Teste06 a

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2011/2012 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

12º Ano de Matemática – A

Tema III – Trigonometria e Números Complexos

6º Teste de avaliação – versão A

Grupo I

1. De uma certa linha do triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois últimos termos é 21.

Qual é o maior termo dessa linha?

(A) 169347 (B) 175324 (C) 184756 (D) 193628

2. Seja f uma função de domínio IR+ . Sabe-se que a reta de equação y 4x 1= − + é uma

assíntota do gráfico de f.

Qual é o valor de ( ) ( )

x

f xlim f x 4x

x→+∞

+ +

?

(A) −∞ (B) 4 (C) 0 (D) 3−

3. Na figura seguinte, está parte da representação gráfica de uma

função polinomial f. O ponto de abcissa 2 é o ponto de inflexão do

gráfico da função f.

Qual das expressões seguintes pode definir f ′′ , segunda derivada

de f ?

(A) ( )2x 2− (B) 2 x− (C) ( )2

2 x+ (D) x 2−

4. Qual é o valor de 22x 0

1 xlim sin ?

x 2→

(A) 4 (B) 0 (C) 14

(D) 12

.

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


5. Seja z um número complexo de argumento 6π

. Qual dos seguintes é um argumento de z− ?

(A) 6π− (B)

56

π (C) π (D) 76

π

Grupo II

1. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere 1z 1 i= −

1.1. Sem recorrer à calculadora, determine, na forma algébrica, o valor de 18

12z i 31 2i− −−

.

1.2. A que quadrante pertence o afixo de 1z ?

1.3. Represente 1z na forma trigonométrica.

2. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a

respetiva planificação.

Conforme se pode observar na figura, existem três números em

cada face.

Lança-se este dado, uma só vez, e observam-se os números da

face que fica voltada para cima. Diz-se então que saíram esses

três números.

2.1. Seja X a variável aleatória “Produto dos três números saídos”.

Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória X

Apresente as probabilidades em forma de fração irredutível.

2.2. Seja R o acontecimento «Os números saídos são todos iguais».

Seja S o acontecimento «A soma dos números saídos é igual a 3».

Os acontecimentos R e S são independentes? Justifique.

3. t horas após o início de uma experiência laboratorial, o número de bactérias, em milhares , é

dado pela função N, definida por:

( )2t

N t 50 10ln 1 ; t 02

= + + ≥

3.1. Ao fim de quanto tempo há 75000 bactérias? Apresenta o resultado em horas e minutos,

estando os minutos arredondados às unidades.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.


3.2. Mostre, por via analítica, que o número de bactérias cresce à medida que o tempo

decorre.

3.3. Determine as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico da função N.

4. Considere a função f, real de variável real, definida por: ( )f x 2tgx senx= −

4.1. Determine:

4.1.1. os zeros da função f pertencentes ao intervalo [ ],3π π ;

4.1.2. a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π ;

4.2. Na figura está representado o círculo trigonométrico e uma

reta r definida pela equação x 2= .

O ponto B tem coordenadas ( )2,0 e P é um ponto móvel

pertencente à reta r com ordenada positiva.

A cada posição do ponto P corresponde o ângulo BOP de

amplitude θ radianos.

Mostre que a área do triângulo [ ]ABP é dada, em função

de θ , por ( )f θ .

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1.1 4.1.2 4.2 Total

Cotação 10 10 10 10 10 10 5 5 15 15 15 20 15 15 15 20 200






6º Teste de avaliação – versão A – proposta de reso lução

Grupo I

1. (C) De uma certa linha do triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois últimos termos é

21. É a linha com n 20= . O maior termo dessa linha é 2010C 184756=

2. (D) Seja f uma função de domínio IR+ . Sabe-se que a reta de equação y 4x 1= − + é uma

assíntota do gráfico de f

O valor de ( ) ( )

x

f xlim f x 4x

x→+∞

+ +

é

( ) ( )( )x x

f xlim lim f x 4x 4 1 3

x→+∞ →+∞

+ + = − + = −

3. (B)Na figura seguinte, está parte da representação gráfica de uma

função polinomial f. O ponto de abcissa 2 é o ponto de inflexão do

gráfico da função f.

Das expressões seguintes pode definir f ′′ , segunda derivada de f

é 2 x− porque à esquerda de 2 é positiva e à direita é negativa o

que significa que a concavidade está virada para cima à esquerda de 2 e à direita de 2 a

concavidade é virada para baixo.

4. (C) O valor de 22x 0

1 xlim sen

x 2→

é

2 22

2 xx 0 x 0 02

x x xsen sen sen1 1 1 12 2 2lim lim lim 1x xx 2 4 4 42 2

→ → →

= × = = × =

5. (D) Seja z um número complexo de argumento 6π

. Um argumento de z− é 7

6 6ππ + = π porque

as imagens são simétricas em relação à origem do referencial.


Grupo II

1. Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere 1z 1 i= −

1.1. Sem recorrer à calculadora, determinemos, na forma algébrica, o valor de

( ) 4 4 218 21

2 1 i i 32z i 3 2 2i i 3 2 2i 1 3 2i1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i

× +− − −− − − − − − + − −= = = = =− − − − −

( )( ) ( )

2i 1 2i 2i 4 4 2i

1 2i 1 2i 1 4 5 5

− + − += = −− + +

.

1.2. O afixo de 1z pertence ao quarto quadrante.

1.3. Representemos 1z na forma trigonométrica:

�� ( )221z 1 1 2= + − =

�� Sendo θ o argumento de 1z temos 1

tg 1 4ºQ 2k ,k1 4− πθ = = − ∧ θ ∈ ⇔ θ = − + π ∈ℤ

�� 1z na forma trigonométrica pode ser 1z 2cis4π = −

.

2. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a

respetiva planificação.

Conforme se pode observar na figura, existem três números em

cada face.

Lança-se este dado uma só vez e observam-se os números da

face que fica voltada para cima. Diz-se então que saíram esses

três números.

2.1. Seja X a variável aleatória “Produto dos três números saídos”.

Números 1,1,1 1,0,0 1,1,0 1,2,0 1,3,0 2,2,2

Produto 1 0 0 0 0 8

Construamos a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória X

ix 0 1 8

( )iP X x= 4 26 3

= 16

16

2.2. Seja R o acontecimento «Os números saídos são todos iguais». ( ){ }R 1,1,1 ,(2,2,2)=

Seja S o acontecimento «A soma dos números saídos é igual a 3». ( ) ( ){ }S 1,1,1 , 1,2,0=


( ){ }R S 1,1,1∩ =

( ) 1P R S

6∩ = e ( ) ( ) 2 2 1

P R P S6 6 9

× = × =

Os acontecimentos R e S não são independentes porque ( ) ( ) ( )P R S P R P S∩ ≠ × .

3. t horas após o início de uma experiência laboratorial, o número de bactérias, em milhares , é

dado pela função N, definida por:

( )2t

N t 50 10ln 1 ; t 02

= + + ≥

3.1. Para sabermos ao fim de quanto tempo há 75000 bactérias temos de resolver a equação:

2 2 2t t t75 50 10ln 1 t 0 10ln 1 25 t 0 ln 1 2,5 t 0

2 2 2

= + + ∧ ≥ ⇔ + = ∧ ≥ ⇔ + = ∧ ≥ ⇔

2

2,5 2 2,5 2,5t1 e t 0 t 2e 2 t 0 t 2e 2

2+ = ∧ ≥ ⇔ = − ∧ ≥ ⇔ = −

É ao fim de aproximadamente 4 horas e 44 minutos que temos 75 milhares de bactérias.

3.2. Mostremos, por via analítica, que o número de bactérias cresce à medida que o tempo

decorre, estudando o sinal da derivada de N:

( ) 2 2

t 20tN t 10

t t 21

2

′ = × =++

Considerando t 0≥ concluímos que o numerador da derivada é não negativo e o

denominador é positivo. Podemos construir o seguinte quadro de sinal:

t 0 +∞

( )N t′ 0 +

( )N t m

50 ր

E concluir que o número de bactérias cresce à medida que o tempo decorre.

3.3. Determinemos as coordenadas do ponto de inflexão do gráfico da função N, começando

por estudar o sinal da segunda derivada de N.

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 2 2

20 t 2 20t 2t 20t 40 40t 20t 40N t

t 2 t 2 t 2

+ − × + − − +′′ = = =+ + +

( )( )

22

22

20t 40N t 0 20t 40 0 t 0 t 2

t 2

− +′′ = ⇔ ⇔ − + = ∧ ≥ ⇔ =+

t 0 2 +∞


( )N t′ + 0 −

( )N t ∪ PI ∩

( ) ( )N 2 50 10ln 2= +

As coordenadas do ponto de inflexão são ( )2,50 10ln2+

4. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: ( )f x 2tgx senx= −

4.1. Determinemos:

4.1.1. os zeros da função f pertencentes ao intervalo [ ],3π π ;

( ) [ ] [ ] [ ]senxf x 0 x ,3 2tgx senx 0 x ,3 2 senx 0 x ,3

cos x= ∧ ∈ π π ⇔ − = ∧ ∈ π π ⇔ − = ∧ ∈ π π ⇔

[ ] [ ]2senx 1 0 x ,3 senx 0 cos x 2 cos x 0 x ,3

cos x − = ∧ ∈ π π ⇔ = ∨ = ∧ ≠ ∧ ∈ π π ⇔

[ ]x k ,k x ,3 x x 2 x 3= π ∈ ∧ ∈ π π ⇔ = π ∨ = π ∨ = πℤ

Os zeros da função f pertencentes ao intervalo [ ],3π π são , 2 e 3π π π .

4.1.2. a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π ;

( ) 2

1f x 2 cos x

cos x′ = × −

( )( )

( )2

1f 2 1 3

1′ π = × − − =

−

( )f 2tg sen 0 0 0π = π − π = − =

( )y 0 3 x y 3x 3− = − π ⇔ = − π

a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π é

y 3x 3= − π .

4.2. Na figura está representado o círculo trigonométrico e uma

reta r definida pela equação x 2= .

O ponto B tem coordenadas ( )2,0 e P é um ponto móvel

pertencente à reta r com ordenada positiva.

A cada posição do ponto P corresponde o ângulo BOP de

amplitude θ radianos.

Mostremos que a área do triângulo [ ]ABP é dada, em

função de θ , por ( )f θ .


( ) BP AMf

2×θ = , sendo M o ponto de [BP] que é o pé da perpendicular baixada de A para

a base [BP].

Comecemos por reconhecer que A tem coordenadas ( )cos ,senθ θ para podermos

concluir que AM 2 cos= − θ

Reconhecendo que o triângulo [AMP] é semelhante ao triângulo [OAQ], sendo Q o pé da

perpendicular baixada de A para o eixo das abcissas.

Concluímos que: PB

tg OB 2 PB 2tgOB

θ = ∧ = ⇔ = θ

Finalmente

( ) ( )2tg 2 cosPB AM senf 2tg tg cos 2tg cos 2tg sen

2 2 cos

θ × − θ× θθ = = = θ − θ × θ = θ − × θ = θ − θθ

Concluímos, assim, que a área do triângulo verifica ( )f 2tg senθ = θ − θ

FIM





5º Teste de avaliação – versão A – Critérios de cla ssificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

C D B C D

Grupo II (150 pontos)

1. 20

1.1. 10

•••• Substituir 1z 1

•••• Calcular 18i 3

•••• Concluir que a expressão é 2i

1 2i−−

2

•••• Fazer a divisão 3

•••• Apresentar o resultado na forma pedida 1

1.2. 5

1.3. 5

•••• Calcular o módulo 2

•••• Calcular um argumento 2

•••• Escrever o complexo na forma pedida 1

2. 30

2.1. 15

•••• Escolher os valores da variável 5

•••• Calcular o valor de cada probabilidade 6

•••• Construir a tabela de probabilidade 4

2.2. . 15

•••• Identificar R e calcular ( )P R 4

•••• Identificar S e calcular ( )P S 4

•••• Identificar R S∩ e calcular ( ) ( )P R S ou P R | S∩ 4

•••• Justificar que os acontecimentos não são independentes 3


3. 50

3.1. 15

•••• Escrever ( )N t 75= 4

•••• Resolver a equação 8

•••• Dar o resultado na forma pedida 3

3.2. 20

•••• Calcular a derivada 5

•••• Calcular os zeros da derivada 5

•••• Fazer a tabela de sinal da derivada 5

•••• Concluir que a função é sempre crescente 5

3.3. 15

•••• Calcular a segunda derivada 5

•••• Calcular os zeros da segunda derivada 2

•••• Fazer a tabela de sinal da segunda derivada 5

•••• Calcular as coordenadas do ponto de inflexão 3

4. 50

4.1.1. 15

•••• Igualar a função a zero 2

•••• Resolver a equação 10

•••• Obter as soluções pedidas 3

4.1.2. 15

•••• Calcular ( )f π 2

•••• Calcular ( )f x′ 5

•••• Calcular ( )f ′ π 2

•••• Obter a equação pedida 6

4.2. 20

•••• Identificar as coordenadas de A 2

•••• Calcular a altura AM 3

•••• Calcular PB 5

•••• Concluir 10

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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