice

pertence ao quarto quadrante.

Esta parábola é o gráfico de uma função 𝑓 de domínio ℝ .

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

(A) 𝑓′(0) + 𝑓(0) × 𝑓′′(0) (B) 𝑓(0) + 𝑓′(0) × 𝑓′′(0)

(C) [𝑓′′(0) + 𝑓(0)] × 𝑓′(0) (D) [𝑓′(0) − 𝑓(0)] × 𝑓′′(0)

2. Seja 𝑎 um número real maior do que 1 . Qual é o valor de log𝑎(9) + 2 log𝑎(4)

log𝑎(24) − log𝑎(2) ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

3. Na figura está representado o triângulo [𝐴𝐴𝐴] .

Sabe-se que:

• 𝐴𝐴 = 4

• 𝐴𝐴 = 6

• 𝐴𝐴�𝐴 = α

• 𝐴�̂�𝐴 = 2α

Qual é o valor de cos (2α) ?

(A) 1

6 (B)

1

7 (C)

1

8 (D)

1

9

4. Seja 𝑏 um número real positivo menor do que 1 .

Seja 𝑆 o conjunto das soluções da equação sen2 𝑥 = 𝑏 que pertencem ao intervalo �0,9𝜋2 � .

Escolhem-se ao acaso dois elementos de 𝑆 .

Qual é a probabilidade de ambos pertencerem ao intervalo �5𝜋2 , 4𝜋� ?

(A) 1

6 (B)

1

8 (C)

1

10 (D)

1

12

5. Num clube desportivo, há tantos praticantes de andebol como de basquetebol.

Um terço dos praticantes de basquetebol pratica andebol.

Metade dos atletas do clube não pratica andebol nem basquetebol.

Escolhe-se ao acaso um atleta desse clube. Qual é a probabilidade de ele praticar andebol?

(A) 0,25 (B) 0,3 (C) 0,35 (D) 0,4


Grupo II



1. Na figura está representada a circunferência trigonométrica.

Considera que um ponto 𝑃 se desloca sobre a

circunferência, no segundo quadrante.

Para cada posição do ponto 𝑃 , seja:

• 𝑄 a projeção ortogonal de 𝑃 sobre o eixo 𝑂𝑥 ;

• 𝑅 o ponto de interseção da reta 𝑂𝑃 com a reta de

equação 𝑥 = 1 ;

• α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que

tem por lado origem o semieixo positivo 𝑂𝑥 e por

lado extremidade a semirreta �̇�𝑃 �𝛼 ∈ � 𝜋

2 ,𝜋� � .

Seja 𝑆 o ponto de coordenadas (1, 0) .

Determina o valor de α para o qual a área do triângulo [𝑂𝑅𝑆] é dupla da área do

triângulo [𝑂𝑃𝑄] .

2. Considera a função 𝑓 , de domínio �− 𝜋

3 ,

𝜋

2 � , definida por 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑒√3𝑥 cos𝑥 .

a) Mostra que 𝑓′(𝑥) = 𝑒√3𝑥 sen𝑥 − √3𝑒√3𝑥 cos𝑥 e estuda a função 𝑓 quanto à monotonia e

quanto à existência de extremos relativos.

b) Seja 𝐴 o ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo 𝑂𝑂 .

Seja 𝑟 a reta tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto 𝐴 .

Seja 𝐴 o ponto de interseção da reta 𝑟 com o eixo 𝑂𝑥 .

Determina a amplitude (em radianos) do ângulo 𝑂𝐴𝐴 .

3. Seja ℎ a função, de domínio ]−∞,𝜋[ , definida por:

ℎ(𝑥) =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3𝑥 + 2 +

ln (1 − 𝑥)𝑥1

sen (2𝑥)𝑥(1 + cos𝑥)

se 𝑥 < 0

se 𝑥 = 0

se 0 < 𝑥 < 𝜋

a) Justifica que a função ℎ é contínua para 𝑥 = 0 .

b) Estuda a função ℎ quanto às assíntotas ao seu gráfico.

c) Justifica que ∃ 𝑐 ∈ � 𝜋

3 ,

𝜋

2 � ∶ ℎ(𝑐) =

1

𝜋 .


4. A Terra descreve uma órbita elítica em torno do Sol.

Na figura está representado um esquema dessa

órbita, em que se assinala o periélio, o ponto da

órbita mais próximo do Sol.

Na figura está também assinalado um ângulo de

amplitude 𝑥 radianos (𝑥 ∈ [0, 2𝜋[ ) . Este ângulo

tem o seu vértice no Sol, o lado origem passa no

periélio e o lado extremidade passa na Terra.

Sabe-se que:

• 𝑥 verifica a relação 2𝜋𝜋

365,24 = 𝑥 − 0,017 sen𝑥 , em que 𝑡 é o tempo, em dias, que decorre

desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição

correspondente ao ângulo 𝑥 ;

• a distância 𝑑 , em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é dada, em função de 𝑥 , por 𝑑 = 149,6

1 + 0,017cos𝑥 .

Determina a distância a que a Terra se encontra do Sol, 200 dias depois de ter passado pelo

periélio.

Apresenta o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores

intermédios, utiliza, no mínimo, quatro casas decimais.

Nota: a resolução deste item envolve uma equação que deve ser resolvida com recurso às

capacidades gráficas da calculadora; na tua resposta, apresenta, num referencial, o(s)

gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s).

5. Seja 𝑓 a função, de domínio �0, 𝜋

2 � , definida por 𝑓(𝑥) = cos𝑥 .

Considera que um ponto 𝑃 se move ao longo do gráfico de 𝑓 . Para cada posição do ponto 𝑃 ,

sejam 𝑟 e 𝑠 as retas que passam por 𝑃 e são paralelas aos eixos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑂 , respetivamente.

Seja 𝑔 a função que à abcissa 𝑥 do ponto 𝑃 faz corresponder a área da região limitada pelos

eixos coordenados e pelas retas 𝑟 e 𝑠 .

Mostra que a função 𝑔 tem máximo

FIM


Teste 1

Soluções

Grupo I

1. (C)

2. (D)

3. (C)

4. (D)

5. (B)

Grupo II

1.

a) 60 480

b) 61 440

c) 226 800

2.

a) 3 5

b) 2 5

c) 5 9

3.

a) Ao cuidado do aluno.

b) 8 9

4. 1 5

5. 0,002


Teste 2

Soluções

Grupo I

1. (C)

2. (A)

3. (D)

4. (B)

5. (C)

Grupo II

1. Dado que, para qualquer número natural n ,1 2 n− designa um número negativo, tem-se,

para qualquer número natural k entre 1 e n ,1 2 1 2n nn k n n− −≤+ +

. Assim, pode concluir-se

que

1

1 2 1 2,n

k

n nn n

n k n n=

− −∀ ∈ ≤ ×+ +∑ .

Tem-se: 1 2 1 2

lim lim2

n nn

n n

− −× = = −∞ +

Portanto, por comparação, conclui-se que lim nv = −∞ e, ainda por comparação, também se

conclui que lim nu = −∞ , pois , 1n nn u v∀ ∈ ≤ + . Trata-se, portanto, de uma sucessão

divergente.

2.

a) A função h é decrescente em ] ],0−∞ e em 2,3 +∞

e é crescente em 2

0,3

.

A função atinge um mínimo relativo igual a 1− em 0 e atinge um máximo relativo igual a 2327

−

em 23

.

O gráfico da função h tem a concavidade voltada para cima em 1,3

−∞ e tem a concavidade

voltada para baixo em 1,3 +∞

; ( )1 253 27

h = − e, portanto, o ponto de coordenadas

( )1 25,3 27− é ponto de inflexão do gráfico da função h .


b) A reta de equação 0x = é assíntota vertical ao gráfico da função g .

A reta de equação 1y x= − é assíntota oblíqua ao gráfico da função g , em −∞ .

A reta de equação 2y = é assíntota horizontal ao gráfico da função g , em +∞ .

3. 22 26y x= +

4. Dado que a função f ′ é contínua em (pois f é duas vezes diferenciável), então é contínua

em [ ],a b . Como ( ) ( ) 0f a f b′ ′× < , o corolário do teorema de Bolzano-Cauchy permite

concluir que a função f ′ tem pelo menos um zero em ] [,a b . Esse zero é único, pois, dado que

] [, , ( ) 0x a b f x′′∀ ∈ > , a função f ′ é estritamente crescente em ] [,a b .

Portanto, a função f não pode atingir mais do que um extremo em ] [,a b , pois, sendo

diferenciável, se atinge um extremo num ponto, então a derivada é nula nesse ponto.

Seja c o único zero de f ′ em ] [,a b .

Tem-se ( ) 0f c′ = e ( ) 0f c′′ > , de onde se conclui que a função f atinge um mínimo em c .

5.

a) 1772

b) 15

c)

1432


Teste 3

Soluções

Grupo I

1. (A)

2. (D)

3. (B)

4. (B)

5. (C)

Grupo II

1.

a) Em 1992.

b) 92

2.

a)


b)

c)

3.

a)

b)

4.


5.


Teste 4

Soluções

Grupo I

Grupo II


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Teste 1 - ULisboa · Teste 3 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, esc olhe a única opção correta. 1. Seja = um número real maior do