Testes de hipótese - .Teste de Hipóteses ... Exercícios Exercício 7.1 Estabeleça a hipótese

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7Testes de hiptese Prof. Dr. Paulo Picchetti M.Sc. Erick Y. Mizuno

COMENTRIOS INICIAIS Uma hiptese estatstica uma afirmativa a respeito de um parmetro de uma distribuio de probabilidade. Por exemplo, podemos formular a hiptese que a produtividade 2,5 peas/hora. Formalmente isso escrito como: H0 : 2,5 peas/hora H1 : 2,5 peas/hora Ho chamada de hiptese nula e H1 de hiptese alternativa. Nesse caso, a alternativa formulada bilateral, mas tambm podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como: H0 : 2,5 peas / hora H1 : 2,5 peas/hora Os testes de hiptese so uma das aplicaes da estatstica mais usadas. Via de regra, a hiptese nula feita com base no comportamento passado do produto/processo/servio, enquanto a alternativa formulada em funo de alteraes/inovaes recentes. No ambiente atual de melhoria contnua, fcil entender a importncia dos testes de hiptese, eles permitem confirmar a eficcia das medidas de melhoria adotadas. Ao testar a hiptese, toma-se uma amostra aleatria do sistema em estudo e se calcula a estimativa desejada. Conforme o valor da estimativa, a hiptese nula ser aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatsticos. Ao testar uma hiptese, h dois tipos de erros que podemos cometer: = P {rejeitar Ho/Ho verdadeira} = erro do tipo I = P {aceitar Ho/Ho falsa} = erro do tipo II

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72 7. Teste de Hipteses Paulo Picchetti / Erick Y. Mizuno / MBA FEA/FIPECAFI / 2003

O procedimento usual fixar o valor de e verificar o valor de . O risco uma funo do tamanho da amostra, e controlado indiretamente. Quanto maior o tamanho da amostra, menor ser o risco . Na seqncia os seguintes pontos sero cobertos: - Comparao de mdias, varincia conhecida; - Comparao de mdias, varincia desconhecida; - Comparao de pares de observaes; - Comparao de varincias; - Comparao dos parmetros da Binomial.

COMPARAO DE MDIAS, VARINCIA CONHECIDA

Suponha que X uma varivel aleatria com mdia desconhecida e varincia 2 conhecida. E queremos testar a hiptese que a mdia igual a um certo valor especifica 0. O teste de hiptese pode ser formulado como segue: Ho : 0 H1 : 0

Para testar a hiptese, toma-se uma amostra aleatria de n observaes e se calcula a estatstica

Eq 128: Z0 =

Note que o teste feito usando-se / no denominador, uma vez que esse o desvio padro da mdia. A hiptese Ho rejeitada se > onde Z/2 um valor limite da distribuio normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a Z/2 . Ou seja, a probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hiptese nula menor do que a , logo rejeita-se a hiptese nula Ho.

Assim, seX resultar prximo de 0, ou seja, < , a

hiptese Ho aceita; caso contrrio, seX resultar longe de 0 , ou seja, se > , a hiptese Ho rejeitada.

Eq 127:

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EXEMPLO 1

Um processo deveria produzir mesas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que esto sendo produzidas so diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou X 0,84 m. Sabendo que o desvio padro 0,010m, teste a hiptese do engenheiro usando um nvel de significncia =0,05. Soluo: H0 : = 0,850 H1 :

Z0 = = - 0,85

Z0,025 = 1,96 ( Bilateral ) Como, < no se pode desprezar H0. Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a verdadeira mdia for maior que . Assim, a hiptese alternativa unilateral ser H1 : o , e a hiptese nula ser rejeitada somente se Zo > Z. Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira mdia for menor que o, a hiptese alternativa ser H1 : o , e a hiptese nula ser rejeitada somente se > . Quando h duas populaes com mdias desconhecidas, digamos o e 1 e varincias conhecidas, e , o teste para verificar a hiptese de que as mdias sejam iguais o seguinte: H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 Nesse caso, a partir de uma amostra aleatria de n1 observaes da populao 1 e n2 observaes da populao 2, calcula-se:

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74 7. Teste de Hipteses Paulo Picchetti / Erick Y. Mizuno / MBA FEA/FIPECAFI / 2003

Z0 =

E Ho rejeitada se , ou seja, a probabilidade do

valor Zo acontecer segundo a hiptese nula menor do que , logo rejeita-se a hiptese nula Ho.

No caso da alternativa unilateral H1 : 1 2 , a hiptese nula Ho ser rejeitada quando Zo > Z. E se a alternativa unilateral for H1 : 1 2, a hiptese Ho ser rejeitada quando resultar

> .

Hiptese

Estatstica

Critrio para rejeitar H0

H0 : = 0

H1 : 0

Z0 =

( Bilateral )

H0 : = 0

H1 : 0

>

( Unilateral ) H0 : = 0

H1 : 0

H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

Z0 =

( Bilateral )

H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

>

( Unilateral ) H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

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E QUANDO A MDIA E VARINCIA DA POPULAO 2 SO DESCONHECIDAS?

Suponha que X uma varivel aleatria Normal com mdia e varincia 2 desconhecidas. Para testar a hiptese que a mdia igual a um valor especificado 0, formulamos: H0 : = 0 H1 : 0 Esse problema idntico aquele da seo anterior, exceto que agora a varincia desconhecida. Como a varincia desconhecida, necessrio fazer a suposio adicional que a varivel tenha distribuio Normal. Essa suposio necessria para poder desenvolver a estatstica do teste; contudo, os resultados ainda sero vlidos se o afastamento da normalidade no for forte. Como 2 no conhecido, usa-se a distribuio de Student-t para construir a estatstica do teste:

t0 =

E a hiptese nula H0 : = 0 rejeitada se > onde

um valor limite da distribuio de Student-t tal que a probabilidade de se obter valores externos a .

EXEMPLO 2

Um empresrio desconfia que o tempo mdio de espera para atendimento de seus clientes superior a 20 minutos. Para testar essa hiptese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir. Conclua, ao nvel de significncia de 5% (ou ... ao nvel de aceitao de 95%) se sua suspeita est correta.

22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 21 20 21 24 22 22 23 22 20 24

Soluo: H0 : = 20 minutos H1 : > 20 minutos X = 21,8 min S = 1,4 min

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t0 = = = 5,75

= 5,75

= 1,729 Como > , rejeita-se H0.

DUAS AMOSTRAGENS...

Quando h duas populaes normais com mdias 1 2 e varincias e desconhecidas, as hipteses para testar se as mdias so iguais so as seguintes: H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 O procedimento do teste ir depender se . Se essa suposio for razovel, ento calcula-se a varincia combinada:

E a seguir calcula-se a estatstica

t0 =

Ho ser rejeitada se > .

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EXEMPLO 3

Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matria-prima utilizada. H dois fornecedores de matria-prima sendo usados. Testes com 10 observaes de cada fornecedor indicaram: X1 39, S1 7, X2 43, S2 9 . Use um nvel de significncia = 0,05 e teste a hiptese do engenheiro. Soluo:

H0 : 1 = 2 H1 : 1 2 Supondo , temos:

A estatstica teste:

t0 =

t0,025;18 =2,101 Como t0 < t0,025 ; 18 no se pode rejeitar H0.

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Exerccios Exerccio 7.1 Estabelea a hiptese nula e a hiptese alternativa para as seguintes

situaes: a) Um fornecedor afirma que o tempo de vida de um produto que ele comercializa maior que 3 meses. B) Um engenheiro desconfia que uma mquina est fora do ajuste, produzindo peas com dimetro diferente do especificado que de = 2,54. c) Um fabricante atesta que o consumo de um certo modelo de eletrodomstico inferior a 20 watts.

Exerccio 7.2 Uma amostra de vinte observaes de um produto indicou um tempo de vida mdia de 217 ciclos. Sabendo que o desvio padro de 20 ciclos, teste a hiptese de que o tempo de vida inferior a 250 ciclos, conforme atestam alguns engenheiros. Use = 0,05.

Exerccio 7.3 Dois tipos de combustveis esto sendo testados. A hiptese que eles

tenham o mesmo desempenho. Teste essa hiptese, sabendo que o desvio-padro conhecido = 0,7 Km/l e os resultados de testes feitos com 10 automv