Teste05 b

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema III – Trigonometria e Números Complexos

5º Teste de avaliação – versão B

Grupo I

1. Um saco contém cinco cartões numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os

cinco cartões e alinha-os, da esquerda para a direita pela ordem de saída, de maneira a formar

um número de cinco algarismos.

Qual é a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par?

(A) 5

25

2

CA

(B) 5

2C5!

(C) 5

2

2 3!A×

(D) 2 3!

5!×

2. Considere a função f, de domínio IR, definida por: ( )( )ln 1 x se x 1

f x 1se x 1

x

− <=

≥

Considere a sucessão de termo geral n

n 1u

n−=

Qual é o valor de ( )nnlim f u→+∞

?

(A) 1 (B) 0 (C) −∞ (D) +∞

3. De uma função g, de domínio IR− , sabe-se que a reta de equação y 2= é assíntota do seu

gráfico.

Das seguintes opções, indique a que corresponde a( )

x

g xlim

x→−∞?

(A) −∞ (B) 2 (C) 2− (D) 0

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


4. Para um certo valor de k, seja a função f definida por: ( ) 3 2f x kx 3x= − .

No referencial o.n. xOy, da figura, está representada a função f ′′ , segunda

derivada da função f.

Qual dos seguintes valores pode ser o valor de k?

(A) 0 (B) 1− (C) 12

(D) 13

−

5. A figura é constituída por um triângulo retângulo e por um

quarto de círculo com 2m de raio. Sabe-se que:

�BCD = α (radianos) com 0,2π α ∈

.

Qual das expressões representa o perímetro da figura, em

função de α ?

(A) 1

4 sentg

π + + αα

(B) 2cos 2

2sen

α ++ π +α

(C) 2 sen

2cos+ α+ π +

α (D)

22 sen

2 tgπ + + + α

α

Grupo II

1. Uma máquina produz sistemas de segurança. A cada sistema de segurança produzido é-lhe

atribuído um código constituído por uma sequência de cinco dígitos. Por exemplo, a um dos

sistemas foi-lhe atribuído o código: 00575 .

O computador que gere a atribuição de códigos está programado para que não haja repetição

de códigos.

1.1. Qual é o número máximo de códigos que é possível atribuir nas condições indicadas?

1.2. Admita que é gerado um código de forma aleatória.

Qual é a probabilidade de esse código ter os algarismos das extremidades iguais e

diferentes dos restantes?

Apresente o resultado em percentagem com arredondamento às centésimas.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:

( ) x 3 x 1f x 2 14 2+ −= − × e ( ) xg x 2 3 2= − ×

2.1. Resolva a condição ( ) ( )g x g 4>

2.2. Mostre, por via analítica, que: ( ) xf x 2=

2.3. Resolva, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x=

3. Considere a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1f x x ln

2x=

3.1. Determine, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a

ordenada é metade da abcissa.

3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determine o valor desse extremo.

3.3. A reta de equação e

y 2x2

= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determine

as coordenadas desse ponto.

4. [ABCD] é um trapézio isósceles; os lados [AD] e [BC] são paralelos.

Tem-se que:

� AB BC CD 1= = = .

� AD 1≤ .

Seja α a amplitude do ângulo ABC ,3 2

π π α ∈

e

( ) ( )1f x senx sen 2x

2= −

4.1. Mostre que, para qualquer ,3 2π π α ∈

, a área do trapézio é igual a ( )f α .

4.2. Determine f2π

e interprete geometricamente o valor obtido, caraterizando o quadrilátero

que se obtém para 2πα = .

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 total

Cotação 10 10 10 10 10 10 10 15 15 10 15 20 15 20 20 200






5º Teste de avaliação – versão B – Proposta de reso lução

Grupo I

1. (D) Um saco contém cinco cartões numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente, ao

acaso, os cinco cartões e alinha-os, da esquerda para a direita pela ordem de saída, de maneira

a formar um número de cinco algarismos.

A probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par é

2 3!5!×

2. (C) Consideremos a função f, de domínio IR, definida por: ( )( )ln 1 x se x 1

f x 1se x 1

x

− <=

≥

Consideremos a sucessão de termo geral n

n 1u

n−= que tende para 1 por valores menores

que 1 porque n

n 1 1u 1

n n−= = − .

O valor de ( )nnlim f u→+∞

é −∞ . Trata-se de calcular ( ) ( )x 1lim ln 1 x ln 0

−

+

→− = = −∞

3. (D) De uma função g, de domínio IR− , sabe-se que a reta de equação y 2= é assíntota do

seu gráfico.

( )x

g xlim

x→−∞ corresponde ao declive da assíntota ou seja

( )x

g xlim 0

x→−∞=

4. (C) Para um certo valor de k, seja a função f definida por: ( ) 3 2f x kx 3x= − .

No referencial o.n. xOy, da figura, está representada a função f ′′ , segunda

derivada da função f.

Como ( ) 2f x 3kx 6x′ = − e ( )f x 6kx 6′′ = − o valor de k só pode ser 12

por

ser o único valor positivo.


5. (B) A figura é constituída por um triângulo retângulo e por

um quarto de círculo com 2m de raio. Sabe-se que:

�BCD = α (radianos) com 0,2π α ∈

.

O perímetro da figura, em função de α é dado por

2cos 22

senα ++ π +α

pois:

�� a medida do arco AD é 2 2

4π × = π

�� AB 2= ,

�� 2 2 2 2cos

tg BC BC BCsentg senBCcos

α= α ⇔ = ⇔ = ⇔ =αα αα

�� 2 2

sen CDsenCD

= α ⇔ =α

donde o perímetro da figura é

Logo 2cos 2 2cos 2

P 2 P 2sen sen sen

α α += π + + + ⇔ = + π +α α α

Grupo II

1. Uma máquina produz sistemas de segurança. A cada sistema de segurança produzido é-lhe

atribuído um código constituído por uma sequência de cinco dígitos. Por exemplo, a um dos

sistemas foi-lhe atribuído o código: 00575 .

O computador que gere a atribuição de códigos está programado para que não haja repetição

de códigos.

1.1. O número máximo de códigos que é possível atribuir nas condições indicadas é 510 100000=

1.2. Admitamos que é gerado um código de forma aleatória.

A probabilidade de esse código ter os algarismos das extremidades iguais e diferentes dos

restantes é dada, em percentagem com arredondamento às centésimas, por

5

10 9 9 9 1P 0,0729 7,29%

10× × × ×= = =

2. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:

( ) x 3 x 1f x 2 14 2+ −= − × e ( ) xg x 2 3 2= − ×

2.1. Resolvamos a condição

( ) ( ) x 4 x 4 x 4g x g 4 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 x 4> ⇔ − × > − × ⇔ − × > − × ⇔ < ⇔ <

A solução é ] [S ,4= −∞


2.2. Mostremos, por via analítica, que: ( ) xf x 2=

( ) x 3 x 1 x 3 x 1 x x1f x 2 14 2 2 2 14 2 2 2 8 14 2

2+ − − = − × = × − × × = − × =

2.3. Resolvamos, analiticamente, a condição ( ) ( )f x g x=

x x x x x x 22 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 x 2 1 x 1+= − × ⇔ + × = ⇔ × = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −

A solução é { }S 1= −

3. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: ( ) 1f x x ln

2x=

3.1. Determinemos, caso existam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a

ordenada é metade da abcissa.

xy

2= ou seja

1 x 1 x 1 1 1 1x ln x ln 0 x ln 0 x 0 ln x 0

2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ∧ > ⇔

121 1 1 1 1

ln e 2x x2x 2 2x e 2 e

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

As coordenadas do ponto são 1 1

,2 e 4 e

3.2. A função f tem um extremo absoluto. Determinemos o valor desse extremo.

Comecemos por calcular a derivada da função f:

( )2

11 1 1 12xf x ln x ln ln x ln 1

12x 2x 2x 2x2x

−′ ′ = + × = + × = −

Calculemos os zeros da derivada:

( ) 1 1 1 1 1f x 0 ln 1 0 ln 1 e 2x x

2x 2x 2x e 2e′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Estudemos o sinal da derivada:

( ) 1 1 1 1 1f x 0 ln 1 0 ln 1 e 2x x

2x 2x 2x e 2e′ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ < ⇔ <

x 0 1

2e +∞

( )f x′ + 0 -

( )f x ր M ց

O extremo da função é um máximo igual a 1 1 1 1 1

f ln lne12e 2e 2e 2e2

2e

= = =

×


3.3. A reta de equação e

y 2x2

= − + é tangente ao gráfico da função num ponto P.

Determinemos as coordenadas desse ponto começando por igualar a derivada ao declive

desta reta: 11 1 1 eln 1 2 ln 1 e 2x e x

2x 2x 2x 2−− = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Calculemos a ordenada: e e 1 e

f lne2 2 222

= = − ×

As coordenadas do ponto de tangencia é e e

P ,2 2 −

4. [ABCD] é um trapézio isósceles; os lados [AD] e [BC] são

paralelos.

Tem-se que:

� AB BC CD 1= = = .

� AD 1≤ .

Seja α a amplitude do ângulo ABC ,3 2

π π α ∈

e

( ) ( )1f x senx sen 2x

2= −

4.1. Mostremos que, para qualquer ,3 2π π α ∈

, a área do trapézio é igual a ( )f α .

Calculemos AE sen= α e BE cos= α . Então a base maior mede 1, a altura mede senα e a

base menor mede 1 2cos− α

Calculemos então a área

( )1 1 2cosA sen A 1 cos sen A sen sen cos

2+ − α= × α ⇔ = − α α ⇔ = α − α α ⇔

( )1 1A sen 2sen cos A sen sen 2

2 2= α − × α α ⇔ = α − α

4.2. Determinemos 1

f sen sen 12 2 2π π = − π =

O quadrilátero que se obtém para 2πα = é um quadrado de lado 1 pelo que a sua área é 1

como concluímos ao calcular f 12π =

1

1 1

αααα

E

A

B C

D





5º Teste de avaliação – versão B – Critérios de cla ssificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

D C D C B

Grupo II (150 pontos)

1. 20

1.1. 10

1.2. 10

•••• Nº de casos favoráveis 5

•••• Nº de casos possíveis 3

•••• Probabilidade na forma pedida 2

2. 40

2.1. 15

•••• Escrever x 42 3 2 2 3 2− × > − × 5

•••• Resolver a inequação 10

2.2. . 15

•••• Escrever x

x 3 x 1 x 3 22 24 2 2 2 14

2+ −− × = × − × 6


x 3 x x22 2 14 8 2 7 2

2× − × = × − × 6

•••• Concluir que x x x8 2 7 2 2× − × = 3

2.3. 10

•••• Escrever x x2 2 3 2= − × 5

•••• Resolver a equação 5

3. 30

3.1. 15


y2

= 3

•••• Escrever 1 x

x ln2x 2 =

3



•••• Calcular a ordenada e dar as coordenadas 2

3.2. 20

•••• Calcular a derivada 5

•••• Calcular os zeros da derivada 5

•••• Fazer a tabela de sinal da derivada 5

•••• Calcular o máximo 5

3.3. 15

•••• Igualar a derivada a 2− 3


•••• Calcular a ordenada 5

•••• Apresentar as coordenadas 2

4. 40

4.1. 20

•••• Concluir que B 1= 2

•••• Calcular altura sen= α 3

•••• Calcularb 1 2cos= − α 5

•••• Calcular a área 3

•••• Utilizar a fórmula de ( )sen 2α 5

•••• Obter a expressão pedida 2

4.2. 20

•••• Identificar o quadrilátero que se obtém 8

•••• Calcular f2π

7

•••• Concluir 5

Total ………………………………………………… ……………………………………………… 200

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