8
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática – A Geometria no Plano e no Espaço I 2º Teste de avaliação Grupo I 1. Os pontos ( A 3,7 - e ( B 7,3 - são simétricos em relação: (A) à bisectriz dos quadrantes ímpares (B) à recta de equação x 1 = (C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1 = 2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição: (A) x 2 y 1 ≤- (B) x 1 y 2 ≤- ∧ (C) x 2 y 1 ≤- (D) x 1 y 2 ≥- ∨ 3. A equação x 3 = representa: (A) um ponto no plano e uma recta no espaço; (B) uma recta quer no plano, quer no espaço; (C) um ponto quer no plano, quer no espaço; (D) uma recta no plano e um plano no espaço. 4. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição x 4 z 4 = =- é: (A) o plano ABC (B) a recta BF (C) a recta AB (D) a recta AD As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. x y z G O C D F E A B

Teste02 c

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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação:

(A) à bisectriz dos quadrantes ímpares (B) à recta de equação x 1=

(C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1=

2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser

definido pela condição:

(A) x 2 y 1≤ ∧ ≤ − (B) x 1 y 2≤ − ∧ ≤

(C) x 2 y 1≤ ∨ ≤ − (D) x 1 y 2≥ − ∨ ≥

3. A equação x 3= representa:

(A) um ponto no plano e uma recta no espaço;

(B) uma recta quer no plano, quer no espaço;

(C) um ponto quer no plano, quer no espaço;

(D) uma recta no plano e um plano no espaço.

4. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no

referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição

x 4 z 4= ∧ = − é:

(A) o plano ABC (B) a recta BF

(C) a recta AB (D) a recta AD

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

x

y

z

G O

CD

FE

A B

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5. A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado

um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir

que a cota de V é:

(A) 2 2 (B) 4 2 (C) 2 3 (D) 4 3

Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade nos

dois eixos é a quadrícula.

1.1. Identifique as coordenadas dos pontos A,

C, D, E e I.

1.2. Identifique as equações das rectas que

contêm as fronteiras da região

sombreada e em seguida defina por uma

condição a região sombreada.

2. Num sólido constituído por três cubos,

geometricamente iguais, foram assinalados

seis pontos: A, B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que

a unidade é igual à aresta dos cubos.

2.1. Indique as coordenadas dos pontos A,

B, C, D, E e F.

2.2. Escreva a equação do plano ACB

2.3. Defina por uma condição a recta AB.

2.4. Identifique o ponto simétrico de D em relação a O. Indique as suas coordenadas.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

x

y

z

O

V

4

2

-2

-4

5 x

y

O

G H

FE

J I

A B

C

L K

D

x

y

zD

EO

BF

C

A

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2.5. Desenhe na figura a secção produzida no sólido pelo plano OBA e calcule a sua área.

3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de

um cubo de aresta nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes

iguais cada uma das arestas do cubo original.

3.1. Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e

quantas há de cada tipo? O poliedro é regular?

Justifique.

3.2. Quanto medem as arestas do cubo truncado?

3.3. Determina a área de [DBJIHGFE]?

4. As rectas de equação y x= − e y 2= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas

um triângulo de área 32 cm2. Determine uma possível equação dessa recta. Verifique se a

solução que encontrou é a única.

Sugestão: Faça uma representação geométrica da situação.

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 30 12 10 10 10 18 15 10 10 15

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

2º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (C) Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes

pares

2. (C) Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser

definido pela condição x 2 y 1≤ ∨ ≤ −

3. (D) A equação x 3= representa uma recta no plano e um plano no

espaço.

4. (C) Consideremos o cubo com 4 cm de aresta representado no

referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição

x 4 z 4= ∧ = − é a recta AB

5. (A) A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi

aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro.

Podemos concluir que a cota de V é metade da diagonal de um quadrado

de lado 4 e por isso metade de 4 2 que é 2 2

Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade nos dois eixos é a quadrícula.

1.1. As coordenadas dos pontos A, C, D, E e I são: ( )A 2, 4− − , ( )C 1, 2− − , ( )D 5, 2− , ( )E 5,2 e

( )I 7, 3−

1.2. As equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada são:

• AL: x 2= − • BC: x 1= − • DK: x 5=

• LK: y 0= • CD: y 2= − • AB: y 4= −

x

y

z

G O

CD

FE

A B

x

y

z

O

V

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Uma condição que define a zona é: ( ) ( )2 x 1 4 y 0 1 x 5 2 y 0− ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤ ∨ − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤

4

2

-2

-4

5 x

y

O

G H

FE

J I

A B

C

L K

D

2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis

pontos: A, B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a

unidade é igual à aresta dos cubos.

2.1. As coordenadas dos pontos A, B, C, D, E

e F são ( )A 1, 2, 1− − , ( )B 1,0, 1− ,

( )C 1, 1,0− , ( )D 1,0,1− , ( )E 1,1,0− e

( )F 0, 2, 1− − .

2.2. Uma equação do plano ACB é x 1=

2.3. A recta AB e definida pela condição

x 1 z 1= ∧ = −

2.4. O ponto simétrico de D em relação a O é ( )B 1,0, 1−

2.5. Na figura está desenhada a secção produzida no sólido pelo plano OBA e a sua área é

três vezes a área de um rectângulo com 1 de largura e 2 de comprimento.

( )A 3 1 2 3 2= × =

3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo

truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta

nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que

dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo

original.

x

y

zD

EO

BF

C

A

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3.1. Os polígonos que são as faces deste poliedro são 6 octógonos irregulares e 8 triângulos

equiláteros.

3.2. As arestas do cubo truncado são de dois tipos: 12 iguais a BD 3= e 24 iguais a BJ 3 2=

porque são diagonais de quadrados de lado 3.

3.3. [DBJIHGFE] é um octógono contido dentro de um quadrado de lado 9 ao qual foram

tirados 4 triângulos rectângulos cujos catetos medem 3. Assim a área de [DBJIHGFE] é

3 3A 9 9 4 81 18 63

2×= × − × = − = .

Também podia considerar o octógono dividido em 2 trapézios iguais com base maior 9,

base menor 3 e altura 3 e um rectângulo com dimensões 3 e 9, pelo que a área de

[DBJIHGFE] é 9 3

A 9 3 2 3 27 36 632+= × + × × = + =

4. As rectas de equação y x= − e

y 2= definem com uma recta

paralela ao eixo das abcissas um

triângulo de área 32 cm2. Uma

possível equação dessa recta é

x 6= ou x 10= − porque para a

área de um triângulo rectângulo

ser 32 o produto das medidas dos

seus catetos é 64 e como neste

caso o triângulo é rectângulo

isósceles os dois catetos são

iguais pelo que cada um mede 8.

Assim adicionando e subtraído 8 à

abcissa de do ponto de

intersecção das duas rectas dadas

(A) obtemos os valores a que devemos igualar x para obter as equações das possíveis rectas

e que são as únicas. Há duas soluções como podíamos verificar utilizando as coordenadas

dos pontos assinalados na figura

( ) ( ) ( )2 2

2a 2 a 232 a 2 64 a 2 8 a 2 8 a 6 a 10

2

+ × += ⇔ + = ⇔ + = ∨ + = − ⇔ = ∨ = −

Donde poderíamos concluir serem as rectas de equação x 6= ou x 10= − as que definem

com as rectas de equação y x= − e y 2= um triângulo de área 32 cm2.

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5

8

8

8 8

A: (-2, 2)

C(a,-a)

A B (a,2)

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

C C D C A

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1. Calcular as coordenadas dos 5 pontos……………………………………….. 10

1.2. …………………………………………………………………………………….. 30

•••• Escrever uma equação de cada uma das 6 rectas...……………… 12

•••• Escrever a condição que define a zona.…………….……………… 18

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. Calcular as coordenadas dos 6 pontos……………………………………….. 12

2.2. Escrever uma equação do plano ……………………………………………… 10

2.3. Escrever uma condição que defina a recta AC ……………………………… 10

2.4. …………………………………………………………………………………….. 10

•••• Indicar o ponto B ….…………………...………………………………..… 5

•••• Indicar as coordenadas do ponto B …..………………………..……...... 5

2.5. ……………………………………………………………………………………… 18

•••• Desenhar a secção ……………………………………………………….. 9

•••• Calcular a área da secção ……………………………………………….. 9

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. …………………………………………..………………………………………….. 15

•••• Indicar que 8 faces são triângulos equiláteros ……………………..…… 4

•••• Indicar que 6 faces são octógonos irregulares …….………………….…. 4

•••• Dizer que o poliedro é irregular e justificar ………...……………...……… 7

3.2. ……………………………………………………………………………………….. 10

•••• Calcular a medida da aresta que é lado do triângulo …………………… 5

•••• Calcular a medida da aresta que é lado do octógono…………………… 5

3.3. ……………………………………………………………………………………….. 10

Page 8: Teste02 c

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•••• Decompor o polígono ……………………………………………………… 2

•••• Calcular a área do quadrilátero …………………………………………… 2

•••• Calcular a área do triângulo ou do trapézio …..…………………………. 4

•••• Calcular a área do octógono ………………………………………………. 2

4. ……………………………………………………………………………………………… 15

•••• Desenhar a recta de equação y x= − ……………………………….……… 2

•••• Desenhar a recta de equação y 2= ………………………………………. 2

•••• Identificar as coordenadas dos vértices ……………….……….………… 2

•••• Identificar os comprimentos dos catetos ……...……….…………………. 2

•••• Escrever a equação ( ) ( )2 2a 2 a 2

322

+ × += …………………………… 3

•••• Resolver a equação …………………………………………………………. 2

•••• Dar a resposta justificando as duas soluções …………………………….. 3

Total ………………………………………………………………………………………………… 200